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（22）空间点、直线、平面之间的位置关系——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．在正方体中，E是的中点.若，则点B到平面ACE的距离为( )
A. B. C. D.3
2．已知m,n是两条不同直线,,,是三个不同平面,则下列说法正确的是( )
A.,,则 B.,,则
C.,,则 D.,,则
3．如图，在矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.若M为线段的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的有( )
①存在某个位置，使平面；
②总有平面；
③存在某个位置，使.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
4．已知在矩形ABCD中，，，E，F分别在边AD，BC上，且，，如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角时，的值为( )
A. B. C. D.
5．已知正方形ABCD的边长为2，现将沿对角线AC翻折，得到三棱锥.记AC，BC，AD的中点分别为O，M，N，则下列结论错误的是( )
A.平面BOD
B.三棱锥体积的最大值为
C.三棱锥的外接球的表面积为定值
D.直线MN与平面BOD所成角的范围是
二、多项选择题
6．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，底面，则( )
A.
B.平面PBD
C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D.PB与平面ABCD所成的角为
7．如图，矩形中，，E是边AB的中点，将沿直线DE翻折成（点不落在底面BCDE内），连接，.若M为线段的中点，则在翻折的过程中，以下结论正确的是( )
A.平面恒成立 B.存在某个位置，使
C.线段BM的长为定值 D.
三、填空题
8．长方体中，，E，F，G，H分别是棱，，，的中点，则异面直线EF与GH所成角的余弦值是___________.
9．正方体的棱长为1，点M，N分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，则长度的范围为___________.
四、解答题
10．如图①，在梯形ABCD中，，，，，点E在线段BC上，，将沿AE翻折至的位置，连接PD，点F为PD中点，连接CF，如图②.
（1）在线段AD上是否存在一点Q，使平面平面FQC？若存在，请确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.
（2）当平面平面AECD时，求三棱锥的体积.
参考答案
1．答案：B
解析：在正方体中，，E是的中点，则，，，.设点B到平面ACE的距离为h，由，得，解得.故选B.
2．答案：C
解析：对于A:因为,,所以或或n与相交,故A错误;
对于B:因为,,所以或,故B错误;
对于C:两个平面平行,一个平面中的任意一条直线平行于另外一个平面,故C正确;
对于D:因为,,所以或,故D错误;
故选:C.
3．答案：A
解析：在①中，由题可得，故当平面平面ABCD时，平面，故①正确；
在②中，如图，取CD中点F，连接MF，BF，则，，又，，可得平面平面，总有平面，故②正确；
在③中，连接AF，则在平面ABCD中的射影落在AF上，连接，如图，易知，则与DE不垂直，若，又，，则平面，则，矛盾，与不垂直，故③错误.故选A.
4．答案：B
解析：如图①，过点B作EF的垂线交EF于点O，交AD于点M，交CD的延长线于点G，设在平面EFCD内的射影为H，则H在直线BM上，
如图②，过H作CD的垂线，垂足为K，连接，则为二面角的平面角.
由题意知，又，，，
所以，所以，
所以，.
由，，所以，
所以，
所以，
令，可得，解得，
所以，所以当，即，也即时，取得最大值，
此时最大，故当二面角取得最大角时，的值为.故选B.
5．答案：D
解析：对于A，因为四边形ABCD为正方形，所以，，又，且平面BOD，所以平面，A正确.
对于B，当平面平面ABC时，点D到平面ABC的距离最大，即三棱锥高的最大值，此时三棱锥的体积，B正确.
对于C，由，得三棱锥外接球的球心为O，所以外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为，为定值，C正确.
对于D，取AB，AO的中点分别为E，F，连接ME，EF，NF，NE，如图.
因为E，F，N分别为AB，AO，AD的中点，可得，，因为平面，平面BOD，所以平面BOD，同理可证平面BOD，又，所以平面平面BOD.
又因为平面BOD，所以平面NEF.
因为，所以平面NEF，所以即为直线MN与平面BOD所成的角.
在折叠过程中，设BD的长度为a，则，
由E，N分别为AB，AD的中点，得，在直角三角形MNE中，可得，
所以的取值范围为，即MN与平面BOD所成角的范围为，D错误.故选D.
6．答案：AB
解析：对于A，设，则，由余弦定理可得，，.
平面，平面，.
又，平面，平面PAD，
，故A正确；
对于B，由A选项分析易知，
平面ABCD，又平面ABCD，
，又，平面PBD，
平面PBD，故B正确；
对于C，，（或其补角）为异面直线AB和PC所成的角.
，，，
，故C错误；
对于D，平面，为PB与平面ABCD所成的角，，，故D错误.故选AB.
7．答案：AC
解析：设CD的中点为F，连接FM，FB，因为M为线段的中点，所以，而平面，平面，所以平面.
在矩形ABCD中，，的中点为F，所以，同理可证平面，又，平面BMF，所以平面平面，而平面BMF，所以平面恒成立，故A正确.
设点在底面BCDE的射影为O，连接OE，OD，OC，因为在矩形ABCD中，，E是边AB的中点，所以有，因此有，而，显然OC与DE不垂直.
假设存在某个位置，使，因为平面BCDE，平面BCDE，所以，因为，，平面，所以平面，而平面，所以，这与OC与DE不垂直矛盾，故B不正确.
在矩形ABCD中，，E是边AB的中点，所以，显然有，由余弦定理可知，，因为，，所以线段BM的长为定值，故C正确.
，故D不正确.故选AC.
8．答案：
解析：如图，连接EG，取EG的中点O，连接，，.
在长方体中，因为且，且，所以且，所以四边形是平行四边形.
同理可得四边形是平行四边形，所以，，故（或其补角）是异面直线EF与GH所成的角.
设，则，，故在中，由余弦定理得，即异面直线EF与GH所成角的余弦值为.
9．答案：
解析：如图，连接，分别取，的中点E，F，连接，，，，，则.
因为，所以，因为点M，N分别是棱，的中点，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面AMN，所以平面，平面AMN，因为，所以平面平面AMN，因为，所以平面平面.因为动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，所以点P的轨迹为EF，所以的最大值为，最小值为点到EF的距离，为，所以长度的范围为.
10．答案：（1）存在，当Q是AD的中点时，平面平面FQC
（2）
解析：（1）存在，当Q是AD的中点时，平面平面FQC，理由如下：
如图，连接FQ，CQ，
依题意得，且，，则，，
所以四边形AECQ是平行四边形，则，
又平面PAE，平面PAE，所以平面PAE.
因为Q，F分别为AD，PD的中点，所以，
又平面，平面PAE，所以平面PAE.
因为平面，，
所以平面平面FQC.
（2）取AE的中点M，连接DM.
因为，，，则，
所以是边长为2的等边三角形，则.
因为，，，
所以由余弦定理得，
所以在中，，则.
因为平面平面AECD，平面平面，平面AECD，所以平面PAE.
因为F为PD的中点，所以F到平面PAE的距离，
所以.

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