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专题 04 基本不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 基本不等式的内容辨析
02 利用基本不等式比较大小
03 利用基本不等式求最值
04 条件等式求最值
05 基本不等式“1”的妙用
06 对勾函数、类对勾函数求最值
07 基本不等式在其他模块的应用
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
01 基本不等式的内容辨析
1．（21-22 高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（ ）
b a 2
A． + 2 B ab a + b．
a b ֏ 2
C． a + b 2 ab D． a2 + b2 -2ab
【答案】D
【分析】利用特殊值判断 A、C，利用重要不等式判断 B，作差可判断 D；
b a
【解析】解：对于 A：若 a =1、b = -1时 + = -2，故 A 错误；
a b
2
B a - b 2 0 2 2 a + b
2 + 2ab a + b
2

对于 ：因为 ，所以 a + b 2ab，所以 ab ，即 ÷ ab，当且仅当 a = b时4 è 2
取等号，故 B 错误；
对于 C：若 a = -1、b = -1时， a + b = -2 < 2 ab = 2，故 C 错误；
D a + b 2对于 ：因为 0 ，所以 a2 + b2 + 2ab 0，即 a2 + b2 -2ab ，当且仅当 a = b时取等号，故 D 正确；
故选：D
2．（2022 高一·全国·专题练习）已知 a，b 为实数，且 a ×b 0，则下列命题错误的是（ ）
a + b a + b
A．若 a > 0，b > 0，则 ab B．若 ab ，则 a > 0，b > 0
2 2
a + b
C．若 a b ，则 > ab
a + b
D．若 > ab ，则 a b
2 2
【答案】C
【分析】对于 A，利用基本不等式判断，对于 B，由已知结合完全平方式判断，对于 C，举例判断，对于 D，
利用基本不等式判断
a + b
【解析】对于 A，由基本不等式可知当 a > 0，b > 0时， ab ，当且仅当 a = b时取等号，所以 A 正确，
2
a + b ìa + b > 0 2
对于 B，因为 ab ， a ×b 0，所以 í ，且 a - b 0，所以 a > 0，b > 0ab 0 ，当且仅当 a = b2 >
时取等号，所以 B 正确，
a + b -5
对于 C，若a = -1,b = -4，则 = < ab = 4 = 2，所以 C 错误，
2 2
a + b ìa + b > 0
对于 D，因为 > ab ， a ×b 0，所以 í ，且 a + b - 2 ab > 0，所以 a > 0,b > 0，2 ab > 0
2a - b > 0 ，所以 a > 0,b > 0且 a b ，所以 D 正确，
故选：C
3．（22-23 高一上·江苏常州·阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ）
A． a2 + b2 > 2ab(a,b R) B． ab (
a + b)2 (a,b R)
2
a + b 1
C． 2(ab 0) D 2． x + 2 + (x R)2 的最小值为 2ab x + 2
【答案】B
【分析】利用重要不等式判断 A、B、利用特殊值判断 C，利用对勾函数的性质判断 D.
【解析】对于 A：因为 a,b R ，所以 a2 + b2 2ab，当且仅当 a = b时取等号，故 A 错误；
2 2
对于 B a + b + 2ab：因为 a2 + b2 2ab，所以 a2 + b2 + 2ab 4ab，所以 ab ，
4
2
a + b
即 ÷ ab，当且仅当 a = b时取等号，故 B 正确；
è 2
a + b
对于 C：当 a = b = -1时，满足 ab 0，但是 = -2 < 2，故 C 错误；
ab
1
对于 D：令 t = x2 + 2 2 ，因为 y = t + 在 ét
2, + 上单调递增，
y t 1 1 3 2所以 = + 2 + = ，当且仅当 t = 2 ，即 x = 0时取等号，t 2 2
x2即 + 2
1
+ 3 2
x2
的最小值为 ，故 D 错误；
+ 2 2
故选：B
02 利用基本不等式比较大小
4．（2023·河南开封·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a + b =1， a b ，则下列不等式成立的是（ ）
a b 2 1 1 1 1A． + < < a + b B． a + b <2 2 2a
+
2b
< 2
1 1 1 1
C． a + b < 2 < a + b D． a + b < a + b < 22 2 2 2
【答案】A
【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件.
2
【解析】 a + b = a + b + 2 ab =1+ 2 ab 1+ a + b = 2，
∵ a b ，∴等号不成立，故 a + b < 2 ；
1 1 2 1 1a + b × = 2
1 1
= 2 = 2 ，
2 2 2a 2b 2a+b 2
1 1
∵ a b ，∴等号不成立，故 +
2a 2b
> 2 ，
1 1
综上， a + b < 2 < a + b .2 2
故选：A.
5．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知关于 x 的方程 log2 x = t t > 0 有两个实根m ， n m > n ，则下列不
等式中正确的有 .（填写所有正确结论的序号）
① m2 + n2 2 2 m - n ； ② m2 + n2 2 2 m - n
③ m2 - n2 2 2 m - n ④ m2 - n2； 2 2 m - n .
【答案】①
【分析】解方程 log t -t2 x = t 得到m = 2 ， n = 2 ，mn =1，再利用作差法和基本不等式得解.
【解析】因为 log2 x = t ，所以 log2 x = t 或 log2 x = -t ，
所以 x = 2t 或 x = 2-t ，
因为关于 x 的方程 log2 x = t t > 0 有两个实根m ， n m > n ，
所以m = 2t ， n = 2-t ，mn = 2t ×2-t = 20 =1
对于①②，m2 + n2 - 2 2 m - n = (m - n)2 +2mn - 2 2 m - n
= (m - n)2 +2 - 2 2 m - n = (m - n)2 - 2 2 m - n +2 = (m - n - 2)2 0 ，
m2所以 + n2 2 2 m - n ，所以①正确，②错误.
对于③④ m2 - n2， - 2 2 m - n = (m - n)(m + n - 2 2) ，
因为m > n,\m - n > 0 .
m + n - 2 2 = 2t + 2-t - 2 2 > 2 2t ×2-t - 2 2 = 2 - 2 2 ,
m2 - n2所以 2 2 m - n 2 2或者m - n 2 2 m - n .
所以③④错误.
故答案为：①
03 利用基本不等式求最值
1
6．（23-24 高一上·重庆·期末）函数 y = 3x + x > 0 的最小值是（ ）
x
A．4 B．5 C．3 2 D． 2 3
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可得解.
【解析】因为 x > 0，
y 3x 1所以 = + 2 3x 1× = 2 3 ，
x x
3x 1 3当且仅当 = ，即 x = 时，等号成立.
x 3
则 y = 3x
1
+ x > 0 的最小值是
x 2 3
.
故选：D.
1
7．（23-24 高一上·北京·阶段练习）已知 a > 0，则 a + +1的最小值为（ ）
a
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】用基本不等式求解即可.
【解析】因为 a > 0，
a 1 1
1
所以 + +1 2 a× +1= 3，当且仅当 a = 即 a =1时取等号；
a a a
故选：B
1
8．（23-24 2 2高三上·陕西西安·阶段练习）函数 y = x + 2 x > 5 的最小值为（x 5 ）-
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
1 1 1
【解析】由 x2 > 5 可得 x2 - 5 > 0 ，所以 y = x2 + = x2 - 5 + + 5 2 x2 - 5 × + 5 = 7 ，
x2 - 5 x2 - 5 è x2 - 5 ÷
x2 5 1当且仅当 - = ，即 时等号成立，
x2 5 x = 6-
故选:D
04 条件等式求最值
9．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知正数 a，b 满足 a + 2b =1，则（ ）
A． ab
1 ab 1 1 1 B． > C．0 < ab D．0 < ab <
8 8 8 8
【答案】C
【分析】根据基本不等式直接计算即可.
【解析】由题意得， a > 0,b > 0，则 ab > 0， a + 2b =1 2 2ab ，即0 < ab
1
，
8
1
当且仅当 a = 2b，即 a = ,b
1
= 时等号成立.
2 4
故选：C
10．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）若 a > 0，b > 0，且 a + b = ab ，则 2a + b 的最小值为（ ）
A．3+ 2 2 B． 2 + 2 2 C．6 D．3- 2 2
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
1 1
【解析】 a > 0，b > 0，由 a + b = ab 得 + =1，
a b
2a b 2a b 1 1 2a b 2a b故 + = + + ÷ = 2 +1+ + 3 + 2 × = 3 + 2 2 ，
è a b b a b a
2a b
当且仅当 = ，即 a 1 2= + ,b =1+ 2 时，等号成立，
b a 2
故 2a + b 的最小值为3 + 2 2 .
故选：A
05 基本不等式“1”的妙用
1 2
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数 x，y 满足 + =1x y ，则
2xy - 3x 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用基本不等式计算即可.
1 2
【解析】易知 + =1 2x + y = xy ，则 2xy - 3x = 2 2x + y - 3x = x + 2y 1 2×x y +x y ÷è
= 5 2y 2x 2y 2x+ + 5 + 2 × = 9 ，
x y x y
2y 2x
当且仅当 =x y ，即
x = y = 3时取得等号.
故选：B
2 1
12．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数 a > 1，b > 0，满足 a + b = 3，则 +a 1 b 的最小值为（ ）-
A 3+ 2 2 B 3+ 2 2 C 3+ 4 2． ． ． D 3+ 4 2．
4 2 2 4
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【解析】实数 a > 1，b > 0，由 a + b = 3，得 (a -1) + b = 2，
2 1 1 [(a 1) b]( 2 1) 1 (3 2b a -1 1 2b a -1 3 + 2 2因此 + = - + + = + + ) (3 + 2 × ) = ，
a -1 b 2 a -1 b 2 a -1 b 2 a -1 b 2
2b a -1
当且仅当 = ，即
a 1 b a -1 = 2b = 4 - 2 2
时取等号，
-
2 1 3+ 2 2
所以 +a 的最小值为
.
-1 b 2
故选：B
06 对勾函数、类对勾函数求最值
5
13．（2023 高三·全国·专题练习）函数 y＝x＋ ≥2x 1（x ）取得最小值时的 x 值为 ．+
【答案】2
5
【分析】令 x＋1＝t(t≥3)，则有 f t ＝t＋ －1 在[3,＋∞)上单调递增，当 t＝3 时，即可求解.
t
【解析】依题意，
5 5
y＝x＋ x 1＝x＋1＋ 1( ≥2)+ x 1－ x ，+
5
设 x＋1＝t(t≥3)．因为 f(t)＝t＋ －1 在[3,＋∞)上单调递增，
t
5
所以当 t＝3，即 x＝2 时，y＝x＋ ( ≥2)x +1 x 取得最小值．
故答案为：2.
x2 + 3
14．（2023 高三·全国·专题练习）函数 f（x）＝ ＋1 的最小值为 ．
x2 + 2
3 2
【答案】 ＋1
2
【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出 f (x) 有最小值.
x2 + 3 x2 + 2 +1 1
【解析】f（x）＝ ＋1＝ 2 ＋1＝2 x
2 + 2 ＋
x + 2 x + 2 x2
＋1，
+ 2
令 t = x2 + 2 ，t∈[ 2 ，＋∞），
1 1
则函数 f（x）可转化为 g（t）＝t＋ ＋1，t∈[ 2 ，＋∞）．令 u（t）＝t＋ （t≥ 2 ），t t
1
则由 u（t）在[ 2 ，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥
3 2
2 ＋ ＝ ，2 2
则 g t ≥ 3 2（ ） +1，
2
所以函数 f x 3 2（ ）的最小值为 +1；
2
3 2
故答案为： +1.
2
1 1
15．（22-23 高三上·江苏南通·期中）已知正实数 x，y 满足 x + y = m，函数 f x, y = x + y ÷ y + ÷的最小值è è x
9
为 ，则实数m 取值的集合为 ．
2
【答案】 2
【分析】根据基本不等式求得 xy的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果.
2
【解析】m = x + y 2 xy ∴ xy m， ， f x, y = xy 1 1 1 1+ + + = xy + + 2
4 xy xy
，
2
令 xy = t
ù
， t 0,
m 1
ú， g t = t + + 2
è 4 t
m2
当 1时， g t = 4min ，与已知矛盾；4
m2 2 ù
当 <1时， g t m在 0, 单调递减，
4 úè 4
m2 m2g t g 4 9∴ = = + + 2 =min ÷ ，
è 4 4 m
2 2
解得m = 2 或- 2 （舍去），
∴ m 的取值集合 2 ．
故答案为： 2 .
07 基本不等式在其他模块的应用
16．（23-24 高三下·北京顺义·阶段练习）若数列 an 为等比数列，则“ a3 1”是“ a1 + a5 2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
设出公比 q 2 4 2，先由 a3 1得到 a1q 1，利用基本不等式可得 a1 + a5 = a1 1+ q 2a1q 2 ，得到“ a3 1”是
1
“ a1 + a5 2 ”的充分条件，再通过举反例 q = ,a1 = 2说明“ a3 1”不是“ a1 + a5 2 ”的必要条件，故得结论.2
2
【解析】因数列 an 为等比数列，不妨设公比为q，则 q 0，由 a3 1可得 a1q 1，故 a1 > 0，而
a1 + a5 = a1(1+ q
4 ) ，
由1+ q4 2q2 知 a1 + a5 2a1q
2 2
，当且仅当 q2 =1时取等号，而 a1q 1，故 a1 + a5 2，
此时 q = ±1,a1 = 1，故“ a3 1”是“ a1 + a5 2 ”的充分条件；
2 2 2q
2 2
由a
2q = 1
1 + a = a
4 2 4
5 1(1+ q ) 2 可得a1 4 ，则a = a q 1 q 3 1 ，而+ 1+ q4 1+ q q2 +
1 ，
q2
故不一定能得到 a3 1 .
q 1 ,a 2 a + a 2 a a q2 2 (1 1如 = 1 = 时，满足 1 5 ，但是 3 = 1 = )
2 = < 1，
2 2 2
故“ a3 1”不是“ a1 + a5 2 ”的必要条件.
即“ a3 1”是“ a1 + a5 2 ”的充分不必要条件.
故选：A.
17．（22-23 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
1
A．当 x > 0且 x 1时， ln x + 2
ln x
π ù 4
B．当 x 0, ú时， sin x + 的最小值为 4è 2 sin x
1
C．当 x > 0时， x + 2
x
D．当 ab
b a
0时， + 2
a b
【答案】C
【分析】对 AD，举反例判断即可；对 B，根据基本不等式成立的条件判断即可；对 C，根据基本不等式判
断即可.
1 1
【解析】对 A，当 x = 时， ln x + = -2，故 A 错误；
e ln x
4
对 B，当 sin x > 0时， sin x 4 2 sin x 4+ = 4，当且仅当 sin x = ，即 sin x = 2 时取等号，但当
sin x sin x sin x
x 0,
π ù
è 2 ú
时，0 < sin x 1，故 B 错误；
1
对 C，当 x > 0 1时， x + 2 x 1 = 2，当且仅当 x = ，即 x =1时取等号，故 C 正确；
x x x
对 D，当 a =1,b = -1
b a
时 + = -2，故 D 错误.
a b
故选：C
18．（2024·广东湛江·一模）已知 ab > 0， a2 + ab + 2b2 =1，则 a2 + 2b2 的最小值为（ ）
A 8 - 2 2
3
． B 2 2 C D 7 - 2 2． ． ．
7 3 4 8
【答案】A
【分析】利用不等式 a2 + 2b2 2 2ab，将等式 a2 + ab + 2b2 =1左边转化为因式 a2 + 2b2 表示，求解即可.
【解析】因为 ab > 0，得： a2 + 2b2 2 2a2b2 = 2 2ab （当且仅当 a = 2b时成立），
2 2
即得： ab
a + 2b 2
= (a2 + 2b2 ) ，
2 2 4
则1 = a2 + ab + 2b2 a2 + 2b2 2 4 + 2+ (a2 + 2b2 ) = (a2 + 2b2 )，
4 4
a2 + 2b2 1 8 - 2 2 =
得： 4 + 2 7 ，
4
所以 a2 + 2b2 8 - 2 2的最小值为 ，
7
故选：A.
19．（23-24 高三下·广东广州·阶段练习）已知正实数 a,b满足 a + 2b =1，则 a + 2 b 的取值范围是（ ）
A． 1, 2 B． 0,1 C． 1, 3ù D． 0, 3ù
【答案】C
【分析】先证明1< a + 2 b 3 ，然后证明对 t 1, 3ù 总存在相应的 a,b使得 a + 2 b = t ，即可说明
a + 2 b 的取值范围是 1, 3ù .
【解析】一方面有 t = a + 2 b > a + 2b = a + 2b + 8ab > a + 2b =1，及
a + 2 b = a + 4b + 4 ab a + 4b + 2 a + b = 3 a + 2b = 3 .
ì 2
a t + 6 - 2t
2 6 - t 2 + 2t 6 - 2t 2
= =

÷÷
è 3 9
另一方面，对 t 1, 3ù ，存在 í 满足 a,b > 02 ， a + 2b =1，
2t - 6 - 2t 2 b 3 + t
2 - 2t 6 - 2t 2
= =

÷
è 6
÷
18
a + 2 b = t .
所以 a + 2 b 的取值范围是 1, 3ù .
故选：C.
20．（23-24 高一上·山西太原·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边
长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 a，b，c，则三角形的面积 S 可由公式
S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现
有一个三角形的边长满足 a = 6，b + c = 8，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．3 7 B．8 C． 4 7 D．9 3
【答案】A
a + b + c
【分析】 a = 6，b + c = 8．可得 p = = 7．代入 S 2 = p( p - a)( p - b)( p - c)2 ，利用基本不等式的性质即
可得出．
Qa 6 b c 8 p a + b + c 6 + 8【解析】 = ， + = ． = = = 72 2 ．
é 2 ù
\S 2 = 7 (7 - 6) (7 b + c- b)(7 - c) = 7[bc - 7(b + c) + 49] = 7(bc - 7) 7 ê ÷ - 7ú = 7 9，
êè 2 ú
当且仅当b = c = 4时取等号．
\S 3 7 ，即三角形面积的最大值为3 7 ．
故选：A．
21．（2023·浙江杭州·二模）已知 a > 1，b >1，且 log2 a = logb 4，则 ab 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】运用对数运算及换底公式可得 log2 a × log2 b = 4，运用基本不等式可求得 ab的最小值.
【解析】∵ log2 a = logb 4，
1 2log 4
∴ log a = log log a = 2
2 2 b
4 ，即： 2 log2 b
∴ log2 a × log2 b = 4，
∵ a > 1，b >1，
∴ log2 a > 0， log2 b > 0，
∴ log2 (ab) = log2 a + log2 b 2 log2 a × log2 b = 4 ，当且仅当 log2 a = log2 b 即 a = b时取等号，
即： ab 24 =16 ，当且仅当 a = b时取等号，
故 ab的最小值为 16.
故选：C.
22．（2023·江苏常州·一模）设 z 为复数， i为虚数单位，关于 x 的方程 x2 + zx + i = 0有实数根，则复数 z 的模
z 的范围是（ ）
A． 2, + B． é 2, + C． 4,+ D． 8,+
【答案】B
1 2 1
【分析】设 x0 是方程的实数根，易知 x0 0，则 z = -x0 - ix ，根据复数的几何意义可得 z = x0 + 2 ，结0 x0
合基本不等式计算即可求解.
【解析】由题意知，设 x0 是方程 x2 + zx + i = 0的实数根，
2
则 x0 + zx0 + i = 0 ，若 x0 = 0，则 i = 0，等式不成立，
x 0 z x
2
= - 0 1所以 0 ，有 - i = -x
1
0 - i ，x0 x0 x0
z ( x )2 ( 1 2所以 = - 0 + - ) = x
2 1 2 x2 10 + 2 x 0
× 2 = 2 ，
0 x0 x0
2 1
当且仅当 x0 = x2 即
x0 = ±1时等号成立.
0
所以 z 的取值范围为[ 2,+ ) .
故选：B.
23．（2024· 2河北沧州·模拟预测）已知抛物线T : y = 2 px p > 0 的焦点为 F，直线 l 交抛物线 T 于 A，B 两点，
MN
M 为线段 AB 的中点，过点 M 作抛物线 T 的准线的垂线，垂足为 N，若 MF = AM ，则 AB 的最大值为
（ ）
1
A．1 B 2 1． C． D．
2 2 3
【答案】B
【分析】设 AF = m， BF = n
m + n
，如图，根据抛物线的定义和梯形的中位线的性质可得 MN = ，结合基
2
本不等式的应用即可求解.
【解析】设 AF = m， BF = n，因为 MF = AM = MB ，所以 AF ^ BF ，
所以 AB = m2 + n2 ，过点 A，B 分别作 AG ，BW 垂直准线于点 G，W，
由抛物线的定义可知 AF = AG ， BF = BW ，
AG + BW AF + BF m + n
由梯形的中位线可知 MN = = = ．
2 2 2
2
因为m2 + n2 2mn 2 2 2 2，所以 2 m + n 2mn + m + n = m + n ，
当且仅当m = n AB m2 n2
m + n
时，等号成立，所以 = + = 2 MN
2
MN 2 MN 2
所以 ，故 AB 的最大值为 ．AB 2 2
故选：B
24．（20-21 高三·北京·强基计划）在VABC 中，角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，且
b + c = 12,bc = a2 -14a + 85，则VABC 的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．前三个选项都不对
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得b = c = 6，从而可求三角形的周长.
2
【解析】注意到bc = a2 -14a + 85 = (a - 7)2 b + c+ 36 36 = ÷ ，
è 2
结合均值不等式，可得b = c = 6且 a = 7，因此VABC 的周长为7 + 6 + 6 =19．
故选：C.
25．（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c
4 1
，若 a + b + c = 2，则 + 的最小值
a + b c
为 ．
9
【答案】
2
【分析】 a,b,c是VABC 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.
【解析】因为 a + b + c = 2，
4 1 1 4 1
所以 + = ×
+
a + b c 2 ÷
é a + b + cù
è a + b c
1 4c a + b 1 4c a + b 9= × 5 + +

÷ ×2
5 + 2 × ÷ = ，
è a + b c 2 è a + b c ÷ 2
4c a + b 4 1
当且仅当 = ，即 a + b = 2c 9时等号成立，故 + 的最小值为 ．
a + b c a + b c 2
9
故答案为： .
2
x
26．（2023·上海静安·二模）已知函数 f x a= f x x (a > 0)为偶函数，则函数 的值域为 .2 +1

【答案】 0,
1 ù
è 2 ú
( 2)x
【分析】利用偶函数的定义求出 a = 2 ，则 f x = x ，设 t = ( 2)
x (t > 0)，利用基本不等式，即可求出
2 +1
结果．
a x
【解析】Q函数 f x = （ a > 0）是偶函数，
2x +1
2
x

a- x ÷ a x 2 ，
\ f -x = f x = è a = = a a = 2
2- x +1 2x +1 2x +1 a
f x ( 2)
x
\ = x ，易得 f x > 0，2 +1
设 t = ( 2)x (t > 0)，
y t 1 1= 2 = 则 t +1 t 1+ 2 ，
t
1
当且仅当 t = 即 t =1时，等号成立，
t
所以0 < t
1
，
2
1 ù
所以函数 f x 的值域为 0,
è 2 ú
．
0, 1 ù故答案为： 2ú ．è
27．（22-23 高三上·云南曲靖·阶段练习）已知b > 0，直线b2 x + y +1 = 0与 ax - b2 + 2 y + 3 = 0互相垂直，则 ab
的最小值为 .
【答案】 2 2
b2b > 0 a + 2【分析】根据 ，由两直线垂直的充要条件，可得 = ，所以 ab = b
2
+
2 ，再利用基本不等式的性b b
质即可得出．
2
【解析】根据b > 0，直线b2 x + y +1 = 0与直线 ax - b + 2 y + 3 = 0互相垂直，
\b2 a +1 é - b2 + 2 ù = 0，
b2a + 2所以 = 2 ，b
ab b 2 2所以 = + 2 b = 2 2 ，当且仅当b = 2 时取等号．
b b
则 ab 的最小值等于 2 2 ，
故答案为: 2 2 .
28．（2024·湖南·二模）若锐角a , b 满足3cos a + b = cosacosb ，则 tan a + b 的最小值为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 2 5 D．2 6
【答案】D
【分析】利用两角和的余弦公式得 tana tanb ，再由基本不等式求得 tan a + b 的最小值.
【解析】3cos a + b = cosacosb 3cosacosb - 3sinasinb = cosacosb tana tanb 2= .
3
于是 tan a + b tana + tanb= = 3 tana + tanb 6 tana tanb = 2 6 61 tana tanb ，当且仅当 tana = tanb = 时取等号，- 3
则 tan a + b 的最小值为2 6 .
故选：D.
29．（2023·河南开封·模拟预测）在三棱锥P - ABC 中，PA⊥平面 ABC， AB ^ AC，PA =1，AB + AC = 4，当
三棱锥的体积最大时，三棱锥P - ABC 外接球的体积为 ．
9π
【答案】
2
【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得 AB = AC = 2体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公
式即得.
【解析】由题可知三棱锥P - ABC 的体积为：
V 1 1 1 1 AB + AC
2
2
P- ABC = × AB × AC × AP = AB × AC ÷ = ，当且仅当 AB = AC = 2时等号成立，3 2 6 6 è 2 3
此时，PA =1，AB = AC = 2，将三棱锥P - ABC 补成长方体PEFG - ABDC ，
3
则三棱锥P - ABC 外接球的直径为 2R = PA2 + AB2 + AC 2 = 3，则R = ，2
4 3 9π
因此，三棱锥P - ABC 外接球的体积为 πR = .
3 2
9π
故答案为： .
2
uuur
30．（20-21高三下·浙江·阶段练习）已知抛物线 y2 = 2 px的焦点为F ，若点A ， B 是该抛物线上的点， AB = 6，
uuur uuur uuuur
AF × BF=0，线段 AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为 N ，则 MN 的最大值为 ．
【答案】3 2
【分析】设 AF = a ， BF = b 由勾股定理可得 AB = a2 + b2
a + b
，根据抛物线的性质可得 MN = ，再利
2
a + b a2 + b2
用基本不等式可得 ，即可求出 MN 的最大值；
2 2
【解析】解：如图所示，设 AF = a ， BF = b ，则 AB = a2 + b2 =6，
MN a + b而根据抛物线的性质可得 =
2
a + b a2 + b2
结合平方平均值与算术平均值的关系式 当且仅当 a = b时取等号，
2 2
a + b
因此 MN 2 2 MN 2= ，，所以 AB ，即 MN
2
的最大值为 AB = 3 2
AB a2 + b2 2 2 2
故答案为：3 2
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——
积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
31．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方米）的计算公式是
W = 长 + 4 宽+ 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是 10000 平方米，每平方
米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
x W 4x 40000【分析】设矩形场地的长为 米，则 = + +10016x ，结合基本不等式计算即可求解.
10000
【解析】设矩形场地的长为 x 米，则宽为 米，
x
W (x 4)(10000 40000= + + 4) = 4x + +10016 2 4x 40000× +10016 = 10816 ，
x x x
当且仅当 4x
40000
= ，即 x =100 时，等号成立.
x
所以平整这块场地所需的最少费用为1 10816 = 10816元.
故选：C
32．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别
为 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买 100 元的该商品，乙每周购买 20
件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 a1,a2，则（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题意求出 a1,a2的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
a 200 2mn= = 20(m + n) m + n
【解析】由题意得 1 100 100 m + n ， a2 = =+ ，
m n 40 2
2mn 2mn
因为m > 0, n > 0, m n
m + n
，故 > mn ， < = mnm ，2 + n 2 mn
即 a1 < a2 ，
故选：B
x + y
33．（2024·广东湛江·二模）当 x > 0， y > 0时， xy .这个基本不等式可以推广为当 x， y > 0时，
2
lx + m y xl ym ，其中l + m =1且l > 0，m > 0 .考虑取等号的条件，进而可得当 x y 时，lx + m y xl ym .用
1 1 1 1 19 19
这个式子估计 10 可以这样操作：102 92 10 + 9 = ，则 10 3.167 .用这样的方法，可得 36 282 2 2
的近似值为（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
【答案】C
1 2
【分析】根据给定的信息，求出 283 273 的近似值，进而求出
3 28 的近似值.
1 2
283 273 1 28 2 27 82
82
【解析】依题意， + = ，则 3 28 3.037 .
3 3 3 27
故选：C
34．（22-23 高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世
西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也
称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O上，点C 在直径 AB 上，且OF ^ AB ，设 AC = a，
BC = b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
a + b
A． ab(a > 0,b > 0) B． a2 + b2 2 ab(a > 0,b > 0)
2
2ab
C ab(a > 0,b > 0) D a + b a
2 + b2
． ．
a b (a > 0,b > 0)+ 2 2
【答案】D
【分析】利用数形结合计算出OF ,OC ，再在RtVOCF 中，利用勾股定理得CF ，再由CF OF ，可得结
论．
【解析】设 AC = a, BC = b r OF
1 AB a + b，可得圆O的半径为 = = = ，
2 2
OC OB a + b又由 = - BC = - b
a - b
= ，
2 2
a - b 2 2 2RtVOCF FC 2 OC 2 OF 2 a + b a + b
2
在 中，可得 = + = 2 ÷
+ 2 ÷
= ，
è è 2
a + b a2 + b2
因为FO FC ，所以 ，当且仅当 a = b时取等号．
2 2
故选：D.
35．（2023·安徽池州·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根
垂直的悬杆看上去最长 ( 即可见角最大 ).后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题 .我们
把地球表面抽象为平面a ，悬杆抽象为线段 AB( 或直线 l上两点A ，B)，则上述问题可以转化为如下的数学
模型：如图1，一条直线 l垂直于一个平面a ，直线 l有两点A ， B 位于平面a 的同侧，求平面上一点C ，使
得 ACB 最大 .建立如图 2所示的平面直角坐标系 .设A ， B 两点的坐标分别为 0, a ， 0,b 0 < b < a ，设
点C 的坐标为 c,0 ，当 ACB 最大时， c = （ ）
A． 2ab B． ab C． 2 ab D． ab
【答案】D
【分析】根据题意可得 ACB = OCA - OCB ，然后由正切的和差角公式和基本不等式即可得到结果.
【解析】由题意可知 ACB 是锐角，且 ACB = OCA - OCB ，
而 tan OCA
a
= , tan OCB b= ，
c c
a b
-
所以 tan ACB = tan OCA OCB c c a - b - = = ，
1 ab ab+ c +
c2 c
c ab 2 ab c ab而 + ，当且仅当 = ，即
c c c = ab
时取等号，
因为 ACB 是锐角，
tan a - b a - b ACB =
所以当 c = ab 时， c ab

+ 2 ab 最大，此时 ACB 最大.
c2
故选：D
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
36．（23-24 高二下·广东江门·阶段练习）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯
曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线C : y = f (x)上的曲线段 AB ，其弧长为Ds，当动点从 A
沿曲线段 AB 运动到 B 点时，A 点的切线 lA 也随着转动到 B 点的切线 lB ，记这两条切线之间的夹角为Dq （它
等于 lB 的倾斜角与 lA 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固
Δq
定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K = Δs 为曲线段
AB 的平均曲率；显然当 B 越接近 A，即
Ds越小，K 就越能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义曲线 y = f (x) 在点 (x, f (x))处的曲率计
t (x)
K = lim Δq =
算公式为 Δx 0 Δs 3 ，其中 t(x) = f (x) ．1+ f (x) 2 2
(1)求单位圆上圆心角为60o 的圆弧的平均曲率；
1
(2)已知函数 f (x) = (x > 0) ，求曲线 y = f (x) 的曲率的最大值；
x
(3)已知函数 g(x) = 6x2 ln x - 2ax3 - 9x2 , h(x)
1
= 2xex - 4ex + ax2 ,a 0, ÷，若 g(x),h(x)曲率为 0 时 x 的最小值
è e
x2 8
分别为 x1, x2 ，求证： 1 > e3 ．
ex2
【答案】(1)1
(2) 2
2
(3)证明见解析；
Δq
【分析】（1）根据平均曲率K = Δs 的定义，代入计算可得结果；
f (x) 1（2）对函数 = 求导，代入曲率计算公式并化简变形利用基本不等式可求得曲线 y = f (x) 的曲率的最
x
2
大值为 ；
2
ln x ln x
（3）根据 g(x),h(x) x曲率为 0 可求得 a = , a = -xe ，利用导数判断出函数 y = 的单调性，可知 a = j(x)
x x
ln x ln tx 2 8
x , x 1 < x < e < x 1 = 3 = t x = e- x x的两解分别为 1 3，且 1 3 ，令 ln x ln x 可得
2
3 ，对
1
x > e3 整理变形并构造函数
3 3 e 2
8
m(t) ln t t -1 = -
3 2t 1 可得出证明.+
π π π
【解析】（1）易知单位圆上圆心角为60o 的圆弧Dq = ,Ds = 1 = ，3 3 3
π
K Δq根据定义可得平均曲率 = = 3
Δs π
=1
3
1
（2）由 f (x) = (x > 0) f (x)
1
可得 = - 2 ，x x
又 t(x) = f (x) 可得 t (x)
2
= ；
x3
2
K lim Δq
t (x) 3 2 2 2
= = 3 =
x = = =
所以 Δx 0 Δs 3 3 3 3 1+ f (x) 2 2 1 2 2 3 1 2 3 ，2 1 2 2 1 2 1+ - 2÷ ÷ x 1+ 4 ÷ x 1+ 4 ÷ x + è x2 ÷ è x ÷è è x è x2
1
易知 x2 1+ 2 x2 12 × 2 = 2
2
，当且仅当 x = 2 时，即 x =1时等号成立；x x x
K 2 2 2 2= 3 3 = =
所以 x2 1+
2 22 2 2 2 ，

è x2 ÷
即曲线 y = f (x) 2的曲率的最大值为 .
2
（3）由 g(x) = 6x2 ln x - 2ax3 - 9x2可得 g (x) =12x ln x - 6ax2 -18x ，
记 g1(x) = g (x) ，则 g 1 (x) =12ln x -12ax ；
同理由 h(x) = 2xex - 4ex + ax2 可得 h (x) = 2 x +1 ex - 4ex + 2ax，
记 h1(x) = h (x) ，则 h 1 (x) = 2xe
x + 2a ，
若 g(x),h(x)曲率为 0 时，即 g 1 (x) = 0, h1 (x) = 0，可得 ln x - ax = xe
x + a = 0，
a ln x化简可得 = , a = -xex；
x
令j(x)
ln x , x 0 j (x) 1- ln x= > ，则 = 2 ，由j
(x) = 0可得 x=e，
x x
则当 x 0,e 1时，j (x) > 0 ，此时j(x) 单调递增，且j(x) < j(e) = ；
e
当 x e,+ 时，j (x) < 0，此时j(x) 单调递减，且0 < j(x) 1< ；
e
则j(x) 的图象如下图所示：
a 0, 1 又 ÷ ，结合j(x) 的图象可得 a = j(x)有两解，
è e
设这两解分别为 x1, x3，且1< x1 < e < x3 ，
a ln x1 ln x3 x ex ln e
- x2
又 = = = - 2 = ，
x1 x
2 e- x23
因为 x1, x2 最小，因此 x = e- x23 ，
ì ln x1 - ax1 = 0 ln x x
由 í t = 1 = 1 , t 0,1
ln x3 - ax3 = 0
，可设 ln x x ，3 3
ln x1 ln tx= 3故 = t, ln t + ln x3 = t ln xln x3 ln x
3，
3
化简可得 ln x
ln t t ln t
3 = ，则 ln x1 = ，t -1 t -1
x2 8 8
要证 1x > e3 ，即证 x2 3 ，e 2 1 x3 > e
即 2ln x + ln x
8
> 2t ln t ln t 2t +1 ln t 81 3 ，也即 + = > ，3 t -1 t -1 t -1 3
8 t -1
即证 ln t

- < 0
3 2t 1 ，+
8 t -1 21 8 2t +1 -8t 2t -1 2
令m(t) = ln t - ，则m (t) = - = = 03 2t ，+1 t 2t +1 2 t 2t +1 2 t 2t +1 2
所以m(t) 在在区间 t 0,1 上单调递增，
2 8
故m(t) < m(1) = 0 x，故 1 > e3 .
ex2
x2 8
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明不等式 1 3x > e 时，利用双变量消元技巧找出 x1, x2 的关系式，再通e 2
过构造函数并利用导函数判断出其单调性，并求得其最值即可证明得出结论.
一、单选题
7
1．（2024· 2甘肃定西·一模） x + 2 + 7 的最小值为（ ）x
A． 2 7 B．3 7 C． 4 7 D．5 7
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
x2 0, 7【解析】由题意知 x 0，所以 > 2 > 0，x
所以 x2 7 7 7+ 2 + 2 x
2 × 2 + 7 = 3 7 .x x
2 7
当且仅当 x = 2 ，即 x2 = 7 时，等号成立.x
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 a = lg 2,b = lg5，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．0 < ab 1
1 1
<1 B a-b． 2 > C2 ． a + b > 2 D． + > 4a b
【答案】C
【分析】对于 AB，利用对数函数的性质即可判断；对于 CD，利用对数的运算得到 a + b =1，结合基本不等
式即可判断.
【解析】因为 a = lg 2,b = lg5，所以 a + b = lg 2 + lg5 = lg10 =1，
对于 A，易得0 < a <1,0 < b <1，所以0 < ab <1，故 A 成立.
a b lg 2 lg 1B - = > = -1 2a-b > 2-1
1
对于 ，因为 ，所以 = ，故 B 成立.
5 10 2
对于 C， ( a + b)2 =1+ 2 ab 1+ a + b = 2，
a b 1当且仅当 = = 时，等号成立，
2
显然等号不成立，所以 a + b < 2 ，故 C 不成立.
对于 D，因为 a + b =1且 a b ，
1 1 (a b) 1 1 2 b a 2 2 b a所以 + = + + ÷ = + + > + × = 4 ，故 D 成立.a b è a b a b a b
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列 an 满足 a5a6a7 = -27，则 a2a6 + a2a10 + a6a10 有（ ）
A．最小值-9 B．最大值 18 C．最小值 27 D．最大值-81
【答案】C
3 a6
【分析】由数列 an 是等比数列，可得 a5a6a7 = a6 = -27，即 a6 = -3，方法一： a2 = q4 < 0 ,则
3
a a + a 2 a62 6 2a10 + a6a10 = a2a6 + a6 + 利用基本不等式计算即可，方法二：a2
a2a6 + a2a10 + a a = a
2 + a2 + a26 10 4 6 8 2a4a8 + 9 利用基本不等式计算即可.
3 a6
【解析】方法一：因为数列 an 是等比数列，所以 a5a6a7 = a6 = -27，所以 a6 = -3，所以 a2 = < 0q4 ，所以
3
a a 2 a6 27
27
2 6 + a2a10 + a6a10 = a2a6 + a6 + = -3a2 + 9 - 2 -3a2 - ÷ + 9 = 27，a2 a2 è a2
27
当且仅当-3a2 = - a ，即
a2 = -3时取等号．
2
方法二 3因为数列 an 是等比数列，所以 a5a6a7 = a6 = -27，所以 a6 = -3，所以
a2a6 + a2a10 + a6a10 = a
2 + a2 + a2 2a 24 6 8 4a8 + 9 = 2a6 + 9 = 2 9 + 9 = 27，
当且仅当 a4 = a8 = -3时取等号．
故选：C．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
a,b a b 1 1 1A．若正实数 满足 + = ，则 + 有最小值 4
a b
B．若正实数 a,b满足 a + 2b =1，则 2a + 4b 2 2
y x2 3 1C． = + + 4 3
x2
的最小值为
+ 3 3
D．若 a > b >1，则 ab +1< a + b
【答案】D
1 1 1 1 1 1
【分析】对于 A，利用 + = a + b + ÷ 即可证明 + 4，再给出取等的情况即可得到 A 正确；对于a b è a b a b
B，利用 2a + 22b 2 2a ×22b 即可证明 2a + 4b 2 2 ，得到 B 正确；对于 C，利用换元法与对勾函数单调性判
断；对于 D，验证当 a = 3，b = 2 时不等式不成立，得到 D 错误.
1 1 1 1 b a b a
【解析】对于 A，若正实数 a,b满足 a + b =1，则 + = a + b + ÷ = 2 + + 2 + 2 × = 2 + 2 = 4，a b è a b a b a b
而当 a = b
1 1 1
= 时，有 a + b =1， + = 4 1 1，从而 + 的最小值是 4，故 A 正确；
2 a b a b
对于 B，若正实数 a,b满足 a + 2b =1，则 2a + 4b = 2a + 22b 2 2a × 22b = 2 2a+2b = 2 2 ，故 B 正确；
对于 C，设 x2 + 3 = t [ 3,+ )，则 y
1
= t + (t 3) 3 1 4 3，由对勾函数单调性得最小值是 + = ，故 C
t 3 3
正确；
对于 D，当 a = 3，b = 2 时，有 a > b >1，但 ab +1 = 3 ×2 +1 = 7 > 5 = 3+ 2 = a + b，故 D 错误.
故选：D.
5．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数 x, y满足 x2 - 2xy + 2 = 0，则 x + y 的最小值是（ ）
A． 6 B 6． C． 2 2 D．2
2
【答案】A
x 1
【分析】根据题意可得 y = + ，利用基本不等式求解.
2 x
x 1
【解析】由 x2 - 2xy + 2 = 0可得 y = + ，
2 x
x y x x 1 3x 1 3x 1\ + = + + = + 2 × = 6 ，
2 x 2 x 2 x
3x 1
= x 6 y 2 6当且仅当 ，即 = 时，等号成立，此时 符合题意.2 x = > 03 3
所以 x + y 的最小值为 6 .
故选：A.
6．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直
的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，
以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角a 满足
cosa 1= ，则这块四边形木板周长的最大值为（
3 ）
10 30 + 15 10 30 - 15A ． cm B． cm
3 3
10 10 + 5 10
C D 10 - 5 ． cm ． cm
3 3
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求周长的最大值.
1
【解析】因为四边形木板的一个内角a 满足 cosa = ，如图，
3
设 BAD = a ，由题设可得圆的直径为 100 + 25 = 5 5 ，
1
故BD = 5 5 sina ，因 cosa = ，a 为三角形内角，故3 sina
2 2
= ，
3
BD 5 5 2 2 10 10故 = = ，
3 3
AB2 + AD2 - 2AD AB cosa = BD2 1000故 = ，
9
2 AD + AB
2
故 AB + AD 2 8= AD AB 1000 1000 + + ，
3 9 3 9
AB AD 1000 3 10 30故 + = ，当且仅当 AB = AD 5 30= 时等号成立，
9 3 3
BC CD 10 15 BC CD 5 15同理 + ，当且仅当 = = 等号成立，
3 3
10 30 + 15
故四边形周长的最大值为 cm，
3
故选：A.
uuur uuuur
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在VABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段 AM 上一点， AG = 2GM ，
uuur uuur uuur uuur 4 1
过点G 的直线分别交直线 AB ， AC 于 P ，Q两点．设 AB = xAP(x > 0)， AC = y AQ(y > 0)，则 +x + 2 y +1
的最小值为（ ）
3 3
A． B． C．3 D．6
4 2
【答案】B
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由中点和三等分点得到 AG = (AB + AC) ，结合 AB = xAP(x > 0)， AC = y AQ(y > 0)，得到
3
uuur x uuur y uuurAG = AP + AQ，
3 3
4 1
由三点共线得到 x + y = 3，利用均值不等式中“1 的代换”求得 +x 2 y 1的最小值.+ +
uuuur 1 uuur uuur uuur uuuur
【解析】因为M 为线段BC 的中点，所以 AM = (AB + AC)，又因为 AG = 2GM ，所以2
uuur 2 uuuur 1 uuur uuurAG = AM = (AB + AC)，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur x uuur y uuur
又 AB = xAP(x > 0)， AC = y AQ y > 0 ，则 AG = AP + AQ，
3 3
x y
而 P ，G ，Q三点共线，所以 + =1，即 x + y = 3，
3 3
则
4 1 1 4 1 1 é x + 2 4 y +1 ù 1 é x + 2 4(y +1) ù 5 + 2 4 3
+ = é
x + 2 y +1 6
x + 2 + y +1 ù + ÷ = ê4 + + +1 5 + 2 × = =
è x + 2 y +1 6 y +1 x + 2
ú
6
ê ú
y +1 x + 2 6 2
，
x + 2 4(y +1)
当且仅当 = x = 2 y =1y +1 x 2 ，即 ， 时取等号．+
故选：B．
8．（2024·天津· 2二模）已知抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点为F ，抛物线上的点M 4, y0 到F 的距离为 6，双
x2 y2
曲线 2 - 2 =1 a > 0，b > 0 的左焦点 F1在抛物线的准线上，过点 F1向双曲线的渐近线作垂线，垂足为 H ，a b
则 H 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B． 3 C． 5 D．3
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求 p、F、F1，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可.
p p
【解析】设双曲线右焦点F2 ，易知F ,0÷，MF = 4 + = 6 p = 4
è 2
，
2
即F 2,0 , F1 -2,0 , F2 2,0
b
，而双曲线的一条渐近线为 y = x ，
a
bc
易知 F1H = = b2 2 ，a
2 + b2 = c2 = 4所以 OH = a ，
a + b
由双曲线的性质可知 SVHF1F = 2S2 VHF1O = ab，
a2 + b2
由基本不等式可知 ab = 2 ，当且仅当
2 a = b = 2
时取得等号.
故选：A
二、多选题
3
9．（2024· 1 1河南信阳·一模）已知正数m, n满足 + = 22 ，则（ ）
m n
mn 1 2 2 m n 3A． B．m + n 2 C． + ≥ D．$m, n (0, ), (
m - n
+ )2≥mn
2 2 2mn
【答案】AD
3
【分析】选项 A 1 1+ = 22 2，将等式 应用基本不等式求解即可；选项 B、C，检验特殊情况m = n = 时的结
m n 2
( 1 1)2 4mn 4果即可判断；选项 D，原不等式等价于 + + ，应用基本不等式可得
m n mn
m, n (0, ),mn 1, (m - n$ + = )2 = mn .
2mn
1 1 3 1
【解析】对于选项 A， + = 22 1 1≥2 × ，则mn ，
m n m n 2
2
当且仅当m = n = 时等号成立，故 A 正确；
2
对于选项 B，应用重要不等式得：m2 + n2 2mn（m = n 时取得等号），
mn 1接选项 A 中 ，当m = n 2= 时取得等号，
2 2
m2 + n2 2mn 2 1 = 1 m n 2
2 （当
= = 时能取得等号），
2
即m2 + n2的最小值为1，与m2 + n2 2矛盾，故 B 错误；
1 1 3 1 1 1 2 1 1
对于选项 C，因为 + = 22 ，则 3 ( + ) = ( + ) =1
m n 22 m n 4 m n
m n 2 (m n)( 1 1) 2 m n+ = + + = (2 + + ) ，
4 m n 4 n m
m n m n 2
其中 + 2 = 2 ，当m = n = 取得等号，
n m n m 2
则m + n 2 ，即m + n的最小值为 2 ，
且m + n
3
= 2 < ，故 C 错误；
2
(m - n)2 mn ( 1 1)2 4mn ( 1 1对于选项 D， - + )2 4mn
4
+ ，
2mn m n m n mn
1 1 3 mn 1且 + = 22 ，得： + 2，
m n mn
而mn 1+ ≥2 mn 1× = 2，当且仅当mn =1时等号成立，
mn mn
$m, n (0, + ),mn =1, (m - n)2即 = mn，故 D 正确；
2mn
故选：AD．
10．（2024·全国·模拟预测）若实数 a，b 满足3a2 + 3b2 + 4ab = 5，则下列结论正确的是（ ）
ab 2A． ab <1 B． -
5
C． a2 + b2 2 D．- 2 a + b 2
【答案】AD
【分析】根据不等式 a2 + b2 2ab，结合已知等式3a2 + 3b2 + 4ab = 5变形可判断 A，C，D；由3a2 + 3b2 + 4ab = 5
可得3 a + b 2 = 5 + 2ab 0，结合实数的性质即可判断 B.
2 1
【解析】因为5 = 3a2 + 3b2 + 4ab 6ab + 4ab =10ab ,当且仅当 a = b = 时等号成立，所以 ab ，A 正确；
2 2
因为3a2 + 3b2 + 4ab = 5，所以3 a + b 2 5= 5 + 2ab 0，所以 ab - ，B 错误；2
5 3a2 3b2 4ab 3a2 3b2 2a2 2b2 5a2 5b2 a b 2因为 = + + + + + = + ，当且仅当 = = 时等号成立，所以
2
a2 + b2 1，C 错误；
2
由3 a + b 2 = 5 + 2ab 5 + 2 a + b ÷ 整理，得 a + b
2 2，当且仅当 a = b 2= 时等号成立，
è 2 2
所以- 2 a + b 2 ，D 正确．
故选：AD．
x y z
11．（2024·浙江·二模）已知正实数 a，b ， c，且 a > b > c， x ， y ， z 为自然数，则满足 + + > 0
a - b b - c c - a
恒成立的 x ， y ， z 可以是（ ）
A． x =1， y =1， z = 4 B． x =1， y = 2， z = 5
C． x = 2， y = 2， z = 7 D． x =1， y = 3， z = 9
【答案】BC
2
x + y 2
【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到 x y + ，进而得到只需 x + y > z 即可，再
a - b b - c a - c
依次判断四个选项即可.
x y z x y z
【解析】要满足 + + > 0，只需满足 + > ，
a - b b - c c - a a - b b - c a - c
其中正实数 a，b ， c，且 a > b > c， x ， y ， z 为正数，
x y a - b + b - c x y+ = +

a - b b - c a - c è a - b b - c ÷
x b - c x a - b y y
= + + +
a - c a - b a - c a - c b - c a - c
x y b - c x a - b y
+ + 2 ×
a - c a - c a - b a - c a - c b - c
2
x y 2 xy x + y
= + + = ，
a - c a - c a - c a - c
b - c x a - b y 2 2
当且仅当 = a b a c a c b c ，即 b - c x = a - b y 时，等号成立，- - - -
2x + y观察各选项，故只需 z 2> ，故只需 x + y > z 即可，
a - c a - c
2
A 选项， x =1， y =1， z = 4 时， 1 + 1 = 4，A 错误；
2
B 选项， x =1， y = 2， z = 5时， 1 + 2 = 3 + 2 2 > 5，B 正确；
2
C 选项， x = 2， y = 2， z = 7 时， 2 + 2 = 8 > 7，C 正确；
2
D 选项， x =1， y = 3， z = 9时， 1 + 3 = 4 + 2 3 < 9，D 错误.
故选：BC.
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，
1 1
且总体的平均值为 10．则 + 的最小值为 ．
a b
1
【答案】 / 0.2
5
1 1
【分析】根据平均数的概念可求 a + b 的值，再利用不等式可求 + 的最小值.
a b
【解析】因为各个个体的值是有小到大排列的，所以6 a b 12，
2 + 4 + 4 + 6 + a + b +12 +14 +18 + 20
又总体平均值为10，所以 =10 a + b = 20 .
10
1 1 1 a b 1 1 1 2 b a 1

2 2 b a

所以 + = + + ÷ = + + + ×
1
÷ ÷÷ = （当且仅当 a = b =10 时取“ = ”）.a b 20 è a b 20 è a b 20 è a b 5
1
故答案为：
5
13．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被 3 除余 2 的正整数按照从小到
大的顺序排成一列，即 2,5,8,11, × × × × × ×
2S + 27
，构成数列 an ，记数列 an 的前 n项和为 Sn ，则 n 的最小值n
为 .
【答案】19
【分析】根据题意，由等差数列的前 n S
3 n2 1项和公式，即可得到 n = + n，再由基本不等式即可得到结果.2 2
【解析】由题意可知，数列 an 是以 2为首项，3为公差的等差数列，
n n -1
则 S = 2n + 3 3= n2 1n + n，2 2 2
2Sn + 27 3n
2 + n + 27 27 27
所以 = = 3n + +1 2 3n +1 =19 ，
n n n n
27
当且仅当3n = 时，即 n = 3时，等号成立，
n
2Sn + 27所以 的最小值为19 .
n
故答案为：19
1
14．（2024·江西上饶· 3 2一模）若函数 f x = x - ax + 6x在区间 1,3 上单调递增，则 a的取值范围
2
为 ．
【答案】 - ,6 2ù
【分析】函数 f x 1= x3 - ax2 + 6x在区间 1,3 上单调递增，转化为 f x 0在 1,3 上恒成立，即 a 3x 6+
2 x
恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
f x 1= x3 - ax2【解析】因为 + 6x，
2
所以 f x = 3x2 - ax + 6，
3 1 2
因为函数 f x = x - ax + 6x在区间 1,3 上单调递增，
2
所以 f x = 3x2 - ax + 6 0 在 1,3 上恒成立，
x 1,3 a 3x 6即 时， + 恒成立，
x
3x 6因为 + 2 3x 6 =6 2 ，当且仅当 x = 2 时等号成立，
x x
6
即 3x + ÷ = 6 2x ，所以 a 6 2 ，è min
故答案为： - ,6 2 ù .
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c，已知b 3cosC -1 = c 1- 3cosB ．
(1)证明：b + c = 3a；
(2)求 cosA的最小值．
【答案】(1)证明见解析
7
(2) ．
9
【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；
（2）利用第一问的结果代入 cosA的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.
【解析】（1）已知b 3cosC -1 = c 1- 3cosB ，
由正弦定理得： sinB 3cosC -1 = sinC 1- 3cosB ，
整理得： sinC - 3cosBsinC = 3sinBcosC - sinB，
sinB + sinC = 3 cosBsinC + sinBcosC = 3sin B + C ……①
因为 A = π - B + C sin A = sin π - B + C = sin B + C ……②
②代入①有： sinB + sinC = 3sinA，
再由正弦定理得b + c = 3a．
（2）由余弦定理得：
2 2 2 2
cosA b + c
2 - a2 9b2 + 9c2 - b + c 8 b + c - 2bc 8 2bc - 2bc 7
= = = = ，
2bc 18bc 18bc 18bc 9
当且仅当b = c
7
时，等号成立，所以 cosA的最小值为 ．
9
16．（2023·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
sin A cos B + cosC
= ．
cos B - cosC sin A - sin B
(1)求C ；
(2) VABC 2 3若 外接圆的半径为 ，求VABC 的面积最大值．
3
π
【答案】(1) C =
3
(2) 3
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．
（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.
【解析】（1）由已知可得： sin2 A - sin Asin B = cos2 B - cos2 C ，
∴ sin2 A - sin Asin B =1- sin2 B - 1- sin2 C ，
∴ sin2 A + sin2 B - sin2 C = sin Asin B，
根据正弦定理可知： a2 + b2 - c2 = ab，
∴ cosC a
2 + b2 - c2 1
= = ．
2ab 2
又C (0, π), C
π
\ = ．
3
（2）∵ VABC 2 3外接圆的半径为 r = ，
3
∴ c 4 3= 2r = ，解得 c = 2．
sin C 3
又由（1）得 a2 + b2 - c2 = ab，
故 a2 + b2 - 4 = ab 2ab - 4，∴ ab 4，当且仅当 a = b = 2时等号成立
∴ S 1 3△ABC = absin C = ab 3 ，2 4
∴ VABC 的面积最大值为 3．
2 2
17 x y 2．（2024·四川·模拟预测）已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0)的左、右焦点分别为Fa b 1
、F2 ，离心率为 ．点
2
M 在直线 x = -3(y 0)上运动，且直线MF1 的斜率与直线MF2 的斜率之商为 2．
(1)求C 的方程；
(2)若点 A、B 在椭圆C 上，O为坐标原点，且OA ^ OB，求VAOB面积的最小值．
x2
【答案】(1) + y2 =1
2
2
(2)
3
【分析】
（1）根据题意，由两直线的斜率之商为 2 以及离心率公式，代入计算，即可求得 a,b从而得道结果；
（2）根据题意，分直线OA，直线OB其中一条直线斜率不存在与直线OA，直线OB的斜率均存在讨论，
然后联立方程，由三角形的面积公式结合基本不等式即可得到结果.
【解析】（1）
设F1 -c,0 , F2 c,0 , M -3, y0 , y0 0 ，
k y所以 = 0MF , k
y0
MF = ，由直线MF1 的斜率与直线MF 的斜率之商为 2，1 -3 + c 2 -3 - c 2
y0 -3 - c
可得 × = 2-3 + c y ，所以 c =1，0
e c 2又离心率 = = ，所以 a = 2 ，则b = a2 - c2 =1，
a 2
C x
2
所以 的标准方程为 + y2 =1 .
2
（2）
当直线OA，直线OB其中一条直线斜率不存在时，不妨令 A 1,0 , B 2,0 ，
此时VAOB 1面积为 1 2 2 = ；
2 2
当直线OA，直线OB的斜率均存在时，不妨设直线OA的方程为 y = kx k 0 ，
1
则直线OB的方程为 y = - x ，设点 A x1, y1 , B x2 , y2 ，k
ìx2 + 2y2 = 2 2
联立方程 í 可得 2k +1 x2 = 2，
y = kx
2 22 2 2 2 k 2 +1 所以 OA = x ，1 + y1 = k +1 x1 = 2k 2 +1
ìx2 + 2y2 = 2
2 2
联立方程 í 1 可得 +1 x = 2
y = - x

è k 2 ÷
，

k
2 1 2 +1÷
2 1 è k 2 k 2 +1所以 OB = x2 + y2 = +1 x2 2 2 2 ÷ 2 = 2 = 2 ，è k +1 k + 2
k 2
2
1 1 3 k +1 3
所以 2 + 2 = = ，OA OB 2 k 2 +1 2
1 3 1 1 2
因为 S =VAOB = × OA × OB ，又 2 OA 2
+
OB 2

2 OA × OB
，
4
所以 OA × OB 2 2，又
3 <
，
3 2
所以VAOB 2面积的最小值为 3 ，当且仅当 OA = OB ，即 k = ±1时等号成立.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及
结合基本不等式计算.
18．（2024·辽宁·模拟预测）（1）利用双曲线定义证明：方程 xy =1表示的曲线是焦点在直线 y = x 上的双曲
线，记为曲线C ；
ì
x x
3
0 = - y
（2）设点 A x0 , y0 在曲线C 上，B x, y 在曲线C
3
1上，且满足 í ，求C1方程；
3
y 0
= x + y
3
uuur uuur
（3）点 P 在C1上，过点 P 的直线 l与C1的渐近线交于M ， N 两点，且满足MP = PN ，求△MON （O为坐
标原点）的面积.
2
【答案】（1）证明见详解；（2） x2 y- =1；（3） 3
3
1
【分析】（1）根据设D x, ÷ , F1 - 2,- 2 , F2 2, 2 ，分 x > 0和 x < 0 两种情况，结合两点间距离公式
è x
可得 DF2 - DF1 = 2 2 ，即可得结果；
ì 3
x0 = x - y 3
（2）根据题意将 í 代入曲线C 即可；
y 3 0 = x + y 3
（3）设 l : x = my + t M , N
t 3mt
，求 的坐标，结合中点可得P 2 , 2 ÷，代入C 方程可得 21- 3m 1- 3m 1 t =1-3m
2，
è
进而可求△MON 的面积.
1
【解析】（1）设D x, ÷ , F1 - 2,- 2 , F2 2, 2 ，显然F1 - 2,- 2 , F2 2, 2 在直线 y = x 上，
è x
DF x 2 2 1
2 2
则 1 = + + + 2
1
÷ = x
2 + 2 + 2 2
x 1+ 4 1 ÷ + = x + + 2 ÷ = x
1
+ + 2 ，
è x x è x è x x
1
同理可得 DF2 = x + - 2 ，x
1
若 x > 0 1，则 x + 2 x 1× = 2，当且仅当 x = ，即 x =1时等号成立，
x x x
则 DF1 = x
1 1
+ + 2 = x + + 2 ， DF
1 1
2 = x + - 2 = x + - 2 ，x x x x
DF DF x 1 2 1可得 1 - 2 = + + -

x ÷
x + - 2 ÷ = 2 2 ；
è è x
1 1 1 1
若 x < 0 ，则- x +

÷ = -x + 2 -x × = 2，当且仅当-x = ，即 x=-1时等号成立，
è x -x -x -x
可得 x
1
+ -2，
x
DF 1则 1 = x + + 2 = -

x
1 1 1
+ + 2 ÷， DF2 = x + - 2 = -x x x
x + - 2 ÷，
è è x
可得 DF2 - DF
1 1
1 = - x + - 2 ÷ + x + + 2

÷ = 2 2 ；
è x è x
综上所述： DF2 - DF1 = 2 2 ，
所以方程 xy =1表示的曲线是焦点在直线 y = x 上的双曲线；
（2）因为点 A x0 , y0 在曲线C 上，则 x0 × y0 =1，
ì 3

x0 = x - y3 3 3 2
又因为 í ，可得 x - y ÷÷ x + y ÷ = x
2 y- =1，
y x 3 è
3 è 3 ÷ 3
0
= + y
3
y2
所以C 方程为 x21 - =1；3
2
（3）令 x2 y- = 0，可得 y = ± 3x ，即曲线C1的渐近线为 y = ± 3x ，3
3
由题意可知：直线 l的斜率可能不存在，但不为 0，设 l : x = my + t,m ，
3
ìx t=
ì x = my + t 1- 3m t 3t
联立方程 í ，解得 í ，即M , ÷，
y = 3x y 3t è1- 3m 1- 3m
÷
= 1- 3m

N t , 3t

同理可得： - ÷1+ 3m 1+ 3m ÷
，
è
uuur uuur
因为MP = PN ，可知 P 为线段MN 的中点，
t t 3t 3t
+ - ÷
P 1- 3m 1+ 3m , 1- 3m 1+ 3m则 ÷，即P
t , 3mt
2 2 ÷ è1- 3m2 1- 3m2 ÷
，

÷
è
2
P t , 3mt
3mt
2
又因为 在曲线C 上，则 t 2 ÷ ，
è1- 3m2 1- 3m2 ÷ 1
1- 3m
- è 2 ÷ =1è1- 3m 3
整理得 1- 3m2 t 2 = 1- 3m2 2 ，
m 3且 ，即1-3m2 0，可得 t 2 =1-3m2，
3
注意到直线 l与 x 轴的交点坐标为 t,0 ，
S 1 t 3t 3t 3t
2 3t 2
则△MON 的面积 VMON = + = = = 32 .1- 3m 1+ 3m 1- 3m2 t 2
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用
根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
1
（2）面积问题常采用 SV = 2 底
高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，
选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面
积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想
的应用．
19．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 z = f (x, y)在约束条件 g(x, y)
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中l 为拉格朗日系数．分
别对 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求导，并使之为 0，得到三个方程组，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程组，得出解 (x, y)，就是二元函数 z = f (x, y)在约束条件 g(x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
的可能极值点． x, y的值代入到 f (x, y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数 f (x, y) = x2 + xy + y2关于变量 x 的导数．即：将变量 y 当做常数，即： fx (x, y) = 2x + y ，
下标加上 x ，代表对自变量 x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 Lx , Ly , Ll 表示分别对 x, y, λ进行求
导．
(1)求函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2关于变量 y 的导数并求当 x =1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 x, y满足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
1
(3)①若 x, y, z为实数，且 x + y + z =1 2，证明： x + y2 + z2 ．
3
1 1
②设 a > b > c > 0，求 2a2 + + -10ac + 25c2ab a(a b) 的最小值．-
(1) f (x, y) = 2x2【答案】 y y + 2x + 2xy， f y (1, y) = 4y + 2；
(2) 2 10 ；
5
(3)①证明见解析；②4.
【分析】（1）根据给定条件，对变量 y 求导并求值.
（2）利用拉格朗日乘数法求出极值，再判断并求出最大值.
（3）①利用换元法，结合平方数是非负数推理即得；②利用二次函数、均值不等式求出最小值.
2
【解析】（1）函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2，对变量 y 求导得： f y (x, y) = 2x y + 2x + 2xy，
当 x =1时， f y (1, y) = 4y + 2 .
（2）令 L(x, y,l) = 2x + y + l(4x2 + y2 + xy -1) ，
ì 10 ìx 10 = - x =
L (x, y,l) 2 8lx l y 0 10 10ì x = + + =
10 10
则 íLy (x, y,l) =1+ 2l y + lx = 0 ，解得 íy = - 或 íy = ，
5 5
Ll (x, y,l) = 4x
2 + y2 + xy -1 = 0
l 10

l 10 = = -
5 5
10 10 10 10
于是函数 f (x, y)在约束条件 g(x, y) = 0的可能极值点是 (- ,- )， ( , )，
10 5 10 5
x 10 10当 = - , y = - 时，函数 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10的一个极值为函数 - - = - ，
10 5 10 5 5
x 10 , y 10 f (x, y) f ( 10 , 10 ) 2 10当 = = 时，函数 的一个极值为函数 = ，
10 5 10 5 5
方程 4x2
4
+ y2 + xy -1 = 0视为关于 x 的方程： 4x2 + yx + y2 -1 = 0 2，则D1 = y -16(y
2 -1) 0，解得 | y | ，
15
2 2 2
视为关于 y 的方程： y2 + xy + 4x2 -1 = 0，则D2 = x - 4(4x -1) 0，解得 | x | ，15
因此函数 z = f (x, y) 2 10 2 10对应的图形是封闭的，而 > - ，
5 5
所以 f (x, y) 2 10的最大值为 .
5
（3）①由 x + y + z =1， x, y, z R
1
，设 x = + l
1 1
3 1
, y = + l2 , z = - (l1 + l3 3 2
),l1,l2 R ，
x2 + y2 z2 (1+ = + l )2 1+ ( + l )2 [1+ - (l + l )]2 1= + l 2 2 1则 1 2 1 2 1 + l2 + (l + l )
2 ，
3 3 3 3 1 2 3
当且仅当l1 = l2 = 0时取等号，
2 2 2 1
所以 x + y + z .
3
1 1 (a - b) + b
②当 a > b > c > 0 2时， 2a + + -10ac + 25c2 = a2 + + (a - 5c)2ab a(a - b) ab(a - b)
a2 1 a2 1 a2 4 4
ìa = 5c
+ + = + 2 a2 × = 4
b(a - b) (b + a - b a
2 a22 ，当且仅当) í
b = a - b时取等号，
2 a = 2
2 1 1 2
所以5c = 2b = a = 2 时， 2a + + -10ac + 25cab a(a b) 取得最小值 4.-
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
①在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、
“三相等”的条件；
②利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”
的代换等应用技巧.专题 04 基本不等式
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、基本不等式
＋
1．基本不等式： ≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
＋
(3)其中 叫做正数 a，b 的算术平均数， 叫做正数 a，b 的几何平均数．
2
2.基本不等式的证明
（1）.代数证法
a b
要证 ab ，只要证2 ab a b ①
2
要证①，只要证2 ab a b 0②
要证②，只要证 （ a b）2 0③
要证③，只要证（ a b）2 0④
显然④成立，当且仅当a b时，④中的等号成立.
（2）.几何证法
如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点，AC=a,BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE, 连接 AD,BD. 可
证△ACD~△DCB, 因而 CD=√ab. 由于 CD 小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当
且仅当点 C 与圆心重合，即当 a=b 时，上述不等式的等号成立.
例 已知 a,b,c 都是正数，证明：
证明：
二、几个重要不等式
1．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2) ＋ ≥2(a，b 同号)．

( ＋ (3)ab≤ 22 ) (a，b∈R)．
2＋ 2 ( ＋ (4) ≥ 22 ) (a，b∈R)．2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
三、最值定理
(1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 .
1
(2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2.
4
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
a b
理解基本不等式 ab (a,b 0)。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小
2
值的问题。利用基本不等式求最值是高考的重点内容，在选择题、填空题中常常出现。重点提升数学抽象、
逻辑推理和数学运算素养.
一、利用基本不等式求最值方法
方法 1　配凑法
3
例 1　(1)(2022·长沙模拟)设 02
9
A. B．4
4
9
C. D．9
2
答案　C
2x＋3－2x 9
解析　y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·( 2 )2＝ .2
3
当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝ 时取等号，
4
3 9
∴当 x＝ 时，y
4 max
＝ .
2
2 9
(2)若 x< ，则 f(x)＝3x＋1＋ 有(　　)
3 3x－2
A．最大值 0 B．最小值 9
C．最大值－3 D．最小值－3
答案　C
2
解析　∵x< ，∴3x－2<0，
3
9
f(x)＝3x－2＋ ＋3
3x－2
9
＝－[ 2－3x ＋ ]＋32－3x
9
≤－2 2－3x · ＋3＝－3.
2－3x
9 1
当且仅当 2－3x＝ ，即 x＝－ 时取“＝”．
2－3x 3
x＋5 x＋2
(3)(2022·天津模拟)函数 y＝ (x>－1)的最小值为________．
x＋1
答案　9
解析　因为 x>－1，则 x＋1>0，
[ x＋1 ＋4][ x＋1 ＋1]
所以 y＝
x＋1
x＋1 2＋5 x＋1 ＋4
＝
x＋1
4
＝(x＋1)＋ ＋5
x＋1
4
≥2 x＋1 · ＋5＝9，
x＋1
4
当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝1 时等号成立，
x＋1
所以函数的最小值为 9.
方法 2　常数代换法
2 1
例 2　(2022·重庆模拟)已知 a>0，b>0，且 a＋b＝2，则 ＋ 的最小值是(　　)
a 2b
A．1 B．2
9 9
C. D.
4 2
答案　C
解析　因为 a>0，b>0，且 a＋b＝2，
a＋b
所以 ＝1，
2
2 1 1 2 1
所以 ＋ ＝ (a＋b) ＋
a 2b 2 (a 2b)
1(2b a 5＝ ＋ ＋2 a 2b 2)
1 5
≥ ×(2＋2 2 )
9
＝ ，
4
4 2
当且仅当 a＝ ，b＝ 时，等号成立．
3 3
方法 3　消元法
例 3　(2022·烟台模拟)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为_____．
答案　6
解析　方法一　(换元消元法)
1 1 x＋3y
由已知得 9－(x＋3y)＝ ·x·3y≤ ·( )2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号．3 3 2
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，
得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
方法二　(代入消元法)
9－3y
由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝ ，
1＋y
9－3y 9－3y＋3y 1＋y
所以 x＋3y＝ ＋3y＝
1＋y 1＋y
9＋3y2 3 1＋y 2－6 1＋y ＋12
＝ ＝
1＋y 1＋y
12 12
＝3(1＋y)＋ －6≥2 3 1＋y · －6
1＋y 1＋y
＝12－6＝6，
12
当且仅当 3(1＋y)＝ ，即 y＝1，x＝3 时取等号，
1＋y
所以 x＋3y 的最小值为 6.
延伸探究　本例条件不变，求 xy 的最大值．
解　方法一　9－xy＝x＋3y≥2 3xy，
∴9－xy≥2 3xy，
令 xy＝t，
∴t>0，
∴9－t2≥2 3t，
即 t2＋2 3t－9≤0，
解得 0∴ xy≤ 3，∴xy≤3，
当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，∴xy 的最大值为 3.
9－3y
方法二　∵x＝ ，
1＋y
9－3y 9y－3y2
∴x·y＝ ·y＝
1＋y 1＋y
－3 y＋1 2＋15 y＋1 －12
＝
y＋1
12 12
＝－3(y＋1)－ ＋15≤－2 3 y＋1 · ＋15＝3.
y＋1 y＋1
12
当且仅当 3(y＋1)＝ ，即 y＝1，x＝3 时取等号．
y＋1
∴xy 的最大值为 3.
思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消
元法．
方法 4 换元法
当所求最值的代数式中的变量关系复杂，变形方向难寻我时，可通过换元的方式发现新元的特点，进而利
用基本不等式求得最值．
例 4 若x＞0 1 1，y＜0，且 1,则2x y的最小值为______ .
x 1 x 2y
1
答案　 3
2
方法 5 多次应用基本不等式化简求最值
连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等哈，则连续使用
基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当拆分或合并，直到取等号的条件一致.
1
例 5 设a＞b＞0，则a 2 的最小值是 ______ .
b（a b）
答案 4
提示 b+（a-b）=a，[b+(a-b)]2=a2 [b+(a-b)]2≥4b（a-b）
二、恒（能）成立含参数的问题
①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解
参数 > （ ≥ ）函数的最大值
分离参数法→恒成立问题 参数 < （ ≤ ）函数的最小值
参数 > （ ≥ ）函数的最小值
分离参数法→存在性问题 参数 < （ ≤ ）函数的最大值
三、利用基本不等式求解实际问题
(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式
变形利用基本不等式求得函数的最值.
(2)在求函数的最值时,一定要在定义域内求解.专题 04 基本不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 基本不等式的内容辨析
02 利用基本不等式比较大小
03 利用基本不等式求最值
04 条件等式求最值
05 基本不等式“1”的妙用
06 对勾函数、类对勾函数求最值
07 基本不等式在其他模块的应用
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
01 基本不等式的内容辨析
1．（21-22 高一下·广东深圳·期末）下列不等式恒成立的是（ ）
b a
A + 2 B ab a + b
2

． ．
a b ֏ 2
C． a + b 2 ab D． a2 + b2 -2ab
2．（2022 高一·全国·专题练习）已知 a，b 为实数，且 a ×b 0，则下列命题错误的是（ ）
a + b a + b
A．若 a > 0，b > 0，则 ab B．若 ab ，则 a > 0，b > 0
2 2
a + b a + b
C．若 a b ，则 > ab D．若 > ab ，则 a b
2 2
3．（22-23 高一上·江苏常州·阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（ ）
a + b
A． a2 + b2 > 2ab(a,b R) B． ab ( )2 (a,b R)
2
a + b 1
C． 2(ab 0) D x2． + 2 + (x R)2 的最小值为 2ab x + 2
02 利用基本不等式比较大小
4．（2023·河南开封·三模）已知 a > 0，b > 0，且 a + b =1， a b ，则下列不等式成立的是（ ）
A． a + b
1 1 1 1
< 2 < a + b B． a + b < a + b < 22 2 2 2
1 1
C． a + b < 2
1 1
< a + b D． a + b < a + b < 22 2 2 2
5．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知关于 x 的方程 log2 x = t t > 0 有两个实根m ， n m > n ，则下列不
等式中正确的有 .（填写所有正确结论的序号）
① m2 + n2 2 2 m - n ； ② m2 + n2 2 2 m - n
③ m2 - n2 2 2 m - n ； ④ m2 - n2 2 2 m - n .
03 利用基本不等式求最值
1
6．（23-24 高一上·重庆·期末）函数 y = 3x + x > 0 的最小值是（ ）
x
A．4 B．5 C．3 2 D． 2 3
1
7．（23-24 高一上·北京·阶段练习）已知 a > 0，则 a + +1的最小值为（ ）
a
A．2 B．3 C．4 D．5
1
8．（23-24 高三上· 2 2陕西西安·阶段练习）函数 y = x + 2 x > 5 的最小值为（x ）- 5
A．2 B．5 C．6 D．7
04 条件等式求最值
9．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知正数 a，b 满足 a + 2b =1，则（ ）
1 1
A． ab B． ab > C．0 < ab
1
D．0 < ab
1
<
8 8 8 8
10．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）若 a > 0，b > 0，且 a + b = ab ，则 2a + b 的最小值为（ ）
A．3+ 2 2 B． 2 + 2 2 C．6 D．3- 2 2
05 基本不等式“1”的妙用
1 2
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知正实数 x，y 满足 + =1 2xy - 3xx y ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12 2 1．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数 a > 1，b > 0，满足 a + b = 3，则 +a 的最小值为-1 b
（ ）
A 3+ 2 2 B 3+ 2 2 C 3+ 4 2． ． ． D 3+ 4 2．
4 2 2 4
06 对勾函数、类对勾函数求最值
5
13．（2023 高三·全国·专题练习）函数 y＝x＋ x 1（x≥2）取得最小值时的 x 值为 ．+
x2 + 3
14．（2023 高三·全国·专题练习）函数 f（x）＝ ＋1 的最小值为 ．
x2 + 2
15．（22-23 高三上·江苏南通·期中）已知正实数 x，y 满足 x + y = m f x, y 1 1，函数 = x + y ÷ y + ÷的最小è è x
9
值为 ，则实数m 取值的集合为 ．
2
07 基本不等式在其他模块的应用
16．（23-24 高三下·北京顺义·阶段练习）若数列 an 为等比数列，则“ a3 1”是“ a1 + a5 2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（22-23 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
1
A．当 x > 0且 x 1时， ln x + 2
ln x
x 0, π ù 4B．当 ú时， sin x + 的最小值为 4è 2 sin x
1
C．当 x > 0时， x + 2
x
ab 0 b aD．当 时， + 2
a b
18．（2024·广东湛江·一模）已知 ab > 0， a2 + ab + 2b2 =1，则 a2 + 2b2 的最小值为（ ）
A 8 - 2 2
3
． B 2 2． C 7 - 2 2． D．
7 3 4 8
19．（23-24 高三下·广东广州·阶段练习）已知正实数 a,b满足 a + 2b =1，则 a + 2 b 的取值范围是（ ）
A． 1, 2 B． 0,1 C． 1, 3ù D． 0, 3ù
20．（23-24 高一上·山西太原·阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边
长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 a，b，c，则三角形的面积 S 可由公式
S = p p - a p - b p - c 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现
有一个三角形的边长满足 a = 6，b + c = 8，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．3 7 B．8 C． 4 7 D．9 3
21．（2023·浙江杭州·二模）已知 a > 1，b >1，且 log2 a = logb 4，则 ab 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
22．（2023·江苏常州·一模）设 z 为复数， i为虚数单位，关于 x 的方程 x2 + zx + i = 0有实数根，则复数 z 的模
z 的范围是（ ）
A． 2, + B． é 2, + C． 4, + D． 8,+
23 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知抛物线T : y = 2 px p > 0 的焦点为 F，直线 l 交抛物线 T 于 A，B 两点，
MN
M 为线段 AB 的中点，过点 M 作抛物线 T 的准线的垂线，垂足为 N，若 MF = AM ，则 AB 的最大值为
（ ）
2 1A．1 B． C 1． 2 D．2 3
24．（20-21 高三·北京·强基计划）在VABC 中，角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，且
b + c = 12,bc = a2 -14a + 85，则VABC 的周长为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．前三个选项都不对
4 1
25．（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a + b + c = 2，则 + 的最小值
a + b c
为 ．
x
26．（2023· a上海静安·二模）已知函数 f x = x (a > 0)为偶函数，则函数 f x 的值域为 .2 +1
27．（22-23 2高三上·云南曲靖·阶段练习）已知b > 0，直线b2 x + y +1 = 0与 ax - b + 2 y + 3 = 0互相垂直，则 ab
的最小值为 .
28．（2024·湖南·二模）若锐角a , b 满足3cos a + b = cosacosb ，则 tan a + b 的最小值为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C． 2 5 D．2 6
29．（2023·河南开封·模拟预测）在三棱锥P - ABC 中，PA⊥平面 ABC， AB ^ AC，PA =1，AB + AC = 4，当
三棱锥的体积最大时，三棱锥P - ABC 外接球的体积为 ．
30．（20-21 高三下·浙江·阶段练习）已知抛物线 y2 = 2 px的焦点为F ，若点A ， B 是该抛物线上的点，
uuur uuur uuur uuuur
AB = 6， AF × BF=0，线段 AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为 N ，则 MN 的最大值为 ．
08 高考新考法—以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式
31．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方米）的计算公式是
W = 长 + 4 宽+ 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是 10000 平方米，每平方
米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
32．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别
为 m 元和 n 元 (m n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买 100 元的该商品，乙每周购买 20
件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 a1,a2，则（ ）
A． a1 = a2 B． a1 < a2 C． a1 > a2 D． a1,a2的大小无法确定
x + y
33．（2024·广东湛江·二模）当 x > 0， y > 0时， xy .这个基本不等式可以推广为当 x， y > 0时，
2
lx + m y xl ym ，其中l + m =1且l > 0，m > 0 .考虑取等号的条件，进而可得当 x y 时，lx + m y xl ym .用
1 1 1 1 19 19
这个式子估计 10 可以这样操作：102 92 10 + 9 = ，则 10 3.167 .用这样的方法，可得 3
2 2 2 6
28
的近似值为（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
34．（22-23 高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世
西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也
称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O上，点C 在直径 AB 上，且OF ^ AB ，设 AC = a，
BC = b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
a + b
A． ab(a > 0,b > 0) B． a2 + b2 2 ab(a > 0,b > 0)
2
2ab 2 2
C． ab(a > 0,b > 0) D a + b a + b．
a b (a > 0,b > 0)+ 2 2
35．（2023·安徽池州·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根
垂直的悬杆看上去最长 ( 即可见角最大 ).后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题 .我们
把地球表面抽象为平面a ，悬杆抽象为线段 AB( 或直线 l上两点A ，B)，则上述问题可以转化为如下的数学
模型：如图1，一条直线 l垂直于一个平面a ，直线 l有两点A ， B 位于平面a 的同侧，求平面上一点C ，使
得 ACB 最大 .建立如图 2所示的平面直角坐标系 .设A ， B 两点的坐标分别为 0, a ， 0,b 0 < b < a ，设
点C 的坐标为 c,0 ，当 ACB 最大时， c = （ ）
A． 2ab B． ab C． 2 ab D． ab
09 高考新考法—新定义基本不等式压轴题
36．（23-24 高二下·广东江门·阶段练习）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯
曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线C : y = f (x)上的曲线段 AB ，其弧长为Ds，当动点从 A
沿曲线段 AB 运动到 B 点时，A 点的切线 lA 也随着转动到 B 点的切线 lB ，记这两条切线之间的夹角为Dq （它
等于 lB 的倾斜角与 lA 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固
K Δq定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 = Δs 为曲线段 AB 的平均曲率；显然当 B 越接近 A，即
Ds越小，K 就越能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义曲线 y = f (x) 在点 (x, f (x))处的曲率计
t (x)
K lim Δq= =
算公式为 Δx 0 Δs 3 ，其中 t(x) = f (x) ．1+ f (x) 2 2
(1)求单位圆上圆心角为60o 的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数 f (x)
1
= (x > 0) ，求曲线 y = f (x) 的曲率的最大值；
x
(3) g(x) = 6x2 ln x - 2ax3 - 9x2 x x 2已知函数 , h(x) = 2xe - 4e + ax ,a
1
0, ÷，若 g(x),h(x)曲率为 0 时 x 的最小值
è e
2 8
分别为 x1, x
x
2 ，求证： 1x > e3 ．e 2
一、单选题
7
1 2．（2024·甘肃定西·一模） x + 2 + 7 的最小值为（ ）x
A． 2 7 B．3 7 C． 4 7 D．5 7
2．（2024·全国·模拟预测）已知 a = lg 2,b = lg5，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．0 < ab <1
1 1
B 2a-b 1． > 2 C． a + b > 2 D． + > 4a b
3．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列 an 满足 a5a6a7 = -27，则 a2a6 + a2a10 + a6a10 有（ ）
A．最小值-9 B．最大值 18 C．最小值 27 D．最大值-81
4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A 1 1．若正实数 a,b满足 a + b =1，则 + 有最小值 4
a b
B．若正实数 a,b满足 a + 2b =1，则 2a + 4b 2 2
1
C y = x2 + 3 + 4 3． 的最小值为
x2 + 3 3
D．若 a > b >1，则 ab +1< a + b
5．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数 x, y满足 x2 - 2xy + 2 = 0，则 x + y 的最小值是（ ）
A 6 B 6． ． C． 2 2 D．2
2
6．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直
的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，
以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角a 满足
cosa 1= ，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）3
10 30 + 15 10 30 - 15A B ． cm ． cm
3 3
10 10 + 5 10 10 - 5C ． cm D． cm
3 3
uuur uuuur
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在VABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段 AM 上一点， AG = 2GM ，
uuur uuur uuur uuur 4 1
过点G 的直线分别交直线 AB ， AC 于 P ，Q两点．设 AB = xAP(x > 0)， AC = y AQ(y > 0)，则 +x + 2 y +1
的最小值为（ ）
3 3
A． B． C．3 D．6
4 2
8．（2024·天津· 2二模）已知抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点为F ，抛物线上的点M 4, y0 到F 的距离为 6，双
x2 y2
曲线 - =1 a > 0，b > 0 的左焦点 F2 2 1在抛物线的准线上，过点 F1向双曲线的渐近线作垂线，垂足为 H ，a b
则 H 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2 B． 3 C． 5 D．3
二、多选题
1 1 39．（2024·河南信阳·一模）已知正数m, n满足 + = 22 ，则（ ）
m n
mn 1 2 2 m n 3 m, n (0, ), (m - nA． B．m + n 2 C． + ≥ D．$ + )2≥mn2 2 2mn
10．（2024·全国·模拟预测）若实数 a，b 满足3a2 + 3b2 + 4ab = 5，则下列结论正确的是（ ）
2
A． ab <1 B． ab -
5
C． a2 + b2 2 D．- 2 a + b 2
x y z
11．（2024·浙江·二模）已知正实数 a，b ， c，且 a > b > c， x ， y ， z 为自然数，则满足 + + > 0
a - b b - c c - a
恒成立的 x ， y ， z 可以是（ ）
A． x =1， y =1， z = 4 B． x =1， y = 2， z = 5
C． x = 2， y = 2， z = 7 D． x =1， y = 3， z = 9
三、填空题
12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为 2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，
1 1
且总体的平均值为 10．则 + 的最小值为 ．
a b
13．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被 3 除余 2 的正整数按照从小到
大的顺序排成一列，即 2,5,8,11, × × × × × ×，构成数列 an a
2S + 27
，记数列 n 的前 n项和为 S nn ，则 的最小值n
为 .
1
14．（2024· · f x = x3 2江西上饶 一模）若函数 - ax + 6x在区间 1,3 上单调递增，则 a的取值范围
2
为 ．
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c，已知b 3cosC -1 = c 1- 3cosB ．
(1)证明：b + c = 3a；
(2)求 cosA的最小值．
16．（2023·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
sin A cos B + cosC
= ．
cos B - cosC sin A - sin B
(1)求C ；
(2) 2 3若VABC 外接圆的半径为 ，求VABC 的面积最大值．
3
2 2
17．（2024· x y四川·模拟预测）已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2 ，离心率为a b
2
．点M 在直线 x = -3(y 0)上运动，且直线MF1 的斜率与直线MF2 的斜率之商为 2．
2
(1)求C 的方程；
(2)若点 A、B 在椭圆C 上，O为坐标原点，且OA ^ OB，求VAOB面积的最小值．
18．（2024·辽宁·模拟预测）（1）利用双曲线定义证明：方程 xy =1表示的曲线是焦点在直线 y = x 上的双曲
线，记为曲线C ；
ì
x0 = x
3
- y

（2 3）设点 A x0 , y0 在曲线C 上，B x, y 在曲线C1上，且满足 í ，求C1方程；
y 3 0 = x + y 3
uuur uuur
（3）点 P 在C1上，过点 P 的直线 l与C1的渐近线交于M ， N 两点，且满足MP = PN ，求△MON （O为坐
标原点）的面积.
19．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 z = f (x, y)在约束条件 g(x, y)
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中l 为拉格朗日系数．分
别对 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求导，并使之为 0，得到三个方程组，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程组，得出解 (x, y)，就是二元函数 z = f (x, y)在约束条件 g(x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
的可能极值点． x, y的值代入到 f (x, y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数 f (x, y) = x2 + xy + y2关于变量 x 的导数．即：将变量 y 当做常数，即： fx (x, y) = 2x + y ，
下标加上 x ，代表对自变量 x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 Lx , Ly , Ll 表示分别对 x, y, λ进行求
导．
(1)求函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2关于变量 y 的导数并求当 x =1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 x, y满足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
(3)①若 x, y, z为实数，且 x + y + z =1 2，证明： x + y2 + z2
1
．
3
2 1 1② 2设 a > b > c > 0，求 2a + + -10ac + 25cab a(a b) 的最小值．-

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