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特训 03 三角函数选填题两大解题技巧（四大题型）
一、勾股定理解三角函数选填题
1.适用范围：已知其中一个三角函数值，求其余两个三角函数值.
2.解题技法：
一画：画一个直角三角形；
二用：用勾股定理求出各条边长；
三求：求出当角α为锐角时的三角函数值；
四定：利用α所在象限确定符号.
二、整体代换法

题型特征：当题目中有特殊角( ， ， 等)与单倍角(a,β,x 等)的和差=a,ma 角的三角函数值，要求二倍角
6 4 3
5 2
(2a,2β,2x 等)或 ， 等形式的三角函数值时，可用整体代换(换元或配角)简化解题过程
6 3
解题技法：
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变
成“已知角”.
2.常见的配角技巧
2 （ ） （ ） （ ） （ ）， （ ） ， ， ，
2 2 2 2
（ ）
（ ） （ ），
2 2 2
目录：
01 ：任意角的三角函数
02 ：同角三角函数的基本关系
03 ：诱导公式
04 ：三角恒等变换
01 ：任意角的三角函数
1．设角 的终边经过点P 3, 4 ，则 tan 的值等于（ ）
3 4 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【答案】C
【分析】借助三角函数定义计算即可得.
tan 4 4【解析】 .
3 3
故选：C.
2．已知 是第二象限的角，P x,6 为其终边上的一点，且 sin 3 ，则 x （ ）．
5
A． 4 B． 4 C． 8 D． 8
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得.
【解析】点P x,6 是第二象限的角 终边上的一点，则 x < 0 ，
sin 3
6 3
由 ，得 2 2 5 ，所以 x 8 .5 x 6
故选：C
π π
3．已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P cos ,sin ÷ ，则 cos


π
÷
è 3 3 è 6
（ ）
A 0 B 1 C 2 3． ． 2 ． D．2 2
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出 sin ， cos ，再由两角差的余弦公式计算可得.
π
【解析】因为P cos ,sin
π 1
÷ ，即P ,
3
3 3 2 2 ÷è ÷
，
è

即角 的终边经过点P
1 , 3 3 ÷÷ ，所以 sin ， cos
1
，
è 2 2 2 2
cos π π所以

÷ cos cos sin sin
π 1 3 3 1 3
.
è 6 6 6 2 2 2 2 2
故选：D
4．已知角 ，角 的顶点均为坐标原点，始边均与 x 轴的非负半轴重合，终边分别过 A 1,3 , B 3,1 ，则
tan α +β =（ ）
2
1
A． 2 1 1或 B．2 或 2 C． 2 D． 22
【答案】D

【分析】取 AB 的中点M ，利用三角函数定义得出 xOM ，再由倾斜角和斜率的关系得出
2
tan kOM ，最后利用OM ^ AB得出答案.2
【解析】记O为坐标原点，因为 A 1,3 , B 3,1 ，所以 OA OB 10 ，
所以点 A 1,3 , B 3,1 ，均在以原点O为圆心 10 为半径的圆上.
连接 AB ，取 AB 的中点M ，连接OM ，则OM ^ AB，
不妨设 , 0,2π xOM ，则 ，
2 2
tan k 1所以 OM 22 k .AB
故选：D.
q q
5．已知角q 满足 sinq < 0， tanq < 0，且 sin sin
q
，则角 属于（
2 2 2 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据题意，由三角函数在各个象限符号的正负，即可判断.
【解析】由 sinq < 0， tanq < 0，得出q 为第四象限角，
3π
所以 2kπ < q < 2π 2kπ
3π q
kπ < < π kπ,k Z，
2 4 2
q q q
则 为第二象限角或第四象限角，又因为 sin sin ，
2 2 2
所以 sin
q
> 0 q，则 为第二象限角.
2 2
故选：B.
02 ：同角三角函数的基本关系

6．已知点P sin
2023π ,cos 2023π q sinq÷ 在角 的终边上，则 （ ）
è 4 6 2 1 cosq
A 6． B 6． C 6 D 6． ．
3 2 3 2
【答案】B
【分析】根据诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求解即可.
cos 2023π cos
337π π π 3
q 6 ÷ cos tan 6 è 6 6【解析】由题意， 2 ，
2 sin 2023π sin 505π 3π
3π
2 2
4 4 ÷
sin
è 4 2
q
sinq 2sin cos
q
所以 2 2q tan
q 6
.
1 cosq 2cos2 2 2
2
故选：B.
7．已知 2sinq cosq 0，则 tan 2q （ ）
4 4 4 4
A． B． C． D．
3 3 5 5
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得 tanq
1
，再由正切的二倍角公式代入计算，即可得到结果.
2
1
【解析】因为 2sinq cosq 0，则 tanq ，
2
2 1

÷
所以 tan 2q
2 tanq 4
è 2
1 tan2 q 2 3 .
1 1

2 ֏
故选：B
8．若 tan


π
÷ 3，则4 sin2 cos
2 （ ）
è
8 6 4
A． B．1 C． D．
5 5 3
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式求出 tan ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入
计算可得.
π tan tan
π
tan tan 1【解析】因为 ÷ 4π 3，即 tan
1
，
è 4 1 tan × tan 1 tan 2
4
2sin cos cos2 2tan 1 2
1
1
则 sin2 cos
2 8 2 2
2
2 2 sin cos tan 1 1 5 ．
÷ 1
è 2
故选：A
cos
9．已知 3，则 tan
π （ ）
cos sin è 4 ÷
A 2 3 1 B 2 3 3． ． 1 C． D．1 3
2
【答案】B
cos
【分析】先将 弦化切求得 tan ，再根据两角和的正切公式即可求解.
cos sin
cos
【解析】因为 3 ，
cos sin
1
所以 3 ，
1 tan tan
3
1 ，
3
tan tan 1所以 ÷ 2 3 11 tan ，è 4
故选：B.
15
10．若 4tan ，则 cos2 （ ）
sin
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 8 8 8
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.
【解析】由 4tan
15
，得 4sin2 15cos ，
sin
即 4cos2 15cos 4 0，解得cos
1
或 cos 4（舍），
4
2 7
所以 cos2 2cos 1 .
8
故选：D.
sin( ) 111．若 ，且 tan 2 tan ，则 sin( ) （
6 ）
A 3 B 2 2． ． C． 3 D
1
．
2 2 2
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算 sin cos , cos sin ，再根据和角公式计算即可.
1
【解析】因为 sin( ) sin cos cos sin ，
6
sin 2sin
又 tan 2 tan ，即 ，则 sin cos 2cos sin cos cos ，
所以 sin cos
1
, cos sin 1 ，
3 6
故 sin( ) sin cos cos sin
1 1 1
.
3 6 2
故选：D
12．已知0 < < < π，且 sin 2cos ， sin sin 3cos cos 0，则 tan （ ）
1
A 1． 1 B 3． C． D．
2 2 2
【答案】C
【分析】找出 tan 和 tan 的关系，求出 tan 和 tan 即可求解.
【解析】Qsin sin 3cos cos 0，
\sin sin 3cos cos ，
tan tan tan tan
\ tan tan 3①，Qsin 2cos ，\ tan 2 2 21 tan tan 1 3 ，
ìtan 1 ìtan 3
\ tan tan 4 ②，由①②解得 ítan 3或 ítan 1，
Q0 < < < π ，\ tan < tan ，
ìtan 3 tan tan tan 1\í \
tan
，
1 1 tan tan 2 .
故选：C.
03 ：诱导公式
2π
13 π 3．已知 sin( ) ，求 cos(2 ) （3 ）6 3
2 1 2 1A． 3 B． C． D．3 3 3
【答案】B
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解即得.
2π π
【解析】由 sin( π 3 ) ，得 cos(2 ) cos[(2 ) π] cos 2(
π
)
6 3 3 3 6
2sin2 ( π ) 1 2 3 1 × ( )2 1 .
6 3 3
故选：B
14．已知函数 f x cos 2x j π，则“j kπ ， k Z ”是“ f x 为偶函数”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
π
【分析】当j kπ k Z 时，代入可得 f x sin 2x ，由正弦函数性质，可验证充分性， f x 为偶函
2
数时，得到j kπ k Z ，可验证必要性.
【解析】函数 f x cos 2x j π，当j kπ k Z 时，
2
f x cos é ê2x
π
kπ
ù
÷ú cos

2x
π
kπ ÷ sin 2x，
è 2 è 2
则 f x 为奇函数，所以充分性不成立，
当 f x 为偶函数时，j kπ k Z ，所以必要性不成立，
π
故“j kπ ， k Z ”是“ f x 为偶函数”的既不充分也不必要条件．
2
故选：D.
15 0,
π
．已知 ÷ ， sin
π 1 2π
2

10 ÷
，则 cos ÷ （ ）
è è 3 è 5
A 2 2 2 2
1
． B． C．
1
D．
3 3 3 3
【答案】C
【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解.

【解析】 cos
2π é π π ù π 1 ÷ cos
sin ê ÷ ú ÷ .è 5 è 10 2 è 10 3
故选：C
cos 2q

16．已知 cos
π 1
q

÷ ，则
è 4 4 tan
q π （ ） ÷
è 4
15 15 15 15
A． B． C． D．
2 4 7 8
【答案】D
π π
【分析】设 q ，则q ，根据诱导公式及二倍角公式可得 cos2q 2sin cos ，根据诱导公式
4 4
tan q π cos 和弦切互化得 ÷ ，代入并利用同角三角函数关系求解即可.
è 4 sin
π
【解析】设 q
π
，则q
1
，cos ，
4 4 4
所以 cos 2q cos
π
2

÷ sin 2 2sin cos tan
q π ， ÷ tan
π 1 cos ÷ ，
è 2 è 4 è 2 tan sin
cos 2q 2sin cos
cos 2sin
2 2 2cos2 2 1 15
所以 tan q π 8 8 .
è 4 ÷ sin
故选：D
π
17．在平面直角坐标系中，若角 的顶点为原点，始边为 x 轴非负半轴，终边经过点 P 3, 4 ，则
3
tan π 2 ÷ .
è 3
24
【答案】
7
π π
【分析】先利用三角函数的定义得到 tan ÷，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得 tan 2 ÷ .
è 3 è 3
【解析】由三角函数的定义，得 tan


π

4
÷ ，所以
è 3 3
2tan
π
8÷
tan 2
π
÷ tan
é
ê2


π

ù
÷ πú tan2
π è 3 3 24
3 3
÷ 16 .è è è 3 1 π tan2 ÷ 1
7
è 3 9
24
故答案为：
7
π 7
18．已知 sin cos
π
3cos sin π lsin 且
cos π 0 ，则实数l 的值为 .
12 12 è 12 ÷ ÷ è 12
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】借助诱导公式与两角和与差的正弦及余弦公式计算即可得.
cos 7 π cos π π π【解析】 ÷

12 12 2 ÷
sin ÷，
è è è 12
lsin π 7则

÷ cos

π

÷ lsin


π π
÷ sin

è 12 è 12 è 12 12 ÷ è
l sin cos
π
cos sin π ÷ sin cos
π
cos sin π 0
è 12 12 è 12 12 ÷
又 sin cos
π π
3cos sin ，
12 12
即 4cos sin
π
×l 2cos sin π 0，
12 12
2l 1 cos sin π即 0，
12
故 2l 1 0，即l
1
.
2
1
故答案为： .
2
04 ：三角恒等变换
19．已知 cos 10° cos 50° cos 50° ，则 tan （ ）
A 3． B 3． C． 3 D． 3
3 3
【答案】C
【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据50° 60° 10°结合两角差的余弦公式化简即可得解.
【解析】由 cos 10° cos 50° cos 50° ，
得 cos10°cos sin10°sin 2cos50°cos ，
故 sin10°sin 2cos50°cos cos10°cos
所以 tan
2cos50° cos10°

sin10°
2cos 60° 10° cos10°

sin10°
cos10° 3 sin10° cos10°
3 .
sin10°
故选：C.
20．已知 sin
π 3 5π ÷

，则 cos 2 ÷的值为（ ）
è12 5 è 6
24 24 7
A． B． C 7． D．
25 25 25 25
【答案】D
【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解.
cos 5π 2 cos é2 5π ù 5π【解析】 ÷ ê ÷ 2cos
2

1
è 6 ÷ è 12
ú
è 12
2sin2 π

÷ 1
9 72 1 ，
è12 25 25
故选：D．
sin 2cos
21．已知角 的始边为 x 轴的非负半轴，终边经过点P 4, 3 ，则 2 2 （ ）5cos sin
2 2
5 5 5 5 1
A． B． C． 或 D．
2 16 2 16 4
【答案】B
1
【分析】根据角的范围可确定 为二 四象限角，则 tan < 0，即可利用二倍角公式得 tan ，利用弦2 2 2 3
切互化即可求解.
3π
【解析】由题意，得角 是第四象限角，则 + 2kπ < < 2π+2kπ,k Z，
2
3π
故 + kπ <
< π+kπ,k Z ，则 为二 四象限角，则 tan < 0，4 2 2 2
2tan
又因为 tan 2
3
，
1 tan2 4
2
1
所以 tan 3（舍去）或 tan ，
2 2 3
sin 2cos tan 2
所以 2 2 2
5
.
5cos sin 5 tan 16
2 2 2
故选：B.
0, , cos2 3 22．若 ÷

，则 cos 2 ÷
（ ）
è 1 tan2 8 è 6
A 3 B 2． ． C 1． D．1
2 2 2
【答案】C
1 tan2
【分析】将 cos 2 用 2 替换后，解方程解出 即可.1 tan
0, , cos2 3【解析】因为 2 ÷
，
è 1 tan2 8
sin2 cos2 1 tan2
可得3 1 tan2 8 sin2 8 cos2 1 tan2 ，
可得3 21 tan2 8 8 tan2 ，
解得 tan2
1
，因为
0, 3
3 ÷
，所以 tan ，
è 2 3

所以 ，
6
1
所以cos ÷ cos .
è 6 3 2
故选：C.
23．已知函数 f x sin 2x j 0 < j < f x f 满足 ÷ ，若0 < x1 < x2 < ，且 f x1 f x2
3
，
è 6 5
则 sin(x2 x1)的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 5
【答案】D
【分析】由 f (x) f (
π) x π
6 得函数在
时取最值，得函数的解析式，再由三角恒等变换计算 sin(x2 x1)的6
值.
π
【解析】因为 f (x) sin(2x j)满足 f (x) f ( ) ，所以 f (
π) 1
6 ，6
2 π所以 j
π π
kπ， k Z，又0 < j < π ，所以j ，
6 2 6
得 f (x) sin(2x
π
)，
6
因为0 < x1 < x2 < π， f (x1) f (x2 )
3
，
5
π π 3π π 13π π 4 π 4
所以 < 2x1 < < 2x2 < ，所以 cos(2x1 ) ， cos(2x ) ，6 6 2 6 6 6 5 2 6 5
cos 2(x x ) cos é(2x π) (2x π)ù 4 ( 4) ( 3) ( 3) 72 1 ê 2 1 ú ， 6 6 5 5 5 5 25
1 cos 2(x x ) 4
因为 0 < x2 x1 < π ，所以 sin(x2 x )
2 1
1 .2 5
故选：D.
24 2．已知 a sin14° cos14° ，b sin 61°， c 3 ，则 a，b ， c的大小顺序为（ ）
2 2
A． a < c < b B． c【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简 a，再利用正弦函数的单调性即可比较出大小.
2 2
【解析】因为 a sin14° cos14° × 2 ×sin 14° 45° sin 59° ，2 2
b sin 61° 3
π
， c sin 60° ，由正弦函数 y sin x 在 0, ÷上递增知： a < c < b，
2 è 2
故选：A.
25．已知 f θ cos 4θ cos3θ ，且θ1，θ2，θ3 是 f θ 在 0, π 内的三个不同零点，下列结论不正确的是
（ ）
π
A． θ1,θ2 ,θ3 B．θ7 1
θ2 θ3 π
1
C． cosθ1 cosθ2 cosθ3 D． cosθ1 cosθ2 cosθ
1
8 3

2
【答案】B
【分析】根据方程 cos 4θ cos3θ 0，θ 0, π 求出θ1，θ2，θ3 ，再逐项验证即可得到答案.
【解析】由题意： cos 4θ cos3θ 0，θ 0, π 得： cos 4θ cos3θ cos π 3θ ，
所以 4θ π 3θ 2kπ或 4θ 3θ π 2kπ， k Z，
又θ 0, π ，所以θ π θ 3π 5π1 ， ，θ7 2 7 3 .7
故 A 正确；
θ θ θ π 3π 5π 9π1 2 3 ，故 B 错误；7 7 7 7
cosθ cosθ π 3π 5π π 2π1 2 cosθ3 cos cos cos cos cos cos
4π
7 7 7 7 7 7
2sin π cos π cos 2π cos 4π
7 7 7 7
2sin π
7
sin 2π cos 2π cos 4π sin 4π cos 4π sin 8π
7 7 7 7 7 7 1π π π ，故 C 正确；2sin 4sin 8sin 8
7 7 7
cosθ cosθ cosθ cos π
2π 4π 6π
1 2 3 cos
3π cos 5π cos cos cos

7 7 7 ֏ 7 7 7
sin π cos
2π
cos 4π cos 6π 1 3π÷ sin sin
π
sin 5π sin 3π sin 7π sin 5π
7 è 7 7 7 2 è 7 7 7 7 7 7
÷

sin π sin π
7 7
1
.故 D 正确.
2
故选：B
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）“ sin 2024π > 0 ”是“ 为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【解析】易知 sin 2024π sin ，所以 sin 2024π > 0 sin > 0
为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，
显然不满足充分性，满足必要性.
故选：B
2 2024· · , cos 1 5 3．（ 重庆 模拟预测）已知 都是锐角， ，sin( ) ，则 cos 2 的值为（ ）
7 14
1
A． B 1． 2 C
3
． D 3．
2 2 2
【答案】A
sin 4 3【分析】根据题意，求得 ，再由 y cos x
11
的单调性，求得 cos( ) ，利用两角差的余弦
7 14
公式，求得cos cos[( )
1
] ，结合余弦的倍角公式，即可求解.
2
1 5 3 4 3
【解析】由 与 均为锐角，且cos ，sin( ) ，所以 sin ，
7 14 7
0 π ,0 π因为 < < < < ，可得0 < < π cos 11， ，
2 2 14
又因为 y cos x在 (0, π) 上单调递减，且 < ，所以 cos > cos( ) ，
因为 cos
1 cos( ) 11 ，所以 ，
7 14
所以 cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin
11 1 5 3 4 3 1
，
14 7 14 7 2
则 cos 2 2cos2 1 2 (
1)2 1 1 .
2 2
故选：A.
3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重
P 3,4 sin 2cos 合，终边经过点 ，则 （ ）
cos sin
A．11 B． 10 C．10 D． 11
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得 sin , cos 的值，代入计算即可.
【解析】因为角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
且角的终边经过点P 3,4 ，
sin 4 4所以 ， cos
3 3

5 5，9 16 9 16
4 2 3sin 2cos
5 5所以 10 .
cos sin 3 4
5 5
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知 tan cos
π

cos π π÷ ÷ 0
0, sin2 ， ÷ ，则 （ ）
è 4 è 4 è 2 4cos2 sin2

A． 2 3 2 B． 4 2 3 C． 2 2 D．3 2 2
【答案】D
【分析】先利用诱导公式和差角公式求出正切值，再利用齐次式可求答案.
π π
【解析】因为 tan cos ÷ cos ÷ 0，所以 tan cos
π ÷ sin
π


÷ 0 ，
è 4 è 4 è 4 è 4

又 0,
π π π
÷ ，所以 cos ÷ 0，所以 tan tan
0 ，
è 2 4 4 ÷ è è
即 tan
1 tan
0，解得 或 ，
1 tan tan 2 1 tan 2 1
π
因为 0, 2 ÷
，所以 tan 2 1，
è
sin2 2sin cos tan 2 1
所以 3 2 2 ．
4cos2 sin2 4cos2 2sin cos 2 tan 2 1
故选：D
π
5 2 2
1
．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 , 0, ÷， cos sin ，且3sin sin(2 )，则
è 4 7
的值为（ ）

A． B C D12 ． ． ．6 4 3
【答案】D
3
【分析】利用同角三角函数关系可得 tan ，利用两角和与差的正弦公式化简
2
3sin[( ) ] sin[( ) ]，可得 tan( ) 2 tan 3 ，根据角的范围，即可得到答案.
cos2 2 1【解析】因为 sin , cos2 sin2 1 2，所以 cos
4
,sin2 3 ，
7 7 7
2
0, π cos sin 3 3因为 ，所以 ， ，所以 ．
è 4 ÷ 7
tan
7 2
由3sin sin(2 )，得3sin[( ) ] sin[( ) ]，
即3sin( ) cos 3cos( )sin sin( ) cos cos( )sin ，
所以 sin( )cos 2cos( )sin ，所以 tan( ) 2 tan 3 ．
又0 <
π π
< ，所以 ．
2 3
故选：D
π (1 sin )(1 cos )
6．（2024·辽宁丹东·一模）已知 (0, )， 4 2 1，则 sin 2 （
2 ）(1 sin )(1 cos )
A 4 2 1 B 4 2 1 C 4 2 1 D 4 2 1． ． ． ．
8 16 8 16
【答案】A
1 sin cos 1
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为 2 2cos 1 1 4 2 1 ，解得
sin
2 2
sin cos 1 2 ，两边平方即可求解.
4
【解析】因为 (0,
π) (0, π) ，所以 ，所以 cos > sin ，
2 2 4 2 2
2
sin cos ×2cos2
(1 sin )(1 cos )
è 2 2
÷
2所以
(1 sin )(1 cos )
2
2
sin cos × 2sin
è 2 2 ÷ 2
sin cos cos 1 cos 1
è 2 2
÷
2
sin
2 2cos 1 1 4 2 1，
sin

cos ÷sin
sin
è 2 2 2 2 2
1 sin cos 1 1所以 sin cos × 4 2 1 1 × 4 2 1 ，2 2 2 2
即 2 2 sin cos 2 2 1，
2
所以 sin cos 1 ，
4
2
2 2
即 sin cos 1 2sin cos 1 sin 2 1 ÷÷ ，
è 4
sin 2 4 2 1所以 .
8
故选：A.
2
【点睛】关键点点睛：关键是得出 sin cos 1 ，由此即可顺利得解.
4
a b 3c
7．（2024·河南·三模）在VABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ，则 tan A tan C
cos A cos B cosC
的最小值是（ ）
4 8
A． B． C． D．4
3 3 2 3
【答案】B
【分析】由正弦定理得 tan A tan B 3 tan C ，再通过两角和的正切公式得 tan A tan B 4，最后使用基本不
等式求解即可.
a b 3c
【解析】因为 ，
cos A cos B cosC
sin A sin B 3sin C
由正弦定理得 ，
cos A cos B cosC
所以 tan A tan B 3 tan C ，
又因为C π - (A B)，
tan A tan B 3 tan A tan B所以 ，
1 tan A tan B
3
所以1 ，
tan A tan B 1
即 tan A tan B 4 .
所以 tan B
4
, tanC 1 (tan A tan B) 1 tan A 4 ，
tan A 3 3 tan A ֏
显然 tan A必为正（否则 tan A和 tan C 都为负，就两个钝角），
所以 tan A tan C 4 tan A 4 16 8 2 ，
3 3tan A 9 3
4
当且仅当 tan A
4 π
，即 tan A 1, A 取等号.
3 3tan A 4
所以 tan A
8
tan C .
3
故选：B.
8．（2024·湖南·二模）在VABC 中，角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c，且a2 b2 c2 2ac 0 ，若
cos A cos C
cos π π 2A C 7 2 , ， ÷ , 2 ，则 tan 的值为（ ）10 è 4 2 cos 5
A．1 B．2 C．4 D．2 或 4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得 B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
a2 2cos B c b
2 2 3π
【解析】由余弦定理得 B , A C π ，
2ac 2 4 4
ì ì
cos A C
7 2
cos AcosC
3 2

10 5
即 í í ，
cos A C 2 sin Asin C 2
2 10
cos A cos C cos2 cos AcosC sin2 sin Asin C sin cos sin AcosC sin C cos A

cos2 cos2 cos2
3 2 cos2 2 sin2 2 sin cos
5 10 2 3 2 2 tan2 22 tan
2 ，

cos 5 10 2 5
所以 tan2 5 tan 4 0 tan 1或 tan 4 ，
π
又 ,
π
÷ ，所以 tan 4 .
è 4 2
故选：C
B 3π【点睛】思路点睛：由余弦定理先求 , A C
π
，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次式
4 4
方程解方程即可.
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）若q 0, π ，且 sinq 2cosq ，则（ ）
A． tan π q 2
B． cosq 5
5
C． f x sin x q 在 0, π
è 2 ÷
上单调递减

D．当 g x cosq cos x sinq sin x 2 5取得最大值时， sin x
5
【答案】AC
2 5 5
【分析】根据同角关系即可求解 sinq , cosq ， tanq 2 < 0 ，即可判断 AB,根据三角函数的性
5 5
质即可求解 CD.
π
【解析】由 sinq 2cosq 可得 tanq 2 0 q , π < 2 5，所以 2 ÷，故 sinq , cosq
5
，
è 5 5
对于 A, tan π q tanq =2，故 A 正确，
5
对于 B， cosq ，故 B 错误，
5
x π 0, πx q q , π q q , π π q π, 3π 对于 C， ÷ ，则 + +2 ÷ ，由于 ÷，
+
2 2 2 ÷
，
è è è è 2
π
所以 f x sin x q 在 0, 2 ÷上单调递减，故 C 正确，è
对于 D， g x cosq cos x sinq sin x=cos x q ，当 x q =2kπ,k Z时取最大值，
故 sin x sin q 2 5 2kπ sinq ，故 D 错误，
5
故选：AC
π
10．（2024· π河南周口·模拟预测）设 (0, )， (0, )，则下列计算正确的是（
2 2 ）
A． cos < cos
π π 1
B．若 sin( ) cos( ) ，则 tan 2
4 4 6
C．若 tan
1
tan ，则 2
π

cos 2
cos 2 1
D．若 0
3π
，则 1 sin 2 tan 4
【答案】AD
【分析】由两角和差的余弦公式判断 A，利用二倍角公式及同角三角函数关系判断 B，化弦为切，结合两角
和差的正余弦公式求解判断 C，利用二倍角公式及三角恒等变换化简求解判断 D.
π
【解析】对于 A，因为 (0, )， (0, π)，则 cos( ) cos cos sin sin ，
2 2
cos( ) cos cos sin sin ，故 cos( ) cos( ) 2sin sin > 0 ，
所以 cos < cos ，正确；
sin( π)cos( π) 1 sin(2 π) 1 cos 2 1 1对于 B，因为 ，所以 cos 2 ，
4 4 2 2 2 6 3
2
而 cos 2 1 2sin2 2，所以 sin ，又 (0,
π) 6 3，所以
3 2 sin
， cos ，
3 3
所以 tan 2 ，错误；
1 sin sin 1
对于 C，由 tan tan 得， sin cos cos sin cos
cos cos cos cos
，所以 ，
即 sin( ) sin
π π π π
÷，因为 (0, )， (0, )，所以 (0, π), (0,
π)，
è 2 2 2 2 2
π则 或
π π
π ，即 2 π 或 （不合题意，舍去），错误；
2 2 2 2
cos 2 1 cos2 sin2 cos cos2 sin2 cos cos sin cos
对于 D， 1 sin 2 tan 1 2sin cos sin sin cos 2 sin sin cos sin ，
cos 2 1 0 cos sin cos 因为 01 sin 2 tan ，所以 sin cos sin ，
即 cos sin sin sin sin cos cos cos 0，即 sin( ) cos( ) 0，
π π
所以 2 sin( ) 0，即 sin( ) 0，
4 4
因为 (0, π)
π ( π , 5π，所以 )，
4 4 4
π 3π所以 π ，所以 ，正确.
4 4
故选：AD
11．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角 R，它的终边OP与单位圆的交点 P 的坐标，无
论是横坐标 x 还是纵坐标 y，都是唯一确定的，所以点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 都是角 的函数.下面给出这
些函数的定义：
①把点 P 的纵坐标 y 叫作 的正弦函数，记作 sin ，即 y sin ；
②把点 P 的横坐标 x 叫作 的余弦函数，记作 cos ，即 x cos ；
1
③把点 P 的纵坐标 y 的倒数叫作 的余割，记作csc ，即 csc y ；
④把点 P 的横坐标 x 的倒数叫作 的正割，记作 sec
1
，即 sec .
x
下列结论正确的有（ ）
sec 5πA． 2
4
B．cos ×sec 1
C．函数 f x secx的定义域为 x x kπ, k Z
D． sec2 sin2 csc2 cos2 5
【答案】ABD
【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.
csc 5π 1 5π 2【解析】 4 sin ，A 正确；
4
cos ×sec 1 cos × 1，B 正确；
cos
函数 f x secx ìx x kπ+ π的定义域为 í , k Zü ，C 错误；
2
sec2 sin2 csc2 cos2 1 1 1 1 1 4 1 5，
cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 2
当 sin2 1时，等号成立，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
2 2
12 2024· sin cos ．（ 陕西安康·模拟预测）若 tan 2024π ，则 .
3 2cos cos2
32
【答案】
15
【分析】利用诱导公式求出 tan ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可
得.
【解析】因为 tan 2024π 2 2 ，所以 tan ，
3 3
sin cos2
所以
2cos cos 2
sin cos2

2cos cos2 sin2
tan 1

2 1 tan2
2

3 1 32
2 2 2 15 .1

3 ֏
32
故答案为：
15
π
13．（2024·江苏·一模）已知 , 0, ÷，且 sin sin
1
， cos cos
1
，则
è 2 2 2
tan tan ．
8 2
【答案】 / 2
3 3
π 1
【分析】变形后得到 sin cos sin cos ，利用辅助角公式得到 ，得到 sin cos ，两
2 2
边平方后得到 sin cos
3
，利用同角三角函数关系求出 tan tan
1 8
.
8 sin cos 3
【解析】由题可知 sin sin cos cos ，所以 sin cos sin cos ，
2 sin π 2 sin π所以 ÷

4 4 ÷
，
è è
, 0, π π π 3π π π 3π因为 ÷，所以

, ÷ ,

2 4 4 4 4
,
4 4 ÷
，
è è è
又
π π π
，所以 a π，故 ，
4 4 2
所以 sin sin sin cos
1
，
2
两边平方后得 sin2 2sin cos cos2
1
，故 sin cos
3
，
4 8
tan tan tan 1 sin cos 1 8 ．
tan cos sin sin cos 3
8
故答案为：
3
14．（2020·江苏南京·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，已知 cos2 B cos2 Asin2 B 4cos2 Acos2 B，则
sin 2Asin 2B
的取值范围是 .
4cos2 C 2sin 2Asin 2B
é 6 1
【答案】 ê , 13 2 ÷
【分析】利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到
2 2 sin 2Asin 2B sin Asin B cos Acos Bcos Acos B取值范围，利用三角函数的恒等变换化简 为 ，构4cos2 C 2sin 2Asin 2B 1 3cos2 Acos2 B
造函数利用导数研究其值域即可.
2 2 2 2 2
【解析】由题意可得， cos B cos A 1 cos B 4cos Acos B，
即 cos2 B cos2 A 5cos2 Acos2 B .不妨设 cos2 A a, cos2 B b,
则 sin2 A 1 a,sin2 B 1 b, a b 5ab,
a 1 2 2
由b <1得 < a <1, 令 f (x)
x 5x 2x
, f '(x) ，
5a 1 4 5x 1 5x 1 2
f (x) < 0, x 1 2 ( , ), f (x)单调递减，
4 5
f (x) 0, x (2> ,1), f (x) 单调递增，
5
x 2 , f (x)取得极小值，也是最下值， f (1) > f (0)，
5
f (x) 1 ,1 é 2 所以 在 ÷ 上的值域为 ê f ÷ , f 1
é 4 , 1
4 ，è è 5 ÷ ÷ ê 25 4
2
ab a é 4 1 所以 ê , ÷ ,又△ ABC 为锐角三角形，5a 1 25 4
所以 cos A B ab 1 a 1 b < 0 ，
则 ab
1
< ，故 ab
é 4 1 , .
5 ÷ ê25 5
sin 2Asin 2B sin 2Asin 2B

4cos2 C 2sin 2Asin 2B 2 cos2C 1 2sin 2Asin 2B
sin 2Asin 2B

2cos 2A 2B 2sin 2Asin 2B 2
sin 2Asin 2B sin 2Asin 2B

2cos2Acos2B 2 2 2cos2 A 1 2cos2 B 1 2
sin Asin B cos Acos B
a(1 a)b(1 b) ab(1 4ab)2 2 ,1 3cos Acos B 1 3ab 1 3ab
g(x) x(1 4x) , g '(x) 1 5x g(x) é 4 , 1 令 1 3x 2 1 3x 3 ，故 在 ê ÷ 上单调递增， 25 5
é 4 g , g 1 é 6 1所以 g(x)

的值域为 ê ÷ ÷ ÷
è 25 è 5 ÷ ê
, ,
ê 13 2
÷

sin 2Asin 2B 6 1
é , 故 的取值范围是 .
4cos2 C 2sin 2Asin 2B ê 13 2 ÷
é 6 , 1 故答案为： ÷
ê13 2
【点睛】本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.特训 03 三角函数选填题两大解题技巧（四大题型）
一、勾股定理解三角函数选填题
1.适用范围：已知其中一个三角函数值，求其余两个三角函数值.
2.解题技法：
一画：画一个直角三角形；
二用：用勾股定理求出各条边长；
三求：求出当角α为锐角时的三角函数值；
四定：利用α所在象限确定符号.
二、整体代换法

题型特征：当题目中有特殊角( ， ， 等)与单倍角(a,β,x 等)的和差=a,ma 角的三角函数值，要求二倍角
6 4 3
5 2
(2a,2β,2x 等)或 ， 等形式的三角函数值时，可用整体代换(换元或配角)简化解题过程
6 3
解题技法：
1.三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变
成“已知角”.
2.常见的配角技巧
2 （ ） （ ） （ ） （ ）， （ ） ， ， ，
2 2 2 2
（ ）
（ ） （ ），
2 2 2
目录：
01 ：任意角的三角函数
02 ：同角三角函数的基本关系
03 ：诱导公式
04 ：三角恒等变换
01 ：任意角的三角函数
1．设角 的终边经过点P 3, 4 ，则 tan 的值等于（ ）
3 4 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
3
2．已知 是第二象限的角，P x,6 为其终边上的一点，且 sin ，则 x （ ）．
5
A． 4 B． 4 C． 8 D． 8
π π π
3 ．已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P cos ,sin3 3 ÷
，则 cos
è è 6 ÷
（ ）
A 1 2 3．0 B． 2 C． D．2 2
4．已知角 ，角 的顶点均为坐标原点，始边均与 x 轴的非负半轴重合，终边分别过 A 1,3 , B 3,1 ，则
tan α +β =（ ）
2
1
A． 2 1或 B．2 或 2 C
1
．
2 2
D． 2
q
5．已知角q 满足 sinq < 0， tanq < 0，且 sin sin
q q
，则角 属于（
2 2 2 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
02 ：同角三角函数的基本关系
P sin 2023π ,cos 2023π q sinq6．已知点 ÷ 在角 的终边上，则 （4 6 2 ）è 1 cosq
A 6 6 6 6． B． C． D．
3 2 3 2
7．已知 2sinq cosq 0，则 tan 2q （ ）
4 4 4 4
A． B． C． D．
3 3 5 5
π
8．若 tan

÷ 3，则 sin2 cos2 （4 ）è
8 6 4
A． B．1 C． D．
5 5 3
cos
3 tan
π
9．已知 ，则 ÷ （ ）cos sin è 4
A． 2 3 1 B． 2 3 1 C 3 ． D．1 3
2
10．若 4tan
15
，则 cos2 （ ）
sin
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 8 8 8
11．若 sin(
1
) ，且 tan 2 tan ，则 sin( ) （
6 ）
A 3 B 2． ． C 2 1．
2 2 3
D． 2
12．已知0 < < < π，且 sin 2cos ， sin sin 3cos cos 0，则 tan （ ）
1
A B 3 C D 1． 1 ． ． ．
2 2 2
03 ：诱导公式
13 sin( π) 3
2π
．已知 ，求 cos(2 ) （3 ）6 3
2 1 2 1A． 3 B． C． D．3 3 3
π
14．已知函数 f x cos 2x j ，则“j kπ ， k Z ”是“ f x 为偶函数”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
π π 1 2π
15 ．已知 0, ÷ ， sin cos
è 2 è 10 ÷ 3
，则 （5 ÷ ） è
2 2 2 2 1 1A． B． C． D．
3 3 3 3
cos 2q

16．已知 cos
π
q
1
÷ ，则 tan q π （ ）è 4 4 4 ÷è
15 15 15 15
A． B． C． D．
2 4 7 8
π
17．在平面直角坐标系中，若角 的顶点为原点，始边为 x 轴非负半轴，终边经过点 P 3, 4 ，则
3
tan π 2 ÷ .
è 3
sin cos π 3cos sin π18．已知 且lsin
π 7
÷ cos π ÷ 0 ，则实数l 的值为 .12 12 è 12 è 12
04 ：三角恒等变换
19．已知 cos 10° cos 50° cos 50° ，则 tan （ ）
A 3 B 3． ． C． 3 D． 3
3 3
sin π 320．已知 ÷ ，则 cos
5π
2

12 5 6 ÷
的值为（ ）
è è
24 24 7
A． B． C 7． D．
25 25 25 25
sin 2cos
21．已知角 的始边为 x 轴的非负半轴，终边经过点P 4, 3 ，则 2 2 （ ）5cos sin
2 2
5 5 5 5 1
A． B． C． 或 D．
2 16 2 16 4
0, cos2 3 22 ．若 ÷ , ，则 cos

÷ （ ）
è 2 1 tan2 8 è 6
A 3 B 2 1． ． C．
2 2 2
D．1
23．已知函数 f x sin 2x j 0 < j < 满足 f x f 3 6 ÷ ，若0 < x1 < x2 < ，且 f x f x ，è 1 2 5
则 sin(x2 x1)的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 5
24 a 2．已知 sin14° cos14 b sin 61° c 3° ， ， ，则 a，b ， c的大小顺序为（ ）
2 2
A． a < c < b B． c25．已知 f θ cos 4θ cos3θ ，且θ1，θ2，θ3 是 f θ 在 0, π 内的三个不同零点，下列结论不正确的是
（ ）
π
A． θ1,θ2 ,θ3 B．θ θ θ7 1 2 3
π
C． cosθ1 cosθ2 cosθ
1
3 D． cosθ1 cosθ2 cosθ
1
8 3

2
一、单选题
1．（2024·河南商丘·模拟预测）“ sin 2024π > 0 ”是“ 为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024· 1 5 3重庆·模拟预测）已知 , 都是锐角，cos ，sin( ) ，则 cos 2 的值为（ ）
7 14
1
A B 1 3． ． 2 C． D
3
．
2 2 2
3．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重
合，终边经过点P 3,4 sin 2cos ，则 （ ）
cos sin
A．11 B． 10 C．10 D． 11
π
4．（2024·全国·模拟预测）已知 tan cos ÷ cos
π π
÷ 0，
0, sin2
4 4 ÷
，则
è è è 2 4cos2
（ ）
sin2
A． 2 3 2 B． 4 2 3 C． 2 2 D．3 2 2

5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 , 0,
π cos2 sin2 1÷， ，且3sin sin(2 )，则
è 4 7
的值为（ ）

A． B C12 ． ． D．6 4 3
(0, π) (1 sin )(1 cos )6．（2024·辽宁丹东·一模）已知 ， 4 2 1，则 sin 2 （ ）2 (1 sin )(1 cos )
A 4 2 1 B 4 2 1 C 4 2 1 4 2 1． ． ． D．
8 16 8 16
a b 3c
7．（2024·河南·三模）在VABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ，则 tan A tan C
cos A cos B cosC
的最小值是（ ）
4 8
A． B． C．
3 3 2 3
D．4
8．（2024·湖南·二模）在VABC 中，角 A, B,C 所对边分别为 a,b,c，且a2 b2 c2 2ac 0 ，若
π cos A cos C
cos A 7 2 C ， ,
π , 2÷ 2 ，则 tan 的值为（ ）10 è 4 2 cos 5
A．1 B．2 C．4 D．2 或 4
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）若q 0, π ，且 sinq 2cosq ，则（ ）
A． tan π q 2
B． cosq 5
5
C． f x sin x q π 在 0, 2 ÷上单调递减è
D．当 g x cosq cos x sinq sin x 2 5取得最大值时， sin x
5
π
10．（2024· π河南周口·模拟预测）设 (0, )， (0, )，则下列计算正确的是（
2 2 ）
A． cos < cos
π π 1
B．若 sin( ) cos( ) ，则 tan 2
4 4 6
1 π
C．若 tan tan ，则 2
cos 2
cos 2 1
D．若 0
3π

1 sin 2 tan ，则 4
11．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角 R，它的终边OP与单位圆的交点 P 的坐标，无
论是横坐标 x 还是纵坐标 y，都是唯一确定的，所以点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 都是角 的函数.下面给出这
些函数的定义：
①把点 P 的纵坐标 y 叫作 的正弦函数，记作 sin ，即 y sin ；
②把点 P 的横坐标 x 叫作 的余弦函数，记作 cos ，即 x cos ；
1
③把点 P 的纵坐标 y 的倒数叫作 的余割，记作csc ，即 csc y ；
1
④把点 P 的横坐标 x 的倒数叫作 的正割，记作 sec ，即 sec .
x
下列结论正确的有（ ）
5π
A． sec 2
4
B．cos ×sec 1
C．函数 f x secx的定义域为 x x kπ, k Z
D． sec2 sin2 csc2 cos2 5
三、填空题
2 2
12．（2024· · sin cos 陕西安康 模拟预测）若 tan 2024π ，则 .
3 2cos cos2
13．（2024·江苏·一模）已知 ,
π 0, ÷，且 sin sin
1 1
， cos cos ，则
è 2 2 2
tan tan ．
14．（2020·江苏南京·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，已知 cos2 B cos2 Asin2 B 4cos2 Acos2 B，则
sin 2Asin 2B
2 的取值范围是 .4cos C 2sin 2Asin 2B

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