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2023-2024学年重庆八中七年级（下）期末数学试卷
A卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。
1．（4分）在日常生活中，我们经常见到下列符号，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）2的平方根是（　　）
A． B．﹣ C．± D．4
3．（4分）下列计算中正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．a2+a3＝a5
4．（4分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播放新闻联播
B．购买一张彩票，中奖500万元
C．暑假出门旅行，碰到同班同学
D．早上的太阳从东边升起
5．（4分）估算的整数部分是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（4分）一个三角形一边长为7cm，另一边长为3cm，它的第三边长可能是（　　）
A．3cm B．4cm C．7cm D．10cm
7．（4分）有这样一个问题：“今有五人共车，一车空；四人共车，每车坐5人，则空1辆车，则7人无车坐．问人数和车数各多少？设有x辆车，根据题意（　　）
A．5x﹣1＝4x+7 B．5（x﹣1）＝4（x+7）
C．5（x﹣1）＝4x+7 D．
8．（4分）小舒和妈妈在沙滨路沿江跑步，中途休息了一阵后，用相同速度继续跑（m）表示，出发时间用x（min），y与x的关系如图所示．下列说法中，正确的是（　　）
A．她们一共走了4500米
B．在跑步中她们的速度是150米/分
C．a的值为15
D．她们中途休息了2.5分钟
9．（4分）如图，在△ABC中，作内角∠ABC1；作∠E1BC．∠E1CD的平分线相交于点E2；依此类推，作∠E2BC，∠E2CD的平分线相交于点E3…，作∠En﹣1BC，∠En﹣1CD的平分线相交于点En，则∠En的与∠A的关系为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（4分）如图，等边△ABC边长为6cm，点D在边AC上，点E在边BC上，以2cm/s的速度从C向B运动，以v（cm/s）的速度从B向A运动，若△CDE与△BEF全等，则v的值为（　　）
A． B． C．2 D．1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为48.6%　 　．
12．（4分）一个不透明的袋子中装有5个黑球，6个白球，1个黄球，是黄球的概率是 　 　．
13．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　．
14．（4分）已知直角三角形两直角边的长度分别为a，b，已知a+b＝6，a2+b2＝32，则该三角形的面积是 　 　．
三、解答题（15题共12分，每小题12分，16题6分，17题8分，18题8分，19题10分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
15．（12分）计算：（1）；
（2）﹣5+2；
（3）9﹣（）2；
（4）；
（5）化简：﹣2x（3x2y﹣2xy）；
（6）化简：（x+1）2﹣（x+4）（x﹣4）．
16．（6分）化简求值：[（2a）2﹣（a﹣2b）（2a+b）﹣2b2]÷（2a）的值，其中．
17．（8分）（1）网格作图：如图1，在边长为1的正方形的网格中，已知△ABC及直线l．画出△ABC关于直线l的对称图形△A1B1C1；
（2）尺规作图：校园一角的形状如图2所示，其中AB，BC，围墙内有一点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图的方法作出点P（不写作法，但要保留作图痕迹）．
18．（8分）某校七年级开展了课外研学实践活动．此次活动共有四个项目A代表“艺术研学”，B代表“军事研学”，C代表“科技研学”，每位同学只能选择一个项目．为了了解同学们最喜爱的项目，在该年级随机调查了部分学生
活动类型 A B C D
人数 10 20 15 a
（1）本次共调查了 　 　名学生；m＝　 　；a＝　 　；
（2）在扇形统计图中，“军事研学”项目B所对应的扇形圆心角为 　 　；
（3）若该校七年级有1800人，请估计最喜欢“农事研学”活动的学生有多少人？
19．（10分）如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，F在线段AD上，且∠BED＝∠DFC＝∠BAC．
（1）求证AF＝BE；
（2）若，S△BDE+S△AFC＝6，求S△ABC．
B卷
四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑.
20．（4分）若（x﹣1）（x+2）+a是一个完全平方式，且a为一个常数（　　）
A． B． C． D．
（多选）21．（4分）我们用an表示距离（n为非负整数）最近的整数．例如：因为＝0所以a0＝0；因为≈1.41＜1.52＝1．因为≈1.73＞1.5，所以a3＝2．根据以上定义，以下结论中正确的是（　　）
A．a6＜a7
B．a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝0
C．当an＝3时，满足条件的n的值有6个
D．时，n的值为600
五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
22．（4分）如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，且BD＝BC，连接AD，若四边形ACBD的面积为15，则AD＝　 　.
23．（4分）如图所示，一个长方形舞台背景墙被装饰布遮挡了一部分，背景墙长为a米，且a与b之比是3：2，装饰布由两个半圆和两个四分之一圆组成，这个背景墙未被遮挡部分的面积为 　 　平方米．（结果用只含字母b的代数式表示，并保留π）
24．（4分）如图，钝角△ABC中，BD平分∠ABC，N分别是BD，BC上的动点，∠CMN＝50°，点P，BC上的动点，当△PMQ周长最小时　 　.
六、解答题（25题10分，26题10分，27题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
25．（10分）6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝2）由大到小变化时，圆柱的高h（cm）也随之发生了变化
圆柱的底面积s（cm2） … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 …
圆柱的高h（cm） … 24 30 40 60 120 240 …
（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　，因变量是 　 　；
（2）当圆柱的底面积为0.05cm2时，圆柱的高是 　 　cm；
（3）根据如表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高h与底面积S之间的关系式，并标注自变量取值范围：　 　；
（4）科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是6×10﹣3cm，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm？（结果保留π）
26．（10分）人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？
为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法．
探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为180°×3＝540°；……
n边形一个顶点出发有 　 　条对角线，正n边形内角和为 　 　，正n边形每个内角为 　 　．
探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数m乘以它的内角度数x°加上另一个正多边形的个数n乘以它的内角度数y°等于360°，即mx°+ny°＝360°；若正三角形有a个（a＞0，b＞0），求a，b为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由．
探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有 　 　．
①正五边形；
②正六边形；
③正八边形；
④正十二边形
27．（10分）已知△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，线段BC与AD交于点M，求∠BAD的度数；
（2）如图2，点E，F都在线段CB延长线上，连接DF，DC．求证：DC＝DF；
（3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，，BE＝AF，点H是线段BC的中点，当AG+BG最小时，直接写出△BHG的面积．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。
1．解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：C．
2．解：∵，
∴，
故选：C．
3．解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加；
B、幂的乘方底数不变指数相乘；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减；
D、不是同底数幂的乘法指数不能相加；
故选：A．
4．解：A、打开电视，不符合题意；
B、购买一张彩票，不符合题意；
C、暑假出门旅行，不符合题意；
D、早上的太阳从东边升起是必然事件；
故选：D．
5．解：∵＜＜，
∴2＜＜8，
∴3＜+2＜4，
∴的整数部分是3，
故选：B．
6．解：设第三边长为x cm，
则7﹣3＜x＜6+3，
即4＜x＜10．
故选：C．
7．解：根据题意得5（x﹣1）＝2x+7．
故选：C．
8．解：由题意可知：
她们一共走了3000米，故选项A说法错误；
在跑步中她们的速度是＝22（米/分），不符合题意；
a＝10+8.5＝17.5，故选项C说法错误；
她们中途休息了10﹣4.5＝2.5（分钟），故选项D说法正确．
故选：D．
9．解：∴E1B、E1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠E1CD，∠ABC＝2∠E5BC，
而∠E1CD＝∠E1+∠E6BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E1，
∴，
同理可得∠E2＝2∠E2，即即∠A＝52∠E2，
∴∠，
∴，
∴故选：B．
10．（多选）解：设运动t s时△CDE与△BEF全等，
根据题意得CE＝2t cm，BF＝vt cm，
∵等边△ABC边长为6cm，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠C＝∠B，
∵AD＝2，
∴CD＝4cm，
①时，，
∴；
②时，，
∴．
综上所述：v的值为2或．
故选：AC．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．解：0.0000000074＝7.3×10﹣9．
故答案为：7.2×10﹣9．
12．解：∵共有5+6+7＝12个球，黄球有1个，
∴任意摸出一个球，是黄球的概率是，
故答案为：．
13．解：由题可知，
8﹣x≥0，
解得x≤5．
故答案为：x≤8．
14．解：由a+b＝6，a2+b7＝32，
得2ab＝（a+b）2﹣（a4+b2）＝36﹣32＝4，
得该三角形的面积＝ab＝4÷7＝1．
故答案为：1．
三、解答题（15题共12分，每小题12分，16题6分，17题8分，18题8分，19题10分，共44分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
15．解：（1）
＝2+1+﹣2
＝3+；
（2）﹣7
＝3﹣+2
＝+5；
（3）9﹣（）4
＝3﹣（3+2
＝7﹣3﹣3
＝﹣7；
（4）
＝3+（2）÷8
＝3+2﹣
＝3+2；
（5）﹣7x（3x2y﹣7xy）＝﹣6x3y+4x2y；
（6）（x+1）5﹣（x+4）（x﹣4）
＝x4+2x+1﹣x4+16
＝2x+17．
16．解：[（2a）2﹣（a﹣2b）（2a+b）﹣2b3]÷（2a）
＝[4a5﹣（2a2+ab﹣6ab﹣2b2）﹣5b2]÷（2a）
＝（7a2﹣2a5﹣ab+4ab+2b6﹣2b2）÷（3a）
＝（2a2+8ab）÷（2a）
＝a+b，
∵，
∴a﹣＝3，
∴a＝，b＝4，
当a＝，b＝4时+×4＝．
17．解：（1）如图1，△A1B2C1即为所求．
（2）如图，分别作∠ABC和∠BCD的平分线，
则点P即为所求．
18．解：（1）15÷30%＝50（名），所以这次调查了50名学生；
10÷50＝20%，所以这次调查A组的占比为20%；
50﹣10﹣20﹣15＝5（人），所以这次调查D组的人数为5；
故答案为：50，20，5．
（2）20÷50＝40%，
40%×360°＝144°，
故答案为：144°；
（3）5÷50＝10%，
10%×1800＝180（人），
答：估计最喜欢“农事研学”活动的学生有180人．
19．（1）证明：∵∠BED＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠BED﹣∠BAD，
∵∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD，∠ABE＝∠BED﹣∠BAD，
∴∠CAF＝∠ABE，
∵∠CFA+∠DFC＝180°，∠AEB+∠BED＝180°，
∴∠CFA＝∠AEB，
在△AFC和△BEA中，
，
∴△AFC≌△BEA（AAS），
∴AF＝BE．
（2）解：由（1）得△AFC≌△BEA，
∴S△AFC＝S△BEA，
∴S△ABD＝S△BDE+S△BEA＝S△BDE+S△AFC＝6，
∵BD＝BC，
∴S△ABD＝S△ABC，
∴S△ABC＝S△ABD＝×6＝21．
四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑.
20．解：（x﹣1）（x+2）+a
＝x7+2x﹣x﹣2+a
＝x5+x+a﹣2，
∵（x﹣1）（x+7）+a是一个完全平方式，
∴，
，
，
故选：D．
21．（多选）解：A．∵≈2.45＜7.5，
∴a6＝3，
∵≈2.65＞4.5，
∴a7＝2，
∴a6＜a7，
因此选项A符合题意；
B．由题意可得a6＝0，a1＝3，a2＝1，a4＝2，a4＝7，a5＝2，
∴a3﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝3﹣1+1﹣4+2﹣2＝﹣7，
因此选项B不符合题意；
C．∵＝3，，≈3.32＜3.5，，≈8.61＞3.5，
∴当an＝3时，满足条件的n的值有4个，
因此选项C不符合题意；
D．∵1.82＝2.25，
∴a6＝a2＝1，共2个，
.∵2.56＝6.25，
∴a3＝a5＝a5＝a6＝2，共4个，
.∵3.82＝12.25，
∴a7＝a8＝a9＝a10＝a11＝a12＝3，共2个，
……
∵+++…+＝+++，
∴＝48，
∴n＝4+4+6+4+…+46+48＝600，
故选项D符合题意；
综上所述，正确的选项AD，
故选：AD．
五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
22．解：过C作CH⊥AB于H，
∵AC＝CB，
∴AH＝BH，
∴S△ACH＝S△BCH，
∵BD⊥BC，
∴∠CHB＝∠CBD＝90°，
∴∠BCH+∠ABC＝∠ABC+∠ABD，
∴∠BCH＝∠ABD，
∵BD＝BC，
∴△BCH≌△DBA（AAS），
∴AD＝BH，S△BCH＝S△ABD，
∴AH＝2AD，
∵四边形ACBD的面积为15，
∴S△ABD＝＝5，
∴AD AB＝，
∴AD＝，
故答案为：．
23．解：∵a：b＝3：2，
∴a＝b，
∴长方形舞台背景墙的面积＝（b2）（平方米），
∵圆的直径都是背景墙宽的一半，
∴圆的直径是b，即圆的半径是b，
∵装饰布由两个半圆和两个四分之一圆组成，
∴装饰布的面积＝（πb2）（平方米），
∴这个背景墙未被遮挡部分的面积＝[（﹣π）b2]（平方米），
故答案为：（﹣π）b2．
24．解：∵BD平分∠ABC，
∴点C的对称点在线段AB上，
作C关于BD的对称点E交AB于E，过E作EN⊥BC交BD于M，
则此时CM+MN＝EN最小，
作点M关于AB的对称点G，关于BC的对称点F，交BC于Q，
则此时△PMQ周长最小，
连接BG，BF，
∵∠CMN＝50°，∠CNM＝90°，
∴∠MCN＝40°，
∵CM＝EM，
∴∠MEC＝∠MCE，
∴∠MCE＝∠MEC＝＝25°，
∴∠ECN＝65°，
∵BC＝BE，
∴∠BEC＝∠BCE＝65°，
∴∠CBE＝50°，
∵BG＝BM＝BF，BA⊥MG，
∴∠GBP＝∠PBM，∠FBQ＝∠MBQ，
∴∠FBG＝5∠ABC＝100°，
∴∠BGF＝∠BFG＝40°，
∵BG＝BM，PG＝PM，
∴△BPG≌△BPM（SSS），
∴∠PMB＝∠PGB＝40°，
同理∠BMQ＝∠BPQ＝40°，
∴∠PMQ＝∠PMB+∠QMB＝80°，
故答案为：80°．
六、解答题（25题10分，26题10分，27题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
25．解：（1）在这个变化过程中，自变量是圆柱的底面积．
故答案为：圆柱的底面积，高；
（2）当圆柱的底面积为0.05cm2时，圆柱的高＝．
故答案为：480；
（3）由题意，h＝．
故答案为：h＝（s＞0）；
（4）＝×103（cm）．
答：这块圆柱体玄武岩材料能纺线长为×108cm．
26．解：探究一：n边形一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，正n边形内角和为（n﹣2）×180°；
故答案为：（n﹣3），（n﹣2）×180°，；
探究二：∵正三角形每个内角的度数为60°，正方形每个内角的度数为90°，
∴60°a+90°b＝360°，即2a+3b＝12，
∴；
探究三：①设正三角形x个，正五边形y个，
由题意得：60x+108y＝360，
此方程无正整数解，
∴正三角形和正五边形不能进行平面密铺；
②设正三角形x个，正六边形y个，
由题意得：60x+120y＝360，
解得：或，
∴正三角形和正六边形能进行平面密铺，需要2个正三角形和2个正六边形或需要4个正三角形和2个正六边形；
③设正三角形x个，正八边形y个，
由题意得：60x+135y＝360，
此方程无正整数解，
∴正三角形和正八边形不能进行平面密铺；
④设正三角形x个，正十二边形y个，
由题意得：60x+150y＝360，
解得：，
∴正三角形和正十二边形能进行平面密铺，需要2个正三角形和2个正十二边形；
故答案为：②④．
27．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵AC＝CM，
∴∠CAM＝∠CMA＝67.5°，
∴∠BAD＝90°﹣67.5°＝22.8°；
（2）证明：如图2，延长AE至H，连接DH，
∵点E是BF的中点，
∴EB＝EF，
又∵∠AEB＝∠HEF，AE＝EH，
∴△ABE≌△HFE（SAS），
∴AB＝FH，∠BAE＝∠FHE，
∵△ABC与△ADE为等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，
∴AB＝AC，∠DAE＝45°，
∴AB＝AC＝FH，
∵AE＝EH，∠AED＝90°，
∴AD＝DH，
∴∠DHA＝∠DAE＝45°，
∴∠DHF＝45°+∠EHF，
∵∠DAC＝∠BAC+∠BAE﹣∠DAE＝45+∠BAE，
∴∠DAC＝∠DHF，
∴△DHF≌△DAC（SAS），
∴CD＝DF；
（3）解：如图3，连接CG，使A'C＝AC，
∵将线段EF绕点F逆时针旋转90°至线段FG，
∴EF＝FG，∠EFG＝90°＝∠BAC，
∴∠AFE+∠AEF＝90°＝∠AFE+∠CFG，
∴∠AEF＝∠CFG，
∵BE＝AF，AB＝AC，
∴AE＝CF，
∴△AEF≌△CFG（SAS），
∴∠EAF＝∠FCG＝90°，
又∵AC＝A'C，
∴AG＝A'G，
∴AG+BG＝A'G+BG，
∴当点A'，点G，AG+BG有最小值，
∵∠BAC＝∠A'CG＝90°，
∴AB∥CG，
∵AC＝A'C，
∴CG是△ABA'是中位线，
∴CG＝AB＝，
∴S△BCG＝×CG AC＝××＝，
∵点H是线段BC的中点，
∴△BHG的面积＝S△BCG＝．

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