资源简介

1.5 复数
考点一 复数的基本概念
3- i
【例 1-1】（2024·黑龙江吉林·二模）复数 的虚部是（ ）
1- i
A．2 B．-2 C．1 D． -1
【例 1-2】（2024 山东）已知复数 z = (2 + ai)(1- i) 的实部为 3，则实数 a的值为（ ）
A． -1 B．1 C．2 D．5
【一隅三反】
2 + i
1．（2024·湖南·模拟预测）已知复数 z = ，则复数 z1 i 的实部与虚部之和为（ ）+
A．0 B．1 C． 2 D．2
1+ 2i
2．（2024 内蒙古赤峰）复数 z = 2024 的虚部为（ ）i
A． 2i B．2 C． i D．1
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 i为虚数单位， x, y为实数，若 x + yi + 2 = 3- 4i + 2yi，则 x + y =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点二 复数的分类
z a - i【例 2-1】（2024·四川泸州·二模）已知 = 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）1+ 2i
A．2 B．1 C． -1 D．-2
1+ ai
【例 2-2】（2024·全国·一模）若复数 2024 a R 为纯虚数，则a = （ ）i - i
A． -1 B．0 C．1 D．2
【一隅三反】
1．（2024· 2 2江苏扬州）已知复数 m + 3m - 4 + m - 2m - 24 i(m R)是纯虚数，则 m=（ ）
A．1 B．1 或-4 C．4 D．4 或 6
a + i
2（2023·辽宁·校联考二模）已知 a R ， 为纯虚数，则a = （ ）
2 - 4i
A．1 B．2 C．3 D．4
3+ ai
3．（2024·山西·模拟预测）已知 z = 为实数，则a = （ ）
2 + i
3 3
A．1 B． C．2 D．-
2 2
3+ i
4 2024· i a + 2i ．（ 山西运城）已知 为虚数单位，若 为实数，则实数a = （ ）
1+ i
A． -1 B．4 C．2 D．-2
考点三 复数的几何意义
2 - i
【例 3-1】（2024·辽宁·一模） 在复平面内对应的点位于（ ）
4 + 3i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例 3-2】（2024·广东广州·一模）已知复数 z 满足 | z - 3 + 4i |=1，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
a - 3i
【例 3-3】（2024·河北衡水）已知复数 z = a R z 10， = ，若 z 在复平面上对应的点在第三象限，则a =3+ i 2
（ ）
A． 4 B．-4 C． 10 D．- 10
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）已知复数 z 在复平面内对应的点为Z -1,3 3+ i，则 =（ ）
z
3
A． i B．- i C． + i
3
D．- - i
5 5
1
2．（2024·河南南阳·一模）已知复数 z 满足 zi +1 = ，复数 z 的共轭复数为 z ，则 z 在复平面内对应的点位于
2 + i
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·甘肃·一模）若复数 é 1+ 1+ a iù i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a > -1 B． a < -1 C． a > 1 D．a < 1
4．（2024·全国·一模）若 z(1+ 2i) = a - 2i(a R)，则在复平面内复数 z 对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点四 复数的模长
【例 4-1】（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数 z =1+ i，则 | z - 2i |=（ ）
A． 10 B． 5 C．2 D． 2
【例 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知1+ z = z + 3i，则 z 等于（ ）
A． 4 - 3i B． 4 + 3i
C．3- 4i D．3 + 4i
【一隅三反】
4 - 3i
1．（2024·天津南开·一模）i 是虚数单位，复数 z = ，则 z 的虚部为
3+ 4i
2．（2023·山西· 2高三校联考阶段练习）复数 z 满足 1- i z =1+ i，则 z =（ ）
A 2 B 1． ． 2 C． 2 D．22
3．（2024 东北师大附中校联考模拟预测）已知复数 z 满足 z + z = 2 + 4i，则 z =（ ）
A．3+ 4i B．3- 4i C．-3 + 4i D．-3 - 4i
4．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数 z1 = a + i,a R ， z2 = 1- 2i，且 z1 × z2 为纯虚数，则 z1 =（ ）
A． 3 B．2 C． 5 D． 6
考点五 复数与方程
【例 5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知1+ 2i 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2 - 2x + m = 0的一个根，则m =
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例 5-2】（2024·安徽芜湖·二模）已知复数 z = a + bi a,b R 且 x2 - 4 + 2i x + 4 + ai = 0 2有实数根 b，则 z =
（ ）
A． 2 3 B．12 C． 2 5 D．20
【一隅三反】
1.（2023·福建·统考模拟预测）已知 z 是方程 x2-2x+2=0 的一个根，则| z |=（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数 z 是方程 x2 + 4x + 5 = 0的一个根，且复数 z 在复平面内对应的点位于第
三象限，则 z = （ ）
A． 2 - i B． 2 + i C．-2 - i D．-2 + i
3．（2024·云南·模拟预测）若1+ i是一元二次方程 x2 - ax + a = 0, a R的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2 B．1- i C． 2 - 2i D．1
4．（2024·全国·模拟预测）设 a,b 为实数，且 ab 0，虚数 z 为方程 ax2 + bx + a = 0的一个根，则 z 的值为 .
考点六 复数模长相关轨迹
【例 6-1】（2024 湖南·阶段练习）设复数 z 满足 | z - 2i |= 3 ，z 在复平面内对应的点为 (x, y)，则（ ）
A． (x - 2)2 + y2 = 3 B． x2 + (y - 2)2 = 3
C． x2 + ( y - 2)2 = 3 D． x2 + (y + 2)2 = 3
【例 6-2】．（2023·全国·模拟预测）已知复数 z 满足 | z + 2i |=1（ i为虚数单位），则 | z - 3 - 2i |的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【例 6-3】（2024 浙江·期末）已知复数 z 满足 | z -1 | + | z +1 |= 4，则 | z |的取值范围为（ ）
A．[0,1] B．[2,3] C．[1, 3] D．[ 3, 2]
【一隅三反】
1．（2024 江苏无锡·期中） i是虚数单位，若复数 z 满足 z - 3i = 2 ，则 z 的取值范围是（ ）
A． 1,5 B． é 3 - 2,3 + 2ù
C． 0,5 D． é 0,3 + 2 ù
2．（2023·安徽安庆·一模）设复数 z 满足条件|z|＝1，那么 z + 3 + i 取最大值时的复数 z 为（ ）
A 3 + 1 i B 3 + 1 i C 3 1 i D 3 1． 2 ． - 2 ． - ．- - i2 2 2 2 2 2
3．（2024 江苏泰州）若复数 z 满足 z -1 = z + i ，则 z -1 的最小值为（ ）
A 1 2． 2 B． C．1 D． 22
4．（2023·江苏扬州·模拟预测）复数 z = x + yi（ x, y R,i为虚数单位）在复平面内对应点Z (x, y)，则下列为真
命题的是（ ）．
A．若 | z +1|=| z -1|，则点Z 在圆上
B．若 | z +1| + | z -1|= 2 ，则点Z 在椭圆上
C．若 | z +1| - | z -1|= 2，则点Z 在双曲线上
D．若 | x +1|=| z -1|，则点Z 在抛物线上
考点七 复数运算及性质
【例 7-1】（2024·广东江门·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A． z × z = z 2 ， z C
B． i2024 = -1
C．若 z =1， z C，则 z - 2 的最小值为 1
D．若-4 + 3i 2是关于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，则 p = 8
【例 7-2】（2024·广东韶关·二模）（多选）已知复数 z1, z2 ，则下列命题正确的是（ ）
2
A．若 z1 = z2 ，则 z1 = ±z2 B．若 z1 = z2 ，则 z1z2 = z1
1
C z z2．若 1 是非零复数，且 1 = z1z2 ，则z1 = z2 D．若 z1 是非零复数，则 z1 + 0z1
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）（多选）已知复数 z = -1+ 3i, z 是 z 的共轭复数，则（ ）
A． z + 3- 2i = 5
B． z 的虚部是3i
C． z 在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数 z 是方程 x2 + 2x + 8 = 0的一个根
2．（2024·云南·一模）（多选）已知 z1 、 z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1 = ±z2
B． z1z2 = z1 z2
C．若 z1 + z2 = z1 - z2 ，则 z1z2 = 0
D． z1 × z2 = z1 × z2
3．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知 z1, z2 为复数，则（ ）
A．若 z1 - z2 = z1 - z2 ，则 z1 - z2为实数
B z2． 1 - z1z2 = z1 × z2 - z1
C z2 = z 2．若 1 2 ，则 z1 = z2
D 2 2．若 z1 = z1 ，则复数 z1 在复平面内所对应的点位于坐标轴上
一．单选题
1．（2024·河南信阳·一模）若 z × (2 + i) = 3- i2023 ，则 z 的虚部为（ ）
7 1
A．-1 B． C．- D．1
5 5
2 2．（2024·宁夏银川·一模）已知复数 z = m -1+ m + i2 × i m R 表示纯虚数，则m =（ ）
A．1 B． -1 C．1 或 -1 D．2
3．（2024·全国·模拟预测）复数 z 满足 1+ i z = i， i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A． z =1 B． z 在复平面内对应的点位于第二象限
1
C 1． z 的实部为 2 D． z 的虚部为 i2
4．（2024·内蒙古包头·一模）设复数 z 满足 z - z = 2i3 ， z = 2 ，复数 z 所对应的点位于第四象限,则 z =（ ）
A 6 2． - i B．1- i C．1+ i D 6 2． + i
2 2 2 2
5．（2024·吉林·模拟预测）已知复数 z 满足 z - 2z =1- 3i（ i为虚数单位），则 z 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·四川南充·二模）若复数 z = 2 + i，且 z 和 z2 在复平面内所对应的点分别为 P，Q，O 为坐标原点，则
cos POQ =（ ）
A 5 B 2 5．- ．- C 5 D 2 5． ．
5 5 5 5
7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 z1 = 2 - 2i ， | z2 - i |=1，则 z2 - z1 的最大值为（ ）
A． 2 3 B．2 2 C． 5 +1 D． 13 +1
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 z1 ， z2 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 z1 + z2 > 0，则 z2 = z1
B．若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 且 z2 = 0
C．若 z = z z2 21 2 ，则 1 = z2
D．若 z - z1 = z - z2 ，且 z1 z2 ，则 z 在复平面对应的点在一条直线上
二．多选题
5i
9．（2024·辽宁·一模）已知 z 满足 z 1- i = z + ，则（
2 i ）-
A． z = -4 + i
B．复平面内 z 对应的点在第一象限
C． zz =17
D． z 的实部与虚部之积为-4
10．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数 z1, z2 满足： z1 =1, z2 = z2 - 2 - 2i (其中 i为虚数单位)，则下列说法正确的
有( )
A． 1- i z = 2 z1 21 B． =1- i 2
C． z1 - z2 的最小值为 2 -1 D． z1 - z2 的最大值为 2 +1
11．（2024·江苏·一模）已知复数 z1, z2 , z3，下列说法正确的有（ ）
A．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 z1 = z2 B．若 z
2
1 + z
2
2 = 0 ，则 z1 = z2 = 0
C．若 z1z2 = z1z3，则 z1 = 0 或 z2 = z3 D．若 z1 - z2 = z1 + z2 ，则 z1z2 = 0
三．填空题
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 z = i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023 ，则 z 的虚部为 .
2
é 5 ù 20
13．（2023· · 1+ 2i × i100 + 1- i 1+ i- 全国 高三专题练习） ê 1 i ÷ úè + ÷
= ____________
ê ú è 2
14．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数 z1 ， z2 满足 z1 + 2z1 = -3 - i， z2 - z1 = 1，则 z2 + 2i 的最大值为 .
四．解答题
15．（2024 河南商丘）已知复数 z 满足 z = 2 ， z2 的虚部是 2，z 对应的点 A 在第一象限，
(1)求 z 的值；
(2)若 z，z2，z - z2 在复平面上对应点分别为 A，B，C，求 cos∠ABC.
16（2024 湖北）已知复数 z 满足 | z + 2 - 2i |= 2，且复数 z 在复平面内的对应点为M ．
(1)确定点M 的集合构成图形的形状；
(2)求 | z -1+ 2i |的最大值和最小值．
17．（2024·上海嘉定）设复数 z = x + i × y ，其中 xnyn∈R，n∈N*n n n ，i 为虚数单位， zn+1 = (1+ i) × zn，z1=3+4i，复数
zn 在复平面上对应的点为 Zn.
（1）求复数 z2，z3，z4的值；
uuuuv uuuuv
（2）是否存在正整数 n 使得OZn //OZ1 ？若存在，求出所有满足条件的 n；若不存在，请说明理由；
（3）求数列 xn × yn 的前102项之和.
p p
18．（2024 山西）已知复数 z1 = 2sinq - 3i ， z2 = 1+ (2cosq )i， i为虚数单位，q [ , ] .3 2
（1）若 z1 × z2 为实数，求q 的值；
z z v v
v v
（2 v）若复数 1 、 2 对应的向量分别是 a、b ，存在q 使等式 (la - b) × (a
v - lb) = 0成立，求实数l 的取值范围.
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 a0 ,a1,a2 ,L,an ,L，我们称

f (x) a a a= n xn = a 2 2 n n0 + a1x + x +L+ x +L（规定0!=1）为无穷数列 an 的指数型母函数．无穷数列 1，
n=0 n! 2! n!
1 x2 n
1，…，1，…的指数型母函数记为 e(x) = xn =1+ x x+ +L+ +L，它具有性质 e(x)e(y) = e(x + y)．
n=0 n! 2! n!
(1)证明： e( x)
1
- =
e(x) ；
(-1)k x2 x4 x2k e(ix) + e(-ix)
(2) c(x) = x2k记 =1- + +L+ (-1)k +L．证明： c(x) = （其中 i 为虚数单位）；
k =0 (2k)! 2! 4! (2k)! 2
x
(3)以函数 为指数型母函数生成数列 Bn
x B
= n xn = B B x B2 x2 L B+ + + + n xn +L B
e(x) 1 ， ．其中 称- e(x) -1 n! 0 1 2! n! nn=0
1
为伯努利数．证明：B1 = - ．且B = 0(k =1,2,3,L) ．2 2k +11.5 复数
考点一 复数的基本概念
3- i
【例 1-1】（2024·黑龙江吉林·二模）复数 的虚部是（ ）
1- i
A．2 B．-2 C．1 D． -1
【答案】C
3 - i 3- i 1+ i 3- i
【解析】因为 = = 2 + i1 i 1 i 1 i ，所以复数 的虚部为1.选：C.- - + 1- i
【例 1-2】（2024 山东）已知复数 z = (2 + ai)(1- i) 的实部为 3，则实数 a的值为（ ）
A． -1 B．1 C．2 D．5
【答案】B
【解析】由题意得， z = 2 + a + (a - 2)i ，则其实部为 2 + a = 3，解得 a =1 .故选:B.
【一隅三反】
2 + i
1．（2024·湖南·模拟预测）已知复数 z = 1 i ，则复数
z 的实部与虚部之和为（ ）+
A．0 B．1 C． 2 D．2
【答案】B
2 + i 2 + i 1- iz 3 1 3 1【解析】因为 = = = - i z 1+ i 1+ i 1- i 2 2 ，所以复数 的实部与虚部之和
+ - ÷ =1，故选:B.2 è 2
1+ 2i
2．（2024 内蒙古赤峰）复数 z = 2024 的虚部为（ ）i
A． 2i B．2 C． i D．1
【答案】B
z 1+ 2i 1+ 2i 1+ 2i【解析】由 =
i2024
= 4 506 = =1+ 2i ，所以虚部为 2. 故选：B.i 1
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 i为虚数单位， x, y为实数，若 x + yi + 2 = 3- 4i + 2yi，则 x + y =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
ìx + 2 = 3【解析】由题意 x + yi + 2 = x + 2 + yi = 3 - 4i + 2yi=3 + 2y - 4 i ，所以 í ，解得 x =1, y = 4
y 2y 4
，所以
= -
x + y = 5 .故选：D.
考点二 复数的分类
a - i
【例 2-1】（2024·四川泸州·二模）已知 z = 为纯虚数，则实数 a 的值为（
1 2i ）+
A．2 B．1 C． -1 D．-2
【答案】A
ìa - 2
z a - i a - i 1- 2i a - 2 2a
= 0
+1 5
【解析】因为 = = = - i z1+ 2i 1+ 2i 1- 2i 5 5 ，因为 为纯虚数，所以 í a = 2 . 2a +1
，则
- 0
5
故选：A.
1+ ai
【例 2-2】（2024·全国·一模）若复数 2024 a R 为纯虚数，则a = （ ）i - i
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
1+ ai 1+ ai (1+ ai)(-1- i) a -1+ (-a -1)i a -1 -a -1
【解析】依题意， i - i2024
= = = = + i
1 ，- + i (-1+ i)(-1- i) 2 2 2
ìa -1
= 0 2
于是 í ，解得 a =1，所以 a =1 .a 1 故选：
C
- - 0
2
【一隅三反】
1．（2024· 2江苏扬州）已知复数 m + 3m - 4 + m2 - 2m - 24 i(m R)是纯虚数，则 m=（ ）
A．1 B．1 或-4 C．4 D．4 或 6
【答案】A
ìm22 2 + 3m - 4 = 0
【解析】因为复数 m + 3m - 4 + m - 2m - 24 i(m R)是纯虚数，所以 í 2 ，解得m =1.
m - 2m - 24 0
故选：A.
a + i
2（2023·辽宁·校联考二模）已知 a R ， 为纯虚数，则a = （ ）
2 - 4i
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
a + i a + i 2 + 4i 2a - 4 + 4a + 2 i
【解析】因为 = =2 4i 2 4i 2 4i 20 为纯虚数，所以2a - 4 = 0 ，且 4a + 2 0，- - +
所以 a = 2 .故选：B.
z 3+ ai3．（2024·山西·模拟预测）已知 = 为实数，则a = （ ）
2 + i
3 3
A．1 B． C．2 D．-
2 2
【答案】B
z 3 + ai (3+ ai)(2 - i)= = = 6 - 3i + 2ai - ai
2 (6 + a) + (2a - 3)i Q z 2a - 3【解析】由 2 i (2 i)(2 i) = ， 为实数，
\ = 0，解得
+ + - 4 +1 5 5
a 3= ．故选：B．
2
3+ i4 a + 2i ．（2024·山西运城）已知 i为虚数单位，若 为实数，则实数a = （ ）
1+ i
A． -1 B．4 C．2 D．-2
【答案】B
3+ i a + 2i 3a - 2 + (6 + a)i [(3a - 2) + (6 + a)i](1- i)= (3a - 2 + 6 + a) + (6 + a - 3a + 2)i【解析】 = =
1+ i 1+ i (1+ i)(1- i) 2
= (2a + 2) + (4 - a)i ，
3+ i a + 2i
要使 为实数，需满足 4 - a = 0，所以 a = 4 .故选：B.
1+ i
考点三 复数的几何意义
2 - i
【例 3-1】（2024·辽宁·一模） 在复平面内对应的点位于（ ）
4 + 3i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
2 - i (2 - i)(4 - 3i) 1 2
【解析】 = = - i
1 2
4 3i (4 3i)(4 3i) 5 5 ，在复平面内
z 对应的点为 ,- ，在第四象限.故选：D.
+ + - è 5 5 ÷
【例 3-2】（2024·广东广州·一模）已知复数 z 满足 | z - 3 + 4i |=1，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】令 z = x + yi, x, y R ，由 | z - 3 + 4i |=1，得 (x - 3)2 + (y + 4)2 =1，
点 (x, y)在以 (3, -4)为圆心，1 为半径的圆上，位于第四象限，故选：D
a - 3i
【例 3-3 2024· 10】（ 河北衡水）已知复数 z = a R ， z = ，若 z 在复平面上对应的点在第三象限，则a =3+ i 2
（ ）
A． 4 B．-4 C． 10 D．- 10
【答案】B
a - 3i a - 3i 3 - i 3a - 3 - a + 9 i
【解析】因为 z
3a - 3 a + 9
= = = = - i
3+ i 3 ，+ i 3 - i 10 10 10
2 2 10 a2 3a - 3 a + 9 + 9 则 z 10= 10 ÷ + - ÷ = = ，解得
a = ±4，
è è 10 10 2
ì3a - 3 < 0
因为复数 z 在复平面上对应的点在第三象限，则 í -9 < a <1
- a + 9 < 0
，解得 ，
因此， a = -4 .故选：B.
【一隅三反】
3+ i
1．（2024·河南·模拟预测）已知复数 z 在复平面内对应的点为Z -1,3 ，则 =（ ）
z
3 3
A． i B．- i C． + i D．- - i
5 5
【答案】B
3+ i 3 + i 3 + i -1- 3i
【解析】由题意可知： z = -1+ 3i，所以 = = = -iz -1+ 3i -1+ 3i -1 3i .故选：B.-
1
2．（2024·河南南阳·一模）已知复数 z 满足 zi +1 = ，复数 z 的共轭复数为 z ，则 z 在复平面内对应的点位于
2 + i
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
1 2 - i 3 1
【解析】因为 zi +1 = ，所以 zi = -1 = - - i ，
2 + i (2 + i)(2 - i) 5 5
- 3 - 1 i 1 3
所以 z = 5 5 1 3= - + i，所以 z = - - i ，
i 5 5 5 5
1 3
所以 z 在复平面内对应的点的坐标为 - ,- ÷，位于第三象限.
è 5 5
故选:C.
3．（2024·甘肃·一模）若复数 é 1+ 1+ a iù i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 a的取值范围是（ ）
A． a > -1 B． a < -1 C． a > 1 D．a < 1
【答案】A
ì-1- a < 0
【解析】因为 é 1+ 1+ a iù i= - 1+ a + i ，对应的点为 -1- a,1 ，在第二象限，故 í ，解得 a > -1，
1 > 0
故选：A.
4．（2024·全国·一模）若 z(1+ 2i) = a - 2i(a R)，则在复平面内复数 z 对应的点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
a - 2i a - 2i 1- 2iz a - 4 -2a - 2【解析】若 z(1+ 2i) = a - 2i(a R)，则 = = = + i1+ 2i 1+ 2i 1 2i 5 5 ，-
ìa - 4
> 0
z 5复平面内复数 对应的点在第一象限， í 2a 2 ，不等式无解； - - > 0
5
ìa - 4
< 0
复平面内复数 z 5对应的点在第二象限， í ，解得 a < -1
-2a
；
- 2
> 0
5
ìa - 4 < 0
5
复平面内复数 z 对应的点在第三象限， í -1 < a < 4
-2a - 2
，解得 ；
< 0
5
ìa - 4
> 0 5
复平面内复数 z 对应的点在第四象限， í ，解得 a > 4；
-2a - 2 < 0
5
所以复平面内复数 z 对应的点不可能在第一象限.
故选：A
考点四 复数的模长
【例 4-1】（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数 z =1+ i，则 | z - 2i |=（ ）
A． 10 B． 5 C．2 D． 2
【答案】A
【解析】 z = 1- i， | z - 2i |= 1- 3i = 10 .故选：A
【例 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知1+ z = z + 3i，则 z 等于（ ）
A． 4 - 3i B． 4 + 3i
C．3- 4i D．3 + 4i
【答案】A
ì 2 2 ìa = 4,
【解析】设 z = a + bi
a +1 = a + b
， a,b R ，则 a +1- bi = a2 + b2 + 3i ，所以 í 解得 í
b = -3 b = -3.
所以 z = 4 - 3i ．故选：A．
【一隅三反】
4 - 3i
1．（2024·天津南开·一模）i 是虚数单位，复数 z = ，则 z 的虚部为
3+ 4i
4
【答案】-
5
4 - 3i 5 5 3 - 4i 5 3- 4i 3 4 4 4
【解析】 z = = = = = - i3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 25 5 5 .所以复数
z 的虚部为- .故答案为：- .
+ + + - 5 5
2．（2023· 2山西·高三校联考阶段练习）复数 z 满足 1- i z =1+ i，则 z =（ ）
A 2． B 1． 2 C． 2 D．22
【答案】A
z 1+ i 1+ i i -1 1 1
2 2
【解析】∵ = 2 = = = - + i ∴ z 1 1 2 1- i -2i 2 2 2 ， = - ÷ + ÷ = .故选：Aè 2 è 2 2
3．（2024 东北师大附中校联考模拟预测）已知复数 z 满足 z + z = 2 + 4i，则 z =（ ）
A．3+ 4i B．3- 4i C．-3 + 4i D．-3 - 4i
【答案】C
【解析】设 z = a + bi,a,b R ， z = a2 + b2 ，
ì a + a2 + b2 = 2
所以 z + z = a + a2 + b2 + bi=2 + 4i，所以 í ，解得：a = -3,b = 4，
b = 4
所以 z = -3+ 4i .故选：C
4．（2023·广东梅州·统考二模）已知复数 z1 = a + i,a R ， z2 = 1- 2i，且 z1 × z2 为纯虚数，则 z1 =（ ）
A． 3 B．2 C． 5 D． 6
【答案】C
【解析】复数 z1 = a + i， z2 = 1- 2i，则 z1 × z2 = (a + i)(1+ 2i) = (a - 2) + (2a +1)i ，
ìa - 2 = 0
依题意， í ，解得 a = 2，即 z1 = 2 + i ，所以 z = 22 21 +1 = 5 .故选：C
2a +1 0
考点五 复数与方程
【例 5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知1+ 2i 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2 - 2x + m = 0的一个根，则m =
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为1+ 2i 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2 - 2x + m = 0的一个根，
所以 1+ 2i 2 - 2 1+ 2i + m = 0，整理得到: m - 5 = 0即m = 5，故选：D.
【例 5-2】（2024· 2安徽芜湖·二模）已知复数 z = a + bi a,b R 且 x - 4 + 2i x + 4 + ai = 0有实数根 b z2，则 =
（ ）
A． 2 3 B．12 C． 2 5 D．20
【答案】D
2
【解析】由题意知b 为 x - 4 + 2i x + 4 + ai = 0的实数根，
2 2
则b - 4 + 2i b + 4 + ai = 0，即b - 4b + 4 + a - 2b i = 0，
ìb2 - 4b + 4 = 0 ìb = 2
则 í ，解得 í ，所以 z = 4 + 2i 2，所以 z = 42 + 22 = 20

D . D.
a - 2b i = 0 a
，故 正确 故选：
= 4
【一隅三反】
1.（2023·福建·统考模拟预测）已知 z 是方程 x2-2x+2=0 的一个根，则| z |=（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【解析】因为方程 x2-2x+2=0 D = -2 2是实系数方程，且 - 4 2 = -4 < 0，
所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，
z 2 ± 2i即 1,2 = =1± i，即 z =1± i z =1m i z = 12 + m12
2 = 2 ，
故选：B
2．（2024·全国·高三专题练习）已知复数 z 是方程 x2 + 4x + 5 = 0的一个根，且复数 z 在复平面内对应的点位于第
三象限，则 z = （ ）
A． 2 - i B． 2 + i C．-2 - i D．-2 + i
【答案】D
【解析】复数范围内方程 x2 + 4x + 5 = 0的根为 x = -2 ± i，
因为复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限，所以 z = -2 - i ，则 z = -2+ i．
故选：D.
3．（2024·云南·模拟预测）若1+ i是一元二次方程 x2 - ax + a = 0, a R的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2 B．1- i C． 2 - 2i D．1
【答案】A
【解析】设 x2 - ax + a = 0的另一个根是 z ，易知 z 与1+ i一定是共轭复数，故 z =1- i ，故1+ i +1- i = 2 .
故选：A
4．（2024·全国·模拟预测）设 a,b 为实数，且 ab 0，虚数 z 为方程 ax2 + bx + a = 0的一个根，则 z 的值为 .
【答案】1
【解析】由题意可知虚数 z 为方程 ax2 + bx + a = 0的一个根， z 也为方程的一个根，
所以 z × z
a
= =1，
a
设 z = m + ni ，则 z = m-ni ，
z × z = m + ni m - ni = m2 + n2 =1，
所以 z =1，
故答案为：1.
考点六 复数模长相关轨迹
【例 6-1】（2024 湖南·阶段练习）设复数 z 满足 | z - 2i |= 3 ，z 在复平面内对应的点为 (x, y)，则（ ）
A． (x - 2)2 + y2 = 3 B． x2 + (y - 2)2 = 3
C． x2 + ( y - 2)2 = 3 D． x2 + (y + 2)2 = 3
【答案】C
【解析】因为 z 在复平面内对应的点为 (x, y)，所以 z = x + yi，则 z - 2i = x + y - 2 i ，
又 | z - 2i |= 3 ，所以 x2 + (y - 2)2 = 3 ，即 x2 + ( y - 2)2 = 3 .故选：C．
【例 6-2】．（2023·全国·模拟预测）已知复数 z 满足 | z + 2i |=1（ i为虚数单位），则 | z - 3 - 2i |的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】设 z = x + yi(x, y R)，在复平面内对应的点 P 的坐标为 (x, y)，
由 | z + 2i |=1，得 | x + (y + 2)i |=1，即 x2 + ( y + 2)2 = 1，
因此点P(x, y) 在圆C : x2 + (y + 2)2 = 1上运动，圆心C 的坐标为 (0, -2) ，半径 r =1，
又 | z - 3 - 2i |=| (x - 3) + (y - 2)i |= (x - 3)2 + (y - 2)2 ，
于是 | z - 3 - 2i |可以看成是点P(x, y) 到点 A(3,2) 的距离，显然此点在圆C 外，
所以 | z - 3 - 2i |min =| PA |
2
min =| AC | -r = 3 + (2 + 2)
2 -1 = 4 .
故选：D
【例 6-3】（2024 浙江·期末）已知复数 z 满足 | z -1 | + | z +1 |= 4，则 | z |的取值范围为（ ）
A．[0,1] B．[2,3] C．[1, 3] D．[ 3, 2]
【答案】D
【解析】复数 z 满足 | z -1 | + | z +1 |= 4，
则复数 z 对应的点的轨迹为以 (-1,0),(1,0)为焦点，长轴长 2a = 4的椭圆，
x2 y2
则椭圆短半轴长为b = 22 -12 = 3 ，椭圆方程为 + =1，4 3
| z |表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时， | z |取值大值 2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时， | z |取值小值 3；
故 | z |的取值范围为[ 3, 2]，
故选：D
【一隅三反】
1．（2024 江苏无锡·期中） i是虚数单位，若复数 z 满足 z - 3i = 2 ，则 z 的取值范围是（ ）
A． 1,5 B． é 3 - 2,3 + 2ù
C． 0,5 D． é 0,3 + 2 ù
【答案】A
【解析】在复平面内，若复数 z 满足 z - 3i = 2 ，则复数 z 对应的点Z 的轨迹是以 0,3 为圆心，半径为 2 的圆，
z 几何意义是点Z 到原点的距离，\3 -1 z 3 + 2，所以 z 的取值范围是 1,5 .故选：A.
2．（2023·安徽安庆·一模）设复数 z 满足条件|z|＝1，那么 z + 3 + i 取最大值时的复数 z 为（ ）
A 3 + 1 i B 3 1 3 1 3 1． 2 ． - + 2 i C． - i D．- - i2 2 2 2 2 2
【答案】A
【解析】复数 z 满足条件 | z |= 1，它是复平面上的单位圆，那么 | z + 3 + i |表示单位圆上的点到Q(- 3,-1)的距离，
要使此距离取最大值的复数 z ，就是 (- 3,-1)和 (0,0)连线和单位圆在第一象限的交点M ．
Q点 (- 3,-1) 3 1到原点距离是 2．单位圆半径是 1，又 MOx = 30o ，所以M ( , )．
2 2
3 1
故对应的复数为 + i．
2 2
故选：A
3．（2024 江苏泰州）若复数 z 满足 z -1 = z + i ，则 z -1 的最小值为（ ）
A 1 2． 2 B． C．1 D． 22
【答案】B
【解析】令 z = x + yi， x, y为实数
由 z -1 = z + i x -1 2 + y2 = x2 + y +1 2 y = -x，
所以 z -1 = x -1 2 + y2 = x2 - 2x +1+ x2 = 2x2 - 2x 1 2 x 1 1+ = - ÷ + ，
è 2 2
x 1= z -1 2因此当 时， 取最小值 ，
2 2
故选：B
4．（2023·江苏扬州·模拟预测）复数 z = x + yi（ x, y R,i为虚数单位）在复平面内对应点Z (x, y)，则下列为真
命题的是（ ）．
A．若 | z +1|=| z -1|，则点Z 在圆上
B．若 | z +1| + | z -1|= 2 ，则点Z 在椭圆上
C．若 | z +1| - | z -1|= 2，则点Z 在双曲线上
D．若 | x +1|=| z -1|，则点Z 在抛物线上
【答案】D
【解析】 z +1 = x +1 2 + y2 表示点 x, y 与 -1,0 之间的距离，
z -1 = x -1 2 + y2 表示点 x, y 与 1,0 之间的距离，记F1 -1,0 ，F2 1,0 ，
对于 A， z +1 = z -1 ，表示点Z (x, y)到F1、F2 距离相等，则点Z 在线段F1F2 的中垂线上，故 A 错误；
x +1 2或由 + y2 = x -1 2 + y2 ，整理得 x = 0，所以点Z 在 x = 0，故 A 错误；
对于 B，由 | z +1| + | z -1|= 2 得 ZF1 + ZF2 = F1F2 = 2，这不符合椭圆定义，故 B 错误；
对于 C，若 | z +1| - | z -1|= 2， ZF1 - ZF2 = F1F2 = 2，这不符合双曲线定义，故 C 错误；
对于 D，若 | x +1|=| z -1|，则 x +1 2 = x -1 2 + y2 ，整理得 y2 = 4x，为抛物线，故 D 正确.
故选：D.
考点七 复数运算及性质
【例 7-1】（2024·广东江门·一模）（多选）下列说法正确的是（ ）
A z × z = z 2． ， z C
B． i2024 = -1
C．若 z =1， z C，则 z - 2 的最小值为 1
D 2．若-4 + 3i 是关于 x 的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，则 p = 8
【答案】ACD
【解析】对于 A， z C，设复数 z = a + bi,(a,b R) ，则 z = a - bi,(a,b R) ， | z |= a2 + b2 ，
故 z × z = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 = z 2 ，A 正确；
对于 B，由于 i2 = -1,i4 =1，故 i2024 = (i4 )506 =1，B 错误；
对于 C， z C，设 z = x + yi,(x, y R) ，由于 z =1，则 x2 + y2 =1,\ x2 + y2 =1，
故 z - 2 = (x - 2)2 + y2 = (x - 2)2 +1- x2 = -4x + 5 ，
由 x2 + y2 =1，得-1 x 1，则-4x + 5 1，
故当 x =1时， z - 2 的最小值为 1，C 正确；
对于 D，-4 + 3i 是关于 x 2的方程 x + px + q = 0 p,q R 的根，
故 (-4 + 3i)2 + p(-4 + 3i) + q = 0( p, q R)，即7 - 4 p + q + (3p - 24)i = 0，
ì7 - 4 p + q = 0 ì p = 8
故 í ,\ D3p 24 0 íq 25， 正确， - = =
故选：ACD
【例 7-2】（2024·广东韶关·二模）（多选）已知复数 z1, z2 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 z = z
2
1 2 ，则 z1 = ±z2 B．若 z1 = z2 ，则 z1z2 = z1
1
C．若 z 21 是非零复数，且 z1 = z1z2 ，则z1 = z z + 02 D．若 z1 是非零复数，则 1 z1
【答案】BC
【解析】对于 A 项，若 z1 =1+ i， z2 = 2i，显然满足 z1 = z2 ，但 z1 = ±z2 ，故 A 项错误；
对于 B 项，设 z1 = a + bi a,b R 2 2，则 z2 = a - bi， z1z2 = (a + bi)(a - bi)=a + b ，故 | z1z2 |= a2 + b2 而 | z1 |2 = a2 + b2，
故 B 项正确；
对于 C 2 2项，由 z1 = z1z2 可得： z1 - z1z2 = z1(z1 - z2 ) = 0，因 z1 是非零复数，故 z1 - z2 = 0，即z1 = z2，故 C 项正确；
1 1
对于 D 项，当 z1 = i时， z1 是非零复数，但 z1 + = i + = i - i = 0z i ，故 D 项错误.1
故选：BC.
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）（多选）已知复数 z = -1+ 3i, z 是 z 的共轭复数，则（ ）
A． z + 3- 2i = 5
B． z 的虚部是3i
C． z 在复平面内对应的点位于第二象限
D．复数 z 是方程 x2 + 2x + 8 = 0的一个根
【答案】AC
【解析】由题意可知 z + 3- 2i = 2 + i，所以 z + 3- 2i = 5 ，故 A 正确；
易知 z 的虚部是3，故 B 错误；
z 在复平面内对应的点为 -1,3 ，位于第二象限，故 C 正确；
对于 x2 + 2x + 8 = 0 x -2 ± 28i = = -1± 7i，
2
显然 z = -1- 3i不符合题意，故 D 错误.
故选：AC
2．（2024·云南·一模）（多选）已知 z1 、 z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1 = ±z2
B． z1z2 = z1 z2
C．若 z1 + z2 = z1 - z2 ，则 z1z2 = 0
D． z1 × z2 = z1 × z2
【答案】BD
【解析】对于 A：令 z1 = 2 + i 、 z2 =1+ 2i ，则 z1 = z2 = 5 ，显然不满足 z1 = ±z2 ，故 A 错误；
对于 C：令 z1 =1+ i、 z2 =1- i，则 z1 + z2 = 2 ， z1 - z2 = 2i ，
所以 z1 + z2 = z1 - z2 ，但是 z1z2 = 1+ i 1- i = 2，故 C 错误；
设 z1 = a + bi ， z2 = c + di(a,b,c,d R) ，
所以 z1 × z2 = a+bi c+di = ac-bd + ad +bc i，
则 z1 × z2 = ac - bd + ad + bc i
= ac - bd 2 + ad + bc 2 = ac 2 + bd 2 + ad 2 + bc 2 ，
z × z = a2 + b2 × c2 + d 2 = ac 2 + bd 2 + ad 2 + bc 2又 1 2 ，
所以 z1 × z2 = z1 × z2 ，故 B 正确；
z1 × z2 = ac - bd - ad + bc i，又 z1 × z2 = a - bi c - di = ac - bd - ad + bc i ，
所以 z1 × z2 = z1 × z2 ，故 D 正确.
故选：BD
3．（2024·吉林白山·二模）（多选）已知 z1, z2 为复数，则（ ）
A．若 z1 - z2 = z1 - z2 ，则 z1 - z2为实数
B． z21 - z1z2 = z1 × z2 - z1
C．若 z21 = z
2
2 ，则 z1 = z2
D z2 2．若 1 = z1 ，则复数 z1 在复平面内所对应的点位于坐标轴上
【答案】ABD
【解析】设 z1 = a + bi, z2 = c + di a,b,c,d R , z1 - z2 = z1 - z2 z1 - z1 = z2 - z2 2bi = 2di b = d ，故
z1 - z2 = a - c
2
为实数，故 A 正确； z1 - z1z2 = z1 z1 - z2 = z1 × z1 - z2 = z1 × z2 - z1 ，故 B 正确；
令 z1 =1- i, z2 = 2i
2
，故 z1 = z2 ，但 z1 z
2
2 ，故 C 错误；
z2若 = z 2 ，则 (a + bi)21 1 = (a - bi)
2 ，故 ab = 0，即 a = 0或b = 0，故 D 正确.
故选：ABD
一．单选题
1．（2024·河南信阳·一模）若 z × (2 + i) = 3- i2023 ，则 z 的虚部为（ ）
7 1
A．-1 B． C．- D．1
5 5
【答案】C
2023 3 + i (3 + i)(2 - i) 6 - 3i + 2i +1 7 1
【解析】依题意 z × (2 + i) = 3- i2023 3- i，得 z = ， z = = = = - i
2 + i 2 + i (2 + i)(2 - i) 5 5 5
，
1
则复数 z 的虚部为：- ，故选：C．
5
2．（2024· 2 2宁夏银川·一模）已知复数 z = m -1+ m + i × i m R 表示纯虚数，则m =（ ）
A．1 B． -1 C．1 或 -1 D．2
【答案】B
2
z = m2 -1+ m + i2 × i = m2 ìm -1 = 0【解析】因为 -1+ m -1 × i，若复数 z 表示纯虚数，则 í ，解得m = -1.
m -1 0
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）复数 z 满足 1+ i z = i， i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A． z =1 B． z 在复平面内对应的点位于第二象限
1
C z 1． 的实部为 z i2 D． 的虚部为 2
【答案】C
i i × (1- i) 1 1 1 1 2
【解析】因为 1+ i z = i，故 z = = = + i1 i (1 i)(1 ，则
2 2 ，A 错误；
+ + - i) 2 2 z = ( ) + ( ) =2 2 2
z 1 1 1在复平面内对应的点为 ( , )，位于第一象限，B 错误； z 的实部为 2 ，C 正确；2 2
z 1的虚部为 2 ，D 错误，故选：C．
4．（2024·内蒙古包头·一模）设复数 z 满足 z - z = 2i3 ， z = 2 ，复数 z 所对应的点位于第四象限,则 z =（ ）
A 6 2． - i B．1- i C．1+ i D 6 2． + i
2 2 2 2
【答案】B
【解析】设 z = x + yi,x, y R ，则 z - z = x + yi - x - yi = 2yi = 2i3 = -2i，所以 y = -1，
又 z = 2 ，复数 z 所对应的点位于第四象限，所以 x2 +1 = 2, x > 0，解得 x =1，从而 z =1- i .故选：B.
5．（2024·吉林·模拟预测）已知复数 z 满足 z - 2z =1- 3i（ i为虚数单位），则 z 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
ì-x =1 ìx = -1
【解析】设 z = x + yi(x, y R)，由 z - 2z =1- 3i得 x - yi - 2(x + yi) =1- 3i，即 í ,\-3y = -3 í ， y =1
即 z 对应的点为 (-1,1)，在第二象限，故选：B
6．（2024·四川南充·二模）若复数 z = 2 + i，且 z 和 z2 在复平面内所对应的点分别为 P，Q，O 为坐标原点，则
cos POQ =（ ）
A 5．- B 2 5．- C 5 D 2 5． ．
5 5 5 5
【答案】D
【解析】因为 z = 2 + i， z2 = 2 + i 2 = 3 + 4i，
uuur uuur
所以 z 和 z2 在复平面内所对应的点分别为P 2,1 , Q 3,4 ,故OP = 2,1 , OQ = 3,4 ,
uuur uuur
cos POQ uOuuPr ×OuuQur 10 2 5 = = =
OP × OQ 5 ×5 5
.故选：D.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 z1 = 2 - 2i ， | z2 - i |=1，则 z2 - z1 的最大值为（ ）
A． 2 3 B．2 2 C． 5 +1 D． 13 +1
【答案】D
【解析】设 z2 = x + yi x, y R ，则 | z2 - i |= x + y -1 i = x2 + y -1 2 = 1，所以 x2 + y -1
2 = 1，
表示以 0,1 为圆心，半径为1的圆，则 z2 - z1 = x - 2 + y + 2 i = x - 2
2 + y + 2 2 ，
表示 x, y 与 2, -2 之间的距离，即 2, -2 与 x2 + y -1 2 = 1圆上任意一点的距离，
因 22 + -2 -1 2 >1，所以 2, -2 在 x2 + y -1 2 = 1圆外，所以 z2 - z
2 2
1 = 2 - 0 + -2 -1 +1 = 13 +1 .max
故选：D
8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 z1 ， z2 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 z1 + z2 > 0，则 z2 = z1
B．若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 且 z2 = 0
C．若 z1 = z 2 22 ，则 z1 = z2
D．若 z - z1 = z - z2 ，且 z1 z2 ，则 z 在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【解析】设 z1 = a + bi 、 z2 = c + di， a、b 、 c、d R ，
对 A：若 z1 + z2 > 0，则有 a + c + b + d i > 0，
即 a + c > 0且b + d = 0，故 A 错误；
对 B：取 z1 = 0 、 z2 =1，亦有 z1z2 = 0，故 B 错误；
2 2 2
对 C：取 z1 = i， z2 =1，则有 z1 = z2 =1， z1 = i = -1 z2 =1，故 C 错误；
对 D：设 z = x + yi， x 、 y R，若 z - z1 = z - z2 ，
则有 x - a 2 + y - b 2 = x - c 2 + y - d 2 ，
即有 x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = x2 - 2cx + c2 + y2 - 2dy + d 2 ，
整理得 2a - 2c x + 2b - 2d y + d 2 + c2 - a2 - b2 = 0，
由 z1 z2 ，故 2a - 2c = 0与 2b - 2d = 0 不能同时成立，
故 z 在复平面对应的点在直线 2a - 2c x + 2b - 2d y + d 2 + c2 - a2 - b2 = 0上，
故 D 正确.
故选：D.
二．多选题
5i
9．（2024·辽宁·一模）已知 z 满足 z 1- i = z + ，则（
2 i ）-
A． z = -4 + i
B．复平面内 z 对应的点在第一象限
C． zz =17
D． z 的实部与虚部之积为-4
【答案】ACD
【解析】设 z = x + yi x, y R ，
5i 2 + i则由已知得 x - yi 1- i = x + yi + ，即 x - y - x + y i = x -1+ y + 2 i，
5
ìx - y = x -1, ìx = -4,
所以 í 解得
-x - y = y + 2,
í
y =1,
所以 z = -4 + i，则 z = -4- i，故 A 项正确，B 项错误；
zz = -4 + i -4 - i =17 ， z 的实部为-4，虚部为 1，
所以 z 的实部与虚部之积为-4，故 C，D 项正确.
故选：ACD
10．（2024·湖南邵阳·二模）已知复数 z1, z2 满足： z1 =1, z2 = z2 - 2 - 2i (其中 i为虚数单位)，则下列说法正确的
有( )
A． 1- i z1 = 2
z1 2B． =
1- i 2
C． z1 - z2 的最小值为 2 -1 D． z1 - z2 的最大值为 2 +1
【答案】BC
【解析】设 z 2 2 2 21 = x + yi x, y R ，则 z1 = x + y =1，即 x + y =1，
它表示以原点为圆心，半径为 1 的圆；
设 z2 = a + bi a,b R ，则由 z2 = z2 - 2 - 2i ，得 a2 + b2 = (a - 2)2 + (b - 2)2 ，
即 a + b - 2 = 0，它表示一条直线；
对于选项 A： 1- i z1 = 1- i z1 = 2 ，故选项 A 错误；
z z 2
对于选项 B： 1 = 1 = ，故选项 B 正确；
1- i 1- i 2
对于选项 C 和 D： z1 - z2 表示圆 x2 + y2 =1上点与直线 x + y - 2 = 0上点的连线段的长度，
该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为 2 -1；该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷
远）；
故选：BC．
11．（2024·江苏·一模）已知复数 z1, z2 , z3，下列说法正确的有（ ）
A．若 z1 z1 = z2 z2 ，则 z1 = z2 B．若 z
2 2
1 + z2 = 0 ，则 z1 = z2 = 0
C．若 z1z2 = z1z3，则 z1 = 0 或 z2 = z3 D．若 z1 - z2 = z1 + z2 ，则 z1z2 = 0
【答案】AC
2 2
【解析】选项 A， z1 × z1 = z2 z2 ，则 z1 = z2 ,\ z1 = z2 ，故 A 正确；
选项 B，令 z1 = i, z2 =1，满足条件 z2 21 + z2 = -1+1 = 0 ，但 z1 z2 ，且均不为 0 ，故 B 错误；
选项 C，下面先证明命题“若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 ，或 z2 = 0 ”成立.
证明：设 z1 = a + bi,a,b R ， z2 = c + di,c,d R ，
若 z1z2 = 0，则有 (a + bi)(c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i = 0，
ìac - bd = 0 ìac = bd 2 2
故有 íad bc 0，即 íad bc，两式相乘变形得， a + b cd = 0 ， + = = -
则有 a2 + b2 = 0 ，或 c = 0 ，或 d = 0 ，
①当 a2 + b2 = 0 时， a = b = 0，即 z1 = 0 ；
②当 a2 + b2 0，且 c = 0 时，则bd = ad = 0，
又因为 a,b不同时为 0 ，所以 d = 0 ，即 z2 = 0；
③当 a2 + b2 0，且 d = 0 时，则 ac = bc = 0，同理可得 c = 0 ，故 z2 = 0；
综上所述，命题“若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 ，或 z2 = 0 ”成立.
下面我们应用刚证明的结论推证选项 C，
Q z1z2 = z1z3 ，\ z1 z2 - z3 = 0，
\ z1 = 0，或 z2 - z3 = 0，即 z1 = 0 或 z2 = z3 ，故 C 正确；
选项 D，令 z1 =1+ i, z2 =1- i，
则 z1 - z2 = z1 + z2 = 2，
但 z1z2 = 1+ i 1- i = 2， z1z2 不为 0 ，故 D 错误.
故选：AC .
三．填空题
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 z = i + 2i2 + 3i3 +L+ 2023i2023 ，则 z 的虚部为 .
【答案】-1012
2 3 2023
【解析】 i + 2i + 3i +L+ 2023i = i - 2 - 3i + 4 + 5i - 6 - 7i + 8 +L
+ 2017i - 2018 - 2019i + 2020 + 2021i - 2022 - 2023i
= 505 2 - 2i + -2022 - 2i = -1012 -1012i，
则 z 的虚部为-1012 .
故答案为：-1012 .
é 1- i 5
2
ù 20
13 1+ i ．（2023·全国·高三专题练习） ê 1+ 2i × i100 + 1+ i ÷ ú - ÷ =
____________
ê è ú è 2
【答案】1+ 2i / 2i +1
1- i 2 2Q1- i -2i i 1+ i= = = - 2i【解析】 ，
1+ i 1+ i 1- i 2 ÷
= = i ，
è 2 2
5 2é ù
(1 2i) i100 1- i 1+ i
20
2
\ ê + × + ÷ ú - ÷ = é(1+ 2i) ×1+ (-i)
5 ù - i10
ê è1+ i ú è 2
= (1+ i)2 - i10
=1+ 2i .
故答案为：1+ 2i
14．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数 z1 ， z2 满足 z1 + 2z1 = -3 - i， z2 - z1 = 1，则 z2 + 2i 的最大值为 .
【答案】 10 +1/1+ 10
【解析】令复数 z1 = x + yi ， x ， y R，则 z = x - yi ，
所以 z1 + 2z1 = 3x - yi = -3- i，所以 x=-1， y =1，即 z1 = -1+ i .
又因为 z2 - z1 = 1，即在复平面内，复数 z2 所对应的点的轨迹是以 (-1,1)为圆心，1 为半径的圆.
又点 (-1,1)到点 (0, -2) 的距离为 (-1- 0)2 + (1+ 2)2 = 10 ，
所以 z2 + 2i 的最大值为 10 +1 .
故答案为： 10 +1 .
四．解答题
15．（2024 河南商丘）已知复数 z 满足 z = 2 ， z2 的虚部是 2，z 对应的点 A 在第一象限，
(1)求 z 的值；
(2)若 z，z2，z - z2 在复平面上对应点分别为 A，B，C，求 cos∠ABC.
【答案】(1) z =1+ i (2) 2 5
5
【解析】（1）设 z = x + yi， x, y R ，则 z = x2 + y2 = 2 ，
由题意得 z2 = x + yi 2 = x2 + 2xyi - y2 ，
ìx2 + y2 = 2
故 í ，
2xy = 2
因为 z 对应的点 A 在第一象限，所以 x > 0, y > 0，
解得 x = y =1，故 z =1+ i；
（2
2
）由（1）知 z =1+ i， z2 = 1+ i = 2i， z - z2 =1+ i - 2i =1- i ，
uuur uuur
BA对应的复数为1+ i - 2i =1- i ，BC 对应的复数为1- i - 2i =1- 3i，
1- i 1- i 1+ 3i 2 1
因为 = = + i
1- i
1 3i 1 3i 1 3i 5 5 ，且 的辐角为 ABC ，- - + 1- 3i
2
cos ABC 5 2 5所以 = =2 2
2 1 5
÷ +5 ÷è è 5
16（2024 湖北）已知复数 z 满足 | z + 2 - 2i |= 2，且复数 z 在复平面内的对应点为M ．
(1)确定点M 的集合构成图形的形状；
(2)求 | z -1+ 2i |的最大值和最小值．
【答案】(1)点M 的集合是以点 P 为圆心，2 为半径的圆
(2)最大值为 7，最小值为 3
【解析】（1）设复数-2 + 2i 在复平面内的对应点为P(-2,2)，
则 | z + 2 - 2i |=| z - (-2 + 2i) |=| MP |= 2，
故点M 的集合是以点 P 为圆心，2 为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数1- 2i 在复平面内的对应点为Q(1, -2)，则 | z -1+ 2i |=| MQ | ,如下图所示，
| PQ |= (1+ 2)2 + (-2 - 2)2 = 5，
则 | z -1+ 2i |的最大值即 | MQ |的最大值是 | PQ | +2 = 7；
| z -1+ 2i |的最小值即 | MQ |的最小值是 | PQ | -2 = 3．
17．（2024·上海嘉定）设复数 zn = xn + i × yn ，其中 xnyn∈R，n∈N*，i 为虚数单位， zn+1 = (1+ i) × zn，z1=3+4i，复数
zn 在复平面上对应的点为 Zn.
（1）求复数 z2，z3，z4的值；
uuuuv uuuuv
（2）是否存在正整数 n 使得OZn //OZ1 ？若存在，求出所有满足条件的 n；若不存在，请说明理由；
（3）求数列 xn × yn 的前102项之和.
【答案】（1）z2=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102
【解析】（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i， z3 = (1+ i)(-1+ 7i) = -8 + 6i， z4 = (1+ i)(-8+ 6i) = -14 - 2i .
uuuur uuuur uuuur uuuur
（2）若OZn //OZ1 ，则存在实数 λ，使得OZn = lOZ1 ，故 zn = l × z1，
即（xn，yn）=λ（x1，y1），
又 zn+1=（1+i）zn，故 zn = (1+ i)
n-1 z1，即 (1+ i)n-1 = l 为实数，
Q 1+ i 2 = 2i 1+ i 4， = -4，故 n﹣1 为 4 的倍数，即 n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N；
3 z = (1+ i)4（ ）因为 n+4 zn = -4zn ，故 xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，所以 xn+4yn+4=16xnyn，
又 x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，
x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100
=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）
25
= (12 - 7 - 48 + 28) 1-16× =1- 2100 ，
1-16
x y =1625 x y =12 2100而 101 101 1 1 ， x102 y
25
102 =16 x2 y = -7 2
100
2 ，
所以数列{xnyn}的前 102 项之和为 1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102.
p p
18．（2024 山西）已知复数 z1 = 2sinq - 3i ， z2 = 1+ (2cosq )i， i为虚数单位，q [ , ] .3 2
（1）若 z1 × z2 为实数，求q 的值；
v v v v v v
（2）若复数 z1 、 z2 对应的向量分别是 a、b ，存在q 使等式 (la - b) × (a - lb) = 0成立，求实数l 的取值范围.
q p【答案】（1） = ；（2）l [0,2 - 3]U [2 + 3,+ ) .
3
【解析】（1） z1 × z2 = 2sinq + 2 3 cosq + 4sinq cosq - 3 i ，
因为 z1 × z
3 p p
2 为实数，所以 4sinq cosq = 3 ，所以 sin 2q = ，又因为q
é , ù pê ú，所以q = ；2 3 2 3
r r r r（2）因为la - b = 2l sinq -1,- 3l - 2cosq ， a - lb = 2sinq - l,- 3 - 2l cosq ，
r r r r
所以 (la - b) × (a - lb) = 8l - 2 l 2 +1 sinq + 2 3 l 2 +1 cosq ，
r r r r
又因为存在q 使等式 (la - b) × (a - lb) = 0成立，
8 2 2 1 sin 2 3 2 1 cos 0 q ép , p ù所以 l - l + q + l + q = 在 ê ú上有解， 3 2
2l p
所以 2 = sin q - ÷在q
ép ê ,
p ù p é p ù p é 1 ù
ú上有解，又因为 q - 0, ，所以 sin q - 0, ，l +1 ÷ ÷è 3 3 2 è 3 ê 6 ú è 3 ê 2 ú
2l 1
所以 2
é0, ùê ú ，解得1 2 l [0,2 - 3]U [2 + 3,+ )
.
l +
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 a0 ,a1,a2 ,L,an ,L，我们称

f (x) an xn a a= = + a x + 2 x2 +L a+ n xn0 1 +L（规定0!=1）为无穷数列 an 的指数型母函数．无穷数列 1，
n=0 n! 2! n!
1 2 n
1 n
x x
，…，1，…的指数型母函数记为 e(x) = x =1+ x + +L+ +L，它具有性质 e(x)e(y) = e(x + y)．
n=0 n! 2! n!
1
(1)证明： e(-x) = e(x) ；
(-1)k x2 x4 x2k e(ix) + e(-ix)
(2)记 c(x) = x2k =1- + +L+ (-1)k +L．证明： c(x) = （其中 i 为虚数单位）；
k =0 (2k)! 2! 4! (2k)! 2
x B x

B(3) = n xn = B + B x B+ 2 x2 +L B+ n n以函数 e(x) 1为指数型母函数生成数列 n ， x +L．其中B 称- e(x) -1 n! 0 1n=0 2! n! n
1
为伯努利数．证明：B1 = - ．且B2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．2
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）令 x = 0，则 e(0) =1．
由 e(x)e(y) = e(x + y)，令 y = -x，则 e(x)e(-x) = e(0) =1．
1
因为 e(x) 0 ，故 e(-x) = e(x) ．
(ix)4n (-ix)4n x4n x4n 2x4n
（2）证明：因为 + = + = ，
(4n)! (4n)! (4n)! (4n)! (4n)!
(ix)4n+1 (-ix)4n+1 ix4n+1 -ix4n+1
+ = + = 0，
(4n +1)! (4n +1)! (4n +1)! (4n +1)!
(ix)4n+2 (-ix)4n+2 -x4n+2 -x4n+2 -2x4n+2
+ = + = ，
(4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)! (4n + 2)!
(ix)4n+3 (-ix)4n+3 -ix4n+3 ix4n+3
+ = + = 0，
(4n + 3)! (4n + 3)! (4n + 3)! (4n + 3)!
é 4n 4n+2 ù k k
e(ix) + e( ix) 2x 2x 2(-1)- = ê - ú = x2k 2 (-1)= x2k = 2c(x) ，
n=0 (4n)! (4n + 2)! k =0 (2k)! k =0 (2k)!
c(x) e(ix) + e(-ix)所以 =
2
x
（3）证明：令 g(x) = e(x) ，则有-1
g( x) -x x é 1 1 ù- - g(x) = - = -x +
e(-x) -1 e(x) -1 ê e(-x) -1 e(x) -1
ú

x [e(x) -1]+ [e(-x) -1] e(x) + e(-x) - 2= - × = -x × = x
[e(-x) -1][e(x) -1] 2 - e(x) - e(-x) ，
B x B因此 = g(-x) - g(x) = n (-x)n - n xn
n=0 n! n=0 n!

= -2 B2k +1 x2k +1 2 éB x B2k +1 x2k +1 ù= - ê 1 +
k =0 (2k +1)! k =1 (2k +1)!
ú

1 BB = - 2k +1 2k +1故 1 且 x = 0，即B2 (2k +1)! 2k +1 = 0(k =1,2,3,L) ．k =1

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