资源简介

2.5 对数运算及对数函数
考点一 对数的运算
【例 1】求下列各式的值.
1
(1) lg 25 + lg 2 - lg 0.1 - log2 9 log3 2 ． (2) lg5 × lg 20 + lg2 2 + 2
1+2log2 3
2
(3) 2 2 2lg 2 + lg 2 × lg5 + lg 2 - lg 2 +1． （4） log3 27 + lg 25 + lg 4 - 7log7 3 + log3 8 × log 34 3
1
(5) log4 9 × log
2 -3ln 2
3 8 - lg 2 × lg50 - lg 25 - lg 2 - e （6） log535 + 2log 1 2 - log5 - log 14
2 50
5 ；
1 7
【答案】(1) - (2)19 (3)1 (4)1 (5) （6）2
2 8
1 1 1 1
【解析】（1） lg 25 + lg 2 - lg 0.1 - log 9 log 2 -2 3 = lg5 + lg 2 - lg10 2 - 2log 3 log 2 =1-
- - 2 = -
2 2 3 ֏ 2 2
（2） lg5 × lg 20 + lg2 2 + 21+2log2 3 = lg5(lg 2 +1) + lg2 2 + 2log2 18 = lg5 × lg 2 + lg5 + lg2 2 +18 = lg 2(lg5 + lg 2) + lg5 +18
= lg 2 + lg5 +18 =19 .
2
（3）原式= lg 2 2lg 2 + lg5 + lg 2 - 2lg 2 +1 = lg 2 lg 2 + lg5 + lg 2 -1 = lg 2 +1- lg 2 =1 .
1 lg3 3 1
（4） log3 27 + lg 25 + lg 4 - 7
log7 3 + log 8 × log 3 3 3 lg(25 4) 3 3lg 23 4 = + - + × 3 = + 2 - 3+ =1 .
2 lg3 2lg 2 2 2
1
（5） log4 9 × log3 8 - lg 2 × lg50 lg 25 lg 2
2 e-3ln 2 = 3- lg 2 × lg5 +1 - 2lg5 - lg 2 2- - - -
8
= 3- lg 2 1 7× lg5 + lg 2 +1 - 2lg5 - = .
8 8
1 35 50 3
（6）原式= log 2535 + log550 - log514 + 2log 1 2 = log5 + log 1 2 = log 5 -1 = 2
2 14
5 ．
2
【一隅三反】
1.（2024 山东）计算化简：
5 -1(1) lg + 2lg 2 - 1 ÷ (2) log2 25 log3 4 log2 2 5
9
è
25 2 log 2 log 3
(3) log4 + log2 3 - log
1
(4) log 2 + log 3 - 3 - 20.5 ；9 5 3 2 log ．2 3 log3 2
3log3 2 + ln e2 + lg500 - lg5
1 1 lg 32 4（5） log × log 8 × log 27 . （6） - lg 8 + lg 245 ；2 25 3 1 2 49 35
lg 2 + lg5 - lg8
（7） + log 2 ； （8） lg5 lg8 + lg1000 + lg 2 3
lg50 lg 40 2 2
2
+ lg 1 + lg 0.06；
- 6
1
【答案】(1) -1 (2)8 (3) 0 (4) 2 （5 1） （6） （7）0（8）1
3 2
1 lg 5 1
-1 5 -1
【解析】（ ） + 2lg 2 - = lg + lg 22 - 2-1 ÷ = lg
5
4 ÷ - 2 = lg10 - 2 =1- 2 = -1 .2 è 2 2 è 2
2 2 2 2lg5 2lg 2 2lg3
（2） log 25 log
lg5 lg 2 lg3
2 3 4 log5 9 = × × = × × = 8lg 2 lg3 lg5 lg 2 lg3 lg5
.
25 1 log
25 1
2 log2 5 5
（3） log4 + log2 3 - log0.5 = 9 + log 3 - 5 = log2 + log2 3 - log2 5 = log2 3 5÷ = log2 1 = 0；9 5 log 4 2 log 0.5 3 è 3 2 2
log 2 log 2 log
2
4 + log
2 3 2 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 2 ln 3 ln 3
（ ） 3 2 3 - -log = + - × - ×2 3 log3 2 è ln 3 ln 2 ÷ ln 3 ln 3 ln 2 ln 2
ln 2
2
ln 3
2 2 2
= + 2 ln 2+ - ln 3 - = 2 .
è ln 3 ÷ ln 2 ÷ ln 3 ÷ ÷ è è è ln 2
2 + 2lne + lg 500 5 2 2 lg102 2 + 2 + 2lg10+ + = 6 1
（5）原式= log 5-2
= lg5 lg 2 lg3
2 × log3 2
3 × log -1 335 -2log2 5 × 3log3 2 × -3log5 3 18 × × ×
= = .
lg 2 lg3 lg5 18 3
1 5lg 2 2lg 7 4 3 lg 2 1（6）原式= - - × + 2lg 7 + lg5 5= lg 2 - lg 7 - 2 lg 2 + lg 7 1+ lg 5 1= lg 2 + lg5
2 3 2 2 2 2 2
1
= lg10 1= ；
2 2
lg 2 5
7 = 8
-1
（ ）原式 50 + log 2 2 =1-1 = 0；lg
40
（8）原式= lg5 3lg 2 + 3 + 3 lg 2 2 - lg 6 + lg 6 - 2 = 3 lg5 lg 2 + 3lg5 + 3 lg 2 2 - 2 = 3lg 2 lg5 + lg 2 + 3lg5 - 2
= 3 lg5 + lg 2 - 2 = 3- 2 = 1；
2.已知 log2 3 = a， log3 7 = b，试用 a，b 表示 log14 56 .
ab + 3
【答案】
ab +1
【解析】因为 log2 7 = log2 3 × log3 7 = ab，
log 56 log 14 log log 4 2 2 ab +3所以 14 = 14 + 214 4 =1+ =1+ =1+ =log2 14 1+ log2 7 1+ ab ab 1
.
+
考点二 对数函数概念与解析式
【例 2-1】（2024 北京）已知函数① y = 4x ；② y = log x 2；③ y =-log3 x；④ y = log0.2 x ；⑤ y = log3 x +1；
⑥ y = log2 x +1 .其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合 y =loga x（ a > 0且a 1）形式的函数才是对数函数，
其中 x 是自变量，a 是常数，
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中 y = - log3 x = log1 x，是对数函数；④中 y = log0.2 x = log3 0.04 x ，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
【例 2-2】（2024 湖北）函数 f (x) = (a2 - a +1) log(a+1) x是对数函数，则实数 a＝ .
【答案】1
【解析】由题意得 a2 - a +1 =1，解得 a = 0或 1，又 a +1 > 0且 a +1 1，所以 a =1.故答案为：1
【一隅三反】
1．（2024 广东湛江）已知对数函数过点 (2, 4)，则 f (x) 的解析式为 .
【答案】 f x = log 4 2 x
【解析】设 f (x) = loga x，结合已知有 4 = loga 2，∴ a4 = 2，又 a > 0且a 1，∴ a = 4 2 ，则 f (x) = log 4 2 x ，
故答案为： f (x) = log 4 2 x .
2．（2024 上海）已知函数 f (x) = 2m2 - m loga x + m -1是对数函数，则m = ．
【答案】1
ì2m2 - m =1
【解析】因为函数 f (x) 是对数函数，则 í ，解得m =1．故答案为：1.
m -1 = 0
3．（2024 上海静安）点P 16,2 ，Q t, log2 3 都在同一个对数函数上，则 t= .
【答案】9
【解析】设对数函数为 y =loga x，因为P 16,2 在函数上，所以 loga 16 = 2 ，解得 a = 4；
因为Q t, log2 3 也在函数上，所以 log4 t = log2 3，解得 t = 9 .故答案为：9
考点三 对数型函数的定义域
【例 3-1】（2024 高三·全国·专题练习）函数 f(x)＝ log 1 (x -1) +1 的定义域为（ ）
2
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1，3] D．[3，＋∞)
【答案】C
【解析】依题意 log (x－1)＋1≥0，即 log (x－1)≥－1，∴ 解得 1【例 3-2】（2024 河南）函数 f x = log 2x-1 x - 3x + 2 的定义域为（ ）
A．{x∣x >1且 x 2} B．{x∣1< x < 2} C．{x∣x > 2} D． x∣x 1
【答案】C
ìx -1 > 0

【解析】由题得 íx -1 1 ，解得 x > 2，即函数 f x 的定义域为{x∣x > 2}.故选：C
x2 - 3x + 2 > 0
【一隅三反】
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 f x lg1+ 2x= 的定义域是 .
x
【答案】 (- ,
1
- ) U (0,+ )
2
1+ 2x 1+ 2x 1
【解析】函数 f x = lg 有意义，则 > 0 x(2x +1) > 0，解得 x < - 或 x > 0，
x x 2
f x lg1+ 2x= ( , 1所以函数 的定义域是 - - ) U (0,+ ) .
x 2
故答案为： (- ,
1
- ) U (0,+ )
2
2．（2024 x安徽安庆·开学考试）若函数 f 2 -1 的定义域为 -1,1 ，则函数 f log2x -1 的定义域为
【答案】 é 2, 4ù
1 1
【解析】当 x -1,1 时 2x é ù x é ùê , 2 ，所以 2 -1 - ,1 ， 2 ú ê 2 ú
所以 log2x -1
1
éê- ,1
ù 1
ú ，即- log2x -1 1
1
，则 log2x 2， 2 2 2
即 log2 2 log2x log2 4，解得 2 x 4 ，
所以函数 f log x -1 的定义域为 é 2, 4ù2 .
故答案为： é 2, 4ù
3．（23-24 高三下·上海·阶段练习）函数 f (x) = lg(4x - 2x - 2) 的定义域为 ．
【答案】 (1, + )．
【解析】由题意 4x - 2x - 2 > 0，即 (2x - 2)(2x +1) > 0，∴ 2x > 2， x >1，∴定义域为 (1, + )．
故答案为： (1, + )．
4．（2024· 2全国·专题练习）若函数 y = log2 ax + 2x +1 的定义域为R ，则 a的范围为 .
【答案】 1, +
y = log ax2【解析】由于函数 2 + 2x +1 2的定义域是 x ax + 2x +1 > 0 ，
2
故条件即为 x ax + 2x +1 > 0 = R ，这等价于 ax2 + 2x +1 > 0对任意实数 x 成立.
若 ax2 + 2x +1 > 0对任意实数 x 成立，取 x=-1知 a - 2 +1 > 0，即 a > 1；
2
若 a > 1，则对任意实数 x 都有 ax2 + 2x 1 a 1 1 1 a -1+ = x + ÷ +1- 1- = > 0，
è a a a a
故 ax2 + 2x +1 > 0对任意实数 x 成立.
综上， a的取值范围是 1, + .
故答案为： 1, + .
考点四 对数型函数的值域
é1 ù
【例 4-1】（1）（2024·陕西·一模）已知函数 f (x) 4 - x= 的定义域为 A，函数 g(x) = log2 x, x ê , 4ú的值域为x 2
B，则 A B
（2）（2024 上海）函数 f x = lg -x2 + 4x 的值域是 ．
（3）（2024 2安徽宣城）已知实数 x 满足不等式 2 log2 x - 5log2 x + 2 0 ，则函数 f x = log
x
2 × log
x
最大值
2 2 4
是 ．
3
【答案】（1） (0, 2] （2） - , 2 lg 2 （3）
4
4 - x
【解析】（1） f (x) 4 - x= ，则 0,\ x(x - 4) 0且 x 0，
x x
可得 A = {x∣0 < x 4}, g(x)的值域B = {x∣-1 x 2},\ AI B = {x∣0 < x 2}．故选： (0, 2]
（2）由题意得-x2 + 4x > 0，即 0 < x < 4，所以 f x 的定义域为 0,4 ，
因为 t = -x2 + 4x对称轴为 x = 2，且开口向下，且 y = lg x 在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知： f x 在 0,2 上单调递增，在 2,4 上单调递减，
当 x 0 （或 x 4）时， f x - ，当 x = 2时， f 2 = 2lg 2，所以 f x - , 2 lg 2 ，故答案为：
- , 2 lg 2 ．
1
（3）由 2 log 22 x - 5log2 x + 2 0 ，解得 log2 2 x 2 ，
x x 2 1 3f x = log2 × log2 = log x 1 log x 2
3 1
2 - 2 - =

2 4
log2 x - ÷ - ，当 log2 x = 时， f x 取得最大值 .
è 2 4 2 4
3
故答案为： .
4
2
【例 4-2】（1）（2024·贵州黔东南·二模）若函数 f x = log 2 x - ax + a (a > 0)的值域为R .则 f a 的取值范围
是（ ）
A． - , 4 B． - , 4 C． 4, + D． 4, +
ì x
, x <1,
（2）（2024 云南·阶段练习）已知函数 f (x) = í x -1 的值域为R ，则实数 a的取值范围是（ ）
log2 x + a, x 1
A． (- ,0) B． - ,1 C． (0, + ) D． 1, +
【答案】（1）C （2）B
【解析】（1）依题意可得 x2 - ax + a要取遍所有正数，则需要求Δ = a2 - 4a 0 ，因为 a > 0，解得 a 4；
故 f a = log 2a log 2 4 = log 2 ( 2)
4 = 4 .故选：C
1
（2）当 x <1时， f (x) =1+ <1，
x -1
ì x
，x <1，
当 x 1时， f (x) = log x a log 1 a a

2 + ≥ 2 + = ，因为函数 f (x) = í x -1 的值域为R ，所以 a 1，
log2 x + a，x 1
即实数 a的取值范围是 - ,1 .故选：B．
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）下列各函数中，值域为 (0, + )的是（ ）
1
A． y = log2 (x
2 -1) B． y = 1- 2x C． y = 2-2x+1 D． y = 3x
【答案】C
【解析】对于 A， x2 -1 > 0 2，显然 x2 -1取尽正实数，因此 y = log2 (x -1)的值域是R ，A 不是；
对于 B， 2x > 0，则0 1- 2x <1，即0 1- 2x <1，函数 y = 1- 2x 的值域为[0,1)，B 不是；
对于 C，-2x +1的值域为 R，因此 y = 2-2x+1的值域为 (0, + )，C 是；
1 1 1 1
对于 D，由于 0，则3x > 0且3x 1，即函数 y = 3x 的值域为 (0,1) (1,+ )，D 不是.x
故选：C
2
2．（2024 广西南宁·阶段练习）已知函数 f x = log 1 -x + 2x + 7 ，则 f x 的值域是 .
2
【答案】 -3, +
【解析】令 t = -x2 + 2x + 7, t > 0，则 y = log 1t t = - x2，则 - 2x +1 + 8 = -(x -1)2 + 8 8，可得0 < t 8，
2
已知 y = log 1t 单调递减，所以 y log 1 8 = -3，则 f x 的值域为 -3, + .故答案为： -3, + .
2 2
2
3．（2024 上海青浦·期末）函数 y = 2 + log2 x
x
× log2 的值域为 .64
é 25- , + 【答案】 ê 2 ÷
x2
【解析】由题意函数的定义域为 0, + ，而 y = 2 + log2 x × log2 = 2 + log x × 2log x - 6 ，64 2
2
不妨设 t = log x R ，所以 y = 2 + t 2t - 6 = 2t 2 - 2t -12 = 2 1 25 252 t - ÷ - - ，
è 2 2 2
2 é 25
所以函数 y = 2 + log2 x × log
x
2 的值域为64 ê
- ,+ ÷ .
2
é 25- ,+ 故答案为： ê ÷ . 2
ì x
1
-
4 2024· · f x = í4
2 , x 0
．（ 全国 模拟预测）函数 的值域为 ．
log2 x + 2 , x > 0
1 ù
【答案】 0, U 1, +
è 2 ú
x 1 1- -
【解析】当 x 0 时，0 < f (x) = 4 2 4 2 1= ，当 x > 0时， f (x) = log2 (x + 2) >1，
2
1 1
所以 f (x)

的值域为 0,
ù
ú U 1, +

． 故答案为： 0,
ù
ú U 1, + .è 2 è 2
2
5．（2024 广东茂名·期中）函数 y = é lg 2x +1 ù - 4lg 2x +1 + 6的值域是 .
【答案】 2, +
x 2 2
【解析】令 t = lg 2 +1 ，则 f t = t - 4t + 6 = (t - 2) + 2 ，
x x
因为 2 +1 1,+ ，则 t = lg 2 +1 0, + ，且 f t 的对称轴为 t = 2 0,+ ，
2
可知 f (t)min = f 2 = 2，所以 y = é lg 2x +1 ù - 4lg 2x +1 + 6的值域是 2, + .故答案为： 2, + .
6．（2024 江苏南京·期末）已知函数 f x = log a x
a
+ - 4 ÷ 在 (0, + )上的值域为R ，则实数 a的取值范围是 。
è x
【答案】 0,1 1,4
【解析】设 g x = x a+ - 4，因为 f x = log x a+ - 4 a ÷ 的值域为R ，所以 g x 0，x è x min
又 a > 0, a 1， x (0,+ ) a，所以 x + - 4 2 x a× - 4 = 2 a - 4 ，
x x
即 g x = 2 a - 4 0 ，解得：0 < a 4 且a 1，所以实数 a的取值范围是 0,1 1,4min .
7．（2024 湖南株洲·期末）若函数 f x = log2 3- ax 在 -1,3 上的最大值为 2，则实数a = ．
1
【答案】-
3
【解析】令 y = 3- ax，因为 a = 0时， f x = log2 3，所以 a 0；
ì3 - 3a > 0若 a > 0，则 y = 3- ax在 -1,3 上为减函数，所以 í 3 a 4 ，此时 a 无解； + =
ì 3 + a > 0
若 a < 0．则 y = 3- ax -1,3 1在 上为增函数，所以 í3 3a 4 ，此时 a = - - = 3
a 1 1故 = - ．故答案为：-
3 3
8．（2024 山东菏泽）已知函数 f x = log2 ax2 - ax + 4 ．若 f x 的值域是R ，则实数 a的取值范围
是 ．
【答案】 16, +
【解析】因为函数 f x 的值域是R ，则 0, + 为二次函数u = ax2 - ax + 4值域的子集．
当 a = 0时，内层函数为u = 4，不合题意；
ìa > 0
当 a 0时，则有 í ，解得 a 16Δ ． = a
2 -16a 0
综上所述，实数 a的取值范围是 16, + ．
故答案为： 16, +
考点五 对数型函数的单调性
2
【例 5-1】（2024 河北沧州）函数 y = log 1 -x + 4x + 5 的单调递增区间是 ．
2
【答案】 (2,5)
y = log -x2【解析】函数 1 + 4x + 5 ，由-x2 + 4x + 5 > 0，解得-1 < x < 5，
2
所以函数 y = log 1 -x2 + 4x + 5 的定义域为 (-1,5)，
2
设函数 t = -x2 + 4x + 5，则函数的图象是开口向下且以 x = 2为对称轴的抛物线，
所以函数在 (-1,2)上单调递增，在 (2,5) 上单调递减，函数 y = log 1 t 在定义域内单调递减，
2
由复合函数的单调性可知 y = log 1 -x2 + 4x + 5 的单调递增区间为 (2,5) （写成[2,5)也正确）．
2
故答案为： (2,5)
【例 5-2】（2024 浙江丽水）若函数 f x = log3 x2 - ax + 3a 在区间[1, + ) 上单调递增，则实数 a的取值范围
是 ．
1
【答案】 (- , 2]
2
a
【解析】令u = g(x) = x2 - ax + 3a ，对称轴为 x = ，
2
∵函数 f x 在区间[1, + ) 上单调递增， y = log3 u在 (0, + )上单调递增，
∴ g(x)在[1, + ) 上单调递增，且 g(x) > 0 ，
a
∴ 1且 g(1) > 0
1
，即 a 2且1- a + 3a > 0 ，解得- < a 2，
2 2
1
即实数 a的取值范围为 (- , 2] .
2
1
故答案为： (- , 2] .
2
ì 5m - 3 x - 2m2 +1, x <1
【例 5-3】（2024 广西）已知 f x = í 是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 .
logm x, x 1
é1 3
【答案】 ê , U 2,+ 2 5 ÷
ì5m - 3 > 0,

【解析】若 f x 在R 上单调递增，则 ím >1, 解得m 2 .

5m - 3 - 2m
2 +1 logm1,
ì5m - 3 < 0,
f x 0 < m <1, 1 m 3若 在R 上单调递减，则 í 解得 < .
2 5
5m - 3 - 2m
2 +1 logm1,
故m é
1 3 é1 3
的取值范围是 ê , ÷ U 2,+ .故答案为： , ÷ U 2,+ 2 5 ê2 5
【一隅三反】
f x = log -2x21．（2024 湖北）函数 1 + 3x + 2 的单调递减区间为 ．
5
1 3
【答案】 - ,
è 2 4 ÷
2
【解析】由题意知函数 f x = log1 -2x + 3x + 2 ，
5
令u = -2x2 + 3x + 2 2，则u = -2x + 3x + 2 > 0,
1
\- < x < 2，
2
则 f x = log1 -2x2 + 3x + 2 即由 y = log1u,u = -2x2 + 3x + 2复合而成，
5 5
由于 y = log1u
2
在 (0,+ )上单调递减，故要求函数 f x = log1 -2x + 3x + 2 的单调递减区间，
5 5
即求u = -2x2 + 3x + 2, (
1
- < x < 2) 的单调递增区间，
2
3 1 1 3
而u = -2x2 + 3x + 2的对称轴为 x = ，则u = -2x2 + 3x + 2, (- < x < 2)

的单调递增区间为 - , ，4 2 è 2 4 ÷
2 1 3 1 3
则函数 f x = log1 -2x + 3x + 2 的单调递减区间为 - , ÷，故答案为： - ,
5 è 2 4 ÷ è 2 4
2．（2024 山西大同）函数 f x = lg 4 - x 的单调递增区间为（ ）
A． -4,0 B． - ,0 C． 0,4 D． 0, +
【答案】A
【解析】对于函数 f x = lg 4 - x ，令 4 - x > 0，即 x < 4 ，解得-4 < x < 4，
所以函数的定义域为 -4,4 ，
ì4 - x, x 0
又 y = 4 - x = í ，所以 y = 4 - x 在 0, + 上单调递减，在 - ,0 4 x, x 0 上单调递增， + <
函数 y = lg x 在定义域 0, + 上单调递增，
所以 f x = lg 4 - x 的单调递增区间为 -4,0 ，单调递减区间为 0,4 .
故选：A
3．（2024 湖北）若函数 f x = log 1 -x2 + 6x - 5 在区间 3m - 2, m + 2 内单调递增，则实数 m 的取值范围为
2
（ ）
é5 , 5 5+ é ,3ù é , 2ù é5 ,2 A． ê ÷ B． C． D． 3 ê3 ú ê3 ú ê3 ÷
【答案】D
【解析】由已知得-x2 + 6x - 5 > 0 ，解之得 x 1,5 ，即 f x 的定义域为 1,5 ，
又 f x 在区间 3m - 2, m + 2 内单调递增，根据复合函数的单调性，
ì3m - 2 3 5
可得： í ，解得 m < 23m 2 m 2 5 ．故选：
D
- < + 3
4．（2024·重庆·模拟预测）若函数 f x = ln x2 - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
【答案】B
2
【解析】因为函数 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，
ì -2a
- 1
所以 í 2 ，解得-1 < a 1.故选：B.
1- 2a + 3a > 0
5．（2024 河南信阳·阶段练习）已知 f
ì 5a -1 x + 2a，x 1x = í (a > 0, a 1) 是减函数，则 a的取值范围是（log x x 1 ） a ， >
0, 1 ù 0, 1 1 ,1 é1 , 1 A． ú B． ÷ C． ÷ D．è 7 ÷ è 5 è 7 ê7 5
【答案】D
ì 5a -1 x + 2a, x 1【解析】因函数 f x = í a > 0, a 1 是定义在R 上的减函数，
loga x, x >1
ì5a -1< 0
1 1 1
则有 í0 < a <1 ，解得 a
1
< é ，所以 a的取值范围是 ê , ÷ .故选：D
7 5 7 5
(5a -1) + 2a loga 1

考点六 对数型函数单调性的应用
6-1 2024 · f x = lg x -1 + 2x + 2- x【例 】（ 江西 阶段练习）已知函数 ，则满足不等式 f x +1 < f 2x 的 x 的取
值范围为（ ）
A． -2, -1 B 1． 1,2 C． - , - 3 1,+ D． - , -2 U 1, +
【答案】D
【解析】由 x -1 > 0，得 f x 的定义域为 - , -1 1,+ ，
f -x = lg x -1 + 2- x又 + 2x = f x ，故 f x 为偶函数，
而当 x >1时，易知 y = lg x -1 = lg x -1 单调递增，
而对于 y = 2x + 2- x ， y = 2x + 2- x = 2x + 2- x ln 2 > 0在 1, + 上恒成立，
所以 y = 2x + 2- x 在 1, + 上也单调递增，
故 f x 在 1, + 上单调递增，
ì x +1 < 2x
则由 f x +1 < f 2x ，得 í x 1 1 ，解得 x >1或 x < -2 . + >
故选：D.
【例 6-2】（1）（2024·天津南开·一模）已知 a = 2-1.1 ，b = log
1
1 ，c = log3 2
3，则（ ）
4
A． a＜b＜c B． c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
（2）（2024·安徽阜阳·一模）设a = log23,b = log812,c = lg15，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < b < a
（3）（2024·河北邯郸·三模）已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数， f (x + 2) = f (x) ，且 f (x) 在[-1,0]上单调递减，
若a = f log3 45 b f log 8 c f
4
， = -

5 ， = ÷ ，则（ ）
è 3
A． a < b < c B． a < c < b
C． c【答案】（1）A （2）D（3）B
-1.1 -1 1 1 1 1 1
【解析】（1）由指数函数与对数函数的性质可得， a = 2 < 2 = ， = log 1 < b = log 1 < log =12 2 4 2 4 3
1 ，
4 4
c = log2 3 > log2 2 =1，所以 a < b < c，故选：A.
2 a = log23 = log
3
2 2 ÷ = 1+ log
3
2 = 1
1
+
（ ） è 2 2 log 3 2 ，
2
b = log 3 3 1812 = log8 8 ÷ = 1+ log = 1+
è 2 8 2 log 3 8 ，
2
c = lg15 = log 10 10
3 3 1 ÷ = 1+ log10 = 1+
è 2 2 log 10 ，3
2
Q0 < log 3 2 < log 3 8 < log 310,\a > b > c .
2 2 2
故选：D．
（3）因为 f (x) 是偶函数， f (x + 2) = f (x) ， f (x) 在[-1,0]上单调递减，
所以 f (x) 在[1, 2]上单调递减． a = f log3 45 = f 2 + log3 5 = f log3 5 ，b = f - log5 8 = f log5 8 ，
3 4 4因为5 =125 > 34 = 81，83 = 512 < 54 = 625，所以5 > 33 ，8 < 53 ，
4
所以1< log5 8 < < log3 3
5 < 2，
所以 f log5 8 > f
4
÷ > f log3 5 3 ，故 a < c < b．è
故选：B.
【一隅三反】
ìlog2x,0 < x 2,1．（2024 山西·阶段练习）已知函数 f x = í2x 若 f a +1 - f 2a -1 0 ，则实数
a的取值范围是
- 3, x > 2,
（ ）
A． - , 2 B． 2, + C． 2,6 1 ùD． , 2
è 2 ú
【答案】D
【解析】画出 f (x) 的图象如图所示，由图可知 f (x) 在 (0, + )上单调递增，
又 f (a +1) f (2a -1)
1
，所以 a +1 2a -1 > 0，解得 < a 2 .
2
故选：D.
2．（2024 江苏连云港·阶段练习）已知 a = log5 2，b = log
1
8 3， c = ，则下列判断正确的是（2 ）
A． a < c < b B． c【答案】A
【解析】 a = log
1
5 2 < log5 5 = = log8 2 2 < log8 3 = b ，即 a < c < b .故选：A2
1
3（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = ln | x |，设 a = f (-3)，b = f ( )， c = f (2)，则（ ）
4
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D．b > a > c
【答案】A
【解析】函数 f (x) = ln | x |的定义域为{x R | x 0}， f (-x) = ln | -x |= ln | x |= f (x)，
f (x) f (x) ln x 0 1函数 是偶函数，当 x > 0时， = 是增函数，而 < < 2 < 3，
4
1
所以 f ( ) < f (2) < f (3) = f (-3)，即 a > c > b .
4
故选：A
x
4．（2024 河北邢台·开学考试）已知函数 f x = ln f x2，则 + f x < 0的解集是 ．
2 - x
【答案】 0,1
ì x
> 0x2 x 2 - x ì x x - 2 < 0f x2【解析】 + f x < 0则 ln 2 + ln < 0，由 í 2 可得 í 2 2 ，解得 x 0, 2 .2 - x 2 - x x x x - 2 < 0
2 - x2
3 3
又 ln
x
< 0 x 3 2
2 x2 2 x ，即
<1
2 ，故 x < 2 - x 2 - x2 x 2 x ，化简可得 x
2 + x - 2 < 0，解得 x -2,1 .- - - -
综上可得 x 0,1 .故答案为： 0,1
考点七 与对数函数有关的图像
【例 7-1】（2024 江苏）当 a > 1时，在同一平面直角坐标系中，函数 y = a- x 与 y =loga x的图象是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
x
【解析】当 a > 1时，函数 y = a- x = 1 ÷ 与 y =loga x分别在各自的定义域内单调递减、单调递增，
è a
x
1
故可排除 BCD，且函数 y = a- x = a ÷
与 y =loga x图象分别过定点 0,1 , 1,0 ，经检验，A 符合题意.
è
故选：A.
x2 + 2 x
【例 7-2】（2024 辽宁·期末）函数 f x = ln x2 1 的部分图象大致为（+ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对 A、D： f x 的定义域为 - ,0 0, + ，关于原点对称，因为
(-x)
2 + 2 -x x2 + 2 x
f -x = = = f x f x
ln é 2 2 ，所以 为偶函数，故 A、D 错误；对 B、C：当 x > 0时，因为 (-x) +1ù ln x +1
x2 + 2 x > 0 ln x2， +1 > ln1 = 0，所以 f x > 0，故 B 错误，故 C 正确.故选：C.
1
【例 7-3】（2023 吉林长春）已知函数 y = loga (x + a + ) 的图像经过二、三、四象限，则实数 a的范围为 .2
1
【答案】 ( , 1)
2
1
【解析】函数 y = loga (x + a + ) 的图像经过二、三、四象限，，2
1
可得函数单调递减，所以 0 < a < 1，且 x = 0时， loga (a + ) < 0
1 1
，解得 a > ，综上： < a <1
1
.故答案为： ( , 1) .
2 2 2 2
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）在同一平面直角坐标系中，函数 y = a x ， y = loga x - a （ a > 0且a 1）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 a > 1时， y = a x 与 y = loga x - a a > 0 单调递增，A，B 均不符合题意；
当 0 < a < 1时， y = a x 与 y = loga x - a 单调递减，
对于 y = loga x - a ，当 x =1时 y < 0 ，C 不正确.故选：D.
2．（2024 x - x 2陕西汉中）函数 y = 2 + 2 × lnx 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 f x = 2x + 2- x × ln x2 ， f x 的定义域为 x | x 0 ，
f -x = 2- x + 2x × ln x2 = f x ，所以 f x 是偶函数，图象关于 y 轴对称，所以 D 选项错误.
f 1 = 0，所以 C 选项错误当 x >1时， f x > 0，所以 A 选项错误.故选：B
3．（2024 山东潍坊）已知指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x 的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
【答案】B
【解析】由图象可得，指数函数 y = a x 为减函数，对数函数 y = logb x 为增函数，
所以0 < a <1,b >1，即0 < a < 1 < b .故选：B
考点八 对数型函数的定点
【例 8】（2024 山西临汾·阶段练习）已知函数 y = loga x -1 + 2x(a > 0且 a 1)恒过定点A ，则点A 的坐标
为 .
【答案】 2,4
【解析】令 x -1 = 1得 x = 2，此时 y = 4 ，即函数 y = loga x -1 + 2x(a > 0且 a 1)恒过定点 A 2,4 .
故答案为： 2,4
【一隅三反】
1．（2024 河南南阳）函数 y = loga x -1 + 8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数 f x 的图象上，则 f x = .
【答案】 x3
【解析】因为 y = loga x -1 + 8的图象恒过定点A ，
令 x -1 = 1，则 x = 2， y = loga1+ 8 = 8，则 A 2,8 ，
f x = xa f 2 = 2a设 ，则 = 8，得a = 3，故 f (x) = x3 ，
故答案为： x3 .
2．（2024 贵州安顺·期末）已知函数 f x = loga 2x -1 - 2图象恒过定点 P ，在直角坐标系 xOy 中，角q 以原点
为顶点，以 x 轴的非负半轴为始边，角q 的终边也过点 P ，则sinq 的值是 .
2 5 2
【答案】- / - 5
5 5
-2 2 5
【解析】当 2x -1 =1时 x =1，故P 1, -2 ，则 sinq = = - . 2 52 2 5 故答案为：-1 + -2 5
3．（2024 江苏南京）函数 y = loga (x + 2) - 3（ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx + ny +1 = 0上，
n 1
其中mn > 0，则 + 的最小值为 .
m n
【答案】5
【解析】对于函数 y = loga (x + 2) - 3，令 x + 2 = 1，可得 x = -1, y = -3，可知 A -1, -3 ，
若点 A -1, -3 在直线mx + ny +1 = 0上，则-m - 3n +1 = 0，即m + 3n = 1，
n 1 n m + 3n n m 3 n m则 + = + = + + ，且mn > 0，则 , > 0 ，
m n m n m n m n
n 1 n m 3 2 n m
n m 1
可得 + = + + × + 3 = 5，当且仅当 = ，即m = n = 时，等号成立，
m n m n m n m n 4
n 1
所以 + 的最小值为 5.故答案为：5.
m n
考点九 反函数
【例 9-1】（2024 北京海淀·阶段练习）函数 f x = log2 x - 4 -1 -1的反函数为 y = f x ，则 f 3 = .
【答案】12
【解析】由 y = log2 x - 4 x 4 -1 x -1可得 - = 2y ，所以 y = f x = 4 + 2 ， f 3 = 4 + 23 =12，故答案为：12
【例 9-2】（2024 辽宁·期末）函数 y = a x-1 +1（ a > 1且 a 0）的反函数过定点 ．
【答案】 2,1
【解析】对于函数 y = a x-1 +1（ a > 1且 a 0），令 x -1 = 0，即 x =1，所以 y = a0 +1 = 2，
即函数 y = a x-1 +1（ a > 1且 a 0）恒过点 1,2 ，所以函数 y = a x-1 +1（ a > 1且 a 0）的反函数恒过点 2,1 .
故答案为： 2,1
【一隅三反】
1．（2023 -1湖北）设 0 < a < 1，函数 f x = loga x + log 1 2 - x ，则 f x <1的 x 的取值范围是（ ）
a
A． 0,2 B． 2, + C． 0, + D． loga 2 - a , +
【答案】C
x 2
【解析】 f x = loga x + log

1 2 - x = loga x - loga 2 - x = loga = log -1 ，
a 2 - x
a
è 2 - x ÷
ìx > 0
由 í 得：0 < x < 2，\ f x 的定义域为 0,2 ；
2 - x > 0
Qt 2= -1在 0,2 上单调递增， y = loga t 0 < a <1 在 0, + 上单调递减，2 - x
\ f x 在 0,2 上单调递减，且值域为R ，
\ f -1 x 在R 上单调递减，
Q f 1 = 0，\ f -1 0 =1 f -1 x <1 f -1，则由 得： x < f -1 0 ，\ x > 0 .
故选：C.
2 1
x

．（2024 云南昆明·）若 f (x) = 的反函数为 f -1(x) f -1(a) f -1(b) 4
1 1
÷ ，且 + = - ，则 + 的最小值为 .
è 2 a b
1
【答案】
2
【解析】因为 y = a x 和 y =loga x（ a > 0，a 1）互为反函数，
x
f (x) = 1 若 ，则 f
-1(x) = log 1 x ，
è 2 ÷ 2
又因为 f -1(a) + f -1(b) = -4，所以 log 1 a + log 1 b = log 1 (ab) = -4 ，所以 ab =16 ，且 a > 0，b > 0，
2 2 2
1 1 a + b a + b 2 ab 1 1 1 1
又 + = = = ，当且仅当 a = b = 4时等号成立，所以 + 的最小值为 .
a b ab 16 16 2 a b 2
1
故答案为： 2 .
3．（2024 陕西西安 ）已知 x1, x2 分别是方程 2x + x -8 = 0与 log2x + x -8 = 0的根，则 x1 + x2 的值为 .
【答案】8
【解析】易知 x1, x2 分别是函数 y = 2x 与 y = 8 - x 及函数 y = log2x 与 y = 8 - x 交点 A, B的横坐标，
易知函数 y = 2x 与函数 y = log2x 互为反函数，即其图象关于 y = x 对称，
且 y = 8 - x 也关于 y = x 对称，
即函数 y = 2x 与 y = 8 - x 及函数 y = log2x 与 y = 8 - x 交点 A, B关于 y = x 对称，
又易得 y = x 与 y = 8 - x 交点为C 4,4 ，所以 A, B的中点为C 4,4 ，
故 x1 + x2 = 2 4 = 8 .
故答案为：8 .
考点十 对数函数实际应用
【例 10】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以 1 开头的数出现的频率较高，
以 1 开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量 b 进制随机数据中，以 n 开头的数出现的概率
P n log n +1为 b = b ，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验n
k ln 6 - ln 2
某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 P10 n = （ln 2 k N
*， k > 4），则 k 的值为（ ）
n=4 + ln 5
A．11 B．15 C．19 D．21
【答案】A
k 5 6 7
【解析】 P10 n = lg + lg + lg + ... lg k +1 ln 6 - ln 2+ = ，
n=4 4 5 6 k ln 2 + ln 5
lg k +1 ln 3 k +1即 = = lg3，则 = 3，得 k =11.
4 ln10 4
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·陕西·模拟预测）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加
大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府 2021 年全年投入资金 120 万元，在此基础上，每年投入
的资金比上一年增长12% ，则该政府全年投入的资金翻一番（2021 年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：
lg1.12 0.05, lg2 0.30）
A．2025 年 B．2026 年 C．2027 年 D．2028 年
【答案】C
lg 2 0.3
【解析】设再过 n年，该政府全年投入的资金翻一番，则120 (1+12%)n = 2 120，即 n = log1.12 2 = = 6lg1.12 0.05 ，
所以该政府全年投入的资金翻一番的年份是 2021+ 6 = 2027年.故选：C.
2．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各
项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方
向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年 Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间 t 和放电
电流 I 之间关系的经验公式：C = I lt ，其中l 为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电池容量不
变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h；当放电电流为 25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的
Peukert 常数l 约为（参考数据： lg 2 0.301， lg3 0.477 ）（ ）
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
【答案】D
【解析】由题意知C = 7.5l 60 = 25l 15，
25
l l
10 60 l lg10所以 ÷ = ÷ = = 4，两边取以 10 为底的对数，得 = 2lg 2，
è 7.5 è 3 15 3
l 2lg 2 2 0.301所以 = 1.151- lg3 1- 0.477 ，
故选：D.
3．（2024 山西大同·期末）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要
抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在 2h 后达到最大值 80mg/L，随后按照确定
的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为 2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓
度下降到 8mg/L，经过的时间约为（参考数据： lg 2 0.3）（ ）
A．8h B．9h C．10h D．11h
【答案】C
n
80mg/L 8mg/L nh 1 2.4【解析】设血浆中的药物浓度从最大值 下降到 需要经过 ，则 8 1 ÷ = = ，
è 2 80 10
n 1
所以 = log = log 10 n = 2.4 log 10 2.4
1
= 8
2.4 1 10 2 ，则 2 lg 2 ，2
故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到 8mg/L 需要 8+2=10（h）.
故选：C.
一．单选题
1．（2024 广东湛江）函数 f x = loga 4x - 3 （ a > 0且a 1）的图象所过的定点为（　　）
A． 1,0 3B． ,0

÷ C． 1,1
3
D． ,1

÷
è 4 è 4
【答案】A
【解析】因为函数 f x = loga 4x - 3 （ a > 0且a 1），令 4x - 3 =1，解得 x =1，则 f 1 = loga 1 = 0，
所以 f x 的图象所过的定点为 1,0 .故选：A.
2．（2024 广东江门）若函数 y = f (x) 是函数 y = a x （ a > 0，且a 1）的反函数，且满足 f (2) =1，则 f (x) =
（ ）
log x 1A． 2 B． x C． log0.5 x D．2 2
x
【答案】A
【解析】函数 y = a x （ a > 0且a 1）的反函数为 y =loga x，即 f x = loga x，又 f 2 =1，所以 loga 2 =1，所
以 a = 2，则 f x = log2 x .选：A
3．（2024 2河南郑州·阶段练习）已知函数 f (x) = log2 (x - ax + 6) 在 1,2 上单调递减，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A． 4,5 B． 4,5 C． - , 4 D． - , 4 U 5, +
【答案】A
【解析】令 t = x2 - ax + 6，则 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) ，即由 y = log2 t 和 t = x2 - ax + 6复合而成，
而 y = log2 t 在 (0,+ )上单调递增，
2
故要使得函数 f (x) = log2 (x - ax + 6) 在 1,2 上单调递减，
需满足 t = x2 - ax + 6 > 0在 1,2 上恒成立，且 t = x2 - ax + 6在 1,2 上单调递减，
ìa
2
即得 í 2 ，解得 4 a 5，即 a 4,5 ，
4 - 2a + 6 0
故选：A
ì
ax2
1
- x - , x 1
4．（2024 浙江杭州）已知函数 f (x) = í 4 是R 上的减函数，则实数 a的取值范围为（ ）
loga x -1, x >1
é1 , 1 é1 ,1ù 0, 1 ù é1 1 ùA． ê ÷ B． ê C D , 4 2 2 ú
．
è 2 ú
．
ê4 2ú
【答案】D
ì
0 < a <1
ì
ax2 - x
1
- , x 1 1 1 1
【解析】因为函数 f (x) = í 4 是R 上的减函数，所以 ía -1- -1，解得 a ，即实数 a的取
log x -1, x >1
4 4 2
a 1
1 2a
é1 , 1 ù值范围为 ê ú .故选：D 4 2
5．（2024 四川成都·）若 a = 20.1 ，b = log9 4， c = log5 2，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c < b < a
【答案】D
【解析】因为 a = 20.1 > 20 =1，b = log9 4 = log 2
2
2 = log 23 3 ，
又0 = log3 1< log3 2 < log3 3 =1，即0 < b <1，
0 = log5 1 < log5 2 < log5 5 =1，即0 < c <1，
1 1 1
= = = log2 3
1 1 1
= = = log2 5
又 b log 2 log2 2 ， c log 2 log 23 5 2 ，
log2 3 log2 5
又 log 5 > log 3 > log 2 =1
1 1
2 2 2 ，即 > >1，所以b > c，c b
所以 a > b > c .
故选：D
6．（2024 x河南新乡）若函数 f x = log3a (a > 0且 a 1)在 -1,2 上的值域为 m, 2 ，则m 的值为（ ）
A．-4或 -1 B．0 或-2 C．-2或 -1 D．-4或-2
【答案】A
m
【解析】因为函数 y = log3x在 0, + 上单调递增，所以函数 y = a x 在 -1,2 上的值域为 é 3 ,9 ù ，
1
当 0 < a < 1时， y = a x 在 -1,2 m上单调递减，则 a-1 = 9，解得 a = ，则3 = a2 1= ，得m = -4，9 81
当 a > 1时， y = a x 在 -1,2 上单调递增，则 a2 = 9，解得 a = 3或-3（舍去），
m 1
则3 = a-1 = ，得m = -1，综上，m = -4或 -1 .故选：A.
3
1
7．（2024·陕西西安·一模）已知函数 f x 为偶函数，满足 f x + 2 = - f x ，且-2 x 0时，
x
3 f x = x ÷÷ - 2 ，若关于 的方程 f x - loga x +1 = 0至少有两解，则 a的取值范围为（ ）．
è 3
1 ,3 1ùA． ÷ B． 0, ú 3, +

C． 0,
1ù U 3, é1+ ,3ùD．
è 3 è 3 è 5ú ê5 ú
【答案】C
1 1
【解析】由已知 f x + 2 = - f x ，则
f x = -
f x 2 ，则 f x + 2 = f x - 2- ，
可知函数 f x 为周期函数，最小正周期T = 4，
x
3
又当-2 x 0时， f x = 3 ÷÷ - 2，è
可知函数 f x 的图象如图所示，且 f x 的值域为 -1,1 ，
关于 x 的方程 f x - loga x +1 = 0至少有两解，
可得函数 y = f x 与函数 y = loga x +1 的图象至少有两个交点，
如图所示，
1 1 1ù
可知当 0 < a < 1时， loga 4 +1 -1 = loga ，解得 a ，即 a 0, ，a 5 è 5ú
当 a > 1时， loga 2 +1 1 = loga a ，解得 a 3，即 a 3,+ ，

综上所述 a 0,
1ù
ú 3,+ ，è 5
故选：C.
2
8．（2023· 2河南信阳·三模）已知函数 f x = log2 x + x +1 +1- x ，则对任意实数 a,b,a + b > 0是2 +1
f a + f b > 0 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
【答案】A
2 2
【解析】由于 y = x + x +1, y =1- x 在 R 上单调递增，2 +1
且 f x = log2 x + x2 2+1 +1- x 的定义域为 R，则 f x 在 R 上单调递增，2 +1
x
又 f -x = log2 x2 +1 - x 1 2 log 1 2 2+ - 2- x = 2 +1-+1 x2 +1 + x 2x +1
= -log x22 +1 + x -1 2+ x = - f x ，即 f x 为奇函数，2 +1
对任意实数 a,b,a + b > 0，即 a > -b ，可得 f (a) > f (-b) = - f (b),\ f (a) + f (b) > 0 ；
反之， f a + f b > 0 时，可得 f a > - f b = f (-b) ，则 a > -b ，即 a + b > 0，
故对任意实数 a,b,a + b > 0是 f a + f b > 0 的充分必要条件，
故选：A
二．多选题
ì
2
x + a, x < 2
9．（2024 河南南阳）已知函数 f x = í ，若 f x 存在最小值，则实数 a 的可能取值为（ ）
log2x, x 2
A． -1 B．0 C．1 D．2
【答案】CD
ì2x + a, x < 2
【解析】函数函数 f (x) = í ，
log2x, x 2
当 x < 2时， f (x) = 2x + a的范围是 (a, 4 + a)；
x 2时， f (x) = log2 x ， f (x)min =1，
由题意 f (x) 存在最小值，a 1，
故选：CD．
10．（2024 广东揭阳·期末）下列结论正确的有（ ）
x2 +10
A．函数 y = 的最小值为 2
x2 + 9
B．函数 f x = loga 2x -1 +1(a > 0且 a 1)的图像恒过定点 1,1
C． f x = log2 x2 - mx +1 的定义域为R ，则m - ,-2 U 2,+
D f x = log x2． 2 - mx +1 的值域为R ，则m - ,-2 U 2,+
【答案】BD
2
y x +10 x
2 + 9 +1 2
【解析】对于 A 中，函数 = = = x + 9
1
+ 2，
x2 + 9 x2 + 9 x2 + 9
当且仅当 x
2 + 9 1=
2 ，此时 x2 + 9 =1，此式无解，x + 9
2
y x +10所以函数 = 的最小值不为 2，所以 A 错误；
x2 + 9
对于 B 中，令 2x -1 =1，即 x =1，则 f 1 = loga1+1 =1，
则函数 f x = loga 2x -1 +1(a > 0且 a 1)的图像恒过定点 1,1 ，所以 B 正确；
对于 C 中，若 f x = log2 x2 - mx +1 的定义域为R ，则 x2 - mx +1 > 0在R 上恒成立，
所以Δ = (-m)2 - 4 < 0，解得-2 < m < 2，所以 C 错误；
对于 D 中，若 f x = log2 x2 - mx +1 的值域为R ，则 x2 - mx +1 0在R 上有解，
所以Δ = (-m)2 - 4 0，解得m -2或m 2，所以 D 正确.
故选：BD.
ì log4 x, x < a
11．（2024 江苏盐城·阶段练习）已知函数 f x = í 2 ，若 f x 的值域为
R ，则 a的取值可以是（ ）
x - 3 , x a
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
2
【解析】在同一坐标系中画出函数 y = log4 x 及 y = x - 3 的图象，
结合图象，当 a > 4时，
有 x < a时， f x - , log4 a ，
2
当 x a时， f x éê a - 3 ,+ ，
其中 log4 a < a - 3
2
，
故 f x - , log a é a - 3 2的值域为R 为 4 ê ,+ ，不符合题意，故舍去；
当 a = 3时，易得 x 0, a 时， f x - , log4 3 ，
当 x éa,+ 时， f x é 0, + ，
此时 log4 3 > 0，故 f x 的值域为R ，符合要求；
当 a = 4时，易得 x 0, a 时， f x - ,1 ，
当 x é a,+ 时， f x é1,+ ，故 f x 的值域为R ，符合要求；
综上所述， a的取值可以是 3、4，不能是 5 或 6.
故选：AB.
三．填空题
12（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数： f x = .
① f x 的图象在 y 轴的右侧；
②若 x > 0, y > 0，则 f x + f y = f xy + 2；
③当 x > 0时， f x > 0（ f x 为函数 f x 的导函数）.
【答案】 log2x + 2（答案不唯一）
【解析】结合①③不妨设 f x = loga x + k a >1 ，其定义域为 0, + ，
其图象在 y 轴的右侧，且 f x 1= > 0 ，所以满足条件①③；
x ln a
若 x > 0, y > 0，则 f x + f y = loga x + k + loga y + k = loga xy + 2k = f xy + k ，
令 f xy + k = f xy + 2，则 k = 2，
所以 f x = loga x + 2 a >1 ，令 a = 2，可得 f x = log2x + 2 （答案不唯一）.
故答案为： log2x + 2（答案不唯一）
ìx +1, x 0
13．（2024·湖北·一模）已知函数 f x = í ，则关于 x 的不等式 f xln x 1 , x 0 ≤1+ > 的解集为 ．
【答案】 - , e -1
【解析】当 x 0 时， f x = x +1 1得 x 0 ，\ x 0
当 x > 0时， f x = ln x +1 1，得-1 < x e -1，所以0 < x e -1，
综上： f x ≤1的解集为 - , e -1 ，
故答案为： - , e -1 .
x 2 1
14．（2024 e -1广东·期末）已知函数 f x = x ，若对任意的正数 a、b，满足 f a + f 2b - 2 = 0，则 + 的最e +1 a b
小值为： ．
【答案】4
x
【解析】对任意的 x R ， ex +1 > 0，所以，函数 f x e -1= x 的定义域为R ，e +1
e- x 1 ex e- x -1f - 1- e
x
因为 -x = f (x)- x = = = - f xx - x x ，即函数 为奇函数，e +1 e e +1 1+ e
exf x +1- 2 2又因为 = x =1- ，且函数 y = e
x +1在R 上为增函数，
e +1 ex +1
x
f x e -1所以，函数 = x 在R 上为增函数，e +1
对任意的正数 a,b，满足 f (a) + f (2b - 2) = 0，则 f (a) = - f (2b - 2) = f (2 - 2b) ，
所以， a = 2 - 2b，即 a + 2b = 2，
2 1 1
所以， + = a + 2b 2 1 1 a 4b 1 a 4b + ÷ = 4 + + ÷ 4 + 2 × ÷÷ = 4，a b 2 è a b 2 è b a 2 è b a
ìa 4b
= a =1
b a ì
当且仅当 ía + 2b = 2
2 1
时，即当 í 1 时，等号成立，故 + 的最小值为 4.
b = a b
a > 0,b > 0 2

故答案为：4.
四．解答题
15．（2023·
2
湖南岳阳·模拟预测）已知函数 f x = - log x + mlog x + 2 (2 x 16)，且函数 f (x)2 4 的图象经过点
4,6 .
(1)求实数m 的值；
(2)求函数 f x 的最小值和最大值.
【答案】(1)8
(2)函数 f x 的最小值为 2，最大值为 6
【解析】（1）由题意，将点 4,6 代入函数 f (x) 的解析式，
得：- log2 4
2 + mlog4 4 + 2 = 6 ，即-4 + m + 2 = 6，解得m = 8 .
ln x ln x 1 ln x 1
（2）由换底公式得： log4x = = = = log x ，ln 4 2ln 2 2 ln 2 2 2
2
所以函数 f x = - log2x + 4log2x + 2 = - log2x - 2
2 + 6，
令 t = log2x，因为 2 x 16，所以1 t 4 .
设 h t = -(t - 2)2 + 6, t 1,4 ，
显然函数 h t 在区间 1,2 上单调递增，在区间 2, 4 上单调递减，
所以 h(t)max = h 2 = 6,h(t)min = h 4 = 2，
即函数 f x 的最小值为 2，最大值为 6.
16．（2024·北京·模拟预测）5G 技术的价值和意义在自动驾驶 物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是
P
香农公式：C = Wlog2 1+ ÷，其中：C （单位： bit / s）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，W (N 单位；è
P
Hz）是信道的带宽，P 单位：dB）是平均信号功率， N （单位：dB）是平均噪声功率， 叫做信噪比.
N
P
(1)根据香农公式，如果不改变带宽W ，那么将信噪比 从 1023 提升到多少时，信道容量C 能提升10%
N
P P
(2)已知信号功率P = P1 + P2，证明：Wlog2 1+ ÷ = Wlog 12 1+ ÷ +Wlog 1
P
+ 2
N N 2 N + P ÷
；
è è è 1
(3)现有 3 个并行的信道 X1, X 2 , X 3 ，它们的信号功率分别为P1, P2 , P3 P1 < P2 < P3 ，这 3 个信道上已经有一些相同
的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道
容量？（只需写出结论）
【答案】(1)2047
(2)证明见解析
(3)把那一小份分配到信道 X1上能获得最大的信道容量
P
【解析】（1）当 =1023时，C = Wlog21024 =10W，N
Wlog 令 2 1
P
+ ÷ =10W 1+10% ，
è N
得Wlog

2 1
P
+ ÷ =11W ，
è N
P 11
解得： = 2 -1 = 2047，
N
所以若不改变带宽W ，将信噪比从 1023 提升到 2047 时，信道容量C 能提升10% .
（2）证明：

右边= W log
P1 P2
2 1+ N ÷
+W log2 1+ ÷
è è N + P1

= W log 1 P1 1 P+ + 2

2 ÷
è N è N + P
÷
1

= W log 1 P1 P2 P P2 + + + 1 × 2
è N N + P1 N N + P
÷
1
P1 N + P + P N + PP = W log 1 2 1 22 1+ N N + P ÷÷è 1
P + N P + P P + P
= W log 1+ 1 1 2 2 ÷÷ = W log2 1
1 2 +
N N + P ÷è 1 è N
= W log 1 P+ 2 ÷ =左边，
è N
所以，原式成立；
（3）分配到信道 X1上能获得最大的信道容量.
理由：由（2）可知当P = P1 + P2时，Wlog

2 1
P
+ ÷ < Wlog
1 P+ 1 2 +Wlog
1 P+ 2 ，
è N è N ÷ 2 è N ÷
随着 P 的增大C 也会增大，但增加的速度会越来越慢，
所以把那一小份分配到信道 X1上能获得最大的信道容量.
17．（2023·浙江·模拟预测）已知函数 f x = log2 é 3m 6 x
1
- + 2m - 5ù , g x = log

2 + m

x ÷
,m R .
è
(1)若 f 1 = 2 ，求 m 的值：
(2)若方程 g x - f x = 0恰有一个实根，求 m 的取值范围：
1
(3)设m > 0，若对任意 t [ , 2]，当 x1, x2 t,t +1 时，满足 g x1 - g x2 1，求 m 的取值范围.2
【答案】(1)3
(2)1< m 3
2
(3) éê ,+

÷
3
【解析】（1） f 1 = 2 log2 5m -11 = log2 4 5m -11 = 4 m = 3
ì
3m 6 x
1
- + 2m - 5 = + m①
（2）方程 g x - f x = 0 xí1 + m > 0②
x
由①可得 3m - 6 x2 + m - 5 x -1 = 0 3x +1 é m - 2 x -1 ù = 0
1 1
当m = 2 时，方程有唯一解 x = - ，代入此时 + m = -3 + 2 = -1 < 0 ，∴不满足②
3 x
1 1 1
当m = -1时，方程有两相等解 x = = - ，此时 + m = -3 -1 = -4 < 0 ，∴不满足②.
m - 2 3 x
1 1
当m -1且m 2时，方程有两不等解 x1 = - ，x2 = ，3 m - 2
x 1若 2 = 满足m - 2 + m = 2m - 2 > 0 m >1 m - 2
1 1
若 x1 = - 满足 + m = -3 + m > 0 m > 3 3 x3
1 ìm >1
则若 x = 是唯一解，则有 í 1< m 3m - 2 m 3
1 ìm > 3
若 x = - 是唯一解，则有 í m 3 m 1
综上，当1 < m 3时方程恰有一个实根.
（3）当 x1, x2 t, t +1 时， g x1 - g x2 1恒成立，则有 g x max - g x min 1 ,
1
由已知m > 0 ，由复合函数的单调性知 g x = log2 + m÷在 0, + 上单调递减，
è x
所以 g t - g t +1 1 1 1 log 2 + m

÷ - log2 + m÷ 1 = log 2
1 2
2 + m + 2m
è t è t +1 t t +1
∴ mt 2 + m +1 t -1 0对"t é1 ùê ,2 恒成立 2 ú
1
令 h(t) = mt 2 + (m +1)t -1.Qm > 0 ，∴ h t 在 t [ , 2]上单调递增，
2
h t h 1 2∴ = = 3m - 2 0 m min 2 ÷ è 3
∴实数m é
2
的取值范围是 ê ,+ 3 ÷ .
x
18．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时， f x 1+ 2= log2 3- 2x ．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若关于 x 的方程 f x = k 在R 上有解，求实数 k 的取值范围．
ì
log 1+ 2
x
2 x , x < 0
(1) f x = 3- 2【答案】 í
3 2x
log
-1
2 1+ 2x
, x 0
(2) -log23, log23
【解析】（1）当 x > 0时，-x < 0，
f x log 1+ 2
- x 1+ 2x
则 - = 2 3- 2- x
= log2 x ，3 2 -1
因为函数 f x 是定义在R 上的奇函数，
所以 f -x = - f x ，
x x
故 f x = - log 1+ 2 3 2 -12 = log ，3 2x -1 2 1+ 2x
当 x = 0时， f 0 = 0，符合上式，
ì 1+ 2x
log2 , x < 0
f x f x = 3- 2
x
综上，所以 的解析式为 í
3 2x
.

log
-1
2 x , x 0 1+ 2
x
（2）当 x < 0 时， f x = log 1+ 2 4 2 3- 2x = log2 -1+è 3- 2x ÷
，

1 4
因为 x < 0 ，所以-1 < -2x < 0 ，所以 < -1+ <1，
3 3- 2x
所以-log23 < f x < 0，
由对称性可知，当 x > 0时，0 < f x < log23，
当 x = 0时， f 0 = 0，
综上，-log23 < f x < log23，
所以实数 k 的取值范围是 -log23, log23 ．
19 x．（2024 安徽合肥）已知函数 f (x) = log2 2 +1 + ax 是偶函数.
(1)求 a的值;
(2)设 g(x) = f (x) + x ， h(x) = x2 - 2x + m，若对任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得 g x1 h x2 ，求m 的
取值范围.
1
【答案】(1) a = -
2
(2) (- , 2]
【解析】（1）因为 f (x) = log2 2x +1 + ax 是偶函数，
所以 f (-x) = f (x)，
即 log2 2- x +1 - ax = log2 2x +1 + ax，
log2 2x +1 - log2 2- x +1 + 2ax = 0 ，
log2 2x +1 - log 1 2 x +12 ÷ + 2ax = 0，è
log 2x 1 log 1+ 2
x
2 + - 2 x ÷ + 2ax = 0，
è 2
2x +1
log2 + 2ax = 0 1+ 2x ，
2x ֏
log 2x2 + 2ax = 0，
x + 2ax = 0，
1+ 2a x = 0，
1
所以1+ 2a = 0 ，即 a = - .
2
1
（2） g(x) = log x2 2 +1 + x ，2
因为对任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得 g x1 h x2 ，
所以 g x 在 0,4 上的最小值不小于 h x 在 0,5 上的最小值，
因为 g(x) = log2 2x +1 1+ x 在 0,4 上单调递增，2
所以 g x = g 0 =1min ，
因为 h(x) = x2 - 2x + m = x -1 2 + m -1，
所以 h x 在 0,1 上单调递减，在 1,5 上单调递增，
所以 h x = h 1 = m -1min ，
所以1 m -1，解得m 2，
所以m 的取值范围为 (- , 2] .2.5 对数运算及对数函数
考点一 对数的运算
【例 1】求下列各式的值.
1
(1) lg 25 + lg 2 - lg 0.1 - log 9 log 2 ． (2) lg5 × lg 20 + lg2 2 + 21+2log2 3
2 2 3
2 2
(3) 2 lg 2 + lg 2 × lg5 + lg 2 - lg 2 +1． （4） log3 27 + lg 25 + lg 4 - 7log7 3 + log3 8 × log 34 3
(5) log 9 × log 8 - lg 2 × lg50 - lg 25 - lg 2 2 - e-3ln 2 （6） log535 + 2log 1 2 - log
1
5 - log 144 3
2 50
5 ；
【一隅三反】
1.（2024 山东）计算化简：
(1) lg 5 2lg 2 1
-1
+ - ÷ (2) log2 25 log3 4 log2 2 5
9
è
2 log 2 log 3
(3) log
25 log 3 log 14 + 2 - 0.5 ； (4) log 2 + log 3 - 3 - 29 5 3 2 log2 3 log 2
．
3
3log3 2 + ln e2 + lg500 - lg5
1 32 4
（5） log 1 × log 8 × log 27 . （6） lg - lg 8 + lg 245 ；2 25 3 1 2 49 35
lg 2 + lg5 - lg8 2 2 1
（7） + log 2 ； （8） lg5 lg8 + lg1000 + lg 2 3 + lg + lg 0.06；lg50 - lg 40 2 6
考点二 对数函数概念与解析式
【例 2-1】（2024 北京）已知函数① y = 4x ；② y = log x 2；③ y =-log3 x；④ y = log0.2 x ；⑤ y = log3 x +1；
⑥ y = log2 x +1 .其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
2
【例 2-2】（2024 湖北）函数 f (x) = (a - a +1) log(a+1) x是对数函数，则实数 a＝ .
【一隅三反】
1．（2024 广东湛江）已知对数函数过点 (2, 4)，则 f (x) 的解析式为 .
2．（2024 2上海）已知函数 f (x) = 2m - m loga x + m -1是对数函数，则m = ．
3．（2024 上海静安）点P 16,2 ，Q t, log2 3 都在同一个对数函数上，则 t= .
考点三 对数型函数的定义域
【例 3-1】（2024 高三·全国·专题练习）函数 f(x)＝ log 1 (x -1) +1 的定义域为（ ）
2
A．(－∞，3] B．(1，＋∞) C．(1，3] D．[3，＋∞)
【例 3-2】（2024 河南）函数 f x = log x-1 x2 - 3x + 2 的定义域为（ ）
A．{x∣x >1且 x 2} B．{x∣1< x < 2} C．{x∣x > 2} D． x∣x 1
【一隅三反】
1+ 2x
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 f x = lg 的定义域是 .
x
2．（2024 安徽安庆· x开学考试）若函数 f 2 -1 的定义域为 -1,1 ，则函数 f log2x -1 的定义域为
3．（23-24 高三下·上海·阶段练习）函数 f (x) = lg(4x - 2x - 2) 的定义域为 ．
4 2．（2024·全国·专题练习）若函数 y = log2 ax + 2x +1 的定义域为R ，则 a的范围为 .
考点四 对数型函数的值域
é1 ù
【例 4-1】（1）（2024·陕西·一模）已知函数 f (x) 4 - x= 的定义域为 A，函数 g(x) = log2 x, x ê , 4ú的值域为x 2
B，则 A B
（2）（2024 上海）函数 f x = lg -x2 + 4x 的值域是 ．
x x
（3）（2024 安徽宣城）已知实数 x 2满足不等式 2 log2 x - 5log2 x + 2 0 ，则函数 f x = log2 × log2 最大值2 4
是 ．
【例 4-2】（1）（2024· 2贵州黔东南·二模）若函数 f x = log 2 x - ax + a (a > 0)的值域为R .则 f a 的取值范围
是（ ）
A． - , 4 B． - , 4 C． 4, + D． 4, +
ì x
, x <1,
（2）（2024 云南·阶段练习）已知函数 f (x) = í x -1 的值域为R ，则实数 a的取值范围是（ ）
log2 x + a, x 1
A． (- ,0) B． - ,1 C． (0, + ) D． 1, +
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）下列各函数中，值域为 (0, + )的是（ ）
1
A． y = log2 (x
2 -1) B． y = 1- 2x C． y = 2-2x+1 D． y = 3x
2
2．（2024 广西南宁·阶段练习）已知函数 f x = log 1 -x + 2x + 7 ，则 f x 的值域是 .
2
2
3 x．（2024 上海青浦·期末）函数 y = 2 + log2 x × log2 的值域为 .64
ì x 1-
4．（2024·全国·模拟预测）函数 f x =
2
í4 , x 0 的值域为 ．
log2 x + 2 , x > 0
2
5．（2024 广东茂名·期中）函数 y = é lg 2x +1 ù - 4lg 2x +1 + 6的值域是 .
6．（2024 江苏南京·期末）已知函数 f x log x a= a + - 4

÷ 在 (0, + )上的值域为R ，则实数 a的取值范围是 。
è x
7．（2024 湖南株洲·期末）若函数 f x = log2 3- ax 在 -1,3 上的最大值为 2，则实数a = ．
8．（2024 2山东菏泽）已知函数 f x = log2 ax - ax + 4 ．若 f x 的值域是R ，则实数 a的取值范围
是 ．
考点五 对数型函数的单调性
2
【例 5-1】（2024 河北沧州）函数 y = log 1 -x + 4x + 5 的单调递增区间是 ．
2
【例 5-2】（2024 浙江丽水）若函数 f x = log3 x2 - ax + 3a 在区间[1, + ) 上单调递增，则实数 a的取值范围
是 ．
ì 5m - 3 x - 2m2 +1, x <1
【例 5-3】（2024 广西）已知 f x = í 是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 .
logm x, x 1
【一隅三反】
1．（2024 湖北）函数 f x = log1 -2x2 + 3x + 2 的单调递减区间为 ．
5
2．（2024 山西大同）函数 f x = lg 4 - x 的单调递增区间为（ ）
A． -4,0 B． - ,0 C． 0,4 D． 0, +
2
3．（2024 湖北）若函数 f x = log 1 -x + 6x - 5 在区间 3m - 2, m + 2 内单调递增，则实数 m 的取值范围为
2
（ ）
é5 ,+ é5 ,3ù é5A． ê ÷ B． ê ú C． ê , 2
ù é5
D． , 2

3 3 3 ú ê3 ÷
4．（2024· 2重庆·模拟预测）若函数 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
ì 5a -1 x + 2a，x 1
5．（2024 河南信阳·阶段练习）已知 f x = í (a > 0, a 1) 是减函数，则 a的取值范围是（ ）
log
a x，x >1
0, 1 ù 0, 1 1 ,1 é1 , 1 A． ú B．7 5 ÷
C． 7 ÷
D． ÷
è è è ê7 5
考点六 对数型函数单调性的应用
【例 6-1】（2024 x - x江西·阶段练习）已知函数 f x = lg x -1 + 2 + 2 ，则满足不等式 f x +1 < f 2x 的 x 的取
值范围为（ ）
A． -2, -1 B． 1,2 C． - , - 13 1,+ D． - , -2 U 1, +
1
【例 6-2】（1）（2024·天津南开·一模）已知 a = 2-1.1 ，b = log 1 ，c = log 33 2 ，则（ ）4
A． a＜b＜c B． c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
（2）（2024·安徽阜阳·一模）设a = log23,b = log812,c = lg15，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < b < a
（3）（2024·河北邯郸·三模）已知 f (x) 是定义在R 上的偶函数， f (x + 2) = f (x) ，且 f (x) 在[-1,0]上单调递减，
a 4= f log 45 b = f - log 8 c = f 若 3 ， 5 ， ÷ ，则（ ）
è 3
A． a < b < c B． a < c < b
C． c【一隅三反】
ìlog x,0 < x 2,
1．（2024 2山西·阶段练习）已知函数 f x = í 若 f a +1 - f 2a -1 0 a
2x 3, x 2,
，则实数 的取值范围是
- >
（ ）
1- , 2 2, + 2,6 , 2ùA． B． C． D．
è 2 ú
2．（2024 江苏连云港·阶段练习）已知 a = log5 2，b = log
1
8 3， c = ，则下列判断正确的是（2 ）
A． a < c < b B． c1
3（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) = ln | x |，设 a = f (-3)，b = f ( )， c = f (2)，则（ ）
4
A． a > c > b B． a > b > c C． c > a > b D．b > a > c
x
4．（2024 2河北邢台·开学考试）已知函数 f x = ln ，则 f x + f x < 0的解集是 ．
2 - x
考点七 与对数函数有关的图像
【例 7-1】（2024 江苏）当 a > 1时，在同一平面直角坐标系中，函数 y = a- x 与 y =loga x的图象是（ ）．
A． B． C． D．
x2 + 2 x
【例 7-2】（2024 辽宁·期末）函数 f x = ln x2 1 的部分图象大致为（ ）+
A． B． C． D．
1
【例 7-3】（2023 吉林长春）已知函数 y = loga (x + a + ) 的图像经过二、三、四象限，则实数 a的范围为 .2
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）在同一平面直角坐标系中，函数 y = a x ， y = loga x - a （ a > 0且a 1）的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 x - x陕西汉中）函数 y = 2 + 2 × lnx2 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024 山东潍坊）已知指数函数 y = a x ，对数函数 y = logb x 的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
考点八 对数型函数的定点
【例 8】（2024 山西临汾·阶段练习）已知函数 y = loga x -1 + 2x(a > 0且 a 1)恒过定点A ，则点A 的坐标
为 .
【一隅三反】
1．（2024 河南南阳）函数 y = loga x -1 + 8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数 f x 的图象上，则 f x = .
2．（2024 贵州安顺·期末）已知函数 f x = loga 2x -1 - 2图象恒过定点 P ，在直角坐标系 xOy 中，角q 以原点
为顶点，以 x 轴的非负半轴为始边，角q 的终边也过点 P ，则sinq 的值是 .
3．（2024 江苏南京）函数 y = loga (x + 2) - 3（ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx + ny +1 = 0上，
n 1
其中mn > 0，则 + 的最小值为 .
m n
考点九 反函数
【例 9-1】（2024 北京海淀·阶段练习）函数 f x = log2 x - 4 -1的反函数为 y = f x f -1，则 3 = .
【例 9-2】（2024 辽宁·期末）函数 y = a x-1 +1（ a > 1且 a 0）的反函数过定点 ．
【一隅三反】
1．（2023 湖北）设 0 < a < 1，函数 f x = loga x + log 1 2 - x ，则 f -1 x <1的 x 的取值范围是（ ）
a
A． 0,2 B． 2, + C． 0, + D． loga 2 - a , +
x 1 1
2．（2024 1 云南昆明·）若 f (x) = ÷ 的反函数为 f
-1(x)，且 f -1(a) + f -1(b) = -4，则 + 的最小值为 .
è 2 a b
3．（2024 陕西西安 ）已知 x1, x2 分别是方程 2x + x -8 = 0与 log2x + x -8 = 0的根，则 x1 + x2 的值为 .
考点十 对数函数实际应用
【例 10】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以 1 开头的数出现的频率较高，
以 1 开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量 b 进制随机数据中，以 n 开头的数出现的概率
为Pb n
n +1
= logb ，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验n
k ln 6 - ln 2
某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 P10 n = （ k N*， k > 4），则 k 的值为（ ）
n=4 ln 2
+ ln 5
A．11 B．15 C．19 D．21
【一隅三反】
1．（2024·陕西·模拟预测）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加
大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府 2021 年全年投入资金 120 万元，在此基础上，每年投入
的资金比上一年增长12% ，则该政府全年投入的资金翻一番（2021 年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：
lg1.12 0.05, lg2 0.30）
A．2025 年 B．2026 年 C．2027 年 D．2028 年
2．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各
项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方
向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年 Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间 t 和放电
电流 I 之间关系的经验公式：C = I lt ，其中l 为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电池容量不
变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h；当放电电流为 25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的
Peukert 常数l 约为（参考数据： lg 2 0.301， lg3 0.477 ）（ ）
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
3．（2024 山西大同·期末）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要
抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在 2h 后达到最大值 80mg/L，随后按照确定
的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为 2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓
度下降到 8mg/L，经过的时间约为（参考数据： lg 2 0.3）（ ）
A．8h B．9h C．10h D．11h
一．单选题
1．（2024 广东湛江）函数 f x = loga 4x - 3 （ a > 0且a 1）的图象所过的定点为（　　）
3 3
A． 1,0 B． ,0÷ C． 1,1 D． ,1÷
è 4 è 4
2．（2024 广东江门）若函数 y = f (x) 是函数 y = a x （ a > 0，且a 1）的反函数，且满足 f (2) =1，则 f (x) =
（ ）
A． log2 x
1
B． x C． log x2 0.5
x D． 2
3 2．（2024 河南郑州·阶段练习）已知函数 f (x) = log2 (x - ax + 6) 在 1,2 上单调递减，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A． 4,5 B． 4,5 C． - , 4 D． - , 4 U 5, +
ì 1
ax2 - x - , x 1
4．（2024 浙江杭州）已知函数 f (x) = í 4 是R 上的减函数，则实数 a的取值范围为（ ）
loga x -1, x >1
é1 , 1 é1 ù 1 ù é1 1 ùA． ê ÷ B． ,1 4 2 ê 2 ú
C． 0, ú D． ê ,è 2 4 2 ú
5．（2024 四川成都·）若 a = 20.1 ，b = log9 4， c = log5 2，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c < b < a
6．（2024 河南新乡）若函数 f x = log3a x (a > 0且 a 1)在 -1,2 上的值域为 m, 2 ，则m 的值为（ ）
A．-4或 -1 B．0 或-2 C．-2或 -1 D．-4或-2
1
7．（2024·陕西西安·一模）已知函数 f x 为偶函数，满足 f x + 2 = - f x ，且-2 x 0时，
x

f x 3= ÷÷ - 2 ，若关于 x 的方程 f x - loga x +1 = 0至少有两解，则 a的取值范围为（ ）．
è 3
1 ,3 0, 1ùA． ÷ B． 3, +
1ù
C． 0, U 3, + é
1 ù
D． ,3
è 3 è 3ú è 5ú ê 5 ú
2
8 2．（2023·河南信阳·三模）已知函数 f x = log2 x + x +1 +1- x ，则对任意实数 a,b,a + b > 0是2 +1
f a + f b > 0 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
二．多选题
ì2x + a, x < 2
9．（2024 河南南阳）已知函数 f x = í ，若 f x 存在最小值，则实数 a 的可能取值为（ ）
log2x, x 2
A． -1 B．0 C．1 D．2
10．（2024 广东揭阳·期末）下列结论正确的有（ ）
x2 +10
A．函数 y = 的最小值为 2
x2 + 9
B．函数 f x = loga 2x -1 +1(a > 0且 a 1)的图像恒过定点 1,1
C． f x = log x22 - mx +1 的定义域为R ，则m - ,-2 U 2,+
D f x = log x2． 2 - mx +1 的值域为R ，则m - ,-2 U 2,+
ìlog x, x < a
11．（2024 江苏盐城·阶段练习）已知函数 f 4x = í 2 ，若 f x 的值域为
R ，则 a的取值可以是（ ）
x - 3 , x a
A．3 B．4 C．5 D．6
三．填空题
12（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数： f x = .
① f x 的图象在 y 轴的右侧；
②若 x > 0, y > 0，则 f x + f y = f xy + 2；
③当 x > 0时， f x > 0（ f x 为函数 f x 的导函数）.
x +1, x 0
13．（2024·湖北·一模）已知函数 f
ì
x = í ，则关于 x 的不等式 f x ≤1的解集为 ．
ln x +1 , x > 0
x 2 1
14 e -1．（2024 广东·期末）已知函数 f x = ，若对任意的正数 a、b，满足 f a + f 2b - 2 = 0x ，则 + 的最e +1 a b
小值为： ．
四．解答题
15．（2023·
2
湖南岳阳·模拟预测）已知函数 f x = - log2x + mlog4x + 2 (2 x 16)，且函数 f (x) 的图象经过点
4,6 .
(1)求实数m 的值；
(2)求函数 f x 的最小值和最大值.
16．（2024·北京·模拟预测）5G 技术的价值和意义在自动驾驶 物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是
P
香农公式：C = Wlog2 1+ N ÷，其中：
C （单位： bit / s）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，W ( 单位；
è
P
Hz）是信道的带宽，P 单位：dB）是平均信号功率， N （单位：dB）是平均噪声功率， 叫做信噪比.
N
P
(1)根据香农公式，如果不改变带宽W ，那么将信噪比 从 1023 提升到多少时，信道容量C 能提升10%
N

(2)已知信号功率P = P1 + P2，证明：Wlog
1 P+ = Wlog 1 P+ 1 P2 ÷ 2 ÷ +Wlog 2N N 2
1+ ；
è è è N + P
÷
1
(3)现有 3 个并行的信道 X1, X 2 , X 3 ，它们的信号功率分别为P1, P2 , P3 P1 < P2 < P3 ，这 3 个信道上已经有一些相同
的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道
容量？（只需写出结论）
17．（2023·浙江·模拟预测）已知函数 f x = log2 é 3m - 6 x + 2m - 5
1
ù , g x = log

2 + mx ÷
,m R .
è
(1)若 f 1 = 2 ，求 m 的值：
(2)若方程 g x - f x = 0恰有一个实根，求 m 的取值范围：
1
(3)设m > 0，若对任意 t [ , 2]，当 x
2 1
, x2 t,t +1 时，满足 g x1 - g x2 1，求 m 的取值范围.
x
18．（2023· 1+ 2河南洛阳·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，当 x < 0 时， f x = log2 x ．3- 2
(1)求 f x 的解析式；
(2)若关于 x 的方程 f x = k 在R 上有解，求实数 k 的取值范围．
19．（2024 安徽合肥）已知函数 f (x) = log2 2x +1 + ax 是偶函数.
(1)求 a的值;
(2)设 g(x) = f (x) + x ， h(x) = x2 - 2x + m，若对任意的 x1 0,4 ，存在 x2 0,5 ，使得 g x1 h x2 ，求m 的
取值范围.

展开更多......

收起↑