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2.1 函数的概念及其表示
考点一 函数概念的辨析
【例 1-1】（2024 上海奉贤）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【例 1-2】（2024 山东青岛）中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，
沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合M = 1,2,3 ， N = 1,2,3 ，给出下
列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到 N 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024 北京·期中）若函数 y = f x 的定义域为 x | 0 x 1 ，值域为 y | 0 y 1 ，那么函数 y = f x 的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 浙江湖州）（多选）下列对应关系 f ： A B 是集合A 到集合 B 的函数关系的是（ ）
A． A = {x | -2 x 2}， B = 1 ， f : x y ， y =1 B． A = R ，B = y | y > 0 ， f : x y ， y = x2
C． A = Z，B = Z， f : x y ， y = x D． A = x | x > 0 ，B = R ， f : x y ， y2 = x
3．（2024 海南）（多选）以下 y 与 x 的关系中，其中 y 是关于 x 的函数的有（ ）
A． B． C． y2 = x D．
考点二 无参函数的定义域
【例 2-1】（1）（2024 山西临汾） f x x= 4 - x2 + 的定义域为（
2 x ）-
A． -2, + B． -2, 2 C． -2,2 D． - , 2
（2）（2024 河北承德）函数 f (x) = 1- 2cos x 的定义域为（ ）
é 4π
A． ê- + 2kπ,
π
+ 2kπùú , k Z
é π 5π ù
B． ê + 2kπ, + 2kπú , k Z 3 3 3 3
é π + 2kπ, 5π + 2kπù , k π πC． ê ú Z
é
D． ê- + 2kπ, + 2kπ
ù , k Z
6 6 3 3 ú
f 2x +1
【例 2-2 1 2024

】（ ）（ 浙江）若函数 y = f x 的定义域为 0，4 ，则函数 y = 的定义域为（ ）
x -1
é 1
A． ê- ,1÷ 1,
3 ù é 1
ú B． ê- ,1

÷ C． 1,
3 ù
ú D． 1,9 2 è 2 2 è 2
2
（2）（2024 北京）已知 f x -1 的定义域为 é - 3, 3ù ，则 f x 的定义域为（ ）
A． -2,2 B． 0,2 C． -1,2 D． é ù - 3, 3
（3）（2024 湖北）已知函数 f 2x -1 的定义域为 -1,2 ，则函数 f 1- x 的定义域为（ ）
1 1
A． - ,1

÷ B． -1,

÷ C． -2,4 D． -2,1
è 2 è 2
【一隅三反】
1- x
1．（2024 湖北荆门）函数 y = 的定义域为（ ）
lg x
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 0,1 U 1, +
2．（2024 f x 2x -1浙江丽水）函数 = + lg x -1 的定义域是（ ）
x - 2
ìx | x 1 ü 1A． í B． x | x >1 C．{x | x 且 x 2} D．{x | x > 1且 x 2}
2 2
ln 4 - x
3．（2024 河南）函数 f x = 的定义域为（ ）
sin x × x -1
1, π πA． ÷ , 4
é π π ù
÷ B． 1, π π,4 C． 1, , 4 D． 1, π π,4
è 2 è 2 ÷ ê 2 è 2 ú
x f
x
4．（2024 山东）设函数 f x = 8 - 2 ，则函数 ÷的定义域为（2 ）è
A． - ,6 B． - ,3 C． 3, + D． 6, +
5．（2024 湖北荆州）若函数. f x 的定义域是[4,25]，则函数 f x - 2 的定义域是（ ）
A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7]
f x -1
6．（2024 湖北咸宁·阶段练习）已知函数 y = f 2x - 2 的定义域为 1,3 ，则函数 g x = ln x 2 的定义域为-
（ ）
A． 2,3 3,5 B． 2,5 C． 2,3 3,5 D． 3,5
f 2x
7．（2023 北京）若函数 y = f x 的定义域是 0,6 ，则函数 g x = log 3 - 2x 的定义域是（ ） x+1
A． 0,1 U 1,3 B． 0,2 2,3
C． 0,1 U 1,log2 3 D． 0,log2 3 U log2 3,3
考点三 已知函数定义域求参数
【例 3-1】（2024 天津西青）若函数 f x = ax2 - 2ax + 4 的定义域为R ，则实数 a的取值范围是 ．
é1 ù
【例 3-2】（2024 黑龙江哈尔滨）函数 f x = -x2 + ax -1在 ê ,3 2 ú上有意义，则实数 a 的取值范围为 ．
【例 3-3】（2024 湖南株洲）函数 f x = log2 3ax2 - 4ax + 2 的定义域为全体实数，则 a （ ）
A．R B． 0, + é 3 3 ùC． ê0, ÷ D． 0, 2 è 2 ú
【一隅三反】
1．（2024 2山西）若函数 y = log2 ax + 2x +1 的定义域为R ，则 a的范围为 .
x -1
2（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y = 2 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为 ；x + ax + 2
3．（2023·北京延庆·一模）已知函数 y = ax +1的定义域为A ，且-3 A，则 a的取值范围是 ．
ax - x2 1
4．（2024 陕西西安）已知函数 f x = 的定义域为 ,1÷ 1,2 ，则实数
a的值是 ．
lg 2x -1 è 2
5．（2024 云南）已知函数 f (x) = lg( x2 +1 + ax)的定义域为 R ，则实数 a的取值范围是 ．
考点四 函数的解析式
【例 4】（2024 高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知 f x +1 = x + 2 x ，则 f x = ．
（2）已知 f x 是三次函数，且在 x = 0处的极值为 0，在 x =1处的极值为 1，则 f x = ．
1 3
（3）已知 f (x) 的定义域为 x | x 0 ，满足3 f x + 5 f ÷ = +1，则函数 f x = ．
è x x
（4）已知函数 f x +1 是偶函数，且 x <1时 f x = x2 - 4x，则 x >1时， f x = ．
（5）已知函数 f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 0 =1，请写出满足条件的一个
f x = （答案不唯一）．
【一隅三反】
1．（2024 安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
(1)已知 f x +1 = x + 2 x ，求 f x ；
(2)已知 f x 是一次函数，且 f f x =16x - 25，求 f x ；
(3)定义在区间 -1,1 上的函数 f x 满足 2 f x - f -x = x2 ，求 f x 的解析式．
（4）已知函数 f x 的定义域为 - , + ， y = f x + ex x为偶函数， y = f x - 2e 为奇函数，则 f(x)的解析式
2.（2024 山东淄博·）求下列函数的解析式
（1） f x 是一次函数，且满足3 f x +1 - f x = 2x + 9，求 f x 的解析式;
（2）已知函数 f x + 2 = 2x2 - 7 ，求函数 f x 的解析式．
（3）已知 g x - 3g 1 ÷ = x + 2，求 g x 的解析式．
è x
1
（4）已知 f(x＋ )＝x2 1＋ ，则函数 f(x)的解析式
x x2
（5）已知 f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若 f[f(x)－ln x]＝1，则 f(x)的解析式
考点五 同一函数的判断
【例 5】（2024 广东佛山）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
x3 + x x2 xA． y = 2 与 y = x B． y = x -1
2
与 y = x -1 C． y = 与 y = x D． y = 与 y =1
x +1 x x
【一隅三反】
1．（2024 海南省）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． f x = x， g(x) = 3 x3 B． f x =1， g(x) = x0
2
C． f (x) = x2 , g (x) = ( x )2 D． f x = x +1， g(x) x -1=
x -1
2．（2024 北京东城）下列各组函数中，两个函数相等的是 （ ）
3 2
A． y = 3 x 与 y = x B． y = x 与 y = x
2 3 2
C． y = x2 与 y = x D． y = 3 x y x与 = x
3．（2023 河北承德）下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A． f x = x, g x = x2 B． f x = lgx2 , g x = 2lgx
C． f x = lnex , g x = x D． f x = sinx, g x = cos x
π
+ ÷
è 2
考点六 无参函数的值域
【例 6】（2024 湖南衡阳）求下列函数的值域．
x2 -2x
(1) f x = 2x + 3 x -1,7 (2) f x = -2x2， ； + 4x - 5 x -3,3 1 x +1， ；(3) f x = ÷ ， x R .(4) y =
è 3 x -1
3x x2 - 4x + 4 sinx＋1
（5） y = x (6) y = (x >1) (7) y = 3x - x +1（8） f (x) = x - 2 - x - 3 （9）y＝ ，x∈3 +1 x -1 x－1
π
[ ，π2 ]
（10） f (x)
x
= x ， x…0e
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）下列各函数中，值域为 (0, + )的是（ ）
2 1A． y = log2 (x -1) B． y = 1- 2x C． y = 2
-2x+1 D． y = 3x
2.（2024 甘肃）求下列函数的值域．
2
(1) y
5x + 4 1
= (2) y = x - 1- 2x (3) y 2 x2 - x +2x= - - + 4x .（4） y = x + 2 x + 3（5） f (x) = ( )x -1 2
2 2
(6) y x - 2x + 4= x > 2 ；(7) y 2x + 2x + 5= .
x - 2 x2 + x +1
考点七 已知函数值域求参数
2
【例 7-1】（2024 河北沧州）已知函数 f x = ln ax + 2x +1 ，若 f x 的值域为R ，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 0, +
【例 7-2】（2024 四川广安）若函数 f (x) = 2x2 - mx + 3 的值域为[0, + ) ，则实数 m 的取值范围是（ ）．
A． - , -2 6ù B． - , -2 6ù U é2 6, + C． é-2 6,2 6ù D． é 2 6,+
ìx +1, x a【例 7-3】（2023·湖北武汉·一模）已知函数 f x = í x ， f (x) , a2 , x 若 的值域为R 则实数 的取值范围是（ ） > a
A． (- ,0] B．[0,1] C．[0, + ) D． (- ,1]
【一隅三反】
ì-x + 2, x <1
1．（2024 北京）若函数 f x = ía 的值域为 0, + ，则实数 a的取值范围为（ ）.
, x 1 x
A． 0,1 B． -1,0 C． 1, + D． 1, +
2
2．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2x +2x+a 的值域为M .若 1, + M ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,1 B． - ,1 C． 1, + D． 1, +
2
3 2024 f (x) x + x +16．（ 河北保定）设函数 = (2 x a)，其中实数 a > 2．若 f (x) 的值域为[9,11]，则 a 的取值
x
范围是（ ）
A． (2,4] B．[4, 6] C． (2,8] D．[4,8]
考点八 分段函数
ì f (x +1), x < 4
【例 8-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = í x ，则 f 2 + log23 =2 , x 4 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
ì4x , x 0
【例 8-2】（2024·四川广安·二模）已知函数 f x = í .则 f é f -2 ù 的值为 .
log2 x, x > 0
ì 1
x

, x 0
【例 8-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f(x)＝ í è 2 ÷ 设 a＝ log 1 3 ，则 f(f(a))＝ ．
2
log3 x, x > 0
【一隅三反】
ìlog2 (2 - x), x <11．（2024 湖南衡阳）设函数 f (x) = í x-1 ，则 f (-2) + f (log210) =2 , x 1 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
ì 3
x -1, x 2
2．（2024·江西）设 f x = í 2 ，若 f x = 2 ，则 x 的值为（ ） log3 x + 5 , x > 2
A．1 或 2 B．1或±2 C．1 D．2
ì3- x , x 0
3．（2024 江苏常州）设函数 f x = ílog x, x > 0，若 f a > 3，则实数 a 的取值范围是（ ）．
1 2
A． - , -1 1 1 0, ÷ B． - , -1
,1 ÷
è 8 è 8
1, 1- 1C． ÷ D． - ,

÷
è 8 è 8
1
5．（2024 重庆沙坪坝）若函数 f cosx = cosx + cos2x ，则 f f 2 ÷÷ =（ ）è è
A．-2 B． -1 C．1 D．2
一．单选题
2
ìx +1, x > 01．（2024 云南）已知函数 f x = í ，若 f x = 5，则 x 的值为（ ）
-2x + 2, x 0
3 3 3
A．- B．2 C．- , 2 D．-2, - , 2
2 2 2
é 1 ù
2．（2024·黑龙江哈尔滨）已知函数 y＝f (x +1)的定义域为 ê- ，1ú ，则函数 y＝f (log2 x) 的定义域为（　　） 2
é ù
A． (0, + )
2
B．( 0, 1) C． ê ，2ú D． é 2，4ù
2
3．（2024 河南开封）下列表示同一个函数的是（ ）
A． y = lnex
1
与y = el n x B． y t 2 与 y = 4 x2=
C． y = lg x 与 y = lg -x 1D． y = x0 与 y =
x0
25
4．（2024 福建福州·阶段练习）已知函数 y = x2 - 3x - 4 的定义域是 -1, m é，值域为 ê- ,0ù4 ú ，则m 的取值范围是
（ ）
A． 0,4 é 3B． ê , 4
ù é 3 ù é3
ú C． ê ,3ú D． ,+ ÷ 2 2 ê 2
bx 9
5．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数 f x = a 3- x + 的图象过点 0,1 与 3, ，则函数 f x 在区间 1,4
x +1 è 4 ÷
上的最大值为（ ）
3 7 5 8
A． B． C． D．
2 3 4 5
ì 4 - a x + 2a, x <16．（2024 湖北荆门·期末）已知函数 f x = í 的值域为R ，则实数 a的取值范围是（log x, x 1 ） 3
A． -4,4 B． -4,4
C． - , -4ù D． -4
7．（2024 重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
y x -1A． y = x -1 + 2x B． =
x +1
y 2x 1C． =
x2
(x > 0) D． y = x - +1（x 1)
+1 x
8．（2024 山东济南）已知函数 y = ax2 + bx + c 的定义域与值域均为 0,1 ，则实数 a的取值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．1
二．多选题
9．（2024 重庆黔江）已知集合P = {x | 0 < x 6}，Q = {y | 0 < y 3}，下列从集合 P 到集合Q的各个对应关系 f
是函数的是（ ）
f : x 1
1
A． y = x B．
2 f : x y = x
3
x
C． f : x 1 y = ÷ D． f : x y = ln x
è 2
10．（2024 福建龙岩）已知函数 f x +1 = x + 2 x， 则（ ）
A． f x = x -1 x R B． f (x) 的最小值为 -1
C． f 2x - 3 的定义域为[2,+ ) f (1D． ) 的值域为[0, + )
x
11．（2024 重庆渝中）已知函数 f (x) = 32x - 2 ×3x + 2 ，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是
（ ）
A．M = 0, log3 2 B．M - , log3 2
C． log3 2 M D．0 M
三．填空题
1+ 2x
12．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 f x = lg 的定义域是 .
x
1
13．（2024 青海西宁）若函数 x-f x = 1+ a ×3x + 9 2 的值域为 0, + ，则 a 的取值范围是 .
ìx2 - 2x + 2, x 0

14．（2023·上海青浦·一模）已知函数 y = í a 的值域为R ，则实数 a的取值范围为 ．
x + + 3a , x < 0 x
四．解答题
15．（2024 广东佛山·期中）根据下列条件，求 f x 的解析式．
(1) 2已知 f x 满足 f x +1 = x + 4x +1；
(2)已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 =1， f x +1 - f x = 2x ；
(3)已知 f x 2 f 1 满足 ÷ + f x = x x 0 ．
è x
16．（2024 广西）已知函数 f x +1 = x2 + x -1 .
(1)求 f x 的解析式；
(2)求不等式 f x x + 2的解集；
(3)若存在 x R ，使得 2 f sinx + 2sinx acosx +1，求 a的取值范围.
17．（2024 江苏无锡·阶段练习）已知函数 f (x) 是二次函数，且满足 f (0) = 2， f (x +1) = f (x) + 2x．
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)若对任意的 x R ，不等式 x +1 ax2 + bx + c f (x)恒成立，求bc + 3a的最大值．
18．（2024 北京·期中）已知函数 f (x) = x2 + bx + c，满足 f 0 = f 1 =1.
(1)求b,c值；
(2)在 -1,1 上，函数 f (x) 的图象总在一次函数 y = 2x + m 的图象的上方，试确定实数 m 的取值范围；
(3)设当 x [t, t + 2](t R)时，函数 f (x) 的最小值为 g(t)，求 g t 的解析式.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的周期函数，周期T = 5，函数 y = f (x) （-1 x 1）
是奇函数．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x = 2时函数取得最小值-5．
(1)证明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．2.1 函数的概念及其表示
考点一 函数概念的辨析
【例 1-1】（2024 上海奉贤）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A 选项中存在一个自变量对应两
个函数值，所以 A 不是函数图象.故选：A
【例 1-2】（2024 山东青岛）中国清朝数学家李善兰在 1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，
沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合M = 1,2,3 ， N = 1,2,3 ，给出下
列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到 N 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，在集合M 中任意一个数在 N 中有且只有一个与之对应，
选项 A 中集合M 中 2 对应的数有两个，故错误；
选项 B 中集合M 中 3 没有对应的数，故错误；
选项 C 中对应法则为从M 到 N 的函数，箭头应从M 指向 N ，故错误；
选项 D 中集合M 中任意一个数在集合 N 中都有唯一数与之对应，故 D 正确，故选：D
【一隅三反】
1．（2024 北京·期中）若函数 y = f x 的定义域为 x | 0 x 1 ，值域为 y | 0 y 1 ，那么函数 y = f x 的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于 A：函数的定义域为 x | 0 x 1 ，但是值域不是 y | 0 y 1 ，故 A 错误；
对于 B：函数的定义域不是 x | 0 x 1 ，值域为 y | 0 y 1 ，故 B 错误；
对于 C：函数的定义域为 x | 0 x 1 ，值域为 y | 0 y 1 ，故 C 正确；
对于 D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故 D 错误.
故选：C
2．（2024 浙江湖州）（多选）下列对应关系 f ： A B 是集合A 到集合 B 的函数关系的是（ ）
A． A = {x | -2 x 2}， B = 1 ， f : x y ， y =1 B． A = R ，B = y | y > 0 ， f : x y ， y = x2
C． A = Z，B = Z， f : x y ， y = x D． A = x | x > 0 ，B = R ， f : x y ， y2 = x
【答案】AC
【解析】对于 A 中，集合 A = {x | -2 x 2}， B = 1 ，可得 f : x y 为多对一对应，
所以 f : x y 是函数关系，符合题意；
对于 B 中，集合 A = R,B = y | y > 0 ，可得集合A 中的元素 0 ，在集合 B 中没有元素与之对应，所以 f : x y 不是
函数关系，不符合题意；
对于 C 中，集合 A = Z，B = Z，可得 f : x y 为多对一对应，
所以 f : x y 是函数关系，符合题意；
对于 D 中，集合 A = x | x > 0 ，B = R ，可得集合A 中的一个元素，在集合 B 中有两个元素与之对应，所以
f : x y 不是函数关系，不符合题意.
故选：AC.
3．（2024 海南）（多选）以下 y 与 x 的关系中，其中 y 是关于 x 的函数的有（ ）
A． B． C． y2 = x D．
【答案】ABD
【解析】根据函数定义，A 选项，对于任意的 x ，只有唯一确定的 y 与其对应，满足函数定义，A 正确；
B 选项，对于任意的 x 1,2,3,4 ，均由唯一确定的 y 与其对应，满足函数定义，B 正确；
C 选项，对于 x =1，有 y =1和 -1与其对应，不是函数，C 错误；
D 选项，对于任意的 x 1,2,3 ，均由唯一确定的 y 与其对应，满足函数定义，D 正确.故选：ABD
考点二 无参函数的定义域
2 x
【例 2-1】（1）（2024 山西临汾） f x = 4 - x + 的定义域为（
2 x ）-
A． -2, + B． -2, 2 C． -2,2 D． - , 2
（2）（2024 河北承德）函数 f (x) = 1- 2cos x 的定义域为（ ）
é 4π π π 5π
A． ê- + 2kπ, + 2kπ
ù
ú , k Z
é ù
B． ê + 2kπ, + 2kπú , k Z 3 3 3 3
é π + 2kπ, 5π + 2kπùC． ê ú , k
π
Z éD． - + 2kπ,
π
+ 2kπù , k Z
6 6 ê 3 3 ú
【答案】（1）B（2）B
2 x ì 4 - x
2 0
【解析】（1）要使函数 f x = 4 - x + 有意义，必须满足 ，解得-2 x < 2，
2 í- x 2 - x 0
函数 f x x= 4 - x2 + 的定义域为 -2,2 .故选；B.
2 - x
π 5π
（2）函数 f (x) = 1- 2cos x 的意义，则1- 2cos x 0
1
，即 cos x ，解得 + 2kπ x + 2kπ, k Z，
2 3 3
é π 5π ù
所以函数 f (x) = 1- 2cos x 的定义域为 ê + 2kπ, + 2kπ 3 3 ú
, k Z .故选：B

y = f x 0 4 f 2x +1【例 2-2】（1）（2024 浙江）若函数 的定义域为 ， ，则函数 y = 的定义域为（ ）
x -1
é 1- ,1 3 ù é 1 3 ùA． ê 2 ÷
1, B．
è 2 ú ê
- ,1÷ C． 1,
2 è 2 ú
D． 1,9

2
（2）（2024 北京）已知 f x -1 的定义域为 é ù - 3, 3 ，则 f x 的定义域为（ ）
A． -2,2 B． 0,2 C． -1,2 D． é - 3, 3ù
（3）（2024 湖北）已知函数 f 2x -1 的定义域为 -1,2 ，则函数 f 1- x 的定义域为（ ）
1 1
A． - ,1

÷ B． -1,

÷ C． -2,4 D． -2,1
è 2 è 2
【答案】（1）A（2）C（3）C
0 2x +1 4
【解析】（1）因为函数 y = f x 的定义域为 0,4 ì 1 3，所以 í ，解得- x <1或1< x x 1 0 ， - 2 2
f 2x +1 é 1- ,1 故函数 y = 的定义域为 1, 3 ù ，故选：A.
x ÷ -1 ê 2 è 2 ú
（2）因为 f (x2 -1) 的定义域为[- 3, 3]，即- 3 x 3 ，则0 x2 3，所以 -1 x2 -1 2，所以 f (x) 的定义域
为[-1,2] .故选：C.
（3）函数 f 2x -1 的定义域为 -1,2 ，所以-1 < x < 2，-2 < 2x < 4, -3 < 2x -1 < 3，
所以 f x 的定义域为 -3,3 ，对于函数 f 1- x ，由-3 <1- x < 3，得-2 < x < 4，所以函数 f 1- x 的定义域为
-2,4 .故选：C
【一隅三反】
1- x
1．（2024 湖北荆门）函数 y = 的定义域为（ ）
lg x
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 0,1 U 1, +
【答案】B
ì1- x 0

【解析】由 íx > 0 0 < x <1.所以函数的定义域为 0,1 故选：B

x 1
2 2x -1．（2024 浙江丽水）函数 f x = + lg x -1 的定义域是（ ）
x - 2
ì
A． íx | x
1
ü B． x | x >1 1 C．{x | x 且 x 2} D．{x | x > 1且 x 2}
2 2
【答案】D
ì2x -1 0

【解析】由题可知 í x -1 > 0 ，解得 x >1且 x 2 .故选：D

x 2
ln 4 - x
3．（2024 河南）函数 f x = 的定义域为（ ）
sin x × x -1

A． 1,
π π
÷ , 4÷ B． 1, π π,4
é1, π π ,4ùC． ê ÷ D． 1, π π,4 è 2 è 2 2 è 2 ú
【答案】B
ìx -1 > 0

【解析】要使 f x 有意义，需满足 í4 - x > 0，解得1< x < 4且 x π ．所以定义域为 1, π π,4 .

sin x 0
故选：B．
x
4．（2024 山东）设函数 f x = 8 - 2x ，则函数 f ÷的定义域为（2 ）è
A． - ,6 B． - ,3 C． 3, + D． 6, +
【答案】A
x x x
【解析】由题意得，8 - 2x 0，解得 x 3,\函数 f ÷满足 3，解得 x 6 ，即函数 f 的定义域为
è 2 2 è 2 ÷
- ,6 .
故选:A
5．（2024 湖北荆州）若函数. f x 的定义域是[4,25]，则函数 f x - 2 的定义域是（ ）
A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7]
【答案】D
【解析】Q函数 f x 的定义域是 4,25 , \4 x 25,\2 x 5,\ f x 的定义域是 2,5 ，
故对于函数 f x - 2 ，有2 x - 2 5，解得 4 x 7 ，从而函数 f x - 2 的定义域是 4,7 .故选：D
f x -1
6．（2024 湖北咸宁·阶段练习）已知函数 y = f 2x - 2 的定义域为 1,3 ，则函数 g x = ln x 2 的定义域为-
（ ）
A． 2,3 3,5 B． 2,5 C． 2,3 3,5 D． 3,5
【答案】A
【解析】依题意，函数 y = f 2x - 2 的定义域为 1,3 ，所以 2x - 2 0,4 ，即函数 f x 的定义域为 0,4 ，
ì0 x -1 4 ì1 x 5

所以在函数 g x 中有 íx - 2 > 0 ，解得 íx > 2 ，所以 g x 的定义域为 2,3 3,5 ，故选：A.

ln x - 2 0 x 3
fg x 2x 7．（2023 北京）若函数 y = f x 的定义域是 0,6 ，则函数 = log x 的定义域是（ ） x+1 3 - 2
A． 0,1 U 1,3 B． 0,2 2,3
C． 0,1 U 1,log2 3 D． 0,log2 3 U log2 3,3
【答案】C
ì x +1 > 0,
ì-1 < x < log23,
x +1 1,
【解析】分母有意义的条件是 í x 得 í x 0, 分子有意义的条件是0 2x 6 0 x 3
3- 2
，则 ．
1,
x x 1, 3- 2 > 0,
所以函数 g x 的定义域是 0,1 U 1,log2 3 ．故选：C．
考点三 已知函数定义域求参数
【例 3-1】（2024 天津西青）若函数 f x = ax2 - 2ax + 4 的定义域为R ，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 0,4
【解析】由题意可知： ax2 - 2ax + 4 0在R 上恒成立，
若 a = 0，则 4 0，符合题意；
ìa > 0
若 a 0，则 í ，解得0 < a 4Δ ； = 4a
2 -16a 0
综上所述：实数 a的取值范围是 0,4 .
故答案为： 0,4 .
é1 ù
【例 3-2】（2024 黑龙江哈尔滨）函数 f x = -x2 + ax -1在 ê ,3ú上有意义，则实数 a 的取值范围为 ． 2
【答案】[
10 ,+ )
3
é1 ù
【解析】由题意函数 f x = -x2 + ax -1在 ê ,3ú上有意义， 2
é1 ù é1 ù
即-x2 + ax -1 0在 ê ,3ú上恒成立，即 x
2
2 - ax +1 0在 ê
,3ú上恒成立， 2
ìg(12 )
5 1
= - a 0 10 10
令 g(x) = x - ax +1，则 í 2 4 2 ，解得 a ，故实数 a 的取值范围为[ ,+ ) ，答案为：
g(3) =10 - 3a 0 3 3
[10 ,+ )
3
【例 3-3】（2024 湖南株洲）函数 f x = log2 3ax2 - 4ax + 2 的定义域为全体实数，则 a （ ）
A．R B． 0, + é 3 3 ùC． ê0, ÷ D． 0, 2 è 2 ú
【答案】C
【解析】因为函数 f x = log2 3ax2 - 4ax + 2 的定义域为全体实数，
则 x R 时，3ax2 - 4ax + 2 > 0恒成立，
当 a = 0时，不等式为 2 > 0 ，恒成立，符合题意；
a 0
ì3a > 0
0 < a 3< a é
3
当 时，则 í 2 ，解得 ，综上知， ê0, ÷，故选：C.
Δ = -4a - 4 3a 2 < 0 2 2
【一隅三反】
1．（2024 2山西）若函数 y = log2 ax + 2x +1 的定义域为R ，则 a的范围为 .
【答案】 1, +
2 2
【解析】由于函数 y = log2 ax + 2x +1 的定义域是 x ax + 2x +1 > 0 ，
x ax2故条件即为 + 2x +1 > 0 = R ，这等价于 ax2 + 2x +1 > 0对任意实数 x 成立.
若 ax2 + 2x +1 > 0对任意实数 x 成立，取 x=-1知 a - 2 +1 > 0，即 a > 1；
2
a > 1 x ax2 2x 1 a x 1 1 1 1 1 a -1若 ，则对任意实数 都有 + + = + ÷ + - - = > 0，
è a a a a
故 ax2 + 2x +1 > 0对任意实数 x 成立.综上， a的取值范围是 1, + .故答案为： 1, + .
2（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y
x -1
= 2 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为 ；x + ax + 2
【答案】 -2 2,2 2
y x -1【解析】 = 2 的定义域为 R，则 x2 + ax + 2恒不为零，即 x2x ax 2 + ax + 2 = 0
没有实数根，
+ +
所以D = a2 -8 < 0，解得-2 2 < a < 2 2 ，所以实数 a 的取值范围为 -2 2,2 2 .故答案为： -2 2,2 2 .
3．（2023·北京延庆·一模）已知函数 y = ax +1的定义域为A ，且-3 A，则 a的取值范围是 ．

【答案】 - ,
1ù
è 3ú
1 1ù
【解析】由-3 A，可知-3a +1 0 ，解得 a ，故答案为： - ,3 è 3ú
.

ax - x2 1
4．（2024 陕西西安）已知函数 f x = 的定义域为
,1÷ 1,2 ，则实数 a的值是 ．lg 2x -1 è 2
【答案】2
ì ìax x x - a 0- x2 0
ax - x2 1
【解析】由题意，要使函数 f x = 有意义，则 í
2x -1 > 0 ，即 íx > ，lg 2x -1 2
lg 2x -1 0 x 1
ìx x - 2 0
1 1
所以 a 2

= ，此时由 íx > ，可得 x ,1÷ 1,2 ，符合题意.故答案为：2.
2 è 2
x 1
5．（2024 2云南）已知函数 f (x) = lg( x +1 + ax)的定义域为 R ，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】[-1,1]
【解析】函数 f（x）＝lg（ x2 +1 + ax）的定义域为 R，∴ x2 +1 + ax＞0 恒成立，∴ x2 +1＞- ax 恒成立，
设 y = x2 +1，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在 y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为 y＝±x；
令 y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线 y＝﹣ax 的图象应在 y = x2 +1的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1 或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数 a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．
考点四 函数的解析式
【例 4】（2024 高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知 f x +1 = x + 2 x ，则 f x = ．
（2）已知 f x 是三次函数，且在 x = 0处的极值为 0，在 x =1处的极值为 1，则 f x = ．
（3）已知 f (x) 的定义域为 x | x 0 ，满足3 f x + 5 f 1 3 ÷ = +1，则函数 f x = ．
è x x
（4）已知函数 f x +1 2是偶函数，且 x <1时 f x = x - 4x，则 x >1时， f x = ．
（5）已知函数 f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 0 =1，请写出满足条件的一个
f x = （答案不唯一）．
5 9 1
【答案】（1） x2 -1, x 1 （2） -2x2 +3x （3） x - + x 0 （4） x2 - 4 （5）1, cos x（答案不唯一）16 16x 8
【解析】（1）设 t = x +1，则 x = t -1 2 , t 1 2，代入原式有 f t = t -1 + 2 t -1 = t 2 - 2t +1+ 2t - 2 = t 2 -1.
故 f x = x2 -1, x 1 .
（2）设 f x = ax3 + bx2 + cx + d a 0 ，则 f x = 3ax2 + 2bx + c，
ì f 0 = 0 ìd = 0
f 0 = 0 c = 0 2
由题意得 í f 1 1 ，即 í ，解得
a = -2,b = 3，所以 f x = -2x +3x .
= a + b + c + d =1
f 1 = 0 3a + 2b + c = 0
1
（3）用 代替3 f x 5 f 1 3 1 1+ ÷ = + 中的 x，得3 f ÷ + 5 f x = 3x +1，x è x x è x
ì
3 f x + 5 f
1 3
= +1
è x ÷ x f 1 由 í ，消去 ÷，解得 f x
5 9 1
= x - + x 0
x
．
3 f
1 16 16x 8
÷ + 5 f x = x +1
è
è x
（4）由函数 f x +1 是偶函数，可得 f x 图象关于直线 x =1对称，所以 f x = f 2 - x .
设 x >1 2，则 2 - x <1，所以 f 2 - x = 2 - x - 4 2 - x = x2 - 4 ，
因为 f x = f 2 - x ，所以 f x = x2 - 4 .
5 9 1
故答案为： x2 -1, x 1；-2x2 +3x ； x - + x 0 ； x2 - 4 .16 16x 8
（5）令 x = 0，则 f y + f -y = 2 f 0 f y ，又 f (0) =1，
所以 f y + f -y = 2 f y ，即 f (-y) = f (y)，所以函数为偶函数，
不妨取偶函数 f (x) = 1，则 f x + y + f x - y =1+1 = 2 1 1 = 2 f x f y ，
也可取 f (x) = cos x，则 cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos x cos y，满足题意.故答案为：1, cos x（答案不唯一）
【一隅三反】
1．（2024 安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
(1)已知 f x +1 = x + 2 x ，求 f x ；
(2)已知 f x 是一次函数，且 f f x =16x - 25，求 f x ；
(3) 2定义在区间 -1,1 上的函数 f x 满足 2 f x - f -x = x ，求 f x 的解析式．
（4 x x）已知函数 f x 的定义域为 - , + ， y = f x + e 为偶函数， y = f x - 2e 为奇函数，则 f(x)的解析式
x - x
【答案】(1) f x = x2 -1 x 1 (2) f x = 4x - 5或 f x = -4x 25+ (3) f x = x2 -1< x <1 4 f x = e + 3e（ ） （ ）
3 2
2
【解析】（1）解法一（换元法）：令 t = x +1， t 1，则 x = t -1 ，
所以 f t = t -1 2 + 2 t -1 = t 2 -1 t 1 ，所以 f x = x2 -1 x 1 ．
2
解法二（配凑法）： f x +1 = x + 2 x = x +1 -1，因为 x +1 2 1，所以 f x = x -1 x 1 ．
2 f x = kx + b k 0 f f x = k kx + b + b = k 2（ ）设 ，则 x + kb + b =16x - 25，
ìk 2 16 k = -4= ìk = 4 ì
所以 í ，解得 或 í 25 ，所以 f x = 4x - 5 25或 f x = -4x + ．
kb + b
í
= -25 b = -5 b = 3 3
（3）对任意的 x -1,1 有-x -1,1 ，由 2 f x - f -x = x2 ，①得 2 f -x - f x = -x 2，②
联立①②解得， f x = x2 -1< x <1 ．
(4 x因为函数 f x 的定义域为 - , + ， y = f x + e 为偶函数，
- x x x - x
所以 f -x + e = f x + e ，即 f -x = f x + e - e ，
又 y = f x - 2ex 为奇函数，所以 f -x - 2e- x = - f x - 2ex f -x + f x = 2ex + 2e- x，即 ，
x - x x - x ex + 3e- x ex + 3e- x
所以 f x + e - e + f x = 2e + 2e ，解得 f x = .故答案为：
2 2
2.（2024 山东淄博·）求下列函数的解析式
（1） f x 是一次函数，且满足3 f x +1 - f x = 2x + 9，求 f x 的解析式;
2
（2）已知函数 f x + 2 = 2x - 7 ，求函数 f x 的解析式．
（3）已知 g x - 3g 1 ÷ = x + 2，求 g x 的解析式．
è x
1 1
（4）已知 f(x＋ )＝x2＋ 2 ，则函数 f(x)的解析式x x
（5）已知 f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若 f[f(x)－ln x]＝1，则 f(x)的解析式
x 3
【答案】（1 2） f x = x + 3；（2） f x = 2x -8x +1；（3） g x = - - -1， x 0（4）x2－2(|x|≥2)
8 8x
（5）f(x)＝ln x＋1
【解析】（1）由已知 f x 是一次函数，设函数 f x = kx + b， k 0，
则 f x +1 = k x +1 + b = kx + k + b，即3 f x +1 - f x = 3 kx + k + b - kx + b = 2kx + 3k + 2b = 2x + 9，
ì2k = 2 ìk =1
即 í f x = x + 3
3k 2b 9
，解得
+ = í b = 3
，所以 ；
（2）由 f x + 2 = 2x2 - 7 = 2 x + 2 2 -8 x + 2 +1，则 f x = 2x2 -8x +1；
（3）由已知 g x - 3g 1 1 1 ÷ = x + 2 ①， x 0，则 gx x ÷ - 3g x = + 2 ②，è è x
所以① +3 ②得-8g x = x 3+ + 8， x 0，所以 g x x 3= - - -1， x 0 .
x 8 8x
1
（4） f(x＋ )＝x2
1 1
＋ 2 ＝(x2＋2
1
＋ 2 22 )－2＝(x＋ ) －2，所以 f(x)＝x －2(|x|≥2).x x x x
(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且 f[f(x)－ln x]＝1，则 f(x)－ln x 为定值．
设 f(x)－ln x＝t，t 为常数，则 f(x)＝ln x＋t 且 f(t)＝1，即有 ln t＋t＝1，解得 t＝1，则 f(x)＝ln x＋
1，
考点五 同一函数的判断
【例 5】（2024 广东佛山）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
3 2 x
A． y x + x= 与 y = x B x． y = x -1 2 与 y = x -1 C． y = 与 y = x D． y = 与 y =1
x2 +1 x x
【答案】A
3
A y x + x x(x
2 +1)
【解析】 ：函数 = 2 = 2 = x 和 y = x 的定义域为 R，解析式一样，故 A 符合题意；x +1 x +1
B：函数 y = (x -1)2 = x -1 与 y = x -1的定义域为 R，解析式不一样，故 B 不符合题意；
2
C：函数 y x= = x的定义域为 x x 0 ， y = x 的定义域为 R，解析式一样，故 C 不符合题意；
x
x
D：函数 y = = ±1的定义域为 x x 0 ， y =1的定义域为 R，解析式不一样，故 D 不符合题意.
x
故选：A
【一隅三反】
1．（2024 海南省）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． f x = x， g(x) = 3 x3 B． f x =1， g(x) = x0
2
C． f (x) = x2 , g (x) = ( x )2 D． f x = x +1 x -1， g(x) =
x -1
【答案】A
【解析】对于 A 项，因 g(x) = 3 x3 = x ，两函数定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数，故 A 项正确；
对于 B 项， g(x) = x0 的定义域为{x | x 0}，而 f x =1的定义域为 R，故不是同一函数，故 B 项错误；
对于 C 项， f (x) = x2 的定义域是 R，而 g (x) = ( x )2 的定义域为[0, + ) ，故不是同一函数，故 C 项错误；
2
对于 D 项， f x = x +1 R g(x) x -1的定义域是 ，而 = 的定义域是{x | x 1}，故不是同一函数，故 D 项错误.
x -1
故选：A.
2．（2024 北京东城）下列各组函数中，两个函数相等的是 （ ）
A． y = 3 23 x 与 y = x B． y = x 与 y = x
2
C． y = x2 与 y = x 2 3D x． y = 3 x 与 y = x
【答案】A
【解析】对于 A， y = 3 x 3 与 y = x 3定义域都是全体实数，且 y = 3 x = x，故 A 满足题意；
2
对于 B， y = x 的定义域是非负实数， y = x 的定义域是全体实数，故 B 不满足题意；
2
对于 C， y = x2 的定义域是全体实数， y = x 的定义域是非负实数，故 C 不满足题意；
3 2
对于 D， y = 3 x 的定义域是全体实数， y x= 的定义域是不为 0 的全体实数，故 D 不满足题意.x
故选：A.
3．（2023 河北承德）下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A． f x = x, g x x2 B 2= ． f x = lgx , g x = 2lgx
C． f x = lnex , g x = x D． f x = sinx, g x = cos π x +

2 ֏
【答案】C
【解析】对于 A 项， g x = x ，与 f x 的对应法则不同，故不是同一函数，A 项错误；
对于 B 项， f x 的定义域为 x∣x 0 , g x 的定义域为{x∣x > 0}，
故两函数定义域不同，故 f x 与 g x 不是同一函数，B 项错误；
对于 C 项， f x = lnex =x 与 g x = x的定义域相同，对应法则也相同，C 项正确；
对于D 项， f x = sinx, g x = -sinx， f x 与 g x 的对应法则不同，故不是同一函数，D 项错误.
故选:C.
考点六 无参函数的值域
【例 6】（2024 湖南衡阳）求下列函数的值域．
x2 -2x
(1) f x = 2x + 3， x -1,7 ；(2) f x = -2x2 + 4x - 5， x -3,3 x +1；(3) f x 1= ÷ ， x R .(4) y =
è 3 x -1
3x x2 - 4x + 4 sinx＋1
（5） y = x (6) y = (x >1) (7) y = 3x - x +1（8） f (x) = x - 2 - x - 3 （9）y＝ ，x∈3 +1 x -1 x－1
π
[ ，π2 ]
x
（10） f (x) = x ， x…0e
【答案】(1) 1,17 (2)[-35, 37 1-3] (3) 0,3 (4) y | y 1 é （5）( 0, 1) (6) 0, + (7) ê- ,+ ÷ （8）1（9） ≤y≤ 12 π－1
4
.
π－2
（10）[0,
1]
e
【解析】（1） f x = 2x + 3， f -1 =1, f 7 =17 ， f x 在区间 -1,7 上单调递增，所以值域为 1,17 .
2 f x = -2x2 + 4x - 5 = -2(x -1)2（ ）因为 - 3，函数的定义域为 -3,3 ,
所以 f x 在 -3,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
f x = f 1 = -3，又因为 f 3 = -11， f -3 = -35max ，所以 f x = f -3 = -35 fmin .所以 x 的值域为
[-35, -3] .
x2 -2x t
（3） f x 1= ÷ ，令 t = x
2 - 2x = x -1 2 -1 -1，则 h t = 1 ÷ , t -1，
è 3 è 3
h t 在 -1, + 上单调递减，所以 0 < h t h -1 ，所以 0 < h t 3， f x 的值域为 0,3 .
x +1
（4） y = 的定义域是 x | x 1 y x +1 x -1+ 2 1 2 2 2， = = = + ，由于 0，所以 y =1+ 1，
x -1 x -1 x -1 x -1 x -1 x -1
所以值域为 y | y 1 .
3x 3x +1-1 1 x x 1 1
（5） y = x = x =1- x ，因为3 > 0 3 +1 >1 0 < x <1 0 <1- <1，3 +1 3 +1 3 +1 3 +1 3x +1
所以原函数的值域为( 0, 1) .
2
（6）因为 x >1，则 x -1 > 0 y x - 4x + 4，可得 = = x -1 1+ - 2 2 x -1 1× - 2 = 0，
x -1 x -1 x -1
当且仅当 x -1
1
= ，即 x = 2时，等号成立，所以函数的值域为 0, + .
x -1
2
7 1 37 37（ ）令 t = x +1 0，则 x = t 2 -1，可得 y = 3 t 2 -1 - t = 3t 2 - t - 3 = 3 t - ÷ - - ，
è 6 12 12
t 1= é
37
当 时，等号成立，所以函数的值域为
6 ê
- ,+ .
12 ÷
ì1, x 3
（8）因为 f (x) = x - 2 - x - 3 =

í2x - 5,2 x < 3；易得：当且仅当 x 3时取最大值 1.故答案为 1

-1, x < 2
sinx＋1
（9）函数 y＝ 的值域可看作由点 A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)
x－1
π 1 4
在曲线 y＝sinx，x∈[ ，π]上，如图，∴kBP≤y≤kBQ，即 ≤y≤ .2 π－1 π－2
（10） f (x)
1- x
= x ；\0 x < 1时， f (x) > 0 ； x > 1时， f (x) < 0 ；e
1 1
\ x = 1时， f (x) 取最大值 ；又 f (x)…0；\ f (x)的值域为[0, ]．
e e
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）下列各函数中，值域为 (0, + )的是（ ）
1
A． y = log (x22 -1) B． y = 1- 2x C． y = 2
-2x+1 D． y = 3x
【答案】C
2
【解析】对于 A， x2 -1 > 0，显然 x2 -1取尽正实数，因此 y = log2 (x -1)的值域是R ，A 不是；
对于 B， 2x > 0，则0 1- 2x <1，即0 1- 2x <1，函数 y = 1- 2x 的值域为[0,1)，B 不是；
对于 C，-2x +1的值域为 R，因此 y = 2-2x+1的值域为 (0, + )，C 是；
1 1 1 1
对于 D，由于 0，则3x > 0且3x 1，即函数 y = 3x 的值域为 (0,1) (1,+ )，D 不是.x
故选：C
2.（2024 甘肃）求下列函数的值域．
5x + 4 1 2
(1) y = (2) y = x - 1- 2x (3) y = 2 - -x2 + 4x .（4） y = x + 2 x + 3（5） f (x) = ( ) - x +2xx -1 2
2
(6) y x - 2x + 4
2
= x > 2 ；(7) y 2x + 2x + 5= .
x - 2 x2 + x +1
【答案】(1) y | y 5 (2) - ,
1 ù
ú (3) 0,2 （4）[3， + )
1
（5）[ ,+ ) (6) 6, + (7) 2,6
è 2 2
5x + 4 5 x -1 + 9 9 9
【解析】（1）由于 y = = = 5 + ，且 0；所以可得 y 5，因此函数的值域是
x -1 x -1 x -1 x -1
y | y 5 ．
1 2 1 1 2 1 1 2 1
（2）令 t = 1- 2x t 0 ，所以 x = - t + ，即 y = - t - t + = - t +1 +1，当 t 0时， y≤ ，
2 2 2 2 2 2
, 1 ù即函数的值域为 - .
è 2 ú
（3）易知需满足 -x2 + 4x 0，即0 x 4，即函数定义域为 0,4 ； y = 2 - -x2 + 4x = 2 - - x - 2 2 + 4 ，
由二次函数性质可得 0 - x - 2 2 + 4 4 = 2，所以 y = 2 - -x2 + 4x 的值域为 0,2 ．
（4）由 y = ( x +1)2 + 2…3， (x…0) 可得函数的值域为[3， + ) ．
2 2 (1 - x2 +2x 1 1（5） -x + 2x = -(x -1) +1 1；\ ) … ；\ f (x)的值域为[ ,+ )．
2 2 2
2 2
6 x > 2 x - 2x + 4 x - 2 + 2 x - 2y + 4（ ）因为 ，所以 = = = x 4 4- 2 + + 2 2 x - 2 + 2 = 6 ，
x - 2 x - 2 x - 2 x - 2
4
当且仅当 x - 2 = ，即 x = 4时，等号成立.故函数的值域为 6, + .
x - 2
2
7 y 2x + 2x + 5（ ）由 = 22 知 x R ，整理得 y - 2 x + y - 2 x + y - 5 = 0 .x + x +1
当 y = 2时，方程无解；当 y 2时，Δ = y - 2 2 - 4 y - 2 y - 5 0，即 2 < y 6 .故所求函数的值域为 2,6 .
考点七 已知函数值域求参数
2
【例 7-1】（2024 河北沧州）已知函数 f x = ln ax + 2x +1 ，若 f x 的值域为R ，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 0, +
【答案】A
【解析】若函数 f x 的值域为R ，则u = ax2 + 2x +1要取遍所有的正数．
ìa > 0
所以 a = 0或 í ，解得0 a 1，即实数 a的取值范围是 0,1 .Δ 4 4a 0 故选：A． = -
【例 7-2】（2024 四川广安）若函数 f (x) = 2x2 - mx + 3 的值域为[0, + ) ，则实数 m 的取值范围是（ ）．
A． - , -2 6ù B． - , -2 6ù é U 2 6, + C． é -2 6,2 6ù D． é 2 6,+
【答案】B
【解析】因为函数 f (x) = 2x2 - mx + 3 的值域为 0, + ，
所以 2x2 - mx + 3能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程 2x2 - mx + 3 = 0在实数范围内有解．
所以D = m2 - 4 2 3 = m2 - 24 0 ，解得m - ,-2 6ù é 2 6,+ ．
故选：B．
ìx +1, x a
【例 7-3】（2023·湖北武汉·一模）已知函数 f x = í2x ，
f (x)
, x a 若 的值域为R
,则实数 a的取值范围是（
> ）
A． (- ,0] B．[0,1] C．[0, + ) D． (- ,1]
【答案】B
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 y = x +1和 g(x) = 2x 的图象如下图所示：
由图可知，当 x = 0或 x =1时，两图象相交，若 f (x) 的值域是R ，以实数 a为分界点，可进行如下分类讨论：
当 a < 0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当 a > 1 ,值域也不是R ；
当0 a 1时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ；综上可知，实数 a的取值范围是0 a 1.选：B
【一隅三反】
ì-x + 2, x <1

1．（2024 北京）若函数 f x = ía 的值域为 0, + ，则实数 a的取值范围为（ ）.
, x 1

x
A． 0,1 B． -1,0 C． 1, + D． 1, +
【答案】D
【解析】当 x <1时，函数 f (x) = -x + 2 在 (- ,1)上单调递减， f (x) 在 (- ,1)上的值域为 (1, + )，
因为函数 f (x) 在 R 上的值域为 0, + ，则函数 f (x) a= 在[1, + ) 上的值域包含 (0,1]，
x
a
显然 a > 0，否则当 x 1时， 0 ，不符合题意，
x
f (x) a于是函数 = 在[1, + ) 上单调递减，其值域为 (0,a]，因此 (0,1] (0, a]，则a 1，
x
所以实数 a的取值范围为 1, + .
故选：D
2
2．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2x +2x+a 的值域为M .若 1, + M ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,1 B． - ,1 C． 1, + D． 1, +
【答案】B
【解析】因为 f x = 2x2 +2x+a u x2 u，令 = + 2x + a，所以 f u = 2 ；
令函数u = x2 + 2x + a的值域为 N ，因为 1, + M ，
所以 0, + N ，所以 x2 + 2x + a必须能取到 0, + 上的所有值，
u 4 a - 2
2 4a - 4
min = = 0 ，解得 a 1 .4 4
故选：B
2
3．（2024 河北保定）设函数 f (x) x + x +16= (2 x a)，其中实数 a > 2．若 f (x) 的值域为[9,11]，则 a 的取值
x
范围是（ ）
A． (2,4] B．[4, 6] C． (2,8] D．[4,8]
【答案】D
2
f (x) x + x +16【解析】函数 = = x 16+ +1，由对勾函数的性质可知，
x x
由于 f (x) 在 2,4 上单调递减，在 4, + 上单调递增，且注意到 f (2) =11， f (4) = 9， f (8) =11，
所以所求 a 的取值范围是[4,8]．故选：D
考点八 分段函数
ì f (x +1), x < 4
【例 8-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = í2x , x 4 ，则
f 2 + log
2
3 = （ ）

A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【解析】由1< log2 3 < 2，得3 < 2 + log23 < 4
3+log 3 3 log 3
，所以 f (2 + log23) = f (3 + log23) = 2 2 = 2 2 2 = 24 .
故选：D
ì4x , x 0
【例 8-2】（2024·四川广安·二模）已知函数 f x = í .则 f é f -2 ù 的值为 .
log2 x, x > 0
【答案】-4
Q f -2 = 4-2 1= > 0 \ f é f -2 ù = f 1 1 -4【解析】 ，
16 ÷
= log2 = log2 2 = -4 .故答案为：-4 .
è16 16
ì x 1
÷ , x 0
【例 8-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f(x)＝ í è 2 设 a＝ log 1 3 ，则 f(f(a))＝ ．
2
log3 x, x > 0
【答案】
【解析】－1【一隅三反】
ìlog2 (2 - x), x <11．（2024 湖南衡阳）设函数 f (x) = í2x-1, x 1 ，则
f (-2) + f (log210) =（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
ìlog2 (2 - x), x <1
【解析】函数 f (x) = í x-1 ， log210 > log2 2 =1
2 , x 1
，所以

f (-2) + f (log 10) = log 4 + 2log210-1 = 2 + 2log2 52 2 = 2 + 5 = 7 .故选：D
ì 3
x -1, x 2
2．（2024·江西）设 f x = í 2 ，若 f x = 2 ，则 x 的值为（ ） log3 x + 5 , x > 2
A．1 或 2 B．1或±2 C．1 D．2
【答案】C
【解析】当3x -1 = 2时，有 x =1 2，满足；
log 2当 23(x + 5) = 2 时，有 x = 4，则 x = -2或 x = 2都不满足 x > 2 .所以 x 的值为 1.故选：C
ì - x 3 , x 0
3．（2024 江苏常州）设函数 f x = ílog x, x > 0，若 f a > 3，则实数 a 的取值范围是（ ）．

1
2
A． 1- , -1 0, ÷ B． - , -1
1
8
,1
è è 8 ÷
1 1
C． -1, ÷ D． - , ÷
è 8 è 8
【答案】A
-a
【解析】当 a 0时，则 f a = 3 > 3，即-a >1，解得 a < -1；
当 a > 0时，则 f a = log
1 1
1 a > 3 = log 1 8 ，解得0 < a < ；2 2 8
综上所述：实数 a 的取值范围是 - , -1 1 0, ÷ .
è 8
故选：A.
5．（2024 重庆沙坪坝）若函数 f cosx cosx cos2x f 1 = + ，则 f ÷÷ =（ ）
è è 2
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为 f cosx = cosx + cos2x=cosx + 2cos2x -1所以 f x = x + 2x2 -1, -1 x 1 ，
f 1 1 1 1 则 ÷ = + 2 -1 = 0 ，所以 f f ÷÷ = f 0 = -1 .故选：B.
è 2 2 4 è è 2
一．单选题
ìx2 +1, x > 0
1．（2024 云南）已知函数 f x = í ，若 f x = 5，则 x 的值为（ ）
-2x + 2, x 0
3 3 3
A．- B．2 C．- , 2 D．-2, - , 2
2 2 2
【答案】C
【解析】由已知得：当 x > 0时， f (x) = x2 +1 = 5，解得： x = 2，或 x = -2（舍），
当 x 0 时， f (x) = -2x + 2 = 5
3 3
，解得： x = - ，综上： x 的值为- 或 2 ,故选：C.
2 2
é 1 ù
2．（2024·黑龙江哈尔滨）已知函数 y＝f (x +1)的定义域为 ê- ，1ú ，则函数 y＝f (log2 x) 的定义域为（　　） 2
é ù
A． (0, )
2
+ B．( 0, 1) C． ê ，2ú D． é 2，4ù2
【答案】D
1
【解析】∵函数 y＝f (x +1)
é- 1ù 1的定义域为 ê ，ú ∴ - x
1 1
1， x +1 2 ∴函数 y＝f (log
2 2 2 2
x) 中， log2 x 2 2
∴ 2 x 4 所以函数 y＝f (log2 x) 的定义域为[ 2，4 ]．故选：D
3．（2024 河南开封）下列表示同一个函数的是（ ）
1
A． y = lnex 与y = el n x B． y = t 2 与 y = 4 x2
C． y = lg x 与 y = lg -x 1D． y = x0 与 y =
x0
【答案】D
【解析】对于 A， y = ln ex 的定义域为R ，y = el n x 的定义域为 0, + ，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故 A 错误；
1
对于 B， y = t 2 的定义域为 0, + ， y = 4 x2 的定义域为R ，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故 B 错误；
对于 C， y = lg x 与 y = lg -x 的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故 C 错误；
1
对于 D， y = x0 =1， y = = 1，
x0
这两个函数的定义域都是 x x 0 ，且对应法则也相同，故是同一个函数，故 D 正确.
故选：D.
25
4．（2024 福建福州·
é ù
阶段练习）已知函数 y = x2 - 3x - 4 的定义域是 -1, m ，值域为 ê- ,0ú ，则m4 的取值范围是
（ ）
é 3 ù é 3 ù é3
A． 0,4 B． ê , 4ú C． ê ,3 D． ,+ 2 ÷ 2 ú ê 2
【答案】B
2
【解析】结合题意：函数 y = x2 - 3x - 4 x 3 25= - 2 ÷
-
è 4
3
所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为 x = ，
2
f 3 25所以 ÷ = - ，易知： f -1 = f 4 = 0，
è 2 4
2 1, m é 25 ù由图可知,要使函数 y = x - 3x - 4 的定义域是 - ，值域为 ê- ,0ú ， 4
则m é
3 ù
的取值范围是 ê , 4 ， 2 ú
故选：B.
bx 9
5．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数 f x = a 3- x + 的图象过点 0,1 与 3, ÷，则函数 f x 在区间 1,4 x +1 è 4
上的最大值为（ ）
3 7 5 8
A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】B
【解析】因为函数 f x = a 3- x bx 9+ 的图象过点 0,1 与 3, ，x +1 ÷è 4
ì3b 9
f 0 =1 f 3 9 =所以 ， = ，则
4 í
4 4 ，
3a =1
1
解得 a = ，b = 3，
3
故函数 f x 的解析式为： f x 3x x= - +1 .
x +1 3
f x 3x x 3 x +1 - 31 x 13 3 x +1 13 3 x +1 7而 = - + = - +1 = - é + ù - 2 × = ，
x +1 3 x +1 3 3 ê x +1 3 ú 3 x +1 3 3
7
当且仅当 x = 2时取等号，函数 f x 在区间 1,4 上的最大值为 .故选：B.
3
ì 4 - a x + 2a, x <16．（2024 湖北荆门·期末）已知函数 f x = í 的值域为R ，则实数 a的取值范围是（ ）
log
3 x, x 1
A． -4,4 B． -4,4
C． - , -4 ù D． -4
【答案】B
【解析】当 x 1时， y = log3 x在 1, + 上单调递增，且 log3 1 = 0，所以函数在 1, + 的值域是 0, + .
因为函数 f
4 - a > 0
x ì的值域是R .所以当 x <1时的函数值域应该包含 - ,0 .即 í -4 a < 4 .
4 - a + 2a 0
故选：B
7．（2024 重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
x -1
A． y = x -1 + 2x B． y =
x +1
2x
C． y = 2 (x > 0)
1
D． y = x - +1（x 1)
x +1 x
【答案】D
1 2 15
【解析】A 选项，令 x -1 = t 0 x =1+ t 2 y = 2t2 + t + 2 = 2 ，则 t + + ，
è 4 ÷ 8
则函数 y = 2t 2 + t + 2在 0, + 上单调递增，则 y = x -1 + 2x 2，故 A 错误；
y x -1 x +1- 2 2B 选项， = = =1- ，则 y - ,1 U 1,+ ，故 B 错误；
x +1 x +1 x +1
y 2x 2 2= 2 = 1 ≤ =1C 选项，因 x > 0，则 y > 0，又注意到 x +1 x + 1 ，当且仅当 x
1
= x =1时取等号，
x 2 x × xx
则 y
2x 0,1 1 1= 2 ，故 C 错误.D 选项，注意到函数 y = x +1, y = - 均在 1, + 上单调递增，则 y = x - +1 1，x +1 x x
故 D 正确.故选：D
8．（2024 山东济南）已知函数 y = ax2 + bx + c 的定义域与值域均为 0,1 ，则实数 a的取值为（ ）
A．-4 B．-2 C．1 D．1
【答案】A
【解析】依题意， y = ax2 + bx + c的值域为 0,1 ，且 ax2 + bx + c 0的解集为 0,1 ，故函数的开口向下， a<0，
2 b 0 +1则方程 ax + bx + c = 0的两根为 x = 0或1，则 c = 0 ，- = ，即 a = -b ，
2a 2
1 2 2y = ax2 + bx + c = ax2 - ax = a x - a则 ÷ - ，当 x
1
= y 1 a
a
时， = a x -

÷ - 取得最大值为1，即 - = 1，解得：
è 2 4 2 è 2 4 4
a = -4 .故选：A.
二．多选题
9．（2024 重庆黔江）已知集合P = {x | 0 < x 6}，Q = {y | 0 < y 3}，下列从集合 P 到集合Q的各个对应关系 f
是函数的是（ ）
1
A． f : x y
1
= x B．
2 f : x y = x
3
x
C． f : x y = 1 ÷ D． f : x y = ln x
è 2
【答案】ABC
1
【解析】选项 A， f : x y = x ，集合 P 中的每一个元素在集合Q中都有唯一一个元素与之对应，故 A 正确；
2
1
选项 B， f : x y = x3 ，集合 P 中的每一个元素在集合Q中都有唯一一个元素与之对应，故 B 正确；
x
选项 C， f : x y = 1 ÷ ，集合 P 中的每一个元素在集合Q中都有唯一一个元素与之对应，故 C 正确；
è 2
选项 D， f : x y = ln x，集合 P 中的 1，在集合Q中没有元素与之对应，故 D 错误；
故选：ABC
10．（2024 福建龙岩）已知函数 f x +1 = x + 2 x， 则（ ）
A． f x = x -1 x R B． f (x) 的最小值为 -1
f 2x - 3 [2,+ ) f (1C． 的定义域为 D． ) 的值域为[0, + )
x
【答案】CD
【解析】依题意， f ( x +1) = ( x )2 + 2 x = ( x +1)2 -1，则 f (x) = x2 -1, x 1，A 错误；
当 x 1时， f (x) 0，当且仅当 x =1时取等号，B 错误；
在 f 2x - 3 中， 2x - 3 1，解得 x 2，因此 f 2x - 3 的定义域为[2,+ )，C 正确；
f (1) 1 1 1显然 = 2 -1，0 < x 1，于是 2 [1, + )，因此 f ( ) 的值域为[0, + ) ，D 正确.x x x x
故选：CD
11．（2024 重庆渝中）已知函数 f (x) = 32x - 2 ×3x + 2 ，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是
（ ）
A．M = 0, log3 2 B．M - , log3 2
C． log3 2 M D．0 M
【答案】BCD
【解析】令 t = 3x (t > 0) ，则 f (x) = 32x - 2 ×3x + 2 = t 2 - 2t + 2 = (t -1)2 +1 = g(t)，
由 g(t) =1，得 t =1，即3x =1，得 x = 0；
由 g(t) = 2，得 t = 0（舍）或 2，即 x = log3 2；
根据 g(t)的图象特征，知0 M ， log3 2 M ，M - ，log3 2 .
故选：BCD．
三．填空题
1+ 2x
12．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 f x = lg 的定义域是 .
x
( , 1【答案】 - - ) U (0,+ )
2
【解析】函数 f x = lg1+ 2x 1+ 2x有意义，则 > 0 x(2x +1) > 0 1，解得 x < - 或 x > 0，
x x 2
所以函数 f x lg1+ 2x= 的定义域是 (- , 1- ) U (0,+ ) .
x 2
1
故答案为： (- ,- ) U (0,+ )
2
1
13．（2024 青海西宁）若函数 x-f x = 1+ a ×3x + 9 2 的值域为 0, + ，则 a 的取值范围是 .
2 3 ù
【答案】 - ,- 3 úè
1
【解析】若 a 0，则 x-1+ a ×3x + 9 2 >1，不满足题意；
1 2x- 2
若 a<0，则1+ a ×3x 1 1 3a 3a+ 9 2 =1+ a ×3x + 32x = x 3 + ÷ - +1，3 3 è 2 4
3a2
当- +1 0 2 3，即 a - 时， f x 的值域为 0, + ，满足题意.
4 3
2 3 ù
故答案为： - ,- ú .
è 3
ìx2 - 2x + 2, x 0

14．（2023·上海青浦·一模）已知函数 y = í a 的值域为R ，则实数 a的取值范围为 ．
x + + 3a , x < 0 x
【答案】 - ,0 U 1, +
【解析】当 x 0 时， f x = x2 - 2x + 2 = x -1 2 +1，此时 f x 1,+ ，
当 a = 0且 x < 0 时， f x = x，此时 f x - ,0 ，且 - ,0 U 1, + R，所以不满足；
当 a
a
> 0且 x < 0 时， f x = x + + 3a ，
x
由对勾函数单调性可知 f x 在 - , - a 上单调递增，在 - a ,0 上单调递减，
所以 f x = f - a = 3a - 2 a ，此时 f x - ,3a - 2 a ùmax ，
若要满足 f x 的值域为R ，只需要3a - 2 a 1，解得a 1；
a
当 a<0且 x < 0 时，因为 y = x, y = 均在 - ,0 上单调递增，
x
所以 f x = x a+ + 3a 在 - ,0 上单调递增，且 x 0 时， f x + ， x - 时， f x - ，
x
所以此时 f x - ,+ ，此时显然能满足 f x 的值域为R ；
综上可知， a的取值范围是 - ,0 1,+ ，
故答案为： - ,0 1,+ .
四．解答题
15．（2024 广东佛山·期中）根据下列条件，求 f x 的解析式．
(1) 2已知 f x 满足 f x +1 = x + 4x +1；
(2)已知 f x 是二次函数，且满足 f 0 =1， f x +1 - f x = 2x ；
(3)已知 f x 2 f 1 满足 ÷ + f x = x x 0 ．
è x
2
【答案】(1) f x = x + 2x - 2
(2) f x = x2 - x +1
2 x
(3) f x = - x 0
3x 3
2
【解析】（1） f x +1 = x2 + 4x +1 = x +1 + 2 x +1 - 2 ，所以 f x = x2 + 2x - 2 .
（2）设 f x = ax2 + bx + c ，因为 f 0 =1，所以 c =1，
f x +1 - f x = 2x a x +1 2因为 ，所以 + b x +1 +1- ax2 - bx -1 = 2x，整理得 2ax + a + b = 2x，
ì2a = 2 ìa =1 2
所以 í ，解得 í ，所以 f x = x - x +1.
a + b = 0 b = -1
1
（3）在 2 f ÷ + f x = x x 0
1
①中，令 替换 x 得 2 f x 1 1+ f ÷ = x 0 ②，
è x x è x x
f 1 1= - 2 f x f x 2 x由②得 ÷ ③，将③代入①得 = - x 0 ，
è x x 3x 3
2 x
所以 f x = - x 0 .
3x 3
16．（2024 2广西）已知函数 f x +1 = x + x -1 .
(1)求 f x 的解析式；
(2)求不等式 f x x + 2的解集；
(3)若存在 x R ，使得 2 f sinx + 2sinx acosx +1，求 a的取值范围.
【答案】(1) f x = x2 - x -1
(2) -1,3
(3) - , -2 2 2 2,+ .
【解析】（1）设 t = x +1，则 x = t -1 .
2
因为 f x +1 = x + x -1，所以 f t = (t -1)2 + t -1 -1 = t 2 - t -1，
则 f x = x2 - x -1.
（2）不等式 f x x + 2，即 x2 - x -1 x + 2 ，即 x2 - 2x - 3 0，
则 x - 3 x +1 0，
解得-1 x 3，即不等式 f x x + 2的解集为 -1,3 .
2 2
（3）因为 f x = x - x -1，所以 f sinx = sin x - sinx -1，
则不等式 2 f sinx + 2sinx acosx +1等价于不等式 2sin2x - 2 acosx +1，
即 acosx - 2sin2x + 3 0，即 2cos2x + acosx +1 0 .
设 t = cosx -1,1 ，则函数 g t = 2t 2 + at +1 -1 t 1 .
故二次函数 g t a图象的对称轴方程为 t = - .
4
a
当- -1，即 a 4时， g t 在 -1,1 上单调递增，
4
则 g(t)min = g -1 = 3- a 0，解得 a 3，
故 a 4符合题意；
当 -1
a
< - < 1，即-4 < a < 4时， g t é a a在 ê-1, -
ù ù
4 ú 上单调递减，在
- ,1ú 上单调递增， 4 è 4
g(t) = g a 1则 min -

÷ = - a
2 +1 0，解得
4 8 a -2 2 或 a 2 2 ，è
故-4 < a -2 2 或 2 2 a < 4符合题意；
a
当- 1，即 a -4时， g t 在 -1,1 上单调递减，
4
则 g(t)min = g 1 = 3 + a 0，解得 a -3，
故 a -4符合题意.
综上， a的取值范围是 - , -2 2 2 2,+
17．（2024 江苏无锡·阶段练习）已知函数 f (x) 是二次函数，且满足 f (0) = 2， f (x +1) = f (x) + 2x．
(1)求函数 f (x) 的解析式；
(2)若对任意的 x R ，不等式 x +1 ax2 + bx + c f (x)恒成立，求bc + 3a的最大值．
【答案】(1) f (x) = x2 - x + 2；
3
(2) .
2
【解析】（1）由函数 f (x) 是二次函数，且 f (0) = 2，设 f (x) = mx2 + nx + 2(m 0)，
由 f (x +1) = f (x) + 2x，得m(x +1)2 + n(x +1) + 2 = mx2 + nx + 2 + 2x ，
ì2m - 2 = 0 ìm =1
整理得 (2m - 2)x + (m + n) = 0，则 í
m + n
，解得
= 0 í n
，
= -1
所以函数 f (x) 的解析式是 f (x) = x2 - x + 2 .
（2）由（1）及已知得"x R ， x +1 ax2 + bx + c x2 - x + 2恒成立，
令 x =1，则 2 a + b + c 2，于是 a + b + c = 2，
"x R ， x +1 ax2 + bx + c恒成立，即 ax2 + (b -1)x + c -1 0恒成立，
当 a 0时，则 a > 0且D = (b -1)2 - 4a(c -1) = (a + c -1)2 - 4a(c -1) = (a - c +1)2 0，
因此 c = a +1，b =1- 2a，当 a = 0时，b = 1,c = 1，满足上式，则 c = a +1，b =1- 2a， a 0，
从而bc + 3a (1 2a)(a 1)
1 3 3 1
= - + + 3a = -2a2 + 2a +1 = -2(a - )2 + ，当且仅当 a = 时取等号，
2 2 2 2
1 1 1
此时b = 0
3
， c = ， f (x) - (ax2 + bx + c) = x2 - x + = (x -1)2 0恒成立，
2 2 2 2
3
所以bc + 3a的最大值为 .
2
18．（2024 北京·期中）已知函数 f (x) = x2 + bx + c，满足 f 0 = f 1 =1.
(1)求b,c值；
(2)在 -1,1 上，函数 f (x) 的图象总在一次函数 y = 2x + m 的图象的上方，试确定实数 m 的取值范围；
(3)设当 x [t, t + 2](t R)时，函数 f (x) 的最小值为 g(t)，求 g t 的解析式.
【答案】(1) b = -1,c =1
(2) - , -1
ì
t
2 - t +1, t 1
2
(3) g t 3= í , 3 1- < t <
4 2 2
t 2 + 3t + 3, t
3
-
2
【解析】1）因为二次函数 f (x) = x2 + bx + c满足 f 0 = f 1 =1，
ìc =1 ìc =1
则 í1 b c 1，解得+ + = í
.
b = -1
（2）由（1）可知： f (x) = x2 - x +1，
若在 -1,1 上，函数 f (x) 的图象总在一次函数 y = 2x + m 的图象的上方，
则 x2 - x +1 > 2x + m在 -1,1 上恒成立，即 x2 - 3x +1 > m在 -1,1 上恒成立，
2 3因为 y = x - 3x +1开口向上，对称轴为 x = ，
2
可知 y = x2 - 3x +1在 -1,1 上单调递减，则 ymin = y |x=1= -1，可得m < -1，
所以实数 m 的取值范围为 - ,-1 .
1
（3）因为 f (x) = x2 - x +1是对称轴为 x = ，开口向上的二次函数，
2
1
当 t 时， f (x) 在 t, t + 2 上单调递增，则 g t = f (t) = t 2 - t +1；
2
当 t + 2
1 3
，即 t - 时， f (x) 在 t, t + 2 上单调递减，则 g t = f t + 2 = t 2 + 3t + 3；
2 2
1
t 1 t 2 3- < t < 0 é ù< < +
1 ù
当 ，即 时， f x 在 êt, 上单调递减，在 , t + 2 上单调递增，2 2 2 ú è 2 ú
g t f 1 3可知 = = ；
è 2 ÷ 4
ìt 2 1 - t +1, t
2
综上所述： g t 3 3 1= í ,- < t < .
4 2 2

t
2 + 3t 3, t 3+ -
2
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 y = f (x) 是定义在R 上的周期函数，周期T = 5，函数 y = f (x) （-1 x 1）
是奇函数．又已知 y = f (x) 在 0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在 x = 2时函数取得最小值-5．
(1)证明： f (1) + f (4) = 0；
(2)求 y = f (x), x [1, 4]的解析式；
(3)求 y = f (x) 在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2) f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4)
ì -3x +15,4 x 6
(3) f x = í 2
2 x - 7 - 5,6 < x 9
【解析】（1）证明：∵f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f (4) = f (4 - 5) = f (-1)，
又∵ y = f (x)(-1 x 1)是奇函数，∴ f (1) = - f (-1) = - f (4) ，∴ f (1) + f (4) = 0
（2）当 x [1, 4]时，由题意可设 f (x) = a(x - 2)2 - 5(a > 0)，
由 f (1) + f (4) = 0，得 a(1- 2)2 - 5 + a(4 - 2)2 - 5 = 0 ，∴ a = 2，
∴ f (x) = 2(x - 2)2 - 5(1 x 4) .
（3）根据（2）中所求，可知 f 1 = -3；又 f x 在 -1,1 上是奇函数，故 f 0 = 0，
故当 x 0,1 时，设 f x = kx k 0 ，则 k 1 = -3，解得 k = -3 .
故当 x 0,1 时， f x = -3x .
又 f x 在 -1,1 上是奇函数，故当 x -1,0 时， f x = -3x .
综上，则 x -1,1 时， f x = -3x .
因为 x 1,4 时， f x = 2 x - 2 2 - 5 .
所以当 x 4,6 时， x - 5 -1,1 ，所以 f x = f x - 5 = -3 x - 5 = -3x +15；
当 x 6,9 时， x - 5 1,4 ，所以 f x = f x - 5 = 2 x - 7 2 - 5，
ì-3x +15, 4 x 6
综上所述， f (x) = í2(x - 7)2 . - 5, 6 < x 9

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