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2.8 零点定理
考点一 零点
x
【例 1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 y = x - 2 2 +1 的零点是（ ）
A．2 B． 2,0 C．-2 D．2 或-1
【答案】A
x
【解析】由题意令 y = x - 2 2 +1 = 0 ，因为 2x +1 >1 > 0，所以 x - 2 = 0，即 x = 2 .
故选：A.
1
【例 1-2】（2023·广东茂名· e f x = ecos 2πx 一模） 是自然对数的底数， + e2x - 2ex - 的零点为 .
e
1
【答案】 / 0.5
2
f x = ecos 2p x + e2x【解析】由 - 2ex 1- = 0得 ecos 2πx = 2ex - e2x 1+ ，
e e
因为 cos(2πx) -1 ecos 2p x
1
，所以 ，
e
1
当且仅当 2πx=π + 2kπ ,k Z，即 x= + k, k Z，取等号，
2
g(x) = 2ex - e2x 1令 + ， g (x) = 2e - 2e2x ，
e
令 g (x) > 0
1
解得 x < ；令 g (x) < 0
1
解得 x > ，
2 2
g(x) = 2ex - e2x 1所以 + 在 (- ,
1) 1 2x 1 1 1单调递增，在 ( , + )单调递减，所以 g(x) = 2ex - e + g( ) = ，
e 2 2 e 2 e
ecos 2πx 2ex e2x 1 1 1= - + k = 0 x = 1所以要使 ，只能 ， ，所以 f x 零点为 x = ，故答案为: .
e 2 2 2
【一隅三反】
1．（2023· x陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3 + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【解析】令 f x =1- lg 3x + 2 = 0，得3x + 2 =10 ，则 x = log3 8．故选：A
2．（2023·吉林·模拟预测）已知 x0 是函数 f (x) = tan x - 2的一个零点，则 sin 2x0 的值为（ ）
4
A．- B．-
3 3 4
C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【解析】因为 x0 是函数 f (x) = tan x - 2的一个零点，所以 tan x0 - 2 = 0，即 tan x0 = 2，故 cos x0 0 ，
sin 2x 2sin x0 ×cos x0 2 tan x0 4则 0 = 2 2 = 2 =sin x0 + cos x 1+ tan x 5
．故选：D．
0 0
3．（2024·陕西西安·一模）函数 f (x) = log2 x - log4(x + 20) 的零点为（ ）
A．4 B．4 或 5 C．5 D．-4或 5
【答案】C
ìx > 0
【解析】由题意可得： í ，解得 x > 0，故 f (x) 的定义域为 0, +
x + 20 > 0
，
令 f (x) = log2 x - log4(x + 20) = 0，得 log4 x
2 = log4(x + 20)(x > 0)，则 x2 = x + 20，解得 x = 5或 x = -4，
又∵ x > 0，所以 x = 5．故选：C.
考点二 零点区间
【例 2】（2023·河北· x模拟预测）已知函数 f x = 3 + x - 6 有一个零点 x = x0，则 x0 属于下列哪个区间（ ）
1 3 5A． ,1

÷ B

． 1,
3
÷ C． , 2

2 2 ÷ D2 ．
2,
è è è è 2 ÷
【答案】B
【解析】由题知 f x 在R 上单调递增，
1 3
∵ f ÷ = 3 - 5.5 < 0， f 1 = -2 < 0 f
3
， = 32 - 4.5，
è 2 ÷è 2
3 3
又33 - 4.52 > 0，∴ f

÷ > 0，即在 1, ÷上存在 x0 使得 f x0 = 02 .è 2 è
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024· x-1海南）函数 f x = 2 + x - 3的零点所在的区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】C
x-1
【解析】易知函数 f x = 2 + x - 3在R 上单调递增，
又 f 1 =1+1- 3 < 0， f 2 = 2 + 2 - 3 > 0，
由函数的零点存在定理可知，函数 f x 的零点所在的一个区间是 1,2 ．
故选：C
2．（2024 山东济南·期中）函数 f x = lnx + 2x - 6的零点所在的区间是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】C
【解析】由于 y = ln x, y = 2x - 6均为增函数，所以 f x = lnx + 2x - 6为定义域上的增函数，
Q f 1 = -4 < 0, f 2 = ln 2 - 2 < 0, f 3 = ln 3 > 0, f 4 = ln 4 + 2 > 0 ,根据零点存在定理,
\ f x 零点在区间 2,3 内.故选：C
3．（2024·江西）函数 f x = x3 + x -1的零点所在的区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】B
f x = x3【解析】函数 + x -1， x R
对 A， f -1 = -1 3 -1-1 = -3 < 0， f 0 = 03 + 0 -1 = -1< 0，故 A 错误；
对 B， f 1 =13 +1-1 =1 > 0，由选项 A 知 f 0 < 0，所以 f 0 × f 1 < 0，故 B 正确；
对 C， f 2 = 23 + 2 -1 = 9 > 0，由选项 B 知， f 1 > 0，故 C 错误；
D f 3 = 33对 ， + 3 -1 = 29 > 0，由选项 C 知， f 2 > 0 ，故 D 错误.
故选：B.
考点三 根据零点区间求参
【例 3】（2023· 2山西阳泉·三模）函数 f x = log2 x + x + m 在区间 1,2 存在零点．则实数 m 的取值范围是（ ）
A． - , -5 B． -5, -1 C． 1,5 D． 5,+
【答案】B
【解析】由 y1 = log2 x 在 0, + 2 2上单调递增， y2 = x + m在 0, + 上单调递增，得函数 f x = log2 x + x + m 在
区间 0, + 上单调递增，
因为函数 f x = log2 x + x2 + m 在区间 1,2 存在零点，
ì f 1 < 0 ìlog 22 1+1 + m < 0
所以 í f 2 0，即 í 2 ，解得-5 < m < -1， > log2 2 + 2 + m > 0
所以实数 m 的取值范围是 -5, -1 .
故选：B.
【一隅三反】
1 2024· · f x = log x + x2．（ 宁夏银川 三模）函数 2 + m 在区间 2,4 上存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
【答案】D
【解析】若函数 f x = log2 x + x2 + m 在区间 2,4 上存在零点，
由函数 f (x) 在 (2, 4)的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足 f (2) × f (4)<0，
即 (m + 5)(m +18) < 0，
解得-18所以实数m 的取值范围是 -18, -5 .
故选：D.
1
2．（2024 陕西汉中·期末）若函数 f (x) = ln x - + a 在区间 (1, e)上存在零点，则常数 a 的取值范围为（ ）x
1 1 1
A． 0 < a < 1 B． < a <1 C． -1 < a < 1 D． +1 < a < 1
e e e
【答案】C
1 1
【解析】由题得 f (x) = + 2 > 0在区间 1,e 上恒成立，x x
所以函数 f (x) = ln x
1
- + a 在区间 1,e 上为增函数，
x
所以 f (1) = ln1-1+ a < 0 ， f (e) = ln e
1
- + a > 0 ，
e
1
可得 -1 < a < 1 .
e
故选：C.
3．（2024 浙江杭州）函数 f x = 2x 2- - a 的一个零点在区间 1,2 内，则实数 a的取值范围是（ ）
x
A． 1,3 B． 1,2 C． 0,3 D． 0,2
【答案】C
x 2
【解析】由题可知：函数 f x = 2 - - a 单调递增，若 一个零点在区间 1,2 内，则需： f 1 × f 2 < 0，
x
21 2- - a 2即 ÷
2
1
2 - - a ÷ < 0 ，解得 0 < a < 3，
è è 2
故选：C.
考点四 零点的个数
4-1 2024· · f x = 2x - x2【例 】（ 重庆 模拟预测）函数 的零点个数为（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
2 x
【解析】由题意可知：要研究函数 f x = x - 2 的零点个数，只需研究函数 y = 2x ， y = x2 的图像交点个数即可.
x 2
画出函数 y1 = 2 ， y2 = x 的图像，
因为 x =1时， y1 > y2 ， x = 3时， y1 < y2 ， x = 5时， y1 > y2 ，
可知当1< x < 3和3 < x < 5时，图像各有一个交点， x < 0 时，必有一个交点，
且交点为 A 2,4 ，B 4,16 及第二象限的点 C.
故选：D
【例 4-2】（2024·山西·模拟预测）方程 4 | cos t | - t = 0 的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】设 y1 = 4 | cos t |， y2 = t ．在同一直角坐标系内画出 y1 = 4 | cos t |与 y2 = t 的大致图象，
当 t = 5π时， y1 = 4 > 5π = y2；当 t = 6π时， y1 = 4 < 6π = y2 ．
根据图象可得两个函数共有 11 个交点．
故选：C．
【例 4-3】（2024·全国·模拟预测）设 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且当 x > 0时， f (x) = ln x - x2 + 2x ，则 f (x) 的零
点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】依题意，作出函数 y = ln x 与 y = x2 - 2x 的图象，如图，
可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时 f (x) 有两个零点；
又函数 f (x) 是定义域为R 的奇函数，故当 x < 0 时， f (x) 也有两个零点，
函数 f (x) 是定义域为R 的奇函数，所以 f (0) = 0，即 x = 0也是函数 f (x) 的 1 个零点，
综上所述， f (x) 共有 5 个零点．
故选：D．
ì 1
ln x - , x > 0
【例 4-4】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数 f (x) = í x ，则函数 g(x) = f ( f (x) -1) 的零点个数为
- x +1 +1, x 0
（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】依题意，函数 g(x) = f ( f (x) -1) 零点的个数，即为方程 f ( f (x) -1) = 0解的个数，
令 f (x) -1 = t ，则 f (t) = 0
1
，当 t > 0时， ln t - = 0 ，令 h(t) = ln t
1
- ， t > 0，
t t
y ln t, y 1函数 = = - 在 (0, + )上单调递增，于是函数 h(t)在 (0, + )上单调递增，
t
又 h(1) = -1 < 0 h(e) 1
1
， = - > 0，则存在 t1 (1,e)，使得 h(t1) = 0；e
当 t 0时，- | t +1| +1 = 0，解得 t = 0或-2，
ì 1
ln x - , x > 0
作函数 f (x) = í x 的大致图象，如图：
- x +1 +1, x 0
又 f (x) -1 = t ，则 f (x) = t +1，
当 t = 0时， f (x) = 1，由 y = f x 的图象知，方程 f (x) = 1有两个解；
当 t = -2时， f (x) = -1，由 y = f x 的图象知，方程 f (x) = -1有两个解；
当 t = t1 ， t1 (1,e)时， f (x) = t1 +1，由 y = f x 的图象知，方程 f (x) = t1 +1有一个解，
综上所述，函数 g(x) = f ( f (x) -1) 的零点个数为 5.
故选：B
【一隅三反】
1 2．（2024 海南海口·阶段练习）已知函数 f x = ax + bx + c ，若 b 是 a 与 c 的等比中项，则 f x 的零点个数为
（ ）
A．0 B．0 或 1 C．2 D．0 或 1 或 2
【答案】A
【解析】由 b 是 a 与 c 的等比中项，得 a 0,b 0， ac = b2 ，
方程 ax2 + bx + c = 0的判别式D = b2 - 4ac = -3b2 < 0 ，因此方程 ax2 + bx + c = 0无实根，
所以 f x 的零点个数为 0.故选：A
1
2．（2023·河南·模拟预测）函数 f (x) =| ( )x -1| -log2x的零点个数为（ ）2
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
1
【解析】由 f (x) = 0 ，得 | ( )x -1|= log2x ，因此函数 f (x)
1 x
的零点即为函数 y = log2x 与 y =| ( ) -1|的图象交点横2 2
坐标，在同一坐标系内作出函数 y = log x y | (
1
= )x2 与 -1|的图象，如图，2
观察图象知，函数 y = log2x 与 y =| (
1)x -1|的图象有唯一公共点，
2
1 x
所以函数 f (x) =| ( ) -1| -log2x的零点个数为 1.故选：B2
ì5x - 5(x 1)
3．（2024·四川雅安·一模）已知函数 f (x) = í y = f (x) - log x
x
2 ，则函数 的零点个数为（ ）- 4x + 3(x >1) 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
设F x = f (x) - log2 x，设 g x = log2 x，则 g 1 = 0 .
又 f 1 = 5 1- 5 = 0 = g 1 ，所以 1 是函数 y = f (x) - log2 x的一个零点；
f 1 5 1 5 5 g 1= - > - 1 1 1 1 1 因为 32 ÷
，
32
= log = -5 < f ，所以，F = f - g > 0 .
è è 32 ÷ 2 32 ÷ è 32 è 32 ÷ ÷ ÷ è 32 è 32
又 f
1 1 5 1 1
÷ = 5 - 5 > - ， g ÷ = log2 = -1 > f
1
÷，所以，F
1
÷ = f
1 - g 1 ÷ ÷ < 0 .
è 2 2 2 è 2 2 è 2 è 2 è 2 è 2
1 1
根据零点的存在定理，可知，$x1 , ÷，使得F x1 = 0，即x1是函数 y = f (x) - log2 x的一个零点；è 32 2
因为 f 3 = 0， g 3 = log2 3 >1 > f 3 ，所以，F 3 = f 3 - g 3 < 0 .
又 f 4 = 42 - 4 4 + 3 = 3， g 4 = log2 4 = 2 < f 4 ，所以，F 4 = f 4 - g 4 > 0 .
根据零点的存在定理，可知，$x2 3,4 ，使得F x2 = 0，即x2是函数 y = f (x) - log2 x的一个零点.
结合函数图象以及 f x , g x 的增长速度可知，当 x < x1或 x > x2 时，函数 y = f (x) - log2 x没有零点.
综上所述，函数 y = f (x) - log2 x的零点为 1，x1，x2，共 3 个零点.故选：C.
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，对任意 x R ，都有 f x + 2 + f 2 - x = 0，
当 x 0,2 时， f x = lnx ，则 f x 在 -10,10 上的零点个数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
【答案】D
【解析】因为 f x + 2 + f 2 - x = 0，令 t = 2 - x，得到 f (4 - t) + f (t) = 0，
所以 f (4 - t) = - f (t)，从而有 f (4 + t) = - f (-t) ，又函数 f x 是定义在R 上的奇函数，
所以 f (4 + t) = f (t) ，即 f (4 + x) = f (x) ，所以函数 f x 的周期为T = 4，
令 x -2,0 ，则-x 0,2 ，又当 x 0,2 时， f x = lnx ，
所以 f -x = ln( - x)，得到 f x = -ln( - x)，
ìlnx, x (0, 2)
故 f x = í0, x = 0 ，又T = 4，所以 f (x) 在 x [-10,10]上的图像如图，

- ln(-x), x (-2,0)
又当 x 0,2 时，由 f x = 0，得到 x =1，当 x -2,0 ，由 f x = 0，得到 x=-1，即 f (1) = 0, f (-1) = 0，
又T = 4，所以 f (-8) = f (-4) = f (0) = f (4) = f (8) = 0，
f (-9) = f (-5) = f (-1) = f (3) = f (7) = 0， f (-7) = f (-3) = f (1) = f (5) = f (9) = 0 ，
又由 f x + 2 + f 2 - x = 0，得到 f 2 + f 2 = 0，即 f 2 = 0 ，
所以 f (-10) = f (-6) = f (-2) = f 2 = f (6) = f (10) = 0，
再结合图像知， f x 在 -10,10 上的零点个数为 21 个，
故选：D.
5．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知方程 x -1 ex = x的解个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】易知 x = 0不是方程 x -1 ex = x的解，所以方程 x -1 ex = x -1等价于 1- x ex -1 = 0，
构造函数 f x = 1- x-1 ex -1, x - ,0 0,+ ，
é 2 1 3 ù
x2 - x +1 ê
x - ÷ + ú
f x = 1- x-1 + x-2 ex = x 2 ÷e = êè 2 4 ú x2 e > 0，所以 f x 在 - ,0 , 0, + ê ú 上单调递增，è x x
ê ú

f 1 2又 - = -1 0, f 1 3 1 - ÷ = -1 0 -1 x，所以方程 1- x e -1 = 0 在区间 -1, - e è 2 e è 2 ÷ 上有且仅有一个解，
2
f 1 = -1 0, f 2 e= -1 0 1- x-1，所以方程 ex -1 = 0在区间 1,2 上有且仅有一个解，2
1- x-1 ex所以方程 -1 = 0 x的解的个数为 2，即方程 x -1 e = x的解个数为 2 .
故选：C.
考点五 根据零点个数求参
【例 5-1】（2024·四川巴中·一模）若函数 f x = 2ax2 + 3x -1在区间 -1,1 内恰有一个零点，则实数 a 的取值集
合为（ ）
A． a | -1 < a < 2 B．{a | a 9= - 或-1 < a < 2} .
8
9
C．{a | -1 a 2} D．{a | a = - 或-1 a 2} .
8
【答案】D
【解析】由函数 f x = 2ax2 + 3x -1，
若 a = 0，可得 f x = 3x -1，令 f x = 0 1，即3x -1 = 0，解得 x = ，符合题意；
3
若 a 0，令 f x = 0，即 2ax2 + 3x -1 = 0，可得D = 9 + 8a ，
9 9 2
当Δ = 0时，即9 + 8a = 0 ，解得 a = - ，此时 f x = - x2 + 3x -1，解得 x = ，符合题意；
8 4 3
0 a 9当D > 时，即 > - 且 a 0，则满足 f -1 × f 1 = (2a - 4)(2a + 2) 08 ，
解得 -1 a 2 且 a 0，
2
若 a = -1，可得 f x = -2x + 3x -1，令 f x = 0，即 2x2 - 3x +1 = 0 ，
1 1
解得 x =1或 x = ，其中 x = (-1,1)，符合题意；
2 2
若 a = 2，可得 f x = 4x2 + 3x -1，令 f x = 0，即 4x2 + 3x -1 = 0 ，
1
解得 x=-1或 x
1
= ，其中 x = (-1,1)，符合题意；
4 4
9
综上可得，实数 a的取值范围为{a | a = - 或-1 a 2} .
8
故选：D.
π π 3π
【例 5-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 f (x) = sin(wx + )(w > 0) 在[ , ]3 有且仅有两个零点，且4 2
f (3π) 11π= f ( )，则 f (x) 图象的一条对称轴是（
8 8 ）
x 7π 11π 13π 15πA． = B． x = C． x = D． x =
12 12 8 8
【答案】C
【解析】由函数 f (x) sin(wx
π) π 3π= + 在[ , ]有且仅有两个零点，
3 4 2
T 3π π 3 T 5π 5π 4 12得 - < ，解得T ( , ]，则w [ , )，
2 2 4 2 6 2 5 5
f (3π) f (11π又 = )
11π 3π
，而 - = π
π
，当T = π 时，w = 2， f (x) = sin(2x + )，
8 8 8 8 3
x [π , 3π] 2x π [5π ,10π由 ，得 + ]，当 2x
π
+ = π,2π,3π时， f (x) = 0 ，
4 2 3 6 3 3
π 3π
即函数 f (x) 在[ , ]有 3 个零点，不符合题意，
4 2
7π π π 4(1+ 6k)
因此 x
7π
=
8 是函数
f (x) 图象的一条对称轴，即 w + = + kπ,k N ，解得w = ，
8 3 2 21
12 4 4
当 k 2时，w > ，当 k = 0时，w = < ，均不符合题意；
5 21 5
k 1 w 4 T 3π 7π T 13π当 = 时， = ，得 = ，则 f (x) 图象的对称轴为 x = + = .
3 2 8 2 8
故选：C
ì
x
1
+ - 2, x >1
【例 5-3】．（2024·辽宁·一模）已知函数 f x = í x -1 ，若关于 x 的方程 f f x = m有五个不等的实
2 - 2x , x 1
数解，则m 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 1, + D． 0,2
【答案】C
ì 1
x + - 2, x >1
【解析】由 f x = í x -1 ，
2 - 2
x , x 1
x 1 f x = 2 - 2x当 时 ，函数在 - ,1 上单调递减，且 f 1 = 0， f 0 =1，当 x - 时 f x 2，
1 x x - 2
当 x >1时 f x 1= x + - 2，则 f x =1- = ，
x -1 x -1 2 x -1 2
所以当1< x < 2时 f x < 0，当 x > 2时 f x > 0，
所以 f x 在 1,2 上单调递减，在 2, + 上单调递增，且 f 2 =1，
可得 f x 的大致图象如下所示：
令 t = f x ，则 f f x = m化为 f t = m，
当m < 0时 f t = m无解，则 f f x = m无解；
当m = 0时 f t = m = 0，解得 t =1，由图可知 f x =1有两解，即 f f x = m有两解；
当0 < m <1时 f t = m有一解且0 < t <1，又 f x = t 有一个解，即 f f x = m有一解；
当m =1时 f t = m =1有两个解，即 t1 = 0、 t2 = 2，
又 f x = t1 = 0有一个解， f x = t2 = 2有两个解，所以 f f x = m共有三个解；
当1< m < 2时 f t = m有三个解，即 t3 < 0，1< t4 < 2， t5 > 2，
f x = t3 < 0无解， f x = t4 有三个解， f x = t5 有两个解，
所以 f f x = m共有五个解；
当m 2时 f t = m有两个解，即1< t6 < 2， t7 > 2，
f x = t6 有三个解， f x = t7 有两个解，
所以 f f x = m共有五个解；
综上可得m 的取值范围是 1, + .
故选：C
【一隅三反】
ìx3 , x < t
1．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = í ，若存在 m 使得关于 x 的方程 f x = m有两不同的根，则 t
x, x t
的取值范围为（ ）
A． -1,0 U 0,1 B． -1,0 1, +
C． - , -1 0,1 D． - , -1 1,+
【答案】B
3
【解析】由函数 f x
ìx , x < t
= í ，可得函数 y = f x 在 - , t ， t,+ 上为增函数，
x, x t
当 x < t 3时， fmax x t ，当 x t时， fmin x = t ，
若存在 m 使得关于 x 的方程 f x = m 有两不同的根，只需 t3 > t ，
解得-1 < t < 0 或 t >1，所以 t 的取值范围为 -1,0 1, + .
故选：B．
ì x -1 ex , x <12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í 2 ， g x = 2 f x
2
+ af x +1+ a．若 g x 有 5 个
-x + 4x - 3, x 1
零点，则实数 a的取值范围为（ ）
3- ,-1 3A． ÷ B． - , -1
ù
è 2 è 2 ú
é 3
C． ê- , -1
ù é 3
ú D． ê- , -1

2 2 ÷
【答案】A
x
【解析】由题意可知当 x <1时， f x = xe ，
令 f x < 0可得： x < 0 ；令 f x > 0可得：0 < x <1；，
故 f x 在 - ,0 上单调递减， f x 在 0,1 上单调递增，
f x = f 0 = -1，且当 x <1时， f x < 0min ，
当 x 趋近于负无穷时， f x 趋近于 0；
当 x 1时， f x = -x2 + 4x - 3图象的对称轴为直线 x = 2， f x = f 2 =1max ．
故作出 f x 的大致图象如图所示．
令 t = f x ，数形结合可知要使 g x 有 5 个零点，
需使方程 2t 2 + at +1+ a = 0有 2 个不同的实数根 t1 ， t2 且-1 < t1 < 0 ， t2 = -1或0 t2 <1．
①若-1 < t1 < 0 ， t2 = -1，则 2 - a +1- a = 0，不成立，舍去．
ì2 - a +1+ a > 0
②若-1 < t1 < 0 ，0 t2 <1

，则 í 1+ a 0
3
，解得- < a -1．
2
2 + a +1+ a > 0
当 a = -1 1时，方程为 2t 2 - t = 0，解得 t = 0或 2 ，不符合方程 2 个根的取值范围，舍去．
故实数 a
3
的取值范围为 - , -12 ÷
．
è
故选：A．
ì ex
, x >1 2
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í x2 ，若函数 g x = é f x ù - af x 有两个不同的零点，则实
x xe , x 1
数 a 的取值范围为（ ）
é 1 ée2 é e2
A． ê- ,0÷ ê , e÷ B． 0, e e 4 ê ÷ 4
ì 1ü 0, e
2 ì 1ü e2
C． í- e ÷
e, + D． í- 0, ÷
è 4 e è 4
【答案】C
x 1 f x = x +1 ex【解析】当 时， ，当 x - ,-1 时， f x < 0，
当 x -1,1 时， f x > 0，所以 f x 在 - ,-1 1上单调递减，在 -1,1 上单调递增，且 f x = f -1 = -min ，e
当 x < 0 时， f x = xex < 0．
x 1 x - 2 e
x
当 > 时 f x = 3 ，当 x 1,2 时， f x < 0，x
2
当 x 2, + 时， f x > 0，所以 f x 在 1,2 上单调递减，在 2, + e上单调递增，且 f x = fmin 2 = ．4
作出函数 f x 的大致图象，如图所示，
2
由图象可知， x = 0是函数 f x 的零点，要使函数 g x = é f x ù - af x 有两个不同的零点，则方程
é f x
2
ù - af x = 0有两个不相等的实数根，等价于 f x = a有 1 个非零实数根.
1 2 1 e2
由图可知 a = -
ì ü
或0 e< a < 或 a > e，即 a í- 0, ÷ e,+ .e 4 e è 4
故选：C．
π π π4 ．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 y = 2cos wx - ÷ (w > 0)在区间 ,4 2 ÷ 上有且仅有一个零点，则
w 的取值范
è 4 è
围为 ．
3 7 11 15
【答案】 ( ,3) U ( , ]U[7, ]
2 2 2 2
【解析】由题意知函数 y = 2cos
π π π
wx - ÷ (w > 0)在区间4
,
è è 4 2 ÷
上有且仅有一个零点，

T π π π , 2π π 故函数的最小正周期 - = \ ,\0 < w 8 ,
2 4 4 w 4
x π π , π w π wx π π w π π π w π 7π又 ÷，则 - < - < -4 2 ，而
- < - ，
è 4 4 4 2 4 4 4 4 4
π π
当- < w
π π π π π 3π 3 7 3
- < 时，即0 < w < 3时，需有 < w - ，即 < w ，此时w ( ,3)；
4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2
π π π π π 5π π 5π
当 w - = 时，即w = 3时， w - = ，此时函数在 ( , )上无零点，不合题意；
4 4 2 2 4 4 2 4
π π w π 3π 3π π π 5π 7 11 7 11当 < - < 时，即3 < w < 7 时，需有 < w - ，即 < w ，此时w ( , ]；
2 4 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2
π w π 3π w 7 π w π 13π 3π 13π 5π当 - = 时，即 = 时， - = ，此时函数在 ( , ) 上有一零点 ，符合题意；
4 4 2 2 4 4 2 4 2
3π π w π 7π 5π π π 7π 11 15 15当 < - 时，即7 < w 8时，需有 < w - ，即 < w ，此时w (7, ]；
2 4 4 4 2 2 4 2 2 2 2
w ( 3 ,3) U ( 7 ,11]U[7,15综合上述，得 的取值范围为 ]，
2 2 2 2
3 7 11 15
故答案为： ( ,3) U ( , ]U[7, ]
2 2 2 2
ìx2 + 2x - 3, x 1
5．（2024 全国·模拟预测）已知函数 f x = í ，若函数 g x = f x + m仅有 1 个零点，则实数m
-x +1, x >1
的取值范围为 .
【答案】 - ,0 4,+
【解析】令 g x = 0，则 f x = -m ，作出函数 f x 的大致图象如图所示，
当 x = -1时， f x = -4 ，
观察可知，当-m > 0或-m < -4时，函数 f x 的图象与直线 y = -m仅有一个交点，
∴实数m 的取值范围为 - ,0 4,+ .
故答案为： - ,0 4,+
ìex +1, x 0

6．（2024·陕西西安·一模） f x = í 1 ，若 y = f f x +1 - k 有两个零点，则 k 的取值范围是 .
, x > 0 x
é1 1
【答案】 ê ,3 2÷
1
【解析】易知函数 y = ex 在 R 上增函数，函数 y = 在 0, + x 上减函数，
1
所以，当 x 0 时，1< ex +1 2，当 x > 0时， > 0 ，x
于是函数 f x 的值域为 0, + ，
又函数 f x 的在 - ,0 上单调递增，在 0, + 上单调递减，
函数图象如图所示：
设 t = f x +1，由 f x > 0可知， t > 1，则 f t 1= .
t
因为 y = f f x +1 - k 1有两个零点，所以 f t - k = 0，即 = k ，
t
于是 t
1 1
= >1，则方程 t = f x +1 = ，即 f x 1= -1有两个零点，
k k k
所以，由 f x 1的图象可知，使方程 f x = -1有两个零点，
k
ì1
>1 k 1 1
则满足 í ，解得 k < .
1 1< -1 2 3 2
k
é1 1
综上所述，实数 k 的取值范围是 ê ,3 2 ÷
.

é1 , 1 故答案为： ÷ .
ê3 2
ìx2 + 2x - 3, x 0
7（2024 广东珠海·阶段练习）已知函数 f (x) = í 求使方程 f (x) = k 的实数解个数为 3 时 k 取值范
-2 + ln x, x > 0
围 ．
【答案】-4 < k -3
【解析】当 x 0 时，函数 f (x) = x2 + 2x - 3 = (x +1)2 - 4在 (- ,-1]是递减，函数值集合为[-4,+ )，
在[-1,0]上递增，函数值集合为[-4,-3]，当 x > 0时， f (x) = -2 + ln x是增函数，函数值集合为 R，
方程 f (x) = k 的实数解个数，即为函数 y = f (x) 与直线 y = k 的交点个数，
在同一坐标系内作出直线 y = k 与函数 y = f (x) 的图象，
观察图象，当-4 < k -3时，直线 y = k 与函数 y = f (x) 的图象有 3 个交点，
所以方程 f (x) = k 的实数解个数为 3 时 k 取值范围是-4 < k -3 .
故答案为：-4 < k -3
考点六 比较零点的大小
【例 6】（2024·安徽）已知函数 f (x) = 2x + x ， g(x) = log2 x + x ， h(x) = 2sin x + x 的零点分别为 a，b，c 则 a，
b，c 的大小顺序为（ ）
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D．b > c > a
【答案】D
【解析】由 h(x) = 2sin x + x = 0 得 x = 0，\c = 0 ，
由 f (x) = 0 得 2x = -x，由 g(x) = 0 得 log2 x = -x .
在同一平面直角坐标系中画出 y = 2x 、 y = log2 x 、 y = -x的图象，
由图象知 a<0，b > 0，\a < c < b .
故选：D
【一隅三反】
1 a 1 b
1．（2024· 海南·模拟预测）已知正实数 a,b,c满足 ÷ = log3a, ÷ = log3b,c = log1c ，则（ ）
è 3 è 2 3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b【答案】D
【解析】因为 c = log1c = -log3c ，即-c = log3c ，
3
a y 1
x

由题意可知： 为 = ÷ 与 y = log3x的交点横坐标；
è 3
b y 1
x
为 = 2 ÷
与 y = log3x的交点横坐标；
è
c为 y = -x与 y = log3x的交点横坐标；
1 x 1
x

在同一平面直角坐标系中作出 y = ÷ , y = log3x, y = ÷ , y = -x 的图象，
è 2 è 3
由图可得： c故选：D.
2．（2024·江西·模拟预测）已知函数 f (x) = 2x + x - 4， g(x) = ex + x - 4 ， h(x) = ln x + x - 4的零点分别是 a，b，
c，则 a，b，c 的大小顺序是（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D． c【答案】C
【解析】由已知条件得
f (x) 的零点可以看成 y = 2x 与 y = 4 - x的交点的横坐标， g(x)的零点可以看成 y = ex 与 y = 4 - x的交点的横坐标，
h(x) 的零点可以看成 y = ln x 与 y = 4 - x的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出 y = 2x ， y = ex ， y = ln x ， y = 4 - x的函数图象，如下图所示,
可知 c > a > b，
故选：C .
3．（2014·山东·一模）已知函数 f x = x - x x > 0 ， g x = x + ex ， h x = x + ln x 的零点分别为 x1， x2， x3 ，
则（ ）．
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x1 < x3
C． x2 < x3 < x1 D． x3 < x1 < x2
【答案】C
【解析】函数 f (x) = x - x (x > 0) ， g x = x + ex ，h x = x + ln x x > 0 的零点，即为 y = x 与 y = x (x > 0)，
y = -ex ， y = - ln x x > 0 的交点，
作出 y = x 与 y = x (x > 0)， y = -ex ， y = - ln x x > 0 的图象，
如图所示，可知 x2 < x3 < x1
故选：C
a b
1
4．（2024· 1 1湖南）若 ÷ = log
a
3 ， ÷ = b
3 ， c3 = 3-c ，则 a,b,c的大小关系是（ ）è 3 è 3
A． c < a < b B． c < b < a C． a < c < b D．b【答案】B
1 1
【解析】做出函数 y = ( )x , y = log x, y = x33 , y = x3 的图象，3
根据图象可得， c < b < a .
故选：B.
考点七 零点之和
【例 7-1】（2024 2山东枣庄·期末）已知 f x = 2cos x + 3sin2x, x 0,2π ，则 f x 的零点之和为（ ）
4 π 10A． B． π
14
C． π D．10π
3 3 3
【答案】C
2
【解析】由 f x = 2cos x + 3sin2x = 0 ，
2 1+ cos 2x则 × + 3sin2x = 0，所以
2 cos 2x + 3sin2x = -1
，
sin 2x π+ 1即 6 ÷
= - ，
è 2
2x π 7π 2kπ, k π π所以 + = + Z或 2x + = - + 2kπ,k Z，
6 6 6 6
π
解得： x = + kπ,k Z
π
或 x = - + kπ, k Z，
2 6
因为 x 0,2π x π 3π 5π 11π，所以 = , ， 或 ，
2 2 6 6
所以 f x π 3π 5π 11π 14π的零点之和为 + + + = ，
2 2 6 6 3
故选：C.
1
【例 7-2】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数 f x = sin 2πx + ，则直线 y = x - 2与 f x 的图象的所有
x - 2
交点的横坐标之和为（ ）
A． 0 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】由 f x = x - 2可得 sin 2πx = x 1- 2 - ，
x - 2
令 g x = sin 2πx ， h x = x 1- 2 - ，
x - 2
则函数 g x = sin 2πx 2π的定义域为R ，其最小正周期为T = = 1，
2π
g 4 - x = sin é2π 4 - x ù = sin 8π - 2πx = -sin 2πx = -g x ，
所以，函数 g x 的图象关于点 2,0 对称，
h x x 2 1函数 = - - 的定义域为 x x 2 ，
x - 2
对任意的 x x x 2 ， h 4 - x 4 1 1= - x - 2 - = 2 - x - = -h x 4 - x - 2 2 - x ，
所以，函数 h x 的图象也关于点 2,0 对称，
因为函数 y = x - 2 y
1
、 = - 在 2, + 上均为增函数，
x - 2
则函数 h x 在 2, + 上也为增函数，如下图所示：
由图可知，函数 g x 、 f x 的图象共有六个交点，其中这六个点满足三对点关于点 2,0 对称，
因此，直线 y = x - 2与 f x 的图象的所有交点的横坐标之和为 4 3 =12 .
故选：C.
【例 7-3】（2024· 2x-1黑龙江佳木斯）已知函数 f x = e - e- 3ex sin x -1 ，则函数 y = f x 的所有零点之和为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】 f x = e2x-1- e- 3ex sin x 1 ex éex-1 1- = - ùê x-1 - 3sin x -1 ú， e
令 f x = 0 x-1 1，则 e - x-1 = 3sin x -1 ，e
h x = ex-1 1令 - x-1 , p x = 3sin x -1 ，e
因为 h -x + 2 = e- x+1 1- x 1 = -h x ， p -x + 2 = 3sin -x +1 = - p x- + ，e
所以函数 h x , p x 得图象关于 1,0 对称，
因为 h x = ex-1 1+ x-1 > 0，所以函数 h x 在R 上递增，e
令m x ex-1 1= + x >1 m x = ex-1 1
ex-1
，则 - x-1 > 0 x >1 ，e
x-1 1
所以函数m x = e + x 1 在 1, + - 上递增，e
所以函数 h x 在 1, + 上增长得速度越来越快，
h π +1 = eπ 1- π > 3 p x ， h 1 = p 1 = 0，e
如图，作出函数 h x , p x 的图象，
由图可知，函数 h x , p x 的图象有三个交点，设这三个交点依次为 x1, x2 , x3，
则 x2 =1, x1 + x3 = 2 ，
所以函数 y = f x 有三个交点 x1, x2 , x3，且 x1 + x2 + x3 = 3，
即函数 y = f x 的所有零点之和为 3.
故选：D.
【一隅三反】
ì x -1 2 , x 0
1．（2024·江西萍乡 ）已知函数 f x = í ，则 y = f (x) 1- 的所有零点之和为（ ）
x +1 , x < 0 2
A 2 +1 B 1- 2． ． C． 2 D． 0
2 2
【答案】D
【解析】 x 0 时，由 (x
1
-1)2 - = 0得 x = 1 2± ， x < 0 时，由 x +1
1
- = 0得 x
1 3
= - 或 x = - ，
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 3所以四个零点和为 + + - - - = 0 ．故选：D．
2 2 2 2
2x - 5
2．（2023·江西·模拟预测）函数 f x = 2 - + sin 1- x é 1 ,13π ù在区间 ê- ú上的零点设为 x1, x2 , x3 , …， xn，则x - 3 2 2
n
xi = （ ）
i=1
A．6 B．18 C．12 D．16
【答案】B
2x - 5 2x - 6 - 2x - 5【解析】由 f x = 2 - + sin 1 x π - = + sin π - πx = 0
x - 3 x - 3
-1 sinπx 0 1得 + = ，即 sinπx = x 3 ，
x - 3 x - 3
∵ y = sinπx y
1
与 = 均关于点 3,0 对称，
x - 3
由图可知，两函数有6个交点，不妨设为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6 ，
根据对称性得 x1 +x6 =x2 +x5 =x3 +x4 =6，
故函数 f x é 1在 ê- ,
13ù
ú上所有零点之和为3 6 =18． 2 2
故选 B．
3 ．（ 2024· 四 川 自 贡 · 一 模 ） 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f x 满 足 f 1+ x = f 1- x ， 且 当 x 0,1 时 ，
f x 1 sin π x 1= ，则函数 g x = f x - 在 -2,10 上所有零点的和为（ ）
2 2 x - 4
A．16 B．32 C．36 D．48
【答案】A
【解析】依题意， f x 是定义在R 上的奇函数，图象关于原点对称，
由于 f 1+ x = f 1- x ，所以 f x 的图象关于 x =1对称，
f x + 4 = f 1+ x + 3 = f 1- x + 3 = f -2 - x
= - f x + 2 = - f 1+1+ x = - f 1- 1+ x = - f -x = f x ，
所以 f x 是周期为 4的周期函数.
g x f x 1令 = - = 0，得 f x 1= ，
x - 4 x - 4
1
函数 y = 的图象关于 4,0 对称， y = f x 的图象也关于点 4,0 对称，
x - 4
画出函数 y = f x y 1和 = 的图象如下图所示，
x - 4
由图可知，两个函数图象有 4个交点，且交点关于 4,0 对称，
所以 g x 所有零点和为8 2 =16 .
故选：A
考点八 零点的取值范围
【例 8-1】（2024 河北衡水）设方程 2x ln x =1有两个不等的实根x1和x2，则（　 　）
A． x1x2 < 0 B． x1x2 =1 C． x1x2 >1 D．0 < x1x2 <1
【答案】D
x
【解析】根据对数函数的定义域可知： x1, x2 > 0，不妨设0 < x < x 2
x
1 2 由 ln x =1
1
得 ÷ = ln x ，则
è 2
1 x1 1 x 2
÷ = ln x1 = - ln x1LL①

， ÷ = ln x2 = ln x2 LL②，②-①得 ln x2 + ln x2 2 1
= ln x1x2
è è
x
1 2 - 1
x1
= < 0 ，\0 < x2 ÷ 2 ÷ 1
x2 <1,故选 D.
è è
ì sinp x, x 0,2f x 【例 8-2】（2023·上海嘉定·三模）已知函数 = í f a = f b = f c a
log2023 x -1 , x 2, +
，若满足 （ 、b 、
c互不相等），则 a + b + c 的取值范围是（ ）
A． 3,2023.5 B． 3,2024 C． 3,2024 D． 3,2025
【答案】D
ì sinp x, x 0,2
【解析】作出函数 f x = í
log x
的图象，如图所示：
2023 -1 , x 2, +
不妨设 a < b < c，
因为 f a = f b = f c ，
由函数的性质得 a + b =1，0 < log2023 c -1 <1，即 c [2, 2024)，
所以 a + b + c [3, 2025)，
故选：D
ì2sin 2p x, 15 5 - x
【例 8-3】（2024· 5 4 4陕西西安·一模）已知函数 f x = í x5 ，若存在实数 1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 log
2 x -1 , x > 4
满足 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = m ，则错误的是（ ）
A． x2 x2
5
3 + 4 < 8 B． x1 + x2 = - C． x3x4 - x3 - x4 = 0 D．0 < m < 22
【答案】A
ì2sin 2π x, 15 x 5 -
5 4 4
5
【解析】 f x = í- log2 x -1 , < x < 2
4
，
log2 x -1 , x 2


故 f x 的图象如图所示，
考虑直线 y = m与 y = f x 图象的交点，
则 x1 + x2 = -2
5 5
= - ，且- log2 x3 -1 = log2 x4 -1 = m，0 < m < 2，故 BD 正确.4 2
1
由- log2 x3 -1 = log2 x4 -1 = m可得 = xx 1 4 -1即 x3 -1 x4 -1 =1- ，3
整理得到 x3x4 - x3 - x4 = 0，故 C 正确.
又 x2 + x2 23 4 = x3 + x4 - 2x3x4 = x x
2
3 4 - 2x3x4，
由 x3x4 = x3 + x4 2 x3x4 可得 x3x4 4 ，但 x3 x4 ，故 x3x4 > 4，
x2故 3 + x
2
4 >16 -8 = 8，故 A 错误.
故选：A.
【一隅三反】
1．（23-24 x高三下·湖南·阶段练习）设方程2 × log2x = 1的两根为x1， x2 x1 < x2 ，则（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 2 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 3
【答案】C
x
【解析】由题意得，0 < x1 < x2 ，由 2
x × log2x =1得 log x -
1
2 = 0，
è 2 ÷
x
如图画出函数 y = log x 1 2 和 y = ÷ 的图象，两个函数有 2 个交点，
è 2
x
令 f x = log x - 1 2 ÷ x > 0 ，则 f 1
1 1 3
= - < 0， f 2 =1- = > 0 f 1 1， ÷ =1- > 0 ，
è 2 2 4 4 è 2 2
1 1
由 f ÷ × f 1 < 0 ， f 1 × f 2 < 0得 x1 ,1÷ ， x2 1,2 ，故 A 错；
è 2 è 2
x2
log x 1 log x 1
x1 1 x2 1 x1
由 2 2 - ÷ = 2 1 -

÷ = 0，得 log2x2 - log2x1 =

2 2 2 ÷
- 2 ÷
，
è è è è
1 x2 x1
由 x1

,1

÷ ， x2 1,2 1 1 ，得2 log x + log x = - < 0，è 2 2 2 1 2 ÷ ÷è è 2
即 log2 x1x2 < 0，所以0 < x1x2 <1，故 C 对，B 错，
x 1 由 1 ,12 ÷
， x2 1,2 ，所以 x1 + x2 < 3，D 错误.
è
故选：C
ì-x2 - x, x 0
2．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 f x = í ，函数 g x = f x - m 有三个不同的零点
ln x, x > 0
x1，x2， x3 ，则 x1 × x2 × x3的取值范围是（ ）
é0, 1 é0, 1
é 1 1
A． ê 4 ÷
B． C 0, e4ê D 0,e e ÷ ． ê ÷ ． 4
【答案】C
【解析】作出函数 f x 的图象如图，
1
不妨设 x1 < x2 < x3，则 f (x) = m有三个不同的根，则0 m < ，4
当 x 0 时，-x2 - x - m = 0，得 x2 + x + m = 0，则 x1 × x2 = m，
当 x > 0时， ln x3 = m， x m
m
3 = e ，则 x1 × x2 × x3 = me ，
1
设 h(m) = mem （0 m < ），则 h (m) = m +1 em > 0 ，
4
h(m) é0, 1 所以 在 ê ÷上单调递增， 4
1 1
所以 h x
é 1 é
ê0, e4 ÷，即 x1 × x2 × x
1
3的取值范围是4 ê
0, e4 ÷ .
4
故选：C．
ìx2 + 2x +1, x 0
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f (x) =

í ，若方程 f x = aln x , x 0 有四个根 x1, x2 , x3 , x4 ，且 >
x1 < x2 < x3 < x4 ，则下列说法错误的是（ ）
A． x1 + x2 = -2 B． x3 + x4 > 2
C． x1x2 > 4 D．0 < a 1
【答案】C
2
【解析】函数 y = x +2x+1的图象开口向上，对称轴为直线 x=-1，
当 x 0 时， f (x) = x2 + 2x +1在 (- ,-1]上递减，函数值集合为[0, + ) ，在[-1,0]上递增，函数值集合为[0,1]，
当 x > 0时， f (x) =| ln x |在 (0,1]上递减，函数值集合为[0, + ) ，在[1, + ) 上递增，函数值集合为[0, + ) ，
方程 f (x) = a的根是直线 y = a 与函数 y = f (x) 图象交点的横坐标，
方程 f (x) = a有四个根 x1, x2 , x , x ，即直线 y = a3 4 与函数 y = f (x) 图象有 4 个交点，
在同一坐标系内作出直线 y = a 与函数 y = f (x) 的图象，如图，
观察图象知， x1 + x2 = -2，0 < a 1，AD 正确；
显然 | ln x3 |=| ln x4 |，而 x3 <1 < x4 ，则- ln x3 = ln x4 ，即 ln x3x4 = 0 ， x3x4 =1，
x3 + x4 > 2 x3x4 = 2 ，B 正确；
显然-1 < x2 0， x1x2 = (-2 - x2 )x2 = -(x2 +1)
2 +1 [0,1)，C 错误.
故选：C
4．（2024·四川南充·模拟预测）函数 f x = xlnx -1的零点为x g x = ex1，函数 x -1 - e的零点为x2，则下列结
论正确的是（ ）
A x
1
． e 2 × lnx = e2 B ex2 -11 ． + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
【答案】B
f (x ) = x ln x -1 = 0 ln x 1 1= g(x ) = ex2 (x -1) - e = 0 ex2【解析】由题意知， 1 1 1 1 ， 2 2 (x2 -1) = e e
x2 -1 =
x x ，1 2 -1
令 t = x2 -1 t
1
，则 e = ，
t
又因为 y = ln x 与 y = ex 互为反函数，
所以 y = ln x 、 y = ex 分别与 y
1
=
x 的的交点关于
y = x 对称，
所以 x1t =1，即： x1(x2 -1) =1，
又因为 f (1) = -1 < 0 ， f (2) = 2ln 2 -1 = ln 4 - ln e > 0，
所以由零点存在性定理可知， x1 (1,2) ，
1
又因为 x1(x2 -1) =1，即 x2 = +1x ，1
3
所以 x2 ( , 2)2 ，
对于 A 项，因为 ex2 (x -1) - e = 0 ex
e 1
2
2 = ， ln x1 = ， x1(x2 -1) =1x2 -1 x1
ex ln x e 1 e2所以 × 1 = × = = ex ，故 A 项错误；2 -1 x1 x1(x2 -1)
1
对于 B 项，因为 x1(x2 -1) =1，所以 = x2 -1x ，1
ex2 -1 1= x ( 3又因为 , 2)x2 -1
， 2 2 ，
所以 ex
1 1 1
2 -1 + = ( ) + (x
x x 2
-1) > 2 ( ) × (x2 -1) = 2，故 B 项正确；
1 2 -1 x2 -1
ln x 1 1 1对于 C 项，因为 1 = ， = x2 -1，所以 ln x1 - x2 = - x2 = (x2 -1) - x2 = -1x x x ，故 C 项错误；1 1 1
1 1
对于 D 项，因为 ln x1 = ， x2 = +1x x ，
x1 (1,2) ，
1 1
x 1 1 1 1 12 + = ( +1) + 1 > 2 ( +1) × = 2所以 1+ ln x1 x1 1 1+ x1 1+ ，故 D 项错误.
x1 x1
故选：B.
ì(x +1)2 , x 0
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = í f x = a x , x , x , x
log2x , x > 0
，若方程 有四个不同的解 1 2 3 4 ，且
x x x2
1
× -
1 < x2 < x3 < x4 ，则 3 4 x4 x + x 的取值范围是（ ）1 2
3 , é 2, 9 éA． + ÷ B． ê ÷ C． ê 2,
7 3 9 ù
÷ D． ,
è 2 4 4 è 2 4ú
【答案】D

ì(x +1)2 , x 0
【解析】因为 f x = í ，所以 f 0 =1， f -2 =1 f 1 ， ÷ =1， f 2 =1log x , x 0 ， 2 > è 2
y = x +1 2又函数 对称轴为 x=-1，
在同一平面直角坐标系中画出 y = f x 与 y = a 的图象，
因为方程 f x = a有四个不同的解x1，x2， x3 ， x4，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
即 y = f x 与 y = a 有四个交点，所以0 < a 1，
1
由图可知 -2 x1 < -1 < x2 0 < x3 < 1 < x4 22 ，
又x1，x2关于 x=-1对称，即 x1 + x2 = -2，
1
又 x3 <1 < x4 2，且 log2 2
x3 = log2 x4 ，
即- log2 x3 = log2 x4 ，则 log2 x3 + log2 x4 = 0，
所以 log2 x3x4 = 0 ，则 x3x4 =1；
所以 x3 × x
2 1 1 1
4 - = x - = x +x4 (x1 + x2 )
4 -2x 4 ，4 2x4
1
令 g(x) = x + ， 1< x 2 2x ，
由对勾函数的性质可知 g(x)在 1,2 上单调递增，
又 g 1 3= ， g 2 9= ，
2 4
g(x) 3 9 ù所以 , ，
è 2 4 ú
即 x3 × x
2 1 3 9 ù
4 - ,x4 (x1 + x2 )
．
è 2 4 ú
故选：D．
ìxex , x 0
6．（2024·福建漳州）已知函数 f x = í ，若函数 g(x) = 3[ f (x)]2 - mf (x) - 2m2 (m R) 恰有 5 个零
-x
2 + 2x, x > 0
点 x1 , x2 , x3 , x4 , x5，且 x1 < x2 < x3 < x4 < x5 ， f x3 = f x4 ，则 2 f x1 + f x3 + f 2 - x3 的取值范围是（ ）
3
A． - ,0

÷ U
1 2 1
2e
0, ÷ B．e
- ,0÷ U 0, ÷
è è è 3e è e
3
C． - ,0

÷ U
0, 2e 2- ,0 2e
2e 3 ÷
D． U3e ÷
0, ÷
è è è è 3
【答案】B
【解析】当 x 0 时， f x = xex ，此时， f x = x +1 ex ，
令 f x > 0，解得：-1 < x < 0，令 f x < 0，解得： x < -1，
可得 f x 在 - , -1 1上单调递减且恒负，在 -1,0 上单调递增且恒负，且 f -1 = - ，
e
当 x > 0时， f x = -x2 + 2x = - x -1 2 +1，作出 f x 的大致图象如图所示，
函数 g(x) = 3[ f (x)]2 - mf (x) - 2m2 (m R) 恰有 5 个零点 x1 , x2 , x3 , x4 , x5，
等价于方程3[ f (x)]2 - mf (x) - 2m2 = 0有 5 个不同的实数根，
解得： f x = m 2m或 f x = - ，m 0 ，该方程有 5 个根，
3
且 f x3 = f x4 ，则 x3 + x4 = 2， f x1 = f x2 = f x5 ，
f x f x f x m 1当m < 0时， 1 = 2 = 5 = - ,0

÷，
è e
f x3 = f x
2m
4 = - (0,1)，故m
1- ,0
3 e ÷
，
è
所以 2 f x1 + f x3 + f 2 - x3 = 2 f x1 + f x3 + f x4 = 2 f x1 + 2 f x3
= 2m 4- m 2 2= m - ,0

；
3 3 ֏ 3e
2 1
当m > 0时， f x 1 = f x2 = f x5 = - m - ,03 e ÷，è
f x3 = f x
3
= m (0,1) m 0, 4 ，故 ÷，
è 2e
所以 2 f x1 + f x3 + f 2 - x3 = 2 f x1 + f x3 + f x4 = 2 f x1 + 2 f x3
4 m 2m 2 1= - + = m 0, ，
3 3 ֏ e
综上： 2 f x1 + f x3 + f 2 - x
2- ,0 U 0, 1 3 的取值范围是： 3e ÷ ÷
.
è è e
故选：B.
考点九 二分法
【例 9-1】（2024 3 2山西）若 f x = x + x - 2x - 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
f 1 = -2 f 1.5 = 0.625
f 1.25 = -0.984 f 1.375 = -0.260
f 1.438 = 0.165 f 1.4065 = -0.052
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【解析】根据二分法，结合表中数据，
由于 f 1.438 = 0.165 > 0, f 1.4065 = -0.052 < 0
所以方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根所在区间为 1.4065,1.438
所以符合条件的解为 1.4
故选:C.
【例 9-2】（2024 安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A． f (x) = x4 B． f (x) = tan x + 2(
p
- < x p< )
2 2
C． f (x) = cos x -1 D x． f (x) = 2 - 3
【答案】B
【解析】 f (x) = x4 不是单调函数， y 0，不能用二分法求零点；
f (x) tan x
p p
= + 2(- < x < )是单调函数， y R ，能用二分法求零点；
2 2
f (x) = cos x -1不是单调函数， y 0，不能用二分法求零点；
f (x) = 2x - 3 不是单调函数， y 0，不能用二分法求零点.
故选：B
【例 9-3】（2024·黑龙江）用二分法求函数 f (x) = lg x + x - 3的一个零点，根据参考数据，可得函数 f (x) 的一个
零点的近似解（精确到0.1）为（参考数据： lg 2.5 0.398, lg 2.75 0.439, lg 2.625 0.419, lg 2.5625 0.409）
A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56
【答案】C
【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0，
f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0，
f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0
又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2024 3 2山西·阶段练习）若 f x = x + x - 2x - 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下
表：
f 1 = -2 f 1.5 = 0.625
f 1.25 = -0.984 f 1.375 = -0.260
f 1.438 = 0.165 f 1.4065 = -0.052
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【答案】C
【解析】根据二分法，结合表中数据，
由于 f 1.438 = 0.165 > 0, f 1.4065 = -0.052 < 0
所以方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根所在区间为 1.4065,1.438
所以符合条件的解为 1.4
故选:C.
2．（2024 安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A． f (x) = x4 B． f (x) = tan x + 2(
p x p- < < )
2 2
C． f (x) = cos x -1 D． f (x) = 2x - 3
【答案】B
【解析】 f (x) = x4 不是单调函数， y 0，不能用二分法求零点；
f (x) = tan x + 2(
p x p- < < )是单调函数， y R ，能用二分法求零点；
2 2
f (x) = cos x -1不是单调函数， y 0，不能用二分法求零点；
f (x) = 2x - 3 不是单调函数， y 0，不能用二分法求零点.
故选：B
3．（2024·黑龙江哈尔滨）用二分法求函数 f (x) = lg x + x - 3的一个零点，根据参考数据，可得函数 f (x) 的一个
零点的近似解（精确到0.1）为（参考数据： lg 2.5 0.398, lg 2.75 0.439, lg 2.625 0.419, lg 2.5625 0.409）
A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56
【答案】C
【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0，
f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0，
f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0
又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．
故选：C．
一．单选题
1．（2024 黑龙江）用二分法求函数 f (x) = lg x + x - 3的一个零点，根据参考数据，可得函数 f (x) 的一个零点的
近似解（精确到0.1）为（参考数据： lg 2.5 0.398, lg 2.75 0.439, lg 2.625 0.419, lg 2.5625 0.409）
A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56
【答案】C
【解析】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.5<0，
f（2.5625）=lg2.5625+2.5625-3=0.409-0.4375<0，
f（2.75）=lg2.75+2.75-3=0.439-0.25>0
又因为函数在（0，+∞）上连续，所以函数在区间（2.5625，2.75）上有零点．
故选：C．
2．（2024·广东·模拟预测）函数 f x = sin3x - sin2x在开区间 (-π,2π) 的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C． 7 D．8
【答案】D
【解析】法一：Q f x = sin2xcosx + cos2xsinx - sin2x，
= 2sinxcos2x + cos2xsinx - 2sinxcosx ，
= sinx 2cos2x + 2cos2x -1- 2cosx ，
= sinx 4cos2x - 2cosx -1 ，
令 f x = 0，则 sinx = 0或 4cos2x - 2cosx -1 = 0 ，
即： sinx = 0或 cosx 1+ 5 1- 5= 或 cosx = ，
4 4
如图所示：
由图像可知，
函数 f (x) 共 8 个零点.
f x sin 5 x 1 5 1法二：因为 = + x ÷ - sin

x - x

÷ = 2sin
1 xcos 5 x，
è 2 2 è 2 2 2 2
由 f (x) = 0 ，得 sin
1 x 0 5= ，或 cos x = 0 ，
2 2
1 x kπ 5 x p所以 = ，或 = + kp
p 2kp
，即 x = 2kp，或 x = + ， k Z，
2 2 2 5 5
因为-p < x < 2p，
x 3p , 1 p , 1所以 x = 0，或 = - - p ,
3p ,p , 7 p , 9 p 共8个零点.
5 5 5 5 5 5
故选：D
1
3．（2024 湖南长沙 ）函数 f x = + 2cos é x + 2023 πùx 1 在区间[-3,5]- 上所有零点的和等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
1
【解析】因为 f x = + 2cos é x + 2023 π
1
ù = - 2cosπxx -1 x -1 ，
1
令 f x = 0，则 = 2cosπxx -1 ，
y 1则函数的零点就是函数 = 的图象和函数 y = 2cosπxx 1 的图象在 -3,5- 交点的横坐标，
1
可得 y = 和 y = 2cosπxx -1 的函数图象都关于直线 x =1对称，
则交点也关于直线 x =1对称，画出两个函数的图象，如图所示.
1
观察图象可知，函数 y = x -1 的图象和函数
y = 2cosπx的图象在 -3,5 上有 8 个交点，
即 f x 有 8 个零点，且关于直线 x =1对称，
故所有零点的和为 4 2 = 8 .
故选：D
4 2024· · x > 0 y = x2 + x - 7, y = 2x．（ 新疆乌鲁木齐 二模）设 ，函数 + x - 7, y = log2x + x - 7 的零点分别为 a,b,c，则
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c【答案】A
2 x
【解析】分别令 y = x + x - 7 = 0, y = 2 + x - 7 = 0, y = log2x + x - 7 = 0，
x2则 = -x + 7,2x = -x + 7, log2x = -x + 7，
a,b,c y = -x + 7 y = x2 , y = 2x则 分别为函数 与函数 , y = log2 x 图象交点的横坐标，
y = x2分别作出函数 , y = -x + 7, y = 2x , y = log2x 的图象，如图所示，
由图可知， a < b < c .
故选：A.
5．（2024·河北·模拟预测）函数 f (x) = cos3x - 4sin2x在区间 -2024π,2024π 内所有零点的和为（ ）
A．0 B．-2024π C．1012π D．-1012π
【答案】B
【解析】依题意， f (x) = cos(2x + x) - 4sin 2x = cos 2x cos x - sin 2x sin x -8sin x cos x
= (1- 2sin2 x) cos x - 2sin2 x cos x -8sin x cos x = cos x(1- 4sin2 x -8sin x) ，
f (x) = 0 cos x = 0 sin x 5 - 2 sin x - 5 - 2由 ，得 或 = 或 = （不符合题意，舍去），
2 2
函数 y = cos x是偶函数，在 -2024π,2024π 上的所有零点关于数 0 对称，它们的和为 0，
正弦函数 y = sin x 的周期为 2π，方程 sin x = a(0 < a <1)在[0, 2π]的两根和为 π，
在[-2π,0]上的两根和为 -3π，因此 sin x 5 - 2= 在[2kπ,2(k +1)π],-1012 k 1011,k Z 上
2
的两根和构成首项为-4047π，末项为 4045π的等差数列，共有 2024项，所有根的和为-2024π .
故选：B
6．（2024 湖南邵阳）已知函数 f (x) = log2 1- x ，若函数 g x = [ f x ]2 + af x + 2b 有 6 个不同的零点，且最小
的零点为 x=-1，则这 6 个零点之和为（ ）
11 9
A．7 B．6 C． D．
2 2
【答案】B
【解析】由函数 y = log2 x 的图象，经过翻折变换，可得函数 y = log2 x 的图象，
再经过向右平移 1 个单位，可得 y = log2 x -1 = log2 1- x 的图象，
最终经过翻折变换，可得 y = log2 1- x 的图象，如下图：
则函数 y = f x 的图象关于直线 x =1对称，
2 2求函数 g x = é f x ù + af x + 2b 的零点，等价于解 é f x ù + af x + 2b = 0，
由题意可得，方程存在两个不等的实数根，则 f x = c或 f x = d ， c,d R ，
根据函数 y = f x 的对称性，可得六个零点，分为三组关于直线 x =1对称，
所以这 6 个零点之和为1 2 3 = 6，
故选：B.
7 2023· · 0 < a < 1 f x = a x．（ 陕西安康 模拟预测）已知 ，若函数 ln a - ex 有两个不同的零点，则 a的取值范围是
（ ）
0, 1 1 ,1 0, 1 1A． B． C． D． ,
1
è e ÷ è e ÷ 2e ÷ è è 2e e ÷
【答案】B
e
【解析】由题意 f x = a x ln a 2 - e，令 f x0 = a x0 ln a
2 - e=0，得 x0 = loga ln a 2 ，
当 x < log
e
x
a ln a 2 时， f x = a ln a
2 - e>0，此时 f x 单调递增，
x log e当 > a ln a 2 时， f x = a
x ln a 2 - e<0，此时 f x 单调递减，
故当 x = x
e
0 = loga ln a 2 时， f x 有最大值，
x
x a 而 f x = a ln a - ex = x × ln a - ex ÷ ，è
x x
由此可知当 x + 时， f x a a = x × ln a - e÷ - ，当 x - 时， f x = x × ln a - e÷ - ，
è x è x
x
若函数 f x = a ln a - ex 有两个不同的零点，
结合零点存在定理可知 f x 的最大值
e
f x a x ln a ex e e log e

0
0 = - 0 = - a = log e
e - log e ÷ = e log ln a 2 > 0，
ln a 2 a aln a ln a 2 ÷ aè
又 0
2
< a < 1，所以 ln a <1, ln a < 0，所以1- ln a 2 > 0，
1 1
解得-1 < ln a < 0，所以 < a <1，即 a 的取值范围是 ,1 .
e è e ÷
故选：B.
ì-x
2 + 4x, x 4,
8．（23-24 高一上·福建厦门·阶段练习）设函数 f x = í 若关于 x 的方程 f x = t 有四个实根
log2 x - 4 , x > 4,
x1, x
1
2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1 + x2 + 4x3 + x4 的最小值为（ ）4
45 47
A． B．23 C． D．24
2 2
【答案】B
ì -x
2 + 4x, x 4,
【解析】做出函数 f x = í 的图象如图所示，
log2 x - 4 , x > 4,
由图可知，当 x 4时， f x = -x2 + 4x的对称轴为 x = 2，
所以x1 + x2 = 4，
若关于 x 的方程 f x = t 有四个实根 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4 ，
则0 < t < f 2 = 4，
由 t = log2 x - 4 = f 2 = 4
65
，可得 x = 或 x = 20，
16
所以5 < x4 < 20，又因为 log2 x3 - 4 + log2 x4 - 4 = 0，
所以
1
x3 - 4 x4 - 4 =1，故 x3 = + 4 x - 4 1,16x4 - 4
，且 4 ，
1 1
所以 4x
1
3 + x4 = 4 + 4÷ + x
4 1
4 = + x4 - 4 +17 2
1 4
x - 4 +17 =19，
4 è x4 - 4 4 x4 - 4 4 4 x
4
4 - 4
1 x 4 4当且仅当 4 - =4 x - 4 ，即 x4 = 8时取等号，4
所以 x1 + x2 + 4x
1
3 + x 的最小值为 4 +19 = 23 .4
故选：B
二．多选题
9．（2024 云南玉溪）已知函数 f x = sinπx 1- lg x - 的所有零点从小到大依次记为 x1, x2 ,L, xn ，则（2 ）
A． n = 20 B． n =18
C． x1 + x2 +L+ xn =10 D． x1 + x2 +L+ xn = 9
【答案】AC
【解析】令 f x = sinπx lg x 1 1- - = 0 sinπx = lg x - ，
2 2
在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示：
由图可知共有 20 个交点，故 n = 20，则 A 正确，B 错误；
又函数 y = sinπx, y = lg x
1
- 1 x + x x + x的图象都关于 x = 对称，则 1 20 = 2 19 =L
x + x 1
= 10 11 = ，
2 2 2 2 2 2
故 x1 + x2 +L+ xn = x1 + x2 +L+ x20 =10 ，则 C 正确，D 错误，
故选：AC
10．（2024·福建三明）已知函数 f x = x ln x + a 1- x + x 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数 a 的取值可以
为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【解析】 f x = x ln x + a 1- x + x = x ln x a+ - a +1 ÷，设 g x = ln x
a
+ - a +1
è x x
则在 x >1上， y = f x 与 y = g x 有相同的零点.
故函数 f x 在区间 1, + 内没有零点,即 g x 在区间 1, + 内没有零点
g x 1 a x - a= -
x x2
=
x2
x - a
当 a 1时， g x = 2 > 0在区间 1, + 上恒成立,则 g x 在区间 1, + 上单调递增.x
所以 g x > g 1 =1 > 0 ，显然 g x 在区间 1, + 内没有零点.
当 a > 1时, 令 g x > 0，得 x > a，令 g x < 0，得1< x < a
所以 g x 在区间 1, a 上单调递减增.在区间 a,+ 上单调递增.
所以 g x g a = ln a + 2 - a
设 h a = ln a + 2 - a a >1 1 1- a，则 h a = -1 = < 0 a >1
a a
所以 h a 在 1, + 上单调递减,且 g 3 = ln 3 -1 > 0, g 4 = ln 4 - 2 < 0
所以存在 a0 3,4 ，使得 h a0 = 0
要使得 g x 在区间 1, + 内没有零点，则 g a = ln a + 2 - a > 0
所以1 < a < a0 3,4
综上所述，满足条件的 a的范围是a < a0 3,4
由选项可知：选项 ABC 可使得 g x 在区间 1, + 内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
ìx2 - 2x + t, x 0
11．（2023·河北·模拟预测）（多选）已知函数 f x = í2ln x 1 1, x 0，若函数
y = f f x 恰好有 4 个不同
+ - >
的零点，则实数 t 的取值可以是（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
【答案】BC
【解析】由题意可知：
当 x 0 时， f x 在 - ,0 上单调递减，则 f x f 0 = t ；
当 x > 0时， f x 在 0, + 上单调递增，则 f x > 2ln1-1 = -1；
若函数 y = f f x 恰好有 4 个不同的零点，
令u = f x ，则 y = f u 有两个零点，可得：
当u > 0时，则 2ln u +1 -1 = 0，解得u = e -1 > 0；
ì t 0
当u < 0 时，则u2 - 2u + t = 0，可得 í ；
u =1- 1- t
可得 f x = e -1和 f x =1- 1- t 均有两个不同的实根，
即 y = f x 与 y = e -1、 y =1- 1- t 均有两个交点，
ì e -1 > -1 ì 1- 1- t > -1
不论 t 与 -1的大小关系，则 í ，且 í ，解得-3 < t 0，
e -1 t 1- 1- t t
综上所述：实数 t 的取值范围为 -3,0 .
且-3 -3,0 ,-2 -3,0 ,0 -3,0 , 2 -3,0 ，故 A、D 错误，B、C 正确.
故选：BC.
三．填空题
12．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知函数 f (x) = ex + x - 2 的零点为 a，函数 g(x) = ln x + x - 2的零点为b ，则
ea + ln b = ．
【答案】2
【解析】由 f (x) = 0 ， g(x) = 0 得 ex = 2 - x ， ln x = 2 - x 函数 y = ex 与 y = ln x 互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数 y = ex ， y = ln x ， y = 2 - x的图象，
如图所示，则 A(a, ea )，B(b, ln b)，由反函数性质知 A，B 关于 1,1 对称，
则 a + b = 2 ， ea + ln b = 2 .
故答案为： 2 .
13．（2024·陕西西安）函数 f (x)
(2x +1)p
= sin - ln x - 2 的所有零点之和为 .
2
【答案】12
f x = 0 sin (2x +1)p【解析】由 ，可得 = ln x 2 (2x +1)p- ，令 y = sin , y = ln x - 2 ，
2 2
(2x +1)p
可得函数 y = sin 与 y = ln x - 2 的图象都关于直线 x = 2的对称，
2
(2x +1)p
在同一坐标系内作出函数 y = sin 与 y = ln x - 2 的图象，如图所示，
2
(2x +1)p
由图象可得，函数 y = sin 与 y = ln x - 2 的图象有 6 个公共点，
2
其横坐标依次为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ，
这 6 个点两两关于直线 x = 2的对称，所以 x1 + x6 = x2 + x5 = x3 + x4 = 4，
所以 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =12，
即函数 f (x) = sin
(2x +1)p
- ln x - 2 的所有零点之和为12 .
2
故答案为：12 .
ì x + 2 , x 0
14．（2024 湖南长沙·阶段练习）已知函数 f (x) = í ，若方程 f (x) = a有四个不同的解x1，x2， x3 ， log2 x , x > 0
1
x4，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x3 x1 + x2 + x2x 的取值范围是 ．3 4
【答案】 (-3,3]
ì-x - 2, x < -2
ì x + 2 , x 0 x + 2, -2 x 0
【解析】画出函数 f (x) = í =
log2 x , x > 0
í
- log2 x,0 x 1
的图象，如图所示：
< <
log2 x, x 1
方程 f (x) = a有四个不同的解x1，x2， x3 ， x4，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
由 x 0 时， f (x) = x + 2 ，则x1与x2的中点横坐标为 x = -2，即： x1 + x2 = -4，
当 x > 0时，由于 y = log2 x 在( 0, 1)上是减函数，在 (1, + )上是增函数，
又因为 x3 < x4 ， log2 x3 = log2 x4 ，则0 < x3 <1 < x4，有- log2 x3 = log2 x4 ，
x3x4 =1，又 log2 x4 2，1< x4 4，
x x x 13 1 + 2 + 2 = -4x
1 4
3 + = x4 - 在 x4 (1, 4]上递增，故取值范围是 (-3,3]x x x x ．3 4 3 4
故答案为： (-3,3] .
四．解答题
1- x 1
15．（2024·陕西）已知函数 f x = loga , f ÷ = -1．1+ x è 2
(1)求 a及函数 f x 的定义域；
(2)求函数 g x = f x - loga 3 - 3x 的零点．
2
【答案】(1) a = 3，定义域为 (-1,1) (2) x = -
3
1 1
1
-
【解析】（1）依题意 f ÷ = log 2a = log
1
a = - loga 3 = -1,a = 3，
è 2 1 1+ 3
2
所以 f x log 1- x 1- x= 3 ，由 > 0得 1- x 1+ x > 0，1+ x 1+ x
解得-1 < x <1，所以 f x 的定义域为 -1,1 .
1- x
（2） g x = f x - loga é 3 1- x ù = log3 - loga é1+ x 3 1- x ù，
ì-1 < x <1
则 í -1 < x <1，所以 g x 1 x 0 的定义域为 -1,1 ， - >
令 g x = 0 log 1- x得 3 = loga é3 1- x ù1+ x ，
ì1- x
= 3 1- x 1 1 2
所以 í1+ x ，1 - x > 0 ，则 = 3,1+ x = , x = - .
-1 < x <1
1+ x 3 3
ìx2 - 2x + 2, x 0
16（2024 安徽）已知函数 f x = í .
log5 x + 5 +1,-5 < x < 0
(1)讨论 f (x) 的单调性;
(2)若关于 x 的方程 f (x) - k = 0有三个不同的实根，求实数 k 的取值范围.
【答案】(1) f x 在 -5,0 和 1, + 上单调递增，在 0,1 上单调递减.
(2)1< k < 2
【解析】（1）当-5 < x < 0时，由 log5 x 单调递增，知 f x 在 -5,0 上单调递增；
当-5 < x < 0时，有 f x = log5 x + 5 +1 < log5 5 +1 = 2 = f 0 ，所以 f x 在 -5,0 上单调递增；
当 x > 0时， f x = x2 - 2x + 2 = x -1 2 +1是二次函数，最小值点是 x =1，故 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, +
上单调递增.
综上， f x 在 -5,0 和 1, + 上单调递增，在 0,1 上单调递减.
（2）在同一平面直角坐标系中画出函数 f x 的图象与直线 y = k 的图象，如图所示，
由图可知若关于 x 的方程 f (x) - k = 0有三个不同的实根，
当且仅当 k 的取值范围是1< k < 2 .
17．（2024·湖南·二模）已函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c(a,b,c R) ，其图象的对称中心为 (1, -2) .
(1)求 a - b - c 的值；
(2)判断函数 f x 的零点个数.
【答案】(1) -3
(2)答案见解析
【解析】（1）因为函数 f x 的图象关于点 1, -2 中心对称，故 y = f x +1 + 2为奇函数，
从而有 f x +1 + 2 + f -x +1 + 2 = 0，即 f x +1 + f -x +1 = -4，
f x +1 = (x +1)3 + a(x +1)2 + b x +1 + c = x3 + a + 3 x2 + 2a + b + 3 x + a + b + c +1，
f 1- x = (1- x)3 + a(1- x)2 + b 1- x + c = -x3 + a + 3 x2 - 2a + b + 3 x + a + b + c +1，
ì2a + 6 = 0 ìa = -3
所以 í ，解得 ，
2a + 2b + 2c + 2 = -4
í
b + c = 0
所以 a - b - c = -3；
（2）由（1）可知， f x = x3 - 3x2 - cx + c， f x = 3x2 - 6x - c，Δ = 36 +12c，
①当 c -3时，Δ = 36 +12c 0， f x 0，所以 f x 在R 上单调递增，
Q f 1 = -2 < 0， f 3 = 27 - 3 9 - 3c + c = -2c > 0，
\函数 f x 有且仅有一个零点；
②当 -3 < c < 0时， x1 + x2 = 2 > 0， x1 × x
c
2 = - > 0，3
\ f x = 0有两个正根，不妨设 x1 < x 3x22，则 1 - 6x1 - c = 0，
\函数 f x 在 - , x1 单调递增，在 x1, x2 上单调递减，在 x2 ,+ 上单调递增，
Q f x1 = x31 - 3x21 - x 21 -1 3x1 - 6x1 = -2x 21 x1 - 3x1 + 3 < 0， f 3 = -2c > 0，
\函数 f x 有且仅有一个零点；
③当 c = 0 时， f x = x3 - 3x2 ，
令 f x = x3 - 3x2 = 0，解得 x = 0或 x = 3，
\ f x 有两个零点；
c
④当 c > 0时， x1 + x2 = 2， x1 × x2 = - < 0，3
\ f x = 0有一个正根和一个负根，不妨设 x1 < 0 < x2 ，
\函数 f x 在 - , x1 上单调递增，在 x1, x2 上单调递减，在 x2 ,+ 上单调递增，
Q f x1 > f 0 = c > 0， f x2 < f 1 = -2 < 0，
\函数 f x 有且仅有三个零点；
综上，当 c > 0时，函数 f x 有三个零点；
当 c = 0 时，函数 f x 有两个零点；
当 c < 0时，函数 f x 有一个零点.
18．（2024·安徽）已知函数 f x = log 4x2 +1 - kx（其中 k R ）为偶函数.
(1)求实数 k 的值；
(2) g x = (2k) f x 讨论函数 - m ×2x - m (m > 0) 的零点情况.
【答案】(1) k =1
(2)答案见解析
【解析】（1）函数 f x 是偶函数且定义域为R ，
所以有 f x - f -x = 0 log2 4x +1 - kx - log 4- x2 +1 - kx = 0
4x x+1 4 4x +1
log2 - x = 2kx log2 = 2kx 2x = 2kx ，4 +1 4x 4- x +1
因为 x R，所以 k =1；
2 f x （ ）函数 g x = (2k) - m ×2x - m (m > 0) 的零点情况等价于
方程 2 f x - m ×2x - m = 0的解的情况，
4x +1
即 x = m ×2
x - m,
2
令 2x = t(t > 0) ，则 m -1 t 2 - mt -1 = 0, t 0,+ *
①当m =1时， t = -1，此时方程 * 无解；
②当m > 1时，函数 y = m -1 t 2 - mt -1开口向上，且恒过定点 0, -1 ，
则 t 只有一解，此时方程 * 只有一解；
③当0 < m <1 2时，函数 y = m -1 t - mt -1开口向下，且恒过定点 0, -1 ，
m
函数的对称轴 t = < 02 m -1 ，此时方程 * 无解.
综上，当0 < m 1时函数 g x 无零点，当m > 1时函数 g x 有一个零点.
19．（2024·河南）已知函数 f (x) 为R 上的偶函数， g(x)为R 上的奇函数，且 f (x) + g(x) = 2x+1，记
F (x) = log2 f (x) .
(1)求 F (x)的最小值；
(2)解关于m 的不等式F (m + 2) > F (3m -1) ；
(3)设H (x) = - log a ×2x0.5 + 2a (a > 0)，若 F (x)的图象与H (x)的图象有 2 个交点，求 a的取值范围.
【答案】(1)1
1 3
(2) - , 4 2 ֏
5 -1
(3) ,12 ÷÷è
【解析】（1）由题意知， f (-x) = f (x), g(-x) = -g(x)，
由 f (x) + g(x) = 2x+1，得 f (-x) + g(-x) = 2- x+1，即 f (x) - g(x) = 2- x+1，
1 x+1 - x+1 x - x x - x
两式相加，得 f (x) = 2 + 2 = 2 + 2 ，所以F (x) = log2 2 + 2 .2
因为 2x + 2- x 2 2x × 2- x = 2，当且仅当 2x = 2- x，即 x = 0时等号成立，
所以F (x)min = log2 2 =1 .
（2）因为F (-x) = log2 2- x + 2x = F (x)，所以 F (x)为偶函数，
x
因为 f x 4 -1= 2x ln 2 - 2- x ln 2 =
2x
ln 2，
所以当 x > 0时， f x > 0，当 x < 0 时， f x < 0，
所以 f (x) 在 (0, + )上单调递增，在 (- ,0)上单调递减，
所以 F (x)在 (0, + )上单调递增，在 (- ,0)上单调递减.
由F (m + 2) > F (3m -1) ，得 | m + 2 |>| 3m -1|，
1 3
两边平方并整理得8m2 -10m - 3 < 0 ，解得- < m < ，4 2
故不等式F (m + 2) > F (3m 1)
1
- 的解集为 - ,
3
÷ .
è 4 2
（3）由题意知，方程 log2 2x + 2- x = log a × 2x2 + 2a (a > 0)有 2 个不同的实数解，
即方程 2x + 2- x = a × 2x + 2a(a > 0)有 2 个不同的实数解.
1
设 t = 2x (t > 0) ，则 t + = at + 2a，即 (1- a)t 2 - 2at +1 = 0有 2 个不同的正根.
t
ì1- a 0

Δ = 4a
2 - 4 1- a > 0
2a 5 -1 5 -1 í > 0 ，解得 < a <1，故 a的取值范围为 ,1 .
1- a 2 è 2
÷÷

1
> 0
1- a2.8 零点定理
考点一 零点
【例 1-1】（2023· x湖南岳阳·模拟预测）函数 y = x - 2 2 +1 的零点是（ ）
A．2 B． 2,0 C．-2 D．2 或-1
1
【例 1-2】（2023· · e cos 2πx 2x广东茂名 一模） 是自然对数的底数， f x = e + e - 2ex - 的零点为 .
e
【一隅三反】
1．（2023· x陕西西安·模拟预测）函数 f x =1- lg 3 + 2 的零点为（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
2．（2023·吉林·模拟预测）已知 x0 是函数 f (x) = tan x - 2的一个零点，则 sin 2x0 的值为（ ）
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
3．（2024·陕西西安·一模）函数 f (x) = log2 x - log4(x + 20) 的零点为（ ）
A．4 B．4 或 5 C．5 D．-4或 5
考点二 零点区间
【例 2】（2023·河北·模拟预测）已知函数 f x = 3x + x - 6 有一个零点 x = x0，则 x0 属于下列哪个区间（ ）
1 3 3
A ． ,1÷ B

． 1,

÷ C． , 2
5
2 2 D2 ÷ ．
2,
è è ÷è è 2
【一隅三反】
1．（2024· x-1海南）函数 f x = 2 + x - 3的零点所在的区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
2．（2024 山东济南·期中）函数 f x = lnx + 2x - 6的零点所在的区间是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
3 3．（2024·江西）函数 f x = x + x -1的零点所在的区间是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
考点三 根据零点区间求参
3 2023· · f x = log x + x2【例 】（ 山西阳泉 三模）函数 2 + m 在区间 1,2 存在零点．则实数 m 的取值范围是（ ）
A． - , -5 B． -5, -1 C． 1,5 D． 5,+
【一隅三反】
1．（2024· 2宁夏银川·三模）函数 f x = log2 x + x + m 在区间 2,4 上存在零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
1
2．（2024 陕西汉中·期末）若函数 f (x) = ln x - + a 在区间 (1, e)上存在零点，则常数 a 的取值范围为（
x ）
1 1 1
A． 0 < a < 1 B． < a <1 C． -1 < a < 1 D． +1 < a < 1
e e e
2
3．（2024 x浙江杭州）函数 f x = 2 - - a 的一个零点在区间 1,2 内，则实数 a的取值范围是（ ）
x
A． 1,3 B． 1,2 C． 0,3 D． 0,2
考点四 零点的个数
【例 4-1】（2024·重庆· x 2模拟预测）函数 f x = 2 - x 的零点个数为（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【例 4-2】（2024·山西·模拟预测）方程 4 | cos t | - t = 0 的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【例 4-3】（2024·全国·模拟预测）设 f (x) 是定义在R 上的奇函数，且当 x > 0时， f (x) = ln x - x2 + 2x ，则 f (x) 的零
点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
ì
ln x
1
- , x > 0
【例 4-4】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数 f (x) = í x ，则函数 g(x) = f ( f (x) -1) 的零点个数为
- x +1 +1, x 0
（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【一隅三反】
1 2．（2024 海南海口·阶段练习）已知函数 f x = ax + bx + c ，若 b 是 a 与 c 的等比中项，则 f x 的零点个数为
（ ）
A．0 B．0 或 1 C．2 D．0 或 1 或 2
1
2 x．（2023·河南·模拟预测）函数 f (x) =| ( ) -1| -log2x的零点个数为（ ）2
A．0 B．1 C．2 D．3
ì5x - 5(x 1)
3．（2024·四川雅安·一模）已知函数 f (x) = íx2 4x 3(x 1) ，则函数
y = f (x) - log2 x的零点个数为（- + > ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·山东·模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，对任意 x R ，都有 f x + 2 + f 2 - x = 0，
当 x 0,2 时， f x = lnx ，则 f x 在 -10,10 上的零点个数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．21
5．（2023· x陕西咸阳·模拟预测）已知方程 x -1 e = x的解个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点五 根据零点个数求参
【例 5-1】（2024·四川巴中·一模）若函数 f x = 2ax2 + 3x -1在区间 -1,1 内恰有一个零点，则实数 a 的取值集
合为（ ）
A． a | -1 < a < 2 B．{a | a 9= - 或-1 < a < 2} .
8
C．{a | -1 a 2} {a | a
9
D． = - 或-1 a 2} .
8
π 3π
【例 5-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 f (x)
π
= sin(wx + )(w > 0) 在[ , ]3 有且仅有两个零点，且4 2
f (3π) = f (11π)，则 f (x) 图象的一条对称轴是（
8 8 ）
x 7π x 11π 13π 15πA． = B． = C． x = D． x =
12 12 8 8
ìx 1 + - 2, x >1
【例 5-3】．（2024·辽宁·一模）已知函数 f x = í x -1 ，若关于 x 的方程 f f x = m有五个不等的实
2 - 2
x , x 1
数解，则m 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 1, + D． 0,2
【一隅三反】
ìx3 , x < t
1．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = í ，若存在 m 使得关于 x 的方程 f x = m有两不同的根，则 t
x, x t
的取值范围为（ ）
A． -1,0 U 0,1 B． -1,0 1, +
C． - , -1 0,1 D． - , -1 1,+
ì x -1 ex , x <12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2í 2 ， g x = 2 f x + af x +1+ a．若 g x 有 5 个
-x + 4x - 3, x 1
零点，则实数 a的取值范围为（ ）
3 3
A． - ,-1
ù
2 ÷
B． - , -1
è è 2 ú
é 3 3
C． ê- , -1
ù é
ú D． ê- , -1

÷
2 2
ì ex
, x >1 2
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í x2 ，若函数 g x = é f x ù - af x 有两个不同的零点，则实
xex , x 1
数 a 的取值范围为（ ）
é 1 é,0 e
2 é e2
A． ê- ÷ ê , e÷ B． ê0, ÷ e e 4 4
ì 1ü 0, e
2 1 e2
C． í- e, + ì üD． - 0,
e
÷ í ÷
è 4 e è 4
π
4 2024· · y = 2cos wx - (w > 0)
π , π ．（ 吉林 模拟预测）已知函数 在区间4 ÷ 4 2 ÷
上有且仅有一个零点，则w 的取值范
è è
围为 ．
ìx2 + 2x - 3, x 1
5．（2024 全国·模拟预测）已知函数 f x = í ，若函数 g x = f x + m仅有 1 个零点，则实数m
-x +1, x >1
的取值范围为 .
ìex +1, x 0

6．（2024·陕西西安·一模） f x = í 1 ，若 y = f f x +1 - k 有两个零点，则 k 的取值范围是 .
, x > 0 x
ìx2 + 2x - 3, x 0
7（2024 广东珠海·阶段练习）已知函数 f (x) = í 求使方程 f (x) = k 的实数解个数为 3 时 k 取值范
-2 + ln x, x > 0
围 ．
考点六 比较零点的大小
【例 6】（2024·安徽）已知函数 f (x) = 2x + x ， g(x) = log2 x + x ， h(x) = 2sin x + x 的零点分别为 a，b，c 则 a，
b，c 的大小顺序为（ ）
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D．b > c > a
【一隅三反】
a b
1．（2024·海南·模拟预测）已知正实数 a,b,c
1 1
满足 ÷ = log3a, ÷ = log3b,c = log1c ，则（ ）
è 3 è 2 3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b2．（2024·江西·模拟预测）已知函数 f (x) = 2x + x - 4， g(x) = ex + x - 4 ， h(x) = ln x + x - 4的零点分别是 a，b，
c，则 a，b，c 的大小顺序是（ ）
A． a < b < c B． c < b < a C．b < a < c D． c3．（2014·山东·一模）已知函数 f x = x - x x > 0 ， g x = x + ex ， h x = x + ln x 的零点分别为 x1， x2， x3 ，
则（ ）．
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x1 < x3
C． x2 < x3 < x1 D． x3 < x1 < x2
a b
1
4．（2024· 1 1 湖南）若 a ÷ = log3 ， ÷ = b
3 ， c3 = 3-c ，则 a,b,c的大小关系是（ ）è 3 è 3
A． c < a < b B． c < b < a C． a < c < b D．b考点七 零点之和
【例 7-1】（2024 山东枣庄·期末）已知 f x = 2cos2x + 3sin2x, x 0,2π ，则 f x 的零点之和为（ ）
4 π 10 π 14A． B． C． π D．10π
3 3 3
1
【例 7-2】（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数 f x = sin 2πx + ，则直线 y = x - 2与 f x 的图象的所有
x - 2
交点的横坐标之和为（ ）
A． 0 B．8 C．12 D．16
【例 7-3】（2024· 2x-1黑龙江佳木斯）已知函数 f x = e - e- 3ex sin x -1 ，则函数 y = f x 的所有零点之和为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【一隅三反】
2
f x =
ì x -1 , x 0 y f (x) 11．（2024·江西萍乡 ）已知函数 í ，则 = - 的所有零点之和为（ ）
x +1 , x < 0 2
A 2 +1 B 1- 2． ． C． 2 D． 0
2 2
2x - 5 1 13
2．（2023·江西·模拟预测）函数 f x = 2 - + sin 1- x π é- , ù在区间 ê 上的零点设为 xx - 3 1
, x2 , x3 , …， xn，则
2 2 ú
n
xi = （ ）
i=1
3 ．（ 2024· 四 川 自 贡 · 一 模 ） 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f x 满 足 f 1+ x = f 1- x ， 且 当 x 0,1 时 ，
f x 1 π= sin x，则函数 g x = f x 1- 在 -2,10 上所有零点的和为（ ）
2 2 x - 4
A．16 B．32 C．36 D．48
考点八 零点的取值范围
【例 8-1】（2024 x河北衡水）设方程 2 ln x =1有两个不等的实根x1和x2，则（　 　）
A． x1x2 < 0 B． x1x2 =1 C． x1x2 >1 D．0 < x1x2 <1
ì sinp x, x 0,2f x 【例 8-2】（2023·上海嘉定·三模）已知函数 = í ，若满足 f a
= f b = f c （ a
log
、b 、
2023 x -1 , x 2, +
c互不相等），则 a + b + c 的取值范围是（ ）
A． 3,2023.5 B． 3,2024 C． 3,2024 D． 3,2025
ì2sin 2p x, 15 - x
5


8-3 2024· · f x = 5 4 4【例 】（ 陕西西安 一模）已知函数 í ，若存在实数 x1, x2 , x3 , x4 x1 < x2 < x3 < x4
log x 1 , x 5- > 2 4
满足 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = m ，则错误的是（ ）
A x2 2． 3 + x4 < 8 B． x1 + x
5
2 = - C． x3x4 - x3 - x4 = 0 D．0 < m < 22
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·湖南· x阶段练习）设方程2 × log2x = 1的两根为x1， x2 x1 < x2 ，则（ ）
1
A．0 < x1 <1， x2 > 2 B． x1 > x2
C．0 < x1x2 <1 D． x1 + x2 > 3
ì-x
2 - x, x 0
2．（23-24 高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 f x = í ，函数 g x = f x - m 有三个不同的零点
ln x, x > 0
x1，x2， x3 ，则 x1 × x2 × x3的取值范围是（ ）
é0, 1 é 1
é 1 1
A． ê ÷ B． ê0, ÷ C． ê0, e
4
4 e ÷
D． 0,e
4
ìx2 + 2x +1, x 0
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f (x) = í ，若方程 f x = aln x , x 0 有四个根 x1, x2 , x3 , x4 ，且 >
x1 < x2 < x3 < x4 ，则下列说法错误的是（ ）
A． x1 + x2 = -2 B． x3 + x4 > 2
C． x1x2 > 4 D．0 < a 1
4．（2024·四川南充·模拟预测）函数 f x = xlnx -1 x的零点为x1，函数 g x = e x -1 - e的零点为x2，则下列结
论正确的是（ ）
1
A． ex2 × lnx1 = e
2 B ex2 -1． + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
ì(x +1)2 , x 0
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = í log x , x 0 ，若方程 f x = a有四个不同的解 x1, x2 , x3 , x4 ，且 2 >
1
x1 < x < x < x
2
，则 x3 × x4 -2 3 4 x x + x 的取值范围是（ ）4 1 2
3 , é 2, 9 é 2, 7+ 3 9 ùA． ÷ B． ÷ C． ÷ D． ,
è 2 ê 4 ê 4 è 2 4ú
ìxex , x 0
6．（2024·福建漳州）已知函数 f x = í 2 ，若函数 g(x) = 3[ f (x)]2 - mf (x) - 2m2 (m R) 恰有 5 个零
-x + 2x, x > 0
点 x1 , x2 , x3 , x4 , x5，且 x1 < x2 < x3 < x4 < x5 ， f x3 = f x4 ，则 2 f x1 + f x3 + f 2 - x3 的取值范围是（ ）
3
A． - ,0
1 2 1
2e ÷
U 0, ÷ B． - ,0 U 0,
è è e è 3e ÷ è e ÷
3- ,0 U 0, 2e 2- ,0 U C． ÷ ÷ D． ÷ 0,
2e
è 2e ÷ è 3 è 3e è 3
考点九 二分法
【例 9-1】（2024 山西）若 f x = x3 + x2 - 2x - 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
f 1 = -2 f 1.5 = 0.625
f 1.25 = -0.984 f 1.375 = -0.260
f 1.438 = 0.165 f 1.4065 = -0.052
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【例 9-2】（2024 安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
p p
A． f (x) = x4 B． f (x) = tan x + 2(- < x < )
2 2
C． f (x) = cos x -1 D． f (x) = 2x - 3
【例 9-3】（2024·黑龙江）用二分法求函数 f (x) = lg x + x - 3的一个零点，根据参考数据，可得函数 f (x) 的一个
零点的近似解（精确到0.1）为（参考数据： lg 2.5 0.398, lg 2.75 0.439, lg 2.625 0.419, lg 2.5625 0.409）
A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56
【一隅三反】
1 3 2．（2024 山西·阶段练习）若 f x = x + x - 2x - 2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下
表：
f 1 = -2 f 1.5 = 0.625
f 1.25 = -0.984 f 1.375 = -0.260
f 1.438 = 0.165 f 1.4065 = -0.052
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一个近似根（精确到 0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
2．（2024 安徽黄山）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A． f (x) = x4 B． f (x) = tan x
p p
+ 2(- < x < )
2 2
C． f (x) = cos x -1 D． f (x) = 2x - 3
3．（2024·黑龙江哈尔滨）用二分法求函数 f (x) = lg x + x - 3的一个零点，根据参考数据，可得函数 f (x) 的一个
零点的近似解（精确到0.1）为（参考数据： lg 2.5 0.398, lg 2.75 0.439, lg 2.625 0.419, lg 2.5625 0.409）
A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56
一．单选题
1．（2024 黑龙江）用二分法求函数 f (x) = lg x + x - 3的一个零点，根据参考数据，可得函数 f (x) 的一个零点的
近似解（精确到0.1）为（参考数据： lg 2.5 0.398, lg 2.75 0.439, lg 2.625 0.419, lg 2.5625 0.409）
A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56
2．（2024·广东·模拟预测）函数 f x = sin3x - sin2x在开区间 (-π,2π) 的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C． 7 D．8
1
3．（2024 湖南长沙 ）函数 f x = + 2cos é x + 2023 πùx -1 在区间[-3,5]上所有零点的和等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4 2024· · x > 0 y = x2．（ 新疆乌鲁木齐 二模）设 ，函数 + x - 7, y = 2x + x - 7, y = log2x + x - 7 的零点分别为 a,b,c，则
（ ）
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c5．（2024·河北·模拟预测）函数 f (x) = cos3x - 4sin2x在区间 -2024π,2024π 内所有零点的和为（ ）
A．0 B．-2024π C．1012π D．-1012π
6 2．（2024 湖南邵阳）已知函数 f (x) = log2 1- x ，若函数 g x = [ f x ] + af x + 2b 有 6 个不同的零点，且最小
的零点为 x=-1，则这 6 个零点之和为（ ）
11 9
A．7 B．6 C． D．
2 2
7．（2023·陕西安康·模拟预测）已知 0 < a < 1，若函数 f x = a x ln a - ex 有两个不同的零点，则 a的取值范围是
（ ）
0, 1 1 ,1 0, 1 1 , 1 A． e ÷
B． C D
è è e ÷
． 2e ÷ ． 2e e ÷ è è
ì -x
2 + 4x, x 4,
8．（23-24 高一上·福建厦门·阶段练习）设函数 f x = í 若关于 x 的方程 f x = t 有四个实根
log2 x - 4 , x > 4,
x1, x2 , x3 , x4 x
1
1 < x2 < x3 < x4 ，则 x1 + x2 + 4x3 + x4 的最小值为（ ）4
45 47
A． B．23 C． D．24
2 2
二．多选题
1
9．（2024 云南玉溪）已知函数 f x = sinπx - lg x - 的所有零点从小到大依次记为 x1, x2 ,L, xn ，则（2 ）
A． n = 20 B． n =18
C． x1 + x2 +L+ xn =10 D． x1 + x2 +L+ xn = 9
10．（2024·福建三明）已知函数 f x = x ln x + a 1- x + x 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数 a 的取值可以
为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
ìx2 - 2x + t, x 0
11．（2023·河北·模拟预测）（多选）已知函数 f x = í2ln x 1 1, x 0，若函数
y = f f x 恰好有 4 个不同
+ - >
的零点，则实数 t 的取值可以是（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
三．填空题
12．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知函数 f (x) = ex + x - 2 的零点为 a，函数 g(x) = ln x + x - 2的零点为b ，则
ea + ln b = ．
(2x +1)p
13．（2024·陕西西安）函数 f (x) = sin - ln x - 2 的所有零点之和为 .
2
ì x + 2 , x 0
14．（2024 湖南长沙·阶段练习）已知函数 f (x) = í log x , x 0，若方程
f (x) = a有四个不同的解x1，x2， x3 ，
2 >
1
x4，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，则 x3 x1 + x2 + x2x 的取值范围是 ．3 4
四．解答题
1- x 1
15．（2024·陕西）已知函数 f x = loga , f ÷ = -1．1+ x è 2
(1)求 a及函数 f x 的定义域；
(2)求函数 g x = f x - loga 3 - 3x 的零点．
ìx2 - 2x + 2, x 0
16（2024 安徽）已知函数 f x = í
log5 x + 5
.
+1,-5 < x < 0
(1)讨论 f (x) 的单调性;
(2)若关于 x 的方程 f (x) - k = 0有三个不同的实根，求实数 k 的取值范围.
17．（2024·湖南·二模）已函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c(a,b,c R) ，其图象的对称中心为 (1, -2) .
(1)求 a - b - c 的值；
(2)判断函数 f x 的零点个数.
18．（2024·安徽）已知函数 f x = log 4x2 +1 - kx（其中 k R ）为偶函数.
(1)求实数 k 的值；
(2) g x = (2k) f x x讨论函数 - m ×2 - m (m > 0) 的零点情况.
19．（2024·河南）已知函数 f (x) 为R 上的偶函数， g(x)为R 上的奇函数，且 f (x) + g(x) = 2x+1，记
F (x) = log2 f (x) .
(1)求 F (x)的最小值；
(2)解关于m 的不等式F (m + 2) > F (3m -1) ；
(3)设H (x) = - log0.5 a ×2x + 2a (a > 0)，若 F (x)的图象与H (x)的图象有 2 个交点，求 a的取值范围.

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