资源简介

1.4 基本不等式
考点一 公式型
【例 1-1】（2024 湖南株洲）已知 0 < x < 4，则 x(6 - x) 的最大值为（ ）
A 1． 2 B．1 C． 3 D．3
【例 1-2】（2024·云南）已知正实数 x 、 y 满足 xy = 2，则 x + y 的最小值是（ ）
A．3 B． 2 2 C． 2 D． 2
【一隅三反】
1．（2024·北京大兴）当0 < x < 2时， x(2 - x)的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． 2 D． 4
2．（2024 湖南娄底）若 x > 0， y > 0，且 x + y =1，则 xy的最大值是（ ）
1 1
A． B． C 1． 2 D．116 4
3．（2024 重庆）已知两个正数m, n, 满足mn = 3，则m + 3n 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． 3 D． 6
4（2024 江西）若正数 a，b 满足 ab = 2，则 a +1 b + 2 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
考点二 配凑型
1
【例 2-1】（2024 安徽芜湖）若 x >1，则 2x + 的最小值是 .
x -1
2
【例 2-2】（2023 高三·全国·专题练习）函数 f x 2x + x + 3= x < 0 的最大值为 .
x
3x - 3
【例 2-3】（2023 福建泉州）函数 f (x)=
2x2
在 (1, + )上的最大值为 ．
- x +1
【一隅三反】
1
1．（2024·甘肃·兰州）若 x >1，则 4x + 的最小值为（ ）
x -1
A．6 B．8 C．10 D．12
-2x2 + x - 4
2.（2024·辽宁）已知正实数 x，则 y = 的最大值是（ ）
x
A．1 B． 4 2 C．-4 2 D．1- 4 2
2
3．（2024 x - 2x + 4广东潮州）若函数 f x = x > 2 在 x = a处取最小值，则a = （ ）
x - 2
A．1+ 5 B．2 C．4 D．6
2
4．（2024 y x + 3x + 3云南）函数 = (x < -1) 的最大值为（ ）
x +1
A．3 B．2 C．1 D．-1
4 1
5．（2024·江苏徐州）设m ， n为正数，且m + n = 2，则 + 的最小值为（ ）
m +1 n +1
13 9 7 9
A． B． C． D．
4 4 4 5
考点三 常数替换型
1 1
【例 3-1】（2024 湖南长沙）已知正实数 a，b 满足 + = 3，则 a + 4b 的最小值为（ ）
a b
8
A．9 B．8 C．3 D．
3
2 1
【例 3-2】（2024 江苏扬州）已知实数 a > 1，b > 0，满足 a + b = 3，则 +a 1 b 的最小值为（- ）
A 3+ 2 2 B 3+ 2 2 C 3+ 4 2 D 3+ 4 2． ． ． ．
4 2 2 4
2 a
【例 3-3】（2024 河南·许昌高中）已知 a，b 为正实数，且 2a + b =1，则 + 的最小值为（ ）
a 2b
A．1 B．6 C．7 D． 2 2
y2 + x
【例 3-4】（2024 辽宁葫芦岛）已知 x > 0, y > 0，且 4x + y = 1，则 的最小值为（ ）
xy
A．5 B． 4 2 C．4 D． 2 2
1 2
【例 3-5】（2023·陕西咸阳·一模）已知 a > 0,b > 0，且 + =1，则 a + b 的最小值为 ．
a +1 b +1
【例 3-6】（2024·全国·高三专题练习）已知 x > 0， y > 0，且 4x + 2y - xy = 0，则 2x + y 的最小值为（ ）
A．16 B．8 + 4 2 C．12 D．6 + 4 2
【一隅三反】
1 1
1．（2023 云南丽江）已知 a，b 为正数，4a + b = 1，则 +4a b 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,a,b,12,14,18,20，且总体的平均值
4 9
为 10，则 + 的最小值为 ．
a b
4 a
3．（20224·辽宁·沈阳）已知 a，b 为正实数，且 a + 2b = 2，则 + 的最小值为（ ）
a b
A．1 B．2 C．4 D．6
1 2 1
4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 a > 0,b > 2，且 + = ，则 2a + b 的最小值是 ．
a +1 b - 2 3
5（2024 高三专题练习）已知 x > 0， y > 0，且 (x - 2)(y - 4) = 8，则 2x + y 的最小值为（ ）
A．16 B．8 + 4 2 C．12 D．6 + 4 2
x2 +1 2y2
6．（2024 浙江绍兴）已知 x 为正实数，y 为非负实数，且 x + 2y = 2，则 + 的最小值为（ ）x y +1
3 9 3 9
A． B． C． D．
4 4 2 2
考点四 消元型
【例 4-1】（2024 四川眉山）设 b > 0,ab + b =1,则 a2b的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【例 4-2】（2024 浙江·阶段练习）已知实数 x，y 满足 x > 3，且 xy + 2x - 3y = 12，则 x + y 的最小值为（ ）
A．1 + 2 6 B．8 C． 6 2 D．1+ 2 3
1 1
【例 4-3】（2024·河南南阳·一模）已知正实数 x, y满足 + =1，则4xy - 3xx y 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
xy
【例 4-4】（2024 河南漯河）设正实数 x 、 y 、 z 满足 x2 - xy + y2 - z = 0，则 的最大值为（ ）
z
A． 4 B． 2 C．3 D．1
【一隅三反】
2a + 3b
1．（2024·河南·郑州四中）已知 a＞0，且 a2－b＋4＝0，则 （ ）
a + b
17 14 17 14
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
6 5 6 5
2a + b 1
2．（2024·辽宁丹东）已知 a > 0，b > 0， a + b = 2 ，则 + 的最小值为（ ）
a +1 b
4 7 5
A． B． C． D．3
3 3 2
2
3．（2024 河南）（多选）已知正实数 a，b 满足 a + 2b = 2 b +1，则 的可能取值为（ ）
ab
A．2 B．1+ 2 C． 2 -1 D．4
xy 2 1 2
4．（2024 北京）设正实数 x ， y ， z 满足 x2 - 3xy + 4y2 - z = 0 ，则当 取得最大值时， + -x y z 的最大值为z
（ ）
9
A． 0 B．3 C． D．1
4
考点五 基本不等式求最值
【例 5-1】（2024 山东滨州）已知 x > 0， y > 0，且 x + 3y - xy = 0，若 x + 3y > m2 + m恒成立，则实数m 的取值
范围为（ ）
A． - , -3 4, + B． -4,3
C． -3,4 D． - ,-4 U 3,+
1 4 y
【例 5-2】（2023 浙江）若两个正实数 x, y满足 + =1 2x y ，且不等式
x + < m - 3m有解，则实数m 的取值范围
4
是（ ）
A． (-1,4) B． (-4,1)
C． (- , -1) U (4, + ) D． (- ,0) (3, + )
【一隅三反】
1．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数 x，y 满足 2x + 3y - xy = 0，若3x + 2y t 恒成立，则实数 t 的取值范围是
（ ）
A． t 25 B． t < 25 C． t ≤ 24 D． t 24
y
2．（2024 2浙江杭州）若正实数 x 、 y 满足 (x -1)( y - 4) = 4，且 x + a - 3a 恒成立，则实数 a的取值范围是
4
（ ）
A． a | -1< a < 4 B． a | -1 a 4
C． a | -4 a 1 D． a | -4 < a <1
x2 y2
3．（2024·江西·一模）已知正数 x，y 满足 x + y = 6，若不等式 a + 恒成立，则实数 a 的取值范围
x +1 y + 2
是 ．
考点六 基本不等式与其他知识综合
【例 6-1】（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S20 =100，则 a10 ×a11的最大值为
（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
uuur 1 uuur
【例 6-2】（2024 广东惠州）在 VABC 中， D为 AC 上的一点，满足 AD = DC .若 P 为 BD上的一点，满足
3
uuur uuur uuur
AP = mAB + nAC m > 0, n > 0 ，则m n 4 1与 的关系为 ； + 的最小值为 .
m n
【一隅三反】
2 2
1 x y．（2023 山西晋城）已知F1，F2 分别为椭圆C : + =1的两个焦点， P 为椭圆上一点，则4 3
PF 2 21 + PF2 + 3 PF1 PF2 的最大值为（ ）
A．20 B．16 C．64 D．24
2．（2024 x+2四川成都·开学考试）函数 f x = a - 3的图象过定点A ，且定点A 的坐标满足方程mx + ny + 2 = 0，
1 4
其中m > 0， n > 0，则 + 的最小值为（
m n ）
A．6 + 4 2 B．9 C．5 + 2 2 D．8
3 2023 · a S - 2S = 6 a + a + a + a（ 天津南开 阶段练习）已知正项等比数列 n 的前 n项和为 Sn ，且 8 4 ，则 9 10 11 12的最
小值为（ ）
A．10 B．14 C． 20 D． 24
1 2b + 5
4．（20224·河南濮阳）已知 a > 0，b > 0，直线 y = x - b与曲线 y = ln x + a 相切，则 + 的最小值是
2a 2b +1
______．
考点七 基本不等式的实际应用
【例 7】（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的
可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，
高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 x(x 0,20 )（万元）的专项补贴．波司登制衣有
限公司在收到高邮政府 x （万元）补贴后，产量将增加到 t = (x + 3)（万件）．同时波司登制衣有限公司生产 t
81
（万件）产品需要投入成本为 (7t + + 3x)
42
（万元），并以每件 (8 + )元的价格将其生产的产品全部售出．注：
t t
收益=销售金额+ 政府专项补贴-成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 y （万元）关于政府补贴 x （万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 y （万元）最大？
【一隅三反】
1．（2024·广东茂名·一模）用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． 9cm2 B．16cm2 C． 4cm2 D．5cm2
2（2023·湖南·一模）某农机合作社于今年初用 98 万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第
一年（今年）的维修保养费是 12 万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加 4 万元.若当该机
的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6 年 B．7 年 C．8 年 D．9 年
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸
引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适
呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方 3 米处，其下沿
在观赏者眼睛平视的上方 1 米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
考点八 利用基本不等式比大小
【例 8-1】（2024 贵州安顺·）设 a = log3 2 ，b = log4 3， c = log5 4，则（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．ba + b 1
【例 8-2】（2024 江苏扬州·期末）若 a > b >1, x = ln , y = lna + lnb , z = lna × lnb ，则（
2 2 ）
A． x < z < y B． y < z < x
C． z < x < y D． z < y < x
【一隅三反】
1．（2024 · 5 - a = lna,b = log 3 + log 17,7b b c重庆 期末）已知 4 9 + 24 = 25 ，则以下关于 a,b,c的大小关系正确的是
（ ）
A．b > c > a B． a > c > b C．b > a > c D． a > b > c
2.（2024 贵州毕节）设 a = log12 11，b = log13 12， c = log0.12 0.11，则（ ）
A． cx y z
3 1 1 1 ．（2024 安徽阜阳）（多选）已知正实数 x，y，z 满足 3 ÷
= ÷ = ÷ ，则（ ）
è è 4 è 6
y y 1
A． - = - B． 2z2 < xy C． x < 2z < 3y D． x < 3y < 2z
x z 2
考点九 利用基本不等式证不等式
【例 9-1】（2024 湖南长沙）（多选）设正实数 a,b满足 a + b =1，则（ ）
ab 1A． B．
4 a + b 2
C． a2
1 1 1 4
+ b2 D． +
2 a +1 b +1 3
【一隅三反】
1．（2024 山东枣庄·期末）（多选）已知 a，b，c 满足 a + b + c = 0 ，且 a > b > c，则（ ）
A． ac < 0 B． ab > ac C． c(b - a) < 0 D． 2a + 2b > 2
2．（2024 湖南娄底·期末）（多选）已知关于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0（ a > 0，b > 0）的解集
为 (- ,-1)
1 ,+

2 ÷
，则下列结论正确的是（ ）
è
1
A． 2a + b =1 B． ab的最大值为
8
1 2
+ 1 1C． 的最小值为 4 D． + 的最小值为
a b a b 3+ 2 2
3．（2024 重庆大足）（多选）设正实数 x > 0， y > 0，且满足 x + y + 3 = xy ，则（ ）
A． 4x + y 13 B． xy 9
2 2 1 1 2C． x + y 18 D． + ≥x y 3
1 3
4．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知 a > 0，b > 0， + = 1，则下列说法正确的是（ ）
a b
A． ab的最小值为12
B． a + b 的最小值为 4 3
C． a2 + b2 的最小值为 24
1 3
D． + 的最小值为 2
a -1 b - 3
一．单选题
1．（2024·河南南阳）已知 a > 0，b > 0且 2a + 5b =10，则 ab的最大值为（ ）
3 5
A．2 B．5 C． D．
2 2
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线 ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 4 1经过点 1,4 ，则 + 的最小值为（ ）
a b
25
A．4 B．8 C．9 D．
2
2
3 2024 · f (x) x - 2x + 2．（ 四川成都 阶段练习）设 = , x (-1,1) ，则 （ ）
2x - 2
A． f (x)min =1 B． f (x)max =1
C． f (x)min = -1 D． f (x)max = -1
1 1
4．（2024·安徽省）若1 a 3，则 + 的最小值为（ ）
a 4 - a
A．4 B．3 C．2 D．1
1 a
5．（2024 北京）已知不等式 x + y + ÷≥9对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为（x y ）è
A．2 B．4 C．6 D．8
a
6．（2024·山东临沂）已知 a > 0，且 a2 - b + 4 = 0，则 有（ ）a + b
1 1 1 1
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
5 5 4 4
7．（2024 云南德宏）已知正项等比数列{an}中， a4 ,3a3 ,a5成等差数列.若数列{an}中存在两项 am ,an ，使得 2a1
1 4
为它们的等比中项，则 + 的最小值为（
m n ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．（2024 北京）设 a > 0，b > 0， a + b + ab = 24，则（ ）
A． a + b 有最大值 8 B． a + b 有最小值 8
C． ab有最大值 8 D． ab有最小值 8
二．多选题
9．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的有（ ）
1 1
A．"x > 0, x + 2 B．$x < 0, x + > -2
x x
C．"x 0,
x 1 x 1
> D．$x < 0, -
1+ x2 2 1+ x2 2
10．（2024 四川成都·期中）已知 x > 0， y > 0，且 x + 2y =1，下列结论中正确的是（ ）
A． xy
1
的最大值是 B． 2x + 4y 的最小值是8 2 2
1 2
C + 2 2 1． x y 的最小值是 8 D． x + 4y 的最小值是 2
1 1 1
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数 a，b，c 满足 < < ，则（
a b c ）
A b b - c． c - a > c - b B． >
a a - c
a + b 1
C． a - c 2 a - b b - c D．
a + 2 2ab 2
三．填空题
4 16
12．（2024 山东菏泽·阶段练习）若两个正实数 x，y满足 x + y = 3，且不等式 + > mx 1 y 恒成立，则实数
m 的
+
取值范围为 ．
13．（2023·山东济宁·一模）已知函数 y = a x-1(a > 0 且 a 1)的图象过定点 A，且点 A 在直线mx + 2ny = 8 m > 0, n > 0
8 3
上，则 - 的最小值是 .
mn 2m
2
14．（2024 浙江宁波·阶段练习）已知正实数 a,b,c满足b + c =1 8ab + a 18，则 + 的最小值为 .
bc a +1
四．解答题
x + 2m
15．（2024 湖南岳阳·阶段练习）已知函数 y = （m,n 为常数）.
x + n
（1）若 n =1，解不等式 y < 0 ；
（2）若m =1，当-2 x 1时， y
1
> - 2 恒成立，求 n(x n) 的取值范围.+
16（2024 湖北）已知 x > 0， y > 0．
(1)若 xy = 2， x > y ，不等式 x2 + y2 - 4mx + 4my 0 恒成立，求实数 m 的取值范围；
1 1 m
(2)若不等式 + + 0x y x y 恒成立，求实数 m 的最小值；+
1 a
(3)若 x + y =1．且 + 9x y 恒成立，求正实数 a 的最小值．
17．（2024 陕西西安）某工厂生产某种零件的固定成本为 20000 元，每生产一个零件要增加投入 100 元，已知
ì400x 1- x2 ,0 x 400
总收入Q

（单位：元）关于产量 x （单位：个）满足函数：Q = í 2 .
80000, x > 400
(1)将利润 P （单位：元）表示为产量 x 的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大 最大单位利润是多少元 （单位利润=利润 产量）
18．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）若命题 p ：存在1 x 2， x2 - x + 3 - a < 0，命题q：二次函数 y = x2 - 2ax +1
在1 x 2的图像恒在 x 轴上方
(1)若命题 p ，q中均为假命题，求 a的取值范围？
(2)对任意的-1 a 1，使得不等式 x2 - 2ax + a 1成立，求 x 的取值范围.
19．（2024 贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论
的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决
方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
1 1
例如，ab =1，求证： + =1．
1+ a 1+ b
ab 1 b 1
证明：原式= + = + =1．
ab + a 1+ b b +1 1+ b
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问
题处理方法进行研究.
a + b
例如，正实数 a,b满足ab =1，求 1+ a b 的最小值．
1
解：由ab =1，得b = ，
a
1
a + b a + 2a a +1 a +1
2 - 2 a +1 + 2
\ = 2 2
1 a b 1
= = = a +1 + - 2 2 a +1 - 2 = 2 2 - 2，+ 1+ a a +1 a +1 a +1 a +1
a
当且仅当 a +1 = 2 ，即 a = 2 -1,b = 2 +1时，等号成立．
a + b
\
1+ a b 的最小值为 2 2 - 2 ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”
类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
1 1
(1)已知ab =1，求 + 的值；
1+ a2 1+ b2
1 1
(2)若正实数 a,b满足ab =1，求M = + 的最小值．
1+ a 1+ 3b1.4 基本不等式
考点一 公式型
【例 1-1】（2024 湖南株洲）已知 0 < x < 4，则 x(6 - x) 的最大值为（ ）
A 1． 2 B．1 C． 3 D．3
【答案】D
x + (6 - x)
【解析】当 0 < x < 4时， x(6 - x) = 3，当且仅当 x = 6 - x，即 x = 3时取等号，所以 x(6 - x) 的最大
2
值为 3.选：D
【例 1-2】（2024·云南）已知正实数 x 、 y 满足 xy = 2，则 x + y 的最小值是（ ）
A．3 B． 2 2 C． 2 D． 2
【答案】B
【解析】由基本不等式可得 x + y 2 xy = 2 2 ，当且仅当 x = y = 2 时，等号成立.因此， x + y 的最小值是
2 2 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·北京大兴）当0 < x < 2时， x(2 - x)的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． 2 D． 4
【答案】B
2
【解析】Q0 < x < 2 ，\2 - x > 0，又 x + (2 - x) = 2 x + (2 - x)\ x(2 - x) =1，当且仅当 x = 2 - x ，即 x =1时等
4
号成立，所以 x(2 - x)的最大值为1故选：B
2．（2024 湖南娄底）若 x > 0， y > 0，且 x + y =1，则 xy的最大值是（ ）
1 1
A B 1． ． C． D．1
16 4 2
【答案】B
1
【解析】由题意 x + y
1
=1 2 xy ，解得 xy ，等号成立当且仅当 x = y = .故选：B.
4 2
3．（2024 重庆）已知两个正数m, n, 满足mn = 3，则m + 3n 的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． 3 D． 6
【答案】B
【解析】Qm + 3n 2 3mn = 2 3 = 6，当且仅当m = 3n = 3时取等号，所以m + 3n 的最小值为 6，故选：B
4（2024 江西）若正数 a，b 满足 ab = 2，则 a +1 b + 2 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】正数 a，b 满足 ab = 2，则 a +1 b + 2 = ab + 2a + b + 2 = 4 + 2a + b 4 + 2 2ab = 8，
当且仅当b = 2a = 2时取等号，所以 a =1,b = 2时， a +1 b + 2 取得最小值 8.故选：C
考点二 配凑型
1
【例 2-1】（2024 安徽芜湖）若 x >1，则 2x + 的最小值是 .
x -1
【答案】 2 2 + 2 / 2 + 2 2
1 1
【解析】因为 x >1，则 x -1 > 0， 2x + = 2 x -1 + + 2 2 2 x -1 1× + 2 = 2 2 + 2，
x -1 x -1 x -1
1 2 1
当且仅当 2 x -1 = ，即 x =1+ 时等号成立，所以 2x + 的最小值是 2 2 + 2 .故答案为：x -1 2 x -1 2 2 + 2
2
2-2 2023 · · f x 2x + x + 3【例 】（ 高三 全国 专题练习）函数 = x < 0 的最大值为 .
x
【答案】1- 2 6 / -2 6 +1
2x2 + x + 3 3 3 3
【解析】因为 x < 0 ，则 -x > 0，所以 f x = = 2x + +1 = -(-2x + ) +1≤ -2 -2x × +1 =1- 2 6 ，
x x -x -x
3
-2x = x 6当且仅当 ，即 = - 时等号成立，所以 f x 的最大值为1- 2 6 .故答案为：1- 2 6 .
-x 2
3x - 3
【例 2-3】（2023 福建泉州）函数 f (x)= 2 在 (1, + )上的最大值为 ．2x - x +1
3
【答案】
7
f (x)= 3x - 3【解析】因为 2 ， x (1,+ )，令 x -1 = t ，则 t > 0，2x - x +1
f t 3t 3t 3 3 3= 2 = = =
则 2(t +1) - (t +1) +1 2t 2 + 3t + 2 2t 3 2+ + 7
t 2 2t
2
× + 3 ，
t
2 3 3
当且仅当 2t = ， t =1即 x = 2时，等号成立．故 f (x)的最大值为 ．故答案为：
t 7 7
【一隅三反】
4x 11．（2024·甘肃·兰州）若 x >1，则 + 的最小值为（ ）
x -1
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
1
【解析】因为 x >1，所以 x -1 > 0， > 0，
x -1
1 1 1
因此4x + = 4x - 4 + + 4 = 4 x -1 + + 4 2 4 x -1 1× + 4 = 8，
x -1 x -1 x -1 x -1
当且仅当 4x
1 3
- 4 = ，即 x = 时，等号成立.故选：B.
x -1 2
-2x2 + x - 4
2.（2024·辽宁）已知正实数 x，则 y = 的最大值是（ ）
x
A．1 B． 4 2 C．-4 2 D．1- 4 2
【答案】D
2
y -2x + x - 4 4 4【解析】因为 = = -
x
2x + ÷ +1，又因为 x > 0，所以 > 0 ，
è x x
4 4 4
所以 2x + 2 2x × = 4 2 ，当且仅当 2x = 时，即 x = 2 时等号成立，
x x x
2
所以 y
-2x + x - 4
= = - 2x 4+
x x ÷
+1 -4 2 +1，即 y 的最大值是1- 4 2 .故选：D.
è
2
3．（2024 广东潮州）若函数 f x x - 2x + 4= x > 2 在 x = a处取最小值，则a = （ ）
x - 2
A．1+ 5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
x2 - 2x + 4 x - 2 2 + 2 x - 2 + 4 4
【解析】由题意， x - 2 > 0，而 f x = = = x - 2 + + 2
x - 2 x - 2 x - 2
2 x 4 4 - 2 + 2 = 6，当且仅当 x - 2 = ，即 x = 4时，等号成立，所以 a = 4 .故选：C.
x - 2 x - 2
2
4．（2024 y x + 3x + 3云南）函数 = (x < -1) 的最大值为（ ）
x +1
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
2
Q y x + 3x + 3 (x +1)
2 + (x +1) +1
【解析】 = = = -[-(x +1)
1
+ ] +1
-(x +1) -2 [-(x +1)](
1
- ) +1 = -1，
x +1 x +1 x +1
1
当且仅当 x +1 = = -1,即 x = -2 等号成立.故选：D.
x +1
4 1
5．（2024·江苏徐州）设m ， n为正数，且m + n = 2，则 + 的最小值为（ ）
m +1 n +1
13 9 7 9
A． B． C． D．
4 4 4 5
【答案】B
m +1 n +1
【解析】∵ m + n = 2，∴ m +1 + n +1 = 4 ，即 + =1，
4 4
4 1
+ =
4 1
+
m +1 n +1 n +1 m +1 5
∴
m +1 n +1 ÷
+ ÷ = + +
è m +1 n +1 è 4 4 m +1 4 n +1 4
2 n +1 m +1 5
n +1 m +1
× + 9 = 5 1
=m +1 4 n 1 4 ，当且仅当+ 4 m +1 4 n +1 ，且m + n = 2时，即m = ， n = 时等号成立.故选：B .3 3
考点三 常数替换型
1 1
【例 3-1】（2024 湖南长沙）已知正实数 a，b 满足 + = 3，则 a + 4b 的最小值为（ ）
a b
8
A．9 B．8 C．3 D．
3
【答案】C
a 1 1 1+ 4b = a + 4b + 1 5 a 4b 1
a 4b
【解析】 = + +
3 a b ÷ 3 b a ÷ 3
5 + 2 ×
è è b a
÷÷ = 3，
è
当且仅当 a = 2b =1时取等号．故选:C．
2 1
【例 3-2】（2024 江苏扬州）已知实数 a > 1，b > 0，满足 a + b = 3，则 +a 1 b 的最小值为（- ）
A 3+ 2 2 B 3+ 2 2 C 3+ 4 2 D 3+ 4 2． ． ． ．
4 2 2 4
【答案】B
【解析】实数 a > 1，b > 0，由 a + b = 3，得 (a -1) + b = 2，
2 1 1 2 1 1
因此 + = [(a -1) + b]( + ) = (3
2b a -1) 1 (3 2 2b a -1 3 + 2 2+ + + × ) = ，
a -1 b 2 a -1 b 2 a -1 b 2 a -1 b 2
2b a -1
当且仅当 = ，即 时取等号，
a -1 b a -1 = 2b = 4 - 2 2
2 1 3+ 2 2
所以 +a 1 b 的最小值为
.故选：B
- 2
2 a
【例 3-3】（2024 河南·许昌高中）已知 a，b 为正实数，且 2a + b =1，则 + 的最小值为（ ）
a 2b
A．1 B．6 C．7 D． 2 2
【答案】B
2 a 4a + 2b a 2b a 2b a
【解析】由已知条件得， + = + = + + 4 2 × + 4 = 6，
a 2b a 2b a 2b ֏ a 2b
2b a a 2 1 2 a当且仅当 = ，即 = ，b = 时取等号，∴ + 的最小值为 6；故选：B.
a 2b 5 5 a 2b
2
【例 3-4】（2024 辽宁葫芦岛）已知 x > 0, y > 0 4x y 1
y + x
，且 + = ，则 的最小值为（ ）
xy
A．5 B． 4 2 C．4 D． 2 2
【答案】A
y2 + x y 1 y 4x + y y 4x 1 2 y 4x【解析】 = + = + = + + +1 = 4 +1 = 5，
xy x y x y x y x y
y 4x
= x 1 1 y
2 + x
当且仅当 即 = , y =x y 时等号成立，所以 的最小值为 5.6 3 xy
故选：A.
1 2
【例 3-5】（2023·陕西咸阳·一模）已知 a > 0,b > 0，且 + =1，则 a + b 的最小值为 ．
a +1 b +1
【答案】 2 2 +1/1+ 2 2
【解析】由 a > 0,b > 0
1 2
， + =1，
a +1 b +1
1 2
得 a + b = (a +1) + (b +1) - 2 = ( + )[(a +1) + (b +1)]- 2
a +1 b +1
b +1 2(a +1) 1 2 b +1 2(a +1)= + + × +1 = 2 2 +1，
a +1 b +1 a +1 b +1
b +1 2(a +1)
当且仅当 = ，即b +1 = 2(a +1) = 2( 2 +1)时取等号，
a +1 b +1
所以当 a = 2,b = 2 +1时， a + b 取得最小值 2 2 +1.故答案为： 2 2 +1
【例 3-6】（2024·全国·高三专题练习）已知 x > 0， y > 0，且 4x + 2y - xy = 0，则 2x + y 的最小值为（ ）
A．16 B．8 + 4 2 C．12 D．6 + 4 2
【答案】A
2 4 1 2 4 8x 2y 8x 2y 8x 2y【解析】由题可知 + = ，乘“1”得 2x + y = (2x + y) + ÷ = + + 8 2 × + 8 =16 =x y ，当且仅当è x y y x y x y x
时，取等号，则 2x + y 的最小值为16 .故选：A
【一隅三反】
1 1
1．（2023 云南丽江）已知 a，b 为正数，4a + b = 1，则 +4a b 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
1 1 1 1 b 4a b 4a
【解析】正数 a，b 满足4a + b = 1，则 + = (4a + b)( + ) = 2 + + 2 + 2 × = 4，
4a b 4a b 4a b 4a b
b 4a 1 1 1 1 1
当且仅当 = ，即 4a = b = 时取等号，所以当 a = ,b = 时， +4a b 取得最小值 4.4a b 2 8 2
故选：C
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,a,b,12,14,18,20，且总体的平均值
4 9
为 10，则 + 的最小值为 ．
a b
5
【答案】
4
2 + 4 + 4 + 6 + a + b +12 +14 +18 + 20
【解析】由题意得 =10，解得 a + b = 20 ，
10
4 9 1 4 9 1 9a 4b
6 a b 12 + = + a + b = 4 + 9 + + 1
9a 4b 5
由于 < < < ，故 ÷ ÷ 13 + 2 × = ，a b 20 è a b
÷
20 è b a 20 ÷è b a 4
9a 4b
当且仅当 = ，a = 8,b = 12
5
时，等号成立.故答案为：
b a 4
4 a
3．（20224·辽宁·沈阳）已知 a，b 为正实数，且 a + 2b = 2，则 + 的最小值为（ ）
a b
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【解析】因为 a，b 为正实数，且 a + 2b = 2，
4 a 4 2 - 2b 4 2 2 4 2 a a 4b a 4b所以 + = + = + - = +
a b a b a b a b ÷
+ b÷ - 2 = 2 + + + 2 - 2 2 + 2 = 6 .
è è 2 b a b a
a 4b 1
当且仅当 =b a ，即
a =1,b = 时取等号.故选：D
2
1 2 1
4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 a > 0,b > 2，且 + = ，则 2a + b 的最小值是 ．
a +1 b - 2 3
【答案】24
1 2 1 3 6
【解析】因为 a > 0,b > 2，且 + = ，所以 + =1，
a +1 b - 2 3 a +1 b - 2
2a b 2 a 1 b 2 é 3 6 3 b - 2 12 a +1 所以 + = é + + - ù
ù
ê + ú = 6 + 6 + +
3 b - 2 12 a +1
a 1 b 2 a 1 b 2 12

+ 2 × = 24，
+ - + - a +1 b - 2
3 b - 2 12 a +1
当且仅当 = ，即b - 2 = 2(a +1)， a = 5,b =14时等号成立，
a +1 b - 2
故答案为： 24
5（2024 高三专题练习）已知 x > 0， y > 0，且 (x - 2)(y - 4) = 8，则 2x + y 的最小值为（ ）
A．16 B．8 + 4 2 C．12 D．6 + 4 2
【答案】A
2 4
【解析】由 (x - 2)(y - 4) = 8可得 4x + 2y = xy ，所以 + =1x y ，
2 4 2y 8x
因为 x > 0， y > 0，则 2x + y = (2x + y) + ÷ = 8 + + 8
2y 8x
+ 2 × = 8 + 2 4 =16，
è x y x y x y
ì2 4
+ =1 x y ìx = 4
当且仅当 í 2y 8x 即 íy 8时等号成立，所以
2x + y 的最小值为16，故选：A.
==
x y
x2 +1 2y2
6．（2024 浙江绍兴）已知 x 为正实数，y 为非负实数，且 x + 2y = 2，则 + 的最小值为（
x y 1 ）+
3 9 3 9
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】B
【解析】由 x 为正实数，y 为非负实数，得 x > 0, y +1 1，由 x + 2y = 2，得 x + 2(y +1) = 4，
x2 +1 2y2 x 1 2(y +1)(y -1) + 2于是 + = + + = x + 2y - 2
1 2
+ +
x y +1 x y +1 x y +1
1 2 1 [x 2(y 1)](1 2 ) 1 [5 2(y +1) 2x= + = + + + = + + ]
x y +1 4 x y +1 4 x y +1
1 2(y +1) 2x
[5 + 2 2(y +1) 2x× ] 9= ，当且仅当 = ，即 x y
4
= +1 = 时取等号，
4 x y +1 4 x y +1 3
2 2
所以当 x
4
= , y 1 x +1 2y 9= 时， + 取得最小值 .
3 3 x y +1 4
故选：B
考点四 消元型
【例 4-1】（2024 四川眉山）设 b > 0,ab + b =1,则 a2b的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题意b > 0,ab + b =1
1
，所以b= ,a +1 > 0，
a +1
2 a2 a +1-1
2
得到 a b 1= = = a +1+ - 2 2 - 2 = 0，
a +1 a +1 a +1
1
当且仅当 a +1 = ，即 a = 0时， 等号成立，则 a2b的最小值为 0 ．
a +1
故选：A.
【例 4-2】（2024 浙江·阶段练习）已知实数 x，y 满足 x > 3，且 xy + 2x - 3y = 12，则 x + y 的最小值为（ ）
A．1 + 2 6 B．8 C． 6 2 D．1+ 2 3
【答案】A
xy + 2x - 3y = 12 y 12 - 2x 6【解析】因为 x > 3，且 ，所以 = = -2 + ，
x - 3 x - 3
6
从而 x + y = x - 2 + = x - 3 6+ +1 2 6 +1，等号成立当且仅当 x = 6 + 3, y = 6 - 2，
x - 3 x - 3
所以 x + y 的最小值为1 + 2 6 .故选：A.
1 1
【例 4-3】（2024·河南南阳·一模）已知正实数 x, y满足 + =1，则4xy - 3xx y 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
1 1
【解析】由 x > 0, y > 0，且 + =1，可得 xy = x + y .所以4xy - 3x = 4x + 4 y - 3x = x + 4 yx y .
x 1 1 4y x又因为 + 4y = (x + 4y) + = 5 + + 9，
è x y
÷
x y
4y x 3
当且仅当 = ，即 x = 3, y = 时取等号，所以 4xy - 3x 9x y .2
故选：B.
【例 4-4】（2024 河南漯河）设正实数 x 、 y 、 z 2
xy
满足 x - xy + y2 - z = 0，则 的最大值为（ ）
z
A． 4 B． 2 C．3 D．1
【答案】D
【解析】因为正实数 x 、 y 、 z 满足 x2 - xy + y2 - z = 0，则 z = x2 + y2 - xy ，
xy xy 1 1
= 2 = =1
所以， z x + y2 - xy x y+ -1 2 x y× -1 ，y x y x
x y
当且仅当 = x > 0, y > 0 时，即当 x = yy x 时，等号成立，
xy
故 的最大值为1.
z
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·河南·郑州四中）已知 a＞0，且 a2
2a + 3b
－b＋4＝0，则 （ ）
a + b
17 14 17 14
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
6 5 6 5
【答案】D
【解析】因为 a2 - b + 4 = 0，所以b = a2 + 4，
2a + 3b
= 3 a 3 a 1 1 14- = - = 3 - 3 - =
所以 a + b a + b a2 + a + 4 a 4+ +1 5
a 2 a
4 ，
× +1
a
2a + 3b 14
当且仅当 a = 2, b = 8时取等号，∴ 有最小值 故选：D.
a + b 5
2a + b 1
2．（2024·辽宁丹东）已知 a > 0，b > 0， a + b = 2 ，则 + 的最小值为（ ）
a +1 b
4 7 5
A． B． C． D．3
3 3 2
【答案】B
【解析】因为 a + b = 2 ，所以b = 2 - a，
2a + b 1 2a + 2 - a 1 a + 2 1 1 1
则 + = + = + =1+ + ，
a +1 b a +1 b a +1 b a +1 b
1 1 1 1 1 a 1 b 1 2 b a +1 1 2 2 b a +1
4
因为 + = + + + = + + + × ÷ = ，a +1 b 3 è a +1 b ÷ 3 a +1 b ÷ è 3 a +1 b ÷è 3
b a +1 a 1 ,b 3 2a + b 1 7当且仅当 = ，即 = = 时，取等号，所以 + 的最小值为 .故选：B.
a +1 b 2 2 a +1 b 3
b23 +1．（2024 河南）（多选）已知正实数 a，b 满足 a + 2b = 2，则 的可能取值为（ ）
ab
A．2 B．1+ 2 C． 2 -1 D．4
【答案】BD
b2 +1 b2 +1 b2 +1 1 b +1
【解析】由题意可得 = = 2 = 2 -1

，
ab (2 - 2b)b 2(b - b ) 2 è b - b ÷
b +1 t t 1
= = =
令b +1 = t ，由于 a = 2 - 2b > 0 0 < b <1，则1 < t < 2， b - b2 t -1 - t -1 2 -t 2 + 3t - 2 3- t 2+ ， t ÷è
y t 2由于对勾函数 = + 在 1, 2 单调递减，在 2, 2 2单调递增，所以 t + ét t 2 2,3 ，
3- t 2+
2
÷ 0,3- 2 2ù b +1 b +1t ，故 é2 3+ 2 2,+ ，所以 é 1+ 2,+ ．è b - b ab
故选：BD．
xy 2 1 2
4．（2024 北京）设正实数 x ， y ， z 满足 x2 - 3xy + 4y2 - z = 0 ，则当 取得最大值时， + -x y z 的最大值为z
（ ）
9
A． 0 B．3 C． D．1
4
【答案】D
【解析】由正实数 x ， y ， z 满足 x2 - 3xy + 4y2 - z = 0 ，
xy xy 1 1
=
\ z = x2 - 3xy + 4y2 \ z x2
=
． - 3xy + 4y2 x 4y
=1
+ - 3
y x 2
x·4y - 3 ，
y x
当且仅当 x = 2y > 0时取等号，此时 z = 2y2 ．
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
\ + - = + - = -( -1)2 +1 1 y =1 + -
x y z 2y y 2y2 y ，当且仅当 时取等号，即 x y z 的最大值是 1．故选：D
考点五 基本不等式求最值
【例 5-1】（2024 山东滨州）已知 x > 0， y > 0，且 x + 3y - xy = 0，若 x + 3y > m2 + m恒成立，则实数m 的取值
范围为（ ）
A． - , -3 4, + B． -4,3
C． -3,4 D． - ,-4 U 3,+
【答案】B
【解析】因为不等式 x + 3y > m2 + m恒成立，则 (x + 3y)min > m2 + m，
3 1
因为 x > 0， y > 0，由 x + 3y - xy = 0可得 + =1x y ，
所以 x + 3y (x 3y)(
3 1 ) 9y x 9y x= + + = + + 6 2 × + 6 =12，
x y x y x y
9y x
当且仅当 = ，即 x = 6， y = 2时取等号，故 (x + 3y)x y min
= 12，
所以m2 + m <12 ，即m2 + m -12 < 0，解得-4 < m < 3，则实数m 的取值范围是 (-4,3)．
故选：B．
1 4 y
【例 5-2】（2023 2浙江）若两个正实数 x, y满足 + =1，且不等式 x + < m - 3mx y 有解，则实数
m 的取值范围
4
是（ ）
A． (-1,4) B． (-4,1)
C． (- , -1) U (4, + ) D． (- ,0) (3, + )
【答案】C
1 4
【解析】因为两个正实数 x, y满足 + =1 x
y x y 1 4 ，所以 + = +

÷ + ÷ = 2
4x y 4x y
+ + 2 + 2 × = 4
x y ，4 è 4 è x y y 4x y 4x
4x y
当且仅当 =y 4x ，即
x = 2, y = 8时取等号，
y
因为不等式 x + < m2 3m
y
- 有解，所以m2 - 3m大于 x + 的最小值，即m2 - 3m > 4，解得m < -1或m > 4 ，4 4
即实数m 的取值范围是 (- , -1) U (4, + )，故选：C
【一隅三反】
1．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数 x，y 满足 2x + 3y - xy = 0，若3x + 2y t 恒成立，则实数 t 的取值范围是
（ ）
A． t 25 B． t < 25 C． t ≤ 24 D． t 24
【答案】A
2 3
【解析】由正实数 x，y， 2x + 3y - xy = 0，则 + =1y x ， 即
3x + 2y = 3x + 2y 2 3 6x 6y 6x 6y + ÷ = + 9 + 4 + 13 + 2 × = 25，
è y x y x y x
6x 6y
当且仅当 = x = y = 5 t 25y x ，即 时，等号成立，则 ，故选：A.
2．（2024 浙江杭州）若正实数 x 、 y 满足 (x -1)( y - 4) = 4，且 x
y
+ a2 - 3a 恒成立，则实数 a的取值范围是
4
（ ）
A． a | -1< a < 4 B． a | -1 a 4
C． a | -4 a 1 D． a | -4 < a <1
【答案】B
【解析】因为正实数 x 、 y 满足 (x -1)( y - 4) = 4，
4 1
即 xy = 4x + y，所以 + =1y x ，
所以 x
y
+ = x
y 1 4 2 4x y 2 2 4x y+ ÷ + ÷ = + + + × = 4 ，4 è 4 è x y y 4x y 4x
4x y
当且仅当 = ，即 y = 8， x = 2y 4x 时取等号，
y
因为正实数 x 、 y 满足 (x -1)( y - 4) = 4，且 x + a2 - 3a 恒成立，
4
所以 a2 - 3a 4，解得-1 a 4，即实数 a的取值范围是 a | -1 a 4 .
故选：B．
x2 y2
3．（2024·江西·一模）已知正数 x，y 满足 x + y = 6，若不等式 a + 恒成立，则实数 a 的取值范围
x +1 y + 2
是 ．
【答案】 - , 4
2 2 2
x + y = 6 x y x +1 - 2 x +1 +1 y + 2
2 - 4 y + 2 + 4
【解析】因为 ，所以 t = + = +
x +1 y + 2 x +1 y + 2
1 4 1 4
= x +1+ - 2 + y + 2 + - 4 = 3+ +
x 1 y ，+ + 2 x +1 y + 2
t 3 1 4 3 x +1+ y + 2 1 4 所以 = + + = + +
x +1 y + 2 9 è x +1 y + 2
÷

32 y + 2 4 x +1 32 y + 2 4 x +1
= + + + 2 = 4
，等号成立当且仅当
y = 4, x = 2，
9 9 x +1 9 y + 2 9 9 x +1 9 y + 2
x2 y2
所以 + ÷ = 4， a 4，故实数 a 的取值范围是 - , 4 .故答案为： - , 4
è x +1 y + 2 min
考点六 基本不等式与其他知识综合
【例 6-1】（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， S20 =100，则 a10 ×a11的最大值为
（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【答案】C
a + a
【解析】∵ S = 1 2020 20 =100，\a1 + a20 =10,\a10 + a11 = a2 1
+ a20 =10.
2
∵ a a10 +a又 11 10010 > 0, a11 > 0，∴ a10 × a11 ÷ = =25，当且仅当 a10 =a11=5时，取“=”
è 2 4
∴ a10 ×a11的最大值为 25.故选：C
uuur uuur
【例 6-2】（2024 广东惠州）在 VABC
1
中， D为 AC 上的一点，满足 AD = DC .若 P 为 BD上的一点，满足
3
uuur uuur uuur
AP = mAB + nAC m > 0, n > 0 ，则m n 4 1与 的关系为 ； + 的最小值为 .
m n
【答案】 m + 4n = 1 16
【解析】如图所示，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
由 AD = DC 得 AD
1
= AC ，即
3 4 AC = 4AD
，
uuur uuur uuur
又 AP = mAB + nAC m > 0, n > 0 ，
uuur uuur uuur
所以 AP = mAB + 4nAD，又 P 为BD上的一点，所以m + 4n = 1，
因为m 0 n 0 4 1 4 1 m 4n 16n m 16n m> ， > ，所以 + = + ÷ + = 8 + + 8 + 2 × =16，m n è m n m n m n
16n m 1 1 4 1
当且仅当 = 即m = ,n =m n 时等号成立，所以 + 的最小值为16 .2 8 m n
故答案为：m + 4n = 1；16 .
【一隅三反】
2 2
1．（2023 山西晋城）已知F F x y1， 2 分别为椭圆C : + =1的两个焦点， P 为椭圆上一点，则4 3
PF 21 + PF
2
2 + 3 PF1 PF2 的最大值为（ ）
A．20 B．16 C．64 D．24
【答案】A
【解析】由椭圆的定义可知 PF1 + PF2 = 4 ∴ PF
2
， 1 + PF
2
2 =16 - 2 PF1 PF2 ，
2
2 2 =16 - 2 PF PF + 3 PF PF PF1 + PF2 ∴ PF1 + PF2 + 3 PF1 PF2 1 2 1 2 =16 + PF1 PF2 16 + 2 ÷
= 20，
è
当且仅当 PF1 = PF2 = 2时等号成立，故选：A .
2．（2024 x+2四川成都·开学考试）函数 f x = a - 3的图象过定点A ，且定点A 的坐标满足方程mx + ny + 2 = 0，
1 4
其中m > 0， n > 0，则 + 的最小值为（
m n ）
A．6 + 4 2 B．9 C．5 + 2 2 D．8
【答案】B
【解析】对于函数 f x = a x+2 - 3 x + 2 = 0 x = -2 f -2 = a-2+2，令 ，即 时 - 3 = -2，
所以函数 f x = a x+2 - 3的图象恒过定点 A -2, -2 ，
又定点A 的坐标满足方程mx + ny + 2 = 0，所以-2m - 2n + 2 = 0 ，即m + n =1，
m 0 n 0 1 4 m n 1 4 5 n 4m n 4m又 > ， > ，所以 + = + + ÷ = + + 5 + 2 × = 9，m n è m n m n m n
n 4m 1 2
当且仅当 = ，即m = 3，
n = 时取等号，
m n 3
\ 1 4+ 的最小值为9．
m n
故选：B．
3 2023 · a S - 2S = 6 a + a + a（ 天津南开 阶段练习）已知正项等比数列 n 的前 n项和为 Sn ，且 8 4 ，则 9 10 11 + a12的最
小值为（ ）
A．10 B．14 C． 20 D． 24
【答案】D
【解析】设正项等比数列 an 的公比为q，则q > 0 ，
所以， S8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = a1 + a2 + a3 + a
4
4 + q a1 + a2 + a3 + a4 = S4 1+ q4 ，
6
则 S8 - 2S4 = S q44 -1 = 6，则 q4 >1，可得 q > 1 ，则 S4 = q4 -1，
4 28 6 q -1+1
所以， a9 + a10 + a11 + a12 = q
8 a1 + a2 + a3 + a4 = S q8
6q
4 = 4 =q -1 q4 -1
6 é 2ê q4 -1 +1+ 2 q4 -1 ù ú é 4 1 ù é 4 1 ù= 4 = 6 ê q -1 + 4 + 2ú 6 ê2 q -1 × 4 + 2ú = 24 ，q +1 q -1 q -1
当且仅当 q4
1
-1 = 4 q >1 q 1 时，即当 q =
4 2 时，等号成立，
-
故 a9 + a10 + a11 + a12的最小值为 24 .故选：D.
4．（20224·河南濮阳）已知 a > 0，b > 0，直线 y = x - b与曲线 y = ln x + a 1 2b + 5相切，则 + 的最小值是
2a 2b +1
______．
【答案】 4
【解析】设直线 y = x - b与曲线 y = ln x + a 的切点为 x0 , y0 ，
1 1
对 y = ln x + a 求导得 y = ，所以 =1，即 x0 =1- ax + a ，x + a 0
所以 y0 = ln x0 + a = ln 1- a + a = 0 ，所以切点为 1- a,0 ，
由切点 1- a,0 在切线 y = x - b上，可得 a + b =1，
1 2b + 5 1 2b +1+ 4 1 4
所以 + = + = + +1
2a 2b +1 2a 2b +1 2a 2b +1
1 1 4= ×
3
é2a + 2b +1 ù × + +1è 2a 2b +1÷
1
= × 5 2b +1 8a 1 + + ÷ +1 × 5 + 2 4 +1 = 4，3 è 2a 2b +1 3
2b +1 8a 1
当且仅当 = ，即b = a = 时，等号成立．
2a 2b +1 2
1 2b + 5
所以 + 的最小值是 4．
2a 2b +1
故答案为： 4．
考点七 基本不等式的实际应用
【例 7】（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的
可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，
高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供 x(x 0,20 )（万元）的专项补贴．波司登制衣有
限公司在收到高邮政府 x （万元）补贴后，产量将增加到 t = (x + 3)（万件）．同时波司登制衣有限公司生产 t
81 42
（万件）产品需要投入成本为 (7t + + 3x)（万元），并以每件 (8 + )元的价格将其生产的产品全部售出．注：
t t
收益=销售金额+ 政府专项补贴-成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益 y （万元）关于政府补贴 x （万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益 y （万元）最大？
【答案】(1) y = 45
81
- x - (2)6 万元
x + 3
y 8 42 t x 81【解析】（1） = + ÷ × + -

7t + + 3x
81
÷ = t + 42 - 2x - ．
è t è t t
81
因为 t = x + 3 ，所以 y = x + 3+ 42 - 2x - = 45 - x 81-
x + 3 x + 3
81 é 81 ù
（2）因为 y = 45 - x - = - ê x + 3 + ú + 48．x + 3 x + 3
81
又因为 x 0,20 ，所以 x + 3 > 0, > 0，
x + 3
81 81 81
所以 x + 3 + 2 x + 3 =18（当且仅当 x + 3 = 即x = 6时取“ = ”）
x + 3 x + 3 x + 3
所以 y -18 + 48 = 30
即当 x = 6万元时， y 取最大值 30 万元．
【一隅三反】
1．（2024·广东茂名·一模）用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． 9cm2 B．16cm2 C． 4cm2 D．5cm2
【答案】C
【解析】设矩形的长为 xcm，宽为 ycm，0 < x < 4,0 < y < 4，则2 x + y = 8，即 x + y = 4 ，所以这个模型的面
x + y 2
积为 xy = 4，当且仅当 x = y = 2时取等号，所以这个模型的最大面积为 4cm2 .选：C.
4
2（2023·湖南·一模）某农机合作社于今年初用 98 万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第
一年（今年）的维修保养费是 12 万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加 4 万元.若当该机
的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6 年 B．7 年 C．8 年 D．9 年
【答案】B
【解析】设第 n年的维修保养费为 an 万元，数列 an 的前 n项和为 Sn ，该机的年平均耗费为 p ，
据题意，数列 an 是首项为 12，公差为 4 的等差数列.
p Sn + 98 1
é n
12n n -1 ù 98则 = = ê + 4 + 98ú = 2n + +10 2 2n
98
× +10 = 38 .
n n 2 n n
当且仅当 2n
98
= ，即 n = 7时， p 取最小值 38.
n
所以这台冰激凌机的使用年限是 7 年.
故选: B .
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸
引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适
呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方 3 米处，其下沿
在观赏者眼睛平视的上方 1 米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A
【解析】
如图，设观赏者的眼睛在点D处，油画的上沿在点A 处，下沿在点 B 处，
点C 在线段 AB 延长线上，且保持与点D在同一水平线上，
则 ADB = q 即观赏时的视角.
依题意 AB = 2, BC = 1, AC ^ DC ，
不妨设DC = x ，则BD = x2 +1, AD = x2 + 9 ，
2x2 + 6 4 2
在△ABD x + 6x + 9中，由余弦定理，cosq =
2 x2
=
+1 × x2 + 9 x4 +10x2 + 9
4x2 41 = 1-= - 4 2 9 ，x +10x2 + 9 x + x2
+10
x > 0 x2 9因 ，则 + 2 2 9 = 6，当且仅当 x4x = 9
时，即 x = 3 时等号成立，
2 9 2 9
由 x + 2 6可得 x + 2 +10 16，x x
0 4 1< 9 4 cosq = 1
4 3
- 9 则 x2 + ，则 2 2 ，
x2
+10 x + 2 +10x
π π
因函数 y = cos x在 (0, ) 上单调递减，故得0 q ，
2 6
π
即最大视角为 ，此时观赏者距离油画的直线距离为
6 3 1.73
.
故选：A.
考点八 利用基本不等式比大小
【例 8-1】（2024 贵州安顺·）设 a = log3 2 ，b = log4 3， c = log5 4，则（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．b【答案】A
【解析】易得 a,b,c > 0，结合换底公式与基本不等式有
a log 2 log 4 log3 2 + log
2 2 2
= < 3
4 log3 8 log 9= < 3 =1，
b 3 3 2 ÷ ÷ ÷è è 2 è 2
b log 3 log 5 log4 3 + log4 5
2
log 15
2 log 16 2
= 4 4 < ÷ =
4 < 4
c 2 2 ÷ ÷
=1，
è è è 2
a b
故 <1， <1，故 a < b < c .
b c
故选：A
a + b 1
【例 8-2】（2024 江苏扬州·期末）若 a > b >1, x = ln , y = lna + lnb , z = lna × lnb ，则（
2 2 ）
A． x < z < y B． y < z < x
C． z < x < y D． z < y < x
【答案】D
a + b
【解析】由 x = ln , y
1
= ln a + ln b = ln ab , z = ln a × ln b ，
2 2
1
而 a > b >1，则 ln a > ln b > 0，所以 ln a + ln b > ln a × ln b ，即 y > z ，
2
a + b
由 > ab ，则 ln
a + b
> ln ab ，即 x > y ，
2 2
综上， x > y > z .
故选：D
【一隅三反】
1．（2024 重庆·期末）已知5 - a = lna,b = log43 + log917,7
b + 24b = 25c ，则以下关于 a,b,c的大小关系正确的是
（ ）
A．b > c > a B． a > c > b C．b > a > c D． a > b > c
【答案】D
【解析】由 a + ln a - 5 = 0，令 f a = a + ln a - 5，则 f a 在定义域内单调性递增，且
f 3 = 3 + ln 3 - 5 = ln 3 - 2 < 0, f 4 = 4 + ln 4 - 5 = ln 4 -1 > 0，
由零点存在性定理可得3 < a < 4，
b log 3 log 17 lg3 lg17 2 lg3 lg17 lg17= 4 + 9 = + × = = log 17 > log 16 = 2，2lg2 2lg3 2lg2 2lg3 lg2 2 2
又b = log4 3 + log9 17 < log4 4 + log9 81 = 3，因此 2 < b < 3，
7b + 24b = 25c > 72 + 242 = 625，可得 c > 2，
b b c
7b + 24b
7 24 25
= 25c ， b +25 25b
= ，
25b
( 7 )b (24+ )b ( 7< )2 + (24)2 = 1
25 25 25 25 ，
c
\ 25 < 1， 25c < 25b ，\c < b，
25b
\c < b < a ．
故选：D
2.（2024 贵州毕节）设 a = log12 11，b = log13 12， c = log0.12 0.11，则（ ）
A． c【答案】D
【解析】由对数函数性质知 log12 1< log12 11< log12 12 ，即 0 < a < 1，同理0 < b <1，
又 log0.12 0.11 > log0.12 0.12，即 c >1，
lg11lg13 (lg11+ lg13)2 lg143 lg144< = ( )2 < ( )2 = lg2 12，
2 2 2
lg11 lg12 lg11lg13 - lg12 2
所以 a - b = - = < 0，即 a < b ，综上 a < b < c，
lg12 lg13 lg12lg13
故选：D．
3 2024 x y z 1
x 1 y z 1
．（ 安徽阜阳）（多选）已知正实数 ， ， 满足 ÷ = ÷ = ÷ ，则（ ）
è 3 è 4 è 6
y y 1
A． - = - B． 2z2 < xy C． x < 2z < 3y D． x < 3y < 2z
x z 2
【答案】ABC
1 x 1 y z 1
【解析】设 =3 ÷
=
4 ÷ ÷
= m ，则 x = - log3 m， y = - log4 m， z = - log6 m，且0 < m <1，
è è è 6
lg 1
由 y y log- = 4 m log4 m lg3 lg6 lg 2 1- = - = 2 = - = - ，A 正确；
x z log3 m log6 m lg 4 lg 4 2lg 2 2lg 2 2
1 1 1 z z z z z2 z2 1 z2 1
由 A 可知， + = + = 1 + = 1≥ 2 ≤ ≤x 2y z ，所以 2y ，由不等式得 ，即 ，所以 ，即x x 2y 2xy 2xy 2 2xy 4
2z2 ≤ xy ，
z z 1 y z
当且仅当 = =2y 2 ，即 x = 2z
y = z 1 1 ， 时取得等号，又 y = z时，由
x ÷
= ÷ 可得 y = z = 0，
è 4 è 6
与 y > 0，z > 0矛盾，所以 2z2 < xy，B 正确；
3
x 2z log m 2log m 2lg m lg m
lg m 2lg3 - lg 6 lg m × lg
- = - 2 ，3 + 6 = - = = < 0lg 6 lg3 lg 6 × lg3 lg 6 × lg3
lg m 3lg 6 - 2lg 4 lg m × lg
27
所以 x < 2z ， 2z - 3y = -2log6 m 3log m
3lg m 2lg m
+ = - = = 24 < 0
，
lg 4 lg 6 lg 4 × lg 6 lg 4 × lg 6
所以 2z < 3y，所以 x < 2z < 3y，C 正确，D 错误．
故选：ABC
考点九 利用基本不等式证不等式
【例 9-1】（2024 湖南长沙）（多选）设正实数 a,b满足 a + b =1，则（ ）
1
A． ab B．
4 a + b 2
a2 b2 1 1 1 4C． + D． +
2 a +1 b +1 3
【答案】BCD
a + b 2 1
【解析】对于 A 选项， ab ÷ = ，
è 2 4
1
当且仅当 a = b = 时取得等号，故 A 错误；
2
对于 B 选项， ( a + b)2 = a + b + 2 ab 2 a + b = 2 ，故 a + b 2 ，
1
当且仅当 a = b = 时取得等号，故 B 正确；
2
2 2 2
C a + b a + b 1 1对于 选项， ÷ = ,\a
2 + b2 ，
2 è 2 4 2
1
当且仅当 a = b = 时取得等号，故 C 正确；
2
1 1 1
对于 D 选项， + = é a +1 + b 1
1 1+ ù
a +1 b +1 3
+
è a +1 b +1÷
1
= 2
b +1 a +1 4
+ + ，
3 è a +1 b +1 ÷ 3
1
当且仅当 a = b = 时取得等号成立，故 D 正确．
2
故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2024 山东枣庄·期末）（多选）已知 a，b，c 满足 a + b + c = 0 ，且 a > b > c，则（ ）
A． ac < 0 B． ab > ac C． c(b - a) < 0 D． 2a + 2b > 2
【答案】ABD
【解析】因为 a > b > c，所以3a > a + b + c = 0，即 a > 0，3c < a + b + c = 0，即 c < 0，
所以 ac 0, ab ac,c b - a > 0，故 AB 正确 C 错误；
对于 D： 2a + 2b > 2 2a+b = 2 2-c > 2 20 = 2，故 D 正确.
故选：ABD
2．（2024 湖南娄底·期末）（多选）已知关于 x 的不等式 (2a + 3m)x2 - (b - 3m)x -1 > 0（ a > 0，b > 0）的解集
(- ,-1) 1 ,+ 为 ÷，则下列结论正确的是（ ）
è 2
1
A． 2a + b =1 B． ab的最大值为
8
1 2
+ 1 1C． 的最小值为 4 D． + 的最小值为
a b a b 3+ 2 2
【答案】ABD
【解析】由题意，不等式 2a + 3m x2 - b - 3m x 1 1- > 0的解集为 - ,-1 éê , +

÷ ，
2
可得 2a + 3m > 0，且方程 2a + 3m x2 - b - 3m x -1 = 0 1的两根为 -1和 2 ，
ì 1 1 b - 3m - + = 2 2a + 3m
所以 í ，所以 2a + 3m = 2，b - 3m = -1，
-1 1 1 = -
2 2a + 3m
所以 2a + b =1，所以 A 正确；
1
因为 a > 0，b > 0，所以 2a + b =1 2 2ab ，可得 ab ，8
1 1
当且仅当 2a = b = 时取等号，所以 ab的最大值为 ，所以 B 正确；
2 8
1 2 (1 2由 + = + )(2a + b) = 4 b 4a+ + 4 + 2 b 4a× = 4 + 4 = 8，
a b a b a b a b
b 4a
当且仅当 = 时，即 2a b
1 1 2
= = 时取等号，所以 + 的最小值为8，所以 C 错误；
a b 2 a b
1 1 1 1 2a b 3 b 2a b 2a由 + = + ÷ + = + + 3 + 2 × = 3 + 2 ，a b è a b a b a b
b 2a
当且仅当 = 时，即
a b a =1
2
- ,b = 2 -1时，等号成立，
2
1 1
所以 + 的最小值为3 + 2 2 ，所以 D 正确.a b
故选：ABD
3．（2024 重庆大足）（多选）设正实数 x > 0， y > 0，且满足 x + y + 3 = xy ，则（ ）
A． 4x + y 13 B． xy 9
2 2 1 1 2C． x + y 18 D． + ≥x y 3
【答案】AD
【解析】对于 A 项，由 x + y + 3 = xy 可得： (x -1)y = x + 3，
因 x >1
x + 3
，故 y = ，将其代入 4x + y 可得：
x -1
4x x + 3 4+ = 4x +1+ = 4(x -1) 4+ + 5 2 4(x -1) 4× + 5 =13,
x -1 x -1 x -1 x -1
当且仅当 x = 2时等号成立，故 A 项正确；
对于 B 项，由 xy = x + y + 3 2 xy + 3可得 ( xy - 3)( xy +1) 0，
因 xy > 0 ，故得： xy 3，则 xy 9，
当且仅当 x = y = 3时等号成立，故 B 项错误；
对于 C 项，由 S = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = (xy - 3)2 - 2xy = (xy)2 -8xy + 9，
设 t = xy ，由上分析知， t 9，
则 S = (t - 4)2 - 7在[9,+ ) 上单调递增，故 S 18，即 C 项错误；
1 1 x + y xy - 3 3
对于 D 项，由 + = = =1-x y xy xy xy ，
1 1
由上分析知 xy 9，则0 < xy 9 ，
2
故 1
3 2 1 1
- <1 + <1
3 xy ，即 3 x y ，故 D 项正确.
故选：AD.
1 3
4．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知 a > 0，b > 0， + = 1，则下列说法正确的是（ ）
a b
A． ab的最小值为12
B． a + b 的最小值为 4 3
C． a2 + b2 的最小值为 24
1 3
D． + 的最小值为 2
a -1 b - 3
【答案】AD
A 1 3 2 3 2 3
1 3
【解析】 选项： + ，即 1，解得 ab 12，当且仅当 = ，即 a = 2，b = 6时等号成立，A
a b ab ab a b
选项正确；
a 1 3 3a b 3ab
3a b
B 选项： + b = a + b + ÷ =1+ + + 3 4 + 2 = 4 + 2 3
3 -1 3 - 3
，当且仅当 = ，即 a = ，b =
è a b b a ab b a 2 2
时等号成立，B 选项错误；
1 3 b b 2C 选项：由 + = 1，得 a = ，\b > 3，则 a2 + b2 = ÷ + b2 ，a b b - 3 è b - 3
2
x 2x é x - 3
3 - 3ù
设函数 f x = ÷ + x2， x > 3， f ' x = ，
è x - 3 x - 3 3
2x é x - 3
3 - 3ù 1
令 f ' x = = 0，解得
x = 3 + 3
3 ，
x - 3 3
1 1
所以函数 f x 在 3, 3+ 33 ÷上单调递减，在 3 + 33 ,+ ÷ 上单调递增，
è è
1
所以 f x = f 3 + 33 ÷ 24，C 选项错误；
è
1 3 1 3 b - 3 3
+ = b + = + 2 b - 3 3D 选项： a -1 b - 3 -1 b - 3 3 b - 3 ，当且仅当 = ，即b = 6， a = 2时等号成立，D
b - 3 3 b - 3
选项正确；
故选：AD．
一．单选题
1．（2024·河南南阳）已知 a > 0，b > 0且 2a + 5b =10，则 ab的最大值为（ ）
3 5
A．2 B．5 C． D．
2 2
【答案】D
5 5
【解析】因为 2a + 5b =10 2 2a ×5b ，所以 ab ，当且仅当 a = ,b = 1时，等号成立.2 2
5
所以 ab的最大值为 .故选：D
2
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线 ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 经过点 1,4 4 1，则 + 的最小值为（
a b ）
25
A．4 B．8 C．9 D．
2
【答案】B
【解析】因为直线 ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 经过点 1,4 ，所以 a + 4b = 2 ，
4 1 1 4 1 a 4b 1+ = + + = 8 16b a+ + 1
16b a
所以
a b 2 ÷ ÷
8 + 2 × ÷ = 8，
è a b 2 è a b 2 ÷è a b
16b a
当且仅当 = ，即 a =1、b
1
= 时取等号.故选：B
a b 4
2
3．（2024 x - 2x + 2四川成都·阶段练习）设 f (x) = , x (-1,1) ，则 （ ）
2x - 2
A． f (x)min =1 B． f (x)max =1
C． f (x)min = -1 D． f (x)max = -1
【答案】D
【解析】 x (-1,1)，则1- x (0, 2)，
2
f (x) (x -1) +1 x -1 1 é1- x 1 ù 1- x 1= = + = - + -2 = -1，
2(x -1) 2 2(x -1) ê 2 2(1- x) ú 2 2(1- x)
当且仅当 x = 0时，等号成立，则 f (x)max = -1.
故选：D.
1 1
4．（2024·安徽省）若1 a 3，则 + 的最小值为（ ）
a 4 - a
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】因为1 a 3，所以 4 - a > 0，
1 1 1 1 1 1
∴ + =

+ ÷ éa + 4 - a ù = 2
4 - a a 1 2 4 - a a+ + + 2 × =1，
a 4 - a 4 è a 4 a 4 a 4 a ÷ 4

- è - a 4
÷
- a ֏
4 - a a 1 1
当且仅当 = 时，即 a = 2时取等号，所以 + 的最小值为 1.故选：D.
a 4 - a a 4 - a
1 a
5．（2024 北京）已知不等式 x + y + ÷≥9对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为（x y ）è
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
1 a
【解析】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要 x + y + ÷ 的最小值大于等于 9 即可，
è x y
Q x > 0，y > 0，a > 0，
x y 1 a 1 xa y\ + + = + + + a 1+ a + 2 a ，
è x y
÷
y x
xa y
当且仅当 =y x 即 y = ax 时等号成立，\a + 2 a +1 9，
\ a 2或 a -4( 舍去 )，即 a 4
所以正实数 a 的最小值为 4.
故选：B.
a
6．（2024·山东临沂）已知 a > 0，且 a2 - b + 4 = 0，则 有（ ）a + b
1 1 1 1
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
5 5 4 4
【答案】A
a a 1
= =
【解析】因为 a2 - b + 4 = 0，所以b = a2 + 4，所以 a + b a + a2 + 4 a 4+ +1，
a
a > 0 a 4 4
4
因为 ，所以 + +1 2 a × +1 = 5，当且仅当 a = ，即 a = 2时等号成立，
a a a
a 1 1
=
所以 a + b a 4+ +1 5 ，当且仅当 a = 2时等号成立.故选：A.
a
7．（2024 云南德宏）已知正项等比数列{an}中， a4 ,3a3 ,a5成等差数列.若数列{an}中存在两项 am ,an ，使得 2a1
1 4
为它们的等比中项，则 + 的最小值为（
m n ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】设正项等比数列 an 的公比为q，由 a4，3a3， a5 成等差数列，
有6a3 = a4 + a
2
5 ，即6a3 = a3q + a
2
3q ，得 q + q - 6 = 0，由q > 0 ，解得 q = 2，
若数列 an 中存在两项am ， an ，使得 2a1为它们的等比中项，
则 2a1 2 = am ×a 2n ，即 2a1 = a qm-11 ×a qn-11 ，得 2m+n-2 = 2 ，则m + n = 3，
1 4 1 1 4+ = + 1

÷ m + n =

1
n 4m
+ + + 4 1 n 4m÷ m n 3 m n 3 m n 3 è è
5 + 2 × ÷÷ = 3，
è m n
n 4m
当且仅当 = ，即m =1, n = 2时等号成立，
m n
1 4
所以 + 的最小值为 3.
m n
故选：A
8．（2024 北京）设 a > 0，b > 0， a + b + ab = 24，则（ ）
A． a + b 有最大值 8 B． a + b 有最小值 8
C． ab有最大值 8 D． ab有最小值 8
【答案】B
【解析】因为 a > 0，b > 0， a + b + ab = 24，
设 a + b = t > 0，则 t + ab = 24，所以 ab = 24 - t .
由基本不等式可得： a + b 2 ab ，当且仅当 a = b时等号成立.
所以 t 2 24 - t ，即 t 2 + 4t - 96 0，解得 t -12（舍）或 t 8，
所以 a + b 8，即 a = b = 4时成立，故选项 A 错误，选项 B 正确；
设 ab = m > 0 ，则 a + b + m = 24，所以 a + b = 24 - m > 0，则0 < m < 24 .
由基本不等式可得： a + b 2 ab ，当且仅当 a = b时等号成立，
所以 24 - m 2 m ，即m2 - 52m + 242 0，解得m 16或m 36（舍），
所以 ab 16，即 a = b = 4时等号成立，故选项 C 错误;
对于选项 D：当 a = 23,b
1
= 时，满足 a + b + ab = 24
23
，此时 ab = < 8，故选项 D 错误.
24 24
故选：B
二．多选题
9．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的有（ ）
1 1
A．"x > 0, x + 2 B．$x < 0, x + > -2
x x
x 1 x 1
C．"x > 0, 2 D．$x < 0,1+ x 2 1+ x2
-
2
【答案】AD
【解析】对于 A：利用基本不等式可得"x > 0, x 1 1+ 2 x × = 2 ，
x x
当且仅当 x =1时，等号成立，故 A 正确；
1 1 1
对于 B：对于"x < 0， x + = - -x + ÷ -2 -x × = -2，x è -x -x
1
当且仅当 x=-1时，等号成立；即命题$x < 0, x + > -2不成立，故 B 错误；
x
x 1 1 1
C "x > 0 1+ x2
= =
对于 ：易知对于 ， x 1+ 1 2
x 2 x ×
，
x
当且仅当 x =1时，等号成立，故 C 错误；
x 1 x 1
对于 D：易知当 x=-1时， 2 = - ，即$x < 0, 2 - ，所以 D 正确.1+ x 2 1+ x 2
故选：AD.
10．（2024 四川成都·期中）已知 x > 0， y > 0，且 x + 2y =1，下列结论中正确的是（ ）
A． xy
1
的最大值是 B．
8 2
x + 4y 的最小值是 2 2
1 2
C． +x y 的最小值是 8 D． x
2 + 4y2 1的最小值是 2
【答案】ABD
【解析】 x > 0, y > 0，且 x + 2y =1，
1
1 x 2y 2 2xy xy x 1 , y 1对于 A，由 = + ，解得 ，当且仅当 = = 时等号成立，
8 2 4
则 xy
1
的最大值为 ，所以 A 正确；
8
对于 B，由 2x + 4y = 2x + 22 y 2 2x × 22 y = 2 2x+2 y = 2 2 ，
1 1
当且仅当 x = , y = 时等号成立，所以 2x + 4y 的最小值为 2 2 ，所以 B 正确；2 4
1 2 1 2 2y 2x 2y 2x
对于 C， + = ( + )(x + 2y) = 5 + + 5 + 2 × = 9，
x y x y x y x y
2y 2x 1 1 2
当且仅当 = ，即 x = y =x y 时等号成立，所以
+
x y 的最小值是 9，所以 C 错误； 3
对于 D，由 2 x2 + 4y2 x2 + 4y2 + 2x × 2y = x + 2y 2 =1，
x2 + 4y2 1 x 1 , y 1得 ，当且仅当 = = 时等号成立，
2 2 4
则 x2 + 4y2 1的最小值是 2 ，所以 D 正确.
故选：ABD.
1 1 1
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数 a，b，c 满足 < < ，则（
a b c ）
A c a c b b - c． - > - b B． >
a a - c
a + b 1C． a - c 2 a - b b - c D．
a + 2 2ab 2
【答案】BCD
0 1 1 1【解析】选项 A：由 < < < ，得 a > b > c > 0，
a b c
则-a < -b ，所以 c - a < c - b ，A 错误．
b b - c b a - c - a b - c c a - b
选项 B：因为 - = = > 0a a - c a a - c a a - c ，
b b - c
所以 > ，B 正确．
a a - c
选项 C：由 a > b > c > 0，得 a - b > 0，b - c > 0，
所以 a - c = a - b + b - c 2 a - b b - c ，
当且仅当 a - b = b - c时取等号， C 正确．
选项 D：因为 a + 2 2ab a + a + 2b = 2 a + b ，
a + b 1
当且仅当 a = 2b时取等号，所以 2 ，D 正确．a + 2 2ab
故选：BCD
三．填空题
4 16
12．（2024 山东菏泽·阶段练习）若两个正实数 x，y满足 x + y = 3，且不等式 + > mx 1 y 恒成立，则实数
m 的
+
取值范围为 ．
【答案】 (- , 9)
【解析】因为两个正实数 x，y 满足 x + y = 3，则 x +1 + y = 4，
4 16 1 4 16 y 4 x +1
故 + = + ÷ é x +1 + y ù = + + 5x +1 y 4 è x +1 y x +1 y
y 4 x +1 x 1 8 2 × + 5 = 9 ，当且仅当 = ，y = 时取等号，
x +1 y 3 3
4 16 4 16
因不等式 + > m 恒成立，则m < ( + ) m < 9x +1 y x +1 y min ，故 .
故答案为： (- , 9) .
13．（2023·山东济宁·一模）已知函数 y = a x-1(a > 0 且 a 1)的图象过定点 A，且点 A 在直线mx + 2ny = 8 m > 0, n > 0
8 3
上，则 - 的最小值是 .
mn 2m
9
【答案】
16
【解析】函数 y = a x-1(a > 0 且 a 1)的图象过定点 A 1,1 ，
则m + 2n = 8，所以 2n = 8 - m ，
ìm > 0
由 í ，得0 < m < 82n 8 ， = - m > 0
8 3 16 3 32 - 3 8 - m 3m + 8
则 - = - = =mn 2m m 8 - m 2m 2m 8 - m -2m2 +16m
令 t = 3m + 8, t 8,32 t -8，则m = ，
3
8 3 t 9t
- = 2 = 2
则 mn 2m t -8 16 t -8 -2t + 80t - 512-2 ÷ +
è 3 3
9 9 9
= =
80 - 2t
512
+ 512 16
t ÷ 80 - 2 2t
，
×
è t
ìm 8 =
当且仅当 2t
512
= 3，即 t =16，即 í 8 时，取等号，t n =
3
8 3 9
所以 - 的最小值是 .
mn 2m 16
9
故答案为： .
16
8ab214．（2024 浙江宁波· + a 18阶段练习）已知正实数 a,b,c满足b + c =1，则 + 的最小值为 .
bc a +1
【答案】16
【解析】任意的正实数 a，b ， c，满足b + c =1，
8ab2 + a 18 2 2 2
所以 + = a
8b +1 18 a 8b + (b + c) 18× + = × +
bc a +1 bc a +1 bc a +1
a 9b
2 + 2bc + c2 18 a (9b c 2) 18= × + = × + + + ，
bc a +1 c b a +1
由于b ， c为正实数，
9b c 9b c
故由基本不等式得 + 2 × = 6，
c b c b
9b c 1 3
当且仅当 = ，即b = ， c = 时，等号成立，
c b 4 4
a 9b c 18所以 × ( + + 2) + c b a +1
8a 18 + = 8(a +1) 18+ -8
a +1 a +1
2 8(a 18+1) × -8 =16，
a +1
18 1
当且仅当8(a +1) = a 1 ，即
a = 时，等号成立，
+ 2
8ab2 + a 18
综上， + 的最小值为 16．
bc a +1
故答案为：16．
四．解答题
x + 2m
15．（2024 湖南岳阳·阶段练习）已知函数 y = （m,n 为常数）.
x + n
（1）若 n =1，解不等式 y < 0 ；
1
（2）若m =1，当-2 x 1时， y > - n(x + n)2 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2） n > 0
x + 2m
【解析】（1）因为 n =1， y < 0 可化为 < 0，可化为 (x +1)(x + 2m) < 0，
x +1
-2m < -1 m > 1当 ，即 2 时，得-2m < x < -1，
1
当-2m = -1即m = 时，不等式无解；
2
1
当-2m > -1即m < 时，得-1 < x < -2m ，
2
1
综上所述：当m > 2 时，不等式的解集为
(-2m,-1)；
m 1当 = 时，不等式的解集为空集；
2
m 1当 < 时，不等式的解集为 (-1, -2m) .
2
1 1+ (x + 2)(x + n)
（2）若m =1，则 y > - 2 可化为 2 > 0，可化为 (x + 2)(2 + n) > -1(x n) (x n) ，+ +
当 x = -2时， (x + 2)(2 + n) > -1恒成立；
2 n 1 1当-2 < x 1时，化为 + > - ，即 n > - - (x + 2) + 2恒成立，
x + 2 x + 2
1
因为 + x + 2 2 1 × (x + 2) = 2，当且仅当 x=-1时，等号成立，
x + 2 x + 2
1
所以- - (x + 2) + 2的最大值为 0 ，
x + 2
所以 n > 0 .
16（2024 湖北）已知 x > 0， y > 0．
(1)若 xy = 2， x > y ，不等式 x2 + y2 - 4mx + 4my 0 恒成立，求实数 m 的取值范围；
1 1 m
(2)若不等式 + + 0x y x y 恒成立，求实数 m 的最小值；+
1 a
(3)若 x + y =1．且 + 9x y 恒成立，求正实数 a 的最小值．
【答案】(1) - ,1
(2)－4
(3)4
【解析】（1）解：∵ x > y > 0 ，
∴ x - y > 0，
2
2 x + y
2
∴ x + y2 - 4mx + 4my 0 恒成立等价于 4m 恒成立．
x - y
又 xy = 2，
x2 + y2 x - y 2 + 2xy x - y 2 + 4∴ = = = x - y 4+ 4，
x - y x - y x - y x - y
当且仅当 x
4
- y = x - y = 2
x y ，即 ，即- x = 3 +1， y = 3 -1时等号成立．
∴ 4m 4 ，
∴ m 1．
故实数 m 的取值范围是 - ,1 ．
（2）∵ x > 0， y > 0，
1 1 m
∴ + + 0 x y 1 1+ +x y x y 恒成立等价于 ÷ -m恒成立．+ è x y
x 1 1 y x y x y x又 + y +x y ÷ = 2 + + 2 + 2 × = 4，当且仅当
= ，即 x = y 时取等号，
è x y x y x y
∴ -m 4，即m -4．
∴实数m 的最小值为－4．
（3）∵ x + y =1， a > 0，
1 a 1 a (x y) a 1 y ax y ax
2 y ax
∴ + = + ÷ + = + + + a +1+ 2 × = a +1 ，当且仅当 =x y ，即 y = ax 时等号成x y è x y x y x y
立．
1 a
又 + 9x y 恒成立，
∴ a +1 2 9，
∴ a +1 3或 a +1 -3（舍去），
∴ a 4．
故正实数 a的最小值为 4．
17．（2024 陕西西安）某工厂生产某种零件的固定成本为 20000 元，每生产一个零件要增加投入 100 元，已知
ì 1 2
总收入Q（单位：元）关于产量 x
400x - x ,0 x 400
（单位：个）满足函数：Q = í 2 .
80000, x > 400
(1)将利润 P （单位：元）表示为产量 x 的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大 最大单位利润是多少元 （单位利润=利润 产量）
ì 1
- x
2 + 300x - 20000,0 x 400
【答案】(1) P x = í 2
60000 -100x, x > 400
(2)当产量为 20 个，零件的单位利润最大，最大单位利润是 100 元.
【解析】（1）当0 x 400时，P x = 400x 1- x2 - 20000 -100x 1= - x2 + 300x - 20000 ，
2 2
当 x > 400时，P x = 80000 -100x - 20000 = 60000 -100x，
ì 1 2
故P
- x + 300x - 20000,0 x 400
x = í 2 .
60000 -100x, x > 400
（2）设零件的单位利润为 g x ，
ì 1
- x
20000
- +300，0 x 400
则 g x = 2 xí
60000
，
-100, x > 400
x
当0 x 400时， g x 300 1 x 20000= - + x 20000 ÷ 300 - 2 × =100，
è 2 x 2 x
x 20000
当且仅当 = x = 2002 x ，即 时，等号成立，
x 400 g x 60000当 > 时， = -100 < 50，
x
故当产量为 200 个，零件的单位利润最大，最大单位利润是 100 元.
18．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）若命题 p ：存在1 x 2， x2 - x + 3 - a < 0，命题q：二次函数 y = x2 - 2ax +1
在1 x 2的图像恒在 x 轴上方
(1)若命题 p ，q中均为假命题，求 a的取值范围？
(2)对任意的-1 a 1，使得不等式 x2 - 2ax + a 1成立，求 x 的取值范围.
【答案】(1)1 a 3
(2) (- , -1- 3]U[2,+ )
【解析】（1）若命题 p 为真命题，则命题可转化为1 x 2,a > x2 - x + 3，
2
a > x2 - x + 3 y x2 x 3 x 1 11即 min ，令 = - + = - ÷ + ，得函数 y 在[1, 2]上单调递增，è 2 4
所以 ymin =1-1+ 3 = 3，则 a > 3，
若命题 p 为假命题，则 a 3；
若命题q为真命题，则命题q可转化为 x2 - 2ax +1 > 0 在1 x 2上恒成立，
x2a +1 1 1 1 1 1 1
1 1
即 < = x + ，则 x + 2 x × =1，当且仅当 x = 时，
2x 2 2x 2 2x 2 2x 2 2x
即 x =1时等号成立，则a < 1，
若命题q，则a 1，
则命题q，q均为假命题，则1 a 3
（2）任意的-1 a 1，使得不等式 x2 - 2ax + a 1成立，
即(1- 2x) a + (x2 -1) 0在-1 a 1上恒成立，
令 g(a) =(1- 2x) a + (x2 -1)，
x 1当 = 时， g(a) = 0
3
×a - < 0，不合题意；
2 4
1 ìg(-1) = (2x -1) + (x2 -1) 0
当 x 2 时，有 í 2 ，解得 x (- ,-1- 3] [2, + )； g(1) = (1- 2x) + (x -1) 0
所以 x 的取值范围是 (- , -1- 3]U[2,+ ) .
19．（2024 贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论
的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决
方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
1 1
例如，ab =1，求证： + =1．
1+ a 1+ b
ab 1 b 1
证明：原式= + = + =1．
ab + a 1+ b b +1 1+ b
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问
题处理方法进行研究.
a + b
例如，正实数 a,b满足ab =1，求 1+ a b 的最小值．
1
解：由ab =1，得b = ，
a
a 1 2a + b + 2
\ = a a +1 a +1 - 2 a +1 + 2= = 2
1 a b 1 a 1 a 1 = a +1 + - 2 2 a +1
2
- 2 = 2 2 - 2，
+ 1+ a + + a +1 a +1
a
当且仅当 a +1 = 2 ，即 a = 2 -1,b = 2 +1时，等号成立．
a + b
\
1+ a b 的最小值为 2 2 - 2 ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”
类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
1 1
(1)已知ab =1，求
1+ a2
+ 的值；
1+ b2
a,b M 1 1(2)若正实数 满足ab =1，求 = + 的最小值．
1+ a 1+ 3b
【答案】(1)1
(2) 3 -1．
【解析】（1）
由题意得
1 + 1 = ab + ab = b + a =1
1+ a2 1+ b2 ab + a2 ab + b2 b + a a + b ；
（2）
解法 1（整体代入）：由ab =1
M ab 1 b 1 3b
2 + 2b +1 3b2 + 4b +1 - 2b= + = + =
ab + a 1+ 3b b +1 1+ 3b 3b2 + 4b +1 = 3b2 + 4b +1
=1 2b 2- =1-
3b2 + 4b +1 3b 1+ + 4 ，
b
1 1 1
由于b > 0，故3b + 2 3b × = 2 3 3b = b 3，当且仅当 ，即 = , a = 3 时等号成立，
b b b 3
3b 1
1
因为 + 有最小值
b 2 3
2 - 3
，此时 3b 1+ + 4 有最大值 ，
b 2
1 2-
从而 3b 1+ + 4 最小值 3 -1，即M 有最小值 3 -1．
b
1
解法 2（消元思想）：由题意得 ab =1,\a = ．
b
M 1 1 1 1 b 1 3b
2 + 2b +1
= + = + = + =
1+ a 1+ 3b 1 1+ 1+ 3b 1+ b 1+ 3b 3b
2 + 4b +1
b
3b2 + 4b +1 - 2b
=
3b2 + 4b +1
2b 2
=1- 2 =1-3b + 4b +1 3b 1+ + 4
b
1 1
因为3b + 2 3b 1× = 2 3 ，当且仅当3b = b 3，即 = , a = 3 时等号成立，
b b b 3
1 13b + 2 3 1 2 - 3因为 有最小值 ，此时b 3b + + 4
有最大值 ，
b 2
1 2-
从而 3b 1+ + 4 最小值 3 -1，即M 有最小值 3 -1．
b

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