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2.4 指数运算及指数函数
考点一 指数的运算
【例 1】（2024 广西）化简求值:
(1) a a a (a > 0)；
4 a3 × a-1
1
- 1
(2) (
27) 3 1+ + 2 × (e -1)0 - 84 4 2
8 ．7 + 2
2
- 1-
(3) (27) 3 + (0.002) 2 -10( 5 - 2)-1 + ( 2 - 3)0 ；
8
2 -2
1 1 x + x - 7
（4）已知 -x 2 + x 2 = 3，计算： 1 1 .
x + x-1
-
+ x 2 + x 2
【一隅三反】
1（2024 甘肃）（多选）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
1
A． 2 3- x = (-x)2 B． 6 y = y (y < 0)
1
-
x 3 1
3 1
C． = (x 0) D． 3 2 4 2
3 x [ (-x) ] = x (x > 0)
2．（2024 高三·全国·专题练习）化简下列各式：
2
é -2.5
1
1 ù 3
（ ） ê 0.0645 ÷ ú 3
3
- 3 - π0 =
ê è ú 8
a3b2 3 ab2
4
（2） 1 1 1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 设 -x 2 + x 2 = 3，则 x + x
-1的值为
3.（2024 广东广州）计算下列各式．
1 0
- 9 1 2-
(1) 0.125 3 - 2 3 6
27
÷ + é 2 3 (-2) ù + ( 2 3) ； （2） ( ) - (5
4
+ )0.5 ( 5 +1+ )0 + ( 3 - 4)2
è 8 8 9 2
3 1 1 1- - 6
（3） (2 )0 + 2-2 (2 ) 2 + (25)0.5 + (-2)2 ； （4）1.5 3 0 2 - 76 + 80.25 4 2 + 3 2 3 - 3 ；5 4 36 3
2 -2
(51) 27
-
3 49
0.5
2-(0.008) 3 1
1
- + + (π -1)
0 ； (6) 1- + 83 +160.75 0 ÷ + (1+ 2) + 4 (3- π)
4 ；
è 8 ÷ è 9 ÷ 25 è 6
3 3
1 1 -
7 2 2（ ）已知 -2 2 ，求 x + x + 2x + x = 3 的值．
x-1 + x + 3
考点二 指数函数概念及解析式
【例 2-1】（2024 宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． y = x4 B． y = xx C． y = πx D． y = -4x
【例 2-2】（2023 上海）函数 y = (a2 - 3a + 3)a x 是指数函数，求 a的值 ．
1
【例 2-3】（2024·广东湛江·开学考试）若函数 f (x) = a x （ a > 0，且a 1）满足 f (2) = 81，则 f - ÷ 的值为（　　）
è 2
1 1
A．± B．±3 C． D．3
3 3
【一隅三反】
1
1．（2024 广西河池·期末）已知指数函数 f x = a -1 bx 的图象经过点 -1,
1 a
÷，则 1
è 2 b ÷
=（ ）
è
A 2． B． 2 C．2 D．4
2
2 2 x．（2024 江西新余·期中）（多选）若函数 f x = m + 2m - 2 a 是指数函数，则实数m 的值为（ ）
A．-3 B．1 C． -1 D．-2
考点三 指数型函数的定义域
x
【例 3-1】（2024 湖南）设函数 f x = 4 - 2x ，则函数 f ÷的定义域为（2 ）è
A． 2, + B． 4, + C． - , 2 D． - , 4
【例 3-2】（2022·4 海南·模拟预）已知函数 f x = 2x - a 的定义域为 2, + ，则a = ．
【一隅三反】
1．（2024 · x +1北京 期末）函数 y = x 的定义域是 ．e -1
2．（2024 1湖南长沙·）函数 y = - 2x-1 的定义域为
8
3．（2024 重庆渝中）已知函数 f x 的定义域为 0,2 0，则函数 g x = f 2x + x -1 的定义域为 .（用
区间或集合作答）
考点四 指数型函数的值域
【例 4-1】（1）（2024 浙江丽水）函数 f (x) =1- 3x 的值域是（ ）
A． (- ,1) B． (- ,1] C．[0,1) D．[0,1]
2
（2）（2024 河北石家庄·阶段练）函数 y = 2x -2x+2 ， x -1,2 的值域是（ ）
A．R B． 4,32 C． 2,32 D． 2, +
（3）（2024 x x+1黑龙江绥化）当 x 1时，函数 f x = 4 - 2 + 2的值域为 .
ì 2 - a x + 3a, x <1
【例 4-2】（1）（2024 湖北）已知函数 f x = í x2 的值域为 R，则 a 的取值范围是（+2x-2 ） 2 -1, x 1
A． -1,2 é 1 1 B． -1,2 C． ê- , 2÷ D． - , 22 2 ÷ è
（2）（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2ax2 -x+1 的值域为 M ．若 1, + M ，则实数 a的取值范围是
（ ）
1 1 1 1- , ù é0, ù ù é é1 A． ú B． ê ú C．4 4
- , -
è è 4ú
ê , + ÷ D． ,+ ÷ 4 ê 4
【一隅三反】
1 x1（2024 山东潍坊·期中）函数 f x = ÷ + 2, x -1,2 的最大值为（ ）
è 2
5 9
A．4 B．3 C． D．
2 4
ì2x , x 0

2．（2024 上海虹口·期中）已知函数 f (x) = í 1 ，则 f (x) 的值域为 ．
x + , x < 0 x
3．（2024·
2
贵州·模拟预测）已知函数 f (x) = 2- x +2x+3，则 f (x) 的最大值是 .
4．（2023 x x高三·全国·专题练习）函数 f x = 9 - 4 3 + 9的值域为 .
3x
5 2024 · y e - 2．（ 福建福州 期中）函数 = 3x 的值域为 ．e + 2
6．（2024 x上海·开学考试）若函数 f x = 2 - a -1的值域为 -1, + ，则实数 a的取值范围为 ．
7（23-24 x高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数 f x = a +1（ a > 0且a 1）在区间 1,2 上的值域为 3,5 ，则实
数 a的值为（ ）
1 1A． 2 B．2 C．3 D． 3
ì x
, x <1
8（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 f (x) = í x -1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ）
2
x - a, x 1
A． (- ,0) B． (0, + ) C． (- ,1] D．[1, + )
考点五 指数型函数的单调性
- x2 +2x-3
5-1 2024 · f (x) = 1 【例 】（ 湖南岳阳 期中）已知函数 ÷ ，则函数 f (x) 单调递增区间为（ ）
è 3
A． - ,1 B． -1, + C． 1, + D． - , -1
2
【例 5-2】（2024·辽宁·一模）若函数 f x = 3-2x +ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． - , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
ìx2 - 2ax + 2, x <1

【例 5-3】（2024 内蒙古赤峰）若函数 f x = í 1 x 是R 上的减函数，则 a的取值范围是（ ）
a - 2 ÷
, x 1
è
é1, 7 ù é1, 3 0, 7 1 , 7 ùA． ê ú B．6 ê 2 ÷
C． D．
è 6 ÷ è 2 6 ú
【一隅三反】
8+2x-x2
1（2024 1 上海静安·阶段练习）函数 y = ÷ 的严格增区间是 .
è 2
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数 f x = 3a-2x 在区间 1,2 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． - , 4 C． 2, + D． 4,+
1
3．（2024 x( x+a)天津和平）设函数 f (x) = ( ) 在区间( 0, 1)上单调递增，则实数 a的取值范围为（
2 ）
A． - , -2 B． -2,0 C． 0,2 D． 2, +
x2 -4tx
4．（2024 江苏淮安·阶段练习）使得“函数 f x = 1 ÷ 在区间 2,4 上单调递减”成立的一个充分不必要条件可
è 3
以是（ ）
A． t 2 B． t 1 C． t 3 D． t 0
考点六 指数型函数单调性的应用
【例 6-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 f x = 2x - 3- x ，则不等式 f x2 < f 2x + 3 的解集为（ ）
A． -1,3 B． - , -1 3,+ C． -3,1 D． - , -3 1,+
1
【例 6-2 2 x+4】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 3 - x 2 + 4，则 f 2x -1 + f x + 2 > 8- 的解集为9
（ ）
1- ,+ , 1- - A． B
è 3 ÷
． ÷
è 3
C． - , 2 2-2 U - , +

÷ D． - , -2 U , +

÷
è 3 è 3
5
1 c
【例 6-3】（2024·天津·一模）已知实数 a，b，c 3 e满足 a 1= ÷ ，b =
1 1
， ÷ = ，则（ ）
è 2 2 è 2 3
A． a < b < c B．b < a < c C． c1 2
【例 6-4】（23-24 高三下·河南周口· 1 1 1开学考试）若 a = e3 ,b = e5 ,c = ，则（ ）
5 6 3
A．b > c > a B． c > a > b
C． a > b > c D． a > c > b
【一隅三反】
1
1 x-2 2．（2023·河北邯郸·模拟预测）已知函数 f x = x-2 - e ，若 f a - 2 + f 2a > 0，则实数 a的取值范围是e
（ ）
3
A． 2, + 3 B． -2, ÷ C． - , - D． -2, + 2 è è 2 ÷
-0.3
2（23-24 高三上· 1天津·期末）已知 a = 40.1 ，b = ÷ ， c = log4 3，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
è 2
A． c < b < a B． a < c < b
C． c < a < b D．b < c < a
3．（2024 江苏苏州·阶段练习）若 a = 21.9 ,b = 21.5 ,c = 31.9 ，则（ ）
A． c > a > b B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
1 1
4（2023·全国·模拟预测）已知 a = 4e2 ，b = 9e3 ， c = 6，则 a，b，c（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < b < a D． c < a < b
5.（2024
3
上海黄浦·期末）已知函数 f x = 2022x-3 + x - 3 - 20223-x + 2x ，则不等式 f x2 - 4 + f 2 - 2x 12的
解集为 .
考点七 指数型函数的图像
x - x
【例 7-1】（2023 广东惠州·阶段练习）函数 f x 2 - 2= x - x 的图象大致为（ ）2 + 2
A． B． C． D．
x+1
【例 7-2】（2024 广西柳州·期中）要使 f x 1= ÷ + t 的图象不经过第一象限，则 t 的取值范围是（ ）
è 2
1, , 1 1A． - + B． - - ù éú C． ê- , +

÷ D． - , -1
è 2 2
【一隅三反】
x
1．（2024 江西·开学考试）函数 f x = x - x 的图象大致为（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
x - x
2.（2024 山东济南）函数 f x 3 + 3= 2 的图象大致为（ ）x -1
A． B． C． D．
3．（2024 江苏常州）（多选）若函数 f (x) = a x + b （其中 a > 0且a 1）的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A． 0 < a < 1 B． a > 1
C．-1 < b < 0 D．b < -1
考点八 指数型函数的定点
【例 8-1】（2024 安徽六安）函数 f x = 2a x-1 -1 (a > 0，且 a 1)恒过定点（ ）
A． 1, -1 B． 1,1 C． 0,1 D． 0, -1
【例 8-2】（2024 内蒙古鄂尔多斯·）当 a > 1时， f x = a x-2 + 5的图像恒过点（ ）
A． 2,5 B． 3,5 C． 2,6 D． 3,6
【一隅三反】
1．（2024 辽宁抚顺）已知函数 f (x) = 2 + a2x-4 (a > 0且a 1）的图象恒过定点 P，则 P 点的坐标为（ ）.
A． 0,2 B． 2,3 C． 2,4 D． 4,0
2（22024 2 x-1广西南宁 ）函数 f x = a +1(a > 0且 a 1)的图象恒过定点M ，则M 为（ ）
1
A． , 2
1
÷ B． 0,2 C． 0,1 D． ,1÷
è 2 è 2
3．（2024 x+1福建莆田）对任意 a > 0且a 1，函数 f x = a +1的图象都过定点 P ，且点 P 在角q 的终边上，则 tanq =
（ ）
1
A．- B．-2 C 5 2 5．
2 -
D．
5 5
考点九 指数型函数的实际应用
【例 9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公
共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率 v与时间 t （月）近似满
足关系 v = a ×bt （其中 a、b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为10% ，经过10个月，这种垃圾的分解
率为20%，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据： lg 2 0.3）
A． 20 B． 22 C． 24 D． 26
【一隅三反】
1．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a 个这种病毒在 t 天后将繁殖到 aelt 个．已知
经过 4 天后病毒的数量会达到原来的 2 倍．且再过 m 天后病毒的数量将达到原来的 16 倍，则m =（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
2．（2024 河北保定）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年 9 月底，毛主席在
接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：
好好学习，天天向上.这 8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他
告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作 1.每天的“进步率”为 3%，
120
那么经过一个学期（看作 120 天）后的学习情况为 1+ 3% 34.711，如果每天的“迟步率”为 3%，同样经过一
个学期后的学习情况为 1- 3% 120 0.026，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的 1335 倍还多，
按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的 10 倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：
lg103 2.013， lg97 1.987）（ ）
A．28 B．38 C．60 D．100
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性
14 C ．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 14 C 不再产生，且原来的 14 C 会自动衰变．经过 5730 年，它的残余量只
1
有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 14 C 含量占原来的 ，推算该古物约是m 年前的遗物（参考数据：
5
lg 2 -1 3.3219 ），则实数m 的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
一．单选题
2x
1．（2024 北京）函数 f (x) = x - x 的图象大致是（2 2 ）+
A． B． C． D．
2．（2024· x全国·模拟预测）已知函数 f x = 3 ，若 a = f log36 ,b = f log 10 ,c f
3
= 5 ÷ ，则（ ）
è 2
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．b < c < a
3（2024 福建漳州）设函数 f (x) = 2x( x-a) 在区间 (0,2)上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． (- , 2] B．[2,0)
C．[4,+ ) D．[8, + )
4.（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P （单位：mg/L) 与时间 t
-kt
（单位： h）间的关系为P = P0e ，其中P0 ， k 是正的常数．如果在前5h 消除了10% 的污染物，则 10 小时后
还剩下百分之几的污染物？（ ）
A．5% B． 45% C．81% D．85%
2
5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 f x = x a + x ÷为偶函数，则a = （1 2 ）è +
A．-1 B．-2 C．2 D．1
6.（2024·四川）设函数 f (x) 在定义域R 上满足 f (-x) + f (x) = 0，若 f (x) 在 - ,0 上是减函数，且 f (-1) = 0，
x
则不等式 f e < 0的解集为（ ）
A． (0, + ) B． (-1,0)
1
(1,+ ) C． (-1,0) D． ,1÷
è e
1 2
-
7（2024·辽宁· a 2一模）设 = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
8
8.（2024· x - x四川攀枝花）已知奇函数 f x = a + b ×a a > 0, a 1 在 -1,1 上的最大值为 ，则a = （）
3
1
A 3 B 1． 或 ． 2 或 2 C．3 D．23
二．多选题
9．（2024 x河北邯郸·期中）若函数 y = a - 2b -1 a > 0且 a 0 的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A． 0 < a < 1 B． a > 1
C．b > 0 D．b < 0
10．（2024 江苏徐州·阶段练习）函数 f (x) = 22x - 2x+1 + 2的定义域为M ，值域为[1, 2]，下列结论中一定成立的
结论的序号是（ ）
A．M (- ,1] B．M [-2,1] C．1 M D．0 M
x2 +ax-3
11 2023· f x = 1 ．（ 吉林）若函数 ÷ 的图像经过点 3，1 ， 则（ ）
è 3
A． a = -2 B． f x 在 - ，1 上单调递减
C． f x 1 的最大值为 81 D． f x 的最小值为
81
三．填空题
12．（2024 云南）若函数 y = a x + b -1（ a > 0，且a 1）的图象不经过第二象限，那么 a，b 的取值范围分别
为 .
2
13（2024 河南信阳·阶段练习）设函数 f x = a x -ax+1(a > 0且 a 1)在区间 0,1 单调递减，则 a的取值范围是 .
ì 2x，x m
14．（2024 上海闵行）已知函数 y =
m
í 2 2 8 的值域为 - , 2 ù ，则实数m 的取值范围是 ．
- x + ，x > m 3 3
四．解答题
15．（2024 广东湛江）设函数 f (x) = a ×2x - 2- x (a R) ．
3
(1)若函数 y = f (x) 的图象关于原点对称，求函数 g(x) = f (x) + 的零点 x0 ；2
(2)若函数 h(x) = f (x) + 4x + 2- x 在 x [0 ，1]的最大值为-2，求实数 a的值．
x
16（2024 3 +b上海虹口）已知函数 f x = x 是定义域为R 的奇函数.3 +1
(1)求实数b 的值，并证明 f x 在R 上单调递增；
(2)已知 a > 0且a 1，若对于任意的x 、 x 1,3 3 x，都有 f x + a 2 -21 2 1 恒成立，求实数 a的取值范围.2
1 1
17．（2024·四川遂宁）已知函数 y = f (x) x x定义在 R 上有 f (-x) = - f (x) 恒成立，且当 x 0 时， f x = -( ) + ( ) .
4 2
（1）求 f (-1)的值及函数 f (x) 的解析式；
（2）求函数 f (x) 的值域.
x
18．（2024·新疆）设函数 f (x) 4= x - 2, x > 0．2 -1
(1)求函数 f (x) 的值域；
(2)设函数 g(x) = x2 - ax +1，若对"x1 [1,2],$x2 [1,2], f x1 = g x2 ，求正实数 a 的取值范围．
x x
19．（2024 天津）已知函数 f x a ×8 + 2= x （ a为常数，且 a 0， a R ）．a × 4
(1)当 a = -1时，若对任意的 x 1,2 ，都有 f 2x mf x 成立，求实数m 的取值范围；
(2)当 f x 为偶函数时，若关于 x 的方程 f 2x = mf x 有实数解，求实数m 的取值范围．2.4 指数运算及指数函数
考点一 指数的运算
【例 1】（2024 广西）化简求值:
(1) a a a (a > 0)；
4 a3 × a-1
27 1- 1
(2) ( ) 3
1
+ + 2 × (e -1)0 - 84 4 2
8 ．7 + 2
27 2- 1-(3) ( ) 3 + (0.002) 2 -10( 5 - 2)-1 + ( 2 - 3)0 ；
8
1 1 x2 + x-2 - 7
（4）已知 -x 2 + x 2 = 3，计算： 1 1 .-
x + x-1 + x 2 + x 2
5 7 167
【答案】(1) a 4 (2) (3)－ （4）4.3 9
1
3 2
1 3 a × a 2 ÷ 3 7
【解析】（1） a a a a a × a 2 a a 2 è a × a 4 a 4
5
= = = = = = a 4
4 a3 ×a-1 4 2
2 1 1 1
a a 4 a 2 a 2 a 2
1
-
1 -11 3 3 3 1
（2 27 - 1
é
0 3 ù 7 - 2 3 7 - 2 2 7 2 7） ( ) 3 + + 2 × (e -1) - 84 4 2 = ê ÷ ú + + 2 - 24 × 24 = ÷ + + 2 - 2 = + - =8 7 + 2 êè 2 ú 7 - 4 è 2 3 3 3 3 3
167
（3）原式＝( )－ ＋( )－ － ＋1＝ ＋10 －10 －20＋1＝－ .9
1 1 1 1
2
-
（4）因为 -2 2 ，所以 x 2 + x 2x + x = 3 ÷ = 9，所以 x + x
-1 + 2 = 9，
è
2
所以 x + x-1 = 7，所以 x + x-1 = 72，即 x2 + x-2 + 2 = 49，
x2 + x-2 - 7 47 - 7
所以 x2 + x-2 = 47，所以 1 1 = = 4
x x-1
-
x 2 x 2 7 + 3+ + +
【一隅三反】
1（2024 甘肃）（多选）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ）
1
A． 2 3- x = (-x)2 B． 6 y = y (y < 0)
1
- 3 1
C． x 3 1= (x 0) D．[ 33 x (-x)
2 ]4 = x 2 (x > 0)
【答案】CD
1 1 1 1
【解析】对 A：- x = -x 2 -x 2 ，错；对 B： 6 y2 = y2 6 = -y 3 y3(y < 0) ，错；
3
1
- 1 3 ì 1 ü4 1 1
对 C： x 3 = (x 0)，对；对 D：[ 3 (-x)2 ]4 = íé -x 2 ù 3 = é -x 2 ù 4 = x 2 (x > 0) ，对.故选：CD3 x
2．（2024 高三·全国·专题练习）化简下列各式：
2
é 1 -2.5
1
ù 3
（ ） ê 0.0645 ÷ ú
3
- 3 3 - π0 =
êè ú 8
a3b2 3 ab2
（2 4） 1 1 1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 设 - -1x 2 + x 2 = 3，则 x + x 的值为
a
【答案】（1） 0 （2） / ab-1 （3） 7
b
2
é -2.5 ù 3 3 1 ( 2.5) 2 1 1 - 3
-1
5 3 3 2 3 5 3
【解析】（1） ê 0.0645 ú
3 4
- 3 3 - π0 = 3 ÷ ÷ - ÷ -1 = ÷ - -1 = - -1 = 0 .
ê è ú 8 è10 è 2 è
5 2 2 2

1 2 1
a3b2 3 ab2 (a3b2a3b3 )2 5 2 4 7- -
4 = 1 1 = a 3 3b3 3 = ab
-1 a=
（2） 1 1 1 1- 2 - b ；
a 4b2 ÷ a 3b3 ab a
3b3
è
1 1 1 1
2
-
（3）因为 - ，\ x + x-12 2 = x 2 + x 2 2x + x = 3 ÷ - 2 = 3 - 2 = 7 .
è
a
故答案为：（1）0；（2） ；（3）7
b
3.（2024 广东广州）计算下列各式．
1 0
- 1 2-
(1) 0.125 3
9
- + é(-2)2 ù 2 3 6 27 3 4 0.5 ÷ + ( 2 3) ； （2） ( ) - (5 + ) + (
5 +1)0 + ( 3 - 4)2
è 8 8 9 2
3 1 1 1- - 6
（3） (2 )0 + 2-2 (2 ) 2 (25+ )0.5 + (-2)2 0 2； （4）1.5 3 - 76 + 80.25 4 2 + 3 2 3 - 3 ；5 4 36 3
2
- 0.5 -2 1
(51) 27 3 49
2
- 1
÷ - ÷ + (0.008) 3
1
+ (π -1)0 ； (6) - ÷ + 83 +16
0.75 + (1+ 2)0 + 4 (3- π)4 ；
è 8 è 9 25 è 6
3 3
1 1 -
7 - 2 2（ ）已知 x 2 + x 2 ，求
x + x + 2
= 3 的值．
x-1 + x + 3
28 1
【答案】(1)75 (2) - 3 (3)4 (4)110 (5) (6) 44 + π （7）2
9 9
1
1 0
- 1 é 3
-
ù 3 1 1
【解析】（1）0.125 3 - 9 + é(-2)
2 ù 2 + ( 2 3 3)6 1 6 62 3 = 2 +1+ 8 9 = 75
è 8 ÷
= ê ÷ ú -1+ 2 + 2 3
ê è 2 ú
2
- 0.5 0 2 1 1
27 3 4

5 +1 2（2） - 5 + + ÷ + 3 - 4 3
3

- ÷ -2 2
è 3
= -
49 2 +1+ 3 - 4 = 3 7
2
8 ÷ 9 ÷ 2 ÷ ÷ ÷ ÷ - +1+ 4 - 3è è è è 2 è 9 è 2 è 3
÷

4 7 28
= - + 5 - 3 = - 3 .
9 3 9
1 1
（3） (2 3)0 -2 1
- 2 (- )
+ 2 (2 ) 2 (25+ )0.5 + (-2)2 = 1+ 2-2 3 5 ( ) 2 + ( )2 0.5 1
1 5
+ 2 = + + + 2 = 4
5 4 36 2 6 6 6
1 1
3 3 1 1 1
6
3
（4 = 2 ）原式 ÷ 1+ 24 24
2
+ 23 32 -

÷ ÷ = 2 + 2
2 33 =110 .
è 3 è è 3
2
- 0.5
5 27 3 49
2
-
（ ） 1- 0 8 ÷ ÷
+ (0.008) 3 + (π -1)
è è 9 25
3
-2
7 1
-2
1 1 4 7 25 1 1 4 7 1= ÷ - + ÷ + = - + + = - + 2 = .
è 2 3 è 5 25 9 3 25 9 3 9
1 -2 1 3 1
（6） - ÷ + 83 +16
0.75 + (1+ 2)0 + 4 (3- π)4 = 62 + 2 3 + 24 0.75 +1+ | 3 - π | = 36 + 2 + 23 +1+ π - 3 = 44 + π；
è 6
1 1 1 1 1 1
（7）因为 - - -x 2 + x 2 = 3，所以 (x 2 + x 2 )2 = x + 2x 2 × x 2 + x-1 = x + x-1 + 2 = 9,所以 x + x
-1 = 7，
3 3 1 1 1 1
所以 - - -x 2 + x 2 = (x 2 )3 + (x 2 )3 = (x 2 + x 2 )(x -1+ x-1) = 3 (7 -1) = 18,
3 3
-
x 2 + x 2故 + 2 18 + 2
-1 = = 2.x + x + 3 7 + 3
考点二 指数函数概念及解析式
【例 2-1】（2024 宁夏吴忠·阶段练习）给出下列函数，其中为指数函数的是（ ）
A． y = x4 B． y = xx C． y = πx D． y = -4x
【答案】C
【解析】因为指数函数的形式为 y = a x (a > 0且 a 1)，
所以 y = πx 是指数函数，即 C 正确；而 ABD 中的函数都不满足要求，故 ABD 错误.故选：C.
【例 2-2】（2023 上海）函数 y = (a2 - 3a + 3)a x 是指数函数，求 a的值 ．
【答案】 2
ìa2 - 3a + 3 =1

【解析】由 y = (a2 - 3a + 3)a x 是指数函数，可得 ía > 0 ，解得 a = 2．

a 1
1
【例 2-3】（2024·广东湛江·开学考试）若函数 f (x) = a x （ a > 0，且a 1）满足 f (2) = 81，则 f - ÷ 的值为（　　）
è 2
1 1
A．± B．±3 C． D．3
3 3
【答案】C
1
2
【解析】因为 f 2 = a = 81,a > 0，所以 a = 9，从而 f
-
x = 9x ， f 1 9 2 1 1 - ÷ = = = .故选：C.
è 2 9 3
【一隅三反】
1
1
1．（2024 广西河池·期末）已知指数函数 f x = a -1 bx 的图象经过点 -1, ÷，则 1 a2 ÷ =（ ）è è b
A 2． B． 2 C．2 D．4
2
【答案】A
ìa -1 =1
x 1
【解析】由指数函数 f x = a -1 b 的图象经过点 (-1, ) ，得 í -1 1 ，解得 a = b = 2，2 a -1 b = 2
1 1 1 1
所以 ( )a = ( )2 2= .选：A
b 2 2
2．（2024 2 x江西新余·期中）（多选）若函数 f x = m + 2m - 2 a 是指数函数，则实数m 的值为（ ）
A．-3 B．1 C． -1 D．-2
【答案】AB
2 x
【解析】因为函数 f x = m + 2m - 2 a 是指数函数，所以m2 + 2m - 2 =1，解得m =1或m = -3 .故选：AB
考点三 指数型函数的定义域
x
【例 3-1】（2024 湖南）设函数 f x = 4 - 2x ，则函数 f ÷的定义域为（ ）
è 2
A． 2, + B． 4, + C． - , 2 D． - , 4
【答案】D
【解析】因为 f x = 4 - 2x ，所以 4 - 2x 0，故 x 2，故 f x 的定义域为 - , 2 ，
x x
令 2 ，则 x 4 f

，故 ÷的定义域为 - , 4 .故选：D.2 è 2
【例 3-2】（2022·4 海南·模拟预）已知函数 f x = 2x - a 的定义域为 2, + ，则a = ．
【答案】 4
【解析】由题意可知，不等式 2x - a 0的解集为 2, + ，则 22 - a = 0 ，解得 a = 4，
当 a = 4时，由 2x - 4 0，可得 2x 4 = 22 ，解得 x 2，合乎题意.
故答案为： 4 .
【一隅三反】
1．（2024 x +1北京·期末）函数 y = 的定义域是 x ．e -1
【答案】[-1,0)U(0,+ ) .
ìx +1 0
【解析】由题意得 íex 1 0，解得
x -1且 x 0，所以函数的定义域为[-1,0)U(0,+ )，
-
故答案为：[-1,0)U(0,+ ) .
2．（2024 1湖南长沙·）函数 y = - 2x-1 的定义域为
8
【答案】 (- , -2]
1
【解析】由题 - 2x-1 0
1 x-1
，即 2 ，即 2-3 2x-1，因为 y = 2x 为单调递增函数，所以-3 x -1，即 x -28 8
故答案为： (- , -2]
3．（2024 重庆渝中）已知函数 f x 的定义域为 0,2 ，则函数 g x = f 2x + x -1 0 的定义域为 .（用
区间或集合作答）
【答案】 0,1 /{x | 0 x <1}
ì0 2x 2 ì0 x 1
【解析】由题设， íx 1 0 ，可得 í ，∴
g(x)
x 1 的定义域为
[0,1) .故答案为：[0,1)
-
考点四 指数型函数的值域
【例 4-1】（1）（2024 浙江丽水）函数 f (x) =1- 3x 的值域是（ ）
A． (- ,1) B． (- ,1] C．[0,1) D．[0,1]
2
（2）（2024 河北石家庄·阶段练）函数 y = 2x -2x+2 ， x -1,2 的值域是（ ）
A．R B． 4,32 C． 2,32 D． 2, +
（3）（2024 x x+1黑龙江绥化）当 x 1时，函数 f x = 4 - 2 + 2的值域为 .
【答案】（1）A（2）C（3） 1,2
【解析】（1）由指数函数的性质，可得3x > 0，所以1- 3x <1，即 f x 的值域是 (- ,1) .故选：A．
2
（2）函数 y = 2x -2x+2 ，是由 y = 2t 和 t = x2 - 2x + 2， x -1,2 复合而成，
因为 t = x2 - 2x + 2 = x -1 2 +1对称轴为 x =1，开口向上，所以 t = x2 - 2x + 2在 -1,1 单调递减，在 1,2 单调递增，
所以 x=-1时， tmax = -1
2 - 2 -1 + 2 = 5， x =1时， tmin =1- 2 1+ 2 =1，所以1 t 5，
2
因为 y = 2t 在R 上单调递增，所以 2 = 21 y = 2t 25 = 32，所以函数 y = 2x -2x+2 ， x -1,2 的值域是 2,32 .
故选：C.
（3）因为 f x = 4x - 2x+1 2+ 2 = 2x - 2 2x + 2，令 t = 2x ，由于 x 1，则 t 0,2 ，
则原函数可化为 y = t 2 - 2t + 2 ， t 0, 2 ，当 t =1时， y 取最小值1，当 t = 2时， y 取最大值 2，
故 y 1,2 ，即 f x 1,2 .故答案为： 1,2
ì 2 - a x + 3a, x <1
【例 4-2】（1）（2024 湖北）已知函数 f x = í 2 Rx 2x 2 的值域为 ，则 a 的取值范围是（+ - ） 2 -1, x 1
A． -1,2 B． -1,2
é 1 1
C． ê- , 2÷ D． - , 2

÷
2 è 2
2
（2）（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 2ax -x+1 的值域为 M ．若 1, + M ，则实数 a的取值范围是
（ ）
1 ù é 1 ù 1 ù é1 é1
A． - , ú B． 0, C． - , - , + D． ,+ è 4 ê 4ú è 4ú ê 4 ÷ ê4 ÷
【答案】（1）C（2）B
2
【解析】（1）当 x 1时， f (x) = 2x +2x-2 -1，而函数 t = x2 + 2x - 2在[1, + ) 上单调递增，又 y = 2t 是增函数，
因此函数 f (x) 在[1, + ) 上单调递增， f (x) f (1) = 1，即函数 f (x) 在[1, + ) 上的值域为[1, + ) ，
当 x <1时，函数 f (x) 的值域为A ，而函数 f (x) 的值域为 R，因此 (- ,1) A，
ì2 - a > 0
而当 x <1时， f (x) = (2 - a)x + 3a
1
，必有 í ，解得- a < 2
2 - a + 3a
，
1 2
a [ 1所以 的取值范围是 - ,2) .故选：C
2
（2）当 a = 0时， f x = 2- x+1 0,+ ，符合题意；
当 a 0时，因为函数 f 2x = 2ax -x+1的值域为M 满足 1, + M ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 y = ax2 - x +1的最小值小于或等于零；
若 a > 0时，依题意有 y = ax2
4a -1 1
- x +1的最小值 0，即0 < a ，
4a 4
若 a
1
< 0时，不符合题意；综上：0 a ，故选：B.
4
【一隅三反】
x
1（2024 山东潍坊·期中）函数 f x 1= ÷ + 2, x -1,2 的最大值为（ ）
è 2
5 9
A．4 B．3 C． D．
2 4
【答案】A
x
【解析】Q函数 f x 1= ÷ + 2 在 -1,2 上单调递减，
è 2
x
\当 x=-1 f x 1 时，函数 = ÷ + 2, x -1,2 取得最大值，最大值为 2 + 2 = 4 .
è 2
故选：A .
ì2x , x 0

2．（2024 上海虹口·期中）已知函数 f (x) = í 1 ，则 f (x) 的值域为 ．
x + , x < 0 x
【答案】 - , -2 U 1,+
【解析】当 x 0 时， f x = 2x 20 =1；
1
当 x < 0 时， f x = x + 在 - , -1 上单调递增， -1,0 单调递减，所以 f x f -1 = -2，
x
综上可得 f x 的值域为 - , -2 U 1,+ .
故答案为： - , -2 U 1,+ .
3 2024· · - x2．（ 贵州 模拟预测）已知函数 f (x) = 2 +2x+3，则 f (x) 的最大值是 .
【答案】16
【解析】由 f x = 2- x2 +2x+3，而 t = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4 4，
因为 y = 2t 单调递增，所以 y = 2t 24 ，则 f (x) 的最大值是 16.
故答案为：16
4．（2023 高三·全国·专题练习）函数 f x = 9x - 4 3x + 9的值域为 .
【答案】 5,+
【解析】设 t = 3x > 0 ，则 f (x) = (3x )2 - 4×3x + 9，
换元得 g(t) = (t)2 - 4× t + 9 = (t - 2)2 + 5, t > 0，
显然当 t = 2时，函数 g t 取到最小值 g t = 5，
所以函数 f x = 9x - 4 3x + 9的值域为 5,+ ．
故答案为： 5,+ .
3x
5．（2024 福建福州· e - 2期中）函数 y = 3x 的值域为 ．e + 2
【答案】 -1,1
3x e3x + 2 - 4
【解析】因为 y e - 2 -4= 3x = =1+ ，e + 2 e3x + 2 e3x + 2
1 1 -4 -4
又 e3x > 0，所以 e3x + 2 > 2，所以0 < 3x < ，所以-2 < < 0，所以-1 <1+e + 2 2 e3x + 2 e3x
<1，
+ 2
e3x - 2
所以函数 y = 3x 的值域为 -1,1 .故答案为： -1,1 e + 2
6．（2024 x上海·开学考试）若函数 f x = 2 - a -1的值域为 -1, + ，则实数 a的取值范围为 ．
【答案】 (0, + )
【解析】令 g x = 2x - a ，由题意得 g x 的值域为 0, + ，
又 y = 2x 的值域为 0, + ，所以-a < 0,解得 a > 0所以 a的取值范围为 (0, + )．故答案为： (0, + )
7（23-24 高三上· x陕西咸阳·阶段练习）若函数 f x = a +1（ a > 0且a 1）在区间 1,2 上的值域为 3,5 ，则实
数 a的值为（ ）
A 1
1
． 2 B．2 C．3 D． 3
【答案】B
x ì f
1 = a +1 = 3
【解析】①当 a > 1时， f x = a +1单调递增，故 í
f 2 = a2 1 5
，解得 a = 2；
+ =
x ì f 1 = a +1 = 5②当 0 < a < 1时， f x = a +1单调递减， í
f 2 = a2 1 3
，无解，
+ =
综上可知 a = 2 .故选：B
ì x
, x <1
8（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 f (x) = í x -1 的值域为 R，则实数 a 的取值范围是（ ）
x 2 - a, x 1
A． (- ,0) B． (0, + ) C． (- ,1] D．[1, + )
【答案】D
1
【解析】当 x <1时， f (x) =1+ <1，当 x 1时， f (x) = 2x - a 21 - a = 2 - a，
x -1
ì x , x <1
因为函数 f (x) =

í x -1 的值域为R ，所以 2 - a 1，得a 1，
2
x - a, x 1
所以实数 a的取值范围是 1, + ，故选：D.
考点五 指数型函数的单调性
2
1
- x +2x-3

【例 5-1】（2024 湖南岳阳·期中）已知函数 f (x) = ÷ ，则函数 f (x) 单调递增区间为（ ）
è 3
A． - ,1 B． -1, + C． 1, + D． - , -1
【答案】C
1 - x
2 +2x-3

【解析】令 t = -x2 + 2x - 3在 - ,1 单调递增， 1, + 单调递减，所以函数 f (x) = ÷ 在 - ,1 单调递减，
è 3
1, + 单调递增，故选:C.
2
【例 5-2】（2024·辽宁·一模）若函数 f x = 3-2x +ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． - , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
【答案】A
【解析】设 f u = 3u ，u = -2x2 + ax，则 f u = 3u 在 - , + 上单调递增.
因为 f 2x = 3-2x +ax 在区间 (1, 4)内单调递减，所以函数u = -2x2 + ax在区间 1,4 内单调递减，
a
结合二次函数的图象和性质，可得： 1，解得 a 4.
4
故选：A
ìx2 - 2ax + 2, x <1

【例 5-3】（2024 内蒙古赤峰）若函数 f x = í 1 x 是R 上的减函数，则 a的取值范围是（ ）
a - ÷ , x 1
è 2
é 7 ù é 3 7 1 7 ù
A．
ê
1, ú B． ê1, ÷ C． 0, D． ,6 2 è 6 ÷ è 2 6 ú
【答案】A
ì
ìx2 2ax 2, x 1 a 1- + <
【解析】由函数 f x = x 1í 1 在R 上为单调递减函数，则满足 í0 < a - <1
7
，解得1 a ，
a - ÷ , x 1 2 6
è 2 12 1 - 2a + 2 a - 2
即实数 a
é1, 7 ù的取值范围为
ê 6 ú
.故选：A.

【一隅三反】
8+2x-x2
1（2024 上海静安· 1 阶段练习）函数 y = ÷ 的严格增区间是 .
è 2
【答案】 1, +
2
1
t 8+2x-x

【解析】因为 y = ÷ 关于 t 单调递减，若函数 y
1
= ÷ 关于 x 单调递增，è 2 è 2
2
则由复合函数单调性可知只需 y = 8 + 2x - x2 = - x -1 + 9单调递减即可，
8+2x-x2
而 y = - x -1 2 + 9的单调递减区间为 1, + 1 ，所以函数 y = ÷ 的严格增区间是 1, + .故答案为： 1, + .
è 2
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数 f x = 3a-2x 在区间 1,2 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． - , 2 B． - , 4 C． 2, + D． 4,+
【答案】D
【解析】函数 y = 3x 在R 上单调递增，而函数 f x = 3a-2x 在区间 1,2 上单调递减，
所以 y = 2x - a 在区间 1,2 a单调递减，所以 2，解得 a 4．故选：D．
2
1
3 x( x+a)．（2024 天津和平）设函数 f (x) = ( ) 在区间( 0, 1)上单调递增，则实数 a的取值范围为（
2 ）
A． - , -2 B． -2,0 C． 0,2 D． 2, +
【答案】A
【解析】函数u = x(x + a) ( ,
a a
在 - - ]上单调递减，在[- , + ) 上单调递增，
2 2
a
函数 y = (
1)u a é 在 R 上单调递减，因此函数 f (x) 的递增区间是 (- , - ]，递减区间是 ê- , + 2 ÷ ，2 2
a a
依题意， (0,1) (- ,- ]，则- 1，解得 a -2，所以实数 a的取值范围为 - , -2 .故选：A
2 2
x2 -4tx
4．（2024 · “ f x = 1 江苏淮安 阶段练习）使得 函数 ÷ 在区间 2,4 上单调递减”成立的一个充分不必要条件可
è 3
以是（ ）
A． t 2 B． t 1 C． t 3 D． t 0
【答案】D
2
1 x 1 x -4tx
【解析】由于函数 y = 在R 上单调递减，函数 f x = 在区间 2,4 上单调递减，
è 3 ÷ è 3 ÷
所以函数 y = x2 - 4tx = x - 2t 2 - 4t 2 在 2,4 上单调递增，则 2t 2，解得 t 1，
x2 -4tx
所以函数 f x 1= ÷ 在区间 2,4 上单调递减的充要条件为 t 1，
è 3
那么其成立的一个充分不必要条件可以是 t 0 .故选：D.
考点六 指数型函数单调性的应用
【例 6-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数 f x = 2x - 3- x ，则不等式 f x2 < f 2x + 3 的解集为（ ）
A． -1,3 B． - , -1 3,+ C． -3,1 D． - , -3 1,+
【答案】A
【解析】解法一：函数 f (x) 的定义域为 R，函数 y = 2x , y = 3- x 分别是 R 上的增函数和减函数，
因此函数 f (x) 是 R 2上的增函数，由 f x < f 2x + 3 ，得 x2 < 2x + 3，解得-1 < x < 3，
所以原不等式的解集是 -1,3 .故选：A
解法二：特值当 x = 0时， f 0 < f 3 ，排除 B，D，当 x =1时， f 1 < f 5 ，排除 C，
2
对 A：当 x -1,3 时， x2 < 2x + 3，因为函数 f (x) 是 R 上的增函数，所以 f x < f 2x + 3 ，故 A 成立.
故选 A．
2 x+4 1
【例 6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x = 3 - x 2 + 4，则 f 2x -1 + f x + 2 > 8- 的解集为9
（ ）
1 1
A． - ,+ 3 ÷
B． - , - ÷
è è 3
C． 2 2- , -2 U - , +

÷ D． - , -2 U

, +

3 3 ÷è è
【答案】A
2x+4 1 2x+4 4-2x
【解析】由函数 f x = 3 - x-2 + 4 = 3 - 3 + 4，9
g x = f x - 4 = 32x+4 - 34-2x设 ，
则不等式 f 2x -1 + f x + 2 > 8，可化为 f 2x -1 - 4 + f x + 2 - 4 > 0，
即 g 2x -1 + g x + 2 > 0，
g x = 32x+4 - 34-2x又由函数 的定义域为R ，关于原点对称，
g -x = 3-2x+4 4+2x 2x+4 4-2x且 - 3 = -3 + 3 = -g x ，所以 g x 为奇函数，
又由函数 y = 32x+4 为R 上的增函数， y = 34-2x 为R 上的减函数，
所以函数 g x 为R 上的增函数，
所以不等式 g 2x -1 + g x + 2 > 0，即为 g 2x -1 > -g x + 2 = g(-x - 2)，
x 1
1
可得2x -1 > -x - 2，解得 > - ，即不等式的解集为 - ,+ ÷ .3 故选：
A.
3 è
5
1 c
【例 6-3】（2024· 3 e 1 1天津·一模）已知实数 a，b，c 满足 a 1= ÷ ，b = 2 ， ÷ = ，则（ ）è 2 è 2 3
A． a < b < c B．b < a < c C． c【答案】A
5
be 1 1
1 1 x
【解析】因为 = 2 ，得到b = ( )
e ，又 a = 1
3
÷ ，函数 y = ( ) 是减函数，2 è 2 2
5 c
所以 1 3a 1
1 1 1 1
= ÷ < b = ( )e < 1，又2 2 2 ÷
= ，得到 c = log 1 = log 3 >1
è è 3 2 3
2 ，所以 a < b < c，故选：A.
1 1 2
【例 6-4】（23-24 · 1 1高三下 河南周口·开学考试）若 a = e3 ,b = e5 ,c = ，则（ ）
5 6 3
A．b > c > a B． c > a > b
C． a > b > c D． a > c > b
【答案】B
2 1 2
【解析】由题意知 2a = e3 , 2b 1= e5 ，
5 3
ex ex x -1
令 f x = (0 < x <1) f x ，则 = 2 < 0，x x
所以 f x 在 0,1 1 2上单调递减，又0 < < <1，
3 5
1 2
1 2 e3 e5 1 2
所以 f ÷ > f ÷，即 1 >
2 1
2 ，所以 e3 > e5 ，即 2a > 2b，所以 a > b，è 3 è 5 5 3
3 5
1
又5a = e3 = 3 e,5c 5 5 125= ，又 = 3 > 3 4 > 3 e ，所以5c > 5a ，所以 c > a ，所以 c > a > b．故选：B．
3 3 27
【一隅三反】
1
1．（2023· · f x = x-2 f a - 2 + f 2a2河北邯郸 模拟预测）已知函数 x > 0 a-2 - e ，若 ，则实数 的取值范围是e
（ ）
A． 2, + 3 3 B． -2, ÷ C． - , -2 ÷ D． -2, + è è 2
【答案】B
1
【解析】因为 f x = x-2 - ex-2 x R ，令 g x
1
= f x + 2 = x - ex ， x R ，e e
则 g -x 1= - e- x 1= - - ex = -g x ，
e- x è ex ÷
所以 g x 为奇函数，则 g x 关于原点对称，所以 f x 关于 2,0 对称，
则 f x + f 4 - x = 0，
则 y = ex-2
1
在定义域R 上单调递增， y = 在 0, + 上单调递减，所以 y 1=x x-2 在定义域R 上单调递减，e
f x 1则 = x-2 - ex-2在定义域R 上单调递减，e
2 2 2
则不等式 f a - 2 + f 2a > 0，即 f 2a > - f a - 2 ，所以 f 2a > f 6 - a ，
2 2 a 3 3 则 2a < 6 - a ，解得- < < ，即实数 a的取值范围是 -2,2 2 ÷
.
è
故选：B
-0.3
2（23-24 · · 0.1 b 1 高三上 天津 期末）已知 a = 4 ， = ÷ ， c = log4 3，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
è 2
A． c < b < a B． a < c < b
C． c < a < b D．b < c < a
【答案】C
1 -0.3
【解析】 a = 40.1 = 20.2 ，b = = 20.3，因为 y = 2x ÷ 在 - ,+ 上单调递增，所以 20.3 > 20.2 > 20 =1，即
è 2
b > a >1，
又 y = log 4 x 在 0, + 上单调递增，可得0 = log 41 < log4 3 < log4 4 =1，即0 < c <1，所以 c < a < b，故选：C.
3．（2024 江苏苏州·阶段练习）若 a = 21.9 ,b = 21.5 ,c = 31.9 ，则（ ）
A． c > a > b B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
【答案】A
【解析】∵指数函数 y = 2x 在R 上单调递增，且1.9>1.5，∴ 21.9 > 21.5 ，即 a > b .
∵幂函数 y = x1.9在 0, + 上单调递增，且3 > 2，∴ 31.9 > 21.9 ，即 c > a ，∴ c > a > b .
故选：A.
1 1
4（2023·全国·模拟预测）已知 a = 4e2 ，b = 9e3 ， c = 6，则 a，b，c（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
x x
【解析】令 f (x) e (x - 2)e= ,0 < x <1，求导得 f (x) = ，
x2 x3
当0 < x <1时， f (x) < 0 ，则 f (x) 在( 0, 1)上单调递减，
f (1) f (1) 1 1 9
1
> 9
1
则 ，即 4e2 < 9e3 ，而 e > ，于是 4e
2 > 4 ( )2 = 6，所以 c < a < b .故选：D
3 2 4 4
5.（2024 上海黄浦·期末）已知函数 f x = 2022x-3 + x - 3 3 - 20223-x + 2x 2，则不等式 f x - 4 + f 2 - 2x 12的
解集为 .
【答案】 -2,4
【解析】设 g x = 2022x - 2022- x + x3 + 2x，则函数 g x 定义域为R ，
g -x = 2022- x - 2022x + -x 3 - 2x = - 2022x - 2022- x + x3因为 + 2x = -g x ，故函数 g x 为奇函数，
因为函数 y = 2022x 、 y = -2022- x 、 y = x3、 y = 2x均为R 上的增函数，故函数 g x 为R 上的增函数，
因为 f x = 2022x-3 - 20223-x + x - 3 3 + 2 x - 3 + 6 = g x - 3 + 6，
2
由 f x - 4 + f (2 - 2x) 12 2可得 g x - 4 - 3 + g 2 - 2x - 3 +12 12，
g x2可得 - 7 -g -1- 2x = g 2x +1 ，
所以， x2 - 7 2x +1，即 x2 - 2x - 8 0，解得-2 x 4 .
因此，不等式 f x2 - 4 + f 2 - 2x 12的解集为 -2,4 .
故答案为： -2,4 .
考点七 指数型函数的图像
x - x
【例 7-1】（2023 2 - 2广东惠州·阶段练习）函数 f x = 的图象大致为（ ）
2x + 2- x
A． B． C． D．
【答案】C
x - x - x x x - x
【解析】函数 f x 2 - 2= x - x 的定义域为R ，且 f x
2 - 2 2 - 2
- = - x = - = - f x ，2 + 2 2 + 2x 2x + 2- x
所以 f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 A、D；
20f 0 - 2
0
又 = 0 0 = 0，当 x > 0时 2
x > 2- x > 0，所以 2x - 2- x > 0， 2x + 2- x > 0，
2 + 2
x - x
又 2 - 2 - 2x + 2- x = -2 2- x < 0 ，所以0 < 2x - 2- x < 2x + 2- x ，所以 f x <1，故排除 B.故选：C
x+1
【例 7-2】（2024 · 1 广西柳州 期中）要使 f x = ÷ + t 的图象不经过第一象限，则 t 的取值范围是（ ）
è 2
A． -1, 1+ ù é 1 B． - , - ú C．è 2 ê
- , + ÷ D． - , -1
2
【答案】B
x+1
【解析】函数 f 1x 1= ÷ + t 的图象与 y 轴的交点坐标为 (0, + t)，且为减函数，
è 2 2
1 1
要使 f x 图象不经过第一象限，则 + t 0 ，解得 t - .
2 2
故选：B.
【一隅三反】
x
1．（2024 江西·开学考试）函数 f x = x - x 的图象大致为（ ）2 - 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 f -x -x= - x x = - f x ，且函数定义域为{x | x 0}，关于原点对称，所以 f x 为奇函数，排除2 - 2
CD．
当 x > 0时， 2x - 2- x > 0，所以 f x > 0，排除 B，经检验 A 选项符合题意.
故选：A．
3x + 3- x2.（2024 山东济南）函数 f x = 2 的图象大致为（ ）x -1
A． B． C． D．
【答案】A
x - x x - x
【解析】由函数 f x 3 + 3= 2 ， f -x
3 + 3
= 2 = f (x)，令 x
2 -1 0，解得 x ±1，
x -1 x -1
则其定义域为 x | x ±1 ，关于原点对称，
30 + 30
所以函数在定义内为偶函数，排除 C，D 选项，因为 f 0 = = -2，观察选项可知，选 A.
-1
故选：A
3．（2024 江苏常州）（多选）若函数 f (x) = a x + b （其中 a > 0且a 1）的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A． 0 < a < 1 B． a > 1
C．-1 < b < 0 D．b < -1
【答案】BD
【解析】函数 f (x) = a x + b （其中 a > 0且a 1）的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得： a >1, a0 + b < 0 ，即 a >1,b < -1，故选：BD.
考点八 指数型函数的定点
【例 8-1 x-1】（2024 安徽六安）函数 f x = 2a -1 (a > 0，且 a 1)恒过定点（ ）
A． 1, -1 B． 1,1 C． 0,1 D． 0, -1
【答案】B
f 1 = 2a0【解析】由已知得 -1 =1，由此可知函数 f x 恒过定点 1,1 ，故选：B .
【例 8-2】（2024 x-2内蒙古鄂尔多斯·）当 a > 1时， f x = a + 5的图像恒过点（ ）
A． 2,5 B． 3,5 C． 2,6 D． 3,6
【答案】C
f x = a x-2【解析】对于函数 + 5，令 x - 2 = 0，解得 x = 2，则 f 2 = a0 + 5 = 6，
所以 f x = a x-2 + 5的图像恒过点 2,6 .故选：C
【一隅三反】
1．（2024 辽宁抚顺）已知函数 f (x) = 2 + a2x-4 (a > 0且a 1）的图象恒过定点 P，则 P 点的坐标为（ ）.
A． 0,2 B． 2,3 C． 2,4 D． 4,0
【答案】B
【解析】令 2x - 4 = 0，解得 x = 2，则 f (2) = 2 + a2 2-4 = 2 + a0 = 3，即过定点 2,3 .
故选：B
2（22024 广西南宁 ）函数 f x = a2 x-1 +1(a > 0且 a 1)的图象恒过定点M ，则M 为（ ）
1
A． , 2

÷ B． 0,2 C． 0,1
1D ． ,1÷
è 2 è 2
【答案】A
【解析】对于函数 f x 1 1，令 2x 1 0 - = 0，可得 x = ，则 f
2 2 ÷
= a +1 = 2，
è
f x = a2 x-1 +1(a > 0 a 1) 1 所以，函数 且 的图象恒过定点坐标为 , 22 ÷．è
故选：A
3．（2024 x+1福建莆田）对任意 a > 0且a 1，函数 f x = a +1的图象都过定点 P ，且点 P 在角q 的终边上，则 tanq =
（ ）
1
A - B -2 C 5． ． ．- D 2 5．2 5 5
【答案】B
f x = a x+1【解析】对于函数 +1，令 x +1 = 0,\ x = -1，故 f x = a x+1 +1的图象过定点P(-1,2) ，
-2
由于点 P 在角q 的终边上，则 tanq = = -2 ，故选：B
1
考点九 指数型函数的实际应用
【例 9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公
共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率 v与时间 t （月）近似满
足关系 v = a ×bt （其中 a、b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为10% ，经过10个月，这种垃圾的分解
率为20%，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据： lg 2 0.3）
A． 20 B． 22 C． 24 D． 26
【答案】B
ì 5 1 ì 1

a ×b = 5
10 b = 2 1 1 t
【解析】由题意，可得 í 1 ，解得 í ，则 v = 2
5 ，
a ×b10
1
= a = 20
5 20
1 1 t 1
这种垃圾完全分解，即分解率为100% ，即 v = × 25 =1，所以 t2520 = 20
，
1 t log 20 t 5log 20 5lg 20
5 lg 2 +1 5 1.3
所以 = 2 ，则 = 2 = = = 22．5 lg 2 lg 2 0.3
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a 个这种病毒在 t 天后将繁殖到 aelt 个．已知
经过 4 天后病毒的数量会达到原来的 2 倍．且再过 m 天后病毒的数量将达到原来的 16 倍，则m =（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】由题可知，，所以 e4l = 2，经过m + 4天，数量变为原来的 16 倍，即 ael m+4 =16a，
则有 el m+4
4
=16 = 24 = e4l = e16l ，解得m =12，故选:C.
2．（2024 河北保定）在百端待举、日理万机中，毛泽东主席仍不忘我国的教育事业.1951 年 9 月底，毛主席在
接见安徽参加国庆的代表团时，送给代表团成员——渡江小英雄马毛姐一本精美的笔记本，并在扉页上题词：
好好学习，天天向上.这 8 个字的题词迅速在全国传播开来，影响并指导着一代代青少年青春向上，不负韶华.他
告诉我们：每天进步一点点，持之以恒，收获不止一点点.把学生现在的学习情况看作 1.每天的“进步率”为 3%，
那么经过一个学期（看作 120 1+ 3% 120天）后的学习情况为 34.711，如果每天的“迟步率”为 3%，同样经过一
120
个学期后的学习情况为 1- 3% 0.026，经过一个学期，进步者的学习情况是迟步者学习情况的 1335 倍还多，
按上述情况，若“进步"的值是“迟步”的值的 10 倍，要经过的天数大约为（保留整数）（参考数据：
lg103 2.013， lg97 1.987）（ ）
A．28 B．38 C．60 D．100
【答案】B
【解析】设要经过 n天，“进步"的值是“迟步”的值的 10 倍，
(1+ 3%)n n
=10 103 则 ，即 =10 ，
(1- 3%)n ֏ 97
则 n = log103 10
1g10
=
97 lg103 - lg97
1 1
= 38 .
2.013-1.987 0.026
故选：B.
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性
14 C ．动植物死亡后，停止了新陈代谢， 14 C 不再产生，且原来的 14 C 会自动衰变．经过 5730 年，它的残余量只
1
有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中 14 C 含量占原来的 ，推算该古物约是m 年前的遗物（参考数据：
5
lg 2 -1 3.3219 ），则实数m 的值为（ ）
A．12302 B．13304 C．23004 D．24034
【答案】B
【解析】设 14 C 每年的衰变率为 P ，古物中原 14 C 的含量为 a，
aP5730 1由半衰期，得 = a ．
2
1
所以P5730
1
= 1 5730，即
2 P = ÷
．
è 2
m
m 1 5730
由题意，知P = ，即 1 1 ．
5 ÷ =è 2 5
m log 1 log 5 1- lg 2 1于是 = 1 = 2 = = -1 2.32195730 ．2 5 lg 2 lg 2
所以m 5730 2.3219 13304．
故选：B．
一．单选题
2x
1．（2024 北京）函数 f (x) = x - x 的图象大致是（2 2 ）+
A． B． C． D．
【答案】A
-2x 2x
【解析】由题意得， f (-x) = f (x)
2- x x
= - x = - f (x) ，函数 为奇函数，+ 2 2 + 2- x
由指数的增长速度比一次函数的增长速度快，知选项 A 符合要求，
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 3x ，若 a = f log36 ,b = f log510 ,c = f
3
÷ ，则（ ）
è 2
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D．b < c < a
【答案】D
【解析】依题意， log36 =1+ log3 2 >1 log 3
3
+ 3 = ， log510 =1+ log 2
3
5 <1+ log5 5 = ，2 2
3
因此 log x
3
510 < < log36，而函数 f (x) = 3 在R 上单调递增，所以 f (log510) < f ( ) < f (log36)，即b < c < a .2 2
故选：D
3（2024 福建漳州）设函数 f (x) = 2x( x-a) 在区间 (0,2)上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． (- , 2] B．[2,0)
C．[4,+ ) D．[8, + )
【答案】C
a
【解析】设 t = x(x - a) = x2 - ax ，对称轴为 x = ，抛物线开口向上，
2
因为函数 y = 2t 是R 上的增函数，要使 f x 在区间 (0,2)单调递减，则 t = x2 - ax 在区间 (0,2)单调递减，即
a
2，即 a 4，所以实数 a的取值范围是[4,+ )．故选：C．
2
4.（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P （单位：mg/L) 与时间 t
（单位： h -kt）间的关系为P = P0e ，其中P0 ， k 是正的常数．如果在前5h 消除了10% 的污染物，则 10 小时后
还剩下百分之几的污染物？（ ）
A．5% B． 45% C．81% D．85%
【答案】C
-5k 1 ln 0.9 t
【解析】由题意知，0.9P0 = P0e ，所以 k = - ln 0.9
t
，所以
5 P = P0e
5 = P ×0.95 ，0
则 t =10 2时，P = P0 ×0.9 = 0.81P0 .故选：C.
f x x a 2 5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 = + x ÷为偶函数，则a = （1 2 ）è +
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】A
2
【解析】因为函数 f x = x a + x ÷为偶函数，所以 f x =f -x ，è 1+ 2
x
f x x 2 a 2 + a + 2 = a + x ÷ = x x ÷，è 1+ 2 è 1+ 2
x x
2 f x x a 2 2
x a 2 +1 + 2 2 a + 2 2x + a
- = - +

÷ = -x a + ÷ = -x ÷ x

= - ÷，
è 1+ 2- x 2x +1 2xè +1 ÷
x ÷
è è 2 +1
a + 2 2x + a xx x a 2 + a + 2 x x所以- x ÷÷ = x ÷，即得- a + 2 2 + a = a 2 + a + 2
è 2 +1 è 2 +1
x x x
可得 2a + 2 2 + 2a + 2 = 0, x R ， 2a + 2 2 +1 = 0, x R,2 > 0成立，
所以 a = -1 .故选：A.
6.（2024·四川）设函数 f (x) 在定义域R 上满足 f (-x) + f (x) = 0，若 f (x) 在 - ,0 上是减函数，且 f (-1) = 0，
则不等式 f ex < 0的解集为（ ）
A． (0, + ) B． (-1,0)
1
(1,+ ) C． (-1,0)

D． ,1÷
è e
【答案】A
【解析】∵ f (-x) + f (x) = 0，即 f (x) = - f (-x) ，故函数 f (x) 在定义域R 上奇函数，
若 f (x) 在 - ,0 上是减函数，则 f (x) 在 0, + 上是减函数，
∵ ex > 0，且 f 1 = - f (-1) = 0，若 f ex < 0，则 ex >1，解得 x > 0，
故不等式 f ex < 0的解集为 (0, + ) .故选：A.
1 2
-
7（2024·辽宁· a 2一模）设 = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
【答案】B
【解析】对于函数 f (x) = ex - x -1， f (x) = ex -1，令 f (x) < 0 x < 0, f (x) > 0 x > 0，
所以函数 f (x) 在 (- ,0)上单调递减，在 (0, + )上单调递增，所以 f (x)min = f (0) = 0，则 f (x) 0，即 ex x +1 .
1 11 2 2- 2 2 2 1 2
所以 b = 2 - e3 2 - ( +1) = ， c = 1- e 3 1- (- +1) = .由
3 3 3 3 e
2 < 8 3，得 e e3
2 1
-
1+ e 3 1 1 1 2= + 2 > 2 = > e32 1 ，
e3 e3 e3
2 1
所以 -1- e 3 < 2 - e3 ，即 c < b .所以 c < b < a .故选：B
8.（2024· x - x四川攀枝花）已知奇函数 f x = a + b ×a a > 0, a 1 在 -1,1 8上的最大值为 ，则a = （）
3
1
A． 或 3 B 1． 2 或 2 C．3 D．23
【答案】A
【解析】因为 f x 是奇函数，所以 f -x = - f x ，所以 f -x + f x = 0．
即 a- x + b a x x - x× + a x + b ×a- x = 0，则 b +1 a + a = 0，解得b = -1，
b = -1 f x = a x经检验 符合题意，所以 - a- x ，
1
当 a > 1时，0 < <1，
a
x
则函数 y = a x 在 -1,1 上单调递增， y = a- x = 1 ÷ 在 -1,1 上单调递减，
è a
所以 f x = a x - a- x 在 -1,1 上单调递增，
f (x) = f (1) = a - a-1
8
所以， max = ，整理得3a2 -8a - 3 = 0 ，3
1
解得 a = 3或 a = - (舍去)，所以 a = 3；
3
1
当 0 < a < 1时， >1，
a
x
y = a x -1,1 y 1= a- x = 则函数 在 上单调递减， ÷ 在 -1,1 上单调递增，
è a
所以 f x = a x - a- x 在 -1,1 上单调递减，
所以， f (x)max = f (-1)
8
= a-1 - a = ，整理得
3 3a
2 + 8a - 3 = 0，
1 1
解得 a = 或 a = -3 (舍去)，所以 a = ，
3 3
综上， a
1
= 或 3．
3
故选：A．
二．多选题
9．（2024 河北邯郸· x期中）若函数 y = a - 2b -1 a > 0且 a 0 的图象过第一、三、四象限，则（ ）
A． 0 < a < 1 B． a > 1
C．b > 0 D．b < 0
【答案】BC
【解析】由题意可知：函数大致图象如下图所示，
ìa >1 ìa >1
结合图象可知： ía0 2b 1 0，解得：
.
- - <
í
b > 0
故选：BC.
10．（2024 江苏徐州·阶段练习）函数 f (x) = 22x - 2x+1 + 2的定义域为M ，值域为[1, 2]，下列结论中一定成立的
结论的序号是（ ）
A．M (- ,1] B．M [-2,1] C．1 M D．0 M
【答案】ACD
f (x) = 22x - 2x+1 x 2【解析】由于 + 2 = (2 -1) +1 1,2 ，
\(2x -1)2 0,1 x，\2 -1 -1,1 ，\2x 0,2 ，\ x - ,1 ，
即函数 f (x) = 22x - 2x+1 + 2的定义域为 - ,1
当函数的最小值为 1 时，仅有 x = 0满足，所以0 M ，故 D 正确；
当函数的最大值为 2 时，仅有 x =1满足，所以1 M ，故 C 正确；
即当M = 0,1 时，函数的值域为 1,2 ，故M - ,1 ，故M [-2,1]不一定正确，故 A 正确，B 错误；
故选：ACD
x2 +ax-3
11．（2023·吉林）若函数 f x = 1 ÷ 的图像经过点 3，1 ， 则（ ）
è 3
A． a = -2 B． f x 在 - ，1 上单调递减
C． f x 1 的最大值为 81 D． f x 的最小值为
81
【答案】AC
1 3a+6
【解析】对于A :由题意得 f 3 = ÷ =1， 得 a = -2 ,故A 正确;
è 3
对于B :令函数u = x2 - 2x - 3 ， 则该函数在 - ,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增．
1 u
因为 y = ÷ 是减函数， 所以 f x 在 - ,1 上单调递增， 在 1, + 上单调递减， 故B错误;
è 3
对于C D :因为 f x 在 - ,1 上单调递增， 在 1, + 上单调递减,
所以 f x = f 1 = 81max , f x 无最小值．故C 正确, D 错误;
故选: AC .
三．填空题
12．（2024 云南）若函数 y = a x + b -1（ a > 0，且a 1）的图象不经过第二象限，那么 a，b 的取值范围分别
为 .
【答案】 1, + ， - ,0
【解析】①当 0 < a < 1时，函数 y = a x 为 R 上的减函数，
此时无论函数 y = a x 的图象如何平移，均经过第二象限，因而不符合题意；
②当 a > 1时，根据题意可知，函数 y = a x 的图象需要向下平移，如图所示，
设需向下平移m m > 0 x个单位长度，结合 y = a a >1 的图象知m 1，
即b -1 -1，解得b 0 .
综上所述， a > 1，b 0 .
故答案为： 1, + ， - ,0 .
2
13（2024 河南信阳·阶段练习）设函数 f x = a x -ax+1(a > 0且 a 1)在区间 0,1 单调递减，则 a的取值范围是 .
【答案】 2, +
【解析】若a >1， y = a x 在 0, + 单调递增，
要满足题意，则 y = x2 - ax +1要在 0,1 a单调递减，故 1，即 a 2；
2
若0 < a <1， y = a x 在 0, + 单调递减，
a
要满足题意，则 y = x2 - ax +1要在 0,1 单调递增，故 0，即 a 0，不满足0 < a <1，故舍去；
2
综上所述： a的取值范围是 2, + .
故答案为： 2, + .
ì 2x，x m

14 2024 m．（ 上海闵行）已知函数 y = í 2 8 的值域为 - , 2 ù m2 ，则实数 的取值范围是 ．
- x + ，x > m 3 3
【答案】 1,2
【解析】当 x m 时， y = f x = 2x 在 - , m 上单调递增，
m
所以 x m 时， y = f x 0,2 ù ；
2 2 8
当 x > m时， y = g x = - x + ，
3 3
①若m < 0，则 g x 在 m,0 上单调递增，在 0, + 上单调递减，
则 x > m时， g x g 0 8= ，即m < 0时， y = g x 8 - ,
ù
，
3 è 3ú
8
又m < 0 2m时， < 20 =1 < ，
3
ì2x，x m
8ù
此时，函数 y = í 2 8 的值域为 - ,2 ú ，不满足题意，舍去；
- x + ，x > m è 3 3 3
ì2x，x 0
8
②当m = 0时，函数 y =
ù
í 2 - ,2 8 此时值域为 ú ，不满足题意，舍去；
- x + ，x > 0 è 3 3 3
③当m > 0时， g x 在 m,+ 上单调递减，
x > m 2 2 8 2 2 8 则 时， g x < g m = - m + ，即m > 0时， y = g x - , - m +
3 3 3 3 ÷
，
è
ì 2x， x m
m
因为函数 y = í 2 2 8 的值域为 - , 2 ù，
- x + ，x > m

3 3
又 x m 时， y = f x 0,2m ù ；
2
m > 0 - m2
8 0 2 m2 8则 时， + > 且- + 2m ，
3 3 3 3
ìm > 0

不等式 í 2 8 解得：0 < m < 2，
- m
2 + > 0
3 3
ìm > 0
2 8
不等式 í 2 2 8 m 等价于m > 0
m 2
时， 2 + m - 0 ，
- m + 2 3 3 3 3
设 h m 2 8= 2m + m2 - （m > 0），
3 3
因为 y = 2x 在 0, + 上单调递增， y 2= x2 在 0, + 上是增函数，
3
所以 h m 在 0, + 上单调递增，又 h 1 = 0，
所以m > 0时， h m 0等价于 h m h 1 ，即m 1，
ìm > 0

则不等式 í 2 2 8 m 解得：m 1，
- m + 2 3 3
ì 2 8
- m
2 + > 0
m 0 > 3 3所以 时， í 的解集为 1,2
2
，
- m2 8+ 2m
3 3
综上：实数m 的取值范围是 1,2 ，
故答案为： 1,2 .
四．解答题
15．（2024 广东湛江）设函数 f (x) = a ×2x - 2- x (a R) ．
3
(1)若函数 y = f (x) 的图象关于原点对称，求函数 g(x) = f (x) + 的零点 x
2 0
；
(2)若函数 h(x) = f (x) + 4x + 2- x 在 x [0 ，1]的最大值为-2，求实数 a的值．
【答案】(1) -1 (2) -3
【解析】（1）解： Q f (x)的图象关于原点对称，\ f (x)为奇函数，\ f (-x) + f (x) = 0，
\a ×2- x - 2- x + a × 2x - 2x = 0，
即\(a -1)
3
× (2- x + 2x ) = 0 ，\a = 1．所以 f (x) = 2x - 2- x ，所以 g(x) = 2x - 2- x + 2 ，
g(x) = 2x令 - 2- x
3
+ = 0，则 2 × (2x )2 + 3 × (2x ) - 2 = 0 ，\(2x + 2) × (2 ×2x -1) = 0 ，又 2x > 0，2
\2 × 2x -1 = 0，解得 x=-1，即 x0 = -1，所以函数 g(x)的零点为 -1．
（2）解：因为 h(x) = a ×2x - 2- x + 4x + 2- x ， x 0,1 ，
令2x = t ，则 t 1,2 ， h t a= t2 + at ， t 1,2 ，对称轴 t = - ，2
a
当 - 3 ，即 a…- 3时， h t max = h 2 = 4 + 2a = -2，\a = -32 2 ；
a 3
②当- > ，即 a < -3时， h t max = h 1 = 1+ a = -2，\a = -3（舍 )；2 2
综上：实数 a的值为-3．
x
16（2024 3 +b上海虹口）已知函数 f x = Rx 是定义域为 的奇函数.3 +1
(1)求实数b 的值，并证明 f x 在R 上单调递增；
3
(2) a > 0 a 1 x x 1,3 f x + a x2 -2已知 且 ，若对于任意的 1、 2 ，都有 1 恒成立，求实数 a的取值范围.2
【答案】(1) b = -1，证明见解析
é1
(2) ê ,1÷ U 1, 2 2
x
【解析】（1）解：因为函数 f x 3 +b= 是定义域为Rx 的奇函数，3 +1
1+ b x
则 f 0 = = 0 ，解得b = -1，此时 f
2 x
3 -1 2
= x =1- ，3 +1 3x +1
对任意的 x R ，3x +1 > 0，即函数 f x 的定义域为R ，
- x 3x 3- x -1
3 -1 f x 1- 3
x
- =
3- x
= = = - f x f x
x - x x ，即函数 为奇函数，合乎题意，+1 3 3 +1 1+ 3
任取 t1 、 t2 R且 t1 < t2 ，则0<3t1 <3t2 ，
t
2 2 3 1 - 3t2
所以， f t1 - f t2 = 1- t ÷ - 1
2
- t ÷ = < 0 f t < f tè 3 1 +1 è 3 2 +1 3t t ，则 1 +1 3 2 +1 1 2 ，
所以，函数 f x 在R 上单调递增.
（2）解：由（1）可知，函数 f x 在 1,3 上为增函数，
对于任意的x1、 x2 1,3 f x
3
+ a x -2 a x 3 1，都有 2 ，则 2 -21 - f 1 = ，2 2 2
\ax2-2 2，
因为 x2 1,3 ，则 x2 - 2 -1,1 .
1
当 0 < a < 1时，则有a-1 2，解得 a <1；2
当 a > 1时，则有 a 2，此时1< a 2 .
综上所述，实数 a
é1 ,1 的取值范围是 ê ÷ U 1, 2 . 2
1 1
17．（2024·四川遂宁）已知函数 y = f (x) 定义在 R 上有 f (-x) = - f (x) 恒成立，且当 x 0 时， f x = -( )x + ( )x .
4 2
（1）求 f (-1)的值及函数 f (x) 的解析式；
（2）求函数 f (x) 的值域.
ì x x
-
1 1
1
【答案】（1） f (-1) = - ， f (x) =

í ÷
+ , x…0 é 1 1 ù
4 è 4
÷
è 2 （2） ê- , 4 4ú x x
4 - 2 , x < 0
【解析】（1）因为函数 y = f (x) 定义在 R 上有 f (-x) = - f (x) 恒成立
所以函数 f (x)
1 x 1
为奇函数，又当 x 0 时， f x = -( ) + ( )x
4 2
所以 f (-1) = - f (1)
1
= - ．
4
当 x < 0 时，则 -x > 0．所以 f (-x) = -4x + 2x ，
因为 y = f (x) 是定义在 R 上的奇函数，
所以 f (-x) = - f (x) ，即 f (x) = 4x - 2x ．
ì x x
-
1 1
+
, x…0
所以函数 y = f (x) 的解析式为 f (x) = í 4 ÷ è è 2 ÷ ．
x x
4 - 2 , x < 0
（2）令 t = 2x ，当 x < 0 时， t (0,1)，
2
x 2x 0 é
1
则当 < 时， f (x) = 4 - 2x = 2x - 2x 可写为 y = t 2 - t = t 1 1- 2 ÷ - ，所以 y ê- ,0÷．è 4 4
由 y = f (x) é是定义在 R 上的奇函数，所以当 x 0 时 y ê0,
1 ù
4ú ．
é 1 1 ù
即函数的值域为 - , ．
ê 4 4ú
x
18．（2024· 4新疆）设函数 f (x) = x - 2, x > 0．2 -1
(1)求函数 f (x) 的值域；
(2)设函数 g(x) = x2 - ax +1，若对"x1 [1,2],$x2 [1,2], f x1 = g x2 ，求正实数 a 的取值范围．
【答案】(1)函数 f (x) 的值域为[2,+ ) .
(2) a 0,
5ù
è 6 ú
4x 2x1
2
-1+1
【解析】（ ） f (x) 1= x - 2 = x - 2 = 2
x -1+ ，
2 -1 2 -1 2x -1
x > 0,2x -1 > 0，则 f (x) 2 2x 1 1 - × x = 2，当且仅当 x =1时取“=”，2 -1
所以 f (x) [2,+ )，即函数 f (x) 的值域为[2,+ ) .
（2）设 t = 2x -1 [1,3]，因为 x [1,2]所以 t [1,3]
1
，函数 y = t + 在[1,3]上单调递增，
t
则函数 f (x) 在[1, 2] é
10ù é 10ù
上单调递增， f (x) ê2, ú，设 x [1,2]3 时，函数
g(x)的值域为 A．由题意知
ê
2,
3 ú
A．函

数 g(x) a图象的对称轴为 x = > 02 ，
ìg(1) 2a 1 g(x) [1, 2] 5当 ，即0 < a 2 时，函数 在 上递增，则 í 10 ，解得0 < a ，2 g(2) 6 3
1 a当 < < 2时，即 2 < a < 4时，函数 g(x)在[1, 2]上的最大值为 g(1)， g(2) 中的较大者，而 g(1) = 2 - a < 0且
2
g(2) = 5 - 2a < 1，不合题意，
ì 10a 2
g(1)
当 > ，即 a > 4时，函数 g(x)在[1, 2]上递减，则 í 3 ，满足条件的 a不存在，2
g(2) 2
5ù
综上，a 0,
è 6
．
ú
x x
19．（2024 天津）已知函数 f x a ×8 + 2= （ ax 为常数，且 a 0， a R ）．a × 4
(1)当 a = -1时，若对任意的 x 1,2 ，都有 f 2x mf x 成立，求实数m 的取值范围；
(2)当 f x 为偶函数时，若关于 x 的方程 f 2x = mf x 有实数解，求实数m 的取值范围．
5
【答案】(1) (- , ]；
2
(2) m 1.
1
【解析】（1）当 a = -1时， f (x) = 2x - x 在[1, 2]上单调递增，2
∴当 x 1,2 x 1 3 15时， f x = 2 - x
é
ê ,
ù
，
2 2 4 ú
对任意的 x 1,2 都有 f 2x mf x 22x 1 1 x x 1成立，转化为 - 2x m 2 - x ÷恒成立，即m 2 + x 对 x 1,2 恒成2 è 2 2
立，
令 t = 2x 2,4 m 1，则 h(t) = t + 恒成立，即m h(t)
t min
，
1
由对勾函数的性质知： h t = t + 在 2,4 5上单调递增，故 h(t)
t min
= h 2 = ，
2
5
∴ m 的取值范围是 (- , ] .
2
- x 1 x 1
（2）当 f (x) 为偶函数时，对"x R 都有 f (-x) - f (x) = 0，即 2 +
è a ×2- x ÷
- 2 + a 2x ÷
= 0恒成立，即
è ×
2x 1- 1 -1 x ÷ ÷ = 0恒成立，è 2 è a
1
∴ -1 = 0，解得 a =1，则 f x = 2x 1+ ，
a 2x
此时，由 f 2x = mf x 可得： 22x 1 1+ = m x
22x
2 + x ÷ * 有实数解è 2
1 1 1 2 1
令 t = 2x + x 2 2
x × x = 2（当 x = 0时取等号），则 2
2x + 2x = 2
x + 2
2 2 2 2x ÷
- 2 = t - 2，
è
* t 2 - 2 = mt m t 2∴方程 ，即 = - 在 t 2,+ 上有实数解，而m 2= t - 在 t 2,+ 上单调递增，
t t
∴ m 1.

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