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专题 08 幂、指数、对数函数（七大题型+模拟精练）
目录：
01 幂函数的相关概念及图像
02 幂函数的性质及应用
03 指数、对数式的运算
04 指数、对数函数的图像对比分析
05 比较函数值或参数值的大小
06 指数、对数（函数）的实际应用
07 指数、对数函数的图像与性质综合及应用
01 幂函数的相关概念及图像
1．（2024 高三·全国·专题练习）若幂函数 y = f x 的图象经过点 2, 2 ，则 f 16 ＝（　　）
A 1． 2 B．2 C．4 D． 2
【答案】C
【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.
a 1
【解析】设幂函数 y = f x = x ，因为 f x 的图象经过点 2, 2 ，所以 2a = 2 ，解得a = ，2
1 1
所以 f x = x 2 ，所以 f 16 =162 = 4 .
故选：C
2．（2024 高三·全国·专题练习）结合图中的五个函数图象回答问题：
(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析；
(4)答案见解析.
【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.
【解析】（1）数形结合可知， y = x2 的图象关于 y 轴对称，故其为偶函数；
y 1= x, y = x3 , y = 的图象关于原点对称，故都为奇函数.
x
（2）数形结合可知： y = x 的定义域是 0, + ，值域为 0, + ；
y = x, y = x3 的定义域都是 R ，值域也是 R ；
y 1= 的定义域为 - ,0 0, + ，值域也为 - ,0 0, + ；
x
y = x2 的定义域为 R ，值域为 0, + .
（3）数形结合可知： y = x 的单调增区间是： 0, + ，无单调减区间；
y = x, y = x3 的单调增区间是： R ，无单调减区间；
y 1= 的单调减区间是： - ,0 和 0, + ，无单调增区间；
x
y = x2 的单调减区间是 - ,0 ，单调增区间是 0, + .
（4）数形结合可知：
幂函数均恒过 1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.
对幂函数 y = xa ，当a > 0 ，其一定在 0, + 是单调增函数；当a < 0，在 0, + 是单调减函数.
m
3．（2022 高一上·全国·专题练习）如图所示是函数 y = x n （m、 n N
* 且互质）的图象，则（ ）
m m
A．m，n 是奇数且 <1 B．m 是偶数，n 是奇数，且 <1
n n
m m
C．m 是偶数，n 是奇数，且 >1 D．m，n 是偶数，且 >1
n n
【答案】B
【分析】
根据图象得到函数的奇偶性及 0, + 上单调递增，结合 m、 n N* 且互质，从而得到答案.
m
【解析】由图象可看出 y = x n 为偶函数，且在 0, + 上单调递增，
m
故 0,1 且m 为偶数，又 m、 n N* 且互质，故 n 是奇数.n
故选：B
02 幂函数的性质及应用
4．（2023 2 m高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数 f x = m + 2m - 2 x 在 0, + 上单调递减，则实数m
的值为（ ）
A．-3 B． -1 C．3 D．1
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义，求得m = -3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.
2 m
【解析】由函数 f x = m + 2m - 2 x 为幂函数，可得m2 + 2m - 2 =1，
即m2 + 2m - 3 = 0，解得m = -3或m =1，
当m = -3 -3时，函数 f x = x 在 0, + 上单调递减，符合题意；
当m =1时，函数 f x = x在 0, + 上单调递增，不符合题意.
故选：A.
5 23-24 · · f x = m2 - 5m + 5 xm-2．（ 高三上 安徽 阶段练习）已知幂函数 是R 上的偶函数，且函数
g x = f x - 2a - 6 x在区间 1,3 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - , 4 B． - , 4
C． 6, + D． - , 4 U 6, +
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数 f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可
得出关于实数 a的不等式，即可解得实数 a的取值范围.
2 m-2
【解析】因为幂函数 f x = m - 5m + 5 x 是R 上的偶函数，
则m 2 - 5m + 5 = 1，解得m =1或m = 4 ，
当m =1时， f x = x-1，该函数是定义域为 x x 0 的奇函数，不合乎题意；
当m = 4 时， f x = x2 ，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.
所以， f x = x2 ，则 g x = x2 - 2a - 6 x ，其对称轴方程为 x = a - 3，
因为 g x 在区间 1,3 上单调递增，则 a - 3 1，解得 a 4 .
故选：B．
6．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）已知 a
ì 1-1,2, ,3, 1üí ，若 f x = xa 为奇函数，且在 0, + 上单调
2 3
递增，则实数 a 的取值个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
1 1
【分析】 a = -1时，不满足单调性， a = 2或 a = 时，不满足奇偶性，当 a = 3或 a = 时，满足要求，得到
2 3
答案.
【解析】当 a = -1时， f x = x-1在 0, + 上单调递减，不合要求，
当 a = 2 2时， f -x = -x = x2 = f x ，故 f x = x2 为偶函数，不合要求，
a 1
1
当 = 时， f x = x 2 的定义域为 0, + ，不是奇函数，不合要求，2
当 a = 3时， f -x = -x 3 = -x3 = - f x ， f x = x3 为奇函数，
且 f x = x3 在 0, + 上单调递增，满足要求，
a 1 1
1 1
当 = 时， 3 ，故 3 为奇函数，
3 f -x = -x 3 = -x = - f x f x = x
1
且 f x = x3 在 0, + 上单调递增，满足要求.
故选：B
1
7．（22-23 高三下·上海· 2 2阶段练习）已知函数 f x = x3 ，则关于 t 的表达式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集
为 .
1
【答案】 - ,1

÷
è 3
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【解析】由题意可知， f x 的定义域为 - , + ，
1 1
所以 f -x = -x 3 = -x 3 = - f x ，
所以函数 f x 是奇函数，
1
由幂函数的性质知，函数 f x = x3 在函数 - , + 上单调递增，
由 f t 2 - 2t + f 2t 2 -1 < 0 2，得 f t - 2t < - f 2t 2 -1 ，即 f t 2 - 2t < f 1- 2t 2 ，
2 1所以 t - 2t <1- 2t 2 ，即3t 2 - 2t -1< 0，解得- < t <1，3
t f t 2 - 2t + f 2t 2 -1 < 0 1所以关于 的表达式 的解集为 - ,1 3 ÷ .è
1
故答案为： - ,1

3 ÷
.
è
2
8．（23-24 · 2 m +m-3高三上 河北邢台·期中）已知函数 f x = m - m -1 x 是幂函数，且在 0, + 上单调递减，
若 a,b R ，且 a < 0 < b, a < b ，则 f a + f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
【答案】B
【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.
【解析】由m2 - m -1 = 1得m = 2 或m = -1，
m = 2 时， f (x) = x3 在R 上是增函数，不合题意，
m = -1时， f (x) = x-3 ，在 (0, + )上是减函数，满足题意，
所以 f (x) = x-3 ，
a < 0 < b, a < b ，则b > -a > 0 ， f (-a) > f (b) ， f (x) = -x3是奇函数，因此 f (-a) = - f (a)，
所以- f (a) > f (b) ，即 f (a) + f (b) < 0，
故选：B.
9．（2023· a江苏南京·二模）幂函数 f x = x a R 满足：任意 x R 有 f -x = f x ，且 f -1 < f 2 < 2，
请写出符合上述条件的一个函数 f x = ．
2
【答案】 x 3 （答案不唯一）
【分析】
2
取 f x = x 3 ，再验证奇偶性和函数值即可.
2 2 2
【解析】取 f x = x 3 ，则定义域为 R，且 f -x = -x 3 = x 3 = f x ，
2
f -1 =1， f 2 = 23 = 3 4 ，满足 f -1 < f 2 < 2 .
2
故答案为： x 3 .
x
10 1 ．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = x2 ， g(x) = ÷ - m
è 2
（1）当 x [-1,3]时，求 f (x) 的值域；
（2）若对"x 0,2 ， g(x)…1成立，求实数m 的取值范围；
（3）若对"x1 0,2 ，$x2 [-1,3]，使得 g(x1) f (x2 ) 成立，求实数m 的取值范围．
3
【答案】（1）[0,9]；（2）m - ；（3）m… - 8 .4
【分析】（1）由二次函数的性质得出值域；
（2）将问题转化为求 g(x)在 0,2 的最小值大于或等于 1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；
（3）将问题转化为 g(x)在 0,2 的最大值小于或等于 f (x) 在[-1,3]上的最大值 9，从而得出实数m 的取值范
围．
【解析】（1）当 x [-1,3]时，函数 f (x) = x2 [0 ，9]
\ f (x)的值域 0,9
（2）对"x 0,2 ， g(x)…1成立，等价于 g(x)在 0,2 的最小值大于或等于 1．
2
而 g(x)在 0,2 1 3上单调递减，所以 2 ÷ - m…1，即m -è 4
（3）对"x1 0,2 ，$x2 [-1,3]，使得 g(x1) f (x2 ) 成立，
等价于 g(x)在 0,2 的最大值小于或等于 f (x) 在[-1,3]上的最大值 9
由1- m 9 ，\m… - 8
03 指数、对数式的运算
1
1 - 2
3
4ab-1
11．（23-24 高三上·山东泰安·阶段练习）（1）计算 4 ÷ 1 的值；．è 0.1 -1 × a3 ×b-3 2
（2） log 7 log 3 2
log9 49
3 + 7 - - log 3
2
log 3 7 ； 7
1 log 3-1
（3） log 3 9 + lg 25 + lg 2 - log4 9 log3 8 + 2
2 + ln e
2
8
【答案】（1） ；（2）2；（3）4
5
【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.
3 3 3
1 4ab-1 2 -2 2
【解析】（1 42 2 8a b 8）原式= × 3 3 = × 3 3 = ；
- -
10 ×a 2b 2 10 ×a 2b 2 5
（2 2 2）原式= log3 7 + log7 3 - log7 3 - log 722 log 73 3
= log3 7 log3 7 + 2log7 3 - log3 7 log3 7
= log3 7 2log7 3
= 2；
1
（3）原式= log 32 + lg5 + lg 2 - log 32 log 23 + 2log2 3 2-11 2 3 + lne22
32
= 4 +1- 3 3 1+ +
2 2
= 4 .
1 5
12．（23-24 高一上·湖北恩施·期末）（1）计算： lg - lg + lg12.5 - log8 9 × log27 8 .2 8
1 1
2 - a + a
-1 + 2
（ ）已知 a 2 + a 2 = 3，求 的值.a2 + a-2 - 2
1 1
【答案】（1） ；（2）
3 5
【分析】（1）根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；
（2）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.
2 1
【解析】（1）由对数的运算公式，可得原式= - lg 2 - lg5 - 3lg 2 + 3lg5 -1- log32 log23 = .3 3
1 1
（2）因为 - -1a 2 + a 2 = 3，所以 a + a + 2 = 9，可得 a + a
-1 = 7 ，所以 a2 + a-2 + 2 = 49，
2 a + a
-1 + 2 7 + 2 1
可得 a + a-2 = 47，所以 2 -2 = = .a + a - 2 47 - 2 5
04 指数、对数函数的图像对比分析
13．（2024·四川·模拟预测）已知函数 y = xa， y = bx ， y = log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则
（ ）
A． log 1 c < b
a < sin b B． log 1 c < sin b < b
a
2 2
a
C． sin b < b < log 1 c D． sin b < log c < b
a
1
2 2
【答案】B
【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得 a,b,c的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判
断即可.
【解析】因为 y = xa图象过 1,1 ，故由图象可得 a<0，
又 y = bx 图象过 0,1 ，故由图象可得0 < b <1，
又 y = log c x 图象过 1,0 ，故由图象可得 c >1 .
故 log
a
1 c < log 1 1 = 0 ，0 < sin b <1，ba > b0 =1，故 log 1 c < sin b < b .
2 2 2
故选：B
1 1
14．（2024 高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝
a x
，y＝loga（x＋ ）（a＞0，且 a≠1）2
的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
x
A． f x = ex - e- x B． f x 1 2= - x C． f x = x x D． f x =e +1 ln x2 + 2
【答案】D
【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断 AB 选项错误，对 C 代入 x = 2判断 C 错误，则可得到 D 正确.
-1
【解析】根据函数 f (x) 的图象， 知 f (1) 1， 而对 A 选项 f 1 = e - e > 2排除 A；
对 B 选项 f x =1 2- ，因为 ex 2ex 1 +1 >1，则+ ex 0,2 ，+1
2
则 f x =1-
ex
-1,1 ，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除 B；
+1
根据 C 选项的解析式， f (2) = 2 2 2.8， 而根据函数 f (x) 的图象， 知 f (2) 1， 排除 C.
故选：D.
16．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x 的图象如图所示，则下列关系
成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到 a,b的范围，从而得到结果.
【解析】由图象可得，指数函数 y = a x 为减函数，
对数函数 y = logb x 为增函数，
所以0 < a <1,b >1，
即0 < a < 1 < b .
故选：B
2
17．（23-24 高三上· x黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数 f (x) = x - x 的图象大致为（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.
【解析】因为 2x - 2- x 0，所以 x 0，定义域为 - ,0 U 0, + ；
x2 x2
因为 f (x) = x - x ，所以 f -x = - x x ，故 f x = - f -x ，所以 f x 为奇函数，排除 B，2 - 2 2 - 2
当 x 趋向于正无穷大时， x2 、 2x - 2- x 均趋向于正无穷大，但随 x 变大， 2x - 2- x 的增速比 x2 快，
所以 f x 趋向于 0 ，排除 D，
由 f 1 2= f 1 2 1 ， ÷ = ，则 f 1 > f ÷，排除 C.3 è 2 4 è 2
故选：A.
05 比较函数值或参数值的大小
1 a 1 b
18．（2024·全国·模拟预测）已知 a = ÷ ,

÷ = logab,a
c = log 1c，则实数 a,b,c的大小关系为（ ）
è 2 è 2 2
A． a < b < c B． a < c < b
C． c < b < a D． c【答案】D
【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到 a,b,c 0,1 ，得到 logab <1 = loga a ，求出
c
c 1
a 1 a
b > a = < ，根据单调性得到 2 ÷ ÷
= a ，从而得到答案.
è è 2
f x 1
x

【解析】令 = ÷ - x ，其在 R 上单调递减，
è 2
1 1
又 f 0 =1 > 0, f 1 = -1 = - < 0，
2 2
由零点存在性定理得 a 0,1 ，
则 y =loga x在 0, + 上单调递减，
x
y = 1 画出 1 ÷ 与 y =loga x的函数图象，
è 2
可以得到b 0,1 ，
y x x又 2 = a 在 R 上单调递减，画出 y = a 与
y3 = log 1 x
2 的函数图象，
2
可以看出 c 0,1 ，
1 b 1
0

因为 ÷ < =1，故 log b <1 = log a ，故b > a，
è 2 è 2 ÷
a a

因为 a,c 0,1 ，故 ac > a1 = a，
ac a
ac = log 1c c = 1 < 1 由 得， ÷ ÷ = a ．2 è 2 è 2
综上， c故选：D．
【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系；
（2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间
接地得出要比较的数的大小关系；
（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与 0（1）的关系，
从而确定所比两值的大小关系．
19．（2023·江西赣州·二模）若 log3x = log4 y = log5z < -1，则（ ）
A．3x < 4y < 5z B．4 y < 3x < 5z C．4 y < 5z < 3x D．5z < 4 y < 3x
【答案】D
【分析】设 log3x = log4 y = log5z = m < -1，得到 x = 3m , y = 4m ,z = 5m ，画出图象，数形结合得到答案.
【解析】令 log3x = log4 y = log5z = m < -1，则 x = 3m , y = 4m ,z = 5m ，
3x = 3m+1, 4y = 4m+1,5z = 5m+1，其中m +1< 0 ，
在同一坐标系内画出 y = 3x , y = 4x , y = 5x ，
故5z < 4y < 3x
故选：D
20．（2024 高三下·全国· x专题练习）已知函数 f x = e ， g x = ln x，正实数 a，b，c 满足 f a = g a ，
f b g b = g a ， g c + f g ac = 0，则（ ）
A．b < a < c B． c【答案】B
【分析】由 f a = g a 可得 0 < a < 1，结合 f b g b = g a 可判断 b 的范围，再由 g c + f g ac = 0可
1
得 ln c + ac = 0 ea，结合 = 可判断 a，c 大小关系，进而可得答案.a
【解析】由题得， g x 1= ，
x
由 f a = g a ea 1 1，得 = ，即 >1，所以 0 < a < 1．
a a
由 f b g b = g a ，得 eb ln b = ln a ，
因为 ln a < 0， eb > 0，所以 ln b < 0，
又 eb >1，所以 ln a = eb ln b < ln b ，所以 0 < a < b <1．
由 g c + f g ac = 0 c，得 ln c + eln a = 0，即 ln c + ac = 0．
易知 ac > 0，所以 ln c < 0 ，所以0 < c <1，故 a < ac ．
ea 1又 = ，所以 a = - ln a ，所以
a - ln c = a
c > a = - ln a ，
所以 ln c < ln a，所以 c < a，所以 c故选：B．
【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：
（1）同构函数，利用单调性比较；
（2）取中间值进行比较；
（3）利用基本不等式比较大小；
（4）利用作差法比较大小.
21．（2023·浙江绍兴·二模）已知 f x 是定义域为R 的偶函数，且在 (- ,0)上单调递减， a = f ln 2.04 ，
b = f -1.04 c = f e0.04， ，则（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < b < a D． c【答案】A
【分析】令 g x = ex - x -1，利用导数求得 g x 在( 0, 1)单调递增，得到 g x > g 0 = 0，得到 e0.04 >1.04，
再由对数函数的性质，得到 ln 2.04 <1.04 < e0.04 ，再由函数 f x 的单调性与奇偶性
f ln 2.04 < f 1.04 < f e0.04 ，即可求解.
x
【解析】令 g x = e - x -1, x (0,1) ，可得 g x = ex -1 > 0，所以 g x 在( 0, 1)单调递增，
又由 g 0 = 0，所以 g x > g 0 = 0，即 g 0.04 > 0 ，可得 e0.04 > 0.04 +1 =1.04 ，
又由 ln 2.04 (0,1)，所以 ln 2.04 <1.04 < e0.04 ，
因为 f x 是定义域为R 的偶函数，且在 (- ,0)上单调递减，
则 f x 在 (0, + )上单调递增，且b = f -1.04 = f (1.04) ，
所以 f ln 2.04 < f 1.04 < f e0.04 ，即 f ln 2.04 < f -1.04 < f e0.04 ，
所以 a < b < c .
故选：A.
06 指数、对数（函数）的实际应用
22．（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做
半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1,T2 ．开始记录时，
1
这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的 ，则T1,T2 满足的关系式为（ ）4
2 512 512 512 512A．- + =T T B．
2 + =
1 2 T1 T2
512 512 512 512
C．-2 + log2 = logT 2 D．
2 + log2 = log
1 T2 T
2
1 T2
【答案】B
【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为 1，可得 512 天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可
得答案．
【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为 1，
1 512 1 512
则 512 天后，甲的质量为： ( ) T1 ，乙的质量为： ( ) T2 ，
2 2
1 512 1 1 512 1 2 512+
由题意可得 ( ) T2 = × ( ) T1 = ( ) T1 ，
2 4 2 2
512 512
所以2 + =T1 T
．
2
故选：B．
23．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关
规定：100mL血液中酒精含量达到 20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设
某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg / mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒
精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：
lg3 0.48, lg7 0.85）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设经过 x 个小时才能驾驶，则0.6 100 1- 30% x < 20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算
可得.
x 0.6 100 1- 30% x x 1【解析】设经过 个小时才能驾驶，则 < 20即0.7 < .
3
lg 1
由于 y = 0.7x 在定义域上单调递减， x log 1 3 lg1- lg3 -0.48 0.48> 0.7 = = = = = 3.2
.
3 lg 0.7 lg 7 -1 0.85 -1 0.15
他至少经过 4 小时才能驾驶.
故选：D.
07 指数、对数函数的图像与性质综合及应用
2
24．（2024·山东聊城·二模）已知函数 f x 为R 上的偶函数，且当 x > 0时， f x = log4x -1，则 f -23 ÷ =
è
（ ）
2 1
- 1 2A．- B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A
2 2
【分析】根据偶函数的定义可得 f (-23 ) = f (23 ) ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.
【解析】因为 f (x) 为偶函数，所以 f (-x) = f (x)，
2 2 2 2 1
则 f (-23 ) = f (23 ) = log 34 2 -1 = log 32 2 -1 log 23 1
1 1 2= 2 - = - = - .2 3 3
故选：A
25 x．（2023·江西南昌·三模）设函数 f x = a 0 < a <1 ， g x = logb x b >1 ，若存在实数m 满足：①
f (m) + g(m) = 0 ；② f (n) - g(n) = 0
1
，③ | m - n | 1，则 m - n 的取值范围是（ ）
2
( 1A． - ,
1
- ) 3 1B． ( 1- , 3- 5- ) C． (- , - ) D ( 3+ 5 , 1．2 4 - - )2 4 4 2 4 2
【答案】D
【分析】由① f (m) + g(m) = 0 ，② f (n) - g(n) = 0解出0
1 1
< m <1， n >1，解出 m - n < - ；结合③转化
2 2
3+ 5
为线性规划问题解出 z > - .
4
【解析】函数 f x = a x 0 < a <1 ， g x = logb x b >1 ，
若存在实数m 满足：① f (m) + g(m) = 0 ；② f (n) - g(n) = 0，
即 am = - logb m
n n
，且 a = logb n，则 a - a
m = logb mn < 0，
则0 < mn < 1，且0
1 1
< m <1， n >1，所以 m - n < - ，
2 2
又因为③ | m - n | 1，
ì0 < mn <1 1
则 í ，令 z = m - n
m - n 1
，
2
不防设 x = m ， y = n ，则转化为线性规划问题，
在A 点处 z 取最小值.
ì
1 x -1+ 5ì =
y = x 2由 í 解得 í ，
y = x +1 y 5 +1 = 2
z 3+ 5代入解得 > - .
4
故选：D .
26．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = loga ax + 9 - 3a (a > 0且 a 1)．
(1)若 f x 在 1,3 上单调递增，求实数 a的取值范围；
(2)若 f 3 > 0且存在 x0 3,+ ，使得 f x0 > 2loga x0 成立，求 a的最小整数值．

【答案】(1) 1,
9
2 ֏
(2) 7
【分析】（1）设 g x = ax + 9 - 3a ，得到 g x 在 1,3 上是增函数，且 g 1 > 0，即可求解；
（2）由 f 3 > 0，的得到 a > 1，把不等式 f x0 > 2loga x0 ，转化为 a > x0 + 3，结合题意，即可求解.
【解析】（1）解：由函数 f x = loga ax + 9 - 3a ，设 g x = ax + 9 - 3a ，
由 a > 0且a 1，可得函数 g x 在 1,3 上是增函数，所以 a > 1，
又由函数定义域可得 g 1 = 9 - 2a > 0 ，解得 a 9< ，
2
a 1, 9 所以实数 的取值范围是 ÷．
è 2
（2）解：由 f 3 = loga 9 > 0，可得 a > 1，
又由 f x0 > 2loga x0 ，可得 loga ax0 + 9 - 3a > log x2a 0 ，
所以 ax0 + 9 - 3a > x
2
0 ，即 a > x0 + 3，
因为存在 x0 3,+ ，使得 f x0 > 2loga x0 成立，可得 a > 6，
所以实数 a的最小整数值是 7 ．
ì
x
2 + x,-2 1 x
27．（23-24 高二下·湖南·阶段练习）已知函数 f x = 4í 1 ，若 f (x) 的值域是[-2,2]，则 c的值 log
1
x, < x c
2 4
为（ ）
A． 2 B． 2 2 C． 4 D．8
【答案】C
【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算
可得正确结果.
1 1 2 1 é 1 ù
【解析】当-2 x 时， f
4 x = x
2 + x = x + ÷ - - , 2 ，
è 2 4 ê 4 ú
因为 f x 的值域是 -2，2 ，又 f x = log x 1 cù1 在 ， 上单调递减，
2 è 4 ú
所以 log 1c = -2,\c = 4 .
2
故选：C.
28 2．（22-23 高一上·辽宁本溪·期末）若不等式 x -1 < loga x （ a > 0，且a 1）在 x 1,2 内恒成立，则实
数 a 的取值范围为（ ）
A． 1,2 B． 1,2
C． 1, 2ù D． 2, 2
【答案】B
2
【分析】分析出 0 < a < 1时，不成立，当 a > 1时，画出 f x = loga x， g x = x -1 的图象，数形结合得到
实数 a 的取值范围.
【解析】若 0 < a < 1，此时 x 1,2 ， loga x < 0，而 x -1 2 0，故 x -1 2 < loga x 无解；
若 a
2
> 1，此时 x 1,2 ， loga x > 0，而 x -1 0，
令 f x = loga x， g x = x -1 2 ，
画出两函数图象，如下：
故要想 x -1 2 < loga x 在 x 1,2 内恒成立，
则要 loga 2 >1，解得： a 1,2 .
故选：B.
29．（2022 高二下·浙江·学业考试）已知函数 f x = 3 ×2x + 2，对于任意的 x2 0,1 ，都存在 x1 0,1 ，使得
f x1 + 2 f x2 + m =13成立，则实数 m 的取值范围为 ．
é 1
【答案】 êlog2 , log
1ù
6 2 3ú
【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解
13- f x
【解析】Q f x 51 5,8 \ 1 é ù2 ê , 4 ， 2 ú
\ f x2 + m = 3 ×2x2 +m + 2 é m 3 ×2 + 2,3 ×2
1+m + 2ù ，
ì 5 ì 2m 1 3 ×2m + 2

6
由题意得 í 2 í log
1
2 m log
1
2
3 ×2m+1 + 2 4 2m+1 2 6 3
3
é 1 1ù
故答案为： êlog2 , log6 2 3ú
30．（21-22 高三上·湖北·阶段练习）已知函数 p(x) = mx-4 +1(m > 0 且m 1) 经过定点A ，函数
f x = loga x(a > 0且 a 1)的图象经过点A ．
(1)求函数 y = f (2a - 2x ) 的定义域与值域；
(2)若函数 g x = f (2xl ) × f (x2 ) - 4在[1 , 4]上有两个零点，求l 的取值范围．
4
【答案】(1)定义域为 (- ,2) ，值域为 (- ,2) ；
(2)[1，+∞）
【分析】（1）根据对数函数的性质，求得定点 A(4,2)，代入函数 f x = loga x，求得 a = 2，进而求得
y = f (2a - 2x ) = log2 (4 - 2
x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；
（2）由（1）知，化简得到函数 g x = 2l(log2 x)2 + 2log2 x - 4，设 t = log2 x ，则 t [-2,2]，转化为
h x = 2lt 2 + 2t - 4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【解析】（1）解：令 x - 4 = 0，解得 x = 4，所以 p(4) = m0 +1 = 2，所以函数 p(x)过点 A(4,2)，
将点A 的坐标代入函数 f x = loga x，可得 loga 4 = 2，解得 a = 2，
x
又由函数 y = f (2a - 2 ) = log (4 - 2x2 )，
由 4 - 2x > 0，解得 x < 2，所以函数 y = f (2a - 2x ) 的定义域为 (- ,2) ，
又由0 < 4 - 2x < 4，所以函数 y = f (2a - 2x ) 的值域为 (- ,2) .
（2 l 2）解：由（1）知，函数 g x = f (2x ) × f (x ) - 4 = log2 (2xl ) × log x22 - 4
= 2l(log x)2 12 + 2log2 x - 4在[ , 4]上有两个零点，4
设 t = log2 x ，则 t [-2,2]，
因为 t 为关于 x
1
的单调递增函数，所以 g x 在[ , 4]有两个零点，
4
等价于函数 h x = 2lt 2 + 2t - 4在[-2,2]上有两个零点，
①当 l = 0 时，由 h x = 2t - 4 = 0，可得 t = 2，函数 h x 只有一个零点，所以 l = 0 不合题意；
ìΔ = 4 + 32l > 0


1
-2 < - < 2
②当l > 0时，由 í 2l ，解得l 1；
h -2 = 8l -8 0

h 2 = 8l 0
ìΔ = 4 + 32l > 0

1 -2 < - < 2
③当l < 0 时，由 í 2l ，此时不等式组的解集为空集，
h -2 = 8l -8 0

h 2 = 8l 0
综上可得，实数l 的取值范围是[1, + ) .
一、单选题
|x|
1．（2024· 1 黑龙江·二模）已知函数 y = a ÷ + b的图象经过原点，且无限接近直线 y = 2，但又不与该直线相
è 2
交，则 ab =（ ）
A． -1 B．-2 C．-4 D．-9
【答案】C
【分析】由题意可得 a + b = 0且b = 2 ，求出 a，即可求解.
【解析】因为函数 y = f (x) = a(
1) x b 1+ 图象过原点，所以 a( )0 + b = 02 2 ，
得 a + b = 0，又该函数图象无限接近直线 y = 2，且不与该直线相交，
所以b = 2 ，则 a = -2 ，
所以 ab = -4 .
故选：C
2．（2024·上海闵行·二模）已知 y = f (x) ， x R 为奇函数，当 x > 0时， f (x) = log2 x -1，则集合
{x | f (-x) - f (x) < 0}可表示为（ ）
A． (2,+ ) B． (- , -2)
C． (- ,-2) U (2,+ ) D． (-2,0) U (2,+ )
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性可得不等式 f (-x) - f (x) < 0等价于 f (x) > 0 ，再求出函数解析式，利用对数函数单
调性解不等式可得结果.
【解析】因为 y = f (x) 为奇函数，所以 f (-x) - f (x) < 0等价于-2 f (x) < 0，即 f (x) > 0 ；
当 x > 0时， f (x) = log2 x -1，即 f (x) = log2 x -1 > 0，解得 x > 2；
当 x < 0 时， -x > 0，可得 f (-x) = - f x = log2 -x -1，所以 f x =1- log2 -x ，
解不等式 f x =1- log2 -x > 0，可得-2 < x < 0，
综上可得集合{x | f (-x) - f (x) < 0}可表示为 (-2,0) U (2,+ ) .
故选：D
3．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积 S（单位：平方米）与时间 t（单位：
月）的关系式为 S = at+1（ a > 0，且a 1），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延 4 个月后，面积超过 30 平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为 50%；
④若浮萍蔓延到 3 平方米、4 平方米、12 平方米所经过的时间分别是 t1 ， t2 ， t3，则 t1 + t2 = t3．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由已知可得出 S = 2t+1 ，计算出萍蔓延 1 月至 2 月份增长的面积和 2 月至 3 月份增长的面积，可判
断①的正误；计算出浮萍蔓延 4 个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断
③的正误；利用指数运算可判断④的正误.
【解析】由已知可得 a1 = 2，则 S = 2t+1 .
对于①，浮萍蔓延 1 月至 2 月份增长的面积为 23 - 22 = 4（平方米），
浮萍蔓延 2 月至 3 月份增长的面积为 24 - 23 = 8（平方米），①错；
对于②，浮萍蔓延 4 个月后的面积为 25 = 32（平方米），②对；
2n+2 - 2n+1
对于③，浮萍蔓延第 n至 n +1个月的增长率为 =1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是
2n+1
100% ，③错；
对于④，若浮萍蔓延到 3 平方米、4 平方米、12 平方米所经过的时间分别是 t1 ， t2 ， t3，
则 2t1 +1 = 3， 2t2 +1 = 4， 2t3 +1 =12 = 3 4 = 2t1 +1 ×2t2 +1 = 2t1 +t2 +2 ，所以 t3 = t1 + t2 +1，④错.
故选：B.
1 2 1
4．（2024·天津红桥·二模）若 a = (2)3 ，b = log -1 5 ， c = 3 4 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）3 2
A． a > b > c B．b > c > a C．b > a > c D． a < b < c
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.
2 1 1 1 1 1b = log > log =1 a (2)3 [(2)4 ]12 (16)12 ( 3 )12 (1
1 1
【解析】 1 5 1 2 ， = = = > = )
4 = c ，而 a = (2)3 <1，
2 2 3 3 81 81 3 3
所以 a，b，c 的大小关系为b > a > c .
故选：C
5 2024· · f (x) = log x3 - ax2．（ 全国 模拟预测）已知函数 a + x - 2a (a > 0且 a 1)在区间 (1, + )上单调递减，则
a的取值范围是（ ）
2ù é2
A． 0, ú B． ê ,1÷ C． (1, 2] D．[2,+ )è 3 3
【答案】A
【分析】对数函数的单调性与底数有关，分 0 < a < 1和 a > 1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，
即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间 (1, + )上单调递减”
得到真数部分函数的单调性，从而求得 a的取值范围.
3 2 2
【解析】设函数 g x = x - ax + x - 2a，则 g x = 3x - 2ax +1．
①若 0 < a < 1，则 y = loga x 在定义域上单调递减．
又 f x = loga x3 - ax2 + x - 2a 在区间 1, + 上单调递减，所以 g x 在区间 1, + 上单调递增，故 g x 0
对任意的 x 1,+ 恒成立．
又 g 1 = 4 - 2a 0，所以对任意的 x 1, + , g x 0显然成立．
2
又因为 g x > 0对任意 x 1,+ 恒成立，所以 g 1 = 2 - 3a 0，故0 < a ．
3
②若 a > 1，则 y = loga x 在定义域上单调递增．
又 f x = loga x3 - ax2 + x - 2a 在区间 1, + 上单调递减，所以 g x 在区间 1, + 上单调递减，故 g x 0
对任意的 x 1,+ 恒成立．
因为抛物线 y = 3x2 - 2ax +1的开口向上，所以 g x 0不可能对任意的 x 1,+ 恒成立．
所以 a
2ù
的取值范围为 0,
è 3 ú
．
故选：A．
6．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
ex - e- x ex - e- x
A． f x = B． f x =4 x - 3 3- 4 x
x - x
C． f
x
x e + e=
4 x 3 D．
f x =
- x -1
【答案】A
【分析】利用 f x 在 1, + 上的值排除 B，利用奇偶性排除排除 C，利用 f x 在 1, + 上的单调性排除 D，
从而得解.
x - x
【解析】对于 B e - e，当 x >1时， f x = ，易知 ex - e- x > 0，3- 4x < 0，
3- 4x
则 f x < 0 ，不满足图象，故 B 错误；
x - x
对于 C， f x e + e= 3，定义域为 - , -

÷ U
3 3- , ÷ U
3 , +
4 x - 3 4 ÷
，
è è 4 4 è 4
f ( x) e
- x + ex ex + e- x
又 - = = = f (x) ，则 f x 4 x 3 4 x 3 的图象关于
y 轴对称，故 C 错误；
- - -
x x 1
对于 D，当 x >1时， f x = = =1+x -1 x -1 x -1，
由反比例函数的性质可知， f x 在 1, + 上单调递减，故 D 错误；
ex - e- x
检验选项 A， f x = 4 x 3 满足图中性质，故 A 正确.-
故选：A.
ì 1
x+1 , x < 0
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = 2 2í ，则不等式 f a -1 > f 3 1 的解集为（ ） , x 0
x + 2
A． -2,2 B． 0, +
C． - ,0 D． - ,-2 2, +
【答案】A
【分析】判断函数 f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.
ì 1
x+1 , x < 0
【解析】 f x = 2í ，易知 y 1= x+1 在 - ,0 1 单调递减， , x 0 2
x + 2
y 1= 在 0, + 单调递减，且 f x 在 x = 0处连续，故 f x 在 R 上单调递减，
x + 2
由 f a2 -1 > f 3 ，则 a2 -1< 3，解得-2 < a < 2 ,
故不等式 f a2 -1 > f 3 的解集为 -2,2 .
故选：A
8．（2024·甘肃兰州·一模）已知 y = f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意 x 均有 f x +1 + f x -1 = 0 ，
x
当0 < x 1时， f x = 2 -1，若 f [ln(ea)] > f (ln a)（ e是自然对数的底），则实数 a的取值范围是（ ）
3 1
A． e-1+2k < a < e1+2k (k Z) B． - +k +2ke 2 < a < e2 (k Z)
C． e-1+4k < a < e1+4k
3 4k 1(k Z) D． - + +4ke 2 < a < e2 (k Z)
【答案】D
【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在 -2,2 上的函数图象，结合图象可知在 -2,2 内要满
足 f [ln(ea)] > f (ln a)
3
，只需- < ln a
1
< ，即可求出 a的范围，再结合周期性即可得解.
2 2
【解析】因为 y = f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f 0 = 0且图象关于原点对称，
又 f x +1 + f x -1 = 0 ，所以 f x +1 = - f x -1 = f 1- x ，
所以 f x + 4 = f é 1- x + 3 ù = - f 2 + x = - f é1- x +1 ù = - f -x = f x ，
f -1+ x = f 3+ x = f é1- 2 + x ù = f -1- x ，
f 2 + x = f -2 + x = - f 2 - x ，
所以函数的周期为 4且函数图象关于 x =1+ 2k k Z 和 2k,0 k Z 对称，
又当0 < x 1时， f x = 2x -1，
所以 f x 在区间 -2,2 上的图象如下所示：
由图可知，在 -2,2 内要满足 f [ln(ea)] = f (1+ ln a) > f (ln a) ，
3 ln a 1 3 1则- < < ，即 -e 2 < a < e2 ，2 2
3 1
再根据函数的周期性可知 - +4k +4ke 2 < a < e2 (k Z) .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为 4且函数图象关于 x =1+ 2k k Z 和
2k,0 k Z 对称，再结合函数在 -2,2 上的图象.
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A．2-0.01 >2-0.001 B． log 2 3 > log 2 π - 1
C log 5 < log 5 D log 3.01 > e-0.01． 1.8 1.7 ． 3
【答案】BCD
【分析】利用指数函数的性质判断 A；由对数函数的性质判断 B，C；由对数函数的性质可得 log3 3.01 >1，
由指数函数的性质可得 e-0.01 <1，即可判断．
【解析】解：对于A ，因为 - 0 .0 1 < - 0 .0 0 1 ，所以2-0.01 <2-0.001，所以A 错误；
对于B，因为 log2 3 > log
π
2 = log2 π -1，所以B正确；2
对于C ，因为 log1.8 5 > 0, log1.7 5 > 0 ，所以 log 5
ln 5 ln 5
1.8 = < = log 5，所以 C 正确；ln1.8 ln1.7 1.7
对于 D，因为 log3 3.01 > log3 3 =1,e
-0.01 < e0 =1，所以 log3 3.01 > e
-0.01
，所以 D 正确.
故选：BCD．
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数 a，b 满足 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4，则下列关系式中可能正确的是
（ ）
A．$a,b (0,+ ) ，使 | a - b |> 1 B．$a,b (0,+ ) ，使ab =1
C．"a,b (1, + )，有b < a < b2 D．"a,b (0,1)，有b < a < b
【答案】ABC
log b 1 log a 1【分析】由原方程可得 3 - = -log b 3 log a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值3 4
ln 3 ln12
域判断 A；令ab =1 2，代入原方程转化为判断 (ln b) = 是否有解即可判断 B；条件变形放缩后构造
2
函数，利用函数的单调性得出 a,b大小，判断 CD.
【解析】由 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4
得 log b
1
3 - = log
1
log b 3
a -
3 log
，
4 a
令 f (x) = log x
1
3 - ，则 f (x)log x 分别在( 0, 1)和
(1, + )上单调递增，
3
令 g(x) = log3 x
1
-
log x ，则
g(x)分别在( 0, 1)和 (1, + )上单调递增，
4
当 x (0,1) 时， f x 的值域为R ，当 x (2,+ ) 时， g(x)的值域为 log3 2 - 2,+ ，
所以存在b (0,1),a (2,+ )，使得 f (b) = g(a) ；
同理可得，存在b (2,+ ),a (0,1)，使得 f (b) = g(a) ，
因此$a,b (0,+ ) ，使 | a - b |> 1，故选项 A 正确．
令ab =1，则方程 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4
可化为 logb 3+ logb 4 = 2log3 b，
(ln b)2 ln 3 ln12由换底公式可得 = > 0，
2
显然关于 b 的方程在 (0, + )上有解，所以$a,b (0,+ ) ，使ab =1，故选项 B 正确．
1 1 1
当a,b (1,+ )时，因为 log3 b - = log3 a - < log3 a -log b log a log a ，所以
f (b) < f (a)．
3 4 3
又 f x 在 (1, + )上单调递增，所以b < a ．
log b 1 log 1 1因为 3 - =log b 3
a - > log4 a - ，
3 log4 a log4 a
令 h(x) = x
1
- ，则 h(x) 在 (0, + )上单调递增．
x
因为 h log3 b > h log4 a ，所以 log3 b > log4 a ，
从而 log3 b > log4 a = log2 a > log3 a ，所以b > a ．
综上所述，b < a < b2，故选项 C 正确．
log b 1当 a,b (0,1) 时，因为 3 - = log a
1 1
3 - > log a - f (b) > f (a)log3 b log4 a
3 log a ，所以 ．3
又 f x 在( 0, 1)上单调递增，所以b > a．
1 1 1
因为 log3 b - = log3 a - < log4 a -log3 b log4 a log
．
4 a
令 h(x) = x
1
- ，则 h(x) 在 (0, + )上单调递增，
x
因为 h log3 b < h log4 a ，所以 log3 b < log4 a，
从而 log3 b < log4 a = log2 a < log3 a ，所以b < a ．
综上所述，b2 < a < b，故选项 D 错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.
11．（2024·重庆·三模）已知函数 f x = log6 2x + 3x ， g x = log 6x - 2x3 .下列选项正确的是（ ）
f 1 1A． ÷ < g

2 ÷è è 2
B．$x0 0,1 ，使得 f x0 = g x0 = x0
C．对任意 x 1, + ，都有 f x < g x
D．对任意 x 0, + ，都有 x - f x g x - x
【答案】BCD
x x x
【分析】根据 2 + 3 > 6 ， 3 > 6 - 2 即可判断 A；根据 2x0 + 3x0 = 6x0 ，令 h x = 6 - 2 - 3 ，结合零
x x é x
f x - x 1 1= log + 2
ù
点的存在性定理即可判断 B；由 6 ÷ ÷ ÷、 g x - x = log
x
3 3 ê
2 - ÷ ú ，结合复合函数的
èè è 2 ÷ ê è 3 ú
单调性可得 f x - x 和 g x - x 的单调性，即可判断 C；由选项 BC 的分析可得6 f x - 6x = 3x - 3g x ，分类讨
论当 x 0, x0 、 x x0 ,+ 时 x - f x 与 g x - x 的大小，进而判断 D.
2 2
【解析】A：因为 2 + 3 = 5 + 2 6 > 6 ，所以 2 + 3 > 6 ， 3 > 6 - 2 .
f 1 因为 ÷ = log6 2 + 3 > log 6 1= g 1 6 ， ÷ = log3 6 - 2 < log 3 1= ，
è 2 2 è 2 3 2
f 1 > g 1 所以 2 ÷ ÷
，故 A 错误；
è è 2
B：若 f x = g x = x x x，则 f x = log 2 0 + 3 00 0 0 0 6 = x0 = log 6x0 ，即 2x06 + 3x0 = 6x0 ，
g x = log 6x0 - 2x0 = x = log 3x0 ，可得6x0 - 2x0 = 3x00 3 0 3 ，
令 h x = 6x - 2x - 3x ，因为 h 0 = -1， h 1 =1，
所以$x0 0,1 ，使得 h x0 = 0，即 2x0 + 3x0 = 6x0 ，故 B 正确；
x x x x
C：因为 f x - x = log 2x 3x log 6x log 2 + 36 + - 6 = 6 x ÷ = log 1 16 +

÷ ，
è 6 èè 3
÷
è 2 ÷ ÷
x x
y = 1 1 且 ÷ + ÷ 在 1, + 上单调递减，所以 f x - x 也单调递减，
è 3 è 2
可得 f x - x < log 1 1+ 6 ÷ < 0 ，
è 2 3
x x é x ù
因为 g x - x = log 6x 6 - 2 23 - 2x - log33x = log x 3 x ÷ = log3 ê2 - ÷ ú .
è 3 ê è 3 ú
x
2
又 y = 2x - ÷ 在 1, + 上单调递增，所以 g x - x 也单调递增，
è 3
得 g x - x > log 3 2
2
- ÷ > 0，即 f x - x < g x - x，
è 3
因此，对于任意的 x 1,+ ，都有 f x < g x ，故 C 正确；
D：由 B 可知：$x0 0,1 ，使得 h x0 = 0，
结合 C 的结论，可知当 x 0, x0 ， f x > x， g x < x，即 g x < x < f x ，
当 x x0 ,+ 时， f x < x， g x > x，即 f x < x < g x ，
因为6 f x = 2x + 3x ，3g x = 6x - 2x ，得 2x = 6 f x - 3x = 6x - 3g x ，即6 f x - 6x = 3x - 3g x ，
x 0, x 6x 6 f x -x -1 = 3g x 3x-g x 当 0 时，有 -1 ，
因为6x > 3g x ，所以6 f x -x -1 < 3x-g x -1，所以0 < f x - x < x - g x ，
因此可得 g x - x x - f x < 0，即 x - f x g x - x ，
x x ,+ 6 f x 6x- f x 当 0 ，有 -1 = 3x 3g x -x -1 ，
因为6 f x > 3x ，所以6x- f x -1 < 3g x -x -1，可得0 < x - f x < g x - x，即 x - f x g x - x ，
因此，对于任意的 x 0, + ，都有 x - f x g x - x ，故 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如 f x g x 的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令 F x = f x - g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数 F x 的单调性与最小值，
只需F x 0min 恒成立即可；
2、参数分离法：转化为 a j x 或 a j x 恒成立，即 a j x max 或 a j x min 恒成立，只需利用导数求
得函数j x 的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数 y = f x 的图象在 y = g x 的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
三、填空题
12．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数 f x = m2 - 6m + 9 xm 满足 f 1 = 2，则 f 2 = ．
【答案】4
【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.
【解析】由幂函数的定义可得m2 - 6m + 9 = 1，解得m = 2 或m = 4 ，
当m = 2 时， f x = x2 ， f x = 2x， f 1 = 2符合题意；
当m = 4 时， f x = x4 ， f x = 4x3 ， f 1 = 4，不符合题意．
2
故 f x = x ， f 2 = 4．
故答案为：4.
x
13 2024· · f x = , g x = ex-1 - e- x+1．（ 全国 模拟预测）已知函数 +1，则 f x 与 g x 的图象交点的纵坐
x -1
标之和为 ．
【答案】2
【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.
x 1
【解析】对于 f x = = +1，可以把 f x 的图象看作：
x -1 x -1
f x 1由 1 = 的图象向上平移 1 个单位长度得到，x -1
而 f1 x 的图象可看作由 f2 x
1
= 的图象向右平移 1 个单位长度得到；
x
g x = ex-1 - e- x+1对于 +1 = ex-1 1-
ex-1
+1的图象可看作由
g1 x = ex-1
1
- x-1 的图象向上平移 1 个单位长度得到，e
而 g1 x 的图象可看作由 g2 x
1
= ex - x 的图象向右平移 1 个单位长度得到．e
易知 f2 x
1 g x ex 1= 与 2 = -x ex 都为奇函数，
则易知 f2 x 与 g2 x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为 0．
因为将函数图象向右平移不改变 f1 x 与 g1 x 两函数图象交点处函数值的大小，
所以 f1 x 与 g1 x 的图象交点的纵坐标之和为 0，
又将函数图象向上平移 1 个单位长度会使得原交点处的函数值都增加 1，
则 f x 与 g x 的图象的两个交点的纵坐标与 f1 x 与 g1 x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加 1，
故 f x 与 g x 的图象交点的纵坐标之和为 2．
故答案为：2
14．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 - ,0 U 0, + 上的函数 f x ，对于定义域内任意的 x，y，都有
f xy = f x + f y ，且 f x 在 0, + x +1上单调递减，则不等式 f x < log2 的解集为 .2
【答案】 x x < -1或 x >1
【分析】由 f xy = f x + f y ，利用赋值法，得到函数 f x 的奇偶性，构造函数
F x x +1= f x - log2 ，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 = 0，将不等式 f x
x +1
< log2 转化为2 2
F x < F 1 求解.
【解析】由 f xy = f x + f y ，令 x = y =1，得 f 1 = f 1 + f 1 ，所以 f 1 = 0 .
令 x = y = -1，得 f -1 = 0 .令 y = -1，得 f -x = f x + f -1 = f x ，所以函数 f x 为偶函数.
x +1
构造函数F x = f x - log2 ，因为F -x = F x ，所以F x 为偶函数，且在 0, + 上为减函数.2
因为F 1 = f 1 log 1+1- 2 = 0，2
x +1 x +1所以不等式 f x < log2 等价于F x = f x - log < 0 = F 1 ，2 2 2
所以F x < F 1 ，即 x >1，所以 x < -1或 x >1，
故不等式 f x +1x < log2 的解集为 x | x < -1或 x >1 .2
故答案为： x | x < -1或 x >1 .专题 08 幂、指数、对数函数
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如 y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量，α 为常数．常见的五类幂函数为 y
1
＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1.
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当 α>0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当 α<0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
二、指数运算与指数函数
Ⅰ.根式
1.如果 xn＝a，那么x 叫做 a 的 n 次方根；
2.式子n a叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数；
3.(n a)n＝a ．当 n 为奇数时，n an a
，a ≥ 0，
＝a ；当 n 为偶数时，n an＝|a|＝{－a，a < 0.
Ⅱ.分数指数幂的意义
1.分数指数幂
m
①正分数指数幂：an＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
m
1 1
②负分数指数幂：a－n＝ ＝ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)．m n am an
③0 的分数指数幂：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义．
2.实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
Ⅲ．指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的概念
函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 R，a 是底数．
温馨提示：形如 y＝kax，y＝ax＋k k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1 的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
定义域为R ，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
性质
当 x>0 时，恒有 y>1；当 x<0 时，恒有 00 时，恒有 01
在定义域 R 上为增函数 在定义域 R 上为减函数
注意 指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象和性质与 a 的取值有关，应分 a>1 与 0温馨提示：
1. 指数幂运算原则
（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
2. 指数函数图象的画法
1
画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1， ).a
3．指数函数的图象与底数大小的比较
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象越高，底数越
大．
2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线 x＝1 与图象的交点进行判断．　
3.比较指数式的大小的方法是
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
三、对数运算与对数函数
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作 x loga N ，读
作以 a为底 N 的对数，其中 a叫做对数的底数， N 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 a(a 0且 a 1) 为底，记为 logN ，读作以 aa 为底 N 的对数；
②常用对数：以10为底，记为 lg N ；
③自然对数：以 e为底，记为 ln N ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① log1 a logNaa 0； loga 1；其中 a 0且 a 1； ② a N (其中 a 0且 a 1， N 0 )；
log b log b③对数换底公式： a c ； ④ loga (MN ) loga M + log Nlog a a ； c
⑤ log
M
a loga M - log
n
a N ； ⑥ log m b
n loga b(m， n R)a ； N m
1
⑦ aloga b b和 log b log b a a b ； ⑧ a log a ；b
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 y loga x (a 0且 a 1) 叫做对数函数．
对数函数的图象
a 1 0 < a <1
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
O (1,0) x O xlogax
定义域： (0，+ )
值域： R
过定点 (1，0) ，即 x 1时， y 0
性质
在 (0，+ ) 上增函数 在 (0，+ ) 上是减函数
当 0 < x <1时， y < 0，当 x 1时， 当 0 < x <1时， y 0，当 x 1时， y 0
y 0
温馨提示：
在同一坐标系内，当 a 1时，随 a的增大，对数函数的图象愈靠近 x 轴；当 0 < a <1时，对数函数的图象随
a的增大而远离 x 轴．(见下图)
y
logax1
a增大
1 loga
x
2
x
O 1
logax3 a增大
log xa4
幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的
学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运
算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
一、幂函数的图象与性质
例 1　(1)如图，已知幂函数 y xa , y xb , y xc 在 0, + 上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则
（ ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c答案 B
解析 由题意结合图象可知 a < 0 < c <1< b .
故选：B.
(2) 2已知幂函数 f x m - 5m + 5 xm-2 是R 上的偶函数，且函数 g x f x - 2a - 6 x在区间 1,3 上单调
递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - , 4 B． - , 4
C． 6, + D． - , 4 U 6, +
答案 B
解析 因为幂函数 f x m2 - 5m + 5 xm-2 是R 上的偶函数，
则m 2 - 5m + 5 1，解得m 1或m 4 ，
当m 1时， f x x-1，该函数是定义域为 x x 0 的奇函数，不合乎题意；
m 4 f x x2当 时， ，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.
所以， f x x2 ，则 g x x2 - 2a - 6 x ，其对称轴方程为 x a - 3，
因为 g x 在区间 1,3 上单调递增，则 a - 3 1，解得 a 4 .
故选：B．
拓展
1
1 2
- a
．若幂函数 f(x)＝ a - 5a - 5 x 2 在(0，＋∞)上单调递增，则 a 等于(　　)
A．1 B．6 C．2 D．－1
答案　D
1
2 - a
解析　因为函数 f(x)＝ a - 5a - 5 x 2 是幂函数，
所以 a2－5a－5＝1，解得 a＝－1 或 a＝6.
当 a＝－1 时，
1
f(x)＝ x 2 在(0，＋∞)上单调递增；
当 a＝6 时，
f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，
所以 a＝－1.
方法归纳：　(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，y＝
1，y＝x 所分区域．根据 α<0,0<α<1，α＝1，α>1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
二、指数幂的运算
例 2　求下列各式的值：
1
- 1
(1) 0.027 3 1- (- )-2 7+ (2 )2 - ( 2 - 5)0 ；
7 9
1 4
- - 1
(2) 0.064 3 - ( 7- )0 + [(-2) 3 ]3 +16-0.75 + | -0.01|2 ；
2
(3) ( 2 4)0 3-2 (2 1
1 1
-
- + ) 2 - 0.0013 ；
5 4
(4)3 2 3 1.5 6 18.
答案 (1) -45；
143
(2) ；
80
263
(3) ；
270
(4)33 18 .
27 1- 1 25 1
解析（1）原式 ( ) 3 - (-1)-2 ( )-2 + ( )2 -1
1000 7 9
10
- 49 5+ -1 -45；
3 3
2 ( 64
1
-
) 3 1 ( 2)-4 2-3 1 10 1 1 1 1 143（ ）原式 - + - + + - + + + ；
1000 10 4 16 8 10 80
1 1 2 1 263
（3 1 4 1）原式 1+ ( )2 - ( )3 1+ - ；
9 9 1000 27 10 270
1 1 1
（4）原式 3 22 (3 )3 (2 32 )6
2
1 1 1 1 1
3 22 (1)3 33 26 33
2
1 1 1 1 1
+ - 1+ +
22 6 3 3 3 3
1 5 1
23 33 4863
33 18 .
方法归纳：　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
三、指数函数的图象及应用
例 3　(1)(多选)已知实数 a，b 满足等式 2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　)
A．a＝b＝0 B．aC．0答案　ABD
解析　如图，观察易知，a(2)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是________．
答案　(0,2)
解析　在同一平面直角坐标系中画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图象，如图所示．
∴当 0∴b 的取值范围是(0,2)．
方法归纳：　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸
缩、对称变换得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
四、　指数函数的性质及应用
1、比较指数式的大小
例 4　(1)(2022·永州模拟)若 a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则 a，b，c 的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
答案　B
解析　∵函数 y＝0.3x在 R 上是减函数，
∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，
又∵幂函数 y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
0．3<0.7，
∴0<0.30.3<0.70.3，
∴0而函数 y＝1.2x是 R 上的增函数，
∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.
(2)(2020·全国Ⅱ)若 2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
答案　A
解析　设函数 f(x)＝2x－3－x.
因为函数 y＝2x与 y＝－3－x在 R 上均单调递增，所以 f(x)在 R 上单调递增．
原式等价于 2x－3－x<2y－3－y，
即 f(x)0，所以 A 正确，B 不正确．
因为|x－y|与 1 的大小关系不能确定，所以 C，D 不正确．
2、　解简单的指数方程或不等式
例 6　(1)(2022·长岭模拟)已知 y＝4x－3·2x＋3 的值域为[1,7]，则 x 的取值范围是(　　)
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
答案　D
解析　∵y＝4x－3·2x＋3 的值域为[1,7]，
∴1≤4x－3·2x＋3≤7.
∴－1≤2x≤1 或 2≤2x≤4.
∴x≤0 或 1≤x≤2.
1 1
(2)当 00 且 a≠1)有解，则实数 a 的取值范围是______．
2 x
答案　(4，＋∞)
1 1 1
解析　依题意，当 x∈(0， )时，y＝ax与 y＝ 有交点，作出 y＝ 的图象，如图，2 x x
ìa 1,
所以 í 1 解得 a>4.
a 2 2,
3、指数函数性质的综合应用
例 6　已知函数 f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则 m 的取值范围是________．
答案　(－∞，4]
m
解析　令 t＝|2x－m|，则 t＝|2x－m|在区间[ ，＋∞2 )上单调递增，在区间( m－∞， ]上单调递减．而 y＝2t是增2
m
函数，所以要使函数 f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有 ≤2，
2
即 m≤4，所以 m 的取值范围是(－∞，4]．
[拓展
1．(多选)下列各式比较大小正确的是(　　)
2
1 3 4-
A．1.72.5>1.73 B. 2 ÷
2 3
è
3 2
C 1.70.3>0.93.1 D.
2 4 3 3
． <3 ÷ ÷è è 4
答案　BCD
解析　∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故 A 不正确；
4
4
- 1 3 12 3 ＝ ÷ ，y＝( )x为减函数，è 2 2
2 4
1 3 1∴
3 4-
÷ ÷ ＝ 2 3 ，故 B 正确；
è 2 è 2
∵1.70.3>1，而 0.93.1∈(0,1)，
∴1.70.3>0.93.1，故 C 正确；
3 2
2
∵y ( )x ∴ 2 4 2 3＝ 为减函数， ÷ < 3 3 3 ÷ ，è è
2
又 y x 3＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
2 2
2 3 3 3
∴ ÷ <3 4 ÷ ，è è
3 2 2
2 4 2 3 3 3∴ 3 ÷
< 3 ÷
< ÷ ，故 D 正确．
è è è 4
方法归纳：　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可
以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，
都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
五、对数式的运算
例 7 求值
(1) log6432 × log
1
2 × log
1
× log 1
25 3 8 5 9
(2) lg14 - 2lg
7
+ lg 7 - lg18
3
3
(3) log2 (log2 32 + log 1 + log 36)
2 4
4
(4) log2125 + log4 25 + log85 log1258 + log25 4 + log5 2
答案 (1) -10；
(2)0；
(3)3；
(4)13
5 -2 -3 -2 5 ( 2) log 5 ( 3) log 2 ( 2) log 3 10 lg5 lg 2 lg3解析（1）原式= log 6 2 log25 log3 2 log53 - 2 - 3 -2 6 5
- -10
lg 2 lg3 lg5 ;
（2）原式= lg(2 7) - 2(lg 7 - lg3) + lg 7 - lg(32 2)
= lg 2 + lg 7 - 2lg 7 + 2lg3+ lg 7 - 2lg3 - lg 2 0 ;
log (5 log 3（3）原式= 2 +
2
-1 + log 2 6 ) log2 (5 - log
3
2 + log 6) log (5 + log 8) log 8 32 4 2
;
4 2 2 2 2

（4）原式 3log25 + log25
1
+ log25

÷ 3log 2
13
5 ×3log5 2log25 13 .
è 3 3
方法归纳：　解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
六、对数函数的图象及应用
例 8　(1)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则 a，b 满足的关系是(　　)
A．0C．0答案　A
解析　由函数图象可知，f(x)为增函数，故 a>1.函数图象与 y 轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－
1 1
1( 1(2)若方程 4x＝logax 在 0， ]上有解，则实数 a 的取值范围为 ．2
2
答案　(0， 2 ]
解析　
1 1
若方程 4x＝logax 在(0， ]上有解，则函数 y＝4x和函数 y＝logax 在(0， ]上有交点，2 2
{0 < a < 1
，
1 2由图象知 解得 0loga ≤ 2，2 2
[拓展
已知 x1，x2分别是函数 f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，则 ex1 ＋ln x2的值为(　　)
A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2
C．2 D．4
答案　C
解析　根据题意，已知 x1，x x2分别是函数 f(x)＝e ＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2 的零点，
函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点为函数 y＝ex的图象与 y＝2－x 的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x1， ex1 )，
函数 g(x)＝ln x＋x－2 的零点为函数 y＝ln x 的图象与 y＝2－x 的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，
又由函数 y＝ex与函数 y＝ln x 互为反函数，其图象关于直线 y＝x 对称，
而直线 y＝2－x 也关于直线 y＝x 对称，则点(x x1， e 1 )和(x2，ln x2)也关于直线 y＝x 对称，则有 x1＝ln x2，则
有 ex1 ＋ln x2＝ ex1 ＋x1＝2.
方法归纳：　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低
点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
七、对数函数的性质及应用
1、比较指数式、对数式大小
1
例 9　(1)设 a＝log e，b＝e1.53 ，c＝ log1 ，则(　　)
3 4
A．bC．c答案　D
log 1解析　c＝ 1 ＝log34>log3e＝a.
3 4
又 c＝log342，
∴a(2)(2022·昆明一中月考)设 a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)
A．bC．a答案　C
解析　因为 a，b，c 都是正数，
1
所以 ＝log36＝1＋log32，a
1
＝log612＝1＋log62，b
1
＝log1224＝1＋log122，c
lg 2
因为 log32＝ ，lg 3
lg 2
log62＝ ，lg 6
lg 2
log122＝ ，且 lg 3所以 log32>log62>log122，
1 1 1
即 > > ，
a b c
所以 a2、解对数方程不等式
例 10　若 loga(a＋1)0，a≠1)，则实数 a 的取值范围是 ．
1
答案　( ，14 )
解析　依题意 loga(a＋1){a > 1， {0 < a < 1，∴ a＋1 < 2 a < 1 或 a＋1 > 2 a > 1，
1
解得 4
3、对数函数性质的应用
例 11　已知函数 f x log2 ax2 + 2x - 5a 在 2, + 上是增函数，则 a的取值范围是 .
答案 0,4
解析 当 a 0时， f x log2 2x 在 2, + 上是增函数；
当 a 0时，由函数 y log2 t 在定义域内单调递增，
则函数 t ax2 + 2x - 5a 在 2, + 上单调递增且大于 0 恒成立，
ìa 0,
2
有 í- 2, 解得0 < a 4 .
2a
4a + 4 - 5a 0,
综上， a的取值范围是 0,4 .
故答案为： 0,4
方法归纳：　求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；
二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成．专题 08 幂、指数、对数函数（七大题型+模拟精练）
目录：
01 幂函数的相关概念及图像
02 幂函数的性质及应用
03 指数、对数式的运算
04 指数、对数函数的图像对比分析
05 比较函数值或参数值的大小
06 指数、对数（函数）的实际应用
07 指数、对数函数的图像与性质综合及应用
01 幂函数的相关概念及图像
1．（2024 高三·全国·专题练习）若幂函数 y = f x 的图象经过点 2, 2 ，则 f 16 ＝（　　）
A 1． 2 B．2 C．4 D． 2
2．（2024 高三·全国·专题练习）结合图中的五个函数图象回答问题：
(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
(2)写出每个函数的定义域、值域；
(3)写出每个函数的单调区间；
(4)从图中你发现了什么？
m
3．（2022 高一上·全国·专题练习）如图所示是函数 y = x n （m、 n N
* 且互质）的图象，则（ ）
m 1 mA．m，n 是奇数且 < B．m 是偶数，n 是奇数，且 <1
n n
m m
C．m 是偶数，n 是奇数，且 >1 D．m，n 是偶数，且 >1
n n
02 幂函数的性质及应用
4．（2023 2 m高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数 f x = m + 2m - 2 x 在 0, + 上单调递减，则实数m
的值为（ ）
A．-3 B． -1 C．3 D．1
5．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数 f x = m2 - 5m + 5 xm-2 是R 上的偶函数，且函数
g x = f x - 2a - 6 x在区间 1,3 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - , 4 B． - , 4
C． 6, + D． - , 4 U 6, +
a 1 1 ì-1,2, ,3, ü6．（23-24 高三上·上海静安·阶段练习）已知 í ，若 f x = xa 为奇函数，且在 0, + 上单调
2 3
递增，则实数 a 的取值个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1
7．（22-23 高三下·上海· 2 2阶段练习）已知函数 f x = x3 ，则关于 t 的表达式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集
为 .
2
8．（23-24 2 m +m-3高三上·河北邢台·期中）已知函数 f x = m - m -1 x 是幂函数，且在 0, + 上单调递减，
若 a,b R ，且 a < 0 < b, a < b ，则 f a + f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
9 2023· · f x = xa．（ 江 苏 南 京 二 模 ） 幂 函 数 a R 满 足 ： 任 意 x R 有 f -x = f x ， 且
f -1 < f 2 < 2，请写出符合上述条件的一个函数 f x = ．
x
10．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = x2 g(x) 1= ， 2 ÷
- m
è
（1）当 x [-1,3]时，求 f (x) 的值域；
（2）若对"x 0,2 ， g(x)…1成立，求实数m 的取值范围；
（3）若对"x1 0,2 ，$x2 [-1,3]，使得 g(x1) f (x2 ) 成立，求实数m 的取值范围．
03 指数、对数式的运算
1 -1 3 1 - 2 4ab
11．（23-24 高三上·山东泰安·阶段练习）（1）计算
è 4 ÷ 1
的值；．
0.1 -1 × a3 ×b-3 2
log 7 log 3 2 log2 + - 9
49
（ ） 3 7 - log 3
2
log 3 7 ； 7
（3） log
1
3 9 + lg 25 + lg 2 - log4 9 log
log2 3-1
3 8 + 2 + ln e2
lg 1 lg 512．（23-24 高一上·湖北恩施·期末）（1）计算： - + lg12.5 - log8 9 × log27 8 .2 8
1 1 a + a-1
（2）已知 - + 2a 2 + a 2 = 3，求 a2
的值.
+ a-2 - 2
04 指数、对数函数的图像对比分析
13．（2024·四川·模拟预测）已知函数 y = xa， y = bx ， y = log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则
（ ）
a
A． log 1 c < b < sin b B． log 1 c < sin b < b
a
2 2
C． sin b < b
a < log 1 c D． sin b < log 1 c < b
a
2 2
1 1
14．（2024 高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ x ，y＝loga（x＋ ）（a＞0，且 a≠1）a 2
的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
x
A f x = ex - e- x f x 1 2． B． = - x C． f x = x x D． f x =e +1 ln x2 + 2
16．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x 的图象如图所示，则下列关系
成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
2
17．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数 f (x) x= x - x 的图象大致为（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
05 比较函数值或参数值的大小
18 1
a
1
b

．（2024·全国·模拟预测）已知 a = , = log b,ac ÷ ÷ a = log 1c，则实数 a,b,c的大小关系为（ ）
è 2 è 2 2
A． a < b < c B． a < c < b
C． c < b < a D． c19．（2023·江西赣州·二模）若 log3x = log4 y = log5z < -1，则（ ）
A．3x < 4y < 5z B．4 y < 3x < 5z C．4 y < 5z < 3x D．5z < 4 y < 3x
20．（2024 高三下·全国·专题练习）已知函数 f x = ex ， g x = ln x，正实数 a，b，c 满足 f a = g a ，
f b g b = g a g c + f g ac， = 0，则（ ）
A．b < a < c B． c21．（2023·浙江绍兴·二模）已知 f x 是定义域为R 的偶函数，且在 (- ,0)上单调递减， a = f ln 2.04 ，
b = f -1.04 c = f e0.04， ，则（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < b < a D． c06 指数、对数（函数）的实际应用
22．（2024·安徽合肥·二模）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做
半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1,T2 ．开始记录时，
1
这两种物质的质量相等，512 天后测量发现乙的质量为甲的质量的 ，则T1,T2 满足的关系式为（ ）4
A．-2
512 512 2 512 512+ = B． + =T1 T2 T1 T2
512 512 512 512
C．-2 + log2 = log2 D．2 + log2 = logT 21 T2 T1 T2
23．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关
规定：100mL血液中酒精含量达到 20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设
某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg / mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒
精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：
lg3 0.48, lg7 0.85）
A．1 B．2 C．3 D．4
07 指数、对数函数的图像与性质综合及应用
2
24．（2024·山东聊城·二模）已知函数 f x 为R 上的偶函数，且当 x > 0时， f x = log4x -1，则 f -23 ÷ =
è
（ ）
2 1
- 1A．- B． C D
2
． ．
3 3 3 3
25．（2023·江西南昌·三模）设函数 f x = a x 0 < a <1 ， g x = logb x b >1 ，若存在实数m 满足：①
f (m) + g(m) = 0 ；② f (n) - g(n) = 0，③ | m - n | 1
1
，则 m - n 的取值范围是（ ）
2
1
A (- ,
1
- ) B ( 1 3- 5
3 1
, ) C 3+ 5 1． ． - - ． (- , - ) D．
2 4 (- , - )2 4 4 2 4 2
26．（2022 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = loga ax + 9 - 3a (a > 0且 a 1)．
(1)若 f x 在 1,3 上单调递增，求实数 a的取值范围；
(2)若 f 3 > 0且存在 x0 3,+ ，使得 f x0 > 2loga x0 成立，求 a的最小整数值．
ìx2 x, 2 x 1 + - 4
27．（23-24 高二下·湖南·阶段练习）已知函数 f x = í f (x)
log x, 1
，若 的值域是[-2,2]，则 c的值
1 < x c
2 4
为（ ）
A． 2 B． 2 2 C． 4 D．8
28．（22-23 高一上· 2辽宁本溪·期末）若不等式 x -1 < loga x （ a > 0，且a 1）在 x 1,2 内恒成立，则实
数 a 的取值范围为（ ）
A． 1,2 B． 1,2
C． 1, 2ù D． 2, 2
29．（2022 x高二下·浙江·学业考试）已知函数 f x = 3 × 2 + 2，对于任意的 x2 0,1 ，都存在 x1 0,1 ，使得
f x1 + 2 f x2 + m =13成立，则实数 m 的取值范围为 ．
30．（21-22 高三上·湖北·阶段练习）已知函数 p(x) = mx-4 +1(m > 0 且m 1) 经过定点A ，函数
f x = loga x(a > 0且 a 1)的图象经过点A ．
(1)求函数 y = f (2a - 2x ) 的定义域与值域；
(2) g x = f (2xl ) × f (x2若函数 ) - 4在[1 , 4]上有两个零点，求l 的取值范围．
4
一、单选题
1 |x|1．（2024·黑龙江· 二模）已知函数 y = a ÷ + b的图象经过原点，且无限接近直线 y = 2，但又不与该直线
è 2
相交，则 ab =（ ）
A． -1 B．-2 C．-4 D．-9
2．（2024·上海闵行·二模）已知 y = f (x) ， x R 为奇函数，当 x > 0时， f (x) = log2 x -1，则集合
{x | f (-x) - f (x) < 0}可表示为（ ）
A． (2,+ ) B． (- , -2)
C． (- ,-2) U (2,+ ) D． (-2,0) U (2,+ )
3．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积 S（单位：平方米）与时间 t（单位：
月）的关系式为 S = at+1（ a > 0，且a 1），图象如图所示．则下列结论正确的个数为（ ）
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延 4 个月后，面积超过 30 平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为 50%；
④若浮萍蔓延到 3 平方米、4 平方米、12 平方米所经过的时间分别是 t1 ， t2 ， t3，则 t1 + t2 = t3．
A．0 B．1 C．2 D．3
1 2 1
4．（2024·天津红桥·二模）若 a (2= )3 ，b = log 1 5 ，
-
c = 3 4 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）3 2
A． a > b > c B．b > c > a C．b > a > c D． a < b < c
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = log 3 2a x - ax + x - 2a (a > 0且 a 1)在区间 (1, + )上单调递减，
则 a的取值范围是（ ）
0, 2ù é2 ,1 A． B． ÷ C． (1, 2] D．[2,+ )
è 3 ú ê3
6．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
ex - e- x ex - e- x
A． f x = f x =4 x - 3 B． 3- 4 x
ex + e- x x
C． f x = D． f x =4 x - 3 x -1
ì 1
x+1 , x < 0
7．（2024·陕西西安· 2 2模拟预测）已知函数 f x = í 1 ，则不等式 f a -1 > f 3 的解集为（ ） , x 0
x + 2
A． -2,2 B． 0, +
C． - ,0 D． - ,-2 2, +
8．（2024·甘肃兰州·一模）已知 y = f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意 x 均有 f x +1 + f x -1 = 0 ，
当0 < x 1时， f x = 2x -1，若 f [ln(ea)] > f (ln a)（ e是自然对数的底），则实数 a的取值范围是（ ）
-1+2k 1+2k 3 k 1A． e < a < e (k Z) B． - + +2ke 2 < a < e2 (k Z)
C． e-1+4k < a < e1+4k
3 1
(k Z) D． - +4k +4ke 2 < a < e2 (k Z)
二、多选题
9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）
A．2-0.01 >2-0.001 B． log 2 3 > log 2 π - 1
C log -0.01． 1.8 5 < log1.7 5 D． log3 3.01 > e
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数 a，b 满足 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4，则下列关系式中可能正确的
是（ ）
A．$a,b (0,+ ) ，使 | a - b |> 1 B．$a,b (0,+ ) ，使ab =1
C．"a,b (1, + )，有b < a < b2 D．"a,b (0,1)，有b < a < b
11．（2024·重庆· x x三模）已知函数 f x = log6 2 + 3 ， g x = log3 6x - 2x .下列选项正确的是（ ）
f 1 A． ÷ < g
1
2 è è 2 ÷
B．$x0 0,1 ，使得 f x0 = g x0 = x0
C．对任意 x 1, + ，都有 f x < g x
D．对任意 x 0, + ，都有 x - f x g x - x
三、填空题
12．（2023· 2 m河南·模拟预测）已知幂函数 f x = m - 6m + 9 x 满足 f 1 = 2，则 f 2 = ．
f x x13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 = , g x = ex-1 - e- x+1 +1，则 f x 与 g x 的图象交点的纵坐
x -1
标之和为 ．
14．（2024·全国·模拟预测）已知定义在 - ,0 U 0, + 上的函数 f x ，对于定义域内任意的 x，y，都有
f xy = f x + f y ，且 f x 在 0, + x +1上单调递减，则不等式 f x < log2 的解集为 .2

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