资源简介
4.4 正余弦定理
考点一 正余弦定理的选择
【例 1】(1)(2024 浙江·阶段练习)在VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 a = 2, A = 45° ,
B = 60° ,则b =
(2)(2024 河南郑州·期中)在VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且b = 2,a = 2, B = 30°,则
C =
4 5
(3)(2024 海南海口·期中)在VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos A = , cos B = ,
5 13
a = 2,则 c = .
(4)(2024 云南曲靖·阶段练习)在VABC 中,三边长分为3,7,8,则最大角和最小角之和是
【一隅三反】
p
1.(2024 湖北省)在△ABC 中,若BC = 2,AC = 5,B = ,则 sin A =( )
6
A 10. B 10 C 5 D 5. . .
10 5 10 5
2.(2024 浙江绍兴·期中)在VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a : b : c = 5 : 7 :8,则VABC 中角 B 的大
小是( )
A.135o B.120o C.90o D.60o
3.(2023·课时练习)在△ABC 中, a = 2 3,c = 6 + 2 ,B=45°,解这个三角形.
4.(2023 湖北)在VABC 中, a + c = 6,b = 2 ,cos B
7
= ,求 a,c 的值.
9
考点二 边角互换
2c - a
【例 2】(1)(2024·内蒙古赤峰)在VABC 中,角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c,已知 cos A = ,
2b
则角 B =
(2)(2024·内蒙古赤峰)在VABC 中,角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c,已知bcosC = 2a - c cos B ,
则角 B =
(3)(2024·江西九江·三模)在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2c - a = 2bcosA,则B =
A A A 1
(4)(2024·云南·模拟预测)在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 3sin - cos = .
2 ֏ 2 2 2
角A =
(5)(23-24 高三上·湖北武汉·期末)已知 a,b,c分别为VABC 的内角 A, B,C 的对边,且
c a cos B - bsin A = a2 - b2 .
角A =
(6)(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,在
2
cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A(7)3b = 4asinBsinA VABC
3 bcsinB + c sinC - acsinA
(8) 的面积为
4sinC
则角A =
(7)(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,在3b = 4asinBsinA则角
A = 。
(8)(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,在VABC 的面积为
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
则角A =
4sinC
【一隅三反】
π 1
1.(2024 广西·高三阶段练习)已知VABC中,C = , a = (2b - c)cos A,则B = ______.
3 2
2.(2024 广东珠海·期末)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a = b 3sinC + cosC ,则角
B=
sin C sin A - sin B
3.(2024·四川南充·模拟预测)在VABC 中, = ,则角A =
sin A + sin B sin B + sin C
4.(2024·湖南·期中)已知 VABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, sin2 B + sin2 A sin2 C
3
= + sin B sin A,
2
则 sin C = .
sinC b
5.(2024 浙江绍兴·期中)已知VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,若 + =1,则
sinA + sinB a + c
角 A =
π
6.(2024·安徽合肥·一模)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosC = a 2 - c ,且 B = 3 ,则
a = 。
7.(2023·黑龙江大庆·模拟预测)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知
b2 + c2 - a2 πb - = 2acosBcosC ,其中,C ,角 B=
2b 2
考点三 三角形形状的判断
【例 3-1】(2024 江苏盐城·期中)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a cos B + bcos A = a ,则
△ABC 一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
【例 3-2】(2024·陕西渭南·三模)已知 VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若bcosC + c cos B = b ,
且 a = c cos B ,则VABC 是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
A + C a
【例 3-3】(2023·甘肃酒泉·三模)VABC 中, a,b 2, c分别是角A , B ,C 的对边,且 2sin ( ) > +1,则
2 c
VABC 的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.直角或钝角三角形 D.钝角三角形
【例 3-4】(2024 山东临沂·阶段练习)(多选)已知VABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,下列说法
中正确的是( )
A.若a cos A = bcos B ,则VABC 一定是等腰三角形
B.若 cos(A - B) ×cos(B - C) =1,则VABC 一定是等边三角形
C.若 a cosC+ c cos A = c,则VABC 一定是等腰三角形
D.若cos(2B + C) + cosC > 0 ,则VABC 一定是钝角三角形
【一隅三反】
1.(2024 安徽宿州·期中)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若满足 2a cos B = c ,则该三角形为
( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不能确定
2
2.(2024 b tan B广东广州·期中)在VABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c 若 2 = ,则VABC 的形状是c tan C
( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
3.(2024·内蒙古赤峰·一模)已知VABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 2a + b = 2c cos B ,且
sin A + sin B =1,则VABC 的形状为( )
A.等边三角形 B.顶角为120°的等腰三角形
C.顶角为150°的等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.(2024·辽宁沈阳·二模)(多选)设VABC 的三个内角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c.下列有关等边三
角形的四个命题中正确的是( ).
a b c
A.若 = = VABCsin A sin B sin C ,则 是等边三角形
a b c
B.若 = = ,则VABC 是等边三角形
cos A cos B cosC
a b c
C.若 = = ,则VABC 是等边三角形
tan A tan B tan C
a b c
D.若 = = ,则VABC 是等边三角形
A B C
考点四 三角形面积
【例 4-1】(2024·山东·模拟预测)VABC 内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,若b = 2a sin B,bc = 4,则
VABC 的面积为 .
2
4-2 2024· · VABC A, B,C a,b,c B = π,b = 6, a2 2【例 】( 重庆 模拟预测)记 的内角 的对边分别为 ,若 + c = 3ac ,则
3
VABC 的面积为( )
9 3 9 9 9A. B. C. 3 D.
4 4 2 2
π
【例 4-3】(2024·吉林长春·模拟预测)在VABC 中,已知 A = , BC = 2 3 ,当边 BC 的中线 AD = 7 时,VABC
3
的面积为 .
【一隅三反】
1.(2024·北京昌平·二模)已知VABC 中, a = 4,b
3
= 2c, cosA = - ,则 S
4 VABC
= .
2.(2024·甘肃张掖·模拟预测)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, A
π
= ,sinB = 2sinC ,且 a + b = 7 + 4 3 ,3
则VABC 的面积为 .
3
3.(2024·贵州 )在锐角三角形 ABC 中,角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c,已知 a = 2, sin A = ,
2
a c
+ = 4b ,则VABC的面积为______.
cos A cosC
考点五 三角形外接圆的半径
【例 5】(2024·河南信阳·模拟预测)设 VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,已知 a = 9,b = 8,c = 5,
则VABC 的外接圆的面积为( )
225 π 125 123 113A. B. π C. π D. π
11 11 6 6
【一隅三反】
2π π
1.(2024·上海徐汇·二模)在VABC 中, AC =1, C = , A = ,则VABC 的外接圆半径为 .
3 6
2.(2024·上海虹口·二模)已知一个三角形的三边长分别为 2,3, 4,则这个三角形外接圆的直径为 .
3.(2024·四川·模拟预测)已知VABC 的三内角A , B ,C 满足16sin C cos A - B + 8sin 2C = 3π ,则VABC 的面
积与VABC 外接圆的面积之比为 .
考点六 三角形解的个数
【例 6-1】(2024·江西上饶·一模)VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知下列条件:① b = 3,
c = 4, B = 30°;② a = 5,b = 4 , A = 30°;③ c = 2,b = 3 , B = 60° ;④ c =12,b =12,C = 120° .其中满
足上述条件的三角形有唯一解的是( )
A.①④ B.①② C.②③ D.③④
π
【例 6-2】(2024·湖北·模拟预测)在VABC 中,已知 AB = x ,BC = 2 2 ,C = ,若存在两个这样的三角形4
ABC ,则 x 的取值范围是( )
A. é 2 2, + B. 0,2 2 C. 2,2 2 D. 2, 2
【例 6-3】.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则能使同时满足条件
A π= ,b = 6 的三角形不唯一的 a 的取值范围是( )
6
A. 3,6 B. 3, + C. 0,6 D. 0,3
【一隅三反】
π
1.(2024 浙江·期中)在VABC 中, A = , AB = 4, BC = a,且满足该条件的VABC 有两个,则 a的取值范围是
3
( )
A. 0,2 B. 2,2 3 C. 2,4 D. 2 3,4
2.(2024·江苏 )在VABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,则下列条件能确定三角形有两解的是( )
A. a = 5,b 4, A
p p
= = B. a = 4,b = 5, A =
6 4
C. a = 5,b = 4, A
5p p
= D. a = 4,b = 5, A =
6 3
3.(2024 陕西宝鸡·期末)在VABC 中,若b = 3, c = 2,B = 45o ,则此三角形解的情况为( )
A.无解 B.两解
C.一解 D.解的个数不能确定
考点七 正余弦定理在实际生活的应用
【例 7-1】(2024 全国·专题练习)鼎湖峰,矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区,状如春笋拔地而起,其峰顶镶
嵌着一汪小湖,传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖.白居易曾以诗赋之:“黄帝旌旗去不回,片云孤石独崔嵬.有时风
激鼎湖浪,散作晴天雨点来”.某校开展数学建模活动,有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度,为此,他
们设计了测量方案.如图,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走了 90 米到达 B 点
(A,B,P,Q 在同一个平面内),在 B 处测得山顶 P 的仰角为60°,则鼎湖峰的山高 PQ 为( )米
A. 45 6 - 2 B. 45 6 + 2 C.90 3 -1 D.90 3 +1
【例 7-2】(2024·吉林·二模)如图,位于某海域A 处的甲船获悉,在其北偏东 60o 方向C 处有一艘渔船遇险后抛
锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15o,且与甲船相距 2nmile的B处的乙船,已知遇险渔
船在乙船的正东方向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A. 2nmile B. 2nmile
C. 2 2nmile D.3 2nmile
【一隅三反】
1.(2024·广东·二模)在一堂数学实践探究课中,同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示,将小镜
子放在操场的水平地面上,人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置,此时测量人和小镜子的距离为 a1 = 1.00m,
之后将小镜子前移a = 6.00m,重复之前的操作,再次测量人与小镜子的距离为a2 = 0.60m,已知人的眼睛距离
地面的高度为 h = 1.75m,则钟楼的高度大约是( )
A. 27.75m B.27.25m C. 26.75m D. 26.25m
2 .(2024·内蒙古赤峰·模拟预测)为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度,通常采用人工攀登
的方式进行,测量人员从山脚开始,直到到达山顶分段测量过程中,已知竖立在 B 点处的测量觇标高 20米,攀
登者们在A 处测得,到觇标底点 B 和顶点C 的仰角分别为 45°,75°,则 A, B的高度差约为( )
A.7.32 米 B.7.07 米 C.27.32 米 D.30 米
3.(2024·湖南·模拟预测)湖南省衡阳市的来雁塔,始建于明万历十九年(1591 年),因鸿雁南北迁徙时常在境
内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度,因地理条件的限制,
分别选择 C 点和一建筑物 DE 的楼顶 E 为测量观测点,已知点 A 为塔底, A,C , D 在水平地面上,来雁塔 AB 和
建筑物 DE 均垂直于地面(如图所示).测得CD =18m, AD =15m,在 C 点处测得 E 点的仰角为 30°,在 E 点处
测得 B 点的仰角为 60°,则来雁塔 AB 的高度约为( )( 3 1.732,精确到0.1m)
A.35.0m B.36.4m C.38.4m D.39.6m
考点八 正余弦定理在几何中的应用
【例 8】.(2024·云南大理·模拟预测)如图所示,在平行四边形 ABCD中,有:
ACcos BAC = 2AB - BC cos ABC .
(1)求 ABC 的大小;
(2)若BC = 3, AC = 7 ,求平行四边形 ABCD的面积.
【一隅三反】
1.(2023 广东珠海·期末)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a = b 3sinC + cosC .
(1)求 B;
π
(2)已知BC = 2 3 ,D 为边 AB 上的一点,若BD =1, ACD = ,求 AC 的长.2
2.(2023·河南·模拟预测)如图,在四边形 ABCD中, AB ^ BC, ADC = 120°, AB = CD = 2AD,△ACD 的面积为
3
.
2
(1)求 sin CAB ;
(2)证明: CAB = CAD.
3.(2024·北京大兴·三模)如图,平面四边形 ABCD中,对角线 AC 与BD相交于点E , ABD = CBD , AC ^ AD,
AE = EB = 3,DE = 5 .
(1)求VADB 的面积;
(2)求 sin BAC 的值及 EC 的长度.
一.单选题
1.(2024 辽宁沈阳·期中)在VABC中,若 a - ccosB = b - ccosA,则VABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
2.(2024·辽宁丹东·二模)在△ ABC 中,点 D 在BC 边上, AD 平分 BAC , BAC =120° , AB = 2 3 ,
AD 2 3= ,则 AC =( )
3
A.2 B. 3 C.3 D. 2 3
3.(2024 湖北)已知VABC中,角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c,若 a = 4 + 2 2 - c, tan A = - 7 ,
cosC 3= ,则VABC的面积为( )
4
A. 4 7 B. 2 7 C. 14 D. 7
4.(2023 春·江苏南通)如图所示,河边有一座塔OP,其高为 20m,河对面岸上有 A, B两点与塔底O在同一水
平面上,在塔顶部测得 A, B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得 A, B两点形成的视角为150°,则 A, B
两点之间的距离为( )
A.10m B.10 3m C. 20 7m D.10 42m
5.(2024·江苏连云港·模拟预测)在 VABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a =1,bcos A =1+ cos B,
则边 b 的取值范围为( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 0,2 D. 2,3
6(2024·江苏无锡 )在锐角VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b , c,且b =1, cos A - a cos B = a,则
( )
π π π π
A. < A < B. < A <
6 4 6 3
π π π π
C. < A < D. < A <
4 3 4 2
7.(2024·广西柳州 )在VABC中,角 A, B,C 的边分别为 a,b,c,知B = 60° ,b = 4 ,则下列判断中错误的是
( )
A πA = a 4 6
9
.若 ,则 = B.若 a = 该三角形有两解4 3 2
C.VABC周长的最小值为 12 D.VABC面积的最大值 4 3
2 2
8.(2024·福建福州·三模)已知VABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a + b - c
C
若面积 S = , 则 tan =
3 2
( )
24 7 3 4
A. B. C7 . D.24 4 3
二.多选题
9.(2024·广西桂林·三模)在VABC 中, sin
C 1
= , BC =1, AC = 5,则( )2 2
A. cosC
1
= B.
2 AB = 21
C.VABC
5
的面积为 D.VABC 外接圆的直径是
2 2 7
10.(2024 辽宁朝阳·期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, b2 + c2 = a2 + bc , a = 3,若满
足要求的△ABC 有且只有 1 个,则 b 的取值可以是( )
A.1 B. 3 C.2 D.3
11.(2024·江西·二模)已知VABC 中, AB =1, AC = 4, BAC = 60°, AE 为 BAC 的角平分线,交BC 于点E, D 为
AC 中点,下列结论正确的是( )
A BE 13. =
5
B AE 4 2. =
5
C.VABE 3的面积为
5
ABD PB 1D. P 在△ 的外接圆上,则 + PD 的最大值为
2 7
三.填空题
12.(2024·宁夏石嘴山·模拟预测)海宝塔位于银川市兴庆区,始建于北朝晚期,是一座方形楼阁式砖塔,内有
木梯可盘旋登至顶层,极目远眺,巍巍贺兰山,绵绵黄河水,塞上江南景色尽收眼底.如图所示,为了测量海宝
塔的高度,某同学(身高 173cm)在点A 处测得塔顶D的仰角为 45° ,然后沿点A 向塔的正前方走了 38m 到达
点 B 处,此时测得塔顶D的仰角为75°,据此可估计海宝塔的高度约为 m.(计算结果精确到 0.1)
13.(2024 天津·期中)若VABC 是钝角三角形, a = 3,b = 4 , c = x,则 x 的取值范围是 .
14.(2024·陕西西安·模拟预测)在VABC 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a = 6 , 6 cos B = 3c - b cos A,
则VABC 面积的最大值为 .
四.解答题
15.(2024 江苏无锡·期中)记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求A ;
(2)若 a = 2 2 ,VABC 的面积为 2 3 ,求VABC 的周长
16.(2024·安徽芜湖·三模)已知 a,b,c分别为VABC 三个内角 A, B,C 的对边,且bcosA + 3bsinA = a + c
(1)求 B ;
(2)若b = 2,△ABC 的面积为 3,D为 AC 边上一点,满足CD = 2AD ,求BD的长.
1
17.(2024·天津·二模)在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosB ccosB + bcosC + a = 0 .
2
(1)求角 B 的大小;
(2)若b = 7,a + c = 8,a < c ,
①求 a,c 的值:
②求 sin 2A + C 的值.
2c - a
18.(2024·内蒙古赤峰·模拟预测)在① cos A = ,② bcosC = 2a - c cos B 中任选一个作为已知条件,补
2b
充在下列问题中,并作答.
问题:在VABC 中,角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c,已知_________.
(1)求 B ;
(2)若VABC
1
的外接圆半径为 2,且 cos AcosC = - ,求 a + c .
8
注:若选择不同条件分别作答,则按第一个解答计分.
19.(2024·山东济南·二模)如图,已知平面四边形 ABCD中, AB = BC = 2 2,CD = 2, AD = 4 .
(1)若 A, B,C, D 四点共圆,求 AC ;
(2)求四边形 ABCD面积的最大值.4.4 正余弦定理
考点一 正余弦定理的选择
【例 1】(1)(2024 浙江·阶段练习)在VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 a = 2, A = 45° ,
B = 60° ,则b =
(2)(2024 河南郑州·期中)在VABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且b = 2,a = 2, B = 30°,则
C =
4
(3)(2024 海南海口·期中)在VABC 5中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos A = , cos B = ,
5 13
a = 2,则 c = .
(4)(2024 云南曲靖·阶段练习)在VABC 中,三边长分为3,7,8,则最大角和最小角之和是
42 2
【答案】(1) 6 (2)15°或105°(3) (4) π13 3
a b 2 b
【解析】(1)因为 a = 2, A = 45° , B = 60° ,所以正弦定理可得: = ,所以 = ,
sin A sin B sin 45° sin 60°
3
b 2 ×sin 60°
2
则 = = 2 = 6 .
sin 45° 2
2
(2)在VABC 中,b = 2,a = 2, B = 30°
a b
= 2 2 2,则由正弦定理得 , ,得 sin A = ,
sin A sin B =sin A sin 30° 2
因为0° < A <150°,所以 A = 45° 或 A =135°,当 A = 45° 时,C =180° - 45° - 30° =105°,
当 A =135°时,C =180° -135° - 30° =15°
4
(3)在VABC 中,由 cos A = , cos B 5= ,得 sin A = 1- cos2 A
3
= ,sin B = 1- cos2 B 12= ,
5 13 5 13
则 sin C = sin(A + B) sin Acos B cos Asin B
3 5 4 12 63
= + = + = ,
5 13 5 13 65
c a 2 10
= = = 10 63 42 42
由正弦定理理 sin C sin A 3 3 ,所以 c = = .故答案为:
5 3 65 13 13
2 2 2
(4)设A 为VABC 的最小角,C 为VABC 3 + 8 - 7 1的最大角,由余弦定理,可得 cosB = = ,
2 3 8 2
π 2π 2
因为B 0, π ,所以 B = A + C = π .3 ,所以 ,即最大角和最小角之和是3 3
【一隅三反】
p
1.(2024 湖北省)在△ABC 中,若BC = 2,AC = 5,B = ,则 sin A =( )
6
A 10 B 10 C 5 D 5. . . .
10 5 10 5
【答案】A
BC AC 2 5
= = 10【解析】由正弦定理得 ,即 sin A π,解得 sin A = .故选:A.sin A sin B sin
6 10
2.(2024 浙江绍兴·期中)在VABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a : b : c = 5 : 7 :8,则VABC 中角 B 的大
小是( )
A.135o B.120o C.90o D.60o
【答案】D
【解析】设 a : b : c = 5 : 7 :8 = k ,则 a = 5k,b = 7k,c = 8k ,由余弦定理得
a2 + c2 - b2 5k 2 + 8k 2 - 7k 2cos B 1= = = ,又B 0, π ,所以 B = 60° .故选:D.
2ac 2 5k ×8k 2
3.(2023·课时练习)在△ABC 中, a = 2 3,c = 6 + 2 ,B=45°,解这个三角形.
【答案】b = 2 2, A = 60o , C = 75o
【解析】根据余弦定理得,b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = (2 3)2 + ( 6 + 2)2 - 2 2 3 ( 6 + 2) cos 45o = 8,
\b = 2 2 .
2
Qcos A b + c
2 - a2 8 + ( 6 + 2)2 - (2 3)2 1
又 = = = ,
2bc 2 2 2 ( 6 + 2) 2
\ A = 60o ,C =180o - (A + B) = 75o .
7
4.(2023 湖北)在VABC 中, a + c = 6,b = 2 ,cos B = ,求 a,c 的值.
9
【答案】a=3,c=3
a2 + c2 - b2
【解析】由余弦定理,得 cos B = ,
2ac
a2 + c2 - 4 7 a2 c2 14有 = ,得 + = ac + 4,
2ac 9 9
由 a + c = 6,得 (a + c)2 = a2 + 2ac + c2 = 36,
14
所以 ac + 4 = 36 - 2ac,解得 ac = 9,
9
ìa + c = 6
所以 í a = 3,c = 3 .
ac 9
,解得
=
所以 a = 3,c = 3 .
考点二 边角互换
2c - a
【例 2】(1)(2024·内蒙古赤峰)在VABC 中,角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c,已知 cos A = ,
2b
则角 B =
(2)(2024·内蒙古赤峰)在VABC 中,角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c,已知bcosC = 2a - c cos B ,
则角 B =
(3)(2024·江西九江·三模)在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 2c - a = 2bcosA,则B =
VABC A, B,C a,b,c cos
A A A 1
(4)(2024·云南·模拟预测)在 中,角 所对的边分别为 ,且满足 3sin - cos ÷ = .2 è 2 2 2
角A =
(5)(23-24 高三上·湖北武汉·期末)已知 a,b,c分别为VABC 的内角 A, B,C 的对边,且
c a cos B - bsin A = a2 - b2 .
角A =
(6)(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,在
2
cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A 3b 4asinBsinA 3 bcsinB + c sinC - acsinA(7) = (8 VABC ) 的面积为
4sinC
则角A =
(7)(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,在3b = 4asinBsinA则角
A = 。
(8)(2024·全国·模拟预测)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,在VABC 的面积为
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
则角A =
4sinC
B π π
π 2π π π π π
【答案】(1) = (2) B = (3) (4) (5) A = (6) A = (7) A = (83 3 4 3 3 )
A =
3 3 3
2c - a b2 + c2 - a2 2c - a
【解析】(1)因为 cos A = ,在VABC 中,由余弦定理可得 = ,
2b 2bc 2b
2 2 2 π
由余弦定理可得 a2 + c2 - b2 = ac,则 cos B
a + c - b ca 1
= = = ,因为B 0, π ,所以 B = .
2ac 2ac 2 3
(2)因为bcosC = 2a - c cos B ,由正弦定理得, sin B cosC + sin C cos B = 2sin Acos B .
即 sin B + C = 2sin Acos B,则 sin A = 2sin Acos B ,因为 A 0, π ,sin A 0,所以 cos B 1= ,
2
因为B 0, π π,所以 B = .3
(3)因为 2c - a = 2bcosA,由正弦定理, 2sinC - sinA = 2sinBcosA,
因为 A + B + C = π,\2sin A + B - 2sinBcosA = sinA,展开化简 2sinAcosB = sinA.QsinA > 0,\cosB 1= ,
2
又B 0, π ,\B π= .
3
A A
(4)由 cos 3sin - cos
A 1= A A 2 A 1,得: 3sin cos - cos = ,
2 è 2 2 ÷ 2 2 2 2 2
3 cosA +1 1 3 π
即 sinA - = ,\ sinA 1- cosA =1,即 sin A - ÷ =1.
2 2 2 2 2 è 6
2π 2π
又Q0 < A < π,\ A = ,则角A 为 .
3 3
2 2 2
(5)在VABC 中,由余弦定理得, cos B a + c - b= 2 2,代入 c a cos B - bsin A = a - b ,
2ac
a2 + c2 - b2
则 c a × - bsin A = a
2
÷ - b
2
,即 a2 + c2 - b22ac - 2bc sin A = 2a
2 - 2b2 ,
è
2 2 2
即 sin A b + c - a= = cos A,因为 A 0, π ,且 A π= π时上式不成立,所以 cos A 0,所以 tan A =1,则 A =
2bc 2 4
(6)Qcos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A,
\1- 2sin2B +1- 2sin2C + 2sinBsinC = 2 - 2sin2 A,\sin2 A = sin2B + sin2C - sinBsinC ,
b2 + c2 - a22 2 2 1 π π\a = b + c - bc ,\cosA = = .Q0 < A < ,\ A = .
2bc 2 2 3
(7)Q3b = 4asinBsinA,\3sinB = 4sin2 AsinB ,
Q0 B π sin2 A 3 Q0 A π π< < ,\sin B 0,\ = . < < ,
4 \sinA
3
= ,\ A = .
2 2 2 3
1 3 bcsinB + c2sinC - acsinA8 ( )由题, S△ABC = bcsinA = ,2 4sinC
3 b2 + c2 - a2 3 b2 + c2 - a2
\bsinA = ,\sinA = .\sinA = 3cosA,
2c 2bc
Q0 < A π π< ,\ tanA = 3 ,\ A = .
2 3
【一隅三反】
1.(2024 广西·高三阶段练习)已知VABC中,C
π
= 1, a = (2b - c)cos A,则 ______.
3 2
B =
π
【答案】
3
1 1
【解析】∵ a = (2b - c)cos A
1
,∴根据正弦定理得, sin A = 2sin B cos A - sin C cos A,又 = cosC ,
2 2 2
∴ sin AcosC + cos Asin C = 2sin B cos A,∴ sin B = 2sin B cos A,
1
∵B 是三角形内角,∴sinB≠0,∴ cos A = ,
2
π π
∵A π是三角形内角,∴ A = ,∴ B = .3 3 故答案为: .3
2.(2024 广东珠海·期末)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a = b 3sinC + cosC ,则角
B=
π
【答案】B = .
6
【解析】∵ a = b 3sinC + cosC ,根据正弦定理得, sin A = sin B 3sin C + cosC ,
即 sin BcosC + cos Bsin C = 3sin Bsin C + sin BcosC ,
所以 cos Bsin C = 3sin Bsin C ,因为 sin C > 0,
所以 cos B 3= 3 sin B ,所以 tan B = ,
3
因为B 0, π B π,所以 = 6 .
sin C sin A - sin B
3.(2024·四川南充·模拟预测)在VABC 中, = ,则角A =
sin A + sin B sin B + sin C
2π
【答案】
3
sin C sin A - sin B c a - b
【解析】因为 = ,由正弦定理可得 = ,
sin A + sin B sin B + sin C a + b b + c
即bc + c2 = a2 - b2 ,
2 2 2
由余弦定理 cosA b + c - a -bc 1= = = - ,
2bc 2bc 2
Q A 0,π A 2π,\ = .
3
4.(2024·湖南·期中)已知 V
3
ABC 中,角 A,B C 2 2 2, 的对边分别为 a,b,c, sin B + sin A = sin C + sin B sin A,
2
则 sin C = .
7
【答案】
4
3
b2 + a2 = c2 3【解析】由正弦定理知 + ab 2 2 2 ab,所以
2 cosC
b + a - c 3
= = 2 = ,
2ab 2ab 4
则 sin C = ± 1- cos2 C 7= ± ,又C 0, π sinC 7,所以 = .
4 4
7
故答案为: .
4
sinC b
5.(2024 浙江绍兴·期中)已知VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,若 + =1,则
sinA + sinB a + c
角 A =
π
【答案】
3
sinC b c b
【解析】由正弦定理角化边可知, + = + =1,整理为 b2 + c2 = a2 + bc ,
sinA + sinB a + c a + b a + c
2
cos A b + c
2 - a2 bc 1 π
= = = , A 0, π ,所以 A = .
2bc 2bc 2 3
6.(2024·安徽合肥·一模)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosC = a 2 - c ,且 B π= 3 ,则
a = 。
【答案】1
【解析】因为 2bcosC = a 2 - c ,两边同时乘以 a得:
2abcosC = a2 2 - c ,由余弦定理可得 a2 + b2 - c2 = 2abcosC ,
2
则 a + b2 - c2 = a2 2 - c ,所以有 a2 + c2 - b2 = a2c,
π
又 a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ,所以 a2c = 2ac cos B ,又因为 B = ,所以 a =1 .3
7.(2023·黑龙江大庆·模拟预测)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知
2
b b + c
2 - a2 π
- = 2acosBcosC ,其中,C ,角 B=
2b 2
π
【答案】
3
【解析】方法一:由b - ccosA = 2a cos BcosC ,
根据正弦定理边化角得: sinB - sinCcosA = 2sinAcosBcosC ,
即 sin A + C - sinCcosA = 2sinAcosBcosC ,所以 sinAcosC = 2sin Acos BcosC ,
C π 1因为 ,所以 cosC 0 ,又 sinA > 0,所以 cosB = ,
2 2
又0 < B π< π ,所以 B = 3 ;
方法二:由b - c cos A = 2a cos B cosC ,
b2b c + c
2 - a2 22a cos B a + b
2 - c2
根据余弦定理:得 - = × ,
2bc 2ab
b2 - c2 + a2 2 2 2
即 = 2cosB a + b - c× ,
2b 2b
π a2C + b
2 - c2
因为 ,所以 0,
2 2b
所以 cos B
1
= π,又0 < B < π ,得 B =
2 3
;
考点三 三角形形状的判断
【例 3-1】(2024 江苏盐城·期中)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a cos B + bcos A = a ,则
△ABC 一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰或直角三角形 D.等边三角形
【答案】A
【解析】由 a cos B + bcos A = a ,利用正弦定理, sin Acos B + cos Asin B = sin A,
即 sin(A + B) = sin C = sin A ,因0 < A,C < π ,则 A = C 或C = π - A(不合题意舍去),
故△ABC 一定是等腰三角形.
故选:A.
【例 3-2】(2024·陕西渭南·三模)已知 VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若bcosC + c cos B = b ,
且 a = c cos B ,则VABC 是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】D
【解析】bcosC + c cos B = b sin B cosC + sin C cos B = sin B sin B + C = sin B,
即 sin A = sin B ,故 a = b,
a = c cos B sin A = sin C cos B sin B + C = sin C cos B
sin B cosC + cos B sin C = sin C cos B sin B cosC = 0,
因为B 0, π ,所以 sin B 0 ,故 cosC = 0,
π
因为C 0, π ,所以C = 2 ,
故VABC 为等腰直角三角形.
故选:D
【例 3-3】(2023·甘肃酒泉·三模)VABC 中, a,b
A + C a
, c分别是角A 2, B ,C 的对边,且 2sin ( ) > +1,则
2 c
VABC 的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.直角或钝角三角形 D.钝角三角形
【答案】D
2sin2 ( A + C a【解析】因为 ) > +1, sin2 (
A + C ) 1- cos(A + C) 1+ cos B= = ,
2 c 2 2 2
所以1 cos B
a
+ > +1 a,即 - cos B < 0 ,
c c
a a2 + c2 - b2 a2 - c20 + b
2
所以 - < ,即 < 0,
c 2ac 2ac
所以 a2 - c2 + b2 < 0,
2 2 2
所以 cosC a - c + b= < 0,
2ab
又因为C (0,π),所以C (
π , π) ,
2
所以VABC 为钝角三角形.
故选:D.
【例 3-4】(2024 山东临沂·阶段练习)(多选)已知VABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,下列说法
中正确的是( )
A.若a cos A = bcos B ,则VABC 一定是等腰三角形
B.若 cos(A - B) ×cos(B - C) =1,则VABC 一定是等边三角形
C.若 a cosC+ c cos A = c,则VABC 一定是等腰三角形
D.若cos(2B + C) + cosC > 0 ,则VABC 一定是钝角三角形
【答案】BCD
【解析】对于 A:因为a cos A = bcos B ,由正弦定理得: sin Acos A = sin B cos B,
所以 sin 2A = sin 2B .
因为A , B 为VABC 的内角,所以 2A = 2B或 2A + 2B = π,
π
所以 A = B 或 A + B = .所以VABC 是等腰三角形或直角三角形.错误;
2
对于 B:由余弦函数的有界性可知:若-1 cos A - B 1, -1 cos B - C 1 .
因为 cos A - B ·cos B - C =1,所以 cos A - B =1,cos B - C =1或 cos A - B = -1,cos B - C = -1 .
当 cos A - B =1,cos B - C =1 π时,有 A = B 且 B = C ,所以 A = B = C = ,
3
所以VABC 是等边三角形.
当 cos A - B = -1,cos B - C = -1时,有 A - B = π 且B - C = π,不符合题意.
所以VABC 一定是等边三角形.正确;
2 2 2 2 2 2
对于 C a + b - c c + b - a:因为 a cosC+ c cos A = c,由余弦定理得: a × + c × = c,
2ab 2bc
所以 2b2 = 2bc,所以b = c ,则VABC 一定是等腰三角形.正确;
对于 D:在VABC 中, A + B + C = π,所以 cos 2B + C = cos B + π - A = -cos B - A
cosC = cos π - A - B = -cos A + B .
所以 cos 2B + C + cosC = -cos B - A - cos B + A > 0,
所以 cos B - A + cos B + A < 0 ,即 2cos B cos A < 0,所以 cos B < 0或 cos A < 0 .
所以VABC 一定是钝角三角形,正确.
故选:BCD
【一隅三反】
1.(2024 安徽宿州·期中)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若满足 2a cos B = c ,则该三角形为
( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不能确定
【答案】B
【解析】在VABC 中,已知 2a cos B = c,
由正弦定理得 2sin Acos B = sin C = sin(A + B) = sin Acos B + sin B cos A,
所以 sin Acos B - sin B cos A = 0,即 sin(A - B) = 0,
又0 < A < π,0 < B < π,则-π < A - B < π,则 A - B = 0,
所以 A = B, 所以该三角形为等腰三角形.
故选:B.
2
2.(2024 b tan B广东广州·期中)在VABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c 若 2 = ,则VABC 的形状是c tan C
( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
sin B
2 sin2 B
VABC b tan B= = cos B【解析】在 中,由 及正弦定理得 ,而 sin A > 0,sin B > 0
c2
,
tan C sin2 C sin C
cosC
整理得 sin Bcos B = sinC cosC ,即 sin 2B = sin 2C ,而0 < B < π,0 < C < π ,
则0 < 2B < 2π,0 < 2C < 2π
π
,因此 2B = 2C 或 2B + 2C = π ,即 B = C 或B + C = ,
2
所以VABC 是等腰三角形或直角三角形.
故选:C
3.(2024·内蒙古赤峰·一模)已知VABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 2a + b = 2c cos B ,且
sin A + sin B =1,则VABC 的形状为( )
A.等边三角形 B.顶角为120°的等腰三角形
C.顶角为150°的等腰三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得 2sin A + sin B = 2sin C cos B,
因为 A + B + C = π,所以 B + C = π - A,
所以 2sin B + C + sin B = 2sin C cos B ,即 2sin B cosC + 2cos B sin C + sin B = 2sin C cos B ,
即 2sin B cosC + sin B = 0,因为B 0, π ,所以 sin B 0 ,
所以 cosC
1
= - ,因为C 0, π 2π π,所以C = ,所以B + A = ,
2 3 3
因为 sin A + sin B =1,所以 sin A + sin
π
- A
=1,
è 3 ÷
所以 sin A 3+ cos A 1- sin A 3 1=1,即 cos A + sin A =1,
2 2 2 2
sin A π 1 A 0, π即 + =
π π π
÷ ,因为3 ÷
,所以 A + = ,所以 A = ,
è è 3 3 2 6
π π
因为B + A = .所以 A = B = ,
3 6
所以VABC 的形状为顶角为120°的等腰三角形.
故选:B.
4.(2024·辽宁沈阳·二模)(多选)设VABC 的三个内角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c.下列有关等边三
角形的四个命题中正确的是( ).
a b c
A.若 = = VABCsin A sin B sin C ,则 是等边三角形
a b c
B.若 = = ,则VABC 是等边三角形
cos A cos B cosC
a b c
C.若 = = ,则VABC 是等边三角形
tan A tan B tan C
a b c
D.若 = = ,则VABC 是等边三角形
A B C
【答案】BCD
a b c
【解析】A,若 = =sin A sin B sin C ,
由正弦定理可知:任意VABC 都满足条件,因此不一定是等边三角形,不正确;
a b c
B,若 = = ,
cos A cos B cosC
sin A sin B sin C
由正弦定理可得: = = ,
cos A cos B cosC
∴ tan A = tan B = tan C ,
∵ A, B,C 0, π ,∴ A= B=C,
∴ VABC 是等边三角形,正确.
a b c
C,若 = = ,
tan A tan B tan C
sin A sin B sin C
由正弦定理可得: = = ,∴ cos A = cos B = cosC ,
tan A tan B tan C
∵ A, B,C 0, π ,∴ A= B=C,
∴ VABC 是等边三角形,正确.
a b c sin A sin B sin C
D,若 = = ,∴ = = ,
A B C A B C
A = B = C π= 时,VABC 是等边三角形;
3
sin x π
A, B,C π 时,研究函数 f x = x 0, 的单调性,
3 x ÷è è 2
÷
f x x cos x - sin x x - tan x cos x 0 π= = , < x < 时, x < tan x
x2 x2 2
,
∴函数 f x 在 0, π sin A sin B sin C= =
è 2 ÷
上单调递减,因此 不成立.
A B C
综上可得:VABC 是等边三角形,正确.
故选:BCD.
考点四 三角形面积
【例 4-1】(2024·山东·模拟预测)VABC 内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,若b = 2a sin B,bc = 4,则
VABC 的面积为 .
【答案】1
【解析】因为b = 2a sin B,由正弦定理可得 sin B = 2sin Asin B,且 sin B 0 ,
所以 sin A
1 1 1 1
= ,则 S
2 VABC
= bc sin A = 4 =1 .
2 2 2
故答案为:1
2
【例 4-2】(2024· 2 2重庆·模拟预测)记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若B = π,b = 6, a + c = 3ac ,则
3
VABC 的面积为( )
9
A. 3
9 9 9
B. C. 3 D.
4 4 2 2
【答案】A
【解析】由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ,即36 = a2 + c2 + ac = 3ac + ac = 4ac,ac = 9,
ABC 1 ac sin B 1 9 3 9 3所以三角形 的面积为 = = .
2 2 2 4
故选:A
π
【例 4-3】(2024·吉林长春·模拟预测)在VABC 中,已知 A = , BC = 2 3 ,当边 BC 的中线 AD = 7 时,VABC
3
的面积为 .
【答案】 2 3
【解析】
uuur uuur uuur uuur
因为边 BC 的中线 AD = 7 ,BC = 2 3 ,所以DC = -DB, DB = DC = 3,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 AB × AC = AD + DB × AD + DC = AD + DB × AD - DB = AD - DB = 7 - 3 = 4 ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AB × AC = AB AC cos BAC
π
= AB AC cos ,
3
uuur uuur π uuur uuur
所以 AB AC cos = 4, AB AC = 8,
3
1 uuur uuurSVABC = AB AC sin
π 1 3
= 8 = 2 3 .
2 3 2 2
故答案为: 2 3 .
【一隅三反】
3
1.(2024·北京昌平·二模)已知VABC 中, a = 4,b = 2c, cosA = - ,则 SVABC = .4
7
【答案】
2
cosA b
2 + c2 - a2 4c2 + c2 -16 3
【解析】由余弦定理可得: = = 2 = - ,2bc 4c 4
解得: c = 2 ,所以b = 2c = 2 2 ,
cosA 3又因为 = - ,所以 sinA = 1- cos2 A 7= ,4 4
所以 S 1VABC = bc sin A
1 7 7
= 2 2 2 = .
2 2 4 2
7
故答案为: .
2
2.(2024·甘肃张掖·模拟预测)在VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, A
π
= ,sinB = 2sinC ,且 ,
3 a + b = 7 + 4 3
则VABC 的面积为 .
7 3
【答案】 + 6
2
【解析】由 sinB = 2sinC ,由正弦定理可得b = 2c,
2 2 2
由余弦定理可得 a = b + c - 2bccos
π 2c 2 c2 2 2c c 1= + - = 3c2 ,所以
3 2 a = 3c
,
所以 a + b = 3c + 2c = 7 + 4 3 ,所以 c = 2 + 3 ,
所以VABC 1的面积为 SVABC = bcsinA
1 2 2 3 2 3 3 7 3= + + = + 6 .
2 2 2 2
7 3
故答案为: + 6
2
3.(2024·贵州 )在锐角三角形 ABC 中,角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c,已知 a = 2, sin A 3= ,
2
a c
+ = 4b ,则VABC的面积为______.
cos A cosC
【答案】 3
a c
【解析】因为 + = 4b
sin A sin C
,所以由正弦定理可得 + = 4sin B
cos A cosC cos A cosC
sin AcosC + cos Asin C sin A + C sin B
所以 = = = 4sin B ,
cos AcosC cos AcosC cos AcosC
1
因为 sin B 0 所以 cos AcosC =
4
1 1
因为 sin A 3= ,则 cos A = ,则 cosC = ,所以VABC 3为等边三角形,故VABC的面积2 2 S = a
2 = 3
2 4
故答案为: 3
考点五 三角形外接圆的半径
【例 5】(2024·河南信阳·模拟预测)设 VABC 的内角A , B ,C 的对边分别为 a,b , c,已知 a = 9,b = 8,c = 5,
则VABC 的外接圆的面积为( )
225 π 125 π 123 113A. B. C. π D. π
11 11 6 6
【答案】A
a2 + b2 - c2 81+ 64 - 25 5 11
【解析】因为 a = 9,b = 8, c = 5,所以 cosC = = = ,所以
2ab 2 sin C = 1- cos
2 C = ,
9 8 6 6
R c 5 15 11
设VABC = = =的外接圆半径为 R ,则 2sin C 11 11 ,则V 2
225
ABC 的外接圆的面积 S = πR = π .故选:A.
11
3
【一隅三反】
2π π
1.(2024·上海徐汇·二模)在VABC 中, AC =1, C = , A = ,则VABC6 的外接圆半径为 .3
【答案】1
π 2R AC 1= = = 2
【解析】由已知 B = ,设三角形外接圆半径为 R ,则
6 sin B sin
π ,所以R =1.
6
故答案为:1.
2.(2024·上海虹口·二模)已知一个三角形的三边长分别为 2,3, 4,则这个三角形外接圆的直径为 .
16 15 16
【答案】 / 15
15 15
【解析】不妨设VABC 中 a = 2,b = 3, c = 4,
由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A,即 22 = 32 + 42 - 2 3 4cos A,
解得 cos A
7
= ,又 A 0, π ,
8
所以 sin A = 1- cos2 A 15= ,
8
2R a 2 16 15= = =
由正弦定理 sin A 15 15 ,
8
16 15
即这个三角形外接圆的直径为 .
15
16 15
故答案为:
15
3.(2024·四川·模拟预测)已知VABC 的三内角A , B ,C 满足16sin C cos A - B + 8sin 2C = 3π ,则VABC 的面
积与VABC 外接圆的面积之比为 .
3
【答案】
16
【解析】由16sin C cos A - B + 8sin 2C = 3π ,
得16sin C cos A - B +16sin C cosC = 3π,
即16sin C é cos A - B - cos A + B ù = 3π ,
即32sin C sin Asin B = 3π ,
1 absin C
2 absin C 2sin Asin B sin C 3π 3所以VABC 的面积与VABC 外接圆的面积之比为 2 = 1 a b = = = ,πR 2p × × × π 16π 16
4 sin A sin B
3
故答案为: .
16
考点六 三角形解的个数
【例 6-1】(2024·江西上饶·一模)VABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知下列条件:① b = 3,
c = 4, B = 30°;② a = 5,b = 4 , A = 30°;③ c = 2,b = 3 , B = 60° ;④ c =12,b =12,C = 120° .其中满
足上述条件的三角形有唯一解的是( )
A.①④ B.①② C.②③ D.③④
【答案】C
b c sin B 4 1【解析】对于①,因为 > × = = 2,且b < c ,所以三角形有两解;
2
对于②,因为 a b sin A 4
1
> × = = 2,且 a > b,所以三角形一解;
2
对于③, sin C
c sin B
= =1 C = 90°,所以三角形有一解;
b
对于④, c =12,b =12,C = 120°,则 B = C = 120°,则B + C >180°,所以三角形无解.
所以满足上述条件的三角形有一解的是②③.
故选:C
π
【例 6-2】(2024·湖北·模拟预测)在VABC 中,已知 AB = x ,BC = 2 2 ,C = ,若存在两个这样的三角形4
ABC ,则 x 的取值范围是( )
A. é 2 2, + B. 0,2 2 C. 2,2 2 D. 2, 2
【答案】C
AB BC BC sin C 2
【解析】由正弦定理 = 可得 sinA = =
sinC sinA AB x
,
2 3π
由题意可知:关于 A 的方程: sinA = 在 A x
0,
4 ÷有两解,è
A 0, 3πy = sinA 2在同一坐标系内分别作出曲线 , ÷和水平直线 y = ,
è 4 x
2 2
因为它们有两个不同的交点,所以 < < 1,所以
2 x 2 < x < 2 2
.
故选:C.
【例 6-3】.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知VABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则能使同时满足条件
A π= ,b = 6 的三角形不唯一的 a 的取值范围是( )
6
A. 3,6 B. 3, + C. 0,6 D. 0,3
【答案】A
π
【解析】因为 A = ,b = 6 ,则bsin A = 6
1
= 3,
6 2
要使满足条件的三角形不唯一,则bsin A < a < b ,即3 < a < 6 .
故选:A.
【一隅三反】
π
1.(2024 浙江·期中)在VABC 中, A = , AB = 4, BC = a,且满足该条件的VABC 有两个,则 a的取值范围是
3
( )
A. 0,2 B. 2,2 3 C. 2,4 D. 2 3,4
【答案】D
a 4 2 3
【解析】由正弦定理可得: = ,所以
sin A sinC sinC = <1
,所以 a > 2 3 ,
a
因为满足条件的VABC 有两个,所以BC < AB,即 a < 4,所以 a的取值范围是 2 3,4
故选:D
2.(2024·江苏 )在VABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,则下列条件能确定三角形有两解的是( )
A. a = 5,b 4, A
p p
= = B. a = 4,b = 5, A =
6 4
C. a = 5,b 4, A
5p p
= = D. a = 4,b = 5, A =
6 3
【答案】B
a b
【解析】对于 A:由正弦定理可知, = sin B
2
=
sin A sin B 5
B A p∵ a > b,∴ < = ,故三角形VABC 有一解;
6
a b 5 2
对于 B:由正弦定理可知, = sin B = ,
sin A sin B 8
p
∵b > a,∴ B > A = ,故三角形VABC 有两解;
4
a b 2
对于 C:由正弦定理可知, = sin B =
sin A sin B 5
∵ A 为钝角,∴B 一定为锐角,故三角形VABC 有一解;
对于 D a b 5 3:由正弦定理可知, = sin B = >1,故故三角形VABC 无解.
sin A sin B 8
故选:B.
3.(2024 陕西宝鸡·期末)在VABC 中,若b = 3, c = 2,B = 45o ,则此三角形解的情况为( )
A.无解 B.两解
C.一解 D.解的个数不能确定
【答案】C
b c 2 2
【解析】由正弦定理可得 = 可得
sin B sin C sin C
c sin B 2
= = 2 = < sin B,
b 3 3
因为 c < b ,则C < B,故C 为锐角,故满足条件的VABC 只有一个.
故选:C.
考点七 正余弦定理在实际生活的应用
【例 7-1】(2024 全国·专题练习)鼎湖峰,矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区,状如春笋拔地而起,其峰顶镶
嵌着一汪小湖,传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖.白居易曾以诗赋之:“黄帝旌旗去不回,片云孤石独崔嵬.有时风
激鼎湖浪,散作晴天雨点来”.某校开展数学建模活动,有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度,为此,他
们设计了测量方案.如图,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为45°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走了 90 米到达 B 点
(A,B,P,Q 在同一个平面内),在 B 处测得山顶 P 的仰角为60°,则鼎湖峰的山高 PQ 为( )米
A. 45 6 - 2 B. 45 6 + 2 C.90 3 -1 D.90 3 +1
【答案】B
【解析】在VABP中,则 BPA = 45o - 30o 15o ABP =180o - BAP - APB =180o - 45o -15o -15o =135o= , ,
AP AB
因为 = ,
sin ABP sin APB
且 sin15o = sin 60o - 45o = sin 60o cos 45o - cos 60o sin 45o 6 - 2= ,4
2
AB sin ABP 90sin135o 90 180 2
则 AP = = o =
2 = ,
sin APB sin15 6 - 2 6 - 2
4
在RtVPAQ中,则PQ = AP sin 45o 180 2 2= = 45 6 + 2 .
6 - 2 2
故选:B.
【例 7-2】(2024·吉林·二模)如图,位于某海域A 处的甲船获悉,在其北偏东 60o 方向C 处有一艘渔船遇险后抛
锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15o,且与甲船相距 2nmile的B处的乙船,已知遇险渔
船在乙船的正东方向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A. 2nmile B. 2nmile
C. 2 2nmile D.3 2nmile
【答案】B
【解析】由题意知, AB = 2 , sin BAC = 45o ,sin BCA = 30o
AB BC
由正弦定理得, =
sin BCA sin BAC
AB 2
所以BC = sin BAC = o sin 45
o = 2 .
sin BCA sin 30
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为 2nmile .
故选:B.
【一隅三反】
1.(2024·广东·二模)在一堂数学实践探究课中,同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示,将小镜
子放在操场的水平地面上,人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置,此时测量人和小镜子的距离为 a1 = 1.00m,
之后将小镜子前移a = 6.00m,重复之前的操作,再次测量人与小镜子的距离为a2 = 0.60m,已知人的眼睛距离
地面的高度为 h = 1.75m,则钟楼的高度大约是( )
A. 27.75m B.27.25m C. 26.75m D. 26.25m
【答案】D
【解析】如下图,设钟楼的高度为 PQ,
由△MKE :
PQ × KE a × PQ
△PQE,可得:EQ = = 1 ,
MK h
NTF : PQF FQ PQ ×TF PQ × a由△ △ ,可得: = = 2 ,
NT h
EQ FQ a1 × PQ PQ ×a故 - = - 2 = a ,
h h
PQ ah 6 1.75 10.5故 = = = = 26.25ma1 - a2 1- 0.6 0.4
,
故选:D.
2 .(2024·内蒙古赤峰·模拟预测)为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度,通常采用人工攀登
的方式进行,测量人员从山脚开始,直到到达山顶分段测量过程中,已知竖立在 B 点处的测量觇标高 20米,攀
登者们在A 处测得,到觇标底点 B 和顶点C 的仰角分别为 45°,75°,则 A, B的高度差约为( )
A.7.32 米 B.7.07 米 C.27.32 米 D.30 米
【答案】A
【解析】
模型可简化为如上图,在RtVADC 中, BAD = 45°, CAD = 75°,
3
BD tan 75 tan 45 30 tan 45° + tan 30°
1+ 3 + 3
所以 tan 75° - BD = 20,而 ° = ° + ° = = 3 = ,
tan 45° 1- tan 45° tan 30° 1 3 3 - 3-
3
代入上式并化简可得BD = 7.32米,
故选:A.
3.(2024·湖南·模拟预测)湖南省衡阳市的来雁塔,始建于明万历十九年(1591 年),因鸿雁南北迁徙时常在境
内停留而得名.1983 年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度,因地理条件的限制,
分别选择 C 点和一建筑物 DE 的楼顶 E 为测量观测点,已知点 A 为塔底, A,C , D 在水平地面上,来雁塔 AB 和
建筑物 DE 均垂直于地面(如图所示).测得CD =18m, AD =15m,在 C 点处测得 E 点的仰角为 30°,在 E 点处
测得 B 点的仰角为 60°,则来雁塔 AB 的高度约为( )( 3 1.732,精确到0.1m)
A.35.0m B.36.4m C.38.4m D.39.6m
【答案】B
【解析】过点E 作EF ^ AB,交 AB 于点F ,
在直角三角形VECD 中,因为 ECD = 30°,
所以DE = CD × tan DCE =18 tan30° = 6 3 ,
在直角三角形△BEF 中,因为 BEF = 60°,
所以BF = EF × tan FEB =15 tan60° =15 3 ,
则 AB = BF + AF = BF + ED =15 3 + 6 3 = 21 3 36.4 m .
故选:B.
考点八 正余弦定理在几何中的应用
【例 8】.(2024·云南大理·模拟预测)如图所示,在平行四边形 ABCD中,有:
ACcos BAC = 2AB - BC cos ABC .
(1)求 ABC 的大小;
(2)若BC = 3, AC = 7 ,求平行四边形 ABCD的面积.
π
【答案】(1)
3
(2) 3 3 或3 3
2
【解析】(1)由题意得 ACcos BAC = 2AB - BC cos ABC ,
由正弦定理得, 2sin ACBcos ABC = sin BACcos ABC + sin ABCcos BAC
\2sin ACBcos ABC = sin BAC + ABC = sin π - ACB = sin ACB ,
又Q ACB 0, π ,则 sin ACB 0,\cos ABC 1= ,
2
Q ABC 0, π , ABC π\ = .
3
π
(2)在平行四边形 ABCD中, ABC = , BC = 3, AC = 7 ,
3
在VABC 中,由余弦定理得,
1
AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB BCcos ABC 2,即7 = AB + 9 - 2 AB 3 ,2
解得: AB =1或 AB = 2 ,
当 AB =1时,平行四边形 ABCD的面积:
S = 2SVABC = 2
1
AB BCsin π = 2 1 3 3 3 1 3 = ;
2 3 2 2 2
当 AB = 2 时,平行四边形 ABCD的面积:
S 1= 2SVABC = 2 AB BCsin
π 1 3
= 2 2 3 = 3 3 .
2 3 2 2
【一隅三反】
1.(2023 广东珠海·期末)在VABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a = b 3sinC + cosC .
(1)求 B;
ACD π(2)已知BC = 2 3 ,D 为边 AB 上的一点,若BD =1, = ,求 AC 的长.2
π
【答案】(1) B = .
6
(2) AC 21= .
2
【解析】(1)∵ a = b 3sinC + cosC ,根据正弦定理得, sin A = sin B 3sin C + cosC ,
即 sin BcosC + cos Bsin C = 3sin Bsin C + sin BcosC ,
所以 cos Bsin C = 3sin Bsin C ,因为 sin C > 0,
所以 cos B = 3 sin B ,所以 tan B 3= ,
3
因为B 0, π π,所以 B = 6 .
π
(2)因为BC = 2 3 ,BD =1, B = 6 ,根据余弦定理得
CD2 = BC 2 + BD2 - 2BC × BD ×cos B =1+12 2 3- 1 2 3 = 7,∴ CD = 7 .
2
π sin BDC sin π∵ BDC = + A,∴ = + A
÷ = cos A.2 è 2
V BC CD
2 3 7
在 BDC =中,由正弦定理知, = ,∴ ,
sin BDC sin B cos A 1
2
π
∴ cos A 21 A 0, 2 7= , 2 ÷ ,所以 sin A =7 è 7
∴ tan A sin A 2 3 CD 21= = = ,∴ AC = .
cos A 3 AC 2
2.(2023·河南·模拟预测)如图,在四边形 ABCD中, AB ^ BC, ADC = 120°, AB = CD = 2AD,△ACD 的面积为
3
.
2
(1)求 sin CAB ;
(2)证明: CAB = CAD.
(1) 21【答案】
7
(2)证明见解析
【解析】(1)设CD = 2AD = 2a,a > 0 ,
因为VACD 3的面积为 , ADC = 120°,
2
1
所以 2a a sin120 3° = ,解得 a =1,
2 2
所以 AB = CD = 2, AD = 1.
1
在VACD 中,由余弦定理得 AC 2 = AD2 + CD2 - 2AD ×CDcos120° = 1+ 4 - 2 2 1 - 2 ÷
= 7,
è
所以 AC = 7 .
在Rt△ABC 中, AB ^ BC, AB = 2,所以BC = AC2 - AB2 = 7 - 4 = 3 ,
所以 sin CAB
BC 3 21
= = = ;
AC 7 7
(2)由(1)可得CD = 2, AC = 7 ,
CD AC
在VACD中,由正弦定理得 = ,
sin CAD sin ADC
2 3
所以 sin CAD CDsin ADC 2 21 = = = ,且0° < CAD < 60°.
AC 7 7
由(1)可得 sin CAB 21= ,又0° < CAB < 90°,
7
所以 CAB = CAD.
3.(2024·北京大兴·三模)如图,平面四边形 ABCD中,对角线 AC 与BD相交于点E , ABD = CBD , AC ^ AD,
AE = EB = 3,DE = 5 .
(1)求VADB 的面积;
(2)求 sin BAC 的值及 EC 的长度.
48
【答案】(1)
5
(2)sin BAC 5 = ,EC
15
=
5 11
【解析】(1)∵ AC ^ AD, AE = 3,DE=5
3 1
\ AD= DE2 - AE2 = 4, sin ADE = , SVABD = DA DB sin ADB
1 4 8 3 48= = ;
5 2 2 5 5
4 2
(2)Q AE = EB, AED = EAB+ EBA, sin AED = 3 3,则
5 cos AED = 1- ÷ =
.
è 5 5
3
\ AED = 2 BAC , cos AED = 1- 2sin2 BAC= ,
5
Q BAC 0, π 2 ÷è
\sin 5 BAC = , cos BAC = 1-sin2 BAC = 2 5 ,
5 5
又 CBD= ABD= BAC ,在VBCE 中, CBE+ BEC+ BCE = π
sin BCE = sin CBE + BEC
sin CBE cos BEC cos CBE sin BEC 5 3 2 5 4 11 5= + = + = ,
5 5 5 5 25
EC BE
由正弦定理可知, = ,
sin CBE sin BCE
5
BE × sin CBE 3 15
\ EC = = 5 = .
sin BCE 11 5 11
25
一.单选题
1.(2024 辽宁沈阳·期中)在VABC中,若 a - ccosB = b - ccosA,则VABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
a2 + c2 - b2 b2 + c2 - a2
【解析】由 a - c cos B = b - c cos A,得 a - c = b - c ,
2ac 2bc
a2 + b2 - c2 a2 + b2 - c2
化简得 = ,
a b
当 a2 + b2 - c2 = 0时,即 a2 + b2 = c2,则VABC为直角三角形;
当 a2 + b2 - c2 0时,得 a = b,则VABC为等腰三角形;
综上:VABC为等腰或直角三角形,故 D 正确.
故选:D.
2.(2024·辽宁丹东·二模)在△ ABC 中,点 D 在BC 边上, AD 平分 BAC , BAC =120° , AB = 2 3 ,
AD 2 3= ,则 AC =( )
3
A.2 B. 3 C.3 D. 2 3
【答案】B
【解析】因为 SVABC = SVABD + SVADC ,
1 AB AC sin120 1所以 ° = AB AD sin 60
1
° + AD AC sin 60° ,
2 2 2
即 AB AC = AB AD + AD AC 2 3,代入 AB = 2 3 , AD = ,
3
可得 2 3 AC 2 3 2 3 2 3 4 3= + AC ,则 AC = 4 ,
3 3 3
解得 AC = 3 .
故选:B.
3.(2024 湖北)已知VABC中,角A , B ,C 所对的边分别为 a,b , c,若 a = 4 + 2 2 - c, tan A = - 7 ,
cosC 3= ,则VABC的面积为( )
4
A. 4 7 B. 2 7 C. 14 D. 7
【答案】D
【解析】依题意 tan A = - 7 , cosC
3
= ,所以A 为钝角,B,C 为锐角.
4
ì sin A
= - 7 14 2
ícos A ,解得 sin A = , cos A = - .
sin
2 A + cos2 A =1 4 4
14
2 7 a sin Asin C = 1- cos C = .由正弦定理得 = = 4 = 2, a = 2c .
4 c sin C 7
4
ìa = 2c
由 í 解得 a = 4,c = 2 2 .
a = 4 + 2 2 - c
sin B = sin A + C = sin AcosC + cos Asin C 14 3 2 7 14= - = ,
4 4 4 4 8
S 1 ac sin B 1 14所以 VABC = = 4 2 2 = 7 .故选:D2 2 8
4.(2023 春·江苏南通)如图所示,河边有一座塔OP,其高为 20m,河对面岸上有 A, B两点与塔底O在同一水
平面上,在塔顶部测得 A, B两点的俯角分别为45°和30°,在塔底部O处测得 A, B两点形成的视角为150°,则 A, B
两点之间的距离为( )
A.10m B.10 3m C. 20 7m D.10 42m
【答案】C
【解析】因为在塔顶部测得 A, B两点的俯角分别为45°和30°,所以在直角三角形PAO 中, PAO = 45°,可得
AO = PO = 20m,
PO
在直角三角形PAO 中, PBO = 30°,可得BO = = 20 3m,
tan30°
在VAOB中,由题知 AOB =150°,由余弦定理得
AB2 = OA2 + OB2 - 2OA ×OBcos AOB 400 1200 2 20 20 3 ( 3 = + - - ) = 2800,得到 AB = 20 7m .
2
故选:C.
5.(2024·江苏连云港·模拟预测)在 VABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a =1,bcos A =1+ cos B,
则边 b 的取值范围为( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 0,2 D. 2,3
【答案】B
【解析】由 a =1,bcos A =1+ cos B得, b cos A = a + a cos B ,
由正弦定理可得 sin B cos A = sin A + sin Acos B ,即 sin B cos A - sin Acos B = sin A,
所以 sin B - A = sin A,所以B - A = A或B - A + A = π (舍去),所以B = 2A,
b a sin B sin 2A由正弦定理得, = = = 2cos A,
sin A sin A
而0 < A < π,0 < B = 2A < π
π
,0 < C = π - 3A < π ,所以0 < A < ,
3
1
所以 < cos A <1,所以b = 2cos A 1,2 ,所以b 的取值范围为 1,2 .
2
故选:B
6(2024·江苏无锡 )在锐角VABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b , c,且b =1, cos A - a cos B = a,则
( )
π π π π
A. < A < B. < A <
6 4 6 3
π π π π
C. < A < D. < A <
4 3 4 2
【答案】A
【解析】因为b =1, cos A - a cos B = a,所以bcos A - a cos B = a ,
所以由正弦定理得 sin B cos A - sin Acos B = sin A,即 sin B - A = sin A,
π π π
因为 0 A
π
< <
2 ,
0 < B < ,所以- < B - A < ,所以B - A = A,即B = 2A,
2 2 2
ì
0 A
π π
< < ì 0 < A <
2 2
π
因为 í0 < B <
,即 í0 < 2A
π
< π π,解得 < A < .故选:A.
2 2 6 4
0 C π < <
0 < π - A - 2A
π
<
2 2
7.(2024·广西柳州 )在VABC中,角 A, B,C 的边分别为 a,b,c,知B = 60° ,b = 4 ,则下列判断中错误的是
( )
A π 4 6 9A.若 = ,则 a = B.若 a = 该三角形有两解4 3 2
C.VABC周长的最小值为 12 D.VABC面积的最大值 4 3
【答案】C
b a
【解析】对于 A,B = 60° ,b = 4, A
π
= =
4 ,由正弦定理得 ,sin B sin A
4 2bsin A 4 6
所以 a = = 2 = ,故 A 正确;
sin B 3 3
2
b a 9 3
对于 B,由正弦定理得 = 得,所以
sin B sin A sin B < sin A
a sin B 9 3
= = 2 2 = <1,
b 4 16
因为 a > b A > B ,则A 有两个解,所以该三角形有两解,故 B 正确;
对于 C,由b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ,得
16 = a2 + c2 - ac = (a + c)2 3 1- 3ac (a + c)2 - (a + c)2 = (a + c)2 ,
4 4
所以 a + c 8,当且仅当 a = c = 4 时取等号,此时三角形周长最大为等边三角形,周长为 12,故 C 错误;
对于 D,由选项 C 知,16 = a2 + c2 - ac 2ac - ac = ac ,当且仅当 a = c = 4 时取等号,
故 S 1VABC = ac sin B
3
= ac 4 3 所以VABC 面积的最大值为 4 3 ,故 D 正确.故选:C.
2 4
2 2 C
8.(2024· a + b - c福建福州·三模)已知VABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 若面积 S = , 则 tan =
3 2
( )
24 7 3 4
A. B C7 . . D.24 4 3
【答案】D
1 2 2 2 2 2
【解析】因为 S = absin C 1 a + b - c a + b - c + 2ab,所以 = ,
2 absin C =2 3 3
又由 c2 = a2 + b2 - 2abcosC a2 + b2 - c2 = 2ab cosC ,
1
所以 absin C
2ab cosC + 2ab
= 4cosC + 4 = 3sin C .
2 3
所以 4cosC = 3sin C - 4 4cosC 2 = 3sin C - 4 2 16cos2 C = 9sin2 C - 24sin C +16
16 1- sin2 C = 9sin2 C - 24sin C +16
24
所以 25sin2 C - 24sin C = 0,又因为在VABC 中, sin C 0,所以 sin C = .25
7 24
又因为 4cosC = 3sin C - 4 ,解得: cosC = - ,所以 tan C = -25 ,C 为钝角,7
2 tan C C
tan C 24= 2C = - ,结合 为锐角,解得: tan
C 4 3
= 或- (舍).
1- tan2 7 2 2 3 42
故选:D
二.多选题
C 1
9.(2024·广西桂林·三模)在VABC 中, sin = , BC =1, AC = 5,则(
2 2 )
A. cosC
1
= B.
2 AB = 21
C.VABC
5
的面积为 D.VABC 外接圆的直径是
2 2 7
【答案】ABD
【解析】对于 A, cosC = 1- 2sin2
C
= 1- 2 1 1 = ,故 A 正确;
2 4 2
1
对于 B,由 A 选项知 cosC = ,
2
2 2 2
由余弦定理得 AB = BC + AC - 2BC × AC cosC 1 25 2 5
1
= + - = 21 .
2
故 AB = 21,故 B 正确;
对于 C,由于在VABC 中,C 0, π ,故 sin C > 0,
所以 sin C = 1- cos2 C 1 1 3= - = ,
4 2
S 1 BC AC sin C 1 3 5 3所以 △ABC = × = 5 = ,故 C 错误;2 2 2 4
对于 D,设VABC 外接圆半径为 R,
2R AB 21= = = 2 7
则由正弦定理得 sin C 3 ,故 D 正确.
2
故选:ABD
10.(2024 辽宁朝阳·期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, b2 + c2 = a2 + bc , a = 3,若满
足要求的△ABC 有且只有 1 个,则 b 的取值可以是( )
A.1 B. 3 C.2 D.3
【答案】ABC
2
cos A b + c
2 - a2 bc 1
【解析】由 = = = ,及0 < A < p ,
2bc 2bc 2
得 A
p
= .若满足要求的△ABC 有且只有 1 个,则 a = bsin A或 a b3 ,
3 3即 = b 或 3 b ,解得b = 2 或0 < b 3 .
2
故选:ABC
11.(2024·江西·二模)已知VABC 中, AB =1, AC = 4, BAC = 60°, AE 为 BAC 的角平分线,交BC 于点E, D 为
AC 中点,下列结论正确的是( )
A 13.BE =
5
B. AE 4 2=
5
C.VABE 3的面积为
5
D. P 在△ABD 的外接圆上,则PB
1
+ PD 的最大值为
2 7
【答案】ACD
【解析】在VABC BC 2中,由余弦定理得 =1+ 42 - 2 1 4 cos
p
=13, BC = 13 ,
3
1 13
由角平分线定理得:BE : EC = BA : AC =1: 4, BE : BC =1: 5, BE = BC = ,所以 A 正确;
5 5
S + S = S 1由 VABE VACE VABC 得 AE 1 sin
p 1 AE 4 sin p 1+ = 1 p 4 sin 4 3,解得 ,所以 B 错误;
2 6 2 6 2 3 AE = 5
S 1VABE = AE 1 sin
p 3
= ,所以 C 正确;
2 6 5
p p
在△BDP 中,BD = 1+ 22 - 2 2 cos = 3, BPD = ,
3 3
PD BP BD 3
设 PBD = q ,则 PDB
2p
= -q = = = = 2,,由正弦定理得:
3 sin q sin(
2p ) sin p- q 3
3 3 2
PB 1\ + PD 2sin(2p= - q) + sin q = 3 cos q + 2sin q = 7 sin(q + j) 3,其中 tanj = ,所以 D 正确.2 3 2
故选:ACD.
三.填空题
12.(2024·宁夏石嘴山·模拟预测)海宝塔位于银川市兴庆区,始建于北朝晚期,是一座方形楼阁式砖塔,内有
木梯可盘旋登至顶层,极目远眺,巍巍贺兰山,绵绵黄河水,塞上江南景色尽收眼底.如图所示,为了测量海宝
塔的高度,某同学(身高 173cm)在点A 处测得塔顶D的仰角为 45° ,然后沿点A 向塔的正前方走了 38m 到达
点 B 处,此时测得塔顶D的仰角为75°,据此可估计海宝塔的高度约为 m.(计算结果精确到 0.1)
【答案】53.6
【解析】如图,设海宝塔塔底中心为点C , AB 与CD 交于点G ,
过点 B 作BH ^ AD于点 H ,则 AGD = 90° , AHB = DHB = 90° ,
由题意知, AE = BF = CG = 1.73 m, DAG = 45° , DBG = 75° , AB = 38 m,
所以 ADG = 90 - DAG = 45° = DAG ,则DG = AG ,
在RtVABH 中, BH = AB sin DAG = 38 2 = 19 2 m,
2
又 DBG 是△ABD 的外角,即有 DBG = DAG + ADB,
所以 ADB = DBG - DAG = 30° ,
在RtVBDH 中, BD = 2BH = 38 2 m,设 DG = AG = x m,则 BG = (x - 38) m,
在RtVBDG 中,由勾股定理得BG2 + DG2 = BD2 ,
即 (x - 38)2 + x2 = (38 2)2 ,整理得 x2 - 38x - 722 = 0,解得 x = 19 +19 3 或19 -19 3 (舍),
所以 DG = x 51.908 m,所以CD = DG + CG 51.908 +1.73 53.6 m,
即海宝塔的高度为53.6 m.
故答案为:53.6
13.(2024 天津·期中)若VABC 是钝角三角形, a = 3,b = 4 , c = x,则 x 的取值范围是 .
【答案】 (1 , 7) (5 , 7)
2 2 2
【解析】由题意知钝角VABC 三边长分别为 3,4 x cos B a +c -b, ,设 B 为钝角,则 = < 0,
2ac
\c2 < b2 - a2 = 7.
2 2 2
由于两边之差小于第三边,\c >| a - b |= 1 \ C cocC a + b - c. 1 < c < 7 .设 为钝角,则 = < 0 ,2ab
\c2 > b2 + a2 = 25,即 c > 5.由于两边之和大于第三边,\c < a + b = 7 .\5 < c < 7 .
综上,1< c < 7 或5 < c < 7.故答案为: (1 , 7) (5 , 7) .
14.(2024·陕西西安·模拟预测)在VABC 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a = 6 , 6 cos B = 3c - b cos A,
则VABC 面积的最大值为 .
3 2 3
【答案】 / 2
2 2
【解析】因为 a = 6 , 6 cos B = 3c - b cos A,所以 6 cos B = a cos B = 3c - b cos A,
由正弦定理可得 sin Acos B = 3sin C cos A - sin B cos A,即 sin A+ B = 3sinCcos A,
1
sin C = 3sin C cos A,因为C 0, π ,所以 sin C 0,故 cos A = ,
3
2
由余弦定理 a2 = b2 + c2
2
- 2bc cos A得 6 = b2 + c2 - bc,3
6 = b2所以 + c2
2
- bc 2bc 2- bc 9 3 2,即bc ,当且仅当b = c= 时取等号,
3 3 2 2
由 cos A
1
= , A 0, π 2 2,得 sin A = ,3 3
S 1 bc sin A 1 2 2 bc 2 9 3 2所以 VABC = = = .2 2 3 3 2 2
3 2
故答案为: .
2
四.解答题
15.(2024 江苏无锡·期中)记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求A ;
(2)若 a = 2 2 ,VABC 的面积为 2 3 ,求VABC 的周长
【答案】(1) A
π
=
3
(2) 6 2
【解析】(1)由 a cosC + 3a sin C - b - c = 0
a b c
又 = = = 2R得 sin AcosC + 3 sin Asin C - sin B - sin C = 0
sin A sin B sin C
其中 sin B = sin( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C
化简得 3 sin Asin C - cos Asin C - sin C = 0
又 sin C 0得 3 sin A - cos A =1.
即 sin(A
π 1
- ) =
6 2
p
因为A 是三角形的内角,所以 A = .3
1
(2)由 SVABC = bc sin A = 2 3 ,得bc = 8,2
b2 + c2cos A - a
2 1
由余弦定理 = = ,得
2bc 2 b
2 + c2 -8 = bc ,
2
得 b + c = 3bc + 8 = 32,得b + c = 4 2 ,
所以VABC 的周长为 a + b + c = 2 2 + 4 2 = 6 2 .
16.(2024·安徽芜湖·三模)已知 a,b,c分别为VABC 三个内角 A, B,C 的对边,且bcosA + 3bsinA = a + c
(1)求 B ;
(2)若b = 2,△ABC 的面积为 3,D为 AC 边上一点,满足CD = 2AD ,求BD的长.
π
【答案】(1) B = 3 ;
(2) 2 7 .
3
【解析】(1)由正弦定理有 sinBcosA + 3sinBsinA = sinA + sinC ,
因为 sinC = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B,
所以 sinBcosA + 3sinBsinA = sinA + sin Acos B + cos Asin B,
化简得 3sinBsinA = sinA + sinAcosB ,
由 A 0, π ,sinA π 1 0 有 3sinB =1+ cosB ,可得 sin B - = ,
è 6 ÷ 2
因为B 0, π , B π π 5π-
6
- , ÷ ,
è 6 6
所以B
π π
- = B π,则 = .
6 6 3
(2)由B
π
= , S 1= acsinB = 3 有 ac = 4
3 2
又b2 = a2 + c2 - 2accosB 可得 a2 + c2 = 8,
ìa2 + c2 = 8
联立 í 解得 a = c = 2 ,所以VABC 为正三角形,
ac = 4
2 π
所以 AD = , A = ,
3 3
2
在△ABD 2 2 1 28中,由余弦定理得BD2 = 22 + ÷ - 2 2 = .
è 3 3 2 9
2 7
故BD的长为 .
3
1
17.(2024·天津·二模)在VABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosB ccosB + bcosC + a = 0 .
2
(1)求角 B 的大小;
(2)若b = 7,a + c = 8,a < c ,
①求 a,c 的值:
②求 sin 2A + C 的值.
B 2π【答案】(1) =
3
ìa = 3
(2)① 4 3í ②
c = 5
;
7
【解析】(1)因为 cosB ccosB + bcosC 1+ a = 0,利用正弦定理可得:
2
cosB sinCcosB 1+ sinBcosC + sinA = 0,
2
即 2cosBsin B + C + sinA = 0 .
因为 sin B + C = sinA 0 1,所以 2cosB +1 = 0 ,即 cosB = - ,
2
B 0, π B 2π又 ,可得 = .
3
2 2 2 2 2
(2)① a + c - b a + c - 49 1由余弦定理及已知可得: cosB = = - ,
2ac 2ac 2
即 (a + c)2 - ac = 49,又因为 a + c = 8,所以 ac =15,
ìa + c = 8 ìa = 3 ìa = 5
联立 í ac 15 íc 5或 íc 3 (舍), = = =
②由正弦定理可知: sinA asinB 3= = sin120o 3 3= ,
b 7 14
因为 a < c,则 A < C ,故A 为锐角, cosA = 1- sin2 A
13
= ,
14
sin 2A C sin A π sinAcos π cosAsin π 3 3 1 13 3 4 3+ = + ÷ = + = × + × = .
è 3 3 3 14 2 14 2 7
cos A 2c - a18.(2024·内蒙古赤峰·模拟预测)在① = ,② bcosC = 2a - c cos B 中任选一个作为已知条件,补
2b
充在下列问题中,并作答.
问题:在VABC 中,角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c,已知_________.
(1)求 B ;
(2)若VABC 的外接圆半径为 2,且 cos AcosC
1
= - ,求 a + c .
8
注:若选择不同条件分别作答,则按第一个解答计分.
π
【答案】(1)条件选择见解析, B = 3
(2) a + c = 30
2c - a
【解析】(1)选择条件①:因为 cos A = ,
2b
2
VABC b + c
2 - a2 2c - a
在 中,由余弦定理可得 = ,
2bc 2b
由余弦定理可得 a2 + c2 - b2 = ac,
2 2 2
则 cos B a + c - b ca 1= = = ,
2ac 2ac 2
π
因为B 0, π ,所以 B = .3
选择条件②:因为bcosC = 2a - c cos B ,由正弦定理得,
sin B cosC + sin C cos B = 2sin Acos B .
即 sin B + C = 2sin Acos B,
则 sin A = 2sin Acos B ,
因为 A 0, π ,sin A 0 1,所以 cos B = ,
2
π
因为B 0, π ,所以 B = .3
π 2π 1
(2)因为 B = ,所以 A + C = ,即 cos A + C = -3 ,3 2
即 cos AcosC - sin Asin C
1
= - ,又因为 cos AcosC
1
= - ,
2 8
所以 sin Asin C
3
= .
8
a c
由于VABC 的外接圆半径为R = 2,由正弦定理可得 sin Asin C = × ,
4 4
可得 ac = 6,
所以b = 2Rsin B = 2 3 ,
2
由余弦定理可得b2 = a2 + c2 - ac cos B = a + c - 3ac =12 ,
所以 a + c = 30 .
19.(2024·山东济南·二模)如图,已知平面四边形 ABCD中, AB = BC = 2 2,CD = 2, AD = 4 .
(1)若 A, B,C, D 四点共圆,求 AC ;
(2)求四边形 ABCD面积的最大值.
【答案】(1) AC = 3 2
(2) 3 7 .
【解析】(1)在VABC 中,由余弦定理得: AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BCcos ABC
= 8 + 8 - 2 8 ×cos ABC =16 -16cos ABC ,
在VACD中,由余弦定理得: AC 2 = AD2 + CD2 - 2AD ×CDcos ADC
=16 + 4 - 2 8 ×cos ADC = 20 -16cos ADC ,
因为 A, B,C, D 四点共圆,所以 ABC + ADC = π,因此 cos ADC = -cos ABC ,
上述两式相加得:2AC2 = 36,所以 AC = 3 2 (负值已舍去).
(2)由(1)得:16 -16cos ABC = 20 -16cos ADC ,
化简得 cos ADC cos ABC
1
- = ,
4
cos2则 ADC - 2cos ADC cos ABC + cos2 ABC
1
= ①,
16
四边形 ABCD的面积 S
1
= AB × BCsin ABC 1+ AD ×CDsin ADC
2 2
1
= 2 2 2 2sin ABC 1+ 2 4sin ADC
2 2
= 4 sin ADC + sin ABC ,
整理得 sin ADC + sin
S
ABC = ,
4
2
则 sin2 ADC + 2sin ADC sin ABC + sin2 ABC S= ②
16
2
①②相加得: 2 - 2 cos ADC cos ABC - sin ADC sin ABC 1+ S= ,
16
2
即 2 - 2cos ADC ABC 1+ S + = ,
16
由于0 < ADC < π,0 < ABC < π ,
所以当且仅当 ADC + ABC = π时, cos ADC + ABC 取得最小值 -1,
2
此时四边形 ABCD 1+ S的面积最大,由 = 4 ,解得 S = 3 7 ,
16
故四边形 ABCD面积的最大值为3 7 .
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