资源简介

保密★启用前
2025 届新高三学情摸底考 01（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四
个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置
上.
1．设集合 A = {x | -1 < x < 3}，B = 1,2,3 ，则 AI B =（ ）
A． 1 B． 1,2 C． 3 D． 1,3
2．已知 i为虚数单位， z = 1- i 3+ i ，则在复平面内 z 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
r r r r r r r
3．向量 a = 1,1 ,b = 2,l -1 ,c = 2,-3 ，且 a + b ∥ c - b ，则实数l =（ ）
A．5 B．-5 C．2 D．-2
ex4 f x + 2sin x．设函数 = ，则曲线 y = f x 在点 0,12 处的切线与两坐标轴所围成的三角1+ x
形的面积为（ ）
1 1
A． B C 1． ． 2 D
2
．
6 3 3
5．若 tana = 2
cos 2a
，则 sin 2 cos2 的值为（a + a ）
3 3 2
A 1．- B．- C． D．
4 5 5 2
6．已知eC : x2 + y2
1
+ x - 2y + = 0 ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
2
1
A 3． - ,1 B -1,2
è 2 ÷
， ． ， 3
2
1C ． ,1÷， 3 D． 1,-2 32 ，è 2
7．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力 开放的心态 丝绸之路的
畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西
风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图 1）就是其中一
件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如
2 . r 10πr
3
图 所示已知球的半径为 ，酒杯容积为 ，则其内壁表面积为（ ）
3
A 10πr
2 2 2
． B 14πr 22πr． 4πr 2 C． D．
3 3 3
x2 y28．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F1, F2 ，曲线C 上存在一点 P ，使得a b
△PF1F2 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率是（ ）
A 3 +1． B． 2 C D
5 +1
． 2 +1 ．
2 2
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有
选错的得 0 分.
9．已知事件 A, B满足P A = 0.3，P B = 0.5，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件 A 与事件 B 相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B．事件 A 与事件 B 可能为对立事件
C．若事件 A 与事件 B 相互独立，则P AB = 0.15
D．若事件 A 与事件 B 互斥，则P AU B = 0.8
10．若函数 f x = tan 2x π+j j < ÷的图象经过点P 0,1 ，则（2 ）è
π
A ,0 ．点 f x
è 8 ÷
为函数 图象的对称中心

B．函数 f x 的最小正周期为 π
C．函数 f x é0, π 在区间 ê ÷ 上的函数值范围为 1, + 8
f x é kπ π , kπ π D．函数 的单调增区间为 ê - + ÷ k Z 2 8 2 8
11．已知定义在R 上的函数 f x ，对任意 x, y R 有 f x + y = f x + f y ，其中
f 1 1= ；当 x > 0时， f x > 0，则（ ）
2
A． f x 为R 上的单调递增函数
B． f x 为奇函数
f x
C．若函数 f x 为正比例函数，则函数 g x = x 在 x = 0处取极小值e
D．若函数 f x 为正比例函数，则函数 h x = f x - 2sinx -1有两个零点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在 x +1 2 + x +1 3 + x +1 4 + + x +1 10 展开式中，含 x 2项的系数是 .（用
数字作答）
13．在VABC 中， ACB =120o , AC = 2, AB = 7, ACB的角平分线交 AB 于D，则
CD = .
x2 y214．已知F1, F2 分别为椭圆C : + 2 =1(4 > b > 0) 的左，右焦点，A 为椭圆C 的上顶点，且16 b
△AF1F2 为等边三角形；过F1且垂直于 AF2 的直线与椭圆C 交于D, E 两点，则VADE 的周长
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（13 分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文
明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，
举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩
（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60) ，…，[90,100]
得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 a 的值；
(2)求样本成绩的第 75 百分位数；
(3)已知落在[50,60) 的平均成绩是 56，方差是 7，另一组落在已知[60,70)内，且两组成绩的
总平均数 z 为 62 和总方差 s2 为 23.求落在[60,70)的平均成绩以及方差.
16．（15 分）已知数列 an 是等差数列，且 a1 + a3 + a5 =18,a2 = 2a1 .
(1)求 an 的通项公式；
4
(2)设bn = b n Sa a ，求数列 n 的前 项和 n .n n+1
17．（15分）如图，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面ABC，PA ^ AC ，PA = AB = BC =1，
PC = 3 ，点 M 为 AC 的中点．
(1)求证：平面PBC ^平面 PAB；
(2)线段 PC
PN
上是否存在点 N，使得PC ^平面 BMN 若存在，求 PC 的值；若不存在，请说明
理由．
18 2．（17 分）已知动圆 P 过点F2(2,0) ，并且与圆F1 : (x + 2) + y
2 = 4外切，设动圆的圆心 P
的轨迹为 C.
(1)直线F2Q与圆F1相切于点 Q，求 F2Q 的值；
(2)求曲线 C 的方程；
1
(3)过点F2 的直线 l1与曲线 C 交于 E，F 两点，设直线 l : x = ，点D(-1,0)，直线ED交 l于2
点 M，证明直线 FM 经过定点，并求出该定点的坐标.

19．（17 2分）对于函数 f x ，规定 f x = é f x ù ， f x = é f x ù ，…，
f n x = é f n-1

x ù f
n
， x 叫做函数 f x 的 n 阶导数．若函数 f x 在包含 x0 的某个闭
区间 a,b 上具有 n 阶导数，且在开区间 a,b 上具有 n +1 阶导数，则对闭区间 a,b 上任意
2 n
一点 x， f x = f x0 + f x0 x - x0 + f x0 f xx - x 20 +L+ 0 x - x
n
0 + R x ，2! n! n
该公式称为函数 f x 在 x = x0处的 n 阶泰勒展开式，R n x 是此泰勒展开式的 n 阶余项．已
知函数 f x = ln x +1 ．
(1)写出函数 f x 在 x =1处的 3 阶泰勒展开式（R n x 用R 3 x 表示即可）；
(2)设函数 f x 在 x = 0处的 3 阶余项为 g x ，求证：对任意的 x -1,1 ， g x 0 ；
(3) 1
1
+ 1 1+ 1 1+ L
27
1 1+ < e22 n N*求证： 2 ÷ 22 ÷ ÷ ÷ ．è è è 23 è 2n 保密★启用前
2025 届新高三学情摸底考 01（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将
准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四
个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置
上.
1．设集合 A = {x | -1 < x < 3}，B = 1,2,3 ，则 AI B =（ ）
A． 1 B． 1,2 C． 3 D． 1,3
【答案】B
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为 A = {x | -1 < x < 3}，B = 1,2,3 ，
所以 AI B = 1,2 .
故选：B
2．已知 i为虚数单位， z = 1- i 3+ i ，则在复平面内 z 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数乘法可得 z = 4- 2i，再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断.
【详解】由题意可得： z = 1- i 3+ i = 4 - 2i ，则 z = 4 + 2i ，
所以在复平面内 z 的共轭复数对应的点位 4,2 ，位于第一象限.
故选：A.
r r r r r r
3．向量 a = 1,1 ,b = 2,l r-1 ,c = 2,-3 ，且 a + b ∥ c - b ，则实数l =（ ）
A．5 B．-5 C．2 D．-2
【答案】D
r r r
【分析】根据向量的线性运算可得 a + b ,cr - b ，结合向量平行的坐标运算分析求解.
r r r r
【详解】因为 a = 1,1 ,b = 2,l -1 ,cr 2, 3 ar b 3, ,cr= - ，则 + = l - b = 0,-2 - l ，
ar r r r若 + b ∥ c - b ，则3 -2 - l = l 0，解得l = -2 .
故选：D.
x
4．设函数 f x e + 2sin x= y = f2 ，则曲线 x 在点 0,1 处的切线与两坐标轴所围成的三角1+ x
形的面积为（ ）
1 1
A B C 1 2． ． ． 2 D．6 3 3
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 0,1 处的切线方程，即可得其与坐标轴的交
点坐标，即可得其面积.
ex + 2cos x 1+ x2 - ex + 2sin x ×2x
【详解】 f x = ，
21+ x2
e0 + 2cos 0 1+ 0 - e0 + 2sin 0 0
则 f 0 = 2 = 3， 1+ 0
即该切线方程为 y -1 = 3x ，即 y = 3x +1，
令 x = 0，则 y =1，令 y = 0
1
，则 x = - ，
3
S 1 1 1 1故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 = - = .
2 3 6
故选：A.
5．若 tana 2
cos 2a
= ，则 sin 2a + cos2 的值为（a ）
3 - 3 2A．- B． C． D 1．
4 5 5 2
【答案】B
【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.
2 2 2 2
【详解】由 tana = 2 cos 2a cos a - sin a 1- tan a 1- 2 3，得 = = = = - .
sin 2a + cos2 a 2sina cosa + cos2 a 2 tana +1 2 2 +1 5
故选：B
6．已知eC : x2 + y2 + x
1
- 2y + = 0 ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
2
1
A 3． - ,1÷， B． -1,22 ， 3è 2
1C ,1 D 3． 2 ÷， 3 ． 1,-2 ，è 2
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解.
2
【详解】eC : x2 + y2 + x - 2y
1
+ = 0 1 2 3的标准方程为 x + ÷ + y -1 = ，故所求分别为2 è 2 4
1
- ,1
3
2 ÷，
.
è 2
故选：A.
7．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力 开放的心态 丝绸之路的
畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西
风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图 1）就是其中一
件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如
3
图 2 所示. 10πr已知球的半径为 r ，酒杯容积为 ，则其内壁表面积为（ ）
3
A 10πr
2 2 2
． B 14πr 22πr． 4πr 2 C． D．
3 3 3
【答案】D
1 4 10πr3 8
【分析】设圆柱的高为 h ，内壁的表面积为S ，可得 πr3 + πr 2 gh = ，可得 h = r ，
2 3 3 3
利用几何体的几何特征可求内壁表面积.
【详解】设圆柱的高为 h ，内壁的表面积为S ，
1 4 3
由题意可知： πr3 10πr
8
+ πr 2 gh = ，解得 h = r ，
2 3 3 3
内壁的表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积，
即 S = 2πrgh
1
+ 4πr 2 = 2πr 8 r + 2πr 2 22= πr 2 .
2 3 3
故选：D.
x28 y
2
．已知双曲线C : 2 - = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为F , F ，曲线C 上存在一点 P ，使得a b2 1 2
△PF1F2 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率是（ ）
A 3 +1． B． 2 C． 2 +1 D
5 +1
．
2 2
【答案】C
【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可.
【详解】如图所示，△PF1F2 为等腰直角三角形，且 | F1F2 |=| PF2 |= 2c ，
运用勾股定理，知道根据 | PF1 |= 2 2c ．由双曲线定义，知道 | PF1 | - | PF2 |= 2a，
c 2
即 2 2c - 2c = 2a，解得 = = 2 +1a ，故离心率为：2 2 - 2 2 +1
.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四
个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有
选错的得 0 分.
9．已知事件 A, B满足P A = 0.3，P B = 0.5，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件 A 与事件 B 相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B．事件 A 与事件 B 可能为对立事件
C．若事件 A 与事件 B 相互独立，则P AB = 0.15
D．若事件 A 与事件 B 互斥，则P AU B = 0.8
【答案】ACD
【分析】选项 A，利用相互独立事件的定义，即可求解；选项 B，利用对立事件的概率和为
1，即可求解；选项 C，利用相互独立事件的概率公式，即可求解；选项 D，利用互斥事件
的概率公式，即可求解.
【详解】对于选项 A，根据相互独立事件的定义易知选项 A 正确；
对于选项 B，对立事件的概率和为 1，但P A + P B = 0.8 1．故选项 B 错误；
对于选项 C，根据相互独立事件的定义，P AB = P A P B = 0.15，故选项 C 正确；
对于选项 D，事件 A 与事件 B 互斥，则P A B = P A + P B = 0.8，故选项 D 正确.
故选：ACD．
10．若函数 f x = tan 2x +j j
π
< ÷的图象经过点P 0,1 ，则（ ）
è 2
π
A ．点 ,0

8 ÷为函数
f x 图象的对称中心
è
B．函数 f x 的最小正周期为 π
é π
C．函数 f x 在区间 ê0, ÷ 上的函数值范围为 1, + 8
f x é kπ πD．函数 的单调增区间为 ê - ,
kπ π
+ k Z
2 8 2 8 ÷
【答案】ACD
【分析】先求出 f x 解析式，对于 A，求出函数 f x 的对称中心即可判断；对于 B，由解
π
析式及最小正周期公式求解即可；对于 C，根据变量范围得出角 2x + 的范围即可得出函数
4
f x 的函数值范围；对于 D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）
函数图象性质得出函数 f x 的单调增区间.
f 0 = tanj =1 j π π π 【详解】由题 ，又 < ，故j = ，所以 f x = tan2 4 2x + ÷， è 4
2x π kπ kπ π对于 A，令 + = ,k Z ，则 x = - ,k Z，
4 2 4 8
kπ π
所以 f x 的对称中心为 - ,0÷ ,k Z，
è 4 8
π πk 当 =1时， x = ，故点 ,0÷为函数 f x 8 图象的一个对称中心，故 A 正确；8 è
π π
对于 B，由上 f x 的最小正周期为T = = ，故 B 错误；
w 2
x é0, π π π对于 C，当 ê ÷， 2x +
é
ê ,
π
÷ ，故 f x = tan
2x π+ ÷ 1, + ，故 C 正确；
8 4 4 2 è 4
π π π
对于 D，令 kπ - < 2x + < kπ + ,k Z
kπ 3π x kπ π ，所以 - < < + ,k Z，
2 4 2 2 8 2 8
所以函数 f x ì的单调递增区间为 íx | kπ 3π x kπ π- < < + , k Zü ，无单调递减区间，
2 8 2 8
令 f x = 0 即 tan 2x
π
+ π÷ = 0，所以 2x + = kπ,k
kπ π
Z即 x = - ,k Z，
è 4 4 2 8
所以函数 f x x kπ π的零点为 = - ,k Z，
2 8
f x é kπ π , kπ π- + 所以函数 的单调递增区间为 ê ÷ k Z ，故 D 正确. 2 8 2 8
故选：ACD.
11．已知定义在R 上的函数 f x ，对任意 x, y R 有 f x + y = f x + f y ，其中
f 1 1= ；当 x > 0时， f x > 0，则（ ）
2
A． f x 为R 上的单调递增函数
B． f x 为奇函数
C．若函数 f x f x 为正比例函数，则函数 g x = x 在 x = 0处取极小值e
D．若函数 f x 为正比例函数，则函数 h x = f x - 2sinx -1有两个零点
【答案】AB
【分析】选项 A，利用函数单调性的定义，设 x2 = x1 + t ， t > 0，得出 f x2 - f x1 = f t > 0
即可得证；选项 B，先得出 f 0 = 0，再设 y = -x，得出 f x + f -x = 0，即可得证；选
项 C，在 f x 1= x 前提下，求函数 g x 的导函数 g x ，分析导函数 g x 的正负，得出
2
函数 g x 1的单调性以及极值即可；选项 D，在 f x = x 前提下，函数
2
h(x) 1= x - 2sin x -1，利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可.
2
【详解】对于选项 A，设 x2 > x1 ，且 x2 = x1 + t ， t > 0，
f x2 = f x1 + f t ，即 f x2 - f x1 = f t > 0，
故 f x 单调递增，选项 A 正确；
对于选项 B， f x 是定义在R 上的函数，取 x = y = 0 ，则 f 0 = 0，
取 y = -x，则 f x + f -x = 0，即 f -x = - f x ，
故 f x 是奇函数，选项 B 正确；
1
对于选项 C、D，设 f x = kx ，代入 f (1) = ，得 f x 1= x ，
2 2
f x x
其中 C 选项， g x = = ， g x 1- x=
ex 2ex 2ex
，
当 x <1时， g x > 0， g(x)在区间 (- ,1)上单调递增，
当 x >1时， g x < 0， g(x)在区间 (1, + )上单调递减，
f x 函数 g x = x 在 x =1处取极大值，无极小值，选项 C 错误；e
h(x) 1其中 D 选项，函数 = x - 2sin x -1，
2
其中 h -π π= - - 2sin π-π -1 = - -1< 0，
2 2
h π π π π - ÷ = - - 2sin

- ÷ -1 =1- > 0 ， h 0 = -1< 0 ，
è 2 4 è 2 4
h π π 2sinπ 1 π= - - = -1 > 0，
2 2
π π
由零点存在性定理可知，函数 h(x) 分别在区间 (-π,- )， (- ,0) 和 (0, π) 上
2 2
各至少存在一个零点，选项 D 错误；
故选：AB
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在 x +1 2 + x +1 3 + x +1 4 + + x +1 10 展开式中，含 x 2项的系数是 .（用
数字作答）
【答案】165
【分析】根据二项式定理及组合数的性质计算可得.
【详解】 x +1 2 + x +1 3 + x +1 4 + + x +1 10
= 1+ x 2 + 1+ x 3 + 1+ x 4 + + 1+ x 10，
n r r
其中 1+ x 展开式的通项为Tr+1 = Cn x （0 r n 且 r N ），
1+ x 2 + 1+ x 3所以 + 1+ x 4 + + 1+ x 10 展开式中含 x 2项的系数为：
C2 + C2 + C2 +L+ C2 = C3 + C2 + C2 +L+ C2 = C3 + C2 +L+ C22 3 4 10 3 3 4 10 4 4 10
= C35 + C
2
5 +L+ C
2
10
LL
= C3 2 310 + C10 = C11 =165 .
故答案为：165
13．在VABC 中， ACB =120o , AC = 2, AB = 7, ACB的角平分线交 AB 于D，则
CD = .
2
【答案】 3
21
【分析】在VABC 中，由余弦定理可得： BC =1，由正弦定理可得 sin B = ，根据角平分
7
2 7 CD BD
线的性质可得：DA = 2BD = ，在△BCD中，由正弦定理可得： = 即可
3 sin B sin DCB
求解.
【详解】因为在VABC 中， ACB =120o , AC = 2, AB = 7
由余弦定理可得： AB2 = AC 2 + BC 2 - 2AB × BC ×cos ACB，解得 BC =1
AC AB 2 7= 21
由正弦定理可得： = ，即 sin B 3 ，解得： ，sin B sin ACB sin B =
2 7
BD BC
因为 ACB 的角平分线交 AB 于 D，所以 BCD = 60° ，由角平分线性质可得： = ，DA AC
所以DA = 2BD 2 7= ，
3
7
CD 2
在△BCD
CD BD 3
中，由正弦定理可得： = ，即 = ，解得：CD =
sin B sin DCB 21 3 3
7 2
2
故答案为： 3
2 2
14 x y．已知F1, F2 分别为椭圆C : + 2 =1(4 > b > 0) 的左，右焦点，A 为椭圆C 的上顶点，且16 b
△AF1F2 为等边三角形；过F1且垂直于 AF2 的直线与椭圆C 交于D, E 两点，则VADE 的周长
为 ．
【答案】16
【分析】根据条件可得 AD = DF2 , AE = EF2 ，然后根据椭圆的定义可得
【详解】
2 2
由C : x y+ =1(4 > b > 0) ，得 a = 4
16 b2
因为△AF1F2 为等边三角形， AF1 = AF2 = a = 2c = 4，
且过F1且垂直于 AF2 的直线与椭圆C 交于D, E 两点，
所以 DE 为线段 AF 的垂直平分线，
得 AD = DF2 , AE = EF2 ，
则VADE 的周长为 AD + AE + DE = DF2 + EF2 + DF1 + EF1 = 2a + 2a = 4a = 4 4 =16，
故答案为：16
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（13 分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文
明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，
举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩
（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60) ，…，[90,100]
得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 a 的值；
(2)求样本成绩的第 75 百分位数；
(3)已知落在[50,60) 的平均成绩是 56，方差是 7，另一组落在已知[60,70)内，且两组成绩的
总平均数 z 为 62 和总方差 s2 为 23.求落在[60,70)的平均成绩以及方差.
【答案】(1) a = 0.030 (2)84.(3)平均数为 65，方差为 4
【分析】（1）根据频率之和为 1 即可求解，
（2）根据百分位数的计算公式即可求解，
（3）根据平均数的计算可得[60,70)的平均数，即可利用总体方差公式即可求解.
【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为 1 得， 0.05 + 0.1+ 0.2 +10a + 0.25 + 0.1 = 1，所以
a = 0.030 .
（2）成绩落在[40,80)内的频率为0.05 + 0.1+ 0.2 + 0.3 = 0.65，
落在[40,90) 内的频率为0.05 + 0.1+ 0.2 + 0.3 + 0.25 = 0.9 ，
显然第 75 百分位数m (80,90) ，由0.65+(m-80) 0.025 = 0.75，
解得m = 84，所以第 75 百分位数为 84.
（3）由频率分布直方图知，成绩在[50,60) 的市民人数为100 0.1 =10，
成绩在[60,70)的市民人数为100 0.2 = 20，所以[60,70)的平均数为 x，方差为 t2，
z 10 56 + 20 x= = 62 ，则 x = 65 .
30
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
s2 1= 10 é 7 + 56 - 62 2 ù + 20 ét 2 + 65 - 62 2 ù = 23，计算可得方差为 4.10 + 20
16．（15 分）已知数列 an 是等差数列，且 a1 + a3 + a5 =18,a2 = 2a1 .
(1)求 an 的通项公式；
4
(2)设bn = ba a ，求数列 n 的前 n项和 Sn .n n+1
n
【答案】(1) an = 2n；(2) Sn = .n +1
ìa1 + a3 + a5 = 3a3 =18
【分析】（1）由题可得 í a ，从而求出
a3，d ，进而得到数列 an 的通项
3 - d = 2 a3 - 2d
公式；
1 1
（2）由（1）得bn = - ，采用裂项相消法求出 S .n n +1 n
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d , a1 + a3 + a5 = 3a3 =18，解得 a3 = 6 .
a2 = 2a1，可得 a3 - d = 2 a3 - 2d ，解得 d = 2 .
所以 an = a3 + 2 n - 3 = 2n .
4 1 1 1
（2）bn = = = -a a ，n n+1 n n +1 n n +1
S b b b L b 1 1 1 1 1 1 1 n所以 n = +

1 2 + 3 + + n = - ÷ + - +L+ - =1- =
è 2 è 2 3 ÷ è n n +1÷ n +1 n +1
17．（15分）如图，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面ABC，PA ^ AC ，PA = AB = BC =1，
PC = 3 ，点 M 为 AC 的中点．
(1)求证：平面PBC ^平面 PAB；
(2) PC N PC ^ BMN PN线段 上是否存在点 ，使得 平面 若存在，求 PC 的值；若不存在，请说明
理由．
PN 2
【答案】(1)证明见解析(2)存在， =
PC 3
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证；
（2）过点 M 作MN ^ PC 垂足为 F，根据线面垂直的判定可证PC ^平面 BMN，然后根据
平面几何知识求出CN
6 PN 2 3= ，进而求出 = 即可得.
6 3
【详解】（1）因为平面PAC ^平面 ABC，PA 平面PAC ，PA ^ AC ，平面PAC I平面 ABC
= AC，
所以PA ^平面 ABC，BC 平面 ABC，所以PA ^ BC ，
又PA =1，PC = 3 ，PA ^ AC ，所以 AC = PC2 - PA2 = 2 ,
又 AB = BC =1，所以 AC 2 = AB2 + BC 2 ，
所以 AB ^ BC ，又PA ^ BC ，PA, AB 是平面PAB内的两条相交直线，
所以BC ^平面PAB，又BC 平面PBC ，
所以平面PBC ^平面 PAB
（2）
PN 2
存在，当 = 时，PC ^平面 BMN，
PC 3
过点 M 作MN ^ PC 垂足为 F，
由（1）知PA ^平面 ABC，MB 平面 ABC，所以PA ^ MB ，
又点 M 为 AC 的中点， AB = BC =1，
所以MB ^ AC ，PA ^ MB ，PA, AC 是平面PAC 内的两条相交直线，
所以MB ^平面PAC ，又PC 平面PAC ，
所以MB ^ PC ，MN ^ PC ，MB, MN 是平面 BMN 内的两条相交直线，
所以PC ^平面 BMN，
由已知得 sin PCA
PA 1 3 MN
= = = = ，又MC
1
= AC 2=
PC 3 3 MC
，
2 2
3 MN MN 6
2 2
= =
CN 2
6 3
即 3 2 6 ，又 = ÷÷ - ÷÷ = ，
2 è 2 è 6 3
PN 3 2 3
PN 2
所以 = PC - CN = 3 - = ，所以 = ，
3 3 PC 3
PN 2
故当 = 时，PC ^平面 BMN，
PC 3
18．（17 分）已知动圆 P 过点F2(2,0) ，并且与圆F1 : (x + 2)
2 + y2 = 4外切，设动圆的圆心 P
的轨迹为 C.
(1)直线F2Q与圆F1相切于点 Q，求 F2Q 的值；
(2)求曲线 C 的方程；
1
(3)过点F2 的直线 l1与曲线 C 交于 E，F 两点，设直线 l : x = ，点D(-1,0)，直线ED交 l于2
点 M，证明直线 FM 经过定点，并求出该定点的坐标.
y2
【答案】(1) F2Q = 2 3 (2) x2 - =1， x > 0；(3)证明见解析，定点 1,0 3
【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解；
（2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解；
（3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理
表示 kFQ = kMQ ，即可求解定点.
【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，F1Q ^ F2Q ，
2
所以点 F2Q = F1F2 - 4 = 16 - 4 = 2 3 ；
（2）由题意可知，设动圆半径为 R ， PF2 = R ， PF1 = R + 2， F1F2 = 4，
即 PF1 - PF2 = 2 < 4，
所以点 P 是以F1, F2 为焦点的双曲线的右支， 2a = 2， 2c = 4，则b2 = 3，
y2
所以曲线C 的方程为 x2 - =1， x > 0；
3
（3）当直线 l1的斜率不存在时，E 2,3 ，F 2, -3 ，
直线ED : y = x +1 x
1 3 1
，当 =

，得 y = ，即M ,
3
，直线 FM : 3x + y - 3 = 0，
2 2 è 2 2 ÷
此时直线过点 1,0 ，
当直线 l1的斜率存在时，设直线 l1 : y = k x - 2 ，E x1, y1 ，F x2 , y2 ，
3y
直线ED : y
y
= 1 x +1 1 1
x +1 ，当 x = 时，
yM = 2 x +1 ，1 2 1

M 1 , 3y

1 ÷÷，
è 2 2 x1 +1
ìy = k x - 2 2
联立 í 2 2 ，得 3 - k x2 + 4k 2x - 3+ 4k 2 = 0，
3x - y = 3
4k 2 3+ 4k 2
3 - k 2 0， x1 + x2 = - ， x x = - ，3- k 2 1 2 3- k 2
-3y y
下面证明直线 FM 经过点Q 1,0 ，即证 kFQ = k 1 2MQ ， =x1 +1 x2 -1
，
把 y1 = k x1 - 2 ， y2 = k x2 - 2 代入整理得 4x1x2 - 5 x1 + x2 + 4 = 0，

4 3+ 4k
2
5 4k
2
4 12 +16k
2 - 20k 2
即 - - - + = + 4 = -4 + 4 = 0 ，
è 3- k
2 ÷ 3- k 2 ÷ 2 è k - 3
所以直线 FM 经过点 1,0 ，
综上可知，直线 FM 经过定点，定点坐标为 1,0 .

19 2．（17 分）对于函数 f x ，规定 f x = é f x ù ， f
x = é f x ù ，…，
f n

x = é f n-1 x ù
n
， f x 叫做函数 f x 的 n 阶导数．若函数 f x 在包含 x0 的某个闭
区间 a,b 上具有 n 阶导数，且在开区间 a,b 上具有 n +1 阶导数，则对闭区间 a,b 上任意
2
x f x = f x f x0 2 f
n x0 n一点 ， 0 + f x0 x - x0 + x - x0 +L+ x - x0 + R ，2! n! n x
该公式称为函数 f x 在 x = x0处的 n 阶泰勒展开式，R n x 是此泰勒展开式的 n 阶余项．已
知函数 f x = ln x +1 ．
(1)写出函数 f x 在 x =1处的 3 阶泰勒展开式（R n x 用R 3 x 表示即可）；
(2)设函数 f x 在 x = 0处的 3 阶余项为 g x ，求证：对任意的 x -1,1 ， g x 0 ；
1 1 1 1 27
(3) 1+ 1+ 1+ L 1+ *求证： ÷ 2 ÷ ÷ ÷ < e22 n N ．è 2 è 2 è 23 è 2n
1
【答案】(1) f x = ln 2 + x3 - 6x2 + 21x -16 ;(2)证明见详解；(3)证明见详解.24
【分析】（1）根据函数 f (x) 在 x =1处的3阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）根据泰勒公式的定义，计算函数 f (x) 在 x = 0处的3阶泰勒展开式余项
(4) 4
g(x) R (x) f (e)x x
4
= (3) = =- ，e4 介于 0 与 x 之间的常数，再通过导数判断单调性即4! 4(e +1)
可；
（3）计算函数 f (x) 在 x = 0处的 n阶泰勒展开式为
2 3 3 n 1
ln(x 1) x x x 4 x+ = - + - +L+ (-1)n-1 + R(n) (x) ,并得 ln(x +1) < x ，令 x = ，则2! 3! 4! n! 2n
ln( 1 +1) 1< ，再利用累加法即可证明.
2n 2n
【详解】（1）由题意，函数 f (x) = ln(x +1)，且 f (1) = ln 2，
则 f (x)
1
= , f (1) 1= ，
x +1 2
f (2) (x) -1= , f (2) (1) 1= -
(x +1)2 4 ，
f (3) (x) 2= , f (3) (1) 1=
(x +1)3 4 ，
所以函数 f (x) 在 x =1处的3阶泰勒展开式为：
(2) 2 (3) 3
f (x) = f (1) + f (1)(x -1) f (1)(x -1) f (1)(x -1)+ + + R
2! 3! (3)
(x)
ln 2 x -1 (x -1)
2 (x -1)3
= + - + + R (x)
2 8 24 (3)
= ln 2 1+ (x3 - 6x2 + 21x -16) .
24
（2）由（1）可知， f (0) = 0，f (0) =1，f (2) (0) = -1, f (3) (0) = 2，
f (4) (x) -6= , f (4) (e ) 6= -
(x ，+1)4 (e +1)4
所以函数 f (x) 在 x = 0处的3阶泰勒展开式为：
(2)
f (x) f (0) f (0)x f (0)x
2 f (3) (0)x3
= + + + + R
2! 3! (3)
(x)
x2x x
3
= - + + R
2 6 (3)
(x)，
f (4)R (x) (e)x
4
其中 (3) = ，e 介于 0 与 x 之间的常数，4!
f (4)g(x) (e )x
4 x4
所以 = = - 4 ，4! 4(e +1)
1
因为 4(e 1)4 为常数项，且
g(-x) = g(x)，
+
所以函数 g(x)为偶函数，
x3
因为 g x = - 4 ，e +1
当 x -1,0 时， g x > 0，所以 g x 在 (-1,0) 单调递增，
当 x 0,1 时， g x < 0，所以 g x 在( 0, 1)单调递减，
所以 g(x) g(0) = 0，
故对任意的 x (-1,1)， g(x) 0 .
（3）由（2）可知，函数 f (x) 在 x = 0处的 n阶泰勒展开式为
x2 x3ln(x 1) x 4
3 n
+ = - + - +L+ (-1)n-1 x + R
2! 3! 4! n! (n)
(x)，
所以 ln(x +1) < x ，
令 x
1
= n ，2
则 ln(
1
n +1)
1
<
2 2n
，
ln( 1 1) ln( 1 1) L ln( 1 1 1 1 1所以 1 + + 2 + + + n +1) < + 2 +L+ n =1- ，2 2 2 2 2 2 2n
( 1 1)( 1 1 1
1 1- 27
即
1 + 2 +1)( 3 +1)L( n +1) < e 2
n < e1 < e22 .
2 2 2 2

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