资源简介

1.1 集合
考点一 集合中元素的互异性
【例 1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
* 0 N 1A．-3 N B． C． Z D2 ． 5 R
1-2 2024 a 1,2,a2【例 】（ 江苏宿迁）若 ，则 a的取值集合为（ ）
A． 0 B． 0,1 C． 0,2 D． 0,1,2
【例 1-3】（2024· 2陕西宝鸡·一模）若集合 A = x R ax - 2x +1 = 0 中只有一个元素，则实数a = （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0 或 1
【一隅三反】
1．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，则实数 m=（ ）
A．0 B． -1 C．0 或 -1 D．0 或 1
2.（202,4· 2北京）已知集合 A = x x - 2 < 0 ，且 a A，则 a 可以为（ ）
3
A．－2 B．－1 C． D．
2 2
ì b ü 2
3.（2024浙江）已知 a R ，b R，若集合 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，则 a2019 2019a + b 的值为（ ）
A．-2 B． -1 C．1 D． 2
考点二 集合间的关系（无参型）
【例 2-1】（2023·北京）已知集合 A = {x N | -1< x < 5}，B = {0,1,2,3,4,5}，则（ ）
A．A B B． A = B C．B A D．B A
ì kπ ü ì π ü
【例 2-2】（2024·广东·一模）已知集合 A = íx x = ,k Z , B = íx x = + kπ,k Z2 2
，则（ ）

A． A = B B． A B = C． A B D． A B
【一隅三反】
1．（2024·福建福州）已知集合M = {x N* | -1 x 2}，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．0 M B． M C． 0,1 M D． 1,2 M
2．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)} {a,b} B．{0,2} Z C． {0} D．{0,1} {1,0}
考点三 集合间的运算（无参型）
【例 3-1】（2023·全国·高考真题）设全集U = 0,1,2,4,6,8 ，集合M = 0,4,6 , N = 0,1,6 ，则M UN =（ ）
A． 0,2,4,6,8 B． 0,1,4,6,8 C． 1,2,4,6,8 D．U
【例 3-2】（2023·北京·高考真题）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x -1< 0}，则M N =（ ）
A．{x∣-2 x <1} B．{x∣-2 < x 1}
C．{x∣x -2} D．{x∣x <1}
【例 3-3】（2023·全国·高考真题）设全集U = Z ,集合M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}，
U(M N ) = （ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k -1,k Z}
C．{x∣x = 3k - 2,k Z} D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高考真题）设全集U = 1,2,3,4,5 ，集合M = 1,4 , N = 2,5 ，则 N U U M =（ ）
A． 2,3,5 B． 1,3,4 C． 1,2,4,5 D． 2,3,4,5
2．（2024·陕西西安·二模）已知集合 A = {x | x2 - 3x -10 < 0}，B = {x |1- x < 0}，则 AI B =（ ）
A． x 1< x < 5 B． x -2 < x <1 C． x 1< x < 2 D． x -5 < x <1
3．（2023·全国·高考真题）设集合U = R ，集合M = x x <1 ， N = x -1 < x < 2 ，则 x x 2 =（ ）
A． U M U N B． N U U M
C． U M I N D．M U N
4．（2024·四川成都·二模）如图，已知集合 A = x∣log2x <1 , B = {x∣x <1}，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． 1,2 B． 1,2 C． 0,1 D． 0,1
ì 1 ü ì x -1 ü
5．（2024·辽宁·二模）已知集合M = íx log4x < , N = íx 02 x + 3
，则M N =（ ）

A． 0,1 B． -3,2 C． -3,2 D． - , 2
考点四 子集的个数
ì x - 3 ü
【例 4-1】（2024·四川·模拟预测）已知集合 A = íx N < 0 ，则集合A 的子集有（ ）个
x +1
A．3 B．4 C．7 D．8
【例 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合 1,0 B -1,0,1,2 ，则满足条件的集合 B 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例 4-3 x * 2】（2024·湖南邵阳·二模）若集合 A = x∣2 > 8, x N ，集合B = x∣x - 7x -8 < 0 ，则 A B 的真子集个
数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．31
【一隅三反】
1．（2024 2内蒙古鄂尔多斯）已知集合 A = x Z x - 2x - 3 < 0 ，则集合A 的真子集个数为（ ）
A．3 B． 4 C．7 D．8
2．（2024 广东广州）设集合 A = {1}, B = x∣x2 - 3x + 2 = 0 ，则 A B 的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·重庆·一模）已知集合 A = x -2x2 + 5x + 3 0 ，B = x N x 2 ，则 A B 的真子集个数为（ ）
A．3 B． 4 C． 7 D．8
4．（2023·山东·模拟预测）满足条件{2,3} A {1,2,3,4}的集合A 有（ ）
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
考点五 集合间的关系求参
【例 5-1】（2024 辽宁）已知集合 A = -1,2 , B = x ax =1 ，若B A，则由实数 a的所有可能的取值组成的集合
为（ ）
ì
A． í1,
1 ü ì
B． í-1,
1 ü ì 1 ü ì 1 ü
2
C． í0,1, D． í-1,0,
2 2 2
【例 5-2】（2023·全国·高考真题）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则a = （ ）．
2
A．2 B．1 C． D． -13
【例 5-3】（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合 A = 1, a ，B = x x -1 < 2 ，若 A B ，则实数 a的值是（ ）
A．1 B． 0 C．-2 D．3
2
【例 5-4】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合 A = x | x - 5x 6 ，集合B = x | x a ，若B R A ，则 a的取值
范围为（ ）
A． 6, + B． 6, + C． - , -1 D． - ,1
【例 5-5】（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合 A = x 2a +1 x 3a - 5 , B = x 5 x 16 ,则能使 A B 成立的所
有 a组成的集合为（ ）
A． a 2 a 7 B． a 6 a 7 C． a a 7 D． a a < 6
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·一模）集合 A = x ax -1 = 0 ，B = x x2 - 3x + 2 = 0 ，且 A B = B ，实数 a的值为（ ）
A 1 1 1．1 B． 2 C．1或 D． 02 或1或 2
2．（2024·广东广州·一模）设集合 A = 1,3,a2 ，B = 1,a + 2 ，若B A，则a = （ ）
A． 2 B．1 C．-2 D． -1
3．（2024·黑龙江·二模）已知 A = {x∣x x -1 < 0}, B = x∣log2x a ，若 A B ，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 0, + B． 1, + C． 0,1 D． 0,
1 ù
è 2 ú
4．（2024·安徽阜阳·一模）设集合 S = x x < -1或 x > 5 ，集合T = x a < x < a + 8 ，且 S UT = R ，则实数 a的取
值范围为（ ）
A． - , -3 U -1, + B． -3, -1 C． - , -3 U -1,+ D． -3, -1
5．（2024 陕西）已知集合 A = x | x < -1或 x 3 ，B = x | ax +1 0 ，若B A，则实数 a的取值范围为（ ）
ìa | 1 1 1A． í - a <1
ü ì ü
B． ía | - a 1 C． a | a < -1 ì或 a 0 D． ía | - a < 0或0 < a <1
3 3 3
考点六 函数集合
【例 6】（2024·广东·一模）已知集合 A = x y = lg 3- x B = y y = -x2， + 6x ，则 AI B =（ ）
A． (- ,3] B． (- ,3) C．[0,3] D．[0,3)
【一隅三反】
1．（2024·河南·一模）集合 A = x y = x2 ，B = y y = x2 ，则 AI B =（ ）
A． B． 0 C． 0, + D．R
2．（2024·江西·二模）已知集合M = y y = lg x, x 1 , N = x y = 4 - x2 ，则M N =（ ）
A． 0,2 B． -2, + C． 1,2 D．[0,+ )
3．（2023 春· 2天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合 A = x y = ln x -1 ，B = y y = x2 - 4x - 5 ，则
AI B =（ ）
A． -1,1 B． 1, + C． -9, + D． -9, -1 1, +
ì ln x - 6 ü ì x + 2 8x +1x | y y | y 1 x 5ü4.（2024湖南）设集合 A＝ í = ，集合 B＝ í = ， < .则 A B＝
x +1 4x 4 8
R

（ ）

A． 6
25 63ù 27
，
4 ÷ B．
6， ú C． 6，4 ÷ D．Rè è 10 è
考点七 点集
【例 7-1】（2024· 2陕西榆林·二模）若集合 A = x, y ∣y = x , B = x, y ∣y = x ，则（ ）
A．1 A B． A B = 1,1 C． -2,4 B D． A B = R
7-2 2023· · A = x, y ∣x - y +1 = 0 , B = x, y ∣x2 + y2【例 】（ 广东广州 模拟预测）已知集合 =1 ，则集合 A B 的
子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例 7-3】（2024 湖北黄冈）已知集合 A = x, y x + ay - a = 0 ， B = x, y ax + 2a + 3 y -1 = 0 .若 AI B = ，
则实数a = （ ）
A．3 B． -1 C．3或 -1 D．-3或 1
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知集合 A = x, y 3x - y = 0 ，B = x, y x + my +1 = 0 .若 AI B = ，则实数m =
（ ）
1 1
A．-3 B．- C． D．3
3 3
2（2024·上海）已知 a,b 1,2,3,4 ， a,b x, y ∣y2 = x ，则 a - b = （ ）
A．0 B．2 C．-2 D．0 或 2
3（2023·安徽合肥·三模）已知集合 A = x, y y = x2 ，集合B = x, y y =1- x ，则集合 A B 的真子集个数为
（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
4．（2024· M = (x, y) | x2内蒙古通辽）已知集合 + y2 2, x Z, y Z ，则集合M 的真子集的个数为（ ）
A． 29 -1 B． 28 -1 C． 25 D． 24 +1
5．（2024·河南新乡·二模）（多选）已知 m R ，集合 A = x, y mx + y -1 = 0 ， B = x, y 2mx + 2y - 9 = 0 ，
C = x, y x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 ，D = x, y x2 + y2 - 2x = 0 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． A B = B． A C C．B IC = D．C D =
考点八 集合与其他知识综合
2p
【例 8-1 *】（2023·全国·高考真题）已知等差数列 an 的公差为 ，集合 S = cosan n N ，若 S = a,b ，则 ab =3
（ ）
1
A．－1 B．- C 1．0 D．
2 2
【例 8-2】（2024 2河南信阳）点集W = x, y | x + y -1 y - 1- x = 0 表示的曲线总长度等于（ ）
A． 2π + 2 2 B． π + 4 C． π + 2 2 D．+
【一隅三反】
ì
1．（2024·河南开封·二模）已知集合 A = íx | x sin
nπ
= , n Zü ，B = 0,1 则下列命题正确的是（2 ）
A． A = B B．B A C． A B = 0, -1 D． AB = 1
2 2 2．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点集 A = x, y x + y 1 ，则点集
P = x, y x = x1 + 3, y = y1 +1, x1 , y1 A 所表示的区域的面积为 ．
ì 2 ü
3 2
1 1+ i
（2024广西）已知 i是虚数单位，集合M = Z （整数集）和 N = íi, i , , 的关系韦恩图如图所示，则阴
i i
影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
4（2024北京）已知函数 g x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < p 的部分图象如图所示，将函数 g x 的图象向右平
p ì ü
移 个单位长度，得到函数 f x 的图象，若集合 A x y f x f 35p= = - 6 í ÷ ，集合B = 0,1,2 ，则 AI B =
è 12
______．
考点九 集合的新定义
【例 9-1】（2024 河北）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合 A 和 B 是全集 U
的子集，且无公共元素，则称集合 A, B互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
U = x∣1 < log2 (x +1) 3, x N , A = x∣x2 - 7x +10 < 0, x N ，则集合 A 关于集合 U 的正交集合 B 的个数为
（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【例 9-2】（2023·全国·模拟预测）定义：若集合 A, B满足 A B ，存在 a A且 a B ，且存在b B且
b A x 2 +，则称集合 A, B为嵌套集合．已知集合 A = x 2 - x 0且 x R ，B = x x2 - (3a +1)x + 2a2 + 2a < 0 ，
若集合 A, B为嵌套集合，则实数 a的取值范围为（ ）
A． (2,3) B． (- ,1) C． (1,3) D． (1, 2)
【一隅三反】
ì 0, x = 0
ì 3 ü
1．（2024·河南·模拟预测）定义 sgn x = í x
, x 0
，若集合 A = íy | y = sgn x i ，则 A 中元素的个数为（ ） i=1
x
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2024 广东佛山 ）（多选）设 P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 a,b P ，都有
a + b, a a- b, ab P ，且若b 0 ，则 P，则称 P 是一个数域．例如，有理数集 Q 是数域．下列命题正确的是
b
（ ）
A．数域必含有 0，1 两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q M ，则数集 M 一定是数域
D．数域中有无限多个元素
3.（2024· *黑龙江哈尔滨·一模）设 Nm = {1,2,L,m}表示不超过m m N* 的正整数集合， Ak 表示 k 个元素的有限
集， S(A) *表示集合 A 中所有元素的和，集合Tm,k = S Ak Ak Nm ，则T3,2 = ；若 S Tm,3 2024 ，则 m
的最大值为 ．
一．单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合M = -2, -1,0,1,2 ， N = x x2 - x - 6 0 ，则M N =（ ）
A． -2, -1,0,1 B． 0,1,2 C． -2 D． 2
2．（2024·全国·一模）已知集合 A = 0,1,2 B = x y = lg -x2， + 3x ，则 A B 子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·江苏·一模）已知全集 U 与集合 A，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． AI U B B． AU U B C．B U A D． B U U A
4．（2024·河南·模拟预测）已知集合 A = y∣y = x2 +1 , B = x∣x2 < 2x ，则 AI B =（ ）
A． B．{x∣1< x < 2} C．{x∣1 x < 2} D．{x∣x -1或1 x < 2}
5．（2024· · A = x Z x2广东广州 模拟预测）已知集合 - 2x -15 < 0 ，B = x R x -1 0 ，则 AI ( R B) 的真子集
的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（2024 辽宁沈阳）已知集合M 满足 2,3 M 1,2,3,4,5 ，那么这样的集合 M 的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2024 河南濮阳）已知集合 A = x, y | y = x x +1 x -1 , B = x, y | y = 0 ，则集合 A B 的子集个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知集合 A = x x2 1 ，B = x x -1 < a ，若 A B 中有且仅有三个整数，则正
数 a 的取值范围是（ ）
A． 0 < a < 1 B．0 < a 1 C． a > 1 D． a 2
二．多选题
9．（2024山东）已知集合 A = x∣ax2 + 2x + a = 0,a R ，若集合 A有且仅有 2个子集，则 a的取值有
（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
x
10（2024·全国·模拟预测）非空集合 A 具有如下性质：①若 x, y A，则 A；②若 x, y A，则 x + y Ay 下列
判断中，正确的有（ ）
2022
A．-1 A B． A
2023
C．若 x, y A，则 xy A D．若 x, y A，则 x - y A
12
11．（2024· 2辽宁辽阳·一模）已知集合 A = {x | N, x N}, B = {x | x - 6x < 7}，则（ ）
x +1
A． A B = 1,2,3,5 B． A B = -1,7 11
C．12 x - y∣x A, y B D．$a A, y∣y = lg x2 - ax + 9 = R
三．填空题
12．（2024·山东青岛·一模）已知集合 A = -1,0,1 ，B = y | y = 2x, x A ，则 A B 的所有元素之和为 ．
2 2
13．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合 A = x, y x - y =1 ，B = x, y x - 2 + y + 3 = 9 ，则 A B 的子
集个数为 .
* A ìsin kπ ü14．（2024 上海·阶段练习）已知 n N ，集合 = í | k N,0 k nn
，若集合 A 恰有 8 个子集，则 n 的可

能值的集合为
四．解答题
15（2024 2北京东城·期末）已知集合 A = x x + 8x +15 0 ，B = x 3m - 2 < x < 2m + 2 .
(1)若 A B = B ，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B ，求实数m 的取值范围；
(3)若将题干中的集合 B 改为 B = x 2m +1 x 3m - 2 ，是否有可能使命题 p ：“ "x A，都有 x B ”为真命题，
请说明理由.
16．（2023 北京）已知函数 f x = lg x2 + ax + b 的定义域为集合A ，又集合
B = x x2 - 3mx + 2m2 - m -1< 0 ,U = R，且 U A B = B, U A B = x -2 x 5 .
(1)试确定 a,b的值；
(2)求参数m 的取值范围.
ì 1 ü ì2x log3 x - 4 ü17．（2024 辽宁·阶段练习）已知集合M = íx 2 256 , N

= íx 4

4 . 16 log3 2
(1)求M N ；
x
(2) x M N ,a 1+1 > a-1 × 若对任意的 ÷ 恒成立，求 a的取值范围.
è 2
18．（23-24 高三下· a b c重庆·阶段练习）集合 A = x x = 2 + 2 + 2 ,0 a < b < c, a,b,c N ，将集合 A 中的元素按由
小到大的顺序排列成数列 an ，即 a1 = 7， a2 =11，数列 an 的前 n 项和为 Sn ．
(1)求a3， a4， a5 ；
(2)判断 672，2024 是否是 an 中的项；
(3)求a120 ， S35．
19．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 x, y 表示，在三维空间中点的坐标
可用三个有序数组 x, y, z 表示，一般地在 n n 2, n N 维空间中点 A 的坐标可用 n 个有序数组 a1 ,a2 , × × ×,an 表
n
示，并定义 n 维空间中两点 A a1, a2 , × × ×, an ，B b1,b2 , × × ×,bn 间的“距离” d AB = ai - bi ．
i=1
1 1 1 1 1 1
(1)若 A 1, , , × × ×, ÷ ，B2 3 n
, , × × ×, ，求 d AB ；
è è 2 3 n +1÷
(2)设集合U7 = a1,a2 , × × ×, a7 | ai 0,1 , i =1,2, × × ×,7 ．元素个数为2的集合M为U 7 的子集，且满足对于任意 A U7，
都存在唯一的B M 使得 d AB 3，则称 M 为“U 7 的优集”．证明：“U 7 的优集”M 存在，且 M 中两不同点的“距
离”是 7．1.1 集合
考点一 集合中元素的互异性
【例 1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
1
A．-3 N* B．0 N C． Z D2 ． 5 R
【答案】D
-3 N*【解析】由题意 ,0 N,
1
Z, 5 R .故选：D.
2
【例 1-2】（2024 2江苏宿迁）若 a 1,2,a ，则 a的取值集合为（ ）
A． 0 B． 0,1 C． 0,2 D． 0,1,2
【答案】C
【解析】当 a =1时， a2 =1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 a = 2时，则 a 1,2,4 ，符合题意，
当 a = a2时，有 a =1或 a = 0，已知当 a =1时符合题意，
当 a = 0时，则 a 1,2,0 ，符合题意，
故 a的取值集合为 0,2 .
故选：C.
【例 1-3】（2024· 2陕西宝鸡·一模）若集合 A = x R ax - 2x +1 = 0 中只有一个元素，则实数a = （ ）
A．1 B．0 C．2 D．0 或 1
【答案】D
1
【解析】当 a = 0时，由 ax2 - 2x +1 = 0可得 x = ，满足题意；
2
当 a 0时，由 ax2 - 2x +1 = 0只有一个根需满足D = (-2)2 - 4a = 0，解得 a =1 .
综上，实数 a的取值为 0 或 1.故选：D
【一隅三反】
1．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，则实数 m=（ ）
A．0 B． -1 C．0 或 -1 D．0 或 1
【答案】C
【解析】设集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，
Q-3 M ，\2m -1 = -3或m - 3 = -3，
当 2m -1 = -3时，m = -1，此时M = -3, -4 ；
当m - 3 = -3时，m = 0，此时M = -3, -1 ；
所以m = -1或 0 .故选：C
2.（202,4· 2北京）已知集合 A = x x - 2 < 0 ，且 a A，则 a 可以为（ ）
3
A．－2 B．－1 C． D．
2 2
【答案】B
【解析】∵ x2 - 2 < 0，∴ - 2 < x < 2 ，∴ A = x | - 2 < x < 2 ，
可知-2
3
A, A, 2 A，故 A、C、D 错误；-1 A，故 B 正确.故选：B
2
ìa, b3.（2024浙江）已知 a R ü 2，b R，若集合 í ,1 = a ,a + b,0 ，则 a2019 + b2019的值为（ ）
a
A．-2 B． -1 C．1 D． 2
【答案】B
ìb
= 0a
ì b ü 2 ìb = 0 ì b = 0【解析】因为 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，所以 ía = a + ba ，解得 í 2 a
或
=1 í a
，
= -1
a =1

当 a =1 2019时，不满足集合元素的互异性，故 a = -1，b = 0， a2019 + b2019 = -1 + 02019 = -1，故选：B.
考点二 集合间的关系（无参型）
【例 2-1】（2023·北京）已知集合 A = {x N | -1< x < 5}，B = {0,1,2,3,4,5}，则（ ）
A．A B B． A = B C．B A D．B A
【答案】A
【解析】 A = {x N | -1< x < 5} = {0,1,2,3,4}，B = {0,1,2,3,4,5}，则A B .故选：A.
ì kπ ü ì π ü
【例 2-2】（2024·广东·一模）已知集合 A = íx x = ,k Z , B = íx x = + kπ,k Z ，则（2 2 ）
A． A = B B． A B = C． A B D． A B
【答案】D
B {x | x (2k +1)π【解析】由集合 = = , k Z}， A = {x | x
kπ
= , k Z}，得 A B .故选：D
2 2
【一隅三反】
1．（2024·福建福州）已知集合M = {x N* | -1 x 2}，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．0 M B． M C． 0,1 M D． 1,2 M
【答案】D
【解析】因为集合M = {x N* | -1 x 2} = {1,2}，
对于 A，因为0 M = {1,2}，故选项 A 错误；
对于 B， 是一个集合，且 M ，故选项 B 错误；
对于 C，因为集合M = {1,2}，所以集合{0,1}与集合M 不存在包含关系，故选项 C 错误；
对于 D，因为集合M = {1,2}，任何集合都是它本身的子集，所以{1,2} M ，故选项 D 正确，
故选：D.
2．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（ ）
A．{(a,b)} {a,b} B．{0,2} Z C． {0} D．{0,1} {1,0}
【答案】A
【解析】对于 A：集合{(a,b)}为点集，含有元素 a,b ，集合{a,b}含有两个元素 a，b ，
所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故 A 错误；
对于 B：{0,2} Z，故 B 正确；
对于 C： {0}，故 C 正确；
对于 D：因为{0,1} = {1,0}，所以{0,1} {1,0}，故 D 正确；故选：A
考点三 集合间的运算（无参型）
【例 3-1】（2023·全国·高考真题）设全集U = 0,1,2,4,6,8 ，集合M = 0,4,6 , N = 0,1,6 ，则M UN =（ ）
A． 0,2,4,6,8 B． 0,1,4,6,8 C． 1,2,4,6,8 D．U
【答案】A
【解析】由题意可得 U N = 2,4,8 ，则M U U N = 0,2,4,6,8 .故选：A.
【例 3-2】（2023·北京·高考真题）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x -1< 0}，则M N =（ ）
A．{x∣-2 x <1} B．{x∣-2 < x 1}
C．{x∣x -2} D．{x∣x <1}
【答案】A
【解析】由题意，M = {x∣x + 2 0} = {x | x -2}， N = {x∣x -1< 0} = {x | x <1}，
根据交集的运算可知，M I N = {x | -2 x <1} .故选：A
【例 3-3】（2023·全国·高考真题）设全集U = Z ,集合M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}，
U(M N ) = （ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k -1,k Z}
C．{x∣x = 3k - 2,k Z} D．
【答案】A
【解析】因为整数集Z = x | x = 3k,k Z U x | x = 3k +1,k Z U x | x = 3k + 2,k Z ，U = Z ，所以，
U M U N = x | x = 3k,k Z ．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高考真题）设全集U = 1,2,3,4,5 ，集合M = 1,4 , N = 2,5 ，则 N U U M =（ ）
A． 2,3,5 B． 1,3,4 C． 1,2,4,5 D． 2,3,4,5
【答案】A
【解析】因为全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,4}，所以 U M = 2,3,5 ，
又 N = {2,5}，所以 N U U M = {2,3,5}，故选：A.
2．（2024·陕西西安·二模）已知集合 A = {x | x2 - 3x -10 < 0}，B = {x |1- x < 0}，则 AI B =（ ）
A． x 1< x < 5 B． x -2 < x <1 C． x 1< x < 2 D． x -5 < x <1
【答案】A
【解析】解不等式 x2 - 3x -10 < 0得-2 < x < 5，解不等式1- x < 0得 x >1，所以 AI B = x 1< x < 5 .故选：A .
3．（2023·全国·高考真题）设集合U = R ，集合M = x x <1 ， N = x -1 < x < 2 ，则 x x 2 =（ ）
A． U M U N B． N U U M
C． U M I N D．M U N
【答案】A
【解析】由题意可得M U N = x | x < 2 ，则 U M U N = x | x 2 ，选项 A 正确；
U M = x | x 1 ，则 N U U M = x | x > -1 ，选项 B 错误；
M I N = x | -1 < x < 1 ，则 U M N = x | x -1或 x 1 ，选项 C 错误；
U N = x | x -1或 x 2 ，则M U U N = x | x <1或 x 2 ，选项 D 错误；
故选：A.
4．（2024·四川成都·二模）如图，已知集合 A = x∣log2x <1 , B = {x∣x <1}，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． 1,2 B． 1,2 C． 0,1 D． 0,1
【答案】B
【解析】因为 A = x∣log2x <1 = x∣0 < x < 2 , B = {x∣x <1}，所以 AI B = x∣0 < x <1 ， A A B = x∣1 x < 2 ，
即阴影部分表示的集合为 1,2 ，故选：B
M ìx log x 1 ü , N ì x -1 ü5．（2024·辽宁·二模）已知集合 = í 4 < =2 í
x 0 ，则M N =（
x 3 ） +
A． 0,1 B． -3,2 C． -3,2 D． - , 2
【答案】B
【解析】 log
1 1 1
4x < log2x < log2x <1 0 < x < 2,\M = x 0 < x < 2 ,2 2 2
N ìx x -1= í 0
ü
= x -3 < x 1 ，所以M N = x -3 < x < 2 ，故选：B
x + 3


考点四 子集的个数
ì x - 3
【例 4-1】（2024·四川·模拟预测）已知集合 A = íx N < 0
ü
，则集合A 的子集有（
x ）个 +1


A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
ì x - 3 ü
【解析】 A = íx N < 0 = x N x - 3 x +1 < 0x 1 = x N -1 < x < 3 = 0,1,2 ，故集合A 的子集有 2
3 = 8
+
个.故选：D
【例 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合 1,0 B -1,0,1,2 ，则满足条件的集合 B 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由 1,0 B可得1 B且0 B，根据 B 为 -1,0,1,2 的真子集，
可得B = 1,0 或B = 1,0, -1 或B = 1,0,2 ，故满足条件的集合 B 的个数为 3.
故选：A
【例 4-3】（2024·湖南邵阳·二模）若集合 A = x∣2x > 8, x N* 2，集合B = x∣x - 7x -8 < 0 ，则 A B 的真子集个
数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．31
【答案】B
【解析】由 2 x > 8 ,得 x > 3，故 A = x∣x > 3, x N* ；由 x2 - 7x -8 < 0，得-1 < x < 8，故B = x∣-1< x < 8 ，
则 AI B = 4,5,6,7 ，故 A B 的真子集个数为 24 -1 =15 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古鄂尔多斯）已知集合 A = x Z x2 - 2x - 3 < 0 ，则集合A 的真子集个数为（ ）
A．3 B． 4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由 x2 - 2x - 3 < 0，解得-1 < x < 3，\ A = x Z -1< x < 3 = 0,1,2 ，所以集合 A 的真子集有 23 -1 = 7
个.
故选：C.
2．（2024 广东广州）设集合 A = {1}, B = x∣x2 - 3x + 2 = 0 ，则 A B 的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】令 x2 - 3x + 2 = 0 ，解得 x =1或 x = 2，故 AU B = {1,2}，则 A B 的子集个数是 22 = 4个.
故选：D
3．（2024· 2重庆·一模）已知集合 A = x -2x + 5x + 3 0 ，B = x N x 2 ，则 A B 的真子集个数为（ ）
A．3 B． 4 C． 7 D．8
【答案】C
2 2 ì 1 ü
【解析】因为 A = x -2x + 5x + 3 0 = x 2x - 5x - 3 0 = íx - x 3 ，
2
B = x N x 2 = x N -2 x 2 = 0,1,2 ，则 AI B = 0,1,2 ，
所以， A B 的真子集个数为 23 -1 = 7 .故选：C.
4．（2023·山东·模拟预测）满足条件{2,3} A {1,2,3,4}的集合A 有（ ）
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
【答案】C
【解析】∵{2,3} A {1,2,3,4}，∴ A = {1,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3, 4}或{2,3}，共 4 个．故选：C．
考点五 集合间的关系求参
【例 5-1】（2024 辽宁）已知集合 A = -1,2 , B = x ax =1 ，若B A，则由实数 a的所有可能的取值组成的集合
为（ ）
ì1, 1 ü ì-1, 1 ü ì 1 ü ì 1A． í B． í C． í0,1, D． í-1,0,
ü
2

2 2 2
【答案】D
1
【解析】当 a = 0时，B = A
ì ü
,满足题意.当 a 0时，B = í ，
a
若B A
1
，则 = -1
1 1 1
或 = 2，即 a = -1或 a = 综上所述， a的所有取值为0,-1, 故选：D
a a 2 2
【例 5-2】（2023·全国·高考真题）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则a = （ ）．
2
A．2 B．1 C． D3 ． -1
【答案】B
【解析】因为 A B ，则有：
若a - 2 = 0，解得 a = 2，此时 A = 0,-2 ，B = 1,0,2 ，不符合题意；
若 2a - 2 = 0 ，解得 a =1，此时 A = 0,-1 ，B = 1, -1,0 ，符合题意；
综上所述： a =1 .
故选：B.
【例 5-3】（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合 A = 1, a ，B = x x -1 < 2 ，若 A B ，则实数 a的值是（ ）
A．1 B． 0 C．-2 D．3
【答案】B
【解析】由 x -1 < 2，即-2 < x -1< 2，解得-1 < x < 3，所以B = x x -1 < 2 = x -1 < x < 3 ，
又 A = 1, a 且 A B ，所以-1 < a <1或1 < a < 3，故符合题意的只有 B 选项.选：B
【例 5-4】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合 A = x | x2 - 5x 6 ，集合B = x | x a ，若B R A ，则 a的取值
范围为（ ）
A． 6, + B． 6, + C． - , -1 D． - ,1
【答案】A
【解析】因为 A = x | x2 - 5x 6 = x | x2 - 5x - 6 0 = x | -1 x 6 ， R A = {x x < -1或 x > 6}，
因为集合B = x | x a ，B R A ，所以 a > 6，故选：A.
【例 5-5】（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合 A = x 2a +1 x 3a - 5 , B = x 5 x 16 ,则能使 A B 成立的所
有 a组成的集合为（ ）
A． a 2 a 7 B． a 6 a 7 C． a a 7 D． a a < 6
【答案】C
【解析】当 A = 时,即 2a +1 > 3a - 5 , a < 6时成立;
ì2a +1 3a - 5

当 A 时,满足 í 3a - 5 16 ,解得6 a 7 ;综上所述: a 7 .故选:C.

2a +1 5
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·一模）集合 A = x ax -1 = 0 ，B = x x2 - 3x + 2 = 0 ，且 A B = B ，实数 a的值为（ ）
A 1 B 1 C 1 1 1． ． 2 ． 或 02 D． 或1或 2
【答案】D
2
【解析】由集合B = x x - 3x + 2 = 0 = 1,2 ，且 A = x ax -1 = 0 ，又由 A B = B ，可得 A B ，
当 a = 0时，此时集合 A = ，满足 A B ；
当 a 0
1
时，可得 A = { }，要使得 A B
1 1 1
，则满足 =1或 = 2，解得 a =1或 a = ，
a a a 2
1
综上可得，实数 a的值为 0 或1或 2 .故选：D.
2．（2024·广东广州·一模）设集合 A = 1,3,a2 ，B = 1,a + 2 ，若B A，则a = （ ）
A． 2 B．1 C．-2 D． -1
【答案】A
2
【解析】由 A = 1,3,a ，得 a2 1，即 a ±1，此时 a + 2 1,a + 2 3，
由B A，得 a2 = a + 2，而 a -1，所以 a = 2 .故选：A
3．（2024·黑龙江·二模）已知 A = {x∣x x -1 < 0}, B = x∣log2x a ，若 A B ，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 0, + B． 1, + C． 0,1 D． 0,
1 ù
è 2 ú
【答案】A
【解析】因为 A = {x∣x x -1 < 0} = x∣0 < x <1 ，B = x∣log2x a = {x∣0 < x 2a}，
又 A B ，所以 2a 1，故 a 0 .故选：A.
4．（2024·安徽阜阳·一模）设集合 S = x x < -1或 x > 5 ，集合T = x a < x < a + 8 ，且 S UT = R ，则实数 a的取
值范围为（ ）
A． - , -3 U -1, + B． -3, -1 C． - , -3 U -1,+ D． -3, -1
【答案】B
ìa < -1
【解析】因为 S = x x < -1或 x > 5 ，T = x a < x < a + 8 ，且 S UT = R ，所以 í ，解得-3 < a < -1a 8 5 ， + >
即实数 a的取值范围为 -3, -1 .故选：B．
5．（2024 陕西）已知集合 A = x | x < -1或 x 3 ，B = x | ax +1 0 ，若B A，则实数 a的取值范围为（ ）
ì 1
A． ía | - a <1
ü ì 1 ü
B． ía | - a 1 C． a | a < -1或 a 0 ì 1 D． ía | - a < 0或0 < a <1
3 3 3
【答案】A
【解析】】当B = 时， ax +1 0无解，此时 a = 0，满足题意；
当B 时， ax +1 0有解，即 a 0，
ìa > 01
若 a > 0 ì ü，则B = íx∣x - ，所以要使B A

a ，需满足 í 1 ，解得
0 < a < 1；
- < -1 a
ìa < 01 1
若 a<0 B = ìx x - ü

，则 í∣ a ，所以要使
B A，需满足 í 1 ，解得- a < 0 .
- 3 3 a
ì 1 ü
综上，实数 a 的取值范围为 ía∣- a <1 .故选：A.
3
考点六 函数集合
【例 6】（2024·广东·一模）已知集合 A = x y = lg 3- x ，B = y y = -x2 + 6x ，则 AI B =（ ）
A． (- ,3] B． (- ,3) C．[0,3] D．[0,3)
【答案】D
【解析】由 A = x y = lg 3- x ，有3 - x > 0，即 x < 3，所以 A = - ,3 ；
由B = y y = -x2 + 6x -36令 t = -x2 + 6x ，根据二次函数的性质有 tmax = = 9，-4
所以 t - ,9 ，又因为 y = -x2 + 6x ，所以 y 0,3 ，B = 0,3 ；所以 AI B = [0,3) .故选：D
【一隅三反】
1．（2024·河南· A = x y = x2 2一模）集合 ，B = y y = x ，则 AI B =（ ）
A． B． 0 C． 0, + D．R
【答案】C
【解析】因函数 y = x2 的定义域为 R，值域为[0, + ) ，故 A = R ，B = [0,+ ) ，故 AI B = [0,+ ) .故选：C.
2．（2024·江西·二模）已知集合M = y y = lg x, x 1 , N = x y = 4 - x2 ，则M N =（ ）
A． 0,2 B． -2, + C． 1,2 D．[0,+ )
【答案】A
【解析】易知M = y y = lg x, x 1 = y y 0 ,因为 4 - x2 0，所以-2 x 2，故
N = x y = 4 - x2 = x -2 x 2 ，故M N = 0,2 .选：A.
3．（2023 2 2春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合 A = x y = ln x -1 ，B = y y = x - 4x - 5 ，则
AI B =（ ）
A． -1,1 B． 1, + C． -9, + D． -9, -1 1, +
【答案】D
【解析】要使函数 y = ln(x2 -1) 有意义，则有 x2 -1 > 0，解得 x >1或 x < -1，所以 A = {x∣x >1或 x < -1}，
由 y = x2 - 4x - 5 = (x - 2)2 - 9 -9，得B = y∣y -9 ，所以 AI B = -9, -1 U 1, + ．故选：D.
ì ln x - 6 ü ì x + 2 8x +1 1 5ü
4.（2024湖南）设集合 A＝ íx | y = ，集合 B＝ íy | y = ， x < .则 A B＝
x +1 4x 4 8
R

（ ）
6 25 63ù 27 A． ，4 ÷ B．
6， ú C． 6，è è 10 è 4 ÷
D．R

【答案】D
ìx - 6 > 0
【解析】由 í 得 x > 6，所以 A = (6, + )x 1 0 ， +
y (x + 2)(8x +1) 8x
2 +17x + 2 1 17 1 5 1 5
= = = 2x + + ， x < 时， 2x < ，
4x 4x 2x 4 4 8 2 4
t = 2x， t [
1 , 5) 1 1，由勾形函数知u = t + 在[ ,1]
5
上递减，在[1, )上递增，
2 4 t 2 4
1 5 5 41 5
t =1时，u = 2， t = 时，u = ， t = 时，u = ，所以u [2, ]，
2 2 4 20 2
y é25 27 ù é25所以 ê , ú，即B = ê ,
27 ù 25 27
ú ， RB = (- , ) U ( ,+ ) ，所以 A ( RB) = R4 4 4 4 ．故选：D． 4 4
考点七 点集
2
【例 7-1】（2024·陕西榆林·二模）若集合 A = x, y ∣y = x , B = x, y ∣y = x ，则（ ）
A．1 A B． A B = 1,1 C． -2,4 B D． A B = R
【答案】C
【解析】对 A：依题意可得1 A，故 A 错误；
对 B： A B 即为 y = x
ìy = x ìx = 0 ìx =1
与 y = x2 的交点，即 íy = x2 ，解得 íy 或= 0 í ，即
A B =
y 1 0,0 , 1,1 ，故 B 错误； =
对 C： -2,4 B，故 C 正确.对 D： A B R ，故 D 错误；故选：C.
【例 7-2】（2023·广东广州·模拟预测）已知集合 A = x, y ∣x - y +1 = 0 , B = x, y ∣x2 + y2 =1 ，则集合 A B 的
子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】集合 B 中圆的半径为 1，圆心 0,0 A d 1 2到集合 中直线的距离 = = <1，
2 2
所以直线与圆相交，有两个交点，所以集合 A B 中有两个元素，其子集个数为 4.故选：A.
【例 7-3】（2024 湖北黄冈）已知集合 A = x, y x + ay - a = 0 ， B = x, y ax + 2a + 3 y -1 = 0 .若 AI B = ，
则实数a = （ ）
A．3 B． -1 C．3或 -1 D．-3或 1
【答案】A
【解析】因为 AI B = ，所以直线 x + ay - a = 0与直线 ax + 2a + 3 y -1 = 0没有交点，
所以直线 x + ay - a = 0与直线 ax + 2a + 3 y -1 = 0互相平行，
所以1 2a + 3 - a a = 0，解得 a = -1或 a = 3，
当 a = -1时，两直线为： x - y +1 = 0 ，-x + y -1 = 0 ，此时两直线重合，不满足，
当 a = 3时，两直线为： x + 3y - 3 = 0 ，3x + 9y -1 = 0，此时两直线平行，满足，所以 a的值为3，故选：A.
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知集合 A = x, y 3x - y = 0 ，B = x, y x + my +1 = 0 .若 AI B = ，则实数m =
（ ）
1 1
A．-3 B．- C． D．3
3 3
【答案】B
【解析】因为 AI B = ，所以直线3x - y = 0 与直线 x + my +1 = 0平行，
3 m - (-1) 1 = 0 m 1 1所以 所以 = - . 经检验，当m = - 时，两直线平行.故选：B.
3 3
2（2024·上海）已知 a,b 1,2,3,4 ， a,b x, y ∣y2 = x ，则 a - b = （ ）
A．0 B．2 C．-2 D．0 或 2
【答案】B
【解析】当 a =1时，由 a,b x, y∣ y2 = x 知，b2 = 1，又b 1,2,3,4 ，所以b =1，不满足集合元素的互异性；
当 a = 2时，由 a,b x, y ∣y2 = x 知，b2 = 2，又b 1,2,3,4 ，无解；
当 a = 3时，由 a,b x, y ∣y2 = x 知，b2 = 3，又b 1,2,3,4 ，无解；
当 a = 4时，由 a,b x, y ∣y2 = x 知，b2 = 4，又b 1,2,3,4 ，所以b = 2 ，所以 a - b = 2；
综上，则 a - b = 2.故选：B
3 2023· · A = x, y y = x2（ 安徽合肥 三模）已知集合 ，集合B = x, y y =1- x ，则集合 A B 的真子集个数为
（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
ì y = x2 2
【解析】联立 í 可得 x + x -1 = 0，因为 x 0 5 -1y 1 x ，解得 ， = -
x =
2
ì
x 5 -1
ì 1- 5
ì y = x2
= x =
2 2 ì 5 -1 3- 5 1- 5 3 - 5 ü
所以，方程组 í AI B = , , ,
y =1- x
的解为 í 或 í ，所以， í 2 2 ÷÷ ÷
，
y 3- 5 y 3- 5= =
÷
è è 2 2
2 2
所以，集合 A B 的真子集个数为22 -1 = 3 .故选：C.
4．（2024· 2 2内蒙古通辽）已知集合M = (x, y) | x + y 2, x Z, y Z ，则集合M 的真子集的个数为（ ）
A． 29 -1 B． 28 -1 C． 25 D． 24 +1
【答案】A
【解析】集合M = (x, y) | x2 + y2 2, x Z, y Z = (-1,0), (-1,1), (-1, -1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1, -1), (1,0)，(1,1) ，
所以集合M 中的元素个数为 9，故其真子集的个数为 29 -1个，故选: A
5．（2024·河南新乡·二模）（多选）已知 m R ，集合 A = x, y mx + y -1 = 0 ， B = x, y 2mx + 2y - 9 = 0 ，
C = x, y x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 ，D = x, y x2 + y2 - 2x = 0 ，则下列结论一定成立的是（ ）
A． A B = B． A C C．B IC = D．C D =
【答案】AB
【解析】 A = x, y mx + y -1 = 0 表示过定点 0,1 ,且斜率为-m的直线的点构成的集合，
B 9= x, y 2mx + 2y - 9 = 0 表示过定点 0, ÷ 且斜率为-m的直线的点构成的集合，
è 2
C = x, y x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 表示圆心为 -1,2 ，半径为 r = 2的圆上的点构成的集合，
D = x, y x2 + y2 - 2x = 0 表示圆心为 1,0 ，半径为 r0 =1的圆上的点构成的集合，
对于 A，集合 A, B中的直线平行，故 A B = ，故 A 正确，
对于 B，由于02 +1+ 0 - 4 +1 < 0，故 0,1 在圆 x2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 内，
故经过点 0,1 的直线与圆相交， A C ，故 B 正确，
2
对于 C，由于02 9 9
9
+ ÷ + 0 - 4 +1 > 0，故 0, ÷ 在圆 x
2 + y2 + 2x - 4y +1 = 0 外，
è 2 2 è 2
9
故当经过点 0, ÷ 的直线与圆相离时，此时 A C = ，故 C 错误，
è 2
对于 D，由于 -1-1 2 + 22 = 2 2 r - r0 , r + r0 ，故两圆相交，C D ，D 错误，故选：AB
考点八 集合与其他知识综合
【例 8-1】（2023·全国·高考真题）已知等差数列 an
2p
的公差为 ，集合 S = cosan n N* ，若 S = a,b ，则 ab =3
（ ）
1
A 1．－1 B．- C．0 D．
2 2
【答案】B
2π 2π 2π
【解析】依题意，等差数列{an}中， an = a1 + (n -1) × = n + (a1 - )，3 3 3
2π 2π
显 然 函 数 y = cos[ n + (a1 - )]的 周 期 为 3 ， 而 n N* ， 即 cos an 最 多 3 个 不 同 取 值 ， 又3 3
{cos an | n N
*} = {a,b}，
则在 cos a1, cos a2 , cos a3中， cos a1 = cos a2 cos a3 或 cos a1 cos a2 = cos a3 ，
于是有 cosq cos(q
2π) q (q 2π= + ，即有 + + ) = 2kπ,k Z
π
，解得q = kπ - , k Z，
3 3 3
π
所以 k Z， ab = cos(kπ - ) cos[(kπ
π
- ) 4π+ ] = -cos(kπ π- ) cos kπ = -cos2 kπ cos π 1= - .
3 3 3 3 3 2
故选：B
【例 8-2】（2024 河南信阳）点集W = x, y | x + y -1 y - 1- x2 = 0 表示的曲线总长度等于（ ）
A． 2π + 2 2 B． π + 4 C． π + 2 2 D．+
【答案】C
【解析】由题意可知：1- x2 0，解得-1 x 1，
因为 x + y -1 y - 1- x2 = 0，则 x + y -1 = 0 或 y - 1- x2 = 0 ，
若 x + y -1 = 0 ，且-1 x 1，表示以 -1,2 , 1,0 为端点的线段，
2
此时表示的曲线总长度为 -1-1 + 2 - 0 2 = 2 2 ；
若 y - 1 2 2- x2 = 0 ，整理得 x + y =1 y 0 ，表示以O 0,0 为圆心，半径为 1 的上半圆，
1
此时表示的曲线总长度为 2π 1 = π ；
2
综上所述：点集W表示的曲线总长度等于 π + 2 2 .故选：C.
【一隅三反】
ì nπ
1．（2024·河南开封·二模）已知集合 A = íx | x = sin , n Z
ü
，B = 0,1 则下列命题正确的是（ ）
2


A． A = B B．B A C． A B = 0, -1 D． AB = 1
【答案】B
ì
【解析】因为 A = íx | x = sin
nπ , n Zü ，所以 A = -1,0,1 ，B = 0,1 对 A： A B，故错误；
2
对 B：B A，故正确；对 C： AI B = 0,1 ，故错误；对 D： AB = -1 ，故错误；故选：B
2．（2024 高三· 2 2全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点集 A = x, y x + y 1 ，则点集
P = x, y x = x1 + 3, y = y1 +1, x1 , y1 A 所表示的区域的面积为 ．
【答案】 π
【解析】由 x = x1 + 3, y = y1 +1可得 x - 3 = x1, y -1 = y1，
因为 x1 , y1 A，所以 x - 3 2 + y -1 2 1，
即点集 P 所表示的区域是以 3,1 为圆心，半径为 1 的圆及其内部，其面积为 π .
故答案为： π
ì 1+ i 2 ü
3（2024广西）已知 i是虚数单位，集合M = Z （整数集）和 N
i, i2 ,1 , = í 的关系韦恩图如图所示，则阴
i i
影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷个
【答案】B
2 1+ i 2 1+ 2i + i2 2i N ìi, 1,1 ü【解析】因为 i = -1， = = = 2 ，所以集合 = í - , 2 ，
i i i i
因为阴影部分所示的集合为M N ，M = Z ，
所以M N = -1,2 ，阴影部分所示的集合的元素共有 2个，故选 B．
4（2024北京）已知函数 g x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < p 的部分图象如图所示，将函数 g x 的图象向右平
p ì 35p ü
移 个单位长度，得到函数 f x 的图象，若集合 A = íx y = f x - f ÷ ，集合B = 0,1,2 6 ，则 AI B =
è 12
______．
【答案】 0
【解析】由图可知 g x 5p p 周期T = 2 + ÷=p 2p12 12 ，∴w = = 2．è T
g π- = 2 2 p p由 ÷ 得 -

÷ +j = + 2kp
2p
，∴j = + 2kp ， k Z ，
è 12 è 12 2 3
∵0 < j < p
2p
，∴k 取 0，j = ，
3
∴ g x = 2sin 2x 2p+ ÷，
è 3
f x é p 2p ù p∴ = 2sin ê2

x -

6 ÷
+ ú = 2sin3
2x + ÷ ，
è è 3
f 35p ∴ = 2sin
2 35p p 2sin 6p p p + = - + =1．
è 12 ÷ 12 3 ÷ 6 3 ÷ è è
∴ f x 35p p 1 p p 5p- f ÷ 0 sin

12
2x + ÷ 2kp + 2x + 2kp + ， k Z ，
è è 3 2 6 3 6
ì
∴ A = íx kp
p
- x kp p+ ,k Zü ，∴ A B = 0 ．
12 4
故答案为： 0 ﹒
考点九 集合的新定义
【例 9-1】（2024 河北）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合 A 和 B 是全集 U
的子集，且无公共元素，则称集合 A, B互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
U = x∣1 < log2 (x +1) 3, x N , A = x∣x2 - 7x +10 < 0, x N ，则集合 A 关于集合 U 的正交集合 B 的个数为
（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】结合题意：因为1< log2 (x +1) 3，所以 log2 2 < log2 (x +1) log2 8，
解得 2 < x +1 8，即1< x 7，
所以全集U = x∣1 < log2 (x +1) 3, x N = 2,3,4,5,6,7 ，
由 x2 - 7x +10 < 0可得 2 < x < 5，所以 A = x∣x2 - 7x +10 < 0, x N = 3,4 ，
则集合 A 关于集合 U 的正交集合 B 的个数为24 = 16 .
故选：B.
【例 9-2】（2023·全国·模拟预测）定义：若集合 A, B满足 A B ，存在 a A且 a B ，且存在b B且
b A，则称集合 A, B x为嵌套集合．已知集合 A = x 2 - x2 0 x R+ B = x x2且 ， - (3a +1)x + 2a2 + 2a < 0 ，
若集合 A, B为嵌套集合，则实数 a的取值范围为（ ）
A． (2,3) B． (- ,1) C． (1,3) D． (1, 2)
【答案】A
【解析】因为 A B ，所有 A , B ，由 2x - x2 0，得2x x2，如图，作出函数 y = x2 , y = 2x 的图象，
x
由图可知，不等式 2 - x2 0 x > 0 的解集为 2,4 ，所以 A = x 2x - x2 0 +且 x R = 2,4 ，
由 x2 - (3a +1)x + 2a2 + 2a < 0 ，得 x - 2a é x - a +1 ù < 0 ，
当 2a = a +1，即 a =1时，则B = ，不符题意；
ìa >1
当 2a

> a +1，即 a > 1时，则B = a +1,2a ，由 a > 1，得 a +1 > 2 ，根据嵌套集合得定义可得 ía +1< 4 ，解得 2 < a < 3；

2a > 4
ìa <1

当 2a < a +1，即a < 1时，则B = 2a, a +1 ，由a < 1，得 2a < 2，根据嵌套集合得定义可得 ía +1< 4 ，无解，

a +1 > 2
综上所述，实数 a的取值范围为 2,3 .故选：A.
【一隅三反】
ì 0, x = 0
sgn x = ì
3 ü
1．（2024·河南·模拟预测）定义 í x , x A = y | y = sgn x 0 ，若集合 í i ，则 A 中元素的个数为（ ） x i=1
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】由题知 y 的可能取值有-3，-2， -1，0，1，2，3，则集合 A 中有 7 个元素.
故选：B.
2．（2024 广东佛山 ）（多选）设 P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意 a,b P ，都有
a + b, a - b, ab P a，且若b 0 ，则 P，则称 P 是一个数域．例如，有理数集 Q 是数域．下列命题正确的是
b
（ ）
A．数域必含有 0，1 两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q M ，则数集 M 一定是数域
D．数域中有无限多个元素
【答案】AD
【解析】因为 P 是一个数集，且至少含有两个数，可知 P 中必有一个非零实数，
a
对于选项 A：当a = b 0时， a - b = 0、 = 1 P ，故 A 正确；
b
1
对于选项 B：例如 a =1，b = 2 ，但 Z，不满足条件，故 B 错误；
2
对于选项 C：例如M = Q 2 ，取 a =1，b = 2 ，但1+ 2 M ，所以数集 M 不是一个数域，故 C 错误；
对于选项 D：由选项 A 可知：数域必含有 0，1 两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有0,1,2,3, × × ×，必为无限集，故可知 D 正确．故选：AD.
3.（2024· *黑龙江哈尔滨·一模）设 Nm = {1,2,L,m}
*
表示不超过m m N 的正整数集合， Ak 表示 k 个元素的有限
集， S(A) *表示集合 A 中所有元素的和，集合Tm,k = S Ak Ak Nm ，则T3,2 = ；若 S Tm,3 2024 ，则 m
的最大值为 ．
【答案】 {3,4,5} 22
【解析】当m = 3,k = 2时， A2表示有 2 N *个元素的集合， 3 = {1,2,3}，
因为 A2 N
*
3 ，且 A2有 2 个元素，所以 A2 = 1,2 或 1,3 或 2,3 ，所以T3,2 = {3,4,5}；
由 题 中 定 义 可 知 ： Tm,3 = 6,7,8,L,3m - 3 ， 于 是 由
6 + 3m - 3 3m - 3 - 5S Tm,3 2024 2024 9m2 -15m - 4072 0 5 - 16313 m 5 + 16313 ，2 6 6
而 16129 < 16313 < 16384 127 < 16313 128 5 + 16313< ，即 22.2，又因为m N* ，所以 m 的最大值为
6
22，
故答案为：{3,4,5}； 22
一．单选题
1．（2023· 2全国·高考真题）已知集合M = -2, -1,0,1,2 ， N = x x - x - 6 0 ，则M N =（ ）
A． -2, -1,0,1 B． 0,1,2 C． -2 D． 2
【答案】C
2
【解析】方法一：因为 N = x x - x - 6 0 = - , -2 3, + ，而M = -2, -1,0,1,2 ，所以M N = -2 ．
故选：C．
方法二：因为M = -2, -1,0,1,2 ，将-2, -1,0,1,2代入不等式 x2 - x - 6 0 ，只有-2使不等式成立，所以
M N = -2 ．故选：C．
2 2．（2024·全国·一模）已知集合 A = 0,1,2 ，B = x y = lg -x + 3x ，则 A B 子集的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由-x2 + 3x > 0，得 x x - 3 < 0，解得0 < x < 3，所以B = x | 0 < x < 3 ，所以 AI B = 1,2 ，
所以 A B 子集的个数为 22 = 4 .故选：D
3．（2024·江苏·一模）已知全集 U 与集合 A，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． AI U B B． AU U B C．B U A D． B U U A
【答案】A
【解析】观察韦恩图知，阴影部分在集合 A 中，不在集合 B 中，所以所求集合为 AI U B .故选：A
4．（2024· 2河南·模拟预测）已知集合 A = y∣y = x +1 , B = x∣x2 < 2x ，则 AI B =（ ）
A． B．{x∣1< x < 2} C．{x∣1 x < 2} D．{x∣x -1或1 x < 2}
【答案】C
【解析】因为 A = y∣y = x2 +1 = y∣y 1 = y∣y -1或 y 1 ，B = x∣x2 < 2x = x∣0 < x < 2 ，
所以 AI B = {x∣1 x < 2} .故选：C.
5．（2024· 2广东广州·模拟预测）已知集合 A = x Z x - 2x -15 < 0 ，B = x R x -1 0 ，则 AI ( R B) 的真子集
的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【解析】由题意 A = x Z x2 - 2x -15 < 0 = x Z (x + 3)(x - 5) < 0 = x Z -3 < x < 5 = {- 2,-1,0,1,2,3,4}，
B = x R x -1 0 = {x | x 1}，故 R B = {x | x >1}，故 AI ( R B) = {2,3, 4}，则 AI ( R B) 的真子集的个数为
23 -1 = 7 ，故选：C
6．（2024 辽宁沈阳）已知集合M 满足 2,3 M 1,2,3,4,5 ，那么这样的集合 M 的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】因为 2,3 M 1,2,3,4,5 ，所以集合M 可以为： 2,3 , 1,2,3 , 2,3,4 , 2,3,5 , 1,2,3,5 ，
1,2,3,4 , 2,3,4,5 , 1,2,3,4,5 共 8 个，故选：C.
7．（2024 河南濮阳）已知集合 A = x, y | y = x x +1 x -1 , B = x, y | y = 0 ，则集合 A B 的子集个数为
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由已知集合 A = x, y | y = x x +1 x -1 , B = x, y | y = 0 ，
联立 y = x x +1 x -1 和 y = 0 ，可得 x = 0或 x=-1或 x =1，则 AI B = {(0,0), (-1,0), (1,0)}，
故集合 A B 的子集个数为 23 = 8 个，故选：D
8．（2023· 2湖北武汉·模拟预测）已知集合 A = x x 1 ，B = x x -1 < a ，若 A B 中有且仅有三个整数，则正
数 a 的取值范围是（ ）
A． 0 < a < 1 B．0 < a 1 C． a > 1 D． a 2
【答案】B
【解析】由题意可得 A = x -1 x 1 ，B = x 1- a < x <1+ a ，
若 A B 中有且仅有三个整数，则只能是-1,0,1，
故-2 1- a <1+ a 2，解得0 < a 1，故选：B．
二．多选题
2
9．（2024山东）已知集合 A = x∣ax + 2x + a = 0,a R ，若集合 A 有且仅有 2个子集，则 a 的取值有
（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【解析】因为集合A 仅有 2个子集，所以集合A 中仅有一个元素，
当 a = 0时， 2x = 0，所以 x = 0，所以 A = 0 ，满足要求；
当 a 0时，因为集合A 中仅有一个元素，所以D = 4 - 4a2 = 0，所以 a = ±1，此时 A = 1 或 A = -1 ，满足要求，
故选：BCD.
x
10（2024·全国·模拟预测）非空集合 A 具有如下性质：①若 x, y A，则 A；②若 x, y A，则 x + y Ay 下列
判断中，正确的有（ ）
2022
A．-1 A B． A
2023
C．若 x, y A，则 xy A D．若 x, y A，则 x - y A
【答案】ABC
x
【解析】对于 A，假设-1 A，则令 x = y = -1，则 =1 Ay ，
令 x = -1, y =1，则 x + y = 0 A，
x
令 x =1, y = 0，不存在 ，即 y 0y ，矛盾，
∴ -1 A，故 A 对；
对于 B，由题，1 A，则1+1 = 2 A, 2 +1 = 3 A,L, 2022 A, 2023 A,
2022
∴ A，故 B 对；
2023
1
对于 C，∵1 A， x A，\ A，
x
y A, 1 y A,\
∵ x 1
= xy A,
故 C 对；
x
对于 D，∵1 A，2 A，若 x =1, y = 2，则 x - y = -1 A，故 D 错误．
故选：ABC．
12
11．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 A = {x | N, x N}, B = {x | x2 - 6x < 7}，则（ ）
x +1
A． A B = 1,2,3,5 B． A B = -1,7 11
C．12 x - y∣x A, y B D．$a A, y∣y = lg x2 - ax + 9 = R
【答案】BCD
12
【解析】由题意得 A = {x | N, x N} = {0,1,2,3,5,11}, B = {x | x2 - 6x < 7} = (-1,7) ，
x +1
故 A B = 0,1,2,3,5 ， A B = -1,7 11 ，A 错误，B 正确；
由于 x A, y B，故 x - y <11- (-1) =12，则12 x - y∣x A, y B ，C 正确；
2
若 y∣y = lg x - ax + 9 = R ，则 x2 - ax + 9能取到所有的正数，
即 a2 - 36 0，则 a 6或 a -6，
$a A, y∣y = lg x2即 - ax + 9 = R ，D 正确，
故选：BCD
三．填空题
12．（2024·山东青岛·一模）已知集合 A = -1,0,1 ，B = y | y = 2x, x A ，则 A B 的所有元素之和为 ．
【答案】0
【解析】由题知，B = -2,0,2 ，所以 A B = -2, -1,0,1,2 ，所以 A B 的所有元素之和为-2 -1+ 0 +1+ 2 = 0 .
故答案为：0
2 2
13．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合 A = x, y x - y =1 ，B = x, y x - 2 + y + 3 = 9 ，则 A B 的子
集个数为 .
【答案】4
2 2
【解析】集合A 表示直线 x - y =1上点的集合，集合 B 表示圆 x - 2 + y + 3 = 9上点的集合.
圆 x - 2 2 + y + 3 2 = 9的圆心坐标为 2, -3 ，半径为 3，点 2, -3 到直线 x - y =1的距离为
2 + 3 -1
= 2 2 < 3
2 ,1 + -1 2
x - y =1 x - 2 2 + y + 3 2所以直线 与圆 = 9相交，所以 A B 共有 2 个元素，所以 A B 的子集个数为 22 = 4 .
故答案为：4.
ì
14．（2024 上海·阶段练习）已知 n N*，集合 A = ísin
kπ | k N,0 k nü ，若集合 A 恰有 8 个子集，则 n 的可
n
能值的集合为
【答案】 4,5
sin0,sin π ,sin 2π nπ【解析】由题意易知， ,L,sin ，均是集合A 中的元素，
n n n
又集合A 恰有 8 个子集，故集合A 有且只有三个元素，则 n 3，
又 sin0 = sin
nπ
= sin π = 0，
n
π
当 n = 3时， sin = sin
2π
，此时集合A 只有两个元素，不满足题意；
3 3
当 n = 4时， sin π = sin 3π 2= ,sin 2π = sin π =1，
4 4 2 4 2
此时集合A 有且只有三个元素，满足题意；
sin π sin 4π当 n = 5时， = sin
2π
= sin 3π ，
5 5 5 5
此时集合A 有且只有三个元素，满足题意；
当 n 5时，易知集合A 中不只三个元素，不满足题意；
综上， n可取的值是 4 或 5，即 n 的可能值的集合为 4,5 .
故答案为： 4,5 .
四．解答题
15（2024 2北京东城·期末）已知集合 A = x x + 8x +15 0 ，B = x 3m - 2 < x < 2m + 2 .
(1)若 A B = B ，求实数m 的取值范围；
(2)若 A B ，求实数m 的取值范围；
(3)若将题干中的集合 B 改为 B = x 2m +1 x 3m - 2 ，是否有可能使命题 p ：“ "x A，都有 x B ”为真命题，
请说明理由.
5
【答案】(1) - < m < -1
2
1 7 5
(2) -1 m < - 或- < m -
3 2 2
(3)不可能，理由见解析
【解析】（1）若 A B = B ，则 A B ，
2
又 A = x x + 8x +15 0 = x -5 x -3 ，B = x 3m - 2 < x < 2m + 2
ì3m - 2 < -5
所以 í
2m
，
+ 2 > -3
5
解得- < m < -1；
2
（2）因为 A B ，
ì-5 3m - 2 < -3 ì-5 < 2m + 2 -3
所以 í
3m
或 ，
- 2 < 2m + 2 í 3m - 2 < 2m + 2
解得-1
1 7 5
m < - 或- < m - ；
3 2 2
（3）若B = x 2m +1 x 3m - 2 ， A = x -5 x -3 ，
对"x A，都有 x B ，则 A B ，
ì2m +1 -5
所以 í3m 2 3，该不等式无解， - -
故命题 p ：“ "x A，都有 x B ”为真命题不可能.
16．（2023 2北京）已知函数 f x = lg x + ax + b 的定义域为集合A ，又集合
B = x x2 - 3mx + 2m2 - m -1< 0 ,U = R，且 U A B = B, U A B = x -2 x 5 .
(1)试确定 a,b的值；
(2)求参数m 的取值范围.
【答案】(1) a = -3,b = -10
(2) m m = -2或-1 m 2
2
【解析】（1）由已知得集合 A = x x + ax + b > 0 ，集合B = x (x - m +1)(x - 2m -1) < 0 ，
因为 ( U A) B = B ， ( U A) B = x -2 x 5 ，
所以 U A = x -2 x 5 ， A = x x < -2或 x > 5 ，
ì-2 + 5 = -a
且 A = x x2 + ax + b > 0 ，则 í ，
-2 5 = b
故 a = -3,b = -10 .
（2）由题可知B U A = x -2 x 5 .
①当m = -2时，B = U A；
②当m < -2时， (2m +1) - (m -1) = 2 + m < 0，
所以B = (2m +1, m -1)，因为 B U A，
ì2m +1 -2 3
所以 í , - m 6,与m < -2m 1 5 矛盾，不合题意； - 2
③当m > -2时，B = (m -1,2m +1)，因此要 B U A，
ìm -1 -2
只需 í , -1 m 22m 1 5 ，满足题意
.
+
综上所述，可知m 的取值范围为 m m = -2或-1 m 2 .
ì 1 ü ì log x - 4 ü
17 2024 · 2x 3

．（ 辽宁 阶段练习）已知集合M = íx 2 256 , N = x 4 .
16
í 4 log3 2
(1)求M N ；
x
(2)若对任意的 x M N ,a +1 > a-1 × 1 ÷ 恒成立，求 a的取值范围.
è 2
【答案】(1) é -2,4 6,+

1,0 17 -1

(2) - , + 2 ÷÷è
ì 1 2x ü -4 2x 8
【解析】（1）因为M = íx 2 256 = x 2 2 2 = x -4 2x 8 = x -2 x 4 ，
16
log3 x - 4 log3 x - 4 4 log3 x - 44 由 ，得 1 ，所以 1，
log 43 2 log 24 log3 3 2
即 log2 x - 4 1 = log2 2，解得 x 6 ，所以 N = x∣x 6 ，
所以M N = x -2 x 4 x x 6 = é-2,4 6, + .
x x
2 x M N 1 1 1 ù é 1 ù（ ）当 时，因为 y = ÷ 单调递减，所以 ÷ 0, , 4 ，
è 2 è 2 è 64 ú ê 16 ú
1 x
因为对任意的 ÷ 恒成立，
x M N ,a +1 > è 2
a
1
x

所以当 a > 0时，则 a a +1 > 2 ÷ 恒成立，即 a a +1 > 4 ，即 a + a - 4 > 0 ，
è 2
a > 0 a 17 -1因为 ，所以解得 > ；
2
x
当 a < 0 1 时，则 a a +1 < ÷ 恒成立，即a a +1 0，
è 2
因为 a < 0，所以解得-1 a < 0 .

综上， a的取值范围是 -1,0 17 -1 , + ÷÷ .
è 2
18．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）集合 A = x x = 2a + 2b + 2c ,0 a < b < c, a,b,c N ，将集合 A 中的元素按由
小到大的顺序排列成数列 an ，即 a1 = 7， a2 =11，数列 an 的前 n 项和为 Sn ．
(1)求a3， a4， a5 ；
(2)判断 672，2024 是否是 an 中的项；
(3)求a120 ， S35．
【答案】(1) a3 = 13， a4 =14， a5 = 19
(2)672 是数列 an 的项，2024 不是 an 中的项
(3) a120 = 896， S35 =1905
【解析】（1） a3 = 2
3 + 22 + 20 =13，
a = 23 + 22 + 214 =14，
a 4 15 = 2 + 2 + 2
0 =19．
（2）672 = 512 +160 = 512 +128 + 32 = 29 + 27 + 25 ，
故672 A，则 672 是数列 an 的项；
2024 =1024 +1000 =1024 + 512 + 488 = 210 + 29 + 488 > 210 + 29 + 28 ．
令 ak = 2
10 + 29 + 28，则 ak +1 = 2
11 + 21 + 20 = 2051，故 ak < 2024 < ak +1，
故 2024 不是 an 中的项．
（3）当 c = 2时在集合 A C2中有 2 个元素，
当 c = 3 2时在集合 A 中有C3 个元素，
……
c = n A C2当 时在集合 中有 n 个元素，
2 2 2 3 n +1 n n -1 则集合 A 一共有C2 + C3 +L+ Cn = Cn+1 = 个元素， 6
a n +1 n n -1 故 n 有 项，6
当 c = n 2时在集合 A 中的Cn 个元素中最小的元素是 2n + 21 + 20 ，
最大元素是 2n + 2n-1 + 2n-2 （ n 2），
故 c = n的元素在 a n n-1 n-2n 中最大项是 2 + 2 + 2 （ n 2），最小项是 2n + 21 + 20 ；
10 9 8
令n = 9 ，则 an 共有 =120项， 6
则a120 恰好是 c = 9的元素在 an 中的最大项，
a 9 8 7则 120 = 2 + 2 + 2 = 896；
n 7 6 5令 = 6，则一共有 = 35项，
6
记Tn 表示集合 A 中 c = n的元素之和，则 S35 = T2 +T3 +L+T6 ，
2
因为集合 A 中 c = n的元素有Cn 个，
2
这些元素中含2n 的个数是C ，含 20 , 21,L, 2n-1n 的个数都是 n -1，
故Tn = 2
n C2n + 2n-1 +L+ 21 + 20 n -1 ，则：
T = 22 C2 + 212 2 + 20 2 -1 = 7，
T = 23 C23 3 + 22 + 21 + 20 3-1 = 3 8 + 2 7 = 38，
T4 = 2
4 C2 3 2 14 + 2 + 2 + 2 + 20 4 -1 =16 6 + 3 15 =141，
T5 = 2
5 C25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 5 -1 = 320 + 4 31 = 444 ，
T = 26 C2 + 25 + 24 + 23 2 1 06 6 + 2 + 2 + 2 6 -1 = 960 + 5 63 =1275，
故 S35 = T2 +T3 +L+T6 = 7 + 38 +141+ 444 +1275 =1905．
故 a120 = 896， S35 =1905．
19．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组 x, y 表示，在三维空间中点的坐标
可用三个有序数组 x, y, z 表示，一般地在 n n 2, n N 维空间中点 A 的坐标可用 n 个有序数组 a1 ,a2 , × × ×,an 表
n
示，并定义 n 维空间中两点 A a1, a2 , × × ×, an ，B b1,b2 , × × ×,bn 间的“距离” d AB = ai - bi ．
i=1
A 1, 1(1)若 ,
1 , 1 1 1 1× × ×,
2 3 n ÷ ，
B , , × × ×, ÷，求 d AB ；
è è 2 3 n +1
(2)设集合U7 = a1,a2 , × × ×, a7 | ai 0,1 , i =1,2, × × ×,7 ．元素个数为2的集合M为U 7 的子集，且满足对于任意 A U7，
都存在唯一的B M 使得 d AB 3，则称 M 为“U 7 的优集”．证明：“U 7 的优集”M 存在，且 M 中两不同点的“距
离”是 7．
【答案】(1) d AB n= ；
n +1
(2)证明见解析.
1 1 1 1 1
【解析】（1）解：因为 a a - b = > 0i = ，bi i
= ， i i ，则 a - b
i +1 i i +1 i i = ai - bi = - ，i i +1
n n
所以 d AB a 1 1 1 n= i - bi = - ÷ =1- = .
i=1 i=1 è i i +1 n +1 n +1
（2）证明：定义：对任意B = b1,b2 , × × ×,b7 U7 ，规定B = 1- b1,1- b2 × ××,1- b7 ，
对任意 A a1,a2 , × × ×,a7 U7 ，B = b1,b2 , × × ×,b7 U7 ，
由于 ai ，bi 0,1 ， i =1,2, × × ×,7 ，容易得 ai - bi + 1- ai - bi =1，
所以 d AB + d AB = 7 ，得结论："A, B U7 ， d AB + d AB = 7 ，
构造M = B, B 有 2 个元素，由 d AB 为整数，
当 d AB 3时，则满足 M 为“U 7 的优集”的定义，
当 d AB > 3时，则 d AB 3，满足 M 为“U 7 的优集”的定义，
所以存在M = B, B 为“U 7 的优集”，
若 M 中的两个点M1 ，M 2 有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设M1 = a1,a2 , × × ×,a7 ，M 2 = a1,b2 , × × ×,b7 ，
则取 A = a1,a2 ,a3 ,b4 ,b5 ,b6 ,b7 U7 ，则有 d AM1 3， d AM 2 3，显然矛盾，
所以 M 中的两个点每一个位置均不同，即M = B, B ，显然 d BB = 7，
即“U 7 的优集”M 存在，且 M 中两不同点的“距离”是 7 .

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