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3.2 利用导数研究函数的单调性
考点一 函数与导函数图像的关系
【例 1】（2024 内蒙古包头） y = f x 的图象如图所示，则 y = f x 的图象最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知，当 x < 0 或 x > 2时， f x > 0；当0 < x < 2时， f x < 0 .
所以，函数 f x 的增区间为 - ,0 和 2, + ，减区间为 0,2 ，所以，函数 f x 的图象为 C 选项中的图象.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024 云南）设 f x 是函数 f x 的导函数， y = f x 的图象如图所示，则 f x 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为在 -3, -1 和 0,1 上 f x > 0，在 -1,0 和 1,3 上 f x < 0，
所以函数 f x 在 -3, -1 ， 0,1 上单调递增，在 -1,0 ， 1,3 上单调递减，
观察各选项知，只有 D 符合题意.
解法二：由题图知， y = f x 在 x=-1的左侧大于 0 、右侧小于 0 ，
所以函数 f x 在 x=-1处取得极大值，观察各选项知，只有 D 符合题意.
故选：D.
2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图是函数 y = f x 的导函数 y = f x 的图象，若 f 2 = 0 ，则 y = f x 的图
象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 y = f (x)的图象可知，当0 < x <1时，0 < f (x) <1，则在区间( 0, 1)上，函数 y = f (x) 上各点处切线
的斜率在区间( 0, 1)内，
对于 A，在区间( 0, 1)上，函数 y = f (x) 上各点处切线的斜率均小于 0，故 A 不正确；
对于 B，在区间( 0, 1)上，函数 y = f (x) 上存在点，在该点处切线的斜率大于 1，故 B 不正确；
对于 C，在区间( 0, 1)上，函数 y = f (x) 上存在点，在该点处切线的斜率大于 1，故 C 不正确；
对于 D，由 y = f (x)的图象可知，当0 < x <1时，0 < f (x) <1，当1< x < 3时， f (x) < 0 ，当 x > 3时，
f (x) > 0 ，
所以函数 y = f (x) 上各点处切线的斜率在区间( 0, 1)内，在( 0, 1)上单调递增，在 (1,3)上单调递减，在 (3, + )上单
调递增，而函数 y = f (x) 的图象均符合这些性质，故 D 正确.
故选：D
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知函数 y = xf x 的图象如图所示（其中 f x 是函数 f x 的导函数），下面四个
图象中可能是 y = f x 图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 y = xf x 的图象知，当 x - ,-1 时， xf x < 0，故 f x > 0， f x 单调递增；
当 x -1,0 时， xf x > 0，故 f x < 0，当 x 0,1 ， xf x 0，故 f x 0，
等号仅有可能在 x＝0 处取得，
所以 x -1,1 时， f x 单调递减；
当 x 1,+ 时， xf x > 0，故 f x > 0， f x 单调递增，结合选项只有 C 符合.
故选：C.
考点二 无参函数单调区间
【例 2】（2024 x广东东莞）（1）函数 f x = xe 的单调递增区间是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． - , -1 D． -1, +
3
（2）（2024 重庆·阶段练习）函数 f x = 4lnx + - x的单调递增区间为（ ）
x
A．( 0, 1) B． (2,3) C． (1,3) D． (3, + )
（3）（2024 北京）已知函数 f x = ln x - 2 + ln 4 - x ，则 f x 的单调递增区间为（ ）
A． 2,3 B． 3,4 C． - ,3 D． 3, +
【答案】（1）D（2）C（3）A
x x x x
【解析】（1） f x = xe 的定义域为R ， f x = e + xe = e 1+ x ，
令 f x > 0 x，可得1+ x > 0，解得： x > -1 .故函数 f x = xe 的单调递增区间是 -1, + .
故选：D.
4 3 -x22 f x 1 + 4x - 3（ ）因为 = - 2 - = 2 (x > 0) ，x x x
所以令 f (x) > 0 可得-x2 + 4x - 3 > 0 ，解得1< x < 3，所以函数的单调递增区间为 (1,3) .故选：C
ìx - 2 > 0
（3）由 í 得： 2 < x < 4 ，即 f x 的定义域为 2,4
4 x 0
；
- >
Q f 2 3- xx 1 1 = - = ，\当 x 2,3 时， f x > 0；当 x 3,4 时， f x < 0x - 2 4 - x x - 2 4 - x ；
\ f x 的单调递增区间为 2,3 ．故选：A．
【一隅三反】
1 x．（2024 广东东莞）函数 f x = e - x - 2 的单调减区间为（ ）
A． - ,0 B． - ,1 C． 0, + D． 1, +
【答案】A
f x = ex【解析】 -1，令 f (x) < 0 可得 ex <1，即 x < 0 ，所以当 x - ,0 时，函数单调递减.
故选：A
6
2．（2024 重庆长寿）函数 f x = x - - 5ln x的单调递减区间为（ ）
x
A．（0，2） B．（2，3）
C．（1，3） D．（3，+∞）
【答案】B
2
f x = x 6- - 5ln x 0, + , f x 1 6 5 x - 5x + 6 x - 2 x - 3 【解析】 的定义域为 = + 2 - = 2 =x x x x x2
,
令 f x < 0，解得： x 2,3 .所以函数 f x 6= x - - 5ln x的单调递减区间为（2，3）.
x
故选：B.
3．（2024·浙江·模拟预测）函数 f x = ln 2x -1 - x2 + x的单调递增区间是（ ）
A． 0,1 1B ． ,1 ÷
è 2
1- 2
C． ,
1+ 2 1 1+ 2
2 2 ÷÷
D． , ÷÷
è è 2 2
【答案】D
【解析】函数 f x = ln 2x 1-1 - x2 + x 的定义域为 ,+ ÷，
è 2
且 2 2 - 2x -1
2 é 2 - 2x -1 ù é 2 + 2x -1 ù
f x = - 2x 1 + = = ，
2x -1 2x -1 2x -1
f x > 0 1 1+ 2
1 1+ 2
令 ，解得 < x < ，所以 f x 的单调递增区间为 , ÷÷ .故选：D2 2 è 2 2
考点三 某区间上单调求参
【例 3-1】（2024 江西南昌）已知函数 f (x) = 2x3 - 6x2 -18x +1在区间 (m, m2 - 2m) 上单调递减，则实数 m 的取值
范围是（ ）
A． (-3,0) B．[-1,0) C． (3,5) D． (5,7)
【答案】B
【解析】由题意得 f (x) = 6x2 -12x -18 = 6(x - 3)(x +1)，令 f '(x) < 0，可得-1 < x < 3，
因为 f (x) 在区间 m, m2 - 2m 上单调递减，所以 m, m2 - 2m (-1,3) ，
所以-1 m < m2 - 2m 3，解得-1 m < 0．故选：B．
3-2 2024 f x 1= x3 - x2【例 】（ 江苏南京）已知函数 + ax +1在区间 0,2 上单调递增，则实数 a 的最小值为
3
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为函数在 0,2 上单调递增，所以 f x = x2 - 2x + a 0对 0,2 恒成立，
即-a x2 - 2x = x -1 2 -1 g x = x -1 2恒成立，设 -1， x 0,2 ，
当 x =1时， g x = -1min ，所以-a -1，则a 1，所以实数 a 的最小值为1.故选：B.
【例 3-3】（2024 海南海口）已知函数 f x = 2 - x ex - ax 在 0,5 上为减函数，则 a的取值范围是（ ）
A． - ,5e B． 5e, + C． 1, + D． 1, +
【答案】D
x
【解析】因为函数 f x = 2 - x e - ax 在 0,5 上为减函数，
所以 f x = -ex + 2 - x ex - a 0在 0,5 上恒成立，
所以 a 1- x ex 在 0,5 上恒成立，令 g x = 1- x ex，
所以 g x = -ex + 1- x ex = -xex < 0，
所以 g x 在 0,5 5上单调递减，所以-4e = g 5 < g x < g 0 =1，
故a 1，所以 a的取值范围是 1, + .
故选：D.
【例 3-4】（2024 浙江）已知函数 f (x) = sin x
π π
+ acos x 在区间 ,4 2 ÷ 上是减函数，则实数
a的取值范围为（ ）
è
A． a > 2 -1 B．a 1 C． a >1- 2 D． a -1
【答案】B
【解析】由题意， f (x) = cos x - asin x 0
π 在 ,
π cos x 1 π π
4 2 ÷ 上恒成立，即
a = 在 , 上恒成立，
è sin x tan x è 4 2 ÷
因为 y = tan x
π π
在 , ÷ 上单调递增，所以 y = tan x
π π
>1 1
4 2 ，所以在
x ,
è 4 2 ÷
时，0 < <1，
è tan x
所以a 1 .故选：B
【一隅三反】
1 1
1．（2024·广东茂名·一模）（多选）若 f x = - x3 + x2 + 2x +1是区间 m -1,m + 4 上的单调函数，则实数m 的
3 2
值可以是（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
【答案】CD
2
【解析】由题意， f x = -x + x + 2 = - x - 2 x +1 ，
令 f x > 0，解得-1 < x < 2，令 f x < 0，解得 x < -1或 x > 2，
所以 f x 在 -1,2 上单调递减，在 - ,-1 ， 2, + 上单调递减，
f x 1 x3 1若函数 = - + x2 + 2x +1在区间 m -1,m + 4 上单调，
3 2
ìm -1 -1
则m + 4 -1或m -1 2 或 í ，解得m -5或m 3或m ，
m + 4 2
即m -5或m 3 .
故选：CD.
2．（2024 福建南平）已知函数 f x = lnx - ax 在区间 1,3 上单调递减，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1
A．a 1 B． a > 1 C． a D． a >
3 3
【答案】A
1
【解析】因为 f x = lnx - ax ，所以 f x = - ax ，
因为 f x 在区间 1,3 上单调递减，
f x 0 1 1所以 ，即 - a 0，则 a 在 1,3 上恒成立，
x x
1
因为 y = 1,3 x 在 上单调递减，所以 ymax =1，故a 1 .
故选：A.
1
3．（2023

高三·全国·专题练习）已知函数 f x = ln x + x2 + ax的单调递减区间为 ,12 ÷，则（ ）.è
A． a - ,-3 B． a = -3
C． a = 3 D． a - ,3
【答案】B
2x2 + ax +1 1 1
【解析】由 f x = ln x + x2 + ax得 f x = ，又 f x 的单调递减区间是 ,12 ÷，所以 2 和 1 是方程x è
2x2 + ax +1
= 0 的两个根，代入得 a = -3 .经检验满足题意
x
故选：B.
4．（2024 安徽宿州）已知函数 f x = ln x - asin x é π , π ù在区间 ê 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ） 6 4 ú
2 3 ù 4 3 ù
A． - , ú B． - ,π π úè è

, 4 2
ù é 2 3
C． - ú D． ê ,+ π π ÷÷è
【答案】C
【解析】由函数 f x = ln x - asin x 1，可得 f x = - a cos x ，
x
f x é π π ù é π π ù π π因为函数 在区间 ê , ú上单调递增，可得 f x 0在 ê , ú上恒成立，即 a
1 é
≤ 在 ê ,
ù
ú上恒成立， 6 4 6 4 x cos x 6 4
-cos x + x sin x设 h x 1= ，可得 h x = (x cos x)2 ，令 g x = -cos x + x sin x，可得 g x = 2sin x + x cos xx cos x
x é π , π ù当 ê ú 时， g x > 0
π π π π 2 π 2
，所以 g x 单调递增，又因为
6 4 g( ) = -cos + sin = - + < 0
，
4 4 4 4 2 4 2

h x 0 h x é π , π ù π 4 2 a , 4 2
ù
所以 < ，所以 在 ê ú上单调递减，所以 a h ÷ = ，即实数 的取值范围是 - ú . 6 4 è 4 π è π
故选：C.
考点四 某区间存在单调求参
1 2
【例 4-1】（2024 福建泉州·阶段练习）若函数 h x = lnx - ax - 2x在[1, 4]上存在单调递增区间，则实数 a的取
2
值范围为（ ）
-1, + -1, + 7 7A． B． C． - , - ù D． - , - ÷
è 16 ú è 16
【答案】D
1
【解析】因为函数 h x = lnx - ax2 - 2x在 1,4 上存在单调递增区间，
2
1 1 2
所以存在 x 1,4 ，使 h x = - ax - 2 > 0成立，即存在 x 1,4 ，使 a < 2 - 成立，x x x
G x 1 2 1 1令 = - ， x 1,4 ， 变形得G x = (1 -1)2 -1，因为 x 1,42 ，所以
é
ê ,1
ù
ú，x x x x 4
1 1 7 7
所以当 = ，即 x = 4时，G(x)max = - ，所以 a < - ，故选：D．x 4 16 16
(0, π) y a - cosx【例 4-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间 上，函数 = 存在单调递增区间，则实数 a的取值
x
范围是（ ）
A． (- ,1)
π
B． (- , ]
2
π
C． (- , ) D． (- ,1]
2
【答案】C
y a - cosx x sin x - a + cos x【解析】函数 = ，求导得 y = 2 ，x x
依题意，不等式 x sin x - a + cos x > 0在 (0, π) 上有解，即 a < x sin x + cos x 在 (0, π) 上有解，
令 f (x) = x sin x + cos x ， x (0, π)，求导得 f (x) = xcos x ，
x (0, π当 )时， f (x) > 0 ，函数 f (x) π单调递增，当 x ( , π)2 时， f
(x) < 0 ，函数 f (x) 单调递减，
2
π π π
当 x = 时， f (x)max = ，因此 a <2 ，2 2
所以实数 a
π
的取值范围是 (- , ) .
2
故选：C
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数 f (x) = (x2 + ax)ex 在 1,2 上存在单调递减区间，则 a的取值范围是
（ ）
8 3
A． (- , - ) B． (-6,-4)
3 2
8 3
C． (- , - ) D． (- , - )
3 2
【答案】D
【解析】函数 f (x) = (x2 + ax)ex ，求导得 f (x) = (x2 + ax + 2x + a)ex ，
由函数 f (x) = (x2 + ax)ex 在 1,2 上存在单调递减区间，得 f (x) < 0 在 1,2 上有解，
x2x2 2x a(x 1) 0 a + 2x即不等式 + + + < < - 在 1,2 上有解，
x +1
x2y + 2x
3 3
而函数 = - = -(x +1) 1+ 在 1,2 上单调递减，当 x =1时， ymax = - ，则 a < - ，x +1 x +1 2 2
所以 a
3
的取值范围是 (- , - ) .
2
故选：D
2．（2024 重庆江北·期中）若函数 f x = x + alnx 在区间 1,2 内存在单调递减区间，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． (- , -1) B． (- ,-1]
C． (- , -2) D． (- , -2]
【答案】A
a a
【解析】因为 f x =1+ ，由题意可知：存在 x 1,2 ，使得 f x =1+ < 0，整理得 a < -x，
x x
且 y = -x在 1,2 上单调递减，则-x < -1，可得 a < -1，所以实数 a的取值范围是 (- , -1) .
故选：A.
3．（2024 江西萍乡）已知函数 f x = ln x - x - a 2 a R 在区间 1, + 上存在单调递增区间，则实数 a的取值
范围是（ ）
é1 1
A． ê ,+

÷ B2 ．
,+
2 ÷ è
C． 1, + D． 1, +
【答案】B
2
【解析】因为 f x = ln x - x - a a R ，则 f x 1= - 2x + 2a ，
x
因为函数 f x 在区间 1, + 上存在单调递增区间，则存在 x 1,+ ，使得 f x > 0，
1
即 - 2x + 2a > 0，可得 a > x
1 1
- ，设 g x = x - ，
x 2x 2x
因为函数 y = x 、 y
1
= - 在 1, + 上均为增函数，则函数 g x 在 1, + 上为增函数，
2x
当 x 1时， g x = g 1 1 1 1=1- =min ，故 a > .2 2 2
故选：B.
1
4．（2024 3 2江苏常州）若函数 f x = x - ax + x 存在单调递减区间，则实数 a的取值范围为是 .
3
【答案】 - , -1 1,+
2
【解析】 f x = x - 2ax +1，
因为函数 f x 1= x3 - ax2 + x 存在单调递减区间，所以存在 x ，使得 f x 小于零，
3
所以导函数的判别式D = 4a2 - 4 > 0，解得 a < -1或 a > 1，所以实数 a的取值范围为是 - , -1 1,+ ，
故答案为： - , -1 1,+ .
考点五 某区间上不单调求参
【例 5-1】（23-24 高三上· 2福建三明·期中）已知函数 f x = ax - 4ax - ln x ，则 f x 在 1,3 上不单调的一个充分
不必要条件是（ ）
a , 1 - a 1A． ÷ B． ,
1 1 1+ ÷ C． a 6 6
- , + ÷ D． a - ,2 2 6 ÷è è è è
【答案】B
f x 2ax
2 - 4ax -1 2
【解析】 = x > 0 ，令 g x = 2ax - 4ax -1，
x
因为 f x 在 1,3 上不单调， f x 在 1,3 上有变号零点，即 g x 在 1,3 上有变号零点，
当 a = 0时， g x = -1，不成立；
当 a 0时，只需 g 1 × g 3 < 0，即 -2a -1 6a -1 < 0 1 1，解得 a < - 或 a > ，
2 6
1 1
所以 f x 在 1,3 上不单调的充要条件是 a < - 或 a > ，所以 f x 在 1,3 上不单调的一个充分不必要条件
2 6
a 1是 > ，故选：B
6
【例 5-2】（2024 江苏苏州·期末）（多选）若函数 f x = 2x2 - alnx +1在区间 a - 3,a 上不单调，则实数 a的值可
能是（ ）
A．2 B．3 C． 2 3 D．4
【答案】BC
【解析】 f x 的定义域为 0, + ，所以 a 3，A 错误；
f x 4x a由题意可得 = - ，令 f x = 0 x a a解得 = ，所以当0 < x < 时， f x < 0， f x 单调递减，x 2 2
a
当 x > 时， f x > 0， f x 单调递增，
2
a a 2 2
因为 f x 在区间 a - 3,a 上不单调，所以 a - 3, a ，即 a - 6a + 9,a ，
2 4

3
选项 B：当 a = 3时， 0,9 9 9 3，正确；选项 C：当
4 a = 2 3
时， a2 - 6a + 9 = 21-12 3 = < < ，
21+12 3 18 2
3
所以 21-12 3,12 ，正确；选项 D：当 a = 4时，1 1,16 ，错误；故选：BC2
【一隅三反】
1．（2024 四川绵阳）已知函数 f x = ax2 - 4ax - ln x ，则 f x 在 1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
a A． - ,
1 1
÷ B． a
- , +
6 ÷è è 2
a 1 , 1 1C． +
a
2 ÷
D． - ,2 6 ÷è è
【答案】C
f x 2ax 4a 1 2ax
2 - 4ax -1
【解析】 = - - = ，
x x
若 f x 在 1,3 上不单调，令 g x = 2ax2 - 4ax -1，
对称轴方程为 x =1 2，则函数 g x = 2ax - 4ax -1与
x 轴在 1,3 上有交点．当 a = 0时，显然不成立；
ìD =16a2 + 8a > 0,
当 a
1 1
0时，有 í a > a < - g 1 × g 3 < 0,
解得 或 ．
6 2
1 1 1
四个选项中的范围，只有 ,+ 2 ÷为
- , - ÷ 2
,+ ÷的真子集，
è è è 6
∴ f x 在 1,3 1上不单调的一个充分不必要条件是 a ,+

÷ .
è 2
故选：C．
2 x．（2024 山东德州）若函数 f x = e - a -1 x +1在(0，1)上不单调，则 a的取值范围是（ ）
A． 2,e +1 B． 2,e +1
C． - , 2 e +1, + D． - , 2 e +1, +
【答案】A
【解析】Q f (x) = ex - (a -1)x +1，\ f (x) = ex - a +1，
若 f (x) 在( 0, 1)上不单调，则 f (x) 在( 0, 1)上有变号零点，
又Q f (x)单调递增，\ f 0 g f 1 < 0 ，即 (1- a +1)(e - a +1) < 0，解得 2 < a < e +1．
\a 的取值范围是 (2,e +1) ．
故选：A ．
1 a
3．（2024 3 2北京）已知函数 g x = x - x + 2x +1．若 g x 在 -2, -1 内不单调，则实数 a 的取值范围
3 2
是 ．
【答案】 -3, -2 2
1
【解析】由 g x = x3 a- x2 + 2x +1 g x = x2，得 - ax + 2，
3 2
当 g x 在 -2, -1 2内为减函数时，则 g x = x - ax + 2 0在 -2, -1 内恒成立，
2
所以 a x + 在 -2, -1 内恒成立，
x
当 g x 在 -2, -1 2内为增函数时，则 g x = x - ax + 2 0在 -2, -1 内恒成立，
2
所以 a x + 在 -2, -1 内恒成立，
x
令 y
2 2
= x + ，因为 y = x + 在 -2, - 2 内单调递增，在 - 2, -1 内单调递减，x x
2
所以 y = x + 在 -2, -1 内的值域为 -3, -2 2ù ，所以 a -3或x a -2 2 ，
所以函数 g x 在 -2, -1 内单调时，a 的取值范围是 - , -3 é -2 2,+ ，
故 g x 在 -2, -1 上不单调时，实数 a 的取值范围是 -3, -2 2 ．
故答案为： -3, -2 2 ．
考点六 含参函数的单调性分类讨论
【例 6-1】（2024·福建漳州·一模）已知函数 f x = a ln x - x + a ， a R 且 a 0．
(1)证明：曲线 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数 f x 的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）因为 f x = a ln x - x + a x > 0 ，所以 f (x) a a - x= -1 = ，
x x
则 f (1) = a ln1-1+ a = a -1， f (1) = a -1，
所以 f x 在 1, f 1 处的切线方程为: y - (a -1) = (a -1)(x -1) ，
当 x = 0时， y - (a -1) = (a -1)(0 -1) = -(a -1)，故 y = 0 ，
所以曲线 y = f (x) 在点 1, f 1 处切线的方程过坐标原点.
a a - x
（2）由（1）得 f (x) = -1 = ，
x x
当 a < 0时， a - x < 0，则 f x < 0，故 f (x) 单调递减；
当 a > 0时，令 f (x) = 0则 x = a，
当0 < x < a 时， f (x) > 0 ， f (x) 单调递增；
当 x > a时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减；
综上：当 a < 0时， f (x) 在 (0, + )上单调递减；
当 a > 0时， f (x) 在 (0,a)上单调递增，在 (a,+ ) 上单调递减.
1
【例 6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = x2 + (a - 2)lnx - (a -1)x，讨论 f (x) 的单调性.
2
【答案】答案见解析
【解析】函数 f x 1= x2 + a - 2 ln x - a -1 x的定义域为 (0, + )，
2
a - 2 x -1 éx - a - 2 ù
求导得 f x = x + - a -1 = ，
x x
①当 a - 2 0，即 a 2时，由 f (x) > 0 ，得 x >1，由 f (x) < 0 ，得0 < x <1，
因此 f (x) 在 1, + 上单调递增，在 0,1 上单调递减；
②当0 < a - 2 <1，即 2 < a < 3时，由 f x > 0，得0 < x < a - 2或 x >1，由 f x < 0，得a - 2 < x < 1，
因此 f x 在 0, a - 2 ， 1, + 上单调递增，在 a - 2,1 上单调递减；
③当 a - 2 = 1，即 a = 3时， f x 0恒成立，因此 f x 在 0, + 上单调递增；
④当 a - 2 >1，即 a > 3时，由 f x > 0，得0 < x <1或 x > a - 2，由 f x < 0，
得1 < x < a - 2，
因此 f x 在 0,1 ， a - 2, + 上单调递增，在 1, a - 2 上单调递减，
综上所述，当 a 2时， f x 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增；
当 2 < a < 3时， f x 在 0, a - 2 ， 1, + 上单调递增，在 a - 2,1 上单调递减；
当 a = 3时， f x 在 0, + 上单调递增；
当 a > 3时， f x 在 0,1 ， a - 2, + 上单调递增，在 1, a - 2 上单调递减．
【例 6-3】（2024 2高三·全国·专题练习）已知 f x = x + mx + 2 ex m R ，讨论 f x 的单调性.
-2 - m - m2 - 4
【答案】当-2 m 2 时， f x 在 R 上单调递增；当m < -2或m>2 时， f x 在 - , ÷÷ ，
è 2
-2 - m + m2 - 4 , -2 - m - m
2 - 4 , -2 - m + m
2 - 4
+ ÷÷上单调递增，在 ÷÷上单调递减．
è 2 è 2 2
2
【解析】由题得 f x = é x + 2 + m x + m + 2ù
x 2
e ，令 f x = 0得 x + 2 + m x + m + 2 = 0，
①若D 0，即当-2 m 2 时， f x = éx
2 + 2 + m x + m + 2ù x e 0 恒成立， f x 在 R 上单调递增；
-2 - m - m2 2②若D > 0，即当m < -2或m > 2 时，可得 f x = 0 - 4 -2 - m + m - 4的两根分别为 x1 = ， x = ，2 2 2
当 x - , x1 x2 ,+ 时， f x > 0，当 x x1, x2 时， f x < 0，

f x , -2 - m - m
2 - 4 -2 - m + m2 - 4
所以 在 - ÷ ,+ 2 ÷
， ÷上单调递增，在
è è 2 ÷
-2 - m - m2 - 4 , -2 - m + m
2 - 4
÷÷上单调递减．
è 2 2
综上，当-2 m 2 时， f x 在 R 上单增；
-2 - m - m2 - 4 -2 - m + m2 - 4
当 m < -2或 m > 2 时 ， f x 在 - , ÷÷ ， ,+ ÷÷上 单 调 递 增 ， 在
è 2 è 2
-2 - m - m2 - 4 2
, -2 - m + m - 4 ÷÷上单调递减．
è 2 2
【一隅三反】
1．（2024 浙江杭州·期末）已知函数 f (x) = 2x3 - ax2 .
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)已知 a =1时，直线 l : y = kx为曲线 f (x) = 2x3 - ax2 的切线，求实数 k 的值．
【答案】(1)答案见解析
1
(2) k = 0或 k = -
8
【解析】（1） f x = 6x2 - 2ax = 2x 3x - a ．
a
令 f x =0，得 x = 0或 x = ．
3
x ,0 a , x 0, aa 0 - + f (x)>0 若 > ，则当 ÷时， ；当 ÷时， f (x)<0．
è 3 è 3
f (x) - ,0 , a故 在 ,+
a
÷上单调递增，在 (0, )上单调递减；
è 3 3
若 a = 0时， f (x) = 2x3 ， f (x) 在 (- , + )上单调递增；
x aa 0
a
若 < ，则当 - , ÷ 0, + 时， f (x)>0；当 x ,0÷时， f (x)<0．
è 3 è 3
a
f (x) - , , 0,+ a 故 在 ÷ 上单调递增，在 ,0÷上单调递减．
è 3 è 3
a a
综上所述：当 a > 0时， f (x) 在 - ,0 , ,+ ÷上单调递增，在 (0, )上单调递减；
è 3 3
当 a = 0时， f (x) 在 (- , + )上单调递增；
a a
a<0时， f (x) - , 在 ÷ , 0,+

单调递增，在 ,03 ÷单调递减．è 3 è
（2）当 a =1时， f x = 2x3 - x2 , f x = 6x2 - 2x
设切点P(x0 , y0 )，则切线方程为 y - y0 = y - 2x30 - x20 = 6x20 - 2x0 x - x0
3 2 3 2 3 2
因为切线过原点， 故-2x0 + x0 = -6x0 + 2x0 ， 即 4x0 = x0 ，
解得 x0 = 0 x
1
或 0 = 4
k 1所以 k = 0或 = - .
8
2 x 2．（2024 安徽）已知函数 f x = e é x - 2a +1 x +1ù .
1
(1)若 a = ，求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线；
2
(2)讨论 f x 的单调性；
【答案】(1) x + y -1 = 0
(2)答案见解析
【解析】（1）当 a
1
= 时，函数 f x = ex x2 - 2x +1 ，则 f 0 =1，切点坐标为 0,1 ，
2
f x = ex x2 -1 ，则曲线 y = f x 在点 0,1 处的切线斜率为 f 0 = -1，
所求切线方程为 y -1 = - x - 0 ，即 x + y -1 = 0 .
（2） f x = ex é 2 x - 2a +1 x +1 ù ，函数定义域为 R，
f x = ex é 2 x + 1- 2a x - 2a ù = e
x x - 2a x +1 ，
1
① a > - ， f x > 0解得 x < -1或 x > 2a， f x < 0解得-1 < x < 2a ，
2
所以 f x 在 - ,-1 和 2a, + 上单调递增，在 -1,2a 上单调递减，
1
② a < - ， f x > 0解得 x < 2a 或 x > -1， f x < 0解得 2a < x < -1，
2
所以 f x 在 - , 2a 和 -1, + 上单调递增，在 2a, -1 上单调递减，
a 1③ = - ， f x 0恒成立， f x 在 - ,+ 上单调递增.
2
1
综上，当 a > - 时， f x 在 - ,-1 和 2a, + 上单调递增，在 -1,2a 上单调递减；
2
a 1当 < - 时， f x 在 - , 2a 和 -1, + 上单调递增，在 2a, -1 上单调递减；
2
1
当 a = - 时， f x 在 - ,+ 上单调递增.
2
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = ln(x +1) - ax2 - x ． a R ，讨论函数 f (x)的单调区间；
【答案】答案见解析
(-1, + ) f (x) 1 2ax 1 x(2ax + 2a +1)【解析】依题意知函数定义域为 ， = - - = -
x +1 x +1
当 a 0时， 2a(x +1) > 0， 2ax + 2a +1 > 0，
∴当 x (-1,0)时， f (x) > 0 ， f (x) 在 (-1,0) 上单调递增，
当 x [0,+ )时， f (x) 0， f (x) 在[0, + ) 单调递减；
当 a<0时，令 f (x) = 0
1
，得 x1 = 0 ， x2 = -1- ，2a
1 1 1
（i）当 x2 < x1，-1- < 0时，即 a < - ，而-1- > -1，2a 2 2a
x 1则 -1,-1-

÷ (0,+ )时 f (x) > 0 ， x
1
-1- ,0

时 f (x) < 0 ，
è 2a è 2a ÷
f (x) 在 -1,
1 1
-1- ÷， (0, + )

2a 上均为增函数；在
-1- ,0
2a ÷上为减函数；è è
2
（ii）当 x2 = x1 ，-1
1
- = 0 1 x，即 a = - 时， f (x) = 0，
2a 2 x +1
f (x) 在 (-1, + )上为增函数；
1 1
(iii)当 x2 > x1 ，-1- > 0，即- < a < 0 时，2a 2
则 x (-1,0)
1
-1- ,+

÷时, f (x) > 0 ， x

0, -1
1
- ÷时, f (x) < 0 ，
è 2a è 2a
f (x) 在 (-1,0)

， -1
1
- , + ÷上均为增函数；在 0,-1
1
-
2a ÷上为减函数
.
è 2a è
a 1
1 1
综上：当 < - 时， f (x)

增区间为 -1,-1-

÷， (0, + )

2a ，减区间为
-1- ,0÷；2 è è 2a
1
当 a = - 时， f (x) 增区间为 (-1, + )；
2
1
当- < a < 0 时， f (x) 增区间为 (-1,0) 1
1 , 1和 - - +

2 2a ÷
，减区间为 0,-1-
è è 2a ÷
；

当 a 0 时， f (x) 增区间为 (-1,0) ，减区间为[0, + ) .
ex
2024 f x = - a 4．（ 湖南）已知 lnx
1
+
x x ÷
，讨论函数 f (x) 的单调性.
è
【答案】答案见解析
x x -1 ex - a
【解析】由题意知，函数 f (x) 的定义域为 (0, + )，且 f x -1 e x = 2 - a 1 1- = .x è x x2 ÷ x2
①当 a 1时，因为 x > 0，所以 ex >1，所以 ex - a > 0 .
所以当 x (0,1) 时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减；当 x (1,+ )时， f (x) > 0 ， f (x) 单调递增.
②当1< a < e 时，由 f (x) < 0 ，解得 lna < x <1；由 f x > 0，解得0 < x < lna 或 x >1 .
所以 f (x) 在 (lna,1)上单调递减，在 (0, ln a) ， (1, + )上单调递增.
③当 a = e时， f (x) 0（当且仅当 x =1时，取等号）恒成立，所以 f (x) 在 (0, + )上单调递增.
④当 a > e时，由 f (x) < 0 ，解得1< x < lna ；由 f (x) > 0 ，解得0 < x <1或 x > lna .
所以 f (x) 在 (1, lna)上单调递减，在( 0, 1)， (lna,+ )上单调递增.
综上，当 a 1时， f (x) 在( 0, 1)上单调递减，在 (1, + )上单调递增；
当1 < a < e 时， f (x) 在 (lna,1)上单调递减，在 (0, ln a) ， (1, + )上单调递增；
当 a = e时， f (x) 在 (0, + )上单调递增；
当 a > e时， f (x) 在 (1, lna)上单调递减，在( 0, 1)， (lna, + )上单调递增.
2
5．（2024 广东湛江）设函数 f x = 2x - - alnx（ a R ），讨论 f x 的单调性.
x
【答案】答案见解析
2 a 2x2 - ax + 2
【解析】由题意可得 f x 的定义域为 0, + ， f x = 2 + 2 - = 2 ，x x x
g x = 2x2设 - ax + 2，令 2x2 - ax + 2 = 0，D = a2 -16，
①当-4 a 4时，D 0，此时 f x 0恒成立， f x 在 0, + 上单调递增；
②当 a < -4时，D > 0，设 g x = 0的两根为 x1, x2 ，
x x a由 1 + 2 = < 0， x1x2 = 1 > 0可知 g x = 0的两根都小于 0，2
所以 f x 在 0, + 上大于 0，所以 f x 在 0, + 上单调递增；
2 2
③当 a > 4时，D > 0，由 g x = 0 a - a -16 a + a -16，解得 x1 = ， x2 = ，4 4
x x a由 1 + 2 = > 0， x1x2 = 1 > 0可知 g x = 0的两根都大于 0，2
所以当 x 0, x1 x2 ,+ 时， g x > 0， f x > 0， f x 在 0, x1 ， x2 , + 上单调递增，
当 x x1, x2 时， g x < 0 ， f x < 0， f x 在 x1, x2 上单调递减.
综述所述：当 a 4时， f x 在 0, + 上单调递增；
2
f x 0, a - a -16
a + a2 -16 a - a2 -16 a + a2 -16
当 a > 4时 在 ÷， ,+ ÷ ÷÷上单调递增，在 , ÷÷ 上单调递减.
è 4 è 4 è 4 4
考点七 单调性的应用之比较大小
e +1 ln 5
【例 6-1】（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c = +1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【答案】B
f (x) ln x f (x)
1- ln x
【解析】设 = ，则 = ，
x x2
当0 < x < e时， f (x) > 0 ， f (x) 在 (0, e)上递增；
当 x>e时， f (x) < 0 ， f (x) 在 (e,+ ) 上递减,故 f (x) 1max = f (e) = .e
1 ln 5 , 1 ln 2
25
则 > > ，即b > c,b > a；由 ln 5 ln 2 2ln 5 - 5ln 2 ln c < a
e 5 e 2 - = = 32 < 0
可知 ，故b > a > c .故选：B.
5 2 10 10
【一隅三反】
1
1．（2024·全国·模拟预测）若a = 2 ,b
3ln2
= ,c 2ln3= ，则（
e 64 81 ）
A． a < c < b B． a < b < c C． c < a < b D． c < b < a
【答案】D
a 1 lne ,b 3ln2 ln8 ,c 2ln3 ln9【解析】因为 = 2 = 2 = = 2 = =e e 64 8 81 92
，
所以令 g x lnx= 2 ，则 a = g e ,b = g 8 ,c = g 9 g x
1- 2lnx
， = ，
x x3
当 x e,+ 时， g x < 0，所以函数 g x 在 e,+ 上单调递减．
又 e < e < 8 < 9，所以 g e > g 8 > g 9 ，即 c < b < a ．故选：D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 f (x) = 2x + 2- x + cos x + x2
1 1
，若 a = f 2 ，b = f (-ee )， c = f (π π )，则
（ ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c【答案】B
【解析】因为 f (x) = 2x + 2- x + cos x + x2的定义域为R ，
又 f (-x) = 2- x + 2x + cos -x + -x 2 = 2x + 2- x + cos x + x2 = f x ，所以 f (x) 是偶函数，
又 f (x) = (2x - 2- x ) ln 2 + (2x - sin x)，
令 h x = 2x - sin x ，则 h x = 2 - cos x > 0恒成立，所以当 x > 0时， h x > h 0 = 0，即 2x - sin x > 0，
又 y = 2x - 2- x 在 0, + 上单调递增，所以 y = 2x - 2- x > 20 - 20 = 0，
所以 f (x) > 0 在 0, + 上恒成立，则 f (x) 在 0, + 上单调递增，
g(x) ln x构造函数 = ，则 g (x)
1- ln x
= 2 ，令 g (x) > 0，得0 < x < e，令 g (x) < 0，得 x>e，x x
所以 g(x)在 0,e 上单调递增，在 e, + ln 2 ln 4上单调递减，所以 g(4) < g(π) < g(e) ，又 = ，
2 4
ln 2 ln 4 ln π ln e 1 1 1 1 1 1
所以 = < < ，所以 222 4 π e < π
π < ee ，所以 f ( 2) < f (π π ) < f (ee ) = f (-ee )，所以 a < c < b .故选：B.
2 - ln 2 1 ln 2
3．（2024·全国·模拟预测）若 a = 2 ，b = ， c = ，则 a，b ， c的大小顺序为（2e ）e 4
A． a < c < b B． c < a < b C． a < b < c D．b < a < c
【答案】B
f x ln x a f e
2
【解析】构造函数 = ，则 = ÷，b = f e ， c = f 2 ，2x è 2
f x 1- ln x由 = 2 ，令 f x > 0得0 < x < e，令 f x < 0得 x>e，2x
则 f x 在 0,e 上单调递增，在 e, + 上单调递减．
因为 2 < e，所以 f 2 < f e ，所以 c < b ；
e2 e
2
因为 e < ，所以 f e > f ÷，所以b > a；
2 è 2
2
2 e ln x1 2 - ln x xx x = e 1 < x < e < x f x - f x = f x - f = - 1 1令 1 2 ，且 1 2 ，则 1 2 1 x ÷ 2 ，è 1 2x1 2e
ln x 2 - ln x x令 g x = - ， x 1,e
2x 2e2
，
1- ln x 1- ln x 2 2
则 g x = 2 - 2 = 1- ln x
e - x
2x 2e 2e2x2
> 0，
所以 g x 在 1,e 上单调递增，
又 g e = 0，所以 g x < 0 ，所以 f x1 < f x2 ，
e2 2 e2
因为 2 = e2 ，且1< 2 < e e< ，所以 a = f ÷ > f 2 = c ，所以 c2 2 è 2
故选：B
考点八 单调性的应用之解不等式
【例 8-1】（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) = 3x - 2x -1，则不等式 f (x) < 0的解集是（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． - ,0 D． - ,0 1, +
【答案】A
【解析】因为 f (x) = 3x ln 3 - 2单调递增，且 f (0) = ln 3 - 2 < 0， f (1) = 3ln 3- 2 > 0，
所以存在唯一 x0 (0,1) ，使得 f (x0 ) = 0 ，所以当 x < x0 时， f (x) < 0 ，当 x > x0时， f (x) > 0 ，
所以函数 f (x) 在 - , x0 上单调递减，在 x0 ,+ 上单调递增，
又 f (0) = f (1) = 0，且0 < x0 <1，所以由 f (x) < 0可得0 < x <1，故选：A
1
【例 8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数 f (x) = x2 - 2x + ln x .若 f (a +1) f (2a -1) ，则 a的取值范围是
2
（ ）
A． (
1
- ,-1] ùB． (-1,2] C．[2,+ ) D． , 2
è 2 ú
【答案】D
【解析】因为 f (x)
1
= x2 - 2x + ln x， x 0, + ，
2
2 x -1 2
所以 f (x) x 2 1 x - 2x +1 = - + = = 0，
x x x
所以 f (x) 是 0, + 上的增函数，所以若 f (a +1) f (2a -1)
1
则 a +1 2a -1 > 0，解得 < a 2 .
2
故选：D
【例 8-3】（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 f x 的定义域为R, f x 为 f x 的导函数.若 f 1 = e，且
f x + ex < f x x在R 上恒成立，则不等式 f x < 2 - x e 的解集为（ ）
A． - , 2 B． 2, +
C． - ,1 D． 1, +
【答案】D
f x f

x e
x - f x ×ex f x - f x + ex
【解析】设函数 g x = x + x，可得 g x = +1 =e e2x ex
< 0，
所以函数 g x 在R 上单调递减，
由 f x < 2 - x ex，可得 f x + xex < 2ex f x f 1 ，即 x + x < 2 = +1，e e
可得 g x < g 1 ，所以 x >1，即不等式 f x < 2 - x ex的解集为 1, + .
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且 f x + ex 也是偶函数，若 f a > f 2a -1 ，则
实数 a的取值范围是（ ）
- ,1 1, + 1 1 A． B． C． ,1÷ D． - , ÷ 1,+
è 3 è 3
【答案】D
【解析】因为函数 f x 是定义在R 上的偶函数， f -x = f x ，所以- f -x = f x ，则 f -x = - f x ，
x - x x 1 - x x
又因为函数 f x + e 也是偶函数，所以 f -x + e = f x + e ，得 f x = e - e ，
2
1 - x x
因为 y = e- x 为减函数， y = ex 为增函数，所以 f x = e - e 为减函数，2
令 f x = 0，得 x = 0，
所以 x > 0时， f x < 0， f x 在 0, + 上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数 f x 在 - ,0 上单调递增，
所以 f a > f 2a -1 ，即 f a > f 2a -1 ，即 a < 2a -1 1，得 a > 1或 a < ，
3

所以不等式的解集为 - ,
1
÷ 1, + .
è 3
故选：D
2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，对任意 x R ，有 f x - f x > 0，则“ x < 2 ”是
“ ex f x +1 > e4 f 2x - 3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
【答案】A
f x - f x > 0 f x - f x 【解析】因为 ，则 x > 0，e
令 g f xx = ，则 g x > 0x ，所以 g x 在R 上单调递增.e
ex f x +1 > e4 f f x +1 f 2x - 32x - 3 x+1 > 2x-3 g x +1 > g 2x - 3 e e
x +1 > 2x - 3 x < 4，
x
所以“ x < 2 ”是“ e f x +1 > ex f 2x - 3 ”的充分不必要条件，
故选：A.
3．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为R 的函数 f x ，其导函数为 f x ，且满足 f x - 2 f x < 0， f 0 =1，
则（ ）
A e2． f -1 <1 B． f 1 > e2
f 1 C． ÷ > e D． f 1 < ef
1
è 2 ÷ è 2
【答案】D
2x 2x
g f xx
f x ×e - 2 f x e f x - 2 f x
【解析】依题意令 = ，则 g x = =2x 2x 2 e2x ，e e
因为 f x - 2 f x < 0在R 上恒成立，
所以 g x < 0在R 上恒成立，
故 g x 在R 上单调递减，
所以 g -1 > g 0 f -1 f 0 ， -2 = e2 f -1 > 0 =1，故 A 不正确；e e
所以 g 1 < g 0 f 1 f 0 2 2，即 f 1 < e f 0 = e2 < 0 ，即 ，故 B 不正确；e e
1
g 1

又 ÷ < g 0
f
，即 2 ÷è f 0
1
2 1，即
f < e，故 C 错误；
è 1 < 0 = è 2
÷
e e
g 1
1
> g 1 f ÷ f 1 1 因为 2 ÷ ，即 è 2 ，即 f 1 < ef D2 ÷，故 正确；è e1 > e2 è
故选：D.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，且有 f -3 = -12, f -x + f x = 0，
且对任意 x R f x > 3 f ex都有 ，则使得 - 3ex - 3 0成立的 x 的取值范围是 .
【答案】 ln3,+
【解析】由 f -x + f x = 0 知 f x 是奇函数，\ f 3 = - f -3 =12，
设 g x = f x - 3x，则 g 3 = f 3 - 3 3 =12 - 9 = 3, g x = f x - 3 > 0 ，
\ g x x在R 上单调递增，由 f e - 3ex - 3 0得 f ex - 3ex 3，
即 g ex g 3 ，\ex 3，得 x ln3, x的取值范围是 ln3,+ .
故答案为： ln3, +
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 3x - sinx，若 f a + f a2 - 2 > 0，则实数 a的取值范围为 .
【答案】 (- , -2) U (1, + )
【解析】函数 f x = 3x - sinx的定义域为R ，且 f -x = -3x + sinx = - f x ，
所以 f x = 3x - sinx为奇函数，
又 f x = 3- cos x > 0，所以 f x = 3x - sinx在R 上单调递增，
不等式 f a + f a2 - 2 > 0 2，即 f a - 2 > - f a = f -a ，
等价于 a2 - 2 > -a ，解得 a > 1或 a < -2，
所以实数 a的取值范围为 (- , -2) U (1, + ) .
故答案为： (- , -2) U (1, + )
一.单选题
1．（2023春·四川乐山）函数 f x = x - ln x的单调递减区间为（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． 1, + D． - ,0 ， 1, +
【答案】A
f ' x 1 1 x -1= - = x 1 f ' x ＞0, f x '【解析】 ，当 ＞ 时， 单调递增，当0＜x＜1时， f x ＜0, f x 单调递减；
x x
\ f x 的减区间是 0,1 ；故选：A.
a
2．（2023春·吉林长春）若函数 f (x) = 2ln x +1- 在区间 (1, + )上是增函数，则实数 a的取值范围为
x
（ ）
A． (2,+ ) B．[2,+ ) C． (-2,+ ) D．[-2,+ )
【答案】D
【解析】 f (x) = 2ln x +1
a
- ，则 f (x)
2 a 2x + a
= + 2 =x x x x2
由函数 f (x) 2ln x
a 2 a 2x + a
= +1- 在区间 (1, + )上是增函数，可得 f (x) = + 2 = 2 0在区间 (1, + )上恒成立，x x x x
即 a -2x 在区间 (1, + )上恒成立，又由 x (1,+ )，可得-2x (- , -2) ，则 a -2故选：D
3．（2024 广东深圳·期末） f x 是函数 f x 的导函数， y = f x 的图象如图所示，则 y = f x 的图象最有可
能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知：当 x < 0 时， f x > 0，函数 f x 单调递增，
当0 < x < 2时， f x < 0，函数 f x 单调递减，
当 x > 2时， f x > 0，函数 f x 单调递增，只有选项 C 符合，
故选：C
4．2024 广西河池·期末）已知函数 f x = ln x - ax - 2在区间 (1, 2)上不单调，则实数 a 的取值范围为（ ）
é1 ,1ù 1 ,1 A． ê B 2 ú
． ÷
è 2
1 , 1 1 2 C． ÷ D． ,
è 3 2 2 3 ÷ è
【答案】B
1 1- ax
【解析】由 f (x) = - a = .
x x
①当 a 0时，函数 f (x) 单调递增，不合题意；
②当 a > 0时，函数 f (x)
1
的极值点为 x = ，
a
若函数 f (x)
1 1
在区间 (1, 2)不单调，必有1 < < 2，解得 < a <1a ；2
1
综上所述：实数 a 的取值范围为 ,1÷ .
è 2
故选：B.
5．（2024·宁夏·一模）设定义在 R 上的函数 y = f x 满足对"x R 都有 f x + 2 + f x = 0 ，且当 x 0,4 时，
xf x - f x > 0，若 a = 6 f 2022 ，b = 4 f 2023 ， c = 3 f 2024 ，则 a、b、c 的大小关系是（ ）.
A． a > b > c B． a > c > b C． c > b > a D．b > c > a
【答案】C
【解析】由 f x + 2 + f x = 0 f x + 4 + f x + 2 = 0 f x + 4 = f x ，
即T = 4为 y = f x 的一个周期，所以 a = 6 f 2022 = 6 f 2 ,b = 4 f 3 ,c = 3 f 4 ，
f x xf x - f x
令 g x = g x = 2 ，x x
由已知可得 x 0,4 f x时， g x > 0 g x = 单调递增，
x
f 2 f 3 f 4
所以 < < 6 f 2 < 4 f 3 < 3 f 4 ，即 C 正确 .
2 3 4
故选：C
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的奇函数， g x = f x - 2ex + x也是定义在R 上的奇函数，
则关于 x 的不等式 g 1- x2 + g 2x + 2 > 0的解集为（ ）
A． - , -1 3,+ B． - , -3 1,+
C． -1,3 D． -3,1
【答案】A
x
【解析】因为 g x = f x - 2e + x ，故 f x - 2ex + x + f -x - 2e- x - x = 0，
故 f x + f -x = 2ex + 2e- x，
因为 f x 是定义在R 上的奇函数，故 f x + f -x = 0 ，
故 f x - f -x = 0，故 f x = ex + e- x x - x，故 g x = -e + e + x ，
此时 g x = -ex - e- x +1 -2 +1 < 0，故 g x 为R 上的减函数，
2 2
而 g 1- x + g 2x + 2 > 0等价于 g 1- x > g -2x - 2 ，
即1- x2 < -2x - 2 即 x2 - 2x - 3 > 0，故 x < -1或 x > 3
故选：A .
a x -17 ．（2023·全国·模拟预测）已知函数 g x = - ln 2x -1 在 1, + 上单调递减，则实数 a 的取值范围是
2x +1
（ ）
A． - , 4 16ù 16ùB． - , ú C． 4,è 3 è 3 ú D．
- ,6

【答案】B
a x -1 a 2x +1 - 2 ax - a 2
【解析】由 g x = - ln 2x -1 得 g x = 2 -
2x +1 2x +1 2x -1
3a 2x -1 - 2 2x +1 2 -8x2 + 6a -8 x - 3a - 2
= 2 = ， 2x +1 2x -1 2x +1 2 2x -1
因为函数 g x 在 1, + 上单调递减，所以 g x 0在 1, + 上恒成立．
设j x = -8x2 + 6a -8 x - 3a - 2，则j x 0在 1, + 上恒成立，
利用二次函数的图象与性质及数形结合思想，
ì 6a -8
- 1
可得 í 2 -8 或 6a -8 2 - 4 -8 -3a - 2 0，

j 1 = -8 + 6a -8 - 3a - 2 0
a 16 a
16ù
解得 ，所以实数 的取值范围为
3
- ,
è 3 ú
故选：B．
1
8 2 2
1 b-1 c 1
．（2024·四川遂宁·二模）已知 a，b，c 均为正数，且 = 2a - log2 (a +1) ，b = (b - )4 ， c =a 2 ec-1
+ ，则
2c
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．bC． c【答案】A
1
【解析】由 = 2a - log2 (a +1)
2 1
，可得 a - = log2 (a +1) ，a 2a
1 1
由b = (b2 - )4b-1 1-b，可得b - = 4 ，
2 2b
c c 1 1 c由 = c-1 + 可得 c - = c-1 = c ×e
1-c
，
e 2c 2c e
令 f x = x 1 1- ， f x =1+ 2 > 0，故 f x 在 0, + 上单调递增，2x 2x
1
令 g x = log2 x +1 ， g x = > 0 x 1 ln 2 ，故 g x 在 0, + + 上单调递增，
令 h x = 41-x ， h x = -41-x ln 4 < 0，故 h x 在 0, + 上单调递减，
m x = xe1-x 1-x 1-x 1-x令 ，则m x = e - xe = 1- x e ，
则 x 0,1 时，m x > 0， x 1, + ，m x < 0，
故m x 在 0,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
f 1 1 1 1= - = ， g 1 = log2 1+1 =1， h 1 = 41-1 =1，m 1 =1 e1-1 =1，2 2
f 2 = 2 1 7- = ， g 2 = log2 2 +1 = log 3 1,2 h 2 41-2
1
= = m 2 = 2 e1-2 2， ， = ，
4 4 2 4 e
a为函数 f x 与函数 g x 的交点横坐标， b 为函数 f x 与函数 h x 的交点横坐标，
c为函数 f x 与函数m x 的交点横坐标，结合函数图象可得b故选：A.
二．多选题
9．（2023春·河南）函数 f x = ax3 + bx2 + cx + d a,b,c, d R 的图象如图所示，则以下结论正确的有
（ ）
A．b + c > 0 B．bc > 0
C．3a + 2b + c < 0 D． a + b + c > 0
【答案】BC
【解析】由 f x 的图象可知 f x 在 - , -1 和 3, + 上单调递增，在 -1,3 上单调递减，在 x=-1处取得极大
值，在 x = 3处取得极小值，
又 f x = 3ax2 + 2bx + c，所以 x=-1和 x = 3为方程3ax2 + 2bx + c = 0的两根且 a > 0；
1 3 2b c所以- + = - ，-1 3 = ，
3a 3a
所以b = -3a < 0， c = -9a < 0，b + c < 0，bc > 0，故 A错误，B正确；
所以3a + 2b + c = 3a - 6a - 9a < 0， a + b + c = a + -3a + -9a = -11a < 0 ，故 C正确，D错误.
故选：BC
ex 1 1
10．（2024春重庆）=已知函数 f x = ax + + aln 在 x , 22 ÷ 上有三个单调区间，则实数 a的取值可以是x x è
（ ）
2
A．-e e 7B．-2 e C．- D．-
2 2
【答案】BD
1
【解析】由题意可知函数在 x , 2

÷ 上有三个单调区间，等价 f x = 0在 x
1
, 2

2 ÷ 有两个不同的根.è è 2
x -1 ax + ex
f x = ，令 f x = 0，则 x1 =1，
x2
1 x
即 ax + ex = 0在 x , 22 ÷ 有唯不为 1的一根，则有 a
e
= - 有唯一不为 1的根，
è x
x x
令 g e 1x = - ，则 g x x -1 e= - ，故当1 > x > , g x > 0, g x2 单调递增，x x 2
2
当 2 > x >1, g x < 0, g x e 1 单调递减，且 g 1 =- e, g 2 =- , g ÷=- 2 e, 2 è 2

a e
2 ù
即 - , -2 e2 ú
，故选：BD
è
11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在R 上的奇函数 f x 连续，函数 f x 的导函数为 f x ．当 x > 0时，
f x cosx > f x sinx + e × f x ，其中 e为自然对数的底数，则（ ）
A． f x 在R 上为减函数 B．当 x > 0时， f x < 0
π 3π
C． f 2 ÷
> f ÷ D． f x 在R 上有且只有 1 个零点
è è 2
【答案】BCD
【解析】由 f x cosx > f x sinx + e × f x ，可得 f x cosx - e - f x sinx > 0．
令 g x = f x cosx - e ，
则当 x > 0时， g x = f x cosx - e - f x sinx > 0 ，所以 g x 在 0, + 上单调递增，
g π g 3π f π< cos π - e < f 3π 所以 ÷ ÷ ，即 ÷ ÷ ÷ cos
3π
- e
2 2 ÷
，
è è è 2 è 2 è 2 è 2
f π 3π π 3π 可得 ÷ -e < f ÷ -e ，所以 f ÷ > f ÷ ，所以 C 正确；
è 2 è 2 è 2 è 2
因为 g 0 = f 0 1- e = 0，所以当 x > 0时， g x > g 0 = 0，
又因为cosx - e < 0，所以当 x > 0时， f x < 0 ，所以 B 正确；
由 f x 是定义在R 上的奇函数，故当 x < 0 时， f x = - f -x > 0，
又因为 f 0 = 0，所以 f x 在R 上有且只有 1 个零点，所以 D 正确．
因为 f x 的单调性无法判断，所以 A 错误．
故选：BCD.
三．填空题
12．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在R 上的可导函数 f x 满足 f x < 3，若 f 2m - f m -1 3m + 3，则m
的取值范围为 ．
【答案】 - , -1
【解析】令 g x = f x - 3x ，则 g x = f x - 3 < 0，所以函数 g x 在R 上是减函数，
由 f 2m - f m -1 3m + 3，得 f 2m - 3 2m f m -1 - 3 m -1 ，即 g 2m g m -1 ，
所以 2m m -1，解得m -1，所以m 的取值范围为 - , -1 .答案为： - , -1 .
1
13．（23-24 x 2高三上·河南·阶段练习）已知函数 f x = x - 3 e + x - 2x +1在区间 2m - 2,3 + m 上不单调，则 m
2
的取值范围是 ．
【答案】 -1,2
【解析】由题意知 f x = x - 3 ex + ex + x - 2 = ex +1 x - 2 ，
因为 f x 在区间 2m - 2,3 + m 上不单调，
即 y = f (x)在区间 2m - 2,3 + m 有零点，
又 ex +1 > 0，即为 y = x - 2的零点 x = 2在区间 2m - 2,3 + m 内，
ì2m - 2 < 2,
所以 í 解得-1 < m < 2，即 m 的取值范围是 -1,2
3+ m 2,
．>
故答案为： -1,2

14．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数 f (x) = x2 + 2cos x ， x R ，若 f log1a ÷ + f log3a 2 f 1 ，
è 3
则实数 a的取值范围为______．
é1
【答案】 ê ,3
ù
3 ú
【解析】由 f (-x) = (-x)2 + 2cos(-x) = x2 + 2cos x = f (x)，
\函数 f x 是定义在R 上的偶函数，又 f (x) = 2(x - sin x)，
令 y = x - sin x且 x (0, + )，则 y = 1- cos x 0 ，故 y 在 (0, + )上递增，
所以 y > 0，即 x - sin x > 0在 (0, + )上恒成立，所以 f (x) > 0 在 (0, + )上恒成立，
所以 f (x) 在 (0, + )上递增，则 (- ,0)上递减，

f log1a ÷ + f log3a 2 f 1 ，则 f -log3a + f log3a 2 f 1 ，
è 3
\2 f log3a 2 f 1 ，即 f log3a f 1 ，即 f log3a f 1 ，
Q f x 在 (0, + )上单调递增，\ log3a 1，即-1 log
1
3a 1
1
，解得 a 3
é ,3ù．故答案为：
3 ê ú
．
3
四．解答题
1 3 a - 2 2 115 2024 3．（ 福建）已知函数 f x = x + x - 2ax - 3, g a = a + 5a - 7 .
3 2 6
（1） a =1时，求函数 f x 的单调递增区间；
（2）若函数 f x 在区间 -2,0 上不单调，且 x -2,0 时，不等式 f x < g a 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） (- , -1), (2, + ) ；（2） 1,2 .
1 3 1 2
【解析】（1）当 a =1时， f x = x - x - 2x - 3，定义域为 R，
3 2
\ f x = x2 - x - 2 = x - 2 x +1 ，
令 f′ x > 0，得 x < -1，或 x > 2，
\函数 f x 的单调递增区间是 (- , -1), (2, + ) ；
2 f x = x2（ ） + a - 2 x - 2a = x + a x - 2 ，
令 f x = 0，得 x = 2，或 x = -a，
∵函数 f x 在区间 -2,0 上不单调，
\-a -2,0 ，即0 < a < 2 ，
又∵在 -2, -a 上， f′ x > 0，在 -a,0 上， f′ x < 0，
\ f x 在 -2,0 上的最大值为 f -a ，
∴当 x -2,0 时，不等式 f x < g a 恒成立，等价于 f -a < g a ，
1 a3 a - 2\- + a2 + 2a2 - 3 < g(a) ，
3 2
1 1
\ a3 + a2 - 3 < a3 + 5a - 7 ，
6 6
\a2 - 5a + 4 < 0 ，解得1 < a < 4，
综上所述，a 的取值范围是 1,2 .
1
16．（2024· 2山东青岛·一模）已知函数 f (x) = x - ax + ln x ．
2
(1)若 a =1，曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线斜率为 1，求该切线的方程；
(2)讨论 f (x) 的单调性．
3
【答案】(1) y = x -
2
(2)答案见解析
2
【解析】（1）当 a =1 f (x) x - x +1时， = ， f (x
x 0
) =1解得 x0 = 1
1 3
又因为 f (1) = -
1
，所以切线方程为： y + = x -12 ，即
y = x -
2 2
2
（2） f (x) 的定义域为 (0, + ) f (x) x - ax +1， =
x
当 a 0时，得 f (x) > 0 恒成立， f (x)(在 0, + 单调递增
当 a > 0时，令 g(x) = x2 - ax +1，D = a2 - 4
（i）当D 0即0 < a 2 时，
f (x) 0恒成立， f (x) 在 (0, + )单调递增

x a - a
2 - 4 a + a2 - 4
- ÷÷ x -（ii）当D > 0即 a > 2
÷
时， 2 2 ÷
f x = è è
x
2 2
由 f (x) > 0 0 a - a - 4 a + a - 4得， < x < 或 x > ，
2 2
2 2
f (x) < 0 a - a - 4 a + a - 4由 得， < x <
2 2
a - a2 - 4 a + a2 - 4
所以 f (x) 在 0, ÷， ,+ ÷2 ÷ ÷单调递增，è è 2
a - a2 - 4 , a + a
2 - 4
在 ÷2 2 ÷单调递减è
综上：当 a 2时， f x 在 (0, + )单调递增；
2
f x a - a - 4 a + a
2 - 4
当 a > 2时， 在 0, ÷ ,+ ÷2 ÷， ÷单调递增；è è 2
2
f x a - a - 4 a + a
2 - 4
在 , ÷÷2 2 单调递减è
2 a
17．（23-24 高三下·河北保定·开学考试）已知 f x = x -1 ex - x3 + ax x > 0 a R .
3
(1)当 a = -1时，求 f x 的零点个数；
(2)讨论 f x 的单调性.
【答案】(1)2 个零点
(2)答案见详解
【解析】（1） f x = 2 x -1 ex + ex x -1 2 - ax2 + a = ex x +1 x -1 - a x2 -1 = ex - a x +1 x -1 ，
a = -1 f x = x -1 2 ex 1 3 x当 时， + x - x x > 0 f x = e x2 -1 - x2 -1 = ex +1 x +1 x -1 ，令 f x = 0得
3
x =1，
当 x 0,1 ， f x < 0， f x 单调递减；
当 x 1, + ， f x > 0， f x 单调递增；
f 1 1= -1 2= - ，若 x = 0能取到，则 f 0 =1， f 2 = 2 -1 2 e2 1+ ×8 - 2 > 0，
3 3 3
由零点存在定理可知， f x 在 0,1 和 1,2 各有一个零点，所以 f x 的零点个数为 2；
（2）因为 f x = ex - a x +1 x -1 x > 0 ，
当 a 0时， ex - a > 0, x +1 > 0 ，故 f x 的正负由 x -1的正负决定，
x 0,1 时， f x < 0， f x 单调递减，
x 1, + ， f x > 0， f x 单调递增；
当 a > 0时，令 f x = ex - a x +1 x -1 x > 0 ，令 f x = 0得 x1 = ln a, x2 =1，
若 ln a 0， a 0,1 时，
x 0,1 ， f x < 0， f x 单调递减，
x 1, + ， f x > 0， f x 单调递增；
若 ln a > 0， a 1, + 时，
当 ln a =1时， a = e时， f x 在 0, + 单调递增；
当 ln a <1时， a 1,e 时， x 0, ln a , 1,+ 时， f x > 0， f x 单调递增，
x ln a,1 时， f x < 0， f x 单调递减；
当 ln a > 1时，a > e 时， x 0,1 , ln a,+ 时， f x > 0， f x 单调递增，
x 1, ln a 时， f x < 0， f x 单调递减.
综上所述，当 a - ,1 时， x 0,1 时， f x 单调递减，
x 1, + ， f x 单调递增；
当 ln a =1时， a = e时， f x 在 0, + 单调递增；
当 a 1,e 时， x 0, ln a , 1,+ 时， f x 单调递增，
x ln a,1 时， f x 单调递减；
当a > e 时， x 0,1 , ln a,+ 时， f x 单调递增，
x 1, ln a 时， f x 单调递减.
18．（2023· x全国·高考真题）已知函数 f x = a e + a - x．
(1)讨论 f x 的单调性；
3
(2)证明：当 a > 0时， f x > 2lna + ．
2
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1 x x）因为 f (x) = a e + a - x，定义域为R ，所以 f x = ae -1，
当 a 0 x时，由于 ex > 0，则 ae x 0 ，故 f x = ae -1 < 0恒成立，
所以 f x 在R 上单调递减；
x
当 a > 0时，令 f x = ae -1 = 0，解得 x = - ln a ，
当 x < - ln a 时， f x < 0，则 f x 在 - , - ln a 上单调递减；
当 x > - ln a 时， f x > 0，则 f x 在 - ln a, + 上单调递增；
综上：当 a 0时， f x 在R 上单调递减；
当 a > 0时， f x 在 - , - ln a 上单调递减， f x 在 - ln a, + 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， f x = f - ln a = a e- ln a + a + ln a =1+ a2 + ln amin ，
要证 f (x) > 2ln a
3
+ ，即证1+ a2 + ln a > 2ln a
3
+ a2 1，即证 - - ln a > 0恒成立，
2 2 2
g a a2 1= - - ln a a > 0 1 2a
2 -1
令 ，则 g a = 2a - = ，2 a a
令 g a < 0 ，则0 2< a < ；令 g a > 0 2，则 a > ；
2 2

所以 g a 在 0,
2 2
2 ÷÷
上单调递减，在 ,+ ÷÷上单调递增，
è è 2
2

所以 g a 2 2 1 2= gmin =2 ÷÷ ÷÷ - - ln = ln 2 > 0，则
g a > 0恒成立，
è è 2 2 2
3
所以当 a > 0时， f (x) > 2ln a + 恒成立，证毕.
2
方法二：
令 h x = ex - x -1，则 h x = ex -1，
由于 y = ex 在R x上单调递增，所以 h x = e -1在R 上单调递增，
又 h 0 = e0 -1 = 0，
所以当 x < 0 时， h x < 0；当 x > 0时， h x > 0；
所以 h x 在 - ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增，
故 h x h 0 = 0，则 ex x +1，当且仅当 x = 0时，等号成立，
f (x) = a ex + a - x = aex + a2 - x = ex+ln a 2 2因为 + a - x x + ln a +1+ a - x，
当且仅当 x + ln a = 0，即 x = - ln a 时，等号成立，
3
所以要证 f (x) > 2ln a + ，即证 x + ln a +1+ a2 - x > 2ln a
3
+ ，即证 a2
1
- - ln a > 0，
2 2 2
2
令 g a 1= a2 - - ln a a > 0 1 2a -1，则 g a = 2a - = ，2 a a
令 g a < 0 ，则0 < a 2< ；令 g a > 0 2，则 a > ；
2 2

所以 g a 在 0,
2 2
÷÷ 上单调递减，在2
,+
2 ÷÷上单调递增，è è
2
2
所以 g a g 2 1 2= ÷÷ = ÷÷ - - ln = ln 2 > 0 g a > 0min ，则 恒成立，
è 2 è 2 2 2
a 0 f (x) 2 ln a 3所以当 > 时， > + 恒成立，证毕.
2
19．对下面函数的单调性进行分类讨论
1 3- a 1
（1）（2024·广西）已知函数 f (x) = x3 + x2 - 3ax + 2(x - a ln x) - a ，讨论 f (x) 的单调性；
3 2 3
【答案】答案见解析
a 2 x - a【解析】 f x = x2 + 3 - a x - 3a + 2 1-

÷ = x
2
+ 3 x - a + = x - a x + + 3

÷，è x x è x
2
由函数 f x 的定义域为 0, + ，有 x + + 3 > 0 ，
x
①当 a 0时， f x > 0，此时函数 f x 单调递增；
②当 a > 0时，令 f x > 0可得 x > a，f x < 0 0 < x < a ，
可得函数 f x 的增区间为 a,+ ，减区间为 0,a ；
（2）．（2024· 3 2安徽）已知函数 f x = 2x + 3 1+ m x + 6mx x R ，讨论函数 f x 的单调性；
【答案】见解析
【解析】 f x = 6x2 + 6 1+ m x + 6m = 6 é 2 x + 1+ m x + mù = 6(x +1)(x + m)
若m =1时， f (x) 0， f (x) 在R 上单调递增；
若m >1时，-m < -1，当 x < -m或 x > -1时， f (x) > 0， f (x) 为增函数，
当-m < x < -1时， f (x) < 0， f (x) 为减函数，
若m <1时，-m > -1，当 x < -1或 x > -m 时， f (x) > 0， f (x) 为增函数，
当-1 < x < -m时， f (x) < 0， f (x) 为减函数.
综上，m =1时， f (x) 在R 上单调递增；
当m >1时， f (x) 在 (- ,-m)和 (-1, + )上单调递增，在 (-m, -1) 上单调递减；
当m <1时， f (x) 在 (- , -1)和 (-m,+ ) 上单调递增，在 (-1, -m) 上单调递减.
（3）（2024 福建）已知函数 f x = lnx + ax2 + 2a +1 x ，讨论 f（x）的单调性；
【答案】答案见解析
1 2ax +1 x +1
【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞）， f ' x = + 2ax + 2a +1 = ；
x x
当 a 0时， 2ax +1 > 0，x +1 > 0 ，∴ f ' x > 0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 a < 0 '时，令 f (x)= 0 1，解得： x = -
2a
1
∴ '
1 '
当 x 0, - ÷时， f x > 0；当 x - , + ÷ 时， f x < 0；
è 2a è 2a
1 1
∴f（x）在（0，- ）上单调递增，在 - , +

÷上单调递减；2a è 2a
综上所述：当 a 0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
(0 1
1
当 a < 0时，f（x）在 ，- )上单调递增，在 - , +

÷上单调递减.2a è 2a
（4）（2024·福建 ）设函数 f x = x3 + ax2 - a2 x - 2 ， a R ，讨论函数 f x 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由 f x = x3 + ax2 - a2 x - 2 f x = 3x2 2，得 + 2ax - a = 3x - a x + a ，
令 f x = 0 a，解得 x = 或 x = -a，
3
a x , a a当 a > 0时， > -a， - - a 3 和 , + ÷ 时， f x > 0， f x 单调递增， x -a, ÷时， f x < 0， f x3 è 3 è
单调递减；
当 a = 0时， f x 0恒成立， f x 在R 上单调递增；
a a a
当 a < 0时， < -a x 3 ，
- , ÷ 和 -a, + 时， f x > 0， f x 单调递增，当 x , -a ÷时， f x < 0，
è 3 è 3
f x 单调递减；
综上所述：
当 a > 0时， f x a a的单调递增区间为 - , -a ,+ f x 和 ÷ ， 的单调递减区间为 -a, ；
è 3 ÷ è 3
当 a = 0时， f x 在R 上单调递增，无减区间；
当 a < 0时， f x a a 的单调递增区间为 - , ÷和 -a, + ， f x 的单调递减区间为 ,-a ÷；
è 3 è 3
（5）（2024湖北）已知函数 f x = ln x +1 + ax2 ， a > 0，讨论函数 f x 的单调性；
【答案】见解析
1 2
【解析】 f ' x = + 2ax 2ax + 2ax +1= ， x > -1，
x +1 x +1
令 g x = 2ax2 + 2ax +1，D = 4a2 -8a = 4a a - 2 ，
若D < 0，即0 < a < 2 ，则 g x > 0，
当 x -1, + 时， f ' x > 0， f x 单调递增，
若D = 0，即 a = 2，则 g x 0 ，仅当 x 1= - 时，等号成立，
2
当 x -1, + 时， f ' x 0 ， f x 单调递增.
D > 0 a > 2 g x -a - a a - 2 -a + a a - 2 若 ，即 ，则 有两个零点 x1 = ， x = ，2a 2 2a
由 g -1 = g 0 =1 > 0 g 1 1， - ÷ < 0得-1 < x < - < x < 0 ，
è 2 1 2 2
当 x -1, x1 时， g x > 0， f ' x > 0， f x 单调递增；
当 x x1, x2 时， g x < 0 ， f ' x < 0 ， f x 单调递减；
当 x x2 , + 时， g x > 0， f ' x > 0， f x 单调递增.
综上所述，
当0 < a 2 时， f x 在 -1, + 上单调递增；
-a - a a - 2 -a + a a - 2
当 a > 2时， f x 在 -1, ÷和 ,+ ÷上单调递增，
2a ÷ ÷è è 2a
-a - a a - 2 -a + a a - 2
在 , ÷ 上单调递减.
÷
è 2a 2a 3.2 利用导数研究函数的单调性
考点一 函数与导函数图像的关系
【例 1】（2024 内蒙古包头） y = f x 的图象如图所示，则 y = f x 的图象最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024 云南）设 f x 是函数 f x 的导函数， y = f x 的图象如图所示，则 f x 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图是函数 y = f x 的导函数 y = f x 的图象，若 f 2 = 0 ，则 y = f x 的图
象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知函数 y = xf x 的图象如图所示（其中 f x 是函数 f x 的导函数），下面四个
图象中可能是 y = f x 图象的是（ ）
A． B． C． D．
考点二 无参函数单调区间
【例 2】（2024 x广东东莞）（1）函数 f x = xe 的单调递增区间是（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． - , -1 D． -1, +
3
（2）（2024 重庆·阶段练习）函数 f x = 4lnx + - x的单调递增区间为（ ）
x
A．( 0, 1) B． (2,3) C． (1,3) D． (3, + )
（3）（2024 北京）已知函数 f x = ln x - 2 + ln 4 - x ，则 f x 的单调递增区间为（ ）
A． 2,3 B． 3,4 C． - ,3 D． 3, +
【一隅三反】
1．（2024 x广东东莞）函数 f x = e - x - 2 的单调减区间为（ ）
A． - ,0 B． - ,1 C． 0, + D． 1, +
2．（2024 重庆长寿）函数 f x = x 6- - 5ln x的单调递减区间为（ ）
x
A．（0，2） B．（2，3）
C．（1，3） D．（3，+∞）
3．（2024· 2浙江·模拟预测）函数 f x = ln 2x -1 - x + x的单调递增区间是（ ）
A． 0,1 1B． ,1 2 ÷è
1- 2 1+ 2 1 1+ 2
C． ,2 2 ÷÷
D． ,2 2 ÷÷è è
考点三 某区间上单调求参
【例 3-1】（2024 江西南昌）已知函数 f (x) = 2x3 - 6x2 -18x +1在区间 (m, m2 - 2m) 上单调递减，则实数 m 的取值
范围是（ ）
A． (-3,0) B．[-1,0) C． (3,5) D． (5,7)
1
【例 3-2】（2024 江苏南京）已知函数 f x = x3 - x2 + ax +1在区间 0,2 上单调递增，则实数 a 的最小值为
3
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
x
【例 3-3】（2024 海南海口）已知函数 f x = 2 - x e - ax 在 0,5 上为减函数，则 a的取值范围是（ ）
A． - ,5e B． 5e, + C． 1, + D． 1, +
π π
【例 3-4】（2024 浙江）已知函数 f (x) = sin x + acos x
, 在区间 4 2 ÷ 上是减函数，则实数
a的取值范围为（ ）
è
A． a > 2 -1 B．a 1 C． a >1- 2 D． a -1
【一隅三反】
1 1
1．（2024·广东茂名·一模）（多选）若 f x = - x3 + x2 + 2x +1是区间 m -1,m + 4 上的单调函数，则实数m 的
3 2
值可以是（ ）
A．-4 B．-3 C．3 D．4
2．（2024 福建南平）已知函数 f x = lnx - ax 在区间 1,3 上单调递减，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1
A．a 1 B． a > 1 C． a D． a >
3 3
1
3．（2023 高三·全国·

专题练习）已知函数 f x = ln x + x2 + ax的单调递减区间为 ,12 ÷，则（ ）.è
A． a - ,-3 B． a = -3
C． a = 3 D． a - ,3
4．（2024 安徽宿州）已知函数 f x π π= ln x - asin x é在区间 ê ,
ù
ú上单调递增，则实数 a的取值范围是（6 4 ）

, 2 3
ù 4 3 ù
A． - ú B． - ,
è π
π ú è
4 2 ù é 2 3
C． - , ú D． ê ,+ π π ÷÷è
考点四 某区间存在单调求参
1
【例 4-1 2024 · h x = lnx - ax2】（ 福建泉州 阶段练习）若函数 - 2x在[1, 4]上存在单调递增区间，则实数 a的取
2
值范围为（ ）
-1, + -1, + 7- , - ù 7A． B． C． D． - , - ÷
è 16 ú è 16
a - cosx
【例 4-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间 (0, π) 上，函数 y = 存在单调递增区间，则实数 a的取值
x
范围是（ ）
A． (- ,1) B． (
π
- , ]
2
C． (- ,
π) D． (- ,1]
2
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数 f (x) = (x2 + ax)ex 在 1,2 上存在单调递减区间，则 a的取值范围是
（ ）
( 8 , 3A． - - ) B． (-6,-4)
3 2
C． (- ,
8 3
- ) D． (- , - )
3 2
2．（2024 重庆江北·期中）若函数 f x = x + alnx 在区间 1,2 内存在单调递减区间，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． (- , -1) B． (- ,-1]
C． (- , -2) D． (- , -2]
3．（2024 江西萍乡）已知函数 f x = ln x - x - a 2 a R 在区间 1, + 上存在单调递增区间，则实数 a的取值
范围是（ ）
é1 ,+ 1 A． ê B2 ÷ ．
,+
2 ÷ è
C． 1, + D． 1, +
4．（2024 江苏常州）若函数 f x 1= x3 - ax2 + x 存在单调递减区间，则实数 a的取值范围为是 .
3
考点五 某区间上不单调求参
【例 5-1】（23-24 高三上·福建三明· f x = ax2期中）已知函数 - 4ax - ln x ，则 f x 在 1,3 上不单调的一个充分
不必要条件是（ ）
A． a
, 1 a 1 , 1 1 1 - ÷ B． +

÷ C． a - , +

÷ D． a - ,6 6 ÷è è è 2 è 2 6
【例 5-2】（2024 江苏苏州·期末）（多选）若函数 f x = 2x2 - alnx +1在区间 a - 3,a 上不单调，则实数 a的值可
能是（ ）
A．2 B．3 C． 2 3 D．4
【一隅三反】
1 2024 f x = ax2．（ 四川绵阳）已知函数 - 4ax - ln x ，则 f x 在 1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
a 1 1A． - , ÷ B． a - , +

è 6 2 ÷ è
1 1 1
C． a ,+ ÷ D． a - ,
è 2 è 2 6 ÷
2．（2024 x山东德州）若函数 f x = e - a -1 x +1在(0，1)上不单调，则 a的取值范围是（ ）
A． 2,e +1 B． 2,e +1
C． - , 2 e +1, + D． - , 2 e +1, +
1
3 2024 g x = x3 a- x2．（ 北京）已知函数 + 2x +1．若 g x 在 -2, -1 内不单调，则实数 a 的取值范围
3 2
是 ．
考点六 含参函数的单调性分类讨论
【例 6-1】（2024·福建漳州·一模）已知函数 f x = a ln x - x + a ， a R 且 a 0．
(1)证明：曲线 y = f x 在点 1, f 1 处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数 f x 的单调性．
【例 6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x)
1
= x2 + (a - 2)lnx - (a -1)x，讨论 f (x) 的单调性.
2
【例 6-3】（2024 高三·全国· 2专题练习）已知 f x = x + mx + 2 ex m R ，讨论 f x 的单调性.
【一隅三反】
1．（2024 浙江杭州·期末）已知函数 f (x) = 2x3 - ax2 .
(1)讨论 f (x) 的单调性；
(2)已知 a =1时，直线 l : y = kx为曲线 f (x) = 2x3 - ax2 的切线，求实数 k 的值．
2 2024 f x = ex éx2．（ 安徽）已知函数 - 2a +1 x +1ù .
1
(1)若 a = ，求曲线 y = f x 在点 0, f 0 处的切线；
2
(2)讨论 f x 的单调性；
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) = ln(x +1) - ax2 - x ． a R ，讨论函数 f (x)的单调区间；
ex
4．（2024 湖南）已知 f x = - a lnx 1+ ÷，讨论函数 f (x) 的单调性.x è x
2
5．（2024 广东湛江）设函数 f x = 2x - - alnx（ a R ），讨论 f x 的单调性.
x
考点七 单调性的应用之比较大小
e +1 ln 5
【例 6-1】（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c = +1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > b > c D．b > c > a
【一隅三反】
1 3ln2 2ln3
1．（2024·全国·模拟预测）若a =
e2
,b = ,c = ，则（ ）
64 81
A． a < c < b B． a < b < c C． c < a < b D． c < b < a
1 1
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 f (x) = 2x + 2- x + cos x + x2，若 a = f 2 ，b = f (-ee )， c = f (π π )，则
（ ）
A． c < b < a B． a < c < b
C． c2 - ln 2 1 ln 2
3．（2024·全国·模拟预测）若 a = a c
e2
，b = ， c = ，则 ，b ， 的大小顺序为（
2e ）4
A． a < c < b B． c < a < b C． a < b < c D．b < a < c
考点八 单调性的应用之解不等式
【例 8-1】（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) = 3x - 2x -1，则不等式 f (x) < 0的解集是（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． - ,0 D． - ,0 1, +
【例 8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数 f (x)
1
= x2 - 2x + ln x .若 f (a +1) f (2a -1) ，则 a的取值范围是
2
（ ）
A． (
1
- ,-1] (-1,2] [2,+ ) , 2ùB． C． D．
è 2 ú
【例 8-3】（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 f x 的定义域为R, f x 为 f x 的导函数.若 f 1 = e，且
f x + ex < f x 在R 上恒成立，则不等式 f x < 2 - x ex的解集为（ ）
A． - , 2 B． 2, +
C． - ,1 D． 1, +
【一隅三反】
1．（2024· x贵州贵阳·一模）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且 f x + e 也是偶函数，若 f a > f 2a -1 ，则
实数 a的取值范围是（ ）
1 1A． - ,1 B． 1, + C． ,1

÷ D． - ,

3 3 ÷
1,+
è è
2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，对任意 x R ，有 f x - f x > 0，则“ x < 2 ”是
“ ex f x +1 > e4 f 2x - 3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
3．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为R 的函数 f x ，其导函数为 f x ，且满足 f x - 2 f x < 0， f 0 =1，
则（ ）
A． e2 f -1 <1 B 2． f 1 > e
f 1 e f 1 ef 1> < C． ÷ D．2 ÷è è 2
4．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，且有 f -3 = -12, f -x + f x = 0，
且对任意 x R 都有 f x > 3 f ex - 3ex，则使得 - 3 0成立的 x 的取值范围是 .
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x = 3x - sinx，若 f a + f a2 - 2 > 0，则实数 a的取值范围为 .
一.单选题
1．（2023春·四川乐山）函数 f x = x - ln x的单调递减区间为（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． 1, + D． - ,0 ， 1, +
a
2．（2023春·吉林长春）若函数 f (x) = 2ln x +1- 在区间 (1, + )上是增函数，则实数 a 的取值范围为
x
（ ）
A． (2,+ ) B．[2,+ ) C． (-2,+ ) D．[-2,+ )
3．（2024 广东深圳·期末） f x 是函数 f x 的导函数， y = f x 的图象如图所示，则 y = f x 的图象最有可
能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
4．2024 广西河池·期末）已知函数 f x = ln x - ax - 2在区间 (1, 2)上不单调，则实数 a 的取值范围为（ ）
é1 ,1ù 1 A． ê B2 ú ．
,1÷
è 2
1
C． ,
1 1 2
÷ D．3 2
, ÷
è è 2 3
5．（2024·宁夏·一模）设定义在 R 上的函数 y = f x 满足对"x R 都有 f x + 2 + f x = 0 ，且当 x 0,4 时，
xf x - f x > 0，若 a = 6 f 2022 ，b = 4 f 2023 ， c = 3 f 2024 ，则 a、b、c 的大小关系是（ ）.
A． a > b > c B． a > c > b C． c > b > a D．b > c > a
6．（2024·辽宁· x模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的奇函数， g x = f x - 2e + x也是定义在R 上的奇函数，
2
则关于 x 的不等式 g 1- x + g 2x + 2 > 0的解集为（ ）
A． - , -1 3,+ B． - , -3 1,+
C． -1,3 D． -3,1
a x -17．（2023·全国·模拟预测）已知函数 g x = - ln 2x -1 在 1, + 上单调递减，则实数 a 的取值范围是
2x +1
（ ）
, 4 ,16ù 4,16ùA． - B． - ú C． D． - ,6 è 3 è 3 ú
1 1
8．（2024·四川遂宁·二模）已知 a，b，c 均为正数，且 = 2a - log2 (a +1)
2 b = (b2， - )4b-1 c
c 1
， = + ，则
a 2 ec-1 2c
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．bC． c二．多选题
3 2
9．（2023春·河南）函数 f x = ax + bx + cx + d a,b,c, d R 的图象如图所示，则以下结论正确的有
（ ）
A．b + c > 0 B．bc > 0
C．3a + 2b + c < 0 D． a + b + c > 0
x 1
10．（2024春重庆）=已知函数 f x = ax e aln 1+ + 在 x
x x
, 2
2 ÷ 上有三个单调区间，则实数
a的取值可以是
è
（ ）
-e e
2 7
A． B．-2 e C．- D．-
2 2
11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在R 上的奇函数 f x 连续，函数 f x 的导函数为 f x ．当 x > 0时，
f x cosx > f x sinx + e × f x ，其中 e为自然对数的底数，则（ ）
A． f x 在R 上为减函数 B．当 x > 0时， f x < 0
π
C． f ÷ > f
3π
÷ D． f x 在R 上有且只有 1 个零点
è 2 è 2
三．填空题
12．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在R 上的可导函数 f x 满足 f x < 3，若 f 2m - f m -1 3m + 3，则m
的取值范围为 ．
1
13．（23-24 x 2高三上·河南·阶段练习）已知函数 f x = x - 3 e + x - 2x +1在区间 2m - 2,3 + m 上不单调，则 m
2
的取值范围是 ．

14．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数 f (x) = x2 + 2cos x ， x R ，若 f log1a ÷ + f log3a 2 f 1 ，
è 3
则实数 a的取值范围为______．
四．解答题
1 a - 2
15．（2024 3 2福建）已知函数 f x = x + x - 2ax 3, g a 1- = a3 + 5a - 7 .
3 2 6
（1） a =1时，求函数 f x 的单调递增区间；
（2）若函数 f x 在区间 -2,0 上不单调，且 x -2,0 时，不等式 f x < g a 恒成立，求实数 a 的取值范围.
16．（2024·山东青岛·一模）已知函数 f (x)
1
= x2 - ax + ln x ．
2
(1)若 a =1，曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线斜率为 1，求该切线的方程；
(2)讨论 f (x) 的单调性．
2 a
17．（23-24 x 3高三下·河北保定·开学考试）已知 f x = x -1 e - x + ax x > 0 a R .
3
(1)当 a = -1时，求 f x 的零点个数；
(2)讨论 f x 的单调性.
18．（2023· x全国·高考真题）已知函数 f x = a e + a - x．
(1)讨论 f x 的单调性；
3
(2)证明：当 a > 0时， f x > 2lna + ．
2
19．对下面函数的单调性进行分类讨论
1 3- a
（1）（2024·广西）已知函数 f (x) = x3 + x2 - 3ax
1
+ 2(x - a ln x) - a ，讨论 f (x) 的单调性；
3 2 3
（2）．（2024· 3安徽）已知函数 f x = 2x + 3 1+ m x2 + 6mx x R ，讨论函数 f x 的单调性；
（3）（2024 福建）已知函数 f x = lnx + ax2 + 2a +1 x ，讨论 f（x）的单调性；
（4）（2024·福建 ）设函数 f x = x3 + ax2 - a2 x - 2 ， a R ，讨论函数 f x 的单调性；
（5）（2024湖北）已知函数 f x = ln x +1 + ax2 ， a > 0，讨论函数 f x 的单调性；

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