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3.3 利用导数研究函数的极值与最值
考点一 求已知函数的极值（点）
【例 1-1】（2024 湖北孝感）函数 f x 1 3ln x x2 4x的极大值为（
2 ）
5 7
A． 2 B． C． 3 D．
2 2
【答案】D
1 2
【解析】函数 f x 3ln x x 4x的定义域为 0, ，
2
2 x 3 x 1
又 f x x 4x 3 ，
x x
令 f x 0，则 x 1或 x 3，所以当0 < x <1或 x > 3时 f x > 0，当1< x < 3时 f x < 0，
所以 f x 在 0,1 ， 3, 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
f x f 1 0 1 4 7所以 的极大值为 ．
2 2
故选：D．
【例 1-2】（2023 春·湖南）已知函数 f (x) x3 mx2 n的图象与 x 轴相切于点 (1,0)，则 f x 的（ ）
1 1
A．极小值 0，极大值 B．极小值 ，极大值 0
2 2
C 1 1．极小值 0，极大值 2 D．极小值 2 ，极大值 0
【答案】C
3 2
【解析】由函数 f (x) x mx n，可得 f (x) 3x2 2mx，
ì f (1) 3 2m 0
因为函数 f x 的图形与 x 轴相切与点 (1,0)，可得 í
f (1) 1 m
，
n 0
m 3 ,n 1 f (x) x3 3解得 ，即 x2
1
且 f (x) 3x2 3x 3x(x 1)，
2 2 2 2
当 x < 0 时， f (x) > 0 ， f x 单调递增；
当0 < x <1时， f (x) < 0 ， f x 单调递减；
当 x >1时， f (x) > 0 ， f x 单调递增，
所以当 x 0，函数 f x 1取得极大值，极大值为 f (0) ，
2
当 x 1，函数 f x 取得极小值，极小值为 f (1) 0 .
故选：C.
1 2
【例 1-3】（2024 四川达州·期中）已知函数 f x x a 1 x a ln x a R ， f (x) 的图象在 1, f 1 处的切线
2
x 13交 轴于点 ,0

4 ÷
.
è
(1)求实数 a的值；
(2)求函数 f (x) 的极值.
【答案】(1)6
(2) f (x)
21
的极大值为 8 6ln 2；极小值为 6ln 3
2
a
【解析】（1） f (x) x a 1 x > 0 ，所以 f (1) 2，即切线斜率为 2，
x
3
又 f (1)
3
a ，所以切点坐标为
2
1, a ÷
è 2
f (x) 3在 1, f 1 处的切线方程为： y ( a) 2(x 1)，
2
13
代入点 ,0÷，得 a 6；
è 4
（2）由（1）得 f (x)
1
x2 5x 6ln x，
2
f (x) x 6 5 (x 2)(x 3) x > 0 ，
x x
令 f (x) 0，得 x 2,或 x 3
当 x 变化时， f (x), f (x)变化情况如下表：
x 0,2 2 2,3 3 3,
f (x) 0 0
f (x) 21单调递增 8 6ln 2 单调递减 6ln 3 单调递增
2
因此， x 2时， f (x) 有极大值，极大值为 8 6ln 2；
x 3时， f (x)
21
有极小值，极小值为 6ln 3 .
2
【一隅三反】
x
1．（2024 甘肃定西）函数 f x ln x 2 的极大值为（e ）
1
A． 2 B．0 C．e D．1e
【答案】D
1 1
【解析】因为 f (x) 2 ，令 f (x) > 0 ，得 0 < x < e2 时；令 f (x) < 0 ，得 x > e2 ，x e
e2
所以当 x e2 时，函数 f (x) 取得极大值 f e2 ln e2 e2 1．
故选：D.
2（2023·北京）已知函数 f x 的导函数 f x 的图像如图所示，若 f x 在 x x0处有极值，则 x0 的值为（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．4
【答案】C
【解析】由函数 f x 的导函数 f x 的图像可知当 3 < x < 0 时， f x > 0，
当 0 < x < 4时， f x < 0，当 x>4时， f x < 0，
即 f x 在 ( 3,0)上单调递增，在 (0, 4) 上单调递减，在 (4, ) 上单调递减，
故 x 0为函数 f x 的极大值点，即 x0 0，
故选：C
3 3 2 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列 an 中，a3，a7使函数 f x x 3a3x a7 x a3 在 x= 1时取得极
值 0 ，则 a5 的值是（ ）
A．± 3 或±3 2 B． 3或3 2
C．±3 2 D．3 2
【答案】D
2
【解析】由题意 f x 3x 6a3x a7 ，
因为 f x 在 x= 1时取得极值 0 ，
ì f 1 1 3a3 a 27 a3 0
所以 í ，
f 1 3 6a3 a7 0
ìa3 1 ìa3 2
解得 í
a7 3
或 ía ， 7 9
当 a3 1， a7 3时，
f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0，
所以 f x 在R 上单调递增，不合题意，
当 a3 2， a7 9时，
f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 ，
所以 x , 3 U 1, 时， f x > 0，
x 3, 1 时， f x < 0，
所以 f x 在 , 3 ， 1, 上单调递增，在 3, 1 上单调递减，
所以当 x= 1时 f x 取得极小值，满足题意，
a2所以 5 a3 ×a7 18，
又a3， a5 ，a7同号，
所以 a5 3 2 .
故选：D .
考点二 已知极值（点）求参数
3 2
【例 2-1】（2024·河北秦皇岛·三模）已知 0 是函数 f x x ax 1的极大值点，则 a的取值范围为（ ）
2
A． ,0 B． 0, C ． , 2 ,
è 3 ÷
D．
3 ֏
【答案】A
【解析】因为 f x x3 ax2 1 f x 3x2，所以 2ax x 3x 2a ，
令 f x 0 2a，可得 x 0或 x ，
3
2a
当 > 0，即 a<0时，
3
f x > 0 x 2a令 ，得 x < 0 或 > ；令 f x < 0 2a，得 0 < x < ；3 3
f x ,0 2a所以 在 ， ,

÷上单调递增，在 0,
2a
÷上单调递减，
è 3 è 3
所以 x 0是函数 f x 的极大值点，满足题意；
2a
当 0，即 a 0时， f x x 3x 0 0恒成立，
3
则 f x 在R 上单调递增，没有极值点，不满足题意；
2a
当 < 0，即 a > 0时，
3
f x > 0 x 2a令 ，得 < 或 x > 0；令 f x < 0 2a，得 < x < 03 3 ；
2a 2a
所以 f x 在 , ÷， 0, 上单调递增，在 ,0
è 3 è 3 ÷
上单调递减，

所以 x 0是函数 f x 的极小值点，不满足题意；
综上， a<0，即 a的取值范围为 ,0 .
故选：A.
【例 2-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数 f x sin x 3 cos x > 0 在区间 0, π 上恰有两个极值点 x1, x2 ，
则 f x1 x2 的值为（ ）
A．1 B． 3 C． 3 D．2
【答案】C
【解析】 f x sin x 3 cos x 2sin x π 3 ÷ ，è
因为 x 0, π π π，所以 x , π
π
，
3 è 3 3 ÷
因为 x1, x2 是 f x 在区间 0, π 上的两个极值点，不妨设 x1 < x2，
ì x π π 1 3 2
则 í x
4π
x
x π 3π
，所以 1 2 ，
3
2 3 2
所以 f x1 x2 2sin
é
ê x x
π ù 2sin 5π1 2 ú 3 . 3 3
故选：C.
x
【例 2-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 f x e ax 在区间 0,2 上有极值点，则实数 a 的取值范围
是（ ）
1 e2 2 2 A． 0, ÷ B． 1, ÷ C． 1,e D． 0, ÷
è 2 è 2 è e
【答案】C
x
【解析】已知 f x e ax ，由题意知 f x ex a在 0,2 内有变号零点，
显然 f x ex a 在 0,2 单调递增，
ì f 0 e0 a 1 a < 0
故原条件等价于 í 2
f 2 e2 a 0
，解得
> 1< a < e
，
a 1,e2故实数 的取值范围是 .
故选：C.
b c
【例 2-4】（2024 北京顺义·期中）若函数 f ( x ) a l n x (a 0)2 既有极大值也有极小值，则错误的是x x
（ ）
A．bc > 0 B． ab > 0
C．b2 8ac > 0 D． ac < 0
【答案】A
【解析】函数 f (x) 的定义域为 0, ，
2
由 f x a ln x b c 2 a 0 f x
a b 2c ax bx 2c
，得 ，
x x x x2 x3 x3
因为函数 f x 既有极大值也有极小值，
所以函数 f ' (x)在 0, 上有两个变号零点，而 a 0，
所以方程 ax2 bx 2c 0有两个不等的正根 x1, x2 ，
ì
Δ b2 8ac > 0


所以 íx
b
1 x2 > 0 ，所以 b2 8ac > 0, ab > 0, ac < 0，
a
x 2c 1
x2 > 0a
所以 a2bc < 0，即bc < 0 ．
故 BCD 正确，A 错误．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 f x x ln x ax有极值 e，则a （ ）
A．1 B．2 C． e D．3
【答案】B
【解析】由题目条件可得：函数 f x 的定义域为 0, ， f x ln x 1 a .
令 f x > 0，得 x > ea 1；
令 f x < 0，得 0 < x < ea 1 .
所以函数 f x 在区间 0,ea 1 a 1上单调递减，在 e , 上单调递增.
则 ea 1是函数 f x 的极小值点，
a 1 a 1 a 1 a 1
故 f e e ln e ae e ，解得 a 2 .
故选：B
2．（2024·福建泉州·二模）在等比数列 an 中， a1,a5 是函数 f (x) x2 10x t ln(3x) 的两个极值点，若
a2a4 2 2a3 2，则 t 的值为（ ）
A． 4 B． 5 C．4 D．5
【答案】C
f x 2x 10 t 2x
2 10x t
【解析】 ， x > 0
x x
所以 a1,a5 是方程 2x2 10x t 0的两个实数根，则 a1 > 0， a5 > 0， a a
t
1 5 > 0 ，2
2
根据等比数列的性质， a2a4 a1a5 a3 ，且 a2a4 2 2a3 2
t t 2
所以 2 2 2 ，即 t 4 t 4 0 t 2 0，得 t 4 .2 2
故选：C
3．（2024·重庆·模拟预测）若函数 f x x2 x a ln x 有极值，则实数 a的取值范围是（ ）
0, 1ù 1 1 1ùA． ú B8 ．
0, ÷ C． , ÷ D． ,
è è 8 è 8 è 8ú
【答案】C
2 a 2x2 x a
【解析】函数 f x x x a ln x 的定义域为 0, ，且 f x 2x 1 ，
x x
因为函数 f x 有极值，所以 f x 在 0, 上有变号零点，
即 2x2 x a 0在 0, 上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数 y 2x2
1
x a 的对称轴为 x ，开口向上，
4
1 2 1 18a 0 a < a , 所以只需D > ，解得 ，即实数 的取值范围是
8 ÷
.
è 8
故选：C
4．（2024 湖南长沙·阶段练习）（多选）已知 a 为常数，函数 f x x ln x 2ax 有两个极值点x1，x2
（ x1 < x2），则（ ）
1 1
A．0 < a < B． x1 x2 < 2 C． f x1 < 0 D． f x2 > 4 2
【答案】ACD
1 ln x
【解析】Q f (x) ln x 1 4ax， (x > 0)，令 f (x) 0，则 4a ，
x
g(x) 1 ln x令 ，则 g (x)
ln x
，
x x2
g(x)在( 0, 1)上单调递增，在 (1, )上单调递减．
作出 y 4a ， g(x)
1 ln x
的大致图象，
x
当0 < a
1
< 时， f x 0有两个根x
4 1
，x2，且 x1 <1< x2 ，故 A 正确；
当 a 0时， x1 x2 ，故 B 错误；
又函数 f (x) 在区间 0, x1 上递减，在区间 x1, x2 上递增，在区间 x2 , 上递减，
\ f x1 < f (1) 2a < 0， f x2 > f (1) 2a
1
> ，故 CD 正确；
2
故选：ACD．
1
5．（2023· x x 3陕西宝鸡·二模）若函数 f x e e x ax无极值点，则实数 a 的取值范围是 .
3
【答案】 , 2
f x ex e x 1【解析】 x3 ax，则 f x ex e x x2 a ，
3
若函数 f x ex e x 1 x3 ax无极值点，
3
则 f x ex e x x2 a 无变号零点，
令 g x f x ex e x x2 a ，
g x ex e x则 2x ，
x x
当 x < 0 时，0 < ex <1， e x >1， 2x < 0，则 ex e x < 0，则 g x e e 2x < 0，
当 x > 0时， ex >1，0 < e x <1， 2x > 0 x x，则 ex e x > 0，则 g x e e 2x > 0，
则 g x 在 ,0 上单调递减， 0, 上单调递增，
即 f (x) 在 ,0 上单调递减， 0, 上单调递增，在 x 0处取得最小值，
若 f x ex e x x2 a 无变号零点，则 f 0 e0 e 0 02 a 0，解得： a 2，
故答案为： , 2 .
考点三 已知函数求最值
【例 3-1】（2024 3上海市虹口区）已知 f x x 3x .
(1)求曲线 y f x 在点P 0,0 处的切线方程；
(2)求函数 y f x 在 2,3 上的最大值与最小值.
【答案】(1) y 3x
(2)18, 2
2
【解析】（1） f x 3x 3, f 0 0, f 0 3，故所求为 y 3x .
（2）因为 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 ，
当 2 x 1时， f x 0，即 f x 在 2, 1 上单调递增，
当 1 x 1时， f x 0，即 f x 在 1,1 上单调递减，
当1 x 3时， f x 0，即 f x 在 1,3 上单调递增，
而 f x x3 3x，
所以 f 2 2, f 1 2, f 1 2, f 3 18，
所以函数 y f x 在 2,3 上的最大值与最小值分别为18, 2 .
3
【例 3-2】（2023 · f (x) x3春 云南）函数 在区间 (0, )上的最小值是（ ）
x
A．4 B．5 C．3 D．1
【答案】A
3 3(x4 1)
【解析】 f (x) 3x2 2 x x2
,
当0 < x <1时， f (x) < 0 ，当 x >1时， f (x) > 0，
所以函数 f (x) 在( 0, 1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，
所以 f (x) 在区间 (0, )上的最小值是 f (1) 4 .故选：A
【一隅三反】
1
1 3 2．（2024 广西河池·阶段练习）函数 f x x x 3x 在 x 0,3 上的最大值为 .
3
【答案】9
f x 1【解析】由函数 x3 x2 3x ，可得 f x x2 2x 3 (x 1)2 2 > 0，
3
f x 1 x3 x2所以 3x 在 x 0,3 单调递增，所以 f (x)max f 3 9 .3
故答案为：9.
2．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 y sin2x 2sinx 的最大值为__________．
3 3 3
【答案】 / 3
2 2
【解析】 y 2cos 2x 2cos x 2(2cos2 x 1) 2cos x 4cos2 x 2cos x 2，
设 cos x t [ 1,1]， f (t) 4t 2 2t 2 ，
f (t) 0 t 1令 ，得 或 t 1，
2
所以当 t ( 1,
1)时， f (t ) < 0 ，
2
( π 2kπ, π即在 2kπ) (
π
和 2kπ,π 2kπ)(k Z )上 y 单调递减，
3 3
当 t
1
( ,1)时， f (t) > 02 ，
即在 (
π π
2kπ, 2kπ) (k Z)上， y 单调递增，
3 3
f ( π 2kπ) 0 f (π又因为 ， 2kπ) 3 3 ，
3 2
y 3 3 3 3所以 的最大值为 ，故答案为： ．
2 2
3．（2024·重庆永川）设 f (x) x3 3x2 9x a.
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)若函数 f x 的极大值为10，求函数 f x 在 2，2 上的最小值．
【答案】(1)单调递增区间为 ， 1 和 3， ；(2) 17 .
【解析】（1） f (x) 3x2 6x 9 3(x 3)(x 1) ，
由 f x > 0得 x > 3或 x < 1，
所以 f x 的单调递增区间为 ， 1 和 3， ；
（2）由 ( Ⅰ )知函数 f x 在 x= 1处取得极大值，
即 f 1 10，得 a 5 ，则 f (x) x3 3x2 9x 5，
所以 f x 在 2， 1 上单调递增，在 1，2 上单调递减，
又 f 2 3， f 2 17 ，所以 f x 在 2，2 上的最小值为 17．
考点四 已知函数的最值求参数
【例 4-1】（2024 湖南益阳·期中）已知 f x 2x3 6x2 a （a 为常数）在 2,2 上有最大值 3，则此函数 f x
在 2,2 上的最小值是（ ）
A． 37 B． 29 C． 5 D． 8
【答案】A
2
【解析】由题意可知： f x 6x 12x 6x x 2 , x 2,2 ，
令 f x > 0，解得 2 < x < 0；令 f x < 0，解得0 < x < 2；
可知 f x 在 2,0 上单调递增，则 0,2 上单调递减，
则函数的最大值为 f 0 a 3，
此时 f x 2x3 6x2 3，且 f 2 5， f 2 37，
可知当 x 2时，函数 f x 取得最小值为 37 .
故选：A.
ì x m 2 2, x < 0
【例 4-2】（2023·

四川宜宾·统考三模）若函数 f x í 的最小值是 2，则实数m 的取值范围是
2x
3 3x2 , x 0
（ ）
A．m < 0 B．m 0 C．m > 0 D．m 0
【答案】A
3 2 2
【解析】当 x 0 时， f x 2x 3x ，则 f x 6x 6x 6x x 1 ，
当0 < x <1时， f x < 0，此时函数 f x 单调递减，
当 x >1时， f x > 0，此时函数 f x 单调递增，
所以，函数 f x 的极小值为 f 1 1，
因为函数 f x 的最小值为 2，当m 0 时，函数 f x 在 ,0 上单调递减，
此时，函数 f x 在 ,0 上无最小值，不合乎题意；
当m < 0时，函数 f x 在 ,m 上单调递减，在 m,0 上单调递增，
此时，函数 f x 在 ,0 上的极小值为 f m 2，且 2 < 1，则 f x f m 2min ，
综上所述，m < 0 .
故选：A.
f x 2x 5【例4-3】（2024湖北·阶段练习）若函数 3lnx在 a, 2 3a 内有最小值，则实数 a的取值范围是 .
x
é
【答案】 ê0,
1
3 ÷
【解析】函数 f x 2x 5 3lnx的定义域为 0, ，
x
2
2x 5 x 1f x 2 5 3 2x 3x 5 2 x x x2 x2 ，
f x 0 x 5令 可得 x 1或 （舍），
2
当0 < x <1时 f x < 0，当 x >1时 f x > 0，
所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，所以 f x 在 x 1处取得极小值，即最小值，
又因为函数 f x 在 a, 2 3a 1内有最小值，故0 a <1< 2 3a，解得0 a < ，
3
所以 a
é 1
的取值范围是 ê0, . 3 ÷
é 1
故答案为： ê0, ÷ 3
【一隅三反】
1．（2023 春·安徽）已知 f (x) x2 mx 1在区间（- 2, - 1）上的最大值就是函数 f (x) 的极大值，则 m 的取值范围
是________．
【答案】 4, 2
【解析】因为 f (x) x2 mx 1，所以 f (x) m 2x，
令 f (x) m 2x 0 x
m
，得 .
2
m
由题意得 ( 2, 1) ，
2
故m 4, 2 ．
故答案为： 4, 2 .
2．（2024·上海·三模）若函数 f x 4x3 3x 在 a,a 2 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是 ．
5 ù
【答案】 , 1
è 2 ú
【解析】因为 f x 4x3 3x f x 12x2，所以 3，
令 f x 0得， x 1 ± ，
2
x , 1 当 ÷时， f x < 0， f x 单调递减，
è 2
当 x
1 1
,

÷ 时， f x > 0， f x 单调递增，
è 2 2
1
当 x ,

2 ÷时，
f x < 0， f x 单调递减，
è
1
所以当 x ， f x 有极小值，
2
3
因为函数 f x 4x 3x 在 a,a 2 上存在最小值，
又 f 1 f 1

÷ 1，
è 2
1
所以 a < < a 2 1
5
，解得 < a 1，
2 2
5 ù
所以实数 a 的取值范围是 , 1ú .è 2
5
故答案为： , 1
ù
.
è 2 ú
3．（2024 江苏淮安·阶段练习）已知函数 f (x) x2 x 1 a ln x ，在 (0,2)上的最小值为 1，则实数 a的值
为 ．
【答案】 1
【解析】易知函数 f (x) 的定义域为 0, ，
2
f (x) x2 x 1 a ln x f (x) 2x 1 a 2x x a因为 ，所以 ，
x x
令 h(x) 2x2 x a ，因为 f (x) 在开区间 (0,2)上有最小值 1，
则 2x2 x a 0在R 上必有两根，即有D 1 8a > 0，
2x2 x a 0 R x 1 1 8a 1 1 8a又 在 上的两根为 1 , x ，且 x2 > x2 1 ，4 4
由 h(x) 2x2 x a 的图象可知，
当 x1 > 0时， f (x) 在区间 (0, x1)上单调递增，在区间 x1, x2 上单调递减，在区间 (x2 , )上单调递增，
当 x1 0 时， f (x) 在区间 0, x2 上单调递减，在区间 (x2 , )上单调递增，
又 f (x) (0,2) 1 1 1 8a 1 1 8a在开区间 上有最小值 ，则必有 < 2，且 f ( ) 1，
4 4
0 t 1 1 8a令 < < 2，得到 a t 2t 2，所以 f (t) t 2 t 1 (t 2t 2 ) ln t 1，
4
整理得到 t 1 (1 2t) ln t 0，令 h(t) t 1 (1 2t) ln t(0 < t < 2)，
则 h (t) 1 2ln t
1
，易知 h (t)
1
1 2ln t 在区间 (0,2)上单调递减，
t t
又 h (1) 1 2ln1 1 0，所以，当 t (0,1)时， h (t) > 0 ，当 t (1, 2)时， h (t) < 0，
即 h(t) t 1 (1 2t) ln t 在区间( 0, 1)上单调递增，在区间 (1, 2)上单调递减，
又 h(1) 1 1 (1 2) ln1 0，所以 t 1 (1 2t) ln t 0在 t (0, 2)上有且只有一根 t 1，
1 1 8a 1
由 1，解得 a 1< ，
4 8
故答案为： 1 .
考点五 导函数图像与函数极值最值的关系
【例 5-1】（2023·四川·一模）已知函数 f x 的导函数为 f x ， f x 为奇函数且图象如图所示，则 f x 的解
析式可以是（ ）
A． f x ex e x x2 B． f x x3 sin x
f x x2 sin x f x 1C 2． D． x cos x
4
【答案】D
【解析】由 f x 为奇函数，可知 f x 为偶函数，故可排除 B、C；
对于 A，当 x 0 f x ex e x x2 2 ex e x时， x > 0，排除 A；
1 1 1 1 1
对于 D，由 f x x2 cos x，有 f x x sin x ，设 g x x sin x，令 g x cos x 0 ，即 cos x
4 2 2 2 2
有无数解，即说明 f x 有无数的极值点，与题意相符.
故选：D
【例 5-2】（2024 四川广元·阶段练习）如图是 y f x 的导函数 f x 的图象，对于下列四个判断，其中正确的
判断是（ ）
A．当 x = 1时， f x 取得极大值 B． f x 在 2,1 上是增函数
C．当 x 1时， f x 取得极大值 D． f x 在 1,2 上是增函数，在 2,4 上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数 f x 的图象可知，
当 x 2, 1 2,4 时， f x < 0，当 x 1,2 4,5 时， f x > 0，
可知 f (x) 在 2, 1 , 2,4 内单调递减，在 1,2 , 4,5 单调递增，
所以当 x = 1时， f x 取得极小值，当 x 2时， f x 取得极大值，当 x 4时， f x 取得极小值，
故 ABC 错误，D 正确.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）函数 f x x2 2x ex 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex ，
令 f x > 0，解得 x > 2 或 x < 2 ；令 f x < 0，解得 2 < x < 2 ，
所以 f x x2 2x ex 在 , 2 上单调递增，在 2, 2 上单调递减，在 2, 上单调递增，
所以 f x 的两个极值点为± 2 ，故排除选项 A 和选项 D，
当 x < 0 时， x2 2x > 0,ex > 0，所以 f x x2 2x ex 恒为正，排除选项 C，
即只有选项 B 符合要求.
故选：B．
2．（2024 山东青岛·开学考试）已知函数 f x 的导函数 f x 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．2 为 f x 的极大值点 B． f x 在区间 2,0 上单调递增
C． 1为 f x 的极小值点 D． f x 在区间 1,1 上单调递增
【答案】A
【解析】由导函数图象可得当 2 < x < 0时 f x < 0，当0 < x < 2时 f x > 0，
所以 f x 在 2,0 上单调递减，在 0,2 上单调递增，
且在 x 2的左边 f x > 0，在 x 2的右边 f x < 0，
所以 f x 的极大值点为 2、 2，极小值点为 0 .
故选：A
3．（2024 江苏连云港·期末）函数 f x 的导函数 f x 的图象如图所示，则（ ）
x 1A． 为函数 f x 的零点 B． x 2为函数 f x 的极大值点
2
1
C．函数 f x 在 , 2÷上单调递减 D． f 2 是函数 f x 的最小值
è 2
【答案】C
1
【解析】由 f x 的图象可得，当 x< 2时， f ' (x) < 0，当 2 < x < 时， f ' (x) > 02 ，
1
当 < x < 2时， f ' (x) < 0，当 x > 2时， f ' (x) > 0
2

所以 f x 在 2,
1
÷和 2,
1

2 上单调递增，在
, 2 和 , 2÷上单调递减，è è 2
所以 x 2为 f x 的极小值点，所以 B 选项错误，C 选项正确；
x 1 是 f x 的零点，但不一定是 f x 的零点，所以 A 错误；
2
f 2 是函数 f x 的极小值，但不一定是最小值，所以 D 错误.
故选：C
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图是函数 y f x 的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A． f x 在 2, 1 上是增函数 B．当 x 3时， f x 取得最小值
C．当 x= 1时， f x 取得极大值 D． f x 在 1,2 上是增函数，在 2,4 上是减函数
【答案】D
【解析】根据图象知：
当 x 2, 1 ， x 2,4 时， f x < 0函数 y f x 单调递减；
当 x 1,2 ， x 4, 时， f x > 0函数 y f x 单调递增.
所以 y f x 在 2, 1 上单调递减，在 -1,2 上单调递增，在 2,4 上单调递减，在 4, 上单调递增，故选项
A 不正确，选项 D 正确；
故当 x= 1时， f x 取得极小值，选项 C 不正确；
当 x 3时， f x 不是取得最小值，选项 B 不正确；
故选：D.
考点六 极值与最值的综合运用
【例 6-1】（2024· x x山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数 f x 3 2 ，则（ ）
A． f x 是R 上的增函数 B．函数 h x f x x有且仅有一个零点
C．函数 f x 的最小值为 1 D． f x 存在唯一个极值点
【答案】BD
é xx x ù
【解析】对于选项 A：因为 f x 3 2 ，则 f x 3x ln 3 3 2x ln 2 2x ê ÷ ln 3 ln 2ú ，
ê è 2 ú
x
x log 1 3 ln 3 1 3
x

当 3 2 时，则 ÷ ln 3 ln 3， 可得 ÷ ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 < 0，2 è 2 2 è 2
f x 3x x即 ln 3 2 ln 2 < 0，所以 f x 3x 2x 不是R 上的增函数，故 A 错误；
对于选项 B：因为 h x f x x，
当 x 0时， h 0 f 0 0 0 ，可知 x 0是 h x 的零点；
当 x > 0 h x f x x 3x 2x时， x > 0，可知 h x 在 0, 内无零点；
3 x é 3
x
x 0
ù
当 < 时，0 < x ÷ < 1，则 f x 2 ê ÷ 1ú < 0，
è 2 ê è 2 ú
可得 h x f x x < 0 ，可知 h x 在 ,0 内无零点；
综上所述：函数 h x f x x有且仅有一个零点，故 B 正确；
x x
对于选项 C：当 x > 0时， f x 3 2 > 0；
当 x 0时， f 0 30 20 0；
当 x < 0 时，则0 3x 1 0 2x 1 f x 3x 2x > 2x< < ， < < ，可得 > 1，
综上所述： f x > 1，所以 1不是函数 f x 的最小值，故 C 错误；
é x ù
x x
对于选项 D：因为 f x 3 ln 3 2 ln 2 2x 3 ê ÷ ln 3 ln 2ú ， 2x > 0，
êè 2 ú
x
所以 f x 3 的符号决定于 ÷ ln 3 ln 2，
è 2
x
3
显然 y ÷ ln 3 ln 2 是R 上的增函数，
è 2
x
又因为当 x 0 3 时， ÷ ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 > 0；
è 2
x
当 x log
1 3
3 2 时， ÷ ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 < 0，2 è 2
所以$x0 R，使 f x0 0，
所以 f x 在 , x0 上为减函数，在 x0 , 上为增函数.
所以 f x 有唯一极小值点. 故 D 正确.
故选 ：BD.
【一隅三反】
1．（2024·广西贵港·模拟预测）若直线 y mx n 是函数 f (x) x e x 的图象的切线，则m n的最小值
为 ．
1 1【答案】
e
【解析】因为 f (x) x e x ，则 f (x) 1 e x ，
设切点为 (x , x e x0 ) f (x ) 1 e x00 0 ，则 0 ，
x
则切线方程为 y x0 e 0 (1 e x0 )(x x0 )，即 y (1 e x0 )x (1 x )e x00 ，
可得m 1 e x0 n (1 x )e x， 00 ，所以m n 1 x e
x0
0 ，
令 g(x) 1 xe x ，则 g (x) (x 1)e x ，
当 x >1时， g (x) > 0；当 x <1时， g (x) < 0；
可知 g(x)在 ,1 内单调递减，在 1, 内单调递增，
可得 g(x) g(1) 1
1 m n 1 1min ，所以 的最小值为 ．e e
1
故答案为：1 .
e
ln x
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 an 满足 ln an 1 an 1，函数 f x 在 x x0处取得最大值，若x 1
ln a4 1 a2 x0 ，则 a1 a2
【答案】 2
x 1
ln x x 1
【解析】因为 f x x ，令u x ln x 1
1
ln x，
x 1 2 x x
则u x 在 0, 上单减，
且u 2 3 ln 2 > 0,u e22
1
2 1< 0 ，e
2
由零点存在定理知，存在唯一的 x0 2,e ，使得u x0 0，
x0 1 1 ln x
即 ln x 0x 0

x x 1 ①，0 0 0
且当0 < x < x0 时，u x0 > 0，则 f x > 0；
当 x > x0时，u x0 < 0，则 f x < 0；
所以 f x 在 0, x0 上单调递增， x0 , 上单调递减，
由 ln an 1 an 1 ln a4 a3 1, ln a3 a2 1，
而 ln a4 1 a2 x
1 1 a 1 a ln a
0
2 2 3 f a3 x ②，0 ln a4 1 a3 1 a3
1
由①②知， f x0 f a3 a3 xx 0 ，0
1
所以 a2 1 ln a3 ln x0 a2 ln x0 1 a1 1 ln a2 ln xx 0 ，0
从而 a2 1 a1 1 0 a2 a1 2 .
故答案为： 2 .
3.（2023 春·吉林）已知函数 f x 2x3 ax2 b
(1)当 a 3时，求 f x 的极值；
(2)讨论 f x 的单调性；
(3)若 a > 0，求 f x 在区间 0,1 的最小值.
【答案】(1) f x b， f x 1 b极大值 极小值
【解析】（1）当 a 3时 f x 2x3 3x2 b 定义域为 R，
且 f x 6x2 6x 6x x 1 ，
所以当 x < 0 或 x >1时 f x > 0，当0 < x <1时 f x < 0，
所以 f x 在 x 0处取得极大值，在 x 1处取得极小值，
即 f x f 0 b， f x f 1 1 b极大值 极小值 ；
（2）函数 f x 2x3 ax2 b 定义域为 R，则 f x 6x2 2ax 2x 3x a ，
令 f x 0 x a，解得 x 0或 ，
3
①当 a > 0
a
时，则当 x < 0 或 x > 时， f x > 0，3
当0 < x
a
< 时， f x < 0，
3
所以 f x 的单调增区间为 ,0 a , 0, a，

÷ ，单调减区间为 ÷；
è 3 è 3
②当 a 0时， f x 0恒成立，所以 f x 在 R 上单调递增；
a a
③当 a<0时，当 x < 或 x > 0时， f x > 0，当 < x < 0 时， f x < 0，3 3
所以 f x a a 的单调递增区间为 , 3 ÷， 0, ，单调递减区间为 ,0÷，è è 3
综上可得当 a > 0时 f x a的单调增区间为 ,0 ， ,
a
÷ ，单调减区间为 0, ÷；
è 3 è 3
当 a 0时 f x 在 R 上单调递增；
a a
当 a<0时 f x 的单调递增区间为 , ， 0,

，单调递减区间为 ,0

；
è 3 ÷ ÷ è 3
a 0 f x ,0 a a（3）因为 > ，由（2）可得 的单调增区间为 ， ,

÷ ，单调减区间为 0, ÷，
è 3 è 3
a
若 1，即 a 3时 f x 在 0,1 上单调递减，
3
所以 f x 在 0,1 上的最小值为 f x f 1 2 a bmin ，
0 a
a a
若 < < 1

，即 0 < a < 3时， f x 在 0,3 3 ÷单调递减，在
,1÷单调递增，
è è 3
3
所以 f x 在 0,1 的最小值为 f x a a bmin ÷ ，è 3 27
ì2 a b, a 3
所以 f x min í a3 . b,0 < a < 3
27
一．单选题
ln x
1．（2023·贵州遵义·三模）函数 f x ax 1在 x 1处取得极值 0，则 a b （ ）
b
A．0 B 1． 2 C．1 D．2
【答案】A
ì f 1 a 1 01
【解析】 f x a ，所以 ，解得 a 1,b 1，
bx í f 1 a
1
0
b
经检验， a 1,b 1满足题意，所以 a b 0 .故选：A
2．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列{an}中，a7是函数 f (x) sin(2x π6 ) 的一个极大值点，则 tan(a5 a9 ) 的
值为（ ）
A 3． B． 3 C．± 3 D． 3
3
【答案】D
π π
【解析】由正弦函数性质知，当 2x 2kπ
π
，即 x kπ,k Z时，函数 f (x) sin(2x π6 ) 取得极大值，6 2 3
a π则 7 kπ,k
2π
Z，由等差数列性质，得 a5 a9 2a7 2kπ,k Z，3 3
所以 tan(a5 a9 ) tan(
2π 2π π π
2kπ) tan tan(π ) tan 3 .
3 3 3 3
故选：D
3．（2023·天津和平·三模）已知函数 f x 3sin xcos x 1 sin 2 x
π
÷（ R ，且 > 0）， x R2 2 ，若函è
数 f x 在区间 0, 2π 上恰有 3 个极大值点，则 的取值范围为（ ）
é13 19 13 19 ù é13 19 13 19ù
A． ê , ÷ B． , ． C． , ÷ D． , 6 6 è 6 6 ú ê12 12 è12 12ú
【答案】D
1 π 3
【解析】 f x 3sin xcos x sin 2 x ÷ sin2 x
1
cos 2 x sin 2 x π ，
2 è 2 2 2 ÷è 6
x 0,2π 2 x π π ， , 4 π π ，
6 è 6 6 ÷
函数 f x 在区间 0, 2π 上恰有 3 个极大值点，
9π 4 π π 13π
13 ,19ù故 < ，解得
2 6 2
.
è12 12ú
故选：D
lnx 1
4．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数 f x e x 的极值点为 x0 ，则 e x0 lnx （ ）0
1
A． e 2 B．2 C． D．1
e
【答案】D
f x lnx
1
lnx【解析】由 e x 得 f x x ， x > 0，e x
g x 1设 lnx，则 g x 1 1 2 < 0 ，所以 g(x)在 0, 单调递减，x x x
又 g 1 1 > 0， g 3 1 ln 3 < 0，由零点存在定理知，存在 x0 1,3 ，使得 g x0 0，3
所以当0 < x < x0 时， g(x) > 0 ， f (x) > 0 ，函数 f x 单调递增；
当 x > x0时， g(x) < 0， f (x) < 0 ，函数单调递减， f (x0 ) 0 ，
1 1
所以 x x0是函数 f x 的极大值点，则 lnxx 0 ，即 e x0 x .0 0
1
所以 e x0 lnx 10 x0 1 .x0
故选：D
5．（2024·宁夏银川·一模）若函数 f (x) x2 ax 2 ex 在 x 2处取得极大值，则 f (x) 的极小值为（ ）
A． 6e2 B． 4e C． 2e2 D． e
【答案】C
【解析】因为函数 f (x) x2 ax 2 ex 在 x 2处取得极大值，
2 x
则 f x éx 2 a x 2 aù ×e ， x R 且 f 2 0，
即 4 2 2 a 2 a 0，所以 a 2；
所以 f x x2 2x 2 ×ex ， f x x2 4 ×ex x 2 x 2 ex ，
令 f x 0，则 x 2或 x 2，
由 x , 2 , f x > 0 ， x 2,2 , f x < 0， x 2, , f x > 0，
所以 f x 在 , 2 , 2, 上单调递增，在 2,2 上单调递减.
所以函数 f x 在 x 2处取得极大值， f f 2 2e2极小 .
故选：C.
6．（2024· 3 2 2四川宜宾·模拟预测）已知函数 f x x ax bx a 在 x= 1处有极值8 ，则 f 1 等于（ ）
A． 4 B．16 C． 4或 16 D．16 或 18
【答案】A
【解析】 f x 3x2 2ax b，
若函数 f x 在 x= 1处有极值 8，
ì 1 a b a2 8
则 f ( 1) 8且 f ( 1) 0 ，即 í ，
3 2a b 0
解得： a 3,b 3或 a 2,b 7 ，
当 a 3,b 3时， f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0，此时 x= 1不是极值点，故舍去，
当 a 2,b 7 2时， f x 3x 4x 7 3x 7 x 1 ，
当 x
7 7
> 或 x < 1时， f x > 0，当 1 < x < , f x < 0，故 x= 1是极值点，3 3
故 a 2,b 7 符合题意，
f x x3 2x2故 7x 4，
故 f 1 =- 4，
故选：A
a sinx cosx
7．（2024·

广东深圳·模拟预测）已知函数 f x 0, π a
ex
x在 上恰有两个极值点，则实数 的取值范
围是（　　）
π π
e 2 2
π 2 π
A 0, ÷

． ÷ B． 0, e
4 ÷ C
e 2
÷ ． ,
÷
2 ÷
D．
2 2
e 4 , ÷
÷ ÷
è è
÷
è è
2
【答案】D
【解析】由题意得 f x 2asinx x 1．e
因为函数 f x 在 0, π 上恰有两个极值点，则 f x 在 0, π 上有两个变号零点．
当 a 0时， f x > 0在 0, π 上恒成立，不符合题意．
h x 2asinx
π
1 2a sinx cosx 2 2asin x

当 a > 0时，令 ÷
ex
，则 h x è 4 ，
ex ex
x π , π 当 ÷ 时， h x > 0
π
，所以 h x 在 , π 4 ÷上单调递增，è 4 è
x π 0, 当 ÷ 时， h x < 0

，所以 h x 在 0,
π
÷上单调递减，
è 4 è 4
π 2a
又 h 0 h π 1， h ÷ 1 è 4 π ，e 4
h π 2a 2
π 2 π
所以 ÷ 1 < 0，则
è 4 π a > e
4 ，即实数 a的取值范围是 e 4 , ÷ .
e 4 2
÷
è 2
故选：D．
8．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线 y kx m 与函数 y f (x), x 0, 的图象相切于两点，则函数
y f x kx 有（ ）．
A．2 个极大值点，1 个极小值点 B．3 个极大值点，2 个极小值点
C．2 个极大值点，无极小值点 D．3 个极大值点，无极小值点
【答案】B
【解析】F x f x kx F x f x k ，
作出与直线 y kx m 平行的函数 f x 的所有切线，各切线与函数 f x 的切点的横坐标依次为 a,b,c, d ,e，
f x 在 a,b,c, d ,e,处的导数都等于 k ，
在 0, a , b,c , d ,e 上， f x > k , F x > 0,F x 单调递增，
在 a,b , c, d , e, 上， f x < k, F x < 0, F x 单调递减，
因此函数F x f x kx有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
二．多选题
9．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) (x 1)2 (x 4) ，则（ ）
A． x 3是 f (x) 2的极小值点 B．当0 < x <1时， f (x) < f x
C．当1< x < 2时， 4 < f (2x 1) < 0 D．当 1 < x < 0时， f (2 x) > f (x)
【答案】ACD
【解析】对 A，因为函数 f x 的定义域为 R，而 f x 2 x 1 x 4 x 1 2 3 x 1 x 3 ，
易知当 x 1,3 时， f x < 0，当 x ,1 或 x 3, 时， f x > 0
函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，在 3, 上单调递增，故 x 3是函数 f x 的极小值点，
正确；
对 B，当0 < x <1 2时， x x x 1 x > 0，所以1 > x > x2 > 0，
2
而由上可知，函数 f x 在 0,1 上单调递增，所以 f x > f x ，错误；
对 C，当1< x < 2时，1 < 2x 1 < 3，而由上可知，函数 f x 在 1,3 上单调递减，
所以 f 1 > f 2x 1 > f 3 ，即 4 < f 2x 1 < 0，正确；
对 D
2
，当 1 < x < 0时， f (2 x) f (x) 1 x 2 x x 1 2 x 4 x 1 2 2 2x > 0，
所以 f (2 x) > f (x)，正确；
故选：ACD.
10．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x R f xy y2 2的定义域为 ， f x x f y ，则（ ）．
A． f 0 0 B． f 1 0
C． f x 是偶函数 D． x 0为 f x 的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为 f (xy) y2 f (x) x2 f (y) ，
对于 A，令 x y 0 ， f (0) 0 f (0) 0 f (0) 0，故A 正确.
对于 B，令 x y 1， f (1) 1 f (1) 1 f (1)，则 f (1) 0，故 B 正确.
对于 C，令 x y 1， f (1) f ( 1) f ( 1) 2 f ( 1) ，则 f ( 1) 0，
令 y 1, f ( x) f (x) x2 f ( 1) f (x)，
又函数 f (x) 的定义域为R ，所以 f (x) 为偶函数，故C 正确，
对于 D，不妨令 f (x) 0 ，显然符合题设条件，此时 f (x) 无极值，故D 错误.
方法二：
因为 f (xy) y2 f (x) x2 f (y) ，
对于 A，令 x y 0 ， f (0) 0 f (0) 0 f (0) 0，故A 正确.
对于 B，令 x y 1， f (1) 1 f (1) 1 f (1)，则 f (1) 0，故 B 正确.
对于 C，令 x y 1， f (1) f ( 1) f ( 1) 2 f ( 1) ，则 f ( 1) 0，
令 y 1, f ( x) f (x) x2 f ( 1) f (x)，
又函数 f (x) 的定义域为R ，所以 f (x) 为偶函数，故C 正确，
对于 D，当 x2 y2
f (xy) f (x) f (y)
0时，对 f (xy) y2 f (x) x2 f (y) 两边同时除以 x2 y2 ，得到 x2 y2

x2 y2 ，
f (x) ìx2 ln x , x 0
故可以设 2 ln x (x 0)，则 f (x) í ，x 0, x 0
1
当 x > 0肘， f (x) x2 ln x ，则 f x 2x ln x x2 × x(2 ln x 1) ，
x
令 f x < 0 1 1，得 0 < x < e 2 ；令 f x > 0，得 x > e 2 ；
1 1
故 f (x) 在 0,e 2 ÷上单调递减，在 e 2 , ÷上单调递增，
è è
1 1
因为 f (x) 为偶函数，所以 f (x) 在 e 2 ,0÷上单调递增，在 , e 2 ÷上单调递减，
è è
显然，此时 x 0是 f (x) 的极大值，故 D 错误.
故选：ABC .
11．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) 2x3 3ax2 1，则（ ）
A．当 a > 1时， f (x) 有三个零点
B．当 a < 0时， x 0是 f (x) 的极大值点
C．存在 a，b，使得 x b 为曲线 y f (x) 的对称轴
D．存在 a，使得点 1, f 1 为曲线 y f (x) 的对称中心
【答案】AD
【解析】A 选项， f (x) 6x2 6ax 6x(x a)，由于 a > 1，
故 x ,0 a, 时 f (x) > 0 ，故 f (x) 在 ,0 , a, 上单调递增，
x (0,a)时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减，
则 f (x) 在 x 0处取到极大值，在 x a处取到极小值，
由 f (0) 1 > 0， f (a) 1 a3 < 0，则 f (0) f (a) < 0，
根据零点存在定理 f (x) 在 (0,a)上有一个零点，
又 f ( 1) 1 3a < 0， f (2a) 4a3 1 > 0 ，则 f ( 1) f (0) < 0, f (a) f (2a) < 0 ，
则 f (x) 在 ( 1,0), (a, 2a) 上各有一个零点，于是 a > 1时， f (x) 有三个零点，A 选项正确；
B 选项， f (x) 6x(x a)， a<0时， x (a,0), f (x) < 0， f (x) 单调递减，
x (0, )时 f (x) > 0 ， f (x) 单调递增，
此时 f (x) 在 x 0处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的 a,b，使得 x b 为 f (x) 的对称轴，
即存在这样的 a,b使得 f (x) f (2b x)，
即 2x3 3ax2 1 2(2b x)3 3a(2b x)2 1，
3 0 3 3
根据二项式定理，等式右边 (2b x)3展开式含有 x3的项为 2C3(2b) ( x) 2x ，
于是等式左右两边 x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 a,b，使得 x b 为 f (x) 的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
f (1) 3 3a ，若存在这样的 a，使得 (1,3 3a) 为 f (x) 的对称中心，
则 f (x) f (2 x) 6 6a ，事实上，
f (x) f (2 x) 2x3 3ax2 1 2(2 x)3 3a(2 x)2 1 (12 6a)x2 (12a 24)x 18 12a ，
于是6 6a (12 6a)x2 (12a 24)x 18 12a
ì12 6a 0

即 í12a 24 0 ，解得 a 2，即存在 a 2使得 (1, f (1))是 f (x) 的对称中心，D 选项正确.

18 12a 6 6a
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f (x) 2x3 3ax2 1， f (x) 6x2 6ax ， f (x) 12x 6a ，
a
由 f (x)
a
0 x ，于是该三次函数的对称中心为 , f
a
2 ÷÷
，
è 2 è 2
由题意 (1, f (1))
a
也是对称中心，故 1 a 2，
2
即存在 a 2使得 (1, f (1))是 f (x) 的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
三．填空题
12．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数 f (x) xeax ln x ax 1，若函数 f (x) 的最小值恰好为 0，则实数 a的最小
值是 .
1
【答案】 e
【解析】令 t xeax (x > 0) ，则 t > 0，所以 ln t ln x ax，
令u f (x) xeax ln x ax 1，则u t ln t 1，
令 g(t) t ln t 1
1 t 1
，则 g (t) 1 ，
t t
当 t (0,1)时， g (t) < 0 ， g(t)单调递减；当 t (1, ) 时， g (t) > 0， g(t)单调递增.
故当 t 1时， g(t)取得最小值 g(1) 0，
ln x
故当 xeax 1，即 a 时，函数 f (x) 的最小值恰好为 0，x
h(x) ln x h (x) 1 ln x令 ，则 x ，x2
令 h (x) > 0，得 x>e；令 h (x) < 0，得0 < x < e，
所以 h(x) 在 (0, e)上单调递减，在 (e, )上单调递增，
则 h(x)min h(e)=
1
1，所以 a的最小值为 .
e e
1
故答案为： .e
1
13 2024 · f x x3．（ 福建福州 期中）已知 x在区间 m,6 m2 上有最小值，则实数m 的取值范围是 .
3
【答案】 2,1
1 3
【解析】由函数 f x x x，可得 f x x2 1 x 1 x 1 ，
3
当 x < 1或 x >1时， f x > 0， f x 在 ( , 1),(1,+ )上单调递增；
当 1 < x <1时， f x < 0， f x 在 1,1 上单调递减，
即 x 1为函数 f x 的极小值点；
2
要使得函数 y f x 在区间 m,6 m 上有最小值，
ìm <1 < 6 m2
ì 5 < m <1

则满足 í f m f 1 ，即 í1 3 2 ， m m 3 3
1 3 2 2
因为 m m ，可得 3
3 3 m 3m 2 0
，即 m 1 m 2 0，解得m 2，
所以 2 m < 1，即实数m 的取值为 2,1 .
故答案为： 2,1
14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 f (x) (x a)x ln x在 (0, )上无极值点，则 a的取值范围为 .
【答案】 ( , 2 2]
【解析】由 f (x) (x a)x ln x，得 f (x) 2x a
1
，
x
因为 f (x) (x a)x ln x在 (0, )上无极值点，
所以 f (x) 在 (0, )内单调，
因为当 x 时， f (x) ，
f (x) 2x a 1所以 0在 (0, )恒成立，
x
a 1即

2x

x ÷ ，è min
2
令 g(x) 2x
1
(x > 0) g (x) 2 1 2x 1，则 2 2 (x > 0)，x x x
2 2
当0 < x < 时， g (x) < 0，当 x > 时， g (x) > 0，
2 2

g(x) 0, 2
2
所以 在 2 ÷÷
上递减，在 , ÷÷上递增，
è è 2

g(x)min g
2
÷÷ 2
2 1
2 2
所以 è 2 2 2 ，
2
所以a 2 2 ，
即 a的取值范围为 ( , 2 2]，
故答案为： ( , 2 2]
四．解答题
15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数 f x ex aln x 1 的图象在点 0, f 0 处的切线过点 2,1 ．
(1)求实数 a的值；
(2)求 f x 的单调区间和极值．
【答案】(1) a 1
(2)答案见解析
x a
【解析】（1）由已知得 f x e ，
x 1
f 0 e0则 a 1 a ，又 f 0 1，
所以 f x 图象在点 0, f 0 处的切线方程为 y 1 a x 1，
将点 2,1 代入得1 2 1 a 1，解得 a 1 .
（2）所以 f x ex ln x 1 ，定义域为 ( 1, ) ,
x 1 e
x 1
所以 f x 1 ex ，
x 1 x 1
令 g(x) x 1 ex 1, x > 1 ，则 g (x) x 2 ex ，
易得 g (x) > 0在 ( 1, )上恒成立，所以 g(x)在 ( 1, )上单调递增，
又 g(0) 0，所以当 1 < x < 0时， g(x) < 0，即 f (x) < 0 ， f x 在 1,0 上单调递减，
当 x > 0时， g(x) > 0 ，即 f (x) > 0 ， f x 在 0, 上单调递增，
所以 f x 在 x 0处取得极小值，极小值为 f 0 1.
1
16．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 f x x3 x2 1．
3
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)若函数 g x f x k k R 有且仅有三个零点，求 k 的取值范围．
【答案】(1) 0,2
(2) k
7
1, 3 ֏
1 3 2 2
【解析】（1）由 f x x x 1，得 f x x 2x ，
3
令 f x > 0，得 x2 2x > 0，解得0 < x < 2．
所以 f x 的单调递增区间为 0,2
（2）令 f x 0，解得 x 0或 x 2．
当 x 变化时， f x ， f x 的变化情况如下表所示：
x ,0 0 0,2 2 2,
f x 0 0
f x 7单调递减 1 单调递增 单调递减
3
由函数 g x f x k 有且仅有三个零点，
得方程 f x k k R 有且仅有三个不等的实数根，
所以函数 y f x 的图象与直线 y k 有且仅有三个交点．
显然，当 x 时， f x ；当 x 时， f x ．
所以由上表可知， f x 的极小值为 f 0 1， f x f 2 7的极大值为 ，
3
故 k

1,
7
÷．
è 3
x 2t
17 e．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 f (x) ， g(x) t ln x .
x2 x
(1)求函数 g x 单调区间；
(2)若函数H (x) f (x) g(x) 在 (0,2)有两个极值点，求实数 t 的取值范围.
【答案】(1)答案见详解；
e2
(2) e, 2 ֏
【解析】（1）函数 g x 2t t t(x 2)定义域为 0, ， g (x) 2 2 ， x x x
t 0时， g (x) 0恒成立，
t > 0时， x > 2, g (x) > 0；0 < x < 2, g (x) < 0，
t < 0时， x > 2, g (x) < 0 ；0 < x < 2, g (x) > 0，
综上可知： t 0时为常函数，无单调区间，
t > 0时，单调增区间为 2, ，单调减区间为 0,2 ，
t < 0时，单调增区间为 0,2 ，单调减区间为 2, ，
x x
（2）因为H x f x g(x) e 2t t ln x x 0 x 2 e tx 2 > ， ，x x H x x3
H (x) (0,2) x t e
x
因为函数 在 有两个极值点，则 e tx 0，即 ，
x
x
e
x x 1
令 p x e ，则 p x 2 ，x x
当0 < x <1时， p x < 0 ， p x 单调递减，
当1 < x < 2时， p x > 0， p x 单调递增，
2
又 x 0 时 p x ， p 1 e p 2 e， ，
2
2
所以H x 在 0,2 上有 2 个极值点需满足 e < t e< ，
2
e2
即实数 t 的取值范围是 e, ÷ .
è 2
18．（2023 春· 3 2吉林长春）已知函数 f x 2x ax b
(1)当 a 3时，求 f x 的极值；
(2)讨论 f x 的单调性；
(3)若 a > 0，求 f x 在区间 0,1 的最小值.
【答案】(1) f x b f x 1 b极大值 ， 极小值
a a
(2)当 a > 0时 f x 的单调增区间为 ,0 ， , ÷ ，单调减区间为 0, ；
è 3 ÷ è 3
当 a 0时 f x 在 R 上单调递增；
当 a<0时 f x a a 的单调递增区间为 , ÷， 0, ，单调递减区间为 ,0÷；
è 3 è 3
ì2 a b,a 3
(3) f x min í a3
b,0 < a < 3 27
3 2
【解析】（1）当 a 3时 f x 2x 3x b 定义域为 R，
f x 6x2且 6x 6x x 1 ，
所以当 x < 0 或 x >1时 f x > 0，当0 < x <1时 f x < 0，
所以 f x 在 x 0处取得极大值，在 x 1处取得极小值，
即 f x f 0 b， f x f 1 1 b极大值 极小值 ；
2 f x 2x3（ ）函数 ax2 b 定义域为 R，则 f x 6x2 2ax 2x 3x a ，
令 f x 0 a，解得 x 0或 x ，
3
①当 a > 0时，则当 x < 0 或 x
a
> 时， f x > 0，3
当0
a
< x < 时， f x < 0，
3
f x ,0 a , a 0, 所以 的单调增区间为 ， ÷ ，单调减区间为 ；
è 3 è 3 ÷
②当 a 0时， f x 0恒成立，所以 f x 在 R 上单调递增；
x a f x > 0 a③当 a<0时，当 < 或 x > 0时， ，当 < x < 0 时， f x < 0，3 3
所以 f x a a 的单调递增区间为 , ÷， 0, ，单调递减区间为 ,0÷，
è 3 è 3
a a
综上可得当 a > 0时 f x 的单调增区间为 ,0 ， , ，单调减区间为 0, ；
è 3 ÷ 3 ÷ è
当 a 0时 f x 在 R 上单调递增；
当 a<0时 f x a a 的单调递增区间为 , ÷， 0, ，单调递减区间为 ,0÷；
è 3 è 3
a a
（3）因为 a > 0，由（2）可得 f x 的单调增区间为 ,0 ， , ÷ ，单调减区间为 0, ÷，
è 3 è 3
a
若 1，即 a 3时 f x 在 0,1 上单调递减，
3
所以 f x 在 0,1 上的最小值为 f x f 1 2 a bmin ，
a a a
若0 < < 1

，即 0 < a < 3时， f x 在 0, 单调递减，在
3 3 ÷
,1÷单调递增，
è è 3
3
所以 f x 0,1 a a在 的最小值为 f x ÷ bmin ，è 3 27
ì2 a b, a 3
所以 f x min í a3 .
b,0 < a < 3 27
19．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：
设函数 f(x)，g(x)满足:
①图象在 a,b 上是一条连续不断的曲线；
②在 a,b 内可导;
f b f a f x
③对"x a,b ， g x 0 ，则$x a,b ，使得 g b g a g x .
特别的，取 g x x，则有：$x a,b f b f a ，使得 f x ，此情形称之为拉格朗日中值定理.
b a
(1) f x f 0 0 f x 0, f xy 设函数 满足 ，其导函数 在 上单调递增，证明：函数 在 0, 上为增函
x
数.
ln a ln b b a
(2)若"a,b 0,e 且 a > b，不等式 m ÷ 0 恒成立，求实数m 的取值范围.b a è a b
【答案】(1)证明见解析
é1
(2) ê , 2 ÷
f x f x f 0
【解析】（1）由题 ，
x x 0
由柯西中值定理知：对"x > 0，$x 0, x ，
f x f 0 f x f x
使得 f x ， f x ，
x 0 1 x
又 f x 在 0, 上单调递增，则 f x > f x ，
f x
则 f x > ，即 xf x f x > 0，
x
é f x ù xf x f x
所以 ê > 0，
x
ú
x
2
f
y x 故 在 0, 上为增函数；
x
ln a ln b m b a 0 a ln a b ln b（2） b a a b ÷

è a2 b2
m，
取 f x x ln x ， g x x2，
因为 a > b，所以由柯西中值定理，$x b,a ，
f a f b a ln a b ln b f x 1 lnx
使得 g a g b a2 ， b2 g x 2x
1 lnx
由题则有： m2x ，
G x 1 ln x ln x设 0 < x < e ，G x ，
2x 2x2
当0 < x <1时，G x > 0 ，当1< x < e 时，G x < 0，
所以G x 在 0,1 上单调递增，在 1,e 上单调递减，
所以G x G 1 1 max ，2
1
故m
1
，所以实数m é 的取值范围是 ê , 2 2 ÷
.
3.3 利用导数研究函数的极值与最值
考点一 求已知函数的极值（点）
1
1-1 2024 f x 3ln x x2【例 】（ 湖北孝感）函数 4x的极大值为（
2 ）
5 7
A． 2 B． C． 3 D．
2 2
【例 1-2】（2023 春·湖南）已知函数 f (x) x3 mx2 n的图象与 x 轴相切于点 (1,0)，则 f x 的（ ）
1 1
A．极小值 0，极大值 B．极小值 ，极大值 0
2 2
C 0 1 D 1．极小值 ，极大值 2 ．极小值 2 ，极大值 0
1
【例 1-3】（2024 2四川达州·期中）已知函数 f x x a 1 x a ln x a R ， f (x) 的图象在 1, f 1 处的切线
2
交 x
13
轴于点 ,0÷ .
è 4
(1)求实数 a的值；
(2)求函数 f (x) 的极值.
【一隅三反】
x
1．（2024 甘肃定西）函数 f x ln x 2 的极大值为（ ）e
1
A． 2 B．0 C．e D．1e
2（2023·北京）已知函数 f x 的导函数 f x 的图像如图所示，若 f x 在 x x0处有极值，则 x0 的值为（ ）
A．-3 B．3 C．0 D．4
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列 an 中，a3，a7使函数 f x x3 3a x23 a 27 x a3 在 x= 1时取得极
值 0 ，则 a5 的值是（ ）
A．± 3 或±3 2 B． 3或3 2
C．±3 2 D．3 2
考点二 已知极值（点）求参数
2-1 2024· · 0 f x x3 ax2【例 】（ 河北秦皇岛 三模）已知 是函数 1的极大值点，则 a的取值范围为（ ）
,0 0, 2 , 2 A． B． C． 3 ÷ D． , è ÷è 3
【例 2-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数 f x sin x 3 cos x 0 在区间 0, π 上恰有两个极值点 x1, x2 ，
则 f x1 x2 的值为（ ）
A．1 B． 3 C． 3 D．2
【例 2-3】（2024· x黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 f x e ax 在区间 0,2 上有极值点，则实数 a 的取值范围
是（ ）
0, 1
2
1, e 1,e2 0, 2 A． ÷ B． ÷ C． D． ÷
è 2 è 2 è e
b c
【例 2-4】（2024 北京顺义·期中）若函数 f ( x ) a l n x (a 0)2 既有极大值也有极小值，则错误的是x x
（ ）
A．bc 0 B． ab 0
C．b2 8ac 0 D． ac < 0
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古赤峰·开学考试）已知函数 f x x ln x ax有极值 e，则a （ ）
A．1 B．2 C． e D．3
2．（2024·福建泉州·二模）在等比数列 an 中， a1,a5 是函数 f (x) x2 10x t ln(3x) 的两个极值点，若
a2a4 2 2a3 2，则 t 的值为（ ）
A． 4 B． 5 C．4 D．5
3．（2024· 2重庆·模拟预测）若函数 f x x x a ln x 有极值，则实数 a的取值范围是（ ）
0, 1ù 0, 1 1 1A． ú B． ÷ C． , ÷ D． ,
ù
è 8 è 8 è 8 è 8ú
4．（2024 湖南长沙·阶段练习）（多选）已知 a 为常数，函数 f x x ln x 2ax 有两个极值点x1，x2
（ x1 < x2），则（ ）
A．0 < a
1
< B． x x < 2 C． f x < 0 D． f x 1
4 1 2 1 2 2
1
5 x x 3．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数 f x e e x ax无极值点，则实数 a 的取值范围是 .
3
考点三 已知函数求最值
【例 3-1】（2024 3上海市虹口区）已知 f x x 3x .
(1)求曲线 y f x 在点P 0,0 处的切线方程；
(2)求函数 y f x 在 2,3 上的最大值与最小值.
3
【例 3-2】（2023 春· 3云南）函数 f (x) x 在区间 (0, )上的最小值是（ ）
x
A．4 B．5 C．3 D．1
【一隅三反】
1
1 3 2．（2024 广西河池·阶段练习）函数 f x x x 3x 在 x 0,3 上的最大值为 .
3
2．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 y sin2x 2sinx 的最大值为__________．
3．（2024·重庆永川）设 f (x) x3 3x2 9x a.
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)若函数 f x 的极大值为10，求函数 f x 在 2，2 上的最小值．
考点四 已知函数的最值求参数
4-1 2024 · f x 2x3 2【例 】（ 湖南益阳 期中）已知 6x a （a 为常数）在 2,2 上有最大值 3，则此函数 f x
在 2,2 上的最小值是（ ）
A． 37 B． 29 C． 5 D． 8
ì
f x x m
2 2, x < 0
【例 4-2】（2023·

四川宜宾·统考三模）若函数 í 的最小值是 2，则实数m 的取值范围是
2x
3 3x2 , x 0
（ ）
A．m < 0 B．m 0 C．m 0 D．m 0
5
【例4-3】（2024湖北·阶段练习）若函数 f x 2x 3lnx在 a, 2 3a 内有最小值，则实数 a的取值范围是 .
x
【一隅三反】
1．（2023 春·安徽）已知 f (x) x2 mx 1在区间（- 2, - 1）上的最大值就是函数 f (x) 的极大值，则 m 的取值范围
是________．
2．（2024·上海·三模）若函数 f x 4x3 3x 在 a,a 2 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是 ．
3．（2024 江苏淮安·阶段练习）已知函数 f (x) x2 x 1 a ln x ，在 (0,2)上的最小值为 1，则实数 a的值
为 ．
考点五 导函数图像与函数极值最值的关系
【例 5-1】（2023·四川·一模）已知函数 f x 的导函数为 f x ， f x 为奇函数且图象如图所示，则 f x 的解
析式可以是（ ）
A f x ex e x x2 B f x x3． ． sin x
C f x x2． sin x D f x 1 x2． cos x
4
【例 5-2】（2024 四川广元·阶段练习）如图是 y f x 的导函数 f x 的图象，对于下列四个判断，其中正确的
判断是（ ）
A．当 x = 1时， f x 取得极大值 B． f x 在 2,1 上是增函数
C．当 x 1时， f x 取得极大值 D． f x 在 1,2 上是增函数，在 2,4 上是减函数
【一隅三反】
1．（2023· 2全国·模拟预测）函数 f x x 2x ex 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 山东青岛·开学考试）已知函数 f x 的导函数 f x 的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．2 为 f x 的极大值点 B． f x 在区间 2,0 上单调递增
C． 1为 f x 的极小值点 D． f x 在区间 1,1 上单调递增
3．（2024 江苏连云港·期末）函数 f x 的导函数 f x 的图象如图所示，则（ ）
1
A． x 为函数 f x 的零点 B． x 2为函数 f x 的极大值点
2
C．函数 f x 1在 , 2

÷上单调递减 D． f 2 是函数 f x 的最小值
è 2
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图是函数 y f x 的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A． f x 在 2, 1 上是增函数 B．当 x 3时， f x 取得最小值
C．当 x= 1时， f x 取得极大值 D． f x 在 1,2 上是增函数，在 2,4 上是减函数
考点六 极值与最值的综合运用
x x
【例 6-1】（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数 f x 3 2 ，则（ ）
A． f x 是R 上的增函数 B．函数 h x f x x有且仅有一个零点
C．函数 f x 的最小值为 1 D． f x 存在唯一个极值点
【一隅三反】
1．（2024·广西贵港·模拟预测）若直线 y mx n 是函数 f (x) x e x 的图象的切线，则m n的最小值
为 ．
ln x
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 an 满足 ln an 1 an 1，函数 f x 在 x x0处取得最大值，若x 1
ln a4 1 a2 x0 ，则 a1 a2
3.（2023 3 2春·吉林）已知函数 f x 2x ax b
(1)当 a 3时，求 f x 的极值；
(2)讨论 f x 的单调性；
(3)若 a 0，求 f x 在区间 0,1 的最小值.
一．单选题
ln x
1．（2023·贵州遵义·三模）函数 f x ax 1在 x 1处取得极值 0，则 a b （ ）
b
A 1．0 B． 2 C．1 D．2
2．（2024· π山西阳泉·三模）已知等差数列{an}中，a7是函数 f (x) sin(2x 6 ) 的一个极大值点，则 tan(a5 a9 ) 的
值为（ ）
A 3． B． 3 C．± 3 D． 3
3
1 π
3．（2023·天津和平·三模）已知函数 f x 3sin xcos x sin 2 x ÷（ R ，且 0）， x R2 2 ，若函è
数 f x 在区间 0, 2π 上恰有 3 个极大值点，则 的取值范围为（ ）
é13 ,19 13A． ê ÷ B． ,
19 ù é13 19 13 19ù
6 6 è 6 6 ú
． C． , ÷ D． ,
ê 12 12 è12 12ú
1
4．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数 f x
lnx
x 的极值点为 xe 0 ，则 e
x0 lnx （ ）0
1
A． e 2 B．2 C． D．1
e
5 2 x．（2024·宁夏银川·一模）若函数 f (x) x ax 2 e 在 x 2处取得极大值，则 f (x) 的极小值为（ ）
A． 6e2 B． 4e C． 2e2 D． e
6．（2024· 3 2 2四川宜宾·模拟预测）已知函数 f x x ax bx a 在 x= 1处有极值8 ，则 f 1 等于（ ）
A． 4 B．16 C． 4或 16 D．16 或 18
a sinx cosx7．（2024· 广东深圳·模拟预测）已知函数 f x x x在 0, π 上恰有两个极值点，则实数 a的取值范e
围是（　　）
π π
e 2 ÷ 2
π e 20, 0, e 4 , ÷
2 π
A． B． C． D． e
4 ,
2 ÷

÷ è 2 ÷
÷
2 ÷

÷ 2
÷÷
è è è
8．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线 y kx m 与函数 y f (x), x 0, 的图象相切于两点，则函数
y f x kx 有（ ）．
A．2 个极大值点，1 个极小值点 B．3 个极大值点，2 个极小值点
C．2 个极大值点，无极小值点 D．3 个极大值点，无极小值点
二．多选题
9．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) (x 1)2 (x 4) ，则（ ）
A． x 3是 f (x) 的极小值点 B．当0 < x <1时， f (x) < f x2
C．当1< x < 2时， 4 < f (2x 1) < 0 D．当 1 < x < 0时， f (2 x) f (x)
10．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x 2 2的定义域为R ， f xy y f x x f y ，则（ ）．
A． f 0 0 B． f 1 0
C． f x 是偶函数 D． x 0为 f x 的极小值点
11．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) 2x3 3ax2 1，则（ ）
A．当 a 1时， f (x) 有三个零点
B．当 a < 0时， x 0是 f (x) 的极大值点
C．存在 a，b，使得 x b 为曲线 y f (x) 的对称轴
D．存在 a，使得点 1, f 1 为曲线 y f (x) 的对称中心
三．填空题
12．（2024·贵州贵阳·三模）已知函数 f (x) xeax ln x ax 1，若函数 f (x) 的最小值恰好为 0，则实数 a的最小
值是 .
1
13 3 2．（2024 福建福州·期中）已知 f x x x在区间 m,6 m 上有最小值，则实数m 的取值范围是 .
3
14．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 f (x) (x a)x ln x在 (0, )上无极值点，则 a的取值范围为 .
四．解答题
15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数 f x ex aln x 1 的图象在点 0, f 0 处的切线过点 2,1 ．
(1)求实数 a的值；
(2)求 f x 的单调区间和极值．
1
16 3 2．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 f x x x 1．
3
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)若函数 g x f x k k R 有且仅有三个零点，求 k 的取值范围．
x
17．（2024·山东泰安· e模拟预测）已知函数 f (x) ， g(x)
2t
t ln x .
x2 x
(1)求函数 g x 单调区间；
(2)若函数H (x) f (x) g(x) 在 (0,2)有两个极值点，求实数 t 的取值范围.
18．（2023 春·吉林长春）已知函数 f x 2x3 ax2 b
(1)当 a 3时，求 f x 的极值；
(2)讨论 f x 的单调性；
(3)若 a 0，求 f x 在区间 0,1 的最小值.
19．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：
设函数 f(x)，g(x)满足:
①图象在 a,b 上是一条连续不断的曲线；
②在 a,b 内可导;
f b f a f x ③对"x a,b ， g x 0 ，则$x a,b ，使得 g b g a g x .
f b f a
特别的，取 g x x，则有：$x a,b ，使得 f x ，此情形称之为拉格朗日中值定理.
b a
f x
(1)设函数 f x 满足 f 0 0 ，其导函数 f x 在 0, 上单调递增，证明：函数 y 在 0, 上为增函
x
数.
a,b 0,e ln a ln b m b a(2)若" 且 a b，不等式 ÷ 0 恒成立，求实数m 的取值范围.b a è a b

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