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2024年吉林省长春市南关区东北师大附中中考四模
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大是( )
A. B. C. D.
2.长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 三角形任意两边之和大于第三边
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图相同 B. 左视图相同 C. 俯视图相同 D. 三种视图都不相同
4.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.如图，直线与直线、分别交于点、，将含角的直角三角板如图所示放置，若使直线与直线平行，则可将直线绕点逆时针旋转的最小角度为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使为等边三角形，下列作法不正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，坡比，则这两棵树之间的坡面的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间分钟与录字速度字分钟成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法不正确的是( )
A. 这篇文章一共字
B. 当小丽的录字速度为字分钟时，录入时间为分钟
C. 小丽在：开始录入，要求完成录入时不超过：，则小丽每分钟至少应录入字
D. 小丽原计划每分钟录入字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前分钟完成任务
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： ______．
10.若二次函数为常数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是______．
11.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第幅图中有个菱形，第幅图中有个菱形，第幅图中有个菱形，继续排列下去，如果第幅图中有个菱形，则 ______
12.如图，，，，，是五边形的外接圆的切线，则 ______
13.如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度当将电脑屏幕绕点旋转至张角时点是的对应点，顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为______结果保留
14.如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为给出下面四个结论：
；
当时，；
抛物线上有点和，若，且，则；
当时，对于抛物线上两点，，若，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
先化简，再求值：，其中．
16.本小题分
动物分为无脊椎动物和脊椎动物，其中脊椎动物又分为：鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳动物下面有三张正面印有不同动物的卡片，是老虎，是燕子，是鹦鹉，三张卡片除正面印的动物不同，其余均相同，将三张卡片背面向上放在桌面上先从中随机抽取一张，记下动物名称后放回，再从中随机抽取一张，并记下动物名称请用画树状图或列表的方法求抽取的两张卡片都是鸟类的概率．
17.本小题分
长春轨道交通号线南起汽车公园站，北至东环城路站，一期全长千米，共设座车站，全部为地下车站，预计年通车该项工程使用我因自主研发的“春城一号”盾构机在挖掘某段长米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了，打通这段路段比正常路段施工多用了天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米．
18.本小题分
如图，菱形的两条对角线交于点，为线段上一点，与相切于点．
求证：是的切线．
若经过点，，且的半径为，则菱形的边长为______．
19.本小题分
图、图、图均是的正方形网格每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，点在网格线上且不是格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．
在图中，作四边形，使，且点为格点．
在图中，作的中线．
在图中，作 ．
20.本小题分
体育王老师为了提高学生男子米跑训练的科学性，对学生的配速、心率进行了测试，下面信息是从全年级名男生中随机抽取的名男生米跑的测试信息：
信息一：名男生米跑的配速分秒分组及频数分布直方图为：：；：；：；：；：；：．
信息二：组人的配速为：，，，，．
信息三：完成米跑后的心率次：
根据以上信息解答下列问题：
名男生米跑配速分秒的中位数是______．
若又有名男生参加了此次测试，配速分秒分别为：，，，，则中位数是否会受到影响：______填“受影响”或“不受影响”
若心率不超过次，可以增加训练强度，估计全年级名男生可以有多少人能增加训练强度．
21.本小题分
随着城市基础建设的完善，长春市新修了很多绿道，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚甲、乙两人相约同时从伊通河绿道某地出发同向骑行，乙中途停车整理装备用了分钟，然后继续骑行，追上甲后又骑行了分钟一起到达终点甲、乙骑行的路程千米与骑行时间分钟之间的函数关系如图所示．
求甲的骑行速度．
求乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
两人相距不超过千米时，可以互相联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以联系到甲．
22.本小题分
【问题初探】数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结求证：．
小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为．
小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图，在线段上截取，连结，通过证明≌，将转化为．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【拓展延伸】如图，在正方形中，是边上一动点点不与点重合，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结、，若，则周长的最小值为______．
23.本小题分
如图，在中，，，的面积为，于点，动点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，当点出发后，且不与点重合时，将点绕的中点旋转得到点，连结、、设点的运动时间为秒．
长为______．
用含的代数式表示四边形的面积．
当四边形被直线分得的两部分面积之比为：时，求的值．
当直线垂直于的一边所在的直线时，直接写出的值．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线、是常数的顶点，点是抛物线上一点，横坐标为，过点作轴于点，点，以和为邻边作 ．
求此抛物线对应的函数表达式．
当点在线段上时，求的值．
当、、不重合时，连结、，当线段、、满足其中两条线段之和等于第三条线段时，求的取值范围．
若点在抛物线对称轴右侧，连结、、，当时，直接写出点的坐标．
参考答案
1.【答案】
解：的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是，
，
故选：．
2.【答案】
解：由垂线段最短可知，小明走新民大街路程最短，
故选：．
3.【答案】
【解答】
解：图的三视图为：
图的三视图为：
易得平移前后几何体的俯视图相同，
故选C．
4.【答案】
解：、，，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
，
故C符合题意；
D、，
，
，
故D不符合题意；
故选：．
5.【答案】
解：如图，
直线与直线平行，
，
，
旋转的最小角度，
故选：．
6.【答案】
解：由作法得点为的垂直平分线与的交点，则，所以，则，所以为等边三角形，所以选项不符合题意；
B.由作法得，而，所以为等边三角形，所以选项不符合题意；
C.由作法得点为的垂直平分线与的交点，则，而，所以为等边三角形，所以选项不符合题意；
D.由作法得平分，则，所以为不是等边三角形，所以选项符合题意．
故选：．
7.【答案】
解：在中，，
则，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
解：设，
把代入得，，
，
与的函数表达式为．
A.当录字时间分钟与录字速度的乘积为字，即这篇文章一共字，故本选项不符合题意；
B.当录字速度时，字分，故本选项不符合题意；
C.当录字时间时，，
，
在第一象限内，随的增大而减小，
即小丽每分钟至少应录入字，故本选项符合题意；
D.当时，分钟，
当时，，
实际用的时间是分钟，
分钟，
比原计划提前分钟，故本选项不符合题意．
故选：．
9.【答案】
解：
．
故答案为：．
10.【答案】
解：二次函数为常数的图象与轴有两个公共点，
，
解得，
故答案为：．
11.【答案】
解：由题意知，第幅图中有个菱形，
第幅图中有个菱形，
第幅图中有个菱形，
，
可推导一般性规律为第幅图中有个菱形，
，
解得，，
故答案为：．
12.【答案】
解：如图，设圆心为，连接，，，和，
，，，，是五边形的外接圆的切线，
，
即，
，
，，，，，
五边形内角和，
，
故答案为：．
13.【答案】
解：，
．
由题意得：．
，
．
，
．
顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为：．
故答案为：
14.【答案】
解：由题意，抛物线为，
又，
当时，取最小值为．
，故正确．
抛物线交轴于点和，
又抛物线开口向上，
结合图象，当时，，故正确．
抛物线为，
抛物线的对称轴是直线．
又，且，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离．
，
故错误．
当时，，
令，则，
，．
，．
若，则，
．
．
故正确．
综上，正确的有：．
故答案为：．
15.【答案】解：原式
，
，
，
原式
．
16.【答案】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是鸟类的结果有：，，，，共种，
抽取的两张卡片都是鸟类的概率为．
17.【答案】解：设正常路段盾构机每天能掘进米，则全风化泥岩和粉质粘土路段盾构机每天能掘进米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：正常路段盾构机每天能掘进米．
18.【答案】
证明：如图，连接，作于点，
与相切于点，
是的半径，且，
四边形是菱形，
，，
平分，
点为线段上一点，且，，
，
点在上，
是的半径，且，
是的切线．
解：如图，经过点，设与相切于点，连接，
且的半径为，
，
，，
，
，
，
，
，
，
菱形的边长为，
故答案为：．
19.【答案】解：如图中，四边形即为所求；
如图中，线段即为所求；
如图中，四边形即为所求．
20.
解：名男生米跑配速分秒的中位数是；
故答案为：；
若又有名男生参加了此次测试，配速分．秒分别为：，，，，
则中位数是，
会受影响；
故答案为：受影响；
由信息三可知，心率不超过次有人，
人，
答：估计全年级名男生可以有人能增加训练强度．
21.【答案】解：甲的骑行速度为千米分钟，
答：甲的骑行速度为千米分钟，
设函数解析式为：，图象过点，，
，解得，
与的函数关系式为，
答：乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式为，
甲的函数解析式为：，
分钟甲行驶的路程，两人相距，
乙中途停车整理装备后行驶的速度，
设乙整理完装备后至少再骑行分钟可以联系到甲
根据题意得：，
解得：．
答：乙整理完装备后至少再骑行分钟可以联系到甲．
22.
证明：选择小智同学的解题思路：
，，
，，
，，
，，
，，
，
∽，
，
；
选择小慧同学的解题思路：
如图，在线段上截取，连接，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
即；
解：如图，在线段延长线上截取截取，使得，连接、、，
由【问题初探】可知：，
又在正方形中，，
，
与是关于的对称，
，
，
当、、三点共线时，取最小值，
，
周长的最小值为：，
故答案为：．
23.
解：，的面积为，，
，
，
故答案为；
，，，
，
，
，
，
点到达点时间秒，
点到达点时间秒，
点到达点时间秒，
如图，当在上不含点、运动时，此时，
将点绕的中点旋转得到点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
如图，当在上含点运动时，此时，
同理可得：四边形是平行四边形，又，
是矩形，
，
，
如图，当在上含点运动时，此时，
同理可得：四边形是平行四边形，
又，
是矩形，
，
，
综上所述：；
当在上不含点、运动时，此时，如图，延长交于点，过点作，垂足为，
由可得：，
，，，
，
，，
，，四边形是平行四边形，
，，
，
，
当四边形被直线分得的两部分面积之比为：时，
即或，
或，
解得：舍去，，负值舍去，
当在上含点运动时，直线不分割四边形；
当在上含点运动时，此时，如图，
是矩形，
，，
，
，
，
当四边形被直线分得的两部分面积之比为：时，
即或，
或，
解得：，不合题意舍去，不合题意舍去，
综上所述：或，四边形被直线分得的两部分面积之比为：．
当在上运动时，当时，垂足为，如图所示，过点作，垂足为，
，，
，，，
，，
在中，，
，
解得：，小于，不合题意舍去，
当在上运动时，如图，直线与、、所在直线的夹角不能为直角；
当在上运动时，此时，如图，
当时，设与交于点，，
，
，
是矩形，
，，
，
，
，
，
当时，点与点重合，如图所示：此时
综上所述：当直线垂直于的一边所在的直线时，或或．
24.【答案】解：抛物线、是常数的顶点，
．
如图，
在 中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，
，
点在线段，
，
解得，，
当时，点坐标为，点坐标为，点坐标为，此时点与点重合；
当时，点坐标为，点坐标为，点坐标为，此时点与点重合；
综上所述，当或时，点在线段上．
设直线解析式为，把点坐标为，，
代入得，
解得，
直线解析式为，
同理可求，
、、三条线段再同一直线上，它们始终满足其中两条线段之和等于第三条线段．
又当、、不重合时，即，线段、、始终满足其中两条线段之和等于第三条线段．
在 中，，，，
，
如图，点在延长线上，则，过点作轴，交于，交于，
，轴，
∽，
，
，，
，
解并检验得，
如图，点在延长线上，则，
同理可得，
即，
解并检验得，
当在对称轴左侧时，，，在线段上，
即在平行四边形内部，故不存在点，使，
综上所述，或．
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