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2.6 幂函数与一元二次函数
考点一 幂函数的三要素
1-1 2024 f x = m -1 xm+1 2【例 】（ 河南周口）已知函数 为幂函数，则 f a - 2a + f 2a - a2 =（ ）
A．0 B． -1 C． a2 D． a6 - a4
f (2- | x |)
【例 1-2】（2024 福建龙岩·期末）若幂函数 f (x) 的图象过点 (4, 2)，则 y = f (x) 的定义域是（ ）
A． (-2,0) B． (0, 2] C．[0,2] D． (-2,2)
【例 1-3】（2024 宁夏吴忠·阶段练习）下列函数中，与函数 y = x3的值域相同的函数为（ ）
x-1
A y = 1 ． ÷ B． y = ln x +1
1 1
C．
è 2 y = x
2 D． y = x
【一隅三反】
1．（2024 浙江杭州）若函数 f x 1是幂函数，且满足 f 8 × f ÷ = 162 ，则 f 4 的值为 .è
2
2．（2024 2山西吕梁）已知幂函数 f x 的图象过点 8, 4 ÷÷，则 f x - 2x 的定义域为（ ）è
A． 0,2 B． 0,
1
2 ֏
C 0,2 D é 1 ù． ． ê0, 2ú
1
3（2024 湖北）函数 f x = 1- x - 2 + 2x -1 0的定义域是（ ）
A． - ,1 1 1B． - , ,1 C - , -1
1
D ,1
2 ÷ ÷
． ． ÷
è è 2 è 2
4．（2024 湖北恩施·阶段练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y = elnx 的定义域和值域相同的是（ ）
1
A． y = x B． y = lnx C． y = ex D． -y = x 2
考点二 幂函数的图像
【例 2-1】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
1 1 1
A． B． - C． y = x3y = x 2 y = x 2 D． y = x3
【例 2-2】（2024 海南省）幂函数 y = x2 ， y = x-1
1 1
， -y = x3 ， y = x 2 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线
（ ）
A．C1，C2 ，C3，C4 B．C1，C4 ，C3，C2
C．C3，C2 ，C1，C4 D．C1，C4 ，C2 ，C3
【例 2-3】（2024 广东茂名）若幂函数 f (x) = xa 的图象经过第三象限，则 a的值可以是（ ）
A．-2 B．2 C 1． 2 D．3
【一隅三反】
1．（2024 湖北）已知幂函数 f (x) 的图象经过点 (8,4) ，则函数 f (x) 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 海南省直辖县级单位·开学考试）如图的曲线是幂函数 y = xn 在第一象限内的图象.已知 n分别取
2, 1 , 1- - , 2四个值，与曲线C1、C2、C3、C4相应的 n依次为（　　）2 2
1
A． 2, ,
1 , 1 1 1 1 1 1- -2 B． 2, -2,- , C． ,- , 2,-2 D．-2, - , 2,
2 2 2 2 2 2 2 2
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数 y = xa , y = xb , y = xc 在 0, + 上的图象分别是下降，急速上升，
缓慢上升，则（ ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c考点三 幂函数的性质
【例 3-1】（2024 2湖南长沙·阶段练习）已知幂函数 f (x) = m - 2m - 2 xm-1(m R)是偶函数，且 f (x) 在 (0, + )上
是减函数，则m =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．3
【例 3-2 2 3m】（2024 广东深圳·期末）（多选）已知函数 f x = 2m - m x 为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A．m =1 B． f x 为偶函数
C． f x 为单调递增函数 D． f x 的值域为 0, +
【一隅三反】
1．（2024 山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间 0, + 上单调递减的函数为（ ）
A． y = x-2 B． y = x-1
C． y = x2 D． y = x3
2．（2024 浙江杭州·期中）（多选）已知幂函数 f (x) = xn ,n {-2, -1,1,3}的图像关于 y 轴对称，则下列说法正确的
是（ ）
A． f (-3) > f (2) B． f -3 < f (2)
C．若 | a |>| b |> 0，则 f a > f b D．若 | a |>| b |> 0，则 f (a) < f (b)
3．（2024 贵州）（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过点 0,0 , 1,1
B．互为反函数的两个函数的图象关于直线 y = x 对称
3
C．函数 y = a2x+3 -1恒过定点 - ,02 ÷è
1
D．函数 y = x 在整个定义域内是单调递减的
1
4．（2023·吉林长春·模拟预测）（多选）已知幂函数 f (x) = xa 图像经过点 3, ÷ ，则下列命题正确的有（9 ）è
A．函数 f (x) 为增函数 B．函数 f (x) 为偶函数
f
f (x) 1 0 < x < x x1 + f x> 2 f x + xC x >1 D > 1 2 ．若 ，则 ．若 1 2 ，则 2 ÷è 2
考点四 幂函数性质的应用
【例 4-1】（2024 江苏苏州·阶段练习）若 a = 21.9 ,b = 21.5 ,c = 31.9 ，则（ ）
A． c > a > b B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
1 1
【例 4-2】（2024 江西新余）若幂函数 f x = xa , 图象过点 ÷，且 f m + 2 < f 2m 3 81 ，则实数m 的取值范围è
是（ ）
2 2
A． - , 2
-2,
3 ÷
B． ÷
è è 3
2 2
C． - , - ÷ U 2, + D． - , -2 U3 - , + 3 ÷è è
【一隅三反】
0.3 0.3 -0.3
1．（2023· 2 1 1 河北）已知 a = ÷ ，b = ÷ ， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 5 è 3 è 3
A． a < c < b B． a < b < c C．bì-x2 - 4x, x 0
2．（2024 宁夏吴忠）已知函数 f x = í 2 ，若 f 2 - a2 > f a ，则实数 a的取值范围是（ ）
x - 4x, x < 0
A． - , -1 U 2, + B． -1,2 C． -2,1 D． - , -2 U 1, +
3．（2024·湖南常德）（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A．0.60.8 > 0.80.8 B．0.60.8 < 0.80.6
C． log0.8 0.6 > log0.6 0.8 D． log0.8 0.6 < 0.8
0.6
考点五 一元二次函数的单调性
【例 5-1】（2024 浙江）设函数 f (x) = x2 + 2(4 - a)x + 2在区间 (- ,3]上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a -7 B． a 7 C． a 3 D． a -7
2
【例 5-2】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数 f x = a x -ax+1 a > 0且a 1 在区间 1, + 上单调递增，
则 a的取值范围是（ ）
1 ù
A． 0,1 B． 0,
è 2 ú
C． 1,2 D． 2, +
【例 5-3】（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) = x2 - (m
1 1
- 2)x +1 é在 ê- ,
ù
ú上单调，则实数m 的取值范围为 2 2
（ ）
é1
A． ê ,1
ù
ú U
é3, 9 ù é1ê ú B． ê , 2
ù
ú U
é3, 9 ù
2 2 2 ê 2 ú
é 1- ,1ù U é3, 9 ù é 1 ù é 9 ùC．
ê 2 ú ê 2 ú
D． ê- , 2 2 ú
U
ê
3,
2 ú
【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·二模）已知 a,b (0,1) ，则函数 f (x) = ax2 - 4bx +1在[1, + ) 上是增函数的概率为（ ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 4 5 4
ì 2 - 3a x, x 1,

2．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数 f x = í 1 x x 1 1 满足对任意的实数 x1, x2 ，且 xa 1
x2 ，
- × +2 ÷ ÷
- , x <1
è è 4 8
f x2 - f x1
都有 > 0成立，则实数 a的取值范围为（
x x ）1 - 2
A． 1, 3+ éB． ê ,+

4 ÷
2 , 3 ù é3 ùC． ú D． ,1è 3 4 ê 4 ú
é 1 1 ù
3．（2024·河南信阳· 2模拟预测）（多选）若函数 f x = x - m - 2 x +1 在 ê- , ú上单调，则实数m 的值可以为 2 2
（ ）
1 5
A． -1 B．- C． D．3
2 2
考点六 一元二次恒（能）成立
【例 6-1】（2023·福建厦门·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
【例 6-2】（2024·甘肃）若关于 x 的不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0在区间 0,5 内有解，则实数 a的取值范围是
（ ）．
A． 2, + B． - ,5 C． - , -3 D． - , 2
【一隅三反】
1．（2024· 2陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数 x ，使得mx - m - 2 x + m < 0成立，则实数m 的取值范围为（ ）
1 3
A． - , 2 B． - ,0 , ÷
è 3 2
2
C． - ,

÷ D． - ,1
è 3
2．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．-1 a < 0 B． a 0
C．-1 < a 0 D．-1 < a < 0
3．（2024 河南）设 a 为实数，若关于 x 的不等式 x2 - ax + 7 0在区间 2,7 上有实数解，则 a 的取值范围是
（ ）
A． - ,8 B． - ,8 11C． - , 2 7 - , D． ÷
è 2
考点七 三个一元二次的关系
【例 7】（2024 黑龙江大庆）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 x x < -2 或 x > 3 ，则下列说
法正确的是（ ）
A． a > 0 B．关于 x 的不等式bx + c > 0的解集是 x x < -6
ì
C． a + b + c > 0 D．关于 x 的不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx x
1 1
< - ü或 x >
3 2
【一隅三反】
1．（2024 江苏南京·期末）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1 < x < 3}，则（ ）
A． a < 0
B． a + b + c = 0
C． 4a + 2b + c < 0
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集是{x∣x < -1或 x
1
> - }
3
2．（2023 山东威海）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 - , -2 3, + ，则下列选项中正
确的是（ ）
A． a<0
B．不等式bx + c > 0的解集是 x | x < -6
C． a + b + c > 0
2 1 1D．不等式 cx - bx + a < 0的解集为 (- , - ) ( , + )3 2
3．（2024 湖南长沙·期末）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为{x∣x < -3，或 x > 2}，则（ ）
A． a > 0
B．不等式bx + c > 0的解集是{x∣x < -6}
C． a + b + c > 0
ì 1 1ü
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集是 íx x < - ，或 x >2 3
考点八 解含参一元二次不等式
【例 8-1】（2024 2广东阳江）不等式 ax - a + 2 x + 2 0 a < 0 的解集为（ ）
é 2 ,1ù éA． ê ú B． ê1,
1 ù
a a ú

C． - ,
2 ù
ú [1,
2
+ ) D． (- ,1]
é
ê ,+

è a ÷ a
【例 8-2 2】（2024 贵州毕节）若关于 x 的不等式 x - m + 2 x + 2m < 0的解集中恰有 2 个整数，则实数m 的取值范
围为（ ）
A． -1,0 U 4,5 B． -1,0 U 2,5 C． -2,0 U 2,5 D． -2,0 U 3,5
【例 8-3】（2024 吉林白山）解关于 x 的不等式：
(1) ax2 - 2a -1 x - 2 0 （2 2） f (x) = ax2 + (1- a)x + a - 2 < a -1（3） f x = x - 2ax + 3 <0
【一隅三反】
1．（2024 天津红桥）若关于 x 的不等式 2ax2 - 4x < ax - 2只有一个整数解，则实数 a 的取值范围是 .
2．（2024 高三·全国·专题练习）解关于实数 x 的不等式：
(1) x2 - (a +1)x + a < 0 2．（2） x2 - ax +1 < 0．(3) ax + a + 2 x + 2 0 a R
考点九 一元二次根的相关问题
9-1 2024 · x x2【例 】（ 北京 期中）如果关于 的一元二次方程 + 2mx + m + 2 = 0有两个不同的正数实数根，那么m
的取值范围为（ ）
A． -2, -1 B． -1,2 C． - , -1 U 2, + D． - , -2 -1, +
【例 9-2】（2024 2浙江·阶段练习）若关于 x 的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且
x1 <1, x2 >1．则实数 a 的取值范围为 ．
【一隅三反】
1．（2024 山西太原·阶段练习）（多选）已知关于 x 的方程 x2 + ax + a + 3 = 0，则（ ）.
A．当 a = 2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是-2 < a < 4
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 a > 6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 a < -4
2．（2024 江苏连云港·阶段练习）已知方程 x2 - 2ax + a2 - 4 = 0的一个实根小于 2，另一个实根大于 2，求实数 a
的取值范围 .
3．（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实数解，
则 a的取值范围是（ ）
6 6
A． - , -1

÷ B．5
- ,1
5 ÷è è
6 6
C． - , -

÷ U -1, +

D． - , - ÷ U 1, +
è 5 è 5
4．（2024 山东菏泽·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若关于 x 的方程 x2 + a2 -1 x + a - 2 = 0 的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 a 的取值范围是 -2 < a <1
B．若关于 x 的不等式 x2 - kx + k -1 < 0在 1,2 上恒成立，则实数 k 的取值范围是 k < 3
ax + b
C．若关于 x 的不等式 ax - b > 0的解集是 1, + ，则关于 x 的不等式 > 0 的解集是 x x > 2或 x < -1
x - 2
1 2 1 a 0,b 0 1 4D．若 + = > > 1，则 2 + 2 的最小值为a b a b 2
一．单选题
1．（2024 2江西抚州）若命题“ $x0 R, x0 + 2mx0 + m + 2 < 0 ”为假命题，则 m 的取值范围是（ ）
A． - , -1 2, + B． - , -1 U 2, +
C． -1,2 D． -1,2
2
ìx + x,-2 < x < 0
2．（2024·北京西城·一模）已知函数 f x = í ，若 f x 存在最小值，则 c的最大值为（ ）
- x ,0 x < c
1 1 1
A． B． C． D 1．
16 8 4 2
3．（2024 湖南长沙·开学考试）四个数 20.8 ，30.8 ， log0.3 4 ， log0.4 0.5的大小关系为（ ）
A 30.8． > log 0.5 > 20.8 > log 4 B 30.8 > 20.80.4 0.3 ． > log0.3 4 > log0.4 0.5
C． log0.4 0.5 > 3
0.8 > 20.8 > log 4 D 30.8 > 20.80.3 ． > log0.4 0.5 > log0.3 4
2
4．（2024 江苏南京· 2期末）已知幂函数 f x 的图象过点 2, ÷÷，则函数 y = f x + 2x 的单调递增区间为（2 ）è
A． - ,-2 B． - ,-1
C． 0, + D． 1, +
5．（2024 广东深圳·阶段练习）已知函数 f x 是定义域上的偶函数，在区间 0, + 上单调递增，且对任意 x1、
x2均有 f x1x2 = f x1 + f x2 成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． y = ln x B． y = x3 C． y = 2 x D． y = x
6．（2024 辽宁沈阳）已知关于 x 的方程 x2 - kx + k + 3 = 0有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
2 8
A．-2 B． C． D．13 9
1
7．（2024 湖北黄冈·期中）设集合 A = {x | x < - 或 x >1}，集合B = x | x2 - 2ax -1 0,a > 0 ，若 A B 中恰有两
2
个整数，则实数 a的取值范围（ ）
0, 4ù é 4 ,15 é 15 A． ú B． ê C3 8 ÷ ． ê
2,
3 ÷
D． 1, +
è 8
8．（2024 四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到
有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔
（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 g x ，存在实数 x0 ，使得 g x0 = x0 ，我们就称
1
该函数为“不动点”函数，实数 x0 为该函数的不动点.已知函数 g x = ax2 + a - 2 x +1 在区间 - ,

÷上恰有两个
è 2
不同的不动点，则实数 a的取值范围为（ ）
3 , 9, 2A． + ÷ B． + C． - ,0 9,+

D． - ,

è 2 è 3 ÷
二．多选题
9．（2024 辽宁抚顺）（多选）已知幂函数 f (x) 的图像经过点 8,4 ，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 f (x) 为增函数
B．函数 f (x) 为偶函数
C．若 x >1，则 f (x) >1
0 < x < x f (x1) + f (x2 ) f ( x1 + xD．若 1 2 ，则 < 2 )2 2
10．（2024·山东潍坊）已知函数 y = a x （ a > 0且a 1）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式
对应正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023 福建·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
1 1
A．若 a > 0，b > 0，且 a + b = 4 ，则 + 的最小值为 1
a b
B．若 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，则 ab的最小值为 1
C．若关于 x 的不等式 x + a x -1 < 0的解集为 1,3 ，则 a = -3
D 2．关于 x 的不等式 x - a +1 x + a < 0的解集为 a,1
三．填空题
12．（2024 北京·期中）下列命题：
①定义在R 上的奇函数 f (x) 必满足 f (0) = 0；
② f (x) = 2x +1 2 - 2 2x -1 既不是奇函数又不是偶函数；
③偶函数的图象一定与 y 轴相交；
1
④函数 f (x) = 在 - ,0 U 0, + 上是减函数.其中真命题有 ．
x
（把你认为正确的命题的序号都填在横线上）.
ì 2
13．（2024 福建）已知函数 f x a x - a -1, x < a= í 的值域为R ，则实数 a 的取值范围为 ．
x - 2a - 2, x a
14．（2024 江苏苏州·阶段练习）若命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 ．
四．解答题
15．（2024 安徽芜湖·阶段练习）已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + x + b > 0 的解集为 - , -2 U 1, + ．
(1)求 a和b 的值；
(2)求不等式 ax2 - 2a + b + 2 x +1- c2 < 0 的解集．
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知二次函数 y = ax2 + bx + 2 （ a，b 为实数）
(1)若函数图象过点 1,1 ，对"x R ， y > 0恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)若函数图象过点 1,1 ，对"a -2,-1 ， y > 0恒成立，求实数 x 的取值范围；
17．（2024 2 2陕西咸阳）已知函数 f x = a x + 2ax - a2 +1 .
(1)当 a = 2时，求 f x 0 的解集；
(2)是否存在实数 x ，使得不等式 a2x2 + 2ax - a2 +1 0对满足 a -2,2 的所有 a恒成立？若存在，求出 x 的值；
若不存在，请说明理由.
18．（2024 浙江台州）已知函数 f x = 2x2 - ax + a2 - 4 2 2 31， g x = x - x + a - ， a R
4
(1)当 a =1时，解不等式 f x > g x ；
(2)若任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，求实数 a的取值范围；
(3)若"x1 0,1 ，$x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，求实数 a的取值范围.
19．（2024·云南昆明·模拟预测）我们把 a0 + a1x + a x
2 +LL+ a xn2 n = 0 （其中 an 0 ， n N* ）称为一元 n 次多项
*
式方程．代数基本定理：任何复系数一元 n n N 次多项式方程（即 a0， a1， a2，…， an 为实数）在复数集内
*
至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 n n N 次多项式方程在复数集内有且仅有 n 个复数根（重根
*
按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 n n N 次多项式在复数集内一定可以分解因
式，转化为 n a + a x + a x2 +LL+ a xn = a x -a k1 x -a k k个一元一次多项式的积．即 2 m0 1 2 n n 1 2 L x -am ，其中 k，
m N *， k1 + k2 +LL+ km = n，a1，a2，…… a 2 n， m为方程 a0 + a1x + a2x +LL+ an x = 0 的根．进一步可以推出：
在实系数范围内（即 a0， a1， a2，…， an 为实数），方程 a0 + a x + a x
2
1 2 +LL+ a
n
n x = 0 的有实数根，则多项式
a0 + a1x + a2x
2 +LL+ a xnn 必可分解因式．例如：观察可知， x =1是方程 x3 -1 = 0 的一个根，则 x -1 一定是多
x3 3 2项式 -1的一个因式，即 x -1 = x -1 ax + bx + c ，由待定系数法可知， a = b = c =1．
(1)解方程： x3 - 2x +1 = 0；
(2) f x = a + a x + a x2 + a x3 +设 0 1 2 3 ，其中 a0， a1， a2， a3 R ，且 a0 + a1 + a2 + a3 =1．
i x - a + a x + a x2 + a x3（）分解因式： 0 1 2 3 ；
（ii）记点P x , y 是 y = f x 的图象与直线 y = x0 0 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当 a1 + 2a2 + 3a3 1
时， x0 = 1．2.6 幂函数与一元二次函数
考点一 幂函数的三要素
【例 1-1】（2024 河南周口）已知函数 f x = m -1 xm+1 f a2 - 2a + f 2a - a2为幂函数，则 =（ ）
A．0 B． -1 C． a2 D． a6 - a4
【答案】A
【解析】由题意有m -1 =1，可得m = 2, f x = x3 ，其定义域为 R，
且 f -x = -x 3 = -x3 = - f x ，则函数 f x 为奇函数，
所以 f a2 - 2a + f 2a - a2 = 0 .
故选：A.
y f (2- | x |)【例 1-2】（2024 福建龙岩·期末）若幂函数 f (x) 的图象过点 (4, 2)，则 = f (x) 的定义域是（ ）
A． (-2,0) B． (0, 2] C．[0,2] D． (-2,2)
【答案】B
1
【解析】设 f x = xa 1，依题意可得 4a = 2，解得a = ，所以2 f x = x
2 ，
所以 f x 的定义域为 0, + ，值域为 0, + ，且 f 0 = 0，
y f (2- | x |)
ì2 - x 0
对于函数 = f (x) ，则 í ，解得0 < x 2， x > 0
f (2- | x |)
即函数 y = 的定义域是 0,2f (x) .
故选：B
【例 1-3】（2024 宁夏吴忠·阶段练习）下列函数中，与函数 y = x3的值域相同的函数为（ ）
x-1
1 1
A． y 1= ÷ B． y = ln x +1 C． 2 D． y =
è 2 y = x x
【答案】B
【解析】因为幂函数 y = x3的值域为R ，
1 x-1A y = 对于 ，指数复合函数 ÷ 的值域为 0, + ，故 A 错误；
è 2
对于 B，对数复合函数 y = ln x +1 的值域为R ，故 B 正确；
1
对于 C，幂函数 y = x 2 的值域为 0, + ，故 C 错误；
1
对于 D，反比例函数 y = 的值域为 - ,0 U 0, + x ，故 D 错误.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024 浙江杭州）若函数 f x 是幂函数，且满足 f 8 × f 1 2 ÷ = 16，则 f 4 的值为 .è
【答案】16
1 1 a
【解析】设 f x = xa ，由 f 8 × f ÷ = 16可得8a ÷ = 4a = 16可得 a = 2 .故 f x2 = x
2
，则 f 4 =16 .
è è 2
故答案为：16
2
2．（2024 山西吕梁）已知幂函数 f x 2的图象过点 8, ÷÷，则 f x - 2x 的定义域为（4 ）è
A． 0,2 B． 0,
1
è 2 ÷
C． 0,2 1D é ù． ê0, 2ú
【答案】B

【解析】Q f x 是幂函数，\设 f x 2= xm ，将 8, ÷÷代入解析式，
è 4
2 1 1-
得8m = ，解得m = - ，故 f x = x 2 1= ，则 f x 1- 2x2 = ，
4 2 x x - 2x2
1
故 x - 2x2 > 0，解得 x 0, 2 ÷è
故选：B
1
3（2024 湖北）函数 f x = 1- x - 2 + 2x -1 0的定义域是（ ）
,1 , 1 1A - B - ,1 C - , -1 D 1 ,1 ． ． ÷ ÷ ． ． ÷
è 2 è 2 è 2
【答案】B
1
【解析】因为 f x = 1- x - 2 + 2x 1-1 0 = + 2x -1 0，
1- x
ì1- x > 0 1 1
则有 í ，解得 x <1且 x
1
，因此 f x 的定义域是 - , ÷ ,1÷．
2x -1 0 2 è 2 è 2
故选：B.
4．（2024 湖北恩施·阶段练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y = elnx 的定义域和值域相同的是（ ）
A． y = x
1
B． y = lnx C． y = ex D． -y = x 2
【答案】D
【解析】函数 y = elnx 的定义域和值域均为 0, + ，
函数 y = x 的定义域和值域均为 R，不满足要求；
函数 y = lnx的定义域为 0, + ，值域为 R，不满足要求；
函数 y = ex 的定义域为 R，值域为 0, + ，不满足要求；
1
函数 -y = x 2 的定义域和值域均为 0, + ，满足要求；
故选：D．
考点二 幂函数的图像
【例 2-1】（2024·四川南充·二模）已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
1 1 1
A． y = x 2 B．
- 3
y = x 2 C． y = x D． y = x3
【答案】D
1
【解析】对于 A：函数 y = x 2 = x 的定义域为 0, + ，显然不符合题意，故 A 错误；
1
- 1
对于 B：函数 y = x 2 = 的定义域为 0, + ，显然不符合题意，故 B 错误；
x
对于 C：函数 y = x3的定义域为R ，又 y = x3为奇函数，又 y = x3在 0, + 上函数是下凸递增，故不符合题意，
故 C 错误；
1 1 1
对于 D：函数 y = x3 = 3 x 的定义域为R ，又 y = x3 为奇函数，且 y = x3 在 0, + 上函数是上凸递增，故 D 正
确.
故选：D
1 1
【例 2-2】（2024 海南省）幂函数 y = x2 ， y = x-1， -y = x3 ， y = x 2 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线
（ ）
A．C1，C2 ，C3，C4 B．C1，C4 ，C3，C2
C．C3，C2 ，C1，C4 D．C1，C4 ，C2 ，C3
【答案】D
【解析】根据幂函数 y = xn 的性质可知，在第一象限内的图像，当 n > 0时，图像递增，
且 n
1
越大，图像递增速度越快，由此可判断C1是曲线 y = x2 ，C2 是曲线 y = x3 ；
1
当 n < 0 时，图像递减，且 n 越大，图像越陡，由此可判断C3是曲线 -y = x 2 ，
1 1
C4 是曲线 y = x-1；综上所述幂函数 y = x2 ， y = x-1， ， -y = x3 y = x 2 ，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线C1，C4 ，C2 ，C3 .
故选：D.
【例 2-3】（2024 广东茂名）若幂函数 f (x) = xa 的图象经过第三象限，则 a的值可以是（ ）
A．-2 B．2 C 1． 2 D．3
【答案】D
1
【解析】A：当 a = -2 f (x) = x-2时， = 2 ，图像为：x
故 A 错误；
B：当 a = 2时， f (x) = x2 ，图像为：
故 B 错误；
1 1
C：当 a = 时，
2 f (x) = x
2 ，图像为：
故 C 错误；
D：当 a = 3时， f (x) = x3 ，图像为：
故 D 正确；故选：D
【一隅三反】
1．（2024 湖北）已知幂函数 f (x) 的图象经过点 (8,4) ，则函数 f (x) 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
2
【解析】设幂函数 f x = xa ，则8a = 4，即 23a 2= 22 ，解得 a = ，即3 f x = x 3 ，
2 1 1 2
f x 的定义域是R ， f -x = -x = é -x 23 ù 3 = x2 3 = x 3 = f x ，函数为偶函数，
2
由0 < <1，则 f x 在 0, + 上递增且越来越慢.
3
故选：A.
2．（2024 海南省直辖县级单位·开学考试）如图的曲线是幂函数 y = xn 在第一象限内的图象.已知 n分别取
-2, 1- , 1 , 2四个值，与曲线C1、C2、C3、C4相应的 n依次为（　　）2 2
1 1 1 1 1 1
A． 2, , - , -2 B． 2, -2,- , C． ,- , 2,-2 D．-2,
1
- , 2, 1
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】A
1 1
【解析】由幂函数的单调性可知曲线C1、C2、C3、C4相应的 n应为 2, , - , -2 .2 2
故选：A
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数 y = xa , y = xb , y = xc 在 0, + 上的图象分别是下降，急速上升，
缓慢上升，则（ ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c【答案】B
【解析】由题意结合图象可知 a < 0 < c <1< b .故选：B.
考点三 幂函数的性质
【例 3-1】（2024 2湖南长沙·阶段练习）已知幂函数 f (x) = m - 2m - 2 xm-1(m R)是偶函数，且 f (x) 在 (0, + )上
是减函数，则m =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．3
【答案】B
【解析】因为 f (x) = (m2 - 2m - 2)xm-1是幂函数，所以m2 - 2m - 2 =1，解得m = 3或m = -1，
又 f (x) 在 (0, + )上是减函数，则m -1 < 0，即m <1，所以m = -1，此时 f (x) = x-2 ,易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
【例 3-2】（2024 广东深圳·期末）（多选）已知函数 f x = 2m - m2 x3m为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A．m =1 B． f x 为偶函数
C． f x 为单调递增函数 D． f x 的值域为 0, +
【答案】AC
【解析】由 f x = 2m - m2 x3m为幂函数可得 2m - m2 =1，解得m =1，所以 f x = x3 ，故 A 正确，C 正确；
由于 f -x = -x 3 = -x3 = - f x ，故 f x 3为奇函数，故 B 错误； f x = x 的值域为R ，D 错误，故选：AC.
【一隅三反】
1．（2024 山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间 0, + 上单调递减的函数为（ ）
A． y = x-2 B． y = x-1
C． y = x2 D． y = x3
【答案】B
【解析】对于 A， y = x-2 为偶函数，不符合题意；
对于 B， y = x-1为奇函数，且在区间 0, + 上单调递减，符合题意；
对于 C， y = x2 为偶函数，不符合题意；
对于 D， y = x3为奇函数，且在区间 0, + 上单调递增，不符合题意．
故选：B．
2．（2024 浙江杭州·期中）（多选）已知幂函数 f (x) = xn ,n {-2, -1,1,3}的图像关于 y 轴对称，则下列说法正确的
是（ ）
A． f (-3) > f (2) B． f -3 < f (2)
C．若 | a |>| b |> 0，则 f a > f b D．若 | a |>| b |> 0，则 f (a) < f (b)
【答案】BD
【解析】因为幂函数 f (x) = xn ,n {-2, -1,1,3}的图像关于 y 轴对称，
所以函数 f x -2为偶函数，则 n = -2，即 f x = x ，
又 n = -2 < 0，由幂函数的单调性可知，函数 f x 在 0, + 上单调递减，
所以 f -3 = f 3 < f 2 ，故 B 正确，A 错误；
因为 | a |>| b |> 0， f x 在 0, + 上单调递减，且函数 f x 为偶函数
则 f a = f a < f b = f b ，故 D 正确，C 错误.
故选：BD
3．（2024 贵州）（多选）下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都通过点 0,0 , 1,1
B．互为反函数的两个函数的图象关于直线 y = x 对称
C．函数 y = a2x+3
3
-1 恒过定点 - ,0

è 2 ÷
1
D．函数 y = x 在整个定义域内是单调递减的
【答案】BC
1
【解析】对于 A，幂函数 y = 0,0 Ax 不过 ，故 错误；
对于 B，互为反函数的两个函数的图象关于直线 y = x 对称，故 B 正确；
3
对于 C，令 2x + 3 = 0，则 x = - , y = 0，
2
所以函数 y = a2x+3
31 - 恒过定点 - ,0÷，故 C 正确；
è 2
1
对于 D，函数 y = 的单调减区间为 - ,0 , 0, + x ，
当 x < 0 时， y < 0 ，当 x > 0时， y > 0，故 D 错误.
故选：BC.
1
4．（2023·吉林长春·模拟预测）（多选）已知幂函数 f (x) = xa 图像经过点 3, ÷ ，则下列命题正确的有（9 ）è
A．函数 f (x) 为增函数 B．函数 f (x) 为偶函数
f x + f x
C．若 x >1，则 f (x) >1 D．若0 < x < x
1 2 x + x
1 2 ，则 > f 1 22 ÷è 2
【答案】BD
1 1 a
【解析】将点 3, ÷ 代入函数 f (x) = xa 得： = 3 ，则a = -2 .
è 9 9
所以 f (x) = x-2 ，显然 f (x) 在定义域[0, + ) 上为减函数，所以 A 错误；
f (x) = x-2 ，所以 f (x) 为偶函数，所以 B 正确；
当 x
1
>1时， 2 <1，即 f (x) < 1，所以 C 错误；x
当若0 < x1 < x2 时，
f x1 + f x2 x + x 1 1 1 4- f 1 2 ÷ = (2 è 2 2 x2
+ 2 ) -
1 x2 (x
2
1 + x2 )
1 1 1 4
假设 ( 2 + 2 ) - 2 > 02 x x (x + x ) ，整理得1 2 1 2
1 1 8 (x + x )2 (x + x )2+ > ，化简得， 1 2 + 1 2x2 2
> 8
1 x2 (x
2 2 2 ，
1 + x2 ) x1 x2
(x 2 2 2 2
即证明 1
+ x2 ) (x1 + x2 ) 1 2x2 x2 x1 2x2 + = + + + +
1 +1 > 8 成立，
x 2 2 21 x2 x1 x1 x2 x2
2x x2 x2 2x
利用基本不等式，1+ 2 + 2 + 1 + 1 +1 2 + 2 4 + 2 = 82 2 ，因为0 < x1 < x2 ，故等号不成立，\x1 x1 x2 x2
2x x2 21+ 2 x 2x+ 2 1 1
x 2
+ 2 + +1 > 8成立；
1 x1 x2 x2
f x1 + f x2
即 < f
x1 + x2
÷ 成立，所以 D 正确.2 è 2
故选：BD.
考点四 幂函数性质的应用
【例 4-1】（2024 江苏苏州·阶段练习）若 a = 21.9 ,b = 21.5 ,c = 31.9 ，则（ ）
A． c > a > b B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
【答案】A
【解析】∵指数函数 y = 2x 在R 上单调递增，且1.9>1.5，∴ 21.9 > 21.5 ，即 a > b .
∵幂函数 y = x1.9在 0, + 上单调递增，且3 > 2，∴ 31.9 > 21.9 ，即 c > a ，∴ c > a > b .故选：A.
1 1
【例 4-2】（2024 a江西新余）若幂函数 f x = x 图象过点 , ÷，且 f m + 2 < f 2m 3 81 ，则实数m 的取值范围è
是（ ）
2 2
A． - , 2

B． -2,
è 3 ÷ è 3 ÷

C． - ,
2
- ÷ U 2,
2
+ - , -2 U D． - , +

è 3 ÷ è 3
【答案】C
1 , 1 【解析】把 ÷代入 f x = xa (
1
可得： )a
1
= ，易得：a = 4，则 f (x) = x43 81 ，è 3 81
显然函数 f (x) 的定义域为 R，由 f (-x) - f (x) = (-x)4 - x4 = x4 - x4 = 0知 f (x) 为偶函数.
"x1 < x2 ,且 x1, x2 (0,+ )，由 f (x1) - f (x
4 4
2 ) = x1 - x2 = (x
2 2 2
1 + x2 )(x1 - x
2
2 ) = (x
2 + x21 2 )(x1 + x2 )(x1 - x2 ) ，
0 < x < x , (x2 2因 1 2 故 1 + x2 )(x1 + x2 )(x1 - x2 ) < 0，即 f (x1) < f (x2 )，故函数 f (x) 在 (0, + )上为增函数.
由 f m + 2 < f 2m m + 2 < 2m ，将两边平方整理可得：3m2 - 4m - 4 > 0，
解得：m
2
< - 或m > 2 .
3
故选：C.
【一隅三反】
2 0.3 1 0.3 -0.31 2023· a = 1．（ 河北）已知 ÷ ，b =
c = ÷ ， ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
è 5 è 3 è 3
A． a < c < b B． a < b < c C．b【答案】D
0.3 0.3 -0.3
【解析】由于幂函数 y = x0.3 在 0, + a 2 b 1 c 1= = = 上单调递增，又 ÷ ， ÷ ， ÷ = 30.3，
è 5 è 3 è 3
1 2 0.3 0.3
< < 3 1 2 ，所以 ÷ < ÷ < 3
0.3，则b < a < c .故选：D.
3 5 è 3 è 5
ì-x2 - 4x, x 0
2 2．（2024 宁夏吴忠）已知函数 f x = í 2 ，若 f 2 - a > f a ，则实数 a的取值范围是（ ）
x - 4x, x < 0
A． - , -1 U 2, + B． -1,2 C． -2,1 D． - , -2 U 1, +
【答案】D
【解析】因 y = -x2 - 4x 为开口向下的二次函数，对称轴为 x = -2，故函数在[0, + ) 上单调递减；
y = x2 - 4x 为开口向上的二次函数，对称轴为 x = 2，故函数在 (- ,0)上单调递减，且 f (0) = 0，因此函数
ì-x
2 - 4x, x 0
f x = í 2 在 R
2 2
上单调递减，则 f 2 - a > f a 2 - a < a a2 + a - 2 > 0 ，即 (a + 2)(a -1) > 0，
x - 4x, x < 0
解得 a > 1或 a < -2，所以实数 a的取值范围是 - , -2 U 1, + 。故选：D
3．（2024·湖南常德）（多选）下列不等式中成立的是（ ）
A．0.60.8 > 0.80.8 B．0.60.8 < 0.80.6
C． log0.8 0.6 > log0.6 0.8 D
0.6
． log0.8 0.6 < 0.8
【答案】BC
【解析】函数 y = x0.8 ，在 (0, + )上单调递增，∴ 0.60.8 < 0.80.8，故 A 错误；
函数 y = 0.6x ，在R 上单调递减，\0.60.8 < 0.60.6 ，函数 y = x0.6 ，在 (0, + )上单调递增，\0.60.6 < 0.80.6 ，
\0.60.8 < 0.80.6 ，故 B 正确；
函数 y = log0.8 x 单调递减，\log0.8 0.6 > log0.8 0.8 =1 = log0.6 0.6 > log0.6 0.8，故 C 正确；
Q log 0 0.60.8 0.6 >1og0.8 0.8 =1 = 0.8 > 0.8 ，故 D 错误，
故选：BC．
考点五 一元二次函数的单调性
【例 5-1】（2024 浙江）设函数 f (x) = x2 + 2(4 - a)x + 2在区间 (- ,3]上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．a -7 B． a 7 C． a 3 D． a -7
【答案】B
【解析】函数 f (x) = x2 + 2(4 - a)x + 2的对称轴方程为： x = a - 4，
因为函数 f (x) = x2 + 2(4 - a)x + 2在区间 (- ,3]上是减函数，所以 a - 4 3，解得 a 7，故选：B
2
【例 5-2】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数 f x = a x -ax+1 a > 0且a 1 在区间 1, + 上单调递增，
则 a的取值范围是（ ）
0,1 0, 1 ùA． B．
è 2 ú
C． 1,2 D． 2, +
【答案】C
【解析】设函数 t = x2 - ax +1，
则函数 f 2x = a x -ax+1 a > 0且a 1 是由二次函数 t = x2 - ax +1与指数函数 y = at a > 0且a 1 复合而成的.
当 0 < a < 1时，由于函数 y = at a > 0且a 1 单调递减，
而二次函数 t = x2 - ax +1的图象开口向上，在区间 1, + 上不可能单调递减，
则函数 f x 在区间 1, + 上不可能单调递增，故不满足题意；
当 a > 1时，函数 y = at a > 0且a 1 单调递增，要使函数 f x 在区间 1, + 上单调递增，
则二次函数 t = x2
a a
- ax +1在区间 1, + 上单调递增，又其对称轴为 x = ，故 1，2 2
所以 a 1,2 .故选：C.
é 1 1 ù
【例 5-3】（2024· 2全国·模拟预测）若函数 f (x) = x - (m - 2)x +1 在 ê- , ú上单调，则实数m 的取值范围为 2 2
（ ）
é1 ,1ù U é 9 ù é1 ù é 9 ùA． ê 2 ú ê
3, B．
2 ú ê
, 2 U 3,
2 ú ê 2 ú
é 1- ,1ù U é3, 9 ù é 1 9- , 2ù é ùC．
ê 2 ú
D．
ê 2ú ê 2 ú
U 3,
ê 2 ú
【答案】C
2
【解析】令 g x = x - m - 2 x +1，
ìm - 2 1 , ì m - 2 1 , ìm - 2 1 - ,
ìm - 2 1
- , 2 2 2 2 2 2 2 2
则 í 1 或 í 或 或 g 0 g 1 -
í
0 g 1
í
÷ ÷ -

÷ 0 g
1
÷ 0,
è 2 è 2 è 2 è 2
1
解得3 m
9
或- ≤m≤12 ，2
即实数 m
1 9
得取值范围为[- ,1]U [3, ] .2 2
故选：C．
【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡·二模）已知 a,b (0,1) ，则函数 f (x) = ax2 - 4bx +1在[1, + ) 上是增函数的概率为（ ）
4 3 2 1
A． B． C． D．
5 4 5 4
【答案】D
f (x) x 2b【解析】由题设 对称轴为 = ，而 a,b (0,1) ，函数开口向上，
a
所以 f (x)
2b 2b
的增区间为[ , + )，故在[1, + ) 上是增函数有0 < 1，
a a
ì0 < a <1

综上， í0 < b <1对应可行域如下阴影部分：

2b a
1
所以阴影部分面积为 ，而 a,b (0,1) 的面积为 1，故在[1, + )
1
上是增函数的概率为 .
4 4
故选：D
ì 2 - 3a x, x 1,

2．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数 f x = í 1 x x
-a × + 1 1
满足对任意的实数 x1, x2 ，且 x x ，
÷ ÷ - , x <1
1 2
è 2 è 4 8
f x2 - f x1
都有 > 0成立，则实数 a的取值范围为（
x x ）1 - 2
A． 1, + é 3 B．
ê
,+
4 ÷
2 , 3 ù é3C． D． ,1
ù
è 3 4 ú ê4 ú
【答案】D
f x2 - f x1
【解析】因为对任意的实数 x1, x2 ，且 x1 x2 ，都有 > 0成立，x1 - x2
f x1 - f xx , x x x 2 所以，对任意的实数 1 2 ，且 1 2 ， < 0，即函数 f x 是R 上的减函数．x1 - x2
ì 2 - 3a x, x 1,
因为 f x = í 1 x 1 x 1 ，
-a × ÷ + ÷ - , x <1
è 2 è 4 8
1 x 1 x x
令 t = ÷ ， t > ，要使 f x a
1 1 1
= - × ÷ + ÷ - 在 - ,1 上单调递减，
è 2 2 è 2 è 4 8
y 1= t 2 - at -
1
所以， 在
8
,+
2 ÷上单调递增．è
另一方面，函数 y = 2 - 3a x, x 1为减函数，
ì
2 - 3a < 0

a 1
所以， í
3
，解得 a 1，
2 2 4
2 1 1 - 3a - a + 2 8
é3 ù
所以实数 a 的取值范围是 ê ,14 ú ．
故选：D．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选）若函数 f x 1= x2 - m - 2 x +1 é在 ê- ,
1 ù
ú上单调，则实数m 的值可以为 2 2
（ ）
1 5
A． -1 B．- C． D．3
2 2
【答案】BD
2
【解析】①当D = (m - 2)2 - 4 0，即0 m 4时， f x = x - m - 2 x +1 = x2 - m - 2 x +1，所以 f (x) 的对称
x m - 2轴为 = ，则 f (x) 的图象如下：
2
2
结合图象可知，要使函数 f x = x - m - 2 x 1 1+1 é ù m - 2 1 m - 2 1在 ê- , ú上单调，则 或 - ，解得：m 3或 2 2 2 2 2 2
m 1，即3≤m≤ 4 或0 m 1；
②当D = (m - 2)2
m - 2
- 4 > 0，即m < 0或m > 4 ，令 h(x) = x2 - m - 2 x +1，则 h(x) 的对称轴为 x = ，则 h(x) 的
2
图象如下：
2 é 1 1 ù
结合图象可知，要使函数 f x = x - m - 2 x +1 在 ê- , 2 2 ú上单调，
ì1 m - 2 ì1 m - 2 ì 1 m - 2 ì 1 m - 2
- - 2 2 2 2 2 2 2 2
则 í 1 ，或 í ，或 í ，或 í h( ) 0 h( 1- ) 1 1 0 h( ) 0 h(- ) 0
2 2 2 2
4 m 9 1解得： < ≤ ，或- m < 0，
2 2
9 1
综上：3 m 或- ≤m≤12 ；2
故选：BD
考点六 一元二次恒（能）成立
【例 6-1】（2023·福建厦门·二模）不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
1
A． a > 2 B．a 1 C． a > 1 D．0 < a <
2
【答案】A
1
【解析】当 a = 0时，-2x +1 > 0，得 x < ，与题意矛盾，
2
ìa > 0
当 a 0时，则 íΔ 4 4a 0 ，解得
a > 1，
= - <
综上所述， a > 1，
所以不等式 ax2 - 2x +1 > 0 （ a R ）恒成立的一个充分不必要条件是 A 选项.
故选：A.
【例 6-2】（2024·甘肃）若关于 x 的不等式 x2 - 6x + 2 - a > 0在区间 0,5 内有解，则实数 a的取值范围是
（ ）．
A． 2, + B． - ,5 C． - , -3 D． - , 2
【答案】D
x2 - 6x + 2 - a > 0 0,5 (x2【解析】不等式 在区间 内有解，仅需 - 6x + 2)max > a 即可，
-6
令 f (x) = x2 - 6x + 2，因为 f (x) 的对称轴为 x = - = 3， f (0) = 2， f (5) = -3，
2 1
2
所以由一元二次函数的图像和性质的得 (x - 6x + 2)max = 2，
所以 a < 2，
故选：D
【一隅三反】
1．（2024·陕西宝鸡· 2模拟预测）若存在实数 x ，使得mx - m - 2 x + m < 0成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A． - , 2 B． - ,0 1 3 , ÷
è 3 2
- , 2 C． ÷ D． - ,1
è 3
【答案】C
【解析】①当m = 0时，不等式化为 2x < 0，解得： x < 0 ，符合题意；
②当m > 0时， y = mx2 - m - 2 x + m为开口方向向上的二次函数，
2 2 2 0 m 2只需D = m - 2 - 4m = -3m - 4m + 4 > 0，即 < < ；3
③ 2当m < 0时， y = mx - m - 2 x + m为开口方向向下的二次函数，
2
则必存在实数 x ，使得mx - m - 2 x + m < 0成立；
综上所述：实数m
2
的取值范围为 - , 3 ÷
.
è
故选：C.
2．（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．-1 a < 0 B． a 0
C．-1 < a 0 D．-1 < a < 0
【答案】D
【解析】当 a = 0时，-1 < 0恒成立，
ìa < 0
当 a 0时，则 í 2 ，解得-1 < a < 04a 4a 0 ， + <
综上所述，不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立时，-1 < a 0，
所以选项中“不等式 ax2 + 2ax -1< 0恒成立”的一个充分不必要条件是-1 < a < 0 .
故选：D.
3．（2024 河南）设 a 为实数，若关于 x 的不等式 x2 - ax + 7 0在区间 2,7 上有实数解，则 a 的取值范围是
（ ）
11
A． - ,8 B． - ,8 C． - , 2 7 D． - ,
è 2 ÷
【答案】A
7 7 7
【解析】由题意，因为 x 2,7 ，故 a x + 在区间 2,7 上有实数解，则 a < x + x ÷ ，又 g x = x + 在 2, 7x è max x
7,7 g 2 2 7 11 g 7 7 7 7上单调递减，在 上单调递增，且 = + = ， = + = 8 > g 2 x + 7，故 < 8 .故 a x + 在2 2 7 ÷è x x
区间 2,7 上有实数解则 a < 8 .故选：A
考点七 三个一元二次的关系
【例 7】（2024 黑龙江大庆）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 x x < -2 或 x > 3 ，则下列说
法正确的是（ ）
A． a > 0 B．关于 x 的不等式bx + c > 0的解集是 x x < -6
ì 1 1
C． a + b + c 0 ü> D．关于 x 的不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 íx x < - 或 x >
3 2
【答案】ABD
【解析】由关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 x x < -2 或 x > 3 ，
知-2和 3 是方程 ax2 + bx + c = 0的两个实根，且 a > 0，故 A 正确；
b
根据根与系数的关系知：- = -2 + 3 =1 > 0,
c
= -2 3 = -6 < 0，
a a
所以b = -a,c = -6a, a > 0，
选项 B：不等式bx + c > 0化简为 x + 6 < 0，解得： x < -6，
即不等式bx + c > 0的解集是{x x < -6}，故 B 正确；
选项 C：由于 a > 0，故 a + b + c = a - a - 6a = -6a < 0 ，故 C 不正确；
选项 D：不等式 cx2 - bx + a < 0化简为：6x2 - x -1 > 0，
ì 1 1 ü
解得： x íx x < - 或 x > ，故 D 正确；
3 2
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024 江苏南京·期末）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1 < x < 3}，则（ ）
A． a < 0
B． a + b + c = 0
C． 4a + 2b + c < 0
D．不等式 cx2
1
- bx + a < 0的解集是{x∣x < -1或 x > - }3
【答案】ABD
ì b
- = 4 a ìb = -4a
【解析】由题意可知，1，3 是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根，且 a<0， í
c
í ，
= 3 c = 3a
a
A：由以上可知 a<0，故 A 正确；
B：当 x =1时，代入方程可得 a + b + c = 0 ，故 B 正确；
C：因为1< 2 < 3，不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1 < x < 3}，故将 x = 2代入不等式左边为 4a + 2b + c > 0，故 C
错误；
1
D：原不等式可变为3ax2 + 4ax + a < 0，且 a<0，约分可得3x2 + 4x +1 > 0，解集为{x∣x < -1或 x > - }，故 D 正3
确；
故选：ABD
2．（2023 山东威海）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 - , -2 3, + ，则下列选项中正
确的是（ ）
A． a<0
B．不等式bx + c > 0的解集是 x | x < -6
C． a + b + c > 0
D．不等式 cx2
1 1
- bx + a < 0的解集为 (- , - ) ( , + )3 2
【答案】BD
【解析】不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 - , -2 3, + ，则-2,3是方程 ax2 + bx + c = 0的根，且 a > 0，
b
则- =1,
c
= -6,a > 0 ，即b = -a,c = -6a, a > 0，A 错误；
a a
不等式bx + c > 0化为-ax - 6a > 0，解得 x < -6，即不等式bx + c > 0的解集是 x | x < -6 ，B 正确；
a + b + c = -6a < 0，C 错误；
1 1
不等式 cx2 - bx + a < 0化为-6ax2 + ax + a < 0，即6x2 - x -1 > 0，解得 x < - 或 x > ，3 2
所以不等式 cx2 - bx + a < 0的解集为 (- ,
1 1
- ) ( , + )，D 正确.
3 2
故选：BD
3．（2024 湖南长沙·期末）（多选）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为{x∣x < -3，或 x > 2}，则（ ）
A． a > 0
B．不等式bx + c > 0的解集是{x∣x < -6}
C． a + b + c > 0
ì 1 1ü
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集是 íx x < - ，或 x >
2 3


【答案】AD
【解析】由关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0解集为{x∣x < -3或 x > 2}，
知-3 和 2 是方程 ax2 + bx + c = 0的两个实根，且 a > 0，故 A 正确；
b
根据根与系数的关系知：- = -3+ 2 = -1 < 0,
c
= -3 2 = -6 < 0，
a a
\b = a,c = -6a, a > 0，
选项 B：不等式bx + c > 0化简为 x - 6 > 0 ，解得： x > 6，
即不等式bx + c > 0的解集是{x∣x > 6}，故 B 不正确；
选项 C：由于 a > 0，故 a + b + c = a + a - 6a = -4a < 0，故 C 不正确；
选项 D：不等式 cx2 - bx + a < 0化简为：6x2 + x -1 > 0，
ì
解得： x íx x
1 x 1< - ü或 > ，故 D 正确；
2 3
故选：AD.
考点八 解含参一元二次不等式
【例 8-1】（2024 2广东阳江）不等式 ax - a + 2 x + 2 0 a < 0 的解集为（ ）
é 2
A． ê ,1
ù é
ú B． ê1,
1 ù
a a ú
, 2C． -
ù
ú [1,+ ) D． (- ,1]
é 2 ê ,+

a ֏ a
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为： x -1 ax - 2 ≥0，
2 2
当 a<0时，可知 (x - )(x -1) 0a ，对应的方程的两根为 1， ，a
2
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：[ ,1] .a
故选：A.
【例 8-2】（2024 2贵州毕节）若关于 x 的不等式 x - m + 2 x + 2m < 0的解集中恰有 2 个整数，则实数m 的取值范
围为（ ）
A． -1,0 U 4,5 B． -1,0 U 2,5 C． -2,0 U 2,5 D． -2,0 U 3,5
【答案】A
2
【解析】由 x - m + 2 x + 2m < 0，得 x - m x - 2 < 0，
当m = 2 时，不等式的解集为 ，不符合题意舍去，
当m < 2时，不等式的解集为 x m < x < 2 ，此时若有 2 个整数解，则需-1 m < 0 ，
当m > 2 时，不等式的解集为 x 2 < x < m ，此时若有 2 个整数解，则需 4 < m 5，
综上：实数m 的取值范围为 m -1 m < 0或 4 < m 5 ，
故选:A．
【例 8-3】（2024 吉林白山）解关于 x 的不等式：
(1) ax2 - 2a -1 x - 2 0 2 2（ ） f (x) = ax2 + (1- a)x + a - 2 < a -1（3） f x = x - 2ax + 3 <0
【答案】答案见解析
2
【解析】（1）不等式 ax - 2a -1 x - 2 0可化为 (ax +1)(x - 2) 0 ，
当 a = 0时， x - 2 0，不等式的解集为[2,+ )；
1 1
当 a > 0时，不等式化为 (x + )(x - 2) 0，其解集为 (- ,- ]U[2,+ )；
a a
1
当 a<0时，不等式化为 (x + )(x - 2) 0，
a
1
（ⅰ）当- < 2 a
1 1
，即 < - 时，不等式的解集为[- , 2]；
a 2 a
1
（ⅱ）当- = 2 a
1
，即 = - 时，不等式的解集为{2}；
a 2
1 1 1
（ⅲ）当- > 2，即- < a < 0 时，不等式的解集为[2,- ] .
a 2 a
（2）不等式 f (x) < a -1 ax2 + (1- a)x -1 < 0，
当 a = 0时， x <1，
1
a 1 1当 > 0时，不等式可化为 (x + )(x -1) < 0，而 - < 0 ，解得- < x <1
a a
，
a
1
当 a<0时，不等式可化为 (x + )(x -1) > 0 ，
a
1
当- =1，即 a = -1时， x R, x 1，
a
1
当- <1，即 a < -1时， x
1
< - 或 x >1，
a a
1 1
当- >1，即-1 < a < 0时， x <1或 x > - ，
a a
所以，当 a = 0时，原不等式的解集为 (- ,1)，
当 a
1
> 0时，原不等式的解集为 (- ,1)，
a
当-1 a < 0时，原不等式的解集为 (- ,1) ( 1- , + )，
a
1
当 a < -1时，原不等式的解集为 (- , - ) (1, + ) .
a
(3)不等式 x2 - 2ax + 3 < 0，
①当D 0时，即- 3 a 3时，不等式的解集为 ，
②当D > 0时，即 a < - 3 或 a > 3时，
由 x2 - 2ax + 3 = 0，解得 x = a - a2 - 3 或 x = a + a2 - 3 ，
所以不等式的解集为{x | a - a2 - 3 < x < a + a2 - 3}，
综上所述，当- 3 a 3时，不等式的解集为 ；
当 a < - 3 或 a > 3时，不等式的解集为{x | a - a2 - 3 < x < a + a2 - 3}．
【一隅三反】
1．（2024 天津红桥）若关于 x 的不等式 2ax2 - 4x < ax - 2只有一个整数解，则实数 a 的取值范围是 .
【答案】1 a < 2
【解析】 2ax2 - 4x < ax - 2，即 2x -1 ax - 2 < 0
1
当 a = 0

时，则不等式解集为 ,+ ÷，不符合题意；
è 2
2 1
当 a<0 时，则不等式解集为 - , ÷ ,+ a 2 ÷，不符合题意；è è
当 a > 0时，
若 a = 4时，不等式解集为 ，不符合题意；
1 2 2
若 0 < a < 4 时，不等式解集为 , ÷，故只需满足1 < 2，解得1 a < 2；
è 2 a a
2 1
若 a > 4时，不等式解集为 , ÷，不合题意；
è a 2
综上：1 a < 2 .
故答案为：1 a < 2
2．（2024 高三·全国·专题练习）解关于实数 x 的不等式：
(1) x2 - (a +1)x + a < 0 ．（2） x2 - ax +1 < 0．(3) ax2 + a + 2 x + 2 0 a R
【答案】答案见解析
【解析】（1）易知方程 x2 - (a +1)x + a = 0的Δ = a -1 2 0，
由 x2 - (a +1)x + a = 0得 (x - a)(x -1) = 0，解得 x1 = a, x2 =1，
当 a > 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x 1< x < a ，
当 a =1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 ，
当a < 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x a < x <1 ．
（2）对方程 x2 - ax +1 = 0 ，当D = a2 - 4 0时，即-2 a 2时,不等式的解集为
当D = a2 - 4 > 0时，即 a > 2或 a < -2时,
a - a2 - 4 a + a2x2 - ax +1 = 0 x , x - 4的根为 1 = = ，2 2 2
ì 2x a - a - 4 x a + a
2 - 4 ü
不等式的解集为 í < < ；
2 2
综上可得，-2 a 2时,不等式的解集为 ，
ì x a - a
2 - 4 a + a2 - 4 ü
a > 2或 a < -2时，不等式的解集为 í < x < .
2 2
（3）当 a = 0时，不等式等价于 2x + 2 0 ，即 x -1；
2
当 a > 0 时，原不等式化为 x + ÷ x +1 0，
è a
2 1 x 2当 a > 2时，即- > - 时，解得 - 或 x -1；
a a
2
当 a = 2时，即- = -1时，原不等式即为 x +1 2 0，解得 x R ；
a
2
当- < -1时，即0 < a 2 x
2
< 时，解得 - 或 x -1．
a a
2 2
当 a<0 时，原不等式化为 x + ÷ x +1 0 ， 解得-1 x - ．
è a a
a 2 2综上所述，当 > 时，不等式的解集为{x | x - a 或
x -1}；
当 a = 2时，不等式的解集为 R；
2
当0 < a < 2 时，不等式的解集为{x | x - 或 x -1}；
a
当 a = 0时，不等式的解集为 x x -1 ；
ì 2 ü
当 a < 0时，不等式的解集为 íx -1 x - a
.

考点九 一元二次根的相关问题
【例 9-1】（2024 · x x2北京 期中）如果关于 的一元二次方程 + 2mx + m + 2 = 0有两个不同的正数实数根，那么m
的取值范围为（ ）
A． -2, -1 B． -1,2 C． - , -1 U 2, + D． - , -2 -1, +
【答案】A
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m + 2 = 0有两个不同的正数实数根，
ìΔ = 4m2 - 4(m + 2) > 0

则有 í-2m > 0 -2 < m < -1，故选：A

m + 2 > 0
【例 9-2】（2024 浙江· 2阶段练习）若关于 x 的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且
x1 <1, x2 >1．则实数 a 的取值范围为 ．
【答案】 a < -2
【解析】令函数 f (x) = x2 + (3a -1)x + a + 8，依题意， f (x) = 0 的两个不等实根 x1, x2 满足 x1 <1, x2 >1，
而函数 f x 图象开口向上，因此 f (1) < 0，则12 + (3a -1) 1+ a + 8 < 0，解得 a < -2，
所以实数 a 的取值范围为 a < -2 .故答案为： a < -2
【一隅三反】
1．（2024 山西太原·阶段练习）（多选）已知关于 x 的方程 x2 + ax + a + 3 = 0，则（ ）.
A．当 a = 2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是-2 < a < 4
C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 a > 6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 a < -4
【答案】BC
【解析】对于 A 选项：当 a = 2时， x 2 + 2x + 5 = 0 ，此时D = 22 - 4 1 5 = -16 < 0，
此时方程没有实数根，故 A 选项错误；
对于 B 2选项：方程无实数根的充要条件是Δ = a - 4 1 a + 3 < 0，即-2 < a < 6，
所以方程无实数根的一个充分条件是 a -2 < a < 6 的子集，显然-2 < a < 4符合，故 B 选项正确；
ìΔ = a2 - 4 1 a + 3 > 0

对于 C 选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 íx1 + x2 = -a < 0 ,

x1 × x2 = a + 3 > 0
解得： a > 6，故 C 选项正确;
ìΔ = a2 - 4 1 a + 3 > 0
对于 D 选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 í ,
x1 × x2 = a + 3 < 0
解得： a < -3，故 D 选项错误;
故选：BC.
故答案为：1（也可取 2，3）．
2．（2024 江苏连云港·阶段练习）已知方程 x2 - 2ax + a2 - 4 = 0的一个实根小于 2，另一个实根大于 2，求实数 a
的取值范围 .
【答案】 0,4
2 2
【解析】设 f x = x - 2ax + a - 4，
因为方程 x2 - 2ax + a2 - 4 = 0的一个实根小于 2，另一个实根大于 2，
f 2 = a2则满足 - 4a < 0，解得 0 < a < 4 ，即实数 a的取值范围为 0,4 .
故答案为： 0,4 .
3．（23-24 高三上·四川·阶段练习）若关于 x 的方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实数解，
则 a的取值范围是（ ）
6
A． - , -1
6
÷ B． - ,1

è 5 ÷ è 5

C． - ,
6
-
6
÷ U -1, + D． - , - ÷ U 1, +
è 5 è 5
【答案】A
g x = x2【解析】令 - 2ax + a + 2，因为方程 x2 - 2ax + a + 2 = 0在区间 -2,1 上有两个不相等的实数解，
ìΔ > 0 ìΔ = 4a2 - 4 a + 2 > 0

-2 < a <1

-2 < a <1 6 a 6 所以 íg ，即 í ，解得- < a < -1-2 > 0 ，所以 的取值范围是 - , -1÷ ．故选：A． 4 + 4a + a + 2 > 0 5 è 5
g 1 > 0 1- 2a + a + 2 > 0
4．（2024 山东菏泽·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A 2 2．若关于 x 的方程 x + a -1 x + a - 2 = 0 的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 a 的取值范围是 -2 < a <1
B．若关于 x 的不等式 x2 - kx + k -1 < 0在 1,2 上恒成立，则实数 k 的取值范围是 k < 3
ax + b
C．若关于 x 的不等式 ax - b > 0的解集是 1, + ，则关于 x 的不等式 > 0 的解集是 x x > 2或 x < -1
x - 2
1 2
D + =1 a > 0,b 1 4> 0 + 1．若 ，则 的最小值为
a b a2 b2 2
【答案】ACD
【解析】对于 A，二次函数 f x = x2 + a2 -1 x + a - 2，开口向上，
x x2 + a2若关于 的方程 -1 x + a - 2 = 0 的一根比 1 大且另一根比 1 小，
f 1 =1+ a2则 -1 + a - 2 = a2 + a - 2 < 0，解得 -2 < a <1，故 A 正确；
对于 B，若关于 x 的不等式 x2 - kx + k -1 < 0在 1,2 上恒成立，
则只需 k x -1 > x2 -1，即 k > x +1在 1,2 上恒成立即可，
则实数 k 的取值范围是 k 3，故 B 错误；
对于 C，若关于 x 的不等式 ax - b > 0的解集是 1, + ，则 a > 0, a = b，
ax + b x +1
所以关于 x 的不等式 > 0 > 0 x < -1或 x > 2，故 C 正确；‘
x - 2 x - 2
1 2
对于 D，若 + =1 a > 0,b > 0 1 2 1 2 4 1，则 + = 2 ，解得 ，等号成立当且仅当 a = 2,b = 4，
a b a b ab ab 2
1 4 1 2
2 4 4 1 1
所以 2 + 2 = +

÷ - =1- 1- = ，等号成立当且仅当 a = 2,b = 4，故 D 正确.故选：ACD.a b è a b ab ab 2 2
一．单选题
1．（2024 2江西抚州）若命题“ $x0 R, x0 + 2mx0 + m + 2 < 0 ”为假命题，则 m 的取值范围是（ ）
A． - , -1 2, + B． - , -1 U 2, +
C． -1,2 D． -1,2
【答案】C
2
【解析】由题意命题“ "x0 R, x0 + 2mx0 + m + 2 0 ”为真命题，
2
所以当且仅当D = 4m - 4 m + 2 = 4 m2 - m - 2 0，
解得-1 m 2，即 m 的取值范围是 -1,2 .
故选：C.
ìx2 + x,-2 < x < 0
2．（2024·北京西城·一模）已知函数 f x = í ，若 f x 存在最小值，则 c的最大值为（ ）
- x ,0 x < c
1 1 1
A 1． B． C． D．
16 8 4 2
【答案】A
2 1 1
【解析】当-2 < x < 0时， f (x) = x2 + x 1 1= x +

÷ - ，故当 x = - 时， f x 有最小值为- ；
è 2 4 2 4
0 x < c 时， f (x) = - x 单调递减，所以- c < f x 0，
1 1 1
由题意 f (x) 存在最小值，则- c - ，解得0 < c ，即 c的最大值为 .
4 16 16
故选：A
3．（2024 湖南长沙·开学考试）四个数 20.8 ，30.8 ， log0.3 4 ， log0.4 0.5的大小关系为（ ）
A 30.8 > log 0.8 0.8 0.8． 0.4 0.5 > 2 > log0.3 4 B．3 > 2 > log0.3 4 > log0.4 0.5
C log 0.8 0.8． 0.4 0.5 > 3 > 2 > log 4 D 3
0.8 > 20.80.3 ． > log0.4 0.5 > log0.3 4
【答案】D
【解析】因为 y = x0.8 在 (0, + )上单调递增，故30.8 > 20.8 >10.8 =1；
由于 y = log0.3 x 在 (0, + )上单调递减，故 log0.3 4 < log0.3 1 = 0，
由于 y = log0.4 x 在 (0, + )上单调递减，故0 = log0.4 1< log0.4 0.5 < log0.4 0.4 =1，
30.8 > 20.8故 > log0.4 0.5 > log0.3 4，
故选：D
2
4 2．（2024 江苏南京·期末）已知幂函数 f x 的图象过点 2, ÷÷，则函数 y = f x + 2x 的单调递增区间为（2 ）è
A． - ,-2 B． - ,-1
C． 0, + D． 1, +
【答案】A

【解析】设 f x = xa ，因为 f x 2的图象过点 2, 2 ÷÷，è
2 1 1-
所以 2a = ，解得a = - ，即
2 2 f x = x
2 ，
可得 f x 在 0, + 上单调递减，
1
y = f x2 -则函数 + 2x = x2 + 2x 2 1= ，
x2 + 2x
由 x2 + 2x > 0，解得 x<- 2或 x > 0，
则函数 y = x2 + 2x在 - ,-2 上单调递减，在 0, + 上单调递增，
所以函数 y = f x2 + 2x 的单调递增区间为 - ,-2 .
故选：A.
5．（2024 广东深圳·阶段练习）已知函数 f x 是定义域上的偶函数，在区间 0, + 上单调递增，且对任意 x1、
x2均有 f x1x2 = f x1 + f x2 成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． y = ln x B． y = x3 C． y = 2 x D． y = x
【答案】A
【解析】对于 A，因为 y = f x = ln x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，
又 f -x = ln -x = ln x = f x ，则 f x 是定义域上的偶函数，
当 x 0, + 时， f x = ln x显然单调递增，
又 f x1x2 = ln x1x2 = ln x1 + ln x2 = f x1 + f x2 ，满足题意，故 A 正确；
对于 B，因为幂函数 y = x3是奇函数，而非偶函数，故 B 错误；
x 0
对于 C，对于 y = f x = 2 ，有 f 1 0 = f 0 = 2 =1，
而 f 1 + f 0 = 21 + 2 0 = 3，显然两者不相等，故 C 错误；
对于 D，对于 y = f x = x 定义域为R ，有 f 0 1 = f 0 = 0 = 0，
f 0 + f 1 = 0 +1 =1，显然两者不相等，故 D 错误；
故选：A.
6．（2024 辽宁沈阳）已知关于 x 的方程 x2 - kx + k + 3 = 0有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
2 8
A．-2 B． C3 ． D．19
【答案】B
【解析】由题意可得D = (-k)2 - 4(k + 3)…0 ，解得 k…6或 k -2，
ìx1 + x2 = k > 0
设两个为x1，x2，由两根为正根可得 í k > 0x ·x k 3 0，解得 ，综上知，
k…6 .
1 2 = + >
1 1 x + x k 11 2 = =
故两个根的倒数和为 + =x1 x2 x1gx
k + 3 3 ，
2 1+ k
Qk…6 1 1 3 1 3 3
1 … 2 2
，\ 0 < ， 0 < 1 < 1+ \ 3 .k 6 k 2 ，故 k 2 ， 1+ 3 ，故两个根的倒数和的最小值是 3 故选：Bk
1
7．（2024 湖北黄冈· 2期中）设集合 A = {x | x < - 或 x >1}，集合B = x | x - 2ax -1 0,a > 0 ，若 A B 中恰有两
2
个整数，则实数 a的取值范围（ ）
0, 4ù é 4 ,15 é 15 A． B． ÷ C． 2, ÷ D． 1, +
è 3 ú ê 3 8 ê 8
【答案】B
【解析】由题知，方程 x2 - 2ax -1 = 0的两根异号，且两根之积为-1.
f x = x2设 - 2ax -1， (a > 0)，
ì f -1 =1+ 2a -1 > 0

①若 A B 中恰有两个整数为 2，3，则 í f 3 = 9 - 6a -1 0 4 15，解得 a < ；
3 8 f 4 =16 -8a -1 > 0
②若 A B 中恰有两个整数为 -1， 2，
ì f -2 = 4 + 4a -1 > 0 ì f 2 = 4 - 4a -1 0
则 í 且 ，\a ；
f -1 =1+ 2a -1 0
í
f 3 = 9 - 6a -1 > 0
③若 A B 中有两个整数为 -1，-2，
ì f -2 = 4 + 4a -1 0
í ì f 1 =1- 2a -1 0
则 f -3 = 9 + 6a -1 0
a é 4> 且 í ,
15 .
f 0 1 0
，\a ；综上可得 ê 3 8 ÷ 故选：
B
= - <
8．（2024 四川成都·期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到
有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔
（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数 g x ，存在实数 x0 ，使得 g x0 = x0 ，我们就称
1
该函数为“不动点”函数，实数 x0 为该函数的不动点.已知函数 g x = ax2 + a - 2 x +1在区间 - , ÷上恰有两个
è 2
不同的不动点，则实数 a的取值范围为（ ）
3
A． , + ÷ B． 9, + C． - ,0 9,
, 2 + D． -

2 3 ÷è è
【答案】C
【解析】函数 g x = ax2 + a - 2 x +1 1 在区间 - , ÷上恰有两个不同的不动点，
è 2
g x = ax2即 + a - 2 x 1+1 = x 在区间 - , ÷上恰有两个解，
è 2
即 f x = ax2 + a - 3 x +1 在区间 - ,
1
÷上恰有两个零点，
è 2
ìa > 0 ìa < 0

a - 3 1

- <
a - 3 1
- <
2a 2 2a 2
所以 í 1 或者 í ， f 1 ÷ > 0 f

< 0
è 2 è 2
÷

Δ a 3 2 4a 0 = - - > Δ = a - 3
2 - 4a > 0
解得： a<0或 a > 9，
故选：C
二．多选题
9．（2024 辽宁抚顺）（多选）已知幂函数 f (x) 的图像经过点 8,4 ，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 f (x) 为增函数
B．函数 f (x) 为偶函数
C．若 x >1，则 f (x) >1
D．若0 < x < x
f (x ) + f (x ) x
，则 1 2 < f ( 1
+ x2
1 2 )2 2
【答案】BCD
【解析】设幂函数 f (x) = xa (a R) ，函数 f (x) 的图像经过点 8,4 ，则8a = 4， 23a = 22 ，
2 2
3a = 2，a = ，所以
3 f (x) = x
3 ，即 f x = 3 x2 ；
由 f -x = 3 -x 2 = 3 x2 = f x ，所以函数 f (x) 为偶函数，所以 B 正确；
分析函数解析式可知： x > 0时，随着 x 的增大， x2 也增大， 3 x2 也增大，
所以 x > 0时， f x 单调递增；
又 f (x) 为偶函数，所以 x < 0 时， f x 单调递减，所以 A 错误；
x >1时， f x 单调递增，又 f 1 =1，所以 x >1时， f (x) >1，C 正确；
大致画出函数图像如下，
f (x1) + f (x2 ) 为点 x1, f x1 与点 x2 , f x2 两点中点的纵坐标，2
f ( x1 + x2 )为 x
x1 + x= 2 时的函数值，
2 2
观察图象可知选项 D 正确.
故选：BCD
10．（2024·山东潍坊）已知函数 y = a x （ a > 0且a 1）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式
对应正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由图可得 a1 = 2，即 a = 2，
x
y = a- x = 1 ÷ 单调递减过点 -1,2 ，故 A 正确；
è 2
y = x-a = x-2 为偶函数，在 0, + 上单调递减，在 - ,0 上单调递增，故 B 正确；
x x ì2x , x 0y = a = 2 = í - x 为偶函数，结合指数函数图象可知 C 错误；
2 , x < 0
y = loga x = log2 x ，根据““上不动、下翻上”可知 D 正确；
故选：ABD.
11．（2023 福建·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 a 0 1 1> ，b > 0，且 a + b = 4 ，则 + 的最小值为 1
a b
B．若 a > 0，b > 0，且 a + b = 2 ，则 ab的最小值为 1
C．若关于 x 的不等式 x + a x -1 < 0的解集为 1,3 ，则 a = -3
D 2．关于 x 的不等式 x - a +1 x + a < 0的解集为 a,1
【答案】AC
1 1 1 1 1 1 b a
【解析】对于 A，因为 + = + ÷ a + b = 2 + +

÷ 1，当且仅当 a = b = 2时，等号成立，故 A 正确；a b 4 è a b 4 è a b
2
对于 B，因为 a + b = 2 a + b，所以 ab =1，当且仅当 a = b =1时，等号成立，所以 ab的最大值为 1，故 B 错
4
误；
对于 C，因为 x + a x -1 < 0的解集为 1,3 ，所以 a = -3，故 C 正确；
对于 D，因为 x2 - a +1 x + a = x - a x -1 < 0，
所以，当 a =1时，不等式的解集为 ；当a < 1时，不等式的解集为 a,1 ；当 a > 1时，不等式的解集为 1, a ，
故 D 错误.
故选：AC
三．填空题
12．（2024 北京·期中）下列命题：
①定义在R 上的奇函数 f (x) 必满足 f (0) = 0；
② f (x) = 2x +1 2 - 2 2x -1 既不是奇函数又不是偶函数；
③偶函数的图象一定与 y 轴相交；
④函数 f (x)
1
= 在 - ,0 U 0, + 上是减函数.其中真命题有 ．
x
（把你认为正确的命题的序号都填在横线上）.
【答案】①
【解析】对于① ，因 f (x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0) = - f (0)，则 f (0) = 0，故①是真命题；
对于② ，由 f (x) = 2x +1 2 - 2 2x -1 化简得 f (x) = 4x2 + 3，显然有 f (-x) = f (x)，即 f (x) 是偶函数，故②
是假命题；
对于③ ，偶函数的定义域应该关于原点对称，但是 x = 0是不一定有定义，则其图象不一定与 y 轴相交，故
③ 是假命题；
1
对于④ ，因函数 f (x) = 的定义域是 - ,0 0, + ，若取 x1 = -1, x2 = 2 ，则 f (-1) = -1, f (2)
1
= ，由
x 2
-1 < 2, f (-1) < f (2)可知④为假命题.
故答案为：① .
ì a x - a 2 -1, x < a
13．（2024 福建）已知函数 f x = í 的值域为R ，则实数 a 的取值范围为 ．
x - 2a - 2, x a
【答案】 -1,0
【解析】当 a 0时，
若 x < a，可得 f x -1；
若 x a， f x -2，函数 f x 的值域不可能为R ；
②当 a<0时， 2a < a，
所以函数 f x 在 - ,a ， a,+ 上单调递增，
若函数 f x 的值域为R ，只需 a - 2 -1，可得-1 a < 0．
由上知，实数 a 的取值范围为 -1,0 ．
故答案为： -1,0
14．（2024 江苏苏州·阶段练习）若命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 ．
【答案】 0,3
【解析】命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”的否定为：“ "x R, mx2 + 2mx + 3 > 0 ”
命题“ $x R, mx2 + 2mx + 3 0 ”为假命题等价于命题“ "x R, mx2 + 2mx + 3 > 0 ”为真命题；
当m = 0时，3 > 0，成立；
ìm > 0
当m 0 时，结合一元二次函数的图象可得： íΔ 4m2 ，解得0 < m < 3， = -12m < 0
综上，实数 m 的取值范围是[0,3) .
故答案为：[0,3) .
四．解答题
15．（2024 安徽芜湖·阶段练习）已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + x + b > 0 的解集为 - , -2 U 1, + ．
(1)求 a和b 的值；
(2) 2求不等式 ax - 2a + b + 2 x +1- c2 < 0 的解集．
【答案】(1) a =1，b = -2
(2)答案见解析
【解析】（1）由题意知-2和1是方程 ax2 + x + b = 0 的两个根且 a > 0，
ì
-2 +1
1
= -
a ìa =1
由根与系数的关系得 í ，解得 í
2 1 b b
；
= -2
- =
a
（2）由 a =1、b = -2，不等式可化为 x2 - 2x +1- c2 < 0，
即 éx - 1+ c ù é x - 1- c ù < 0，则该不等式对应方程的实数根为1+ c 和1- c ．
当 c > 0时，1+ c >1- c，解得1- c < x <1+ c，即不等式的解集为 1- c,1+ c ，
当 c = 0 时，1+ c =1- c，不等式的解集为空集，
当 c < 0时，1+ c <1- c，解得1+ c < x <1- c，即不等式的解集为 1+ c,1- c ，
综上：当 c > 0时，解集为 1- c,1+ c ，
当 c = 0 时，解集为空集，
当 c < 0时，解集为 1+ c,1- c ．
16．（2024 高三·全国·专题练习）已知二次函数 y = ax2 + bx + 2 （ a，b 为实数）
(1)若函数图象过点 1,1 ，对"x R ， y > 0恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)若函数图象过点 1,1 ，对"a -2,-1 ， y > 0恒成立，求实数 x 的取值范围；
【答案】(1) 3- 2 2,3 + 2 2
1- 17 1+ 17
(2) ,4 4 ÷÷è
【解析】（1）依题意， a + b + 2 =1，即b = -1- a ，
ìa > 0
由"x R ， y > 0恒成立，得 í 2 ，
Δ = b -8a < 0
ì -a -1 2 -8a < 0 ìa > 0
即 í ，整理得 í ，
a > 0
2
a - 6a +1< 0
解得3 - 2 2 < a < 3 + 2 2 .
所以实数 a的取值范围是 3- 2 2,3 + 2 2 .
（2）由（1）知，b = -1- a ，
y > 0 ax2 - 1+ a x + 2 > 0 2由 ，得 ，即 x - x a - x + 2 > 0，
依题意， x2 - x a - x + 2 > 0对"a -2,-1 恒成立，
令 g a = x2 - x a - x + 2 ，
ì
g -2 = -2x
2 + x + 2 > 0
则对"a -2,-1 ， g(a) > 0 恒成立，于是 íg 1 x2 2 0 ， - = - + >
1- 17
解得 < x 1+ 17< ，
4 4
1- 17 1+ 17
所以实数 x 的取值范围是 , ．
è 4 4 ÷
÷

17．（2024 2 2陕西咸阳）已知函数 f x = a x + 2ax - a2 +1 .
(1)当 a = 2时，求 f x 0 的解集；
(2)是否存在实数 x ，使得不等式 a2x2 + 2ax - a2 +1 0对满足 a -2,2 的所有 a恒成立？若存在，求出 x 的值；
若不存在，请说明理由.
é 3
【答案】(1) ê- ,
1 ù
2 2ú
(2)不存在，理由见解析
2
【解析】（1） a = 2时，函数 f x = 4x + 4x - 3，
不等式 f x 0 即为 4x2 + 4x - 3 0 ，
即 2x + 3 2x -1 0，
3 1
解得- x ，
2 2
∴不等式 f x 0 é 3的解集为 ê- ,
1 ù
.
2 2ú
（2）设 g a = a2x2 + 2ax - a2 +1 = x2 -1 a2 + 2xa +1， a -2,2 ，
根据题意知， g a 0在 -2,2 上恒成立，
①当 x2 -1= 0时，解得 x = ±1，
若 x =1，则 g a = 2a +1在 -2,2 上单调递增，
则 g(a)min = g -2 = -3 < 0，不符合题意；
若 x=-1，则 g a = -2a +1在 -2,2 上单调递减，
则 g(a)min = g 2 = -3 < 0，不符合题意；
②当 x2 -1 < 0，即-1 < x <1时， g a 的图像为开口向下的抛物线，
ìg -2 0
要使 g a 0在 -2,2 上恒成立，需 í
g 2
，
0
ì4x2 - 4x - 3 0
即 í 2 ，解得 x
3 3
- 或 x ，
4x + 4x - 3 0 2 2
又∵ -1 < x <1，∴此时无解；
③当 x2 -1 > 0，即 x < -1或 x >1时， g a x的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为 a = ，
1- x2
x 1+ 17
（i）当 2 -2 ，即1 < x 时， g a 在 -2,2 上单调递增，1- x 4
∴ g(a)min = g -2 = 4x2 - 4x - 3 0 x
1
，解得 - 或 x
3
，
2 2
∵ 3 1+ 17
1
> ，- <1，∴此时无解；
2 4 2
x
ii -2 < < 2 x -1- 17 x 1+ 17（ ）当 2 ，即 < 或 > 时， g a
é
在 ê-2,
x ù é x ù
上单调递减，在
1- x 4 4 1- x2 ú ê 1- x2
, 2ú 上单调
递增，
∴ g(a) = g
x 1
min 2 ÷ = 2 0，此时无解；è1- x 1- x
x
iii 2 -1- 17（ ）当 2 ，即 x < -1时， g a 在 -2,2 上单调递减，1- x 4
∴ g(a)min = g 2 = 4x2 + 4x - 3 0
3 1
，解得 x - 或 x ，
2 2
∵ 3 -1- 17
1
- < ， > -1，∴此时无解；
2 4 2
综上，不存在符合题意的实数 x .
31
18．（2024 2 2 2 2浙江台州）已知函数 f x = 2x - ax + a - 4， g x = x - x + a - ， a R
4
(1)当 a =1时，解不等式 f x > g x ；
(2)若任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，求实数 a的取值范围；
(3)若"x1 0,1 ，$x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) R
(2) a <1+ 15
(3) a - ,6
2
【解析】（1）当 a =1时， f x = 2x - x - 3， g x = x2 27- x -
4
2 15
所以 f x - g x = x + > 0，所以 f x > g x ，所以 f x > g x 的解集为R .
4
（2）若对任意 x > 0，都有 f x > g x 2成立，即 x + 1- a x 15+ > 0在 x > 0恒成立，
4
h x = x2 1 15 a -1解法一：设 + - a x + ， x > 0，对称轴 x = ，由题意，只须 h x > 0min ，4 2
a -1
①当 0，即 a 1时， h x 在 0，+ 上单调递增，所以 h x > h 0 15= ，符合题意，所以 a 1；
2 4
a -1
②当 > 0，即 a > 1时， h x a -1 a -1在 0, ÷上单调递城，在 ，+

2 ÷ 单调递增，2 è 2 è
2
所以 h x h a -1 a -1 15> ÷ = - + > 0，解得1- 15 < a <1+ 15 且 a > 1，
è 2 4 4
所以1 < a <1+ 15 .
综上， a <1+ 15 .
2 15 15 15
解法二：不等式可化为 a -1 x < x + ，即 a -1< x + ，设 k = x + ， x > 0，
4 4x 4x
由题意，只须 a -1< k x min ， k x
15 15
= + 2 x × = 15 ，
4x 4x
15 15
当且仅当 x = 即
4x x =
时等号成立，则 k
2 min
= 15 ，
所以 a -1< 15 ，即 a <1+ 15 .
（3）若对任意 x1 0,1 ，存在 x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，
即只需满足 f x > g xmin min ， x 0,1 ，
g x x2 x 31 1 1 1= - + a2 - x = é ù，对称轴 ， g x 在 0, 递减，在 ,1 递增，
4 2 ê 2 ÷ è 2 ú
g x g 1= ÷ = a2 -8min ， f x = 2x
2 - ax + a2 - 4， x 0,1 a，对称轴 x = ，
è 2 4
a
① 0 即 a 0时， f x 在 0,1 递增， f x = f 0 = a2 - 4 > g x = a2 -8min min 恒成立；4
a a a
② 0 < <1
é ù
即 0 < a < 4 时， f x 在 ê0, 4 ÷ 递减，在 ,14 ú 递增，4 è
f x = f a 7 ÷ = a2 - 4， g x = a2 -8
7 2 2
min ，所以 a - 4 > a -8，故 0 < a < 4 ；è 4 8 min 8
a
③ 1即 a 4时， f x 在 0,1 递减， f x = f 1 = a2 - a - 2 g xmin ， = a
2 -8
4 min
，
所以 a2 - a - 2 > a2 -8，解得 4 a < 6 ，综上： a - ,6 .
19．（2024· 2 n云南昆明·模拟预测）我们把 a0 + a1x + a2x +LL+ an x = 0 （其中 an 0 ， n N* ）称为一元 n 次多项
*
式方程．代数基本定理：任何复系数一元 n n N 次多项式方程（即 a0， a1， a2，…， an 为实数）在复数集内
*
至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 n n N 次多项式方程在复数集内有且仅有 n 个复数根（重根
*
按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 n n N 次多项式在复数集内一定可以分解因
式，转化为 n 个一元一次多项式的积．即 a + a x + a x20 1 2 +LL+ an x
n = an x -a1
k1 x -a2
k2 L x -a kmm ，其中 k，
m N *， k1 + k2 +LL+ km = n，a1，a2，……，a 2m为方程 a0 + a1x + a2x +LL+ a nn x = 0 的根．进一步可以推出：
在实系数范围内（即 a0， a1， a2，…， a 2n 为实数），方程 a0 + a1x + a2x +LL+ a
n
n x = 0 的有实数根，则多项式
a + a x + a x2 +LL+ a n0 1 2 n x 必可分解因式．例如：观察可知， x =1是方程 x3 -1 = 0 的一个根，则 x -1 一定是多
项式 x3 -1 3的一个因式，即 x -1 = x -1 ax2 + bx + c ，由待定系数法可知， a = b = c =1．
(1)解方程： x3 - 2x +1 = 0；
(2)设 f x = a0 + a1x + a2x2 + a3x3，其中 a0， a1， a2， a3 R+ ，且 a0 + a1 + a2 + a3 =1．
（i）分解因式： x - a0 + a1x + a2x2 + a 33x ；
（ii）记点P x0, y 0 是 y = f x 的图象与直线 y = x 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当 a1 + 2a2 + 3a3 1
时， x0 = 1．
-1+ 5 -1- 5
【答案】(1) x1 =1， x2 = ， x2 3
=
2
(2) 2（i）- x -1 é a3x + a2 + a3 x - a0 ù；（ii）证明见解析
【解析】（1）观察可知： x =1是方程 x3 - 2x +1 = 0的一个根；
3
所以 x - 2x +1 = x -1 ax2 + bx + c = ax3 + b - a x2 + c - b x - c ，
ìb - a = 0

由待定系数法可知， íc - b = -2，解得 a =1，b =1， c = -1；

-c =1
2
所以 x -1 x + x -1 = 0，即 x =1或 x2 + x -1 = 0，
-1+ 5 -1- 5
则方程的根为 x1 =1， x2 = ， x3 = ．2 2
（2）（i 2 3）由 a0 + a1 + a2 + a3 =1可知， x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x + a3x = 0的一个根；
x - a + a x + a x2 + a x3 2所以 0 1 2 3 = x -1 ax + bx + c = ax3 + b - a x2 + c - b x - c ，
3
即-a3x - a2x
2 - a1 -1 x - a0 = ax3 + b - a x2 + c - b x - c，
对照系数得 a = -a3，-a2 = b - a，- a1 -1 = c - b ，-a0 = -c ，
故 a = -a3，b = - a2 + a3 = a0 + a1 -1， c = a0 ；
所以 x - a + a 2 30 1x + a2x + a3x = x -1 é -a x23 - a2 + a3 x + a0 ù
= - x -1 éa
2
3x + a2 + a3 x - a0 ù ．
（ii）令 f x - x = 0，即 a0 + a1x + a 22x + a x33 - x = 0，
点P x0, y 0 是 y = f x 的图象与直线 y = x 在第一象限内离原点最近的交点，
等价于 x0 是方程 a0 + a1x + a x22 + a3x3 - x = 0的最小正实根；
由（i）知： x =1是方程 x - a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = 0的一个正实根，
a + a x + a x2且 0 1 2 + a x33 - x = x -1 é a3x2 + a2 + a3 x - a0 ù ，
设 g x = a 23x + a2 + a3 x - a0，由 a0， a1， a a R+2， 3 可知 g x 为开口向上的二次函数；
又因为 g 0 = -a0 < 0，则 g x 一定有一正一负两个实根，设正实根为 t；
又 a0 + a1 + a2 + a3 =1，可得 a0 =1- a1 + a2 + a3 ，
所以 g 1 = a3 + a2 + a3 - a0 = 3a3 + 2a2 + a1 -1；
当 a1 + 2a2 + 3a3 1时， g 1 0，
由二次函数单调性可知 t 1，即 x =1是方程 x - a0 + a1x + a 22x + a 33x = 0的最小正实根．

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