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3.7 二元一次方程组的应用
第1课时
1.通过列二元一次方程组解决实际问题，体会“和差倍分”数量关系在分配问题、行程问题、销售问题中的应用.
2.体会列方程组解决实际问题的步骤，将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?
与同伴交流一下.
审 清题意,找出等量关系;
设 未知数x和y；
列 出二元一次方程组;
解 方程组；
检 验；
答 题.
【思考】
小楠收集的中国邮票和外国邮票共有335张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17.小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张？
本题涉及的等量关系为：
中国邮票的张数+ =335,
中国邮票的张数=3×_____ ______-17,
设小楠由中国邮票x张,外国邮票y张,
根据等量关系，得 .

解这个方程组,得 .
答:小楠收集了中国邮票 张，外国邮票 张.
外国邮票的张数
外国邮票的张数
????+????=335????=3?????17
?
????=247????=88
?
【例1】业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，他骑自行车的平均速度为10m/s，跑步的平均速度为????????????m/s，自行车路段和长跑路段共5km，共用时15min.求自行车路段和长跑路段的长度.
?
【分析】本问题涉及的等量关系为：
自行车路段的长度+长跑路段的长度=5km，
骑自行车的时间+长跑时间=15min.
【解析】设自行车路段的长度为xm，长跑路段的长度为ym,则：
????+????
某体育场的环形跑道长400m,甲乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，你们他们每隔30s相遇一次，如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次。甲和乙的速度分别是多少？
分析：设甲、乙速度分别为x m/s、y m/s.
甲行驶的路程
乙行驶的路程
环形跑道长
反向而行
同向而行
30x
30y
400
400
80x
80y
【解析】设甲、乙速度分别为x m/s、y m/s.
根据题意,得:
30x+30y=400
80y-80x=400
解得
x=
y=
答：甲、乙速度分别为 。
【例2】甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价15%，乙商品提价10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%.求甲、乙两种商品原来的单价.
分析：设甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元，根据题意填写下表：
x
（1-15%）x
y
（1+10%）y
100
100（1-5%）
调价后
调价前
两商品单价和
乙商品单价
甲商品单价
解:甲商品原来的单价为x元，乙商品原来的单价为y元，根据题意得
????+????=?????????????????????????%????+????+????????%????=????????????×?????????%
解方程组得????=????????????=????????
答：甲商品原来的单价为60元，乙商品原来的单价为40元.
?
1.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?
解:设每餐甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:
甲原料x克
乙原料y克
所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
根据题意,得方程组
化简,得
①- ②,得 5y=150，
y=30，
把y=30代入①,得x=28.
答：每餐需甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.
2.小明想开一家时尚专卖店，开店前他到其他专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？
上衣成本＋裤子成本＝５００元，
上衣利润＋裤子利润＝１５７元．
分析
关键:找出等量关系.
解：设上衣的成本价为x元，裤子的成本价为y元：
答：上衣的成本价为300元，裤子的成本价为200元
【做一做】用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，并与同伴交流.
1.（嘉兴·中考）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（ ）
A.0.8元/支，2.6元/本 B.0.8元/支，3.6元/本
C.1.2元/支，2.6元/本 D.1.2元/支，3.6元/本
【解析】选D.设一支笔x元，一本笔记本y元，
由题意得 解得
2.（益阳?中考）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x,y,那么下面列出的方程组中正确的是（　　）
【解析】选A，∵购进A，B两种劳动工具共145件，
∴x+y=145；
∵A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．且购买这批劳动工具共花费1580元，
∴10x+12y=1580，
∴根据题意可列出方程组B.????+????＝145?10????+12????＝1580．
?
D.?????????＝145?12????+10????＝1580
?
B.?????????＝145?10????+12????＝1580
?
A.????+????＝145?10????+12????＝1580
?
C.????+????＝145?12????+10????＝1580
?
3.（重庆·中考）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900朵红花，3 750朵紫花，则黄花一共用了　　　　朵．
解：设甲种盆景有x盆，乙种盆景有y盆，丙种盆景有z盆.
由题意得
将③代入①则有15x+10y+10z=5x+10（x+z）+10y=2 900
即x+2y=280，
则黄花的数量为24x+12y+18z=6x+18（x+z）+12y
=6（x+2y）+2700=16 80+2 700=4 380（朵）.
【答案】4 380
4.长风乐园的门票价格规定如表所列.
某校初一(1)，(2)两个班共104人去游长风乐园,其中(1)班人数较少,不到50人,(2)班人数较多,有50多人.经估算,如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1 240元.问两班各有多少名学生?
购票人数
1～50人
51～100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
解：设初一(1)班有x 人，初一(2)班有y人，则
解得
答:初一(1)班有48人，初一(2)班有56人.
4.（邵阳?中考）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史?感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了作为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．
解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本．
由题意得：
????+????+????=????????????????????+????????+????????????=????????????????解得：????=????????????=????????
∴15×15=225（元），35×5=175（元），
?
答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．
5.为了参加2013年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5000米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度分别为多少米.
【解析】设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度为y米，可得方程组
解得
答：自行车路段和长跑路段的长度分别为3000米
和2000米.
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成.

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