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1.2 常用的逻辑用语
考点一 充分、必要条件的判断
【例 1-1】（2024·河北唐山·一模）已知 x R ， p ：“ x2 x 0 ”，q：“ x 1”，则 p 是q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 x2 x 0 ，即 x x 1 0，解得 x 1或 x < 0 ，所以 p ：“ x 1或 x < 0 ”，
故由 p 推不出q，即充分性不成立，由q推得出 p ，即必要性成立，所以 p 是q的必要但不充分条件.故选：B
【例 1-2】（2024 浙江绍兴）已知 i 是虚数单位， a R ，则“ a2 =1”是“ a + i 2 = 2i ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
2
2 ìa 1 = 0
【解析】当 a + i = 2i 时，即 a2 1+ 2ai = 2i，得 í ,\a =1，
2a =1
2
而 a2 =1时， a = ±1，推不出一定是 a =1，即推不出 a + i = 2i ;
所以“ a2 =1”是“ a + i 2 = 2i ”的必要不充分条件，
故选：B
【例 1-3】（2021·24 江苏南京·模拟预）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分
条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为 A， B ，C ，D，
由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得， B = C ，
由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
【一隅三反】
1
1．（2024 广东·韶关）“ 3x 1”是“ 1”的（ ）x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
1 1
【解析】因为3x 1，所以 x 0，因为 1，所以0 < x <1.故“x 3
x 1”是“ 1”的必要不充分条件.x
故选：B
2．（2024 广东深圳）“ cosq 0且 sin 2q < 0 ”是“q 为第四象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：因为 cosq 0，所以q 为第一象限角或第四象限角或终边在 x 轴的非负半轴，
又 sin 2q = 2sinq cosq < 0，则 sinq < 0，所以q 为第三象限角或第四象限角或终边在 y 轴的非正半轴，
综上知，q 为第四象限角，故充分性成立；必要性：若q 为第四象限角，则 cosq 0且 sinq < 0，
此时 sin 2q = 2sinq cosq < 0，故必要性成立，故“ cosq 0且 sin 2q < 0 ”是“q 为第四象限角”的充要条件，
故选:A.
3．（2024北京）“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，
描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”，
由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件，
故选： B ．
4（2023·天津·高考真题）已知 a,b R ，“ a2 = b2 ”是“ a2 + b2 = 2ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由 a2 = b2 ，则 a = ±b，当a = b 0时 a2 + b2 = 2ab不成立，充分性不成立；
由 a2 + b2 = 2ab，则 (a b)2 = 0，即 a = b，显然 a2 = b2 成立，必要性成立；
所以 a2 = b2 是 a2 + b2 = 2ab的必要不充分条件.故选：B
考点二 充分、必要条件的选择
1
【例 2-1】（2024·新疆·二模）使“ 1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
x
1
A． x 0 B．0 < x <
2
C．0 < x <1 D．0 < x < 2
【答案】B
1 1 x
【解析】由 1，得 0，解得0 < x <1，则选项中的 x 的范围组成的集合是 0,1 的真子集，
x x
1 1
由选项知，选项A,C,D均不满足，选项 B 满足.故使“ 1”成立的一个充分不必要条件可以是“ 0 < x < ”.
x 2
故选：B.
2 2
【例 2-2】（2024 x y广东汕头）命题 p :方程 + =1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则使命题 p 成立的充分必要
5 m m 1
条件是（　　）
A． 4 < m < 5 B．3 < m < 5
C．1< m < 5 D．1 < m < 3
【答案】B
x2 y2
【解析】若命题 p 为真命题，则方程 + =1表示焦点在 y 轴上的椭圆，
5 m m 1
ìm 1 5 m
所以， í ，解得3 < m < 5，因此，使命题 p 成立的充分必要条件是3 < m < 5 .故选：B．
5 m 0
【一隅三反】
1.（2024陕西）使不等式 (x +1)(x 2)2 0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． x 1且 x 2 B． -1< x < 3
C． x <1 D． x 3
【答案】D
2
【解析】因为 x 2 0，故不等式 (x +1)(x 2)2 0的解集为{x x 1且 x 2}，
故不等式 (x +1)(x 2)2 0成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是{x x 1且 x 2}的真子集，
显然，满足题意的只有 x x 3 .故选：D.
x
2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知 f x = 1 ÷ 3，则 f x < 5的一个必要不充分条件是（ ）
è 2
A． x 4 B． x 3 C． x< 2 D． x < 3
【答案】A
f x < 5 1
x x
1
【解析】由不等式 ，可得 ÷ 3 < 5，即 < 8，解得 x 3，
è 2 è 2 ÷
结合选项，可得 f x < 5的一个必要不充分条件为 x 4 .故选：A.
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线 x + y + b = 0与圆C : x +1 2 + y 1 2 = 5有公共点的一个充分不必要条件是
（ ）
A．b 10, 10 B．b 10, 10
C．b 4,4 D．b 4,4
【答案】B
【解析】圆C 的圆心为C 1,1 ，半径为 r = 5 ，
1+1+ b b
若直线 x + y + b = 0与圆C 有公共点，则 = 5 ，解得 10 b 10 ，
2 2
因为 10, 10 10, 10 ， 4,4 10, 10 ， 4,4 10, 10 ，
x + y + b = 0 C : x +1 2 + y 1 2所以，直线 与圆 = 5有公共点的一个充分不必要条件是为b 10, 10 .
故选：B.
1 1
4．（2024·福建·模拟预测）已知 a 0，b 0，则使 + 4成立的一个充分不必要条件是（　　）
a b
A． a2 + b2 =1 B． a + b≥4ab
C． a + b 1
1 1
= D． 2 + 2 8a b
【答案】C
2 1 1
【解析】对于 A，令 a = b = ，显然有 a2 + b2 =1，而 + = 2 2 < 4，A 不是；
2 a b
1 1
对于 B，当 a 0，b 0时， a + b 4ab + 4，B 不是；
a b
1 1 1 1 b a
对于 C，当 a 0，b 0时，由 a + b =1，得 + = (a + b)( + ) = 2 + + 4，
a b a b a b
1 1 1 1
当且仅当 a = b = 时取等号，反之取 a = b = ，满足 + 4，而 a + b =1不成立，
2 3 a b
a b 1 1 1因此 + = 是 + 4成立的一个充分不必要条件，C 是；
a b
对于 D，令 a
1
= ,b 1 1 1 1= 2 ，不等式 2 + 2 8成立，而 + = 3.5 < 4 ，D 不是.3 a b a b
故选：C
考点三 充分、必要条件求参
【例 3-1】（2023· 2云南昆明·模拟预测）已知集合 A = x x 4 = 0 ，B = x ax 2 = 0 ，若 x A是 x B 的必要不
充分条件，则实数 a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． 1,0,1 B． 1,1 C． 1 D． 1
【答案】A
【解析】由题，A = 2, 2 ， B A ，
当B = 时，有 a = 0，符合题意；
2 2
当B 时，有 a 0，此时B = ì ü
2
í ，所以 = 2或 = 2 ，所以 a = ±1 .
a a a
综上，实数 a的所有可能的取值组成的集合为 1,0,1 .
故选：A.
【例 3-2】（2024·陕西）设 p : log1 (2x +1) m
1
； q : 1．若 p 是 q 的必要不充分条件，则 m 的取值范围是
3 x
（ ）
A．[1, + ) B． ( ,1] C．[ 1,+ ) D． ( , 1]
【答案】D
m
1 1 1
【解析】由 log1 (2x +1) m ，得 1 è 3 ÷ ；由 1，得0 < x <1．3 < x < x
2 2
ì 1
m

ü
÷ 1 1
m

因为 p 是 q 的必要不充分条件， x 0 < x <1 1 íx < x < è 3 , 1 所以 ÷è 3 ，解得m 1．故选：D
2 2 1
2
f (x) 13-3 2024· · = x ln x ax2 x2【例 】（ 吉林 模拟预测）已知函数 ，则“ f (x) 有两个极值”的一个充分不必要条件
2
是（ ）
A． 1
1
< a <1 B． < a
1
< 0 C． < a < 0
1
D．0 < a <
4 2 2
【答案】B
【解析】由题可得 f (x) = ln x +1 2a +1 x，若满足题意，则 y = f (x) 有两个正的穿越零点，
ln x +1 2a +1 x = 0 2a 1 ln x +1 h x ln x +1 ln x令 ，则 + = ，令 = ，则 h (x) = 2 ，x x x
当 x 0,1 时， h (x) 0， h x 单调递增；当 x 1, + 时， h (x) < 0， h x 单调递减；
又 h
1
÷ = 0， h 1 =1，当 x 趋近于正无穷时， h x 趋近于 0 ，
è e
若 y = f
1(x) 有两个正的穿越零点，则 2a +1 0,1 ，解得 a ,0

÷，即 f (x) 有两个极值的充要条件是：
è 2
a 1 ,0
1
÷，根据选项，则 f (x) 有两个极值的一个充分不必要条件是 < a < 0 .故选：B.
è 2 4
【一隅三反】
1 2．（2024 湖南）已知集合 A = x | x x 12 0 ，B = x | x2 3mx + 2m2 + m 1 < 0}，若“ x A ”是“ x B ”的必
要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）
-3,2 1,3 1, 5 2, 5 A． B． C． ê ú D． 2 ê 2 ú
【答案】C
2
【解析】由题意集合 A = x | x x 12 0 = [ 3,4]，
B = x | x2 3mx + 2m2 + m 1 < 0} = {x | (x m 1)(x 2m +1) < 0}，
若m>2 ，则 2m 1 m +1，此时B = (m +1,2m 1)，
ì2m 1 4
5
因为“ x A ”是“ x

B ”的必要不充分条件，故 B A ,故 ím +1 3,\2 < m ；
2
m 2
若m < 2，则 2m 1< m +1，此时B = (2m 1,m +1)，
ìm +1 4

因为“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，故 B A ,故 í2m 1 3,\ 1 m < 2；

m < 2
若m = 2 ，则 2m 1 = m +1，此时B = ，满足 B A ,
m 1, 5 综合以上可得 ê ú ，故选：C 2
2 2．（2023·海南海口·模拟预测）已知集合P = x x 2x < 0 ,Q = x x a <1 ，则P UQ = P的充要条件是（ ）
A． 0 < a < 1 B．0 < a 1 C．0 a <1 D．0 a 1
【答案】B
ìa 0
【解析】由题设，P = {x | 0 < x < 2}，Q = {x | a x < a +1}，若P UQ = P，则Q P ，故 ía 1 2 ，可得 +
0 < a 1.
所以0 < a 1是P UQ = P的充要条件.故选：B
3．（2024 山东临沂）方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．0 < a 1 B．a < 1 C． a 1 D．0 < a 1或 a<0
【答案】C
1 1
【解析】当 a = 0时，方程为 2x +1 = 0有一个负实根 x = ，反之， x = 时，则 a = 0，于是得 a = 0；
2 2
1
当 a 0时，D = 4 4a，若 a<0，则D 0，方程有两个不等实根 x1, x2 ， x1x2 = < 0，即x1与x2一正一负，a
1
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积 a 小于
0， a<0，于是得 a<0，
ìx 2 1
+ x2 = < 0
若 a 0 a，由D 0，即0 < a 1知，方程有两个实根 x1, x2 ，必有 í ，此时x1与x2都是负数，
x x 1= 0
1 2 a
ì
D = 4 4a 0

2
反之，方程 ax2 + 2x +1 = 0两根 x1, x2 都为负，则 íx1 + x2 = < 0，解得0 < a 1，于是得0 < a 1，
a
x x 1 1 2 = 0 a
综上，当 a 1时，方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根，反之，方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根，必有
a 1 .
所以方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根的充要条件是 a 1 .故选：C
考点四 非命题的选择
【例 4】（2024·山西·一模）设命题 p : $x R, a x kx ，则 p 为（ ）
A．"x R, a x kx B．$x R, a x kx
C．"x R, a x kx D．$x R, a x = kx
【答案】C
【解析】由题意可知 p : "x R, a x kx .故选：C
【一隅三反】

1．（2024·山西·模拟预测）命题“ "x 0,
π
÷， ex + 2sin x 2x ”的否定是（2 ）è
x 0, π" πA．“ ÷ ， ex + 2sin x 2x ” B．“ "x
0, x
2 2 ÷
， e + 2sin x 2x ”
è è
π π
C．“ $x 0, ÷， ex2 + 2sin x 2x
” D．“ $x 0, ÷， ex2 + 2sin x < 2x
”
è è
【答案】C
π π
【解析】依题意全称量词命题“ "x
0, ÷， ex + 2sin x 2x ”的否定为：存在量词命题“ $x 2
0, ÷，
è è 2
ex + 2sin x 2x ”.故选：C
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ "x R ，$n N * ， n x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
【答案】C
【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“ "x R ，$n N * ， n x2 ”的否定形式是“ $x R，
"n N * ， n x2 ”.故选：C
3．（2024·河北·一模）已知命题 p："x 0, + ， ex ln x，则（ ）
A．p 是真命题， p ：$x 0, + ， ex ln x
B．p 是真命题， p ：$x ,0 ， ex ln x
C．p 是假命题， p ：$x 0, + ， ex ln x
D．p 是假命题， p ：$x ,0 ， ex ln x
【答案】A
【解析】函数 y = ex , y = ln x 在 0, + 上的图象如下所示：
数形结合可知，命题 p："x 0, + ， ex ln x为真命题；又 p ：$x 0, + ， ex ln x .故选：A.
考点五 根据命题的真假求参数
【例 5-1】（2024 浙江宁波）命题“ $x 2,1 ， x2 x a 0 ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
a 1A． ≤ B． a 0 C． a 6 D． a 8
4
【答案】D
【解析】若命题“ $x 2,1 ， x2 x a 0 ”为假命题，
则命题的否定“ "x 2,1 ， x2 x a 0 ”为真命题，
即 a x2 x ， x 2,1 恒成立，
2
y = x2 x 1 1= x ÷ ， x 2,1 ，当 x = 2，取得最大值 y = 6，
è 2 4
所以 a 6，选项中只有 a a 8 是 a a 6 的真子集，
所以命题“ $x 2,1 ， x2 x a 0 ”为假命题的一个充分不必要条件为 a 8 .
故选：D
【例 5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔）若命题“ $a 1,3 , ax2 2a 1 x + 3 a < 0 ”为假命题，则实数 x 的取值范围
为（ ）
5 5 5
A． 1,4 0, B． ê ú C． 1,0 U

ê , 4

D． 1,0 U , 4
3 3 ú è 3 ú
【答案】C
【解析】命题“$a 1,3 , ax2 2a 1 x + 3 a < 0”为假命题，其否定为真命题，
"a 1,3 , ax2即“ 2a 1 x + 3 a 0”为真命题．
ìg( 1) 0 ì x2 + 3x + 4 0
令 g(a) = ax2 2ax + x + 3 a = (x2 2x 1)a + x + 3 0，则 íg(3) ，即 0 í3x2
，
5x 0
ì 1 x 4

解得 í 5 ，所以实数 x 的取值范围为 1,0 U 5 ,4 ê ú .故选：C
x 或x 0 3 3
【例 5-3】（2024 x 2浙江宁波）已知函数 f x = e ，使不等式 f 2t +1 f t + 2 成立的一个必要不充分条件是
（ ）
1 1 2
A． t 1 B． t 1或 t < 0 C． t 1或 t < D． t < 或 t
3 3 3
【答案】D
【解析】因为函数 f x = e x 2 = f 4 x = e 4 x 2 ，
x 2
所以函数 f x = e 的图象关于 x = 2对称，当 x 2 f x = ex 2时， 单调递增，
x 2
根据对称性可知，当 x < 2时， f x = e 单调递减，
若不等式 f 2t +1 f t + 2 成立，则 2t +1 2 t + 2 2 ，
即 2t 1 t ，可得 3t 1 t 1 0，解得 t 1< 或 t 1，
3
1 2
结合选项可知使不等式 f 2t +1 f t + 2 成立的一个必要不充分条件是 t < 或 t ，
3 3
故选：D
【例 5-4】（2024 安徽合肥）已知函数 f x = ax + 2 a 0 ， g x 2= ，若$x 1,2 ，"x 2,3 ，使
x 1 1 2
f x1 = g x2 成立，则实数 a的取值范围是 .
【答案】[1, + )
2
【解析】由题意，函数 g x = 在 2,3 为单调递减函数，可得 1 g x 2，
x 1
即函数 g x 的值域构成集合B = [1,2]，
又由函数 f x = ax + 2(a 0)在区间 1,2 上单调递增，可得 a + 2 f x 2a + 2，
即函数 f x 的值域构成集合 A = [ a + 2,2a + 2]，
ì a + 2 1
又由$x1 1,2 ， "x2 2,3 ，使 f x1 = g x2 成立，即 B A ,则满足 í ，解得 a 12a 2 2 ， +
即实数 a的取值范围是[1, + ) .故答案为：[1, + ) .
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）若 x m2 3是1< x 6的必要不充分条件，则实数m的取值范围（ ）
A． 2,2 B． 2,2 C． 3,3 D． 2,3
【答案】B
【解析】Q x m2 3 2是1< x 6的必要不充分条件，\(1,6] m 3, + ，
\m2 3 1，解得 2 m 2 . 故选 ：B.
2．（2024·陕西）命题“ "x R, x2 kx + k + 3 0 ”是假命题，则 k 的取值范围是（ ）
A． ,6 B． 2, + C． 2,6 D． , 2 6,+
【答案】D
【解析】由题意可知：命题“ $x R, x2 kx + k + 3 < 0 ” 2为真命题，则D = k 4 k + 3 0，解得 k 6或 k 2，
所以 k 的取值范围是 , 2 6,+ .故选：D.
x
3．（2024·山西吕梁）“ $x 0 ，使得 a≤
x2
成立”的充要条件是（ ）
+ x +1
a 1 1 1 1A． B． a C． a D． a
3 3 2 2
【答案】A
x 0 a x
x
【解析】$ ， ≤ 2 ，等价于 a≤x + x +1 è x2 + x +1÷
，
max
x 1 1 1
2 = ≤ = x 1又 x
1
+ x +1 1 1+ x + 1 31 2 x ，当且仅当
x =1时等号成立， 2 ÷ =x x 1 3 ，故
a ．故选：A．
x + × è + + x max
3
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 f (x) = ln x ax +1, g(x) = xex ，且对 x (0,+ )都有 f (x) g(x) 成立，则实数 a
的范围为
【答案】[ 1,+ )
【解析】由题意，函数 f (x) = ln x ax +1, g(x) = xex ，
x
要使得 f (x) g(x) 1+ ln x xe，即 xex ln x ax +1，即 a 对 x (0,+ )恒成立，
x
x+ln x
x + ln x e +1 x即 a 对 x (0,+ )恒成立，
x
令 h(x) = ex x 1，可得 h (x) = ex 1，
当 x 0时， h (x) 0， h x 单调递增；当 x < 0 时， h (x) < 0， h x 单调递减，
所以函数 h(x) 在 ( ,0)单调递减，在 (0, + )单调递增，
所以 h(x) h(0) = 0 ，即 ex x 1 0 ，即 ex x +1，当且仅当 x = 0时，等号成立，
设u(x) = x + ln x ，则u(x) 在 0, + 上为增函数，
而u(1) =1 0 ，u(
1) 1= 1 < 0，故u(x) 在 0, + 上存在零点 x
e e 0
，
故 (x + ln x) ex+ln x x + ln x (x + ln x +1) = 1，当且仅当 x = x0时等号成立，
[(x + ln x) ex+ln x ]+1 x
即 1，所以 a 1，
x
即实数 a的取值范围是[ 1,+ ) .
一．单选题
1
1．（2024 广东深圳）“ 0 x 1”是“ 1”的（
x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
1 1 ìx 1 x 0
【解析】由 1，则 1 0
1 x
，即 0，即 í ，解得得0 < x 1，x x x x 0
1 1
则0 x 1不能推出 1， 1
1
能推出0 x 1，则“ 0 x 1”是“ 1”的必要不充分条件.故选：B.
x x x
2.（2024 山东菏泽）命题“ "x < 1， log x22 0 ”的否定为（ ）
A 2．"x < 1， log2x 0 B．"x 1， log x
2
2 0
C．$x 1， log 22x 0 D．$x < 1
2
， log2x 0
【答案】D
2
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题“ "x < 1， log2x 0 ”的否定为$x < 1，
log 22x 0 .
故选：D.
3．（2022·浙江·高考真题）设 x R ，则“ sin x = 1 ”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 sin2 x + cos2 x =1可得：当 sin x = 1时， cos x = 0，充分性成立；
当 cos x = 0时， sin x = ±1，必要性不成立；所以当 x R ， sin x = 1是 cos x = 0的充分不必要条件.故选：A.
ar
r
4．（2024 江西）设 x R ，向最 = 1,2 ，b = r r rx,1 ， c = 4, x ，则“ b //cr ” “ ar是 ^ b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
r r r
【解析】当b //cr时，由b = x,1 ， c = 4, x 可得 x2 4 = 0 ，解得 x = ±2，
r r ar
r
a ^ b = 1,2
r
b = x,1 x + 2 = 0 x = 2 “ b //cr ” “ ar
r
当 时，由 ， 可得 ，解得 ，因此 是 ^ b ”的必要不充分条件，
故选：B
5．（2024·福建漳州·模拟预测）若$a [0, + )， cosa < m 为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A．m 1 B．m 1 C．m 1 D．m 1
【答案】D
【解析】若$a [0, + )， cosa < m 为真命题，则m (cosa )min .因为 cosa 在[0, + ) 上的最小值为 1，所以m 1，
故选：D.
6．（2024 江苏徐州）若命题“ $x R， x2 + 4x + t < 0 ”是假命题，则实数 t 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为命题“ $x R， x2 + 4x + t < 0 ”是假命题，所以命题“ "x R ， x2 + 4x + t 0 ”是真命题，
因此有D = 42 4t 0 t 4，所以实数 t 的最小值为 4，故选：C
7．（2024 河北衡水）条件 p : $x 1,3 ， x2 ax + 3 0，则 p 的一个必要不充分条件是（ ）
A． a < 5 B． a 5 C． a < 4 D． a 4
【答案】A
3 3
【解析】若$x 1,3 ，使得 x2 ax + 3 0，则 ax < x2 + 3，可得 a < x + ，则 a < x + ，x x ÷è max
3
因为函数 f x = x + 在 1, 3 上单调递减，在 3,3 上单调递增，且 f 1 = f 3 = 4，x
故当 x 1,3 时， f x = 4max ，即 p : a < 4，所以， p 的一个必要不充分条件是 a < 5 .故选：A.
8．（2024· 2四川凉山·二模）已知命题“ "x R ， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，则 m 的取值范围为（ ）
A． 2, + B． 2, + C． , 1 D． , 2
【答案】B
【解析】命题“ "x R ， sin2 π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，
2 2
则“ $x0 R ， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是真命题，所以m sin π + x 2cos x 有解，
所以m sin2 π + x 2cos x min ，
又 sin2 π + x 2cos x = sin2 x 2cos x = cos2 x 2cos x 1 = cos x 1 2 2，
因为 cos x 1,1 2，所以 sin π + x 2cos x = 2min ，即m 2 .故选：B.
二．多选题
9．（2023·海南·模拟预测）已知命题 p :“ $x R, x2 2x + a + 6 = 0 ”， q:" "x R, x2 + mx +1 0 ”，则下列正确的是
（ ）
A． p 的否定是“ "x R, x2 2x + a + 6 0 ”
B． q 的否定是“ $x R, x2 + mx +1 0 ”
C．若 p 为假命题，则 a 的取值范围是 a < 5
D．若 q 为真命题，则m的取值范围是 2 < m < 2
【答案】AD
【解析】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以 A 正确，B 不正确；
C 选项，若 p 为假命题，则 p 的否定“ "x R, x2 2x + a + 6 0 ”是真命题，即方程 x2 2x + a + 6 = 0在实数范围
内无解，D = 4 4(a + 6) < 0，得 a 5，C 不正确；
D 选项，"x R, x2 + mx +1 0，等价于D = m2 4 < 0，解得 2 < m < 2，D 正确；
故选：AD.
1
10．（2024 辽宁葫芦岛）下列选项中，与“ 1”互为充要条件的是（ ）
x
A． x <1 B． log 20.5 x log0.5 x
C x2．3 < 3x D． x x 1 = x 1 x
【答案】BC
1 1 1 x
【解析】对 A， 1则 1 0，即 0， x x 1 < 0 ，解得0 < x <1，故 A 错误；
x x x
对 B， log 20.5 x log0.5 x 则0 < x 2 < x ，故 x x 1 < 0 ，解得0 < x <1，故 B 正确；
对 C 2，3x < 3x 则 x2 < x，解得0 < x <1，故 C 正确；
对 D， x x 1 = x 1 x ，则 x x 1 0 ，解得0 x 1，故 D 错误.
故选：BC
11．（2024 内蒙古呼伦贝尔）命题“"1 x 3, x2 a 0 ”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 9 B． a 11
C． a 10 D． a 12
【答案】BCD
【解析】"1 x 3, x2 a 0，则 a x2 对"1 x 3都成立，又 x2 9，所以 a 9 ，
观察选项可得命题“"1 x 3, x2 a 0 ”是真命题的一个充分不必要条件是 BCD.
故选：BCD.
三．填空题
12．（2024 江西抚州）已知 p : 3 x 1， q : x a （a 为实数）．若 q 的一个充分不必要条件是 p，则实数 a 的
取值范围是 .
【答案】 1, +
【解析】因为 q 的一个充分不必要条件是 p，所以[ 3,1]是 ,a 的一个真子集，
则a 1，即实数 a 的取值范围是 1, + .故答案为： 1, + .
13．（2023·陕西宝鸡·一模）若命题“ $x R, ax2 + 2ax +1 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是 .
【答案】 0,1
【解析】命题“ $x R, ax2 + 2ax +1 0 ”的否定为：“ "x R ， ax2 + 2ax +1 0 ”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当 a<0时显然不成立；当 a = 0时，1 0恒成立；当 a 0时，只需
D = 4a2 4a < 0，解得： 0 < a < 1 .综上有 a 0,1 故答案为： 0,1 .
x
14．（2024 河北张家口·阶段练习）已知函数 f x 3a 1= $x 0,3
a x
（ a 0且a 1），若 ，
+1
f x2 + 3 + f ax a 2 0是假命题，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 a 0 < a <1或 a 3
x 3 a x +1 4
【解析】因为 f x 3a 1= = = 3 4 ，
a x +1 a x +1 a x +1
4
若 a 1，由于 y = x 单调递减，则 f x 在 R 上单调递增；a +1
4
若 0 < a < 1，由于 y = x 单调递增，则 f x 在 R 上单调递减，a +1
又 f x + f x 6 4 4= x x = 2，故 2 f x = f x ，a +1 a +1
因为$x 0,3 ， f x2 + 3 + f ax a 2 0是假命题，
故"x 0,3 ， f x2 + 3 + f ax a 2 < 0恒成立为真命题，
即不等式 f x2 + 3 < 2 f ax a = f ax + a 对"x 0,3 恒成立，
2
当 a 1时， x2 4+ 3 < a x +1 x + 3 < a ，即 x +1 + 2 < a在"x 0,3 恒成立，
x +1 x +1
设 t = x +1 1< t < 4 4，即 a t + 2在 t 1,4 恒成立．
t
由于对勾函数 h t 4= t + 2在 1,2 单调递减，在 2,4 单调递增，
t
因为 h t < h 1 = h 4 = 3，因此 a 3；
2
当 0 < a < 1时， x2 + 3 a x +1 a x + 3< ，
x +1
即 a < x 1 4+ + 2在"x 0,3 恒成立，
x +1
当 t = 2时，函数 h t = t 4+ 2有最小值 f 2 = 2，
t
即 a < 2，又因为 0 < a < 1，故 0 < a < 1．综上可知： a 0 < a <1或 a 3 ．
故答案为： a 0 < a <1或 a 3
四．解答题
15．（2024·重庆酉阳）命题 p ：任意 x R ， x2 2mx 3m 0成立；命题q：存在 x R ， x2 + 4mx +1< 0成立.
(1)若命题q为假命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题 p 和q有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.
1 1
【答案】(1) m
2 2
1
(2) m < 0或m 3 m 1或
2 2
1 1
【解析】（1）由 q 真：D =16m2 4 0 ，得m < 或m 2 ，2
1 1
所以 q 假： m ；
2 2
（2）p 真：D = 4m2 +12m < 0 推出 3 < m < 0，
由 p 和q有且只有一个为真命题，
\ p 真q假，或 p 假q真，
ì 3 < m < 0 ìm 3或m 0

í 1 m 1
或 ím 1 m 1 ， 或 2 2 2 2
1
\ m < 0 或m 3 1或m
2 2
.
16（2024 福建龙岩）设命题 p：对任意 x [1,3]，不等式 x + 4x 2 < m恒成立； 命题 q：存在 x [ 1,1]，
x 1使得不等式 + m 0 成立．
4
(1)若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若命题 p，q 至少有一个是真命题，求实数 m 的取值范围．
【答案】(1) m>2 ；
(2) m
5
或m>2 .
4
【解析】（1）令函数 y = x2 + 4x 2， x [1,3]，则当 x = 2时， ymax = 2，
由任意 x [1,3]，不等式 x + 4x 2 < m恒成立，得m>2 ，
所以 p 为真命题的实数 m 的取值范围是m>2 .
y x 1（2）令函数 = + ， x [ 1,1]
5
，则当 x= 1时， ymax = ，4 4
1
不等式 x + m 0 m x
1 1 5
+ ，由存在 x [ 1,1]，使得不等式 x + m 0 成立，得m ，
4 4 4 4
5
由（1）知，命题 p : m 2，而命题 q : m ，
4
若 p
5
真q假，则m>2 ，若 p 假q真，则m ，若 p, q都为真命题，则实数m 不存在，
4
5
所以命题 p，q 至少有一个是真命题的实数 m 的取值范围是m 或m>2 .
4
17（2024 2福建漳州·期末）设函数 f x = x 2tx + 2，其中 t R .
(1)若命题“ $x R ， f x < 0 ”为假命题，求实数 t 的取值范围；
f x(2)判断 g x = 在区间 0, 2 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.x
【答案】(1) 2, 2
f x(2) g x = 在区间 0, 2 上单调递减，证明见解析x
【解析】（1）因为命题“ $x R ， f x < 0 ”为假命题，
所以“ "x R ， x2 2tx + 2 0 ”为真命题，
所以Δ = 2t 2 4 2 0，解得 2 t 2 ，
所以实数 t 的取值范围为 2, 2 .
f x 2
（2 g x x 2tx + 2 x 2） = = = 2t + 在区间 0, 2 上单调递减.证明如下：x x x
"x1, x2 0, 2 ，且 x1 < x2，
g x g x x 2t 2 2x 2t 2 x x x x 则 1 2 = 1 + + = + 2 1
è x
÷ 2 x ÷ 1 21 è 2 x1x2
= x1 x
x x 2
2 ×
1 2
x ，1x2
因为 x , x 0, 2 1 2 ，且 x1 < x2，
所以 x1 x2 < 0， x1x2 2 < 0， x1x2 0，
x x x x 2所以 1 2 × 1 2 0x x ，即 g x1 g x2 0，即 g x1 g x2 ，1 2
f x
g x 所以 = 在区间 0, 2 上单调递减.
x
18（2024 2陕西咸阳）已知命题：“ "x x 1 x 1 , x x m < 0 ”是真命题
(1)求实数 m 的取值集合 B；
(2) x x 2 4a + 2 x + 3a 2设关于 的不等式 + 6a 0 的解集为 A，若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a
的取值范围．
【答案】(1) B = 2, +
2
(2) , +

3 ֏
【解析】（1）∵“ "x x | 1 x 1 , x 2 x m < 0 ”是真命题，
∴ "x 1,1 , m x 2 x ，
∴当 x 1,1 时，m x2 x max ，
∵函数 f x = x2 x 1的图像开口向上，且对称轴为直线 x = ，
2
∴当 x 1,1 时， f x 的最大值为 f 1 = 2，
∴当 x 1,1 2时， (x x)max = 2．
∴实数 m 的取值集合B = 2, + ．
（2）∵ x2 4a + 2 x +3a2 +6a = x 3a x a + 2 ，
∴ 2不等式 x 4a + 2 x + 3a a + 2 0 等价于 x 3a x a + 2 0．
①当3a < a + 2，即a < 1时， A = 3a, a + 2 ，
又“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，
∴ A 是 B 的真子集，即 3a, a + 2 包含于 2, + ，
ì a <1 2
∴ í3a 2，∴
< a <1；
3
②当3a = a + 2 ，即 a =1时， A = 3 ，符合题意；
③当 a + 2 < 3a，即 a 1时， A = a + 2, 3a ，
又“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，
∴ A 是 B 的真子集，即 a + 2,3a 包含于 2, + ，
ìa 1
∴ ía 2 2，∴
a 1；
+
2
综上，实数 a 的取值范围为 ,+ 3 ÷．è
1
19（2024 湖南长沙）已知函数 f x = log2 + a ， a 0．
è x ÷
（1）若命题：“ $x0 1,4 ， f x0 1”是真命题，求 a的取值范围；
（2）若 a = 2， x1 > 0， x2 0， x1 + x2 =1，求 f x1 + f x2 的最小值；
1
（3）若"t ê ,1ú，函数 f x 在区间 t, t +1 上的最大值与最小值的差不超过1，求 a的取值范围． 2
2
【答案】（1） a 1；（2）4 ；（3） ê ,+

3 ÷
1 1
【解析】（1）依题，当0 < x1 < x2 时， + a + a 0， log
1 1
+ a log + a
x x 2 x ÷ 2 x ÷ ，1 2 è 1 è 2
所以 f x 在 0,+ 上单调递减．
故 f x = f 1 0，即 log 12 + a

÷ 1max ，解得 a 1．è1
2
（2）由 x1 > 0， x2 0， x1 + x =1 x + x 2 及基本不等式得， x x 1 2 1 ，1 2 =4 4
故 f x1 + f x2

= log 12 + 2 log
1 2 log 1 1÷ +x 2
+ ÷ = 2 + 2÷ + 2÷
è 1 è x2 è x1 è x2
1 1 1 log 1 x= ê + 2 + ÷ + 4ú = log + 2 1
+ x2
2 2 ê + 4
x
ú
1x2 è x1 x2 x1x2 x1x2

= log 32 + 4÷ log2 3 4 + 4 = 4，
è x1x2
x x 1等号当且仅当 1 = 2 = 时成立．2
故 f x1 + f x2 的最小值为 4．
（3）由（1）知 f x 在 0,+ 上单调递减．
函数 f x 在区间 t, t +1 上的最大值与最小值分别为 f t ， f t +1 ．
f t f t 1 log 1 1 + = 22 + a ÷ log2 + a ÷ 1即 at + a +1 t 1 0，
è t è t +1
1
对任意的 t ê ,1 成立． 2 ú
因为 a 0 2，所以函数 y = at + a +1 t 1 1 在区间 ê ,1

ú 上单调递增， 2
t 1= 时， y
3 1 3 1 2
有最小值 a ，由 a 0，得 a ．
2 4 2 4 2 3
a 2故 的取值范围为 ê ,+

．
3 ÷ 1.2 常用的逻辑用语
考点一 充分、必要条件的判断
【例 1-1】（2024·河北唐山·一模）已知 x R ， p ：“ x2 x 0 ”，q：“ x 1”，则 p 是q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例 1-2】（2024
2
浙江绍兴）已知 i 是虚数单位， a R ，则“ a2 =1”是“ a + i = 2i ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例 1-3】（2021·24 江苏南京·模拟预）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分
条件，则甲是丁的 （ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【一隅三反】
1
1．（2024 广东·韶关）“ 3x 1”是“ 1”的（ ）x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024 广东深圳）“ cosq 0且 sin 2q < 0 ”是“q 为第四象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024北京）“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，
描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4（2023·天津·高考真题）已知 a,b R ，“ a2 = b2 ”是“ a2 + b2 = 2ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
考点二 充分、必要条件的选择
1
【例 2-1】（2024·新疆·二模）使“ 1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
x
1
A． x 0 B．0 < x <
2
C．0 < x <1 D．0 < x < 2
2 2
【例 2-2】（2024 广东汕头）命题 p : x y方程 + =1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则使命题 p 成立的充分必要
5 m m 1
条件是（　　）
A． 4 < m < 5 B．3 < m < 5
C．1< m < 5 D．1 < m < 3
【一隅三反】
1.（2024陕西）使不等式 (x +1)(x 2)2 0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． x 1且 x 2 B． -1< x < 3
C． x <1 D． x 3
x
2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知 f x 1= ÷ 3，则 f x < 5的一个必要不充分条件是（ ）
è 2
A． x 4 B． x 3 C． x< 2 D． x < 3
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线 x + y + b = 0与圆C : x +1 2 + y 1 2 = 5有公共点的一个充分不必要条件是
（ ）
A．b 10, 10 B．b 10, 10
C．b 4,4 D．b 4,4
1 1
4．（2024·福建·模拟预测）已知 a 0，b 0，则使 + 4成立的一个充分不必要条件是（　　）
a b
A． a2 + b2 =1 B． a + b≥4ab
1 1
C． a + b =1 D．
a2
+
b2
8
考点三 充分、必要条件求参
2
【例 3-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合 A = x x 4 = 0 ，B = x ax 2 = 0 ，若 x A是 x B 的必要不
充分条件，则实数 a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A． 1,0,1 B． 1,1 C． 1 D． 1
【例 3-2】（2024·陕西）设 p : log (2x +1) m
1
1 ； q : 1．若 p 是 q 的必要不充分条件，则 m 的取值范围是
3 x
（ ）
A．[1, + ) B． ( ,1] C．[ 1,+ ) D． ( , 1]
1
【例 3-3】（2024· 2 2吉林·模拟预测）已知函数 f (x) = x ln x ax x ，则“ f (x) 有两个极值”的一个充分不必要条件
2
是（ ）
A． 1
1 1 1
< a <1 B． < a < 0 C． < a < 0 D．0 < a <
4 2 2
【一隅三反】
1．（2024 湖南）已知集合 A = x | x2 x 12 0 ，B = x | x2 3mx + 2m2 + m 1 < 0}，若“ x A ”是“ x B ”的必
要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）
A． -3,2 B． 1,3 C． ê 1,
5 5
ú D． 2, 2 ê 2 ú
2．（2023· 2海南海口·模拟预测）已知集合P = x x 2x < 0 ,Q = x x a <1 ，则P UQ = P的充要条件是（ ）
A． 0 < a < 1 B．0 < a 1 C．0 a <1 D．0 a 1
3．（2024 山东临沂）方程 ax2 + 2x +1 = 0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．0 < a 1 B．a < 1 C． a 1 D．0 < a 1或 a<0
考点四 非命题的选择
【例 4】（2024·山西·一模）设命题 p : $x R, a x kx ，则 p 为（ ）
A．"x R, a x kx B．$x R, a x kx
C．"x R, a x kx D．$x R, a x = kx
【一隅三反】
π
1．（2024·山西·模拟预测）命题“ "x 0, ， x ”的否定是（ ）
è 2 ÷
e + 2sin x 2x

A．“ "x
0, π π ÷ ， ex + 2sin x 2x ” B．“ "x 2
0, ÷， ex2 + 2sin x 2x
”
è è
C．“ $x
0, π π 2 ÷
， ex + 2sin x 2x ” D．“ $x 0, ， x2 ÷ e + 2sin x < 2x
”
è è
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“ "x R ，$n N * ， n x2 ”的否定形式是（ ）
A．"x R ，"n N * ， n x2 B．$x R，$n N * ， n < x2
C．$x R，"n N * ， n x2 D．$x R，"n N * ， n < x2
3．（2024·河北·一模）已知命题 p："x 0, + ， ex ln x，则（ ）
A．p 是真命题， p ：$x 0, + ， ex ln x
B．p 是真命题， p ：$x ,0 ， ex ln x
C．p 是假命题， p ：$x 0, + ， ex ln x
D．p 是假命题， p ：$x ,0 ， ex ln x
考点五 根据命题的真假求参数
【例 5-1】（2024 浙江宁波）命题“ $x 2,1 ， x2 x a 0 ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a
1
≤ B． a 0 C． a 6 D． a 8
4
【例 5-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔）若命题“ $a 1,3 , ax2 2a 1 x + 3 a < 0 ”为假命题，则实数 x 的取值范围
为（ ）
A． 1,4 0, 5 B． ê C． 1,0 U
5 ,4 D． 1,0 U 5 , 4
3ú ê 3 ú è 3 ú
【例 5-3】（2024 x 2浙江宁波）已知函数 f x = e ，使不等式 f 2t +1 f t + 2 成立的一个必要不充分条件是
（ ）
A． t 1
1 1 2
B． t 1或 t < 0 C． t 1或 t < D． t < 或 t
3 3 3
2
【例 5-4】（2024 安徽合肥）已知函数 f x = ax + 2 a 0 ， g x = ，若$x
x 1 1
1,2 ，"x2 2,3 ，使
f x1 = g x2 成立，则实数 a的取值范围是 .
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）若 x m2 3是1< x 6的必要不充分条件，则实数m的取值范围（ ）
A． 2,2 B． 2,2 C． 3,3 D． 2,3
2．（2024·陕西）命题“ "x R, x2 kx + k + 3 0 ”是假命题，则 k 的取值范围是（ ）
A． ,6 B． 2, + C． 2,6 D． , 2 6,+
x
3．（2024·山西吕梁）“ $x 0 ，使得 a≤
x2
成立”的充要条件是（ ）
+ x +1
a 1 a 1A． B． C． a
1 1
D． a
3 3 2 2
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 f (x) = ln x ax +1, g(x) = xex ，且对 x (0,+ )都有 f (x) g(x) 成立，则实数 a
的范围为
一．单选题
1
1．（2024 广东深圳）“ 0 x 1”是“ 1”的（
x ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2024 2山东菏泽）命题“ "x < 1， log2x 0 ”的否定为（ ）
A．"x < 1 2 2， log2x 0 B．"x 1， log2x 0
C．$x 1 2 2， log2x 0 D．$x < 1， log2x 0
3．（2022·浙江·高考真题）设 x R ，则“ sin x = 1 ”是“ cos x = 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
r r
4．（2024 江西）设 x R ，向最 a = 1,2 r r，b = x,1 ， cr = 4, x “ b //cr ” “ ar，则 是 ^ b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·福建漳州·模拟预测）若$a [0, + )， cosa < m 为真命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A．m 1 B．m 1 C．m 1 D．m 1
6．（2024 江苏徐州）若命题“ $x R， x2 + 4x + t < 0 ”是假命题，则实数 t 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（2024 河北衡水）条件 p : $x 1,3 ， x2 ax + 3 0，则 p 的一个必要不充分条件是（ ）
A． a < 5 B． a 5 C． a < 4 D． a 4
8．（2024·四川凉山·二模）已知命题“ "x R sin2， π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，则 m 的取值范围为（ ）
A． 2, + B． 2, + C． , 1 D． , 2
二．多选题
9．（2023·海南·模拟预测）已知命题 p :“ $x R, x2 2x + a + 6 = 0 ”， q:" "x R, x2 + mx +1 0 ”，则下列正确的是
（ ）
A． p 的否定是“ "x R, x2 2x + a + 6 0 ”
B． q 的否定是“ $x R, x2 + mx +1 0 ”
C．若 p 为假命题，则 a 的取值范围是 a < 5
D．若 q 为真命题，则m的取值范围是 2 < m < 2
1
10．（2024 辽宁葫芦岛）下列选项中，与“ 1”互为充要条件的是（ ）
x
A． x <1 B． log 20.5 x log0.5 x
C 2．3x < 3x D． x x 1 = x 1 x
11．（2024 内蒙古呼伦贝尔）命题“"1 x 3, x2 a 0 ”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． a 9 B． a 11
C． a 10 D． a 12
三．填空题
12．（2024 江西抚州）已知 p : 3 x 1， q : x a （a 为实数）．若 q 的一个充分不必要条件是 p，则实数 a 的
取值范围是 .
13．（2023·陕西宝鸡·一模）若命题“ $x R, ax2 + 2ax +1 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围是 .
x
14 3a 1．（2024 河北张家口·阶段练习）已知函数 f x = x （ a 0且a 1），若$x 0,3 ，a +1
f x2 + 3 + f ax a 2 0是假命题，则实数 a 的取值范围是 ．
四．解答题
15．（2024·重庆酉阳）命题 p ：任意 x R ， x2 2mx 3m 0成立；命题q：存在 x R ， x2 + 4mx +1< 0成立.
(1)若命题q为假命题，求实数m 的取值范围；
(2)若命题 p 和q有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.
16（2024 福建龙岩）设命题 p：对任意 x [1,3]，不等式 x + 4x 2 < m恒成立； 命题 q：存在 x [ 1,1]，
x 1使得不等式 + m 0 成立．
4
(1)若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
(2)若命题 p，q 至少有一个是真命题，求实数 m 的取值范围．
17（2024 福建漳州·期末）设函数 f x = x2 2tx + 2，其中 t R .
(1)若命题“ $x R ， f x < 0 ”为假命题，求实数 t 的取值范围；
f x
(2) 判断 g x = 在区间 0, 2 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.x
18（2024 陕西咸阳）已知命题：“ "x x 1 x 1 , x2 x m < 0 ”是真命题
(1)求实数 m 的取值集合 B；
(2) 2 2设关于 x 的不等式 x 4a + 2 x + 3a + 6a 0 的解集为 A，若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a
的取值范围．
f x = log 1 19（2024 湖南长沙）已知函数 2 + a ÷， a 0．
è x
（1）若命题：“ $x0 1,4 ， f x0 1”是真命题，求 a的取值范围；
（2）若 a = 2， x1 > 0， x2 0， x1 + x2 =1，求 f x1 + f x2 的最小值；
t 1（3）若" ,1

ê2 ú
，函数 f x 在区间 t, t +1 上的最大值与最小值的差不超过1，求 a的取值范围．

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