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2.2 函数的单调性与奇偶性
考点一 无参函数求单调区间
【例 1-1】（2023 云南丽江）下列函数中，定义域为 R ，且在区间 (0, + )上单调递增的是（ ）
A． y = ln x B． y = x C． y = sin x D． y = ex-1
【答案】D
【解析】A 选项， y = ln x 的定义域为 (0, + )，故排除 A.
B 选项， y = x 的定义域为[0, + ) ，故排除 B.
C 选项， y = sin x 的定义域为 R ，在 (0, + )上有增有减，故排除 C.
D 选项， y = ex-1的定义域为 R ，令 x -1 = t ， t 在 (0, + )上单调递增，
y = et 在 (0, + )上单调递增，所以 y = ex-1在 (0, + )上单调递增.
故选：D
lnx
【例 1-2】（2023 春·江西）函数 f x = 2 的单调递增区间为__________.x
【答案】 0, e
【解析】函数 f x lnx= 2 的定义域为 0, + f x
1- 2ln x
，则 = ，
x x3
令 f x > 0，解得0 < x < e ，故函数 f x 的单调递增区间为 0, e .故答案为： 0, e .
【例 1-3】（1）（2023·江西）函数 f x = x2 - 2 x + 5的单调增区间是（ ）
A． - , -1 和 0,1 B． - , -1 和 1, + C． -1,0 和 1, + D． -1,0 和 0,1
2
（2）（2022·广东）函数 f x = x - 3x + 2 的单调递增区间是（ ）
é3
A． ê ,+
é
÷ B． ê1,
3ù
ú和 2, + 2 2
C． - ,1 é3 ,2ù 3 和 ê ú D． - , ÷和 2, + 2 è 2
（3）（2022 秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数 f (x) =| x -1| + | x - 2 |的单调递增区间是（ ）
A．[1, + ) B． (- ,1] C． 1,2 D．[2,+ )
【答案】（1）C（2）B（3）D
【解析】（1）由 f -x = (-x)2 - 2 -x + 5 = x2 - 2 x + 5 = f x ，
则 f x 为偶函数， f x 的图像关于 y 轴对称.
x 0 f x = x2当 时， - 2x + 5，对称轴为 x =1，所以 f x 在 1, + 上递增，在 0,1 递减；
则当 x 0 时， f x 在 -1,0 递增，在 - , -1 递减，
则有 f x 的递增区间为 é-1,0 , 1, + .
故选：C
ìx2 - 3x + 2, x 1
（2） y = x2 - 3x + 2 =
2
í-x + 3x - 2,1< x < 2如图所示：
x2 - 3x + 2, x 2
é
函数的单调递增区间是 ê1,
3ù
ú和 2, + ．故选：B. 2
ì3- 2x, x <1
（3）因为 f (x) = x -1 + x - 2 =

í-1,1 x < 2 ，所以 f (x) 的增区间为[2,+ )，故选：D.

2x - 3, x 2
【例 1-4】（1）（2023·江西）函数 f (x) = log 22 (x - 3x - 4) 的单调减区间为______.
（2）（2024 河南） y = - x2 + 2x 的单调增区间为
【答案】（1） (- , -1)（2） - , -2
2
【解析】函数 f (x) = log2 (x - 3x - 4) 中， x2 - 3x - 4 > 0，解得 x < -1或 x>4，即函数 f (x) 的定义域为
(- , -1) U (4, + )，
u = x2 - 3x - 4在 (- , -1)上单调递减，在 (4, + ) 上单调递增，而 y = log2 x 在 (0, + )单调递增，
于是得 f (x) = log2 (x
2 - 3x - 4) 在 (- , -1)上单调递减，在 (4, + ) 上单调递增，
2
所以函数 f (x) = log2 (x - 3x - 4) 的单调减区间为 (- , -1) .故答案为： (- , -1)
（2）由 x2 + 2x 0，得 x -2或 x 0 ，则函数的定义域为 (- , -2] [0, + )，
令 t = x2 + 2x，则 y = - t ，
因为 t = x2 + 2x在 (- , -2]上单调递减，在[0, + ) 上单调递增， y = - t 在定义域内为减函数，
所以 y = - x2 + 2x 在 (- , -2]上递增，在[0, + ) 上递减，所以 y = - x2 + 2x 的单调增区间为 (- , -2]，
【一隅三反】
1．（2024·北京）下列函数中，在 (0, + )为增函数的是（ ）
1
A． y = tan x B． y = e|x-1| C． y = ln D． y = (x -1)ex-2
x
【答案】D
p
【解析】A 不正确， y = tan x 在每一个单调区间上增，在（0，+ ）不是增函数， x = 2 时函数不存在；B 是对称轴
为 x =1，在（0，+ ）不是增函数；C 在 (0, + )为减函数，D 求导得可 f (x) = xex-2 > 0(x (0, + ))，可知 D 正确故
选：D．
2（2021·4 安徽）函数 f x = log1 x 的单调递增区间是（ ）
3
A． - ,+ B． 1, + C． 0,1 D． 0, +
【答案】B
ìlog1 x,0 < x <1
【解析】Q f x = log x = 1 í 3 ，\ f x 的单调递增区间是 1, + .故选：B.
3 log3 x, x 1
3.（2024 2广东茂名）已知 f x = x + 2 x + 3，则函数 f x 的单调递增区间为 .
【答案】 0, +
ì x +1 2 + 2, x 0
【解析】 f

x = x2 + 2 x + 3 = í ，画出函数图象，结合图象得函数 f x 的单调递增区间为
x -1
2 + 2, x < 0
0, + .故答案为： 0, + .
4．（2024 上海）函数 y = lg(x2 - 2x + 3)的单调递增区间为 ．
【答案】 1,+
2
【解析】因为 y = lg ( x 2 - 2 x + 3) ，所以 x2 - 2x + 3 = x -1 + 2 > 0,所以函数 y = lg ( x 2 - 2 x + 3) 的定义域为 R ，
设u = x 2 - 2x + 3，所以u 在 - ,1 上单调递减，u 在 1,+ 上单调递增，
而 y = lgu 在 0, + 单调递增，由复合函数的单调性可知，函数 y = lg ( x 2 - 2 x + 3) 的单调增区间为 1, + .
故填： 1, + ．
5（2023·云南·校联考二模）函数 f (x) = ex - ln(1+ x) 的单调递增区间为____________．
【答案】 0, + / 0, +
x 1
【解析】由题得函数定义域为 (-1, + ), f (x) = e - = g(x), g (x) = ex
1
+
1+ x (1+ x)2
> 0 ，
所以 g(x)在 (-1, + )上单调递增，又 g(0) = 0，所以当 x > 0时， f (x) > 0 ，
故 f (x) 的单调递增区间为 (0, + )（或[0, + ) ）．故答案为： (0, + )
|x-1|
6（2022· 4 山东）函数 y = ÷ 的单调减区间是_______．
è 5
【答案】 1, +
u
【解析】令u = x -1 4 ，则 y = 5 ÷è
∵ 0
4
< <1 ∴ y 4
u
= ， ÷ 在 - ,+ 上单调递减作出u = x -1 的图象5 è 5
由图象可以u = x -1 在 - ,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增
|x-1|
∴ y = 4 ÷ 在 - ,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减故答案为： 1, + .
è 5
考点二 根据单调性求参数
【例 2-1】（2023·广西）已知函数 f (x) = x2 - 2ax + b在区间（-∞，1]是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】 f (x) = x2 - 2ax + b对称轴为 x = a，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以 a 1,+ .
故选：A
2
【例 2-2】（2024 福建三明·期中）函数 f x = 32x -ax 在区间 2,4 上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,8 B． - ,8 C． 16, + D． 16, +
【答案】C
【解析】设 t = 2x2 - ax，因为函数 f x 在区间 2,4 上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得，
a
函数 t = 2x2 - ax在区间 2,4 上单调递减，所以 4，解得 a 16 ，故选：C.4
ì-x2 + 2ax, x 1
【例 2-3】（2023·陕西商洛·一模）已知函数 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，则 a的取值范围是
(3 - a)x + 2, x >1
（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
【答案】B
ì 2a
- 1
ì-x2 + 2ax, x 1 -2
【解析】因为 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，所以 í3- a > 0 ，解得1 a 2 .
(3 - a)x + 2, x >1
-1+ 2a 3 - a + 2

故选：B
【例 2-4】（2024·陕西榆林·一模）已知函数 f x = eax - ex在 0, + 上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
A． 0, + B． 1, + C． e, + D． 2e, +
【答案】B
【解析】当 a 0 f x = eax - ex时，函数 在 0, + 上单调递减，不符合题意，所以 a > 0，
ax x
由题可知 f x = ae - e 0恒成立，即 aeax x ex .令 g x = xe , x 0,+ ，
则 g x = x +1 ex 0，所以 g x 在 0, + 上单调递增，由 aeax ex ，
可得 axeax xex ，即 g ax g x ，所以 ax x 0，所以a 1，
当 a =1时， f x = 0，不符合题意，故 a的取值范围是 1, + .故选：B
【一隅三反】
ax -1
1．（2022·4 浙江）设 a R ，则“ a…1 ”是“函数 f x = 在 1, + 为减函数”的（
x 1 ）-
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由题意可得 f x ax -1= = a a -1+ 为减函数，则 a -1 > 0，解得 a > 1 .
x -1 x -1
ax -1
因为a 1推不出 a > 1， a >1 a 1，所以“ a…1 ”是“函数 f x = 在 1, + 为减函数”的必要不充分条件，
x -1
故选：B
2．（2024· · f x = ex x-t 黑龙江大庆 模拟预测）函数 在 2,3 上单调递减，则 t 的取值范围是（ ）
A． 6, + B． - ,6
C． - , 4 D． 4, +
【答案】A
【解析】因为函数 y = ex 在R 上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数 y = x x - t 在 2,3 上单调递减，
t
则 3，解得 t 6 .故选：A
2
3（2023 2秋·江西抚州）已知函数 f x = loga x - ax + 3 在 0,1 上是减函数，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 1,4
C． 0,1 1,4 D． 2,4
【答案】D
2
【解析】函数 f x = loga x - ax + 3 在 0,1 上是减函数，
a a2 a2
当 0 < a < 1时， x2 - ax + 3 = (x - )2 + 3 - 3 - > 0恒成立，
2 4 4
而函数u = x2 - ax + 3在区间 0,1 上不单调，因此 0 < a < 1，不符合题意，
当 a > 1时，函数 y = loga u 在 (0, + )上单调递增，于是得函数u = x2 - ax + 3在区间 0,1 上单调递减，
a
因此 1，并且12 - a ×1+ 3 > 0，解得 2 a < 4，2
所以实数 a的取值范围是 2,4 .
故选：D
ì3a - x, x < 2
4．（2024 内蒙古赤峰）已知 a > 0，且a 1，函数 f x = í a
loga x -1 -1, x 2
在R 上单调，则 的取值范围是
（ ）
é1 2 ù é2 é1
A． 1, + B． ê , C ,1 D ,1 3 3 ú ． ê3 ÷ ． ê3 ÷
【答案】D
【解析】因为函数 f x 在R 上单调，由函数解析式可得函数在 R 上单调递增不满足题意，
ì0 < a <1
y = f x 1故 在 R 上单调递减，所以 í ，解得： a <1 D.
3a - 2
故选：
loga 1-1 3
5（2023·四川南充·模拟预测）函数 f (x) = mx3 - x +1在 (- , + )上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．m < 0 B．m 0 C．m 1 D．m <1
【答案】A
【解析】 f (x) = mx3 - x +1在 (- , + )上是减函数，只需要 f (x) = 3mx2 -1 0即可，
若m = 0，则 f (x) = -1< 0 ，成立；
若m < 0，则 f (x) = 3mx2 -1是二次函数，由二次函数的性质可得，m < 0时 f (x) < 0 恒成立.
3m 3m
若m > 0，当 x - , - ÷÷和 x ,+ ÷÷时， f (x) > 0 ，故不成立.
è 3m è 3m
所以，当m 0时， f (x) < 0 ，而m < 0是m 0的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数 f (x) = aex - ln x在区间 (1, 2)上单调递增，则 a的最小值为 ．
1
【答案】 e-1 / e
x
【解析】因为 f (x) = ae - ln x x > 0 ，所以 f (x) = aex 1- ，
x
所以函数 f (x) = aex - ln x在区间 (1, 2)上单调递增，即 f x 0在 (1, 2)上恒成立，
1
显然 a > 0 x，所以问题转化为 xe 在 (1, 2)上恒成立，
a
设 g x = xex , x (1, 2) ，所以 g x = ex + xex = 1+ x ex > 0，所以 g x 在 (1, 2)上单调递增，
所以 g x > g 1 = e e 1， a 1 1 1 ，所以 a的最小值为： .故答案为： .
a e e e
考点三 函数奇偶性的判断
【例 3】（2024 安徽合肥）判断下列各函数是否具有奇偶性
3 2 2
(1) f x = x3 + 2x (2) f x x - x= (3) f x = x - 2 + 2 - x (4) f x 1- x= ；
x -1 x + 2 - 2
(5) 2 1+ xf (x) = x -1 + 1- x2 (6) f (x) = (1- x)
1- x
【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶函数(4)奇函数(5)即是奇函数也是偶函数(6)非奇非偶函数
【解析】（1） f x 的定义域为R ，它关于原点对称.
f -x = -x 3 + 2 -x = -x3 - 2x = - f x ，故 f x 为奇函数.
x3 - x2
（2） f x = 的定义域为 - ,1 1, + 不关于原点对称，故 f (x) 既不是奇函数也不是偶函数.
x -1
ìx - 2 0
（3）因为 í2 x 0，所以
x = 2，即函数 f (x) 的定义域为 2 ，不关于原点对称，
-
故 f (x) 既不是奇函数也不是偶函数.
ì 1- x2 0
（4）由 í ，得-1 x 1，且 x 0，所以 f x 的定义域为 -1,0 0,1 x 2 2 0 ，关于原点对称， + -
f x 1- x
2 1- x2 1- x2 2 2
所以 = = = . 1- -x又 1- x ，所以 f x 是奇函数.
x + 2 - 2 x + 2 - 2 x f -x = = - = - f x -x x
ì 2
（5）对于函数 f x = 1- x2 + x2
1- x 0
-1，因为 í ，所以 x = ±1，
x
2 -1 0
其定义域为 -1,1 ，关于原点对称.因为对定义域内的每一个 x ，都有 f x = 0，
所以 f -x = f x ， f -x = - f x ，
所以 f x = 1- x2 + x2 -1既是奇函数又是偶函数.
1+ x
（6）因为 0，所以-1 x<1，所以 f x 的定义域为 -1,1 ，不关于原点对称，
1- x
所以 f x 既不是奇函数也不是偶函数.
【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．
2 ì 2
(1) f x = x (2) f x 1- x
x + x, x > 0,
； = ； (3) f x = í 2 (4)x x - x, x < 0.
f x = 3- x2 + x2 - 3 ； (5) f x = log2 x + x2 +1 ． (6) f x = x +1 - x -1 ；
(7) f x x 1 1+ x= - ； (8) f x = lg x2 +1 + x ．1- x
【答案】(1)非奇非偶函数(2)奇函数(3)偶函数(4)既是奇函数又是偶函数(5)奇函数(6)奇函数
(7)既不是奇函数也不是偶函数(8)偶函数
【解析】（1）函数 f(x)的定义域为[0, + ) ，不关于原点对称，所以 f (x) = x 是非奇非偶函数．
2
（2）f(x)的定义域为[-1,0) (0,1] 1- x，关于原点对称． f (-x) = = - f (x)，所以 f x 为奇函数．
-x
（3） f x 的定义域为 (- ,0) U (0, + )，且关于原点对称，
当 x > 0时，-x < 0，则 f (-x) = (-x)2 - (-x) = x2 + x = f (x)；
当 x < 0 时， -x > 0，则 f (-x) = (-x)2 + (-x) = x2 - x = f (x)，故 f x 是偶函数．
ì3- x2 0,
（4）由 í 得 x22 =3，解得 x=± 3，即函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}，
x - 3 0,
从而 f(x)= 3- x2 ＋ x2 - 3 =0.因此 f(－x)=－f(x)且 f(－x)=f(x)，∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．
(5)显然函数 f(x)的定义域为 R，
f(－x)=log2[－x＋ (-x)2 +1 ]=log ( x22 +1 －x)=log2( x2 +1 ＋x)－1=－log ( x22 +1 ＋x)=－f(x)，故 f(x)为奇函数．
（6） f x = x +1 - x -1 的定义域为R .因为 f -x = -x +1 - -x -1 = x -1 - x +1 = - f x ，所以 f x 是奇函数.
（7 1+ x） f x = x -1 的定义域为 -1,1 ，不关于原点对称，所 以 f x 既不是奇函数也不是偶函数.
1- x
（8） f x = lg x2 +1 + x 的定义域为R .
因为 f -x = lg -x 2 +1 - x ÷ = lg x2 +1 - x , f x = lg x2 +1 + xè
lg -x 2 +1 - x ÷ + lg x2且 +1 + x = lg é x2 +1 - x2 ù = 0 ，所以 lg -x 2 +1 - x ÷ = - lg x2 +1 + x ，è è

所以 lg -x 2 +1 - x ÷ = - lg x2 +1 + x ，所以 f -x = f x ，所以 f x 是偶函数.è
考点四 根据奇偶性求参数
x
【例 4-1】（2024·内蒙古包头·一模）已知 f x b ×3 -1= x b > 0 是奇函数，则b =（ ）b ×3 +1
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
b > 0 f x b ×3
x -1
【解析】因为 ，则函数 = b > 0 的定义域为R ，
b ×3x +1
即 f x b -1是定义在R 上的奇函数，则 f 0 = 0，则 f 0 = = 0 ，所以b =1.
b +1
经检验，当b =1时， f x 为奇函数，满足题意.
故选：D.
【例 4-2】（2024· x浙江·二模）若函数 f x = ln e +1 + ax为偶函数，则实数 a 的值为（ ）
1
A．- B．0 C 1． D．1
2 2
【答案】A
x
f x ln ex 1 ax f x ln e- x 1 ax ln e +1 x【解析】 = + + 的定义域为R ， - = + - = - ax = ln e +1 - x - ax，
è e
x ÷

由于 f x = ln ex +1 + ax为偶函数，故 f -x = f x x，即 ln e +1 - 1+ a x = ln ex +1 + ax 1+ 2a x = 0，
1 2a 0 1故 + = ，解得 a = - 故选：A
2
mx +1
【例 4-3】（多选）（2024北京）设函数 f (x) = ln 是定义在区间 -n,n 上的奇函数 m > 0, n > 0 ，则下
1- 2x
列结论正确的是（ ）
1
m A． = 2 B．m = C． n 0,
1 ù n 1 D． ,+
2 è 2 ú è 2 ÷
【答案】AC
【解析】根据题意，函数 f (x) ln mx +1= 是定义在区间 -n,n 上的奇函数，
1- 2x
则 f (x) + f -x = 0 ，
2 2
ln mx +1 ln -mx +1 ln 1- m x 0 1- m
2x2
即 + = = ，则 =1，
1- 2x 1+ 2x 1- 4x2 1- 4x2
解可得m = 2 或m = -2（舍），
即 f (x) ln 1+ 2x 1+ 2x
1 1
= ，则 > 0，解可得- < x < ，
1- 2x 1- 2x 2 2
故0 < n
1
，即 n
1 ù
的取值范围为
2
0, ú ，故选：AC.è 2
【一隅三反】
2
1．（2024· 3x+1河南郑州·模拟预测）函数 f x = 2x + a - log2 2 + 2 是偶函数，则 a 的值为（ ）
1 3 3
A 3． B． C． D．
8 2 4 8
【答案】D
3x+1
f x f x f x 8ax log 2 + 2 3【解析】因为 是偶函数，所以 - - = - 2 a = D .2-3x+1 = 8a - 3 x = 0，所以 ，故 正确+ 2 8
故选：D.
x
2．（2024·宁夏银川·一模）“ a =1”是“函数 f x a ×2 +1= x ×sin x为偶函数”的（ ）2 - a
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
a ×2x +1
【解析】若函数 f x = x ×sin x为偶函数，且 y = sin x 为奇函数，2 - a
x
可知 g x a ×2 +1= x 为奇函数，则 g x + g -x = 0，2 - a
a × 2x +1 a × 2- x +1 2
即 x + - x = 0，整理得 a -1 2x +1 = 0 ，2 - a 2 - a
因为 2x +1 0，可得 a = ±1，
x
即函数 f x a ×2 +1=
2x
×sin x为偶函数，等价于 a = ±1，
- a
显然 1 是 -1,1 的真子集，
x
所以“ a =1” “ f x a ×2 +1是 函数 = x ×sin x为偶函数”充分不必要条件.2 - a
故选：A.
f x ax + b= -1,1 1 43．（2024 甘肃兰州）设函数 2 是定义在 上的奇函数，且 f =2 ÷ 5 ．则函数 f x 的解析式1+ x è
为 ．
【答案】 f x 2x=
1+ x2
1
ax 1 a 4
【解析】由奇函数的性质可知， f 0 = b = 0，即 f x = 2
1+ x2
，又 f ÷ = = ，得 a = 2，
è 2 1 1+ 5
4
所以 f x 2x 2x= 2 .故答案为： f x =1+ x 1+ x2
f (x) ax
2 + b
4.（2024长沙市）函数 = 是定义在 (- ,b - 3] [b -1,+ ) 上的奇函数．若 f (2) = 9，则a+b的
x
值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
ax2 + b
【解析】函数 f (x) = 是定义在 (- ,b - 3] [b -1,+ ) 上的奇函数，则 (b - 3) + (b -1) = 0，解得
x
a 22b = 2 f (2) = 9 + 2．又 ，则 = 9 a = 4，所以 a + b = 6．故选：A
2
考点五 根据奇偶性求解析式
【例 5-1】（2024 3 x上海）已知函数 y = f x , x R为奇函数，当 x 0 时， f x = 2x + 2 -1，当 x < 0 时， f x
的表达式为（ ）
A． 2x3 + 2x -1 B． 2x3 - 2- x +1
C．-2x3 + 2- x -1 D．-2x3 - 2x +1
【答案】B
【解析】当 x < 0 时， -x > 0，\ f -x = -2x3 + 2- x -1，又 f x 3 - x为奇函数，\ f x = - f -x = 2x - 2 +1，
即当 x < 0 3 - x时， f x = 2x - 2 +1 .故选：B.
x
【例 5-2】（2024 黑龙江哈尔滨）已知 f x 为奇函数， g x 为偶函数，且满足 f x + g x = e + x，则 g x =
（ ）
ex - e- x ex + e- x x - x x - xA． B． C e - e - 2x D e - e + 2x． ．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】由题意知， f (x) 为奇函数， g(x)为偶函数，则 f (-x) = - f (x), g(-x) = g(x)，
ì f (x) + g(x) = ex + x ì f (x) + g(x) = ex + x ex + e- x
所以 í f (-x) + g(-x) = e- x
，即
- x í- f (x) + g(x) = e- x
，解得 g(x) = .故选：B
- x 2
【一隅三反】
1．（2024 上海杨浦）已知奇函数 y = f x 在区间 0, + f x = -2x + x2上的解析式为 ，则 y = f x 在区间 - ,0
上的解析式 f x = ．
【答案】-2x - x2
【解析】依题意，当 x < 0 时， -x > 0，故 y = f x 在区间 - ,0 上的解析式
f x = - f -x = - é -2 -x + -x
2 ù
= -2x - x
2 .故答案为：-2x - x2
2．（2024 云南昆明·阶段练习） f x 为定义在R 上的奇函数，当 x > 0时， f x = 2x +1，则 x < 0 时，
f x = ．
【答案】-2- x -1
x < 0 -x > 0 f -x = 2- x【解析】当 时， ，则 +1，因为 f x 为定义在R 上的奇函数，
所以 f x = - f -x = -2- x -1．故答案为：-2- x -1
3．（2024 山东潍坊·期中）已知 f x ， g x 3 2是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且 f x - g x = x + x +1，
则 f 1 + g 2 = .
【答案】-4
【解析】 f -x - g -x = - f x - g x = -x3 + x2 +1 2和已知条件相加得-2g x = 2 x +1
故 g x = - x2 +1 , f x = x3 故 f 1 + g 2 =1- 5 = -4 答案为：-4
4．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时， f x = x - cosx +1，则当 x…0
时， f x = ．
【答案】 x + cosx -1
【解析】当 x > 0, -x < 0, f -x = -x - cos -x +1，又因为 f x 为R 上的奇函数，
所以 f -x = - f x = -x - cos -x +1，解得 f x = x + cosx -1，
又 f 0 = 0 + cos0 -1 = 0，所以当 x 0, f x = x + cosx -1．故答案为： x + cosx -1.
考点六 函数性质应用之比较大小
5
1 c
【例 6-1】（2024·天津·一模）已知实数 a，b，c 满足 a 1=
3 be ÷ ， =
1 1
2 ， ÷ = ，则（ ）è 2 è 2 3
A． a < b < c B．b < a < c C． c【答案】A
1 5
e 1 1 1
【解析】因为b = e 1 3 y = ( )x2 ，得到b = ( ) ，又 a = ÷ ，函数 是减函数，2 è 2 2
5
1 1 3 1 1
c
1 1
所以 a = < b = ( )e < 1，又 ÷ = ，得到 c = log 1 = log 3 >1 ÷ 3 2 ，所以 a < b < c，故选：A.è 2 2 è 2 3 2
【例 6-2】（2023· 2四川成都·二模）已知函数 f x = 3x + 2sin x ，若 a = f 3 ，b = f 2 1， c = - f log 2 7 ÷ ，则è
a，b ， c的大小关系是（ ）
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < a < c D．b【答案】D
【解析】根据题意，函数 f (x) = 3x + 2sin x ，其导数函数 f (x) = 3 + 2cos x ，
因为 cos x -1,1 ，所以 f (x) = 3 + 2cos x > 0在R 上恒成立，
则 f (x) 在R 上为增函数； f -x = 3 -x + 2sin -x = - 3x + 2sin x = - f x ，
所以 f x 1 1 为奇函数，所以 c = - f log2 = f - log = f log 7 ，
è 7 ÷ 2 ÷ 2 è 7
又由 2 = log2 4 < log2 7 < 3 < 3
2 ，则b故选：D．
e +1
【例 6-3】（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c
ln 5
= +1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【答案】B
ln x
【解析】设 f (x) = ，则 f (x)
1- ln x
= 2 ，x x
当0 < x < e时， f (x) > 0 ， f (x) 在 (0, e)上递增；
当 x>e时， f (x) < 0 ， f (x) 在 (e,+ ) 上递减,
故 f (x)max = f (e)
1
= .
e
1 ln 5 , 1 ln 2则 > > ，即b > c,b > a；
e 5 e 2
ln 25
由 ln 5 ln 2 2ln 5 - 5ln 2- = = 32 0可知 c < a< ，故b > a > c .
5 2 10 10
故选：B.
【一隅三反】
f x - f x
1．（2023·全国· 1 2模拟预测）已知函数 f x ，且对"x1 < x2 ，满足 < 0x ，若2 - x1
a = 20.1,b = lg2.5,c = log 93 ，则（10 ）
A． f b < f a < f c B． f c < f b < f a
C． f c < f a < f b D． f a < f b < f c
【答案】B
【解析】由题意得， f x 0.1 5 9是单调递增函数，Qa = 2 >1,0 < b = lg <1,c = log3 < 0 ，2 10
\a > b > c,\ f a > f b > f c .故选：B.
2
2 2024 · f x = 2x 3

．（ 陕西渭南 期末）已知函数 + x ，若 a = f log 33 2 ,b = f 2 ÷ ,c f
log 1= 2 ÷，则（ ）
è è 3
A． a < b < c B． a < c < b
C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
【解析】由于函数 y = 2x , y = x3 在 R 上均为增函数，
故 f x = 2x + x3 在 R 上单调递增，
2
由于0 < log3 2 <1,23 > 2
0 =1, log 12 < log21 = 0，3
2 1 2
故 23 1> log3 2 > log2 ，故 f log2 ÷ < f log 2 < f 23 ÷ ，即 c < a < b，3 è 3 3 è
故选：D
1 1 1
3．（2024·北京· -0.5模拟预测）函数 f x = 2 ，记 a = f - ÷ ,b = f 3 ,c = f logx +1 2 5 2 ÷，则（ ）è è
A． a < b < c B．b < a < c
C． c【答案】B
1 1
【解析】注意到 f x 定义域为全体实数，且 f -x = 2 = f x = -x +1 x2 +1 ，
所以 f x 1 1 1 是R 上的偶函数，从而 a = f - ÷ = f2 ÷ ,c = f log2 5 ÷ = f log5 2 ，è è è 2
因为 y = x2 +1在 0, + 上单调递增，所以 f x 1= 2 关于 x 在 0, + 上单调递减，x +1
1
而 log 2
1 1 3 -0.5
5 2 < log5 5 = < = = 3 ，所以b < a < c .选：B.2 3 3
4．（2022·全国·模拟预测）设 f x 1是定义域为R 的偶函数，且 f x 在 0, + f 上单调递减，则 log2 5 ÷ ，è
1 2-
f 32 ÷， f 2 3 ÷的大小关系为（ ）
è è
1 1 2- 1 2- 1
A． f log2 ÷ > f 32 ÷ > f 2 3 ÷ B． f log > f 2 3 > f 32
è 5 2 5 ÷
÷ ÷
è è è è è
3 1- 1 3 1-
C． f 2 2
1
÷ > f 32 ÷ > f log2 ÷ D． f 2 2 ÷ > f

log 25 2
> f 3
5 ÷ ÷è è è è è è
【答案】C
【解析】∵ f x 1 是定义域为R 的偶函数，∴ f log2 ÷ = f log25 ，
è 5
1 2 1 3-- ∵ log 5 > log 4 = 2 > 32 >1 = 20 > 2 3 ， f x 在 0, + 上单调递减，∴ f log2 5 < f 32 ÷ < f 2 2 ÷，2 2 è è
3- 1
f 2 2 > f 1 ∴ ÷ 32 ÷ > f log2 ÷ .故选：C.
è è è 5
1 1
5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 f (x) = 2x + 2- x + cos x + x2，若 a = f 2 ，b = f (-ee )， c = f (π π )，则
（ ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c【答案】B
【解析】因为 f (x) = 2x + 2- x + cos x + x2的定义域为R ，
又 f (-x) = 2- x + 2x + cos -x + -x 2 = 2x + 2- x + cos x + x2 = f x ，
所以 f (x) 是偶函数，
又 f (x) = (2x - 2- x ) ln 2 + (2x - sin x)，
令 h x = 2x - sin x ，则 h x = 2 - cos x > 0恒成立，
所以当 x > 0时， h x > h 0 = 0，即 2x - sin x > 0，
又 y = 2x - 2- x 在 0, + 上单调递增，所以 y = 2x - 2- x > 20 - 20 = 0，
所以 f (x) > 0 在 0, + 上恒成立，则 f (x) 在 0, + 上单调递增，
g(x) ln x g (x) 1- ln x构造函数 = ，则 = ，
x x2
令 g (x) > 0，得0 < x < e，令 g (x) < 0，得 x>e，
所以 g(x)在 0,e 上单调递增，在 e, + 上单调递减，
所以 g(4) < g(π) < g(e)
ln 2 ln 4
，又 = ，
2 4
ln 2 ln 4 ln π ln e 1 1 1
所以 = < < ，所以 22 π e ，2 4 π e < π < e
1 1 1
所以 f ( 2) < f (π π ) < f (ee ) = f (-ee )，所以 a < c < b .
故选：B.
考点七 函数性质之解不等式
【例 7-1】（2024·江苏宿迁· x - x 2一模）已知函数 f x = 2 - 3 ，则不等式 f x < f 2x + 3 的解集为（ ）
A． -1,3 B． - , -1 3,+ C． -3,1 D． - , -3 1,+
【答案】A
【解析】解法一：函数 f (x) 的定义域为 R，函数 y = 2x , y = 3- x 分别是 R 上的增函数和减函数，
因此函数 f (x) 是 R 上的增函数，由 f x2 < f 2x + 3 ，得 x2 < 2x + 3，解得-1 < x < 3，
所以原不等式的解集是 -1,3 .
故选：A
解法二：特值当 x = 0时， f 0 < f 3 ，排除 B，D，当 x =1时， f 1 < f 5 ，排除 C，
2
对 A：当 x -1,3 时， x2 < 2x + 3，因为函数 f (x) 是 R 上的增函数，所以 f x < f 2x + 3 ，故 A 成立.
故选 A．
7-2 2024 · f x = lg x -1 + 2x + 2- x【例 】（ 江西 阶段练习）已知函数 ，则满足不等式 f x +1 < f 2x 的 x 的取
值范围为（ ）
A． -2, -1 B 1． 1,2 C． - , - 3 1,+ D． - , -2 U 1, +
【答案】D
【解析】由 x -1 > 0，得 f x 的定义域为 - , -1 1,+ ，
f -x = lg x -1 + 2- x又 + 2x = f x ，故 f x 为偶函数，
而当 x >1时，易知 y = lg x -1 = lg x -1 单调递增，
而对于 y = 2x + 2- x ， y = 2x + 2- x = 2x + 2- x ln 2 > 0在 1, + 上恒成立，
所以 y = 2x + 2- x 在 1, + 上也单调递增，
故 f x 在 1, + 上单调递增，
ì x +1 < 2x
则由 f x +1 < f 2x ，得 í x 1 1 ，解得 x >1或 x < -2 . + >
故选：D.
【例 7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R 上的函数 f (x) = ex-1 - e1-x + (x -1)3 + x，满足不等式
f (2x - 4) + f (2 - 3x) 2，则 x 的取值范围是（ ）
A． (- , -4] B． (- ,2) ( ,
2
C． - ]
2
D．[ ,2)
3 3
【答案】A
【解析】令 x -1 = t ，则 x = t +1, t R ，原函数化为 f (t +1) = et - e-t + t3 + t +1，
令 g(t) = f (t +1) -1 = et - e-t + t3 + t ，显然 g(-t) = e-t - et - t3 - t = -g(t)，
即函数 g(t)是奇函数，又函数 y = et , y = -e-t , y = t3 + t 都是R 上的增函数，
因此函数 g(t)是R 上的增函数，不等式 f (2x - 4) + f (2 - 3x) 2 f (2x - 4) -1+ f (2 - 3x) -1 0，
则 g(2x - 5) + g(1- 3x) 0 g(2x - 5) -g(1- 3x) = g(3x -1)，
于是 2x - 5 3x -1，解得 x -4，
所以 x 的取值范围是 (- , -4] .
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) = 3x - 2x -1，则不等式 f (x) < 0的解集是（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． - ,0 D． - ,0 1, +
【答案】A
【解析】因为 f (x) = 3x ln 3 - 2单调递增，且 f (0) = ln 3 - 2 < 0， f (1) = 3ln 3- 2 > 0，
所以存在唯一 x0 (0,1) ，使得 f (x0 ) = 0 ，
所以当 x < x0 时， f (x) < 0 ，当 x > x0时， f (x) > 0 ，
所以函数 f (x) 在 - , x0 上单调递减，在 x0 ,+ 上单调递增，
又 f (0) = f (1) = 0，且0 < x0 <1，
所以由 f (x) < 0可得0 < x <1，
故选：A
3x2 - 3
- x
．（23-24 高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数 f x = ，若 f 2a -1 + f a < 0，则实数 a的取值范
2
围为（ ）
0, 1 1A． ÷ B． ,
1 1 1
÷ C． - , ÷ D． ,+

÷
è 3 è 3 2 è 3 è 3
【答案】C
3x - 3- x 3- x - 3x
【解析】因为 f x = 的定义域为 R，且 f -x = = - f x ，所以函数 f x 为奇函数；
2 2
由随着 x 的增大，3x 越来越大，3- x 越来越小，所以3x - 3- x 越来越大，
所以函数 f x 在R 上单调递增.
f 2a -1 + f a < 0 f 2a -1 < - f a f 2a -1 < f -a 2a -1 < -a a 1< .
3
故选：C
3．（2024 广东茂名）已知函数 f x 的定义域为R 的奇函数， f 3 = 0，对任意两个不等的正实数 a,b都有
f a - f b
> 0 x，则不等式 f 2 -1 < 0的解集为 .
a - b
【答案】 0,2
f a - f b
【解析】不妨设a > b > 0，则 > 0等价于 f a > f b ，
a - b
所以 f x 在 0, + 上单调递增，
又函数 f x 为奇函数，所以 f x 在 - ,0 , 0, + 上单调递增，
Q f 3 = 0,\ f -3 = 0，作出 f x 的图象如下：
结合 f x x的图象得不等式 f 2 -1 < 0 2x -1 < -3或0 < 2x -1 < 3
2x < -2 或1< 2x < 4,\20 < 2x < 22 ,\0 < x < 2 ，
故答案为： 0,2 .
4（2024·辽宁·一模）已知函数 f x = log2 4x +16 - x - 2，若 f a -1 f 2a +1 成立，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A． - , -2 B． - , -2 U 0, +
é 4ù
C． ê-2, ú D． - , -2 U
é4
3 ê
, +
3 ÷
【答案】C
x+2
【解析】记 g x = f x + 2 = log2 4 +16 - x - 4, x R，
x+2 x+2
g x 4 ln 4 1 4 -16令 = - = = 0 4x+2 +16 ln 2 4x+2 +16 ，解得 x = 0，
当 x > 0时， g x > 0， g x 单调递增，
当 x < 0 时， g x < 0， g x 单调递减.
16 1+ 4x 因为 g -x = log2 4- x+2 +16 + x - 4 = log2 x + x - 44
= log 4x+22 +16 - x - 4 = g x ，
所以 g x 为偶函数.
所以 f a -1 f 2a +1 f a - 3+ 2 f 2a -1+ 2 g a - 3 g 2a -1 ，
又 g x 在 0, + 上单调递增，
所以 a - 3 2a -1
4
，即3a2 + 2a -8 0，解得-2 a .
3
故选：C
5．（2024·四川南充·二模）设函数 f x = sin x + ex - e- x - x + 3，则满足 f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范围是
（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． 3, + D． - ,3
【答案】C
x - x
【解析】 f x = sin x + e - e - x + 3，
设 g x = f x - 3 = sin x + ex - e- x - x ，又易知 g(-x) = -g(x)，\ g(x) 为R 上的奇函数，
又 g (x) = cos x + ex + e- x -1 cos x + 2 -1 =1+ cos x 0，\ g(x) 在R 上单调递增，
又 f (x) + f (3- 2x) < 6，\[ f (x) - 3] + [ f (3 - 2x) - 3] < 0 ，\ g(x) + g(3 - 2x) < 0，\ g(x) < -g(3 - 2x)，又 g(x)为R 上的奇
函数，\ g(x) < g(2x - 3)，又 g(x)在R 上单调递增，\ x < 2x - 3，\ x > 3，
故满足 f (x) + f (3- 2x) < 6的 x 的取值范围是 (3, + )．故选：C．
一．单选题
1．（2023·海南海口·模拟预测）函数 f (x) = x2 - 4 | x | +3的单调递减区间是（ ）
A． (- , -2) B． (- , -2)和 (0,2)
C． (-2,2) D． (-2,0) 和 (2,+ )
【答案】B
2 ìx
2 - 4x + 3, x 0
【解析】 f x = x - 4 x + 3 = í 2 ，
x + 4x + 3, x < 0
则由二次函数的性质知，当 x 0时， y = x2 - 4x + 3 = x - 2 2 -1的单调递减区间为 0,2 ；
当 x < 0 ， y = x2 + 4x + 3 = x + 2 2 -1的单调递减区间为 - , -2 ，
故 f x 的单调递减区间是 (- , -2)和 (0,2) .
故选：B
2．（2024·广东·一模）已知 f (x) = 2|x| + x2 ，若 f (a) < 3，则（ ）
A． a (1,+ ) B． a (-1,1) C．a (- ,1) D． a (0,1)
【答案】B
【解析】因为 f (x) = 2|x| + x2 的定义域为R ，且 f (-x) = 2 - x + (-x)2 = 2 x + x2 = f (x)，所以 f (x) 为偶函数，
又当 x 0 时， f (x) = 2x + x2 单调递增，且 f (1) = 3，所以由 f (a) < 3可得 f ( a ) < 3 = f (1) ，即 a <1，
解得-1 < a <1，故选：B
1
2 -
3 3．（2024·四川攀枝花·二模）若 a = 3 3 ,b = log3 e,c 1= ，则（ ）
è e ÷
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D． c > b > a
【答案】A
1
1 2 1 1 -3
【解析】易知 1 y = x3 在 0, + 上单调递增，则 3 3 = 33 > e3 = ÷ ，即 a > c ，
è e
y = a x
1 1
而由 a >1 单调递增，得33 > 30 =1,e3 > e0 =1，即 a > c >1，
又 y = log3 x单调递增，故1 = log3 3 > b = log3 e,则 a > c >1 > b .
故选：A
4．（2023·全国·模拟预测）“ m 2 ” “ f x = log x2是 函数 2024 - 2mx +1 在区间 2, + 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
2
要满足函数 f x = log2024 x - 2mx +1 在区间 2, + 上单调递增，
ìm 2 5
需要 í m
2
2 - 2m 2 +1 ， 0 4
5
因为 < 2 ，所以“ m 2 ”是“函数 f x = log x22024 - 2mx +1 在区间 2, + 上单调递增”的必要不充分条件．4
故选：B．
ì 3a - 2 x + 3, x 1
5．（2024 吉林·阶段练习）已知函数 f x = í ( a > 0且a 1)是 R 上的单调函数，则 a 的取值
loga x + 5a, x >1
范围是（ ）
0, 2 A． ÷ 1, +
1 ù
B． 0, 1, +
è 3 è 2 ú
2
C． ,1

÷ 1,
1
+ é D． ,1
3 ê 2 ÷
1, +
è
【答案】B
ì 3a - 2 x + 3, x 1【解析】因为 f x = í ( a > 0且a 1)是 R 上的单调函数，
loga x + 5a, x >1
ì3a - 2 > 0

若 f x 是 R 上的单调递增函数，则 ía >1 ，

3a - 2 + 3 loga 1+ 5a
解得 a > 1；
ì3a - 2 < 0
若 f x 是 R 上的单调递减函数，则 í0 < a <1 ，

3a - 2 + 3 loga 1+ 5a
1
解得0 < a ；
2
1 ù
综上，a 的取值范围是 0, U 1, + .
è 2 ú
故选：B.
6．（2024·广东广州·一模）已知函数 f (x) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) = sin(tan x) B． f (x) = tan(sin x)
C． f (x) = cos(tan x) D． f (x) = tan(cos x)
【答案】D
【解析】观察图象可知函数为偶函数，
对于 A， f -x = sin tan -x = sin - tan x = -sin tan x = - f x ，为奇函数，排除；
对于 B， f -x = tan sin -x = tan -sin x = - tan sin x = - f x ，为奇函数，排除；
π π
同理，C、D 选项为偶函数，而对于 C 项，其定义域为 - + kπ, + kπ ÷ ，不是 R，舍去，故 D 正确.
è 2 2
故选：D
7．（2024 重庆开州·期中）已知 y = f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时， f (x) = x2 + 2x .若函数 f (x) 在区间
-1, a - 2 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 2,4 B． - ,3 C． 1,3 D． 2,4
【答案】C
【解析】因为是 y = f (x) 定义在 R 上的奇函数，
所以 f -0 = - f 0 , f 0 = 0 ，
2
因为当 x < 0 时， f (x) = x2 + 2x = x +1 -1，
所以当 x > 0时，-x < 0， f x = - f -x = - x2 - 2x = -x2 + 2x = - x -1 2 +1，
所以由二次函数的单调性可知 f (x) 的最大的单调递增区间为 -1,1 ，
若函数 f (x) 在区间 -1, a - 2 上单调递增，则-1 < a - 2 1，
所以实数 a的取值范围是 1,3 .
故选：C.
8 2 x+4
1
．（2024 安徽）已知函数 f x = 3 - x 2 + 4，则 f 2x -1 + f x + 2 > 8- 的解集为（9 ）
1- ,+ A． ÷ B． - ,
1
-
è 3 3 ÷ è
C． 2- , -2 U - , + ÷ D． - , -2 U
2 , + ÷
è 3 è 3
【答案】A
【解析】由函数 f x = 32x+4 1- x-2 + 4 = 32x+4 - 34-2x + 4，9
g x = f x - 4 = 32x+4 - 34-2x设 ，
则不等式 f 2x -1 + f x + 2 > 8，可化为 f 2x -1 - 4 + f x + 2 - 4 > 0，
即 g 2x -1 + g x + 2 > 0，
2x+4 4-2x
又由函数 g x = 3 - 3 的定义域为R ，关于原点对称，
g -x = 3-2x+4 4+2x且 - 3 = -32x+4 + 34-2x = -g x ，所以 g x 为奇函数，
又由函数 y = 32x+4 为R 上的增函数， y = 34-2x 为R 上的减函数，
所以函数 g x 为R 上的增函数，
所以不等式 g 2x -1 + g x + 2 > 0，即为 g 2x -1 > -g x + 2 = g(-x - 2)，
1 1
可得2x -1 > -x - 2，解得 x > - ，即不等式的解集为 - ,+ ÷ .3 è 3
故选：A.
二．多选题
9．（2024 安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
1
A． y = -x-1 B． y = x + x3
C． y = 8x + 8- x D． y = x | x |
【答案】BD
【解析】对于 A，函数 y = -x-1的定义域为 (- ,0) U (0, + )，显然该函数在定义域上不单调，A 不是；
1 1
对于 B，函数 y = x + x3 的定义域为 R， y = x, y = x3 都是奇函数，也都是增函数，
1
因此 y = x + x3 在 R 是奇函数，又是增函数，B 是；
对于 C，函数 y = 8x + 8- x 的定义域为 R，8- x + 8-(- x) = 8x + 8- x ，即函数 y = 8x + 8- x 是偶函数，C 不是；
对于 D，函数 f (x) = x | x |的定义域为 R， f (-x) = -x | -x |= -x | x |= - f (x)，
即函数 y = x | x |是奇函数，且当 x 0 时， f (x) = x2 在[0, + ) 上单调递增，
当 x 0 时， f (x) = -x2 在 (- ,0]上单调递增，因此函数 y = x | x |在 R 上单调递增，D 是.
故选：BD
10．（2024· · x-1 1-x江西 一模）已知函数 f x = e + e + x2 - 2x，若不等式 f (2 - a) < f x2 + 3 对任意的 x R 恒成立，
则实数 a 的取值可能是（ ）
1
A．-4 B．- C．1 D．2
2
【答案】BCD
【解析】因为 f x = ex-1 + e1-x + x2 - 2x，
所以 f 2 - x = e1-x + ex-1 + 2 - x 2 - 2 2 - x = f x ，
即函数 f (x) 的图象关于直线 x =1对称.
2
当 x >1时， y = x2 - 2x = x -1 -1为增函数；
g x = ex-1 + e1-x g x = ex-1令 ，则 - e1-x，
x >1时， ex-1 >1， e1-x <1，所以 g (x) > 0 x-1，所以 g x = e + e1-x 为增函数，
所以当 x >1时， f (x) 为增函数.
由对称性可知，当 x <1时， f (x) 为减函数.
因为 f (2 - a) < f x2 + 3 2恒成立，所以 1- a < x + 2 恒成立，
即 1- a < 2，解得-1 < a < 3 .
故选：BCD.
11．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 f x 的定义域为R ，且 f x f y = f xy + xy x + y ，则
（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f xC ． 是 x x R且x 0 上的增函数 D． f x 是R 上的增函数
x
【答案】AC
【解析】在 f x f y = f xy + xy x + y 中，
令 y = 0 ，得 f 0 f x = f 0 ，即"x R, f 0 é f x -1ù = 0．
因为函数 f x 为非常数函数，所以 f 0 = 0，A 正确．
f x令 g x = , x 0，则 g x g y = g xy + x + y．
x
令 x = y = -1，则[g -1 ]2 = g 1 - 2，①
令 x = y =1，则[g 1 ]2 = g 1 + 2 ，②
由①②，解得 g 1 = 2, g -1 = 0，从而 f 1 = 2 ，B 错误．
令 y =1，则 g x g 1 = g x + x +1，即 g x = x +1，
因为 f 0 = 0，所以 f x = x x +1 ，所以 C 正确，D 错误．
故选：AC
三．填空题
12 2 3x+1．（2024 安徽）函数 f x = (2x + a) - log2 2 + 2 是偶函数，则a = .
3
【答案】 8
2
【解析】因为 f x = (2x + a) - log 23x+12 + 2 是偶函数，
23x+1f x f x + 2 3可得 - - = 8ax - log2 -3x+1 = 8a - 3 x = 0，所以 a = .2 + 2 8
3
故答案为： .8
13 2024· · f x = ex - x．（ 青海 一模）已知函数 - e + x ，则不等式 f 2m - 2 + f m +1 > 0的解集为 ．
1
【答案】 ,+

3 ֏
【解析】Q f x 的定义域为R ， f -x = e- x - ex - x = - f x ，
\ f x 为定义在R 上的奇函数；
Q y = ex 与 y = x 均为R 上的增函数， y = e- x 为R 上的减函数，
\ f x 为定义在R 上的增函数；
由 f 2m - 2 + f m +1 > 0得： f 2m - 2 > - f m +1 = f -m -1 ，
1 1
\2m - 2 > -m -1，解得：m > ，\ f 2m - 2 + f m +1 > 0的解集为 , +
3 3 ÷
.
è
1
故答案为： ,+ ÷ .
è 3
14 2024· · f x = log x + x2 +1 + ex - x．（ 全国 模拟预测）已知函数 2 - e + 2，则不等式 f 2x + 5 + f 3- x 4的
解集为 ．
【答案】 -8, +
2
【解析】设函数 g x = log2 x + x +1 + ex - e- x ，则 f x = g x + 2， f 2x + 5 = g 2x + 5 + 2 ，
f 3- x = g(3 - x) + 2，
所以 f 2x + 5 + f 3- x = g 2x + 5 + 2 + g 3 - x + 2 4 ，
化简得 g 2x + 5 + g 3- x 0．
因为 g x 的定义域为R ，关于原点对称，
且 g -x + g x = log2 -x + x2 +1 + e- x - ex +log2 x + x2 +1 + ex - e- x ，
= log é 2 2 ù2 ê -x + x +1 x + x +1 ú = ln1 = 0 ，
所以 g x 为奇函数，
当 x 0 时，函数 y = x + x2 2+1单调递增，又函数 y = log2 x 在其定义域上单调递增，所以 y = log2 x + x +1 单
调递增，又函数 y = ex , y = -e- x 单调递增，故函数 g x 单调递增，又 g x 为奇函数，
所以 g x = log2 x + x2 +1 + ex - e- x 在R 上单调递增，
故 g 2x + 5 -g 3- x = g x - 3 ，得 2x + 5 x - 3，
解得: x -8，即原不等式的解集为 -8, + ．
故答案为： -8, + .
四．解答题
x
15．（2024 · · -2 + b高三 全国 专题练习）已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ x+1 是奇函数．2 + a
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求证：函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求实数 k 的取值范围
【答案】(1)a＝2，b＝1
(2)证明见解析
1
(3)(－∞，－ )
3
【解析】(1) 解：因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)＝0，
即 b＝1，所以 f(x)＝ .
由 f(1)＝－f(－1)，知 ＝－ ，解得 a＝2.
经检验 a＝2，b＝1 符合题意．
(2) 证明：由(1)知 f(x)＝ ＝－ ＋ ，
设任意 x1，x2∈(－∞，＋∞)，且 x1＜x2，
则 f(x2)－f(x1)＝ .
因为 y＝2x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以 2x1－2x2＜0，
所以 f(x2)－f(x1)＜0，即 f(x1)＞f(x2)，
所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3) 解：因为 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，且是奇函数，
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
所以 f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，
所以 3t2－2t－k＞0 对任意的 t∈R 恒成立，
所以 Δ＝4＋12k＜0，解得 k＜－ .
1
故实数 k 的取值范围是(－∞，－ ).3
ax + b
16．（2024 河南周口·期末）已知函数 f x = 2 是定义在 -1,1 上的函数， f -x = - f x 恒成立，且1+ x
f 1 2 ÷ = .
è 2 5
(1)确定函数 f x 的解析式，并用定义研究 f x 在 -1,1 上的单调性；
(2)解不等式 f x -1 + f x < 0 .
【答案】(1) f x x= ，函数 f x 在 -1,1 上是增函数
1+ x2
(2) (0,
1)
2
【解析】（1）根据题意， f x ax + b= 2 是 -1,1 上的奇函数，故 f 0 = b = 0，1+ x
a
1 2 2
又 f 2 ÷ = = a =
x
，故 a =1，则 f x = ，
è 2 5 5 5 1+ x2
4
x -1,1 f x -x时， - = = f x ，所以 f x 为奇函数，
1+ x2
故 f x x= .
1+ x2
f x x= 2 在 -1,1 上是增函数，理由如下，1+ x
x x (x - x )(1- x x )
设 -1 < x1 < x2 < 1，则 f (x1) - f (x2 ) =
1
2 -
2 = 1 2 1 2
1+ x1 1+ x
2
2 (1+ x
2
1 )(1+ x
2 ) ，2
因为 -1 < x1 < x2 < 1，所以-1 < x1x2 <1，且 x1 - x2 < 0，则1- x1x2 > 0，
则 f (x1) - f (x2 ) < 0 ，即 f (x1) < f (x2 )，
所以函数 f x 在 -1,1 上是增函数；
（2） f x -1 + f x < 0等价于 f x -1 < - f x = f -x ，
ì-1 < x -1<1
又 f x 在 -1,1 是单调增函数，故可得 í-1 < x <1 ，

x -1< -x
1 1
解得0 < x < ，即不等式 f x -1 + f x < 0的解集为 0, .2 è 2 ÷
17．（2024 湖北· x开学考试）已知函数 f x = log2 4 +1 + kx为偶函数．
(1)求实数 k 的值；
(2)解关于m 的不等式 f 2m +1 > f m -1 ；
(3)设 g x = log x2 a ×2 + a a 0 ，若函数 f x 与 g x 图象有 2个公共点，求实数 a的取值范围．
【答案】(1) -1
(2) - ,-2 0,+
(3) 2 2 - 2，1
【解析】（1）函数的定义域为R ，
x
因为函数 f x = log2 4 +1 + kx为偶函数．
所以 f -x = f x ，
即 log2 4- x +1 - kx = log2 4x +1 + kx ，
所以 2kx = log - x2 4 +1 - log x2 4 +1
4x +1
x
= log 42 x = log
- x ，
4 +1 2
4 = -2x
所以 k = -1；
x
（2）因为 f x = log x 4 +12 4 +1 - x = log2 x ÷ = log 2 2x 1+ x ÷ ，
è 2 è 2
当 x 0 时， 2x 1， y = 2x
1
+ x 单调递增，2
所以 f x 在 0, + 上单调递增，又函数 f x 为偶函数，
所以函数 f x 在 - ,0 上单调递减；
因为 f 2m +1 > f m -1 ，所以 2m +1 > m -1 ，
解得m < -2或m > 0，
所以不等式的解集为 - ,-2 0,+
（3）因为函数 f x 与 g x 图象有 2个公共点，
所以方程 f x = g x 有两个不同的根，
log 4x方程即为 2 +1 - x = log x2 a ×2 + a ，
x
可化为 a ×2x a 4 +1 2x 1+ = = +
2x 2x
，
则有 a ×2x + a > 0， a > 0，
设 t = 2x > 0 ，则 at + a = t
1
+ ，
t
即 a -1 t 2 + at -1 = 0，
又 t = 2x 在R 上单调递增，
所以方程 a -1 t 2 + at -1 = 0有两个不等的正根；
ìa -1 0

Δ = a
2 - 4 a -1 -1 > 0
a
所以 í- > 0 ，
a -1
1
- > 0
a -1
解得 2 2 - 2 < a <1，
所以 a的取值范围为 2 2 - 2，1 ．
18．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 x - ,0 时，
f (x) = x -1 2．
(1)求 x > 0时，函数 f (x) 的解析式；
a
(2)若 f ( ) + f (-2 - x) > 0对任意 x 1,2 恒成立，求实数 a的取值范围．
x
【答案】(1) f (x) = -(x +1)2
(2) (- ,3)
【解析】（1）设 x > 0，则-x < 0，
Q x - ,0 时， f (x) = x -1 2．
\ f (-x) = (-x -1)2 = (x +1)2 ，
Q f (x) 是定义在 R 上的奇函数，
\ f -x = - f x ，
故- f x = (x +1)2 ， f x = -(x +1)2 ；
f (a a（2） ) + f (-2 - x) > 0等价于 f ( ) > - f (-2 - x) = f (2 + x) ，
x x
x - ,0 时， f (x) = x -1 2 > 0单调递减，
又 f x 为定义在 R 上的奇函数，故 f x 在 R 上为减函数，
a
所以 < 2 + x 对任意 x [1,2]恒成立，
x
即 a < 2x + x2 对任意 x [1,2]恒成立，
只需 a < (2x + x2 )min ，
Q2x + x2 = (x +1)2 -1， x [1,2]，
\(2x + x2 )min = 2 +1 = 3，
\a < 3，即实数 a的取值范围是 (- ,3)．
19．（2024 河北石家庄·阶段练习）已知函数 f x 定义域为 R，且对任意的 x， y R，都有
f x + y = f x + f y ，且当 x > 0时， f x < 0 ，其中 f 1 = -2．
(1)证明： f x 是奇函数；
(2) 2不等式 f x + x - 3 + f m - mx < 0 对所有的 x 2,3 均成立，求实数 m 的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2) m 3
【解析】（1）函数 f x 定义域为 R，
令 x = y = 0 ，有 f 0 + 0 = f 0 + f 0 ，可得 f 0 = 0，
令 y = -x，有 f x - x = f x + f -x = 0 ，即 f x = - f -x ，
所以 f x 是奇函数；
（2）由（1）知 f x 是奇函数，任取 x1, x2 R ，且 x1 > x2 ，
则 f x1 - f x2 = f x1 + f -x2 = f x1 - x2 ，
因为 x > 0时， f x < 0 ，
所以 f x1 - f x2 = f x1 - x2 < 0，
即 f x1 < f x2 ，所以 f x 在 x R 上单调递减，
f x2所以由 + x - 3 + f m - mx < 0 对所有的 x 2,3 均成立，
可得 f x2 + x - 3 < f -m + mx 2，即 x + x - 3 > -m + mx = m x -1
对所有的 x 2,3 均成立，
x2 + x - 3
即 > m对所有的 x 2,3 均成立，
x -1
x2 + x - 3 x 1 1= - - + 3，
x -1 x -1
因为 y = x -1, y
1
= - 在 x 2,3 上都为增函数，
x -1
y x
2 + x - 3
所以 = 在 x 2,3 上为增函数，
x -1
x2 + x - 3 22 + 2 - 3
可得 > = 3，
x -1 2 -1
所以m 3 .2.2 函数的单调性与奇偶性
考点一 无参函数求单调区间
【例 1-1】（2023 云南丽江）下列函数中，定义域为 R ，且在区间 (0, + )上单调递增的是（ ）
A． y = ln x B． y = x C． y = sin x D． y = ex-1
lnx
【例 1-2】（2023 春·江西）函数 f x = 2 的单调递增区间为__________.x
【例 1-3】（1）（2023·江西）函数 f x = x2 - 2 x + 5的单调增区间是（ ）
A． - , -1 和 0,1 B． - , -1 和 1, + C． -1,0 和 1, + D． -1,0 和 0,1
2 2022· f x = x2（ ）（ 广东）函数 - 3x + 2 的单调递增区间是（ ）
é3 é 3ù
A． ê ,+ ÷ B． ê1, ú和 2, + 2 2
C． - ,1 é3 ,2ù 3 和 ê ú D． - , ÷和 2, + 2 è 2
（3）（2022 秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数 f (x) =| x -1| + | x - 2 |的单调递增区间是（ ）
A．[1, + ) B． (- ,1] C． 1,2 D．[2,+ )
【例 1-4】（1）（2023· 2江西）函数 f (x) = log2 (x - 3x - 4) 的单调减区间为______.
（2）（2024 河南） y = - x2 + 2x 的单调增区间为
【一隅三反】
1．（2024·北京）下列函数中，在 (0, + )为增函数的是（ ）
A． y = tan x |x-1| y ln
1
B． y = e C． = D． y = (x -1)ex-2
x
2（2021·4 安徽）函数 f x = log1 x 的单调递增区间是（ ）
3
A． - ,+ B． 1, + C． 0,1 D． 0, +
3. 2024 f x = x2（ 广东茂名）已知 + 2 x + 3，则函数 f x 的单调递增区间为 .
4．（2024 上海）函数 y = lg(x2 - 2x + 3)的单调递增区间为 ．
5（2023·云南·校联考二模）函数 f (x) = ex - ln(1+ x) 的单调递增区间为____________．
4 |x-1|6 2022· y = （ 山东）函数 ÷ 的单调减区间是_______．
è 5
考点二 根据单调性求参数
【例 2-1】（2023·广西）已知函数 f (x) = x2 - 2ax + b在区间（-∞，1]是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
2
【例 2-2】（2024 福建三明·期中）函数 f x = 32x -ax 在区间 2,4 上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,8 B． - ,8 C． 16, + D． 16, +
ì-x2 + 2ax, x 1
【例 2-3】（2023·陕西商洛·一模）已知函数 f (x) = í 是定义在R 上的增函数，则 a的取值范围是
(3 - a)x + 2, x >1
（ ）
A． 1,3 B． 1,2 C． 2,3 D． 0,3
【例 2-4】（2024· ax x陕西榆林·一模）已知函数 f x = e - e 在 0, + 上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
A． 0, + B． 1, + C． e, + D． 2e, +
【一隅三反】
ax -1
1．（2022·4 浙江）设 a R ，则“ a…1 ”是“函数 f x = 在 1, + 为减函数”的（
x 1 ）-
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2024· · f x = ex x-t 黑龙江大庆 模拟预测）函数 在 2,3 上单调递减，则 t 的取值范围是（ ）
A． 6, + B． - ,6
C． - , 4 D． 4, +
3（2023 秋· 2江西抚州）已知函数 f x = loga x - ax + 3 在 0,1 上是减函数，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 1,4
C． 0,1 1,4 D． 2,4
ì3a - x, x < 2
4．（2024 内蒙古赤峰）已知 a > 0，且a 1，函数 f x = í a
loga x -1 -1, x 2
在R 上单调，则 的取值范围是
（ ）
A． 1, + é1B． ê ,
2 ù é2 é1
C
3 3 ú ． ê
,1
3 ÷
D． ,1÷
ê3
5（2023·四川南充·模拟预测）函数 f (x) = mx3 - x +1在 (- , + )上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．m < 0 B．m 0 C．m 1 D．m <1
6．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数 f (x) = aex - ln x在区间 (1, 2)上单调递增，则 a的最小值为 ．
考点三 函数奇偶性的判断
【例 3】（2024 安徽合肥）判断下列各函数是否具有奇偶性
3 2 2
(1) f x = x3 + 2x (2) f x x - x= (3) f x = x - 2 + 2 - x (4) f x 1- x= ；
x -1 x + 2 - 2
(5) 1+ xf (x) = x2 -1 + 1- x2 (6) f (x) = (1- x)
1- x
【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．
2 ì 2
x + x, x > 0,(1) f x = x (2) f x 1- x； = ； (3) f x = í 2 (4)x x - x, x < 0.
f x = 3- x2 + x2 - 3 (5) f x = log x + x2； 2 +1 ． (6) f x = x +1 - x -1 ；
(7) f x = x -1 1+ x ； (8) f x = lg x2 +1 + x ．
1 - x
考点四 根据奇偶性求参数
x
4-1 2024· · f x b ×3 -1【例 】（ 内蒙古包头 一模）已知 = b > 0 是奇函数，则b =（ ）
b ×3x +1
A．4 B．3 C．2 D．1
【例 4-2】（2024· x浙江·二模）若函数 f x = ln e +1 + ax为偶函数，则实数 a 的值为（ ）
1
A．- B．0 C 1． 2 D．12
mx +1
【例 4-3】（多选）（2024北京）设函数 f (x) = ln 是定义在区间 -n,n 上的奇函数 m > 0, n > 0 ，则下
1- 2x
列结论正确的是（ ）
1 1
A．m = 2 B．m
1
= n 0, ù n C． ú D． ,+

2 2 2 ÷è è
【一隅三反】
2
1 3x+1．（2024·河南郑州·模拟预测）函数 f x = 2x + a - log2 2 + 2 是偶函数，则 a 的值为（ ）
1 3 3
A． B． C． D
3
．
8 2 4 8
x
2．（2024·宁夏银川·一模）“ a =1” “ f x a ×2 +1是 函数 = x ×sin x为偶函数”的（ ）2 - a
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
ax + b 1 4
3．（2024 甘肃兰州）设函数 f x =
1+ x2
是定义在 -1,1 上的奇函数，且 f 2 ÷ = 5 ．则函数 f x 的解析式è
为 ．
f (x) ax
2 + b
4.（2024长沙市）函数 = 是定义在 (- ,b - 3] [b -1,+ ) 上的奇函数．若 f (2) = 9，则a+b的
x
值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考点五 根据奇偶性求解析式
3 x
【例 5-1】（2024 上海）已知函数 y = f x , x R为奇函数，当 x 0 时， f x = 2x + 2 -1，当 x < 0 时， f x
的表达式为（ ）
A． 2x3 + 2x -1 B． 2x3 - 2- x +1
C．-2x3 + 2- x -1 D．-2x3 - 2x +1
【例 5-2】（2024 x黑龙江哈尔滨）已知 f x 为奇函数， g x 为偶函数，且满足 f x + g x = e + x，则 g x =
（ ）
ex - e- x ex + e- x ex - e- x - 2x ex - e- xA + 2x． B． C． D．
2 2 2 2
【一隅三反】
1．（2024 上海杨浦）已知奇函数 y = f x 在区间 0, + 上的解析式为 f x = -2x + x2 ，则 y = f x 在区间 - ,0
上的解析式 f x = ．
2．（2024 云南昆明·阶段练习） f x 为定义在R 上的奇函数，当 x > 0时， f x = 2x +1，则 x < 0 时，
f x = ．
3 3 2．（2024 山东潍坊·期中）已知 f x ， g x 是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且 f x - g x = x + x +1，
则 f 1 + g 2 = .
4．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时， f x = x - cosx +1，则当 x…0
时， f x = ．
考点六 函数性质应用之比较大小
5
1 c
【例 6-1】（2024·天津·一模）已知实数 a，b，c 满足 a 1
3
= ÷ ，b
e = 1 1
2 ， ÷ = ，则（ ）è 2 è 2 3
A． a < b < c B．b < a < c C． c 1
【例 6-2 2】（2023·四川成都·二模）已知函数 f x = 3x + 2sin x ，若 a = f 3 ，b = f 2 ， c = - f log2 ÷ ，则
è 7
a，b ， c的大小关系是（ ）
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < a < c D．be +1 ln 5
【例 6-3】（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c = +1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【一隅三反】
f x - f x
1．（2023·全国· 1 2模拟预测）已知函数 f x ，且对"x1 < x2 ，满足 < 0x x ，若2 - 1
a 20.1,b lg2.5,c 9= = = log3 ，则（10 ）
A． f b < f a < f c B． f c < f b < f a
C． f c < f a < f b D． f a < f b < f c
2
2．（2024 陕西渭南· x 3期末）已知函数 f x = 2 + x ，若 a = f log3 2

,b = f 23 ,c = f 1 ÷ log2 ÷，则（ ）
è è 3
A． a < b < c B． a < c < b
C． c < b < a D． c < a < b
3．（2024·北京·模拟预测）函数 f 1x 1= a = f - ,b = f 3-0.52 ，记 ÷ ,c f log
1
=
x 1 2 5 2 ÷
，则（ ）
+ è è
A． a < b < c B．b < a < c
C． c 1
4．（2022·全国·模拟预测）设 f x 是定义域为R 的偶函数，且 f x 在 0, + 上单调递减，则 f log2 5 ÷ ，è
1 2-
f 32 ÷， f 2 3 ÷的大小关系为（ ）
è è
1 1 2- 1 2- 1
A． f log2 ÷ > f 32 ÷ > f 2 3

÷ B． f log2 ÷ > f 2 3 ÷ > f 32 ÷
è 5 è è è 5 è è
3 1 1 3- - 1
C． f 2 2 ÷ > f 32 ÷ > f log
1
2 ÷ D． f 2 2 ÷ > f log2 ÷ > f 32 ÷
è è è 5 è è 5 è
x - x 2 1 15．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 f (x) = 2 + 2 + cos x + x ，若 a = f 2 ，b = f (-ee )， c = f (π π )，则
（ ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c考点七 函数性质之解不等式
【例 7-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 f x = 2x - 3- x f x2，则不等式 < f 2x + 3 的解集为（ ）
A． -1,3 B． - , -1 3,+ C． -3,1 D． - , -3 1,+
【例 7-2】（2024 江西·阶段练习）已知函数 f x = lg x -1 + 2x + 2- x，则满足不等式 f x +1 < f 2x 的 x 的取
值范围为（ ）
A． -2, -1 B． 1,2 C - , - 1． 3 1,+ D． - , -2 U 1, +
【例 7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在R 上的函数 f (x) = ex-1 - e1-x + (x -1)3 + x，满足不等式
f (2x - 4) + f (2 - 3x) 2，则 x 的取值范围是（ ）
A． (- , -4] B． (- ,2)
2
C． (- , ] [
2
D． , 2)
3 3
【一隅三反】
1．（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) = 3x - 2x -1，则不等式 f (x) < 0的解集是（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． - ,0 D． - ,0 1, +
x - x
2．（23-24 · · f x 3 - 3高三上 内蒙古呼和浩特 期末）已知函数 = ，若 f 2a -1 + f a < 0，则实数 a的取值范
2
围为（ ）
0, 1 1 , 1 1 1 A． ÷ B． ÷ C．3 3 2
- , D． ,+
è è è 3 ÷ è 3 ÷
3．（2024 广东茂名）已知函数 f x 的定义域为R 的奇函数， f 3 = 0，对任意两个不等的正实数 a,b都有
f a - f b
> 0 x，则不等式 f 2 -1 < 0的解集为 .
a - b
4（2024·辽宁· x一模）已知函数 f x = log2 4 +16 - x - 2，若 f a -1 f 2a +1 成立，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A． - , -2 B． - , -2 U 0, +
é-2, 4ù - , -2 U é4 C． D．
ê 3ú ê
, + ÷
3
5．（2024·四川南充·二模）设函数 f x = sin x + ex - e- x - x + 3，则满足 f (x) + f (3 - 2x) < 6的 x 的取值范围是
（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． 3, + D． - ,3
一．单选题
1．（2023·海南海口·模拟预测）函数 f (x) = x2 - 4 | x | +3的单调递减区间是（ ）
A． (- , -2) B． (- , -2)和 (0,2)
C． (-2,2) D． (-2,0) 和 (2,+ )
2．（2024·广东·一模）已知 f (x) = 2|x| + x2 ，若 f (a) < 3，则（ ）
A． a (1,+ ) B． a (-1,1) C．a (- ,1) D． a (0,1)
1
2 -
3．（2024· 3四川攀枝花·二模）若 a = 3 3 ,b 1= log ，则（ ）3 e,c = ÷
è e
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D． c > b > a
4．（2023·全国· 2模拟预测）“ m 2 ”是“函数 f x = log2024 x - 2mx +1 在区间 2, + 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
ì 3a - 2 x + 3, x 15．（2024 吉林·阶段练习）已知函数 f x = í ( a > 0且a 1)是 R 上的单调函数，则 a 的取值
loga x + 5a, x >1
范围是（ ）
0, 2 A． ÷ 1, +

B． 0,
1 ù 1, +
è 3 è 2 ú
2
C． ,1

÷ 1,
1
+ éD． ê ,1
1, +
è 3 2 ÷
6．（2024·广东广州·一模）已知函数 f (x) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) = sin(tan x) B． f (x) = tan(sin x)
C． f (x) = cos(tan x) D． f (x) = tan(cos x)
7．（2024 重庆开州·期中）已知 y = f (x) 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时， f (x) = x2 + 2x .若函数 f (x) 在区间
-1, a - 2 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 2,4 B． - ,3 C． 1,3 D． 2,4
f x 32 x+4 18．（2024 安徽）已知函数 = - x 2 + 4，则 f 2x -1 + f x + 2- > 8的解集为（ ）9
1 1
A． - ,+ ÷ B． - , -3 ÷è è 3
C． 2 2- , -2 U - , + ÷ D． - , -2 U

, +

è 3 è 3 ÷
二．多选题
9．（2024 安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
1
A． y = -x-1 B． y = x + x3
C． y = 8x + 8- x D． y = x | x |
10．（2024·江西·一模）已知函数 f x = ex-1 + e1-x + x2 - 2x 2，若不等式 f (2 - a) < f x + 3 对任意的 x R 恒成立，
则实数 a 的取值可能是（ ）
1
A．-4 B．- C．1 D．2
2
11．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数 f x 的定义域为R ，且 f x f y = f xy + xy x + y ，则
（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f xC ． 是 x x R且x 0 上的增函数 D． f x 是R 上的增函数
x
三．填空题
12．（2024 2 3x+1安徽）函数 f x = (2x + a) - log2 2 + 2 是偶函数，则a = .
13．（2024·青海·一模）已知函数 f x = ex - e- x + x ，则不等式 f 2m - 2 + f m +1 > 0的解集为 ．
14．（2024· 2 x - x全国·模拟预测）已知函数 f x = log2 x + x +1 + e - e + 2，则不等式 f 2x + 5 + f 3- x 4的
解集为 ．
四．解答题
x
15．（2024 高三·全国· -2 + b专题练习）已知定义域为 R 的函数 f(x)＝
2x+1
是奇函数．
+ a
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求证：函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求实数 k 的取值范围
f x ax + b16．（2024 河南周口·期末）已知函数 = 是定义在 -1,1 上的函数， f -x = - f x 恒成立，且
1+ x2
f 1 2 2 ÷
= .
è 5
(1)确定函数 f x 的解析式，并用定义研究 f x 在 -1,1 上的单调性；
(2)解不等式 f x -1 + f x < 0 .
17．（2024 湖北·开学考试）已知函数 f x = log2 4x +1 + kx为偶函数．
(1)求实数 k 的值；
(2)解关于m 的不等式 f 2m +1 > f m -1 ；
(3)设 g x = log2 a ×2x + a a 0 ，若函数 f x 与 g x 图象有 2个公共点，求实数 a的取值范围．
18．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 x - ,0 时，
f (x) = x -1 2．
(1)求 x > 0时，函数 f (x) 的解析式；
a
(2)若 f ( ) + f (-2 - x) > 0对任意 x 1,2 恒成立，求实数 a的取值范围．
x
19．（2024 河北石家庄·阶段练习）已知函数 f x 定义域为 R，且对任意的 x， y R，都有
f x + y = f x + f y ，且当 x > 0时， f x < 0 ，其中 f 1 = -2．
(1)证明： f x 是奇函数；
(2)不等式 f x2 + x - 3 + f m - mx < 0 对所有的 x 2,3 均成立，求实数 m 的范围．

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