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专题 09 函数的图像 函数的零点（八大题型+模拟精练）
目录：
01 画函数的变换图像
02 识别函数的图像
03 函数图像变换的应用
04 求函数的零点及个数
05 二分法求函数的零点
06 根据函数的零点求参数
07 函数零点的其他应用
08 补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用
01 画函数的变换图像
1．（2024 高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：
x3
(1) y = x ；
x + 2
(2) y = ；
x -1
(3)y＝|log2x－1|；
02 识别函数的图像
2
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 y = 的图象为（ ）
1- x
A． B．
C． D．
1
3．（2024·湖北·模拟预测）函数 f x = ex - e x - lnx2 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
ex - e- x ex - e- x
A． f x = f x =4 x - 3 B． 3- 4 x
x
f x e + e
- x x
C． = 4 x D．
f x =
- 3 x -1
03 函数图像变换的应用
3
5．（2024·四川南充·二模）已知函数 f x = x ，则函数 y = f x -1 +1的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 -1,1 对称
C．关于点 -1,0 对称 D．关于点 1,0 对称
1
6．（22-23 高二上·河南·阶段练习）直线 2ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 过函数 f x = x + +1图象的对称中心，
x -1
4 1
则 + 的最小值为（ ）a b
A．9 B．8 C．6 D．5
7．（2022 高三·全国·专题练习）已知二次函数 f x 的图象的顶点坐标是 2,2 ，且截 x 轴所得线段的长度是
4，将函数 f x 的图象向右平移 2 个单位长度，得到抛物线 y = g x ，则抛物线 y = g x 与 y 轴的交点是
（ ）
A． 0, -8 B． 0, -6 C． 0, -2 D． 0,0
8．（23-24 高一上· x河南南阳·期末）已知函数 f x 的定义域为 1, + , 且满足 f 3 +1 = x ， x R ，将 f x
的图象先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g x 的图象.
(1)分别求 f x 与 g x 的解析式；
(2)设函数 h 2x = ég x ù 2 + mg x ，若 h x 在区间 é 1, 3ù 上有零点，求实数 m 的取值范围.
04 求函数的零点及个数
9．（2023 高三· x x+1全国·专题练习）已知指数函数为 f x = 4 ，则函数 y = f x - 2 的零点为（ ）
A． -1 B．0
C．1 D．2
10．（2023· x陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3 + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
11．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f（x）＝2x＋x－2 的零点个数是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
ìx2 + x - 2，x 0
12．（2019 高三·山东·学业考试）函数 f x = í 零点个数为（ ）
-1+ ln x，x > 0
A．3 B．2 C．1 D．0
13 2024· · f x = 2x -1 - a g x = x2．（ 广东湛江 二模）已知函数 ， - 4 x + 2- a，则（ ）
A．当 g x 有 2 个零点时， f x 只有 1 个零点
B．当 g x 有 3 个零点时， f x 有 2 个零点
C．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 2 个零点
D．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 4 个零点
π π π
14．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = 2sin 2x +j - < j < ÷的图像关于点 ,02 2 ÷中心对称，将函数 f x è è 3
π
的图像向右平移 个单位长度得到函数 g x 的图像，则函数 g x 在区间 -π, π 内的零点个数为（
3 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
05 二分法求函数的零点
15．（2023 高三·全国·专题练习）用二分法求函数 f x = ln x +1 + x -1在区间 0,1 上的零点，要求精确度
为0.01时，所需二分区间的次数最少为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
16．（2019 高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是
（ ）
A． B．
C． D．
06 根据函数的零点求参数
17．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知命题 p ：函数 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 内有零点，则命题 p 成立的
一个必要不充分条件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
18．（2023高三·全国·专题练习）函数 f (x) = x × 2x - kx - 2在区间 1,2 内有零点，则实数k的取值范围是 .
19．（22-23 高三·全国·课后作业）已知函数 f x = 20 ×3- x - x的零点 x0 k, k +1 ， k Z，则 k = ．
20．（22-23 高三·全国·对口高考）方程 x2 + ax - 2 = 0 在区间[1,5]上有解，则实数 a 的取值范围
为 ．
21．（2024·全国·模拟预测）若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已
知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0为单元集不等式，则实数 a 的取值范围是 ．
07 函数零点的其他应用
22．（23-24 高三上·山东威海·期末）已知函数 y = f (x) 的图象是连续不断的，且 f (x) 的两个相邻的零点是1，
2，则“ $x0 1,2 ， f (x0 ) > 0 ”是“ "x 1,2 ， f (x) > 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
23．（2020· x江西赣州·模拟预测）设函数 f x = e + a x -1 + b在区间 0,1 上存在零点，则 a2 + b2 的最小值
为（ ）
A 1． e B． 2 C．7 D．3e
1
24．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 x0 是函数 f x = + ln x的一个零点，若 x1 1, x0 ， x2 x0 , + ，1- x
则（ ）
A． f x1 < 0， f x2 < 0 B． f x1 > 0， f x2 > 0
C． f x1 > 0， f x2 < 0 D． f x1 < 0， f x2 > 0
25．（23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知三个函数 f x = x3 + x - 3， g x = 22x + x - 2 ，
h x = ln x + x - 5的零点依次为 a，b ， c，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． c > b > a B． a > c > b C． a > b > c D． c > a > b
ì lg x - a,0 < x 3
26．（20-21 高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 f x = í （其中 a∈R），若 f (x) 的四
lg 6 - x - a,3 < x < 6
4
个零点从小到大依次为 x1, x2 , x3 , x4 ，则 xi 的值是（ ）
i=1
A．16 B．13 C．12 D．10
08 补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用
27．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为 240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q
（单位：L）与速度 v（单位：km/h）（0 v 120）的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
28．（23-24 高三上·福建泉州·期末）函数 f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
x -2 -1 0 1 2 3 5
f x 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A． f x = ka x + b
B． f x = kxex + b
C． f x = k x + b
D． f x = k(x -1)2 + b
29．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组
数据：
x / 月份 2 3 4 5 6 …
y / 元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
1 2x
请从模型 y = x 2 ，模型 y = 中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过 300 元的月份为3
（ ）（参考数据： lg3 0.477 ， lg 2 0.301）
A．8 B．9 C．10 D．11
1
30．（2024·北京朝阳· 2二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 f 满足公式 f = rCSv ，其中 r
2
是空气密度，S 是该飞行器的迎风面积， v是该飞行器相对于空气的速度，C 是空气阻力系数（其大小取
决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P = fv . 当 r , S 不变， v比原来提
高10% 时，下列说法正确的是（ ）
A．若C 不变，则 P 比原来提高不超过30%
B．若C 不变，则 P 比原来提高超过40%
C．为使 P 不变，则C 比原来降低不超过30%
D．为使 P 不变，则C 比原来降低超过40%
31．（2024·全国·模拟预测）2024 年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任
务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半
径的立方成正比，当空间站运行周期增加 1 倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：
ln 2 0.693， e0.462 1.587）（ ）
A．1.587 B．1.442
C．0.587 D．0.442（ ）
t
32．（23-24 高三下· 10e陕西·阶段练习）某种生物群的数量 Q 与时间 t 的关系近似的符合：Q t = （其中 e
et + 9
为自然对 e 2.71828 …），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（ ）
A．该生物群的数量不超过 10
B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
D．该生物群的数量的增长速度最大的时间 t0 2,3
33．（23-24 高三下·甘肃·阶段练习）北京时间 2023 年 12 月 18 日 23 时 59 分，甘肃省临夏州积石山县发生
里氏 6.2 级地震，震源深度 10 公里．面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的中
华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关．震级是以地震仪测定的每次地震活动释
放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分 9 个等级．能量 E
与里氏震级 M 的对应关系为 lg E = 4.8 +1.5M ，试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（ ）
A．100 倍 B．512 倍 C．1000 倍 D．1012 倍
34．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，
通过本人的观测和分析后，于 1618 年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的
2p 3
椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 a 与公转周期 T 有如下关系：T = ×a 2 ，其中 M 为
GM
太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的 8 倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星
的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
35．（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）“开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶
人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值 f x
ì
40sin
π
x
x ÷ +13, 0 x < 2
随着时间 （小时）的变化规律，可以用函数模型 f x = í è 3 来拟合，则该人喝一瓶
90 ×e-0.5x +14, x 2
啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（ ）（参考数据： ln15 2.71， ln 30 3.40）
驾驶行为类别 酒精含量值（mg/100mL）
饮酒驾驶 20,< 80
醉酒驾驶 80
A．5 B．6 C．7 D．8
36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的
ì b
x t = X 0cosh abt - Y a 0sinh abt
变化遵循兰彻斯特模型： í ，其中正实数 X 0 ，Y0 分别为红、蓝两方的
y t Y cosh abt a = 0 - Xb 0sinh abt
初始兵力， t 为战斗时间； x t ， y t 分别为红、蓝两方 t 时刻的兵力；正实数 a，b 分别为红方对蓝方、蓝
ex + e- x ex - e- x
方对红方的战斗效果系数； coshx = 和 sinhx = 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：
2 2
当红、蓝两方任何一方兵力为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．则下
列结论不正确的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，则 x t > y t 0 t T
1 X +Y
B X > Y a = b T = ln 0 0．若 0 0 且 ，则 a X 0 -Y0
X 0 bC．若 >Y a ，则红方获得战斗演习胜利0
X b
D．若 0 > ，则红方获得战斗演习胜利
Y0 a
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 y = x - 2 2x +1 的零点是（ ）
A．2 B． 2,0 C．-2 D．2 或-1
2．（2023·陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3x + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
3．（2024·湖南·二模）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为（ ）
2x2f x f x 2x
2
A． = - x 1 B．
= -
- x +1
f x 2xC． = - 2 xx -1 D． f x = - x2 -1
4．（2024·山西长治·一模）研究人员用 Gompertz 数学模型表示治疗时长 x （月）与肿瘤细胞含量 f (x) 的关
- x
系，其函数解析式为 f (x) = ka-b ，其中 k > 0,b > 0,a 为参数．经过测算，发现 a = e（ e为自然对数的底
1
数）．记 x =1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的 ，那么b 的值为（
e ）
A． 5 +1 B 5 5 +1 5 -1． -1 C． D．
2 2
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数 f x = xlnx - x + x - a 有且仅有两个零点，则 a的取值范围是（ ）
1- ,0 A． ÷ 0,e
2- ,0 B．
e ÷
0,e
è è e
2 1
C． - ,0÷ 0,3 D． - ,0÷ 0,3
è e è e
6 2024· 2 x．（ 新疆乌鲁木齐·二模）设 x > 0，函数 y = x + x - 7, y = 2 + x - 7, y = log2x + x - 7 的零点分别为
a,b,c，则（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． cì x 1 1
ln , x 0
7．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 f x = í 2 ÷ ÷è è 2 ，若函数 g x = f x - mx有 4 个零点，则m
4ln2 x, x > 0
的取值范围为（ ）
ì 16ü
A． ím m 2 B． m m eln2 2
e


ì
C． ím eln2 2 m
16ü ì 2 16< < üD． m m = eln 2或m =
e2
í
e
2
ìlg -x , x < 0

8．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的图象在区间 -t, t (t > 0)内

f x - 2 , x 2
恰好有5对关于 y 轴对称的点，则 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，
经抢修排气扇恢复正常，排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气 4 分钟后又测得浓
度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y （单位： ppm）与排气时间 t （单位：分钟）之间满足函
数关系 y = aeRt （ a, R为常数， e是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm，人就可以安全
进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A． a =128
1
B．R = ln 2
4
C．排气 12 分钟后浓度为16ppm
D．排气 32 分钟后，人可以安全进入车库
10．（2024·黑龙江·二模）定义在R 上的偶函数 f x 满足 f x - 3 = f 5 - x ，当 x 0,1 时， f x = x2 .设函
数 g x = log5 x -1 ，则下列结论正确的是（ ）
A． f x 的图象关于直线 x =1对称
7 17
B． f x 的图象在 x = 处的切线方程为 y = -x +
2 4
C． f 2021 + f 2022 + f 2023 + f 2024 = 2
D． f x 的图象与 g x 的图象所有交点的横坐标之和为 10
ì
2 - log 1 x ,0 < x 211．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 f x = í 2 ， g(x) = f (x) - a ，则（ ）

-x
2 + 8x -11, x > 2,
A．若 g(x)有 2 个不同的零点，则 2 < a < 5
B．当 a = 2时， g f (x) 有 5 个不同的零点
C．若 g(x)有 4 个不同的零点 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1x2 x3x4 的取值范围是 (12,13)
D．若 g(x)有 4 个不同的零点 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，则ax x
x
+ 3
+ x4
1 2 的取值范围是 (6,9)a
三、填空题
12．（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数 f x 6= - log2 x 零点所在的一个区间 .x
13．（2024·河南·二模）已知函数 f x 是偶函数，对任意 x R ，均有 f x = f x + 2 ，当 x 0,1 时，
f x =1- x，则函数 g x = f x - log5 x +1 的零点有 个.
ì x 4 -1 , x 1 2
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í ，若方程 2 é f x ù - a + 2 × f x + a = 0有 7 个
x2 - 6x + 8, x >1
不同的实数根，则实数 a的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024·山东聊城·二模）对于函数 f (x) ，若存在实数 x0 ，使 f (x0 ) f (x0 + l) =1，其中l 0，则称 f (x) 为“可
移l 倒数函数”， x0 为“ f (x) 的可移l 倒数点”．已知 g(x) = ex ,h(x) = x + a(a > 0)．
(1)设j(x) = g(x)h2 (x)，若 2 为“ h(x) 的可移-2倒数点”，求函数j(x) 的单调区间；
ìg(x), x > 0

(2)设w(x) = í 1 , x < 0，若函数
w(x) 恰有 3 个“可移 1 倒数点”，求 a的取值范围．
h(x)专题 09 函数的图像 函数的零点（八大题型+模拟精练）
目录：
01 画函数的变换图像
02 识别函数的图像
03 函数图像变换的应用
04 求函数的零点及个数
05 二分法求函数的零点
06 根据函数的零点求参数
07 函数零点的其他应用
08 补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用
01 画函数的变换图像
1．（2024 高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：
x3
(1) y = x ；
x + 2
(2) y = ；
x -1
(3)y＝|log2x－1|；
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】(1)去绝对值化简成分段函数，画出图象即可．
3 3
(2)原式变形为 y＝1＋ ，先作出 y＝ 的图象，再结合图象变换，即可得出结论．
x -1 x
(3)先作出 y＝log2x 的图象，结合图象变换，即可得出结论．
ì x2 , x > 0
【解析】(1)首先要化简解析式，y＝ í 2
-x , x > 0
利用二次函数的图象作出其图象，如图①所示.
3 3
(2)原式变形为 y＝1＋ ，先作出 y＝ 的图象，再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，
x -1 x
即得如图②所示.
(3)先作出 y＝log2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的图象翻折
到 x 轴上方来，即得 y＝|log2x－1|的图象，如图③所示.
【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档
题．
02 识别函数的图像
2
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 y = 的图象为（ ）
1- x
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.
2 2
【解析】因为 y = ，所以当 x = 0时， y = = 2，故排除 ABC，
1- x 1- x
y 2 2又 = = - 的图象可由函数 y
2
= - 的图象向右平移一个单位得到，则 D 正确.
1- x x -1 x
故选：D.
1
3．（2024·湖北·模拟预测）函数 f x = ex - e x - lnx2 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 x < 0 时 f x 的单调性可排除 BC；再由奇偶性可排除 D.
1
1 ì
e
x - e x - 2ln -x , x < 0
【解析】 f x = ex - e x - lnx2 =

í 1 ，

e
x - e x - 2lnx, x > 0
1
因为当 x < 0 时， y = ex , y = -e x , y = -2ln -x 都为增函数，
1
所以， y = ex - e x - 2ln -x 在 - ,0 上单调递增，故 B，C 错误；
1
- x -又因为 f -x = e - e x - ln x2 - f x ，
所以 f x 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故 D 错误.
故选：A
4．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
f x e
x - e- x ex - e- x
A． = 4 x 3 B．
f x =
- 3- 4 x
ex + e- x x
C． f x = D． f x =4 x - 3 x -1
【答案】A
【分析】利用 f x 在 1, + 上的值排除 B，利用奇偶性排除排除 C，利用 f x 在 1, + 上的单调性排除 D，
从而得解.
ex - e- x
【解析】对于 B，当 x >1时， f x = ，易知 ex - e- x > 0，3- 4x < 0，
3- 4x
则 f x < 0 ，不满足图象，故 B 错误；
ex + e- x
对于 C， f x = 3 3 3 3 4 x 3 ，定义域为 - , -- 4 ÷ U - ,4 4 ÷ U , + ÷ ，è è è 4
- x x x - x
又 f (-x)
e + e e + e
= = = f (x)
4 x 3 4 x 3 ，则
f x 的图象关于 y 轴对称，故 C 错误；
- - -
x x 1
对于 D，当 x >1时， f x = = =1+x -1 x -1 x -1，
由反比例函数的性质可知， f x 在 1, + 上单调递减，故 D 错误；
ex - e- x
检验选项 A， f x = 4 x 满足图中性质，故 A 正确.- 3
故选：A.
03 函数图像变换的应用
5．（2024·四川南充·二模）已知函数 f x 3= ，则函数 y = f x -1 +1x 的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 -1,1 对称
C．关于点 -1,0 对称 D．关于点 1,0 对称
【答案】A
【分析】
首先判断函数 f x 3= x 为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
3 3
【解析】函数 f x = x 的定义域为 x | x 0 ，又 f -x = - = - f x x ，
f x 3所以 = x 为奇函数，则函数 f x 的图象关于原点 0,0 对称，
又 y = f x -1 +1的图象是由 f x 3= x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
所以函数 y = f x -1 +1的图象关于点 1,1 对称.
故选：A
6．（22-23 高二上·河南·阶段练习）直线 2ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 过函数 f x 1= x + +1图象的对称中心，
x -1
4 1
则 + 的最小值为（
a b ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得 f x 的对称中心，从而得到 a + b =1，再利用基本不等
式“1”的妙用即可得解.
1 1
【解析】函数 f x = x + +1 = x -1+ + 2的图象，
x -1 x -1
y x 1可由 = + 的图象向右平移 1 个单位，再向上 2 个单位得到，
x
1 1
又 y = x
1
+ 的定义域为 - ,0 U 0, + ，-x + = -
x -x
x + ，
è x ÷
1
所以 y = x + 是奇函数，则其对称中心为 0,0 ，
x
故 f x 的对称中心为 1,2 ，所以 2a + 2b - 2 = 0，即 a + b =1，
4 1
所以 + = a b 4 1 4b a 4b a+
a b
+ ÷ = 5 + + 5 + 2 × = 9，
è a b a b a b
4b a 2
当且仅当 = ，即 a = 2b = 时,等号成立，
a b 3
4 1
所以 + 的最小值为9 .
a b
故选：A.
7．（2022 高三·全国·专题练习）已知二次函数 f x 的图象的顶点坐标是 2,2 ，且截 x 轴所得线段的长度是
4，将函数 f x 的图象向右平移 2 个单位长度，得到抛物线 y = g x ，则抛物线 y = g x 与 y 轴的交点是
（ ）
A． 0, -8 B． 0, -6 C． 0, -2 D． 0,0
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得 f x ，再利用平移的特征求得 g x ，从而得解.
【解析】因为二次函数 f x 的图象的顶点为 (2, 2)，
故 f x 的对称轴为直线 x = 2，
又 f (x) 的图象截 x 轴所得线段的长度是 4，
所以 f (x) 的图象与 x 轴的交点坐标为 (0,0)和 (4,0)，
1
设 f (x) = a x - 2 2 + 2 a 0 ，将点 (0,0)代入得 a -2 2 + 2 = 0，解得 a = - ，2
f (x) 1= - x - 2 2所以 + 2，
2
因为 g(x)的图象为 f (x) 的图象右移 2 个单位得到的，
1 2 1 2
所以 g x = f (x - 2) = - x - 2 - 2 + 2 = - x - 4 + 2，
2 2
1
令 x = 0，则 y = g 0 = - 0 - 4 2 + 2 = -6，
2
所以 g(x)与 y 轴交点生标为 (0, -6) .
故选：B.
8．（23-24 高一上·河南南阳·期末）已知函数 f x 的定义域为 1, + , 且满足 f 3x +1 = x ， x R ，将 f x
的图象先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数 g x 的图象.
(1)分别求 f x 与 g x 的解析式；
(2)设函数 h x = ég x 2ù + mg x2 ，若 h x 在区间 é ù 1, 3 上有零点，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) f x = log3 x -1 x >1 ， g(x) = log3 x +1 x > 0
é 9
(2) ê- , -1
ù
8 ú
【分析】（1）利用换元法求得 f x 的解析式，根据图象变换的知识求得 g x 的解析式.
（2）先求得 h x 的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数的
性质求得m 的取值范围.
【解析】（1）令3x +1 = t ， x R ，则 t (1,+ ) ， x = log3(t -1)，
所以 f t = log3 t -1 ，则 f x = log3 x -1 x >1 .
由题意可得， g(x) = f (x +1) +1 = log3(x +1-1) +1 = log3 x +1 x > 0 .
（2） h(x) = log3 x +1
2 + m log x23 +1 = log3 x +1 2 + m 2log3 x +1 .
令 n = log
1
3 x，当 x [1, 3]时， n
é0, ù
ê 2 ú
，

函数 h(x) é
1 ù
有零点等价于关于 n的方程 (n +1)2 + m(2n +1) = 0 在 ê0, 2ú 上有解.
令 2n +1 u u [1,2] n
u -1
= ，则 ， = ，
2
u -1 2
所以 (n +1)2
+1
2 ÷ 2m = - = - è u + 2u +1 1 1 ，= - = - u + + 2
2n +1 u 4u 4 u ֏
由双勾函数的单调性可知，
m 1 1函数 = -

u + + 2

÷在 1,2 上单调递减，4 è u
1 1 9
当u = 2时，该函数取得最小值，即mmin = -
2 + + 2 ÷ = -4 è 2
，
8
1 1
当u =1时，该函数取得最大值，即mmax = -

1+ + 2

÷ = -14 ，è 1
é 9 ù
因此，实数 m 的取值范围为 ê- , -1 8 ú
.

【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可
转化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题
来进行求解.
04 求函数的零点及个数
9．（2023 x x+1高三·全国·专题练习）已知指数函数为 f x = 4 ，则函数 y = f x - 2 的零点为（ ）
A． -1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.
【解析】函数 f x = 4x f x - 2x+1，由 = 0，即 4x - 2x+1 = 0，整理得 2x (2x - 2) = 0，解得 x =1，
x+1
所以函数 y = f x - 2 的零点为 1.
故选：C
10．（2023·陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3x + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
x
【解析】令 f x =1- lg 3 + 2 = 0，得3x + 2 =10 ，则 x = log3 8．
故选：A
11．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f（x）＝2x＋x－2 的零点个数是（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】
解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以 f（x）在 R 上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数
为 1.故选 B.
ìx
2 + x - 2，x 0
12．（2019 高三·山东·学业考试）函数 f x = í 零点个数为（ ）
-1+ ln x，x > 0
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据零点的定义计算即可.
【解析】由 f x = 0得：
ìx 0, ìx > 0,
í 2 或
x + x - 2 = 0
í
-1+ ln x = 0,
解得 x = -2或 x=e．
因此函数 f x 共有 2 个零点．
故选：B.
13．（2024·广东湛江· x二模）已知函数 f x = 2 -1 - a g x = x2， - 4 x + 2- a，则（ ）
A．当 g x 有 2 个零点时， f x 只有 1 个零点
B．当 g x 有 3 个零点时， f x 有 2 个零点
C．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 2 个零点
D．当 f x 有 2 个零点时， g x 有 4 个零点
【答案】D
【分析】作出函数 y = 2x -1 ， y = x2 - 4 x + 2图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与 y = a 的图象
的公共点的个数，结合图象可得答案.
【解析】两个函数的零点个数转化为图象与 y = a 的图象的公共点的个数，
y = 2x作出 -1 ， y = x2 - 4 x + 2的大致图象，如图所示.
由图可知，当 g x 有 2 个零点时， f x 无零点或只有 1 个零点；
当 g x 有 3 个零点时， f x 只有 1 个零点；
当 f x 有 2 个零点时， g x 有 4 个零点.
故选：D
14．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = 2sin 2x +j π π π - < j <

÷的图像关于点 ,02 2 ÷
中心对称，将函数 f x
è è 3
π
的图像向右平移 个单位长度得到函数 g x 的图像，则函数 g x 在区间 -π, π 内的零点个数为（
3 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换
【解析】Q函数 f x π的图像关于点 ,0
π
÷中心对称，\ f ÷ = 2sin
2π +j ÷ = 0
2π
3 ，
∴ +j = kπ,k Z ,
è è 3 è 3 3
π j π , j π- < < \ = 又 ，则 f x = 2sin 2x
π
+
2 2 3 3 ÷
．
è
f x π g x 2sin 2x π 将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 = - 的图像,3 è 3 ÷
令 2x
π π kπ 5π π π 2π
- = kπ,k Z，得 x = + ,k Z, ∴函数 g x 在区间 -π, π 内的零点有 x = - , x = - , x = , x = ，
3 6 2 6 3 6 3
共 4 个.
故选：D．
05 二分法求函数的零点
15．（2023 高三·全国·专题练习）用二分法求函数 f x = ln x +1 + x -1在区间 0,1 上的零点，要求精确度
为0.01时，所需二分区间的次数最少为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
*
【分析】由于长度等于 1 区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过 n n N 次操作后，
1 1
区间长度变为 n ，若要求精确度为0.01时则 n < 0.01，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.2 2
【解析】因为开区间 0,1 的长度等于 1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
* 1
所以经过 n n N 次操作后，区间长度变为 n ，2
1
令 n < 0.01，解得 n 7 ，且 n N*，2
故所需二分区间的次数最少为 7.
故选：C.
16．（2019 高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案．
【解析】根据二分法的思想，函数 f x 在区间[a,b]上的图象连续不断，且 f a × f b < 0 ，即函数的零点
是变号零点，才能将区间 (a , b ) 一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项的函数图象分析可知，A，B，D 都符合条件，
而选项 C 不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
故选：C.
06 根据函数的零点求参数
17．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知命题 p ：函数 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 内有零点，则命题 p 成立的
一个必要不充分条件是（ ）
A．3 a <18 B．3 < a <18 C．a < 18 D． a 3
【答案】D
【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出 a的取值范围，结合必要不充分条件的意义判
断即得.
【解析】函数 f (x) = 2x3 + x - a 在R 上单调递增，由函数 f (x) = 2x3 + x - a 在 1,2 内有零点，
ì f (1) = 3 - a < 0
得 í 3 < a 18 p 3 < a 18
f (2) =18
，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
- a 0
显然3 < a 18成立，不等式3 a <18、3 < a <18、a < 18都不一定成立，
而3 < a 18成立，不等式 a 3恒成立，反之，当 a 3时，3 < a 18不一定成立，
所以命题 p 成立的一个必要不充分条件是 a 3 .
故选：D
18．（2023高三·全国·专题练习）函数 f (x) = x × 2x - kx - 2在区间 1,2 内有零点，则实数k的取值范围是 .
【答案】 (0,3)
x 2
【分析】根据题意将问题转化为 y = k 与 g(x) = 2 - ， x (1, 2) 的图象有交点，再由 g(x)在 1,2 上递增，
x
可求得结果.
【解析】令 f (x) = 0 ，则 x ×2x - kx - 2 = 0 ，即 k = 2x
2
- ，
x
即 y = k 与 g(x)
2
= 2x - ， x (1, 2) 的图象有交点，
x
2
因为 y = 2x 和 y = - 在 1,2 上递增，所以 g(x) 2x 2= - 在 1,2 上递增，
x x
所以 g(1) < g(x) < g(2)，即0 < g(x) < 3，
所以0 < k < 3，
即实数 k 的取值范围是 (0,3)，
故答案为： (0,3)
19．（22-23 高三· - x全国·课后作业）已知函数 f x = 20 ×3 - x的零点 x0 k, k +1 ， k Z，则 k = ．
【答案】2
【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.
【解析】因为函数 y = 3- x 为 R 上单调减函数，
故函数 f x = 20 ×3- x - x为 R 上单调减函数，
f 2 20 3-2 2 20 2 2 0 f 3 20 3-3 3 20又 = × - = - = > ， = × - = - 3 < 0，
9 9 27
- x
故 f x = 20 ×3 - x在 (2,3) 上有唯一零点，
结合题意可知 k = 2，
故答案为：2
20．（22-23 高三·全国·对口高考）方程 x2 + ax - 2 = 0 在区间[1,5]上有解，则实数 a 的取值范围
为 ．
é 23
【答案】 ê- ,1
ù
5 ú
【分析】根据 f x = x2 + ax - 2在区间[1,5]端点的正负列式求解即可.
f x = x2【解析】考查 + ax - 2，因为 f 0 = -2 < 0，且 f x 开口向上，
故 f x 在区间[1,5]上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程 x2 + ax - 2 = 0 在区间[1,5]上有解，
ì f 1 0 ì12 + a - 2 0 é 23 ù
则 í a - ,1
f 5 0
，即 í 2 ，解得 . 5 + 5a - 2 0
ê 5 ú
é 23 ù
故答案为： ê- ,1 5 ú
21．（2024·全国·模拟预测）若不等式 f x > 0或 f x < 0 只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已
知不等式 a(x +1)2 - | log2 x | +1> 0为单元集不等式，则实数 a 的取值范围是 ．
1 ù
【答案】 - ,0
è 4 ú
2
【分析】不等式转化为∣log2 x∣< a x +1 +1，引入函数 f x = log2 x ， g x = a x +1
2 +1，分类讨论作出
函数图象，利用数形结合思想求解．
2
【解析】根据题意可转化为满足∣log2 x∣< a x +1 +1的整数 x 的个数为 1．
令 f x = log2 x ， g x = a x +1 2 +1，
当 a > 0 ×时，作出函数 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的图象，如图所示，
数形结合得， f x < g x 的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意；
g x =1 1当 a = 0时， ，所以 | log2 x |< 1，解得 < x < 2，只有一个整数解 x =1，2
所以 a = 0符合题意；
当 a<0 ×时，作出函数 f (x) = log2 x 和 g(x) = a x +1 -1的图象，如图所示，
ì g 1 > 0
要使∣ log2 x∣ < a(x +1)
2 +1的整数解只有一个，只需满足 í
f 2 g 2
，
ì4a +1 > 0 1
即 í1 9a 1 ，结合
a<0可得- < a < 0 ．
+ 4
1 ù
综上所述，实数 a 的取值范围是 - ,0ú ．è 4
1
故答案为： (- ,0]．
4
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.
07 函数零点的其他应用
22．（23-24 高三上·山东威海·期末）已知函数 y = f (x) 的图象是连续不断的，且 f (x) 的两个相邻的零点是1，
2，则“ $x0 1,2 ， f (x0 ) > 0 ”是“ "x 1,2 ， f (x) > 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合函数的单调性，由充分必要条件的判断方法求解即可.
【解析】解：由题意知， f (1) = f (2) = 0，对任意 x 1,2 , f x 0，
而函数 y = f (x) 的图象是连续不断的，
由$x0 1,2 ， f (x0 ) > 0，可得"x 1,2 ， f (x) > 0 ，充分性成立，
反之"x 1,2 ， f (x) > 0 ，显然可推出$x0 1,2 ， f (x0 ) > 0，必要性成立，
故“ $x0 1,2 ， f (x0 ) > 0 ”是“ "x 1,2 ， f (x) > 0 ”的充要条件，
故选：C
23．（2020· x江西赣州·模拟预测）设函数 f x = e + a x -1 + b在区间 0,1 上存在零点，则 a2 + b2 的最小值
为（ ）
A． e B 1． 2 C．7 D．3e
【答案】B
【分析】设 t 为 f (x) 在 0,1 上的零点，可得 et + a(t -1) + b = 0 ，转化为点 (a , b ) 在直线 (t -1)x + y + et = 0 上，
e2t e2t2 2
根据 a2 + b2 的几何意义，可得 a + b 2 ，令 g(t) = 2 ，利用导数求得函数的单调性和最值，(t -1) +1 (t -1) +1
即可得答案.
【解析】设 t 为 f (x) 在 0,1 上的零点，则 et + a(t -1) + b = 0 ，
所以 (t -1)a + b + et = 0 ，即点 (a , b ) 在直线 (t -1)x + y + et = 0 ，
又 a2 + b2 表示点 (a , b ) 到原点距离的平方，
et 2t
则 a2 + b2 2 2
e
，即 a + b ，
(t -1)2 +1 (t -1)2 +1
e2t 2e2tg(t) g (t) (t
2 + 2 - 2t) - e2t (2t - 2) 2e2t (t 2 - 3t + 3)
令 = 2 ，可得 = = ，(t -1) +1 (t 2 + 2 - 2t)2 (t 2 + 2 - 2t)2
因为 e2t > 0, t 2 - 3t + 3 > 0，
所以 g (t) > 0，
可得 g(t)在 0,1 上为单调递增函数，
所以当 t=0 是， g(t)min = g(0)
1
= ，
2
a2 b2 1所以 + 1，即 a2 + b2 的最小值为
2 2
.
故选：B
【点睛】解题的关键是根据 a2 + b2 的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数
求解，分析、计算难度大，属难题.
f x 124．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 x0 是函数 = + ln x的一个零点，若 x 1, x ， x x1- x 1 0 2 0 , + ，
则（ ）
A． f x1 < 0， f x2 < 0 B． f x1 > 0， f x2 > 0
C． f x1 > 0， f x2 < 0 D． f x1 < 0， f x2 > 0
【答案】D
【分析】利用数形结合判定函数值大小即可.
【解析】令 f x 1= + ln x = 0．从而有 ln x 1= ，此方程的解即为函数 f x 的零点．
1- x x -1
在同一坐标系中作出函数 y = ln x 与 y
1
= 的图象，如图所示．
x -1
1
由图象易知， > ln x
1
1 ，从而 ln x1 - < 0，故 ln x
1
1 + < 0 fx 1 x 1 1 x ，即 x- - - 1 < 0．1 1 1
同理 f x2 > 0．
故选：D
25．（23-24 高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知三个函数 f x = x3 + x - 3， g x = 22x + x - 2 ，
h x = ln x + x - 5的零点依次为 a，b ， c，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． c > b > a B． a > c > b C． a > b > c D． c > a > b
【答案】D
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.
【解析】因为 y = x3， y = 22 x 在 R 上为增函数， y = ln x 在 0, + 上为增函数，
所以由题知函数 f x ， g x ， h x 在各自定义域上都为增函数，又 f 1 = -1< 0， f 2 = 7 > 0，
∴ a 1,2 ； g 0 = -1< 0， g 1 = 3 > 0，∴ b 0,1 ；
h 3 = ln 3 - 2 < 0， h 4 = ln 4 -1 > 0，∴ c 3,4 ，
∴ c > a > b .
故选：D.
ì lg x - a,0 < x 3
26．（20-21 高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 f x = í （其中 a∈R），若
f (x) 的四
lg 6 - x - a,3 < x < 6
4
个零点从小到大依次为 x1, x2 , x3 , x4 ，则 xi 的值是（ ）
i=1
A．16 B．13 C．12 D．10
【答案】C
【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.
ì lg x ,0 < x 3
【解析】令 f x = 0 a = í
lg(6 - x) ,3
，
< x < 6
ì lg x ,0 < x 3
设 g x = í
lg(6 x) ,3 x 6
，图象如下图所示：
- < <
所以有0 < x1 <1< x2 < 3 < x3 < 5 < x4 < 6，
且- lg x1 = lg x2 = - lg 6 - x3 = lg 6 - x4 = a ，
-a
因此可得 x1 =10 , x2 =10
a , x3 = 6 -10
-a , x4 = 6 -10
a
，
4
所以 xi =10-a +10a + 6 -10-a + 6 -10a =12，
i=1
故选：C
08 补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用
27．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为 240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q
（单位：L）与速度 v（单位：km/h）（0 v 120）的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
【答案】C
【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.
【解析】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为 0,120 ；第二，在定义域单调递增且单位
增长率变快；第三，函数图象过原点.
A 选项：函数Q = 0.5v + a 在定义域内单调递减，故 A 错误；
B 选项：函数Q = av + b的单位增长率恒定不变，故 B 错误；
C 选项：Q = av3 + bv2 + cv 满足上述三点，故 C 正确；
D 选项：函数Q = k loga v + b 在 v = 0处无意义，D 错误.
故选：C
28．（23-24 高三上·福建泉州·期末）函数 f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
x -2 -1 0 1 2 3 5
f x 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A． f x = ka x + b
B． f x = kxex + b
C． f x = k x + b
D． f x = k(x -1)2 + b
【答案】A
【分析】由函数 f x 的数据即可得出答案.
【解析】由函数 f x 的数据可知，函数 f -2 = f 2 , f -1 = f 1 ，
偶函数满足此性质，可排除 B，D；
当 x > 0时，由函数 f x 的数据可知，函数 f x 增长越来越快，可排除 C.
故选：A.
29．（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组
数据：
x / 月份 2 3 4 5 6 …
y / 元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
1
y 2
x
请从模型 y = x 2 ，模型 = 中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过 300 元的月份为3
（ ）（参考数据： lg3 0.477 ， lg 2 0.301）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出
自变量的范围.
1 2x
【解析】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数 y = x 2 及 y = 的图象．3
如图：
x
y 2 y 2
x
观察发现，这些点基本上是落在函数 = 图象上或附近，因此用 = 这一函数模型．
3 3
2x
当 > 300时， 2x > 900 ，则有 x > log2 900
lg900 2 + 2lg3
= = 9.814
3 lg 2 lg 2
.
由1 x 12且 x N， x 最小值为 10.
故选：C.
1
30．（2024· 2北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 f 满足公式 f = rCSv ，其中 r
2
是空气密度，S 是该飞行器的迎风面积， v是该飞行器相对于空气的速度，C 是空气阻力系数（其大小取
决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P = fv . 当 r , S 不变， v比原来提
高10% 时，下列说法正确的是（ ）
A．若C 不变，则 P 比原来提高不超过30%
B．若C 不变，则 P 比原来提高超过40%
C．为使 P 不变，则C 比原来降低不超过30%
D．为使 P 不变，则C 比原来降低超过40%
【答案】C
1 2P
【分析】由题意可得 P = rCSv3 ，C =2 rSv3 ，结合选项，依次判断即可.
1
【解析】由题意， f = rCSv2
2P
, P = fv P 1，所以 = rCSv3 ，C =2 2 rSv3 ，
A：当 r ,S ，C 不变， v比原来提高10% 时，
则 P
1
1 = rCS(1+10%)
3v3 1= rCS(1.1)3v3 1=1.33 × rCSv3
2 2 2 ，
所以 P 比原来提高超过30%，故 A 错误；
B 1：由选项 A 的分析知， P1 =1.33 × rCSv32 ，
所以 P 比原来提高不超过 40%，故 B 错误；
C：当 r ,S
2P 2P 2P
， P 不变， v比原来提高10% 时，C1 = = = 0.75 ×1.13 rSv3 1.33rSv3 rSv3 ，
所以C 比原来降低不超过30%，故 C 正确；
D：由选项 C 的分析知，C 比原来降低不超过30%，故 D 错误.
故选：C
31．（2024·全国·模拟预测）2024 年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任
务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半
径的立方成正比，当空间站运行周期增加 1 倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：
ln 2 0.693， e0.462 1.587）（ ）
A．1.587 B．1.442
C．0.587 D．0.442（ ）
【答案】C
【分析】利用指数和对数的运算求解即可.
【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，
设T 2 = kR3 ，
当空间站运行周期增加 1 倍时，设此时半径为R1，
2
则 2T = kR 31 ，
3 3
4 R= 1 两式相比得： ÷ ，即 ln 4 = ln
R1
÷ , ln
R1 2ln 2= 0.462，
è R è R R 3
R
故 1 = e0.462 1.587 ，
R
故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587 -1 = 0.587 .
故选：C.
t
32．（23-24 高三下·陕西·阶段练习）某种生物群的数量 Q 与时间 t 的关系近似的符合：Q t 10e= t （其中 ee + 9
为自然对 e 2.71828 …），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（ ）
A．该生物群的数量不超过 10
B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
D．该生物群的数量的增长速度最大的时间 t0 2,3
【答案】C
10et
【分析】对解析式上下同时除以 et ，结合反比例函数模型可判断 A 正确；对Q t = ，求导，Q (t)t 即为e + 9
该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断 C 错，BD 正确
t Q t 10e
t
10 e
t
【解析】因为 e > 0 ， = t = t <10，故该生物种群的数量不会超过 10，故 A 正确；e + 9 e + 9
10et Q t 90e
t 90
Q t = =由 = t ，求导得 et + 9 2 et 18 81 ，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正e + 9 + + et
比，故 C 错误；
et 81+ 81 81因为 t 为对勾函数模型，故 e
t + t 2 e
t t =18，e e e
当且仅当 et = 9，即 t = ln 9时取到等号，
当 t (0, ln 9)时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当 t ln 9,+ 时生物群的数量的增长速度
随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；
且当 t0 = ln 9 2,3 时，Q (t)最大，故 BD 正确.
故选：C.
33．（23-24 高三下·甘肃·阶段练习）北京时间 2023 年 12 月 18 日 23 时 59 分，甘肃省临夏州积石山县发生
里氏 6.2 级地震，震源深度 10 公里．面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的中
华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关．震级是以地震仪测定的每次地震活动释
放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分 9 个等级．能量 E
与里氏震级 M 的对应关系为 lg E = 4.8 +1.5M ，试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（ ）
A．100 倍 B．512 倍 C．1000 倍 D．1012 倍
【答案】C
【分析】借助能量 E 与里氏震级 M 的对应关系计算即可得.
【解析】由 lg E = 4.8 +1.5M ，设 lg E0 = 4.8 +1.5 M + 2 ，
则 lg E0 - lg E = 4.8 +1.5 M + 2 - 4.8 -1.5M = 3，
lg E0 3 E即 = ， 0 = 103 = 1000 .E E
故选：C.
34．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，
通过本人的观测和分析后，于 1618 年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的
2p 3
椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 a 与公转周期 T 有如下关系：T = ×a 2 ，其中 M 为
GM
太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的 8 倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星
的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【答案】B
【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【解析】设火星的公转周期为T1，长半轴长为 a1，火星的公转周期为T2，长半轴长为 a2，
ì 3
T
2p
1 = a 21 ①
则，T = 8T
GM
1 2 ，且 í
T 2p
3
2 = a
2
2 ②
GM
① T 3
得： 1 (
a
= 1 )2 = 8，
② T2 a2
a1
所以， = 4a ，即：
a1 = 4a2 .
2
故选：B．
35．（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）“开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶
人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值 f x
ì
40sin
π
x ÷ +13, 0 x < 2
随着时间 x（小时）的变化规律，可以用函数模型 f x = í è 3 来拟合，则该人喝一瓶
90 ×e
-0.5x +14, x 2
啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（ ）（参考数据： ln15 2.71， ln 30 3.40）
驾驶行为类别 酒精含量值（mg/100mL）
饮酒驾驶 20,< 80
醉酒驾驶 80
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】可结合分段函数建立不等式90e-0.5x +14 < 20，利用指数不等式的求解即可.
【解析】对于 f (x) = 40sin
π x 3 ÷
+13,
è
π 2π
由0 x < 2，则0 x < ，函数 f (x) 先增后减，
3 3
x 3 , 2 当 2 ÷ 时， f (x) = 20 3 +13 > 20，è
所以，该人喝一瓶啤酒后的 2 个小时内，其血液酒精含量可能大于 20，
ìn 2 ì
n 2

则驾车只能在 2 个小时之后，令 í90 ×e-0.5n ，即+14 < 20 íe-0.5n 1
，
< 15
解得 n > 2ln15 2 2.71 = 5.42，
∵n N* ，\n的最小值为 6，故至少经过 6 小时才可以驾车.
故选：B.
36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的
ì
x t = X 0cosh abt b- Y a 0sinh abt
变化遵循兰彻斯特模型： í ，其中正实数 X 0 ，Y0 分别为红、蓝两方的

y t
a
= Y0cosh abt - X 0sinhb abt
初始兵力， t 为战斗时间； x t ， y t 分别为红、蓝两方 t 时刻的兵力；正实数 a，b 分别为红方对蓝方、蓝
ex + e- x ex - e- x
方对红方的战斗效果系数； coshx = 和 sinhx = 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：
2 2
当红、蓝两方任何一方兵力为 0 时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．则下
列结论不正确的是（ ）
A．若 X 0 > Y0 且 a = b，则 x t > y t 0 t T
X Y T 1B．若 0 > 0 且 a = b，则 = ln
X 0 +Y0
a X 0 -Y0
X 0 bC．若 >Y a ，则红方获得战斗演习胜利0
X
D．若 0
b
> ，则红方获得战斗演习胜利
Y0 a
【答案】C
at
【分析】对于 A 根据已知条件利用作差法比较大小即可得出 x t - y t = e X 0 -Y0 > 0，对于 B，利用 A
eat + e-at at0 Y e - e
-at
中结论可得蓝方兵力先为 ，即 0 - X 0 = 0解得T ；对于 C 和 D，若要红方获得战斗演习胜2 2
利，分别解出红、蓝两方兵力为 0 时所用时间 t1 、 t2 ，比较大小即可.
ì x t = X 0 cosh at -Y0 sinh at
【解析】对于 A，若 X 0 > Y0 且 a = b，则 í
y t = Y0 cosh at - X 0 sinh at
，
ì eat + e-at at -at
x t = X
e - e
2 0
- Y
2 0
即 í ，所以 x t - y t = eat X -Yat ，
y t e + e
-at eatY - e
-at 0 0
= - X 2 0 2 0
由 X 0 > Y
at
0 可得 x t - y t = e X 0 -Y0 > 0，即 A 正确；
对于 B，当 a = b时根据 A 中的结论可知 x t > y t ，所以蓝方兵力先为 0 ，
at
y t e + e
-at at
Y e - e
-at
= - X = 0 at -at即 0 0 ，化简可得 e X 0 -Y2 2 0
= e X 0 +Y0 ，
e2at X= 0 +Y0 2at ln X +Y

即 ，两边同时取对数可得 = 0 0X -Y ，0 0 è X 0 -Y
÷
0
1 X 0 +Y0 1
即 t = ln ÷ = ln
X 0 +Y0 1 X 0 +Y0
，所以战斗持续时长为T = ln ，所以 B 正确；
2a è X 0 -Y0 a X 0 -Y0 a X 0 -Y0
对于 C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为 0 时所用时间为 t1 ，蓝方兵力为 0 时所用时间为 t2 ，
X 0 +Y
b
0
即 x t1 = X 0 cosh abt1 b- Ya 0 sinh abt = 0 e
2 abt1 = a1 ，可得 >0
Y b0 - Xa 0
Y a0 + X 0 X 0 +Y
b
0 Y
a
0 + X 0
e2 abt b 0 a b X
2
0 b
同理可得 2 = > ，即 > ，解得 2 > ，a Y aX 0 -Y0 Y
b
0 - X X
a
-Y 0
b a 0 0 b 0
又因为 X 0 ,Y0 , a,b
X b
都为正实数，所以可得 0 > ，红方获得战斗演习胜利；
Y0 a
所以可得 C 错误，D 正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题给的信息比较多，关键是理解题意，然后利用相应的知识（作差法、指数函数
的性质）进行判断.
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 y = x - 2 2x +1 的零点是（ ）
A．2 B． 2,0 C．-2 D．2 或-1
【答案】A
【分析】由题意令 y = 0 可得关于 x 的方程，进而求解.
【解析】由题意令 y = x - 2 2x +1 = 0 ，因为 2x +1 >1 > 0，所以 x - 2 = 0，即 x = 2 .
故选：A.
2．（2023·陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3x + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
x
【解析】令 f x =1- lg 3 + 2 = 0，得3x + 2 =10 ，则 x = log3 8．
故选：A
3．（2024·湖南·二模）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为（ ）
f x 2x
2 2
A． = - B． f x 2x= -x -1 x +1
f x 2xC． = - 2 xx -1 D． f x = - x2 -1
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除 C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除 B；
由图可知，当 x + 时， y - ，
而对于 D 选项，当 x + 时， y 0，故排除 D.
故选：A.
4．（2024·山西长治·一模）研究人员用 Gompertz 数学模型表示治疗时长 x （月）与肿瘤细胞含量 f (x) 的关
- x
系，其函数解析式为 f (x) = ka-b ，其中 k > 0,b > 0,a 为参数．经过测算，发现 a = e（ e为自然对数的底
数）．记 x =1
1
表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的 ，那么b 的值为（
e ）
A 5 1 B 5 1 C 5 +1 D 5 -1． + ． - ． ．
2 2
【答案】D
【分析】根据给定信息，列出方程并求解即得.
ì f (1) = ke-b
-1
-2 -1
【解析】依题意， í ，而 f (2)
1
= f (1) e-b +b 1，则 = ，即b-2 - b-1-2 -1 = 0，
f (2) = ke
-b e e
又b > 0，解得b-1 5 +1 b 5 -1= ，所以 = .
2 2
故选：D
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数 f x = xlnx - x + x - a 有且仅有两个零点，则 a的取值范围是（ ）
1 2
A． - ,0÷ 0,e B． - ,0÷ 0,e
è e è e
2 1
C． - ,0÷ 0,3 D． - ,0÷ 0,3
è e è e
【答案】A
【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数 y = x - a 与函数 y = x - xlnx的图象有两个交
点，求导并画出函数 y = x - xlnx的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得 a的取值范围.
【解析】由 f x = 0可得 x - a = x - xlnx，则函数 y = x - a 与函数 y = x - xlnx的图象有两个交点；
设 g x = x - xlnx，则 g x = -lnx，
令 g x = -lnx > 0，解得0 < x <1；令 g x = -lnx < 0，解得 x >1；
所以 g x 在 0,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减；
g x =1 x 1 g x x 1 1令 ，解得 = ，可求得 的图象在 = 处的切线方程为 y = x + ；
e e e
令 g x = -1，解得 x=e，可求得 g x 的图象在 x=e处的切线方程为 y = -x + e ；
函数 y = x - a 与函数 y = x - xlnx的图象如图所示：
y x 1 1切线 = + 与 y = -x + e 在 x 轴上的截距分别为- , e ,
e e
当 a = 0时， y = x - a 与函数 y = x - xlnx的图象有一个交点，
故实数 a
1
的取值范围为 - ,0÷ 0,e .
è e
故选：A
6．（2024· 2 x新疆乌鲁木齐·二模）设 x > 0，函数 y = x + x - 7, y = 2 + x - 7, y = log2x + x - 7 的零点分别为
a,b,c，则（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c【答案】A
【分析】由题意 a,b,c分别为函数 y = -x + 7与函数 y = x2 , y = 2x , y = log2 x 图象交点的横坐标，作出函数
y = x2 , y = -x + 7, y = 2x , y = log2x 的图象，结合函数图象即可得解.
2
【解析】分别令 y = x + x - 7 = 0, y = 2x + x - 7 = 0, y = log2x + x - 7 = 0，
则 x2 = -x + 7,2x = -x + 7, log2x = -x + 7，
则 a,b,c分别为函数 y = -x + 7 y = x2与函数 , y = 2x , y = log2 x 图象交点的横坐标，
2
分别作出函数 y = x , y = -x + 7, y = 2x , y = log2x 的图象，如图所示，
由图可知， a < b < c .
故选：A.
ì 1 x ln 1 , x 0
7．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 f x = í ÷ ÷è 2 è 2 ，若函数 g x = f x - mx有 4 个零点，则m

4ln
2x, x > 0
的取值范围为（ ）
ìm m 16üA． í 22 B． m m eln 2
e
ì
C 2． ím eln 2 < m
16ü
< ìD m m = eln22 ． í 2 m
16
或 = ü
e e2
【答案】D
【分析】由题意可知：函数 g x 的零点个数即为 y = f x 与 y = mx 的交点个数，利用导数求过原点的切线，
结合图象分析求解.
【解析】作出 f x 的图象，如图所示
令 g x = f x - mx = 0，可得 f x = mx，
由题意可知：函数 g x 的零点个数即为 y = f x 与 y = mx 的交点个数，
若 x > 0，则 f x = 4ln2 x ，可得 f x 8ln x= ，
x
设切点坐标为 8ln xx1, 4 ln2 x1 , x1 >1 1，切线斜率为 k1 = x ，1
y 4ln2 x 8ln x1则切线方程为 - 1 = x - x x 1 ，1
代入点O 0,0 ，可得-4ln2 x1 = -8ln x 21，解得 x1 = e ，
16
此时切线斜率为 k1 = 2 ；e
x x x
x 0 1 1 1 1 若 ，则 f x = ÷ ln = - ln 2 × ÷ ，可得 f x = ln2 2 × ÷ ，
è 2 2 è 2 è 2
1 x2 x2
设切点坐标为 x2 , - ln 2 ×

÷ ÷
1
÷ , x2 0，切线斜率为2 k2 = ln
2 2 ×
è 2 ÷
，
è è
x2 x2
则切线方程为 y + ln 2 1× = ln2 ÷ 2
1× ÷ x - x2 ，
è 2 è 2
x2 x2
代入点O 0,0 1，可得 ln 2 1× = ln2 2 1× ÷ ÷ -x2 ，解得 x2 = - = - log e，
è 2 è 2
2
ln 2
2
此时切线斜率为 k2 = e × ln 2；
ì 2 16ü
结合图象可知m 的取值范围为 ím m = eln 2或m = .
e2
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数
解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运
用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误
的选择．
ìlg -x , x < 0
8．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的图象在区间 -t, t (t > 0)内

f x - 2 , x 2
恰好有5对关于 y 轴对称的点，则 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
ì 1- x -1 ,0 x < 2
【分析】令 g x = í m x = lg xg x 2 , x 2 ， ，根据对称性，问题可以转化为m x 与 g x 的图象在 -
0, t (t > 0)内有5个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.
ì1- x -1 ,0 x < 2
【解析】令 g x = í ，m x = lg x
g x - 2 , x
，
2
因为m x = lg x与 y = lg -x 的图象关于 y 轴对称，
ìlg -x , x < 0
因为函数 f x = í1- x -1 ,0 x < 2的图象在区间 -t, t (t > 0)内恰好有5对关于 y 轴对称的点，

f x - 2 , x 2
ì1- x -1 ,0 x < 2
所以问题转化为m x = lg x与 g x = í 的图象在 0, t (t > 0)内有5g x 2 , x 2 个不同的交点， -
ì1- x -1 ,0 x < 2
在同一平面直角坐标系中画出m x = lg x与 g x = íg x 的图象如下所示： - 2 , x 2
因为m 10 = lg10 =1，当 x >10 时m x >1， g 1 = g 3 = g 5 = g 7 = g 9 = g 11 =1，
结合图象及选项可得 t 的值可以是6，其他值均不符合要求,.
故选：C
ì1- x -1 ,0 x < 2
【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为m x = lg x与 g x = í 的图象在 0, t (t > 0) 内有5 g x - 2 , x 2
个不同的交点.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，
经抢修排气扇恢复正常，排气 4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气 4 分钟后又测得浓
度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度 y （单位： ppm）与排气时间 t （单位：分钟）之间满足函
数关系 y = aeRt （ a, R为常数， e是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm，人就可以安全
进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A． a =128
1
B．R = ln 2
4
C．排气 12 分钟后浓度为16ppm
D．排气 32 分钟后，人可以安全进入车库
【答案】ACD
a 128, R 1【分析】由题意列式，求出 = = - ln 2，即可判断 A，B；可得函数解析式，将 x =12 代入，即可判
4
断 C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断 D.
ìa ×e4R = 64
【解析】设 f (t) = a ×eRt ，代入 (4,64), (8,32)，得 í ,
a ×e
8R = 32
解得 a 128, R
1
= = - ln 2，A 正确，B 错误．
4
t 1
t
- 7 t-
此时 f (t) =128 eR = 27 × 4 2 4 ÷ = 2 4 ，所以 f (12) = 2 =16(ppm)，C 正确．
è
f (t) 0.5 7 t - t当 时，即 2 4 0.5 = 2-1，得7 - -1，所以 t 32，4
所以排气 32 分钟后，人可以安全进入车库，D 正确．
故选:ACD．
10 2．（2024·黑龙江·二模）定义在R 上的偶函数 f x 满足 f x - 3 = f 5 - x ，当 x 0,1 时， f x = x .设函
数 g x = log5 x -1 ，则下列结论正确的是（ ）
A． f x 的图象关于直线 x =1对称
B． f x x 7 17的图象在 = 处的切线方程为 y = -x +
2 4
C． f 2021 + f 2022 + f 2023 + f 2024 = 2
D． f x 的图象与 g x 的图象所有交点的横坐标之和为 10
【答案】ACD
【分析】对于 A，根据奇偶性和对称性可得图象关于 x =1对称；对于 B，根据周期性和对称性可求函数在给
定范围范围上的解析式，故可求切线方程；对于 C，根据周期性可求目标代数式的值；对于 D，数形结合后
可求交点的横坐标的和.
【解析】对于 A，因为 f x 为偶函数，故 f x - 3 = f 5 - x = f x - 5 ，
故 f x = f x + 2 ，所以 f -x = f x + 2 ，故 f x 的图象关于直线 x =1对称，
故 A 正确.
对于 B，由 A 中分析可得 f x 是周期函数且周期为 2，
故当 x 3,4 时， 4 - x 0,1 ，故 f x = f x - 4 = f 4 - x = 4 - x 2，
故当 x 3,4 时， f x = 2 x - 4 7 ，故 f 2 ÷ = -1，è
y x 7 7 15故切线方程为： = - - ÷ + f ÷ = -x + ，故 B 错误.
è 2 è 2 4
对于 C，由 f x 是周期函数且周期为 2可得：
f 2021 + f 2022 + f 2023 + f 2024 = 2 f 0 + 2 f 1 = 2，
故 C 正确.
对于 D，因为 g 2 - x = log5 1- x = g x ，故 g x 的图象关于 x =1对称，
而 g 6 =1， g -4 =1且 x >1时 g x = log5 x -1 ，此时 g x 在 1, + 上为增函数，
故 f x , g x 图象如图所示：
由图可得 f x 的图象与 g x 的图象共有 10 个交点，所有交点的横坐标之和为 10.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：分段函数的性质讨论，一般需利用变换的思想探究该函数的周期性、对称性，如果
已知确定范围上的解析式，那么可利用周期性和对称性求出其他范围上的解析式；对于不同函数的交点情
况的讨论，可结合它们的图象来分析.
ì
2 - log
11 2024· 1
x ,0 < x 2
．（ 江西宜春·模拟预测）已知函数 f x = í 2 ， g(x) = f (x) - a ，则（ ）

-x
2 + 8x -11, x > 2,
A．若 g(x)有 2 个不同的零点，则 2 < a < 5
B．当 a = 2时， g f (x) 有 5 个不同的零点
C．若 g(x)有 4 个不同的零点 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1x2 x3x4 的取值范围是 (12,13)
x + x
D．若 g(x)有 4 个不同的零点 x 3 41, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，则ax1x2 + 的取值范围是 (6,9)a
【答案】BCD
【分析】作出 f x 的图象，由 g x 有 2 个不同的零点，结合图象，可判定 A 错误；由 f ( f (x)) = 2 ，令
t = f (x) ，得到 f (t) = 2，求得 t1 =1,t2 = 4 - 3,t3 = 4 + 3 ，结合图象，可判定 B 正确；由对数的运算性质，
求得 x1x2 =1，结合二次函数的对称性得到 x1x2x3x4 = x3 8 - x3 ，进而判定 C 正确；由
ax x + x 81x2 + 3 4 = a + ,1< a < 2，结合对勾函数的性质，可判定 D 正确．a a
ì2 + log x,0 < x 1
ì2 - log2 x ,0 < x < 2
2

【解析】由函数 f x = í 2 ，可得 f x = 2 - log x,1< x 2 ，
-x + 8x -11, x
í
> 2 2
-x
2 + 8x -11, x > 2
作出 f x 的图象，如图所示．
对于 A 中，由 g(x) = f (x) - a = 0 ，可得 f (x) = a，若 g x 有 2 个不同的零点，
结合图象知a < 1或 2 < a < 5，所以 A 错误；
对于 B 中，当 a = 2时，由 g( f (x)) = 0 ，可得 f ( f (x)) = 2 ，
令 t = f (x) ，则有 f (t) = 2，可得 t1 =1,t2 = 4 - 3,t3 = 4 + 3 ，
结合图像知， t1 = f (x) 有 3 个不等实根， t2 = f (x) 有 2 个不等实根， t3 = f (x)没有实根，
所以 g( f (x))有 5 个不同的零点，所以 B 正确；
对于 C 中，若 g(x)有 4 个不同的零点 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，
则1 < a < 2 ，且 2 + log2 x1 = 2 - log2 x2 ，则 x1x2 =1，
由二次函数的对称性得 x3 + x4 = 8，则 x1x2x3x4 = x3x4 = x3 8 - x3 ，
结合 B 知 x3 (2,4 - 3)，所以 x3 8 - x3 (12,13) ，所以 x1x2 x3x4 的取值范围为 12,13 ，所以 C 正确；
对于 D 中，由 ax1x
x + x 8
2 +
3 4 = a + ，其中1 < a < 2 ，
a a
h a a 8 8由对勾函数的性质，可得 = + 在 (1, 2)上为单调递减函数，可得 a + (6,9) ，
a a
ax x3 + x所以 41x2 + 的取值范围为 (6,9)，所以 D 正确．a
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：求解复合函数 y = f g x 的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：
1、先换元解“套”，令 t = g x ，则 y = f t ，再作出 y = f t 和 t = g x 的图象；
2、由函数 y = f t 的图象观察有几个 t 的值满足条件，结合 t 的值观察 t = g x 的图象，求出每一个 t 被 x 对
应，将 x 的个数汇总后，即为 y = f g x 的根的个数，即“从外到内”.
3、由零点的个数结合 t = g x 与 y = f t 的图象特点，从而确定 t 的取值范围，进而决定参数的范围，即“从
内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.
三、填空题
6
12．（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数 f x = - log2 x 零点所在的一个区间 .x
【答案】 3,4
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【解析】根据对数函数单调性的性质，
6
函数 f x = - log2 x 为 0，+ 上的减函数,x
函数的图像在 0，+ 上为一条连续不断的曲线,
又 f 3 = 2 - log2 3 > 2 - log 4 = 0 f 4
3
2 , = - log 4
3 1
2 = - 2 = - < 0 ,2 2 2
所以函数 f x 6= - log2 x 零点所在的一个区间为 3,4 .x
故答案为: 3,4 .
13．（2024·河南·二模）已知函数 f x 是偶函数，对任意 x R ，均有 f x = f x + 2 ，当 x 0,1 时，
f x =1- x，则函数 g x = f x - log5 x +1 的零点有 个.
【答案】4
【分析】转化为函数 y = f x 的图象与 y = log5 x +1 的图象的交点个数即可求解.
【解析】函数 f x 是偶函数，说明函数 f x 的图象关于 y 轴对称， f x = f x + 2 说明 f x 的周期是 2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 y = f x 的图象与 y = log5 x +1 的图象，如图所示：
如图所示，共有 4 个不同的交点，即 g x = f x - log5 x +1 有 4 个零点.
故答案为：4.
ì 4x -1 , x 1 2
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í ，若方程 2 é f x ù - a + 2 × f x + a = 0有 7 个
x
2 - 6x + 8, x >1
不同的实数根，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 0,2
【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可.
【解析】作出函数 f x 的图象，如图所示．
2
2 f x a 2 f x a 0 é f x -1ù é a ù由 é ù - + × + = ，得 ê f x - = 0， 2 ú
解得 f x =1或 f x a= ．
2
由图象易知，直线 y =1与 f x 的图象有 3 个交点，
所以方程 f x =1有 3 个不同的实数根，
因为方程 2 é f x
2
ù - a + 2 × f x + a = 0有 7 个不同的实数根，
a
所以直线 y = 与 f x 的图象有 4 个交点，
2
a
故0 < <1，解得0 < a < 2 ，故实数 a的取值范围是 0,2 ．
2
故答案为： 0,2
四、解答题
15．（2024·山东聊城·二模）对于函数 f (x) ，若存在实数 x0 ，使 f (x0 ) f (x0 + l) =1，其中l 0，则称 f (x) 为“可
移l 倒数函数”， x0 为“ f (x) 的可移l 倒数点”．已知 g(x) = ex ,h(x) = x + a(a > 0)．
(1)设j(x) = g(x)h2 (x)，若 2 为“ h(x) 的可移-2倒数点”，求函数j(x) 的单调区间；
ìg(x), x > 0
(2)设w(x) =

í 1 , x < 0，若函数
w(x) 恰有 3 个“可移 1 倒数点”，求 a的取值范围．
h(x)
【答案】(1)单调递增区间为 (- , -3), (-1,+ ) ，递减区间为 -3, -1 ；
(2) 2,e .
【分析】（1）根据给定的定义，列式求出 a值，再利用导数求出函数j(x) 的单调区间.
（2）利用定义转化为求方程w x w x +1 =1恰有 3 个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.
【解析】（1）由 2 为“ h x 的可移-2倒数点”，得 h 2 h 2 - 2 =1，
即 2 + a 2 - 2 + a =1 a2，整理 + 2 2 - 2 a +1- 2 2 = 0，即 a + 2 2 -1 a -1 = 0 ，解得 a =1，
由j(x) = ex (x +1)2 的定义域为 R，求导得j x = ex (x +1)2 + 2ex x +1 = ex x +1 x + 3 ，
当 x - ,-3 时，j x > 0,j x 单调递增； x -3, -1 时，j x < 0,j x 单调递减；
x -1, + 时，j x > 0,j x 单调递增，
所以j x 的单调递增区间为 (- , -3), (-1,+ ) ，递减区间为 -3, -1 ．
ìex , x > 0
（2）依题意，w(x) =

í 1 ，
, x < 0 x + a
由w x 恰有 3 个“可移 1 倒数点”，得方程w x w x +1 =1恰有 3 个不等实数根，
①当 x > 0时， x +1 > 0，方程w x w x +1 =1 1可化为 e2x+1 =1，解得 x = - ，2
这与 x > 0不符，因此在 0, + 内w x w x +1 = 0 没有实数根；
x+1
②当-1 < x < 0时， x +1 > 0，方程w x w x +1 =1 e可化为 =1，
x + a
该方程又可化为 a = ex+1 - x．
k x = ex+1设 - x ，则 k x = ex+1 -1，
因为当 x -1,0 时， k x > 0，所以 k x 在 -1,0 内单调递增，
又因为 k -1 = 2, k 0 = e ，所以当 x -1,0 时， k x 2,e ，
因此，当 a 2,e 时，方程w x w x +1 =1在 -1,0 内恰有一个实数根；
当 a 0,2 e,+ 时，方程w x w x +1 =1在 -1,0 内没有实数根．
③当 x=-1时， x +1 = 0,w x +1 没有意义，所以 x=-1不是w x w x +1 =1的实数根．
1 1
④当 x < -1时， x +1< 0，方程w x w x +1 =1可化为 × =1，
x + a x + a +1
2
化为 x + 2a +1 x + a2 + a -1 = 0，于是此方程在 - ,-1 内恰有两个实数根，
ì 2a +1 2 - 4 a2 + a -1 > 0
2a +1
则有 í- < -1 ，解得2 a
1+ 5
> ，
2
1- 2a +1 + a2 + a -1 > 0

因此当 a 1+ 5> 时，方程w x w x +1 =1在 - ,-1 内恰有两个实数根，
2
0 a 1+ 5当 < 时，方程w x w x +1 =1在 - ,-1 内至多有一个实数根，
2
1+ 5
综上， a的取值范围为 2,e ( , + ) = 2,e ．
2
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参
数的取值范围．专题 09 函数的图像、函数的零点
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、利用描点法作函数图象
1.确定函数的定义域；
2.化简函数解析式；
3.讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性);
4.列表(将简单的、有代表性的自变量及对应的函数值列成表格，如：零点、最值点);
5.描点(在平面直角坐标系内描出各点);
6.连线(用平滑的曲线依次连接各点).
二、图象变换
1.平移变换
①y=f(x)→y=f(x+a)(a>0),是把 y=f(x)的图象沿 x 轴向左平程 a 个单位长度得到的.
②y=f(x)→y=f(x+a)(a<0),是把 y=f(x)的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位长度得到的。
③y=f(x)→y=f(x)+k(k>0),是把 y=f(x)的图象沿 y 轴向上平称 k 个单位长度得到的。
④y=f(x)→y=f(x)+k(k<0),是把 y=f(x)的图象沿 y 轴向下平移 k 个单位长度得到的。
2.伸缩变换
1
①y=f(x)→y=f(ax)(a>1),是把 y=f(x)的图象横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变得到的。
a
1
②y=f(x)→y=f(ax)(0a
③y=f(x)→y=af(x)(a>1),是把 y=f(x)的图象纵坐标伸长为原来的 a 倍，横坐标不变得到的.
④y=f(x)→y=af(x)(03.翻转变换
①y=f(x)→y=|f(x)|,是把 y=f(x)的图象位于 x 轴下方部分翻折到上方，x 轴及上方部分不变得到的.
②y=f(x)→y=f(|x|),是把 y=f(x)的图象位于 y 轴右侧部分翻折到左侧，原左侧部分去掉，右侧部分不变得到的。
4.对称变换
①y=f(x)→y=-f(x),关于 x 轴对称； ②y=f(x)→y=f(-x),关于 y 轴对称。
③y=f(x)→y=-f(-x),关于原点对称； ④y=f(x)→x=f(y),关于直线 y=x 对称。
⑤y=f(x)→-x=f(-y),关于直线 y=-x 对称； ⑥y=f(x)→y=f(2a-x),关于直线 x=a 对称。
⑦y=f(x)→2b-y=f(x),关于直线 y=b 对称； ⑧y=f(x)→2b-y=f(2a-x),关于点(a,b)对称。
三、函数的零点
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么函数 y＝f(x)在
区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是 f(x)＝0 的根．我们把这一结论称为函
数零点存在性定理．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋
bx＋c(a＞0) 的图象
与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 两个 一个 零个
四、函数零点存在定理
一般地，如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有 f(a)·f(b)<0,那么,函数 y=f(x)
在区间(a,b)内至少有一个零占即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 就是方程 f(x)=0 的解.
f(a)·f(b)<0 与函数 f(x)存在零点的关系
1.若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f(a)·f(b)<0,则函数 y=f(x)一定有零点.
2.若函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线且在闭区间[a,b]上有零点不一定有 f(a)·f(b)<0,也有可能
f(a)·f(b)>0.
3.若函数 f(x)在[a,b]上单调，且函数图象是一条连续不断的曲线，则 f(a)·f(b)<0→函数 f(x)在[a,b]上只有一个
零点。
温馨提示：函数零点存在定理必须同时满足：①函数 f(x)在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线；
②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立。
五、二分法
1.定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一
分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2.给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点 x0的近似值的一般步骤如下：
①确定零点 x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)f(b)<0．
②求区间(a，b)的中点 c．
③计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(ⅰ)若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点；
(ⅱ)若 f(a)f(c)<0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c；
(ⅲ)若 f(c)f(b)<0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c．
④判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复②～④．
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，
方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点
的横坐标．
3. 零点的判断：数形结合法，通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
一、作函数的图象
例 1　作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝|lg(x－1)|；
(3)y＝x2－|x|－2.
解　(1)将 y＝2x的图象向左平移 1 个单位长度，得到 y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移 1 个单位长度，
得到 y＝2x＋1－1 的图象，如图①所示．
(2)首先作出 y＝lg x 的图象，然后将其向右平移 1 个单位长度，得到 y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在 x
轴下方的部分翻折到 x 轴上方，即得所求函数 y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．
2
(3)y＝x2 |x| 2 {x －x－2，x ≥ 0，－ － ＝ x2 x 2 x < 0 函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作＋ － ， ，
出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．
方法归纳：　图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但
要注意变换顺序．
二、函数图象的识别
x·cos x
例 2　(1)(2022·百师联盟联考)函数 f(x)＝ 的图象大致为(　　)
e|x|
答案　D
解析　由题意知，f(x)的定义域为 R，
－x·cos －x
f(－x)＝
e|－x|
－x·cos x
＝ ＝－f(x)，
e|x|
故 f(x)为奇函数，排除 C；
cos 1
f(1)＝ >0，排除 A；
e
2cos 2
f(2)＝ <0，排除 B.
e2
x－1
(2)(2022·泉州模拟)已知函数 f(x) {e －1，x ≤ 1，＝ log x x > 1 则函数 y＝f(1－x)的图象大致为(　　)2 ， ，
答案　B
ex－1－1，x ≤ 1，
解析　函数 f(x)＝{log2x，x > 1，
－x
所以 y＝g(x) f(1 x) {e －1，x ≥ 0，＝ － ＝ log2 1－x ，x < 0，
所以当 x＝0 时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项 A，C 错误；
当 x≥0 时，g(x)＝e－x－1 单调递减，
故选项 D 错误，选项 B 正确．
方法归纳：　识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)
利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．
三、函数图象的应用
命题点 1　研究函数的性质
例 3　已知函数 f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案　C
解析　将函数 f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得
2
f(x) {x －2x，x ≥ 0，＝ －x2－2x，x < 0，
画出函数 f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在
(－1,1)上单调递减．
命题点 2　函数图象在不等式中的应用
例 4　若当 x∈(1,2)时，函数 y＝(x－1)2 的图象始终在函数 y＝logax 的图象的下方，则实数 a 的取值范围是
________．
答案　(1,2]
解析　如图，在同一平面直角坐标系中画出函数 y＝(x－1)2和 y＝logax 的图象．
由于当 x∈(1,2)时，函数 y＝(x－1)2的图象恒在函数 y＝logax 的图象的下方，
{a > 1，则 log 2 ≥ 1 解得 1命题点 3　求参数的取值范围
x
例 5　已知函数 f(x) {2 －x，x ≤ 0，＝ log2x－x，x > 0， 若方程 f(x)＝－2x＋a 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围
是________．
答案　(－∞，1]
解析　方程 f(x)＝－2x＋a 有两个不同的实数根，即方程 f(x)＋x＝－x＋a 有两个不同的根，等价于函数 y＝
f(x)＋x 与函数 y＝－x＋a 的图象有两个不同的交点．
x
f(x) {2 －x，x ≤ 0，因为 ＝ log2x－x，x > 0，
x
所以 y＝f(x) x {2 ，x ≤ 0，＋ ＝ log2x，x > 0，
作出函数 y＝f(x)＋x 与 y＝－x＋a 的大致图象如图所示．
数形结合可知，当 a≤1 时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数 y＝f(x)＋2x－a 有两个不同的零
点．
方法归纳：　当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
四、函数零点所在区间的判定
例 6　(1)(多选)(2022·菏泽质检)函数 f(x)＝ex－x－2 在下列哪个区间内必有零点(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　AD
1 1
解析　f(－2)＝ >0，f(－1)＝ －1<0，
e2 e
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为 f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以 f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
(2)若 aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　函数 y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于 a因此 f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以 f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即 f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
方法归纳：　确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，
则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
五、函数零点个数的判定
例 7　(1)(2022·绍兴模拟)若函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋1)＝－f(x)，且 x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数
g(x) {|lg x|，x > 0，＝ ex x < 0 则函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为(　　)， ，
A．14 B．13 C．12 D．11
答案　C
解析　因为 f(x＋1)＝－f(x)，
所以函数 y＝f(x)(x∈R)是周期为 2 函数，
因为 x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，
所以作出它的图象，则 y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间)
g(x) {|lg x|，x > 0，再作出函数 ＝ ex x < 0 的图象，，
容易得出交点为 12 个．
(2)函数 f(x)＝ 36－x2·cos x 的零点个数为______．
答案　6
解析　令 36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6,6]．
令 f(x)＝0 得 36－x2＝0 或 cos x＝0，
由 36－x2＝0 得 x＝±6，
π
由 cos x＝0 得 x＝ ＋kπ，k∈Z，
2
又 x∈[－6,6]，
3π π π 3π
∴x 为－ ，－ ， ， .
2 2 2 2
故 f(x)共有 6 个零点．
方法归纳：　求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令 f(x)＝0，方程有多少个解，则 f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
2
ìx - 2x + 3, x > 0[拓展]　已知函数 f x = í x ，则关于 x 方程 f x = ax + 2的根个数不可能是（ ）
2 , x 0
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
答案 C
分析将原问题转化为直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象交点的个数，作出 y = f (x) 的图象，分 a > 0、
a = 0、 a<0三种情况，结合图象求解即可．
解析 作出函数 y = f (x) 的图象，如图所示：
将原问题转化为直线 y = ax + 2（过定点 0,2 ）与函数 y = f (x) 的图象交点的个数，
由图可知，当 a = 0时，直线 y = 2与函数 y = f (x) 的图象只有一个交点；
当 a<0时，直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象没有交点；
当 a > 0时，直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象有三个交点；
所以直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象不可能有两个交点．
故选：C．
题型三　函数零点的应用
命题点 1　根据函数零点个数求参数
ì-xex+1, x 0
例 8　已知函数 f x = í 1 ， h x 2= é f x ù - 2af x + 4 a R ，若函数 h x 恰有 6 个零点，则
ln x - , x > 0
4
实数 a的取值范围是（ ）
5A
5
． ,+ ÷ B． , 4

÷ C． 1, + D2 ． 0, + è 2 è
答案 A
分析 先利用导数研究当 x 0 时，函数 f x 的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数
f x 的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于 a的不等式，解不等式即可得到实数 a
的取值范围．
解析 x 0 f x = -xex+1当 时， ， f x = - x +1 ×ex+1 ，
令 f x = 0，得 x=-1，当 x < -1时， f x > 0， f x 单调递增，
当-1 < x 0时， f x < 0， f x 单调递减，
又 f -1 =1， f 0 = 0，当 x 趋近于- 时， f x 趋近于 0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数 f x 的图象如图所示．
令 f x = t ，则 h x = t 2 - 2at + 4，数形结合可知要使 h x 有 6 个零点，
则 g t = t 2 - 2at + 4 = 0有两个不相等的实数根 t1 、 t2 ，不妨令 t1 > t2，有如下两种情况：
若 t2 = 0 < t1 <1，但 g(0) = 4 0，故排除此种情况，
若 t1 >1 > t2 > 0
2 5
，对于二次函数 g t 开口向上，又 g 0 = 4 > 0，则 g 1 =1 - 2a 1+ 4 < 0，得 a > ，
2
5
综上，实数 a的取值范围是 ,+ ．
è 2 ÷
故选：A
命题点 2　根据函数零点范围求参数
1＋ax
例 9　(2022·北京顺义区模拟)已知函数 f(x)＝3x－ .若存在 x0∈(－∞，－1)，使得 f(x0)＝0，则实数 a 的取x
值范围是(　　)
4 4
A.(－∞， ) B.(0，3 3 )
4
C．(－∞，0) D.( ，＋∞3 )
答案　B
1＋ax
解析　由 f(x)＝3x－ ＝0，
x
1
可得 a＝3x－ ，
x
1
令 g(x)＝3x－ ，其中 x∈(－∞，－1)，
x
由于存在 x0∈(－∞，－1)，使得 f(x0)＝0，
则实数 a 的取值范围即为函数 g(x)在(－∞，－1)上的值域．
1
由于函数 y＝3x，y＝－ 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数 g(x)在(－∞，－1)上单调递增．
x
当 x∈(－∞，－1)时，
1 4
g(x)＝3x－ <3－1＋1＝ ，
x 3
1
又 g(x)＝3x－ >0，
x
4
所以函数 g(x)在(－∞，－1)上的值域为(0，3 ).
4
因此实数 a 的取值范围是(0， .3 )
拓展
1．函数 f (x) = x + log2 x - 4的零点为x1，函数 g(x) = x + loga (x -1) - 5的零点为x2，若 x2 - x1 >1，则实数 a
的取值范围为（ ）
A． 1, 2 B． (1, 2) C． 2,+ D． (2,+ )
答案 D
分析 由函数零点的性质可得到 x1 + log2 x1 = x2 -1+ loga (x2 -1) ，再结合简单复合函数的单调性求出结果即
可.
解析 因为 f (x) = x + log2 x - 4，易得 f (x) 在 0, + 上单调递增，
又 f (2) = 2 + log2 2 - 4 = -1< 0， f (4) = 4 + log2 4 - 4 = 2 > 0 ，
所以 f (x) 在 2,4 上存在唯一零点，即 2 < x1 < 4 ，
又由已知可得 x1 + log2 x1 - 4 = 0 ， x2 + loga (x2 -1) - 5 = 0，
所以 x1 + log2 x1 - 4 = x2 + loga (x2 -1) - 5，
即 x1 + log2 x1 = x2 -1+ loga (x2 -1) ，
因为 x2 - x1 >1，所以 x2 -1> x1，
结合选项可知无需考虑 0 < a < 1，
则 y = x + log2 x 和 y = x -1+ loga x -1 a >1 这两个函数均为增函数，
所以 x1 + log2 x1 = x2 -1+ loga (x2 -1) > x1 + loga x1，即 log2 x1 > loga x1，
ln x ln x
所以 1 > 1 ，又 2 < x1 < 4 ，即 ln x1 > ln 2 > 0，ln 2 ln a
1 1
所以 > ，即 ln a > ln 2，所以 a > 2 .
ln 2 ln a
故选：D.
2．若函数 f (x) = aex - x恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．
1
答案 0, e ÷è
解析 函数 f x = aex - x x恰好有两个零点，等价于方程 a = x 有两个根.e
x
x h x e - xe
x 1- x
设 h x = x ，则 = = x 2 ex ，由 h x > 0 x <1.e e
所以 h x 在 - ,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
1
所以 h x 有极大值 h 1 = .
e
又当 x < 0 时， h x < 0； h 0 = 0；当 x > 0时， h x > 0 .
可画出函数 h x x= x 的草图如下：e
x 1
所以 a = x 有两解，可得0 < a < .e e
1
故答案为： 0, ÷
è e
ì x + 2 , x 0
3．已知 f x = í log x , x 0，若方程 f (x) - a = 0有四个根 x> 1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x3 - x1 + x4 - x2 3
的取值范围为 ．

答案 6,
118ù
è 9 ú
分析 作出函数 y = f x 和函数 y = a 的图象，将方程根的问题，转化为图象交点问题，进而得出x1与x2， x3
与 x4的关系，从而得出结果.
解析 因为方程 f x - a = 0 有四个根 x1, x2 , x3 , x4 ，
ì x + 2 , x 0
故函数 f x = í 的图象与函数 y = alog x , x 0 的图象有四个交点， 3 >
它们的横坐标分别为 x1, x2 , x3 , x4 ，如图所示，
当 x 0 时， x1 + 2 = x2 + 2 ，且 x1 < x2，故 x1 + x2 = -4，
当 x > 0时， log3 x3 = log3 x4 ，且 x3 < x4 ，所以 log3 x3 = - log3 x4 ，解得 x3x4 =1，
ì x + 2 , x 0
因为函数 f x = í 的图象与函数 y = a 的图象有四个交点，
log3 x , x > 0
由图可得，0 < log3 x4 2，故1< x4 9，
所以 x3 - x x x
1
1 + 4 - 2 = x3 + x4 + 4 = x4 + + 4x ，4
令 h x = x 1 4 x 1,9 h x x 1+ + ， ， = + + 4在 1,9 单调递增，
x x
所以 h x > h 1 = 6 118， h x = h 9 =max ，9
故 x3 - x1 + x - x
118ù
4 2 的取值范围是 6, .
è 9 ú
6,118ù故答案为： .
è 9 ú
方法归纳：　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

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