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2.7 函数图像
考点一 作函数图像
【例 1】（2024 上海·专题练习）由函数 y = lg x 图像，画出下列各函数图像.
(1) y = lg(-x) (2) y = - lg x (3) y =| lg x | (4) y = lg | x | (5) y = lg | x -1| (6) y = lg(| x | +1)
【答案】图像见解析
【解析】（1）由于 y = lg(-x)与 y = lg x 关于 y 轴对称，可得图象如下：
.
（2）由于 y = - lg x 与 y = lg x 关于 x 轴对称，可得图象如下：
.
y lg x ì
lg x, x 1
（3）由于 = = í
- lg x,0
，可得图象如下：
< x <1
.
（4）由于 y = lg x 为偶函数，可得图象如下：
.
（5）将 y = lg x 向右平移 1 个单位可得 y = lg x -1 ，可得图象如下：
.
（6）将 y = lg x 向左平移 1 个单位可得 y = lg x +1 ，
易得 y = lg x +1 为偶函数，当 x 0 时， y = lg x +1 ，
所以 y = lg x +1 在 y 轴左侧的图象由 y = lg x +1 的图象关于 y 轴对称而得，如图，
.
【一隅三反】
1．（2024 高三·全国·专题练习）（1）利用函数 f（x）＝2x 的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y 1＝（ ）|x|2 ；
② y＝|log2（x＋1）|；
2x -1
③ y＝ .x -1
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】解：（1） ① 把 f（x）的图象关于 y 轴对称得到 y＝f（－x）的图象，如图．
② 保留 f（x）图象在 y 轴右边部分，去掉 y 轴左侧的，并把 y 轴右侧部分关于 y 轴对称得到 y＝f（|x|）的图
象，如图．
③ 把 f（x）图象向下平移一个单位长度得到 y＝f（x）－1 的图象，如图．
④ 结合③，保留 x 轴上方部分，然后把 x 轴下方部分关于 x 轴翻折得到 y＝|f（x）－1|的图象，如图．
⑤ 把 f（x）图象关于 x 轴对称得到 y＝－f（x）的图象，如图．
⑥ 把 f（x）的图象向右平移一个单位长度得到 y＝f（x－1）的图象，如图．
（2） ① 作出 y＝（ ）x（x≥0）的图象，再将 y＝（ ）x（x≥0）的图象以 y 轴为对称轴翻折到 y 轴的左侧，
即得 y＝（ ）|x|的图象，如图①中实线部分．
② 将函数 y＝log2x 的图象向左平移 1 个单位长度，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y＝|log2
（x＋1）|的图象，如图②中实线部分．
③ 因为 y＝ ＝2＋ ，故函数图象可由 y＝ 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
得到，如图③.
　　 　　
考点二 根据解析式选图像
1 2
【例 2-1】（2024·福建·模拟预测）函数 f (x) = x + cos x 在 -π, π 上的图象大致为（　　）
2
A． B．
C． D．
【答案】A
1 2
【解析】因为 f x = x + cos x，所以 f -x 1= -x 2 + cos -x 1= x2 + cos x = f x ，
2 2 2
所以函数 f x 为偶函数，图象关于 y 轴对称，故排除答案 CD，
又 f x = x - sin x， x 0, π ，
设 h x = x - sin x， x 0, π ，则 h x =1- cos x 0， x 0, π .
所以 h x 在 0, π 上为增函数，又 h 0 = 0，
所以 f x = h x = x - sin x 0在 0, π 上恒成立，即 f x 在 0, π 上单调递增，故排除 B.
故选：A
【例 2-2】（2024 湖北）函数 y＝xcos x＋sin x 在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)
【答案】　A
【解析】当 x＝π时，y＝π·cos π＋sin π＝π·(－1)＋0＝－π；当 x＝－π时，y＝－π·cos(－π)＋
sin(－π)＝－π·(－1)＋0＝π.故函数图象过(π，－π)，(－π，π)两点.故选 A.
【一隅三反】
1．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般
好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分
2x
析函数的图象特征．则函数 f (x) = - 2 的图象大致为（x 1 ）+
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知： f (x) 的定义域为R ，关于原点对称，
且 f (-x)
-2x 2x
= - 2 = 2 = - f (x) -x +1 x +1 ，可知
f (x) 为奇函数，排除 AB，且 f 1 = -1< 0，排除 D.
故选：C.
ex - e- x
2．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = 4ln x 1 的大致图象是（+ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
1 1
【解析】由题意得 4ln x +1 0，即 ln x - ，得 -
4 x ±e 4
，且 x 0，
ì 1- ü
所以 f x 的定义域为 íx x ±e 4 , 且x 0 ；

- x x x - x
又 f x e - e e - e- = = - = - f x 4ln ，所以 f x 为奇函数，-x +1 4ln x +1
其图象关于原点对称，排除 B，C；
1 1 1 1
1 1
- -
-
0 1 e
e - e e ee - e e
又 < < e 4 , f

÷ = 1 = < 0e e ，所以排除 D．è 4ln +1 -3
e
故选：A．
2x
3．（2024·全国· e -1模拟预测）函数 f x = x × ln x 的大致图像是（ ）e
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 f x 的定义域为 x x 0 ，关于原点对称，
又 f x = ex - e- x × ln x - x x， f -x = e - e × ln -x = - ex - e- x × ln x = - f x ，
所以函数 f x 为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项 A，C．
因为 f 1 1 1 1= 0, f ÷ =
è 2
e - ÷ × ln < 0，排除选项 B.
è e 2
（另解：当0 < x <1 lnx 0,ex - e- x时， 0，所以 f x < 0 ，排除选项 B）．
故选：D．
考点三 根据图像选解析式
【例 3-1】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
x - x x - x
A． f x e - e= f x e - e=4 x - 3 B． 3- 4 x
ex + e- x
C． f x = D． f x
x
=
4 x - 3 x -1
【答案】A
ex - e- x
【解析】对于 B，当 x >1时， f x = ，易知 ex - e- x > 0，3- 4x < 0，
3 - 4x
则 f x < 0 ，不满足图象，故 B 错误；
x - x
对于 C， f x e + e= , 3 U 3 , 3 U 3- - - , + 4 x - 3 ，定义域为 ，è 4 ÷ ÷ ÷ è 4 4 è 4
e- x + exf ( x) e
x + e- x
又 - = = = f (x) f x 4 x 3 4 x 3 ，则 的图象关于
y 轴对称，故 C 错误；
- - -
x x 1
对于 D，当 x >1时， f x = = =1+x -1 x -1 x -1，
由反比例函数的性质可知， f x 在 1, + 上单调递减，故 D 错误；
x - x
检验选项 A， f x e - e= 4 x 3 满足图中性质，故 A 正确.-
故选：A.
【例 3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
e x x2 +1A e
x ex 2x2
． y = B． C． y =
2x y = x 2x
D． y =
ex
【答案】C
【解析】根据题意，用排除法分析：
e x
对于选项 A： f x = ，当 x < 0 时，有 f x < 0 ，不符合题意；
2x
x2 +1 ex
对于选项 B：当 x < 0 时， f x = < 0，不符合题意；
x
D y 2x
2
对于选项 ： = x 的定义域为R ，不符合题意；e
故选：C．
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·一模）已知函数 f (x) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) = sin(tan x) B． f (x) = tan(sin x)
C． f (x) = cos(tan x) D． f (x) = tan(cos x)
【答案】D
【解析】观察图象可知函数为偶函数，
对于 A， f -x = sin tan -x = sin - tan x = -sin tan x = - f x ，为奇函数，排除；
对于 B， f -x = tan sin -x = tan -sin x = - tan sin x = - f x ，为奇函数，排除；
π π
同理，C、D 选项为偶函数，而对于 C 项，其定义域为 - + kπ, + kπ ÷ ，不是 R，舍去，故 D 正确.
è 2 2
故选：D
2．（2024·陕西西安·二模）已知函数 f (x) 的图象如图所示，则函数 f (x) 的解析式可能为（ ）
2
A f x = cos 2x × ex - e- x B f (x) x +1． ． = sin 2x × ln
x2
C f (x) e
x + e- x 1 x2
． = D． f (x) = × ln
x x x2 +1
【答案】B
【解析】对于 A，函数 f x = cos 2x × ex - e- x 的定义域为 R，而题设函数的图象中在自变量为 0 时无意义，不
符合题意，排除；
x - x
对于 C，当 x > 0时， f (x) e + e= > 0 ，不符合图象，排除；
x
2
对于 D，当 x > 0时， f (x) 1 ln x 1= × = é2 ln x
2 - ln x2 +1 ù < 0 ，不符合图象，排除.x x +1 x
故选：B
3．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定
理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数
时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，
常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数 y = f (x) 的图象如
图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
sin x cos x
A f (x) = 3sin x B f (x) = 3cos x C f (x) 1= ． ． ． ÷ D． f (x)
1
= ÷
è 3 è 3
【答案】A
【解析】由函数图象可知， y = f (x) 的图象不关 y 轴对称,
cos - x cos x
而 f (-x) = 3cos - x = 3cos x = f x ， f (-x) 1 1= ÷ = ÷ = f x ，
è 3 è 3
即这两个函数均关于 y 轴对称，则排除选项B、D ；
1 x
由指数函数的性质可知 y = 3x 为单调递增函数， y = 为单调递减函数，
è 3 ÷
由 y = sin x 的图象可知存在一个极小的值 x0 > 0 ，使得 y = sin x 在区间 0, x0 上单调递增，
sin x
由复合函数的单调性可知， f (x) = 3sin x 在区间 0, x0 上单调递增， f (x) = 1 ÷ 在区间 0, x0 上单调递减，
è 3
由图象可知 f (x) = 3sin x 符合题意，
故选：A .
考点四 函数图像的伸缩平移
【例 4-1】（2023·河南·模拟预测）已知图 1 对应的函数为 y = f x ，则图 2 对应的函数是（ ）
A． y = f (- | x |) B． y = f -x C． y = f | x | D． y = - f -x
【答案】A
【解析】根据函数图象知，当 x 0 时，所求函数图象与已知函数相同，
当 x > 0时，所求函数图象与 x < 0 时图象关于 y 轴对称，
即所求函数为偶函数且 x 0 时与 y = f x 相同，故 BD 不符合要求，
当 x 0 时， y = f (- | x |) = f (x)， y = f | x | = f (-x)，故 A 正确，C 错误.
故选：A.
【例 4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数 f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函
数解析式（ ）
4x -1
A． y = f (2x -1) B． y = f

÷
è 2
1- 4x
C． y = f (1- 2x)

D． y = f 2 ÷è
【答案】C
【解析】
①x - x ②x x-1 ③x 2x
y = f (x) y = f (-x) y = f (1- x) y = f (1- 2x)
①关于 y 轴对称②向右平移 1 个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
【例 4-3】（2024·河南）已知函数 f (x) = x3 - x，则下列函数图象关于点 1,0 对称的是（ ）
A． f x -1 + sinp x B． f x +1 + sinp x
C． f x -1 + cosp x D． f x +1 + cosp x
【答案】A
3
【解析】因为函数 f (x) = x3 - x，定义域为R ，则 f (-x) = -x - -x = -x3 + x = - f x ，故函数 f (x) = x3 - x为
奇函数，则关于原点对称，因此函数 f (x -1)为函数 f (x) = x3 - x向右平移一个单位得到，故函数 f (x -1)关于 1,0
对称，且函数 y = sin px关于点 1,0 对称，因此函数 f x -1 + sinp x关于点 1,0 对称，
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024 浙江）已知函数 f 4x + 3 的周期为 1，则（ ）
A． f x + 2 - f x - 2 = 0 B． f x + 2 + f -x + 2 = 0
C． f x + 4 + f x - 4 = 0 D． f x + 4 + f -x + 4 = 0
【答案】A
【解析】函数 f 4x + 3 的周期为1，则函数 f x 的周期为 4，
所以 f x + 2 = f x - 2 , f x + 2 - f x - 2 = 0，A 选项正确.
BCD 选项无法判断.
故选：A
2．（2024·北京）将函数 y = log2 (2x + 2) 的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)
的图象，则 g(x) =（ ）
A． log2(2x +1) -1 B． log2 2x +1 +1
C． log2 x -1 D． log2 x
【答案】D
【解析】将函数 y = log2 (2x + 2) 的图象向下平移 1 个单位长度,可得 y = log2 (2x + 2) -1
再向右平移 1 个单位长度，可得 y = log2 é 2 x -1 + 2 ù -1 = log2 2x -1
所以g x = log2 2x -1 = log2 x
故选：D
3．（2024·四川南充·二模）已知函数 f (x) = ex - e- x ，则函数 y = f (x -1) +1的图象（ ）
A．关于点 (1,1) 对称 B．关于点 (-1,1)对称C．关于点 (-1,0) 对称 D．关于点 (1,0)对称
【答案】A
【解析】因为 f (x) = ex - e- x ，所以 f (-x) = e- x - ex = - f (x)，即 f (x) 的图象关于原点对称，
函数 y = f (x -1) +1的图象可由 f (x) 的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数 y = f (x -1) +1的图象关于点 (1,1) 对称.
故选：A.
考点五 函数图像在实际生活应用
【例 5-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点 P 沿
A - B - C - M 运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 y = f x 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
1 x
【解析】当点 P 在 AB 上时， y = AP BC = ，
2 2
1 1 1
当点 P 在BC 上时， y = AB BC - AB BP - AD DM - MC CP
2 2 2
1
=1- x -1 1 1 1 1- - 2 - x 3 x= - ，
2 2 2 2 2 4 4
1 1 5 5 1
当点 P 在CM 上时， y = AD PM =
2 2
- x ÷ = - x，
è 2 4 2
其中 A 选项符合要求，B、C、D 都不符合要求，故 A 正确.
故选：A.
【例 5-2】（2024·广东广州）如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔
中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 h = f t 的图象大致是 ( 　　 )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 h = f t 是关于 t 的减函数，故排除 C，D，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一
半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为 B，故选 B．
【一隅三反】
1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，
他从点A 处出发，沿箭头方向经过点 B 、C 、D返回到点A ，共用时80秒，他的同桌小陈在固定点O位置观察
小李跑步的过程，设小李跑步的时间为 t （单位：秒），他与同桌小陈间的距离为 y （单位：米），若 y = f t ，
则 f t 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题图知，小李从点A 到点 B 的过程中， y 的值先增后减，
从点 B 到点C 的过程中， y 的值先减后增，
从点C 到点D的过程中， y 的值先增后减，从点D到点A 的过程中， y 的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即 y 的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D 选项合
乎题意，
故选：D.
2．（2024 北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始 15 分钟内的速度V x （单位：米/分钟）与
时间 x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” v x 为无人机在时间段 0, x 内的最大速度与最小速度的差，
则 v x 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当 x [0,6]
40 40
时，无人机做匀加速运动，V (x) = 60 + x，“速度差函数” v(x) = x；
3 3
当 x [6,10]时，无人机做匀速运动，V (x) =140，“速度差函数” v(x) = 80；
当 x [10,12]时，无人机做匀加速运动，V (x) = 40 +10x，“速度差函数” v(x) = -20 +10x；
当 x [12,15]时，无人机做匀减速运动，“速度差函数” v(x) =100，结合选项 C 满足“速度差函数”解析式，
故选：C.
3．（2024 山东济宁）点 P 从 O 点出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周，O P 两点的距离 y 与点 P 所
走路程 x 的函数关系如图所示，那么点 P 所走的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：
①点 P 运动到周长的一半时，OP最大；②点 P 的运动图象是抛物线，
设点M 为周长的一半，如下图所示：
图 1 中，因为OM OP ，不符合条件①，因此排除选项 A；
图 4 中，由OM OP ，不符合条件①，并且OP的距离不是对称变化的，因此排除选项 D；
另外，在图 2 中，当点 P 在线段OA上运动时，此时 y = x ，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项
B.
故选：C
4.（2024 甘肃）下列所给 4 个图像中，与所给 3 件事吻合最好的顺序为( )
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A．(1)(2)(4) B．(2)(3)(4)
C．(1)(3)(4) D．(4)(1)(2)
【答案】D
【解析】(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
根据描述，离家的距离先增加，再减少到零，再增加，如此只有图像(4)符合；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
根据描述，离家的距离应该先沿直线上升，然后与 x 轴平行，最后继续沿直线上升，符合的为图像(1)；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
图像应该先缓慢上升，后快速上升，符合的图像为(2).
故选：D.
考点六 函数图像的应用
【例 6-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 y = f x - 2 的图象关于直线 x = 2对称，对任意的 x R ，都有
f x + 3 = f x -1 成立，且当 x -2,0 时， f x = -x，若在区间 -2,10 内方程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 个不
同的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 2,2 2 B． 2,2 2ù C． 2 2,2 3 D． 2 2,2 3ù
【答案】D
【解析】因为函数 y = f x - 2 的图象关于直线 x = 2对称，
所以函数 y = f x 的图象关于 y 轴对称，
因为对任意的 x R ，都有 f x + 3 = f x -1 成立，
所以 f x + 4 = f é x +1 + 3 ù = f é x +1 -1ù = f x ，
所以函数 f x 的周期为 4，
画出函数 f x 在区间 -2,10 上的图象，如图所示：
若在区间 -2,10 内方程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 个不同的实数根，
即函数 y = f x 与 y = loga x + 2 的图象有 5 个交点，
ìloga 6 + 2 < 2
显然 a > 1，则 í
loga 10
，解得 ，
+ 2 2 2 2 < a 2 3
即实数 a的取值范围为 2 2,2 3ù .
故选：D．
ì log2 (x -1) ,1 < x 3
【例 6-2】（2024·天津红桥·一模）设函数 f (x) = í 2 ，若 f (x) = a有四个实数根 x ， x ， x ，
(x - 4) , x > 3
1 2 3
1 1
x4，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x3 + x4 x4 1 + x 的取值范围 ．2
10 , 9 【答案】 3 2 ÷è
ì- log (x -1),1 < x < 2
ì log2 (x -1) ,1 < x 3
2
【解析】因为 f (x) = í 2 ，所以 f (x) =

ílog2 (x -1), 2 x < 3 ，其图象如图所示，
(x - 4) , x > 3
(x - 4)
2 , x > 3
1 1
又 f (x) = a有四个实数根，由图知- log2 (x1 -1) = log2 (x2 -1)，得到 x1x2 = x1 + x2，即 + =1x x ，且
x3 + x4 = 8，
1 2
由 log2 (x -1) =1
3 3
，得到 x = 3或 x = ，所以 < x < 2 ，
2 2 1
1
所以 x3 + x4 x
1 2x 1 11 + =4 x 1
+ =1+ 2x1 - ，
2 x2 x1
3 10 9
令 y =1 2x
1 3
+ - ， < x < 2，易知 y
1
=1+ 2x - , 2 在区间 上单调递增，所以 , ，
x 2 x 2 ÷ 3 2 ÷è è
1
所以 x x
1
+ 10 9
4 3 4
x1 + x 的取值范围为 , ，2 è 3 2 ÷
10 9
故答案为： , ÷ .
è 3 2
【一隅三反】
ì 3x -1 , x <1
1．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 f x = í ，若函数 g x = f x + m有 3 个零点，则m
log2x, x 1
的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． -2,0
C． 0,1 D． -1,0
【答案】D
【解析】令 g x = f x + m = 0 ，故 f x = -m ，
x
ì 3 -1 , x <1
画出 f x = í 与 y = -m的图象，
log2x, x 1
函数 g x = f x + m 有 3 个零点，即 f x 与 y = -m图象有 3 个不同的交点，
则-m 0,1 ，
解得m -1,0 .
故选：D
ì (x +1)2 , x 0,
2．（2023·山东济南·三模）已知函数 f x = í lgx , x 0,若函数 g x = f x - b 有四个不同的零点，则实数b >
的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 1, +
【答案】A
【解析】
依题意，函数 g x = f x - b 有四个不同的零点，即 f x = b 有四个解，
转化为函数 y = f x 与 y = b图象由四个交点，
由函数函数 y = f x 可知，
当 x - ,-1 时，函数为单调递减函数， y 0, + ；
当 x -1,0 时，函数为单调递增函数， y 0,1 ；
当 x 0,1 时，函数为单调递减函数， y 0, + ；
当 x 1,+ 时，函数为单调递增函数， y 0, + ；
结合图象，可知实数b 的取值范围为 0,1 .
故选：A
é5π ù
3．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = x -1 与函数 g x = 2cos ê x -1 ú的图象所有交点的横坐标之和 2
为 ．
【答案】10
【解析】因为 f 2 - x = 2 - x -1 = 1- x = f x ，所以函数 f x 的图象关于直线 x =1对称，
且 f x 在 - ,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，
所以 f x 的最小值为 f 1 = 0．
g x 2cos é5π= ê x -1
ù
ú = 2cos
5π x 5π 5π
2
- ÷ = 2sin x
è 2 2 2
所以函数 g x 的图象关于直线 x =1对称，且 g x 的最大值为 2．
由于 f x 的图象和 g x 的图象都关于直线 x =1对称，
所以先考虑两个图象在 1, + 上的情形，

易知 g x 在 1,
7 7 9 9 11
5 ÷ 上单调递减，在
, ÷ 上单调递增，在 , ÷上单调递减，
è è 5 5 è 5 5
11,13 13 在 ÷上单调递增，在 ,3÷ 上单调递减．
è 5 5 è 5
f 13 13 1 8易知 ÷ = - = < 2， f 3 = 3-1 = 2，
è 5 5 5
所以可作出函数 f x 与 g x 的大致图象如图所示，
所以 f x 的图象和 g x 的图象在 1, + 上有 5 个交点．
根据对称性可知两函数图象共有 10 个交点，且两两关于直线 x =1对称，
因此所有交点的横坐标之和为 2 5 =10．
故答案为:10 .
ì ex
, x > 0且x 1,4．（2023·吉林·一模）已知函数 f x = í x -1 若函数 g(x) = f 2 (x) - mf (x) - e4 有 4 个零点．则实
- f -x , x < 0且x -1,
数m 的取值范围是 ．
4 4
【答案】 1- e ,e -1
x - 2
x 0 x 1 f x e
x
【解析】当 > 且 时， = ， f 2 = 0
(x -1)2
，
当0 < x < 2且 x 1时， f x < 0；当 x > 2时， f x > 0．
故 f x 在 0,1 ， 1,2 上单调递减，在 2, + 上单调递增，
当 x = 2 2时， f x 取得极小值 f 2 = e ，
0 < x <1时， f x < 0 ； x >1时， f x > 0
由 f x 解析式可知， f x 为奇函数．画出 f x 图象大致如下：
令 g x = 0 2得 f x - mf x - e4 = 0，设 t = f x ，
得关于 t 的方程 t 2 - mt - e4 = 0（*）
Δ = m2 + 4e4 > 0 恒成立，设（*）式有两个不等实根 t1 ， t2 ，
当 t1 = -e
2
， t2 = e
2
时，即m = 0，满足题意，
ì-e2 < t1 < -1 ìt1 < -e
2
当 í 2 或 í 2 ，满足题意，
t2 > e 1< t2 < e
方法一：
ìh(-e2 ) > 0 ìh(-e2 ) < 0
令 h t = t 2 - mt - e4 ，则 íh(-1) < 0 或 íh(1) < 0 ，
2
h(e ) < 0
2
h(e ) > 0
故0 < m < e4 -1或1- e4 < m < 0 ，
综上，实数m 的取值范围是 1- e4 , e4 -1 ．
方法二：
e4 4
（*）式化为m e= t - ，令 h t = t - t 0 ，
t t
易知 y = h t 在 - ,0 ， 0, + 上单调递增，
且 h 1 =1- e4 ， h -1 = e4 -1 2 2， h e = h -e = 0，
其图象大致如图：
ì-e2 < t < -1 ìt < -e2
当0 < m < e4 -1或1- e4 < m < 0 1 1时，满足 í 或 ，
t
2 í
2 > e 1< t < e
2
2
综上，实数m 4的取值范围是 1- e ,e4 -1 ．
一．单选题
1 2024· · f x sin
3 x
．（ 全国 模拟预测）函数 = 4 的大致图象是（ ）x - 2
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】Q f x 的定义域为 x x ± 4 2 ，
f x -sin
3 x
- = 4 = - f x ，\函数 f x 是奇函数，x - 2
\ f x 的图象关于原点对称，排除 A，C；
当0 < x < 4 2 时， sin3 x > 0，
（提示：0 < 4 2 < π ，故当0 < x < 4 2 时， sin x > 0，得 sin3 x > 0）
3
x4 - 2 < 0，\ f x sin x= 4 < 0，排除 B．x - 2
故选:D．
3x + 3- x2．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）函数 f x = 2 的图象大致为（ ）x -1
A． B．
C． D．
【答案】A
3x + 3- x x - x
【解析】由函数 f x = 2 ， f -x
3 + 3
= 2 = f (x)，令 x
2 -1 0，解得 x ±1，
x -1 x -1
则其定义域为 x | x ±1 ，关于原点对称，
30 + 30
所以函数在定义内为偶函数，排除 C，D 选项，因为 f 0 = = -2，观察选项可知，选 A.
-1
故选：A
3．（2024·天津·一模）如图是函数 f x 的部分图象，则 f x 的解析式可能为（ ）
f x sin5x f x cos5xA． =
2x - 2- x
B． =
2x + 2- x
f x cos5xC． = - x x D． f x
sin5x
=
2 - 2 2- x - 2x
【答案】D
【解析】由图可知： f x 的图象关于 y 轴对称，则为偶函数，
sin -5x
f x -sin5x对于 A， - = - x x = = f x 2 - 2 - 2x - 2- x ，为偶函数，
但当 x 取一个很小的正数，例如 x = 0.0001，选项中的 f 0.0001 > 0，而原图象中值为负数，故 A 不符合，舍去，
cos -5x
B, f x cos5x对于 - = - x x = x - x = f x ,为偶函数，但是 x = 0处有意义，但是原函数在 x = 0处无意义，故 B2 + 2 2 + 2
不符合，
cos -5x cos5x
对于 C， f -x = x - x = x - x = - f x ，为奇函数，故 C 不符合，2 - 2 2 - 2
故选：D
4．（23-24 高三上·天津·期末）已知函数 f x 在 -4,4 上的大致图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
f x πx πxA． = x ×cos B． f x = x ×cos
2 2
f x x sin πx f x x sin πxC． = × D． = ×
2 2
【答案】C
【解析】由图可知函数 f x 为奇函数，
πx πx若 f x = x cos πx× ，则有 f -x = -x ×cos -

÷ = f x = x ×cos ，2 è 2 2
若 f πx πxx x πx= ×sin ，则有 f -x = -x ×sin - = f x = x ×sin ，
2 è 2 ÷ 2
所以 f x x πx= ×cos 与 f x = x ×sin πx 都不是奇函数，故排除 AD；
2 2
而由 f 1 > 0，可排除 B，
ìx sin πxπx ,0 x 4
若 f x = x ×sin = 2í C .2 x sin πx
，经检验 选项符合题意
- ,-4 x < 0
2
故选：C.
5．（2023·河北·模拟预测）如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ）
x x +1
A． f x = ln x f x =+ 2 B． ex+1 -1
x3 x
C． f x = D． f2 x = x +1 x +1 2
【答案】D
ì x + 2 > 0 ìx + 2 0
【解析】对于 A，要使函数 f x 有意义，则 íln x ，即 ， + 2 0
í
x + 2 1
所以 x < -3或-3 < x < -2或-2 -1，
所以函数 f x 的定义域为 - , -3 U -3, -2 U -2,-1 U -1,+ ，A 不正确；
1
对于 B， f 0 = 0，而已知函数 f x 图象过原点，B 不正确；
e -1
3 3 2
对于 C，对于函数 f x
x f x x + 3x= 2 ，则 = f x > 0 x +1 ，当 x > 0时， ，x +1 3
则函数 f x 在 0, + 上单调递增，不符合题中图象，C 不正确，
f x x对于 D，对于函数 = 2 ，定义域为 - , -1 U -1, + ，且 f 0 = 0x +1 ，
f x 1- x=
x +1 3 ，当 x < -1时， f
x < 0，当-1 < x <1时， f x > 0，
x
当 x >1时， f x < 0，所以函数 f x = x 1 2 在 - , -1 + 上单调递减，
在 -1,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，符合图象，故 D 正确.
故选：D.
6．（2023· 2福建泉州·模拟预测）已知函数 f x = x ， g x = 2x - 2- x ，如图是下列四个函数中某个函数的大致图
象，则该函数是（ ）
g x f x
A． f x + g x B． f x × g x C． f x D． g x
【答案】D
【解析】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为 - ,0 U 0, + ，
A f x + g x = x2 + 2x - x对于 选项： - 2 的定义域为R ，所以 A 选项错误；
对于 B 选项： f x × g x = x2 2x - 2- x 的定义域为R ，所以 B 选项错误；
又知当 x 时， y 0，
x 1
对于 C 选项， g x 2x - 2- x 2 -= = 2
x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，
f x x2 x2
g x
当 x + 时， + f x ，所以 C 选项错误；
f x x2 x2
对于 D = =选项， g x 2x - 2- x x 1 的定义域为 - ,0 U 0, + 2 ，-
2x
f x
当 x + 时， 0g x ，所以 D 选项符合题意.
故选：D.
7．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是番禺区
某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图 2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函
数的图象构成，则“心形”在 x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． y = x 4 - x2 B． y = x 4 - x2
C． y = -x2 + 2 x D． y = -x2 + 2x
【答案】C
x2
2
A 2 2 2 + 4 - x
2
【解析】对于 ，Q y = x 4 - x = x 4 - x 2 2 ÷ = 2（当且仅当 x = 4 - x ，即 x = ± 2 时取等
è 2
号），
\ y = x 4 - x2 在 -2,2 上的最大值为 2，与图象不符，A 错误；
对于 B，当 x -2,0 时， y = x 4 - x2 < 0 ，与图象不符，B 错误；
对于 C，Q y = -x2
2
+ 2 x = - x -1 +1，\当 x = ±1时， ymax =1；
又 y = -x2 + 2 x 过点 -2,0 , 2,0 , 0,0 ；
2
由-x + 2 x 0得： x x - 2 0 ，解得：-2 x 2，即函数定义域为 -2,2 ；
- -x 2又 + 2 -x = -x2 + 2 x ，
\ y = -x2 + 2 x 为定义在 -2,2 上的偶函数，图象关于 y 轴对称；
当 x 0,2 时， y = -x2 + 2x = - x -1 2 +1 ，则函数在 0,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减；
综上所述： y = -x2 + 2 x 与图象相符，C 正确；
对于 D，由-x2 + 2x 0 得：0 x 2，\ y = -x2 + 2x 不存在 x -2,0 部分的图象，D 错误.
故选：C.
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周，
O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，那么点 P 所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于 A，点 P 在第一条边上时， y = x ，
但点 P 在第二条边上运动时， y 是随 x 的增大先减小（减到最小时 y 即为三角形的第二条边上的高的长度），然
后再增大，
对比图象可知，A 错误；
对于 B，y 与 x 的函数图形一定不是对称的，B 错误；
对于 C，一开始 y 与 x 的关系不是线性的，C 错误；
对于 D，因为函数图象对称，所以 D 选项应为正方形，不妨设边长为 a，
点 P 在第一条边上时（即0 x a 时）， y = x ，
点 P 在第二条边上运动时（即 a x 2a时）， y = a2 + x - a 2 ，依然单调递增，
点 P 在第三条边上运动时（即 2a x 3a 时）， y = a2 + 3a - x 2 ，单调递减，
点 P 在第四条边上运动时（即3a x 4a 时）， y = 4a - x ，单调递减，
l
且已知 y 与 x 的图象关于 x = 2a = （其中 l = 4a ）对称，D 正确.
2
故选：D.
二．多选题
9．（2024 山东滨州）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为 2的正方形 ABCD沿 x 轴滚动(无滑动滚动)，点D
恰好经过坐标原点，设顶点B x, y 的轨迹方程是 y = f x ，则对函数 y = f x 的判断正确的是（ ）.
A．函数 y = f x 是奇函数
B．对任意 x R ，都有 f x + 4 = f x - 4
C．函数 y = f x 的值域为 é 0,2 2 ù
D．函数 y = f x 在区间 6,8 上单调递增
【答案】BCD
1
【解析】由题意得，当-4 x < -2 时，点 B 的轨迹是以 -2,0 为圆心， 2为半径的 圆；
4
1
当-2 x < 2时，点 B 的轨迹是以原点为圆心， 2 2 为半径的 圆；4
1
当 2 x < 4 时，点 B 的轨迹是以 2,0 为圆心， 2为半径的 圆，如图所示：
4
此后依次重复，所以函数 f x 是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数 f x 为偶函数，故 A 错误；
因为 f x 以8为周期，所以 f x + 8 = f x ，
即 f x + 4 = f x - 4 ，故 B 正确；
由图象可知， f x 的值域为 é 0,2 2 ù ，故 C 正确；
由图象可知， f x 在 -2,0 上单调递增，因为 f x 以8为周期，所以 f x 在 6,8 上的图象和在 -2,0 上的图
象相同，即单调递增，故 D 正确．
故选：BCD.
ìx2 - 2x + t, x 0
10（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = í ，若函数 y = f f x2ln 4x 1 1, x 0 恰好有 个不同的零点， + - >
则实数 t 的取值可以是（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
【答案】BC
【解析】由题意可知：
当 x 0 时， f x 在 - ,0 上单调递减，则 f x f 0 = t ；
当 x > 0时， f x 在 0, + 上单调递增，则 f x > 2ln1-1 = -1；
若函数 y = f f x 恰好有 4 个不同的零点，
令u = f x ，则 y = f u 有两个零点，可得：
当u > 0时，则 2ln u +1 -1 = 0，解得u = e -1 > 0；
ìt 0
当u < 0 时，则u2 - 2u + t = 0，可得 í ；
u =1- 1- t
可得 f x = e -1和 f x =1- 1- t 均有两个不同的实根，
即 y = f x 与 y = e -1、 y =1- 1- t 均有两个交点，
ì e -1 > -1 ì1- 1- t > -1
不论 t 与 -1的大小关系，则 í ，且 í ，解得-3 < t 0，
e -1 t 1- 1- t t
综上所述：实数 t 的取值范围为 -3,0 .
且-3 -3,0 ,-2 -3,0 ,0 -3,0 , 2 -3,0 ，故 A、D 错误，B、C 正确.
故选：BC.
11．（2024·重庆）设函数 f x = Asin wx +j A,w > 0,0 j < 2π ，如图是函数 f x 及其导函数 f x 的部分图
像，则（ ）
A． A = w
j 5πB． =
6
3 3
C． f x 与 y 轴交点坐标为 0, 2 ÷÷è
D． f x 与 f x 3π的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
6
【答案】AD
【解析】
由 f x = Asin wx +j 得 f x = w Acos wx +j ，
π π
如图，因当 f 2 3 ÷
> 0 ， f 2 3 ÷
> 0，
è è
故可判断图①为 f x 的图象，图②为 f x 的图象，
由图可知：
当wx +j = 0 时， f x = w Acos wx +j = w A = 3，
x π= f π π 3当 时， ÷ = w Acos w +j ÷ = ，2 3 è 2 3 è 2 3 2
cos π w j 1故 +2 3 ÷
= ，
è 2
sin π w +j > 0 sin π w 1
2 3
因 ÷ ，故 +j
= 1- =
è 2 3 ÷ ÷è 2 3 è 2 2
f π π 3 3 3由 2 3 ÷
= Asin w +j ÷ = 得 ，故 ，
è è 2 3 2
A = A = 3
2 2
w 3= = 3 ，故 A 正确.
A
cos π又 +j
1
÷ = ， sin
π 3
è 2 2
+j ÷ = ，
è 2 2
1
所以 sinj = - ，
2 cosj
3
= ，
2
又因0 j < 2π ，故j
11π
= ，故 B 错误.
6
综上可得 f x = 3 sin 11π 11π 3x + ÷ ， f x = 3cos

6
3x + ÷，
è è 6
f 0 3 sin 11π 3= ÷ = - ，
è 6 2
3
故 f x 与 y 轴交点坐标为 0,- 2 ÷，C 错误.è
11π 11π
令 f x = f x ，即 3 sin 3x + ÷ = 3cos

3x +

6 6 ÷
得
è è
tan 3x 11π + 6 ÷
= 3 ，
è
11π π
故 3x + = + kπ ， k Z，
6 3
x 3π 3kπ得 = - + ， k Z，
6 3
故当 k = 0或 k =1时 x 3π的值最小为 ，故 D 正确.
6
故选：AD
三．填空题
（
{ x
－1）2，0 ≤ x ≤ 2，
12.已知函数 f(x)＝ 1 1 若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的 3 个数 x ，
x 1－ ，2＜x ≤ 6.
4 2
f（x1） f（x2） f（x3）
x2，x3，使得 ＝ ＝ ＝k，则实数 k 的取值范围是________.
x1 x2 x3
1
【答案】　(0，6]
【解析】由题意知，直线 y＝kx 与函数 y＝f(x)的图象至少有 3 个公共点.
函数 y＝f(x)，x∈[0，6]的图象如图所示，
1
由图知 k 的取值范围是(0， ].6
x
13 2024· · f x = , g x = ex-1 - e- x+1．（ 全国 模拟预测）已知函数 +1，则 f x 与 g x 的图象交点的纵坐标之
x -1
和为 ．
【答案】2
【解析】对于 f x x 1= = +1，可以把 f x 的图象看作：
x -1 x -1
1
由 f1 x = 的图象向上平移 1 个单位长度得到，x -1
而 f1 x
1
的图象可看作由 f2 x = 的图象向右平移 1 个单位长度得到；x
g x = ex-1 1对于 - e- x+1 +1 = ex-1 - x-1 +1的图象可看作由e
g x = ex-1 11 - ex-1 的图象向上平移 1 个单位长度得到，
而 g1 x 的图象可看作由 g2 x
1
= ex - x 的图象向右平移 1 个单位长度得到．e
1 x 1
易知 f2 x = 与 g2 x = e - 都为奇函数，x ex
则易知 f2 x 与 g2 x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为 0．
因为将函数图象向右平移不改变 f1 x 与 g1 x 两函数图象交点处函数值的大小，
所以 f1 x 与 g1 x 的图象交点的纵坐标之和为 0，
又将函数图象向上平移 1 个单位长度会使得原交点处的函数值都增加 1，
则 f x 与 g x 的图象的两个交点的纵坐标与 f1 x 与 g1 x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加 1，
故 f x 与 g x 的图象交点的纵坐标之和为 2．
故答案为：2
ìex , x 0
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = í ， g x = f f x - a，若 g x 有 2 个不同的零点，
lnx, x > 0
则实数 a的取值范围是 .
【答案】 - ,1
【解析】设 h x = f f x ，
当 x 0 时， ex > 0， f f x = lnex = x ；
当0 < x 1时， lnx 0 f f x = elnx， = x ；
当 x >1时， lnx > 0， f f x = ln lnx .
ìx, x 1
综上可得， h x = í
ln lnx , x
.
>1
函数 y = ln(ln x)的定义域为 1, + ，
由复合函数单调性可知函数 y = ln lnx 单调递增.
又 h e = ln ln e = 0，
作出 h x 的图象如图所示
由图象可知，当 a 1时，曲线 h x 与 y = a 恒有两个交点，
即 g x 有两个零点，
所以 a的取值范围是 - ,1 .
故答案为： - ,1 .
四．解答题
15．（2024 山东）已知函数 f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数 m 取何值时，方程|f(x)－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式 f2(x)＋f(x)－m>0 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
【答案】见解析
【解析】
(1)令 F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出 F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当 m＝0 或 m≥2 时，函数 F(x)与 G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当 0函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．
(2)令 f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0，
1 2 1
因为 H(t)＝(t＋ ) － 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以 H(t)>H(0)＝0.2 4
因此要使 t2＋t>m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有 m≤0，即所求 m 的取值范围为(－∞，0]．
16．（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) =| 2x +1| + | x + m |（其中m -1,0 ）．
1
(1)在给定的平面直角坐标系中画出m = - 时函数 f x 的图象；
2
(2)求函数 f x 的图象与直线 y = 3围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时m 的值．
【答案】(1)作图见解析；
17
(2)最大值为 ，m = 0 .
6
ì 1 1
-3x - , x -
2 2
1 1 3 1 1
【解析】（1）当m = - 时， f (x) = 2x +1 + x - = íx + ,- < x < ，2 2 2 2 2
3x 1 1 + , x 2 2
在坐标平面内作出函数 f (x) 的图象，如图：
ì
-3x -1- m, x
1
-
2
f (x) 2x 1 x m x 1 m, 1（2）依题意， = + + + = í + - - < x < -m，其图象如图：
2
3x +1+ m, x -m

令 y = 3，得函数 y = f (x)
4 + m
的图象与直线 y = 3的两个交点 A(- ,3), D(
2 - m ,3)，
3 3
直线 y = x +1- m 与直线 y = 3交于点E(2 + m,3) ，
f ( 1显然 - )
1
= - m, f (-m) 1 1 1= - 2m，即点B(- , - m),C(-m,1- 2m) ，
2 2 2 2
函数 y = f (x) 的图象与直线 y = 3围成多边形为四边形 ABCD，其面积为：
SABCD = SVABE - S
1 4 + m 1 1 2 - m
VCDE = [(2 + m) - (- )][3- ( - m)]- [(2 + m) - ][3 - (1- 2m)]2 3 2 2 3
(5 + 2m)2 4(1+ m)2 -4m2 + 4m +17
= - = ，
6 3 6
2
y -4m + 4m +17
17
显然函数 = 在[-1,0]上单调递增，当m = 0时， ymax = ，6 6
所以函数 y = f (x) 的图象与直线 y = 3
17
围成多边形的面积的最大值为 ，此时m = 0 .
6
17．（2024 河南洛阳·期末）已知函数 f x 是定义在 R 的偶函数，当 x 0 时， f x = x + 2．
(1)请画出函数 f x 图象，并求 f x 的解析式；
(2) g x = 4 - x2 ，对"x R ，用M x 表示 f x ， g x 中的最大者，记为M x = max f x , g x ，写出函数
M x 的解析式（不需要写解答过程），并求M x 的最小值．
ì-x + 2, x < 0
【答案】(1)图象见解析， f x = í
x + 2, x 0
ì-x + 2, x < -1
(2) M x = í4 - x2 ,-1 x 1，M x = 3min ．

x + 2, x >1
【解析】（1）设 x < 0 ，则 -x > 0，则 f -x = -x + 2，又函数 f x 是定义在 R 的偶函数，
所以 f x = f -x = -x + 2，
则 f
-x + 2, x < 0
x ì= í ；函数 f x x 2, x 0 的图象，如图所示． +
（2）因为M x = max f x , g x ，当 x < 0 时，令-x + 2 = 4 - x2 ，解得 x=-1，
则当 x < -1时，-x + 2 > 4 - x2 ，当 x > 0时，令 x + 2 = 4 - x2，解得 x =1，
ì-x + 2, x < -1

则当 x >1时， x + 2 > 4 - x2，所以M x = í4 - x2 ,-1 x 1，

x + 2, x >1
画出函数M x 的图象，如图所示，结合图象可知，当 x = ±1时，M x = 3min ．
ìx
2 - 2mx + m, x > 0
18．（2024 云南昆明·期末）已知函数 f x = í .
x + 2, x 0
(1)当m = 2 时，画出 f x 的图象，并判断直线 y = a 与 f x 图象的交点个数；
(2)设函数 g x = f log2x ，若 g x > -1对于任意 x 2,4 都成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)图象见解析；交点情况见解析
(2) (- ,1+ 5 )
2
ìx2 - 4x + 2, x > 0
【解析】（1）当m = 2 时， f (x) = í ，则 f (x) 的图象如图所示
x + 2, x 0
由 f (x) 的图象可知，当 a (- ,-2) U (2,+ ) 时， y = a 与 f (x) 图象有 1 个交点，
当 a = ± 2 时， y = a 与 f (x) 图象有 2 个交点，
当 a (-2,2) 时， y = a 与 f (x) 图象有 3 个交点；
（2）由题意 g(x)min > -1，
由于 x 2,4 ，故 log2 x > 0，则 g(x) = log22 x - 2m log2 x + m ， x 2,4 ，
令 log2 x = t ，则 t 1,2 ， t2 - 2mt + m > -1，即 (-2t +1)m > -1- t2 ，
2
由于 t 1,2 -2t +1 < 0 m t +1， ， < 恒成立，
2t -1
n +1 2
令 2t -1 = n ， n [1,3]
n +1
( ) +1 2，则 t = ，所以m 2 n + 2n + 5 n 5 12 < = = + +
，
n 4n 4 4n 2
h(n) n 5 1令 = + + ， n [1,3]，则m < h(n)4 4n 2 min ，
n 5 n 5
因为 + 2
n 5 5
× = ，当且仅当 =
4 4n 4 4n 2 4 4n
，即 n = 5 时等号成立.
h(n) 5 1 1+ 5 1+ 5故 min = + = ，则m < ，2 2 2 2
m 1+ 5所以 的取值范围为 (- , ) ．
2
x + a
19．（2024 北京顺义）已知函数 f x = 2 是定义在 R 上的奇函数.x + 4
(1)求实数 a 的值：
(2)判断函数 f x 在区间 2, + 上的单调性，并用定义证明；
(3)若 g x = f x - k k R 有两个零点，请写出 k 的范围（直接写出结论即可）.
【答案】(1) a = 0
(2). f x .在 2, + 上单调递减；证明见解析
1 1
(3) - ,0÷ U 0,4 4 ÷è è
x + a
【解析】（1）函数 f x = 2 为奇函数，则 f -x + f x = 0 ，x + 4
-x + a x + a
即 x2 + 4 ÷
+ ÷ = 0，解可得 a = 0；
è è x2 + 4
x
（2）由（1）知 f x = 2 ， f x 在 2, + 上单调递减；x + 4
证明：任取x1， x2 2, + ，且 x1 < x2，
x x x 21 x2 +4 - x2 x21 + 4 x x2 + 4x - x x2 - 4x x1x2 x2 - x1 - 4 x2 - x1 2 1
则 f x1 - f x2 = 2 - 2 = 1 2 1 2 1 2 =x + 4 x + 4 x21 2 + 4 x2 +4 x2 + 4 x2 2 21 2 1 2 +4 x1 + 4 x2 +4
x1x2 - 4 x2 - x1 =
x21 + 4 x2 +4 ，2
又由x1， x2 2, + ，且 x1 < x2，则 x1x2 - 4 > 0， x2 - x1 > 0 x2， 1 + 4 > 0 x2， 2 + 4 > 0 ，
则有 f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2
所以函数 f x 在 2, + 上单调递减．
（3）因为 g x = f x - k k R 有两个零点，
所以方程 g(x) = 0 有两个不等实根，即 f x = k 有两个不等的实根，
x1x2 - 4 x2 - xx 1

任取x1， 2 [0,2]，且 x < x ，由（2）知 f x1 - f x2 =1 2 x2 + 4 x21 2 +4 ，
因为 x1x2 - 4 < 0， x2 - x > 0 x21 ， 1 + 4 > 0 x
2
， 2 + 4 > 0 ，
所以 f x1 - f x2 < 0，即 f x1 < f x2 ，
所以函数在[0,2]上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称，
又 f (2)
1 1
= ， f (-2) = - ， x + 时， f (x) 0，作出 y = f (x) 图象如图，
4 4
1 1
所以当- < k < 且 k 0时， y = f (x) 与 y = k 有两个不同交点，即 f x = k 有两个不等实根.
4 4
1 ,0 0, 1故 k 的范围为 - ÷

÷ .
è 4 è 4 2.7 函数图像
考点一 作函数图像
【例 1】（2024 上海·专题练习）由函数 y = lg x 图像，画出下列各函数图像.
(1) y = lg(-x) (2) y = - lg x (3) y =| lg x | (4) y = lg | x | (5) y = lg | x -1| (6) y = lg(| x | +1)
【一隅三反】
1．（2024 高三·全国·专题练习）（1）利用函数 f（x）＝2x 的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
1 2x -1① y＝（ 2 ）
|x|；② y＝|log2（x＋1）|；③ y＝ .x -1
考点二 根据解析式选图像
f (x) 12-1 2024· · = x2【例 】（ 福建 模拟预测）函数 + cos x 在 -π, π 上的图象大致为（　　）
2
A． B．
C． D．
【例 2-2】（2024 湖北）函数 y＝xcos x＋sin x 在区间[－π，π]上的图象可能是(　　)
【一隅三反】
1．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般
好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分
2x
析函数的图象特征．则函数 f (x) = - 2 的图象大致为（x 1 ）+
A． B．
C． D．
ex - e- x
2．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = 4ln x 1 的大致图象是（+ ）
A． B．
C． D．
e2x3 -1．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = x × ln x 的大致图像是（ ）e
A． B． C． D．
考点三 根据图像选解析式
【例 3-1】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
ex - e- x ex - e- x
A． f x = f x =4 x B．- 3 3- 4 x
ex + e- x
C． f x = D． f x
x
=
4 x - 3 x -1
【例 3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
e x x2 +1 ex ex 2A 2x． y = B． y = C． y = D． y =2x x 2x ex
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·一模）已知函数 f (x) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) = sin(tan x) B． f (x) = tan(sin x)
C． f (x) = cos(tan x) D． f (x) = tan(cos x)
2．（2024·陕西西安·二模）已知函数 f (x) 的图象如图所示，则函数 f (x) 的解析式可能为（ ）
2
A． f x = cos 2x × ex - e- x B． f (x) x +1= sin 2x × ln
x2
C f (x) e
x + e- x 1 x2
． = D． f (x) = × ln
x x x2 +1
3．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定
理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数
时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，
常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数 y = f (x) 的图象如
图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
1 sin x cos xA． f (x) = 3sin x B． f (x) = 3cos x C． f (x) D f (x) 1= = 3 ÷
． 3 ÷è è
考点四 函数图像的伸缩平移
【例 4-1】（2023·河南·模拟预测）已知图 1 对应的函数为 y = f x ，则图 2 对应的函数是（ ）
A． y = f (- | x |) B． y = f -x C． y = f | x | D． y = - f -x
【例 4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数 f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函
数解析式（ ）
y = f (2x -1) y = f 4x -1 A． B． 2 ÷è
C． y = f (1- 2x) D． y = f
1- 4x
2 ֏
【例 4-3】（2024·河南）已知函数 f (x) = x3 - x，则下列函数图象关于点 1,0 对称的是（ ）
A． f x -1 + sinp x B． f x +1 + sinp x
C． f x -1 + cosp x D． f x +1 + cosp x
【一隅三反】
1．（2024 浙江）已知函数 f 4x + 3 的周期为 1，则（ ）
A． f x + 2 - f x - 2 = 0 B． f x + 2 + f -x + 2 = 0
C． f x + 4 + f x - 4 = 0 D． f x + 4 + f -x + 4 = 0
2．（2024·北京）将函数 y = log2 (2x + 2) 的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到函数 g(x)
的图象，则 g(x) =（ ）
A． log2(2x +1) -1 B． log2 2x +1 +1
C． log2 x -1 D． log2 x
3．（2024·四川南充·二模）已知函数 f (x) = ex - e- x ，则函数 y = f (x -1) +1的图象（ ）
A．关于点 (1,1) 对称 B．关于点 (-1,1)对称C．关于点 (-1,0) 对称 D．关于点 (1,0)对称
考点五 函数图像在实际生活应用
【例 5-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点 P 沿
A - B - C - M 运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 y = f x 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【例 5-2】（2024·广东广州）如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔
中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 h = f t 的图象大致是 ( 　　 )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，
他从点A 处出发，沿箭头方向经过点 B 、C 、D返回到点A ，共用时80秒，他的同桌小陈在固定点O位置观察
小李跑步的过程，设小李跑步的时间为 t （单位：秒），他与同桌小陈间的距离为 y （单位：米），若 y = f t ，
则 f t 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始 15 分钟内的速度V x （单位：米/分钟）与
时间 x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” v x 为无人机在时间段 0, x 内的最大速度与最小速度的差，
则 v x 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024 山东济宁）点 P 从 O 点出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周，O P 两点的距离 y 与点 P 所
走路程 x 的函数关系如图所示，那么点 P 所走的图形是（ ）
A． B． C． D．
4.（2024 甘肃）下列所给 4 个图像中，与所给 3 件事吻合最好的顺序为( )
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
A．(1)(2)(4) B．(2)(3)(4)
C．(1)(3)(4) D．(4)(1)(2)
考点六 函数图像的应用
【例 6-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数 y = f x - 2 的图象关于直线 x = 2对称，对任意的 x R ，都有
f x + 3 = f x -1 成立，且当 x -2,0 时， f x = -x，若在区间 -2,10 内方程 f x - loga x + 2 = 0 有 5 个不
同的实数根，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 2,2 2 B． 2,2 2ù C． 2 2,2 3 D． 2 2,2 3ù
ì log (x -1) ,1 < x 3
【例 6-2】（2024·天津红桥·一模）设函数 f (x) = í 2 2 ，若 f (x) = a有四个实数根 x1， x2， x ，
(x - 4) , x > 3
3
1 1
x4，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x3 + x4 x1 +4 x 的取值范围 ．2
【一隅三反】
ì 3x -1 , x <1
1．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数 f x = í ，若函数 g x = f x + m有 3 个零点，则m
log2x, x 1
的取值范围是（ ）
A． 0,2 B． -2,0
C． 0,1 D． -1,0
ì (x +1)2 , x 0,
2．（2023·山东济南·三模）已知函数 f x = í 若函数 g x = f x - blgx , x 0, 有四个不同的零点，则实数b >
的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 1, +
é5π ù
3．（2024·全国·模拟预测）函数 f x = x -1 与函数 g x = 2cos ê x -1 ú的图象所有交点的横坐标之和 2
为 ．
ì ex
, x > 0且x 1,4．（2023·吉林·一模）已知函数 f x = í x -1 若函数 g(x) = f 2 (x) - mf (x) - e4 有 4 个零点．则实
- f -x , x < 0且x -1,
数m 的取值范围是 ．
一．单选题
3
1．（2024· sin x全国·模拟预测）函数 f x = 的大致图象是（ ）
x4 - 2
A． B．
C． D．
x - x
2．（23-24 高三下·山东济南· 3 + 3开学考试）函数 f x = 2 的图象大致为（ ）x -1
A． B．
C． D．
3．（2024·天津·一模）如图是函数 f x 的部分图象，则 f x 的解析式可能为（ ）
f x sin5x cos5xA． = x B． f x =2 - 2- x 2x + 2- x
f x cos5x f x sin5xC． = - x D． =2 - 2x 2- x - 2x
4．（23-24 高三上·天津·期末）已知函数 f x 在 -4,4 上的大致图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
f x x πx πxA． = ×cos B． f x = x ×cos
2 2
C． f x x πx= ×sin D． f x = x ×sin πx
2 2
5．（2023·河北·模拟预测）如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ）
f x x= f x x +1A． ln x =+ 2 B． ex+1 -1
3
x f x xC． f x = D． = x +1 2 x +1 2
6．（2023·福建泉州· 2 x - x模拟预测）已知函数 f x = x ， g x = 2 - 2 ，如图是下列四个函数中某个函数的大致图
象，则该函数是（ ）
g x f

x
A． f x + g x B． f x × g x C． f x D． g x
7．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是番禺区
某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图 2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函
数的图象构成，则“心形”在 x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． y = x 4 - x2 B． y = x 4 - x2
C． y = -x2 + 2 x D． y = -x2 + 2x
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一周，
O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，那么点 P 所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题
9．（2024 山东滨州）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为 2的正方形 ABCD沿 x 轴滚动(无滑动滚动)，点D
恰好经过坐标原点，设顶点B x, y 的轨迹方程是 y = f x ，则对函数 y = f x 的判断正确的是（ ）.
A．函数 y = f x 是奇函数
B．对任意 x R ，都有 f x + 4 = f x - 4
C．函数 y = f x 的值域为 é 0,2 2 ù
D．函数 y = f x 在区间 6,8 上单调递增
ìx2 - 2x + t, x 0
10（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = í ，若函数
y = f f x 2ln x 1 1, x 0 恰好有 4 个不同的零点， + - >
则实数 t 的取值可以是（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
11．（2024·重庆）设函数 f x = Asin wx +j A,w > 0,0 j < 2π ，如图是函数 f x 及其导函数 f x 的部分图
像，则（ ）
A． A = w
j 5πB． =
6
3 3
C． f x 与 y 轴交点坐标为 0, 2 ÷÷è
D f x f x 3π． 与 的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
6
三．填空题
（x－1）2，{ 0 ≤ x ≤ 2
，
12.已知函数 f(x)＝ 1 1 若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的 3 个数 x ，
x－ ，2＜x ≤ 6. 1
4 2
f（x1） f（x2） f（x3）
x2，x3，使得 ＝ ＝ ＝k，则实数 k 的取值范围是________.
x1 x2 x3
x
13 2024· · f x = , g x = ex-1 - x+1．（ 全国 模拟预测）已知函数 - e +1，则 f x 与 g x 的图象交点的纵坐标之
x -1
和为 ．
ìex , x 0
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f x = í ， g x = f f x - a，若 g x 有 2 个不同的零点，
lnx, x > 0
则实数 a的取值范围是 .
四．解答题
15．（2024 山东）已知函数 f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数 m 取何值时，方程|f(x)－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式 f2(x)＋f(x)－m>0 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
16．（2024·陕西西安·三模）已知函数 f (x) =| 2x +1| + | x + m |（其中m -1,0 ）．
1
(1)在给定的平面直角坐标系中画出m = - 时函数 f x 的图象；
2
(2)求函数 f x 的图象与直线 y = 3围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时m 的值．
17．（2024 河南洛阳·期末）已知函数 f x 是定义在 R 的偶函数，当 x 0 时， f x = x + 2．
(1)请画出函数 f x 图象，并求 f x 的解析式；
(2) g x = 4 - x2 ，对"x R ，用M x 表示 f x ， g x 中的最大者，记为M x = max f x , g x ，写出函数
M x 的解析式（不需要写解答过程），并求M x 的最小值．
ìx2 - 2mx + m, x > 0
18．（2024 云南昆明·期末）已知函数 f x = í .
x + 2, x 0
(1)当m = 2 时，画出 f x 的图象，并判断直线 y = a 与 f x 图象的交点个数；
(2)设函数 g x = f log2x ，若 g x > -1对于任意 x 2,4 都成立，求m 的取值范围．
x + a
19．（2024 北京顺义）已知函数 f x = 2 是定义在 R 上的奇函数.x + 4
(1)求实数 a 的值：
(2)判断函数 f x 在区间 2, + 上的单调性，并用定义证明；
(3)若 g x = f x - k k R 有两个零点，请写出 k 的范围（直接写出结论即可）.

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