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4.1 三角函数的定义及同角三角函数
考点一 任意角与弧度制
【例 1-1】（2024 广东潮州）（多选）下列说法正确的是（ ）
A
4
． 240 B．第一象限的角是锐角
3
C．1 弧度的角比 1°的角大 D．锐角是第一象限的角
【答案】ACD

【解析】对于 A： 240 240
π 4
π，A 正确；
180 3
对于 B：第一象限的角不一定是锐角，比如390 ，B 错误；
π
对于 C：1°的角为 1 C180 弧度，比 弧度的角小， 正确；
对于 D：根据象限角的定义，可得 D 正确.故选：ACD.
【例 1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角a 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y 3x上，
则角a 的取值集合是（ ）
ì π ü ì 2π ü
A． ía a 2kπ + , k Z B． ía a 2kπ + ,k Z
3 3


ì
C． ía a
2π
kπ + ,k Zü ì D． ía a kπ
π
+ , k Zü
3 3


【答案】D
π
【解析】根据题意，角 的终边在直线 y 3x上，a 为第一象限角时，a + 2kπ k Z ；
3
a 4π为第三象限角时，a + 2kπ k Z ；
3
a ìa a π综上，角 的取值集合是 í + kπ,k Z
ü
3
.

故选：D.
【一隅三反】
1．（2024 河南）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a 的集合是（ ）
ìa | 5π 5πA． í + 2kπ a 2k +1 π,k Zü ì B． ía | + kπ a k +1 π,k Zü
6

6
ìa | 7π- + 2kπ a 2k -1 π,k Zü ì πC． í D． ía | - + 2kπ a 2kπ,k Zü
6 6


【答案】B
5π
【解析】终边落在阴影部分的角为 + kπ a (k +1)π ， k Z，
6
ì 5π
即终边落在阴影部分（包括边界）的角a 的集合是 ía | + kπ a k +1 π,k Zü．
6


故选：B．
2（2023 春·青海）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差 2π
D．终边相同的角的弧度都相同
【答案】A
【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，
故 A 正确，B 错误，终边相同的角的弧度制表示相差 2π的整数倍，故 C 错误，D 错误；
故选：A
ì
3．（2024 江西·阶段练习）已知集合 A íx 2kπ
π
+ < x < 2kπ 2π+ ,k Zü，集合
6 3


B ìx kπ π+ < x < kπ π+ ,k Züí ，则 AI B （ ）
4 3
π π π π
A． 2kπ + ,2kπ + ÷ ， k Z B． kπ + ,kπ +4 3 4 3 ÷，
k Z
è è
π
C． 2kπ + ,2kπ
π π π
+
6 3 ÷
， k Z D． kπ + ,kπ + ， k Z
è è 6 3 ÷
【答案】A
ì π
【解析】依题意，B íx 2kπ + < x < 2kπ
π 5π 4π
+ , k Zü
ì
íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z
ü
4 3 4 3
，

ì π 2π ü ì π π π π
而 A íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z ，所以 A B íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z
ü


2kπ + , 2kπ +

，
6 3 4 3 è 4 3 ÷
k Z .
故选：A
考点二 扇形的弧长与面积
【例 2-1】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图 1）的璜身满刻勾云纹，体扁
平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ S ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图
° 3
AB 8cm, AD 2cm, AO 5cm sin 37 , π 3.142）： ，若 5 ，则璜身（即曲边四边形 ABCD）面积近似为（ ）
A．6.8cm2 B．9.8cm2 C．14.8cm2 D． 22.4cm2
【答案】C
【解析】显然VAOB为等腰三角形，OA OB 5, AB 8，
1 AB 3 3
则 cos OAB 2 4 ， sin OAB
°
5 ，又
sin 37 ，
OA 5 5
所以 OAB 37 ，于是 AOB 180 - 2 37 106
53π
，
90
1 2 2 1 53π 2 2
所以璜身的面积近似为 AOB· OA - OD 5 - 32 2 90 14.8 cm
2 .
故选：C
【例 2-2】（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为 1 的圆M 与 x 轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿 x 轴
向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为 N )，标志位于点A 处，圆 N 与 x 轴相切于
点 B ，则阴影部分的面积是（ ）
π π
A．2 B．1 C． D．
3 4
【答案】B
【解析】由圆M 与圆 N 外切，得MN 2，
又圆M ，圆 N 与 x 轴分别相切于原点O和点 B ，则OB MN 2，
所以劣弧 AB 长等于OB 2 ，
1
所以劣弧 AB 对应的扇形面积为 2 1 1 .
2
故选：B
【例 2-3】（2023·天津河东·一模）在面积为 4 的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ）
A．4 B． 2 2 C．2 D．1
【答案】C
【解析】设扇形的半径为R R > 0 ，圆心角为a ，
1 2 8
则 a R 4，所以a 2 ，2 R
8 8
则扇形的周长为 2R +a R 2R + 2 2R × 8，
R R
8
当且仅当 2R ，即R 2时，取等号，此时a 2，
R
所以周长最小时半径的值为 2 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发
展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖
雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图
（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ABCD，如图（2），砖雕厚度为 6cm， AD 80cm，C D 3 AB ，C D
所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： cm2 ）（ ）
A．3200π B． 480π + 960 C．6880π + 960 D．3680π + 960
【答案】C
【解析】
延长DA与CB交于点O．由C D 3 AB ， AD 80cm，得OA 40cm，OD 120cm．
因为C D所对的圆心角为直角，所以C D 60πcm， AB 20πcm ．
2
所以该梅花砖雕的侧面积 S侧 6 C D + AB + AD + BC 480π + 960 cm ，
扇环 ABCD
1
的面积为 π 1202 - π 402 3200π4 cm
2 ，
2
则该梅花砖雕的表面积 S表面积 480π + 960 + 2 3200π 6880π + 960 cm ．
故选：C．
2．（2023·广西·模拟预测）如图，在扇形 AOB中，C 是弦 AB 的中点，D 在 AB 上，CD ^ AB ．其中
1 2OA OB r x， AB 长为 l l < r ．则CD 的长度约为（提示： x 0, ÷时， cos x 1- ）（2 ）è 2
l 2 l 2 2 2A． r - B． C l l． r - D．
8r 8r 4r 4r
【答案】B
l a l 1
【解析】设圆心角a ， l < r ， 0,
r 2 2r 2 ÷
，
è
l 2 2
所以 a l CO è 2r ÷ 2 ，CO r
l
- ，
cos cos 1- 1 l-
2 2r r 2 8r2
8r
l 2 CD l
2
所以 r - r - ÷ ．
è 8r 8r
故选：B.
3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段CE, DF 与分别以OC,OD
为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点C, D 是线段 AB 上的动点，点 O 为线段 AB,CD 的中点，点 E, F 在
以 AB 为直径的半圆弧上，且 OCE , ODF 均为直角.若 AB 1百米，则此步道的最大长度为 百米.
π2 + 4
【答案】
2
【解析】设半圆步道直径为 x 百米，连接 AE, BE ，显然 AEB 90 ，
由点 O 为线段 AB,CD 的中点，得两个半圆步道及直道CE, DF 都关于过点O垂直于 AB 的直线对称，
AC 1则 - x, BC
1
+ x ，又CE ^ AB ，则RtVACE ∽ RtVECB ，有CE22 2 AC × BC
，
1
即有DF 1 1 CE - x2 ，因此步道长 f (x) 2 - x2 + πx 1- 4x2 + πx，0 < x < ，
4 4 2
4x π
求导得 f (x) - + π ，由 f (x) 02 ，得 x ，1- 4x 2 π2 + 4
当0
π π 1
< x < 时， f (x) > 02 ，函数 f (x) 递增，当 < x < 时， f (x) < 02 2 ，函数
f (x) 递减，
2 π + 4 2 π + 4
x π
2 2
因此当
π 2 π π + 4
2 时， f (x) 1- 4( ) + ，2 π + 4 max 2 π2 + 4 2 π2 + 4 2
π2 + 4
所以步道的最大长度为 百米.
2
π2 + 4
故答案为：
2
考点三 三角函数的定义
【例 3-1】（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角q 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
终边经过点P 1,2 ，则7cos2 q - 2sin 2q （ ）
1 1
A．- B． C．－2 D．2
5 5
【答案】A
【解析】由题意可知： tanq 2，
2
7cos2 q 7cos q - 4sinq cosq 7 - 4 tanq 7 - 4 2 1所以 - 2sin 2q - .
sin2 q + cos2 q tan2 q +1 22 +1 5
故选：A.
1
【例 3-2】（2023·河南开封·统考三模）设 α 是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且 cosa x，则 tanα=
3
（ ）
A 2．- B 2 2 2．- C． D．
2 4 2 4
【答案】B
x 1
【解析】由三角函数定义可知： cosa x x ±2 22 3 ，又 α 是第二象限角，x +1
tana y 2故 x -2 2 ，所以 - .故选：B
x 4
【例 3-3】（2024·重庆·模拟预测）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
A 1,a ，B 2,b ，且 cos2a 3 ，则 a - b （ ）
5
A 1 B 5 C 2． 2 ． ． D．15 2
【答案】A
【解析】∵角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A 1, a ，B 2,b ，
且 cos 2a
3
，∴ cos 2a 2cos2 a 1
3
- ，
5 5
2 4 | cosa | 2 | sina | 1解得 cos a ，∴ ，∴ ，
5 5 5
b - a sina 1
∴ tana a - b ．
2 -1 cosa 2
故选：A．
【例 3-4】．（2024·云南昆明·模拟预测）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与圆
2 3 4x + y2 1 相交于点 P ,5 5 ÷，将
a 的终边逆时针旋转45°之后与圆 x2 + y2 1的交点为 B，则点 B 的横坐标为
è
（ ）
A 2 2． B．-
10 10
C 7 2 D 7 2． ．-
10 10
【答案】B
3 4
【解析】由三角函数定义得 cosa ,sina ，
5 5
a 的终边逆时针旋转45°之后圆 x2 + y2 1的交点为 B，
则 cos a + 45° cosa cos 45 sina sin 45 3 2 4 2 2 2° - ° - - ，故点 B 的横坐标为- .故选：B
5 2 5 2 10 10
【一隅三反】
1．（2024 湖北）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，且P(8,3cosa )为a 终边上一点，则
cos 2a ( )
7 7 8
A．- B
8
． -
9 9
C． D．
9 9
【答案】C
tana 3cosa sina【解析】由三角函数定义可知 ，
8 cos 3cos
2 a 8sina 3- 3sin2 a ，
a
sina 1 sina 3 cos 2a 1 2sin2 a 7解得 或 - (舍去)，则 - .9 选：C.3
π
2．（23-24 2 5 5高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆 x2 + y2 1上一点 A( , )，现将点A 绕圆心逆时针旋转 到
5 5 6
点 B ，则点 B 的横坐标为（ ）
A 15 - 2 5． B 15 + 2 5．
10 10
C 2 15 - 5． D 2 15 + 5．
10 10
【答案】C
π
【解析】令坐标原点为O，以射线OA为终边的角为a ，则以射线OB为终边的角为a + ，
6
则 sina 5 2 5 π 2 5 3 5 1 2 15 - 5 ,cosa ， cos(a + ) - ，
5 5 6 5 2 5 2 10
B cos(a π) 2 15 - 5所以点 的横坐标为 + .
6 10
故选：C
3．（2024·全国·二模）已知角a 的顶点与坐标原点重合，始边点 x 轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为
-1, -2 ，则 sin 3a （ ）
A 2 5 B 2 5 C 2 5． ．- ． D 2 5．-
5 5 25 25
【答案】C
cosa -1 5 ,sina -2 2 5【解析】由题意可得 - - ，
-1 2 + -2 2 5 -1 2 + -2 2 5
所以 cos 2a cos2 a - sin2 a
3
- ,sin 2a 2sina cosa 4 ，
5 5

则 sin 3a sin 2a +a sin 2a cosa + cos 2a sina 4 5 3 2 5 2 5
5
-
5 ÷÷
+ - ÷ - .
è è 5 è 5
÷÷
25
故选：C.
4．（2024·湖北黄冈·二模）已知角a ，角b 的顶点均为坐标原点，始边均与 x 轴的非负半轴重合，终边分别过
A 1,3 , B -3,1 tan α +β，则 =（ ）
2
A 1
1 1
．-2或 2 B．2 或- C． 2 D．-22
【答案】D
【解析】记O为坐标原点，因为 A 1,3 , B -3,1 ，所以 OA OB 10 ，
所以点 A 1,3 , B -3,1 ，均在以原点O为圆心 10 为半径的圆上.
连接 AB ，取 AB 的中点M ，连接OM ，则OM ^ AB，
a , b 0,2π xOM a b -a a + b不妨设 ，则 + ，
2 2
所以 tan
a + b
k 1OM - -22 k .AB
故选：D.
考点四 三角函数值正负判断
【例 4-1】（2024 广东深圳）“ cosq > 0且 sin 2q < 0 ”是“q 为第四象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：
因为 cosq > 0，
所以q 为第一象限角或第四象限角或终边在 x 轴的非负半轴，
又 sin 2q 2sinq cosq < 0，则 sinq < 0，
所以q 为第三象限角或第四象限角或终边在 y 轴的非正半轴，
综上知，q 为第四象限角，故充分性成立；
必要性：若q 为第四象限角，则 cosq > 0且 sinq < 0，
此时 sin 2q 2sinq cosq < 0，
故必要性成立，故“ cosq > 0且 sin 2q < 0 ”是“q 为第四象限角”的充要条件，
故选:A.
a
【例 4-2】（2024 四川内江·期末）已知 sina > 0， cosa < 0，则 的终边在（
3 ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为 sina > 0， cosa < 0，
π
所以a 为第二象限角，即 + 2kπ < a < π + 2kπ,k Z，
2
π 2kπ a π 2kπ
所以 + < < + ,k Z，
6 3 3 3 3
a π π
则 的终边所在象限为 , ,
5π , π , 3π , 5π 所在象限，
3 è 6 3 ÷ ÷ ÷ è 6 è 2 3
a
即 的终边在第一、二、四象限.
3
故选：D.
sinx cosx tanx
【例 4-3】（2024 湖北）函数 y + +sinx cosx tanx 的值域是（　　）
A． -1,0,1,3 B． -1,0,3 C． -1,3 D． -1,1
【答案】C
【解析】由题意可知：角 x 的终边不能落在坐标轴上，
sinx cosx tanx
当角 x 终边在第一象限时， y + + 1+1+1=3；sinx cosx tanx
sinx cosxx y tanx当角 终边在第二象限时， + + 1-1-1= -1；sinx cosx tanx
x sinx
cosx tanx
当角 终边在第三象限时， y + + -1-1+1= -1；sinx cosx tanx
sinx cosx tanx
当角 x 终边在第四象限时， y + + -1+1-1= -1, -1,3sinx cosx tanx 因此函数的值域为 ，故选 C.
【一隅三反】
1．（2024·吉林·模拟预测）复数 z sin1+ icos1在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由复数的几何意义知，复数 z sin1+ i cos1在复平面中对应点Z (sin1,cos1)，
又因为1 57.3 ，所以 sin1 > 0， cos1 > 0，
所以点Z 位于第一象限.故选：A.
2．（2024·北京延庆·一模）“ sin 2q > 0 ”是“q 为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
sinq > 0 ìsinq < 0
【解析】因为 sin 2q 2sinq cos
ì
q > 0 í
cosq > 0
或 í
cos
，
q < 0
所以“ sin 2q > 0 ”是“q 为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故选：C.
3．（2024·重庆八中）（多选）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点
P m,1- m ，若m > 0，则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A． sina B． cosa C． sina - cosa D． sin a+cos a
【答案】AC
sina 1- m , cosa m【解析】由三角函数定义，
m2 + 1- m 2 m2 2 ，+ 1- m
所以，对于 A 选项，当m 0,1 时， sina > 0，m 1,+ 时， sina < 0，m 1时，sina 0，所以选项 A 符号
无法确定；
m
对于 B 选项， cosa > 0m2 (1 m)2 ，所以选项
B 符号确定；
+ -
对于 C 选项， sina - cosa
1- 2m
1 1
2 2 ，故当
m 0, ÷ 时， sina - cosa > 0，m ,+ 时，m + 1- m 2 ÷è è 2
1
sina - cosa < 0，m 时， sin α - cos α 0，所以选项 C 的符号无法确定；
2
对于 D 选项， sina + cosa
1- m m 1
s + > 0
m2 + 1- m 2 m2 + 1- m 2 m2 + 1- m 2 ，所以选项 D 符号确定.
所以下列各式的符号无法确定的是 AC 选项.故选：AC.
考点五 三角函数线的应用
1 1 1 1
【例 5-1】（2024·全国·模拟预测）设 a cos ,b sin ,c tan ，则（
3 3 3 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D． c > b > a
【答案】D
π
【解析】先证明：当a
0, ÷ 时， sina < a < tana .
è 2
如图，角a 终边为 OP，其中点 P 为角a 的终边与单位圆的交点，PM ^ x 轴，交 x 轴于点 M，
A 点为单位圆与 x 轴的正半轴的交点， AT ^ x 轴，交角a 终边于点 T，
则有向线段 MP 为角a 的正弦线，有向线段 AT 为角a 的正切线，
设弧P A长 l a 1 a ，
1 1 1
由图形可知： SVOAP < S扇形OAP < SVOAT ，即 OA MP < OA l < OA AT ，2 2 2
1
所以 OA sina
1 1
< OA a < OA tana ，即 sina < a < tana .
2 2 2
sin 1 tan 1则 < ，所以b < c ．
3 3
b
而 3tan
1 1
> 3 1，所以b > a，
a 3 3
所以 c > b > a .
故选：D．
【例 5-2】（2024 福建）已知点P(sina - cosa , tana )在第一象限，则在 0,2 内的a 的取值范围是（ ）
3
A． ( , ) U ( ,
5 ) B． (
, ) U ( , 5 )
2 4 4 4 2 4
3 5 3
C． ( , ) U ( , ) D． (
, 3 ) U (3 , )
2 4 4 2 2 4 4
【答案】B
【解析】由已知点P(sina - cosa , tana )在第一象限得：
sina - cosa > 0， tana > 0，即 sina > cosa ， tana > 0，
5
当 sina > cosa ，可得 + 2k < a < + 2k k Z4 4 ， ．
3
当 tana > 0，可得 2k < a

< + 2k 或 + 2k < a < + 2k ， k Z2 ．2
\ + 2k < a < + 2k 或 + 2k a
5
< < + 2k ， k Z4 2 4 ．

当 k 0时， < a < 或 < a
5
< ．
4 2 4
Q0 a 2 ，
\ a a 5 < < 或 < < ．
4 2 4
故选：B．
【一隅三反】
1．（2024 黑龙江）比较大小，正确的是（　　）．
A． sin( - 5) < sin3 < sin5 B． sin( - 5) > sin3 > sin5
C． sin3 < sin( - 5) < sin5 D． sin3 > sin( - 5)>sin5
【答案】B
3π
【解析】因为 < 5 < 2π ，所以 sin5 < 0．而 sin( - 5) sin(2π - 5)， sin3 sin(π - 3)，
2
由0 < π - 3 < 2π - 5
π
< ，所以， sin(2π - 5) > sin(π - 3) > 0．综上， sin(-5) > sin(3) > sin 5，故选 B．
2
1
2（2023· 0 x 2π sin x cos x 2天津）设 ≤ ≤ ，使 且 < 同时成立的 x 取值范围是（ ）
2 2
é π , 5π ù é π , 7π ù é5π , 7π ù πA． ê 6 6 ú B． ê ú C． ê ú D． ,
5π ù
6 4 6 4 è 4 6 ú
【答案】D
1 5
【解析】因为0 x é ù≤ ≤ 2π ，由正弦曲线得： sin x 时， x
2 ê
,
6 6 ú
cos x 2 x
, 7 由余弦曲线得： < 时， 4 4 ÷
，
2 è
é , 5 ù I , 7 5 ù因为 ê ú ÷ , ， 6 6 è 4 4 è 4 6 ú
sin x 1 2 x
5 ù
所以 且cos x < 同时成立的 x 的取值范围是 , 故选：D
2 2 è 4 6 ú
3．（2024 云南）在平面直角坐标系中， AB,C D, E F ,G H 是圆 x2 + y2 1上的四段弧（如图），点 P 在其中一段上，
角a 以 O 为始边，OP 为终边，若 tana < cosa < sina ，则 P 所在的圆弧是
A． AB B．C D
C．E F D．G H
【答案】C
【解析】由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段 AT 为正切线.
A 选项：当点 P 在 AB 上时， cosa x,sina y，\cosa > sina ，故 A 选项错误；
y
B 选项：当点 P 在C D上时， cosa x,sina y， tana ，\ tana > sina > cosa ，故 B 选项错误；x
C 选项：当点 P 在E F 上时， cosa x,sina y， tana
y
，\sina > cosa > tana ，故 C 选项正确；
x
D 选项：点 P 在G H 上且G H 在第三象限， tana > 0,sina < 0,cosa < 0 ，故 D 选项错误.综上，故选 C.
4．（2024 山东）函数 y＝lg(2sinx－1)＋ 1- 2cos x 的定义域为__________________.
é
【答案】 ê2k + , 2k
5
+ ÷ k Z
3 6
ì 1
ì2sin x -1 > 0
sin x >
2
【解析】要使原函数有意义，必须有 í
1- 2cos x…0
即 í
cos x 1
，
2
如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，
ì 5
2k + < x < 2k + , k Z 6 6
解集为 í ,5 取交集可得 2k + x 2k + , k Z 3 3
é 5
原函数的定义域为 ê2k + , 2k + ÷ k Z 3 6
é
故答案为： ê2k + , 2k
5
+
3 6 ÷
k Z

考点六 同角三角函数简单运用
3π 5
【例 6-1】（2024 四川遂宁）已知a (π, )， cosa - ，则 tana 13 （ ）2
12 5
A．- B．-
5 12
5 12
C． D．
12 5
【答案】D
3π 5 2 12 sina 12
【解析】∵a (π, )， cosa - ，∴ sina - 1- cos a -13 ，∴ tana ，故选：D .2 13 cosa 5
【例 6-2】（2024 海南）已知角a 为第二象限角， tana -3，则cosa （ ）
A 10 10 3 10 3 10．- B． C．- D．
10 10 10 10
【答案】A
【解析】因为a 是第二象限角，所以 sina > 0， cosa < 0，
由 tana
sina
-3 10， sin2 a + cos2 a 1，可得：
cos cosa -
.故选：A.
a 10
【例 6-3】．（2024 广西）已知a (0, π)，且3cos2a -8cosa 5，则 sina （ ）
5 2A． B．
3 3
1
C D 5． ．
3 9
【答案】A
2
【解析】3cos2a - 8cosa 5，得6cos2 a - 8cosa - 8 0，即3cos2 a - 4cosa - 4 0，解得 cosa - 或 cosa 23
5
（舍去），又Qa (0, ),\sina 1- cos2 a .故选：A.
3
【一隅三反】
3 3
1．（2024 河北）已知 sina - ，若 < a < ，则 tana 的值为( ).
5 2
3 4 3 4
A． B． C．- D．-
4 3 4 3
【答案】A
【解析】由 sina
3
- ， sin2 a + cos2 a 1，解得cosa
4
± ，又 < a
3 4
< ，所以 cosa - ，所以
5 5 2 5
tana sina 3 .故选：A.
cosa 4
2．（2024 江苏）已知锐角a 满足 4sin2 a + sin 2a 2，则 cos 2a （ ）
A 5 5．- B． C 2 5 D 2 5． ．-
5 5 5 5
【答案】B
4sin2 a sin 2a 2 sin 2a 2 - 4sin2 a 2 1- 2sin2【解析】由 + 得： a 2cos 2a ，
Q 0 < a < ，\0 < 2a < ，又 sin 2a 2cos 2a ，\sin 2a > 0， cos 2a > 0，
2
ì 2 5
ìsin 2a 2cos 2a sin 2a 5 5
由 ísin2 2a + cos2 2 1得： í ，a \cos 2a
.故选：B.
5 5
cos 2a 5

3．（2024·湖南常德）已知a ( , )2 ， cos 2a 4sin
2 a + sina ，则 tana （ ）
A 3 B 2．- ．- C．- 3 D．-2 2
3 4
【答案】B
【解析】因为 cos 2a 4sin2 a + sina ，所以1- 2sin2 a 4sin2 a + sina ，

6sin2 a + sina -1 0 ， (3sina -1)(2sina +1) 0 ，a ( , )， sina > 02 ，
sina 1
2
所以 ， cosa 1 2 2 sina 2 - 1- ÷ - ， ．故选：B3 tana -è 3 3 cosa 4
考点七 弦的齐次
3sina - cosa
【例 7-1】（2024·河南）已知 tana 3，则 （ ）
sina - 2cosa
4
A． B．2
5
C．5 D．8
【答案】D
3sina - cosa 3tana -1 3 3 -1
【解析】Q tana 3，\cosa 0，\ 8．故选：D．
sina - 2cosa tana - 2 3 - 2
【例 7-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 tana 3，则 sin2 a + sin 2a （ ）
3 3 1 1
A．- B． C． D．-
2 2 4 4
【答案】B
【解析】因为 tana 3，
2
所以 sin2 a + sin 2a sin2 a + 2sina cosa sin a + 2sina cosa
cos2 a + sin2 a
tan2 a + 2 tana 32 + 2 3 3
.
1+ tan2 a 1+ 32 2
故选：B.
【一隅三反】
sinq 1+ sin 2q
1（2024

河南）若 tanq -2，则 （ ）
sinq + cosq
6 2 2 6
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
sinq 1+ sin 2q sinq sin2 q + cos2 q + 2sinq cosq
sinq sinq + cosq
sinq + cosq sinq + cosq
sinq sinq + cosq tan2 q + tanq 4- 2 2
C
sin2 q + cos2
．故选： ．
q 1+ tan2 q 1+ 4 5
1
2．（2024·宁夏）已知 tana 2 ，则 cos 2a - sin 2a ______．
2
【答案】－1
1
【解析】 cos 2a - sin 2a cos2 a - sin2 a - sina cosa
2
cos2a - sin2a - sinacosa 1- tan2a - tanq 1- 22 - 2
-1.
cos2a + sin2a 1+ tan2a 1+ 22
故答案为：－1.
sinq - 2cosq 3
3．（2024· · 2 sin q + cosq浙江杭州 模拟预测）已知 ，则
sinq + cosq 2sinq + cos3
．
q
47
【答案】
135
sinq - 2cosq
【解析】由 2 可得 sinq -4cosq ，即 tanq -4 ；
sinq + cosq
3 -4cosq 3sin q + cosq + cosq -64cos3q + cosq -64cos2q +1
所以 3 2sinq + cos q 2 -4cosq + cos3q -8cosq + cos3q -8 + cos2q
-64cos2q + sin2 q + cos2q -63cos2q + sin2 q -63 + tan2 q

-8 sin2 q + cos2q + cos2q -8sin2 q - 7cos2q -8 tan2 q - 7
2
将 tanq -4 -63 + tan q -63 +16 47代入计算可得 ；
-8 tan2 q - 7 -8 16 - 7 135
sin3q + cosq 47 47
即 .故答案为：
2sinq + cos3q 135 135
考点八 弦的加减乘
【例 8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知 sina + cosa
7
则 sin2a 等于 （ ）
5
12 12 24 24
A．- B． C．- D．
25 25 25 25
【答案】D
【解析】 sina + cosa
7 2 49 24 两边平方得， sin a + 2sina cosa + cos2 a 1+ sin 2a ，所以 sin 2a .
5 25 25
故选：D.
7
【例 8-2】（2024·湖北荆州·三模）已知 sinq + cosq ，则 sinq - cosq 的值为（ ）
13
17 7 17 7
A． B． C．± D．±
13 13 13 13
【答案】C
7 2 49
【解析】由 sinq + cosq ，可得 sinq + cosq 1+ 2sinq cosq ，
13 169
可得 2sinq cosq
120
-
169
则 sinq - cosq 2 sin2 q + cos2 q - 2sinq cosq 1 120 289 + ，
169 169
因为 2sinq cosq
120
- < 0，所以sinq 与 cosq 异号，可得q 为第二或第四象限，
169
17
当q 为第二象限角时，可得 sinq - cosq ；
13
17
当q 为第四象限角时，可得 sinq - cosq - .
13
故选：C.
【例 8-3】（2024·辽宁沈阳·二模）已知 a 0, π ，且 sina + cosa 1 ，则 tan2a （ ）
5
12 12 24 24
A． B．- C． D．-
7 7 7 7
【答案】C
sina cosa 1【解析】 + 则 sina + cosa 2 1+ 2sin a cos a 1 ，
5 25
即 sin a cos a
12
- ，
25
又因为 a 0, π π，故 sin a > 0 ， cos a < 0， a ,π ÷ ，
è 2
sina - cosa 2故 1- 2sin a cos a 49 π 7 ，因为 a ,π2 ÷ ，则 sina - cosa ，25 è 5
sina cosa 1 sina 4结合 + 可得 ， cosa
3 4
- ，则 tana - .
5 5 5 3
8
-
故 tan2a
2 tan a 24
3
1- tan2 a
1 4
2 .
- -
7
÷
è 3
故选：C
【一隅三反】
a , 3 11．（2024·河南 ）已知 2 2 ÷，
sin 2a ，则 sina + cosa （ ）
è 3
A 2 3．- B 2 3 C 2 3． ．± D 6．-
3 3 3 3
【答案】A
4 1
【解析】 sina + cosa 2 1+ sin 2a ，所以 sina cosa > 0
3 6
a 3 3 ∵ , ÷， sina cosa > 0 ∴a
, .∴ sina cosa 4 2 3， ÷ + - - .故选：A.
è 2 2 è 2 3 3
sinq + cosq cos2q
2．（23-24 5 高三上·安徽·阶段练习）已知q 是三角形的一个内角，满足 cosq - sinq - ，则
5 sinq
（ ）
2 9 2 9
A．- B．- C． D．
5 10 5 10
【答案】B
1
【解析】因为 cosq - sinq 5 - ，两边平方得1- 2sinqcosq ，
5 5
即 2sinqcosq
4
，可得 (sinq + cosq )2 n1+n2sinqcosq
9
，
5 5
因为q 是三角形的一个内角，且 2sinqcosq
4
，所以 sinq > 0,cosq > 0，
5
所以 sinq + cosq > 0，得 sinq + cosq 3 5 ，
5
又因为 cosq - sinq 5 - ， sinq + cosq 3 5 ，
5 5
联立解得： sinq 2 5 ， cosq 5 ，故有： tanq 2，
5 5
sinq + cosq cos2q sinq + cosq cos2q - sin2q tanq +1 1- tan2q 9
从而有 × 2 2 × - ．sinq sinq cos q + sin q tanq 1+ tan2q 10
故选：B．
π
3．（23-24 高三上·浙江·开学考试）已知 sina cosa
1
- 0 a π sin ， ，则 2a -

÷ （5 4 ）è
A 17 2 B 17 2 C 31 2 D 31 2．- ． ．- ．
50 50 50 50
【答案】D
【解析】将 sina - cosa
1 1
平方得1- 2sina cosa ，
5 25
2sina cosa 24 a 0,
π
所以 ，则 ÷ ．25 è 2
所以 sina + cosa 2 1+ 2sina cosa 1 24 49 + ，
25 25
从而 sina + cosa
7
．
5
ì
sina - cosa
1
ì sina
4

5 5
联立 í ，得 í
sina cosa 7 cosa 3
．
+
5 5
2 2
所以 sin 2a 2sina cosa
24
， cos 2a cos2 a - sin2 a 3 4 7
25 ÷
- ÷ - ．
è 5 è 5 25
sin 2a π 2故 - ÷ sin 2a - cos 2a
2 é24 7 ù 31 2
- - ÷ ．
è 4 2 2 ê ú 25 è 25 50
故选：D
4．（2024 甘肃）函数 f x sin x + cos x + sin 2x的最大值为（ ）
A．1 B．1- 2 C．1+ 2 D．3
【答案】C
【解析】 f x sin x + cos x + sin 2x sin x + cos x + 2sin x cos x ，
令 t sin x + cos x 2 sin

x + ÷，所以 t [- 2, 2]，则
è 4
t2 (sin x + cos x)2 1+ 2sin xcos x ，
所以 2sin x cos x t 2 -1，
所以原函数可化为 y t 2 + t -1， t [- 2, 2]，
1
对称轴为 t - ，
2
所以当 t 2 时， y t 2 + t -1取得最大值，
2
所以函数的最大值为 2 + 2 -1 2 +1，
即 f x sin x + cos x + sin 2x的最大值为1+ 2 ，
故选：C
一．单选题
ì π π ü ì
1．（2024 贵州贵阳）已知集合 A ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，B ía kπ
π π
+ a kπ + , k Zü ，则
4 2 4 2
（ ）
A． A B B．B A C． A B D． A B
【答案】A
ì π π
【解析】当 k 2n,n Z时，B ía 2nπ + a 2nπ + ,k Z
ü
A，
4 2
π π
当 k 2n +1,n Z
ì
时，B ía 2nπ + π + a 2nπ + π + ,k Z
ü
，
4 2
所以 A B .
故选：A
2．（2024·山东济南·三模）若 sina - cosa 2 ，则 tana （ ）
A．1 B． -1 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】因为 sina - cosa 2 ，
所以 sina - cosa 2 sin2 a + cos2 a - 2sina cosa 1- sin 2a 2，
sin 2a 1 2a 2kπ 3 3所以 - + π,k Z a kπ + π,k Z，
2 4
所以 tana -1，
故选：B

3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知a 0,
π
÷ ， sin 2a cos 2a ，则 tana （2 ）.è
A．-1+ 2 B．-1- 2
C．1+ 2 D．1- 2
【答案】A
π
【解析】因为 sin 2a cos 2a ，则 2sina cosa cos2 a - sin2 a ，且a 0, ÷ ，则 cosa > 0, tana > 0，
è 2
可得 2 tana 1- tan2 a ，即 tan2 a + 2 tana -1 0，解得 tana -1+ 2 或 tana -1- 2 （舍去）.
故选：A.
4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 sin 2x,sin x 分别是 sinq 与 cosq 的等差中项和等比中项，
则cos2x的值为（ ）
A 1+ 33 B 1- 33 C 1± 33 D 1- 2． ． ． ．
8 8 8 4
【答案】A
【解析】依题意可得 2sin 2x sinq + cosq ， sin2 x sinq cosq ，
且 sin2 q + cos2 q sinq + cosq 2 - 2sinq cosq 4sin2 2x - 2sin2 x 1，
2
所以 4 1- cos 2x + cos 2x - 2 0，即 4cos2 2x - cos 2x - 2 0，解得 cos 2x 1± 33
8
又因为 sin2 x sinq cosq ，所以 cos 2x 1- 2sin2 x 1- sin 2q 0，
cos 2x 1+ 33所以 故选:A
8
cos2a 1 sin2a- -
5．（2025 河北·统考模拟预测）已知 tana 2 ，则 2 tan a π+ 的值为（ ）
è 4 ÷
1 4 3 1
A． B． C．- D．-
30 5 10 30
【答案】D
tana tan ππ + 2 +1
【解析】因为 tana 2 ，所以 tan a + ÷ 4 -3，
è 4 1- tana π tan 1- 2
4
cos2a 1 sin2a 1+ cos 2a 1 sin2a cos 2a sin2a- - - + +
则 2 tan a π+ 2 2 3 2 3 4 ÷è
cos2a - sin2 a 2sina cosa cos2a - sin2 a 2sina cosa
+
2 3 2(cos2
+
a + sin2 a ) 3(cos2a + sin2 a )
1- tan2 a 2 tana 1- 4 4 1
2 + + - .2(1+ tan a ) 3(1+ tan2 a ) 2(1+ 4) 3(1+ 4) 30
故选：D
sin a 2cos a+
6·（2024 陕西西安·模拟预测）已知角a 的始边为 x 轴的非负半轴，终边经过点P 4, -3 ，则 2 2
5cos a sin a

-
2 2
（ ）
5 5 5 5 1
A． B． C． 或 D．
2 16 2 16 4
【答案】B
3π
【解析】由题意，得角a 是第四象限角，则 + 2kπ 2
3π
故 + kπ <
a < π+kπ,k Z a a，则 为二 四象限角，则 tan < 0，4 2 2 2
2tan a
又因为 tana
3
2 - ，
1- tan2 a 4
2
所以 tan
a
3（舍去）或 tan
a 1
- ，
2 2 3
sin a + 2cos a tan a + 2
所以 2 2 2
5
.
5cos a - sin a 5 - tan a 16
2 2 2
故选：B.
7．（2024·山西太原）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，
阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现
代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH ）是由图 1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图
2 的平面直角坐标系，设OA 1 .则下列错误的结论是（ ）
uuur uuur
A．OA ×OD 2 -
2
ì 5 ü
B．以射线OF 为终边的角的集合可以表示为 ía a + 2k , k Z4

C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦 AB 所对的劣弧弧长为
4
D．正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2
【答案】D
1 3
【解析】由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为 6 ，
8 4
AOB 1 BOC COD ××× HOA 2 ，
8 4
uuur uuur uuur 3
因为 OA OB ××× OH 1， AOD 3 ，
4 4
uuur uuur uuur uuur
所以OA ×OD OA OD cos 3 2 - ，所以 A 正确；
4 2
AOF 5 5
5
因为
ì
，所以以射线OF 为终边的角的集合可以表示为 ía a + 2k , k Z
ü
，所以 B 正确；4 4 4

对于 C，因为 AOB ，半径为 1，所以弦 AB 所对的劣弧弧长为 1 ，所以 C 正确；
4 4 4
1 1 2 2
对于 D，因为 SVOAB OA OB sin AOB 1 1 ，所以正八边形 ABCDEFGH 的面积为2 2 2 4
8 2 2 2 ，所以 D 错误，
4
故选：D
a 3sin 1 ,b cos 1 ,c 178．（2024 陕西西安·期末）已知 ，则（ ）
3 3 18
A． c > b > a B． a > b > c C． a > c > b D． c > a > b
【答案】B
π
【解析】设 AOB a 0, ÷，作出单位圆，与 x 轴交于A 点，则 A 1,0 ，
è 2
过点A 作 AC 垂直于 x 轴，交射线OB于点C ，连接 AB ，过点 B 作BD ⊥ x 轴于点D，
由三角函数定义可知 AC tana ，BD sina ， AB a ，
1 1 1
设扇形OAB 的面积为 S1，则 SVOAC > S1 > SVABO ，即 tana > a > sina ，2 2 2
故 tana > a > sina ，
sin 1 1
所以 tan
1 1
> 3，即 1 > ，3 3 cos 3
3
cos 1 0 1 1又 > ，故3sin > cos ， a > b，
3 3 3
b - c cos
1 17
- 1- 2sin2 1 17 1- - 2sin2 1 1 2 - sin2 1 ，
3 18 6 18 18 6 ֏ 36 6
1 1
因为 sin
1 1
< ，所以b - c 2

- sin
2
÷ > 0，故b > c，6 6 è 36 6
综上， a > b > c .
故选：B
二．多选题
9．（2024·广东佛山·一模）已知角q 的终边过点P 3,4 ，则（ ）
A． cos2q
7
- B． tan2q
24
-
25 7
C q 2 5 q 1． cos D． tan
2 5 2 2
【答案】ABD
【解析】因为角q 的终边过点P 3,4 ，
cosq 3 3 sinq 4 4 tanq 4所以 ， ， ，
32 + 42 5 32 + 42 5 3
所以 cos2q 2cos2 q 1 2
9 7
- -1 - ，
25 25
4
tan2q 2 tanq
2 24
32 16 - ，故 A 和 B 正确，1- tan q 1- 7
9
因为 2kπ < q < 2kπ
π
+ k Z ，
2
所以 kπ
q π q
< < kπ + k Z ，即角 的终边位于第一象限或第三象限，
2 4 2
q
所以 tan > 0，但 cos
q
> 0或 cos
q
< 0均满足题意，故 C 错误，
2 2 2
2tan q
由 tanq 2
4 2 q q
1 tan2 q
，得 2tan + 3tan - 2 0，
- 3 2 2
2
tan q解得 -2（舍去）或 tan
q 1
，故 D 正确.
2 2 2
故选：ABD
10．（2024·湖南·模拟预测）已知q R ，双曲线 C： x2 cosq + y2 sin 2q 1，则（ ）
A．q 可能是第一象限角 B．q 可能是第四象限角
C．点 1,0 可能在 C 上 D．点 0,1 可能在 C 上
【答案】BD
【解析】根据题意，可得 cosq sin 2q < 0，即 sinq cos2 q < 0 ，即 sinq < 0且 cosq 0，
所以q 在第三象限或第四象限.故 A 错误，B 正确；
当q 在第三象限时，有-1 < sinq < 0，-1 < cosq < 0， sin 2q > 0，
y2 x2 x2
1 - 1 1
5π y2 - 1
双曲线方程为 ，当 sin 2q 1即q + 2kπ ， k Z时，方程为 2 ，- 4
sin 2q cosq 2
所以点 0,1 在双曲线上，故 D 正确；
当q 在第四象限时，有-1 < sinq < 0，0 < cosq <1， sin 2q < 0，
x2 y2
- 1
双曲线方程为 1 1 1，因为 >1，所以点 1,0 不在双曲线上，故 C 错误.
- cosq
cosq sin 2q
故选：BD.
11．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A 1,0 ，以 x 轴的非负半轴为始边作锐角
a π，b ，a - b ，它们的终边分别与单位圆相交于点P1， A1， P ．若a ，则下列说法正确的是（ ）3
π 1
A．当 b 时，VOA1P 的面积为4 4
b π πB．当 时，扇形OA1P1的面积为6 6
b πC．当 时，四边形OAPA 2 + 6 - 21的面积为4 8
D．四边形OAA1P1面积的最大值为 1
【答案】AC
【解析】由题意，得圆的半径 r 1， AOP1 α ， AOA1 b ， AOP a - b ．
π π π
对于 A，由a ， b ，得 A1OP b - a - b 2b -a ，3 4 6
S 1 π 1则 △OA P 1 1 sin ，故 A 正确；1 2 6 4
π π π π
对于 B，当 b 时，因为 P1OA1 a - b - ，6 3 6 6
所以扇形OA1P
1 π π
1的面积 S 1
2 ，故 B 错误；
2 6 12
π 1
对于 C，当 b 时， S四边形OAPA S△OAP + S△OA P 1 1 sin a
1
- b +
4 1 1 2 4
1 π π 1 2 + 6 - 2
sin - ÷ + ，故 C 正确；2 è 3 4 4 8
对于 D， S四边形OAA P S1 1 △AOA + S1 △P1OA1
1
1 1 1 sin b + 1 1 sin a - b 1 sin b 1+ sin a - b ，
2 2 2 2
π 1 1
由a ，得 S OAA P sin b + sin
π - b
3 四边形 1 1 2 2 è 3 ÷
1
sin b 1+ sin π cos b - cos π sin b
2 2 3 3 ֏
1 3 1 sin b cos b 1 sin b 3

+ + cos b
1 π
sin b + ，
4 4 2 ÷÷ ÷è 2 2 2 è 3
b π π b π 1所以当 + ，即 时， S四边形OAA1P1 取得最大值，为 2 ，故 D 错误．3 2 6
故选：AC
三．填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知角q 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴．若 P m, 2 是角q 终边上一点，
cosq 3 10且 - ，则m ．
10
【答案】-6
cosq m 3 10【解析】由题设知 - ，
m2 + 4 10
10m2即 9 m2 + 4 ，且m < 0，
即m2 36，且m < 0，
解得m -6，
故答案为：-6 .
13．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.
π π
若a
é , ùê ú ，则 cos b 的最大值为 ． 6 3
1
【答案】- / -0.5
2
【解析】由题意 b a + π + 2kπ,k Z，从而 cos b cos a + π + 2kπ -cosa ，
é π é ù é ù
因为a ê ,
π ù 1 3 3 1
ú ，所以 cosa 的取值范围是 ê , ú， cos b 的取值范围是 - ,- ， 6 3 2 2
ê 2 2ú
a π b 4π当且仅当 ，即 + 2kπ,k
1
Z时， cos b 取得最大值，且最大值为- .
3 3 2
1
故答案为：- .
2
14．（2024· 2 2湖北鄂州·一模）曲线 x + y 2 x - 2 y 所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】 2π - 4
2
【解析】对于曲线 x + y2 2 x - 2 y ，
2 2
在上式中，将 y 换成 -y得 x + y 2 x - 2 y ，即曲线关于 x 轴对称，
将 x 换成-x x2 + y2得 2 x - 2 y ，即曲线关于 y 轴对称，
因此只需考虑在第一象限的情形，
x 0 y > 0 x2 + y2 2x - 2y x -1 2 + y +1 2当 > ， 时曲线即 ，即 2，
1
所以曲线在第一象限内与 x 轴所围成的图形是由半径为 2 的 圆去掉一个等腰直角三角形而形成的图形，4
2 2
根据对称性可得曲线 x + y 2 x - 2 y 所围成的封闭图形为下图阴影部分，
é1 2
所以所围成的封闭图形的面积 S 4 ê π 2 1 - 2 2 ù 4 2 ú 2π - 4．
故答案为： 2π - 4 .
四．解答题
15．（2024 5上海·专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知锐角a 的终边与单位圆交点的纵坐标为 ，锐角b
5
3 10
的终边与单位圆交点的横坐标为 ．
10
(1)求 cosa 和 sin b 的值；
(2)求a + b 的值．
(1) cosa 2 5 ,sin b 10【答案】
5 10
π
(2)a + b
4
1 sina 5 cos b 3 10【解析】（ ）由三角函数的定义可知， ， ，
5 10
因为a ，b 为锐角，
所以 cosa 1- sin2 a 5 2 5 1- ，
25 5
sin b 1 cos2 b 1 90 10 - - ；
100 10
（2 sina 5 cos b 3 10 2 5 10）因为 ， ， cosa ,sin b ，
5 10 5 10
所以 cos(a + b ) cosa cos b - sina sin b 2 5 3 10 5 10 2 - ，
5 10 5 10 2
因为 0 < a
π 0 b π< ， < < ，所以0 < a + b < π ，
2 2
a b π所以 + ．
4
16．（2024 江苏）已知 sina 和 cosa 是关于 x 方程 2x2 + 4kx + 3k 0的两个实根．
(1)求实数 k 的值；
(2)若a (0, π) ，求 cosa - sina 的值．
1
【答案】(1) k -
4
(2) 7-
2
【解析】（1）Qsina 、 cosa 是关于 x 的方程 2x2 + 4kx + 3k 0的两个根，
\ sina + cosa -2k,sina cosa 3k
2 ，Δ 16k
2 - 24k 0 ，
1
\(sina + cosa)2 1+ 2sina cosa 1+ 3k 4k2 ，解得 k 1或- ，
4
Q 3由Δ 16k 2 - 24k 0 ，得 k 或 k 0，
2
\ k 1 - ；
4
（2）Q a (0, π)，
又由（1）可得 sina + cosa
1 3
> 0， sina cosa - < 0 ，
2 8
\a π ( , π)
2 ，
\cosa - sina - (cosa - sina )2 - 1 2sina cosa 3 7- - 1- 2 (- ) - ．
8 2
17．（2024 辽宁大连·期中）已知函数 f q cosq - sinq .
sinq + cosq
(1)若q 5是三角形的一个内角， f q - ，求 的值；
5 sin 2q
1 π 3π
(2)设函数 g q f q × tanq + ù ÷，若 g q > 2m 在q ,
è tanq

è 2 4 ú
时恒成立，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) 3 5
4
(2) m < 2
【解析】（1） f q cosq sinq 5- - ，
5
1 2sinq cosq 1两边平方得 - ，所以 sinq cosq
2
，
5 5
又因为q 0, π ，所以 sinq > 0,cosq > 0，
则 sinq + cosq 3 5 sinq + cosq 2 1+ 2sinq cosq ，
5
sin 2q 2sinq cosq 4 ，
5
3 5
sinq + cosq
所以 5 3 5
sin 2q 4
；
4
5
g q f q tanq 1 cosq sinq sinq cosq cosq - sinq（2） × + tanq ÷ - + ÷ ，è è cosq sinq sinq cosq
令 t cosq - sinq 2 cos
π
q +
π
÷，因为q ,
3π ù π 3π ù
2 4 ú ，所以
q +
4 4
, π
è è è 4 ú
所以 t é - 2,-1 ，
2 cosq - sinq t 2
则 sinq cosq 1- t ，则 sinq cosq 1- t 2 1
2 - t
，
2 t
h t 2
令 1 t é- 2,-1- t ， ，
t
1
因为函数 y , y -t 在 t é - 2,-1 上都是减函数，t
1
所以函数 y - t 在 t é - 2,-1 上是减函数，t
1
则 t - 2 时， y - t
2
取得最大值 ，
t 2
h t 2
此时 1 - t 取得最小值 2 2 ，
t
所以 2m < 2 2 ，所以m < 2 .
18．（2024 北京）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰
外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地 AOB 分成三部分，
2π
分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为 70 米，圆心角为 ，动点 P 在扇形的弧上，点 Q 在
3
OB 上，且PQ / /OA．
(1)求扇形空地 AOB 的周长和面积；
(2)当OQ 50米时，求 PQ 的长；
(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ 的面积尽可能的大．设 AOP q ，求△OPQ 面积的
最大值．
140 4900
【答案】(1)周长为140 + π 米，面积为 π 平方米
3 3
(2)80米
(3)1225 3 平方米
2π
【解析】（1） l =ar 70
140 π 140
扇 ，则扇形空地 AOB 的周长为 2r + l =140 + π3 3 扇
，
3
S = 1 ar 2 1 2π 702 4900面积 π扇形 ；2 2 3 3
（2）由PQ / /OA
2π π
，故 PQO π - ，
3 3
由余弦定理可得OP2 OQ2 + PQ2 - 2 OQ PQ cos PQO ，
即 4900 2500 + PQ2 - 50PQ，即有PQ2 - 50PQ - 2400 0，
即 PQ + 30 PQ -80 0，故 PQ -30（负值舍去）或 PQ 80，
即 PQ 80；
（3）由PQ / /OA，故 OPQ AOP q ，又 PQO
π
，
3
OP OQ
π sin OQ 140 3由正弦定理可得 sin q ，即 sinq ，
3 3
S 1 OP OQ sin 2π q 4900 3 sinq sin 2π则 VOPQ - ÷ -q

，
2 3 ÷è 3 è 3
令 f q sinq sin 2π -q ÷，
è 3

则 f q sinq sin 2π -q ÷ sinq
1 3
3 è
sinq + cosq
2 2 ÷÷è
1 sin2 q 3 + sinq cosq 1- cos 2q 3 + sin 2q 1 sin 2q π- 1+ ，
2 2 4 4 2 è 6 ÷ 4
f q 1 1 3 π π有最大值 + ，此时 2q - ，即q π ，可取，
2 4 4 6 2 3
S 4900 3 3此时 VOPQ 1225 3 平方米.3 4
ìx ax + by
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，利用公式 í ①y cx dy （其中
a，b ， c，d 为常数），将点
+
P x, y 变换为点 P x , y 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 a，
a bc
a b
b ， ，d 组成的正方形数表 c d ÷唯一确定，我们将 c d ÷称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
A ，
è è
B ，…表示．

(1)在平面直角坐标系 xOy 中，将点P 3,4 绕原点O按逆时针旋转 得到点 P （到原点距离不变），求点 P 的坐
3
标；
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点P x, y 绕原点O按逆时针旋转a 角得到点P x , y （到原点距离不
变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
uuur x
(3)向量OP x, y （称为行向量形式），也可以写成 y ÷，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可è
x a b x x a b x
以表示为： ÷ ÷ ÷ ，则称 ÷是二阶矩阵 ÷与向量 ÷的乘积，设A 是一个二阶矩阵，m
r r
， n
è y èc d è y è y èc d è y
A mr nr r r是平面上的任意两个向量，求证： + Am + An ．
3
【答案】(1) P - 2 3,2
3 3
+
2 2 ÷÷è
ìx x cosa - y sina cosa -sina
(2) í
y x sina + y cos
，
a è sina cosa
÷

(3)证明见解析
3 4
【解析】（1）可求得OP OP 5，设 POx q ，则 cosq ， sinq
5 5
，

设点P x , y ， POx q + ，
3

故 x 5cos
q +

÷ 5
1
cosq
3
- sinq 3 - 2 3
è 3 è 2 2 ÷
÷
2
1 3 y 3 3 5sin q + ÷ 5 sinq + cosq ÷è 3 2 2 ÷
2 +
è 2

P 3 2 3,2 3 3

所以 - +2 2 ÷÷
.
è
（2）设OP OP r， POx q ，则 x r cosq ， y r sinq ， P Ox q +a ，
故 x r cos q +a r cosq cosa - r sinq sina x cosa - y sina
y r sin q +a r sinq cosa + r cosq sina x sina + y cosa
ìx x cosa - y sina
所以坐标变换公式为 í
y x sin
，
a + y cosa
cosa -sina
该变换所对应的二阶矩阵为
è sina cosa
÷

a b r x1 r x2 r r x + x
（3）设矩阵 A ÷，向量m ÷， n ÷，则m + n
1 2
c d y y y y ÷ ．è è 1 è 2 è 1 + 2
x + x
r r a b 1 2
a x1 + x2 + b y + yA m + n 1 2 c d ÷ y ÷ è è 1 + y2 èc x1 + x2 + d y
÷，
1 + y2
ì x a x1 + x2 + b y1 + y2
对应变换公式为： í
y c x1 + x2 + d y1 + y
，
2
r a b x1 ax1 + by1 Am Anr
a b x2 ax2 + by2 ÷ ÷ ÷ ， c d ÷ ÷
÷
è è y1 ècx1 + dy1 èc d è y2 ècx2 + dy2
r r ax1 + by1 ax + by a x + x + b yAm + An + 2 2 1 2 1 + y2 所以 cx + dy ÷ ÷ ÷è 1 1 ècx2 + dy2 èc x1 + x2 + d y1 + y2
ìx a x1 + x2 + b y1 + y2
故对应变换公式同样为 í
y c x1 + x2 + d y1 + y2
r
所以 A m + nr Amr Anr+ 得证.4.1 三角函数的定义及同角三角函数
考点一 任意角与弧度制
【例 1-1】（2024 广东潮州）（多选）下列说法正确的是（ ）
A． 240
4
B．第一象限的角是锐角
3
C．1 弧度的角比 1°的角大 D．锐角是第一象限的角
【例 1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角a 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y 3x上，
则角a 的取值集合是（ ）
ìa a 2kπ π , k Zü ìa a 2kπ 2π üA． í + B． í + ,k Z
3 3
ìa a kπ 2πC． í + ,k Z
ü ì
D． ía a kπ
π
+ , k Zü
3 3
【一隅三反】
1．（2024 河南）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角a 的集合是（ ）
ìa | 5πA． í + 2kπ a 2k +1 π,k Zü ì B． ía | 5π + kπ a k +1 π,k Zü
6 6
ì
C． ía |
7π π
- + 2kπ a 2k -1 π,k Zü ì D． ía | - + 2kπ a 2kπ,k Zü
6

6
2（2023 春·青海）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差 2π
D．终边相同的角的弧度都相同
ì π 2π
3．（2024 江西·阶段练习）已知集合 A íx 2kπ + < x < 2kπ + ,k Z
ü
6 3
，集合

B ìx kπ π í + < x < kπ
π
+ ,k Zü，则 AI B （
4 3 ）
π π π π
A． 2kπ + ,2kπ + ÷ ， k Z B． kπ + ,kπ +4 3 4 3 ÷，
k Z
è è
π π π π
C． 2kπ + ,2kπ +

÷ ， k Z D． kπ + ,kπ + ÷， k Z
è 6 3 è 6 3
考点二 扇形的弧长与面积
【例 2-1】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图 1）的璜身满刻勾云纹，体扁
平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ S ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图
° 3
2）： AB 8cm, AD 2cm, AO 5cm
sin 37 , π 3.14
，若 5 ，则璜身（即曲边四边形 ABCD）面积近似为（ ）
A．6.8cm2 B．9.8cm2 C．14.8cm2 D． 22.4cm2
【例 2-2】（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为 1 的圆M 与 x 轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿 x 轴
向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为 N )，标志位于点A 处，圆 N 与 x 轴相切于
点 B ，则阴影部分的面积是（ ）
π π
A．2 B．1 C． D．
3 4
【例 2-3】（2023·天津河东·一模）在面积为 4 的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ）
A．4 B． 2 2 C．2 D．1
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发
展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖
雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图
（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ABCD，如图（2），砖雕厚度为 6cm， AD 80cm，C D 3 AB ，C D
所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： cm2 ）（ ）
A．3200π B． 480π + 960 C．6880π + 960 D．3680π + 960
2．（2023·广西·模拟预测）如图，在扇形 AOB中，C 是弦 AB 的中点，D 在 AB 上，CD ^ AB ．其中
2
OA OB r，
1 x
AB 长为 l l < r ．则CD 的长度约为（提示： x 0, ÷时， cos x 1- ）（2 ）è 2
2 2 2 2
A． r l B l- ． C． r l- D l．
8r 8r 4r 4r
3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段CE, DF 与分别以OC,OD
为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点C, D 是线段 AB 上的动点，点 O 为线段 AB,CD 的中点，点 E, F 在
以 AB 为直径的半圆弧上，且 OCE , ODF 均为直角.若 AB 1百米，则此步道的最大长度为 百米.
考点三 三角函数的定义
【例 3-1】（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角q 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，
终边经过点P 1,2 ，则7cos2 q - 2sin 2q （ ）
1 1
A．- B． C．－2 D．2
5 5
【例 3-2】（2023·河南开封·统考三模）设 α 是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且 cosa
1
x，则 tanα=
3
（ ）
A 2．- B 2 C 2 D 2．- ． ．
2 4 2 4
【例 3-3】（2024·重庆·模拟预测）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点
A 1,a ，B 2,b ，且 cos2a 3 ，则 a - b （ ）
5
A 1 B 5 C 2． 2 ． ． D．15 2
【例 3-4】．（2024·云南昆明·模拟预测）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与圆
x2
3 4
+ y2 1 相交于点 P ,
a
5 5 ÷，将 的终边逆时针旋转45°之后与圆 x
2 + y2 1的交点为 B，则点 B 的横坐标为
è
（ ）
A 2． B 2．-
10 10
C 7 2． D 7 2．-
10 10
【一隅三反】
1．（2024 湖北）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，且P(8,3cosa )为a 终边上一点，则
cos 2a ( )
7 7 8
A．- B
8
． -
9 9
C． D．
9 9
π
2．（23-24 2 5 5高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆 x2 + y2 1上一点 A( , )，现将点A 绕圆心逆时针旋转 到
5 5 6
点 B ，则点 B 的横坐标为（ ）
A 15 - 2 5 B 15 + 2 5． ．
10 10
C 2 15 - 5 D 2 15 + 5． ．
10 10
3．（2024·全国·二模）已知角a 的顶点与坐标原点重合，始边点 x 轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为
-1, -2 ，则 sin 3a （ ）
A 2 5． B 2 5 2 5 2 5．- C． D．-
5 5 25 25
4．（2024·湖北黄冈·二模）已知角a ，角b 的顶点均为坐标原点，始边均与 x 轴的非负半轴重合，终边分别过
A 1,3 , B -3,1 ，则 tan α +β =（ ）
2
1
A 2 1．- 或 2 B 2
1
． 或- C． 2 D．-22
考点四 三角函数值正负判断
【例 4-1】（2024 广东深圳）“ cosq > 0且 sin 2q < 0 ”是“q 为第四象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
a
【例 4-2】（2024 四川内江·期末）已知 sina > 0， cosa < 0，则 的终边在（
3 ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
sinx cosx tanx
【例 4-3】（2024 湖北）函数 y + +sinx cosx tanx 的值域是（　　）
A． -1,0,1,3 B． -1,0,3 C． -1,3 D． -1,1
【一隅三反】
1．（2024·吉林·模拟预测）复数 z sin1+ icos1在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·北京延庆·一模）“ sin 2q > 0 ”是“q 为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·重庆八中）（多选）已知角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点
P m,1- m ，若m > 0，则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A． sina B． cosa C． sina - cosa D． sin a+cos a
考点五 三角函数线的应用
1 1 1 1
【例 5-1】（2024·全国·模拟预测）设 a cos ,b sin ,c tan ，则（
3 3 3 3 ）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > a > b D． c > b > a
【例 5-2】（2024 福建）已知点P(sina - cosa , tana )在第一象限，则在 0,2 内的a 的取值范围是（ ）
( , 3 ) U ( , 5 A． ) B． (
, ) U ( , 5 )
2 4 4 4 2 4

C． ( ,
3 ) U (5 , 3 ) 3 3 D． ( , ) U ( , )
2 4 4 2 2 4 4
【一隅三反】
1．（2024 黑龙江）比较大小，正确的是（　　）．
A． sin( - 5) < sin3 < sin5 B． sin( - 5) > sin3 > sin5
C． sin3 < sin( - 5) < sin5 D． sin3 > sin( - 5)>sin5
1
2（2023·天津）设0≤ x≤ 2π ，使 sin x 且cos x 2< 同时成立的 x 取值范围是（ ）
2 2
A é π , 5π ù
é π , 7π ù é5π , 7π ù π , 5π ù． ê 6 6 ú B． C． D． ê 6 4 ú ê 6 4 ú è 4 6 ú
3．（2024 云南）在平面直角坐标系中， AB,C D, E F ,G H 是圆 x2 + y2 1上的四段弧（如图），点 P 在其中一段上，
角a 以 O 为始边，OP 为终边，若 tana < cosa < sina ，则 P 所在的圆弧是
A． AB B．C D
C．E F D．G H
4．（2024 山东）函数 y＝lg(2sinx－1)＋ 1- 2cos x 的定义域为__________________.
考点六 同角三角函数简单运用
3π 5
【例 6-1】（2024 四川遂宁）已知a (π, )， cosa - ，则 tana 13 （ ）2
12 5
A．- B．-
5 12
5 12
C． D．
12 5
【例 6-2】（2024 海南）已知角a 为第二象限角， tana -3，则cosa （ ）
A 10 B 10 C 3 10 D 3 10．- ． ．- ．
10 10 10 10
【例 6-3】．（2024 广西）已知a (0, π)，且3cos2a -8cosa 5，则 sina （ ）
2
A 5． B．
3 3
1
C 5． D．
3 9
【一隅三反】
1．（2024 河北）已知 sina
3
- ，若
3
< a < ，则 tana 的值为( ).
5 2
3 4 3 4
A． B． C．- D．-
4 3 4 3
2．（2024 江苏）已知锐角a 满足 4sin2 a + sin 2a 2，则 cos 2a （ ）
A 5．- B 5 C 2 5． ． D 2 5．-
5 5 5 5

3．（2024·湖南常德）已知a ( , )2 ， cos 2a 4sin
2 a + sina ，则 tana （ ）
A 3 2．- B．- C．- 3 D．-2 2
3 4
考点七 弦的齐次
3sina - cosa
【例 7-1】（2024·河南）已知 tana 3，则 （ ）
sina - 2cosa
4
A． B．2
5
C．5 D．8
【例 7-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 tana 3，则 sin2 a + sin 2a （ ）
3 3 1 1
A．- B． C． D．-
2 2 4 4
【一隅三反】
sinq 1+ sin 2q
1（2024

河南）若 tanq -2，则 （ ）
sinq + cosq
6 2 2 6
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
2．（2024·宁夏）已知 tana 2 ，则 cos 2a
1
- sin 2a ______．
2
sinq - 2cosq sin33 q + cosq．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 2 ，则
sinq + cosq 2sinq + cos3
．
q
考点八 弦的加减乘
7
【例 8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知 sina + cosa 则 sin2a 等于 （ ）
5
12 12 24 24
A．- B． C．- D．
25 25 25 25
7
【例 8-2】（2024·湖北荆州·三模）已知 sinq + cosq ，则 sinq - cosq 的值为（
13 ）
17 7 17 7
A． B． C．± D．±
13 13 13 13
1
【例 8-3】（2024·辽宁沈阳·二模）已知 a 0, π ，且 sina + cosa ，则 tan2a （ ）
5
12 12
- 24
24
A． B． C． D．-
7 7 7 7
【一隅三反】
3 1
1．（2024·河南 ）已知a , ÷， sin 2a ，则 sina + cosa （ ）
è 2 2 3
A 2 3 2 3 2 3．- B． C．± D 6．-
3 3 3 3
5 sinq + cosq cos2q2．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知q 是三角形的一个内角，满足 cosq - sinq - ，则
5 sinq
（ ）
2 9 2 9
A．- B．- C． D．
5 10 5 10
π
3．（23-24 高三上·浙江·开学考试）已知 sina - cosa
1
，0 a π ，则 sin

2a -
（ ）
5 è 4 ÷

A 17 2 B 17 2 C 31 2 31 2．- ． ．- D．
50 50 50 50
4．（2024 甘肃）函数 f x sin x + cos x + sin 2x的最大值为（ ）
A．1 B．1- 2 C．1+ 2 D．3
一．单选题
ì π π ü ì π π ü
1．（2024 贵州贵阳）已知集合 A ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，B ía kπ + a kπ + , k Z ，则
4 2 4 2
（ ）
A． A B B．B A C． A B D． A B
2．（2024·山东济南·三模）若 sina - cosa 2 ，则 tana （ ）
A．1 B． -1 C．2 D．-2
a 0, π 3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ÷ ， sin 2a cos 2a ，则 tana （ ）.
è 2
A．-1+ 2 B．-1- 2
C．1+ 2 D．1- 2
4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 sin 2x,sin x 分别是 sinq 与 cosq 的等差中项和等比中项，
则cos2x的值为（ ）
A 1+ 33 B 1- 33 C 1± 33 D 1- 2． ． ． ．
8 8 8 4
cos2a 1 sin2a- -
5．（2025 河北·统考模拟预测）已知 tana 2 ，则 2 tan π 的值为（ ） a + 4 ÷è
1 4 3 1
A． B． C．- D．-
30 5 10 30
sin a + 2cos a
6·（2024 陕西西安·模拟预测）已知角a 的始边为 x 轴的非负半轴，终边经过点P 4, -3 ，则 2 2
5cos a sin a

-
2 2
（ ）
5 5 5 5 1
A． B． C． 或 D．
2 16 2 16 4
7．（2024·山西太原）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，
阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现
代哲学中的矛盾对立统一规律.图 2（正八边形 ABCDEFGH ）是由图 1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图
2 的平面直角坐标系，设OA 1 .则下列错误的结论是（ ）
uuur uuur
A OA OD 2． × -
2
ì 5 ü
B．以射线OF 为终边的角的集合可以表示为 ía a + 2k , k Z
4

C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦 AB 所对的劣弧弧长为
4
D．正八边形 ABCDEFGH 的面积为 4 2
1 1 17
8．（2024 陕西西安·期末）已知 a 3sin ,b cos ,c ，则（ ）
3 3 18
A． c > b > a B． a > b > c C． a > c > b D． c > a > b
二．多选题
9．（2024·广东佛山·一模）已知角q 的终边过点P 3,4 ，则（ ）
A． cos2q
7 24
- B． tan2q -
25 7
q 1
C． cos q 2 5 D． tan
2 5 2 2
10．（2024·湖南·模拟预测）已知q R ，双曲线 C： x2 cosq + y2 sin 2q 1，则（ ）
A．q 可能是第一象限角 B．q 可能是第四象限角
C．点 1,0 可能在 C 上 D．点 0,1 可能在 C 上
11．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与 x 轴的正半轴相交于点 A 1,0 ，以 x 轴的非负半轴为始边作锐角
a π，b ，a - b ，它们的终边分别与单位圆相交于点P1， A1， P ．若a ，则下列说法正确的是（ ）3
A．当 b
π
时，VOA1P
1
的面积为
4 4
b π πB．当 时，扇形OA P的面积为
6 1 1 6
C．当 b
π
时，四边形OAPA 2 + 6 - 21的面积为4 8
D．四边形OAA1P1面积的最大值为 1
三．填空题
12．（2024·全国·模拟预测）已知角q 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴．若 P m, 2 是角q 终边上一点，
cosq 3 10且 - ，则m ．
10
13．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.
a é π , π ù若 ê ú ，则 cos b 的最大值为 ． 6 3
14 2 2．（2024·湖北鄂州·一模）曲线 x + y 2 x - 2 y 所围成的封闭图形的面积为 ．
四．解答题
15．（2024 上海· 5专题练习）在平面直角坐标系 xOy 中，已知锐角a 的终边与单位圆交点的纵坐标为 ，锐角b
5
3 10
的终边与单位圆交点的横坐标为 ．
10
(1)求 cosa 和 sin b 的值；
(2)求a + b 的值．
16．（2024 江苏）已知 sina 和 cosa 是关于 x 方程 2x2 + 4kx + 3k 0的两个实根．
(1)求实数 k 的值；
(2)若a (0, π) ，求 cosa - sina 的值．
17．（2024 辽宁大连·期中）已知函数 f q cosq - sinq .
sinq + cosq
(1)若q 5是三角形的一个内角， f q - ，求 的值；
5 sin 2q

(2)设函数 g q f q × tanq
1
+ π 3π ù
tanq ÷
，若 g q > 2m 在q ,
è è 2 4 ú
时恒成立，求实数 m 的取值范围.
18．（2024 北京）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰
外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地 AOB 分成三部分，
2π
分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为 70 米，圆心角为 ，动点 P 在扇形的弧上，点 Q 在
3
OB 上，且PQ / /OA．
(1)求扇形空地 AOB 的周长和面积；
(2)当OQ 50米时，求 PQ 的长；
(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ 的面积尽可能的大．设 AOP q ，求△OPQ 面积的
最大值．
ìx ax + by
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 xOy 中，利用公式 í ① a b cy cx dy （其中 ， ， ，d 为常数），将点 +
P x, y 变换为点 P x , y 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 a，
a b a b
b ， c，d 组成的正方形数表 c d ÷唯一确定，我们将 c d ÷称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
A ，
è è
B ，…表示．

(1)在平面直角坐标系 xOy 中，将点P 3,4 绕原点O按逆时针旋转 得到点 P （到原点距离不变），求点 P 的坐
3
标；
(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将点P x, y 绕原点O按逆时针旋转a 角得到点P x , y （到原点距离不
变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
uuur x
(3)向量OP x, y （称为行向量形式），也可以写成 y ÷，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可è
x a b x x a b x r r
以表示为： ÷ y c d ÷ y ÷ ，则称 y ÷是二阶矩阵 c d ÷与向量 ÷的乘积，设
A 是一个二阶矩阵，m ， n
è è è è è è y
r r r r
是平面上的任意两个向量，求证： A m + n Am + An ．

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