资源简介

(共34张PPT)
4．3.1　对数的概念
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
最新课程标准
1. 理解对数的概念．
2．理解对数的性质．
学科核心素养
1. 理解对数的概念．(数学抽象)
2．掌握指数与对数的互化、简单求值．(数学运算)
教材要点
要点一　对数的概念
1．定义：如果＝N(a＞0，且a≠1)，那么数_____叫做以________为底________的对数，记作b＝logaN.
2．相关概念
(1)底数与真数
其中，_____叫做对数的底数，________叫做真数．
b
a
(正)数N
a
N
状元随笔　logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
要点二　对数与指数间的关系
当a＞0，且a≠1时，ab＝N b＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．
状元随笔　
要点三　对数的性质
性质1 ________没有对数
性质2 1的对数是_____，即loga1＝__(a＞0，且a≠1)
性质3 底数的对数是______，即logaa＝______(a＞0，且a≠1)
要点四　对数恒等式
alogaN＝N(a＞0且a≠1，N＞0).
b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
零和负数
0
0
1
1
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)
(2)因为(－4)2＝16，所以log(－4)16＝2.(　　)
(3)因为3x＝81，所以log813＝x.(　　)
(4)log32＝log23.(　　)
×
×
×
×
2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．loga2＝M D．log2a＝M
答案：B
解析：由对数的定义可知logaM＝2.
3．若log8x＝，则x的值为(　　)
A．　　　　B．4 C．2　　 D．
答案：A
解析：由对数与指数的互化可得：x＝＝＝.
4．＋log21＝________．
2
解析：原式＝2＋0＝2.
题型探究 课堂解透
题型1　对数的概念
例1　(1)在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　)
A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3，4)
(2)将下列指数式、对数式互化．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④＝6.
解析：(1)由对数的定义可知
解得x>3且x≠4.
故选B.
(2)①由54＝625得log5625＝4.
②由log216＝4得24＝16.
③由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.
④由＝6得()6＝125.
方法归纳
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
跟踪训练1　(1)(多选)下列指数式与对数式的互化正确的是(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．log39＝2与＝3
C．＝与＝－
D．log77＝1与71＝7
(2)对数式log(x－1)(x＋2)中x的取值范围是________．
答案：(1)ACD　(2)(1，2)∪(2，＋∞)
解析：(1)对于A，e0＝1可化为0＝loge1＝ln 1，所以A中互化正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B中互化不正确；对于C，＝可化为＝－，所以C中互化正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D中互化正确．故选ACD.
题型2　对数的计算
例2　求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)log7(x＋2)＝2；
(3)logx27＝.
解析：(1)∵4x＝5·3x，
∴＝5，∴(＝5，
∴x＝.
(2)∵log7(x＋2)＝2，
∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3) ∵logx27＝，∴＝27，
∴x＝＝32＝9.
方法归纳
(1)logaN＝x与ax＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)是等价的，转化前后底数不变．
(2)对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
跟踪训练2　求下列各式中x的值：
(1)log2x＝；(2)log216＝x；(3)logx27＝3.
解析：
(1)∵log2x＝，∴x＝，∴x＝.
(2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24，
∴x＝4.
(3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即x3＝33，
∴x＝3.
题型3　对数的性质及对数恒等式的应用
例3　(1)已知log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________；
(2)计算：＋102＋lg 2＋eln 3.
答案：(1)81　(2)见解析
解析：(1)∵log2[log4(log3x)]＝0＝log21
∴log4(log3x)＝1.
又log4(log3x)＝log44＝1，
∴log3x＝4，∴x＝34＝81.
(2)原式＝5·＋102·10lg 2＋eln 3
＝5×3＋102×2＋3
＝218.
方法归纳
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．利用对数恒等式求解的方法
首先利用指数运算性质变形，变形为alogab的形式，再利用对数恒等式计算求值．
跟踪训练3　(1) ＝(　　)
A． B．
C．＋ D．2
(2)计算：log3[log3(log28)]＝________．
A
0
解析：(1)＝2－1·2＝×＝.
(2)log3[log3(log28)]＝log3[log3(log223)]＝log3(log33)＝log31＝0.
易错辨析　忽视对数的底数致误
例4　使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)
A．(，1)∪(1，＋∞) B．(0，)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D． (- ∞,-)
解析：使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足
解得0＜a＜.
答案：B
易错警示
易错原因 纠错心得
忽视了底数a的范围致误，易错选D. 对数式中只要底数和真数都含有参数，都需要考虑，否则致错．
课堂十分钟
1．若a＞0，且a≠1，c＞0，则将ab＝c化为对数式为(　　)
A．logab＝c B．logac＝b C．logbc＝a D．logca＝b
答案：B
解析：由对数的定义直接可得logac＝b.
2．若log2(logx9)＝1，则x＝(　　)
A．3 B．±3 C．9 D．2
答案：A
解析：∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.
3．在log3(m－1)中，实数m的取值范围是(　　)
A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
答案：D
解析：由m－1>0得m>1.
4．式子＋的值为________．
5
解析：由对数性质知，＝5，＝0，故原式＝5.
5．求下列各式中x的值：
(1)若＝1，求x的值；
(2)若-1)＝0，求x的值．
解析：(1)∵＝1，∴＝3，
∴1＋2x＝9，∴x＝4.
(2)∵log2 021(x2－1)＝0，
∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±.湘教版高中数学必修第一册-4.3.1对数的概念-同步练习【原卷版】
(时间:45分钟　分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)计算:lg 4+2lg 5+log28+=(　　)
A.8 B.9 C.10 D.1
2.(5分)函数f(x)=的定义域为(　　)
A. (,1] B. [,1) C. (-∞,] D.[1,+∞)
3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于(　　)
A.log2x B. C.lox D.2x-2
4.(5分)设a=log2,b=()0.3,则有(　　)
A.a+b>ab B.a+bC.a+b=ab D.a-b=ab
5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=ax的图象如图所示,则函数f(x)=loga(-x+1)的部分图象大致为(　　)
6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
C.函数f(x)在区间[-,1]上的最小值为0
D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]
7.(5分)已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=　　　　　　　.
8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是　　　　　.
9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是　　　　.
10.(10分)已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在[1,]上的值域.
11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.
(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;
(2)当≤x≤8时,求函数f(x)的值域.
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则(　　)
A.f(ln 2)=ln
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln 2
13.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若-1湘教版高中数学必修第一册-4.3.1对数的概念-同步练习【解析版】
(时间:45分钟　分值:85分)
【基础落实练】
1.(5分)计算:lg 4+2lg 5+log28+=(　　)
A.8 B.9 C.10 D.1
【解析】选B.因为lg 4+2lg 5=lg 4+lg 52=lg 4+lg 25=lg 100=2,log28=log223=3,
=(23=22=4,所以lg 4+2lg 5+log28+=2+3+4=9.
2.(5分)函数f(x)=的定义域为(　　)
A. (,1] B. [,1) C. (-∞,] D.[1,+∞)
【解析】选A.由题意,要使函数f(x)=有意义,则满足log0.5(2x-1)≥0,
所以0<2x-1≤1,解得即函数f(x)的定义域为(,1].
3.(5分)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数且f(2)=1,则f(x)等于(　　)
A.log2x B. C.lox D.2x-2
【解析】选A.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2.故f(x)=log2x.
4.(5分)设a=log2,b=()0.3,则有(　　)
A.a+b>ab B.a+bC.a+b=ab D.a-b=ab
【解析】选A.因为a=log2=-log23,即-()1=,
所以a+b>0,ab<0,所以a+b>ab.
5.(5分)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1,函数y=ax的图象如图所示,则函数f(x)=loga(-x+1)的部分图象大致为(　　)
【解析】选D.由函数y=ax的图象可判断出a>1.
当a>1时,y=logax的图象经过定点(1,0),且为增函数.
因为y=logax与y=loga(-x)的图象关于y轴对称,
所以y=loga(-x)的图象经过定点(-1,0),为减函数.
而f(x)=loga(-x+1)可以看作y=loga(-x)的图象向右平移1个单位长度得到的.
所以f(x)=loga(-x+1)的图象经过定点(0,0),为减函数.
6.(5分)(多选题)已知函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B.函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
C.函数f(x)在区间[-,1]上的最小值为0
D.若对任意x∈[1,2],f(x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是(1,2]
【解析】选ACD.将(0,0)代入函数f(x)=|loga(x+1)|(a>1),成立,故A正确;
当x∈(0,+∞)时,x+1∈(1,+∞),又a>1,所以f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1),由复合函数单调性可知,当x∈(0,+∞)时,f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)单调递增,故B错误;
当x∈[-,1]时,x+1∈[,2],
所以f(x)=|loga(x+1)|≥loga1=0,故C正确;
当x∈[1,2]时,f(x)=|loga(x+1)|=loga(x+1)≥1恒成立,所以由函数为增函数知loga2≥1,解得17.(5分)已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815=　　　　　　　.
【解析】log1815====.
答案:
8.(5分)(2023·泸州模拟)若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是　　　　　.
【解析】因为y=f(x)与y=5x互为反函数,
所以f(x)=log5x,则f(x2-2x)=log5(x2-2x).
设μ=x2-2x,则f(μ)=log5μ,
由x2-2x>0,解得x<0或x>2,
因为f(μ)=log5μ在其定义域上单调递增,
又μ=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以y=f(x2-2x)的单调递减区间是(-∞,0).
答案:(-∞,0)
9.(5分)已知f(x)=ln(x2+2x+m).若f(x)的值域为R,则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】因为f(x)的值域为R,所以x2+2x+m取遍大于0的所有实数,则4-4m≥0,解得m≤1,所以实数m的取值范围是(-∞,1].
答案:(-∞,1]
10.(10分)已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
【解析】(1)由f(2)=2得,loga2+loga(4-2)=2,解得a=2,所以f(x)=log2x+log2(4-x).
由解得0(2)求f(x)在[1,]上的值域.
【解析】(2)由(1)及条件知f(x)=log2x+log2(4-x)=log2[x(4-x)]=log2[-(x-2)2+4],
设t(x)=-(x-2)2+4,x∈[1,],
则当x=2时,t(x)max=4;
当x=1时,t(x)=3;当x=时,t(x)=,
所以当x∈[1,]时,t(x)∈[,4],
所以f(x)max=log24=2,f(x)min=log2=log27-2,
所以f(x)在[1,]上的值域为[log27-2,2].
11.(10分)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x-2.
(1)若f(x)≤0,求x的取值范围;
【解析】(1)令log2x=t,
则y=t2-t-2,t∈R,
由f(x)≤0得t2-t-2≤0,解得-1≤t≤2,
所以-1≤log2x≤2,解得≤x≤4,
即x的取值范围为[,4].
(2)当≤x≤8时,求函数f(x)的值域.
【解析】(2)当≤x≤8时,-2≤t≤3,
因为y=t2-t-2,
则当t=时,有最小值-;
当t=-2或3时,有最大值4.
所以函数f(x)的值域为[-,4].
【能力提升练】
12.(5分)(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x+1)-x,则(　　)
A.f(ln 2)=ln
B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,+∞)上单调递增
D.f(x)的最小值为ln 2
【解析】选ACD.f(ln 2)=ln(e2ln 2+1)-ln 2=ln ,A正确;
f(x)=ln(e2x+1)-x=ln(e2x+1)-ln ex=ln=ln(ex+e-x),
所以f(-x)=ln(ex+e-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,B错误;
当x>0时,y=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,
因此y=ln(ex+e-x)在(0,+∞)上单调递增,C正确;
由于f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)为偶函数,
所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(0)=ln 2,D正确.
13.(5分)设实数a,b是关于x的方程|lg x|=c的两个不同实数根,且a【解析】由题意知,在(0,10)上,函数y=|lg x|的图象和直线y=c有两个不同交点(如图),
所以ab=1,0所以abc的取值范围是(0,1).
答案:(0,1)
14.(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式;
【解析】(1)当x<0时,-x>0,
由题意知f(-x)=loga(-x+1),
又f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以当x<0时,f(x)=loga(-x+1),
所以函数f(x)的解析式为
f(x)=
(2)若-1【解析】(2)因为-1所以loga①当a>1时,原不等式等价于
解得a>2;
②当0解得0综上,实数a的取值范围为(0,)∪(2,+∞).

展开更多......

收起↑