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专题 06 函数及其表示（九大题型+模拟精练）
目录：
01 区间的表示与运算
02 判断是否为同一函数
03 求函数的定义域（具体函数、抽象函数、复合函数）
04 求函数的值综合
05 求函数的值域
06 求函数的解析式综合
07 分段函数综合
01 区间的表示与运算
ìx -1 0
1．（2023·山东·模拟预测）不等式组 í 的解集用区间表示为： ．
2 - x > 0
【答案】[1,2)
【分析】先解不等式组，再将结果用区间表示.
ìx -1 0
【解析】解：∵不等式组 í 2 ， - x > 0
∴1 x < 2，∴不等式组的解集为[1,2)．
故答案为：[1,2)．
2．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）设集合 A = -1,2 , B = a - 2, a ，若 A B = -1,0 , 则 a =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据交运算即可求解.
【解析】由 A B = -1,0 , 所以 a - 2 -1 < a = 0 < 2，故 a = 0，
故选：B
3．（23-24 高三上·上海·期中）已知集合 A = -2,1 ，B = -4, -1 U 1,2 ，则 AI B = ．
【答案】 -2, -1
【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.
【解析】因为 A = -2,1 ，B = -4, -1 U 1,2 ，所以 A B = -2, -1 .
故答案为： -2, -1 .
02 判断是否为同一函数
4．（23-24 高一上·福建福州·阶段练习）下列各组函数中表示同一函数的是（　　）
2A． f x = x与 g x = x
B． f x = lg x -1 与 g x = lg x - 1
C． f x = x0 与 g x =1
D． f x = x +1与 g t = t +1
【答案】D
【分析】根据相等函数的定义域和对应关系相同依次讨论各选项即可得答案.
2
【解析】对于 A 选项， f x = x定义域为R ， g x = x 的定义域为 x x 0 ，故不满足条件；
对于 B 选项， f x = lg x -1 定义域为 1, + ， g x = lg x - 1 的定义域为 x x 1 ，，故不满足条件；
0
对于 C 选项， g x =1定义域为R ， f x = x 的定义域为 x x 0 ，故不满足条件；
对于 D 选项， f x = x +1(x R) 与 g t = t +1(t R)定义域相同，对应关系相同，故满足条件．
故选：D．
5．（23-24 高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数 f x = x是同一函数的是（ ）
A f x = ( x )2． B． f x = x2
2
C． f x = 3 x3 D． f t t=
t
【答案】C
【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.
【解析】解：函数 f x = x，定义域为R .
选项 A 2中 f x = ( x ) = x ，定义域为 0, + ，故 A 错误；
选项 B 中 f x = x2 = x ，定义域为R ，故 B 错误；
选项C 中 f x = 3 x3 = x，定义域为R ，故C 正确；
t 2
选项 D 中 f t = = t ，定义域为 ∣t t 0 ，故 D 错误.
t
故选：C.
6．（22-23 高三·全国·对口高考）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． f (x) = x, g(x) = 4lg x
B． f (x) = 1- x2 , g(x) = 1- | x |, x [-1,1]
C． y = f (x), g(x) = f (x +1), x R
1 x
D ． f (x) = lg ÷ , g(x) =| x | lg 2
è 2
【答案】D
【分析】根据同一函数的概念，结合定义域和对应法则，逐项判定，即可求解.
【解析】对于 A 中，由函数 f (x) = x的定义域为R ，函数 g(x) = 4lg x的定义域为 (0, + )，两函数的定义域
不同，所以不是同一函数；
对于 B，由函数 f (x) = 1- x2 和函数 g(x) =1- | x |, x [-1,1]的对应法则不同，所以不是同一函数；
对于 C 中，函数 y = f (x) 与 g(x) = f (x +1), x R 的对应法则不同，所以不是同一函数；
f x lg 1
x 1
对于 D 中，函数 =

÷ = xlg = -xlg2 = x lg 2和 g(x) =| x | lg 2的定义域与对应法则都相同，所以
è 2 2
是同一函数.
故选：D.
03 求函数的定义域（具体函数、抽象函数、复合函数）
7．（2024 高三上·广东·学业考试）函数 y = x - 2 的定义域是（ ）
A． 2, + B． 2, + C． - , 2 D． - , 2
【答案】A
【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解.
【解析】∵ x-2有意义，∴ x - 2 0，即 x 2，
所以函数 y = x - 2 的定义域是 2, + ，
故选: A.
1
8 23-24 · · y = 1- x2．（ 高一上 浙江杭州 期中）函数 + 的定义域是（ ）
x
A． - ,1 B． -1,0 U 0,1 C． -1,0 U 0,1 D． 0,1
【答案】C
【分析】
根据题意得到不等式组，解出即可.
ì1- x2 0
【解析】由题得 í ，解得 x -1,0 U 0,1 ，
x 0
故选：C.
9．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数 f 2x -1 的定义域为 f x -1-1,1 ，则函数 y = 的定义
x -1
域为（ ）
A． -1,2 B． 0,2 C． -1,2 D． 1,2
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【解析】由函数 f 2x -1 的定义域为 -1,1 ，即-1 x 1，得-3 2x -1 1，
f x -1 ì-3 x -1 1
因此由函数 y = 有意义，得 íx 1 0 ，解得- > 1< x 2，x -1
f x -1
所以函数 y = 的定义域为 1,2 .
x -1
故选：D
10．（22-23 高一下·辽宁沈阳·期末）已知函数 y = f x +1 的定义域为 1,2 ，则函数 y = f 2x -1 的定义域为
（ ）
é1 ù é3 ù
A． ê ,1ú B2 ． ê
, 2ú C． -1,1 D． 3,5 2
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【解析】∵函数 y = f x +1 的定义域为 1,2 ，即1 x 2，可得 2 x +1 3，
∴函数 y = f x 的定义域为 2,3 ，
3
令 2 2x -1 3，解得 x 2，
2
故函数 y = f 2x 1 é3- 的定义域为 ê , 2
ù
.
2 ú
故选：B.
f 3- 4xf 2x -1 -3,1 y 11．（22-23 高二下·辽宁·阶段练习）若函数 的定义域为 ，则 = 的定义域为（ ）
x -1
A． 1 B． 1,
3ù 3
ú C． ,
5 ù
ú D． 1,
5 ù
è 2 è 2 2 è 2 ú
【答案】D
【分析】根据题意先求得函数 f x 的定义域为 -7,1 ，然后结合抽象函数定义域与 x -1求解即可；
f 3- 4x ì-7 3 - 4x 1,
【解析】由题意可知-3 x 1，所以-7 2x -1 1，要使函数 y = 有意义，则 í 解得
x -1 x -1 > 0,
1< x 5 .
2
故选：D
12．（22-23 · · f x 2 - x高三上 陕西商洛 阶段练习）已知函数 = ，则函数 g(x) = f (1- x)的定义域为（ ）
x +1
A． (-2,1] B．[-2,1)
C． (-1,2] D．[-1,2)
【答案】D
【分析】先求得 f x 的定义域，进而求得 g x 的定义域.
2 - x
【解析】由 0，解得-1 < x 2，所以 f x 的定义域为 -1,2 .
x +1
令-1 <1- x 2，则-1 x < 2，所以 g(x)的定义域为 -1,2 .
故选：D
1
13．（21-22 高一上·全国·课后作业）已知 f x = ，则 f f x 的定义域为 （ ）
x +1
A． x | x -2 B． x | x -1 C． x x -1且 x -2 D． x x 0且 x -1
【答案】C
【分析】利用分母不为 0 及复合函数的内层函数不等于 0 求解具体函数定义域
1 1
【解析】因为 f (x) = ，所以 x -1，又因为在 f ( f (x))中， f (x) -1，所以 -1，所以 x -2，
x +1 x +1
所以 f ( f (x))的定义域为 x x -1且 x -2 .
故选：C
14．（20-21 高一·全国·课后作业）若函数 f x + 3 的定义域为 -5, -2 ，则F x = f x +1 + f x -1 的定义
域为 ．
【答案】 -1,0
【分析】求出 x +3的范围，然后由 x +1, x -1都在此范围内得定义域．
【解析】∵ f x + 3 的定义域为 -5, -2 ，
ì-2 < x +1 <1, ì-3 < x < 0,
∴ -2 < x + 3 <1，∴ í 2 x 1 1,解得 - < - <
í
-1 < x < 2,
∴ -1 < x < 0，故函数 F (x)的定义域为 (-1,0) ．
故答案为： (-1,0) ．
04 求函数的值综合
15．（21-22 高一下·贵州铜仁·期末）函数 f x 满足 f x +1 = 2x - 3，则 f 1 =（ ）
A． -1 B．0 C．2 D．-3
【答案】D
【分析】根据题意令 x = 0，即可得结果.
【解析】因为 f x +1 = 2x - 3，令 x = 0，可得 f 1 = -3 .
故选：D.
16．（22-23 · · f x -1 = x2高二下 山东烟台 阶段练习）已知函数 - 2x，且 f a = 3，则实数 a的值等于（ ）
A． 2 B．± 2 C．2 D．±2
【答案】D
【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可；
【解析】令 x -1 = a, x2 - 2x = 3，解得 x=-1或 x = 3由此解得 a = ±2 ，
故选：D
1
17．（2024·江苏南通·二模）已知 f x 对于任意 x, y R ，都有 f x + y = f x × f y ，且 f ÷ = 2，则 f 4 =
è 2
（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
【答案】D
2 8 1
【分析】由题意有 f 2x = f x ，得 f 4 = f ÷，求值即可.
è 2
【解析】由 f x + y = f x × f y ，当 y = x f 2x = f 2时，有 x ，
f 1 由 ÷ = 2，则有 f 4 f 2 2 f 4 1 f 8
1= = = = 28 = 256 .
è 2 2 ÷ è
故选：D
18．（23-24 高一上·北京·期中）已知函数 y = f x 的图象如图所示，则 f f 0 的值为（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据函数图象求得正确答案.
【解析】由图可知 f 0 = 2 ，
过点 0, -2 , 4,0 的直线方程为 y = kx + b，
ìb = -2 ì k
1
= 1
则 í ，解得 í 2 ，所以直线方程为 y = x - 24k b 0 ， + = b = -2
2
令 x = 2，得 y = -1，
所以 f f 0 = f 2 = -1.
故选：A
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，满足 f x - 4 = f x ，且当0 x < 4时，
f x = x + 3 ，则 f 2023 =（ ）
A． 6 B． 5 C．2 D． 3
【答案】A
【分析】由题意可得函数的周期为 4，再利用周期可求得答案.
【解析】因为 f x - 4 = f x ，所以 4 是函数 f x 的一个周期，
所以 f 2023 = f 505 4 + 3 = f 3 = 6 ，
故选：A．
20．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数 f x 满足 f x + y = f x + f y 2xy, f 1 3+ ÷ = ，则 f 100 =（　　）
è 2 4
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
【答案】C
【分析】赋值得到 f x +1 - f x = 2x + 2，利用累加法得到 f x + 99 - f x =198x + 9900，令 x =1得到
f 100 - f 1 =10098，赋值得到 f 1 ，从而求出答案.
【解析】 f x + y = f x + f y + 2xy y 1中，令 = 得，
2
f x 1 +

÷ = f x f
1+ 3
2 2 ÷
+ x = f x + x + ，
è è 4
f x 1 f x 1 x 1 3 1 5故 + = + ÷ + + + = f

x +

÷ + x + ，
è 2 2 4 è 2 4
f x 1 f x x 3 5故 + = + + + x + = f x + 2x + 2，
4 4
其中 f x +1 - f x = 2x + 2，①
f x + 2 - f x +1 = 2 x +1 + 2 = 2x + 4，②
f x + 3 - f x + 2 = 2 x + 2 + 2 = 2x + 6，③
……，
f x + 99 - f x + 98 = 2 x + 98 + 2 = 2x +198，
上面 99 个式子相加得，
99 2 +198f x + 99 - f x = 99 2x + 2 + 4 +L+198 =198x +
2
=198x + 9900，
令 x =1得 f 100 - f 1 =198 + 9900 =10098，
f x 1 f x 3 1 1 3 3 1 3 + ÷ = + x +
1
中，令 x = 得 f 1 = f ÷ + + = + + = 2，
è 2 4 2 è 2 2 4 4 2 4
故 f 100 =10098 + f 1 =10100 .
故选：C
21．（23-24 2高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合 A = x | y = x +1 ，B = y | y = x +1 ，则 A R B =
（ ）
A． 0,1 B． (- ,1) C． -1,1 D． -1,1
【答案】C
【分析】化简集合 A 和集合 B,再利用交补运算求解.
【解析】因为 A = x∣y = x +1 = x∣x -1 = [-1,+ )，
B = y∣y = x2 +1 = y∣y 1 = 1,+ ，
所以 R B = - ,1 ，所以 AI R B = -1,1 ，
故选:C．
22．（23-24 高三上·江苏苏州·期中）满足{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}的实数对m ， n构成的点 (m, n)
共有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
【答案】C
【分析】结合集合相等及二次函数的单调性即可求.
【解析】由{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}，又 y = x2 0 ，
则m 0 ，所以 y = x2 在[m, n]单调递增，
故值域为[ f (m), f (n)]，
即m, n是 x2 = x 的两根，解得 x1 = 0, x2 =1，
当m = n = 0 时，点 (m, n)为 (0,0)，
当m = n =1时，点 (m, n)为 (1,1) ，
当m = 0, n =1时，点 (m, n)为( 0, 1) .
故选：C
05 求函数的值域
23．（23-24 高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数 y = f (x) +1的值域为 (1,3)，则函数 y = -2 f (x)的值域为
（ ）
A． -4,0 B． (-6,-2) C． (2,6) D． (0, 4)
【答案】A
【分析】根据已知求得 f x 的范围，即可得到-2 f x 的范围.
【解析】因为函数 y = f (x) +1的值域为 (1,3)，即1< f (x) +1< 3，
所以0 < f (x) < 2，
所以-4 < -2 f (x) < 0 ，即函数 y = -2 f (x)的值域为 -4,0 .
故选：A
24．（23-24 高一上·浙江温州·期中）已知函数 y = f x 的定义域是R ，值域为 -2,1 ，则下列函数的值域也
为 -2,1 的是（ ）
A． y = 2 f x + 5 B． y = f 2x + 5
C． y = - f x D． y = f x
【答案】B
【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.
【详解】对于 A，由 f x -2,1 可得， 2 f x + 5 1,7 ，故 A 错误；
y 5 对于 B， = f 2x + 5 = f 2 x +

÷÷， y = f 2x + 5 的图象可看作由 f x 的图象经过平移和横向伸缩变换
è è 2
得到，故值域不变，故 B 正确；
对于 C， y = - f x -1,2 ，故 C 错误；
对于 D， y = f x 0,2 ，故 D 错误.
故选：B.
2
25．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段练习）函数 f x = x + 4 - x - x 4 - x 的最大值为（ ）
5
41 21
A．4 B．2 C． D．
20 10
【答案】C
1 4
【分析】令 t = x + 4 - x （ t > 0 t2 t f x = g t = - t 2），通过 求出 的范围，则 + t + 配方后即可求得最大5 5
值.
【解析】由解析式易知 f x 的定义域为 0,4 ，
令 t = x + 4 - x （ t > 0），
2
所以 t = 4 + 2 x 4 - x ，则 x 4 x 1- = t 2 - 2，
2
由 y = x 4 - x ，0 x 4可知，
0 y 2，所以 4≤ t 2 ≤8，则 2 t 2 2 ，
f x g t t 2 1 2 1= = - 2 4所以 t - 2÷ = - t + t + （ 2 t 2 2 ），5 è 2 5 5
2
f x = g t 1= - 5 41 41则
5
t -
2 ÷
+ ≤ ，
è 20 20
所以 f x 41的最大值为 .
20
故选：C.
26．（23-24 高三上·上海·期中）函数 y = x +1 - x - 2 的值域是 ．
【答案】 -3,3
【分析】讨论去绝对值，得到分段函数，求出各段上的值域，求并集得解.
ì-3, x < -1
【解析】由 y = x +1 - x - 2 =

í2x -1,-1 x 2，

3, x > 2
当-1 x 2时， y = 2x -1单调递增，所以-3 y 3，
故函数 y = x +1 - x - 2 的值域为 -3,3 .
故答案为： -3,3 .
1 é1
27．（22-23 高三上·福建厦门·阶段练习）若函数 y = 的值域是 (- ,0)
x -1 ê
,+ ，则此函数的定义域为
2 ÷
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
【答案】D
【分析】分类讨论解不等式即可.
y 1【解析】由函数 = 的值域是 (- ,0)
1
é ,+
x -1 ê 2 ÷
，

所以当 y (- ,0)时， y
1
= < 0 x <1，
x -1
é1 1 1 1 1 2 - x -1 3- x
当 y ê ,+ ÷时， y = - 0 0 0 2 x -1 2 x -1 2 2 x -1 2 x -1
ì 3 - x x -1 0
即 í ，解得1 < x 3，
x -1 0
所以函数的定义域为： (- ,1) (1,3]，
故选：D
06 求函数的解析式综合
28．（22-23 高一上·贵州黔东南·阶段练习）一次函数 f x 满足： f é f x - 2xù = 3，则 f 1 = ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据 f x 是一次函数可设 f x = kx + b k 0 ，再根据 f é f x - 2xù = 3求出 k、b 即可求出 f(x)的
解析式，代入 x＝1 即可求得答案．
【解析】设 f x = kx + b k 0 ，
\ f é f x - 2x ù = f kx + b - 2x = k kx + b - 2x + b = k 2 - 2k x + kb + b = 3，
ìk 2 - 2k = 0,
∴ í ，解得 k = 2,b =1，∴ f x = 2x +1，∴ f 1 = 3．
kb + b = 3
故选：C．
29．（22-23 高三·全国·对口高考）已知二次函数 f x 满足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x 的最大值是 8，
则此二次函数的解析式为 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
【答案】A
1 2
【分析】根据条件设二次函数为 f (x) = a x -
+ k(a 0)，代入条件求解即可.
è 2 ÷
【解析】根据题意，由 f (1- x) = f (x)
1
得: f (x) 图象的对称轴为直线 x = ，
2
2
设二次函数为 f (x) = a x
1
- + k(a 0)，
è 2 ÷
1 1
因 f (x) 的最大值是 8，所以 a<0，当 x = 时， f ÷ = k = 8 ，2 è 2
1 2f (x) = a x - 即二次函数 2 ÷
+ 8(a 0)，
è
2
由 f (2) = -1得: f (2) = a 1 2 -

2 ÷
+ 8 = -1，解得： a = -4 ，
è
2
则二次函数 f (x) 1= -4 x - ÷ + 8 = -4x
2 + 4x + 7，
è 2
故选：A.
2 3
30．（2023· · f 3x x +1全国 模拟预测）已知 = ，则 f ÷ = ．x +1 è 3 ÷
5
【答案】 /2.5
2
3 1
【分析】根据函数解析式，令3x = ，得 x = - ，代入函数解析式计算即可求解.
3 2
x2 +1
【解析】由题意得， f (3x ) = ，
x +1
1
令3x 3 3
- 1
= ，由 = 3 2 ，得 x = - ，
3 3 2
1 2 5
3 1-
- ÷ +1
∴ f ÷÷ = f 3
2 5÷ = è
2 = 4 = ．
è 3 è 1 1- +1 2
2 2
5
故答案为： .
2
1
31．（2024 高三·全国·专题练习）已知 f(x＋ )＝x2 1＋ 2 ，则函数 f(x)＝ ．x x
【答案】x2－2(|x|≥2)
【解析】
1 1
配凑法. f(x＋ )＝x2 1＋ ＝(x2 12 ＋2＋ )－2＝(x＋ )2－2，所以 f(x)＝x2－2(|x|≥2).x x x2 x
1
32．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 f(x)满足方程 af(x)＋f( )＝ax，x∈R，且 x≠0，a 为常数，a≠±1，且
x
a≠0，则 f(x)＝ ．
a ax2 -1
【答案】 2 (x≠0)a -1 x
【解析】
1 1 a a ax2 -1
因为 af(x)＋f( )＝ax，所以 af( )＋f(x)＝ ，由两方程联立解得 f(x)＝
x x x a2 -1 (x≠0).x
07 分段函数综合
ìx3 + 2, x 0
33．（2024·陕西·模拟预测）已知 f x = í ，若 f m = 29 ，则m = ．
-3x, x < 0
29
【答案】3 或-
3
【分析】分m 0 和m < 0分别代入函数，解出即可.
【解析】当m 0 时，m 3 + 2 = 29 ，解得m = 3；
29
当m < 0时，-3m = 29，解得m = - ．
3
29
故答案为：3 或- .
3
ì-2x -1, x 1 1
34．（2022·全国·模拟预测）设函数 f x = ía x , x 1 ，若 f f 2 = ，则a = . < 32
【答案】2
【分析】根据函数解析式，代入求值.
ì-2x -1, x 1【解析】函数 f x = í x ，有 f 2 = -2 2 -1 = -5，
a , x <1
则 f f 2 = f -5 = a-5 1 1= = 5 ，解得 a = 2 .32 2
故答案为：2
ì 1, x <1 é 1 ù
35．（2024·北京东城·二模）设函数 f x = íx2 , x 1，则 f ê f ÷ú = ，不等式 f (x) < f (2x) 的解集 è 2
是 .
1 1
【答案】 1 - , - 2 ÷
, + ÷
è è 2
é ì 2x 1
【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求 f ê f
1 ù
÷ ；分 2x <1、 í 和 x 1三种情况，结合题
è 2 ú x <1
中函数解析式分析求解.
f é f 1 ù【解析】由题意可知： ê ÷ú = f 1 =1；
è 2
因为 f (x) < f (2x) ，
2x <1 1 1 1当 ，即- < x < 时，则 x < < 12 ，可得1<1，不合题意；2 2
ì 2x 1 1 1
当 í ，即 x -1,-
ù U é ,1 2
x 1 2ú ê2 ÷ 时，可得
1 < 2x ，
< è
x 1 x 1> < - x 解得 或 ，所以 -1,
1
- ÷ U
1
,1

2 2 2 2 ÷
；
è è
当 x 1，即 x 1或 x -1 2 2 2时，则 2x = 2 x 2 > 1，可得 x < 2x = 4x ，符合题意；
1 1
综上所述：不等式 f (x) < f (2x)

的解集是 - , -

÷

, +

2 2 ÷
.
è è

故答案为：1； - ,
1 1
- ÷

, +

2 2 ÷
.
è è
ì x
2
, x < a
36．（22-23 高三下· x +1北京海淀·开学考试）已知函数 f x = í
-x2 1+ 4x + , x a
2
a
①若 f x 的最大值为 ，则 a 的一个取值为 ．
2
②记函数 f x 的最大值为 g a ，则 g a 的值域为 ．
7 + 57 é1 9 ù
【答案】 ê ,4 2 2 ú
x 2 1
【分析】根据解析式可画出函数G x = 2 和 h x = -x + 4x + 的函数图象， f x 图象以 x = a为分界，x +1 2
左取G x 图象，右取 h x 图象，根据 a值不同，可得不同 f x 图象，以此判断出 f x 的最大值变化与 a
不同取值之间的关系，即可得到答案.
x
【解析】由解析式可知G x = 2 是定义域为 R 的奇函数，且当 x > 0时，x +1
G x x 1 1 1= 2 = 1 =x +1 x + 2 x =12 x 1 ，当且仅当 时等号成立；x × x
h x x2 1 9= - + 4x + = - x - 2 2 + ，两函数如下图所示：
2 2
9
由图可知，当 a 2时， f x 的最大值为 h 2 = ，
2
当 2 < a < 4时， f x 的最大值为 h x 在区间 a, 4 1 9的最大值，即为 h a ， < h a < ，
2 2
当 a 4时， f x 的最大值为G x 1=max ；2
①若满足 f x a= ，当 a 2时， f x 9= a = 9max max ，不符题意；2 2
f x h a a2 4a 1 a2 < a < 4 = = - + + = a 7 + 57 7 - 57当 时， max ，解得 = 或 a = （舍去）2 2 4 4
1
当 a 4时， f x = a =1max ，不符题意；2
é1 9 ù
②综上所述，根据函数图象可知函数 f x 的最大值为 g a ê , ú . 2 2
① 7 + 57 é
1 , 9 ù故答案为： ；②
4 ê 2 2ú
一、单选题
ì2x , x > 0
1．（2024·吉林长春·三模）已知函数 f (x) = í ，则 f -3 =（ ）
f (x + 2), x 0
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【解析】由函数可得， f (-3) = f (-1) = f (1) = 21 = 2 .
故选：B.
2．（2024·北京西城·一模）已知全集U = R ，集合 A = x x < 3 , B = x - 2 x 2 ，则 AI U B = （ ）
A． 2,3 B． - , -2 2,3 C． 2,3 D． - ,-2 2,3
【答案】B
【分析】利用补集和交集运算求解即可.
【解析】因为集合B = x - 2 x 2 ，所以 U B = x x < -2或 x > 2 ，
又集合 A = x x < 3 ，所以 AI U B = x x < -2 或 2 < x < 3 = - ,-2 2,3 .
故选：B
3．（2024·浙江台州·一模）函数 y = f x 的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析
式可能为（ ）
1 1
A． y = f 1- x ÷ B． y = - f 1- x ÷
è 2 è 2
C． y = f 4 - 2x D． y = - f 4 - 2x
【答案】A
【分析】
根据给定的函数图象，由 f (1) = 0推理排除 CD；由①中函数当 x >1时， f (x) > 0 分析判断得解.
【解析】由图①知， f (1) = 0，且当 x >1时， f (x) > 0 ，由②知，图象过点 (0,0)，且当 x < 0 时， y > 0，
对于 C，当 x = 0时， y = f (4) > 0，C 不可能；
对于 D，当 x = 0时， y = - f (4) < 0，D 不可能；
1 1
对于 A，当 x = 0时， y = f (1) = 0，而当 x < 0 时，1- x >1，则 f (1- x) > 0，A 可能；
2 2
1 1
对于 B，当 x = 0时， y = - f (1) = 0，而当 x < 0 时，1- x >1，则- f (1- x) < 0，B 不可能.
2 2
故选：A
4．（2023·山东·模拟预测）已知函数 f (x) 的对应值图如表所示，则 f é f 2 ù 等于（ ）
函数 y = f (x) 的对应值表
x 0 1 2 3 4 5
y 3 6 5 4 2 7
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】查表可知，先得 f 2 = 5， f é f 2 ù = f 5 所以再查表可得 f 5 = 7 .
【解析】由表可知 f 2 = 5， f 5 = 7，
所以 f é f 2 ù = f 5 = 7
故选：D．
ì2x-1, x <1,

5．（2024·吉林·模拟预测）已知 f x = í x 若 f a =1，则实数 a的值为（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
【答案】B
【分析】分a < 1和a 1，求解 f a =1，即可得出答案.
a-1
【解析】当a < 1时， f a = 2 =1，则 a -1 = 0，解得： a =1（舍去）；
当a 1 a时， f a = =1，则 a = 2，解得： a = 4 .
2
故选：B.
ì x2 , x 0
6．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) =

í x ，则方程 f (x)
1
= 的解集为（ ）
, x < 0 4 1- x
ì1 ü ì 1 1 ü ì 1 1 1 ü ì1 1 ü
A． í B． í- , C． í- , , D． í ,
2 2 2 2 5 2 5 2
【答案】A
【分析】分段函数，对 x 分类讨论即可.
【解析】当 x 0 时， f (x)
1 1 1 x 1 1
= x2 = ，解得 x = 或 x = - （舍去），当 x<0 时， f (x) = = ，解得 x =
4 2 2 1- x 4 5
ì1 ü
（舍去），故解集为 í ．
2
故选：A．
bx 9
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = a 3- x + 的图象过点 0,1 与 3, ，则函数 f x 在区间 1,4 x +1 è 4 ÷
上的最大值为（ ）
3 7 5 8
A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】B
【分析】由条件列方程求 a,b，由此可得函数 f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.
bx 9
【解析】因为函数 f x = a 3- x + 的图象过点 0,1 与 3,
x +1 4 ÷
，
è
ì3b 9=
所以 f 0 =1， f 3 9 = ，则 í 4 4 ，4
3a =1
1
解得 a = ，b = 3，
3
故函数 f x 的解析式为： f x 3x x= - +1 .
x +1 3
f 3 x +1 - 3x 3x x 1 x 1 13 é 3 x +1ù 13 2 3 x +1 7而 = - + = - + = - + - × = ，
x +1 3 x +1 3 3 ê x +1 3 ú 3 x +1 3 3
当且仅当 x = 2时取等号，
函数 f x 在区间 1,4 7上的最大值为 .
3
故选：B.
1
8 3．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x = x f ÷ x - ,0 U 0, + ，
è x
f x + f y + 2xy = f x + y ，则 f 3 的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】由赋值法先得 f 0 = 0，再由 f 1 与 f -1 关系列式求解．
【解析】 f x + f y + 2xy = f x + y 中令 x = y = 0 ，则 f 0 = 0，
f x + f y + 2xy = f x + y 中令 x =1， y = -1，则 f 1 + f -1 - 2 = f 0 = 0，
f x x3 f 1又 = ÷中令 x=-1，则 f -1 = 0，所以 f 1 = 2 ，
è x
f x + f y + 2xy = f x + y 中，令 x = y =1，则 f 2 = 2 f 1 + 2 = 6，
再令 x =1， y = 2，则 f 3 = f 1 + f 2 + 4 = 2 + 6 + 4 =12．
故选：D
二、多选题
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
ì1,当x > 0时
x
A．函数 v x = 与u x = í0,当x = 0时 表示同一函数
x
-1,当x < 0时
B v x = x2．函数 - 2x + 2 u t = t2与 - 2t + 2是同一函数
C．函数 y = f x 的图象与直线 x = 2024的图象至多有一个交点
D．函数 f x = x 1-1 - x ，则 f f 2 ÷è ÷
= 0
è
【答案】BC
【分析】根据相等函数的定义判断 A、B，根据函数的定义判断 C，由函数解析式求出函数值，即可判断 D.
x ì1, x > 0【解析】对于 A： v x = = í Ax -1, x 0
，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故 错误；
<
2
对于 B：函数 v x = x - 2x + 2与u t = t2 - 2t + 2定义域相同，解析式一致故是同一函数，故 B 正确；
对于 C：根据函数的定义可知，函数 y = f x 的图象与直线 x = 2024的图象至多有一个交点，故 C 正确；
对于 D：因为 f x x 1 1 1 1= - - x ，所以 f 2 ÷ = -1 - = 0，è 2 2
1
则 f f ÷÷ = f 0 = 0 -1 - 0 =1，故 D 错误.
è è 2
故选：BC
10．（2023· 2 2全国·模拟预测）已知函数 f x 满足： 2 f x + 3 f 2 - x = 5x4 -16x3 + 48x2 - 64x + 32，则以下
不正确的有（ ）
A． f 0 = 4 B． f x 对称轴为 x = 4 C． f 2 = 3 D． f 7 = 25
【答案】BC
【分析】变形给定等式，求出函数 f (x) 的解析式，再逐项分析判断作答.
【解析】因为5x4 -16x3 + 48x2 - 64x + 32 = 2(x4 -8x3 + 24x2 - 32x +16) + 3x4
= 2[(x4 -8x3 +16x2 ) + 8(x2 - 4x) +16]+ 3x4 = 2[(x2 - 4x) + 8(x2 - 4x) +16]+ 3x4
= 2(x2 - 4x + 4) + 3x4 = 2(x - 2)4 + 3x4，
于是 2 f 2 (x) + 3 f 2 (2 - x) = 2(x - 2)4 + 3x4，
可得 2 f 2 (2 - x) + 3 f 2 (x) = 2x4 + 3 2 - x 4
两式联立解得 f (x) = (x - 2)2 ， f (2 - x) = x2，
因此 f (x) = (x - 2)2 ， f (0) = 4， f (7) = 25，AD 正确；
函数 f (x) 图象的对称轴为 x = 2， f (2) = 0，BC 错误.
故选：BC
1
11．（2024·全国·一模）设 a 为常数， f (0) = , f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，则（
2 ）．
A． f (a)
1
=
2
B． f (x)
1
= 成立
2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y)
D．满足条件的 f (x) 不止一个
【答案】ABC
【分析】
对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.
【解析】 f (0)
1
= , f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)
2
对 A：对原式令 x = y = 0
1 1 1
，则 = f a + f a 1= f a ，即 f a = ，故 A 正确；
2 2 2 2
对 B： 对原式令 y = 0，则 f x = f x f a + f 0 f a - x 1= f x 1+ f a - x ，故 f x = f a - x ，
2 2
对原式令 x = y ，则 f 2x = f x f y + f y f x = 2 f x f y = 2 f 2 x 0，故 f x 非负；
对原式令 y = a - x ，则 f a = f 2 x + f 2 a - x = 2 f 2 x 1 f x 1= ，解得 = ± ，
2 2
又 f x f x 1非负，故可得 = ，故 B 正确；
2
对 C：由 B 分析可得： f x + y = 2 f x f y ，故 C 正确；
对 D：由 B 分析可得：满足条件的 f x 只有一个，故 D 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，处理问题的关键是对已知条件合理的赋值，属中档题.
三、填空题
12．（2023·北京延庆·一模）已知函数 y = ax +1的定义域为A ，且-3 A，则 a的取值范围是 ．
1
【答案】 - ,
ù
è 3ú
【分析】
由-3 A，可知-3a +1 0 ，解不等式即可.
【解析】由-3 A，可知-3a +1 0 ，
1
解得 a ，
3
1
故答案为： - ,
ù
.
è 3ú
13．（2023·四川泸州·一模）若函数 f (x) 对一切实数 x ， y 都满足 f (x + y) - f (y) = (x + 2y)x且 f (1) = 0，则
f (0) = ．
【答案】 -1
【分析】直接利用赋值法即可求得结果.
【解析】由题知， f (1) = 0，
令 x =1， y = 0 ，
则 f (1) - f (0) = 1+ 0 1 =1，
所以 f (0) = -1 .
故答案为： -1
b
14．（2022·湖北武汉·三模）函数 f (x) = (a > 0,b > 0)| x | a 的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并-
把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之
为“囧圆”，则当 a =1,b =1时，函数 f (x) 的“囧点”坐标为 ；此时函数 f (x) 的所有“囧圆”中，面积
的最小值为 ．
【答案】 ( 0, 1) 3p
【分析】第一空：直接求出与 y 轴的交点即可求解；第二空：画出函数图象，考虑 y 轴及 y 轴右侧的图象，
x 轴下方的函数图象显然过点B(0, -1)时面积最小， x 轴上方的图象，设出公共点，表示出半径的平方，借
助二次函数求出最小值，再比较得出半径最小值即可求解.
1
【解析】第一空：由题意知： f (x) = ， x ±1， f (0) = -1| x | 1 ，故与 y 轴的交点为
0, -1 ，则“囧点”坐标
-
为( 0, 1)；
第二空：画出函数图象如图所示：
设B(0, -1)，C(0,1)，圆心为C(0,1)，要使“囧圆”面积最小，只需要考虑 y 轴及 y 轴右侧的图象，
当圆C 过点B(0, -1)时，其半径为 2，是和 x 轴下方的函数图象有公共点的所有“囧圆”中半径的最小值；
当圆C 和 x
1
轴上方且 y 轴右侧的函数图象有公共点A 时，设 A(m, ), m >1，则点A 到圆心C 的距离的平
m -1
d 2 2 1 2方为 = m + ( -1)m 1 ，-
t 1
2
= , t > 0 1 1 2 1 1 1 2令 ，则 d 2 = (1+ )2 + (t -1)2 = t 2 + + - 2t + 2 = t - - 2(t - ) + 4 = (t - -1) + 3 3，
m -1 t t 2 t ֏ t t t
t 1- =1 m 1+ 5当 即 = 时， d 2 最小为 3， 2 > 3 ，显然在所有“囧圆”中，该圆半径最小，故面积的最小值为t 2
3p .
故答案为：( 0, 1)；3p .
四、解答题
15．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = x - 2 - x +1 ．
(1)求 f x 的值域；
(2)求不等式 f x 1 x +1的解集．
2
【答案】(1) 0,3
é0, 4(2) ùê ú U 4,+ 3
【分析】（1）分类讨论去绝对值即可求解函数的值域；
（2）由（1）中的分类讨论结果代入（2）中不等式，依次解出取并集即可得解.
【解析】（1）当 x 2时， f x = x - 2 - x +1 = 3．
当 x -1时， f x = 2 - x - -x -1 = 3．
当-1 < x < 2时， f x = 2 - x - x +1 = 1- 2x ，
1
进一步当-1 < x 时， f x =1- 2x 0,3 1，当 < x < 2时， f x = 2x -1 0,3 ．
2 2
所以 f x 的值域为 0,3 ．
1
（2）当 x 2或 x -1时， f x = 3 x +1，解得 x 4．
2
1 1 1 4
当-1 < x < 2时， f x = 1- 2x x +1，即- x -1 1- 2x x +1，解得0 x ．
2 2 2 3
综上，不等式 f x 1 4 x +1 é ù的解集为 ê0, ú 4,+ ．2 3 专题 06 函数及其表示（九大题型+模拟精练）
目录：
01 区间的表示与运算
02 判断是否为同一函数
03 求函数的定义域（具体函数、抽象函数、复合函数）
04 求函数的值综合
05 求函数的值域
06 求函数的解析式综合
07 分段函数综合
01 区间的表示与运算
ìx -1 0
1．（2023·山东·模拟预测）不等式组 í
2 - x 0
的解集用区间表示为： ．
>
2．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）设集合 A = -1,2 , B = a - 2, a ，若 A B = -1,0 , 则 a =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
3．（23-24 高三上·上海·期中）已知集合 A = -2,1 ，B = -4, -1 U 1,2 ，则 AI B = ．
02 判断是否为同一函数
4．（23-24 高一上·福建福州·阶段练习）下列各组函数中表示同一函数的是（　　）
A． f x
2
= x与 g x = x
B． f x = lg x -1 与 g x = lg x - 1
C 0． f x = x 与 g x =1
D． f x = x +1与 g t = t +1
5．（23-24 高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数 f x = x是同一函数的是（ ）
A． f x = ( x )2 B． f x = x2
2
C． f x = 3 x3 D． f t t=
t
6．（22-23 高三·全国·对口高考）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． f (x) = x, g(x) = 4lg x
B． f (x) = 1- x2 , g(x) = 1- | x |, x [-1,1]
C． y = f (x), g(x) = f (x +1), x R
x
D． f (x) = lg
1
÷ , g(x) =| x | lg 2
è 2
03 求函数的定义域（具体函数、抽象函数、复合函数）
7．（2024 高三上·广东·学业考试）函数 y = x - 2 的定义域是（ ）
A． 2, + B． 2, + C． - , 2 D． - , 2
1
8 2．（23-24 高一上·浙江杭州·期中）函数 y = 1- x + 的定义域是（ ）
x
A． - ,1 B． -1,0 U 0,1 C． -1,0 U 0,1 D． 0,1
f x -1
9．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数 f 2x -1 的定义域为 -1,1 ，则函数 y = 的定义
x -1
域为（ ）
A． -1,2 B． 0,2 C． -1,2 D． 1,2
10．（22-23 高一下·辽宁沈阳·期末）已知函数 y = f x +1 的定义域为 1,2 ，则函数 y = f 2x -1 的定义域为
（ ）
1
A é． ê ,1
ù é3 ù
ú B． ê , 2ú C． -1,1 D． 3,5 2 2
f 3 - 4x
11．（22-23 高二下·辽宁·阶段练习）若函数 f 2x -1 的定义域为 -3,1 ，则 y = 的定义域为（ ）
x -1
A． 1 B 3ù 3 5 ù 5 ù． 1, ú C． , ú D． 1,è 2 è 2 2 è 2 ú
12．（22-23 高三上· 2 - x陕西商洛·阶段练习）已知函数 f x = ，则函数 g(x) = f (1- x)的定义域为（ ）
x +1
A． (-2,1] B．[-2,1)
C． (-1,2] D．[-1,2)
1
13．（21-22 高一上·全国·课后作业）已知 f x = ，则 f f x 的定义域为 （ ）
x +1
A． x | x -2 B． x | x -1 C． x x -1且 x -2 D． x x 0且 x -1
14．（20-21 高一·全国·课后作业）若函数 f x + 3 的定义域为 -5, -2 ，则F x = f x +1 + f x -1 的定义
域为 ．
04 求函数的值综合
15．（21-22 高一下·贵州铜仁·期末）函数 f x 满足 f x +1 = 2x - 3，则 f 1 =（ ）
A． -1 B．0 C．2 D．-3
16．（22-23 2高二下·山东烟台·阶段练习）已知函数 f x -1 = x - 2x，且 f a = 3，则实数 a的值等于（ ）
A． 2 B．± 2 C．2 D．±2
1
17．（2024·江苏南通·二模）已知 f x 对于任意 x, y R ，都有 f x + y = f x × f y ，且 f 2 ÷ = 2，则 f 4 =è
（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
18．（23-24 高一上·北京·期中）已知函数 y = f x 的图象如图所示，则 f f 0 的值为（ ）
A． -1 B．0 C．1 D．2
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，满足 f x - 4 = f x ，且当0 x < 4时，
f x = x + 3 ，则 f 2023 =（ ）
A． 6 B． 5 C．2 D． 3
1 3
20．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数 f x 满足 f x + y = f x + f y + 2xy, f ÷ = ，则 f 100 =（　　）
è 2 4
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
21．（23-24 2高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合 A = x | y = x +1 ，B = y | y = x +1 ，则 A R B =
（ ）
A． 0,1 B． (- ,1) C． -1,1 D． -1,1
22．（23-24 高三上·江苏苏州·期中）满足{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}的实数对m ， n构成的点 (m, n)
共有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
05 求函数的值域
23．（23-24 高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数 y = f (x) +1的值域为 (1,3)，则函数 y = -2 f (x)的值域为
（ ）
A． -4,0 B． (-6,-2) C． (2,6) D． (0, 4)
24．（23-24 高一上·浙江温州·期中）已知函数 y = f x 的定义域是R ，值域为 -2,1 ，则下列函数的值域也
为 -2,1 的是（ ）
A． y = 2 f x + 5 B． y = f 2x + 5
C． y = - f x D． y = f x
2
25．（23-24 高三上·山西吕梁·阶段练习）函数 f x = x + 4 - x - x 4 - x 的最大值为（ ）
5
41 21
A．4 B．2 C． D．
20 10
26．（23-24 高三上·上海·期中）函数 y = x +1 - x - 2 的值域是 ．
1 é1
27．（22-23 高三上·福建厦门·阶段练习）若函数 y = 的值域是 (- ,0) ê ,+ ÷，则此函数的定义域为x -1 2
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
06 求函数的解析式综合
28．（22-23 高一上·贵州黔东南·阶段练习）一次函数 f x 满足： f é f x - 2xù = 3，则 f 1 = ( )
A．1 B．2 C．3 D．5
29．（22-23 高三·全国·对口高考）已知二次函数 f x 满足 f (2) = -1, f (1- x) = f (x)，且 f x 的最大值是 8，
则此二次函数的解析式为 f (x) =（ ）
A．-4x2 + 4x + 7 B．4x2 + 4x + 7
C．-4x2 - 4x + 7 D．-4x2 + 4x - 7
2 3
30．（2023· x +1全国·模拟预测）已知 f 3x = ，则 f ÷÷ = ．x +1 è 3
1
31．（2024 高三·全国·专题练习）已知 f(x＋ )＝x2 1＋ 2 ，则函数 f(x)＝ ．x x
1
32．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 f(x)满足方程 af(x)＋f( )＝ax，x∈R，且 x≠0，a 为常数，a≠±1，且
x
a≠0，则 f(x)＝ ．
07 分段函数综合
ìx3 + 2, x 0
33．（2024·陕西·模拟预测）已知 f x = í ，若 f m = 29 ，则m = ．
-3x, x < 0
ì-2x -1, x 1 1
34．（2022·全国·模拟预测）设函数 f x = í x f f 2 = a =
a , x 1
，若 ，则 .< 32
ì 1, x <1 é 1 ù
35．（2024·北京东城·二模）设函数 f x = í 2 ，则 f ê f ÷ú = ，不等式 f (x) < f (2x)
x , x 1
的解集
è 2
是 .
ì x
2 , x < a
36．（22-23 高三下· x +1北京海淀·开学考试）已知函数 f x = í
-x2 + 4x 1+ , x a
2
①若 f x a的最大值为 ，则 a 的一个取值为 ．
2
②记函数 f x 的最大值为 g a ，则 g a 的值域为 ．
一、单选题
ì2x , x > 0
1．（2024·吉林长春·三模）已知函数 f (x) = í ，则 f -3 =（ ）
f (x + 2), x 0
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2024·北京西城·一模）已知全集U = R ，集合 A = x x < 3 , B = x - 2 x 2 ，则 AI U B = （ ）
A． 2,3 B． - , -2 2,3 C． 2,3 D． - ,-2 2,3
3．（2024·浙江台州·一模）函数 y = f x 的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析
式可能为（ ）
y f 1 1 1A． = - x

÷ B． y = - f

1- x

÷
è 2 è 2
C． y = f 4 - 2x D． y = - f 4 - 2x
4．（2023·山东·模拟预测）已知函数 f (x) 的对应值图如表所示，则 f é f 2 ù 等于（ ）
函数 y = f (x) 的对应值表
x 0 1 2 3 4 5
y 3 6 5 4 2 7
A．4 B．5 C．6 D．7
ì2x-1, x <1,

5．（2024·吉林·模拟预测）已知 f x = í x 若 f a =1，则实数 a的值为（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
ì x2 , x 0
6．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) =

í x ，则方程 f (x)
1
= 的解集为（ ）
, x < 0 4 1- x
ì1 ü ì 1 , 1 ü 1 1 1 1 1A． í B． í- C
ì- , , ü D ì ü．
2 2 2 í
． ,
2 5 2
í5 2
bx 9
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x = a 3- x + 0,1 3, 的图象过点 与 ÷，则函数 f x 在区间 1,4 x +1 è 4
上的最大值为（ ）
3 7 5 8
A． B． C． D．
2 3 4 5
1
8．（2023·浙江嘉兴· 3模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x = x f ÷ x - ,0 U 0, + ，
è x
f x + f y + 2xy = f x + y ，则 f 3 的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、多选题
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
ì1,当x > 0时
A．函数 v x x = 与u x = í0,当x = 0时 表示同一函数
x
-1,当x < 0时
B v x = x2．函数 - 2x + 2与u t = t2 - 2t + 2是同一函数
C．函数 y = f x 的图象与直线 x = 2024的图象至多有一个交点
D．函数 f x = x -1 - x，则 f f
1
÷÷ = 0
è è 2
10．（2023· 2全国·模拟预测）已知函数 f x 满足： 2 f x + 3 f 2 2 - x = 5x4 -16x3 + 48x2 - 64x + 32，则以下
不正确的有（ ）
A． f 0 = 4 B． f x 对称轴为 x = 4 C． f 2 = 3 D． f 7 = 25
1
11．（2024·全国·一模）设 a 为常数， f (0) = , f (x + y) = f (x) f (a - y) + f (y) f (a - x)，则（
2 ）．
A． f (a)
1
=
2
B． f (x)
1
= 成立
2
C． f (x + y) = 2 f (x) f (y)
D．满足条件的 f (x) 不止一个
三、填空题
12．（2023·北京延庆·一模）已知函数 y = ax +1的定义域为A ，且-3 A，则 a的取值范围是 ．
13．（2023·四川泸州·一模）若函数 f (x) 对一切实数 x ， y 都满足 f (x + y) - f (y) = (x + 2y)x且 f (1) = 0，则
f (0) = ．
14．（2022·湖北武汉·三模）函数 f (x)
b
= (a > 0,b > 0)
| x | a 的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并-
把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之
为“囧圆”，则当 a =1,b =1时，函数 f (x) 的“囧点”坐标为 ；此时函数 f (x) 的所有“囧圆”中，面积
的最小值为 ．
四、解答题
15．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = x - 2 - x +1 ．
(1)求 f x 的值域；
f x 1(2)求不等式 x +1的解集．
2专题 06 函数及其表示
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、函数的概念
1.函数的定义
设A,B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B 中都有唯一
确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y =f(x),x∈A.其中，x 叫做自
变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域.显然，值域是集合 B 的子集.
2.函数的构成要素
函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.三者缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义
域和对应关系确定了，值域也就确定了.
二、函数的定义域
1.函数的定义域是自变量x的取值集合，它是函数的重要组成部分.
2.求函数定义域的注意事项
(1)分式的分母不为0;
(2)偶次根式的被开方数大于等于0;
(3)零次幂的底数不为0;
(4)实际问题中自变量的范围；
(5)多个式子构成的函数，其定义域要满足每个式子都有意义.
三、函数的值域
1.函数的值域是在对应关系 f 的作用下，自变量x在定义域内取值时相应的函数值组成的集合
四、同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两
个函数是同一个函数.
温馨提示：当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之确定，所以两个函数当且仅当定义城和对
应关系相同时，才为同一函数.换言之，(1)定义域不同，两函数不同；(2)值域不同，两函数不同；(3)对应关系
不同，两函数不同，即使定义域和值城分别相同的两个函数，也不一定是同一函数，如y=5x 与它们的定义域
和值域都是实数集R, 但不是同一个函数.
五 、区 间
1. 一般区间的表示(a,b 为实数，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊区间的表示
六、函数的表示法
1.解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2.图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系，
3. 列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
温馨提示：
(1)解析法必须注明函数的定义域；
(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是
“线”,
七、复合函数
如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则 当C≤A时，称函数y=f(g(x)) 为f(t)
与g(x)在B的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
温馨提示：
1. 内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.
2. 函数f(g(x))的定义域是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
八、分段函数
在函数y=f(x) 的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为
分段函数
本专题的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语
言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系。
重点提升数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。
一、函数的定义域
1
例 1　(1)(2022·武汉模拟)函数 f(x)＝ ＋ 4－x2的定义域为(　　)
ln x＋1
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案　B
解析　要使函数有意义，
{x＋1 > 0，则需 x＋1 ≠ 1，4－x2 ≥ 0，
解得－1所以 x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
(2)若函数 f(x)的定义域为[0,2]，则函数 f(x－1)的定义域为________．
答案　[1,3]
解析　∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴0≤x－1≤2，即 1≤x≤3，
∴函数 f(x－1)的定义域为[1,3]．
延伸探究　将本例(2)改成“若函数 f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数 f(x－1)的定义域为________．
答案　[2,4]
解析　∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，
∴0≤x≤2，
∴1≤x＋1≤3，
∴1≤x－1≤3，
∴2≤x≤4，
∴f(x－1)的定义域为[2,4]．
拓展
1．(2022·西北师大附中月考)函数 y＝lg(x2－4)＋ x2＋6x的定义域是(　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案　B
x2－4 > 0，
解析　由题意，得{x2＋6x ≥ 0，
解得 x>2 或 x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．
x f x－1
2．已知函数 f(x)＝ ，则函数 的定义域为(　　)
1－2x x＋1
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案　D
解析　令 1－2x>0，
即 2x<1，即 x<0.
∴f(x)的定义域为(－∞，0)．
f x－1
∴函数 中，有
x＋1 {x－1 < 0，x＋1 ≠ 0 解得 x<1 且 x≠－1.，
f x－1
故函数 的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．
x＋1
方法归纳：（1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若 f(x)的定义域为[m，n]，则在 f(g(x))中，由 m≤g(x)≤n 解得 x 的范围即为 f(g(x))的定义域．
②若 f(g(x))的定义域为[m，n]，则由 m≤x≤n 得到 g(x)的范围，即为 f(x)的定义域．
二、函数的解析式
2
例 2　(1)(2022·哈尔滨三中月考)已知 f ( ＋1 )＝lg x，则 f(x)的解析式为________．x
2
答案　f(x)＝lg (x>1)
x－1
2
解析　令 ＋1＝t(t>1)，
x
2
则 x＝ ，
t－1
2
所以 f(t)＝lg (t>1)，
t－1
2
所以 f(x)＝lg (x>1)．
x－1
(2)已知 y＝f(x)是二次函数，若方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，则 f(x)＝________.
答案　x2＋2x＋1
解析　设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则 f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则 a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，
又 f(x)＝0，
即 x2＋2x＋c＝0 有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则 c＝1.
故 f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的 x 都有 f(x)－2f(－x)＝2x，则 f(x)＝________.
2
答案　 x
3
解析　∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
2
由①②得 f(x)＝ x.
3
拓展
1
已知 f(x)满足 f(x)－2f ( )＝2x，则 f(x)＝________.x
2x 4
答案　－ －
3 3x
(1解析　∵f(x)－2f ＝2x，①x )
1 (1 ) 2以 代替①中的 x，得 f －2f(x)＝ ，②x x x
4
①＋②×2 得－3f(x)＝2x＋ ，
x
2x 4
∴f(x)＝－ － .
3 3x
方法归纳：　函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
三、分段函数
4 4
例 3　(1) f(x) {cos πx，x ≤ 1，已知 ＝ f x－1 ＋1，x > 1 则 f ( )＋f (－ 的值为(　　)， 3 3 )
1 1
A. B．－ C．－1 D．1
2 2
答案　D
解析　f (4 ) 4 1＝f ( －1 )＋1＝f 3 3 (3 )＋1
π 3
＝cos ＋1＝ ，
3 2
4 4π
f (－ )＝cos(－3 3 )
2π 1
＝cos ＝－ ，
3 2
(4 ) 4 3 1∴f ＋f (－ )＝ － ＝1.3 3 2 2
x
(2) f(x) {2 ＋3，x > 0，已知 ＝ x2 4 x ≤ 0 若 f(a)＝5，则实数 a 的值是__________；若 f(f(a))≤5，则实数 a 的取值范围是－ ， ，
__________．
答案　1 或－3　[－ 5，－1]
解析　①当 a>0 时，2a＋3＝5，解得 a＝1；
当 a≤0 时，a2－4＝5，
解得 a＝－3 或 a＝3(舍)．
综上，a＝1 或－3.
②设 t＝f(a)，由 f(t)≤5 得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－ 5≤a≤－1.
拓展
π
1．已知函数 f(x)＝{sin(πx＋ ，x > 1，6)1 则 f(f(2 022))等于(　　)( )x，x < 1，2
3 2 3
A．－ B. C. D. 2
2 2 2
答案　B
π π 1
解析　f(2 022)＝sin(2 022π＋ ＝sin ＝ ，6) 6 2
1
∴f(f(2 022))＝f (1 ) 1 2 2＝2 2 ÷ ＝ .è 2
3
2．(2022·百校联盟联考)已知函数 f(x) {x ，x ≥ 0，＝ x2 x < 0 若对于任意的 x∈R，|f(x)|≥ax，则 a＝________.－ ， ，
答案　0
解析　当 x≥0 时，|f(x)|＝x3≥ax，即 x(x2－a)≥0 恒成立，则有 a≤0；
当 x<0 时，|f(x)|＝x2≥ax，即 a≥x 恒成立，
则有 a≥0，所以 a＝0.
方法归纳：　分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检
验．

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