资源简介

2.3 函数的周期性及对称性
考点一 函数的对称性
3
【例 1-1】（1）（2024·四川南充·二模）已知函数 f x = ，则函数 y = f x -1 +1x 的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 -1,1 对称
C．关于点 -1,0 对称 D．关于点 1,0 对称
（2）（2024·河北唐山·一模）已知函数 f (x) = x3 + ax2 + x + b的图像关于点 1,0 对称，则b =（ ）
A．-3 B． -1 C．1 D．3
（3）（2024 江苏扬州）定义在R 上的函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象关于 y 轴对称，且函数 y = f (x - 2) +1是奇
函数，则函数 y = g(x) 图象的对称中心为（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【例1-2】（1）（2024·云南昆明）设 f x 是定义域为 R 的奇函数，且 f 2 + x = f -x ，当 x 0,1 x时， f x = 4 -1，
f 7 ÷ = ．
è 2
2 2
（2）（2024·广西南宁）若函数 f (x) = 1- x x + ax + b ，a,b R的图象关于直线 x = 2对称，则
a + b= ．
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f 1+ x = f 1- x ， f 1 = 2 ，则
f 2 + f 3 + f 4 =（ ）
A．0 B． -2 C．2 D．6
1 4 1
2．（2024上海）若直线 2ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 过函数 f (x) = + 2 图象的对称中心，则 + 最小
x -1 a b
值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
3．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为 R 的函数 f x 的图象关于点 1,0 成中心对称，且当 x 1时，
f x = x2 + mx + n ，若 f -1 = -7，则m + 2n =（ ）
3 1
A 0 B 1． ． 2 C．- D．-2 2
4．（2023·河北衡水·一模）（多选）已知函数 f x 的图象的对称轴方程为 x = 3，则函数 f x 的解析式可以是
（ ）
A． f x = x 1+ B． f x = ex-3 + e3-x
x + 3
C 4． f x = x -18x2 D f x = x2． - 6x
5．（2024 江苏）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x = .① f x 是定义域为 R 的奇函数；
② f 1+ x = f 1- x ；③ f 1 = 2 .
考点二 函数的周期性
【例 2-1】（2023·上海嘉定·三模）函数 y = f x ， x R 满足 f x + 2 = f x ，当 0 < x 2， f x = log2 x +1 ，
则 f -2023 = .
【例 2-2】．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = - f (x) ，且当0 < x < 2时，
f (x) = 3x - ln x，则 f (211) = .
f x 2 1【例 2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知定义在R 上的函数 f x 满足 + = - f x ，当 x 2,4 时，
f x =1+ log3x ，则 f 99 =（ ）
1
A．1 B．2 C．- D．-2
2
【例 2-4】（2024·陕西西安·一模）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x = f x + 2 ，则以下说法错误的是
（ ）
A． f 0 = 0 B． f x 是周期函数，且 2 是其一个周期
C． f 2025 =1 D． f 3 = f 4 + f 5
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，且周期T = 6 .若当 x -3,0 时， f (x) = 4- x ，则
f 2024 =（ ）
1 1
A．4 B．16 C． D．
16 4
2．（2024山东淄博市）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，且在 -1,0 上有 f x = 4x ，
则 f 2020.5 =
1 1
A．2 B． C． -2 D．-
2 2
3（2024广西柳州）已知 f (x) 是定义域为 (- , + )的奇函数，且满足 f (x + 2) = - f (x).若 f (1) = 2，则
f (1) + f (2) + f (3) + ×××+ f (2020) = _______________.
考点三 函数对称性与周期性的综合运用
【例 3-1】（2022·全国·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R, f (-x) = f (x), f (1
1 1
- x) = - f (x) f 若 ÷ = ，则
è 5 5
f 16 5 ÷
=（ ）
è
1 1 16 16
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
【例3-2】（2023·贵州黔西·一模）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且 f x 的图象关于 x =1对称．若 f 1 = 3，
则 f 2 + f 3 +L+ f 50 = （ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【例 3-3】（2024·河南·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的函数，满足 f x - 4 = f -x ，且满足 f 3x -1 为奇
函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 f x 图象关于直线 x =1对称 B．函数 f x 的周期为 2
1
C．函数 f x 图象关于点 - ,0

÷中心对称 D． f 2023 = 0
è 3
【一隅三反】
1．（2024 海南省）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且 f 1 = 3， f 5 - x = - f 1- x ，则
f 2024 + f 2023 = （ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
3
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的奇函数，若 f x + 2 ÷为偶函数且 f 1 = 2 ，则è
f 2022 + f 2023 + f 2024 =（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
3．（2024·山东菏泽）（多选）已知函数 f x 的定义域为 R， f x +1 为奇函数，且对"x R ， f x + 4 = f -x
恒成立，则（ ）
f x f 3 = 0 f 1 5 A． 为奇函数 B． C． ÷ = - f ÷ D． f 2023 = 0
è 2 è 2
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + 2 - 2为奇函数， f 3x +1 为偶函数，
2024
f 1 = 0，则 f k =（ ）
k =1
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
考点四 函数四大性质综合运用
【例 4-1】（1）（2023·河北邯郸·一模）已知函数 f x -1 为偶函数，且函数 f x 在 -1, + 上单调递增，则关于
x 的不等式 f 1- 2x < f -7 的解集为（ ）
A． - ,3 B． 3, + C． - , 2 D． 2, +
（2）（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R， f 1- x = f x ，且 f x é1 在 ê ,+ 2 ÷上单调递减，则
关于 x 的不等式 f x +1 > f 2 - 3x 的解集为（ ）
, 1 1- - - , 1+ ,1 A． B．4 ÷ è è 4 ÷
1
C． - ,

÷ 1, +
1
D ． -1,- ÷
è 4 è 4
【例 4-2】（1）（2024 广东）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x - 4 = - f x ，且在区间 0,2 上是增函数，
则（ ）
A． f 16 < f -17 < f 18 B． f 18 < f 16 < f -17
C． f 16 < f 18 < f -17 D． f -17 < f 16 < f 18
（2）（2023·新疆·校联考二模）已知函数 f x = ln x - 2 + x2 - 4x，若 a = f log2 9 ， b = f log4 18 ， c = f 1 ，
则（ ）
A． a > c > b B． c > b > a
C． a > b > c D． c > a > b
【一隅三反】
1．（2024 江西宜春·开学考试）已知定义在 R 上的函数 f x 在 - ,3 上单调递增，且 f x + 3 为偶函数，则不
等式 f x +1 > f 2x 的解集为（ ）．

A． 1,
5 5
÷ B． - ,1 ,+ ÷ C． -3, -2 D． - , -3 U -2, +
è 3 è 3
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义域为R 的函数 f x 在 2, + 单调递减，且 f 4 - x + f x = 0，则使得
2
不等式 f x + x + f 2x < 0成立的实数 x 的取值范围是（ ）
A．-4 < x <1 B． x < -1或 x > 3 C． x < -3或 x >1 D． x<- 4或 x >1 .
1
3.（2023 春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数 f x é在 ê0,
ù
2ú 上单调递减，
f x +1 = - f -x ， y = f x -1 为

3
偶函数，当 x -2, -1 时， f x = -x -1，若 a = f - ÷÷，b = f (ln 2)， c = f log3 1458 ，则 a3 ，b，c 的大小è
关系是（ ）
A．b4．（2024 湖南长沙）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x +1 = - f -1+ x ，且在区间 1,2 上 f x 是增函数，
令 a = sin
π
，b = sin
3π c 5π， = sin ，则 f a ， f b ， f c 的大小关系为 .7 7 7
5．（2024·四川达州·二模）已知函数 f x 满足 f x + f -x + 4 = 0，且 f x 在 - ,0 上单调递增，当 x > 2时，
f x = ex + x2 - mx，则 m 的取值范围为（ ）
A． - , e4 + 8ù 2 B． - , e + 4ù 4 C． é e + 8, + D 2． ée + 4, +
考点五 抽象函数的性质
【例 5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数 f (x) 的定义域为R ，设 g(x)为 f (x) 的导函数，
f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (1- y)， f (1) 0， f (2) = 0，则（ ）
A． f 1 = 2 B． g 1 = 0
C． g(x)是奇函数 D． f (x +1) + f (x + 2023) = 0
【例 5-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)，
f (2) = -1，则（ ）
A． f (0) = 0 B． f (x) 为偶函数
30
C． f (x) 的图象关于点 (1，0) 对称 D． f (i) = -1
i=1
【一隅三反】
1．（2024·河南新乡·二模）已知函数 f x 满足 f x + y +1 = f x + f y ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． f x +1是奇函数 B． f x -1 是奇函数 C． f x -1是奇函数 D． f x +1 是奇函数
2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)， f (0) =1，
2024
f (3x +1) = - f (-3x +1) ，则 f (k) = （ ）
k =0
A．-2 B． -1 C．0 D．1
2 3
3．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 f x 满足 f x + y + f x - y = f x f y ，f 1 = ，则下列结论不正确
3 2
的是（ ）
A． f 0 =3 1 B．函数 f 2x -1 关于直线 x = 对称 C． f x + f 0 0 D． f x 的周期为 3
2
考点六 奇函数+常数模型
x 1
【例 6-1 2024· 2 】（ 吉林·模拟预测）已知函数 f x = ex - e- x + x ，若 f lg m = 3，则 f lg ÷ = ．1+ 2 è m
【一隅三反】
1
1 2．（2024·山西临汾）已知函数 f x = ln 4x +1 + 2x - x ，若 f log2 a = 2，则 f2 1 log 1 a ÷ = ．+ è 2
2 2024 f x e
x
．（ 河南省）已知函数 = f lg log 10 = ax - x ，若 3 ，则 f lg lg3 =（ ）e + e
A． ea-1 B．3a -1 C． e1-3a D．1- a
一．单选题
1．（2024 x江西上饶）已知 f x = e - e- x + 2022 ，若 f a = 2，则 f -a = （ ）
A．4042 B．2024 C．-4042 D．-2024
2（2024·山东烟台·一模）已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f 2- x =f x ，当0 x 1时， f x = 2x -1，则
f log212 = （ ）
1 1 1
A．- B．- C 1． D．
3 4 3 2
3．（2023·广西·模拟预测）已知定义在R 上的函数 f x 在 - , 2 上单调递减，且 f x + 2 为偶函数，则不等式
f x -1 > f 2x 的解集为（ ）
5 5
A． - , - ÷ U 6,+ B． - , -1 U

, +

÷
è 3 è 3
5 5
C． - ,1÷ D． -1, ÷
è 3 è 3
4．（2024·山东青岛·一模）"x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，则 f (2024)的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
5.（2024·江苏连云港）函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x) 与 f (x +1)都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A． f (x -1) 为奇函数 B． f (x) 为周期函数
C． f (x + 3) 为奇函数 D． f (x + 2)为偶函数
6．（2024黑龙江））已知定义在 R上的偶函数 f x 满足 f (x + 2) = - f (x)，当 x 0,1 时 f (x) = 2x -1，则
（ ）
A． f (6) < f (-7) < f (11) B． f (11) < f (6) < f (-7)
2 2
f (6) f (11C． < ) < f (-7) 11D． f ( ) < f (-7) < f (6)
2 2
7. 2023· · f x = ex-2 2-x（ 四川成都 校考三模）已知函数 + e + 2x2 -8x + 7 ,则不等式 f 2x + 3 > f x + 2 的解集为
（ ）
( 1 1 1A． - ，- ) B． (- , -1) U (- , + )
3 3
1 1
C． (- ，1) D． (- , - ) (1, + )
3 3
a b a b
8（2023·河南·三模）我们称 c d 为
“二阶行列式”，规定其运算为 = ad - bcc d ．已知函数
f x 的定义域为
x f (y)
(- ,0) U (0, + )，且 f x 0，若对定义域内的任意 x, y都有 = 0y f (x) ，则（ ）
A． f 1 =1 B． f x 是偶函数 C． f x 是周期函数 D． f x 没有极值点
二．多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 及其导函数 f (x) 的定义域均为R ，若 f (1- x)， f (5 - 2x) 均为奇函数，
则（ ）
A． f (1) = 0 B． f (1) = 0
C． f (2023) = - f (2021) D． f (2023) = - f (2031)
10．（2024·新疆·二模）已知 f x 是定义域为R 的函数，满足 f x +1 = f x - 3 , f 1+ x = f 3 - x ，当0 x 2
时， f x = x2 - x，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为 4
B． f x 的图象只关于直线 x = 2对称
C．当0 x 6时，函数 f x 有 5 个零点
1
D．当6 x 8时，函数 f x 的最小值为-
2
11 ．（ 2024· 广东韶关 · 二模）已知定义在 R 上的函数 f x , g x 的导函数分别为 f x , g x ，且
f x = f 4 - x ， f 1+ x - g x = 4, f x + g 1+ x = 0，则（ ）
A． g x 关于直线 x =1对称 B． g 3 = 1
C． f x 的周期为 4 D． f n × g n = 0 n Z
三．填空题
12．（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点 1,0 对称的函数的解析式 ．
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R，若 f 4 - x + f 2 + x = 6，
f 2 =1，且当 x < 3时 f x 单调递减，则 f x 1的解集为 ．
14．（2024·吉林白山·一模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + y + f x - y = f x f y ， f 1 =1，请写
出满足条件的一个 f x = （答案不唯一）， f 2024 = ．
四．解答题
15．（2024 重庆·阶段练习）函数 f x 对任意的实数 a，b，都有 f a + b = f a + f b - 3，且当 x > 0时，
f x > 3 .
(1)求 f 0 的值；
(2)求证： f x 是 R 上的增函数；
(3) - x解关于实数 x 的不等式 f 5 ×9 + f 1- 2 ×3- x+1 > 6 .
16．（2024 上海·阶段练习）设函数 y = f x 的定义域D R ,若对任意 x D ，均有 f -x - f x 成立，则称
y = f x 为“无奇”函数．
(1)判断函数① f x = x2 g x lg 2 - x和② = 1 x 是否为“无奇”函数，说明理由；+
(2)若函数 h x = 3x3 - 2x2 + x + a 是定义在 -1,2 上的“无奇”函数，求实数 a 的取值范围；
1
(3)若函数 r x = x+1 + m 是“无奇”2 1 函数，求实数 m 的取值范围．+
17．（2024 江苏淮安·期末）已知 f x 是定义在 R 上的函数，满足： f -x + f x = 0， f -x = f 2 + x ，且当
x 0,1 时， f x = x2 + x．
5
(1)求 f 2 ÷
的值；
è
(2)当 x -1,0 时，求 f x 的表达式；
(3)若函数 f x 在区间 a,b （ a < b ）上的值域为 2a, 2b ，求 a + b 的值．
18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的周期函数，周期T = 5，函数 y = f (x) （-1 x 1）
是奇函数．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x = 2时函数取得最小值-5．
(1)证明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．
19．（2024 上海·期中）已知定义在全体实数上的函数 f x 满足：① f x 是偶函数；② f x 不是常值函数；③
对于任何实数 x、y，都有 f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ．
(1)求 f 1 和 f 0 的值；
(2)证明：对于任何实数 x ，都有 f x + 4 = f x ；
(3)若 f x 还满足对0 < x <1有 f x > 0，求 f 1 2 2026 ÷ + f ÷ +L+ f ÷ 的值．
è 3 è 3 è 3 2.3 函数的周期性及对称性
考点一 函数的对称性
3
【例 1-1】（1）（2024·四川南充·二模）已知函数 f x = ，则函数 y = f x -1 +1x 的图象（ ）
A．关于点 1,1 对称 B．关于点 -1,1 对称
C．关于点 -1,0 对称 D．关于点 1,0 对称
（2）（2024·河北唐山·一模）已知函数 f (x) = x3 + ax2 + x + b的图像关于点 1,0 对称，则b =（ ）
A．-3 B． -1 C．1 D．3
（3）（2024 江苏扬州）定义在R 上的函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象关于 y 轴对称，且函数 y = f (x - 2) +1是奇
函数，则函数 y = g(x) 图象的对称中心为（ ）
A． (2,1) B． (-2,-1) C． (-2,1) D． (2,-1)
【答案】（1）A（2）C（3）D
【解析】（1）函数 f x 3= 的定义域为 x | x 0 ，又 f -x 3= - = - f x x x ，
f x 3所以 = f x 0,0 x 为奇函数，则函数 的图象关于原点 对称，
3
又 y = f x -1 +1的图象是由 f x = x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
所以函数 y = f x -1 +1的图象关于点 1,1 对称.故选：A
（2）Q f x 图象关于点 1,0 对称，\ f x + f 2 - x = 0，
又 f 2 - x = 2 - x 3 + a 2 - x 2 + 2 - x + b = -x3 + a + 6 x2 - 4a +13 x +10 +4a +b，
ì2a + 6 = 0
\ f x + f 2 - x = 2a + 6 x2 - 4a +12 x +10 + 4a + 2b = 0 ，\ í4a +12 = 0 ，解得： a = -3，b =1.故选：C.

10 + 4a + 2b = 0
（3）由题意得函数 y = f (x - 2) +1是奇函数，则 y = f (x) 关于 -2, -1 对称，
另知函数 y = f (x) 和 y = g(x) 的图象关于 y 轴对称，故 y = g(x) 关于 (2,-1)对称，故选：D
【例1-2】（1）（2024·云南昆明）设 f x 是定义域为 R 的奇函数，且 f 2 + x = f -x ，当 x 0,1 时， f x = 4x -1，
f 7 = ．
è 2 ÷
（2）（2024· 2 2广西南宁）若函数 f (x) = 1- x x + ax + b ，a,b R的图象关于直线 x = 2对称，则
a + b= ．
【答案】（1） -1（2）7
【解析】（1）因为 f 2 + x = f -x ，且 f x 是定义在 R 上的奇函数所以
f 7 ÷ = f

2
3 f ( 3) 1 1+ ÷ = - = - f (2 - ) = - f ( )
x
，因为当 x 0,1 时， f x = 4 -1，
è 2 è 2 2 2 2
f 7 = - f 1 所以 ÷ ÷ = -1.故答案为： -1
è 2 è 2
ì f (0) = f (4) ìb = -15(16 + 4a + b) ìa = -8
（2）由题意 f (2 + x) = f (2 - x)，即 f (x) = f (4 - x)，所以 í f (1) f (3) ，即 ，解得 ， =
í í
0 = -8(9 + 3a + b) b =15
此时 f (x) = (1- x2 )(x2 -8x +15) = -x4 + 8x3 -14x2 -8x +15，
f (4 - x) = -(4 - x)4 + 8(4 - x)3 -14(4 - x)2 -8(4 - x) +15
= -(x4 -16x3 + 96x2 - 256x + 256) + 8(64 - 48x +12x2 - x3) -14(16 -8x + x2 ) - 32 + 8x +15 = -x4 + 8x3 -14x2 -8x +15
= f (x)，满足题意．
所以 a = -8,b =15， a + b = 7 ．故答案为：7．
【一隅三反】
1．（2024安徽合肥）已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f 1+ x = f 1- x ， f 1 = 2 ，则
f 2 + f 3 + f 4 =（ ）
A．0 B． -2 C．2 D．6
【答案】B
【解析】因为 f 1+ x = f 1- x ，所以 f (x) 关于直线 x =1对称；
又因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，
所以 f 1+ x = f 1- x = - f x -1 ， f 0 = 0，
则 f x + 2 = - f x ，因此 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
所以 f x 是周期为 4 的函数，因此 f 4 = f 0 = 0 ， f 3 = f -1 = - f 1 = -2；
又 f (x) 关于直线 x =1对称，所以 f 2 = f 0 = 0 ；
因此 f 2 + f 3 + f 4 = 0 - 2 + 0 = -2。
故选：B.
1 4 1
2．（2024上海）若直线 2ax + by - 2 = 0 a > 0,b > 0 过函数 f (x) = + 2 图象的对称中心，则 + 最小
x -1 a b
值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由题意得，函数 f (x) 1= + 2 图象的对称中心为 1,2 ，
x -1
∴ 2a + 2b - 2 = 0，即 a + b =1，
4 1
+ =
4 1 (a b) 4 1 a 4b a 4b∴ + ÷ + = + + + = 5 + 2 = 9，a b è a b b a b a
a 4b
当且仅当 = ，即 a = 2b
2
= 时取等号.
b a 3
故选：D.
3．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为 R 的函数 f x 的图象关于点 1,0 成中心对称，且当 x 1时，
f x = x2 + mx + n ，若 f -1 = -7，则m + 2n =（ ）
3 1
A．0 B 1． C．- D．-2 2 2
【答案】C
【解析】依题意， f 3 = 9 + 3m + n ，又 f 3 = - f -1 = 7 ，
所以3m + n = -2 ①，而 f 1 = m + n +1 = 0 ②，
1 1
联立①②，解得：m = - ， n = - ，则m + 2n
3
= - ．
2 2 2
故选：C
4．（2023·河北衡水·一模）（多选）已知函数 f x 的图象的对称轴方程为 x = 3，则函数 f x 的解析式可以是
（ ）
A． f x 1= x + B f x = ex-3． + e3-x
x + 3
C 4． f x = x -18x2 D． f x = x2 - 6x
【答案】BD
【解析】若 f x 的图象的对称轴方程为 x = 3，则 f 6 - x = f x ；
1
对于 A， f 6 - x = 6 - x + f x ，A 错误；
9 - x
B f 6 - x = e3-x + ex-3对于 ， = f x ，B 正确；
对于 C，Q f 0 = 0 4， f 6 = 6 -18 62 = 648，\ f 0 f 6 ，
即 f 6 - x = f x 不恒成立，C 错误；
2
对于 D， f 6 - x = 6 - x - 6 6 - x = x2 - 6x = f x ，D 正确.
故选：BD.
5．（2024 江苏）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x = .① f x 是定义域为 R 的奇函数；
② f 1+ x = f 1- x ；③ f 1 = 2 .
πx
【答案】 2sin （答案不唯一）
2
【解析】由条件①②③可知函数对称轴为 x =1，定义域为 R 的奇函数，可写出满足条件的函数
f (x) π= 2sin x .
2
π
故答案为： 2sin x（答案不唯一）
2
考点二 函数的周期性
【例 2-1】（2023·上海嘉定·三模）函数 y = f x ， x R 满足 f x + 2 = f x ，当 0 < x 2， f x = log2 x +1 ，
则 f -2023 = .
【答案】1
【解析】因为 x R 满足 f x + 2 = f x ，所以 y = f x 的周期为 2， f -2023 = f 1 = log2 1+1 =1 .
故答案为：1.
【例 2-2】．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R 的函数 f (x) 满足 f (x + 2) = - f (x) ，且当0 < x < 2时，
f (x) = 3x - ln x，则 f (211) = .
【答案】-3
【解析】由已知可得 f x + 2 + f x = 0，所以 f x + 4 + f x + 2 = 0，
所以 f x + 4 = f x ，即T = 4是函数 f x 的一个周期，
所以 f 211 = f 3 = - f 1 = - 31 - ln1 = -3 .
故答案为：-3
1
【例 2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x + 2 = - f x ，当 x 2,4 时，
f x =1+ log3x ，则 f 99 =（ ）
1
A．1 B．2 C．- D．-2
2
【答案】B
1 f x 4 1 1f x 2 + = - = - = f x 【解析】因为 + = - f x ，所以 f x + 2
1
- ，
f x
所以 f x 是以 4 为周期的周期函数，所以 f 99 = f 3+ 96 = f 3 =1+ log33 = 2 .故选：B
【例 2-4】（2024·陕西西安·一模）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x = f x + 2 ，则以下说法错误的是
（ ）
A． f 0 = 0 B． f x 是周期函数，且 2 是其一个周期
C． f 2025 =1 D． f 3 = f 4 + f 5
【答案】C
【解析】选项 A，因为 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f (-0) = f (0) = - f (0)，即 f 0 = 0，所以选项 A 正确，
选项 B，由 f x = f x + 2 ，知 f x 是周期函数，且 2 是其一个周期，所以选项 B 正确，
选项 C，因为 f 2025 = f (1+ 2 1012) = f (1) ，又 f -1 = f -1+ 2 = f (1) ， f -1 = - f (1)，得到 f (1) = 0，所
以选项 C 错误，
选项 D， f 3 = f (1) = 0, f 4 + f 5 = f (0) + f (1) = 0，所以选项 D 正确，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 f x 是定义在 R 上的偶函数，且周期T = 6 .若当 x -3,0 时， f (x) = 4- x ，则
f 2024 =（ ）
1 1
A．4 B．16 C． D．
16 4
【答案】B
2
【解析】因为 f 2024 = f 6 337 + 2 = f 2 = f -2 = 4 =16 .故选：B.
2．（2024山东淄博市）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，且在 -1,0 上有 f x = 4x ，
则 f 2020.5 =
1 1
A．2 B． C． -2 D．-
2 2
【答案】D
【解析】因为定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x = f 2 - x ，
所以 f 2 + x = f -x = - f (x) ，
所以 f 2 + 2 + x = - f (2 + x) = - - f (x) = f (x) ，即函数 f x 是周期为 4的周期函数，
又 x -1,0 时有 f x = 4x ，
所以 f 2020.5 = f (0.5) = - f (-0.5) = -4-0.5 1= - 故选：D.
2
3（2024广西柳州）已知 f (x) 是定义域为 (- , + )的奇函数，且满足 f (x + 2) = - f (x).若 f (1) = 2，则
f (1) + f (2) + f (3) + + f (2020) = _______________.
【答案】0
【解析】由 f (x + 2) = - f (x)知： f (x) = f (x + 4) ，即 f (x) 的周期为 4，
∵ f (x) 是定义域为 (- , + )的奇函数，有 f (0) = 0，又 f (1) = 2，
∴ f (2) = f (0 + 2) = - f (0) = 0， f (3) = f (1+ 2) = - f (1) = -2， f (4) = f (0 + 4) = f (0) = 0，
∴ f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0，
∴ f (1) + f (2) + f (3) + + f (2020) = 505[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4)] = 0.
故答案为：0
考点三 函数对称性与周期性的综合运用
【例 3-1】（2022·全国·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R, f (-x) = f (x), f (1
1
- x) = - f (x) f 1若 ÷ = ，则
è 5 5
f 16 =
è 5 ÷
（ ）

1 1 16 16
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】A
【解析】由 f (1- x) = - f (x)，用1+ x代 x ,得 f (-x) = - f (1+ x)，
又 f (-x) = f (x)，所以 f (1+ x) = - f (x) ，得 f (x + 2) = - f (x +1) = f (x)，故 f (x) 的周期为 2 ,
f 16 f 2 6 f 6 1 1 1所以 ÷ = + = = f

5 5 ÷ 5 ÷
1+ ÷ = - f ÷ = - .故选：A．
è è è è 5 è 5 5
【例3-2】（2023·贵州黔西·一模）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且 f x 的图象关于 x =1对称．若 f 1 = 3，
则 f 2 + f 3 +L+ f 50 = （ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
【答案】C
【解析】因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f -x = - f x ，且 f 0 = 0，
又 f x 的图象关于 x =1对称，则 f x = f 2 - x ，
即 f x = - f x - 2 ①，则 f 2 = - f 0 = 0 ， f 3 = - f 1 = -3，
在①中，令 x x + 2 ，得 f x + 2 = - f x = f x - 2 ，
则 f x = f x + 4 ，所以函数 f x 的周期为 4，即 f 4 = f 0 = 0 ，
则有 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 3+ 0 + -3 + 0 = 0，
所以 f 2 + f 3 +L+ f 50 = f 1 + f 2 +L+ f 50 - f 1
= é f 1 + f 2 +L+ f 48 ù + f 4 12 +1 + f 4 12 + 2 - f 1
=12 0 + f 1 + f 2 - f 1 = f 2 = 0 ，
故选：C.
【例 3-3】（2024·河南·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的函数，满足 f x - 4 = f -x ，且满足 f 3x -1 为奇
函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数 f x 图象关于直线 x =1对称 B．函数 f x 的周期为 2
f x 1- ,0 C．函数 图象关于点 ÷中心对称 D． f 2023 = 0
è 3
【答案】D
【解析】因为 f x 满足 f x - 4 = f -x ，所以 f é -2 + x - 2 ù = f é-2 - x - 2 ù ，
所以函数 f x 图象关于直线 x = -2对称，
因为 f 3x -1 为奇函数，所以 f -3x -1 = - f 3x -1 ，即 f -3x -1 + f 3x -1 = 0，
则函数 f x 图象关于 -1,0 对称，则 f -2 + x = - f x ，
令 x = 0得 f -1 = 0，由 f -2 + x = - f x ，得 f -4 + x = f x ，所以函数 f x 的周期为 4，
所以 f 2023 = f 505 4 + 3 = f 3 = f -1 = 0，故选：D
【一隅三反】
1．（2024 海南省）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，且 f 1 = 3， f 5 - x = - f 1- x ，则
f 2024 + f 2023 = （ ）
A．-3 B．0 C．3 D．6
【答案】A
【解析】因为 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f x = 0， f -x = - f x ，
因为 f 5 - x = - f 1- x ，所以 f 5 + x = - f 1+ x ，则 f 4 + x = - f x ，
所以 f 8 + x = - f 4 + x = f x ，所以 f x 是以8为周期的一个周期函数，
所以 f 2024 + f 2023 = f 253 8 + f 253 8 -1 = f 0 + f -1 = f 0 - f 1 = f 0 - f 1 = -3 .
故选：A．
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 f x f x 3 是定义在R 上的奇函数，若 + 2 ÷为偶函数且 f 1 = 2 ，则è
f 2022 + f 2023 + f 2024 =（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，则 f -x = - f x ，且 f 0 = 0，
f x 3 3 3+ 又 2 ÷为偶函数，则
f -x + ÷ = f x + ÷ ，即 f (x + 3) = f (-x)，
è è 2 è 2
于是 f (x + 3) = - f (x)，则 f (x + 6) = - f (x + 3) = f (x)，即 f x 是以6为周期的周期函数，
由 f 1 = 2 ，得 f 2 = f 1 = 2， f 2022 = f 6 337 = f 0 = 0，
f 2023 = f 6 337 +1 = f 1 = 2， f 2024 = f 6 337 + 2 = f 2 = 2，
所以 f 2022 + f 2023 + f 2024 = 4 .
故选：D
3．（2024·山东菏泽）（多选）已知函数 f x 的定义域为 R， f x +1 为奇函数，且对"x R ， f x + 4 = f -x
恒成立，则（ ）
A． f x 为奇函数 B． f 3 = 0 f 1 = - f 5 C． ÷ ÷ D． f 2023 = 0
è 2 è 2
【答案】BCD
ì f x + 2 = - f -x ,
【解析】因为 f x +1 为奇函数，所以 f 1- x = - f 1+ x ，故 í
f 2 - x = - f x ,
又 f x + 4 = f -x ，所以 f 2 + x = f 2 - x ，故 f x + 2 = - f -x = - f x ，
所以 f -x = f x ， f x 为偶函数，A 错误；
f x +1 为奇函数，所以 f 1 = 0， f 2 + x = f 2 - x ，所以 f 3 = f 1 = 0，B 正确；
f 5 f 3 3 1 1 5 ÷ = ÷，又 f x 的图象关于点 1,0 对称，所以 f ÷ = - f
f = - f ÷，所以2 2 2 2 2 ÷ 2 ÷
，C 正确；
è è è è è è
又 f x + 4 = f -x = f x ，所以 f x 是以 4 为周期的函数，
f (2023) = f (505 4 + 3) = f (3) = 0，D 正确．故选：BCD．
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + 2 - 2为奇函数， f 3x +1 为偶函数，
2024
f 1 = 0，则 f k =（ ）
k =1
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
【答案】D
【解析】由题意得 f x + 2 - 2为奇函数，所以 f x + 2 - 2 + f -x + 2 - 2 = 0，即 f x + 2 + f -x + 2 = 4，所以
函数 f x 关于点 2,2 中心对称，
由 f 3x +1 为偶函数，所以可得 f x +1 为偶函数，则 f x +1 = f -x +1 ，所以函数 f x 关于直线 x =1对称，
所以 f x + 2 = f -x = - f -x + 2 ，从而得 f x = f x + 4 ，所以函数 f x 为周期为 4 的函数，
因为 f 1 = 0，所以 f 1 + f 3 = 4 ，则 f 3 = 4，
因为 f x 关于直线 x =1对称，所以 f 3 = f -1 = 4，
又因为 f x 关于点 2,2 对称，所以 f 2 = 2，
又因为 f 4 = f -2 = f 0 ，又因为 f -2 = f -2 + 4 = f 2 = 2，所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 8，
2024
所以 f k 2024= 4 é f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ù = 4048，故 D 正确.故选：D.k =1
考点四 函数四大性质综合运用
【例 4-1】（1）（2023·河北邯郸·一模）已知函数 f x -1 为偶函数，且函数 f x 在 -1, + 上单调递增，则关于
x 的不等式 f 1- 2x < f -7 的解集为（ ）
A． - ,3 B． 3, + C． - , 2 D． 2, +
（2）（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R， f 1- x = f x ，且 f x é1在 ê ,+

2 ÷上单调递减，则
关于 x 的不等式 f x +1 > f 2 - 3x 的解集为（ ）
A． 1 1- , -1 - , +

÷ B．4
,1÷
è è 4
1 1
C． - , ÷ 1, + D ． -1,-

è 4 ÷ è 4
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为 f x -1 为偶函数，所以 f x -1 的图象关于 y 轴对称，则 f x 的图象关于直线 x=-1对
称．
因为 f x 在 -1, + 上单调递增，所以 f x 在 - , -1 上单调递减．
因为 f 1- 2x < f -7 = f (5)，所以-7 <1- 2x < 5，解得 x < 3．
故选：A.
（2）因为 f 1- x = f x f 1 x 1 1 1， - + ÷÷ = f x + ÷ = f - x 12 2 2 ÷，所以函数 f x 的图象关于直线 x = 对称，è è è è 2
又 f x é1在 ê ,
1
+ f x - , ù
2 ÷上单调递减，所以 在 上单调递增， è 2 ú
1 1
结合草图可知：要使 f x +1 > f 2 - 3x ，则 x +1到 的距离小于2 - 3x 到 的距离，故不等式
2 2
f x +1 > f 2 - 3x 等价于 x +1 1- < 2 - 3x 1- ，两边同时平方后整理得 4x2 - 5x +1 > 0，解得 x >1或2 2
x 1< .
4
故选：C．
【例 4-2】（1）（2024 广东）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x - 4 = - f x ，且在区间 0,2 上是增函数，
则（ ）
A． f 16 < f -17 < f 18 B． f 18 < f 16 < f -17
C． f 16 < f 18 < f -17 D． f -17 < f 16 < f 18
2
（2）（2023·新疆·校联考二模）已知函数 f x = ln x - 2 + x - 4x，若 a = f log2 9 ， b = f log4 18 ， c = f 1 ，
则（ ）
A． a > c > b B． c > b > a
C． a > b > c D． c > a > b
【答案】（1）D（2）A
【解析】（1）由题意可知 f x + 8 = - f x + 4 = f x ，故函数 f x 是周期函数，且周期为8，
则 f 16 = f 0 ， f -17 = f -1 ， f 18 = f 2 ，
因为奇函数 f x 在区间 0,2 上是增函数，则该函数在区间 -2,0 上也为增函数，
故函数 f x 在区间 -2,2 上为增函数，所以 f -1 < f 0 < f 2 ，即 f -17 < f 16 < f 18 .故选：D.
（2）因为 f 4 - x = ln 4 - x - 2 + 4 - x 2 - 4 4 - x = f x ，所以 f x 的对称轴为 x = 2，则有 f 1 = f 3 ，
又当 x > 2时，得 f x = ln x - 2 + x2 - 4x ，
而 y = ln x - 2 和 y = x2 - 4x 均在区间 2, + 上单调递增，所以 f x 在区间 2, + 上单调递增，
又 log2 9 > log2 8 = 3， 2 = log4 16 < log4 18 < log4 64 = 3，即 log4 18 < 3 < log2 9，
所以 f log4 18 < f 3 < f log2 9 ，即b < c < a .故选：A
【一隅三反】
1．（2024 江西宜春·开学考试）已知定义在 R 上的函数 f x 在 - ,3 上单调递增，且 f x + 3 为偶函数，则不
等式 f x +1 > f 2x 的解集为（ ）．
5 5
A． 1, ÷ B． - ,1

,+

3 ÷è è 3
C． -3, -2 D． - , -3 U -2, +
【答案】B
【解析】由题意可得， f x 对称轴为 x = 3，且在 3, + 上单调递减.则由 f x +1 > f 2x ，可得出
x +1- 3 < 2x - 3 x - 2 2，即 < 2x - 3 2 ，
3x2即 -8x + 5 = 3x - 5 x -1 > 0 5，解得 x <1或 x > .
3
5
所以，不等式 f x +1 > f 2x 的解集为 - ,1 ,+ ÷ .
è 3
故选：B.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义域为R 的函数 f x 在 2, + 单调递减，且 f 4 - x + f x = 0，则使得
f x2不等式 + x + f 2x < 0成立的实数 x 的取值范围是（ ）
A．-4 < x <1 B． x < -1或 x > 3
C． x < -3或 x >1 D． x<- 4或 x >1
【答案】D
【解析】 f 4 - x + f x = 0，则 f x 关于 2,0 对称，
因为 f x 在 2, + 单调递减，∴ f x 在R 上单调递减，
又 f 2x = - f 4 - 2x ∴ f (x2 + x) + f 2x < 0 f (x2 + x) - f 4 - 2x < 0，
∴ f (x2 + x) < f 4 - 2x ，∴ x2 + x > 4 - 2x x >1或 x<- 4，故选：D.
1
3. é ù（2023 春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数 f x 在 ê0, 2ú 上单调递减， f x +1 = - f -x ， y = f x -1 为
3
偶函数，当 x -2, -1 时， f x = -x -1，若 a = f - ÷÷，b = f (ln 2)， c = f log3 1458 ，则 a，b，c 的大小
è 3
关系是（ ）
A．b【答案】A
【解析】因为函数 y = f (x -1)为偶函数，得 y = f (x) 的图象关于直线 x=-1对称，
且 f (-x -1) = f (x -1) ，由 f x +1 = - f -x 得 f (x + 2) = - f (-x -1) ，
所以 f (x + 2) = - f (x -1) ，即 f (x + 3) = - f (x)，则 f (x + 6) = - f (x + 3) = f (x)，
所以函数 y = f (x) 的一个周期为 6，则 c = f log3 1458 = f 6 + log3 2 = f log3 2 ，
当 x -2, -1 时， f x = -x -1，又 y = f (x) 的图象关于直线 x=-1对称，
3 3 3 3
所以 a = f - ÷÷ = f -2 + ÷÷ = -(-2 + ) -1 =1- > 0，
è 3 è 3 3 3
由 f x +1 = - f -x f 1 得 ÷ = 0， y = f (x)
1
的图象关于点 ( ,0)对称，
è 2 2
又函数 f x é0, 1 ù 1在 ê ú 上单调递减，所以函数 f x 在 0,1 上单调递减，又 = log3 3 < log3 2 < ln 2 <1 2 ， 2
所以b = f (ln 2) < f log3 2 = f log3 1458 = c < 0，所以b4．（2024 湖南长沙）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 f x +1 = - f -1+ x ，且在区间 1,2 上 f x 是增函数，
令 a = sin
π
，b = sin
3π
， c = sin
5π
，则 f a ， f b ， f c 的大小关系为 .7 7 7
【答案】 f a > f c > f b
【解析】 f x 是定义在R 上的奇函数，
f x +1 = - f -1+ x = - é- f 1- x ù = f 1- x ，
所以 f x 关于 x =1对称.
由于 f x 在 1,2 上递增，所以 f x 在 0,1 递减.
c sin 5π sin π 2π= = 2π - ÷ = sin ，7 è 7 7
y = sin x 在 0,
π
2 ÷上递增，所以
a < c < b，
è
所以 f a > f c > f b .
故答案为： f a > f c > f b
5．（2024·四川达州·二模）已知函数 f x 满足 f x + f -x + 4 = 0，且 f x 在 - ,0 上单调递增，当 x > 2时，
f x = ex + x2 - mx，则 m 的取值范围为（ ）
A． - , e4 + 8ù B． - , e2 + 4ù C 4 2 ． ée + 8, + D． ée + 4, +
【答案】A
【解析】因为函数 f x 满足 f x + f -x + 4 = 0，所以函数 f x 图象关于点 2,0 中心对称，
又函数 f x 在 - ,0 上单调递增，所以函数 f x 在 4, + 上单调递增，
因为 x > 2时， f x = ex + x2 - mx x 2，所以 f x = e + x - mx在 4, + 上单调递增，
所以 f x = ex + 2x - m 0在 4, + x上恒成立，即m e + 2x min ，
y =ex易知 +2x在 4, + 上单调递增，所以ex + 2x > e4 + 2 4 = e4 + 8，所以m e4 + 8，
所以 m 的取值范围为 - , e4 + 8ù ，故选：A.
考点五 抽象函数的性质
【例 5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数 f (x) 的定义域为R ，设 g(x)为 f (x) 的导函数，
f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (1- y)， f (1) 0， f (2) = 0，则（ ）
A． f 1 = 2 B． g 1 = 0
C． g(x)是奇函数 D． f (x +1) + f (x + 2023) = 0
【答案】ABD
【解析】函数 f (x) ，对任意 x, y R ， f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (1- y)，
对于 A，令 x =1, y = 0，得 f (1) + f (1) = f (1) f (1) ，而 f (1) 0，则 f (1) = 2，A 正确；
对于 B，令 x =1, y R ，得 f (1+ y) + f (1- y) = f (1) f (1- y) = 2 f (1- y)，
则 f (1+ y) = f (1- y)，两边求导得， f (1+ y) = - f (1- y)，即 g(1+ y) + g(1- y) = 0 ，
因此 g(x)关于 (1,0)对称， g(1) = 0，B 正确；
对于 C，由 f (1+ y) = f (1- y)，得 f (0) = f (2) = 0，
令 y =1，得 f (x +1) + f (x -1) = f (x) f (0) = 0，两边求导得 f (x +1) + f (x -1) = 0，
即 g(x -1) + g(x +1) = 0，因此 g(x -1) = g(1- x)，函数 g(x)是偶函数，C 错误；
对于 D，由 f (x +1) + f (x -1) = 0，得 f (x + 3) + f (x +1) = 0，则 f (x + 3) = f (x -1)，
因此函数 f (x) 的周期为 4， f (x +1) + f (x + 2023) = f (x +1) + f (x -1) = 0 ，D 正确.
故选：ABD
【例 5-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)，
f (2) = -1，则（ ）
A． f (0) = 0 B． f (x) 为偶函数
30
C． f (x) 的图象关于点 (1，0) 对称 D． f (i) = -1
i=1
【答案】BCD
【解析】对于 A，令 x = 2, y = 0，则 2 f 2 = 2 f 2 f 0 ，
因为 f (2) = -1，所以-2 = -2 f 0 ，则 f (0) =1，故 A 错误；
对于 B，令 x = 0, y = x，则 f (x) + f (-x) = 2 f (0) f (x) = 2 f x ，则 f (x) = f (-x)，故 B 正确；
对于 C，令 x = y =1得， f 2 + f 0 = 2 f 1 2 = 0，所以 f 1 = 0，
令 x =1, y = x得， f (1+ x) + f (1- x) = 2 f (1) f (x) = 0，则 f (x) 的图象关于点 (1，0) 对称，故 C 正确；
对于 D，由 f (1+ x) + f (1- x) = 0得 f x = - f 2 - x ，
又 f (x) = f (-x)，所以 f -x = - f 2 - x ，则 f x = - f 2 + x ， f 2 + x = - f 4 + x ，
所以 f x = f 4 + x ，则函数 f x 的周期为 4，
又 f 1 = 0， f (2) = -1，则 f 3 = f -3 = f 1 = 0， f 4 = f 0 =1，则 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0，
30
所以 f (i) = f 1 + f 2 + 7 0 = -1，故 D 正确，故选：BCD.
i=1
【一隅三反】
1．（2024·河南新乡·二模）已知函数 f x 满足 f x + y +1 = f x + f y ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． f x +1是奇函数 B． f x -1 是奇函数
C． f x -1是奇函数 D． f x +1 是奇函数
【答案】B
【解析】因为 f x + y +1 = f x + f y ，
令 x = y = -1，可得 f -1 = f -1 + f -1 ，则 f (-1) = 0；
令 y = -2 - x ，则 f (-1) = f (x) + f (-2 - x) = 0，
故 f (x) 的图象关于点 (-1,0) 对称，
则 f (x -1)的图象关于点 (0,0)对称，即 f (x -1)是奇函数，故 B 正确；
对于 C，令 x = y = 0 ，可得 f 1 = f 0 + f 0 ，则 f 0 1= f 1 ，
2
当 f 1 2时， f 0 -1 0，此时 f x -1不可能是奇函数，
由于无法确定 f 1 的值，故 f x -1不一定是奇函数，故 C 错误；
对于 AD，取 f x = x +1，满足题意，但易知 D 错误；
故选：B.
2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)， f (0) =1，
2024
f (3x +1) = - f (-3x +1) ，则 f (k) = （ ）
k =0
A．-2 B． -1 C．0 D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)， f (0) =1，
令 x = 0，则 f (y) + f (-y) = 2 f (y)，即 f (-y) = f (y)，故 f (x) 为偶函数；
又 f (3x +1) = - f (-3x +1) ，令 x = 0，则 f (1) = - f (1),\ f (1) = 0，
又由 f (3x +1) = - f (-3x +1) ，得 f (x +1) + f (-x +1) = 0，
即 f (x) 的图象关于点 (1,0)成中心对称，则 f (2) = - f (0) = -1；
f (x +1) + f (-x +1) = 0，即 f (x + 2) = - f (-x)，又结合 f (x) 为偶函数，
则 f (x + 2) = - f (x) ，故 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，即 4 为 f (x) 的周期，
故 f (3) = f (-1) = f (1) = 0， f (4) = f (0) = 1
2024
故 f (k) = f (0) + [ f (1) + f (2) +L+ f (2024)] =1+ 506[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4)] =1+ 506[0 -1+ 0 +1] =1，故选：
k =0
D
2 3
3．（2024·山西吕梁·一模）已知函数 f x 满足 f x + y + f x - y = f x f y ，f 1 = ，则下列结论不正确
3 2
的是（ ）
A． f 0 =3 B．函数 f 2x -1 1关于直线 x = 对称
2
C． f x + f 0 0 D． f x 的周期为 3
【答案】D
【解析】解法一：
令 x =1， y = 0 ，则 2 f 1 2= f 1 f 0 ，解得 f 0 =3，A 正确；
3
令 x = 0，则 f y f 2+ -y = f 0 f y = 2 f y ，
3
所以 f y = f -y ，即 f x 是偶函数，
所以 f 2x -1 = f -2x +1 = f 1 é2 1- x -1 ù ，所以函数 f 2x -1 关于直线 x = 对称，B 正确；2
y = x f 2x f 0 2 2令 ，则 + = f x 0，
3
令 t = 2x，则 f t + f 0 0，所以 f x + f 0 0，C 正确；
令 y =1，则 f x +1 + f x -1 = f x ①，
所以 f x + 2 + f x = f x +1 ②，
①②联立得 f x + 2 = - f x -1 ，
所以 f x + 3 = - f x ， f x + 6 = - f x + 3 = f x ，即 f x 的周期为6，D 错误；
解法二：
构造函数 f (x) = 3cos
π x，
3
满足 f 3 f x y f x y 3cos π1 = ，且 + + - = x + y + 3cos π x π- y = 6cos x cos π y 2= f x f y2 ，3 3 3 3 3
f 0 = 3cos 0 = 3，A 正确；
f 2x -1 = 3cos π 2x -1 = 3cos 2π x π 3cos é2π 1 ù
3
- ÷ = ê x -3 3 3 2 ÷
，
è è
ú

因为 f 2x -1 2π表示 y = 3cos x 1的图象向右平移 y = 3cos 2π x y
3 2
个单位，且 的图象关于 轴对称，
3
1 π
所以 f 2x -1 关于直线 x = 对称，B 正确；由余弦函数的图象和性质可知 f x + f 0 = 3cos x +1 0，C 正确；
2 3
2π
f x T =的周期 π = 6，D 错误；故选：D
3
考点六 奇函数+常数模型
2x 1
【例 6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 f x = ex - e- x + ，若 f lg m = 3，则 f
1 2x
lg ÷ = ．
+ è m
【答案】﹣2
x
∵ f x ex e- x 2 ∴ f x e- x ex 2
- x
【解析】 = - + ， - = - + = e- x - ex 1+ ，∴ f x + f -x =1，
2x +1 2- x +1 2x +1
f lg m f lg 1+ ∴ ÷ = f lg m + f - lg m =1 f
1
，∴
m
lg ÷＝1－3＝－2.故答案为：－2.
è è m
【一隅三反】

1．（2024· 2山西临汾）已知函数 f x = ln 4x +1 + 2x 1- x ，若 f log2 a = 2，则 f log a2 1 1 ÷ = ．+ è 2
【答案】﹣3
【解析】根据题意，函数 f x = ln 4x2 +1 + 2x 1- ，2x +1
x则 f -x = ln 4x2 1+1 - 2x - - x = - ln 4x2 +1 2+ 2x - ，则 f x + f -x = -1，2 +1 2x +1
若 f

log2 a = 2，则 f log 1 a ÷ = f - log2 a = -3，故答案为：﹣3．
è 2
ex2．（2024 河南省）已知函数 f x = x - x ，若 f lg log3 10 = a，则 f lg lg3 =（ ）e + e
A． ea-1 B．3a -1 C． e1-3a D．1- a
【答案】D
ex e- xf x R f x f x e
x
【解析】 = 定义域为 ，且 - + = + lg log 10 = - lg lg3
ex + e- x ex + e- x ex
=1，又 3 ，所以
+ e- x
f lg lg3 + f lg log3 10 =1，所以 f lg lg3 =1- a .故选：D
一．单选题
1．（2024 x江西上饶）已知 f x = e - e- x + 2022 ，若 f a = 2，则 f -a = （ ）
A．4042 B．2024 C．-4042 D．-2024
【答案】A
【解析】由题意， f -x + f x = e- x - ex + 2022 + ex - e- x + 2022 = 4044 ，故 f -a + f a = 4044，
f -a = 4044 - f a = 4042 .故选：A
2（2024·山东烟台·一模）已知定义在R 上的奇函数 f (x) 满足 f 2- x =f x ，当0 x 1 f x = 2x时， -1，则
f log212 = （ ）
1 1
- 1A B - C D 1． ． ． ．
3 4 3 2
【答案】A
【解析】在R 上的奇函数 f (x) 满足 f (2 - x) = f (x)，则 f (x) = - f (x - 2)，
于是 f (x) = - f (x - 2) = -[- f (x - 4)] = f (x - 4)，即函数 f (x) 的周期为 4，
而8 <12 <16，则3 < log2 12 < 4，-1 < log2 12 - 4 < 0，又当0 x 1时， f (x) = 2x -1，
log 4
所以 f (log212) = f (log2 12 - 4) = f (log
3
2 ) = - f (log
4
2 ) = -(2
2 3 -1) 1= - .故选：A
4 3 3
3．（2023·广西·模拟预测）已知定义在R 上的函数 f x 在 - , 2 上单调递减，且 f x + 2 为偶函数，则不等式
f x -1 > f 2x 的解集为（ ）
, 5 U 6, 5A． - - ÷ + - , -1 U

B． , +

è 3 è 3 ÷
5
C． - ,1

÷ D． -1,
5
÷
è 3 è 3
【答案】D
【解析】∵函数 f x + 2 为偶函数，∴ f -x + 2 = f x + 2 ，即 f 2 - x = f 2 + x ，
∴函数 f x 的图象关于直线 x = 2对称，
又∵函数 f x 定义域为R ，在区间 - , 2 上单调递减，∴函数 f x 在区间 2, + 上单调递增，
∴由 f x -1 > f 2x 得， x -1 5- 2 > 2x - 2 ，解得 x -1, ÷ .故选：D.
è 3
4．（2024·山东青岛·一模）"x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，则 f (2024)的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
【答案】B
【解析】由题意知"x R ， f (x) + f (x + 3) =1- f (x) f (x + 3)， f (-1) = 0，
令 x=-1，则 f (-1) + f (2) =1- f (-1) f (2),\ f (2) =1
显然 f (x) = -1时，-1+ f (x + 3) =1+ f (x + 3)不成立，故 f (x) -1，
1 1- f (x)-
f (x 3) 1- f (x)+ = f (x + 6) = 1+ f (x)故 ，则 = f (x)，即 6 为函数 f (x)1+ f (x) 1 1- f (x)
的周期，
+
1+ f (x)
则 f (2024) = f (337 6 + 2) = f (2) =1，故选：B
5.（2024·江苏连云港）函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x) 与 f (x +1)都为奇函数，则说法不正确的是（ ）
A． f (x -1) 为奇函数 B． f (x) 为周期函数
C． f (x + 3) 为奇函数 D． f (x + 2)为偶函数
【答案】D
【解析】由题意知： f (-x -1) + f (x +1) = 0且 f (-x +1) + f (x +1) = 0，
∴ f (1- x) = f (-1- x)，即 f (x -1) = f (x +1) ，可得 f (x) = f (x + 2) ，
∴ f (x) 是周期为 2的函数，且 f (x -1) 、 f (x + 2)为奇函数，故 A、B正确，D错误；
由上知： f (x +1) = f (x + 3)，即 f (x + 3) 为奇函数，C正确.故选：D
6．（2024黑龙江））已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f (x + 2) = - f (x)，当 x 0,1 时 f (x) = 2x -1，则
（ ）
A． f (6) < f (-7) < f (11) B． f (11) < f (6) < f (-7)
2 2
C． f (6) f (11< ) < f (-7) 11D． f ( ) < f (-7) < f (6)
2 2
【答案】B
【解析】由题意，函数 f x 满足 f (x + 2) = - f (x)，可得 f x = - f (x + 2) = f (x + 4)，
即函数 f x 是以 4为周期的周期函数，又由函数 f x 是 R 上的偶函数，即 f (x) = f (-x)，
又由当 x 0,1 时 f (x) = 2x -1，则 f (-7) = f (-8 +1) = f (1) =1, f (6) = f (2 + 4) = f (2) = - f (0) = 0，
f (11) 3= f ( + 4) 3 1= f ( ) = f (- + 2) f ( 1) f (1= - - = - ) =1- 2 ,
2 2 2 2 2 2
所以 f (
11) < f (6) < f (-7) .故选：B.
2
7.（2023· x-2 2-x 2四川成都·校考三模）已知函数 f x = e + e + 2x -8x + 7 ,则不等式 f 2x + 3 > f x + 2 的解集为
（ ）
1 1
A． (-1，- ) B． (- , -1) U (- , + )
3 3
C． (
1
- ，1) 1D． (- , - ) (1, + )
3 3
【答案】B
x-2 2-x 2 x-2 2-x
【解析】由函数 f x = e + e + 2x -8x + 7 = e + e + 2(x - 2)2 -1，
x
所以 f x+2 = e +e-x +2x2 -1，令 g x = f x + 2 = ex + e- x + 2x2 -1 g x = ex - e- x， 可得 + 4x
令 h x = g x = ex - e- x + 4x 且 h 0 = 0，
可得 h x = ex + e- x + 4 > 0在 0，+ 上恒成立，所以 h x > h 0 = 0, x > 0 ，
所以 g x 在 0，+ 上单调递增，
g -x = e- x + ex又由 + 2(-x)2 -1 = ex + e- x + 2x2 -1 = g x ，
所以函数 g x 为偶函数，则在 - ，0 上单调递减，
又由 f 2x + 3 > f x + 2 ，即 g 2x +1 > g x ，即 2x +1 > x ，
1
整理得3x2 + 4x +1 > 0，解得 x > - 或 x < -1，3
即不等式 f 2x + 3 > f x + 2 1的解集为 (- , -1) U (- , + ) .
3
故选：B.
a b a b
8（2023·河南·三模）我们称 c d 为
“二阶行列式”，规定其运算为 = ad - bcc d ．已知函数
f x 的定义域为
x f (y)
(- ,0) U (0, + )，且 f x 0，若对定义域内的任意 x, y都有 = 0y f (x) ，则（ ）
A． f 1 =1 B． f x 是偶函数 C． f x 是周期函数 D． f x 没有极值点
【答案】D
a b x f (y)
【解析】由于 = ad - bc ，则 = 0，即为： xf x - yf (y) = 0（*c d y f (x) ），
将 y 替换为1代入（*）式，得 xf x - f (1) = 0，且 x (- ,0) (0,+ ) ，得： f x f (1)= ，
x
对于 A，取 f x 1= - ，显然满足（*）式，此时 f 1 = -1，故 A 错误；对于 B， f x 定义域为
x
(- ,0) U (0, + )，
则 f (-x)
f (1) f (1)
= = - = - f x 成立，所以 f x 是奇函数，故 B 错误；
-x x
对于 C，假设非零常数T 为函数 f x 的周期，即 f x + T = f (x)，
f x T f (1) f (1)则 + = = = f (x)，其中 f (1) 0，即得 x +T = x，T = 0，这与假设T 为非零常数矛盾，
x +T x
f (1)
所以 f x 不是周期函数，故 C 错误；对于 D，由于 f x = ，则 f x f (1)= - 2 ，显然 f x = 0没有实数解，x x
所以 f x 没有极值点，故 D 正确；故选：D.
二．多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 f x 及其导函数 f (x) 的定义域均为R ，若 f (1- x)， f (5 - 2x) 均为奇函数，
则（ ）
A． f (1) = 0 B． f (1) = 0
C． f (2023) = - f (2021) D． f (2023) = - f (2031)
【答案】AD
【解析】对于 A 中，由函数 f (1- x)是奇函数，可得 f x 的图象关于点 (1,0)对称，则 f (1) = 0，所以 A 正确；
对于 B 中，因为 f x 的图象关于点 (1,0)对称，可得 f x = - f (2 - x) ，
则 f x = f (2 - x)，可得 f (x) 的图象关于直线 x =1对称，
但不能确定 f (1) = 0，所以 B 错误；
对于 C 中，因为 f x 的图象关于点 (1,0)对称，可得 f (2023) = - f (-2021) ，所以 C 错误；对于 D 中，因为 f (x)
的图象关于直线 x =1对称，可得 f (2023) = f (-2021)，
又因为 f (5 - 2x) 是奇函数，所以 f (5 + 2x) = - f (5 - 2x)，所以 f (2031) = - f -2021 ，所以
f (2023) = - f (2031)，所以 D 正确.
故选：AD．
10．（2024·新疆·二模）已知 f x 是定义域为R 的函数，满足 f x +1 = f x - 3 , f 1+ x = f 3 - x ，当0 x 2
f x = x2时， - x，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为 4
B． f x 的图象只关于直线 x = 2对称
C．当0 x 6时，函数 f x 有 5 个零点
1
D．当6 x 8时，函数 f x 的最小值为-
2
【答案】AC
【解析】由 f x +1 = f x - 3 得， f x = f é x -1 +1 = f x -1 - 3ù = f x - 4 ，故函数 f x 的周期为 4，A 正
确；
由 f 1+ x = f 3 - x 可得 f 2 + x = f 2 - x ，
所以函数 f x 的图象关于直线 x = 2对称，且关于直线 x = 6对称（周期性），B 不正确；
作出函数 f x 在 0,8 上的大致图象如图所示，
由图可知，当0 x 6时，函数 f x 有 5 个零点，C 正确；
15
6 x
1 1
当 8时，函数 f x 的最小值为 f ÷ = f ÷ = - ，D 错误.
è 2 è 2 4
故选：AC.
11 ．（ 2024· 广东韶关 · 二模）已知定义在 R 上的函数 f x , g x 的导函数分别为 f x , g x ，且
f x = f 4 - x ， f 1+ x - g x = 4, f x + g 1+ x = 0，则（ ）
A． g x 关于直线 x =1对称 B． g 3 = 1
C． f x 的周期为 4 D． f n g n = 0 n Z
【答案】ACD
【解析】由 f (x) = f (4 - x)，得 f (1+ x) = f (3 - x) ①，
f (1+ x) - g(x) = 4 ②，得 f (3 - x) - g(2 - x) = 4 ③，
由①②③，得 g(x) = g(2 - x)，所以函数 g(x)图象关于直线 x =1对称，故 A 正确；
由 g(x) = g(2 - x)，得 g (x) = -g (2 - x) ，令 x =1，得 g (1) = 0；
由 f (1+ x) - g(x) = 4，得 f (1+ x) - g (x) = 0 ，
令 x =1，得 f (2) = g (1) = 0，
∴ f (2 + x) - g (1+ x) = 0 ④，
又 f (x) + g (1+ x) = 0 ⑤，令 x = 2，得 f (2) = g (3) = 0，故 B 错误；
④⑤两式相加，得 f (2 + x) + f (x) = 0，得 f (4 + x) + f (2 + x) = 0，
所以 f (x) = f (4 + x) ，即函数 f (x) 的周期为 4，故 C 正确；
由 f (2 + x) + f (x) = 0，令 x = 2，得 f (4) + f (2) = 0，所以 f (4) = 0，
所以 f (1)g (1) = f (2)g (2) = f (3)g (3) = f (4)g (4) =L = f (n)g (n) = 0(n Z) ，故 D 正确.
故选：ACD
三．填空题
12．（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点 1,0 对称的函数的解析式 ．
y 1【答案】 = （答案不唯一）
x -1
1
【解析】 y
1
=
x 的图象关于原点对称，则
y = 的图象关于点 (1,0)对称．同样如函数 y = (x -1)3 也满足题意．
x -1
1
故答案为： y = （答案不唯一）．
x -1
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R，若 f 4 - x + f 2 + x = 6，
f 2 =1，且当 x < 3时 f x 单调递减，则 f x 1的解集为 ．
【答案】[2,4]
【解析】因为 f 4 - x + f 2 + x = 6，
所以 f (4 - x) + f (2 + x) = 6 = 0，即- f (4 - x) + f (2 + x) = 0，
所以 f (2 + x) = f (4 - x)，故 y = f (x)关于直线 x = 3对称，且 f (3) = 0，
因为当 x < 3时 f x 单调递减，所以当 x > 3时 f x 单调递增，
由 f 2 =1知， f (4) = f (2) =1，
所以由 f x 1 = f (2) = f (4)可知 2 x 4 ，
故答案为：[2,4]
14．（2024·吉林白山·一模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + y + f x - y = f x f y ， f 1 =1，请写
出满足条件的一个 f x = （答案不唯一）， f 2024 = ．
π
【答案】 2cos x （答案不唯一）； -1
3
【解析】令 x = y = 0 2，则 f 0 = 2 f 0 ，解得 f 0 = 2 或 f 0 = 0，
若 f 0 = 0，令 x =1， y = 0 ，则 2 f 1 = f 1 f 0 = 0，即 f 1 = 0与已知矛盾,
∴ f 0 = 2 ，令 x = 0，则 f y + f -y = 2 f y ，
则 f -y = f y ，∴ f x 为偶函数；
令 y =1，则 f x +1 + f x -1 = f x ，
则 f x +1 = f x - f x -1 = f (x -1) - f (x - 2) - f (x -1) = - f (x - 2)，
则 f (x + 6) = - f (x + 3) = f (x)，
所以 f x 以 6 为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为 f x = 2cos π x，
3
结合 f x 以 6 为周期，则 f 2024 = f 2 = -1．
π
故答案为：（答案不唯一） f x = 2cos x； -1
3
四．解答题
15．（2024 重庆·阶段练习）函数 f x 对任意的实数 a，b，都有 f a + b = f a + f b - 3，且当 x > 0时，
f x > 3 .
(1)求 f 0 的值；
(2)求证： f x 是 R 上的增函数；
(3)解关于实数 x 的不等式 f 5 9- x + f 1- 2 3- x+1 > 6 .
【答案】(1)3；
(2)证明见解析；
(3) (- ,0) U (log3 5,+ ) .
【解析】（1）对任意的实数 a，b，都有 f a + b = f a + f b - 3，
取 a = b = 0，则 f (0) = f (0) + f (0) - 3，所以 f (0) = 3 .
（2）任取实数 x1, x2 ，且 x1 < x2，则 x2 - x1 > 0，由当 x > 0时， f (x) > 3，得 f (x2 - x1) > 3，
依题意， f (x2 ) = f [x1 + (x2 - x1)] = f (x1) + f (x2 - x1) - 3 > f (x1)，
所以函数 f (x) 是 R 上的增函数.
（3）由（1）知， f (0) = 3，由（2）知，函数 f (x) 是 R 上的增函数，
不等式 f (5 9- x ) + f (1- 2 3- x+1) > 6 f (5 9- x ) + f (1- 2 3- x+1) - 3 > 3
f (5 9- x +1- 2 3- x+1) > f (0) 5 9- x +1- 2 3- x+1 > 0，
因此5 (3- x )2
1
- 6 3- x +1 > 0，即 (5 3- x -1)(3- x -1) > 0 - x，解得3 < 或3- x >1，
5
1
则-x < log3 或 -x > 0，即 x < 0 或 x > log 5，5 3
所以原不等式的解集是 (- ,0) U (log3 5,+ ) .
16．（2024 上海·阶段练习）设函数 y = f x 的定义域D R ,若对任意 x D ，均有 f -x - f x 成立，则称
y = f x 为“无奇”函数．
2 - x
(1) 2判断函数① f x = x 和② g x = lg 1 x 是否为“无奇”函数，说明理由；+
(2) 3 2若函数 h x = 3x - 2x + x + a 是定义在 -1,2 上的“无奇”函数，求实数 a 的取值范围；
1
(3)若函数 r x = x+1 + m 是“2 1 无奇”函数，求实数 m 的取值范围．+
【答案】(1)①不是，②是；理由见解析
(2) - ，0 U 8，+
1
(3) - , + ÷ .
è 3
【解析】（1）①因为 f 0 = 0，符合 f -x = - f x ，
f x = x2所以 不是"无奇"函数；
2
② g x g 2 - x+ -x = lg + lg 2 + x 4 - x= lg 2 0 恒成立，1+ x 1- x 1- x
所以 g x = lg 2 - x 是“无奇”函数；
1+ x
（2） h x + h -x = 0在 -1,2 无解，
即 a = 2x2在 -1,2 无解，
所以 a - ，0 8，+
1
（3）若 r x = m +
2x+1
不是“无奇”函数，
+1
r x r x 1 1则 + - = x+1 + - x+1 + 2m = 0 有解，1+ 2 2 +1
x+1 - x+1 2 2x + 2- x
2m 2 + 2 + 2
+1
即- = = 2x+1 ，+1 2- x+1 +1 4 + 2 2x + 2- x +1
2x - x+1
即-m
+ 2
=
2 2x + 2- x + 5 有解，
令 t = 2x + 2- x 2，
1 3
2x + 2- x +1 t +1 2t + 5 -则 1 3 1= = 2 2 = -
2 2x + 2- x + 5 2t + 5 2t + 5 2 4t +10 3
m 1 1所以- ，即m - ，
3 3
所以 r x 1 是“无奇”函数时，实数m 的取值范围是 - , + .
è 3 ÷
17．（2024 江苏淮安·期末）已知 f x 是定义在 R 上的函数，满足： f -x + f x = 0， f -x = f 2 + x ，且当
x 0,1 时， f x = x2 + x．
f 5 (1)求 ÷的值；
è 2
(2)当 x -1,0 时，求 f x 的表达式；
(3)若函数 f x 在区间 a,b （ a < b ）上的值域为 2a, 2b ，求 a + b 的值．
3
【答案】(1) - ；
4
(2) f x = -x2 + x x -1,0
(3) -1或1或 0 .
【解析】（1）因为 f -x + f x = 0 ， f -x = f 2 + x ，
所以 f -x = - f x = f 2 + x f 4 + x = - f 2 + x = f x ，
故 f x 是奇函数，且 4为其一个周期，且关于 x =1轴对称，
f 5 f 2 1 f 1 f 1
é 1
2 1 ù 3
所以 ÷ = + ÷ = - ÷ = - ÷ = -

ê ÷ + ú = - ；
è 2 è 2 è 2 è 2 êè 2 2 ú 4
（2 2）结合（1）的结论可令-x 0,1 ，则 f -x = x - x = - f x ，
所以 f x = -x2 + x x -1,0 ；
ì 2
（3）由（1）（2）可知 f x
x + x, x 0,1
= í 2 ，
-x + x, x -1,0
由二次函数单调性可知 f x 在 -1,1 上单调递增，且 f x = 2, fmax x = -2min ，
ì
f a = 2a所以 a,b -1,1 ，则 í
f b
，
= 2b
ì-a2 + a = 2a ìa = -1
若 a < b 0，则 í í ，此时 a + b = -1，
-b
2 + b = 2b b = 0
ìa2 + a = 2a ìa = 0
若0 a < b，则 í 2 í ，此时 a + b =1，
b + b = 2b b =1
ì-a2 + a = 2a ìa = -1
若 a < 0 < b，则 í 2 í ，此时 a + b = 0 .
b + b = 2b b =1
故 a + b 的值为 -1或1或 0 .
18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的周期函数，周期T = 5，函数 y = f (x) （-1 x 1）
是奇函数．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x = 2时函数取得最小值-5．
(1)证明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2) f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4)
ì-3x +15,4 x 6
(3) f x = í 2
2 x - 7 - 5,6 < x 9
【解析】（1）证明：∵f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f (4) = f (4 - 5) = f (-1)，
又∵ y = f (x)(-1 x 1)是奇函数，∴ f (1) = - f (-1) = - f (4) ，∴ f (1) + f (4) = 0
（2）当 x [1, 4]时，由题意可设 f (x) = a(x - 2)2 - 5(a > 0)，
由 f (1) + f (4) = 0，得 a(1- 2)2 - 5 + a(4 - 2)2 - 5 = 0 ，∴ a = 2，
∴ f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4) .
（3）根据（2）中所求，可知 f 1 = -3；又 f x 在 -1,1 上是奇函数，故 f 0 = 0，
故当 x 0,1 时，设 f x = kx k 0 ，则 k 1 = -3，解得 k = -3 .
故当 x 0,1 时， f x = -3x .
又 f x 在 -1,1 上是奇函数，故当 x -1,0 时， f x = -3x .
综上，则 x -1,1 时， f x = -3x .
因为 x 1,4 f x = 2 x - 2 2时， - 5 .
所以当 x 4,6 时， x - 5 -1,1 ，所以 f x = f x - 5 = -3 x - 5 = -3x +15；
当 x 6,9 时， x - 5 1,4 ，所以 f x = f x - 5 = 2 x - 7 2 - 5，
-3x +15, 4 x 6
综上所述， f (x)
ì
= í2(x - 7)2
.
- 5, 6 < x 9
19．（2024 上海·期中）已知定义在全体实数上的函数 f x 满足：① f x 是偶函数；② f x 不是常值函数；③
对于任何实数 x、y，都有 f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ．
(1)求 f 1 和 f 0 的值；
(2)证明：对于任何实数 x ，都有 f x + 4 = f x ；
f x f x 0 f 1 f 2 L f 2026(3) 若 还满足对0 < x <1有 > ，求 ÷ + ÷ + + ÷ 的值．
è 3 è 3 è 3
【答案】(1) f 1 = 0， f 0 =1
(2)证明见解析
(3) 3- -1
2
【解析】（1） f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y
取 x =1， y = 0 得到 f 1 = f 1 f 0 - f 0 f 1 = 0，即 f 1 = 0；
取 y = 0 得到 f x = f x f 0 - f 1- x f 1 = f x f 0 ，
f x 不是常值函数，故 f 0 =1；
（2） f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，
取 y =1得到 f x +1 = f x f 1 - f 1- x f 0 = - f 1- x ，
f x 是偶函数，故 f x +1 = - f x -1 ，即 f x + 2 = - f x ，
f x + 4 = - f x + 2 = f x .
（3） f x + 2 + f x = 0 ， f x 为偶函数，
x 1= - f
5 1 5 1
取 ，则
3 3 ÷
+ f - ÷ = 0 ，即 f3 ÷
+ f ÷ = 0；
è è è 3 è 3
2 f 4 f 2 0 f 4x = - + - = + f
2
取 ，则 ÷ ÷ ，即3 3 3 3 ÷ ÷
= 0 ；
è è è è 3
7 8
故 f ÷ + f ÷ + f
10 + f 11 f 1= - - f 2 f 4 5 ÷ ÷ ÷ ÷ - ÷ - f

3 ÷
= 0，
è è 3 è 3 è 3 è 3 è 3 è 3 è 3
f 2 = - f 0 = -1， f 3 = f -1 = f 1 = 0 ， f 4 = f 0 =1，
f 1 + f 2 L 12故 ÷ ÷ + + f
= 0，
è 3 è 3 ÷ è 3
1 f 2 f 2 1 2取 x = y = =
2
得到
3 ÷ ÷
- f ÷，
è 3 è 3 è 3
1 1 1 2
取 x = y = - 2

， 得到 f 0 = f ÷ - f ÷ f
4 f 2 1= + f 2 2
3 3 3 3 3 ÷ ÷ ÷
=1，
è è è è 3 è 3
f 1 2 ÷ > 0， f ÷ > 0 f
1 3
，解得 = ，
è 3 è 3 è 3 ÷ 2
f 1 2 2026 11 12 1+ f +L+ f = - f - f = - f 3 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ ÷ ÷ ÷
-1 = - -1，
è è è è 3 è 3 è 3 2

展开更多......

收起↑