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3 一元一次方程的应用
第2课时　古算术“盈不足”问题
1．经历将实际问题转化为数学问题，建立一元一次方程模型，从而解决实际问题的过程，掌握方程的基础知识和基本技能，发展学生的应用意识。
2．经历运用一元一次方程描述实际问题的过程，建立初步的方程思想，发展抽象思维。
3．学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决“盈不足”问题，发展应用意识，形成解决“盈不足”问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
重点
难点
应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
旧知回顾
1．审——通过审题找出等量关系；2．设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；3．列——依据找到的等量关系，列出方程；4．解——求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解)；5．检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际；6．答——注意单位名称
数学史导入
《九章算术》成书于公元一世纪左右，是古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著，《九章算术》的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用。
我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问人数、物品价格各是多少？”
本题考查了列一元一次方程，审清题意找出等量关系是解题的关键。
问题导入
同学们课间操排队，如果每排站 6 名同学，就缺2名同学；如果每排站5名同学，则剩下3名同学。那么有多少同学，站成几排？
情境导入
请同学们阅读教材149－150页，思考并完成下面问题：
1．《九章算术》“盈不足”章第一题的问题中有哪些已知量和未知
量？它们之间有怎样的等量关系？
已知量：每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱；未知量：人数和物品价格；人数×每人出8钱－3钱＝物品价格＝人数×每人出7钱＋4钱
2．将教材149页(2)(3)补充完整。
(2)x；8x；7x；8x－3；7x＋4　(3)8x－3＝7x＋4；7；7；53
3．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；
如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少名学生？
解：设图书有y本。①需要表示的量是什么？(学生总数)②如何表示？(学生总数＝分出书的总数÷每人分到的本数)
③如果每人分3本，则剩余20本，共分出_________本，每人分3本，学生总数为_________ ；④如果每人分4本，则还缺25本，共分出_________本，每人分4本，学生总数为_________ ；⑤这个班的学生总数是一个定值，表示它的两个式子相等，列方程为___________________ 。
(y－20)
(y＋25)
《孙子算经》记载：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺＝10寸)意思是：现有一根长木，不知道其长短。用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4．5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺。问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为(　 　)
A．x＋4．5＝2(x－1)　　　　B．x＋4．5＝2(x＋1)
C．x－4．5＝2(x＋1) D．x－4．5＝2(x－1)
A
知识点：“盈不足”问题(重难点)
1．题目特点：一般未知数有两个，等量关系也有两个。
2．解题思路：用其中一个等量关系设未知数，用另一个等量关系
列方程。
3．《九章算术》给出的算法：
人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；
物价＝每人出的较多钱数×人数－剩余钱数；
物价＝每人出的较少钱数×人数＋不足钱数。
【题型一】古代问题中的“盈不足”
例1：《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，
绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”大意
是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井
外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。
问绳长和井深各多少尺？假设绳长为x尺，则可列方程为(　 　)
A
例2：我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，
众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空。”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，则可列方程为(　 　)
A．7x－6＝8x－1　　　B．7x－6＝8(x－1)　　　
C．7x＋6＝8x－1　　　D．7x＋6＝8(x－1)
D
例3：某班学生分组，若每组7人，则有2人分不到组里；若每组8人，
则最后一组差4人，若计划分x组，则可列方程为(　 　)
A．7x＋2＝8x－4
B．7x－2＝8x＋4
C．7x＋2＝8x＋4
D．7x－2＝8x－4
【题型二】现代问题中的“盈不足”
A
例4：某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客
车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位。求参加研学的学生人数。
解：设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x＋30＝5x－10，解得x＝40，故4x＋30＝190。
答：参加研学的学生有190人。
本节课我们学习了哪些知识？
应用一元一次方程解决“盈不足”问题
今天讲到的古算术中的“盈不足”问题，一方面对同学们的理解能力提出了更高的要求，另一方面提升了我们分析问题、解决问题的能力，我们要再接再厉，下节课继续探究一元一次方程的其他应用。

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