资源简介

专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
02 解含参的一元二次不等式
03 一元二次方程根的分布
04 二次函数定区间定轴型
05 二次函数动区间定轴型
06 二次函数定区间动轴型
07 二次函数与不等式求参综合
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
09 一元二次不等式的实际应用
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
1．（2024 高三·全国·专题练习）解下列一元二次不等式：
(1) 2x2 - 2 2x +1 > 0 ；
(2) x2 + x -1 < 0；
(3) -3x2 + 5x - 4 0；
(4) 2x -1 2 < 4；
(5) x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1；
(6) 3x + 2 x + 2 > 4．
ìx x 2
ü
【答案】(1) í
2
ì -1- 5 -1+ 5 ü
(2) íx < x <
2 2
(3)
ìx 1 x 3- < < ü(4) í
2 2
ì -1- 3 -1+ 3 ü
(5) íx < x <
2 2
ì 8
(6) íx x < - 或 x > 0
3
【分析】依据二次不等式解法程序去求解即可.
2
【解析】（1）二次方程 2x2 - 2 2x +1=0有二重根， x1 = x2 = 2
ì 2 ü
则不等式 2x2

- 2 2x +1 > 0 的解集为 íx x

2
（2）二次方程 x2 + x 1=0 -1- 5- 有二根， x1 = , x
-1+ 5
=
2 2 2
2 ìx -1- 5 x -1+ 5
ü
则不等式 x + x -1 < 0的解集为 í < <
2 2


（3）不等式-3x2 + 5x - 4 0可化为3x2 - 5x+4 0
由 -5 2 - 4 3 4 = -23 < 0可知，二次方程3x2 - 5x+4=0无根，
则不等式3x2 - 5x+4 0的解集为
故不等式-3x2 + 5x - 4 0的解集为
（4 2x -1 2）不等式 < 4可化为 4x2 - 4x - 3 < 0
1 3
二次方程 4x2 - 4x - 3=0有二根， x1 = - , x2 =2 2
ì 1 3ü
则不等式 4x2 - 4x - 3 < 0的解集为 íx - < x <2 2
2 ì 1 3ü
故不等式 2x -1 < 4的解集为 íx - < x <
2 2
（5）不等式 x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1可化为 2x2 +2x -1< 0
2x2 +2x 1=0 x -1- 3 , x -1+ 3二次方程 - 有二根， 1 = =2 2 2
2 ìx -1- 3 -1+ 3
ü
则不等式 2x +2x -1< 0的解集为 í < x <
2 2


ì -1- 3 -1+ 3 ü
故不等式 x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1 x < x < 的解集为 í
2 2
（6）不等式 3x + 2 x + 2 > 4可化为3x2 +8x > 0
8
二次方程3x2 +8x=0有二根， x1 = 0, x2 = - 3
2 ì 8则不等式3x +8x > 0的解集为 íx x < - 或 x > 0
3
故不等式 3x + 2 x 2 8+ > 4 ì的解集为 íx x < - 或 x > 0
3
2．（2024 高三·全国·专题练习）解不等式：
x - 3
(1) < 0；
-3x + 6
x +1
(2) 2 ．
3x - 2
【答案】(1) x x < 2或 x > 3 ；
ì 2
(2) íx < x 1 .
3
【分析】（1）由题可得 x - 3 3x - 6 > 0，即求；
ì 5x - 5 3x - 2 0
（2）由题可得 í ，即得.
3x - 2 0
x - 3 x - 3
【解析】（1）由 < 0，可得 > 0，
-3x + 6 3x - 6
∴ x - 3 3x - 6 > 0，
解得 x < 2或 x > 3，
所以原不等式的解集为 x x < 2或 x > 3 .
x +1 x +1 -5x + 5
（2）由 2 可得， - 2 = 0 ，
3x - 2 3x - 2 3x - 2
ì 5x - 5 3x - 2 0 2
∴ í ，解得 < x 1，
3x - 2 0 3
ì 2
所以原不等式的解集为 íx < x 1 .
3
3．（2021 高一·上海·专题练习）关于 x 的不等式5x +1+ 2x -1 > 4x - 2 + 2x -1 的解集是 .
é1
【答案】 ê ,+ ÷ 2
ì5x +1 > 4x - 2
【分析】不等式可化简为 í 2x 1 0 ，计算即可
.
-
1
【解析】不等式整理的 5x+1>4x-2，解得 x>-3，又因为 2x-1≥0，所以 x ，
2
é1
所以不等式的解集为 ê ,+ ÷ , 2
é1
故答案为： ê ,+

2 ÷
4．（2022 秋- 2 3陕西宝鸡-高二统考期中）不等式 x + 3 x -1 x - 2 0解集为（ ）
A．{x | x -3或 x 2} B．{x | x -3或 x 1}
C．{x | -3 x 1或 x 2} D．{x | x -3或 x =1或 x 2}
【答案】D
【分析】解高次不等式使用穿根法求解.
【解析】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为{x | x -3或 x =1或 x 2}
故选：D.
02 解含参的一元二次不等式
5．（23-24 2高三上·江苏扬州·阶段练习）若关于 x 的不等式 x - m + 4 x + 4m < 0的解集中恰有3个整数，则
实数 m 的取值范围为（　　）
A． 7,8 B． 0,1
C． 0,1 7,8 D． 0,1 7,8
【答案】D
【分析】根据给定条件，分类解不等式并确定 m 值的范围即得.
2
【解析】不等式 x - m + 4 x + 4m < 0化为： (x - 4)(x - m) < 0，显然m 4，否则不等式解集为空集，不符
合题意，
当m < 4时，不等式的解集为 (m, 4) ，依题意，在 (m, 4) 中恰有 3 个整数，即为 3，2，1，则0 m <1，
当m > 4 时，不等式的解集为 (4,m)，显然在 (4,m)中恰有 3 个整数，即为 5，6，7，则7 < m 8，
所以实数 m 的取值范围为 0,1 7,8 .
故选：D
x - a
6．（23-24 高三上·山东潍坊·期末）已知甲： x 1，乙：关于 x 的不等式 < 0 a R ，若甲是乙的必
x - a -1
要不充分条件，则 a的取值范围是（ ）
A．a 1 B． a > 1 C． a<0 D． a 0
【答案】A
【分析】将乙中的分式不等式化为二次不等式求解，再由必要不充分条件得到集合的包含关系，结合数轴
求参数范围即可.
【解析】甲： x 1，设此范围对应集合 A = 1,+ ；
由 a < a +1，
x - a
则乙： < 0 x - a x - a -1 < 0 a < x < a +1，
x - a -1
设此范围对应集合 B = (a,a +1)，
若甲是乙的必要不充分条件，则 B A ，其中 A = B 必不成立；
则 (a, a +1) 1, + ，所以a 1 .
故选：A.
7．（23-24 高三上·云南德宏·期末）已知关于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集为 x 2 x 3 ，则关于 x 的不
等式 x2 - bx + a < 0的解集为（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出 a、b的值，再解不等式.
【解析】根据题意，方程 x2 - ax + b = 0的两根为 2 和 3，
则 a = 2 + 3 = 5,b = 2 3 = 6，
则 x2 - bx + a < 0为 x2 - 6x + 5 < 0，其解集为 x 1< x < 5 .
故选：D.
8．（21-22 高三上·重庆黔江·阶段练习）已知 ax2 + bx + c > 0的解集为{x | -1< x < 2}，则不等式
a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集为（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
【答案】C
【分析】根据二次方程和不等式根与系数的关系确定 a,b,c 的关系，代入不等式得解集
【解析】已知 ax2 + bx + c > 0的解集为{x | -1< x < 2}，
则 ax2 + bx + c = 0的两根为 -1和 2，
ì
a < 0

1 2 b所以 í- + = - ，即b = -a,c = -2a ，
a

-1
c
2 =
a
2
代入不等式， a x +1 + b(x -1) + c < 2ax 化简整理得 ax2 - 3ax < 0 ，
因为 a<0，故 x2 - 3x > 0，
不等式的解集为{x | x < 0 或 x > 3}.
故选：C
2 4
9．（23-24 高三上·福建·期中）已知关于 x 的不等式 x2 - 2ax - b2 < 0的解集为 m, n ，若 n-m = 2，则 +a2 b2
的最小值是（ ）
A．3+ 2 2 B．6 + 2 2 C．6 + 4 2 D．12 + 8 2
【答案】C
【分析】根据 x2 - 2ax - b2 < 0的解集为 m, n 得到m ， n是方程 x2 - 2ax - b2 = 0 点的两个根，然后根据韦达
定理和 n-m = 2得到 a2 + b2 =1，最后利用基本不等式求最值即可.
【解析】由题意得m ， n是方程 x2 - 2ax - b2 = 0 点的两个根，所以m + m = 2a ，mn = -b2，
n - m 2 = n + m 2 - 4mn = 4a2 + 4b2 = 4，即 a2 + b2 =1，
2 4 2 4 a2 b2 2 4 2b
2 4a2 6 2 2b
2 4a2
所以 + = + + = + + + + × = 6 + 4 2 ，
a2 b2 è a2 b2 ÷

a2 b2 a2 b2
2b2 4a2
当且仅当 2 = 2 ，即 a
2 = 2 -1，b2 = 2 - 2 时等号成立.
a b
故选：C.
03 一元二次方程根的分布
10．（2024高三·全国· 2专题练习）关于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有两个不相等的实数根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
那么 a的取值范围是（ ）
2 a 2 2A．- < < B． a >
7 5 5
a 2 2C． < - D．- < a < 0
7 11
【答案】D
2
【分析】说明 a = 0时，不合题意，从而将 ax + a 2+ 2 x + 9a = 0 2 化为 x + 1+ ÷ x + 9 = 0，令
è a
y x2 1 2= + + ÷ x + 9，结合其与 x 轴有两个交点，且分布在 1 的两侧，可列不等式即可求得答案.
è a
2
【解析】当 a = 0时， ax + a + 2 x + 9a = 0即为 2x = 0，不符合题意；
故 a 0， ax2 + a + 2 x + 9a = 0 2 2 即为 x + 1+ ÷ x + 9 = 0，
è a
2
令 y = x + 1
2
+ ÷ x + 9，
è a
2
由于关于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有两个不相等的实数根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
则 y = ax2 + a + 2 x + 9a 与 x 轴有两个交点，且分布在 1 的两侧，
2 2 2
故 x =1时， y < 0 ，即1+ 1+ ÷ 1+ 9 < 0 ，解得 < -11，故- < a < 0 ，
è a a 11
故选：D
11．（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实数
解，则 a的取值范围是（ ）
6 , 1 6- - A． ÷ B． - ,15 5 ÷è è
6 6
C． - , -

÷ U -1, +

D． - , -

÷ U 1, +
è 5 è 5
【答案】A
【分析】
ìΔ > 0
-2 < a <1
令 g x = x2 - 2ax + a + 2 ，依题意可得 í
g 2 0
，解得即可.- >
g 1 > 0
【解析】
2
令 g x = x - 2ax + a + 2，因为方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实数解，
ìΔ > 0 ìΔ = 4a2 - 4 a + 2 > 0

-2 < a <1

-2 < a <1 6
所以 í ，即 í ，解得- < a < -1 g -2 > 0
，
4 + 4a + a + 2 > 0 5
g 1 > 0 1- 2a + a + 2 > 0
6
所以 a的取值范围是 - , -1

÷ ．
è 5
故选：A．
ìx2 - 4x + 3 < 0
12．（21-22 高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组 í 2 的解集是关于 x 的不等式 x
2 - 3x + a < 0的
x - 6x + 8 < 0
解集的子集，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据 x 2,3 是 x2 - 3x + a < 0的解集的子集，用二次函数的性质来列
出不等式组，解出 a的取值范围.
ìx2 - 4x + 3 < 0
【解析】 í 2 ，解得： x 2,3 ，因为 x 2,3 是不等式 x2 - 3x + a < 0的解集的子集，故
x - 6x + 8 < 0
ì f 2 0
f x = x2 - 3x + a 要满足： í f 3 0 ，解得： a 0，

Δ > 0
故选：A
04 二次函数定区间定轴型
13．（22-23 高一上·全国·课后作业）已知一元二次函数 y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说
法正确的为（ ）
A．最小值为 2，最大值为 5 B．最小值为 1，最大值为 5
C．最小值为 1，无最大值 D．无最值
【答案】C
【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论．
【解析】由已知函数图象对称轴是 x =1，在 (0,1]上，函数是减函数，在[1,3) 上是增函数，因此 x =1时，函
数取得最小值为 1，但无最大值，
故选：C．
14．（22-23 高一上·全国·课后作业）函数 y = x - x(x > 0)的最大值为（ ）
1 1
A． B．0 C． D．1
4 3
【答案】A
1
2
1
【分析】 y = x - x 配方化为- x - ÷ + ，结合二次函数知识即可得答案.
è 2 4
2
【解析】因为 y = x - x = - x 2 + x 1= - x - 1 ÷ + x 0 ，
è 2 4
当 x
1 x 1= ，即 = 时， y = x - x(x > 0)取得最大值，
2 4
1
即 ymax = ，4
故选：A
05 二次函数动区间定轴型
15．（22-23 高一·全国·课后作业）已知函数 y = f (x) 的表达式 f (x) = x2 - 2x - 3，若 x [t, t + 2]，求函数 f (x)
的最值．
【答案】答案见解析
t + t + 2
【分析】分1 t + 2 , 1 t 2 t 1
t + t + 2
< + , < ,1< t 四种情况讨论求解即可.
2 2
【解析】解：函数 f (x) = x2 - 2x - 3的图像的对称轴为直线 x =1．
①当1 t + 2，即 t -1时， f (x)max = f (t) = t
2 - 2t - 3， f (x) 2min = f (t + 2) = t + 2t - 3；
t + t + 2
②当 1 < t + 2，即-1 < t 0 时， f (x) = f (t) = t 2max - 2t - 3， f (x)2 min
= f (1) = -4 ；
t + t + 2
③当 t 1 < 2，即0 < t 1时， f (x)max = f (t + 2) = t + 2t - 3， f (x)min = f (1) = -4 ；2
④ 2 2当1< t ，即 t > 1时， f (x)max = f (t + 2) = t + 2t - 3， f (x)min = f (t) = t - 2t - 3．
ì 2
2 t + 2t - 3, t -1
ìt - 2t - 3, t 0f x = f x = ∴ -4, -1 < t 1max í ， t 2 + 2t - 3, t > 0 min í . t 2 - 2t - 3, t >1
16．（23-24 高一·江苏·假期作业）如果函数 f x = x -1 2 +1定义在区间[t,t +1]上，求 f x 的值域．
【答案】答案见解析
【分析】根据二次函数对称轴与所给自变量区间分类讨论，由二次函数性质求最值即可得解.
2
【解析】函数 f x = x -1 +1，其对称轴方程为 x＝1，顶点坐标为 (1,1) ，图象开口向上．
如图所示，
若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有 t > 1，此时，当 x = t 时，函数值最小，
f t = t -1 2 +1 = t 2 - 2t + 2，当 x = t +1时，函数值最大， f t +1 = t 2 +1.
∴函数的值域为[t 2 - 2t + 2, t 2 +1] .
如图所示，
若顶点横坐标在区间[t,t +1]上时，有 t 1 t +1，即0 t 1 .
1
当 x =1时，函数的最小值为 f (1) =1，当 t 1时，最大值为 f (t +1) = t 2 +1，
2
2 0 t 1∴函数的值域为[1, t +1]；当 < 时，最大值为 f (t) = t 2 - 2t + 2，
2
所以 f (x) 在[t,t +1]上的值域为[1, t 2 - 2t + 2] .
如图所示，
若顶点横坐标在区间[t,t +1]右侧时，有 t +1<1，即 t < 0 .
当 x = t +1，函数的最小值为 f (t +1) = t 2 +1，最大值为 f (t) = t 2 - 2t + 2，
所以函数 f (x) ét 2的值域为 +1, t
2 - 2t + 2ù .
综上，当 t > 1时，函数 f (x) 的值域为[t 2 - 2t + 2, t 2 +1] .
1
当 t 1时，函数 f (x)
1
的值域为[1, t 2 +1]；当0 t < 时，函数 f (x) 的值域为[1, t 2 - 2t + 2]；当 t < 0时，函
2 2
f (x) ét 2 +1, t 2数 的值域为 - 2t + 2ù .
06 二次函数定区间动轴型
17 2．（22-23 高一上·云南昆明·期末）已知二次函数 f x = ax + bx + c a 0 的图像过点 -2,0 和原点，对于
任意 x R ，都有 f x ≥ 2x．
(1)求函数 f x 的表达式；
(2)设 g x = f x + 2mx ，求函数 g x 在区间 0,1 上的最小值．
2
【答案】(1) f x = x + 2x
ì 3+ 2m,m -2

(2) g(x) 2min = í-(m +1) , - 2 < m < -1

0, m -1
ìc = 0 ì a > 0
【分析】（1）由题意得 í4a 2b c 0，得
f (x) = ax2 + 2ax，从而 ax2 + 2(a -1)x 0恒成立，得 ，
- + =
í 2
Δ = 4(a -1) 0
即可求解；
（2）依题意可得 g(x) = f (x) + 2mx = x2 + (2 + 2m)x，即可得到对称轴，再对对称轴所在位置分类讨论，即可
求出函数的最小值.
ìc = 0
【解析】（1）由题意得 í ，所以b = 2a,c = 0, f (x) = ax2 + 2ax
4a - 2b + c = 0
，
因为对于任意 x R ，都有 f (x) 2x，即 ax2 + 2(a -1)x 0恒成立，
ì a > 0
故 í a =1 \b = 2 .
Δ = 4(a -1)
2 0 ，解得 ，
所以 f (x) = x2 + 2x；
（2） g(x) = f (x) + 2mx = x2 + (2 + 2m)x，
则 g(x)的对称轴为 x = -m -1，
当-m -1 0 ，即m -1 , 函数在 0,1 上单调递增，
故 g(x)在 0,1 上的最小值为 g(0) = 0；
当-m -1 1，即m -2时，函数在 0,1 上单调递减，
故 g(x)在 0,1 的最小值为 g(1) = 3 + 2m；
当0 < -m -1 <1，即-2 < m < -1时,
函数在 0, -m -1 上单调递减，在 -m -1,1 上单调递增，
故 g(x)在 0,1 上的最小值为 g(-m -1) = -(m +1)2 .
ì 3+ 2m,m -2
2
综上, g(x)min = í-(m +1) , - 2 < m < -1.

0, m -1
18 2．（22-23 高一上·全国·单元测试）设函数 f x = x + 2tx + t -1 .
(1)当 t = 2时，求函数 f x 在区间 -3，1 中的最大值和最小值；
(2)若 x 1，2 时， f x > 0恒成立，求 t 的取值范围.
【答案】(1)最大值为 6，最小值为-3；
(2) 0，+ .
【分析】（1）结合二次函数的图象可求得函数的最大值和最小值；
（2）由 f x = x2 + 2tx + t -1 = x + t 2 - t 2 + t -1，根据当 x 1，2 时，函数 f x > 0恒成立，分类讨论，使得
f x > 0min ，即可求解，得到答案.
【解析】（1
2
）由题意，当 t = 2时，函数 f x = x2 + 4x +1 = x + 2 - 3，
由二次函数的性质可知， f (x) 在[-3, -2)上递减，在 (-2,1]上递增，
当 x = -2时，函数取得最小值，最小值为 f -2 = -3，
f (1) = 6， f (-3) = -2，当 x =1时，函数取得最大值，最大值为 f 1 = 6；
（2）由 f x = x2 + 2tx + t -1 = x + t 2 - t 2 + t -1，
因为当 x 1，2 时，函数 f x > 0恒成立，
当-t 1时，即t -1时， f x = f 1 = 3t > 0min ，解得 t > 0；
当1 < -t < 2时，即-2 < t < -1时， f x = f -t = -t 2 + t -1 > 0min ，
1 2t 2 3即 - t +1 = t - ÷ + < 0，此时解集为 ；
è 2 4
当-t 2时，即 t -2时， f x = f 2 = 5t + 3 > 0 3min ，解得 t > - ，不符合题意.5
所以实数 t 的取值范围 0，+ .
07 二次函数与不等式求参综合
19 2．（20-21 高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数 f x = ax + 2 a -1 x + 2在 - , 4 上为减函数，则 a的取
值范围为（ ）
1 é 1ù 1ù
A
1ù
． , + ÷ B． ê0, C． - , D． 0,è 5 5 è 5 è 5
【答案】D
ìa > 0

【分析】根据题意，由 í1- a 求解.
4 a
【解析】解：因为二次函数 f x = ax2 + 2 a -1 x + 2在 - , 4 上为减函数，
ìa > 0

所以 í1- a ，解得0 < a
1
，
4 5 a
1ù
所以 a的取值范围为 0,
è 5
，
故选：D
20．（2023 高三·全国·专题练习）设二次函数 f (x) = (a - 2)x2 + 3ax + 2 在R 上有最大值，最大值为m a ，当m a
取最小值时，a = （ ）
A．0 B 1 C 1． ． 2 D． 2
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求出m a ，然后利用基本不等式即得.
【解析】Q f (x) = (a - 2)x2 + 3ax + 2在R 上有最大值m a ，
2
\a - 2 < 0且当 x
3a
= - f (x) 8(a - 2) - 9a
2(a - 2) 时， 的最大值为 4(a - 2) ，
2
即 2 - a > 0 m a 2 9a 9 9且 = - = (2 - a) + - 7 2 9(2 - a) 9 - 7 = 24(a - 2) 4 2 - a 4 2 a ，-
9(2 - a) 9
当且仅当 = 时，即 a = 0时，m a 4 2 a 有最小值 2，-
故选：A．
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
21．（23-24 高三上·山东滨州·期末）若不等式 x2 - ax + 4 0对任意 x 1,3 恒成立，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． 0,4 13B． - , 4 - , ùC． D． - ,5 è 3
【答案】B
【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.
【解析】不等式 x2
4
- ax + 4 0对任意 x 1,3 恒成立，则"x 1,3 ， a x + 成立，x
x 4 4
4
而 + 2 x × = 4，当且仅当 x = ，即 x = 2时取等号，因此 a 4，
x x x
所以实数 a的取值范围是 - , 4 .
故选：B
22．（21-22 高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意 x m, m +1 ，都有 x2 + mx -1 < 0成立，则实数m 的取值
范围是（ ）
2 2
A． - ,0

÷ B． - ,03 2 ÷è ÷è
é 2 ù é 2 ùC． ê- ,0 D． - ,0 3
ê 2
【答案】B
【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【解析】由题意，对于"x m,m +1 都有 f (x) = x2 + mx -1 < 0成立，
ì f m = m2 + m2 -1< 0
∴ 2í 2 ，解得：- < m < 0 ，
f m +1 = m +1 + m m +1 -1< 0 2
2
即实数m 的取值范围是 - ,02 ÷÷
.
è
故选：B.
23．（2023 高三·全国·专题练习）若关于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0在区间 2,4 上有解，则实数 m 的取值范
围为（ ）
A． -3, + B． 0, + C． - ,0 D． - , -3
【答案】A
【分析】
利用二次函数的图象及根的分布计算即可.
【解析】易知D = m2 +16 > 0 恒成立，即 x2 + mx - 4 = 0有两个不等实数根 x1, x2 ，
又 x1x2 = -4 < 0，即二次函数 y = x2 + mx - 4有两个异号零点，
所以要满足不等式 x2 + mx - 4 > 0在区间 2,4 上有解，
所以只需 42 + 4m - 4 > 0，
解得m > -3，所以实数 m 的取值范围是 -3, + ．
故选 A．
24．（2022·甘肃张掖·模拟预测）若关于 x 的不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0在区间 0,5 内有解，则实数 a的取值范
围是（ ）．
A． 2, + B． - ,5 C． - , -3 D． - , 2
【答案】D
【分析】不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0 2在区间 0,5 内有解，仅需 (x - 6x + 2)max > a ，利用一元二次函数的图像和
性质求解即可.
【解析】不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0 2在区间 0,5 内有解，仅需 (x - 6x + 2)max > a 即可，
-6
令 f (x) = x2 - 6x + 2，因为 f (x) 的对称轴为 x = - = 3， f (0) = 2， f (5) = -3，
2 1
2
所以由一元二次函数的图像和性质的得 (x - 6x + 2)max = 2，
所以 a < 2，
故选：D
09 一元二次不等式的实际应用
25．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段练习）第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中国杭州举行，
参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售
卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为 15 元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出 45 枚，每枚售价
每提高 1 元，日销售量将减少 3 枚，为了使这批纪念章每天获得 600 元以上的销售收入，则这批纪念章的
销售单价 x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． 10,20 B． 15,20 C． 16,20 D． 15,25
【答案】B
【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.
【解析】由题意，得 x é 45 - 3 x -15 ù > 600，
即 x2 - 30x + 200 < 0，∴ x -10 x - 20 < 0，
解得10 < x < 20 .又每枚的最低售价为 15 元，∴15 x < 20 .
故选：B.
26．（2023 高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2 的内接矩形
花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长 x （单位：m）的取值范围是（ ）
A． x 15 x 20 B． x 12 x 25
C． x 10 x 30 D． x 20 x 30
【答案】C
【分析】根据题意，由相似三角形将 AF , FH 表示出来，从而表示出S ，然后求解不等式，即可得到结果.
【解析】
DE AF x AF
如图，过A 作 AH ^ BC 于 H ，交DE 于F ，易知 = ，即 = ，
BC AH 40 40
则 AF = x ，FH = 40 - x．所以矩形花园的面积 S = x 40 - x 300，
解得10 x 30．
故选:C．
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）设全集U = {0,1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3,4,5}, B = {x Z∣ x < 2}，则集合{4,5} =
（ ）
A． U (A B) B． U A B
C． A∩ U B D． U A U B
【答案】C
【分析】由交集，补集和解不等式运算可得.
【解析】因为 x < 2，所以 0 < x < 4，
所以B = x Z | 0 < x < 4 = 1,2,3 ，
所以 U B = 0,4,5,6 ，
所以 A U B = 4,5 ，
故 ABD 错误，故 C 正确；
故选：C
2．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x) ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出 | x(x -1) |= x(1- x)，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【解析】由 | x(x -1) |= x(1- x)可得： x(x -1) 0，
解得：0 x 1，
所以“ 0 < x <1”能推出“ | x(x -1) |= x(1- x) ”，
但“ | x(x -1) |= x(1- x) ”推不出“ 0 < x <1”，
所以“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x) ”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a
1
<
2
【答案】A
【分析】
分 a = 0和 a 0两种情况讨论求出 a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
1
【解析】当 a = 0时，-2x +1 > 0，得 x < ，与题意矛盾，
2
ìa > 0
当 a 0时，则 íΔ 4 4a 0 ，解得
a > 1，
= - <
综上所述， a > 1，
所以不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是 A 选项.
故选：A.
4．（2024· 2浙江·模拟预测）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【答案】C
【分析】分类讨论 k = 0与 k 0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
2
【解析】当 k = 0时，不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0可化为-6x + 2 > 0，显然不合题意；
当 k 0 2时，因为 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，
ìk > 0
所以 í ，解得 2 < k <18；
Δ = k - 6
2 - 4k 2 < 0
综上： 2 < k <18 .
故选：C.
5．（2023·陕西·模拟预测）命题“ "x R, x2 - kx + k + 3 0 ”是假命题，则 k 的取值范围是（ ）
A． - ,6 B． -2, + C． -2,6 D． - , -2 6,+
【答案】D
【分析】根据题意分析可知命题“ $x R, x2 - kx + k + 3 < 0 ”为真命题，结合二次函数的D判别式运算求解.
【解析】由题意可知：命题“ $x R, x2 - kx + k + 3 < 0 ”为真命题，
D = k 2则 - 4 k + 3 0，解得 k 6或 k -2，
所以 k 的取值范围是 - , -2 6,+ .
故选：D.
6．（2024· 2四川宜宾·模拟预测）若 p :实数 a 使得“ $x0 R ， x0 + 2x0 + a = 0 ”为真命题， q :实数 a 使得
“ "x 1, + ， x2 - a > 0 ”为真命题，则 q 是 p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据方程有解和恒成立分别解出 p, q，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
2
【解析】对于 p ：$x0 R ， x0 + 2x0 + a = 0，所以D = 4 - 4a 0 a 1，
对于q："x 1, + ， x2 - a > 0，因为 y = x2 - a 在 1, + 上单调递增，
所以 ymin =1- a > 0 a <1，所以 q 是 p 的充分不必要条件，
故选：A
7．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0(a 0)时，因弄错了常数 c的符号，解得
其解集为 (- , -3) (-2,+ )，则不等式bx2 + cx + a > 0的解集为（ ）

A． -1,
1
- ÷ B． (- , -1)
1
- , +

5 5 ÷è è
1
C． ,1
1
÷ D5 ．
- ,
5 ÷
(1, + )
è è
【答案】C
【分析】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得 a,b,c的关系式，进而求得不等式bx2 + cx + a > 0的解
集.
b c
【解析】由题意可知 a < 0，且-3 + (-2) = - ,-3 (-2) = - ，所以b = 5a,c = -6a，
a a
所以bx2 + cx + a > 0化为5x2 - 6x +1 < 0，
5x -1 x -1 < 0 1，解得 < x <1 .
5
故选：C
x y
8．（2023·宁夏中卫·二模）已知点 A(1, 4)在直线 + =1 a > 0,b > 0 上，若关于 t 的不等式 a + b t 2 + 5t + 3
a b
恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ）
A． -6,1 B． -1,6
C． - , -1 6, + D． - , -6 1, +
【答案】A
【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得 a + b 的最小值，从而将问题转化9 t 2 + 5t + 3，解之即
可.
x y
【解析】因为点 A(1, 4)在直线 + =1 a > 0,b > 0 上，
a b
1 4
所以 + = 1，
a b
故a + b = a b 1 4 b 4a b 4a+ + ÷ = + + 5 2 × + 5 = 9，
è a b a b a b
b 4a 1 4
当且仅当 = 且 + = 1，即 a = 3,b = 6时等号成立，
a b a b
因为关于 t 的不等式 a + b t 2 + 5t + 3恒成立，
所以9 t 2 + 5t + 3，解得-6 t 1，
所以 t -6,1 .
故选：A
二、多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <1
4
ì 3 ü
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 22
C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，则 a 的取值范围是
D．若关于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，则 p + q 1的值为-
2
【答案】CD
【分析】
对于 AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于 C，对 a分类讨论即可判断；对于 D，由一元二次不等式的
解集与一元二次方程的根的关系，先求得 p, q，然后即可判断.
2
【解析】对于 A， 4x - 5x +1 > 0 x -1 4x -1 1> 0 x < 或 x >1，故 A 错误；
4
B 2x2对于 ， - x - 6 0 x - 2 2x + 3 0 3 - x 2 ，故 B 错误；
2
若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，
当 a = 0时， 21 < 0是不可能成立的，
ìa < 0
所以只能 íΔ 64a2 84a 0，而该不等式组无解，综上，故
C 正确；
= - <
对于 D，由题意得 q,1是一元二次方程 2x2 + px - 3 = 0 的两根，
ìq -3 1 = 3
从而 í 2 ，解得 p =1, q = - ，
2 + p - 3 = 0
2
3 3
而当 p =1, q = - 2时，一元二次不等式 2x + x - 3 < 0 x -1 2x + 3 < 0 - < x <1满足题意，
2 2
所以 p + q
1
的值为- ，故 D 正确.
2
故选：CD.
10．（2022·辽宁丹东·一模）如果关于 x 的不等式 x2 - 2ax + b -1 > 0的解集为 x∣x a ，那么下列数值中，b
可取到的数为（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】根据不等式的解集与对应二次函数的关系，求得b 的取值范围，即可根据选项进行选择.
【解析】由题设知， y = x2 - 2ax + b -1对应的n= 0，
即 4 a2 - b +1 = 0，故b = a2 +1 1，
所以数值-1,0,1,2中，b 可取到的数为 1，2.
故选：CD .
11．（2022· 2全国·模拟预测）已知二次函数 f x = mx -4mx +12m-3 m < 0 ，若对任意 x1 x2 ，则（ ）
A．当x1 + x2 = 4时， f x1 = f x2 恒成立
B．当 x1 + x2 > 4时， f x1 < f x2 恒成立
C．$x0 使得 f x0 0成立
D．对任意x1，x2，均有 f xi 8m-3 i =1,2 恒成立
【答案】AD
【分析】二次函数开口向下，对称轴为 x = 2，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.
2 -4m
【解析】依题意，二次函数 f x = mx -4mx +12m-3 m < 0 的对称轴为 x = - = 2 .
2m
因为m < 0，所以其函数图象为开口向下的抛物线，
对于 A 选项，当x1 + x2 = 4时，x1，x2关于直线 x = 2对称，
所以 f x1 = f x2 恒成立，所以 A 选项正确；
对于 B 选项，当 x1 + x2 > 4，若 x1 > x2 ，则不等式可化为 x1 - 2 > 2 - x2 ，
所以 f x1 < f x2 ；
若 x1 < x2，则不等式可化为 x2 - 2 > 2 - x1，所以 f x2 < f x1 ，所以 B 选项错误；
对于 C 选项，因为m < 0，所以D = -4m 2 - 4m 12m - 3 = -32m2 +12m < 0 ，
f x = mx2所以二次函数 -4mx +12m-3 m < 0 的图象开口向下，且二次函数与 x 轴无交点，所以不存在 x0
使得 f x0 0成立，所以 C 选项错误；
对于 D 选项， f x = f 2 = 4m -8m +12m - 3 = 8m - 3max ，
所以对任意x1，x2，均有 f xi 8m-3 i =1,2 恒成立，所以 D 选项正确，
故选：AD.
三、填空题
12．（2023·浙江·模拟预测）不等式 x x + 2 > x 3- x +1的充分不必要条件可以为 .
【答案】 x = 2（答案不唯一）.
【分析】直接求解一元二次不等式，根据条件写出答案即可.
【解析】Q x x + 2 > x 3- x +1，
2 1 \2x - x -1 > 0 ，\ x - , - ÷ 1,+
è 2
1
故只需写一个满足 - ,- ÷ 1, + 的答案即可.
è 2
故答案为： x = 2（答案不唯一）
13．（2023·上海黄浦· x ax2三模）关于 的不等式 - x + 2a 0的解集是 - , + ，则实数 a 的取值范围
为 ．
é 2
【答案】 ê ,+ 4 ÷÷
f (x) = ax2【分析】构造 - x + 2a，利用函数的性质，将问题转化成在 0, + 上恒成立，再通过分离常转化
成求函数的最值即可求出结果.
x ax2 - x + 2a 0 - , + ax2【解析】因为关于 的不等式 的解集是 ，所以 - x + 2a 0在R 上恒成立，
令 f (x) = ax2 - x + 2a，易知 f (x) 为偶函数，所以 ax2 - x + 2a 0在R 上恒成立，即 f (x) = ax2 - x + 2a 0
在 0, + 上恒成立，
所以，当 x = 0时，由 ax2 - x + 2a = 2a 0 ，得到 a 0，
2 a
x 1
= 2
当 x > 0时，由 ax - x + 2a 0，得到 x2 + 2 x 2+ ，又因为 x + 2 2 ，当且仅当 x = 2 时取等号，所
x x
1 2
以 a = ，
2 2 4
é 2
综上，实数 a的取值范围为 ê ,+ 4 ÷÷
.

é 2
故答案为： ê ,+ ÷÷ .
4
14．（2020·江苏南通·模拟预测）已知函数 f (x) = x2 + bx + c(| b | 5,c R) ，记
A = {x | f (x) = x}, B = {x | f ( f (x)) = x}，若集合 A = x1, x2 , B = x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 - x2 + x3 - x4 5 +1恒成立，
则b + c 的取值范围是
5
【答案】[- ,8)
4
【分析】由 A = {x | f (x) = x}、 A = x1, x2 有 x1 + x2 =1- b、 x1x2 = c，由B = {x | f ( f (x)) = x}、
B = x1, x2 , x3 , x4 有 x3 + x4 = -1- b、 x3x4 = c + b +1，结合不等条件及 x1 x2 x3 x4 可求得
(1- b)2 - 5 c (1- b)
2 - 4
< ，而 | b | 5即可求b + c 的范围
4 4
【解析】由 f (x) = x2 + bx + c(| b | 5,c R)
A = {x | f (x) = x}且 A = x1, x2
∴ x1 + x2 =1- b， x1x2 = c且 f (x1 ) = x1， f (x2 ) = x2
又B = {x | f ( f (x)) = x}且B = x1, x2 , x3 , x4 有： f ( f (x3)) = x3， f ( f (x4 )) = x4
ì f 2 (x3)+bf (x3) + c = x
2
∴ 3
ì f (x4 )+bf (x4 ) + c = x4
í ， í
2 x3 +bx3 + c = f (x ) x
2
3 4 +bx4 + c = f (x4 )
ì[ f (x3) - x3][ f (x3) + x3 + b +1] = 0
故 í x x[ f (x ) - x ][ f (x ) ，而+ x + b +1] = 0 1 2
x3 x4
4 4 4 4
ì f (x3) = -1- b - x∴ 3í
f (x4 ) = -1- b - x4
∴ f (x ) - f (x ) = x 2 - x 23 4 3 4 + b(x3 - x4 ) = x4 - x3，有 x3 + x4 = -1- b
f (x3) + f (x ) = x
2
4 3 + x
2
4 + b(x3 + x4 ) + 2c = -2(1+ b) - (x4 + x3)，有 x3x4 = c + b +1
故 x1 - x2 + x3 - x4 = (1- b)
2 - 4c + (1+ b)2 - 4(c +1+ b) = (1- b)2 - 4c + (1- b)2 - 4(c +1) 5 +1
若令 t = (1- b)2 - 4c ，则 t + t2 - 4 5 +1，解得2 < t 5
∴ (1- b)
2 - 5 c (1- b)
2 - 4 (1+ b)2 - 5 b c (1+ b)
2 - 4
< ，即 + < ，而 | b | 5
4 4 4 4
[(1+ b)
2 - 5 (1+ b)2 - 4 5
即 ]min b + c < [ ]max ，所以- b + c < 84 4 4
5
故答案为：[- ,8)
4
【点睛】本题考查了集合、二次函数与一元二次方程、不等式；根据集合的描述及其元素，结合二次函数
对应一元二次方程的解的性质及根与系数关系，求得相关参数的表达式，应用已知不等式恒成立求目标式
的范围
四、解答题
15．（2024· · a + a x + a x2云南昆明 模拟预测）我们把 0 1 2 +LL+ an x
n = 0 （其中 an 0 ， n N* ）称为一元 n 次
*
多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元 n n N 次多项式方程（即 a0， a1， a2，…， an 为实数）在
*
复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 n n N 次多项式方程在复数集内有且仅有 n 个
*
复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 n n N 次多项式在复数集内
一定可以分解因式，转化为 n 个一元一次多项式的积．即
a0 + a
2 n
1x + a2x +LL+ an x = an x -a
k1
1 x -a2
k2 L x -am
km ，其中 k，m N *， k1 + k2 +LL+ km = n，a1，
a2，……，am为方程 a0 + a1x + a
2
2x +LL+ a x
n
n = 0 的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即 a0， a1，
a2，…， an 为实数），方程 a0 + a1x + a2x
2 +LL+ an x
n = 0 的有实数根，则多项式 a0 + a1x + a x
2 +LL+ a xn2 n 必
可分解因式．例如：观察可知， x =1是方程 x3 -1 = 0 的一个根，则 x -1 一定是多项式 x3 -1的一个因式，
即 x3 -1 = x -1 ax2 + bx + c ，由待定系数法可知， a = b = c =1．
(1)解方程： x3 - 2x +1 = 0；
(2)设 f x = a0 + a1x + a x2 3 +2 + a3x ，其中 a0， a1， a2， a3 R ，且 a0 + a1 + a2 + a3 =1．
2 3
（i）分解因式： x - a0 + a1x + a2x + a3x ；
（ii）记点P x0, y 0 是 y = f x 的图象与直线 y = x 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
a1 + 2a2 + 3a3 1时， x0 = 1．
-1+ 5 -1- 5
【答案】(1) x1 =1， x2 = ， x2 3
=
2
(2)（i）- x -1 é a3x
2 + a2 + a3 x - a0 ù；（ii）证明见解析
【分析】（1）观察得到 x =1是方程 x3 2x 3 2- +1 = 0的一个根，从而设 x - 2x +1 = x -1 ax + bx + c ，对照系数
2
得到 a =1，b =1， c = -1，得到 x -1 x + x -1 = 0，求出方程的根；
（2 2 3）（i） x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x + a3x = 0的一个根，设
x - a 2 3 20 + a1x + a2x + a3x = x -1 ax + bx + c ，对照系数得到 a = -a3，b = a0 + a1 -1， c = a0 ，从而得到答
案；
（ii）令 f x - x = 0 2，故 x0 是方程 a0 + a1x + a2x + a3x3 - x = 0的最小正实根，由（i）知：
a0 + a 2 31x + a2x + a3x - x = x -1 é a3x2 + a2 + a3 x - a0 ù ，设 g x = a 23x + a2 + a3 x - a0，根据 g x 的开口方
向，结合 g 0 = -a0 < 0，则 g x 一定有一正一负两个实根，设正实根为 t，结合 a1 + 2a2 + 3a3 1得到
g 1 0，故 t 1，得到 x0 = 1 .
【解析】（1）观察可知： x =1是方程 x3 - 2x +1 = 0的一个根；
所以 x3 - 2x +1 = x -1 ax2 + bx + c = ax3 + b - a x2 + c - b x - c ，
ìb - a = 0

由待定系数法可知， íc - b = -2，解得 a =1，b =1， c = -1；

-c =1
x -1 x2所以 + x -1 = 0，即 x =1或 x2 + x -1 = 0，
则方程的根为 x1 =1 x
-1+ 5
， 2 = ， x
-1- 5
2 3
= ．
2
（2）（i）由 a0 + a1 + a + a =1
2
2 3 可知， x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x + a x33 = 0的一个根；
2 3 2 3
所以 x - a0 + a1x + a2x + a3x = x -1 ax + bx + c = ax + b - a x2 + c - b x - c ，
3 2
即-a3x - a2x - a1 -1 x - a0 = ax3 + b - a x2 + c - b x - c，
对照系数得 a = -a3，-a2 = b - a，- a1 -1 = c - b ，-a0 = -c ，
故 a = -a3，b = - a2 + a3 = a0 + a1 -1， c = a0 ；
所以 x - a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = x -1 2 é-a3x - a2 + a3 x + a0 ù
= - x -1 é a3x
2 + a2 + a3 x - a0 ù ．
（ii）令 f x - x = 0，即 a0 + a1x + a2x2 + a 33x - x = 0，
点P x0, y 0 是 y = f x 的图象与直线 y = x 在第一象限内离原点最近的交点，
等价于 x0 是方程 a 2 30 + a1x + a2x + a3x - x = 0的最小正实根；
由（i 2 3）知： x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x + a3x = 0的一个正实根，
且 a0 + a 2 31x + a2x + a3x - x = x -1 é 2 a3x + a2 + a3 x - a0 ù ，
设 g x = a 23x + a2 + a3 x - a +0，由 a0， a1， a2， a3 R 可知 g x 为开口向上的二次函数；
又因为 g 0 = -a0 < 0，则 g x 一定有一正一负两个实根，设正实根为 t；
又 a0 + a1 + a2 + a3 =1，可得 a0 =1- a1 + a2 + a3 ，
所以 g 1 = a3 + a2 + a3 - a0 = 3a3 + 2a2 + a1 -1；
当 a1 + 2a2 + 3a3 1时， g 1 0，
由二次函数单调性可知 t 1，即 x =1是方程 x - a0 + a x + a x21 2 + a 33x = 0的最小正实根．
【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数理解到位，求解三次函数的零点，
常常需要先观察函数，直接法得到其中一个零点，将三次函数转化为二次函数，故常常利用二次函数的性
质来研究三次函数的性质.专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
02 解含参的一元二次不等式
03 一元二次方程根的分布
04 二次函数定区间定轴型
05 二次函数动区间定轴型
06 二次函数定区间动轴型
07 二次函数与不等式求参综合
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
09 一元二次不等式的实际应用
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
1．（2024 高三·全国·专题练习）解下列一元二次不等式：
(1) 2x2 - 2 2x +1 > 0 ；
(2) x2 + x -1 < 0；
(3) -3x2 + 5x - 4 0；
(4) 2x -1 2 < 4；
(5) x +1 x + 2 < x +1 2 - x +1；
(6) 3x + 2 x + 2 > 4．
2．（2024 高三·全国·专题练习）解不等式：
x - 3
(1) < 0；
-3x + 6
x +1
(2) 2 ．
3x - 2
3．（2021 高一·上海·专题练习）关于 x 的不等式5x +1+ 2x -1 > 4x - 2 + 2x -1 的解集是 .
4．（2022 秋- 2 3陕西宝鸡-高二统考期中）不等式 x + 3 x -1 x - 2 0解集为（ ）
A．{x | x -3或 x 2} B．{x | x -3或 x 1}
C．{x | -3 x 1或 x 2} D．{x | x -3或 x =1或 x 2}
02 解含参的一元二次不等式
5．（23-24 2高三上·江苏扬州·阶段练习）若关于 x 的不等式 x - m + 4 x + 4m < 0的解集中恰有3个整数，则
实数 m 的取值范围为（　　）
A． 7,8 B． 0,1
C． 0,1 7,8 D． 0,1 7,8
6．（23-24 高三上·山东潍坊·期末）已知甲： x 1，乙：关于 x
x - a
的不等式 < 0 a R ，若甲是乙的必
x - a -1
要不充分条件，则 a的取值范围是（ ）
A．a 1 B． a > 1 C． a<0 D． a 0
7．（23-24 高三上·云南德宏·期末）已知关于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集为 x 2 x 3 ，则关于 x 的不
等式 x2 - bx + a < 0的解集为（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
8．（21-22 高三上·重庆黔江·阶段练习）已知 ax2 + bx + c > 0的解集为{x | -1< x < 2}，则不等式
a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集为（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
2 4
9．（23-24 高三上·福建·期中）已知关于 x 的不等式 x2 - 2ax - b2 < 0的解集为 m, n ，若 n-m = 2，则 a2 + b2
的最小值是（ ）
A．3+ 2 2 B．6 + 2 2 C．6 + 4 2 D．12 + 8 2
03 一元二次方程根的分布
10．（2024高三· 2全国·专题练习）关于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有两个不相等的实数根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
那么 a的取值范围是（ ）
2 2
A．- < a < B． a
2
>
7 5 5
2 2
C． a < - D．- < a < 0
7 11
11．（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实数
解，则 a的取值范围是（ ）
6 6
A． - , -1

5 ÷
B． - ,1÷
è è 5
6 6
C． - , -

÷ U -1, +

D． - , - ÷ U 1, +
è 5 è 5
ìx2 - 4x + 3 < 0
12．（21-22 高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组 í x 22 的解集是关于 的不等式 x - 3x + a < 0的
x - 6x + 8 < 0
解集的子集，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
04 二次函数定区间定轴型
13．（22-23 高一上·全国·课后作业）已知一元二次函数 y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值
说法正确的为（ ）
A．最小值为 2，最大值为 5 B．最小值为 1，最大值为 5
C．最小值为 1，无最大值 D．无最值
14．（22-23 高一上·全国·课后作业）函数 y = x - x(x > 0)的最大值为（ ）
1 1
A． B．0 C． D．1
4 3
05 二次函数动区间定轴型
15．（22-23 高一·全国·课后作业）已知函数 y = f (x) 的表达式 f (x) = x2 - 2x - 3，若 x [t, t + 2]，求函数 f (x)
的最值．
16．（23-24 高一· 2江苏·假期作业）如果函数 f x = x -1 +1定义在区间[t,t +1]上，求 f x 的值域．
06 二次函数定区间动轴型
17．（22-23 高一上·云南昆明·期末）已知二次函数 f x = ax2 + bx + c a 0 的图像过点 -2,0 和原点，对于
任意 x R ，都有 f x ≥ 2x．
(1)求函数 f x 的表达式；
(2)设 g x = f x + 2mx ，求函数 g x 在区间 0,1 上的最小值．
18．（22-23 高一上·全国·单元测试）设函数 f x = x2 + 2tx + t -1 .
(1)当 t = 2时，求函数 f x 在区间 -3，1 中的最大值和最小值；
(2)若 x 1，2 时， f x > 0恒成立，求 t 的取值范围.
07 二次函数与不等式求参综合
19．（20-21 2高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数 f x = ax + 2 a -1 x + 2在 - , 4 上为减函数，则 a的取
值范围为（ ）
1
A ,
1
+ B 0, C
1 1
． ÷ ． ． - ,

D

． 0,
è 5 5 è 5 è 5
20．（2023 高三·全国·专题练习）设二次函数 f (x) = (a - 2)x2 + 3ax + 2 在R 上有最大值，最大值为m a ，当m a
取最小值时，a = （ ）
A．0 B 1．1 C． 2 D． 2
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
21．（23-24 高三上·山东滨州·期末）若不等式 x2 - ax + 4 0对任意 x 1,3 恒成立，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． 0,4 B． - , 4 13 C． - , D． - ,5 è 3
22．（21-22 高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意 x m, m +1 ，都有 x2 + mx -1 < 0成立，则实数m 的取值
范围是（ ）
2 2 A． - ,0

3 ÷
B． - ,0÷è ÷è 2
C
2
- ,0
2
． D． - ,0 3 2


23．（2023 高三·全国·专题练习）若关于 x 的不等式 x2 + mx - 4 > 0在区间 2,4 上有解，则实数 m 的取值范
围为（ ）
A． -3, + B． 0, + C． - ,0 D． - , -3
24．（2022·甘肃张掖·模拟预测）若关于 x 的不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0在区间 0,5 内有解，则实数 a的取值范
围是（ ）．
A． 2, + B． - ,5 C． - , -3 D． - , 2
09 一元二次不等式的实际应用
25．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段练习）第 19 届亚运会于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中国杭州举行，
参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售
卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为 15 元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出 45 枚，每枚售价
每提高 1 元，日销售量将减少 3 枚，为了使这批纪念章每天获得 600 元以上的销售收入，则这批纪念章的
销售单价 x（单位：元）的取值范围是（ ）
A． 10,20 B． 15,20 C． 16,20 D． 15,25
26．（2023 高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2 的内接矩形
花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长 x （单位：m）的取值范围是（ ）
A． x 15 x 20 B． x 12 x 25
C． x 10 x 30 D． x 20 x 30
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）设全集U = {0,1,2,3,4,5,6}, A = {1,2,3,4,5}, B = {x Z∣ x < 2}，则集合{4,5} =
（ ）
A． U (A B) B． U A B
C． A∩ U B D． U A U B
2．（2024·北京房山·一模）“ 0 < x <1”是“ | x(x -1) |= x(1- x) ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 kx2 + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
5．（2023·陕西·模拟预测）命题“"x R, x2 - kx + k + 3 0 ”是假命题，则 k 的取值范围是（ ）
A． - ,6 B． -2, + C． -2,6 D． - , -2 6,+
6．（2024· 2四川宜宾·模拟预测）若 p :实数 a 使得“ $x0 R ， x0 + 2x0 + a = 0 ”为真命题， q :实数 a 使得
“"x 1, + ， x2 - a > 0 ”为真命题，则 q 是 p 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于 x 的不等式 ax2 + bx + c < 0(a 0)时，因弄错了常数 c的符号，解得
其解集为 (- , -3) (-2,+ )，则不等式bx2 + cx + a > 0的解集为（ ）
1 1A． -1, -

÷ B． (- , -1)

- , +

5 ÷è è 5
1
C
1
． ,1÷ D． - , ÷ (1, + )
è 5 è 5
x y
8．（2023·宁夏中卫·二模）已知点 A(1, 4)在直线 + =1 a > 0,b > 0 上，若关于 t 的不等式 a + b t 2 + 5t + 3
a b
恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ）
A． -6,1 B． -1,6
C． - , -1 6, + D． - , -6 1, +
二、多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <14
ì 3
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 2
ü

2
C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，则 a 的取值范围是
1
D．若关于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，则 p + q 的值为-
2
10．（2022·辽宁丹东·一模）如果关于 x 的不等式 x2 - 2ax + b -1 > 0的解集为 x∣x a ，那么下列数值中，b
可取到的数为（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
11 2．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数 f x = mx -4mx +12m-3 m < 0 ，若对任意 x1 x2 ，则（ ）
A．当x1 + x2 = 4时， f x1 = f x2 恒成立
B．当 x1 + x2 > 4时， f x1 < f x2 恒成立
C．$x0 使得 f x0 0成立
D．对任意x1，x2，均有 f xi 8m-3 i =1,2 恒成立
三、填空题
12．（2023·浙江·模拟预测）不等式 x x + 2 > x 3- x +1的充分不必要条件可以为 .
13．（2023· 2上海黄浦·三模）关于 x 的不等式 ax - x + 2a 0的解集是 - , + ，则实数 a 的取值范围
为 ．
14．（2020·江苏南通·模拟预测）已知函数 f (x) = x2 + bx + c(| b | 5,c R) ，记
A = {x | f (x) = x}, B = {x | f ( f (x)) = x}，若集合 A = x1, x2 , B = x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 - x2 + x3 - x4 5 +1恒成立，
则b + c 的取值范围是
四、解答题
15 2 n．（2024·云南昆明·模拟预测）我们把 a0 + a1x + a2x +LL+ an x = 0 （其中 an 0 ， n N* ）称为一元 n 次
*
多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元 n n N 次多项式方程（即 a0， a1， a2，…， an 为实数）在
*
复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 n n N 次多项式方程在复数集内有且仅有 n 个
*
复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 n n N 次多项式在复数集内
一定可以分解因式，转化为 n 个一元一次多项式的积．即
a + a x + a x2 +LL+ a xn = a x -a k1 k2 km *0 1 2 n n 1 x -a2 L x -am ，其中 k，m N ， k1 + k2 +LL+ km = n，a1，
a2，……，a 2m为方程 a0 + a1x + a2x +LL+ an x
n = 0 的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即 a0， a1，
a2，…， an 为实数），方程 a0 + a1x + a x
2
2 +LL+ an x
n = 0 2 n的有实数根，则多项式 a0 + a1x + a2x +LL+ an x
必可分解因式．例如：观察可知， x =1是方程 x3 -1 = 0 的一个根，则 x -1 一定是多项式 x3 -1的一个因式，
3
即 x -1 = x -1 ax2 + bx + c ，由待定系数法可知， a = b = c =1．
(1)解方程： x3 - 2x +1 = 0；
(2) f x = a + a x + a x2 3 +设 0 1 2 + a3x ，其中 a0， a1， a2， a3 R ，且 a0 + a1 + a2 + a3 =1．
i x - a + a x + a x2 + a x3（ ）分解因式： 0 1 2 3 ；
（ii）记点P x , y 是 y = f x 的图象与直线 y = x0 0 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
a1 + 2a2 + 3a3 1时， x0 = 1．专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式
Δ b2 4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0＝ －
二次函数 y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
有两相等实
一元二次方程 ax2＋bx＋c 有两相异 根 x ＝x
x 1 2
没有
实根 ，
＝0(a>0)的根 1 bx2(x1实数根
2) ＝－
2a
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1二、分式不等式
f (x)
（1） > 0 f (x)gg(x) > 0
g(x)
f (x)
（2） < 0 f (x)gg(x) < 0
g(x)
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（3） 0
g(x) í g(x) 0
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（4） 0
g(x) í g(x) 0
三、绝对值不等式
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
四、一元高次不等式及其解法
1、概念
只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式.
2、 一元高次不等式的解法
一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为
1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另一
侧化为0;
2.求根，标根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出
温馨提示:要仔细区分点的虚实.
3.画曲线；数轴的最右端上方起，从右到左依次经过各个根画曲线；
温馨提示:奇次重根穿过数轴，偶次重根穿而不过.
4.写解集：在数轴上画出曲线后，根据不等号的方向，写出不等式的解集.
温馨提示:
1.考虑端点是否能取到；2.各因式中最高次项系数必须为正.
2
例：不等式（x - 9）（x - 2）＞0的解集是_____________
答案：{x | -3＜x＜2或x＞3}
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本专题的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识
一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，
体会数学的整体性。
一、不含参数的一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的四个步骤
命题点 1　不含参的不等式
例 1　(1)不等式－2x2＋x＋3<0 的解集为(　　)
3
A.{x|－1 < x <2 }
B.{x| 3－ < x < 12 }
C.{x| 3x < －1 或 x > 2 }
D.{x| 3x < － 或 x > 12 }
答案　C
解析　－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，
即(x＋1)(2x－3)>0，
3
∴x<－1 或 x> .
2
5
(2)(多选)已知集合 M＝{x||x－1| ≤ 2，x ∈ R}，集合 N＝{x| ≥ 1，x ∈ R ，则(　　)x＋1 }
A．M＝{x|－1 ≤ x ≤ 3}
B．N＝{x|－1 ≤ x ≤ 4}
C．M∪N＝{x|－1 ≤ x ≤ 4}
D．M∩N＝{x|－1 < x ≤ 3}
答案　ACD
解析　由题设可得 M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，
故 A 正确，B 错误；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故 C 正确；
而 M∩N＝{x|－1二、含参数的一元二次不等式的解法
命题点 2　含参的不等式
例 2　解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
1
因为 a>0，所以(x－ )(x－1)<0.a
1
所以当 a>1 时，解得 a
当 a＝1 时，解集为 ；
1
当 0a
1
综上，当 0当 a＝1 时，不等式的解集为 ；
1
当 a>1 时，不等式的解集为{x| < x < 1a }.
延伸探究　在本例中，把 a>0 改成 a∈R，解不等式．
解　当 a>0 时，同例 2，当 a＝0 时，
原不等式等价于－x＋1<0，即 x>1，
1
当 a<0 时， <1，
a
1
原不等式可化为(x－ )(x－1)>0，a
1
解得 x>1 或 x< .
a
1
综上，当 0当 a＝1 时，不等式的解集为 ，
1
当 a>1 时，不等式的解集为{x| < x < 1a }，
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x>1}，
当 a<0 时，不等式的解集为{x| 1x < 或 x > 1a }.
拓展
解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解　由题意知，Δ＝a2－4，
2 a ± a
2－4
①当 a －4>0，即 a>2 或 a<－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝ ，
2
a－ a2－4 a＋ a2－4
∴原不等式的解为 ≤x≤ .
2 2
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
当 a＝2 时，原不等式可化为 x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当 a＝－2 时，原不等式可化为 x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当 Δ＝a2－4<0，即－2原不等式的解集为 .
综上，当 a>2 或 a<－2 时，原不等式的解集为{ |a－ a2－4 a＋ a2－4x ≤ x ≤2 2 }；
当 a＝2 时，原不等式的解集为{1}；
当 a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}；
当－2三、一元二次不等式恒(能)成立问题
1.一元二次不等式恒成立的条件
a > 0，
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是{b2－4ac < 0.
a < 0，
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是{b2－4ac < 0.
2.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若 f(x)>0在集合 A中恒成立，即集合 A是不等式 f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集
的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则 f(x)≥a 恒成立 f(x)min≥a，即 m≥a；
f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即 n≤a.
命题点 3　在 R 上恒成立问题
例 3　(2022·漳州模拟)对 x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 恒成立，则 a 的取值范围是(　　)
A．－2C．a<－2 或 a≥2 D．a≤－2 或 a≥2
答案　A
解析　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对一切 x∈R 恒成立，当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4<0 恒成立，满足
题意；
当 a－2≠0 时，要使不等式恒成立，
{a－2 < 0， a < 2，需 Δ < 0 即有， {4 a－2 2＋16 a－2 < 0，
解得－2综上可得，a 的取值范围为(－2,2]．
命题点 4　在给定区间上恒成立问题
例 4　已知函数 f(x)＝mx2－mx－1.若对于 x∈[1,3]，f(x)<5－m 恒成立，则实数 m 的取值范围为________．
( 6答案　 －∞，7)
解析　要使 f(x)<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立，
( 1 ) 3即 m x－ 2＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：2 4
1 3
方法一　令 g(x)＝m(x－ )2＋ m－6，2 4
x∈[1,3]．
当 m>0 时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以 g(x)max＝g(3)，即 7m－6<0，
6 6
所以 m< ，所以 07 7
当 m＝0 时，－6<0 恒成立；
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以 g(x)max＝g(1)，即 m－6<0，
所以 m<6，所以 m<0.
( 6综上所述，m 的取值范围是 －∞， ).7
1 3
方法二　因为 x2－x＋1＝(x－ 2＋ >0，2 ) 4
又因为 m(x2－x＋1)－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立，
6
所以 m< 在 x∈[1,3]上恒成立．
x2－x＋1
6
令 y＝ ，
x2－x＋1
6 6 6 6
因为函数 y＝ ＝ 在[1,3]上的最小值为 ，所以只需 m< 即可．
x2－x＋1 ( 1 3x )2 7 7－2 ＋4
6
所以 m 的取值范围是(－∞， .7)
命题点 5　给定参数范围的恒成立问题
例 5　(2022·宿迁模拟)若不等式 x2＋px>4x＋p－3，当 0≤p≤4 时恒成立，则 x 的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　不等式 x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
{f 0 ＝x2－4x＋3 > 0，可得 f 4 ＝4 x－1 ＋x2－4x＋3 > 0，
∴x<－1 或 x>3.
拓展
函数 f(x)＝x2＋ax＋3.
若当 x∈[－2,2]时，f(x)≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
若当 a∈[4,6]时，f(x)≥0 恒成立，则实数 x 的取值范围是________________．
答案　[－7,2]
(－∞，－3－ 6]∪[－3＋ 6，＋∞)
解析　若 x2＋ax＋3－a≥0 在 x∈[－2,2]上恒成立，
令 g(x)＝x2＋ax＋3－a，
Δ > 0，
a
则有①Δ≤0 或②{－ < －2，2g －2 ＝7－3a ≥ 0.
Δ > 0，
{ a或③ － > 2，2g 2 ＝7＋a ≥ 0，
解①得－6≤a≤2，解②得 a∈ ，
解③得－7≤a<－6.
综上可得，满足条件的实数 a 的取值范围是[－7,2]．
令 h(a)＝xa＋x2＋3.
当 a∈[4,6]时，h(a)≥0 恒成立．
{h 4 ≥ 0， x2＋4x＋3 ≥ 0，只需 h 6 ≥ 0 即， {x2＋6x＋3 ≥ 0，
解得 x≤－3－ 6或 x≥－3＋ 6.
∴实数 x 的取值范围是(－∞，－3－ 6]∪[－3＋ 6，＋∞)．

展开更多......

收起↑