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1.3 不等式性质与三个一元二次
一元二次方程根的分布
设方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为 x1，x2，且 x1程的根即为二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条
件)．
（1）两根与 0 的大小比较即根的正负情况
两个负根即两根都小于 两个正根即两根都大于 一正根一负根即一个根小
分布情况
0(x1<0，x2<0) 0(x1>0，x2>0) 于 0，一个根大于 0(x1<0大致图象(a>0)
Δ > 0， Δ > 0，
b b
得出的结论 {－ < 0， － > 0， f(0)<02a { 2af（0） > 0 f（0） > 0
大致图象(a<0)
Δ > 0， Δ > 0，
b b
得出的结论 {－ < 0， － > 0， f(0)>02a 2af（0） < 0 {f（0） < 0
Δ > 0， Δ > 0，
综合结论(不讨论 a) { b b－ < 0， － > 0， a·f(0)<02a 2aa·f（0） > 0 {a·f（0） > 0
（2）两根与 k 的大小比较
两根都小于 k 即 x1分布情况 两根都大于 k 即 x1>k，x2>k
x2大致图象(a>0)
Δ > 0， Δ > 0，
b
得出的结论 {－ < k，2af（k） > 0 { b f(k)<0－ > k，2af（k） > 0
大致图象(a<0)
Δ > 0， Δ > 0，
{ b b f(k)>0得出的结论 － < k， {－ > k，2a 2af（k） < 0 f（k） < 0
Δ > 0， Δ > 0，
综合结论 (不讨 b b
－ < k， － > k， a·f(k)<0
论 a) { 2a { 2aa·f（k） > 0 a·f（k） > 0
（3）根在区间上的分布
两根有且仅有一根在
一根在(m，n)内，另一根 两根分别在区间(m，n)外，
分布情况 两根都在(m，n)内 (m，n)内(图象有两种
在(p，q)内，mn
情况，只画了一种)
大致图象(a>0)
f（m） > 0，
Δ > 0， {f（n） < 0，{f（m） > 0， f（p） < 0 或，得出的结论 f（n） > 0， f(m)·f(n)<0 f（m） < 0，f（q） > 0b {f（n） < 0；m < － < n2a {f（m）f（n） < 0，f（p）f（q） < 0
大致图象(a<0)
f（m） < 0，
Δ > 0， f（n） > 0，
{f（m） < 0， f 或（p） > 0，得出的结论 f（n） < 0， f(m)·f(n)<0 { {f（m） > 0，f（q） < 0b f（n） > 0.m < － < n2a {f（m）f（n） < 0，f（p）f（q） < 0
综合结论(不讨
__________ f(m)·f(n)<0 f（m）f（n） < 0，
论 a) {f（p）f（q） < 0
考点一 比较数（式）大小
【例 1-1】（2024 湖南长沙）已知 a = log3 2 ，b = log4 3 c = log 4， 5 ，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > b > a D． a > c > b
【答案】C
ln2 3 ln 2 + ln 4
2
-
【解析】
b a log 3 log 2 ln 3 ln 2 ln
2 3 - ln 2 ln 4 ÷ ln2 9 - ln2 8
- = 4 - 3 = - = >
è 2 = > 0
ln 4 ln 3 ln 3ln 4 ln 3ln 4 ln 3ln 4
2
ln2 4 - ln 3 + ln 5 2 ÷ 2 2
c - b = log5 4 - log 3
ln 4 ln 3 ln 4 - ln 3ln 5 è 2 ln 16 - ln 15
4 = - = > = > 0ln 5 ln 4 ln 5ln 4 ln 5ln 4 ln 5ln 4
所以 c > b > a .
故选：C.
【例 1-2】（2024 辽宁丹东）（多选）下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． 24.1 > 4.12 B． 23.9 > 3.92
4
C． > log3 4 D． log4 5 > log3 43
【答案】AC
【解析】对于选项 A,B:由指数函数 y = 2x 与幂函数 y = x2 可知：
当 x 4, + 时，有 2x > x2 ，因为 4.1 4, + ，所以 24.1 > 4.12 ,故选项 A 正确；
当 x 2,4 时，有2x < x2，因为3.9 2,4 ，所以 23.9 < 3.92 ,故选项 B 错误；
4 4
对于选项 C: 4要判断 = log3 33 与 log3 4的大小，只需比较33 , 4的大小，3
3
4 4 4
因为 33 ÷ = 81 > 43 ，所以33 > 4，即 > log 4 ,故选项 C 正确;
è 3
3
对于选项 D:因为 log4 5, log3 4 > 0，
log 5 lg5 lg3 1 lg3+ lg5 2
2 2
4 lg3 + lg5 lg15 所以 = < =
log 4 lg 4 lg 4 lg2 4 2 ÷
=
2lg 4 ÷ ÷
<1,
3 è è è lg16
log4 5
所以 <1，即 log4 5 < log 4log 4 3 .故选项 D 错误.3
故选：AC.
1
【例 1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）设 a = ,b
ln5 ,c ln6= = ，则（ ）
6 10 12
A． c < b < a B． cC．b【答案】A
f x lnx 1- 2lnx【解析】设 = 2 ，则 f x =x x3 = 0，得 x = e ，
则 f x 在 0, e 上单调递增，在 e,+ 上单调递减，b = f 5 ,c = f 6 ，则b > c，
a b 1 ln5 5 - 3ln5 lne
5 - ln125
又 - = - = = > 0，得 a > b，所以 a > b > c，选：A
6 10 30 30
【一隅三反】
1．（2024 吉林长春）（多选）设 a = log3 2 ，b = log4 3， c = log5 4，则（ ）
A． a < b B．b < c C． a > c D．无法确定
【答案】AB
【解析】因为 a = log3 2 > log3 1 = 0，b = log4 3 > log4 1 = 0， c = log5 4 > log5 1 = 0，
a 2 2 2
又 = log3 2 log 4
log3 2 + log< 3 4 log3 8 log3 9
b 3 2 ÷
= ÷ <2 ÷
=1，
è è è 2
b log 3 log 5 log4 3 + log 5
2 log 2 2
= < 4 4
15 log4 16
4 4 ÷ = ÷ < ÷ =1，c è 2 è 2 è 2
a b
故 <1， <1，所以 a < b ，b < c .
b c
故选：AB
2（2023·云南）设 a = ln 2,b = log3 2，则（ ）
A． a + b > a - b > ab B． a - b > ab > a + b
C． a + b > ab > a - b D． ab > a + b > a - b
【答案】C
【解析】0 < ln 2 = a < ln e =1,0 < b = log3 2 < log3 3 =1，
所以 ab 0
1 1
> ， a + b > 0， >1, >1.
a b
a + b 1 1
因为 = + >1，所以 a + b > ab ；
ab a b
因为 a + b - a - b = 2b > 0，所以 a + b > a - b；
因为 a - b = ln 2 - log 2
ln 2 1
3 = ln 2 - = ln 2

1-

÷ > 0 ，ln 3 è ln 3
a - b 1 1 ln 3 1 ln 3 -1 ln
3
则 = - = - = = e <1，所以 ab > a - b .
ab b a ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
综上， a + b > ab > a - b .
故选：C.
3（2024·重庆）（多选）下列大小关系正确的有（ ）
A． 22.1 > 2.12 3.9
1 ln 2
B． 2 < 3.92 C． < D． log5 3 < log8 5ln 2 2
【答案】BD
【解析】由指数函数 y = 2x 和幂函数 y = x2 可知，当 x 2,4 时2x < x2，
因为 2 < 2.1 < 4，所以 22.1 < 2.12，选项 A 不正确；
因为 2 < 3.9 < 4，所以 23.9 < 3.92 ，故选项 B 正确；
因为 ln1 < ln 2 < ln e ，所以0 < ln 2 <1，即0 < ln 2 2 <1
2
所以 1 ln 2 2 - ln 2 1 ln 2- = > 0 ，所以 > ，故选项 C 不正确；
ln 2 2 2ln 2 ln 2 2
因为 log5 3 > 0， log8 5 > 0 ，
lg3+ lg8
2

2 2
所以 log5 3 lg3 lg8 lg3 lg8
÷
è 2 lg3+ lg8 lg 24 = = = = <1，
log8 5 lg5 lg5 lg5 2 lg5 2 2lg5 ÷ lg 25 ÷è è
所以 log5 3 < log8 5，故选项 D 正确，故选：BD
考点二 判断不等式的正误
【例 2-1】（2024 高三·全国·专题练习）若 a,b R ,且 a > b ，则（ ）
A． a < -b B． a > b
C． a2 < b2
1 1
D． >
a b
【答案】B
【解析】由 a > b 得，当b 0时， a > b 1 < 1，此时 ， a2 2a b > b ，故 CD 错误，
当b < 0时， a > -b > b ，此时 A 错误，
综上可知，当 a > b 时，则 a > b成立，故 B 正确，
故选:B.
【例 2-2】（2024 广西贺州）（多选）若a > b > 0， c < 0，则下列不等关系正确的是（ ）
a b 1 1
A． a + c > b + c B． 2 > 2 C． ac > bc D． a + > b +c c b a
【答案】ABD
【解析】对 A, a > b > 0， c < 0，由不等式性质易知 a + c > b + c，故 A 正确；
1
对 B, a > b > 0， c < 0 ,则 2 > 0,
a b
\ 2 > 2 ，故 B 正确；c c c
对 C, a > b > 0， c < 0，由不等式性质易知 ac < bc，故 C 错误；
a 1+ - 1 1对 D, 若a > b > 0，则 b +

÷ = a - b

1+

÷ > 0 , 故 D 正确.b è a è ab
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024 北京·期中）若 a > b，则下列结论正确的是（ ）
1 1
A． > B． a2 < b2 C． a3 > b3 D． a > ba b
【答案】C
1 1 1
【解析】对于选项 A：例如 a = 2,b =1，则 = , =1 1 1，即 a < b ，故 A 错误；a 2 b
2 2
对于选项 B、D：例如 a =1,b = -1，则 a = b =1, a = b =1，故 BD 错误；
对于选项 C：因为 a > b，且 y = x3在R 上单调递增，所以 a3 > b3，故 C 正确；
故选：C.
1 1
2．（2024 上海）设 a,b R ，若 < < 0，则（
a b ）.
A． a < b B． a < b C． a + b > ab D． 2a < 2b
【答案】B
1 1 0 ab ab【解析】对 A，由 < < ，则 ab > 0，故 < < 0，即b < a < 0，故 A 错误；
a b a b
对 B，由 A 得b < a < 0，故 a < b ，故 B 正确；
1 1
对 C，由 < < 0，则 a<0，b < 0，则 ab > 0， a + b < 0，故 a + b < ab ，故 C 错误；
a b
对 D，由 A 得b < a < 0，故 2a > 2b ，故 D 错误.
故选：B.
3．（2024 高三·全国·专题练习）若 a < b < 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． > B． a2 < ab
a - b b
b b +1
C． < D． an > bna a +1
【答案】C
1 1 1
【解析】对 A，令 a = -2 ，b = -1，有 = = -1 = ，故 A 错误；
a - b -1 b
对 B，由 a < b < 0，故 a2 > ab > 0，故 B 错误；
b b +1
对 C， < b a +1 < a b +1 a b + b < a b + aa a +1 ，
即只需， b < a ，由 a < b < 0，故 b < a ，故 C 正确；
对 D，令 n = 0，有 an = bn =1，故 D 错误.
故选：C.
4．（2024 四川成都）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若 a > b，则 a2 > b2 B．若 a > b，则3a > 3b
a b b + m b
C．若 a > b， c > d ，则 > D．若a > b > 0，m > 0，则 >
d c a + m a
【答案】BD
【解析】对于 A：令 a = 2，b = -3，满足 a > b，此时a2 = 4 < b2 = 9，故 A 不正确；
对于 B：因为指数函数 y = 3x 在R 上单调递增，且 a > b，所以3a > 3b，故 B 正确；
对于 C：令 a = 2，b =1， c = -2， d = -4 ，满足 a > b， c > d ，
a 1 b a b
此时 = - = > Cd 2 c ，不满足 ，故 不正确；d c
对于 D：因为a > b > 0，m > 0，所以 a - b > 0， a + m > 0，
b + m b (b + m)a - b(a + m) (a - b)m
所以 - = = > 0a + m a (a + m)a (a + m)a ，
b + m b
所以 > ，故 D 正确．选：BD．
a + m a
考点三 代数式不等式范围
【例 3-1】（2024 云南）（多选）已知1 a 2，3 b 5，则（ ）
A． a + b 的取值范围为 4, 7 B．b - a的取值范围为 2,3
C．ab 的取值范围为 3,10 a é1 2ùD． 的取值范围为
b ê
,
3 5 ú
【答案】AC
【解析】因为1 a 2，3 b 5，所以 4 a + b 7，-2 -a -1，1 b - a 4，
所以， a + b 的取值范围为 4, 7 ，b - a的取值范围为 1,4 ，A 选项正确，B 选项错误；
1 1 1 1 a 2
因为1 a 2，3 b 5，所以，3 ab 10， ， ，
5 b 3 5 b 3
所以，ab 的取值范围为 3,10 a é1 2ù， 的取值范围为 ê , ú故 C 选项正确，D 选项错误.选：ACb 5 3
【例 3-2】（2024 山东菏泽）已知-1 x + y 1，1 x - y 3，则3x - 2 y 的取值范围是（ ）
A． 2 3x - 2y 8 B．3 3x - 2y 8 C． 2 3x - 2y 7 D．5 3x - 2y 10
【答案】A
【解析】设3x - 2y = m x + y - n x - y = m - n x + m + n y，
ì 1
ìm - n = 3 m = 2 3x 2y 1 x y 5所以 ím n 2，解得 í 5 ，即可得 - = + + x - y ， + = - n = - 2 2
2
因为-1 x + y 1，1 x - y 3 3x 2y
1 5
，所以 2 - = x + y + x - y 8，故选：A．
2 2
c
【例 3-3】（2024 云南大理）已知VABC 的三边长分别为 a，b ， c，且满足b + c 3a，则 的取值范围为（ ）a
A． 1, + B． 1,3 C． 0,2 D． 0,3
【答案】C
ì1 b c < + 3
ìa < b + c 3a a a ì 1 b c < + 3
a + b > c 1 b c
a a 2c
【解析】由已知及三角形三边关系得 í ，所以 í + > ，则 í c b ，两式相加得
0 < < 4，
a a a
a + c > b -1 < - <1 c b 1+ > a a a a
c
所以0 < < 2 .故选：C
a
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）已知1 a + b 4，-1 a - b 2 ，则 4a - 2b 的取值范围是（ ）
A． x - 4 < x <10 B． x - 3 < x < 6
C． x - 2 < x <14 D． x - 2 x 10
【答案】D
【解析】由-1 a - b 2 ，1 a + b 4，得0 a - b + a + b 6，即0 2a 6 ，-2 2 a - b 4，
所以-2 2 a - b + 2a 10，即-2 4a - 2b 10 ，故选：D
2．（2024 河北·阶段练习）（多选）已知-1 a 3,1 b 2，则以下命题正确的是（ ）
A．-1 ab 6 B．0 a + b 5
C．-2 a - b 1 D． a +1 b -1 4
【答案】BD
【解析】对于 A：Qa -1,3 ,b 1,2 \ab -2,6 ,故 A 错误.
对于 B：Qa -1,3 ,b 1,2 \a + b 0,5 ,故 B 正确.
对于 C：Qb 1,2 \a - b -3,2 ,故 C 错误.
对于 D;Qa +1 0,4 ,b -1 0,1 ,\ a +1 b -1 0,4 ,故 D 正确.
故选：BD.
1 a + b 3
3．（2024 广东广州）已知 a,b R
ì
且满足 í ，则 4a + 2b1 a b 1 的取值范围是
.
- -
【答案】 2,10
【解析】设 4a + 2b = A a + b + B a - b ，求出 A, B结合条件可得结果.
ìA + B = 4 ìA = 3
设 4a + 2b = A a + b + B a - b ，可得 í ，解得 í 4a + 2b = 3 a + b + a - bA B 2 B 1， ， - = =
ì1 a + b 3 ì3 3 a + b 9
因为 í 1 a b 1可得 í ，所以
2 4a + 2b 10 .故答案为： 2,10 .
- - -1 a - b 1
考点四 解无参不等式
【例 4】（2023 秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集：
x +1 x - 5 2 4 - x
(1) -x2 + 4x + 5 < 0；(2) 2x2 - 5x + 2 0；(3) 4x -1 - 7 0；(4) < 0；(5) 1 . x - 2 2x + 3
2 2 3x +1(6) x - 5x + 6 < 0；(7) -x + 2x + 3 < 0 ；(8) > -1
x +1
；(9) 0 .
3 - x x - 3
【答案】(1) x x < -1或 x > 5 ì 1(2) íx x 2ü ì (3) íx 3- x 2ü (4) x ì 3 1ü-1 < x < 2 (5) íx - < x
2 2 2 3
(6) 2,3 (7) - , -1 3,+ (8) -2,3 (9) - , -1 U 3, +
【解析】（1）由-x2 + 4x + 5 < 0可得 x2 - 4x - 5 > 0 ，解得 x < -1或 x > 5，
故原不等式的解集为 x x < -1或 x > 5 .
（2）由 2x2 - 5x + 2 0可得 2x -1 x 2 ì 1 ü- 0 1，解得 x 2，故原不等式的解集为 x x 2 .2 í 2
（3）由 4x
ì 3 ü
-1 - 7 0 3可得 4x -1 7，即-7 4x -1 7 ，解得- x 2 ，故原不等式的解集为 íx - x 22 2
.

x ì x +1+1 x - 5 2 < 0
（4）解：由 < 0可得 í x - 2 ，解得-1 < x < 2，故原不等式的解集为 x -1 < x < 2 . x - 2 x - 5 0
4 - x 1 4 - x 2x + 3- 4 - x5 1 3x -1 3 1（ ）解：由 可得 - = = 0 ，解得- < x ，故原不等式的解集为
2x + 3 2x + 3 2x + 3 2x + 3 2 3
ìx 3 x 1üí - < .
2 3


（6）由 x2 - 5x + 6 < 0，得 x - 2 x - 3 < 0，解得 2 < x < 3，故不等式的解集为 2,3 .
（7）由-x2 + 2x + 3 < 0 ，得 x2 - 2x - 3 > 0，即 x +1 x - 3 > 0，解得 x < -1或 x > 3，故不等式的解集为
- , -1 3,+ .
3x +1 2x + 4
（8）由 > -1，得 < 0，即 2x + 4 x - 3 < 0，解得-2 < x < 3，故不等式的解集为 -2,3 .
3 - x x - 3
x +1 ì x +1 x - 3 0
（9）由 0，得 í ，解得 x -1或 x > 3，故不等式的解集为 - , -1 U 3, + .x - 3 x - 3 0
【一隅三反】
（2024 广东湛江）解下列关于 x 的不等式：
2 2 x +1 4x - 9
（1）-x + 2x + 3 > 0（2）(1) 6 - 2x - x < 0（3） 1．（4）(4) > 3 :(5) x - 6 < 2x2x - 3 x -1
x2 - 3x -10 2x2 - 3x - 5 x2 2 | x | 3 0 (x 4)(x 5)2 (2 x)3 0 2x -1(6) 2 0；(7) 2 1．(8) - - > (9) + + - (10) > 1x -1 3x -13x + 4 3 - 4x
【答案】(1) x -1 < x < 3 3(2){ x x > 或 x< 2 3- }；（3） (- , ) [4,+ ) (4) - ,1 U 6,+ (5) 2, +
2 2
{x - 2 x < -1 1< x 5} ì 1 ü(6) 或 (7) íx < x 1或4 < x 9 (8) - , -3 U 3, + (9) - , 4 U 2, 2- + (10) ,
3
÷
3 è 3 4
【解析】（1）由-x2 + 2x + 3 > 0，得 x2 - 2x - 3 < 0，即 x - 3 x +1 < 0，所以-1 < x < 3，
所以不等式的解集为 x -1 < x < 3 ；
（2 2）原不等式可化为 2x + x - 6 = 2x - 3 x 2 3 3+ > 0 x > 或 x<- 2，所以解集为：{ x x > 或 x<- 2 }；
2 2
x +1 x +1- 2x - 3 4 - x ì(x - 4)(2x - 3) 0
（3） -1 0 0 0
2x - 3 2x - 3 2x - 3 í 2x - 3 0
由 x - 4 2x - 3 0 3 3 3可得： x≤ 或 x 4，又 x ，则得： ： x < 或 x 4，即不等式的解集为：
2 2 2
( , 3- ) [4,+ ) .
2
4x - 9 4x - 9 4x - 9 3x - 3 x - 6 ì x -1 x - 6 > 0
（4）由 > 3，得 - 3 = - = > 0 ，所以 í ，解得 x <1或 x > 6，x -1 x -1 x -1 x -1 x -1 x -1 0
所以不等式的解集为 - ,1 U 6,+
（5）当 x - 6 0，即 x 6 时， x - 6 = x - 6 < 2x ，得 x > -6，此时， x 6 ，
当 x - 6 < 0，即 x < 6 时， x - 6 = 6 - x < 2x ，得 x > 2，此时， 2 < x < 6，综上所述， x > 2，即不等式的解集为
2, +
2 2
（6）原不等式可化为 x - 3x -10 x -1 0或 x2 - 3x -10 = 0，
即 x -1 x +1 x + 2 x - 5 < 0 或 x + 2 x - 5 = 0．
由图可知，原不等式的解集为{x - 2 x < -1或1< x 5}．
2x27 - 3x - 5 1 2x
2 - 3x - 5 2
（ ）原不等式 2 可化为 -1 0 ,
x -10x + 9
即 0，
3x -13x + 4 3x2 -13x + 4 3x2 -13x + 4
即 x2 -10x + 9 3x2 -13x + 4 < 0或 x2 -10x + 9 = 0 ，即 x -1 x - 9 3x -1 x - 4 < 0或 x -1 x - 9 = 0．
（8） x2 - 2 x - 3 > 0 ，令 x = t ，则 t 0，原不等式为： t 2 - 2t - 3 0，
即 t - 3 t +1 > 0,Qt 0,\t > 3，\ x > 3, x > 3或 x < -3，即 x - ,-3 U 3,+ ；
2
（9）对于 x + 4 x + 5 2 - x 3 0 ，当 x -5时， x + 5 2 > 0，原不等式等价于 x + 4 2 - x 3 0，
等价于 x + 4 2 - x 0，解得 x -4或 x 2，即 x - ,-5 U -5,-4 U 2,+ ；
当 x = -5 2时， x + 5 = 0，原不等式成立，所以 x = -5是原不等式的一个解；
综上，原不等式的解集为 x - ,-4 U 2,+ ；
2x -1 2x -1 6x - 4 2 3
（10）对于 > 1 -1 > 0 > 0 6x - 4 3- 4x > 0 \ < x <3 4x ，变形为 3 4x ，即 3 4x ，与 同解， ，即- - - 3 4
x 2 ,
3
3 4 ÷；è
考点五 解含参的一元二次不等式
【例 5-1】（2024 广东潮州）解下来关于实数 x 的不等式
（1） x2 - (a +1)x + a < 0 (2) ax2 - 2a -1 x - 2 0．（3） x2 - ax +1 < 0．
【答案】答案见解析
【解析】（1）易知方程 x2 - (a +1)x + a = 0的Δ = a -1 2 0，
由 x2 - (a +1)x + a = 0得 (x - a)(x -1) = 0，解得 x1 = a, x2 =1，
当 a > 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x 1< x < a ，
当 a =1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 ，
当a < 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x a < x <1 ．
（2 2）不等式 ax - 2a -1 x - 2 0可化为 (ax +1)(x - 2) 0 ，
当 a = 0时， x - 2 0，不等式的解集为[2,+ )；
当 a > 0时，不等式化为 (x
1
+ )(x 1- 2) 0，其解集为 (- ,- ]U[2,+ )；
a a
1
当 a<0时，不等式化为 (x + )(x - 2) 0，
a
1 1 1
（ⅰ）当- < 2，即 a < - 时，不等式的解集为[- , 2]；
a 2 a
1 1
（ⅱ）当- = 2，即 a = - 时，不等式的解集为{2}；
a 2
1 1 1
（ⅲ）当- > 2，即- < a < 0 时，不等式的解集为[2,- ] .
a 2 a
（3）对方程 x2 - ax +1 = 0 ，当D = a2 - 4 0时，即-2 a 2时,不等式的解集为
2 2
当D = a2 - 4 > 0时，即 a > 2或 a < -2时, x2 - ax +1 = 0的根为 x a - a - 4 , x a + a - 41 = 2 = ，2 2
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
不等式的解集为 íx < x < ；综上可得，-2 a 2时,不等式的解集为 ，
2 2
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
a > 2或 a < -2时，不等式的解集为 íx < x < .
2 2


【例 5-2】（2024·
2
湖南邵阳）关于 x 的不等式 ax -1 < x2 恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
3 , 1 3 3 4 4 3A． - - ÷

1,

÷ B． - , -
ù é ,
è 2 è 2 ÷ è 2 3 ú ê 3 2
3 , 3- -1ù é1, 3 , 4 4 , 3 C． ú ê ÷ D． - - è 2 2 è 2 3 ÷ ÷ è 3 2
【答案】B
【解析】由 ax -1 2 < x2 恰有 2 个整数解，即 é a +1 x -1 ù é a -1 x -1ù < 0恰有 2 个整数解，
所以 a +1 a -1 > 0，解得 a > 1或 a < -1，
1 1 1 1
①当 a > 1时，不等式解集为 , ÷，因为 0, 2 1 2
è a +1 a 1 a
，故 个整数解为 和 ，
- +1 ֏ 2
2 1 3 4 3则 < ，即 2a - 2 <1 3a - 3，解得 a < ；
a -1 3 2
1 1 1 1
②当 a < -1

时，不等式解集为 , - ,0 2 -1
è a +1 a -1÷
，因为 a -1 2 ÷，故 个整数解为 ，-2， è
则-3
1 3 4
< -2，即-2 a +1 <1 -3 a +1 ，解得- < a - ，
a +1 2 3
3 4 4 3
综上所述，实数 a的取值范围为- < a - 或 a < .
2 3 3 2
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024 北京）关于 x 2的不等式 x - a +1 x + a < 0的解集中至多包含 1 个整数，写出满足条件的一个 a的取值
范围 .
【答案】 -1,3
【解析】关于 x 的不等式 x2 - (a +1)x + a < 0 可化为 (x -1)(x - a) < 0 ,当 a > 1 时, 解不等式得 1< x < a ,
当 a < 1 时, 解不等式得 a < x <1 ,因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,所以 1< a 3 或 -1 a <1,
当 a =1 时，不等式的解集为 ，也满足题意；所以 a 的取值范围是 [-1,3] .答案为:[-1,3] .
2（2024 2湖北武汉）若关于 x 的不等式 kx - k -1 x - 2 < 0有且仅有两个整数解，则实数 k 的取值范围是 .
é5 - 21 ù
【答案】 ê , 2
5 + 21
- 3 ÷÷ U 2 + 3,2 ú è 2
【解析】①当 k = 0时，解得 x > 2，不符合题意；
2
故 k 0 2，关于 x 的不等式 kx - k -1 x 2 0 k x k +1 - < ，即 - ÷ x - 2 < 0，
è k
2 2
②当 k < 0时，不等式即 x
k +1
- x - 2 > 0 x > 2 x k +1÷ ，解得 或k < ，è k
k 2 +1
即它的解集为 - , ÷ 2,+ ，不满足题意；
è k
k 2 +1
③当 k > 0时，不等式即 x - x - 2 < 0，
è k
÷

k 2 +1 k 2 +1
由于 = k 1+ 2 k 1× = 2，当且仅当 k =1时取等号，故它的解集为 2, ÷ ， k 1，
k k k è k
k 2 +1 ìk 2 +1 > 4k
由题意 4 < 5 5 - 21，即 í 2 ，解得 k < 2 3 2 3 x
5 + 21
- 或 + < ，
k k +1 5k 2 2
é5 - 21 , 2 3 2 3, 5 + 21
ù
则实数 k 的取值范围为 ê -2 ÷÷
+ 2 ú
.
è
é5 - 21 5 + 21 ù
故答案为： ê , 2 - 32 ÷÷
2 + 3, ú
è 2
3.（2024 江苏无锡）已知函数 f (x) = ax2 - (a + 4)x + 4 ．
(1)解关于 x 的不等式 f (x) < 0；
(2)若不等式 f (x) < 0有且仅有唯一整数解，求实数 a 的取值范围．
4
【答案】(1)答案见解析(2) a < 2．
3
【解析】（1）因为 f (x) = ax2 - (a + 4)x + 4 = (x -1)(ax - 4) < 0，所以当 a = 0时，解得 x >1；
0 x 4当 a< 时，解得 < 或 x >1；
a
4
当 0 < a < 4 时，解得1 < x < a ；
当 a = 4时，不等式无解；
4
当 a > 4时，解得 < x < 1a ；
综上所述，当 a = 0时，不等式 f (x) > 0 的解集为{x | x >1}；
当 a<0时，不等式的解集为{x | x 4< 或 x >1}a ；
4
当 0 < a < 4 时，不等式的解集为{x |1 < x < }a ；
当 a = 4时，不等式的解集为 ；
当 a > 4时，不等式的解集为{x |
4
< x < 1}
a ．
（2）由（1）知，当 a 0或a 4时不符合题意；
4 4 4 4
当 0 < a < 4 时，解集为{x |1 < x < }，则 2 < ≤3a ，解得 a < 2，所以 a < 2．a 3 3
4.
5. （2023·全国·高三专题练习）解下列关于 x 的不等式
（1） x - 2 x - a 0 （2） x2 + ax +1< 0 （3） x + a x - 2a +1 < 0 2．（4） ax - x +1- a 0 a 0
【答案】答案见解析
【解析】（1）由 x - 2 x - a = 0，可得 x = 2或 x = a，则：
当 a < 2时，原不等式解集为{x | a x 2}；
当 a = 2时，原不等式解集为{2}；
当 a > 2时，原不等式解集为{x | 2 x a}；
（2）由对应函数 y = x2 + ax +1开口向上，且D = a2 - 4，
当D = a2 - 4 0，即-2 a 2时， x2 + ax +1 0恒成立，原不等式解集为 ；
2
当D = a2 - 4 > 0，即 a < -2或 a > 2时，由 x2 + ax +1 = 0 x -a ± a - 4，可得 = ，
2
{x | -a - a
2 - 4 -a + a2 - 4
所以原不等式解集为 < x < }；
2 2
综上，-2 a 2解集为 ；
2 2
a < -2或 a > 2 -a - a - 4 -a + a - 4解集为{x | < x < } .
2 2
（3）由 x + a x - 2a +1 = 0得 x = -a或 x = 2a -1 .
1
当 2a -1 = -a ，即 a = 时，不等式解集为 ；
3
当 2a -1 > -a ，即 a
1
> 时，解集为 x -a < x < 2a -1 ；
3
1
当 2a -1 < -a ，即 a < 时，解集为 x 2a -1 < x < -a ．
3
1 1
综上： a = 时，不等式解集为 ； a > 时，解集为 x -a < x < 2a -1 1； a < 时，解集为 x 2a -1 < x < -a ．
3 3 3
（4）①当 a = 0时， f x = -x +1 0；∴ x 1 .
1- a
②当 a > 0时，由 f x = 0得 x =1或 ，
a
1- a 1 1
（i）当 =1即 a = 时， x = ，
a 2 2
1- a 1 a 1 1- a（ⅱ）当 < 即 > 时， x 1，
a 2 a
1- a 1 0 a 1 1 x 1- a（ⅲ）当 > 即 < < 时， ，
a 2 a
综上，当 a = 0时，所求不等式的解集为 1, + .
0 a 1
ì 1- a ü
当 < < 时，所求不等式的解集为 x 1 x ，
2 í a
1 ì 1 ü
当 a = 时，所求不等式的解集为 íx x = ，2 2
ì 1- a
当 a
1
> 时，所求不等式的解集为 íx x 1
ü
2 a
.

考点六 三个一元二次的关系
【例 6-1】（2024 云南昭通）不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，则b - a的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
【答案】D
【解析】因为不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，
所以 a<0， x =1和 x = 3是方程 ax2 + bx - 3 = 0的根，
ì
1+ 3
b
= -
a
所以 í ，即 a = -1，b = 4 ，则b - a = 5．
1 3 3 = -
a
故选：D．
【例 6-2】（2024 黑龙江大庆）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 x x < -2 或 x > 3 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． a > 0 B．关于 x 的不等式bx + c > 0的解集是 x x < -6
ì 1 1
C． a + b ü+ c > 0 D．关于 x 的不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx x < - 或 x >
3 2


【答案】ABD
【解析】由关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 x x < -2 或 x > 3 ，
知-2和 3 是方程 ax2 + bx + c = 0的两个实根，且 a > 0，故 A 正确；
b c
根据根与系数的关系知：- = -2 + 3 =1 > 0, = -2 3 = -6 < 0，
a a
所以b = -a,c = -6a, a > 0，
选项 B：不等式bx + c > 0化简为 x + 6 < 0，解得： x < -6，
即不等式bx + c > 0的解集是{x x < -6}，故 B 正确；
选项 C：由于 a > 0，故 a + b + c = a - a - 6a = -6a < 0 ，故 C 不正确；
选项 D：不等式 cx2 - bx + a < 0化简为：6x2 - x -1 > 0，
x ì 1 1 ü解得： íx x < - 或 x > ，故 D 正确；故选：ABD.
3 2
【一隅三反】
1
1．（2024 广东揭阳）（多选）已知不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 - ，2÷，则下列结论正确的是（2 ）è
A． a > 0 B．b > 0
C． c > 0 D． a + b + c < 0
【答案】BC
2 1【解析】由不等式 ax + bx + c > 0的解集为 - , 2

2 ÷
，
è
可得相应的二次函数 y = ax2 + bx + c的图像开口向下，所以 a<0，所以 A 错误；
1 c b 3
又由 2 和- 是方程
2 ax
2 + bx + c = 0的两个根，则有 = -1< 0,- = > 0，
a a 2
因为 a<0，故b > 0,c > 0，所以 BC 正确；
因为 x =1
1
- , 2

÷ ，所以 a + b + c > 0 ，所以 D 错误.
è 2
故选：BC.
2．（2024 山东临沂）（多选）已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c 0的解集为{ x x -2或 x 1}，则（ ）
A．b > 0且 c < 0 B． 4a + 2b + c = 0
ì 1 ü
C．不等式bx + c > 0的解集为 x x > 2 D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx -1 < x < 2
【答案】AC
ì
a > 0

a = b
【解析】由题意可知 í-2 +1
b ì
= - í ，所以b > 0且 c < 0， 4a + 2b + c = 4a + 2a - 2a = 4a > 0 A2a c ，故 正确， a - =
c
-2 1 = a
B 错误；不等式bx + c > 0 ax - 2a = a x - 2 > 0 x > 2，故 C 正确；
2
不等式 cx - bx + a < 0 -2ax2 - ax + a = -a 2x -1 x +1 < 0，即 2x -1 x +1 > 0 1，所以 x > 或 x < -1，故 D
2
错误.故选：AC
3．（2024 江苏）（多选）关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x x -1或x 4 ，下列说法正确的是（ ）
A． a > 0
ì 1 ü
B．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx - < x <14
3
C． + c 的最大值为-4
b
1 2 ù
D．关于 x 的不等式 x2 + bx + c < 0解集中仅有两个整数，则 a的取值范围是 ,
è 7 5 ú
【答案】ACD
【解析】不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x x -1或 x 4 ，故 x=-1和 x = 4是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根，
ì
a > 0

b
所以 í- = -1+ 4，解得b = -3a,c = -4a，故 A 正确，
a
c

= -1 4
a
2 2 2 x 1 x 1对于 B， cx - bx + a < 0可变为-4ax + 3ax + a < 0 4x - 3x -1 > 0 ，解得 > 或 < - ，故 B 错误，4
3 1 1 1 1 3
对于 C， + -4a = - 4a = - + 4a -4，当且仅当 = 4a ，即 a = 时等号成立，所以 + c 的最大值为
-3a -a a ֏ a 2 b
-4，C 正确，对于 D， x2 + bx + c < 0的不等式可变为 x2 - 3ax - 4a < 0，
f x = x2记 - 3ax - 4a,由于 f 0 = -4a < 0，故 0 是 x2 + bx + c < 0的一个整数解，
ì f 1 =1- 7a < 0
3a
由于对称轴 x = > 0
1 2
，要使不等式 x2 + bx + c < 0解集中仅有两个整数，则 í f 2 = 4 -10a 0, ，故 < a ，2
f
7 5
-1 =1- a 0
故 D 正确，故选：ACD
考点七 一元二次方程根的分布
7-1 2024 x - a x - a - 2 = 0【例 】（ 河南南阳）一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是
（ ）
A． a -2,1 B．a -2,0 C． a -1,0 D． a -1,1
【答案】C
【解析】由题意知一元二次方程 x - a x - a - 2 = 0的两根为 x1 = a,x2 = a + 2,x1 < x2 ，
要使得方程有一个正实根和一个负实根，需 a < 0,a + 2 > 0,\-2 < a < 0，
结合选项知，只有 -1,0 -2,0 ，
即一元二次方程 x - a x - a - 2 = 0有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是 a -1,0 ，
故选：C
【例 7-2】（2024 2 2重庆）关于 x 的一元二次方程 x + a -1 x + a - 2 = 0 有一个根小于 -1，另一个根大于 1，则 a
的取值范围是 .
【答案】-2 < a < 0
ì f 1 =1+ a2 -1 + a - 2 < 0
【解析】设 f x = x2 + a2 -1 x + a - 2 ，开口向上，由题意知 í ，
f -1 =1- a2 -1 + a - 2 < 0
ìa2 + a - 2 < 0 ì-2 < a <1
即 í 2 ，解得 ía 0 a 1，所以-2 < a < 0．故答案为：-2 < a < 0． -a + a < 0 或
【例 7-3】（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实
数解，则 a的取值范围是（ ）
6 6
A． - , -1

÷ B． - ,1÷
è 5 è 5

C． - ,
6 U 1, 6- ÷ - +

D． - , - ÷ U 1, +
è 5 è 5
【答案】A
2
【解析】令 g x = x - 2ax + a + 2，因为方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实数解，
ìΔ > 0 ìΔ = 4a2 - 4 a + 2 > 0

-2 < a <1

-2 < a <1 6 6
- < a < -1 a 所以 íg -2 > 0，即 í ，解得 ，所以 的取值范围是 - , -1÷ ．故选：A． 4 + 4a + a + 2 > 0 5 è 5
g 1 > 0 1- 2a + a + 2 > 0
【例 7-4】（2024 北京石景山）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2ax + 4 = 0有两个实根，且一个实根小于 1，另一个
实根大于 2，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - , -2 B． 2, +
5
C． ,+ ÷ D． - ,-2 2, +
è 2
【答案】C
2
【解析】设 f x = x - 2ax + 4，
根据已知结合二次函数性质，作图
ìΔ = -2a 2 -16 = 4
a
2 - 4 > 0
则有 í f 1 = 5 - 2a < 0 5，解得 a > .故选：C.
2
f 2 = 8 - 4a < 0
【一隅三反】
1．（2024 山西太原）（多选）已知关于 x 的方程 x2 + ax + a + 3 = 0，则（ ）.
A．当 a = 2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是-2 < a < 4
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 a > 6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 a < -4
【答案】BC
【解析】对于 A 选项：当 a = 2时， x 2 + 2x + 5 = 0 ，此时D = 22 - 4 1 5 = -16 < 0，
此时方程没有实数根，故 A 选项错误；
2
对于 B 选项：方程无实数根的充要条件是Δ = a - 4 1 a + 3 < 0，即-2 < a < 6，
所以方程无实数根的一个充分条件是 a -2 < a < 6 的子集，显然-2 < a < 4符合，故 B 选项正确；
ìΔ = a2 - 4 1 a + 3 > 0

对于 C 选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 íx1 + x2 = -a < 0 ,

x1 × x2 = a + 3 > 0
解得： a > 6，故 C 选项正确;
ìΔ = a2 - 4 1 a + 3 > 0
对于 D 选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 í ,
x1 × x2 = a + 3 < 0
解得： a < -3，故 D 选项错误;
故选：BC.
2．（2024 辽宁大连）关于 x 的方程 ax2 + 4x +1 = 0至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．0 < a 4 B． a 0 C． a < 4 D． a 4
【答案】D
1
【解析】当 a = 0时，方程为 4x +1 = 0 x = - ，此时方程的根为负根，
4
当 a 0时，方程 ax2 + 4x -1 = 0 ，
ì
Δ =16 - 4a 0

4
当方程有二个负根时，则有 í- < 0 0 < a 4，
a
1
> 0 a
ìΔ =16 - 4a 0

当方程有一个负根一个正根时，则有 í1 a < 0，
< 0 a
综上所述：当关于 x 的方程 ax2 + 4x +1 = 0至少有一个负根时，有 a 4，
即关于 x 的方程 ax2 + 4x +1 = 0至少有一个负根的充要条件是 a 4 .
故选：D.
3．（2024 2河南南阳）若方程 x + k + 2 x - k = 0的两实根均在区间 -1,1 内，求 k 的取值范围（ ）.

A． -4,
1 1
- é÷ B． ê-4 + 2 3, -

2 2 ֏
é
C． ê-4,
1
- ÷ D． -4 + 2 3,
1
-
2 2 ÷ è
【答案】B
2
【解析】根据题意可知，一元二次函数 f x = x + k + 2 x - k 在区间 -1,1 内与 x 轴有交点，
ìΔ = k + 2 2 + 4k 0

f 1 =12 + k + 2 - k > 0 1
所以需满足 í f -1 = -1 2 - k + 2 - k > 0，解得-4 + 2 3 k < - ； 2
1 k + 2 - < - <1 2
k é-4 + 2 3,
1
- 所以可得 的取值范围是 ê ÷ . 2
故选：B
4．（2024 高三·全国·专题练习）关于 x 的方程 ax2 + a + 2 x + 9a = 0有两个不相等的实数根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
那么 a的取值范围是（ ）
2
A．- < a
2 2
< B． a >
7 5 5
a 2 2C． < - D．- < a < 0
7 11
【答案】D
2
【解析】当 a = 0时， ax + a + 2 x + 9a = 0即为 2x = 0，不符合题意；
a 0 ax2 + a + 2 x + 9a = 0 x2 + 2 故 ， 即为 1+ ÷ x + 9 = 0，
è a
令 y = x2
2
+ 1+ ÷ x + 9，
è a
2
由于关于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有两个不相等的实数根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
则 y = ax2 + a + 2 x + 9a 与 x 轴有两个交点，且分布在 1 的两侧，
2
故 x 1

= 时， y < 0 ，即1+ 1+ ÷ 1+ 9 < 0
2
，解得 < -11
2
，故- < a < 0 ，
è a a 11
故选：D
5 2．（2024 浙江）若关于 x 的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且 x1 <1, x2 >1．则
实数 a 的取值范围为 ．
【答案】 a < -2
【解析】令函数 f (x) = x2 + (3a -1)x + a + 8，依题意， f (x) = 0 的两个不等实根 x1, x2 满足 x1 <1, x2 >1，
而函数 f x 图象开口向上，因此 f (1) < 0，则12 + (3a -1) 1+ a + 8 < 0，解得 a < -2，
所以实数 a 的取值范围为 a < -2 .故答案为： a < -2
考点八 一元二次（能）恒成立
【例 8-1】（2024 上海）若对于任意 x R ，ax2 - ax +1> 0恒成立，则实数 a的取值范围是 .
【答案】 0,4
【解析】①当 a = 0时，不等式恒成立，所以 a = 0符合要求；
ìa > 0 ìa > 0
②当 a 0时，题意等价于 í ，即 í 2 ，解得 0 < a < 4 ，
Δ < 0 a - 4a < 0
综上可知 a 0,4 .故答案为： 0,4 .
【例 8-2】（2024 湖南郴州）"x
é1 , 2ùê ú，不等式 x
2 + ax +1 0恒成立，则实数 a的取值范围为 .
2
【答案】 -2, +
x é1
2
【解析】" ê , 2
ù 2 x +1 1
2 ú
，不等式 x + ax +1 0恒成立，即-a = x + ，
x x
y x 1 1
1 1
由于函数 = + 2 x × = 2，当且仅当 x = ，即 x =1时等号成立，故-a x + ÷ ，即-a 2，则
x x x è x min
a -2，
故答案为： -2, +
【例8-3】（2024新疆哈密）已知关于 x 的不等式-x2 + 4x a2 - 3a 在 x [1, 4]上有解，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 -1,4
f x = -x2【解析】设 + 4x，则 f x = -x2 + 4x在 x [1, 4]的最大值为 4，
因为关于 x 的不等式-x2 + 4x a2 - 3a 在 x [1, 4]上有解，即 4 a2 - 3a，解得-1 a 4，故答案为： -1,4 .
【一隅三反】
1．（2024 上海）若存在 x > 0，使得 x2 - ax +1 < 0，则实数 a 的取值范围 ．
【答案】 2, +
2 1 1 1
【解析】当 x > 0时， x - ax +1 < 0 a > x + ，显然 x + 2 x × = 2，当且仅当 x =1取等号，
x x x
由存在 x > 0，使得 x2 - ax +1 < 0，得 a > 2，所以实数 a 的取值范围是 2, + .故答案为： 2, +
2．（2024 2广西柳州）若不等式 a - 2 x + 2 a - 2 x - 4 < 0 对一切 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． -2,2 D． - , -2
【答案】C
【解析】当a - 2 = 0，即 a = 2时，不等式为-4<0 对一切 x R 恒成立．
ì a - 2 < 0 ìa - 2 < 0
当 a 2时，需满足 í -2 < a < 2 .
Δ = 4 a - 2
2 +16 a - 2 ，即 ía 2 4 0，解得< 0 - + >
综上可知，实数 a 的取值范围是 -2,2 ．故选：C
é 1 1 ù
3．（2024·重庆）已知命题“对"x ê- , ú 2，都有 m -1 x - m +1 x +m +1 0恒成立”为真，则m 的取值范围
ê 2 2 ú
为（ ）
é 1 é 1 1
A． ê- ,+ ÷ B． ê- ,1÷÷ 1,+ C． - , -
ù
ú D． - ,1 3 ê 3 è 3
【答案】A
【解析】令 f x 1 1= m -1 x2 - m +1 x + m +1 é ù，则问题转化为 y = f x 在 ê- , ú上的最小值满足 f x 02 2 即可.
1
当m

-1 = 0 m =1时， f x = -2x + 2 ，最小值为 f ÷ =1，符合题意；
è 2
m +1 1
当m -1 > 0 时，对称轴 x = >2 m 1 2 ，函数 y = f- x
é 1- , 1 ù在 ê 2 2 ú上单调递减，
f 1 1而 ÷ = m -1
1
- m +1 + m 3m +1+1 = > 0适合题意；
è 2 4 2 4
x m +1当m -1 < 0时，对称轴 = < 02 m -1 ，
ì f 1 0
ì1 1 ì 1
è 2 ÷ m -1 - m +1 + m +1 0 m - 4 2
3 1
则 í í1 1 í
m - ，
1 m 1 5 3f - ÷ 0 - + m +1 + m +1 0 m - è 2 4 2 7
1 1
所以- m <1
é
；综上m 的取值范围为 ê- ,+ ÷ .故选：A.3 3
3
4 2．（2024 贵州铜仁）当 x -1,1 时，不等式2kx - kx - < 0恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
8
A． -3,0 B． -3,0 C． -3,
1
D ÷ ． -3,
1ù
è 8 è 8 ú
【答案】D
【解析】当 x -1,1 时，不等式2kx2 3- kx - < 0恒成立，
8
当 k = 0时，满足不等式恒成立；
当 k 0时，令 f x = 2kx2 3- kx - ，则 f x < 0 在 -1,1 上恒成立，
8
函数 f x 1的图像抛物线对称轴为 x = ，
4
k > 0时， f x -1, 1 1 在 ÷上单调递减，在 ,1÷上单调递增，
è 4 è 4
ì 3
f -1 = 2k + k - 0 8 1
则有 í ，解得 0 < k
3 8
；
f 1 = 2k - k - 0


8
k < 0时， f x -1, 1 1 ,1 在 ÷上单调递增，在4 4 ÷上单调递减，è è
f 1 2k k 3则有 ÷ = - - < 0，解得-3 < k < 0 .
è 4 16 4 8
1
综上可知， k 的取值范围是 -3,
ù
è 8 ú
.
故选：D.
5．（2024 x河南南阳）已知函数 f x = 3 - 3- x ，若"x 0, + ，9x + 9- x - af x 0，则实数 a的最大值为
（ ）
A．3 2 B． 2 2 C．2 D． 2
【答案】B
【解析】因为 y = 3x 在 0, + 上单调递增， y = 3- x 在 0, + 上单调递减，
所以 f x = 3x - 3- x 在 0, + 上单调递增，所以 f x > 0，
令 t = 3x - 3- x > 0，
2
因为9x + 9- x - af (x) 0恒成立，所以 t 2 + 2 at 恒成立，亦即 t + a恒成立，t
又 t
2
+ 2 2 ，当且仅当 t = 2 时，等号成立，t
2
故 t + = 2 2t ÷ ，所以a 2 2 .è min
故选：B
一．单选题
1．（2024 北京·期中）若 a，b 是任意实数，且 a > b，则（ ）
A． a2
b
> b2 B． <1 C． a - b >1 D． a - b > 0a
【答案】D
b
【解析】若 a = 0 > b = -1 a2 < b2，故 A 错误；若 a = -1 > b = -2 = 2 >1，故 B 错误；a
若 a = 0 > b = -1 a - b =1，故 C 错误；显然 a > b a - b > b - b = 0，故 D 正确.故选：D
2．（2024 浙江杭州）已知 a、b 都是实数，则“a > b > 0”是“ | a |>| b | ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当a > b > 0时，不等式 | a |>| b |成立，而当 a = -2,b = -1时，满足 | a |>| b |，不等式a > b > 0不成立，
所以“a > b > 0”是“ | a |>| b | ”的充分不必要条件.故选：A
3．（2024 上海浦东新）方程 x2 + 2ax - a = 0在区间 0,1 和 1,2 各有一个根的充要条件是（ ）
A． a - , 4-1 B． a - , -1÷
è 3
4
C． a - ,0÷ D． a -2, -1
è 3
【答案】B
【解析】因为一元二次方程 x2 + 2ax - a = 0在区间 0,1 和 1,2 各有一个根，
ì
ì f 0 = -a > 0 a < 0
令 f x = x2 + 2ax - a ，则由题意可得 í f 1

=1+ 2a - a < 0 a < -1 4，即 í ，解得- < m < -1，
3 f 2 = 4 + 4a - a > 0 a 4> -
3
则方程 x2 + 2ax - a = 0在区间 0,1 和 1,2 4各有一个根的充要条件是 a - , -1

3 ÷
.
è
故选：B.
4．（2024· 2浙江·模拟预测）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
【答案】C
【解析】当 k = 0时，不等式 kx2 + k - 6 x + 2 > 0可化为-6x + 2 > 0，显然不合题意；
ìk > 0
当 k 0时，因为 kx2 + k - 6 x + 2 > 0 的解为全体实数，所以 í 2 ，解得 2 < k <18；
Δ = k - 6 - 4k 2 < 0
综上： 2 < k <18 .故选：C.
5．（2024 浙江金华）若对于任意 x 1,2 ，不等式m + 2 - x 2 0 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．m -1 B．m 0 C．m 1 D．m 2 2
【答案】A
【解析】令函数 f (x) = m + 2 - x2 ，显然 f (x) 在[1, 2]上单调递减， f (x)max = f (1) = m +1，
因为任意 x 1,2 ，不等式m + 2 - x 2 0 恒成立，于是m +1 0 ，所以m -1 .故选：A
6．（2024 山东滨州）若不等式 x2 - ax + 4 0对任意 x 1,3 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0,4 B． - , 4 13ùC． - , ú D． - ,5 è 3
【答案】B
【解析】不等式 x2 - ax + 4 0对任意 x 1,3 恒成立，则"x 1,3 a 4， x + 成立，x
x 4 4
4
而 + 2 x × = 4，当且仅当 x = ，即 x = 2时取等号，因此 a 4，
x x x
所以实数 a的取值范围是 - , 4 .故选：B
7．（2024 四川绵阳）设 a,b R ，且 a > b，则（ ）
2 2
A． < B． tan a > tan b C． 4 - a > 3 - b D． a a > b b
a b
【答案】D
【解析】对 A，当 a > 0,b < 0 时，显然错误，故 A 错；
2π
对 B，当 a = ,b
π
= 时，则 tan a < 0, tan b > 0，故 B 错；
3 6
对 C，当 a = 5,b = 3时， 4 - 5 < 3 - 3，故 C 错；
D a > b 0 a a = a2 ,b b = b2 , a2对 ，当 时， > b2 ，故 a a > b b ；
当a > 0 > b时， a a > 0,b b < 0,a a > b b ；
当b < a 0 2 2 2 2时， a a = -a ,b b = -b ,-a -(-b ) = b2 -a2 = (b + a)(b-a)
a + b < 0,b - a < 0，所以 a a - b b > 0， a a > b b ，故 D 正确.
故选：D
8．（2024 河南信阳）若a > b > 0，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
b +1 b a b 1 1
A． > B < Ca +1 a ． ．b a a > ab > b
D． a + > b +
b a
【答案】B
b +1 b a(b +1) - b(a +1) a - b
【解析】对于 A，因为a > b > 0，所以 - = = > 0a +1 a a(a +1) a(a +1) ，故 A 正确；
a 1 b对于 B， > > > 0，故 B 错误；
b a
a a ab a
对于 C，a > b > 0， = >1，所以 a > ab ，因为 = >1，所以 ab > b ，所以 a > ab > b，故
ab b b b
a 1 b 1C 正确；对于 D， + - - = (a
1
- b) 1+

÷ > 0，故 D 正确.故选：Bb a è ab
二．多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
2 ìx x 1 üA．不等式 4x - 5x +1 > 0的解集是 í > 或x <1
4


ì 3 ü
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 22
C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，则 a 的取值范围是
1
D．若关于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，则 p + q 的值为-
2
【答案】CD
A 4x2【解析】对于 ， - 5x +1 > 0 x -1 4x -1 0 x 1> < 或 x >1，故 A 错误；
4
对于 B 2x2， - x - 6 0 x - 2 2x + 3 0 3 - x 2 ，故 B 错误；
2
若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，
当 a = 0时， 21 < 0是不可能成立的，
ìa < 0
所以只能 íΔ 64a2 84a 0，而该不等式组无解，综上，故
C 正确；
= - <
对于 D，由题意得 q,1是一元二次方程 2x2 + px - 3 = 0 的两根，
ì
q 1
-3
= 3
从而 í 2 ，解得 p =1, q = - ，
2 + p - 3 = 0
2
3 3
而当 p =1, q = - 2时，一元二次不等式 2x + x - 3 < 0 x -1 2x + 3 < 0 - < x <1满足题意，
2 2
所以 p + q
1
的值为- ，故 D 正确.
2
故选：CD.
10．（2024 湖南长沙）已知 a，b ， c R ，则下列结论正确的是（ ）
A a > b > 0 1．若 ，则 a <
1
b B．若 a > b，则 ac
2 > bc2
a 1 1C．若a > b > 0，则 + < b + D．若 a > 0，b > 0，
b a 2
a + 3a = 2b + 4b，则 a > b
【答案】AD
1 1 b - a
A a > b > 0 - = < 0 1 < 1【解析】对 ，因为 ，所以 ，则 a b ，故 A 正确；a b ab
对 B，当 c = 0 ，则 ac2 = 0 = bc2，故 B 错误；
a 1 b 1 a b a - b对 C，因为 + - + ÷ = - + = a - b
1 1+ ，
b a ÷è ab è ab
而a > b > 0，则 a - b > 0,1
1
+ > 0，
ab
a 1 1+ - b + > 0 a 1 1所以 ÷ ，即 + > b + ，故 C 错误；b è a b a
对 D，因为b > 0，所以 2a + 3a = 2b + 4b > 2b + 3b，
令 f x = 2x + 3x ，则 f a > f b ，
易知 f x = 2x + 3x 在R 上单调递增，所以 a > b，故 D 正确.
故选：AD.
11．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知 a R ，关于 x 的一元二次不等式 ax - 2 x + 2 > 0的解集可能是（ ）
ì
A． íx x
2
> 或 x < -2 B． x x > -2
a
ìx 2 x 2 ü ì 2 üC． í - < < D． íx < x < -2
a a
【答案】ACD
【解析】当 a = 0时， ax - 2 x + 2 = -2 x + 2 > 0 x < -2；
2 2
当 a > 0时， ax - 2 x + 2 = a x - ÷ x + 2 > 0 x > 或 x<- 2，故 A 正确；
è a a
当 a < 0时， ax - 2 x + 2 = a x 2- ÷ x + 2 ，
è a
2
若 = -2 a = -1，则解集为空集；
a
2 2
若 < -2 -1< a < 0 ，则不等式的解为： < x < -2，故 D 正确；
a a
2
若 > -2 a < -1，则不等式的解为：-2 < x
2
< ，故 C 正确.
a a
故选：ACD
三．填空题
12．（2024 江苏连云港）已知方程 x2 - 2ax + a2 - 4 = 0的一个实根小于 2，另一个实根大于 2，求实数 a的取值范
围 .
【答案】 0,4
f x = x2 - 2ax + a2【解析】设 - 4，
因为方程 x2 - 2ax + a2 - 4 = 0的一个实根小于 2，另一个实根大于 2，
则满足 f 2 = a2 - 4a < 0，解得 0 < a < 4 ，即实数 a的取值范围为 0,4 .
故答案为： 0,4 .
13．（2024 2上海闵行）已知函数 f x = ax + 2ax - 3对任意实数 x 都有 f x < 0 成立，则实数 a的取值范围是 .
【答案】 -3,0
ìa < 0
【解析】由题意知当 a = 0时， f x = -3 < 0符合题意；当 a 0时，则 í 2 -3 < a < 0
Δ = 4a +12a < 0
则实数 a的取值范围是 -3,0 .故答案为： -3,0 .
14（2024 重庆）若 x >1时， 4x2 - (3a + 2)x + 3a + 7 0 恒成立，则 a 的取值范围为______.
【答案】 a 6
【解析】解法 1： x >1时， 4x2 - (3a + 2)x + 3a + 7 0 恒成立，
2
2 a 4x - 2x + 7即3a x -1 4x - 2x + 7 恒成立，即 3 x 1 恒成立.-
4x2 - 2x + 7 4 t +1 2 - 2 t +1 + 7 1 9 1 é 9 ù
令 x -1 = t （ t > 0），则 x = t +1， = = 4t + + 6÷ ê2 4t + 6ú = 6，3 x -1 3t 3 è t 3 t
4t 9当且仅当 =
3
，即 t = ，等号成立，
t 2
故 a 6，即 a 的取值范围为 a 6 .
解法 2：令 f x = 4x2 - (3a + 2)x + 3a + 7，
则由题意知， f x 0，在 x >1时恒成立，即 x >1时， f x 0min .
3a + 2
①当 1，即 a 2时， f x 在 1, + 单调递增，
8
此时， f x > f 1 = 4 - 3a + 2 + 3a + 7 = 9 > 0min 成立，
所以， f x 0恒成立；
3a + 2
②当 >1，即 a > 2时， f x 3a + 2 在
8
1, ÷上单调递减，
è 8
3a + 2 ,+ 3a + 2 在 ÷单调递增，所以 f x = f
è 8 min ÷
，
è 8
f 3a + 2 3a + 2
2
0 4 3a 2 3a + 2 - + 此时只需， 即可，即
è 8 ÷ ÷ ÷
+ 3a + 7 0
è 8 è 8
解得，-2 a 6，∴ 2 < a 6 ，
综上所述，a 的取值范围为 a 6 .
故答案为： a 6 .
四．解答题
15．（2024 高三· 2全国·专题练习）已知函数 f x = x + ax - 3
(1)若函数 f x 在 -4,5 上是单调函数，求实数 a的取值范围.
(2)当 a = 3, x -1,1 时，不等式 f x > m + 2x - 4恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) (- , -10]U[8,
3
+ ) (2) - ,
è 4 ÷
1 f x = x2【解析】（ ）函数 + ax - 3 a的对称轴为 x = - ，又函数 f x 在 -4,5 上是单调函数，
2
a a
\- 5或- -4 ，解得 a -10或 a 8，∴实数 a 的取值范围为 (- , -10]U[8,+ ) ；.
2 2
（2）当 a = 3， x -1,1 时， f (x) > m + 2x - 4恒成立，即 x2 + x +1 > m 恒成立，
令 g x = x2 + x +1, x -1,1 ， g x > m恒成立，函数 g x 1min 的对称轴 x = - -1,1 ，2
g x g 1 3\ = - ÷ = , m
3 3
\ <
min ，故 m 的范围为 - , .è 2 4 4 ÷è 4
16．（2024·江西）已知 f x = - 3x2 + a 6 - a x +12 .
(1)若不等式 f x > b 的解集为 0,3 ，求实数 a、b 的值；
(2)若 a = 3时，对于任意的实数 x -1,1 ，都有 f x -3x2 + m + 9 x +10 ，求m 的取值范围.
ìa=3
【答案】(1) í (2) -2,2
b=12
【解析】（1）因为 f x > b 的解集为 0，3 ， f x = - 3x2 + a 6 - a x +12，
2
所以方程-3x + a 6 - a x +12 - b=0 的两根为 0 、3，
ì12 - b=0 ìa=3
故 í
-27 + 3a 6 - a +12 - b = 0
，解得 í
b
，
=12
经检验：当 a=3、b=12时，不等式 f x > b 的解集为 0，3 .
（2）当 a=3时， f x = - 3x2 + 9x +12，
2
对于任意的实数 x -1，1 ，都有 f x -3x + m + 9 x +10 ，
即对于任意的实数 x -1，1 ，都有mx - 2 0，
令 g x =mx - 2，
当m=0时， g x = - 2 0恒成立；
当m > 0时，函数 g x 是增函数， g x 0即 g 1 0，解得0 < m 2；
当m < 0时，函数 g x 是减函数， g x 0即 g -1 0，解得-2 m < 0 ，
综上所述，-2 m 2 ，m 的取值范围为 -2,2 .
17．（2024 山东济南）已知函数 f (x) = x2 - ax + b .
(1)若不等式 f (x) > 0 的解集为 (- ,1) U (3,+ )，求实数 a,b的值；
(2)当 f -1 = 0时，
（i）解关于 x 的不等式 f x > 0；
（i）若存在 x [1,2] ，使得 f x 0 ，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) a = 4,b = 3 (2)（i）答案见解析； （i i）[0, + )
【解析】（1）解：由函数 f (x) = x2 - ax + b ，因为不等式 f (x) > 0 的解集为 (- ,1) U (3,+ )，
可得1和3是方程 x2 - ax + b = 0的两个实数根据，
ì1+ 3 = a
则 í ，解得 a = 4,b = 3 .
1 3 = b
（2）解：（i）由函数 f (x) = x2 - ax + b ，
因为 f -1 = 0，可得 f (-1) =1+ a + b = 0，即b = -(a +1) ，
所以 f (x) = x2 - ax - (a +1) ，
由不等式 f x > 0，即 x2 - ax - (a +1) = (x +1)[x - (a +1)] > 0 ，
当 a +1 > -1时，即 a > -2 时，解得 x < -1或 x > a +1；
当 a +1 = -1时，即 a = -2 时，即为 (x +1)2 > 0 解得 x -1；
当 a +1< -1时，即 a < -2时，解得 x < a +1或 x >1，
综上可得，当 a > -2 时，不等式解集为 (- , -1) U (a +1,+ ) ；
当 a = -2 时，不等式的解集为 (- ,-1) (-1,+ ) ；
当 a < -2时，不等式的解集为 (- , a +1) U (-1,+ ) .
（i i）由（i）知，当 a > -2 时，不等式 f x > 0解集为 (- , -1) U (a +1,+ ) ，
若存在 x [1,2]，使得 f x 0 ，则满足 a +1≥1，解得 a 0；
当 a = -2 时，不等式 f x > 0的解集为 (- ,-1) (-1,+ ) ，
此时不存在 x [1,2]，使得 f x 0 ；
当 a < -2时，不等式 f x > 0的解集为 (- ,a +1) U (-1,+ ) ，
此时不存在 x [1,2]，使得 f x 0 ，
综上可得，实数 a的取值范围为[0, + ) .
18．（2024 2辽宁）已知函数 y = 2x - a + 2 x + a,a R
(1)解关于 x 的不等式 y < 0 ；
(2) 2若方程 2x -
x x
a + 2 x + a = x +1有两个正实数根 x1, x 22 ，求 + 1x x 的最小值.1 2
【答案】(1)答案见解析；(2)6.
【解析】（1）不等式 y < 0 即为 2x2 - a + 2 x + a < 0\ 2x - a x -1 < 0 ，
a ì a ü
当 a < 2，即 <1时，不等式的解集为 íx < x <12 2
，

a
当 a = 2，即 =1时，不等式的解集为 ，
2
a ì a ü
当 a > 2，即 >1时，不等式的解集为 íx 1< x < ，2 2
ì a ü
综上可知：当 a < 2时，不等式的解集为 íx < x <12 ，
当 a = 2时，不等式的解集为 ，
ì a ü
当 a > 2时，不等式的解集为 íx 1< x < 2
.

（2 2）方程 2x - a + 2 x + a = x +1有两个正实数根 x1, x2 ，
2
即 2x - a + 3 x + a -1 = 0有两个正实数根 x1, x2
ì
Δ = (a + 3)2 -8(a -1) 0


故 íx1 + x
a + 3
2 = > 0 ，解得 a > 1，
2
x x a -1 1 2 = > 0 2
2 2 x + x 2x x x + x 21 2 - 2x1x2 a + 2a +13
所以 2 + 1 = 1 2 = =
x1 x2 x1x2 x1x2 2 a -1
x x t 8 t 8
令 t = a -1，则 t > 0，故 2 + 1 = + + 2 2 + 2 × = 6
x1 x2 2 t 2 t
t 8
当且仅当 = 即 t = 4, a = 5时取得等号，
2 t
x2 x+ 1故 x 的最小值为 6.1 x2
19．（2024 江苏宿迁）已知函数 y = (m +1)x2 - mx + m -1(m R) ．
(1)若不等式 y < 0 的解集是空集，求 m 的取值范围；
(2)当m > -2时，解不等式 y≥m；
(3)若不等式 y 0的解集为 D，若 -1,1 D，求 m 的取值范围．
é2 3 é2 3
【答案】(1) ê ,+ ÷ (2)答案见解析(3) ê ,+ ÷
3 3
【解析】（1）当m +1 = 0时，即m = -1，则由 f x = x - 2 < 0 ，得 x < 2，不合题意，
当m +1 0，即m -1时，由不等式 f x < 0 的解集为 得
ìm +1 > 0 2 3
í 2 ，解得m ，
Δ = m - 4(m +1)(m -1) 0 3
é
m 2 3

所以 的取值范围为 ê ,+ ÷；
3
2
（2）因为 y≥m，所以 m +1 x - mx -1 0 ，即[(m +1)x +1](x -1) 0，
当m +1 = 0，即m = -1时，解得 x 1，所以不等式的解集为[1, + ) ，
x 1当m +1

> 0，即m > -1时， + (x -1) 0 ，
è m +1÷
1 1 ù
因为- < 0，所以不等式的解集为 - , - U[1, + ) ，
m +1 è m +1 ú
1
当m +1< 0 ，即-2 < m < -1时， x + ÷ (x -1) 0，
è m +1
因为-2 m
1
< < -1，所以-1 < m +1 < 0，所以- >1，
m +1
é 1 ù
所以不等式的解集为 ê1, - m +1ú
，

综上，当m = -1，不等式的解集为[1, + ) ；
1
当m > -1 时，不等式的解集为 - , -
ù
è m +1 ú
U[1, + ) ；
é 1 ù
当-2 < m < -1时，不等式的解集为 ê1, - ； m +1 ú
（3）因为不等式 y 0的解集为D，且 -1,1 D，
所以对任意的 x [-1,1]，不等式 m +1 x2 - mx + m -1 0恒成立，
即m(x2 - x +1) -x2 +1，
2
因为 x2 - x +1 = x
1 3
- ÷ + > 0，
è 2 4
-x2 +1 2 - x
所以m 2 = -1+x - x +1 x2
恒成立，
- x +1
令 t = 2 - x，则 t [1,3]， x = 2 - t ，
2 - x t t 1
2 = = =所以 x - x +1 (2 - t)2 - (2 - t) +1 t 2 - 3t + 3 t 3+ - 3，
t
3 3
由基本不等式可得 y = t + 2 t 3× = 2 3，当且仅当 t = ，即 时取等号，
t t t
t = 3
2 - x
1 1 2 3所以当 x = 2 - 3 时， 2 取最大值，最大值为- + = ，x - x +1 2 3 - 3 3
é
m 2 3

所以 的取值范围为 ê ,+ ÷ .
3 1.3 不等式性质与三个一元二次
一元二次方程根的分布
设方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为 x1，x2，且 x1程的根即为二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条
件)．
（1）两根与 0 的大小比较即根的正负情况
两个负根即两根都小于 两个正根即两根都大于 一正根一负根即一个根小
分布情况
0(x1<0，x2<0) 0(x1>0，x2>0) 于 0，一个根大于 0(x1<0大致图象(a>0)
Δ > 0， Δ > 0，
b b
得出的结论 {－ < 0， － > 0， f(0)<02a { 2af（0） > 0 f（0） > 0
大致图象(a<0)
Δ > 0， Δ > 0，
b b
得出的结论 {－ < 0， － > 0， f(0)>02a 2af（0） < 0 {f（0） < 0
Δ > 0， Δ > 0，
综合结论(不讨论 a) { b b－ < 0， － > 0， a·f(0)<02a 2aa·f（0） > 0 {a·f（0） > 0
（2）两根与 k 的大小比较
两根都小于 k 即 x1分布情况 两根都大于 k 即 x1>k，x2>k
x2大致图象(a>0)
Δ > 0， Δ > 0，
b
得出的结论 {－ < k，2af（k） > 0 { b f(k)<0－ > k，2af（k） > 0
大致图象(a<0)
Δ > 0， Δ > 0，
{ b b f(k)>0得出的结论 － < k， {－ > k，2a 2af（k） < 0 f（k） < 0
Δ > 0， Δ > 0，
综合结论 (不讨 b b
－ < k， － > k， a·f(k)<0
论 a) { 2a { 2aa·f（k） > 0 a·f（k） > 0
（3）根在区间上的分布
两根有且仅有一根在
一根在(m，n)内，另一根 两根分别在区间(m，n)外，
分布情况 两根都在(m，n)内 (m，n)内(图象有两种
在(p，q)内，mn
情况，只画了一种)
大致图象(a>0)
f（m） > 0，
Δ > 0， {f（n） < 0，{f（m） > 0， f（p） < 0 或，得出的结论 f（n） > 0， f(m)·f(n)<0 f（m） < 0，f（q） > 0b {f（n） < 0；m < － < n2a {f（m）f（n） < 0，f（p）f（q） < 0
大致图象(a<0)
f（m） < 0，
Δ > 0， f（n） > 0，
{f（m） < 0， f 或（p） > 0，得出的结论 f（n） < 0， f(m)·f(n)<0 { {f（m） > 0，f（q） < 0b f（n） > 0.m < － < n2a {f（m）f（n） < 0，f（p）f（q） < 0
综合结论(不讨
__________ f(m)·f(n)<0 f（m）f（n） < 0，
论 a) {f（p）f（q） < 0
考点一 比较数（式）大小
【例 1-1】（2024 湖南长沙）已知 a = log3 2 ，b = log4 3 c = log5 4， ，则（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > b > a D． a > c > b
【例 1-2】（2024 辽宁丹东）（多选）下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． 24.1 > 4.12 B． 23.9 > 3.92
4
C． > log3 4 D． log4 5 > log3 3
4
1
【例 1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）设 a = ,b
ln5 ln6
= ,c = ，则（ ）
6 10 12
A． c < b < a B． cC．b【一隅三反】
1．（2024 吉林长春）（多选）设 a = log3 2 ，b = log4 3， c = log5 4，则（ ）
A． a < b B．b < c C． a > c D．无法确定
2（2023·云南）设 a = ln 2,b = log3 2，则（ ）
A． a + b > a - b > ab B． a - b > ab > a + b
C． a + b > ab > a - b D． ab > a + b > a - b
3（2024·重庆）（多选）下列大小关系正确的有（ ）
A． 22.1 > 2.12
1 ln 2
B． 23.9 < 3.92 C． < D． log5 3 < log 5ln 2 2 8
考点二 判断不等式的正误
【例 2-1】（2024 高三·全国·专题练习）若 a,b R ,且 a > b ，则（ ）
A． a < -b B． a > b
C． a2
1 1
< b2 D． >a b
【例 2-2】（2024 广西贺州）（多选）若a > b > 0， c < 0，则下列不等关系正确的是（ ）
a b 1 1
A． a + c > b + c B． 2 > C． ac > bc D． a + > b +c c2 b a
【一隅三反】
1．（2024 北京·期中）若 a > b，则下列结论正确的是（ ）
1 1
A． > B． a2 < b2 C． a3 > b3 D． a > ba b
1 1
2．（2024 上海）设 a,b R ，若 < < 0，则（ ）.a b
A． a < b B． a < b C． a + b > ab D． 2a < 2b
3．（2024 高三·全国·专题练习）若 a < b < 0，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． > B． a2 < ab
a - b b
b b +1
C． n > bn
4．（2024 四川成都）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若 a > b，则 a2 > b2 B．若 a > b，则3a > 3b
a b b + m b
C．若 a > b， c > d ，则 > D．若a > b > 0，m > 0，则 >
d c a + m a
考点三 代数式不等式范围
【例 3-1】（2024 云南）（多选）已知1 a 2，3 b 5，则（ ）
A． a + b 的取值范围为 4, 7 B．b - a的取值范围为 2,3
a é1 2ù
C．ab 的取值范围为 3,10 D． 的取值范围为 ,
b ê3 5 ú
【例 3-2】（2024 山东菏泽）已知-1 x + y 1，1 x - y 3，则3x - 2 y 的取值范围是（ ）
A． 2 3x - 2y 8 B．3 3x - 2y 8 C． 2 3x - 2y 7 D．5 3x - 2y 10
【例 3-3】（2024 云南大理）已知VABC 的三边长分别为 a，b ， c
c
，且满足b + c 3a，则 的取值范围为（ ）a
A． 1, + B． 1,3 C． 0,2 D． 0,3
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）已知1 a + b 4，-1 a - b 2 ，则 4a - 2b 的取值范围是（ ）
A． x - 4 < x <10 B． x - 3 < x < 6
C． x - 2 < x <14 D． x - 2 x 10
2．（2024 河北·阶段练习）（多选）已知-1 a 3,1 b 2，则以下命题正确的是（ ）
A．-1 ab 6 B．0 a + b 5
C．-2 a - b 1 D． a +1 b -1 4
a,b R ì
1 a + b 3
3．（2024 广东广州）已知 且满足 í ，则 4a + 2b1 a b 1 的取值范围是
.
- -
考点四 解无参不等式
【例 4】（2023 秋·内蒙古呼和浩特）求解下列不等式的解集：
2
(1) -x2
x +1 x - 5 4 - x
+ 4x + 5 < 0；(2) 2x2 - 5x + 2 0；(3) 4x -1 - 7 0；(4) < 0；(5) 1 . x - 2 2x + 3
3x +1 x +1
(6) x2 - 5x + 6 < 0；(7) -x2 + 2x + 3 < 0 ；(8) > -1；(9) 0 .3 - x x - 3
【一隅三反】
（2024 广东湛江）解下列关于 x 的不等式：
2 x +1 4x - 9
（1）-x + 2x + 3 > 0（2）(1) 6 - 2x2 - x < 0（3） 1．（4）(4) > 3 :(5) x - 6 < 2x2x - 3 x -1
x2(6) - 3x -10
2
2 0；(7)
2x - 3x - 5
2 1．(8) x
2 - 2 | x | -3 > 0 (9) (x + 4)(x + 5)2 (2 - x)3 2x -1 0 (10) > 1
x -1 3x -13x + 4 3 - 4x
考点五 解含参的一元二次不等式
【例 5-1】（2024 广东潮州）解下来关于实数 x 的不等式
（1） x2 - (a +1)x + a < 0 (2) ax2 - 2a -1 x - 2 0．（3） x2 - ax +1 < 0．
【例 5-2】（2024·
2
湖南邵阳）关于 x 的不等式 ax -1 < x2 恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
3- , -1 3 3 4 ù é 4 3 A． ÷ 1, ÷ B． - , - ,2 2 2 3 ú ê 3 2 ÷è è è
3- , -1ù 3 é1, 3 4 4 3 C． ú ê ÷ D． - , - ÷ 2 2 2 3
, ÷
è è è 3 2
【一隅三反】
1．（2024 2北京）关于 x 的不等式 x - a +1 x + a < 0的解集中至多包含 1 个整数，写出满足条件的一个 a的取值
范围 .
2（2024 湖北武汉）若关于 x 的不等式 kx - k 2 -1 x - 2 < 0有且仅有两个整数解，则实数 k 的取值范围是 .
3.（2024 江苏无锡）已知函数 f (x) = ax2 - (a + 4)x + 4 ．
(1)解关于 x 的不等式 f (x) < 0；
(2)若不等式 f (x) < 0有且仅有唯一整数解，求实数 a 的取值范围．
4. （2023·全国·高三专题练习）解下列关于 x 的不等式
（1） x - 2 x - a 0 （2） x2 + ax +1< 0 （3） x + a x - 2a +1 < 0 2．（4） ax - x +1- a 0 a 0
考点六 三个一元二次的关系
【例 6-1】（2024 云南昭通）不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，则b - a的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
【例 6-2】（2024 黑龙江大庆）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 x x < -2 或 x > 3 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． a > 0 B．关于 x 的不等式bx + c > 0的解集是 x x < -6
ì 1 1
C． a + b + c ü> 0 D．关于 x 的不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx x < - 或 x >3 2
【一隅三反】
1
1．（2024 广东揭阳）（多选）已知不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 - ，2÷，则下列结论正确的是（ ）
è 2
A． a > 0 B．b > 0
C． c > 0 D． a + b + c < 0
2．（2024 山东临沂）（多选）已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c 0的解集为{ x x -2或 x 1}，则（ ）
A．b > 0且 c < 0 B． 4a + 2b + c = 0
C．不等式bx + c > 0的解集为 x x ì> 2 D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx 1 x 1 ü- < < 2
3．（2024 江苏）（多选）关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 0的解集为 x x -1或x 4 ，下列说法正确的是（ ）
A． a > 0
ì 1 ü
B．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx - < x <1
4
3
C． + c 的最大值为-4
b
D．关于 x 的不等式 x2 + bx + c < 0解集中仅有两个整数，则 a
1 , 2 ù的取值范围是
è 7 5 ú
考点七 一元二次方程根的分布
【例 7-1 2024 x - a x - a - 2 = 0】（ 河南南阳）一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是
（ ）
A． a -2,1 B．a -2,0 C． a -1,0 D． a -1,1
【例 7-2】（2024 重庆）关于 x 2 2的一元二次方程 x + a -1 x + a - 2 = 0 有一个根小于 -1，另一个根大于 1，则 a
的取值范围是 .
【例 7-3】（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实
数解，则 a的取值范围是（ ）
6
A． - , -1
6
÷ B． - ,1

è 5 5 ÷ è
6 6
C． - , - ÷ U -1, + D． - , - ÷ U 1, +
è 5 è 5
【例 7-4】（2024 北京石景山）若关于 x 的一元二次方程 x2 - 2ax + 4 = 0有两个实根，且一个实根小于 1，另一个
实根大于 2，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - , -2 B． 2, +
5
C． ,+

÷ D． - ,-2 2, +
è 2
【一隅三反】
1．（2024 山西太原）（多选）已知关于 x 的方程 x2 + ax + a + 3 = 0，则（ ）.
A．当 a = 2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是-2 < a < 4
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 a > 6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 a < -4
2．（2024 辽宁大连）关于 x 的方程 ax2 + 4x +1 = 0至少有一个负根的充要条件是（ ）
A．0 < a 4 B． a 0 C． a < 4 D． a 4
3．（2024 2河南南阳）若方程 x + k + 2 x - k = 0的两实根均在区间 -1,1 内，求 k 的取值范围（ ）.
4, 1 1A． - -
é
B． -4 + 2 3, -

è 2 ÷ ê 2 ÷
é 4, 1 4 2 3, 1C． ê- - ÷ D． - + -

÷
2 è 2
4．（2024 2高三·全国·专题练习）关于 x 的方程 ax + a + 2 x + 9a = 0有两个不相等的实数根 x1, x2 ，且 x1 <1< x2 ，
那么 a的取值范围是（ ）
2
A．- < a
2 2
< B． a >
7 5 5
a 2 2C． < - D．- < a < 0
7 11
5 2．（2024 浙江）若关于 x 的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且 x1 <1, x2 >1．则
实数 a 的取值范围为 ．
考点八 一元二次（能）恒成立
【例 8-1】（2024 上海）若对于任意 x R ，ax2 - ax +1> 0恒成立，则实数 a的取值范围是 .
é1
【例 8-2】（2024 湖南郴州）"x ê , 2
ù
ú，不等式 x
2 + ax +1 0恒成立，则实数 a的取值范围为 .
2
【例8-3】（2024新疆哈密）已知关于 x 的不等式-x2 + 4x a2 - 3a 在 x [1, 4]上有解，则实数 a的取值范围是 ．
【一隅三反】
1．（2024 上海）若存在 x > 0，使得 x2 - ax +1 < 0，则实数 a 的取值范围 ．
2．（2024 2广西柳州）若不等式 a - 2 x + 2 a - 2 x - 4 < 0 对一切 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． -2,2
C． -2,2 D． - , -2
é 1 ù
3．（2024·重庆）已知命题“对"x ê- ,
1
ú m -1 x2，都有 - m +1 x +m +1 0恒成立”为真，则m 的取值范围ê 2 2 ú
为（ ）
é 1- ,+
é 1 1ù
A． ê ÷ B． ê- ,1÷÷ 1,+ C．3 ê 3 - , - ú D． - ,1 è 3
3
4 2．（2024 贵州铜仁）当 x -1,1 时，不等式2kx - kx - < 0恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
8
A． -3,0 1 1B． -3,0 C ù． -3, ÷ D．8 -3,è è 8 ú
5 2024 f x = 3x - 3- x．（ 河南南阳）已知函数 ，若"x 0, + 9x + 9- x， - af x 0，则实数 a的最大值为
（ ）
A．3 2 B． 2 2 C．2 D． 2
一．单选题
1．（2024 北京·期中）若 a，b 是任意实数，且 a > b，则（ ）
b
A． a2 > b2 B． <1 C． a - b >1 D． a - b > 0a
2．（2024 浙江杭州）已知 a、b 都是实数，则“a > b > 0”是“ | a |>| b | ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2024 上海浦东新）方程 x2 + 2ax - a = 0在区间 0,1 和 1,2 各有一个根的充要条件是（ ）
4
A． a - ,-1 B． a - , -13 ÷è
4
C． a - ,0÷ D． a -2, -1
è 3
4．（2024·浙江· 2模拟预测）若不等式 kx + k - 6 x + 2 > 0的解为全体实数，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 2 k 18 B．-18 < k < -2
C． 2 < k <18 D．0 < k < 2
5．（2024 浙江金华）若对于任意 x 1,2 ，不等式m + 2 - x 2 0 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．m -1 B．m 0 C．m 1 D．m 2 2
6．（2024 山东滨州）若不等式 x2 - ax + 4 0对任意 x 1,3 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0,4 B． - , 4 13ùC． - , ú D． - ,5 è 3
7．（2024 四川绵阳）设 a,b R ，且 a > b，则（ ）
2 2
A． < B． tan a > tan b C． 4 - a > 3 - b D． a a > b b
a b
8．（2024 河南信阳）若a > b > 0，那么下列不等式一定不成立的是（ ）
b +1 b a b a 1 1A． > B < C D + > b +a +1 a ． ． ．b a a > ab > b b a
二．多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
ì 1 ü
A．不等式 4x2 - 5x +1 > 0的解集是 íx x > 或x <1
4
ì 3 ü
B．不等式 2x2 - x - 6 0的解集是 íx x - 或x 2
2


C．若不等式 ax2 + 8ax + 21 < 0 恒成立，则 a 的取值范围是
1
D．若关于 x 的不等式 2x2 + px - 3 < 0的解集是 q,1 ，则 p + q 的值为-
2
10．（2024 湖南长沙）已知 a，b ， c R ，则下列结论正确的是（ ）
A．若a > b > 0 1 < 1，则 a b B．若 a > b，则 ac
2 > bc2
1
C．若a > b > 0，则 a + < b
1
+ D．若 a > 0，b > 0， 2a + 3a = 2b + 4b，则 a > bb a
11．（23-24 高三上·浙江绍兴·期末）已知 a R ，关于 x 的一元二次不等式 ax - 2 x + 2 > 0的解集可能是（ ）
ì
A． íx x
2
> 或 x < -2 B． x x > -2
a
ì
C． íx -2 < x
2 ü ì 2 ü
< D． íx < x < -2a a
三．填空题
12．（2024 江苏连云港）已知方程 x2 - 2ax + a2 - 4 = 0的一个实根小于 2，另一个实根大于 2，求实数 a的取值范
围 .
13 2．（2024 上海闵行）已知函数 f x = ax + 2ax - 3对任意实数 x 都有 f x < 0 成立，则实数 a的取值范围是 .
14（2024 重庆）若 x >1时， 4x2 - (3a + 2)x + 3a + 7 0 恒成立，则 a 的取值范围为______.
四．解答题
15．（2024 2高三·全国·专题练习）已知函数 f x = x + ax - 3
(1)若函数 f x 在 -4,5 上是单调函数，求实数 a的取值范围.
(2)当 a = 3, x -1,1 时，不等式 f x > m + 2x - 4恒成立，求实数m 的取值范围.
16．（2024·江西）已知 f x = - 3x2 + a 6 - a x +12 .
(1)若不等式 f x > b 的解集为 0,3 ，求实数 a、b 的值；
(2) a = 3 x -1,1 f x -3x2若 时，对于任意的实数 ，都有 + m + 9 x +10 ，求m 的取值范围.
17．（2024 山东济南）已知函数 f (x) = x2 - ax + b .
(1)若不等式 f (x) > 0 的解集为 (- ,1) U (3,+ )，求实数 a,b的值；
(2)当 f -1 = 0时，
（i）解关于 x 的不等式 f x > 0；
（i）若存在 x [1,2] ，使得 f x 0 ，求实数 a 的取值范围.
18．（2024 2辽宁）已知函数 y = 2x - a + 2 x + a,a R
(1)解关于 x 的不等式 y < 0 ；
x x
(2)若方程 2x2 - a + 2 x + a = x +1 2 1有两个正实数根 x1, x2 ，求 +x x 的最小值.1 2
19．（2024 江苏宿迁）已知函数 y = (m +1)x2 - mx + m -1(m R) ．
(1)若不等式 y < 0 的解集是空集，求 m 的取值范围；
(2)当m > -2时，解不等式 y≥m；
(3)若不等式 y 0的解集为 D，若 -1,1 D，求 m 的取值范围．

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