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专题 01 集合（八大题型+模拟精练）
目录：
01 集合的概念
02 元素与集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（个数）
05 集合的基本关系
06 Venn 图
07 集合的基本运算
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
01 集合的概念
1．（21-22 高一上·广东广州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．与定点 A，B 等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为 5
C．一个集合中有三个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是VABC 的三边长，则VABC 不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】C
【分析】根据集合元素的特征判断可得；
【解析】解：对于 A：与定点 A，B 等距离的点在线段 AB 的中垂线上，故可以组成集合，即 A 错误；
对于 B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为 4，故 B 错误；
对于 C：因为集合的元素具有互异性，所以 a，b，c 互不相等，故VABC 不可能是等边三角形，即 C 正确；
对于 D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故 D 错误；
故选：C
2．（21-22 高一上·江苏常州·期中）下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与 0 非常接近的全体实数能构成集合；
② -1, (-1)2 表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】C
【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为2n 即可得结果.
【解析】①与 0 非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
② -1, (-1)2 = -1,1 ，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为 2n 2，正确.
故选：C
3．（（21-22 高一上·河南商城·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
① 与 0 表示同一个集合
②由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1
③方程 (x -1)2 (x - 2) = 0的所有解的集合可表示为 1,1,2
④集合{x∣4 < x < 5}可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
【答案】C
【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【解析】解：对于①，由于“0”是元素，而“ 0 ”表示含 0 元素的集合，而 f 不含任何元素，所以①不正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.
4．（21-22 高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)} B．M = (x, y) x + y =1 ， N = y x + y =1
C．M = {1,2}， N = {(1,2)} D．M = y | y = x2 + 3 ， N = x | y = x - 3
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【解析】对于 A，两个集合都为点集， (3, 2) 与 (2,3) 是不同点，故 M、N 为不同集合，故 A 错误；
对于 B，M 是点集，N 是数集，故 M、N 为不同集合，故 B 错误；
对于 C，M 是数集，N 是点集，故 M、N 为不同集合，故 C 错误；
2
对于 D，M = y | y = x + 3 = [3,+ ) ， N = x | y = x - 3 = [3, + )，故 M、N 为同一集合，故 D 正确.
故选：D.
ì b ü
5．（2020 高三·全国·专题练习）设 a,b R ，集合{-1, a + b, -a} = í0, ,b ，则 a + b =（a ）
A．1 B．－1
C．0 D．－2
【答案】C
【分析】根据集合相等即可得出答案.
ì b ü
【解析】因为{-1, a + b, -a} = í0, ,b ， a 0，所以 a + b = 0 .经检验满足题意
a
故选：C
【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题.
02 元素与集合
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合 A = {x | x2 - x = 0}，则 -1与集合A 的关系为（ ）
A．-1 A B．-1 A C．-1 A D．-1 A
【答案】B
【分析】把集合 A 用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【解析】Q A = {x | x2 - x = 0} = 0,1
\-1 A
故选：B
7．（2024·四川成都·三模）设全集U = 1,2,3,4,5 ，若集合M 满足 1,4 U M ，则（ ）
A． 4 M B．1 M
C． 2 M D．3 M
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【解析】全集U = 1,2,3,4,5 ，由 1,4 U M ，知1 U M , 4 U M ，则1 M , 4 M ，A 错误，B 正确；
不能判断 2 M ，也不能判断3 M ，CD 错误.
故选：B
8．（23-24 高三下·四川雅安· 2阶段练习）若集合 A = -2,1,4,8 ，B = x - y∣x A, y A ，则 B 中元素的最大
值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】C
【分析】根据 B 2中元素的特征，只需满足 xmax - y min 即可得解.
【解析】由题意，
x - y2 = x - y2 = 8 -12 = 7
max max min .
故选：C
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合 A = {x | 2mx - 3 > 0, m R}，其中2 A且1 A，则实数 m 的取值范围
是（ ）
3 3
A , ù B é
3 , 3 3 3 3 3． ú ． ê ÷ C
é ù
4 2 ．4 2
, ÷ D．
è è 4 2 ê
,
4 2ú
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
ì2m 2 - 3 > 0 3 m 3【解析】由题意可得 í ，解得 <
2m
.
1- 3 0 4 2
故选：A.
10．（23-24 2 2高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合 A = x x - 3x - 4 < 0 ，B = x x - ax = 0 ，若 A B 中有
且仅有两个元素，则实数 a的范围为（ ）
A． -1,4 B． -1,0 C． 0,4 D． -1,0 U 0,4
【答案】D
【分析】求出集合 B 中元素，代入集合A 即可.
【解析】因为 A B 中有且仅有两个元素，
则B = x x2 - ax = 0 = 0, a ， a 0，
ì0 - 0 - 4 < 0
所以 í 2 ，解得-1 < a < 4，且 a 0a 3a 4 0 . - - <
故选：D.
11．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）若集合 A = x Z m < x < 4 有 15 个真子集，则实数 m 的取值范围
为（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． -1,0 D． -1,0
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合 A 中有 4 个元素，得解.
【解析】因为集合 A 有 15 个真子集，所以集合 A 中有 4 个元素，所以-1 m < 0 .
故选：A．
03 集合中元素的特性
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = 1,16,8a ，B = 1, a4 ，则满足 AI B = B 的实数 a 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【解析】依题意，B A，若 a4 = 16 ，解得 a = -2 （ a = 2时不满足集合的互异性，舍去），
若 a4 = 8a ，解得 a = 0（ a = 2时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述， a = 0或 a = -2 .
故选：B
ì 8 ü
13．（2024·陕西榆林·二模）设集合 A = íx Z Z , B = {x∣1< x <10}，则 A B 中元素的个数为（x ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
先求出集合A ，再求交集即可.
【解析】
依题意可得 A = -8, -4, -2, -1,1,2,4,8 ，
则 A B = 2,4,8 ，则 A B 中元素的个数为3 .
故选：B.
14．（23-24 高三上·福建泉州·阶段练习）若集合 A = x | x -1 2, x N ，B = x | ln x 0 ，则 A B 的元素
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 4
【答案】A
【分析】结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合 A, B，根据集合的交集运算，即可得答案.
【解析】由题意得 A = x | x -1 2, x N = x | -1 x 3, x N = {0,1,2,3}，
B = x | ln x 0 = {x | 0 < x 1}，
故 A B = {1}，即 A B 的元素的个数是 1 个，
故选：A
15．（23-24 高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列 a *n 的公差为d ，集合T = ∣t t = sinan , n N .则（ ）
A．T 不可能有无数个元素
B．当且仅当 d = 0 时，T 只有 1 个元素
C．当T 只有 2 1个元素时，这 2 个元素的乘积有可能为 2
2π
D *．当 d = ,k 2,k N 时，T 最多有 k 个元素，且这 k 个元素的和为 0
k
【答案】D
【分析】对于A ，B选项，可取特殊数列验证即可；对于C 可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于
D ，结合正弦函数的周期，即可判断.
【解析】选项A ，取 an = n ，则 d =1，由 t = sin an ，因为 an 是无穷等差数列，正弦函数是周期为 2π的函
数，所以 t = sin an 在每个周期上的值不相同，故A 错误；
选项B，取 an = πn，即 d = π ，则 t = sin an = sin nπ=0 ，只有一个元素，故B错误；
选项C ，假设T 只有 2 个元素 t1 ， t2 ，这 2
1
个元素的乘积为 ，如图可知当 t 等于 t2 1 或 t2 时，显然 an 不是
等差数列，与已知矛盾，故C 错误；
2π
选项D ，当 d = 时,
k
t1 = sin a1 ，
t2 = sin

a
2π
1 + ÷，
è k
t3 = sin

a1 + 2
2π
÷，
è k
L，
tk = sin
é
êa1 + k -1
2π ù
，
k ú
tk +1 = sin
a 2π 1 + k ×

÷ = sin a1 ，L，所以T 最多有 k 个元素，
è k
a d 2π又因为正弦函数的周期为 2π，数列 n 的公差为 = ，k
*
所以 ak k 2,k N 把周期 2π平均分成 k 份，所以 k 个元素的和为 0，故D 正确.
故选: D .
【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.
04 集合的方法、求集合（个数）
16．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，则实数 m=（ ）
A．0 B． -1 C．0 或 -1 D．0 或 1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论 2m -1 = -3和m - 3 = -3两种情况，求解m 并检验集合的互异性，
可得到答案.
【解析】设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，
Q-3 M ，\2m -1 = -3或m - 3 = -3，
当 2m -1 = -3时，m = -1，此时M = -3, -4 ；
当m - 3 = -3时，m = 0，此时M = -3, -1 ；
所以m = -1或 0 .
故选：C
ì 2 ü
17．（2024·山东聊城·二模）已知集合M = íx - < x 1 , N = x 2x Z ，则M N =（3 ）
A． 0,1 ì 1B． í- , 1 ü ì 1C． - ,1, 1 ü ì 1 1D． - ,0, ,1ü
2 2
í í
2 2 2 2


【答案】D
【分析】由交集的定义求解.
ì 2 ü
【解析】集合M = íx - < x 1 , N = x 2x Z ì 1，则M N = í- ,0, 1 ,1ü .
3 2 2


故选：D
18．（2024· 2山东济南·二模）已知集合 x | x - a x -1 = 0 的元素之和为 1，则实数 a 所有取值的集合为
（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为 1，确定一元二次方程的根，即可得出 a的取值集合.
【解析】因为集合 x | x - a2 x -1 = 0 的元素之和为 1，
2
所以一元二次方程 x - a x -1 = 0有等根时，可得 x = a2 =1，即 a = ±1，
当方程有两不相等实根时， x = a2 = 0，即 a = 0，
综上，实数 a 所有取值的集合为 0,1,-1 .
故选：D
19．（23-24 高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合P = 1,2 ，Q = 2,3 ，若M = x x P, x Q ，则M =
（ ）
A． 1 B． 2 C． 1,3 D． 1,2,3
【答案】A
【分析】根据集合M 的定义可得集合M .
【解析】因为集合P = 1,2 ，Q = 2,3 ，则M = x x P, x Q = 1 .
故选：A.
ì kπ
20．（2023·新疆·一模）已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4
ü
，则集合A 的元素个数为（4 ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】将 k 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素个数.
【解析】当 k = 0时， sin
kπ
= sin0 = 0，
4
当 k =1时， sin kπ = sin π 2= ，
4 4 2
sin kπ 2π当 k = 2时， = sin = sin
π
=1，
4 4 2
当 k = 3 kπ时， sin = sin 3π 2= ，
4 4 2
当 k = 4时， sin
kπ
= sin 4π = sinπ = 0，
4 4
ì ü
故 A =
0, 2 ,1 í ，共三个元素.
2
故选：A.
05 集合的基本关系
21．（22-23 高一上·江苏南京·阶段练习）下列关系正确的是（ ）
A．0 B． = 0 C． 0 D． 0
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可判断各选项的正误.
【解析】0 ， 0 ， 0 ， 0 .
故选：D.
ì x -1 ü
22．（2024·全国·模拟预测）设集合M = íx Z < 0 ，则集合 M 的真子集个数为（x ） + 3


A．8 B．7 C．32 D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合M = {-2,-1,0}，结合集合真子集的求法，即可求解.
x -1
【解析】由不等式 < 0，解得-3 < x <1，
x + 3
因为 x Z，所以M = {-2,-1,0}，
所以集合 M 的真子集个数为 23 -1 = 7 .
故选：B．
23．（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）给出下列关系：①高三（22）班的所有高个子同学可以构成一个
集合；② 2；③ 1, -2 x, y∣ y = x - x - 2 ，其中正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用集合的意义判断①；元素与集合、集合与集合的关系判断②③.
【解析】对于①，高个子同学的身高没有界定，即研究的对象不确定，①错误；
对于②， ，②正确；
对于③，集合 x, y ∣y = x2 - x - 2 的元素是有序数对，而 1, -2 的元素是两个单实数，③错误，
所以正确命题的个数为 1.
故选：D
π π 1
24．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = {x | sin( x - ) }, B = -1,0,1,2,3 ，则集合 A B 的子集个数为
2 6 2
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据题意，结合正弦函数的性质，分别 x = -1,0,1,2,3依次代入 f x = sin( π x π- )，确定 x 的取值，
2 6
结合交集的运算和子集的个数的计算方法，即可求解.
x = -1,0,1,2,3 f x sin( π π【解析】根据题意，将 依次代入 = x - )，
2 6
可得 f 1 3 , f 0 1 , f 1 3 1 3- = - = - = , f 2 = , f 3 = - ，
2 2 2 2 2
所以只有 x =1,2时，满足不等式 f x 1≥ ，
2
所以 AI B = 1,2 ，则集合 A B 的子集个数为 22 = 4 .
故选：B.
25．（2024·四川德阳·三模）已知集合 A = x |1 < x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围
是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． (- , 2024] D． (- , 2024)
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【解析】集合 A = x |1 < x < 2024 ，B = x | x < a ，又 A B ，则 a 2024，
所以实数 a 的取值范围是[2024, + ) .
故选：B
26．（2024·全国· 2模拟预测）已知集合 A = x log2x 2 ，B = m ．若 AI B = B ，则m 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． - , 2 U 2,+ D． -2,0 U 0,2
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性求集合 A，由题意可知B A，即可得结果.
【解析】由题意可得 A = x 0 < x2 22 = -2,0 0,2 ，
因为 AI B = B ，则B A，所以m -2,0 0,2 ．
故选：D．
06 Venn 图
27．（2024·全国·模拟预测）已知全集U = 1,2,3,4,5,6 ，集合 A = 1,2,3,4 , B = 2,4,6 ，则图中阴影部分表
示的集合为（ ）
A． 2,4 B． 1,3 C． 1,3,4 D． 2,3,4
【答案】B
【分析】根据 Venn 图可知图中阴影部分表示的集合为 A UB ，结合交集与补集运算的概念与运算即可求
解.
【解析】由题意，图中阴影部分表示的集合为 A UB ，
因为U = 1,2,3,4,5,6 , B = 2,4,6 ，所以 UB = 1,3,5 ，
又 A = 1,2,3,4 ，所以题图中阴影部分表示的集合为 AI UB = 1,3 .
故选：B．
28．（2024 高三·全国·专题练习）已知全集U = x x > 0 ，集合 A = x 3 < x < 8 ，B = x x -1 > 5 ，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A． x 3 < x 6 B． x 3 < x < 6 C． x 6 x < 8 D． x 6 < x < 8
【答案】A
【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 AI U B，再根据补集和交集的定义即可得解.
【解析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 AI U B，
因为U = x x > 0 ， A = x 3 < x < 8 ，B = x x -1 > 5 = x x > 6 ，
所以 U B = x 0 < x 6 ，则 A U B = x 3 < x 6 .
故选：A．
29．（2024·江苏·一模）已知全集 U 与集合 A，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． AI U B B． AU U B C．B U A D． B U U A
【答案】A
【分析】
利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.
【解析】
观察韦恩图知，阴影部分在集合 A 中，不在集合 B 中，所以所求集合为 AI U B .
故选：A
30．（23-24 高三下·湖南岳阳·开学考试）如图， I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的
集合是（ ）
A． M P S B． M P S C． M P I S D． M P I S
【答案】C
【分析】
直接根据阴影部分的位置得答案.
【解析】图中阴影部分不在集合S 中，在集合M , P中，
故阴影部分所表示的集合是 M P I S .
故选：C.
二、填空题
31．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = x x2 - 5 0 ，B = x x2 + 4x + 3 > 0 ，则 AI B = .
【答案】 x -1 < x 5
【分析】根据题意解一元二次不等式可求得集合 A, B，再利用交集运算可得答案.
【解析】由题知 A = x x2 - 5 0 = x - 5 x 5 ，
B = x x2 + 4x + 3 > 0 = x | x < -3或 x > -1 ，
于是 A B = x -1 < x 5 .
故答案为： x -1 < x 5
32．（2024·全国· 2 x模拟预测）已知U = R ， A = x y = x + x - 2 ，B = y y = 3 , x R ，则
U A B = ．
【答案】 -2, +
【分析】根据根号下大于等于 0 得到集合A ，再根据指数函数值域得到集合 B ，再结合集合交并补运算即可.
2
【解析】由题意可得 A = x x + x - 2 0 = x x -2或 x 1 = - , -2 1,+ ，
B = y y > 0 = 0,+ ，所以 U A = -2,1 ，所以 U A B = -2, + ．
故答案为： -2, + .
1
33．（2024·江苏南通·模拟预测）已知集合M = {x | x2 - 5x + 6 0}， N = {x | cos x < - }，则
2
M N = .
2π
【答案】{x | < x 3}
3
【分析】求出集合 A, B中元素范围，然后求交集即可.
【解析】M = {x | x2 - 5x + 6 0} = {x | 2 x 3}，
N {x | cos x 1} {x | 2π= < - = + 2kπ 4π< x < + 2kπ,k Z}，
2 3 3
则M N = {x |
2π
< x 3} .
3
2π
故答案为：{x | < x 3}
3
34．（2024·全国·模拟预测）设集合 A = {x | x 3}, B = {x | log2 x + a 1}，若 A B = x -1 x 3 ，则实数 a
的值为 ．
【答案】3
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，分别求得 A = x -3 x 3 和B = {x | x 2 - a}，再结合
A B = x -1 x 3 ，列出方程，即可求解.
【解析】由不等式 x 3，解得 -3≤ x ≤ 3，所以 A = x -3 x 3 ，
又由 log2 x + a 1，可得 x + a 2，所以 x 2 - a ，所以B = {x | x 2 - a}，
因为 A B = x -1 x 3 ，所以 2 - a = -1，解得 a = 3．
故答案为：3 .
三、解答题
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
35．（2024·北京西城·二模）已知数列 A : a1, a2 ,L, an ，从A 中选取第 i1项、第 i 2 项、…、第 i k 项 i 1< i 2成数列 B : ai ,a1 i ,L,a2 i k ， B 称为A 的 k 项子列．记数列 B 的所有项的和为T(B)．当 k 2时，若 B 满足：对任
意 s {1,2,L,k -1}， is+1 - is = 1，则称 B 具有性质 P ．规定：A 的任意一项都是A 的 1项子列，且具有性质
P ．
(1)当 n = 4时，比较A 的具有性质 P 的子列个数与不具有性质 P 的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列 A :1,2,3,L,n (n≥ 2) ．
n
（ⅰ）给定正整数 k ，对A 的 k 项子列 B ，求所有T(B)的算术平均值；
2
（ⅱ）若A 有m 个不同的具有性质 P 的子列 B1, B2 ,L, Bm ，满足："1≤ i < j ≤ m ，Bi 与 Bj 都有公共项，且公共
项构成A 的具有性质 P 的子列，求m 的最大值．
【答案】(1) A 的具有性质 P 的子列个数大于不具有性质 P 的子列个数；理由见解析
k(n +1)
(2) ⅰ ⅱ n
2 + 2n
（ ） ；（ ）
2 4
【分析】（1）根据定义得出 n = 4时，A 共有15个子列，结合性质 P 的内容即可判断；
（2）（ⅰ）根据 ai ,ai ,L,ai 是A 的 k (
n
k ≤ ) 项子列， n +1- ai ,n +1- ai ,L,n +1- a
n
1 2 k 1 2 i k 也是A 的 k (k ≤ )2 2 项子列，
k k
k
可得T (B ) + T (B ) = ai + (n +1- aj i ) = k(n +1)j ，又A 有Cn 个 k 项子列，即可求出结果；
j=1 j=1
（ⅱ）设 B ( k = 1,2,L,m ) 的首项为 xk ，末项为 yk ，记 xk = max{x }k 0 k ，则可得对任意 j =1,2,L, m，都有
y j ≥ xk ，故共有 xk ( n +1- x )0 0 k 0 种不同的情况，又 xk ( n +1- xk )≥m n0 0 ，所以分 为奇数或者偶数两种情况进行分
析即可.
【解析】（1）当 n = 4时，A 共有 24 -1 =15个子列，
其中具有性质 P 的子列有 4 + 3 + 2 +1 =10个，
故不具有性质 P 的子列有5个，
所以A 的具有性质 P 的子列个数大于不具有性质 P 的子列个数．
（2）（ⅰ）若 B : ai ,ai ,L,a
n
1 2 i k 是A 的 k (k ≤ )2 项子列，
则 B : n +1- ai ,n +1- ai ,L,n +1- a
n
1 2 i k 也是A 的 k (k ≤ )2 项子列．
k k
所以T (B ) + T (B ) = ai + (n +1- ai ) = k(n +1)j j ．
j=1 j=1
n k
因为给定正整数 k ，A 有Cn 个 k 项子列，2
1 1 k k(n +1)
所以所有T(B)的算术平均值为 k × Cn × k(n +1) =C 2 2 ． n
（ⅱ）设 B ( k = 1,2,L,m ) 的首项为 xk ，末项为 yk ，记 xk = max{xk }k 0 ．
若存在 j =1,2,L, m，使 y j < xk B0 ，则 j 与 Bk 0 没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意 j =1,2,L, m，都有 y j ≥ xk 0 ．
因为对于 k =1,2,L, m， xk {1,2,L, xk }0 ， yk {xk , xk +1,L ,n}0 0 ，
所以共有 xk ( n +1- x0 k )0 种不同的情况．
因为 B1, B2 ,L, Bm 互不相同，
所以对于不同的子列 Bi , B j ， xi = x j 与 yi = y j 中至多一个等式成立．
所以 xk ( n +1- x )≥m0 k 0 ．
n +1 n +1 n + 3
当 n是奇数时，取 xk {1,2,L, } y { , ,L ,n}2 ， k 2 2 ，
n +1 (n 1 n +1) (n +1)
2
共有 × + - = 个满足条件的子列．
2 2 4
当 n是偶数时，取 xk {1,2,L,
n } y { n , n， k +1,L ,n}2 2 2 ，
n 2(n n n + 2n共有 × +1- ) = 个满足条件的子列．
2 2 4
n (n +1)
2 n2 + 2n
综上， 为奇数时，m 的最大值为 ； n为偶数时，m 的最大值为 ．
4 4
【点睛】方法点睛：（1）阅读理解能力考查；（2）分类讨论思想；（3）数列和集合概念的理解.
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合 A 与 B，存在对应关系 f，使 A 中的每一个元素 a，B 中总有唯一的
元素 b 与它对应，则称这种对应为从 A 到 B 的映射，记作 f：A→B．
设集合 A = -5, -3, -1,1,3,5 ，B = b1,b ,L,b （ n N*2 n ， n 6 ），且B A．设有序四元数集合
P = {X X = x1, x2 , x3 , x4 , xi A且 i =1,2,3,4}，Q = Y Y = y1, y2 , y3 , y4 ．对于给定的集合 B，定义映射 f：
P→Q，记为Y = f X ，按映射 f，若 xi B（ i =1,2,3,4），则 yi = xi +1；若 xi B（ i =1,2,3,4），则
4
yi = xi．记 SB Y = yi ．
i=1
(1)若B = -5,1 ， X = 1,-3,-3,5 ，写出 Y，并求 SB Y ；
(2)若B = b1,b2 ,b3 ， X = 1,-3,-3,5 ，求所有 SB Y 的总和；
4
(3)对于给定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，记 xi = m，求所有 SB Y 的总和（用含 m 的式子表示）．
i=1
【答案】(1)Y = 2,-3,-3,5 ， SB Y =1
(2) 40
(3) 63m +128
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对 1，-3，5 是否属于 B 进行分类讨论，求出对应所有 Y 中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射 f 下得到的所有 y1 的和，同理求出在映射 f 下得到的所有 yi （ i = 2,3,4）的和，
即可求解.
【解析】（1）由题意知，Y = f X = f 1, -3, -3,5 = 1+1,-3,-3,5 = 2,-3,-3,5 ，
所以 SB Y = 2 - 3- 3+ 5 =1．
（2）对 1，-3，5 是否属于 B 进行讨论：
① 2含 1 的 B 的个数为C5 =10，此时在映射 f 下， y1 =1+1 = 2；
不含 1 的 B 3的个数为C5 =10，此时在映射 f 下， y1 =1；
所以所有 Y 中 2 的总个数和 1 的总个数均为 10；
② 2含 5 的 B 的个数为C5 =10，此时在映射 f 下， y4 = 5 +1 = 6；
不含 5 的 B 3的个数为C5 =10，此时在映射 f 下， y4 = 5；
所以所有 Y 中 6 的总个数和 5 的总个数均为 10；
② -3 B C2含 的 的个数为 5 =10，此时在映射 f 下， y2 = -3+1 = -2， y3 = -3+1 = -2；
不含-3的 B C3的个数为 5 =10，此时在映射 f 下， y2 =-3， y3 = -3；
所以所有 y 中-2的总个数和-3的总个数均为 20．
综上，所有 SB Y 的总和为10 1+ 2 + 5 + 6 + 20 -2 - 3 =140 -100 = 40．
（3）对于给定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，考虑x1在映射 f 下的变化．
由于在 A 的所有非空子集中，含有x1的子集 B 共 25个，
所以在映射 f 下x1变为 y1 = x1 +1；
不含x1的子集 B 共 25 -1个，在映射 f 下x1变为 y1 = x1；
所以在映射 f 5 5下得到的所有 y1 的和为 2 x1 +1 + 2 -1 x1 = 63x1 + 32．
5 5
同理，在映射 f 下得到的所有 yi （ i = 2,3,4）的和 2 xi +1 + 2 -1 xi = 63xi + 32．
所以所有 SB Y 的总和为63 x1 + x2 + x3 + x4 + 32 4 = 63m +128．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决
问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然
是集合的有关知识点.
一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集U = {x | -2 x 2}，集合 A = x -1 x < 2 ，则 U A =（ ）
A． (-2,-1) B．[-2,-1] C． (-2,-1) U{2} D．[-2,-1) U{2}
【答案】D
2．（2024·全国· 2模拟预测）已知集合 A = x 2x - 3x - 5 0 , B = x x2 - 2x -8 0, x N ，则 R A B =
（ ）
ì 5 ü
A． íx -1 < x < B． x -2 x 4 C． 0,1,2 D． 1,2
2
【答案】C
3．（2024· 2全国·二模）已知集合 A = -2, -1,0,1,2 ，集合B = x x - x - a < 0 ，则满足 AI B = 0,1 的实数 a
的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． 2,6 C． 0,2 D． 0,6
【答案】C
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = 1,16,8a ，B = 1, a4 ，则满足 AI B = B 的实数 a 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
ì
A x x2 2x 8 , B x 1
x
ü
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知全集U = R ，集合 = ∣ - > = í ÷ < 3 ，则图中阴影
è 3
部分表示的集合为（ ）
A．{x∣-1< x 2} B．{x∣-1< x < 2}
C．{x∣-1< x 4} D． x∣-1 x 4
【答案】C
A ìx x +1 ü6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 = í 0 ，B = x y = log 22 x -16 ，则 A R B = （5 x ） -
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
【答案】B
7．（2024·青海·二模）已知 Z A 表示集合 A 中整数元素的个数，若集合M = x x - 9 2x +1 < 0 ，集合
N = x 2x >1 ，以下选项错误的是（ ）
A．Z M = 9 B．M N = x 0 < x < 9
C．Z M I N = 9 D． R N M = x x < 9
【答案】C
8．（2023·全国·模拟预测）已知集合A 和集合 B 满足： A B 有 2 个元素， A B 有 6 个元素，且集合A 的
元素个数比集合 B 的元素个数多 2 个，则集合A 的所有子集个数比集合 B 的所有子集个数多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
二、多选题
12
9．（2024· 2辽宁辽阳·一模）已知集合 A = {x | N, x N}, B = {x | x - 6x < 7}，则（ ）
x +1
A． A B = 1,2,3,5 B． A B = -1,7 11
C．12 x - y∣x A, y B D．$a A, y∣y = lg x2 - ax + 9 = R
【答案】BCD
10 2．（2024·甘肃定西·一模）设集合 A = x∣x - x 6 , B = xy∣x A, y A ，则（ ）
A． AI B = B
B．B Z的元素个数为 16
C． A B = B
D． AIZ 的子集个数为 64
【答案】BCD
11．（2024·全国·模拟预测）设 A1， A2，× × × ， An n 4 为集合 S = 1,2, × × ×, n 的 n个不同子集，为了表示这些
ì0, i Aj
子集，作 n行 n列的数阵，规定第 i行第 j 列的数为 aij = í1, i A ．则下列说法中正确的是（ ） j
A．数阵中第一列的数全是 0，当且仅当 A1 =
B．数阵中第 n列的数全是 1，当且仅当 An = S
C．数阵中第 j 行的数字和表明集合 Aj 含有几个元素
D．数阵中所有的 n2 个数字之和不超过 n2 - n +1
【答案】ABD
三、填空题
12．（2023·河南驻马店·一模）设全集U = {x N* | x 4}，集合 A = 1,4 , B = 2,4 ，则 U AI B = .
【答案】{1,2,3}
ì 3 - 2x ü
13．（2024·河北沧州·一模）已知全集U = R ，集合 A = íx | 0 ，集合B = x x > 2 ，则
x + 5
AI U B = ．
ì
【答案】 íx | -2
3
x ü
2
14．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3 ,L,am 为E 的第 k 个子集，其中
k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，则E 的第 211 个子集是 ．
【答案】{0,1,4,6,7}
四、解答题
ì m
15．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 A = í 2a 0 a a ü∣i 1 < 2 i=1
所有的数从小到大排列成数列 b(t)n ，数列 b(t)n 的前 n项和为 S(t)n .例如： t = 2时，
b(2) 0 1 0 21 = 2 + 2 = 3,b(2)2 = 2 + 2 = 5,b(2)
1 2 0 3
3 = 2 + 2 = 6,b(2)4 = 2 + 2 = 9,L，
S(2)4 = b(2)1 + b(2)2 + b(2)3 + b(2)4 = 23 .
(1)写出b(2)5 ,b(2)6，并求 S(2)10 ；
(2)判断 88 是否为数列 b(3)n 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若 2024 是数列 b(t)n 中的某一项b t0 n ，求 t0 ,n0及 S t0 n 的值.0 0
【答案】(1)b(2)5 =10,b(2)6 =12， S(2)10 =124；
(2)88 是数列 b(3)n 的第 30 项；
(3) t0 = 7 ， n0 = 329， S t0 = 427838n0
a a
【分析】当m = 2 时，此时 A = 2 1 + 2 ∣2 0 a1 < a2 ,a1,a2 N ，由集合新定义中的规则代入计算即可；
根据集合新定义，由88 = 26 + 24 + 23 ，再列举出比它小的项即可；
方法一：由 2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 可得 t0 = 7 ，再列举出比它小的项分别有以下 7 种情况，再求
和；方法二：由 2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 可得 t0 = 7 ，求得集合A 中的元素个数和最大的一个，可
得 n0 ，再求和可得 S t0 n .0
【解析】（1）因为m = 2 a，此时 A = 2 1 + 2a∣2 0 a1 < a2 ,a1,a2 N ，
b(2) = 235 + 2
1 =10,b(2)6 = 2
3 + 22 =12，
\S(2) = 4 20 + 2110 + 22 + 23 + 24 =124 .
（2）当m = 3时， A = 2a1 + 2a2 + 2a∣3 0 a1 < a2 < a3 , a1, a2 ,a3 N ，
Q88 = 26 + 24 + 23 ,\88是数列 b(3)n 中的项，
a a a
比它小的项分别有 2 1 + 2 2 + 2 3 ,0 a1 < a2 < a3 5,a1,a2 ,a3 N,C
3
6 个，
2a1 + 2a有 2 + 26 ,0 a1 < a2 3,a1,a2 N,C
2
4 个，
有 2a1 + 24 + 26 ,0 a1 2,a1 N,C
1
3个，
3 2 1
所以比 88 小的项共有C6 +C4 +C3 = 29个，故 88 是数列 b(3)n 的第 30 项.
（3）Q2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 ,\2024是数列 b(7)n 中的项，故 t0 = 7 ，
则当m = 7 A = 2a1 + 2a时， 2 +L+ 2a∣7 0 a1 < a2 方法一：比它小的项分别有以下 7 种情况：
① 2a1 + 2a2 +L+ 2a7 ,0 a1 < a2 7
7 N,10 个数字任取 7 个得C10个，
② 2a1 + 2a2 +L+ 2a6 + 210 ,0 a1 < a2 6
，得 9个，
③ 2a1 + 2a2 +L+ 2a5 + 29 + 210 ,0 a1 < a2 5
，得 8个，
④ 2a1 + 2a2 +L+ 2a4 + 28 + 29 + 210 ,0 a 41 < a2 ⑤ 2a1 + 2a2 + 2a3 + 27 + 28 + 29 + 210 ,0 a 31 < a2 < a3 5, a1, a2 ,a3 N，得C6个，
⑥ 2a1 + 2a2 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 ,0 a1 < a2 4,a
2
1,a2 N ，得C5 个，
⑦ 2a1 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 ,0 a1 2,a1 N C
1
，得 3个，
2024 C7 +C6 +C5 +C4所以比 小的项共有 10 9 8 7 +C
3 2 1
6 +C5 +C3 个，
C7 +C6 5其中 10 9 +C8 +C
4
7 +C
3
6 +C
2 +C15 3 = C
3
10 +C
3 +C3 +C3 +C39 8 7 6 +C
3
5 +3
= C3 +C310 9 +C
3
8 +C
3
7 +C
3 +C36 5 +C
4
5 +3-C
4
5
= C411 - 2
= 328
故 2024 是数列 b(7)n 的第 329 项，即 n0 = 329 .
方法二： A = 2a1 + 2a2 +L+ 2a∣7 0 a1 < a2 最大的是 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24，其次为 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 = 2024，
7
所以 2024 是数列 b(7)n 的第C11 -1= 329项，即 n0 = 329 .
C7 = 330 20 C6在总共 项中，含有 的项共有 个，同理 21, 2211 10 ,L210
6
都各有C10个，所以
S(7) 6330 = C10 × 20 + 21 +L+ 210 = 210 2047 = 429870，则
S t0 = S(7)329 = S(7)330 - b(7)330 = 429870 - 2032 = 427838n .0
【点睛】关键点点睛：本题关键在于解读集合A 的定义计算，并联想到88 = 26 + 24 + 23 和
2024 = 210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 辅助思考.专题 01 集合（八大题型+模拟精练）
目录：
01 集合的概念
02 元素与集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（个数）
05 集合的基本关系
06 Venn 图
07 集合的基本运算
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
01 集合的概念
1．（21-22 高一上·广东广州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．与定点 A，B 等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为 5
C．一个集合中有三个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是VABC 的三边长，则VABC 不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
2．（21-22 高一上·江苏常州·期中）下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与 0 非常接近的全体实数能构成集合；
② -1, (-1)2 表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．（（21-22 高一上·河南商城·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
① 与 0 表示同一个集合
②由 1，2，3 组成的集合可表示为 1,2,3 或 3,2,1
③方程 (x -1)2 (x - 2) = 0的所有解的集合可表示为 1,1,2
④集合{x∣4 < x < 5}可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
4．（21-22 高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)} B．M = (x, y) x + y =1 ， N = y x + y =1
C．M = {1,2}， N = {(1,2)} D．M = y | y = x2 + 3 ， N = x | y = x - 3
5．（2020 高三·全国·专题练习）设 a,b R ，集合{-1, a + b,
b
-a} = ì0, ,büí ，则 a + b =（ ）
a
A．1 B．－1
C．0 D．－2
02 元素与集合
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合 A = {x | x2 - x = 0}，则 -1与集合A 的关系为（ ）
A．-1 A B．-1 A C．-1 A D．-1 A
7．（2024·四川成都·三模）设全集U = 1,2,3,4,5 ，若集合M 满足 1,4 U M ，则（ ）
A． 4 M B．1 M
C． 2 M D．3 M
8．（23-24 2高三下·四川雅安·阶段练习）若集合 A = -2,1,4,8 ，B = x - y∣x A, y A ，则 B 中元素的最大
值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合 A = {x | 2mx - 3 > 0, m R}，其中2 A且1 A，则实数 m 的取值范围
是（ ）
3 3 3A ù é． , ú B． ê ,
3 3
÷ C． ,
3
D é
3 3ù
÷ ． ,
è 4 2 4 2 è 4 2 ê4 2ú
10．（23-24 高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合 A = x x2 - 3x - 4 < 0 2，B = x x - ax = 0 ，若 A B 中有
且仅有两个元素，则实数 a的范围为（ ）
A． -1,4 B． -1,0 C． 0,4 D． -1,0 U 0,4
11．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）若集合 A = x Z m < x < 4 有 15 个真子集，则实数 m 的取值范围
为（ ）
A． -1,0 B． -1,0 C． -1,0 D． -1,0
03 集合中元素的特性
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = 1,16,8a ，B = 1, a4 ，则满足 AI B = B 的实数 a 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
ì 8 ü
13．（2024·陕西榆林·二模）设集合 A = íx Z Z , B = {x∣1< x <10}，则 A B 中元素的个数为（x ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．（23-24 高三上·福建泉州·阶段练习）若集合 A = x | x -1 2, x N ，B = x | ln x 0 ，则 A B 的元素
的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D． 4
15．（23-24 *高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列 an 的公差为d ，集合T = ∣t t = sinan , n N .则（ ）
A．T 不可能有无数个元素
B．当且仅当 d = 0 时，T 只有 1 个元素
C 1．当T 只有 2 个元素时，这 2 个元素的乘积有可能为 2
d 2πD．当 = ,k 2,k N* 时，T 最多有 k 个元素，且这 k 个元素的和为 0
k
04 集合的方法、求集合（个数）
16．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，则实数 m=（ ）
A．0 B． -1 C．0 或 -1 D．0 或 1
M ìx 2 x 1ü17．（2024·山东聊城·二模）已知集合 = í - < , N = x 2x Z ，则M N =（3 ）
0,1 ì 1- , 1 ü ì 1A． B． í C． í- ,1, 1 ü ì 1 1 D． í- ,0, ,1ü
2 2 2 2 2 2
18．（2024· 2山东济南·二模）已知集合 x | x - a x -1 = 0 的元素之和为 1，则实数 a 所有取值的集合为
（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
19．（23-24 高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合P = 1,2 ，Q = 2,3 ，若M = x x P, x Q ，则M =
（ ）
A． 1 B． 2 C． 1,3 D． 1,2,3
A ìsin kπ= k N , 0 k 4ü20．（2023·新疆·一模）已知集合 í 且4 ，则集合
A 的元素个数为（ ）

A．3 B．2 C．4 D．5
05 集合的基本关系
21．（22-23 高一上·江苏南京·阶段练习）下列关系正确的是（ ）
A．0 B． = 0 C． 0 D． 0
M ì22．（2024·全国·模拟预测）设集合 = íx Z
x -1 ü
< 0 ，则集合 M 的真子集个数为（ ）
x + 3
A．8 B．7 C．32 D．31
23．（23-24 高三上·福建龙岩·阶段练习）给出下列关系：①高三（22）班的所有高个子同学可以构成一个
集合；② ；③ 1, -2 x, y∣ y = x2 - x - 2 ，其中正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
π π 1
24．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = {x | sin( x - ) }, B = -1,0,1,2,3 ，则集合 A B 的子集个数为
2 6 2
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
25．（2024·四川德阳·三模）已知集合 A = x |1 < x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围
是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． (- , 2024] D． (- , 2024)
26．（2024·全国· 2模拟预测）已知集合 A = x log2x 2 ，B = m ．若 AI B = B ，则m 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． - , 2 U 2,+ D． -2,0 U 0,2
06 Venn 图
27．（2024·全国·模拟预测）已知全集U = 1,2,3,4,5,6 ，集合 A = 1,2,3,4 , B = 2,4,6 ，则图中阴影部分表
示的集合为（ ）
A． 2,4 B． 1,3 C． 1,3,4 D． 2,3,4
28．（2024 高三·全国·专题练习）已知全集U = x x > 0 ，集合 A = x 3 < x < 8 ，B = x x -1 > 5 ，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A． x 3 < x 6 B． x 3 < x < 6 C． x 6 x < 8 D． x 6 < x < 8
29．（2024·江苏·一模）已知全集 U 与集合 A，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． AI U B B． AU U B C．B U A D． B U U A
30．（23-24 高三下·湖南岳阳·开学考试）如图， I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的
集合是（ ）
A． M P S B． M P S C． M P I S D． M P I S
二、填空题
07 集合的基本运算
31．（2024· 2全国·模拟预测）已知集合 A = x x - 5 0 ，B = x x2 + 4x + 3 > 0 ，则 AI B = .
32．（2024· · U = R A = x y = x2全国 模拟预测）已知 ， + x - 2 ，B = y y = 3x , x R ，则
U A B = ．
2 N {x | cos x 133．（2024·江苏南通·模拟预测）已知集合M = {x | x - 5x + 6 0}， = < - }，则
2
M N = .
34．（2024·全国·模拟预测）设集合 A = {x | x 3}, B = {x | log2 x + a 1}，若 A B = x -1 x 3 ，则实数 a
的值为 ．
三、解答题
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
35．（2024·北京西城·二模）已知数列 A : a1, a2 , , an ，从A 中选取第 i1项、第 i 2 项、…、第 i k 项 i 1< i 2成数列 B : ai ,ai , ,a1 2 i k ， B 称为A 的 k 项子列．记数列 B 的所有项的和为T(B)．当 k 2时，若 B 满足：对任
意 s {1,2,L,k -1}， is+1 - is = 1，则称 B 具有性质 P ．规定：A 的任意一项都是A 的 1项子列，且具有性质
P ．
(1)当 n = 4时，比较A 的具有性质 P 的子列个数与不具有性质 P 的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列 A :1,2,3, ,n (n≥ 2) ．
n
（ⅰ）给定正整数 k ，对A 的 k 项子列 B ，求所有T(B)的算术平均值；
2
（ⅱ）若A 有m 个不同的具有性质 P 的子列 B1, B2 , , Bm ，满足："1≤ i < j ≤ m ，Bi 与 Bj 都有公共项，且公共
项构成A 的具有性质 P 的子列，求m 的最大值．
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合 A 与 B，存在对应关系 f，使 A 中的每一个元素 a，B 中总有唯一的
元素 b 与它对应，则称这种对应为从 A 到 B 的映射，记作 f：A→B．
设集合 A = -5, -3, -1,1,3,5 ，B = b1,b2 ,L,bn （ n N* ， n 6 ），且B A．设有序四元数集合
P = {X X = x1, x2 , x3 , x4 , xi A且 i =1,2,3,4}，Q = Y Y = y1, y2 , y3 , y4 ．对于给定的集合 B，定义映射 f：
P→Q，记为Y = f X ，按映射 f，若 xi B（ i =1,2,3,4），则 yi = xi +1；若 xi B（ i =1,2,3,4），则
4
yi = xi．记 SB Y = yi ．
i=1
(1)若B = -5,1 ， X = 1,-3,-3,5 ，写出 Y，并求 SB Y ；
(2)若B = b1,b2 ,b3 ， X = 1,-3,-3,5 ，求所有 SB Y 的总和；
4
(3)对于给定的 X = x1, x2 , x3 , x4 ，记 xi = m，求所有 SB Y 的总和（用含 m 的式子表示）．
i=1
一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集U = {x | -2 x 2}，集合 A = x -1 x < 2 ，则 U A =（ ）
A． (-2,-1) B．[-2,-1] C． (-2,-1) U{2} D．[-2,-1) U{2}
2 2 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = x 2x - 3x - 5 0 , B = x x - 2x -8 0, x N ，则 R A B =
（ ）
ìx 5 üA． í -1 < x < B． x -2 x 4 C． 0,1,2 D． 1,2
2
3．（2024·全国·二模）已知集合 A = -2, -1,0,1,2 ，集合B = x x2 - x - a < 0 ，则满足 AI B = 0,1 的实数 a
的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． 2,6 C． 0,2 D． 0,6
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = 1,16,8a B = 1, a4， ，则满足 AI B = B 的实数 a 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
x
U R A = x x2 - 2x > 8 , B =
ì 1 ü
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知全集 = ，集合 ∣ íx ÷ < 33
，则图中阴影
è
部分表示的集合为（ ）
A．{x∣-1< x 2} B．{x∣-1< x < 2}
C．{x∣-1< x 4} D． x∣-1 x 4
ì x +1 ü
6．（2024· · A = x 0 2陕西咸阳 二模）已知集合 í ，B = x y = log2 x -16 ，则 A R B = （5 x ） -
A． -1,4 B． -1,4 C． -1,5 D． 4,5
7．（2024·青海·二模）已知 Z A 表示集合 A 中整数元素的个数，若集合M = x x - 9 2x +1 < 0 ，集合
N = x 2x >1 ，以下选项错误的是（ ）
A．Z M = 9 B．M N = x 0 < x < 9
C．Z M I N = 9 D． R N M = x x < 9
8．（2023·全国·模拟预测）已知集合A 和集合 B 满足： A B 有 2 个元素， A B 有 6 个元素，且集合A 的
元素个数比集合 B 的元素个数多 2 个，则集合A 的所有子集个数比集合 B 的所有子集个数多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
二、多选题
12
9 2．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 A = {x | N, x N}, B = {x | x - 6x < 7}，则（ ）
x +1
A． A B = 1,2,3,5 B． A B = -1,7 11
C．12 x - y∣x A, y B D．$a A, y∣y = lg x2 - ax + 9 = R
10．（2024· 2甘肃定西·一模）设集合 A = x∣x - x 6 , B = xy∣x A, y A ，则（ ）
A． AI B = B
B．B Z的元素个数为 16
C． A B = B
D． AIZ 的子集个数为 64
11．（2024·全国·模拟预测）设 A1， A2，× × × ， An n 4 为集合 S = 1,2, × × ×, n 的 n个不同子集，为了表示这些
ì0, i A
子集，作 n行 n列的数阵，规定第 i行第 j 列的数为 a = jij í1, i A ．则下列说法中正确的是（ ） j
A．数阵中第一列的数全是 0，当且仅当 A1 =
B．数阵中第 n列的数全是 1，当且仅当 An = S
C．数阵中第 j 行的数字和表明集合 Aj 含有几个元素
D．数阵中所有的 n2 个数字之和不超过 n2 - n +1
三、填空题
12．（2023·河南驻马店·一模）设全集U = {x N* | x 4}，集合 A = 1,4 , B = 2,4 ，则 U AI B = .
ì 3 - 2x ü
13．（2024·河北沧州·一模）已知全集U = R ，集合 A = íx | 0 ，集合B = x x > 2 ，则
x + 5
AI U B = ．
14．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3 ,L,am 为E 的第 k 个子集，其中
k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，则E 的第 211 个子集是 ．
四、解答题
ì m
15 a．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 A = í 2∣i 0 a1 < a2 i=1
所有的数从小到大排列成数列 b(t)n ，数列 b(t)n 的前 n项和为 S(t)n .例如： t = 2时，
b(2) = 201 + 2
1 = 3,b(2)2 = 2
0 + 22 = 5,b(2) 1 2 0 33 = 2 + 2 = 6,b(2)4 = 2 + 2 = 9,L，
S(2)4 = b(2)1 + b(2)2 + b(2)3 + b(2)4 = 23 .
(1)写出b(2)5 ,b(2)6，并求 S(2)10 ；
(2)判断 88 是否为数列 b(3)n 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若 2024 是数列 b(t)n 中的某一项b t0 n ，求 t0 ,n0及 S t0 0 n 的值.0专题 01 集合
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：
确定性、无序性、互异性
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为 .
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或 N＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或 N＋ Z Q R
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 是 B
的子集，记作 A B(或 B A)．
(2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于 A，则称 A 是 B 的真子集.
(3)集合相等：如果 A B，并且 B A，则 A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．记作 .
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作
A∩B，即 A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作
A∪B，即 A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}．
(3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U
的补集，简称为集合 A 的补集，记作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且 x A}．
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为 U，则集合 A
符号表示 A∪B A∩B
的补集为 UA
Venn图表示
集合表示 {x|x∈A，或 x∈B} {x|x∈A，且 x∈B} {x|x∈U，且 x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集 A 中有 n个元素，则 A的子集有 2n个，真子集有 2n－1个，非空子集有 2n－1个，非空真子集有
2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
在高中数学课程中，集合是刻画一类事物的语言和工具。本单元的学习，可以帮助学生使用集合的语
言简洁、准确地表述数学的研究对象，学会用数学的语言表达和交流，积累数学抽象的经验。
能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，并用集合语言予以表达。初步学会用三
种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表达数学研究对象，并能进行转换。掌握集合的基本关系与基
本运算在数学表达中的作用。
1. 用图示法解决集合运算问题
①．数集或抽象集合间的运算，常常借助 Veen 图解；
②．连续的实数组成的集合，常常借助数轴求解，同时注意端点值能否取到的情况。
2. 根据两集合的关系求参数范围的一般方法
①．明确集合中的元素，同时注意空集是否存在；
②．利用数形结合的方法—若集合中的元素是一 一列举出来的，常根据集合的关系化为方程组求解，同时
注意集合中元素的互异性，若集合表示的是不等式（组）的解集，常利用数轴求解，同时注意端点是否能
取到。

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