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4.2 诱导公式与恒等变换
考点一 诱导公式化简
cos π +a
=
cos π +a

P(-1,3) 2 ÷
- cosa
【例 1-1】（2024 浙江·期中）已知角a 的终边经过点 ，则 è （ ）
1 1 1
A 1． B．-2 C． D．-2 4 4
【答案】B
cos π +a -cosa cosa
= =
【解析】利用诱导公式化简： cos π +a - cosa -sina - cosa sina + cosa ÷
è 2
已知角a 的终边经过点 (-1,3)，可得 cosa 0，且 tana = -3 .分子分母同时除以 cosa ：
cosa 1 1
= = - .故选：B
sina + cosa tana +1 2
tan(π +a )cos(2π -a )sin( π +a )
【例 1-2】（2024 辽宁沈阳·阶段练习）已知 f (a ) = 2
cos(π -a )tan(-a )
(1)化简 f (a )
(2)若a (0, 2π)，且 f (a ) 3= - ，求a 的值.
2
(3)若a 是第三象限角，且 sin(π +a )
1
= ，求 f (π -a ) 的值.
5
【答案】(1) f (a ) = cosa ；
a 5π= 7π(2) 或a = ；
6 6
(3) 2 6 .
5
f (a ) tana cosa cosa【解析】（1）依题意， = = cosa
-cosa (- tan .a )
（2）由（1 3）知， cosa = - ，而a (0, 2π)
5π 7π
，所以a = 或a = .
2 6 6
（3）由 sin(π a )
1
+ = ，得 sina
1
= - ，
5 5
a cosa 1 sin2 a 2 6由 是第三象限角，得 = - - = - ，
5
所以 f (π -a ) = cos(π -a ) 2 6= -cosa = .
5
【一隅三反】
1．（2024 云南·阶段练习）已知角a 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 3, y ，且
tana 4= - ．
3
(1)求 sin a+cos a 的值；
sin π -a + 2cos π +a
(2)求 sin 3 π -a ÷ - cos
3 π +a 的值．
è 2 è 2 ÷
1
【答案】(1) -
5
(2) -10
y 4
【解析】（1）Q tana = = - ，\ y = -4，
3 3
4 cosa 3\sina = - ， = ，则 sina + cosa
1
= -
5 ．5 5
4 2 10sina - 2cosa tana - 2 - - -3 3
（2）原式= = = 4 = 1 = -10．-cosa - sina -1- tana -1+
3 3
3（2024 四川成都·期中）已知 tana = 3．
3cos π +a + cos π +a
(1) 求 è 2 ÷ 的值．
sin 3π -a - cos -a
(2)求3sin2 a - cos2 a 的值；
【答案】(1) -3
13
(2)
5
-3cosa - sina 3 + tana 3 + 3
【解析】（1）原式= = = = -3；
sina - cosa 1- tana 1- 3
3sin2 a - cos2 a 3tan2 a -1 3 322 -1 13（ ）原式= 2 = = = ．sin a + cos2 a tan2 a +1 32 +1 5
考点二 两角和差与二倍角公式辨析
【例 2-1】（1）（2024 江西南昌·阶段练习） cos69ocos24o + sin111osin24o =
（2）（2024 江苏泰州·阶段练习） cos 22°sin 52° - cos 68°sin 38° =
（3）（2024·宁夏银川·二模） tan20° + tan40° + 3tan20°tan40° =
2 1
【答案】（1） （2） 2 （3） 32
【解析】（1） cos69°cos24° + sin111°sin24° = cos69°cos24° + sin69°sin24° = cos(69° - 24°) = cos 45 2° = ，
2
1
（2） cos 22°sin 52° - cos 68°sin 38° = cos 22°sin 52° - sin 22°cos52° = sin(52° - 22°) = sin 30° =
2
tan 20° + tan 40°
（3）因为 tan 60° = tan(20° + 40°) = = 31- tan 20° tan 40°
所以 3 - 3 tan 20° tan 40° = tan 20° + tan 40° ，
所以 tan 20° + tan 40° + 3 tan 20° tan 40° = 3
故答案为： 3 .
【例 2-2】（2023 春·四川遂宁）（多选）下列三角式中，值为1的是（ ）
A． 4sin15o cos15o B． 2

cos
2 π - sin2 π
6 6 ֏
C 1 1 cos π D 2 tan 22.5
o
． + ．
2 2 6 1- tan2 22.5o
【答案】ABD
【解析】对于 A 选项， 4sin15o cos15o
1
= 2sin 30o = 2 =1，A 满足条件；
2
对于 B 选项， 2

cos
2 π - sin2 π π 1÷ = 2cos = 2 =1，B 满足条件；
è 6 6 3 2
1 1 π 1 3
对于 C 选项， + cos = + <1，C 不满足条件；
2 2 6 2 4
o
对于 D 2 tan 22.5选项， o
1- tan2 22.5o
= tan 45 =1，D 满足条件.
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024 1广东佛山·期中）（多选）下列选项中，值为 2 的是（ ）
A． 2cos2 15° B． sin 27° cos 3° + cos 27° sin 3°
tan 22.5°
C． 2sin15°sin 75° D．
1- tan2 22.5°
【答案】BCD
3
【解析】选项 A： 2cos2 15° = 1+ cos30° = 1+ ，故选项 A 不符合题意；
2
选项 B： sin 27°cos3° + cos 27°sin 3° = sin 30
1
° = ，故选项 B 符合题意；
2
选项 C： 2sin15sin 75° = 2sin15°cos15
1
° = sin 30° = ，故选项 C 符合题意；
2
tan 22.5° 1 2 tan 22.5° 1
选项 D： = × = × tan 45
1
° = C .
1- tan2 22.5° 2 1- tan2 22.5 2 2 ，故选项 符合题意°
故选：BCD.
2．（2023 云南）利用特殊角的三角函数值计算：
(1) sin10°cos50° + sin 50°cos10°；
(2) cos15°cos105° - sin105°sin15°；
(3) cos2 105° - sin2 105°；
(4) sin 20°sin10° - cos10°sin 70°；
tan 22° + tan 23°
(5) ；
1- tan 22° tan 23°
1- tan 75°
(6) ．
1+ tan 75°
3 1 3 3 3
【答案】(1) (2) - (3) - (4) - (5)1(6)
2 -2 2 2 3
【解析】（1） sin10°cos50° + sin 50°cos10° = sin 10° + 50° sin 60 3= ° = .
2
（2） cos15°cos105° - sin105°sin15° = cos 15° +105° = cos120°
= cos 180° - 60° = -cos 60 1° = - .
2
（3） cos2 105° - sin2 105° = cos 210° = cos 180 30 cos30 3° + ° = - ° = - .
2
（4）原式= sin 20°sin10° - cos10°sin 90° - 20° .
= sin 20°sin10° - cos10 3°cos 20° = -cos30° = - .
2
tan 22° + tan 23°
（5） = tan 22° + 23° = tan 45° =1 .
1- tan 22° tan 23°
6 1- tan 75° tan 45° - tan 75°（ ） = = tan 45° - 75° = tan -30 3° = - tan 30° = - .
1+ tan 75° 1+ tan 45° tan 75° 3
3．（2024 新疆）求下列各式的值：
(1) 2sin 75°cos 75 π π° (2) sin2 - cos2 (3) 2cos2 π； ； -1；
12 12 8
2 2 tan 22.5°(4)1- 2sin 67°30 ； (5) 2 ； (6) sin15°sin 75°；1- tan 22.5°
2 tan 5π
(7) 2cos2150° -1； (8) 12 ．
1- tan2 5π
12
1 1
【答案】(1) 2 ；(2)
3
- ；(3) 2 ；(4) 2- ；(5)1
1 3
；(6) ；(7) 2 (8) - ．2 2 2 4 3
1
【解析】（1） 2sin 75°cos 75° = sin150° = sin 30° = ；
2
π
（2） sin2 - cos2 π = -cos π 3= - ；
12 12 6 2
π
（3 2cos2 -1 cos π 2） 8 = =
；
4 2
（4）1- 2sin2 67°30 = cos135° = -cos 45 2° = - ；
2
2 tan 22.5°
（5） 2 = tan 45 =1；1- tan 22.5°
（6） sin15°sin 75
1
° = 2sin15 1 1°cos15° = sin 30° = ；
2 2 4
（7） 2cos2 150° -1 = 2cos2 30° -1 = cos 60
1
° = ；
2
2 tan 5π
12 tan 5π tan π 3（8） 5π = = - = - ．1- tan2 6 6 3
12
考点三 辅助角公式
【例 3】（2024 上海·课后作业）把下列各式化成 Asin a +j 的形式.
(1) 2cosa + 2 3 sina ；
(2) 1- sina 3+ cosa ；
2 2
(3) 3sina + 4cosa ；
(4) 2sina - 3cosa .
（5） f (x) = 3cosxsinx + sin2x
（6） f (x) = sin
π π
2x - 6 ÷
+ 3sin + 2x ÷
è è 3
π
（7） f (x) = sin (x + )cos x 1+ sin (2x π 3+ ) - .
3 2 3 4
【答案】见解析
2
【解析】(1) 因为 22 + 2 3 = 4，所以

2cosa + 2 3 sina = 4 1 cosa 3 + sina ÷÷ = 4sin
p
+a

.
è 2 2
÷
è 6
p p p
(2) 1 3- sina + cosa = - sina cos - cosa sin3 3 ÷
= -sin a - ÷ .
2 2 è è 3
(3) 因为 33 + 42 = 5，所以
3sina + 4cosa = 5 3 sina 4+ cosa ÷ = 5sin a +j ，
è 5 5
其中j 满足 cosj
3
= ， sinj
4
= .
5 5
(4) 因为 22 + -3 2 = 13，所以
2sina - 3cosa = 13 2 sina -3 + cosa
= 13 sin a +j ，
è 13 13 ÷
其中j 满足 cosj
2
= ， sinj
-3
= .
13 13
3 1 1 π 1
（5） f (x) = 3cosxsinx + sin2x = sin2x - cos2x + = sin 2x - + ，
2 2 2 6 ֏ 2
即 f x = sin 2x
π
-
1
÷ +
è 6 2
（6） f (x) = sin 2x
π 3sin π- ÷ + + 2x

÷ = sin2xcos
π
- cos2xsin π + 3sin π cos2x 3cos π+ sin2x
è 6 è 3 6 6 3 3
3 1 3 π
= sin2x - cos2x + cos2x 3+ sin2x = 3sin2x + cos2x = 2sin 2x + ÷
2 2 2 2 è 6
（7） f (x) = sin(x π+ )cosx 1 sin(2x π ) 3+ + -
3 2 3 4
1
= sinx
3 cosx 1 π 3+
2 2 ÷÷
cosx + sin(2x + ) -
è 2 3 4
1
= sinxcosx 3+ cos2x 1+ sin(2x π 3+ ) -
2 2 2 3 4
1 1 sin2x 1 3= + (cos2x +1) 1 sin(2x π ) 3+ + -
2 2 2 2 2 3 4
1 1 sin2x 3

cos2x 1= + ÷÷ + sin(2x
π
+ )
2 è 2 2 2 3
1 sin π 1 π π=
2
2x + + sin
3 ÷ 2
2x + ÷ = sin 2x + ÷
è è 3 è 3
【一隅三反】
（2024 广东潮州）将下列函数化简成 y = Asin( x + j) + B或y = A cos( x + j) + B的形式
（1） f x = sinx 3sinx + cosx
（2） f (x) = sin(π - 2x) + sin
π
+ 2x2 ֏
（3） f x sin π π= 2x +

÷ + cos

2x - ÷
è 6 è 3
（4） f x = 2sin2 π + x

÷ - 3cos2x
è 4
（5） f (x) = -sin2x + 3sinxcosx
π
（6） f (x) = cosxsin x + ÷
è 3
1 1
（7） f x = cosx 2 3sinx - cosx - cos2x +2 2
1
（8） f x = cos2x + 3sinxcosx - x R
2
（9） f (x) = sin2 (x p+ ) + cos2 x
3
（10） f x = 2 3sin π 2x + ÷ + 2 3sinxcos - 2cos2x +1
è 3
（11） f (x) = cosxsin
π
- x

÷ - 3sinxsin
π
+ x

è 2 è 2 ÷
（12） f (x) = cos4
x
+ 2sin x π + ÷cos
x π x
+
4
2 ÷
- sin ，x R
è 2 2 è 2 2 2
【答案】见解析
【解析】（1） f (x) = 3sin2x + sinxcosx 3 1- cos2x 1= × + sin2x
2 2
3 1 3
= + sin2x - cos2x 3= + sin 2x π-
2 2 2 ÷÷ ÷è 2 è 3
π π
（2） f (x) = sin(π - 2x) + sin + 2x ÷ = sin2x + cos2x = 2sin 2x +2 ÷è è 4
π π π π π
（3） f x = sin 2x + ÷ + cos 2x - ÷ = sin 2x + ÷ + cos 2x + - ÷
è 6 è 3 è 6 è 6 2
= sin 2x π + ÷ + sin

2x
π π
+
6 6 ÷
= 2sin 2x + ÷
è è è 6
π π
（4） f x =1- cos + 2x ÷ - 3cos2x = sin2x - 3cos2x +1 = 2sin 2x - +1
è 2 è 3 ÷
Q f (x) 3 sin2x 1 π 3 1= + cos2x - cos2x = sin 2x - ÷ Q f (x) = sin2x + cos2x - cos2x = sin

2x
π
-
2 2 è 6 2 2 ÷è 6
（5） f (x) = -sin2x + 3sinxcosx 1- cos2x 3= - + sin2x = sin 2x π 1+ -
2 2 è 6 ÷ 2

f (x) cosx sinx 3cosx
sinxcosx 3cos2x sin2x 3cos2x 3
（6） = +2 2 ÷÷
= + = + +
è 2 2 4 4 4
sin 2x π + ÷
è 3 3= +
2 4
Q f x 2 3sinxcosx cos2x 1 cos2x 1 3sin2x 1+ cos2x 1 1（7） = - - + = - - cos2x +
2 2 2 2 2
= 3sin2x - cos2x = 2sin 2x π- ÷
è 6
8 1 cos2x 1 3 1 3 1
π
（ ）Q f x = cos2x + 3sinxcosx - = + + sin2x - = sin2x + cos2x = sin 2x + ÷
2 2 2 2 2 2 2 è 6
1- cos(2x 2p+ )
（9） f (x) 3 1+ cos 2x 1 1 3= + =1- cos 2x ×
-
2 2 2 2 ÷
- sin 2x ×
è 2
1 3 sin 2x 3= + + cos 2x =1 3+ sin(2x p+ ).
4 4 2 3
π
（10） f x = 3sin2x + 3cos2x + 3sin2x - cos2x = 2 3sin2x + 2cos2x = 4sin 2x + ÷
è 6
f (x) cos2x 3sinxcosx 1+ cos2x 3 π11 = - = - sin2x = cos 2x + 1（ ） ÷ +2 2 è 3 2
x
（12） f (x) = cos4 + 2sin
x π
+ ÷cos
x π x
+ ÷ - sin
4
2 è 2 2 è 2 2 2
= cos2 x + sin2 x cos2 x 2 x - sin - 2sin
x cos x
è 2 2 ÷ 2 2 ÷ è 2 2
= cosx - sinx
= 2cos x
π
+ ÷
è 4
考点四 给值求值
a π 0, sin a π 1- = 2π 【例 4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知 ÷ ， 10 ÷ 3，则
cos a + = （ ）
è 2 ÷
è è 5
A 2 2 2 2
1 1
．- B． C．- D．
3 3 3 3
【答案】C
【解析】 cos

a
2π
+ ÷ = cos

a
π π π 1
- ÷ + = -sin

a - ÷ = - .故选：C
è 5 è 10 2 è 10 3
π π 5
【例 4-2】（2024·四川眉山·三模）已知a 0, ÷ , cos a + ÷ = - ，则 sina = （2 3 13 ）è è
A 12 + 5 3 B 12 - 5 3 C 12 3 + 5 D 12 3 - 5． ． ． ．
26 26 26 26
【答案】A
π π π 5π π π 12
【解析】因为a 0, ÷ ，所以a + , ÷，有 sin 2
è 2 3 è 3 6
a + = 1- cos a + = ，
è 3 ÷ 3 ÷ è 13
所以 sina sin
a π= + π sin a π cos π cos a π sin π 12 1 5 3 12 + 5 3 ÷ - = + ÷ - + ÷ = - - ÷ = .故选；A.
è 3 3 è 3 3 è 3 3 13 2 è 13 2 26
π 1 3
【例 4-3】（2024 上海宝山·期末）已知a , b 0, ÷， cosa = ， cos a + b = - ，则 sin b = ．
è 2 3 5
4 + 6 2
【答案】
15
π
【解析】由a , b 0, ÷， cosa
1
= ， cos a + b 3= - ，则a + b 0, π ，
è 2 3 5
1 2sina 1 2 2 3
2 4
则 = - ÷ = ， sin a + b = 1-

-

÷ = ，
è 3 3 è 5 5
sin b = sin a + b -a = sin a + b cosa - cos a + b sina
4 1 3 2 2 4 + 6 2= - - ÷ = .5 3 è 5 3 15
4 + 6 2
故答案为： .
15
π 2 3π
【例 4-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知 sin a + ÷ = ，则 cos 2a -8 3 4 ÷
=（ ）
è è
2 2 1 1
A． B．- C D3 ． ．-3 9 9
【答案】D
cos a 3π cos 3π π π- = π 2【解析】因为 8 ÷
-a ÷ = cos - a + ÷ = sin a + ÷ = ，
è è 8 2 è 8

è 8 3
cos 2a 3π cos 2 a 3π 2 3π 4所以 - ÷ = - ÷ = 2cos a - ÷ -1 = 2 -1
1
= - .
è 4 è 8 è 8 9 9
故选：D.
π 3 π
【例 4-5】（2024·辽宁丹东· 二模）已知 sina + sin a + ÷ = ，则 cos 2a + = （ ）
è 3 3

è 3 ÷
7 7 2 2
A． B．- C． D9 ．-9 9 9
【答案】A
π 3 π π π π 3
【解析】解法 1：由 sina + sin(a + ) = ，得 sin[(a + ) - ]+ sin[(a + ) + ] = ，
3 3 6 6 6 6 3
π
得 sin(a + ) cos π cos(a π- + )sin π + sin(a π+ ) cos π + cos(a π)sin π 3+ = ，
6 6 6 6 6 6 6 6 3
π 1
得 3 sin(a π 3+ ) = ，所以 sin(a + ) = ，
6 3 6 3
π 2 π
所以 cos(2a + ) =1- 2sin (a + )
7
= ．
3 6 9
解法 2：将 sina + sin(a π 3+ ) =
3 3
π π 3
展开得 sina + sina cos + cosa sin = ，
3 3 3
3
整理得 sina 1+ cosa 1= ，
2 2 3
sin(a π) 1即 + = ，
6 3
所以 cos(2a
π π 7
+ ) =1- 2sin2 (a + ) = ．
3 6 9
故选：A
【一隅三反】
π 1 5π
1．（2024·河南信阳·模拟预测）若 sin a + ÷ = ，则 cos3 4
a + ÷ =（ ）
è è 6
1 1 1
A B - C 15． ． ．± D．
4 4 4 4
【答案】B
5π π π π 1
【解析】由 sin(a
π
+ ) 1= ，得 cos

a + ÷ = cos a + ÷ + = -sin

a +

÷ = - .3 4 è 6 è 3 2 è 3 4
故选：B
π
2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sina = 1+ 2 3cosa ，则 sin 2a - =（6 ÷ ）è
1 7 3 7
A．- B．- C． D．
8 8 4 8
【答案】D
1
【解析】由2sina = 1+ 2 3cosa 得4 sina
3 cosa sin a π 1- ÷÷ = 1，即 - = ，
è 2 2 è 3
÷
4
sin 2a π- 所以 ÷ = sin
π π π π 7
+ 2 a - ÷ = cos 2 a -

÷ =1- 2sin
2
6 2 3 2
a - ÷ = ，
è è è è 3 8
故选：D
π π
3．（2024·湖南常德·一模）已知 cos
π 1
a + ÷ = ，则 sin -a

÷ + sin

2a -
=
è 6 3 ÷
（ ）
è 3 è 6
4 2 6
A 10． B．- C D9 ． 3 ．9 5
【答案】A
sin π 【解析】 -a ÷ + sin 2a
π
- ÷ = cos
π π a π π - -
3 6 2 3 ÷÷
- cos 2a - ÷ + ÷
è è è è èè 6 2
cos a π cos 2a π= + ÷ -

6
+ ÷
è è 3
= cos a π + - 2cos
2 a π+ -1
è 6 ÷ è è 6
÷ ÷

1 2 2 1 1 10= - × - ÷ = .
3 ÷è è 3 ÷ 9
故选：A.
π
4．（2024·山东·模拟预测）已知 cos a - ÷ - cosa
4 π
= ，则 sin 2a + ÷ =（3 5 6 ）è è
A 7
7 24 24
． B．- C． D．-
25 25 25 25
【答案】B
π 4
【解析】由 cos a - ÷ - cosa = cosacos
π
+ sina sin π - cosa 4= cosacos π - sina sin π 4= -
è 3 5 3 3 5 3 3 5
cos a π 4 + ÷ = - ，
è 3 5
cos 2a 2π 2cos2 a π 7所以 + ÷ = +
-1 = ，
è 3 ÷ è 3 25
π π π π 2π
所以 sin 2a +
7
6 ÷
= cos -2
2a + ÷ = cos - 2a ÷ = -cos 2a + ÷ = - .
è è 6 è 3 è 3 25
故选：B
考点五 给值求角
1
【例 5-1】（2024 江苏盐城·期中）已知 tana = - ，tan b = 2，且a , b 0, π ，则a + b 的值为（
3 ）
π 3π 5π 7π
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】C
1
- + 2
【解析】 tan a b tana + tan b+ = = 3 =1，
1- tana × tan b 1 2+
3
又a , b 0, π ， tana < 0，tan b > 0，
a π故 , π

÷ , b
0, π π 3π
2 2 ÷
，故a + b ,2 2 ÷
，
è è è
a 5π故 + b = .
4
故选：C
【例 5-2】（2024 -2 5 10浙江·期末）已知a , b 为钝角，且 cosa = ， sinb = ，则a + b = （ ）
5 10
π 5π 3π 7π
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】D
【解析】由于a , b 为钝角，且 cosa 2 5= - ,sin b 10= ，
5 10
所以 sina 5= , cos b 3 10= - ，
5 10
a π π 且 , π ÷ , b , π ÷ ,\a + b π,2π ，
è 2 è 2

所以 cos a + b = cosa cos b - sina sin b 2 5 3 10 5 10 2= - - ÷÷ - = ，5 è 10 5 10 2
a b 7p所以 + = ，
4
故选：D.
【例 5-3】（2024 河南南阳·阶段练习）已知a ， b 0, π 1，且 cosa 7 2= - ， tan a - b = ，则a - 2b =（ ）
10 3
π 3π 3π π π 3π
A．- 或 B． - 或 C．- D． -
4 4 4 4 4 4
【答案】D
7 2 2
【解析】因为0 < a < π ， cosa = - ，所以 sina = 1- cos2 a = ，
10 10
所以 tana
1 π
= - ， < a < π .
7 2
因为 0 < b < π ，所以-π < -b < 0
π
，所以- < a - b < π .
2
因为 tan a 1- b = > 0，所以0 < a - b π< .
3 2
2tan a - b 3
因为 tan a - b 1= ，所以 tan2 a - b = =
3 1- tan2 a - b 4 ，
tan 2 a - b - tana
则 tan

a - 2b = tan 2 a - b -a = =11+ tan 2 a - b tana ，
π
故a - 2b = kπ + （ k Z ）.
4
π
因为0 < a - b < ，所以0 < 2 a - b < π .
2
因为 tan2 a - b 3= > 0 π，所以0 < 2 a - b < .
4 2
π a π π因为 < < ，所以-π < -a < - ，
2 2
所以-π < a - 2b < 0
3π
，所以a - 2b = - .
4
故选：D.
【一隅三反】
a , b 0, π 11．（2024· 2 2黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ÷， cos a - sin a = ，且3sin b = sin(2a + b )，则a + b 的
è 4 7
值为（ ）
p p p p
A． B C D12 ． ． ．6 4 3
【答案】D
2 2 1 2 2 2
【解析】因为 cos a - sin a = , cos a + sin a =1，所以 cos a
4 3
= ,sin2 a = ，
7 7 7
2
因为a 0,
π
÷ ，所以 cosa = ， sina
3
= 3，所以
4 7 tana =
．
è 7 2
由3sin b = sin(2a + b )，得3sin[(a + b ) -a ] = sin[(a + b ) +a ]，
即3sin(a + b ) cosa - 3cos(a + b )sina = sin(a + b ) cosa + cos(a + b )sina ，
所以 sin(a + b )cosa = 2cos(a + b )sina ，所以 tan(a + b ) = 2 tana = 3 ．
0 a b π π又 < + < ，所以a + b = ．
2 3
故选：D
π 5 1
2．（2024·江西九江·二模）已知a , b 0, ÷， cos a - b = ， tana × tan b = ，则a + b = （ ）
è 2 6
4
π π π 2π
A． B． C． D．
3 4 6 3
【答案】A
5 1
【解析】因为 cos a - b = ， tana × tan b = ，
6 4
ì
cosa cos b + sina sin b
5
=
6
所以 í
sina sin b 1
，
=
cosa cos b 4
ì
cosa cos b
2
=
3
解得 í ，
sina sin b 1=
6
所以 cos a + b = cosa cos b - sina sin b 1= ，
2
又a , b

0,
π
÷，所以a + b 0, π
π
，所以a + b = .
è 2 3
故选：A
1 1
3．（2024 陕西西安·期中）已知 tan b -a = ， tana = - ，a , b 0, π ，则 2b -a 的值是（ ）
2 7
π π 3π 3π
A．- B． C． D． -
4 4 4 4
【答案】D
【解析】因为 tan b a 1 tana 1- = ， = - < 0 ，a , b 0, π ，
2 7
1 1
-
则 tan b = tan 2 7
1
b -a +a = = 0,1
1 1 1
，
- - 3
2 ֏ 7
π π
可知a , π ÷ ， b 0, ÷，则 2b -a -π,0 ，
è 2 è 4
1
tan 2b 2 tan b
2
3 3
又因为 = = = > 01- tan2 b 1 2 4 ，1- ÷
è 3
3
-
1
-
tan 2b a tan 2b - tana 4
÷
- = = è 7 可得 =1，
1+ tan 2b × tana 1 3 1+ -

4 ֏ 7
所以 2b
3π
-a = - .
4
故选：D.
考点六 恒等变化
【例 6-1】（2024 湖北）化简并求值．
3tan12° - 3
(1) 4cos212° - 2 sin12 ；°
cos40° + sin50° 1+ 3tan10°(2) ；
sin70° 1+ cos40°
(3) 3 - 4sin20° + 8sin
320°
．
2sin20°sin480°
【答案】(1) 4 3 (2) (3) 2 3- ； 2 ； .
3
3 sin12°× - 3
【解析】（1） 3tan12° - 3 cos12° 3 sin12° - 3cos12°= =
(4cos212° - 2)sin12° 2cos 24°sin12° sin 24°cos 24°
2 3(1 sin12 3° - cos12°)
= 2 2 -4 3 sin 48°1 = = -4 3 .sin 48° sin 48°
2
sin10°
（2） cos40° + sin50°(1+ 3tan10°)
cos40° + cos40°(1+ 3 × )
= cos10°
sin70° 1+ cos40° cos20° 2cos2 20°
2(1 cos10 3° + sin10°)
cos40° + cos40 cos10° + 3sin10°° × cos40° + cos40° × 2 2
= cos10° = cos10°
2cos2 20° 2cos2 20°
cos40° + cos40 2sin40°° × cos40 sin80°° + 2
= cos10° cos10° cos40° +1 2cos 20°= = = = 2 .
2cos2 20° 2cos2 20° 2cos2 20° 2cos2 20°
3 - 4sin20° + 8sin3 20° 3 - 4sin20°(1- 2sin2 20°) 2sin 60° - 4sin20°cos 40°
（3） = =
2sin20°sin480° 2sin20°sin120° 3sin20°
2sin(40° + 20°) - 4sin20°cos 40° 2sin 40°cos 20° - 2sin20°cos 40°
= =
3sin20° 3sin20°
2sin 40° - 20° 2 3
= = .
3sin20° 3
【例 6-2】（2024·安徽阜阳·一模）已知 sina + sinb = a,cosa + cosb = b ab 0 ，则 cos a - b = ，
sin a + b = .
a2 + b
2 - 2 2ab
【答案】
2 a2 + b2
2
【解析】由 sina + sin b = a 可得 sina + sin b = a2 ，即 sin2 a + sin2 b + 2sina sin b = a2 ，
由 cosa + cos b = b 可得 cosa + cos b 2 = b2 ，即 cos2 a + cos2 b + 2cosa cos b = b2 ，
两式相加可得 2 + 2 sina sin b + cosa cos b = a2 + b2 ，
2 2
即 2 + 2cos a - b = a2 + b2，解得 cos a b a + b - 2- = ；
2
sina sin b a + b a - b a + b a - b因为 + = sin
+ + sin - ÷ ÷ = 2sin
a + b cos a - b = a ，
è 2 2 è 2 2 2 2
cosa + cos b cos a + b a - b cos a + b a - b= + + 2 2 ÷
- ÷
è è 2 2
2cos a + b cos a - b= = b ，
2 2
a + b a - b
tan a + b
2sin cos a
所以 = 2 2 =
2 2cos a + b cos a - b
，
b
2 2
2sin a + b cos a + b 2tan a + b 2 a
所以 sin a + b 2 2 2 b
2ab
=
sin2 a + b cos2 a b
= a b = 2 =+ 2 2 ．
+ tan2 + +1 a a + b
2 2 2 ÷ +1è b
a2 + b2 - 2 2ab
故答案为： ；
2 a2 + b2
.
【一隅三反】
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
1．（2023·重庆·模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． 2 B．1 C． 2sin 9
o D． 2
【答案】B
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o - cos2 9o - sin2 9o
【解析】原式=
2sin 6o + 30o
2sin18o 2cos2 9o - 2sin2 9o 2sin18o cos18o sin 36o
= = = =1.
2sin 36o sin 36o sin 36o
故选：B.
2cos35°
2．（2024 河南南阳·阶段练习） - 3 tan 25° =（ ）
sin 65 °
A． 3 B．1 C． -1 D．- 3
【答案】B
2cos35°
【解析】 - 3 tan 25 2cos35° - 3 sin 25°° =
sin 65° cos 25°
2cos 60° - 25° - 3 sin 25°
=
cos 25°
2cos 60°cos 25° + 2sin 60°sin 25° - 3 sin 25°
=
cos 25°
cos 25°
= =1 .
cos 25°
故选：B
3 tan12° - 3
3．（2024 北京） = 4cos2 12° 2 sin12° ．-
【答案】-4 3
3 sin12° - 3cos12° 2 3 1

sin12° 3- cos12°
【解析】原式 cos12°
÷
è 2 2 4 3 sin 12° - 60°= -4 3 sin 48° ，
2cos 24° sin12° = = = = -4 3cos 24° sin 24° sin 48° sin 48°
故答案为：-4 3 .
4．（2024 山西）求 sin 20°sin 50°( 3 + tan10°) = .
1
【答案】 /0.5
2
【解析】 sin 20°sin 50°( 3 + tan10°) = sin 20°sin 50 ( 3 cos10° + sin10°° ) = sin 20°sin 50 2sin(60° +10°)°
cos10° cos10°
sin 20 sin 50 2sin 70° 2sin 20°sin 50°sin 70° 2sin 20°cos 20°cos 40°= ° ° = =
cos10° cos10° cos10°
sin 40° cos 40° sin80° 1
= ° = ° = .cos10 2cos10 2
1
故答案为： 2 .
2
5 2024 1- 2sin 5
°
．（ 湖南株洲） °
2sin10°
- 2cos10 = ．
3
【答案】
2
1- 2sin2 5°
【解析】 - 2cos10°
2sin10°
cos10°
= - 2cos10°
2sin10°
cos10° - 4sin10° cos10°
=
2sin10°
cos10° - 2sin 20°
=
2sin10°
cos 30° - 20° - 2sin 20°
=
2sin10°
cos30° cos 20° + sin 30° sin 20° - 2sin 20°
=
2sin10°
3 cos 20° 3- sin 20°
= 2 2
2sin10°

3 1 cos 20°
3
- sin 20°
è 2 2
÷
=
2sin10°
3 sin 30° - 20° 3
= = .
2sin10° 2
3
故答案为：
2
6．（2024·全国·模拟预测）已知a , b 为锐角，满足 sina + sinb 5 2= ,cos a + b 1= - ，则 sin
a + b
= ，
6 9 2
cos a - b = ．
5 1 1
【答案】 / 5 / 0.25
3 3 4
a a + b a - b a + b a - b【解析】因为 = + , b = - ，所以
2 2 2 2
sina sinb sin a + b a - b+ = +

÷ + sin
a + b a - b
- ÷ = 2sin
a + b
×cos a - b ，
è 2 2 è 2 2 2 2
又 sina 5 2 a + b a - b 5 2+ sinb = ，所以 sin cos = ，
6 2 2 12
因为a , b
a + b
为锐角，所以 为锐角，
2
又cos a + b = 1- 2sin2 a + b 1= - a + b 5，所以 sin = ，2 9 2 3
a + b a - b 5 2 a - b 10
又 sin cos = ，所以cos = ，
2 2 12 2 4
2 a - b 10 1
所以cos a - b = 2cos -1 = 2 -1 = ．
2 16 4
5 1
故答案为： ； .
3 4
一．单选题
sin2a - 3cos a π+ cosa
1．（2024·广东茂名·一模）已知 cos a + π = -2sina ，则 è 2 ÷ （= ）
cos2a +1
2 4 7
A． -1 B．- C． D．
5 5 8
【答案】D
1
【解析】由 cos a + π = -2sina ，得 cosa = 2sina ，则 tana = ，
2
sin2a - 3cos(a π+ )cosa sin2所以 2 a + 3sinacosa 1 tan2a 3 tana 1 3 7= = + = + = .
cos2a +1 2cos2a 2 2 8 4 8
故选：D
2．（2024·广东·二模） tan 7.5° - tan82.5° + 2 tan15° =（ ）
A．-2 B．-4 C．-2 3 D．-4 3
【答案】D
tan 7.5 tan82.5 2 tan15 sin 7.5° sin82.5°【解析】 ° - ° + ° = - + 2 tan15°
cos 7.5° cos82.5°
sin 7.5° cos 7.5° 2 2
= - + 2 tan15 sin 7.5° - cos 7.5°° = + 2 tan15°
cos 7.5° sin 7.5° sin 7.5°cos 7.5°
cos15° 2sin15° 2(sin2 15° - cos2 15°) -4cos30°
= - 1 + = = = -4 3 .sin15° cos15° sin15°cos15° sin 30°
2
故选：D
P sin 2023π ,cos 2023π q sinq3．（2024·河北·三模）已知点 ÷ 在角 的终边上，则 = （ ）
è 4 6 2
1+ cosq
A 6 B 6 C 6 D 6． ． ．- ．-
3 2 3 2
【答案】B
cos 2023π cos

337π
π
+
q 6 ÷ -cos
π 3
-
6 è 6 6
【解析】由题意， tan = 2023π = = 3π =
2 = ，
2 sin sin 505π 3π+ -sin 2 2
4 ÷ -è 4 4 2
sinq 2sin
q cos q
所以 = 2 2 tan
q 6
q = = .1+ cosq 2cos2 2 2
2
故选：B.
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 sin
q π 2 π + ÷ =

，则 sin 2q -

÷ = （12 3 3 ）è è
5 1
A．-
5 1
B． C．- D．
9 9 9 9
【答案】C
sin 2q π π π π π 【解析】 -
= sin 2 q + - = -sin - 2 ÷ ÷ q +

3 12 2 2 12 ÷è è è
π 2
= -cos 2 q + = 2sin2 q π+ -1 = 2 2 1 12 ÷ ÷ ÷
-1 = - ，
è

è 12 è 3 9
故选：C
cos 2q
π 1 =
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知 cos -q ÷ = ，则 tan q π+ （ ）è 4 4 ÷
è 4
15 15 15 15
A． B． C． D．
2 4 7 8
【答案】D
b π【解析】设 = -q ，则q
π
= - b 1，cos b = ，
4 4 4
cos 2q cos π 2b sin 2b 2sin b cos b tan q π tan π b 1 cos b所以 = - = = ，2 ÷
+ = -
4 ÷ 2 ÷
= = ，
è è è tan b sin b
cos 2q 2sin b cos b
= = 2sin2 b = 2 - 2cos2 b = 2 1 15- =
所以 tan π
cos b 8 8 .
q +
è 4 ÷ sin b
故选：D
1
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 sin a - b = 2cos a + b , tan a - b = ，则 tana - tanb =（ ）
2
3 5 4 6
A． B． C． D．
5 3 5 5
【答案】C
【解析】 sin a - b = 2cos a + b ，所以 sina cos b - cosa sin b = 2 cosa cos b - sina sin b ，
两边同除 cosa cos b tana - tan b = 2 - 2 tana × tan b tana tan b 1
tana - tan b
，得到 ，即 × = - .
2
tan a b tana - tan b tana - tan b 1- = =
1+ tana × tan b 1 1 tana - tan b
=
2 ，\ tana - tan b
4
=
+ - .
2 5
故选：C.
2sin80°cos 20°
7．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）求值： = （ ）
1+ 4cos 20 sin2 50 ° °
A 3 B 2 C 1 D 3． ． ． ．
3 2 2
【答案】A
【解析】由积化和差公式可得
cos 40°cos 20 1° = cos 40° - 20° + cos 40
1
° + 20° = cos 20° + cos 60° 2 2
1 1
= + cos 20°，
4 2
故1+ 4cos 20°sin2 50° =1+ 4cos 20°cos 40
1 1
°cos 40° =1+ 4 + cos 20°÷cos 40°
è 4 2
=1+ cos 40° + 2cos 20°cos 40° = 2cos2 20° + 2cos 20°cos 40°
= 2cos 20° cos 20° + cos 40° ，
由和差化积公式可得
cos 20° + cos 40° = 2cos 40° + 20° cos 40° - 20° ÷ ÷ = 2cos30°cos10° = 3 cos10°，
è 2 è 2
2
故1+ 4cos 20°sin 50° = 2cos 20° cos 20° + cos 40° = 2 3 cos10°cos 20°
2sin80°cos 20° 2cos10°cos 20° 3
所以 = = .
1+ 4cos 20°sin2 50° 2 3 cos10°cos 20° 3
故选：A
π
8．（2024 山西）已知0 < a < b < , cos 2a + cos 2b +1 = 2cos a - b + cos a + b ，则（
2 ）
a b πA． + = B．a + b
π
=
6 3
b a π πC． - = D． b -a =
6 3
【答案】D
【解析】由已知可将 2a = a + b + a - b ， 2b = (a + b ) - (a - b ) ，
则cos[(a + b ) + (a - b )] + cos[(a + b ) - (a - b )] +1 = 2cos(a - b ) + cos(a + b )，
2cos(a + b )cos(a - b ) - 2cos(a - b ) - cos(a + b ) +1 = 0，
[cos(a + b ) -1][2cos(a - b ) -1] = 0，即 cos(a + b ) =1或 cos(a
1
- b ) = ．
2
π π
又0 < a < b < ，所以0 < a + b < π,- < a - b < 0，
2 2
所以 cos(a + b ) 1，所以选项 A，B 错误，
即 cos(a
1 π
- b ) = ，则a - b = - ，所以 b -a
π
= ．则 C 错，D 对，
2 3 3
故选：D
二．多选题
1
9．（2024 安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为 的是（ ）
4
A 2 o 2 o B tan15
o
． cos 75 - sin 75 ．
1+ tan2 15o
C． cos36o cos 72o D． 2cos 20o cos 40o cos80o
【答案】BCD
【解析】对于 A 选项， cos2 75o - sin2 75o = cos150o = cos 180o - 30o = -cos30o 3= - ；2
sin15o
tan15o cos15o sin15
o cos15o 1 1
对于 B 选项， 2 o = =
o
1+ tan 15 sin2 15o cos2 o 2 o
= sin 30 = ；
1+ 15 + sin 15 2 4
cos2 15o
1
o o o sin 72o cos 72o o
对于 C 选项， cos36o cos 72o sin 36 cos36 cos 72 2 1 sin144 1= = = × = ；
sin 36o sin 180o -144o 4 sin144o 4
D 2cos 20o cos 40o cos80o 2cos 20
o sin 20o cos 40o cos80o
对于 选项， =
sin 20o
1 o o
sin 40o cos 40o cos80o sin80 cos802 1 sin160
o 1
= = = × = .
sin 20o sin 180o -160o 4 sin160o 4
故选：BCD.
10．（2024 江苏南通·期中）下列等式成立的有（ ）
A． sin2 π 1 3- = B． tan80o - tan 35o - tan80o tan 35o =1
12 2 4
o o
C o． cos 20 cos 40o cos 60o cos80o
1
= D 2cos10 - sin 20． = 3
8 cos 20o
【答案】BD
π 1 1 π 1 π 3
【解析】对于 A 选项， sin2 - = - 2
12 2 2
1- 2sin ÷ = - cos = - ，A 错；
è 12 2 6 4
B tan80
o - tan 35o
对于 选项，因为 tan 45o = tan 80o - 35o = =1，1+ tan80o tan 35o
所以， tan80o - tan 35o - tan80o tan 35o = tan80o tan 35o +1- tan80o tan 35o =1，B 对；
1
C sin 20
o cos 20o cos 40o cos80o
对于 选项， cos 20o cos 40o cos 60o cos80o = 2
sin 20o
1 sin 40o cos 40o cos80o 1 sin80o cos80o 1 sin160o
= 4 = 8 = 16 1= ，C 错；
sin 20o sin 180o - 20o sin160o 16
2cos10o o o- sin 20o 2cos 30 - 20 - sin 20o对于 D 选项， =
cos 20o cos 20o
2 cos30o cos 20o + sin 30o sin 20o - sin 20o 3 cos 20o + sin 20o - sin 20o
= = = 3，D 对.
cos 20o cos 20o
故选：BD.
11．（2024 江苏镇江·期中）下列等式成立的有（ ）
A． sin2 75o - cos2 75o 3= B 1． sin15o 3+ cos15o 2=
2 2 2 2
tan 5π
C sin15
o - cos15o 3
． D 24 = 2 + 3
sin15o
= - ．
+ cos15o 3 1- tan2 5π
24
【答案】AC
【解析】对于 A， sin2 75o - cos2 75o 3= -cos150° = cos30° = ，A 正确；
2
B 1对于 ， sin15o 3+ cos15o = cos 60°sin15o + sin 60°cos15o = sin 75 2° ，B 错误；
2 2 2
1
sin15o - cos15o 2 sin 15° - 45° sin 30°
C = = - = - 2
3
对于 ， o = -sin15 + cos15o 2 sin 15 45 sin 60° 3 3 ，C 正确；° + °
2
tan 5π
24 1 tan 2 5π 1 tan 5π 1对于 D， = ÷ = = tan
π π
+

÷
1- tan2 5π 2 è 24 2 12 2 è 4 6
24
1 tan
π
+ tan π 1 3+
= 4 6 1 2 + 3= 3 = ，D 错误.
2 1- tan π π tan 2 3 2
4 6 1- 3
故选：AC
三．填空题
sin q π 1+ = q π , π 12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知 ÷ ， ÷，则 cosq = ．
è 4 4 è 2
2 - 30
【答案】
8
π π 3π 5π
【解析】因为q , π ÷，所以q + 2 4
,
4 4 ÷
，
è è
又 sin
π 1 π 15
q + ÷ = ，所以 cos q + ÷ = - ，è 4 4 è 4 4
所以 cosq = cos
q π π 15 2 1 2 2 - 30 + ÷ - = - + = .
è 4 4 4 2 4 2 8
2 - 30
故答案为： .
8
π 1 π
13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 sin a + ÷ - 3cosa = ，则 sin 2a - ÷ =6 ．è 3 5 è
23
【答案】 25
sin a π 3 cosa 1+ - = 1 sina 3 1【解析】由 ，得3 ÷ 5 + cosa - 3 cosa = ，è 2 2 5
1 π 1
即 sina 3- cosa 1= ，所以 sin a - 3 ÷
= ，
2 2 5 è 5
π
所以 sin 2a - ÷ = sin
π 2π
+ 2a - = cos ÷ 2a
2π
- ÷ = cos 2

a
π
-
è 6 2
÷
è 3 è 3 è 3
=1- 2sin2 a π 1 2 23 - ÷ = - = .
è 3 25 25
23
故答案为： .25
14．（2024 安徽芜湖· 1 5 3期中）已知a , b 为三角形的两个内角， cosa = ,sin a + b = ，则b ＝ ．
7 14
π
【答案】
3
【解析】∵a , b 为三角形的两个内角，且 cosa
1 1
= < ，
7 2
π
∴ > a
π
> sina 1 cos2a 4 3，2 3 = - =
，
7
π
∵ sin a b 5 3 3+ = < ，a + b > a > ，
14 2 3
2π
\π > a + b > , cos a 11+ b = - 1- sin2 a + b = - ，
3 14
sinb = sin a + b -a = sin a
5 3 1 11 4 3 3
+ b cosa - cos a + b sina = + = ，
14 7 14 7 2
Qa π> ，a + b < π，∴ b
π
= ．
3 3
π
故答案为： ．
3
四．解答题
π
15．（2024 江西·阶段练习）已知a 0, 2 ÷
，且3sina + cosa = 5 ．
è
2sin a - 4π + sin a - 7π
(1)求 tana 和 3cos a - 5π + cos a 5π+ 的值；
è 2 ÷

(2)若 b 0,
π 10
÷，且 cosb = ，求a - b 的值．
è 2 10
1 1
【答案】(1) -2 ， 7
π
(2) -
4
【解析】（1）因为3sina + cosa = 5 ，又 sin2a + cos2a =1，
5
解得 sina = , cosa 2 5 sina 2 5 5= 或 = , cosa = - ，
5 5 5 5
π 5 2 5
又a 0, ÷ ，所以2 sina = , cosa =
，
è 5 5
所以 tana
sina 1
= = ．
cosa 2
2sin a - 4π + sin a - 7π 2sina - sina sina
= =
所以 3cos a - 5π + cos a 5π+ -3cosa - sina -3cosa - sina ÷
è 2
1
tana 2 1= = = - ；
-3 - tana 3 1- - 7
2
π
2 10 3 10（ ）因为 b 0, ÷，且 cosb = ，所以2 sinb = 1-cos
2b = ，
è 10 10
所以 sin a - b = sinacosb - cosasinb 5 10 2 5 3 10 2= - = - ，
5 10 5 10 2
a π 由 0, ÷ , b 0,
π a - b π π÷，得 - ,
a b π- = -
è 2 è 2 è 2 2 ÷
，所以 ．
4
4
16．（2023 四川南充·期中）在条件：① 2sin 2024π -a = cos 2024π +a ；② sina cosa 5+ = - ；③ sin2a = -
5 5
中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
3π
已知a

, π ÷，且满足条件______.
è 4
3sina + 4cosa
(1)求 的值；
cosa - sina
π
(2)若 b , π 3 10 ÷，且 cosb = - ，求a + b 的值.
è 2 10
5
【答案】(1)
3
a b 7π(2) + =
4
【解析】（1）若选①，则由 2sin 2024π -a = cos 2024π +a ，得 2sin -a = cosa ，
所以 cosa = -2sina ，
3sina + 4cosa 3sina + 4 (-2sina ) -5sina 5
所以 = = = ，
cosa - sina -2sina - sina -3sina 3
② sina cosa 5 sina 5若选 ，则由 + = - ，得 = - - cosa ，
5 5
2
5
因为 sin2 a + cos2 a =1，所以 - - cosa ÷÷ + cos
2 a =1，
è 5
5 2 5
化简整理得，5cos2 a + 5 cosa - 2 = 0，解得 cosa = 或 cosa = - ，
5 5
a 3π , π 2 5 5因为 ÷，所以 cosa = - ，所以4 sina =
，
è 5 5
3 5

4 2 5

+ - ÷
3sina + 4cosa 5 è 5 5所以 = = ，
cosa - sina 2 5 5 3
- -
5 5
若选③，则由 sin2a
4
= - ，得 2sina cosa
4 2
= - ，得 sina = - ，
5 5 5cosa
4
因为 sin2 a + cos2 a =1 + cos2，所以 a =1，
25cos2 a
1 4
25cos4 a - 25cos2 a + 4 = 0 ，解得 cos2 a = cos2或 a = ，5 5
a 3π 1因为 , π ÷，所以4 -1 < cosa
2
< - < cos2，所以 a <1，
è 2 2
cos2 a 4= cosa 2 5所以 ，得5 = -
，
5
sina 2 2 5 5所以 = - = -
5cosa 5
-
2 5 ÷
= ，
è 5
5 3 4 2 5

+ - ÷
3sina + 4cosa 5 è 5 5所以 = = ；
cosa - sina 2 5 5 3
- -
5 5
（2）若选①，则由（1）可知 cosa = -2sina ，
因为 sin2 a + cos2 a =1，得以 sin2 a + 4sin2 a =1，即5sin2 a =1，
a 3π所以 , π
5
4 ÷
，所以 sina = ，所以 cosa 2 5= - ，
è 5 5
b π , π cosb 3 10因为 2 ÷，且 = - ，è 10
所以 sin b = 1- cos2 b 90 10= 1- = ，
100 10
所以 cos(a + b ) = cosa cos b - sina sin b
2 5 3 10 5 10
= - - ÷÷ - 5 è 10 5 10
2
= ，
2
a 3π因为 , π
π
， b , π ，
è 4 ÷ ÷ è 2
a b 5π+ , 2π 7π所以 ÷，所以a + b = ，
è 4 4
若选② 5 2 5，则由（1）可知 sina = ， cosa = - ，
5 5
π
因为 b , π

2 ÷，且 cosb
3 10
= - ，
è 10
所以 sin b = 1- cos2 b = 1 90 10- = ，
100 10
所以 cos(a + b ) = cosa cos b - sina sin b
2 5 3 10 5 10
= - - - 5 è 10 ÷
÷
5 10
2
= ，
2
a 3π因为 , π
b π
4 ÷
， , π ÷，
è è 2
a + b 5π 7π所以 , 2π ÷，所以a + b = ，
è 4 4
③ 1 sina 5 cosa 2 5若选 ，则由（ ）可知 = ， = - ，
5 5
b π ,π cosb 3 10因为 2 ÷，且 = - ，è 10
所以 sin b = 1- cos2 b 1 90 10= - = ，
100 10
所以 cos(a + b ) = cosa cos b - sina sin b
2 5 3 10 5 10
= -
5
-
10 ÷÷
-
è 5 10
2
= ，
2
3π π
因为a , π4 ÷
， b , π ÷，
è è 2
5π 7π
所以a + b , 2π ÷，所以a + b = .
è 4 4
17．（2024 黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值：
(1) 1 3- ；
cos80° sin80°
(2) cos 40° 1+ 3 tan10° ；
(3) a π,
3π a 4 a
已知 2 ÷ ，
sin = ，求 cos 的值．
è 2 5 4
(4)[2sin 50° + sin10°(1+ 3 tan10°)] 1+ cos 20°
3 tan12° - 3
(5)
sin12°(4cos2 12° - 2)
【答案】(1)4(2)1(3) 5 (4) 6 (5) -4 3
5
1 3 sin80° - 3 cos80° 2sin 80° - 60° 2sin 20°
【解析】（1 - = = = = 4） cos80° sin80° sin80°cos80° 1 .sin160 1° sin 180° - 20°
2 2
（2） cos 40° 1+ 3 tan10° = cos 40° 1+ 3 tan10°
3 sin10° cos 40° cos10° + 3 sin10° cos 40° 1+ cos10° ÷÷ =è cos10°
2cos 40°sin 30° +10° 2cos 40°sin 40° sin80°
= = = =1 .
cos10° cos10° cos10°
a π, 3π a π , 3π a π 3π（3）已知 ÷， ÷，
, sin a 4=
è 2 2 è 2 4 4 è 4 8 ÷
， ，
2 5
a a 3
所以 cos = - 1- sin2 = - ，
2 2 5
a 1+ cos
a 1 3-
cos = 2 5 1 5 .= = =
4 2 2 5 5
（4）[2sin 50° + sin10°(1+ 3 tan10°)] 1+ cos 20°
cos10° + 3 sin10°
= 2sin 50° + sin10° cos10 ÷÷
1+ cos 20°
è °
2sin 10° + 30°
2sin 50 sin10 = ° + ° 1+ 2cos2 10° -1
cos10°
2cos10°sin 50° 2sin10°sin 40°= + ÷ 2 cos10°
è cos10° cos10°
2cos10°sin 50° + 2sin10°cos50°
= 2 cos10°
cos10°
2sin 60°
= 2 cos10° = 2 2 sin 60° = 6 .
cos10°
3 sin12° - 3cos12°
（5） 3 tan12° - 3 = cos12°
sin12°(4cos2 12° - 2) 2sin12°(2cos2 12° -1)
2 3 sin 12° - 60° -2 3 sin 48 -2 3 sin 48°° = 1 = -4 3= = .
2sin12°cos12°cos 24° sin 24°cos 24° sin 48°2
18．（2024 四川成都·期中）已知斜三角形 ABC .
(1)借助正切和角公式证明： tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC .
并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：
① tan20° + tan40° + 3tan20°tan40°，
tan20° + tan40° + tan120°
② ；
tan20°tan40°
(2)若C =135° ，求 tanA + tanB 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，① 3，② - 3 ；
(2) 2 2 - 2
【解析】（1）QC = π - (A + B)，
\ tan C = tan π - (A + B) = - tan(A + B)，
\ tan C tan A + tan B= - ，
1- tan A tan B
\ tan C(1- tan A tan B) = -(tan A + tan B)，
\ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ；
① tan 20° + tan 40° + 3 tan 20° tan 40°
= tan 20° + tan 40° + tan120° + 3 tan 20° tan 40° + 3
= tan 20° tan 40° tan120° + 3 tan 20° tan 40° + 3
= - 3 tan 20° tan 40° + 3 tan 20° tan 40° + 3 = 3 ；
tan 20° + tan 40° + tan120° tan 20° tan 40° tan120°
② = = tan120° = - 3
tan 20° tan 40° tan 20° tan 40 ；°
（2）QC = 135°，则0° < A < 45°，0° < B < 45°，且 A + B = 45°，
所以 tan A > 0， tan B > 0，
tan A tan B tan135 tan A tan B tan135 1 tan A tan B 1 (tan A + tan B)
2
\ + = - ° + ° = - - ，
4
\(tan A + tan B)2 + 4(tan A + tan B) - 4 0，
解得 tan A + tan B 2 2 - 2或 tan A + tan B -2 2 - 2（舍去），
所以 tan A + tan B 2 2 - 2，当且仅当 tan A = tan B = 2 -1时取等号
\ tan A + tan B 的最小值为 2 2 - 2 ．
19．（2024江苏泰州·期中）由倍角公式cos2q = 2cos2 q -1，可知 cos 2q 可以表示为 cosq 的二次多项式．对于 cos3q ，
我们有
cos3q = cos(2q +q ) = cos 2q cosq - sin 2q sinq
= 2cos2 q -1 cosq - 2sin2 q cosq
= 2cos3 q - cosq - 2 1- cos2 q cosq
= 4cos3 q - 3cosq
可见 cos3q 也可以表示成 cosq 的三次多项式．
(1)利用上述结论，求 sin18°的值；
(2)化简 cos 60° -q cos 60° +q cosq ；并利用此结果求 sin 20°sin 40°sin 60°sin80°的值；
1 3
(3) 3已知方程 4x - 3x - = 0在 (-1,1)上有三个根，记为 x1, x , x 4x3 3 32 3，求证：2 1
+ 4x2 + 4x3 = .2
【答案】(1) sin18 5 -1° = ；
4
3
(2) ；
16
(3)证明见解析.
【解析】（1）90° = 2 18° + 3 18°，所以 cos54° = sin 36° ，
因为 cos54° = sin 36° 4cos3 18° - 3cos18° = 2sin18°cos18°，
因为 cos18° > 0， 4cos2 18° - 3 = 2sin18° 4 1- sin2 18° - 3 = 2sin18°，
即 4sin2 18° + 2sin18° -1 = 0，
因为 sin18° > 0 ，解得 sin18 5 -1 - 5 -1° = （ 舍）.
4 4
1 3
（2） cos 60° -q cos 60° +q cosq = cosq + sinq
1
÷÷ cosq
3
- sinq ÷÷cosq
è 2 2 è 2 2
=
1
cos
2 q 3- sin2 q ÷cosq
è 4 4
= cos
2 q 3- ÷cosq
è 4
1
= 4cos3 q - 3cosq 1= cos3q ，4 4
故 sin 20°sin 40°sin 60°sin80 3° = cos 70°cos50°cos10°
2
3
= cos(60 +10)°cos(60 -10)°cos10°
2
3 1
= cos30 3° = ；
2 4 16
（3）证明：因为 x (-1,1)，故可令 x = cosq (0 < q < π) ，
4x3 1 1故由 - 3x - = 0可得： 4cos3 q - 3cosq - = 0(0 < q < π)(*) ．
2 2
1
由题意得： cos3q = ，因0 < q < π，故0 < 3q < 3π，
2
3q π 3q 5π 3q 7π故 = ，或 = ，或 = ，
3 3 3
π 5π 7π
即方程（*）的三个根分别为 ， ， ，
9 9 9
又 4x3 - 3x
1 1
- = 0 3，故 4x = 3x + ，
2 2
4x3 + 4x3 + 4x3 3于是， 1 2 3 = 3 x1 + x2 + x3 + 2
3 cos π cos 5π 7π 3= + + cos
+
è 9 9 9 ÷ 2
= 3cos π 2π- + 3cos π 2π 3cos π 2π 3 ÷ + ÷ + - ÷ +
è 3 9 è 3 9 è 9 2
= 3 cos
π cos 2π + sin π sin 2π π 2π π 2π 2π 3÷ + 3

3 9 3 9
cos cos - sin sin ÷ - 3cos +
è è 3 9 3 9 9 2
1
= 6 cos 2π - 3cos 2π 3+
2 9 9 2
3
= .
24.2 诱导公式与恒等变换
考点一 诱导公式化简
cos π +a
=
cos π +a - cosa
【例 1-1】（2024 浙江·期中）已知角a 的终边经过点P(-1,3)
2 ÷，则 è （ ）
1 1 1 1A． B．-2 C． D．-2 4 4
tan(π +a )cos(2π -a )sin( π +a )
【例 1-2】（2024 辽宁沈阳·阶段练习）已知 f (a ) = 2
cos(π -a )tan(-a )
(1)化简 f (a )
(2)若a (0, 2π) 3，且 f (a ) = - ，求a 的值.
2
1
(3)若a 是第三象限角，且 sin(π +a ) = ，求 f (π -a ) 的值.
5
【一隅三反】
1．（2024 云南·阶段练习）已知角a 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 3, y ，且
tana 4= - ．
3
(1)求 sin a+cos a 的值；
sin π -a + 2cos π +a
(2)求 sin 3 π -a - cos
3 π +a 的值．
è 2 ÷ 2 ÷ è
3（2024 四川成都·期中）已知 tana = 3．
3cos π +a + cos π +a (1) ÷求 è 2 的值．
sin 3π -a - cos -a
(2)求3sin2 a - cos2 a 的值；
考点二 两角和差与二倍角公式辨析
【例 2-1】（1）（2024 江西南昌·阶段练习） cos69ocos24o + sin111osin24o =
（2）（2024 江苏泰州·阶段练习） cos 22°sin 52° - cos 68°sin 38° =
（3）（2024·宁夏银川·二模） tan20° + tan40° + 3tan20°tan40° =
【例 2-2】（2023 春·四川遂宁）（多选）下列三角式中，值为1的是（ ）
o o 2 cos2 π - sin2 π A． 4sin15 cos15 B． 6 6 ÷è
C 1 1 π
o
． + cos D 2 tan 22.5．
2 2 6 1- tan2 22.5o
【一隅三反】
1．（2024 广东佛山· 1期中）（多选）下列选项中，值为 2 的是（ ）
A． 2cos2 15° B． sin 27° cos 3° + cos 27° sin 3°
tan 22.5°
C． 2sin15°sin 75° D．
1- tan2 22.5°
2．（2023 云南）利用特殊角的三角函数值计算：
(1) sin10°cos50° + sin 50°cos10°；
(2) cos15°cos105° - sin105°sin15°；
(3) cos2 105° - sin2 105°；
(4) sin 20°sin10° - cos10°sin 70°；
tan 22° + tan 23°
(5) ；
1- tan 22° tan 23°
1- tan 75°
(6) ．
1+ tan 75°
3．（2024 新疆）求下列各式的值：
(1) 2sin 75°cos 75 π π π°； (2) sin2 - cos2 ； (3) 2cos2 -1；
12 12 8
2 tan 22.5°
(4)1- 2sin2 67°30 ； (5) 2 ； (6) sin15°sin 75°；1- tan 22.5°
2 tan 5π
(7) 2cos2150° -1； (8) 125π ．1- tan2
12
考点三 辅助角公式
【例 3】（2024 上海·课后作业）把下列各式化成 Asin a +j 的形式.
(1) 2cosa + 2 3 sina ；
(2) 1- sina 3+ cosa ；
2 2
(3) 3sina + 4cosa ；
(4) 2sina - 3cosa .
（5） f (x) = 3cosxsinx + sin2x
（6） f (x) = sin 2x
π
- ÷ + 3sin
π
+ 2x

6 ÷è è 3
7 f (x) π 1（ ） = sin (x + )cos x + sin (2x π ) 3+ - .
3 2 3 4
【一隅三反】
（2024 广东潮州）将下列函数化简成 y = Asin( x + j) + B或y = A cos( x + j) + B的形式
（1） f x = sinx 3sinx + cosx
（2） f (x) = sin(π 2x)
π
- + sin + 2x ÷
è 2
f x sin 2x π π（3） = +

÷ + cos

6
2x - ÷
è è 3
π
（4） f x = 2sin2 + x ÷ - 3cos2x
è 4
（5） f (x) = -sin2x + 3sinxcosx
f (x) cosxsin x π= + （6） 3 ÷è
（7） f x = cosx 2 3sinx - cosx 1- cos2x 1+2 2
（8） f x = cos2x + 3sinxcosx 1- x R
2
（9） f (x) = sin2 (x + ) + cos2 x
3
（10） f x = 2 3sin 2x π+ ÷ + 2 3sinxcos - 2cos2x +1
è 3
（11） f (x) = cosxsin
π
- x ÷ - 3sinxsin
π
+ x

÷
è 2 è 2
x x π x π x
（12） f (x) = cos4 + 2sin + ÷cos + ÷ - sin
4 ，x R
2 è 2 2 è 2 2 2
考点四 给值求值
π π 1 2π
【例 4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知a

0,

÷ ， sin

a -

÷ = ，则 cos
a + = （
2 10 3 5 ÷ ）è è è
A 2 2 B 2 2
1 1
．- ． C．- D．
3 3 3 3
π π 5
【例 4-2】（2024·四川眉山·三模）已知a 0, ÷ , cos a + ÷ = - ，则 sina = （2 3 13 ）è è
A 12 + 5 3 B 12 - 5 3 C 12 3 + 5 D 12 3 - 5． ． ． ．
26 26 26 26
π
【例 4-3】（2024 上海宝山·期末）已知a , b 0, ÷， cosa
1
= ， cos a b 3+ = - ，则 sin b = ．
è 2 3 5
π 2 3π
【例 4-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知 sin a + 8 ÷
= ，则 cos 2a - ÷ =（3 4 ）è è
2 2 1 1
A． B - C D -3 ． ． ．3 9 9
π 3 π
【例 4-5】（2024·辽宁丹东·二模）已知 sina + sin a + ÷ = ，则 cos 2a +

÷ = （3 ）è 3 3 è
7 7 2 2
A． B．- C． D9 ．-9 9 9
【一隅三反】
π 1 5π
1．（2024·河南信阳·模拟预测）若 sin a + ÷ = ，则 cos a + ÷ =（ ）
è 3 4 è 6

1 1 1
A． B．- C．± D 15．
4 4 4 4
π
2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sina = 1+ 2 3cosa ，则 sin 2a - =（ ）
è 6 ÷

1 7 3 7
A．- B．- C． D．
8 8 4 8
π 1 π π
3．（2024·湖南常德·一模）已知 cos a + ÷ = sin
-a + sin
è 6 3
，则 ÷ 2a - ÷ =（ ）
è 3 è 6
10 4 2 6A． B．- C． D9 3 ．9 5
π 4 π
4．（2024·山东·模拟预测）已知 cos a - ÷ - cosa = ，则 sin

2a +
=（
3 5 6 ÷ ）è è
7 7 24 24A． B．- C． D．-
25 25 25 25
考点五 给值求角
1
【例 5-1】（2024 江苏盐城·期中）已知 tana = - ，tan b = 2，且a , b 0, π ，则a + b 的值为（
3 ）
π 3π 5π 7π
A． B． C． D．
4 4 4 4
【例 5-2 -2 5 10】（2024 浙江·期末）已知a , b 为钝角，且 cosa = ， sinb = ，则a + b = （ ）
5 10
π 5π 3π 7π
A． B． C． D．
4 4 4 4
【例 5-3】（2024 河南南阳·阶段练习）已知a ， b 0, π 1，且 cosa 7 2= - ， tan a - b = ，则a - 2b =（ ）
10 3
π 3π π π
A．-
3π 3π
或 B． - 或 C．- D． -
4 4 4 4 4 4
【一隅三反】
π 1
1 2024· 2 2．（ 黑龙江双鸭山·模拟预测）已知a , b 0, ÷， cos a - sin a = ，且3sin b = sin(2a + b )，则a + b 的
è 4 7
值为（ ）

A． B12 ． C． D．6 4 3
a , b 0, π 52．（2024·江西九江·二模）已知 ÷， cos a - b = ， tana × tan b
1
= ，则a + b = （
2 6 ）è 4
π π π 2π
A． B． C． D．
3 4 6 3
1 1
3．（2024 陕西西安·期中）已知 tan b -a = ， tana = - ，a , b 0, π ，则 2b -a 的值是（ ）
2 7
π π 3π 3π
A．- B． C． D． -
4 4 4 4
考点六 恒等变化
【例 6-1】（2024 湖北）化简并求值．
3tan12° - 3
(1) 4cos212 ；° - 2 sin12°
cos40° + sin50° 1+ 3tan10°(2) ；
sin70° 1+ cos40°
(3) 3 - 4sin20° + 8sin
320°
．
2sin20°sin480°
【例 6-2】（2024·安徽阜阳·一模）已知 sina + sinb = a,cosa + cosb = b ab 0 ，则 cos a - b = ，
sin a + b = .
【一隅三反】
2sin18o 3cos2 9o - sin2 9o -1
1．（2023·重庆·模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
cos 6o + 3 sin 6o
A 1． 2 B．1 C． 2sin 9
o D． 2
2cos35°
2．（2024 河南南阳·阶段练习） - 3 tan 25° =（
sin 65 ）°
A． 3 B．1 C． -1 D．- 3
3 tan12° - 3
3．（2024 北京） = 4cos2 12° - 2 sin12° ．
4．（2024 山西）求 sin 20°sin 50°( 3 + tan10°) = .
1- 2sin2 °5 2024 5．（ 湖南株洲） - 2cos10° = ．
2sin10°
a + b
6．（2024· · 5 2全国 模拟预测）已知a , b 为锐角，满足 sina + sinb = ,cos a 1+ b = - ，则 sin = ，
6 9 2
cos a - b = ．
一．单选题
cos a + π = -2sina sin
2a - 3cos a
π
+ ÷cosa1．（2024·广东茂名·一模）已知 ，则 è 2 （ ）=
cos2a +1
2 4 7
A． -1 B．- C． D．
5 5 8
2．（2024·广东·二模） tan 7.5° - tan82.5° + 2 tan15° =（ ）
A．-2 B．-4 C．-2 3 D．-4 3
P sin 2023π ,cos 2023π q sinq3．（2024·河北·三模）已知点 ÷ 在角 的终边上，则 = （ ）
è 4 6 2 1+ cosq
A 6 B 6 C 6 D 6． ． ．- ．-
3 2 3 2
π 2 π
4．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 sin q + ÷ = ，则 sin 2q - = （12 3 3 ÷ ）è è
5 1
A．-
5 1
B． C．- D．
9 9 9 9
cos 2q
=
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知 cos
π
-q
1= ，则 π
è 4 ÷ 4 tan q +
（ ）
è 4 ÷
15 15 15 15
A． B． C． D．
2 4 7 8
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 sin a - b = 2cos a + b , tan a - b 1= ，则 tana - tanb =（ ）
2
3 5 4 6
A． B． C． D．
5 3 5 5
2sin80°cos 20°
7．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）求值： = （ ）
1 + 4cos 20°sin2 50°
A 3 B 2 C 1 D 3． ． ． ．
3 2 2
π
8．（2024 山西）已知0 < a < b < , cos 2a + cos 2b +1 = 2cos a - b + cos a + b ，则（
2 ）
a b π πA． + = B．a + b =
6 3
C． b -a
π b a π= D． - =
6 3
二．多选题
1
9．（2024 安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为 的是（ ）
4
A tan15
o
． cos2 75o - sin2 75o B．
1+ tan2 15o
C． cos36o cos 72o D． 2cos 20o cos 40o cos80o
10．（2024 江苏南通·期中）下列等式成立的有（ ）
A． sin2 π 1 3- = B． tan80o - tan 35o - tan80o tan 35o =1
12 2 4
o o
C cos 20o cos 40o cos 60o cos80o
1
= D 2cos10 - sin 20． ． = 3
8 cos 20o
11．（2024 江苏镇江·期中）下列等式成立的有（ ）
A． sin2 75o - cos2 75o 3= B 1． sin15o 3+ cos15o 2=
2 2 2 2
tan 5π
C sin15
o - cos15o 3
． = - D． 245π = 2 + 3sin15o + cos15o 3 1- tan2
24
三．填空题
π 1 π
12．（2023·黑龙江佳木斯·三模）已知 sin q + ÷ = ，q 4 4
, π ÷，则 cosq = ．
è è 2
sin a π 3cosa 113．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 + ÷ - = ，则 sin

2a
π
- ÷ =6 ．è 3 5 è
14 2024 · a , b cosa 1 ,sin a b 5 3．（ 安徽芜湖 期中）已知 为三角形的两个内角， = + = ，则b ＝ ．
7 14
四．解答题
π
15．（2024 江西·阶段练习）已知a 0, 2 ÷
，且3sina + cosa = 5 ．
è
2sin a - 4π + sin a - 7π
(1)求 tana 和 3cos a - 5π + cos 5π 的值； a +
è 2 ÷
b π (2) 10若 0, ，且 ，求a - b 的值．
è 2 ÷
cosb =
10
4
16．（2023 四川南充·期中）在条件：① 2sin 2024π -a = cos 2024π +a ；② sina + cosa 5= - ；③ sin2a = -
5 5
中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
a 3π已知 , π

÷，且满足条件______.
è 4
3sina + 4cosa
(1)求 的值；
cosa - sina
π
(2) 3 10若 b , π2 ÷，且 cosb = - ，求
a + b 的值.
è 10
17．（2024 黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）化简求值：
(1) 1 3- ；
cos80° sin80°
(2) cos 40° 1+ 3 tan10° ；
3π a 4 a
(3)已知a

π,
sin = cos
è 2 ÷
， ，求 的值．
2 5 4
(4)[2sin 50° + sin10°(1+ 3 tan10°)] 1+ cos 20°
3 tan12° - 3
(5)
sin12°(4cos2 12° - 2)
18．（2024 四川成都·期中）已知斜三角形 ABC .
(1)借助正切和角公式证明： tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC .
并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：
① tan20° + tan40° + 3tan20°tan40°，
tan20° + tan40° + tan120°
② ；
tan20°tan40°
(2)若C =135° ，求 tanA + tanB 的最小值.
19．（2024江苏泰州·期中）由倍角公式cos2q = 2cos2 q -1，可知 cos 2q 可以表示为 cosq 的二次多项式．对于 cos3q ，
我们有
cos3q = cos(2q +q ) = cos 2q cosq - sin 2q sinq
= 2cos2 q -1 cosq - 2sin2 q cosq
= 2cos3 q - cosq - 2 1- cos2 q cosq
= 4cos3 q - 3cosq
可见 cos3q 也可以表示成 cosq 的三次多项式．
(1)利用上述结论，求 sin18°的值；
(2)化简 cos 60° -q cos 60° +q cosq ；并利用此结果求 sin 20°sin 40°sin 60°sin80°的值；
1 3
(3)已知方程 4x3 - 3x - = 0在 (-1,1) 3 3 3上有三个根，记为 x
2 1
, x2 , x3，求证： 4x1 + 4x2 + 4x3 = .2

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