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第02讲 常用逻辑用语
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 充分条件与必要条件 (2) 全称量词与存在量词 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年I卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. （2）重点是充分、必要条件的判断和全称量词与存在量词，主要考查充分、必要条件的判断，全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断，常与一元二次不等式解法、分式不等式解法、数列、三角函数结合. （3）适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.
(
考试要求
小
)
1、理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义；
2、理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系；
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定；
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1:充要条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若，则”为真命题，是指由推出，记作，即是的 ，是的 .
“若，则”为假命题，那么由推不出，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件.
2、充要条件
如果“若，则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有，记作，则是的充分必要条件，简称为 .
“是的充要条件”,也说成“等价于”或“当且仅当”等.
3、充分、必要条件的判断
关系 判断方法 用集合表示的判断方法
是的充分不必要条件 且 是的真子集
是的必要不充分条件 且 是的真子集
是的充要条件 且
是的既不充分也不必要条件 且
知识点2:全称量词与存在量词
1、全称量词
短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题“对中的任意一个，有成立”
可用符号简记为:，，读作“ ”.
2、存在量词
短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做 ，用符号“ ”表示.
常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在中的元素，使成立”
可用符号简记为:，，读作“ ”.
知识点3:命题的否定
1、全称量词命题的否定
全称量词命题：，，它的否定： .
全称量词命题的否定是 .
2、存在量词命题的否定
存在量词命题：，，它的否定： .
存在量词命题的否定是全称量词命题.
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题型展示
小
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题型一:充分条件与必要条件的判断
【例1】设， ，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2023·全国甲卷）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
题型二:命题的否定
【例2】设命题，则为
A． B．
C． D．
【变式2】命题“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
题型三:命题的真假判断
【例3】（2020·全国新Ⅰ卷）下列命题为真命题的是（ ）
A．且 B．或
C．， D．，
【变式3】（2024·全国新Ⅱ卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
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考场演练
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题型1 充分、必要条件
【题1】（2024·全国甲卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【题2】（2020全国新Ⅰ卷）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题3】（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题4】（2024·北京）设 ，是向量，则“”是“或”（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题5】（2023·北京）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题6】（2023·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题7】（2023·全国新Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【题8】（2022·浙江）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题9】（2022·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题10】（2021·全国甲卷）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
题型2 全称量词与存在量词
【题11】（2024·全国新Ⅱ卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【题12】（2016·浙江）命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【题13】（2015·浙江）命题“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【题14】（2015·全国）设命题，则为
A． B．
C． D．
【题15】（2015·湖北）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
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第02讲 常用逻辑用语
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 充分条件与必要条件 (2) 全称量词与存在量词 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年I卷，5分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大. （2）重点是充分、必要条件的判断和全称量词与存在量词，主要考查充分、必要条件的判断，全称量词命题和存在量词命题的否定及真假判断，常与一元二次不等式解法、分式不等式解法、数列、三角函数结合. （3）适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.
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考试要求
小
)
1、理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义；
2、理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系；
3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定；
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1:充要条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若，则”为真命题，是指由推出，记作，即是的充分条件，是的必要条件.
“若，则”为假命题，那么由推不出，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件.
2、充要条件
如果“若，则”和它的逆命题“若则”均是真命题，即既有，又有，记作，则是的充分必要条件，简称为充要条件.
“是的充要条件”,也说成“等价于”或“当且仅当”等.
3、充分、必要条件的判断
关系 判断方法 用集合表示的判断方法
是的充分不必要条件 且 是的真子集
是的必要不充分条件 且 是的真子集
是的充要条件 且
是的既不充分也不必要条件 且
知识点2:全称量词与存在量词
1、全称量词
短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题“对中的任意一个，有成立”
可用符号简记为:，，读作“对任意属于，有成立”.
2、存在量词
短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，用符号“”表示.
常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在中的元素，使成立”
可用符号简记为:，，读作“存在中的元素，使成立”.
知识点3:命题的否定
1、全称量词命题的否定
全称量词命题：，，它的否定：，.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
2、存在量词命题的否定
存在量词命题：，，它的否定：，.
存在量词命题的否定是全称量词命题.
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题型展示
小
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题型一:充分条件与必要条件的判断
【例1】设， ，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
：，即，充分性成立；
：或，即，必要性不成立；
故是的充分不必要条件；答案为A.
【变式1】（2023·全国甲卷）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
甲乙：当时，例如，但，即不能使成立；
乙甲：当时，，即 .甲是乙的必要不充分条件.答案为B
题型二:命题的否定
【例2】设命题，则为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
命题的否命题为，答案为C.
【变式2】命题“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【答案】D
【解析】
由定义，可知命题“且的否定形式是或，答案选D.
题型三:命题的真假判断
【例3】（2020·全国新Ⅰ卷）下列命题为真命题的是（ ）
A．且 B．或
C．， D．，
【答案】D
【解析】
A选项：因为，所以且是假命题，A错；
B选项：根据、，可得B错；
C选项：由余弦函数性质，，C错；
D选项：恒大于等于，D正确，答案为D.
【变式3】（2024·全国新Ⅱ卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【解析】
对，取，则，故是假命题，是真命题；
对，取，则，故是真命题，是假命题，
故和都是真命题.答案为B.
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考场演练
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题型1 充分、必要条件
【题1】（2024·全国甲卷）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】
根据向量垂直和平行的坐标表示得到方程.
对选项A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对选项B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不成立，故D错误.
答案为C.
【题2】（2020全国新Ⅰ卷）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直接求解法
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，则“”是“”的充分不必要条件，答案选A.
【题3】（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
根据立方的性质和指数函数性质，和都当且仅当，故二者互为充要条件，答案为C.
【题4】（2024·北京）设 ，是向量，则“”是“或”（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
，，即，可等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；故“”是“且”的必要不充分条件.答案为B.
【题5】（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】直接求解法
充分性：，且，所以，
，充分性成立；
必要性：，且，
，必要性成立.
故“”是“”的充要条件.答案为C.
【题6】（2023·天津）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，故成立，必要性成立；
是的必要不充分条件.答案为B
【题7】（2023·全国新Ⅰ卷）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】
甲乙：为等差数列，设其首项为，公差为，则，
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
乙甲：为等差数列，即为常数，设为，即，有，两式相减得：，即，对也成立，为等差数列，则甲是乙的必要条件，甲是乙的充要条件，答案为C.
【题8】（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
则当，是的充分不必要条件.答案为A.
【题9】（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，， “是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. “是递增数列”“存在正整数，当时，”.
故 “是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.答案为C.
【题10】（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
由题意，当数列为时，满足，但是不是递增数列，甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则有成立，若不成立，会出现一正一负的情况，矛盾，则成立，所以甲是乙的必要条件．答案为B．
题型2 全称量词与存在量词
【题11】（2024·全国新Ⅱ卷）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【解析】
对，取，则，故是假命题，是真命题；
对，取，则，故是真命题，是假命题，
故和都是真命题.答案为B.
【题12】（2016·浙江）命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【答案】D
【解析】
的否定是，的否定是，的否定是．答案选D．
【题13】（2015·浙江）命题“且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【答案】D
【解析】
由定义，可知命题“且的否定形式是或，答案选D.
【题14】（2015·全国）设命题，则为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
命题的否命题为，答案为C.
【题15】（2015·湖北）命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
由定义可知，命题的否定为：，，答案为C.
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