资源简介

专题 07 函数的基本性质
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、函数的单调性
1.增函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I, 如果对于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量x ,xz, 当x 时，都有f(x ) 2.减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域 I 内某个区间D 上的任 意两个自变量x ,xz, 当x 时，都有f(x )>f(x ), 那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数.
小结：对任意的x ,x ∈D, 且x ≠x 有：
f（x1） f（x（1） 2）＞0 f（x）在D上是增函数；
x1 x2
f（x1） f（x2）＜0 f（x）在D上减函数；
x1 x2
（2）(x -x )[f(x )-f(x )]>0=f(x)在D上是增函数；
(x -x )[f(x )-f(x )]<0 f(x)在D上是减函数.
二、单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性，
区间D叫做y=f(x)的单调区间.
温馨提示：
1. 函数的单调性是针对定义城内某段区间而言的 .
2. 函数单调性定义中的x ,xg 有三个特征：①任意性；②有大小；③同属一个单调区间，三者缺一不
可.
3. 求函数的单调区间，应先求其定义域 .
三、单调函数的运算性质
1.函数f(x) 与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性.
2.当 a>0时，f(x)与a·f(x)的单调性相同，当a<0时，f(x)与a·f(x)的单调性相反.
1
3.当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x) 与 的单调性相反.
f（x）
4.当 f(x),g(x )同为增(减)函数时，f(x)+g(x)是增(减)函数.
5.当f(x),g(x) 同为增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增 (减)函数；若两者都小于零，
则f(x)·g(x) 是减(增)函数.
四、复合函数的单调性
复合函数 y=f(g(x)), 在其定义域内单调性满足：
f(x) g(x) f(g(x)
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
温馨提示:复合函数的单调性符合“同增异减”的法则.
五、函数的最值
1. 函数的最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≤M;(2)存在x ∈I,
使得f(x )=M. 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值，
2. 函数的最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数M满足：(1)任意的x ∈I, 都有f(x)≥M;(2) 存在x
∈I, 使得f(xo)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值
六、函数的奇偶性
Ⅰ、奇函数与偶函数的定义
1.奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x) 那么函数 f(x) 就叫做奇函数.
2. 偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数.
温馨提示 ：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称，
则此类函数为非奇非偶函数.
Ⅱ、奇、偶函数的性质
1.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称.
2.奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；偶函数的图象是以y 轴 为对称轴的轴对称图
形.
3.若一个奇函数在x=0 处有意义，则 f(0)=0.
4.若一个函数既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
5.四则运算及复合函数的奇偶性
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)·g(x) f(g(x)
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
七、函数 y=f(x)的图象的对称性
1.函数y=f(x) 的图象关于直线x=a 对称 f(a+x)=f(a-x) f(2a-x)=f(x).
a b
2.若函数 y=f(x)(x∈R),f(x+a)=f(b-x) 恒成立，则y=f(x)的图象的对称轴是直线 x
2
a b
3.画数y=f(a)的图象关于直线 x 对称 f(a+mx)=f(b-mx) f(a+b-mx)=f(mx).
2
a
4.若f(x)=-f(-x+a), 则函数y=f(x) 的图象关于点（ ，0）对称 .
2
八、两个函数图象的对称性
1.函数y=f(x)与函数y= f(-x)的图象关于直线x=0 ( 即y轴)对称.
b a
2.函数y=f(x+a)与 y=f (b-x) 的图象关于直线 x 对称 .
2
a b
3.函数y=f (mx-a) 与函数y=f(b -mx) 的图象关于直线 x 对称.
2m
九、函数的周期性
Ⅰ、周期函数及最小正周期
1.周期函数
对于函数y=f(x), 如果存在一个非零常数T, 当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x), 那么就称函数
y=f(x) 为周期函数，T为这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f(x) 的最小正周
期.
Ⅱ、函数周期性的重要结论
1. 若f(x+a)=f(x+b)(a≠b), 则T=la-b|.
2.若 f(x+a)=-f(x), 则 T=2lal.
1
3.若 f（x a） ,则 T=2la|.
f（x）
4.若函数 f(x) 是偶函数，其图象关于直线x=a 对称，则T=2|al. 5.若函数f(x)是奇函数，其图象关于直
线x=a对称，则T=4|al. 6.若函数f(x) 关于直线x=a与 x=b对称，则T=2|b-al.
7.若函数f(x) 关于点(a,0) 对称，又关于点(b,0) 对称，则T=2|b-al.
8.若 函 数f(x) 关于直线x=a 对称，又关于点(b,0) 对称，则 T=4|b-al.
高中常常将函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性结合起来考查，大多以选择题、填空题的形式出
现；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
重点提升数学抽象、逻辑推理素养.
一、确定函数的单调性
命题点 1　求具体函数的单调区间
例 1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x D．y＝ x2＋x－2
答案　AC
解析　∵y＝ex与 y＝－e－x为 R 上的增函数，
∴y＝ex－e－x为 R 上的增函数，故 A 正确；
由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；
对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，
∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确；
y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
命题点 2　判断或证明函数的单调性
ax
例 2　试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
x－1
解　方法一　设－1(x－1＋1) ( 1f(x)＝a ＝a 1＋ ，x－1 x－1)
1 1
f(x1)－f(x2)＝a(1＋x1－1)－a(1＋x2－1)
a x2－x1
＝ ，
x1－1 x2－1
由于－1所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，
即 f(x1) ax ′ x－1 －ax x－1 ′
方法二　　f′(x)＝
x－1 2
a x－1 －ax a
＝ ＝－ .
x－1 2 x－1 2
当 a>0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递减；
当 a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1,1)上单调递增．
拓展
1，x > 0，
1．设函数 f(x)＝{0，x＝0， g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的单调递减区间是__________．－1，x < 0，
答案　[0,1)
{x
2，x > 1，
解析　由题意知 g(x)＝ 0，x＝1， 该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．－x2，x < 1，
a
2．已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ (x>0)，证明：函数 f(x)在(0， a]上单调递减，在[ a，＋∞)上单调递增．
x
证明　方法一　(定义法)设 x1>x2>0，
a a
f(x1)－f(x2)＝x1＋ －x2－x1 x2
a x2－x1
＝(x1－x2)＋ x1x2
x1－x2 x1x2－a
＝ ，
x1x2
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，
当 x1，x2∈(0， a]时，0∴x1x2－a<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0， a]上单调递减，
当 x1，x2∈[ a，＋∞)时，x1x2>a，
∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[ a，＋∞)上单调递增．
方法二　(导数法)
a x2－a
f′(x)＝1－ ＝ (x>0)，
x2 x2
令 f′(x)>0 x2－a>0 x> a，
令 f′(x)<0 x2－a<0 0∴f(x)在(0， a]上单调递减，在[ a，＋∞)上单调递增．
方法归纳：　确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
二、函数单调性的应用
命题点 1　比较函数值的大小
例 3　(2022·成都模拟)已知函数 f(x)为 R 上的偶函数，对任意 x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
1 1
成立，若 a＝f(ln 2)，b＝f( 33 )，c＝f( e3 )，则 a，b，c 的大小关系是(　　)
A．cC．a答案　B
解析　∵对任意 x1，x2∈(－∞，0)，
均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当 x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，
1
又 f(x)＝ x3 在 x∈(0，＋∞)上单调递增，
1 1
∴1< e3 < 33 ，
又 01 1
∴ln 2< e3 < 33 ，
1 1
∴ f 33 ÷ > f e3 ÷ >f(ln 2)，
è è
即 a命题点 2　求函数的最值
x24 y 4例 　函数 的最大值为 .
x2 5
2
答案
5
x2 4 x2y 4 1
解析 因为 x2 5 x2 4 1 x2 1 4 ，
x2 4
令 t x2 4 ，则 t 2，
g x 1 5令 x ， x 2, ，因为函数 g x 1 x 在 2, é 上单调递增，所以 g x , ，
x x ê ÷ 2
1 2ù
即 x2 4
1 é5 , 0, ÷，则 ú2 1 è 5 ，
x2 4 ê2 x 4 x2 4
x2y 4
2
即函数 的最大值为 ，当且仅当 x 0时取等号.
x2 5 5
2
故答案为：
5
命题点 3　解不等式
f x1 f x2
例 5　已知 f x 的定义域为R ，对任意的x1、 x2 R ，且 x1 x2 都有 > 3且 f 5 18，则不x1 x2
等式 f 3x 1 > 9x的解集为 .
答案 2,
f
x x x1 f x > 2 解析 不妨设 1 2 ，由 > 3可得 f x1 f x2 > 3x1 3xx x 2 ，1 2
所以， f x1 3x1 > f x2 3x2 ，
令 g x f x 3x ，则 g x1 > g x2 ，所以，函数 g x 在R 上单调递增，
由 f 3x 1 > 9x可得 f 3x 1 3 3x 1 > 3，
又因为 g 5 f 5 3 5 18 15 3，
由 f 3x 1 3 3x 1 > 3可得 g 3x 1 > g 5 ，则3x 1 > 5，解得 x > 2，
因此，不等式 f 3x 1 > 9x的解集为 2, .
故答案为： 2, .
命题点 4　求参数的取值范围
ax， ，{ x ≥ 1a f x1 －f x2 例 6　函数 f(x)＝ (4 )x＋2，x < 1 且满足对任意的实数 x ≠x， 1 2 都有 >0 成立，则实数 a 的取值－2 x1－x2
范围是(　　)
A．[4,8) B．(4,8)
C．(1,8] D．(1,8)
答案　A
ax，x ≥ 1，
解析　函数 f(x)＝{( a f x1 －f x2 )x 满足对任意的实数 x4 ＋2，x < 1 1≠x2都有 >0，－2 x1－x2
ax，x ≥ 1，
所以函数 f(x)＝{( a )x 2 x < 1 是 R 上的增函数，4－ ＋ ，2
a > 1，
则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足{ a4－ > 0，2 aa ≥ 4－ ＋2，2
解得 4≤a<8，
所以实数 a 的取值范围为[4,8)．
拓展
1 a，a ≤ b，．对于任意实数 a，b，定义 min{a，b}＝{b，a > b. 设函数 f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数 h(x)＝
min{f(x)，g(x)}的最大值是______．
答案　1
解析　方法一　在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．
易知点 A(2,1)为图象的最高点，
因此 h(x)的最大值为 h(2)＝1.
h(x) {log2x，0 < x ≤ 2，方法二　依题意， ＝ －x＋3，x > 2.
当 0当 x>2 时，h(x)＝3－x 单调递减，
因此 h(x)在 x＝2 时取得最大值 h(2)＝1.
方法归纳：　(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象
的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
三、函数的奇偶性
命题点 1　判断函数的奇偶性
例 1　判断下列函数的奇偶性．
(1) f x x 1 ；
2x
(2) f x x2 x 1；
(3) f x x 2 2 x ；
(4) f x 3x 1 .
答案 (1)奇函数
(2)偶函数
(3)既不是奇函数也不是偶函数
(4)既不是奇函数也不是偶函数．
解析 （1） f x 的定义域为 ,0 U 0, ，关于原点对称，
f x x 1 x 1 又 f x ，
2x ֏ 2x
\ f x 是奇函数．
（2） f x 的定义域为R ，关于原点对称，
又 f x x 2 x 1 x2 x 1 f x ，
\ f x 是偶函数．
ìx 2 0
（3）由 í2 x 0，得
x 2，

即函数 f x 的定义域是 2 ，不关于原点对称，
\ f x 既不是奇函数也不是偶函数．
（4） f x 的定义域为R ， f 1 4, f 1 2，
\ f 1 f 1 , f 1 f 1 ，
\ f x 既不是奇函数也不是偶函数．
方法归纳：　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
命题点 2　函数奇偶性的应用
例 2　(1)(2022·哈尔滨模拟)函数 f(x)＝x(ex＋e－x)＋1 在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为 M，N，则 M＋
N 的值为(　　)
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案　C
解析　依题意，令 g(x)＝x(ex＋e－x)，
显然函数 g(x)的定义域为 R，
则 g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，
即函数 g(x)是奇函数，
因此，函数 g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为 0，而 f(x)＝g(x)＋1，
则有 M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，
于是得 M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，
所以 M＋N 的值为 2.
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则 a＝________.
答案　1
解析　方法一　(定义法)因为 f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为 R，且是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)对任意的 x∈R
恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的 x∈R 恒成立，所以 x3(a－1)(2x＋2－x)＝0 对任意的 x∈R
恒成立，所以 a＝1.
方法二　(取特殊值检验法)因为 f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为 R，且是偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，所以－
(a 1－2 )＝2a－ ，解得 a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以 a＝1.2 2
方法三　(转化法)由题意知 f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为 R，且是偶函数．设 g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因
为 g(x)＝x3为奇函数，所以 h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，
所以 h(0)＝a·20－2－0＝0，
解得 a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，
所以 a＝1.
方法归纳：　(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知
区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
四、函数的周期性
例 3　(1)(2022·重庆质检)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，当
13
x∈(0,2)时，f(x)＝x2，则 f ( )等于(　　)2
9 1
A．－ B．－
4 4
1 9
C. D.
4 4
答案　A
解析　由 f(x－2)＝f(x＋2)，知 y＝f(x)的周期 T＝4，
又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
(13 3∴f ＝f 8－2 ) ( 2 )
( 3 ) 3 9＝f － ＝－f ( ＝－ .2 2 ) 4
(2)函数 f(x)满足 f(x)f(x＋2)＝13，且 f(1)＝2，则 f(2 023)＝________.
13
答案　
2
解析　∵f(x)f(x＋2)＝13，
13
∴f(x＋2)＝ ，
f x
13 13
∵f(x＋4)＝ ＝ ＝f(x)，
f x＋2 13
f x
∴f(x)的周期为 4，
13 13
∴f(2 023)＝f(3)＝ ＝ .
f 1 2
拓展
－x
若函数 f(x) {2 ，x ≤ 0，＝ f x 1 f x 2 x > 0 则 f(2 023)＝________.－ － － ， ，
答案　－1
解析　当 x>0 时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， ②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为 6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法归纳：　(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而
解决问题．
五、函数的对称性
例 4　(1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数 f(x)的定义域为 R，对任意 x 都有 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(－x)＝f(x)，
则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线 x＝2 对称
B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为 4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案　ACD
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，故 A 正确，B 错误；
∵函数 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，
则 f(－x)＝f(x＋4)，又 f(－x)＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故 C 正确；
∵T＝4 且 f(x)为偶函数，故 y＝f(x＋4)为偶函数，故 D 正确．
2x＋1
(2)已知函数 y＝f(x)－2 为奇函数，g(x)＝ ，且 f(x)与 g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(xx 2
，y2)，…，(x6，
y6)，则 y1＋y2＋…＋y6＝________.
答案　12
解析　∵函数 y＝f(x)－2 为奇函数，
∴函数 y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，
2x＋1 1
又 g(x)＝ ＝ ＋2，其图象也关于(0,2)对称，
x x
∴两函数图象交点关于(0,2)对称，
则 y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12.
2x＋1 2x－1
延伸探究　在本例(2)中，把函数“y＝f(x)－2”改为“y＝f(x＋1)－2”，把“g(x)＝ ”改为“g(x)＝ ”，其
x x－1
他不变，求 x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6的值．
解　∵y＝f(x＋1)－2 为奇函数，
∴函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称，
2x－1 1
又 g(x)＝ ＝ ＋2，
x－1 x－1
∴g(x)的图象也关于点(1,2)对称，
则 x1＋x2＋…＋x6＋y1＋y2＋…＋y6＝3×2＋3×4＝18.
方法归纳：　(1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴
或对称中心．
(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．专题 07 函数的基本性质（八大题型+模拟精练）
目录：
01 函数的单调性
02 求函数的单调区间
03 利用函数单调性求最值
04 利用函数单调性求参数范围
05 函数的奇偶性
06 函数的奇偶性的应用
07 函数的对称性、周期性及其应用（含难点）
08 利用函数的基本性质比较大小
01 函数的单调性
1
1．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数 f (x) = - 2．
x
(1)求 f (x) 的定义域；
1
(2)用定义法证明：函数 f (x) = - 2在 (0, + )上是减函数；
x
f (x) 1 2 [1(3)求函数 = - 在区间 ,10]上的最大值．
x 2
2x -1
2．（23-24 高一上·陕西汉中·期中）已知函数 f x = ．
x +1
(1)试判断函数 f x 在区间 -1, + 上的单调性，并证明；
(2)求函数 f x 在区间 0, + 上的值城．
b
3．（23-24 高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数 f (x) = x + 过点 (1, 2)．
x
(1)判断 f (x) 在区间 (1, + )上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数 f (x) 在 2,7 上的最大值和最小值．
02 求函数的单调区间
4．（21-22 高三上·贵州贵阳·阶段练习）函数 f (x) = ln(2x2 - 3x +1)的单调递减区间为（ ）
3 1 3
A ． - , ÷ B． - , ÷ C． ,+ D (1, + )
è 4 è 2 è 4 ÷
．

5．（2023·海南海口·二模）已知偶函数 y = f x +1 在区间 0, + 上单调递减，则函数 y = f x -1 的单调增
区间是 ．
03 利用函数单调性求最值
6．（2021·四川泸州·一模）函数 f (x) = ln x + ln(2 - x)的最大值为 .
1 é1 ù
7．（23-24 高三上·河南焦作·阶段练习）已知函数 f (x) = x + ， x1, x2 ê ,3ú ，则 f x1 - f x2 的最大值为x 2
（ ）
4 5
A． B 1． 2 C． D．13 6
x -18 2022· · 2x +1 x
2 + ax + b
．（ 山东济南 一模）已知函数 f x = ，对任意非零实数 x，均满足
x2
f x = f 1 - ÷ .则 f -1 的值为 ；函数 f x 的最小值为 .
è x
04 利用函数单调性求参数范围
9．（2023· 2天津河北·一模）设 a R ，则“ a > -2 ”是“函数 f x = 2x + 4ax +1在 2, + 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
ì-x2 + 2ax, x 1
10．（2023·陕西商洛·一模）已知函数 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，则 a的取值范围是
(3 - a)x + 2, x >1
（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
11．（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) = 4 | x - a | +3在区间[1, + ) 上不单调，则 a 的取值范围是（ ）
A．[1, + ) B． (1, + )
C． (- ,1) D． (- ,1]
4 1
12．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + ， g(x) = 2x + a，若"x1 [ ,1]，$x2 [2,3]，使得x 2
f (x1)≥ g(x2 )，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 1 B．a 1 C． a 2 D． a 2
05 函数的奇偶性
13．（23-24 高三上·江苏常州·期末）已知定义在 -1,1 区间上的函数 f x x + a= 2 为奇函数．x +1
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)判断并证明函数 f x 在区间 -1,1 上的单调性.
14．（2022 3高三·全国·专题练习）设 f x = x + ax2 - 2x（ x R ），其中常数 a R .
(1)判断函数 y = f x 的奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式 f x 3> x3 é1 ,1ù在区间 ê2 ú 上有解，求 a的取值范围.2
15．（23-24 高三上·河南周口·期末）已知函数 f x ax + b= 2 是定义在 -1,1 上的函数， f -x = - f x 恒成1+ x
1 2
立，且 f ÷ = .
è 2 5
(1)确定函数 f x 的解析式，并用定义研究 f x 在 -1,1 上的单调性；
(2)解不等式 f x -1 + f x 0 .
ì-x2 + 2x, x > 0,

16．（23-24 高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知奇函数 f (x) = í0, x = 0,
2
x + mx, x 0.
(1)求 f (-m)的值；
(2)若函数 f (x) 在区间[-1,a2 - 2]上单调递增，试确定 a 的取值范围.
06 函数的奇偶性的应用
17．（2024·河北保定·二模）若函数 y = f x -1是定义在 R 上的奇函数，则 f -1 + f 0 + f 1 =（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
18．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为 R 的函数 f x ， g x 满足 f x = g x -1 ，且
f x -1 = g 2 - x ，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 是偶函数
C． g x 是奇函数 D． g x 是偶函数
1
19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = a - x a R 为奇函数，则实数 a的值为（2 1 ）-
1
A 1． -2 B． C．1 D．-12
20．（23-24 高三上·云南楚雄·期末）已知 f x 是定义在 R 上的奇函数， f 1 = f 3 = 0 ，且 f x 在 0,2
上单调递减，在 2, + f (x)上单调递增，则不等式 0的解集为（
2x 1 ）-
1- , -1 U 0, 1 A． 2 ÷ U 1, + B． -3, -1 U 0, ÷ U 1,3 è è 2
C． - , -1 U é0, 1 U 3, + é 1 ê ÷ D． -3, -1 U 0, U 1,3 2 ÷ ê 2
21．（2024·陕西·一模）已知定义在R 上的函数 f (x) ，满足 x1 - x2 é f x1 - f x2 ù 0，且
f (x) + f (-x) = 0．若 f (1) = -1，则满足 | f (x - 2) | 1的 x 的取值范围是（ ）
A．[1,3] B．[-2,1] C．[0, 4] D．[-1,2]
22．（23-24 高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数 f x 在 - , + 上单调递减，且为奇函数.若 f 1 = -2，则满
足-2 f 1- x 2的 x 的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． -2,0 C． 1,3 D． -1,1
07 函数的对称性、周期性及其应用（含难点）
23．（2024·山东济南·二模）已知函数 f x 的定义域为 R，若 f -x = - f x , f 1+ x = f 1- x ，则 f 2024 =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
24．（2024·四川南充·三模）已知函数 f x 、 g x 的定义域均为R ，函数 f x 的图象关于点 -1, -1 对称，
函数 g x +1 的图象关于 y 轴对称， f x + 2 + g x +1 = -1， f -4 = 0，则 f 2030 - g 2017 =（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
25．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且满足 f x = - f 2 - x , f x + 2 为偶函数，
当 x 1,2 2时， f x = ax + b，若 f 0 + f 3 25= 6 ，则 f 3 ÷ = （ ）è
32 11 4 17
A． B． C．- D．-
9 3 3 9
26．（23-24 高一上·广东广州·期中）已知函数 f x ， g x 的定义域均为R ，且 f x + g 2 - x = 5，
g x - f x - 4 = 7．若 y = g x 的图象关于直线 x = 2对称， g 2 = 4，下列说法正确的是（ ）
A． g 2 + x = g 2 - x B． y = g x 图像关于点 3,6 对称
C． f 2 = 3 D． f 1 + f 2 +L f 26 = -28
27．（2024·河南·二模）已知函数 f x 是偶函数，对任意 x R ，均有 f x = f x + 2 ，当 x 0,1 时，
f x =1- x，则函数 g x = f x - log5 x +1 的零点有 个.
3 328 ．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 f x 的定义域是R ， f + x ÷ = f - x ÷， f x + f 6 - x = 02 2 ，è è
0 x 3当 2时， f x = 4x - 2x ，则 f 2024 = ．
2
29．（2023 高三·全国·专题练习）设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x =1对称，对任意x1，
x é 1 ù2 ê0, ú，都有 f (x1 + x2 ) = f (x1) × f (x2 )2 ，且 f (1) = a > 0 ．
(1)求 f (
1), f (1)；
2 4
(2)证明 f (x) 是周期函数；
1
(3)记 an = f (2n + )，求 an ．2n
30．（2023·浙江绍兴·二模）已知定义在 0, + 上的增函数 f x 满足:对任意的 a,b 0, + 都有
f ab = f a + f b 且 f 4 = 2，函数 g x 满足 g x + g 4 - x = -2 ， g 4 - x = g x + 2 . 当 x 0,1 时，
g x = f x +1 -1，若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次为x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次为
k n
x1 ， x2 ，…， xn ，若 éxi + g xi ù + é xi + g xi ù = 21，则m 的取值范围为
i=1 i=1
08 利用函数的基本性质比较大小
31．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知奇函数 f x 在R上是增函数，若 a = f log
1
2 ÷，b = f log2 4.1 ，
è 5
c = f 20.5 ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a c b B．b a c C． c b a D． c32．（23-24 高一上·陕西西安·期中）定义域为R 的函数 f x 满足 f 3- x = f x + 3 ，且当 x2 > x1 > 3时，
f x1 - f x2 5> 0恒成立，设 a = f 2x2 - x + 5 ，b = f ÷， c = f2 x
2 + 4 ，则（ ）
x1 - x2 è
A． c > a > b B． c > b > a C． a > c > b D．b > c > a
33．（23-24 高三上·福建厦门·期中）已知定义在R 上的函数 f (x) 满足，① f (x + 2) = f (x) ，② f (x - 2)为
f x1 - f x2 15 11
奇函数，③当 x 0,1 时， > 0 x1 x2 恒成立.则 f - ÷、 f (4) 、 f ÷的大小关系正确的x1 - x2 è 2 è 2
是（ ）
15 11 15 11
A． f - 2 ÷
> f 4 > f B． f - > f > f 4
è è 2 ÷ è 2 ÷ ÷ è 2
f 11 15 11 15C． ÷ > f 4 > f

- ÷ D． f 4 > f ÷ > f -2 2 2 2 ÷è è è è
一、单选题
1．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在 0, + 上单调递减的是（ ）
A． f x = 2 x B f x = x3．
1 ì
lnx, x > 0,
C． f x = - x D． f x =
x í -ln -x , x 0
2．（2024· 2山东·二模）已知函数 f x = 2x - mx +1在区间 -1, + 上单调递增，则 f 1 的取值范围是
（ ）．
A． 7, + B． 7,+
C． - ,7 D． - ,7
3．（2024·山东·二模）已知函数 f x 是偶函数，且该函数的图像经过点M 2, -5 ，则下列等式恒成立的是
（ ）．
A． f -5 = 2 B． f -5 = -2
C． f -2 = 5 D． f -2 = -5
ex - e- x
4．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = 4ln x +1 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 3x-2 - 32-x，则满足 f x + f 8 - 3x > 0的 x 的取值范围是（ ）
A． - , 4 B． - , 2 C． 2, + D． -2,2
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且对任意的m n 0，都有
(m - n)( f (m) - f (n)) 0，且 f (-2) = 0
f (x +1) - f (-x -1)
，则不等式 0的解集为（
x ）
A．[-3, -1]U[0,1] B．[-2,2]
C． (- , -3) U (-2,0) U (2, + ) D．[-3, -1]U (0,1]
ìex + a, x a
7．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数 f (x) = í f (x) ax2
， 不存在最小值，则实数 的取值范围是
+ 2ax, x a
（ ）
( 1 1 1A． -1,0)

B ． ,+
C． (-1,0) U ,+ D． - ,0 U (1, + )
è 3 ÷ ÷ ÷ è 3 è 3
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知:对于任意的正数 x, y， z 2 xy ，若满足 x + y =1，则
x2 + y2 +1
+ 5x2 + 5y2 + z2 +10xy - 3xz - 3yz k 恒成立，那么 k 的最大值是（ ）
xy
A．6 11 11+ 3 B．6 + C．8 + 3 D．8 +
2 2
二、多选题
2x + 3
9．（2021·江西·模拟预测）已知函数 f (x) = ，则下列叙述正确的是（ ）
x + 4
A． f (x) 的值域为 - , -4 U -4,+ B． f (x) 在区间 - , -4 上单调递增
C． f (x) + f -8 - x = 4 D．若 x x x > -4, x Z ，则 f (x) 的最小值为-3
10．（2024·江苏南京·二模）已知函数 f (x) 满足 f (x) f (y) = f (xy)+ | x | + | y |，则（ ）
A． f (0) =1 B． f (1) = -1 C． f (x) 是偶函数 D． f (x) 是奇函数
2
11．（2023·河南·三模）已知函数 f x = lnx -1- ，则下列结论正确的是（
x 1 ）-
A． f x 在定义域上是增函数
B． f x 的值域为R
C． f log2023 2024 + f log2024 2023 =1
b
D f a e +1．若 = - b， a 0,1 ，b 0, + b ，则 aeb =1e -1
三、填空题
2
12 2023· · y 2x - 3x + 5 x
é3 ù
．（ 上海嘉定 一模）函数 = 在
x -1 ê
,3 上的最大值和最小值的乘积为
2 ú
13 a + 2 b．（2024·湖北黄石·三模）设 a，b R+ ，若 a + 4b = 4，则 的最小值为 ，此时 a的值为 .
ab
14．（2023·云南保山·二模）对于函数 f x ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称 f x 为“倒戈函
数”，设函数 f x = 3x + tan x - 2m +1 m R 是定义在 -1,1 上的“倒戈函数”，则实数 m 的取值范围是 .专题 07 函数的基本性质（八大题型+模拟精练）
目录：
01 函数的单调性
02 求函数的单调区间
03 利用函数单调性求最值
04 利用函数单调性求参数范围
05 函数的奇偶性
06 函数的奇偶性的应用
07 函数的对称性、周期性及其应用（含难点）
08 利用函数的基本性质比较大小
01 函数的单调性
1
1．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数 f (x) = - 2．
x
(1)求 f (x) 的定义域；
f (x) 1(2)用定义法证明：函数 = - 2在 (0, + )上是减函数；
x
(3)求函数 f (x)
1 2 [1= - 在区间 ,10]上的最大值．
x 2
【答案】(1) (- ,0) U (0, + )；
(2)证明见解析；
(3)0.
【分析】（1）利用函数式有意义求出定义域即得.
（2）利用函数单调性定义推理即得.
（3）利用函数单调性求出最大值.
1
【解析】（1）函数 f (x) = - 2有意义， x 0，
x
f (x) 1所以函数 = - 2的定义域为 (- ,0) U (0, + ) .
x
f (x ) f (x ) 1 2 ( 1（2）"x1, x2 (0, + ), x1 < x2 ， 1 - 2 = - - - 2)
x - x
= 2 1
x ，1 x2 x1x2
因为0 < x1 < x2 ，则 x2 - x1 > 0，即 f (x1) - f (x2 ) > 0， f (x1) > f (x2 )，
1
所以函数 f (x) = - 2在 (0, + )上是减函数.
x
f (x) 1 2 [1（3）由（2）知，函数 = - 在 ,10]上是减函数，
x 2
所以 f (x)
1
max = f ( ) = 0 .2
2x -1
2．（23-24 高一上·陕西汉中·期中）已知函数 f x = ．
x +1
(1)试判断函数 f x 在区间 -1, + 上的单调性，并证明；
(2)求函数 f x 在区间 0, + 上的值城．
【答案】(1)在区间 -1, + 上单调递增，证明见解析
(2) -1,2 ．
【分析】（1）利用定义法证明单调性即可；
（2）由函数的单调性求值域即可.
f x 2x -1 2 3【解析】（1）易知 = = - x -1 ，
x +1 x +1
设 x1, x2 -1, + ，且 x1 < x2，
3 3 3 x1 - x则 f x1 - f x

2 = - =
2
x2 +1 x
，
1 +1 x1 +1 x2 +1
又由-1 < x1 < x2 ，则 x1 - x2 < 0， x1 +1 > 0， x2 +1 > 0，
所以 f x1 - f x2 < 0，即 f x 在区间 -1, + 上单调递增；
（2）由上可知函数 f x 在区间 0, + 上单调递增，则 f x f 0 = -1，
f x 2x -1 2 3又 = = - < 2 ，
x +1 x +1
故 f x 的值域为 -1,2 .
b
3．（23-24 高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数 f (x) = x + 过点 (1, 2)．
x
(1)判断 f (x) 在区间 (1, + )上的单调性，并用定义证明；
(2)求函数 f (x) 在 2,7 上的最大值和最小值．
【答案】(1) f (x) 在区间 (1, + )上单调递增，证明见解析
50 5
(2)最大值为 ，最小值为
7 2
【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性；
（2）根据单调性即可得出函数 f (x) 在 2,7 上的最大值和最小值.
【解析】（1）单调递增，由题意证明如下，
f (x) x b (1, 2) 1 b由函数 = + 过点 ，有 + = 2，
x 1
1
解得b =1，所以 f (x) 的解析式为： f (x) = x + ．
x
设"x1, x2 (1,+ )，且 x1 < x2，有
1 1 x1 - x2 x1x2 -1f x1 - f x x

2 = 1 + ÷ - x2 + ÷ = ．
è x1 è x2 x1x2
由 x1, x2 (1,+ ), x1 < x2，得 x1x2 -1 > 0, x1 - x2 < 0．
x1 - x2 x1x2 -1
则 < 0，即 f x1 < f x2 ．x1x2
∴ f (x) 在区间 (1, + )上单调递增．
（2）由 f (x) 在 (1, + )上是增函数，
所以 f (x) 在区间[2, 7]上的最小值为 f (2)
5
= ，最大值为 f (7)
50
= ．
2 7
02 求函数的单调区间
4．（21-22 高三上·贵州贵阳·阶段练习）函数 f (x) = ln(2x2 - 3x +1)的单调递减区间为（ ）
3 1 3
A． - ,

÷ B． - ,

÷ C． ,+

÷ D． (1, + )
è 4 è 2 è 4
【答案】B
【分析】先求出函数 f (x) 的定义域，再求出函数u = 2x2 - 3x +1在所求定义域上的单调区间并结合复合函数
单调性即可作答.
1
【解析】在函数 f (x) = ln(2x2 - 3x +1)中，由 2x2 - 3x +1 > 0 得 x < 或 x >1，则 f (x) 的定义域为2
( 1- , ) U (1, + )，
2
1
函数u = 2x2 - 3x +1在 (- , ) 上单调递减，在 (1, + )上单调递增，又 y = ln u 在u (0,+ )上单调递增，2
于是得 f (x) 在 (
1
- , ) 上单调递减，在 (1, + )上单调递增，
2
1
所以函数 f (x) 的单调递减区间为 (- , ) .
2
故选：B
5．（2023·海南海口·二模）已知偶函数 y = f x +1 在区间 0, + 上单调递减，则函数 y = f x -1 的单调增
区间是 ．
【答案】 - , 2
【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.
【解析】因为偶函数 y = f x +1 在区间 0, + 上单调递减，
所以 y = f x +1 在区间 - ,0 上单调递增，
又因为 f x -1 = f x - 2 +1 ，则函数 f x -1 的图象是由函数 f x +1 的图象向右平移 2 个单位长度得到，
所以函数 f x -1 的单调增区间是 - , 2 ．
故答案为： - , 2 .
【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系．
03 利用函数单调性求最值
6．（2021·四川泸州·一模）函数 f (x) = ln x + ln(2 - x)的最大值为 .
【答案】0
【解析】由二次函数、对数函数的单调性确定复合函数的单调性，进而求最值即可
【解析】由 f (x) = ln x + ln(2 - x) = ln[-(x -1)2 +1]，且0 < x < 2，
∴令 t(x) = -(x -1)2 +1， f (t) = ln t ，即 t(x)在0 < x <1为单调递增，1< x < 2为单调递减，而 f (t) 为增函数，
∴ f (x) 在0 < x <1上单调递增，1< x < 2上单调递减， f (x)max = f (1) = 0，
故答案为：0
1 é1 ù
7．（23-24 高三上·河南焦作·阶段练习）已知函数 f (x) = x + ， x1, xx 2
,3
ê2 ú
，则 f x1 - f x2 的最大值为

（ ）
4 1 5A． B． 2 C． D．13 6
【答案】A
1
【分析】根据函数的单调性求出 f (x) = x + 的最值，由 f x1 - f x2 = f (x)max - f (x)max min 即可得结果.x
1 é1 ù
【解析】由“对勾函数”的性质可得 f (x) = x + 在 ,1
x ê 2 ú
上单调递减，在 1,3 上单调递增，

f x = f 1 = 2 ， f x ì 1= max f í ÷ , f 3
ü 10
=min max ， è 2 3
所以 f x1 - f x2 = f (x) - f (x)
10 2 4= - = ，
max max min 3 3
故选：A.
x -1 2x +1 x2 + ax + b
8．（2022·

山东济南·一模）已知函数 f x = ，对任意非零实数 x，均满足
x2
f x = f 1 -

÷ .则 f -1 的值为 ；函数 f x 的最小值为 .
è x
9
【答案】 0 -
8
【分析】根据给定条件求出待定系数 a，b，进而求出 f x 的解析式，代值计算可得 f -1 ，变形函数式并
借助二次函数求解最值作答.
x -1 2x +1
x
2 + ax + b 1
【解析】函数 f x = ，因对任意非零实数 x，均满足 f x = f - ÷，
x2 è x
1 2 1 a
2
x R, x 0 (x -1)(2x +1)(x + ax + b)
(- -1)(- +1)( 2 - + b)
则" x x x x，有
x2
= 1 ，
x2
即 (x -1)(2x +1)(x2 + ax + b) = (-x -1)(x - 2)(bx2 - ax +1) ，由等式两边展开式最高次项系数得：-b = 2，即
b = -2，
1
当 x =1时，b - a +1 = 0 ，解得 a = -1，经检验得， a = -1，b = -2， f x = f - ÷对任意非零实数 x 成立，
è x
f (x) (x -1)(2x +1)(x
2 - x - 2) (x2 -1)(2x2 - 3x - 2) 1 1
因此， =
x2
= 2 = (x - )[2(x - ) - 3]x x x
2(x 1)2 3(x 1) 1= - - - = 2[(x - ) 3- ]2 9- ，
x x x 4 8
f -1 = 0 1 3 -3 ± 73 9，当 x - = 即 x = 时， f x = -x 4 8 min
，
8
所以 f -1 9的值为 0，函数 f x 的最小值为- .
8
9
故答案为：0；-
8
【点睛】思路点睛：两边是一元高次多项式的等式恒成立问题，可以借助特殊项（如最高次项、常数项等）
及取特值求出待定系数，然后验证即可.
04 利用函数单调性求参数范围
9．（2023· 2天津河北·一模）设 a R ，则“ a > -2 ”是“函数 f x = 2x + 4ax +1在 2, + 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结
果.
2
【解析】函数 f x = 2x + 4ax +1的对称轴为 x = -a，
由函数 f x = 2x2 + 4ax +1在 2, + 上单调递增可得-a 2，即 a -2，
2
所以“ a > -2 ”是“函数 f x = 2x + 4ax +1在 2, + 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
ì-x2 + 2ax, x 1
10．（2023·陕西商洛·一模）已知函数 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，则 a的取值范围是
(3 - a)x + 2, x >1
（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
【答案】B
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在 x =1时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解
不等式组可求得结果.
ì-x2 + 2ax, x 1
【解析】因为 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，
(3 - a)x + 2, x >1
ì 2a
- 1
-2
所以 í3- a > 0 ，解得1 a 2 .

-1+ 2a 3 - a + 2

故选：B
11．（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) = 4 | x - a | +3在区间[1, + ) 上不单调，则 a 的取值范围是（ ）
A．[1, + ) B． (1, + )
C． (- ,1) D． (- ,1]
【答案】B
【分析】先分析 f (x) 的单调性，再列不等式即可求解.
【解析】因为函数 f (x) = 4 | x - a | +3在 (- ,a)上单调递减，在 (a,+ ) 上单调递增．
又函数 f x 在区间[1, + ) 上不单调，所以 a > 1，
故选：B．
4 1
12．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + ， g(x) = 2x + a，若"x1 [ ,1]，$x2 [2,3]，使得x 2
f (x1)≥ g(x2 )，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a 1 B．a 1 C． a 2 D． a 2
【答案】A
1
【分析】本题的关键是将已知转化为 f (x) 在 x1 [ ,1]的最小值不小于 g(x)在 x2 [2,3]的最小值，然后解不2
等式即可.
4 x2 - 4 1
【解析】由 f x = x + 得， f (x) = 2 ，当 x [ ,1]时， f (x) < 0 ，x x 2
∴ f (x)
1
在[ ,1]单调递减，∴ f (1) = 5是函数 f (x) 的最小值，
2
当 x [2,3]时， g(x) = 2x + a为增函数，∴ g(2) = a + 4是函数 g(x)的最小值，
又∵ "x
1
1 [ ,1]，都$x [2,3]，使得 f (x )≥ g(x )，2 2 1 2
可得 f (x)
1
在 x1 [ ,1]的最小值不小于 g(x)在 x2 [2,3]的最小值，2
即5 a + 4，解得 a 1，
故选：A．
05 函数的奇偶性
x + a
13．（23-24 高三上·江苏常州·期末）已知定义在 -1,1 区间上的函数 f x = 为奇函数．
x2 +1
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)判断并证明函数 f x 在区间 -1,1 上的单调性.
x
【答案】(1) f x = 2 , (-1 < x < 1)x +1
x
(2)函数 f x = 2 在区间 -1,1 上为增函数,证明见解析.x +1
【分析】（1）依题意函数图象必过原点，由此求出 a值即得解析式；
（2）运用定义法的步骤证明函数单调性即可.
【解析】（1）由题意知： f (0) = 0
x
，即得： a = 0，故函数 f x 的解析式为： f x = 2 , (-1< x <1) .x +1
（2）函数 f x x= 2 在区间 -1,1 上为增函数.理由如下：x +1
x x (x - x )(1- x x )
任取 x1, x2 (-1,1),且 x1 < x2，由 f (x1) - f (x ) =
1 - 2 = 1 2 1 22 x21 +1 x
2 2 2 ，
2 +1 (x1 +1)(x2 +1)
2 2
因 -1 < x1 < x2 < 1，故 x1 - x2 < 0，1- x1x2 > 0， (x1 +1)(x2 +1) > 0，即 f (x1) - f (x2 ) < 0 ，
则 f x x= 2 在区间 -1,1 上为增函数.x +1
14 3 2．（2022 高三·全国·专题练习）设 f x = x + ax - 2x（ x R ），其中常数 a R .
(1)判断函数 y = f x 的奇偶性，并说明理由；
f x 3> x3 é1 ù(2)若不等式 在区间 ê ,12 ú 上有解，求 a的取值范围.2
【答案】(1)答案见解析
5
(2) ,+ 2 ֏
【分析】（1）根据定义可判断 f x 的奇偶性；
1 2
（2）参变分离后可得 a > x + ，结合双勾函数的单调性可求参数的取值范围.
2 x
3
【解析】（1）当 a = 0时， f x = x - 2x ，则 f -x = -x3 + 2x ，
∴ f x = - f -x ，即 y = f x 为奇函数；
当 a 0时， f 1 = a -1， f -1 = a +1，
∵ f -1 ± f 1 ，∴ y = f x 既不是奇函数也不是偶函数.
1 2 é1 ù 1 2
（2）原问题可化为 a > x + 在区间 ê ,12 ú 有解，则
a > x +
2 x è 2 x ÷
，
min
g x 1 1设 = x 2+ x , x é，任意 1 2 ê ,1
ù
2 x 2 ú
, x1 < x2 ，

g x g x 1 x1 - x2 x- = 1x2 - 4 则 1 2 ，2 x1x2
é1 ù
因为 x1, x2 ê ,1ú , x1 < x2 2
，故 x1 - x2 < 0,0 < x1x2 < 1,故 x1x2 - 4 < 0，

g x1 - g x2 > 0，
故函数 g x é1在区间 ê ,1
ù 5 5
2 ú 上单调递减，
∴ ymin = ，∴ a > ，
2 2
∴ a
5
的取值范围是 ,+ ÷ .
è 2
ax + b
15．（23-24 高三上·河南周口·期末）已知函数 f x = 2 是定义在 -1,1 上的函数， f -x = - f x 恒成1+ x
f 1 2立，且 ÷ = .
è 2 5
(1)确定函数 f x 的解析式，并用定义研究 f x 在 -1,1 上的单调性；
(2)解不等式 f x -1 + f x < 0 .
【答案】(1) f x x= 2 ，函数 f x 在 -1,1 上是增函数1+ x
1
(2) (0, )
2
1 2
【分析】（1）根据 f 0 = 0, f ÷ = ，待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，结合函数解析
è 2 5
式即可判断和证明；
（2）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.
f x ax + b【解析】（1）根据题意， = 2 是 -1,1 上的奇函数，故 f 0 = b = 0，1+ x
a
又 f
1 2 2 2 x
÷ = 5 = a = ，故 a =1，则 f x = ，è 2 5 5 1+ x2
4
x -1,1 -x时， f -x = 2 = f x ，所以 f x 为奇函数，1+ x
x
故 f x =
1+ x2
.
f x x= 2 在 -1,1 上是增函数，理由如下，1+ x
x x
-1 < x < x < 1 f (x ) - f (x 1 2
(x1 - x2 )(1- x1x2 )
设 1 2 ，则 1 2 ) = 1+ x2
- 2 =
1 1+ x2 (1+ x
2
1 )(1+ x
2 ) ，2
因为 -1 < x1 < x2 < 1，所以-1 < x1x2 <1，且 x1 - x2 < 0，则1- x1x2 > 0，
则 f (x1) - f (x2 ) < 0 ，即 f (x1) < f (x2 )，
所以函数 f x 在 -1,1 上是增函数；
（2） f x -1 + f x < 0等价于 f x -1 < - f x = f -x ，
ì-1 < x -1<1
又 f x 在 -1,1 是单调增函数，故可得 í-1 < x <1 ，

x -1< -x
0 1解得 < x < ，即不等式 f x -1 + f x < 0 的解集为 0,
1
.
2 ֏ 2
ì-x2 + 2x, x > 0,
16．（23-24 高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知奇函数 f (x) =

í0, x = 0,
2
x + mx, x < 0.
(1)求 f (-m)的值；
(2)若函数 f (x) 在区间[-1,a2 - 2]上单调递增，试确定 a 的取值范围.
【答案】(1)0；
(2)[- 3,-1) (1, 3] .
【分析】（1）先根据函数的奇偶性确定m 的值，再求函数值即可；
（2）先画出函数的图像，结合图像找到函数的单调递增区间，依题意得到 a2 - 2的范围，解不等式即得.
【解析】（1）当 x < 0 时， -x > 0，因为 f (x) 是奇函数，
所以 f (x) = - f (-x) = - é -(-x)
2 + 2 (-x)ù = x2 + 2x，
所以m = 2 .故 f (-m) = f (-2) = (-2)2 + 2 (-2) = 0 .
（2）
ì-x2 + 2x, x > 0,
依题意作出函数 f (x) =

í0, x = 0, 的图像如图，

x
2 + 2x, x < 0.
因函数 f (x) 在区间[-1,a2 - 2]上单调递增，故-1 < a2 - 2 1，
则有1< a2 3，解得- 3 a < -1或1 < a 3 .
即实数 a 的取值范围为[- 3,-1) (1, 3] .
06 函数的奇偶性的应用
17．（2024·河北保定·二模）若函数 y = f x -1是定义在 R 上的奇函数，则 f -1 + f 0 + f 1 =（ ）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质可得 f x + f -x = 2，进而可得 f 1 + f -1 = 2， f 0 =1，即可求解.
【解析】设F x = f x -1，则F x + F -x = 0，即 f x -1+ f -x -1 = 0，
即 f x + f -x = 2，所以 f 1 + f -1 = 2 .
因为F 0 = f 0 -1 = 0，所以 f 0 =1， f -1 + f 0 + f 1 = 2 +1 = 3 .
故选：A
18．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为 R 的函数 f x ， g x 满足 f x = g x -1 ，且
f x -1 = g 2 - x ，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 是偶函数
C． g x 是奇函数 D． g x 是偶函数
【答案】D
【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原
函数的对称关系.
【解析】因为 f x -1 = g 2 - x ，
所以 f -x +1-1 = g 2 - -x +1 ，
即 f -x = g 1+ x = g x + 2 -1 = f x + 2 ，
所以 f x 关于直线 x =1对称，
因为 f x = g x -1 ，
所以 g x 关于 x = 0对称，即 g x 为偶函数.
故选：D
1
19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x = a - x a R 为奇函数，则实数 a的值为（2 1 ）-
A 1
1
． 2 B．- C．1 D．-12
【答案】B
2x 1
【分析】利用奇函数的定义可得 a - x = x - a，计算可求 a的值.1- 2 2 -1
x
【解析】 f -x = a 1 2 1- - x = a - x = - f x =2 -1 1- 2 2x - a ，-1
2a 1 2
x 1
得 = x + = -1，所以 a = - .2 -1 1- 2x 2
故选：B.
20．（23-24 高三上·云南楚雄·期末）已知 f x 是定义在 R 上的奇函数， f 1 = f 3 = 0 ，且 f x 在 0,2 上
单调递减，在 2, + f (x)上单调递增，则不等式 0的解集为（
2x ）-1
- , -1 U 0, 1 U 1, + -3, -1 U 1 A． ÷ B．2 0, 2 ÷ U 1,3 è è
é 1
C． - , -1 U ê0, ÷ U 3, + D． -3, -1 U
é
ê0,
1
÷ U 1,3
2 2
【答案】D
1 1
【分析】根据题意，先讨论当 x > 的情况，结合条件求得不等式，再由其单调性，即可求得 x < 时的解
2 2
集，从而得到结果.
1
【解析】当 x > 时， 2x -1 > 0，则 f x 0 ，
2
且 f 1 = f 3 = 0 ， f x 在 0,2 上单调递减，在 2, + 上单调递增，
则可得1 x 3 .
因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 f x 的图象关于原点对称.
x 1 1当 < 时， 2x -1< 0，则 f x 0 ，由已知可得-3 x -1或0 x < .
2 2
f (x) é 1
综上，不等式 0的解集为 -3, -1 ê0, ÷ 1,3 .2x -1 2
故选：D
21．（2024·陕西·一模）已知定义在R 上的函数 f (x) ，满足 x1 - x2 é f x1 - f x2 ù < 0，且
f (x) + f (-x) = 0．若 f (1) = -1，则满足 | f (x - 2) | 1的 x 的取值范围是（ ）
A．[1,3] B．[-2,1] C．[0, 4] D．[-1,2]
【答案】A
【分析】由已知条件可得 f (x) 在 (- , + )上单调递减，且 f (x) 为奇函数，将 | f (x - 2) | 1化为
f (1) f (x - 2) f (-1)，再利用函数的单调性可求得结果.
【解析】因为定义在R 上的函数 f (x) ，满足 x1 - x2 é f x1 - f x2 ù < 0，
所以 f (x) 在 (- , + )上单调递减，
因为 f (x) + f (-x) = 0，所以 f (-x) = - f (x) ，
因为 f (1) = -1，所以 f (-1) = - f (1) =1，
由 | f (x - 2) | 1，得-1 f (x - 2) 1，
所以 f (1) f (x - 2) f (-1)．
因为 f (x) 在 (- , + )上单调递减，
所以-1 x - 2 1，得1 x 3，
故选：A．
22．（23-24 高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数 f x 在 - , + 上单调递减，且为奇函数.若 f 1 = -2，则满
足-2 f 1- x 2的 x 的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． -2,0 C． 1,3 D． -1,1
【答案】A
【分析】先根据函数是奇函数将不等式等价变形，再根据函数的单调性列出关于 x 的不等式即可求解.
【解析】由 f x 为奇函数，得 f -1 = - f 1 = 2，
所以不等式-2 f 1- x 2等价于 f 1 f 1- x f -1 .
又因为 f x 在 - ,+ 上单调递减，
所以1 1- x -1，即0 x 2 .
故选：A
07 函数的对称性、周期性及其应用（含难点）
23．（2024·山东济南·二模）已知函数 f x 的定义域为 R，若 f -x = - f x , f 1+ x = f 1- x ，则 f 2024 =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为 4，然后由周期性和奇函数的性质可得.
【解析】因为 f 1+ x = f 1- x ，
所以 f 1+ 1+ x = f 1- 1+ x ，即 f 2 + x = f -x ，
又 f -x = - f x ，函数 f x 的定义域为 R，
所以， f x 是定义域为 R 的奇函数，所以 f 0 = 0， f x = - f 2 + x ，
所以， f 2 + x = - f 4 + x ，故 f x = - f 2 + x = f 4 + x ，
所以 f x 是以 4 为周期的周期函数，
所以 f 2024 = f 506 4 + 0 = f 0 = 0 .
故选：A
24．（2024·四川南充·三模）已知函数 f x 、 g x 的定义域均为R ，函数 f x 的图象关于点 -1, -1 对称，
函数 g x +1 的图象关于 y 轴对称， f x + 2 + g x +1 = -1， f -4 = 0，则 f 2030 - g 2017 =（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得 f (x) + f (-2 - x) = -2， g(-x +1) = g(x +1) ，再由已知条件可得 g(x)
的周期，将所求转化为关于 g(x)的函数值后，利用周期及 g(1) =1即可求解.
【解析】由函数 f x 的图象关于点 -1, -1 对称，
所以 f (x) + f (-2 - x) = -2，令 x = -4，可得 f (-4) + f (2) = -2，即 f (2) = -2，
由函数 g x +1 的图象关于 y 轴对称，可知函数 g x +1 为偶函数，
所以 g(-x +1) = g(x +1) ，
由 f x + 2 + g x +1 = -1，令 x = 0，可得 g(1) = -1- f (2) =1，
由 f x + 2 + g x +1 = -1，可得 f (x) + g(x -1) = -1， f (-x - 2) + g(-x - 3) = -1，
两式相加可得-2 + g(x -1) + g(-x - 3) = -2，即 g(x -1) + g(-x - 3) = 0，
可得 g(x - 5) + g(-x +1) = 0，由 g(-x +1) = g(x +1) 可得 g(x - 5) + g(x +1) = 0，
即 g(x) + g(x + 6) = 0，故 g(x + 6) = -g(x)，所以 g(x +12) = -g(x + 6) = g(x)，
即函数 g(x)的周期T = 12 ，
由 f (x) + g(x -1) = -1可知 f (2030) = -1- g(2029) ，
所以 f 2030 - g 2017 = -1- g(2029) - g(2017) = -1- g(1) - g(1) = -1- 2g(1) = -3 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据中心对称及偶函数得出一般关系 f (x) + f (-2 - x) = -2， g(-x +1) = g(x +1) ，再
由 f x + 2 + g x +1 = -1，利用消元思想，转化为关于 g(x)的关系式是解题的第一关键，其次利用 g(x)的
关系式求出 g(x)的周期是第二个关键点，求出周期后利用赋值求特殊函数值即可得解.
25．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且满足 f x = - f 2 - x , f x + 2 为偶函数，
x 1,2 f x = ax2 + b f 0 + f 3 = 6 f 25 当 时， ，若 ，则 ÷ = （ ）
è 3
32 11 4 17
A． B． C．- D．-
9 3 3 9
【答案】A
2
【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出 f x = ax + b，进而利
25
用对称性和周期性求 f ÷即可.
è 3
【解析】因为 f x =- f 2- x ①，
所以函数 f x 的图象关于点 1,0 对称.
因为 f x + 2 为偶函数，所以 f -x + 2 = f x + 2 ②，
则函数 f x 的图象关于直线 x = 2对称.
由①②得 f x + 2 = - f x ，则 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
f x f 25 1 1故 的周期为 4，所以 ÷ = f
8 + = f ÷ ÷ .
è 3 è 3 è 3
由 f -x +1 = - f x +1 ，令 x = 0，得 f 1 = 0，即 a + b = 0 ③，
已知 f 0 + f 3 = 6，由函数 f x 的图象关于直线 x = 2对称，
得 f 3 = f 1 = 0 .
又函数 f x 的图象关于点 1,0 对称，得 f 0 = - f 2
所以 f 0 + f 3 = - f 2 = 6，即 f 2 = -6，所以 4a + b = -6 ④，
联立③④解得 a = -2 ，b = 2 ，
故当 x 1,2 时， f x = -2x2 + 2 .
由 f x 的图象关于点 1,0 对称，
2
f 1 f 5= -
é 5 ù
可得 ÷ ÷ = - ê-2

÷ + 2
32
ú = .
è 3 è 3 ê è 3 ú 9
故选：A.
26．（23-24 高一上·广东广州·期中）已知函数 f x ， g x 的定义域均为R ，且 f x + g 2 - x = 5，
g x - f x - 4 = 7．若 y = g x 的图象关于直线 x = 2对称， g 2 = 4，下列说法正确的是（ ）
A． g 2 + x = g 2 - x B． y = g x 图像关于点 3,6 对称
C． f 2 = 3 D． f 1 + f 2 +L f 26 = -28
【答案】ABD
【分析】根据对称性可判断 A；由 f x + g 2 - x = 5， g x - f x - 4 = 7，可推出 g 2 - x + g x + 4 =12，
从而判断 B；由已知条件得 f x + f x - 2 = -2，利用赋值法可得到 f 2 ，从而判断 C；从而得到
f 3 + f 5 +L f 25 = -12， f 4 + f 6 +L f 26 = -12，然后根据条件得到 f 2 的值，再由题意得到
g 3 = 6，进而可判断 D.
【解析】对于 A，因为 y = g x 的图象关于直线 x = 2对称，
所以 g 2 - x = g x + 2 ，故 A 正确；
对于 B，因为 g x - f x - 4 = 7，所以 g x + 4 - f x = 7，
又因为 f x + g 2 - x = 5，
联立得 g 2 - x + g x + 4 =12，
所以 y = g x 图像关于点 3,6 对称，故 B 正确；
对于 C，因为 g x - f x - 4 = 7，所以 g x + 2 - f x - 2 = 7，
即 g x + 2 = f x - 2 + 7 = g 2 - x ，
因为 f x + g 2 - x = 5，代入得 f x + é7 + f x - 2 ù = 5，
即 f x + f x - 2 = -2，
因为 f x + g 2 - x = 5，所以 f 0 + g 2 = 5，
因为 g 2 = 4，所以 f 0 =1，
所以 f 2 = -2 - f 0 = -3，故 C 错误；
对于 D，由 B 选项可知 g 3 = 6，
因为 f x + g x + 2 = 5，所以 f 1 = 5 - g 3 = -1.
因为 f x + f x - 2 = -2，
所以 f 3 + f 5 +L f 25 = -12， f 4 + f 6 +L f 26 = -12，
所以 f 1 + f 2 +L f 26 = -1- 3-12 -12 = -28，故 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算及变形能力，关键在于根据题中函数的
对称性，得到求解所需变形即可.
27．（2024·河南·二模）已知函数 f x 是偶函数，对任意 x R ，均有 f x = f x + 2 ，当 x 0,1 时，
f x =1- x，则函数 g x = f x - log5 x +1 的零点有 个.
【答案】4
【分析】转化为函数 y = f x 的图象与 y = log5 x +1 的图象的交点个数即可求解.
【解析】函数 f x 是偶函数，说明函数 f x 的图象关于 y 轴对称， f x = f x + 2 说明 f x 的周期是 2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 y = f x 的图象与 y = log5 x +1 的图象，如图所示：
如图所示，共有 4 个不同的交点，即 g x = f x - log5 x +1 有 4 个零点.
故答案为：4.
f x f 3 + x 328．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）已知函数 的定义域是R ， ÷ = f - x ÷， f x + f 6 - x = 0
è 2 è 2
，

0 x 3当 时， f x = 4x - 2x2，则 f 2024 = ．
2
【答案】 2
【分析】根据已知关系式可推导求得 f x + 6 = f x ，利用周期性和对称性可得 f 2024 = f 1 ，结合已知
函数解析式可求得结果.
f 3 3 é3 3 ù【解析】由 + x = f2 ÷
- x
2 ÷得：
f x = f
è è ê
- x - ÷ = f 3- x ，
2 è 2 ú
又 f x + f 6 - x = 0，\ f 3 - x + f 6 - x = 0，
\ f x = - f é 6 - 3- x ù = - f x + 3 ，\ f x + 6 = - f x + 3 = f x ，
\ f 2024 = f 6 337 + 2 = f 2 = f 1 = 4 - 2 = 2 .
故答案为： 2 .
29．（2023 高三·全国·专题练习）设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x =1对称，对任意x1，
x 12
é ù
ê0, ú，都有 f (x1 + x2 ) = f (x1) × f (x )2 2 ，且 f (1) = a > 0 ．
(1(1)求 f ), f (
1)；
2 4
(2)证明 f (x) 是周期函数；
1
(3)记 an = f (2n + )，求 a2n n
．
1 1
【答案】(1) f (1) = a 2 , f (1) = a 4
2 4
(2)证明见解析
1
(3) a = a 2nn
f (1) [ f (1)]2 f (1 11 = ) = [ f ( )]2【分析】（ ）根据题意可得 、 ，结合 f (1) = a > 0 即可求解；
2 2 4
（2）根据抽象函数的对称性和奇偶性可得 f (x) = f (x + 2), x R ，即可得出结果；
f (1) f (n 1 ) f ( 1 ) f ( 1 ) L f ( 1 ) [ f ( 1
1
（3）由（1）可得 = × = × × = )]n f (1，结合 ) = a 2 和周期为 2，即可求
2 2n 2n 2n 2n 2n 2
解.
【解析】（1）因为对任意的 x1, x
1
2 [0, ]，都有 f (x + x ) = f (x ) f (x )，2 1 2 1 2
所以 f (x) = f (
x x
+ ) = f ( x ) f ( x ) 0, x [0,1]，
2 2 2 2
f (1) f (1 1) f (1) f (1 1又 = + = ) = [ f ( )]2 ，
2 2 2 2 2
f (1) 1 1 1 1 1= f ( + ) = f ( ) f ( ) = [ f ( )]2 ， f (1) = a > 0 ，
2 4 4 4 4 4
1 1 1∴ f ( ) 1= a 2 , f ( ) = a 4 .
2 4
（2）设 y = f (x) 关于直线 x =1对称，故 f (x) = f (1+1- x) ，
即 f (x) = f (2 - x), x R ，又 f (x) 是偶函数，
所以 f (-x) = f (x), x R ，
∴ f (-x) = f (2 - x), x R ，将上式中-x以 x 代换，
得 f (x) = f (x + 2), x R ，
则 f (x) 是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期．
（3）由（1）知 f (x) 0, x [0,1]，
∵ f (
1) = f (n 1× ) = f [ 1 1 1 1+ (n -1) × ] = f ( ) f [(n -1) × ] =L
2 2n 2n 2n 2n 2n
f ( 1= ) f ( 1 ) L 1× × f ( ) = [ f ( 1 )]n ，
2n 2n 2n 2n
f (1
1 1 1
又 ) = a 2 ，∴ f ( ) = a 2n .
2 2n
∵ f (x) 的一个周期是 2，
1
∴ f (2n
1
+ ) = f ( 1 )，因此 a = a 2n ．2n 2n n
30．（2023·浙江绍兴·二模）已知定义在 0, + 上的增函数 f x 满足:对任意的 a,b 0, + 都有
f ab = f a + f b 且 f 4 = 2，函数 g x 满足 g x + g 4 - x = -2 ， g 4 - x = g x + 2 . 当 x 0,1 时，
g x = f x +1 -1，若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次为x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次为
k n
x1 ， x2 ，…， xn ，若 éxi + g xi ù + é xi + g xi ù = 21，则m 的取值范围为
i=1 i=1
【答案】 9,11 .
【分析】由 f x 的性质得 f 2 =1， f 1 = 0，由 g x 满足的条件得 g 0 = -1， g 1 = 0， g x 的图象关
于点 2,-1 对称，关于直线 x = 3对称， g x 的一个周期是 4，可得 g x 的最值点与最值的结果，结合已知
分析求解.
【解析】定义在 0, + 上的增函数 f x ，对任意的 a,b 0, + 都有 f ab = f a + f b 且 f 4 = 2，
则 f 4 = f 2 2 = f 2 + f 2 = 2，得 f 2 =1，
f 2 = f 1 2 = f 1 + f 2 =1，得 f 1 = 0，
当 x 0,1 时， g x = f x +1 -1，则 g x 在 0,1 上单调递增，且 g 0 = -1， g 1 = 0，
函数 g x 满足 g x + g 4 - x = -2 ，则 g x 的图象关于点 2,-1 对称，
得 g x 在 3,4 上单调递增，且 g 4 = -1， g 3 = -2，
g 4 - x = g x + 2 ，则 g x 的图象关于直线 x = 3对称，
得 g x 在 1,2 和 2,3 上单调递减，且 g 2 = -1，
由 g x + g 4 - x = -2 和 g 4 - x = g x + 2 ，得 g x + g x + 2 = -2，
则有 g x + 2 + g x + 4 = -2， g x + 4 = g x ，
故 g x 的一个周期是 4，且在 x = 4t +1 t Z 时取最大值 0，在 x = 4t + 3 t Z 时取最小值-2，
若 g x 在 0, m 上取得最大值的 x 值依次为x1，x2，…， xk ，取得最小值的 x 值依次为 x1 ， x2 ，…， xn ，
有 k = n 或 k = n +1，
k n
é xi + g xi ù + éxi + g xi ù = 1+ 5 +L+ 4k - 3 + 3+ 7 +L+ 4n -1 - 2n = 2k 2 - k + 2n2 - n = 21，
i=1 i=1
当 k = n 时，有 4k 2 - 2k - 21 = 0，方程无正整数解；
当 k = n +1时，有 2n2 + n -10 = 0，解得 k = 3,n = 2；
则有 x3 m < x3 ，即9 m <11，
所以m 的取值范围为 9,11 .
故答案为： 9,11
【点睛】方法点睛：
本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调
性和最值.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数 y = f (x), x R,a > 0,a b ．
（1）若 f (x + a) = f (x - a) ，则函数的周期为 2a ；
（2）若 f (x + a) = - f (x)，则函数的周期为 2a ；
（3）若 f x + a
1
= -
f x ，则函数的周期为 2a ；
（4）若 f x + a
1
=
f x ，则函数的周期为 2a ；
（5）若 f (x + a) = f (x + b)，则函数的周期为 a- b ；
（6）若函数 f (x) 的图象关于直线 x = a与 x = b 对称，则函数 f (x) 的周期为 2 | b - a |；
（7）若函数 f (x) 的图象既关于点 (a,0) 对称，又关于点 (b,0) 对称，则函数 f (x) 的周期为 2 | b - a |；
（8）若函数 f (x) 的图象既关于直线 x = a对称，又关于点 (b,0) 对称，则函数 f (x) 的周期为 4 | b - a |．
08 利用函数的基本性质比较大小
1
31．（23-24 高三上·天津蓟州·阶段练习）已知奇函数 f x 在 R 上是增函数，若 a = f log2 ÷，
è 5
b = f log2 4.1 ， c = f 20.5 ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < c < b B．b < a < c C． c < b < a D． c【答案】A
1 0.5
【分析】先利用指数函数和对数函数单调性及中间值比较出 log2 < 2 < log2 4.1，从而根据 f x 的单调性5
比较出大小关系.
1
【解析】 log2 = - log 5 < - log 4 = -2 log
0.5
2 2 ， 2 4.1 > log2 4 = 2， 2 = 2 1,2 ，5
log 12 < 2
0.5 < log
5 2
4.1，
f x f log 1 由于 在 R 0.5上是增函数，故 2 ÷ < f 2 < f log2 4.1 ，
è 5
所以 a < c < b .
故选：A
32．（23-24 高一上·陕西西安·期中）定义域为R 的函数 f x 满足 f 3- x = f x + 3 ，且当 x2 > x1 > 3时，
f x1 - f x2 a f 2x2 x 5 b f 5> 0 = - + = 2 恒成立，设 ，x - x ÷， c = f x + 4 ，则（2 ）1 2 è
A． c > a > b B． c > b > a C． a > c > b D．b > c > a
【答案】C
【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.
【解析】因为定义域为R 的函数 f x 满足 f 3- x = f x + 3 ，
5 7
所以函数 f x 的图象关于 x = 3对称，所以b = f = f ，
è 2 ÷ ÷ è 2
f x1 - f x2
又因为当 x2 > x1 > 3时， > 0 ，x1 - x2
所以函数 f x 在 3, + 单调递增，则在 - ,3 单调递减，
2x2因为 - x + 5 - (x2 + 4) x2 x
1 3
= - +1 = (x - )2 + > 0，
2 4
2x2所以 - x + 5 x2
7
> + 4 > > 3，
2
所以 f 2x2 - x + 5 > f x2 + 4 > f 7 ÷ ，即 a > c > b，
è 2
故选:C,
33．（23-24 高三上·福建厦门·期中）已知定义在R 上的函数 f (x) 满足，① f (x + 2) = f (x) ，② f (x - 2)为
f x1 - f x 2 0 x x f 15 奇函数，③当 x 0,1 时， > 1 2 恒成立.则 - ÷、 f (4) 、 f
11
÷的大小关系正确的x1 - x2 è 2 è 2
是（ ）
15
A． f - ÷ > f 4 f
11 15> ÷ B． f - ÷ > f
11
2 2 2 ÷
> f 4
è è è è 2
f 11 C． ÷ > f 4 f
15> - f 4 11> f > f 15
2
D． -
è è 2 ÷ 2 ÷ ÷ è è 2
【答案】A
15 11
【分析】根据函数的奇偶性、周期性和单调性即可比较 f - 2 ÷
, f 4 , f ÷ 的大小.
è è 2
【解析】由 f (x + 2) = f (x) 可得 f (x) 的周期为 2，
因为 f (x - 2)为奇函数，则 f (-x - 2) = - f (x - 2) ，
又因为 f (x) 的周期为 2，所以 f (-x) = - f (x) ，即 f (x) 为奇函数，
f x - f x
因为 x 0,1 1 2时， > 0，所以 f (x) 在 x 0,1 上单调递增，
x1 - x2
因为 f (x) 为奇函数，所以 f (x) 在 -1,0 上单调递增，所以 f (x) 在 -1,1 上单调递增，
15 15 1
因为 f (x) 的周期为 2， f - ÷ = f2
- + 2 4
2 ÷
= f ÷ ， f (4) = f (0)
è è è 2
，

f 11 f 11 ÷ = - 2 3
= f 1 1 1- ÷ ÷，所以 f ÷ > f 0 > f -2 2 2 2 2 ÷，è è è è è
15 11
即 f - 2 ÷
> f 4 > f ÷ .
è è 2
故选：A.
一、单选题
1．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在 0, + 上单调递减的是（ ）
A x． f x = 2 B． f x = x3
ìlnx, x > 0,
C． f x 1= - x D． f x =
x í -ln -x , x < 0
【答案】C
【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.
【解析】对于 A：函数 f x = 2 x 的定义域为 R，
又 f -x = 2 - x = f x ，所以 f x 是偶函数，故 A 错误；
对于 B：由幂函数 f x = x3 的图象可知， f x = x3 在 0, + 上单调递增，故 B 错误；
对于 C：函数 f x 1= - x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，
x
又 f -x 1= - -x = - f x ，所以 f x 是奇函数，
-x
y 1又幂函数 = , y = -x都在 0, + 上单调递减，
x
所以函数 f x 1= - x 在 0, + 上单调递减，故 C 正确；
x
对于 D：因为对数函数 y = ln x 在 0, + 上单调递增，
ìlnx, x > 0,
所以函数 f x = í 在 0, + ln x , x 0 上单调递增，故 D- - < 错误.
故选：C.
2．（2024· 2山东·二模）已知函数 f x = 2x - mx +1在区间 -1, + 上单调递增，则 f 1 的取值范围是
（ ）．
A． 7, + B． 7,+
C． - ,7 D． - ,7
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得m -4，再由 f 1 = 3 - m，进而求得 f 1 的取值范围.
【解析】由函数 f x = 2x2 - mx +1 m的对称轴是 x = ，
4
m
因为函数在区间 -1, + 上是增函数，所以 -1，解得m -4，
4
又因为 f 1 = 3 - m，因此3 - m 7，所以 f 1 的取值范围是 7, + .
故选：A．
3．（2024·山东·二模）已知函数 f x 是偶函数，且该函数的图像经过点M 2, -5 ，则下列等式恒成立的是
（ ）．
A． f -5 = 2 B． f -5 = -2
C． f -2 = 5 D． f -2 = -5
【答案】D
【分析】根据函数为偶函数，得到 f -2 = f 2 = -5 .
【解析】因为函数 f x 是偶函数，且该函数的图像经过点M 2, -5 ，
所以 f -2 = f 2 = -5，D 正确，其他选项不对.
故选：D
ex - e- x
4．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = 4ln x 的大致图象是（ ）+1
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，求函数定义域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判断各个选项.
4ln x +1 0 ln x 1 1【解析】由题意得 ，即 - ，得 -x ±e 4 ，且 x 0，4
ì 1- ü
所以 f x 的定义域为 íx x ±e 4 ,且x 0 ；

- x x x - x
又 f -x e - e e - e= = - = - f x 4ln x 1 4ln x 1 ，所以 f x 为奇函数，- + +
其图象关于原点对称，排除 B，C；
1 1 1 1
1 - -
0 1
-
e 4 , f 1 e
e - e e ee - e e
又 < < ÷ = 1 = < 0e e ，所以排除 D．è 4ln +1 -3
e
故选：A．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 3x-2 - 32-x，则满足 f x + f 8 - 3x > 0的 x 的取值范围是（ ）
A． - , 4 B． - , 2 C． 2, + D． -2,2
【答案】B
x
【分析】设 g x = 3 - 3- x ，即可判断 g x 为奇函数，又 f x = g x - 2 ，可得 f x 图象的对称中心为
2,0 ，则 f x + f 4 - x = 0，再判断 f x 的单调性，不等式 f x + f 8 - 3x > 0，即
f 8 - 3x > f 4 - x ，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【解析】设 g x = 3x - 3- x ， x R ，则 g -x = 3- x - 3x = -g x ，所以 g x 为奇函数．
又 f x = 3x-2 - 32-x = 3x-2 - 3- x-2 = g x - 2 ，
则 f x 的图象是由 g x 的图象向右平移 2个单位长度得到的，
所以 f x 图象的对称中心为 2,0 ，所以 f x + f 4 - x = 0．
因为 y = 3x 在R 上单调递增， y = 3- x 在R 上单调递减，
所以 g x 在R 上单调递增，则 f x 在R 上单调递增，
因为 f x + f 8 - 3x > 0 = f x + f 4 - x ，
所以 f 8 - 3x > f 4 - x ，所以8 - 3x > 4 - x ，解得 x < 2，
故满足 f x + f 8 - 3x > 0的 x 的取值范围为 - , 2 ．
故选：B
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且对任意的m < n < 0，都有
(m - n)( f (m) - f (n)) < 0 f (-2) = 0 f (x +1) - f (-x -1)，且 ，则不等式 0的解集为（ ）
x
A．[-3, -1]U[0,1] B．[-2,2]
C． (- , -3) U (-2,0) U (2, + ) D．[-3, -1]U (0,1]
【答案】D
【分析】由对任意的m < n < 0，都有 (m - n)( f (m) - f (n)) < 0，得 f x 在 (- ,0)上单调递减，由函数 f x
是定义在R 上的奇函数得 f (-2) = - f (2) = 0， f (0) = 0， f x 在 (0, + )上单调递减，画出 f x +1 的简图，
即可求解．
【解析】对任意的m < n < 0，都有 (m - n) × ( f (m) - f (n)) < 0，
所以 f x 在 (- ,0)上单调递减，
因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数， f (-2) = - f (2) = 0， f (0) = 0，
所以 f x 在 (0, + )上单调递减，则可画出 f x +1 的简图，如图所示，
f (x +1) - f (-x -1) 2 f (x +1)
所以 = 0，
x x
ì f (x +1) 0 ì f (x +1) 0
则 í x = -1x 0 或 íx 0 或 ， > <
ìx -3或-1 x 1 ì-3 x -1或x 1
即 í 或 í 或 x = -1，
x > 0 x < 0
解得 x [-3, -1]U (0,1]，
故选：D．
ìex + a, x < a
7．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数 f (x) = í ， f (x)2 不存在最小值，则实数 a的取值范围是
x + 2ax, x a
（ ）
1 1 1
A． (-1,0) B． ,+ ÷ C． (-1,0) U ,+ ÷ D． - ,0÷ U (1, + )
è 3 è 3 è 3
【答案】C
【分析】分别在 a < 0,a 0条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数 f x 的取值规律，由条
件列不等式求 a的范围，可得结论.
x
【解析】（1）当 a<0时，若 x < a，则 f x = e + a，
x a
因为函数 f x = e + a在 - ,a 上单调递增，所以 a < f x 若 x a，则 f x = x2 + 2ax = x + a 2 - a2 -a2，当且仅当 x = -a时取等号，
因为 f x 不存在最小值，
所以-a2 > a ，所以-1 < a < 0，
（2 x）当 a 0时，若 x < a，则 f x = e + a，
x a
因为函数 f x = e + a在 - ,a 上单调递增，所以 a < f x 若 x a，则 f x = x2 + 2ax = x + a 2 - a2 f a = 3a2，当且仅当 x = a时取等号，
因为 f x 不存在最小值，
1
所以3a2 > a ，所以 a > ，
3
所以实数 a的取值范围是 (-1,0) U
1
,+ 3 ÷，è
故选：C.
8．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知:对于任意的正数 x, y， z 2 xy ，若满足 x + y =1，则
x2 + y2 +1
+ 5x2 + 5y2 + z2 +10xy - 3xz - 3yz k 恒成立，那么 k 的最大值是（ ）
xy
A．6 + 3 B．6 11 11+ C．8 + 3 D．8 +
2 2
【答案】A
x2 + y2 +1 2 2 2
【分析】由已知条件利用基本不等式和二次函数的性质，求出 + 5x + 5y + z +10xy - 3xz - 3yz
xy
的最小值即可.
【解析】正数 x, y，满足 x + y =1，则 2 xy x + y =1，
1 1 1
得 xy ，当且仅当 x = y = 时等号成立，可得 2
2 2 xy
，
x2 + y2 +1 x2 + y2 + x + y 2xy + 2 xy 2
= = 2 + 2 + 4 = 6，当且仅当 x = y
1
= 时等号成立，
xy xy xy xy 2
5x2 + 5y2 + z2 +10xy - 3xz - 3yz = 5 x + y 2 + z2 - 3z x + y = z2 - 3z + 5 ，
又 z 2 xy ，即 z 1， 由二次函数的性质可知， z =1时， z2 - 3z + 5有最大值 3，
x y 1 x
2 + y2 +1
则当 = = ， z =1时， + 5x2 + 5y2 + z2 +10xy - 3xz - 3yz 最小值为
2 xy 6 + 3
，
x2 + y2 +1
+ 5x2 + 5y2由 + z2 +10xy - 3xz - 3yz k 恒成立，
xy
所以 k 的最大值为6 + 3 .
故选：A
二、多选题
2x + 3
9．（2021·江西·模拟预测）已知函数 f (x) = ，则下列叙述正确的是（ ）
x + 4
A． f (x) 的值域为 - , -4 U -4,+ B． f (x) 在区间 - , -4 上单调递增
C． f (x) + f -8 - x = 4 D．若 x x x > -4, x Z ，则 f (x) 的最小值为-3
【答案】BCD
2x + 3 2 x + 4 - 5
【分析】将函数转化为 f (x) 5= = = 2 - ，再逐项判断.
x + 4 x + 4 x + 4
f (x) 2x + 3
2 x + 4 - 5 2 5【解析】函数 = = = - ，
x + 4 x + 4 x + 4
A. f (x) 的值域为 - , 2 U 2,+ ，故错误；
B. f (x) 在区间 - , -4 上单调递增，故正确；
f (x) f 8 x 2x + 3 2x +13C. + - - = + = 4，故正确；
x + 4 x + 4
D. 因为 x x x > -4, x Z ，则 f (x) 的最小值为 f (-3) = -3，故正确；
故选：BCD
10．（2024·江苏南京·二模）已知函数 f (x) 满足 f (x) f (y) = f (xy)+ | x | + | y |，则（ ）
A． f (0) =1 B． f (1) = -1 C． f (x) 是偶函数 D． f (x) 是奇函数
【答案】AC
【分析】利用赋值法求得 f 0 =1， f x =1+ x ，可判断各选项的正误。
【解析】令 y = 0 ，则 f 0 f x = f 0 + x ，
令 x = y = 0
2
，则 é f 0 ù = f 0 ，解得 f 0 = 0或 f 0 =1，
若 f 0 = 0，则 x = 0 恒成立，不合题意，故 f 0 =1，A 选项正确；
f 0 =1，则 f x =1+ x , f -1 = 2，B 选项错误；
函数 f x =1+ x ，定义域为 R， f -x =1+ -x =1+ x = f x ，
f x 为偶函数，C 正确，D 错误.
故选：AC
2
11．（2023·河南·三模）已知函数 f x = lnx -1- ，则下列结论正确的是（
x 1 ）-
A． f x 在定义域上是增函数
B． f x 的值域为R
C． f log2023 2024 + f log2024 2023 =1
b
D f a e +1．若 = - b， a 0,1 ，b 0, + b ，则 aeb =1e -1
【答案】BD
【分析】确定函数定义域，结合导数判断其单调性，可判断 A；作出函数图象，数形结合，判断 B；结合函
1 eb +1 1
数解析式可得 f x + f ÷ = 0，即可判断 C；将 f a = b - b化简变形得到 f a = f ( b )，结合函数单è x e -1 e
a 1调性推出 = b ，即可判断 D.e
2
【解析】对于 A，函数 f x = lnx -1- 的定义域为 (0,1) (1,+ )，
x -1
f x 1 2= + > 0
x f x (0,1), (1, + )x -1 2 ，则 在 上均单调递增，
由于函数图象在 x =1处不连续，故不能说 f x 在定义域上是增函数，A 错误；
2
对于 B，结合函数的单调性，作出函数 f x = lnx -1- 的大致图象，
x -1
结合图象可知 f x 的值域为R ，B 正确；
1 1 2 2x
对于 C，由于 f x = lnx 2-1- f = ln -1- = - ln x -1+，故 x ÷ 1x -1 è x -1 x -1，
x
f x f 1 2 2 2x 2 2(x -1)故 + ÷ = - - + = - + = 0，
è x x -1 x -1 x -1
1
故 f log2023 2024 + f log2024 2023 = f log2023 2024 + f ÷ = 0 ，C 错误；
è log2023 2024
f a ln a 1 2对于 D，由题意知 = - - ，
a -1
ebf a +1 2= - b =1+ - ln eb = ln 1 -1 2- f a f ( 1又 eb -1 eb -1 eb 1 ，即 = b )
eb
-1 e
a 0,1 b 0, + 1而 ， ，故 b (0,1) ，结合 f x 在( 0, 1)上单调递增，e
a 1= ,\aeb可得 b =1，D 正确，e
故选：BD
三、填空题
2
12 2023· · y 2x - 3x + 5．（ 上海嘉定 一模）函数 = 在 x
é3 ,3ù 上的最大值和最小值的乘积为
x -1 ê2 ú
【答案】 40 2 +10 /10 + 40 2
y 2 t 2 1 g t 2 t 2 é1 ù【分析】令 t = x -1，化简 = + ÷ + ，令 = + ÷ +1, t
è t è t ê
, 2ú ，利用对勾函数的性质求解最值即 2
可.
é3 ù 1
【解析】令 t = x -1
é ù
， x = t +1，∵ x ê ,3ú ，∴ t ê ,2 ， 2 2 ú
2 2
∴ y
2(t +1) - 3(t +1) + 5 2t + t + 4 2
= = = 2 t +

÷ +1，t t è t
令 g t = 2 t 2+ ÷ +1, t
é1 , 2ù ，
è t ê 2 ú
由对勾函数的性质可知，函数 g t é1 ù在 ê , 2 上为减函数，在 é ù 2 ú
2, 2 上为增函数，
g 1 ∵ ÷ =10, g 2 = 4 2 +1, g 2 = 7，
è 2
∴ g t =10, gmax t = 4 2 +1min
2 é3 ù
∴函数 y 2x - 3x + 5= 在 x ê ,3ú 上的最大值和最小值分别为2 10, 4 2 +1
，
x -1
∴ y 2x
2 - 3x + 5
函数 = 在 x
é3 ê ,3
ù
ú 上的最大值和最小值的乘积为2 40 2 +10．x -1
故答案为： 40 2 +10．
a b R a 4b 4 a + 2 b13．（2024·湖北黄石·三模）设 ， + ，若 + = ，则 的最小值为 ，此时 a的值为 .
ab
【答案】 2 2 2
【分析】利用基本不等式求出 ab的取值范围，再变形所求式，借助单调求出最小值.
【解析】由 a，b R+ ， a + 4b = 4，得 4 = a + 4b 2 a × 4b = 4 ab ，当且仅当 a = 4b = 2时取等号，
0 < ab 1 a + 2 b a + 4b + 4 ab 1 1因此 ， = = 2 + ，
ab ab ab ab
令 x = ab (0,1]
1 1
，函数 y = + 在 (0,1]上单调递减，当 x =1时， ymin = 2 ，x x
1
所以当ab 1 a = 2,b = a + 2 b= ，即 时， 取得最小值
2 2 2
.
ab
故答案为： 2 2 ；2
14．（2023·云南保山·二模）对于函数 f x ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称 f x 为“倒戈函
x
数”，设函数 f x = 3 + tan x - 2m +1 m R 是定义在 -1,1 上的“倒戈函数”，则实数 m 的取值范围是 .
【答案】1< m
4

3
【分析】根据新定义得到存在 x0 -1,1 , x0 0，使 f -x = - f x ，转化为 4m - 2 = 3x0 - x00 0 + 3 有解，建立
不等式求解即可.
x
【解析】因为函数 f x = 3 + tan x - 2m +1 m R 是定义在 -1,1 上的“倒戈函数”，
所以存在 x0 -1,1 , x0 0，使 f -x0 = - f x0 ，
x
即-3 0 - tan x0 + 2m -1 = 3
- x0 + tan -x0 - 2m +1，
é1
即 4m - 2 = 3x0 + 3- x0 ，令 t = 3x0 ，则 t ê ,3
ù
ú ， 3
1
所以 4m - 2 = t + 2，当且仅当 t =1，即 x0 = 0时取等号，t
1
所以m > 1，当 t = 或 t = 3时， 4m - 2 = 3 1 10 m 4+ = max ，所以 ，3 3 3 3
所以1< m
4
.
3
4
故答案为：1 < m
3

展开更多......

收起↑