4.5 正余弦定理综合运用（含答案） 2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

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4.5 正余弦定理的综合运用
考点一三角形的角平分线、中线与高
【例 1-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△ ABC 中，点 D 在 BC 边上， AD 平分 BAC ， BAC =120° ， AB = 2 3 ，
AD 2 3= ，则 AC =（）
3
A．2 B． 3 C．3 D． 2 3
【答案】B
【解析】因为 SVABC = SVABD + SVADC ，
1
所以 AB AC
1
sin120° = AB AD sin 60 1° + AD AC sin 60° ,
2 2 2
即 AB AC = AB AD + AD AC 2 3，代入 AB = 2 3 ， AD = ，
3
可得 2 3 AC 2 3 2 3 2 3 4 3= + AC ，则 AC = 4 ，
3 3 3
解得 AC = 3 ．
故选：B.
π
【例 1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）在VABC 中，已知 A = , BC = 2 3 ，当边 BC 的中线 AD = 7 时，VABC
3
的面积为．
【答案】 2 3
【解析】
uuur uuur uuur uuur
因为边 BC 的中线 AD = 7 ，BC = 2 3 ，所以DC = -DB， DB = DC = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 AB × AC = AD + DB × AD + DC = AD + DB × AD - DB = AD - DB = 7 - 3 = 4 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur π
又 AB × AC = AB AC cos BAC = AB AC cos ，
3
uuur uuur π uuur uuur
所以 AB AC cos = 4， AB AC = 8，
3
S 1
uuur uuur
VABC = AB AC sin
π 1 8 3= = 2 3 .
2 3 2 2
故答案为： 2 3 .
【例 1-3】（2024·广东广州·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，若 c = 3，b = 2 ，
BAC 的平分线 AD 4 6的长为，则BC 边上的中线 AH 的长等于（）
5
A 17 B 4 2 C 17 4 3．．． D．
2 3 4 3
【答案】A
【解析】由题意知，设 BAD = CAD = a ，则 BAC = 2a ，如图所示，
由 SVABC = S
1
VABD + SVACD 可得 3 2sin 2a
1
= 3 4 6 sina 1+ 2 4 6 sina ，
2 2 5 2 5
整理得3sin 2a = 2 6 sina ，即 sina 3cosa - 6 = 0 ，
又因为 sina 0 ，所以 cosa 6= ，
3
所以 cos 2a = 2cos2 a
1
-1 = 2 2，所以
3 sin 2a = 1- cos
2 2a = ，
3
在VABC 中，由余弦定理得 a2 = 32 + 22 - 2 3 2cos 2a =13 - 4 = 9，所以 a = 3，
uuur 1 uuur uuur
由 AH 是BC 边上的中线，得 AH = AB + AC
2
uuur2 1 uuur uuurAH = AB + AC4
2
1 uuur uuur2 uuur uuur= AB + AC + 2AB × AC 1= b2 + c2 + 2bc cos 2a 1= b2 2 + c2 + bc 4 4 4 ÷è 3
1
= 22 + 32 2 2 3 1 1 17 +

÷ = 4 + 9 + 4 = .4 è 3 4 4
AH 17所以，中线长 = .
2
故选：A
【例 1-4】（2024·河北·模拟预测）在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 c = 3,b = 2, BAC 的平分
线 AD 4 6的长为，则BC 边上的高线 AH 的长等于（）
5
4
A B 4 2．．
3 3
C．2 D 4 3．
3
【答案】B
【解析】由题意知，设 BAD = CAD = a ，则 BAC = 2a ，如图所示，
由 SVABC = SVABD + S
1 1 4 6
VACD 可得 3 2sin 2a = 3 sina
1 2 4 6+ sina ，
2 2 5 2 5
整理得3sin 2a = 2 6 sina ，即 sina (3cosa - 6) = 0，
6
又因为 sina 0 ，所以 cosa = ，
3
所以 cos 2a
1
= 2cos2 a -1 = ，所以
3 sin 2a = 1- cos
2 2a 2 2= ，
3
在VABC 中，由余弦定理得 a2 = 32 + 22 - 2 3 2cos 2a =13 - 4 = 9，所以 a = 3，
S 1由 △ABC = bc sin 2a
1
= a× | AH | 1 3 2 2 2 1可得2 2 = 3 | AH | | AH |
4 2
，解得 = .
2 3 2 3
故选：B.
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·河南·阶段练习）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a = 3，
b2 = c2 + 3c + 9， ABC 的平分线交边 AC 于点 D，且 BD = 2，则b =（）
A． 2 5 B． 2 7 C．6 D．3 7
【答案】D
【解析】因为 a = 3及b2 = c2 + 3c + 9，可得b2 = a2 + c2 + ac ，
a2 + c2 - b2 1
由余弦定理得 cos B = = - ，
2ac 2
2π
又由0 < B < π ，所以B = ，
3
因为 S
1
△ABC = S△ABD + S△BCD ，即 ac sin ABC
1
= BD × (a + c)sin ABD，解得 c = 6，
2 2
2 2 2 2p
由余弦定理得b = 6 + 3 - 2 6 3 cos = 63，即b = 3 7 ．
3
故选：D．
b + c
2．（2024 湖北·阶段练习）已知 a,b,c分别为锐角三角形 ABC 三个内角 A, B,C 的对边，且 cos B + 3 sin B = .a
(1)求A ;
(2)若 a = 3，D为BC 的中点，求中线 AD 的取值范围.
π
【答案】(1) A = 3
7 3ù
(2) ,
è 2 2
ú

【解析】（1）因为 A, B,C 是锐角三角形 ABC 的三个内角，所以C = π - A + B ， sin B 0 ，
根据正弦定理可得cos B + 3 sin B
sin B + sinC
= ，即
sin A sin Acos B + 3 sin Asin B = sin B + sin C
，
所以 sin Acos B + 3 sin Asin B = sin B + sin A + B ，则 sin Acos B + 3sin Asin B = sin B + sin Acos B + cos Asin B，
整理得 3 sin A - cos A =1，即 sin
π 1
A - ÷ = ，
è 6 2
A 0, π A π π π又 ÷ ，所以 - = A = .
è 2 6 6
，即 3
uuur 1 uuur uuur（2）因为D为BC 的中点，所以 AD = AB + AC2 ，
uuur2 1 uuur uuur 2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur 1 2 2两边平方得 AD = AB + AC = AB + AC + 2AB × AC = c + b + bc4 4 4 ，
uuur2
V 1 3 1在 ABC 中，由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - bc，即b2 + c2 = 3 + bc，所以 AD = 3 + 2bc = + bc ，4 4 2
b c a 3
VABC = = = = 2在中，由正弦定理得 sin B sin C sin A 3 ，所以b = 2sin B ， c = 2sin C
2
所以bc = 4sin B sin C = 4sin B sin
2π
- B ÷ = 2 3 sin B cos B + 2sin
2 B 2sin 2B π= - +1，
è 3 è 6 ÷
V 0 B π 0 2π B π π π因为 ABC 为锐角三角形，所以 < < 且 < - < ，解得 < B < ，
2 3 2 6 2
π 1 uuur2
所以 < 2B
π 5π
- < ，所以 < sin
2B π- 1 7，所以 < AD
9
，
6 6 6 2 è 6 ÷ 4 4
7 3 ù
所以中线 AD 的取值范围是 , ú .
è 2 2
sin A + sin B c - a
3．（2024·吉林延边·一模）已知VABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， = ．
sin C b - a
(1)求 B；
a
(2)若点 D 在 AC 上，且 AD = BD = 2DC ，求．
c
π
【答案】(1) B = 3
a 1
(2) =
c 2
sin A + sin B c - a
【解析】（1）因为 = ，即 sin A + sin B b - a = c - a sin C ，
sin C b - a
由正弦定理可得： a + b b - a = c - a c ，整理得 a2 + c2 - b2 = ac，
2 2
cosC a + c - b
2 ac 1
由余弦定理可得 = = = ，
2ac 2ac 2
且B 0, π π，所以 B = 3 ．
2
（2）因为 AD = BD = 2DC ，则BD = AD = b ，
3
uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur
可得BD
1 2
= BA + AC = BA + (BC - BA) = BA + BC ，
3 3 3 3
uuur 2 1 uuur 2 4 uuur uuur 4 uuur 2
则 BD = BA + BA × BC cos B + BC
4 2 1 2 4 1 4 2
，即 b = c + ca + a ，
9 9 9 9 9 9 2 9
b2 1整理得 = c2
1
+ ca + a2 ，
4 2
由余弦定理可得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，则 a2 + c2 - ac
1
= c2 1+ ca + a2 ，
4 2
3 c2 3 ac a 1即 = ，所以 = ．
4 2 c 2
4．（2024·江西宜春·三模）在VABC 中，设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知C = 120°，VABC 的周长
为 15 15 3，面积为．
4
(1)求VABC 的外接圆面积；
(2)设 D 是边 AB 上一点，在①CD 是边 AB 上的中线；②CD 是 ACB 的角平分线这两个条件中任选一个，求
线段 CD 的长．
49π
【答案】(1)
3
(2)答案见解析
15 3 1
【解析】（1）解：由VABC 的面积为，可得 S△ABC = absin120
15 3
° = ，解得 ab =15，
4 2 4
又由VABC 的周长为15，可得 a + b + c =15，即 a + b =15 - c，
由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = (a + b)2 - 2ab - 2ab cos120°
= (15 c)2 2 15 2 15 ( 1- - - - )，解得 c = 7，
2
7 7 3
设外接圆半径为 R，由正弦定理得 = 2R ，所以
sin120 R =
，
° 3
49π
所以VABC 2的外接圆面积为 πR = ．
3
（2）解：若选择①：
法 1：由（1）知， a + b =15 - c = 8及 ab =15，
uuur 1 uur uuur uuurCD (CA CB) | CD |2 1
uuur uuur 1
由 = + ，可得 = (CA + CB)2 = (b2 + a2 + 2ab cos120°)
2 4 4
1
= [(a + b)2 - 3ab] 1 19= (82 - 3 15) = ，
4 4 4
uuur
| CD | 19 CD 19所以 = ，即 = ．
2 2
法 2：不妨设b > a，由 a + b =15 - c = 8及 ab =15，解得 a = 3,b = 5，
在VACD和△BCD中，可得 cos ADC + cos CDB = 0，
(7)2 + CD2 - 52 (7)2 + CD2 - 32
2 + 2 = 0 CD 19由余弦定理得
2 7 7
，解得 = ．
CD 2 CD 2
2 2
若选择②，不妨设b > a，由 a + b =15 - c = 8及 ab =15，解得 a = 3,b = 5，
法 1：由 S△ABC = S△ACD + S△BCD ，
15 3 1 15
可得 = 5 1 CD sin 60° + 3 CD sin 60°，解得CD = ．
4 2 2 8
sin ACB sin BCD sin ACD
法 2：由张角定理，得 = + ，
CD AC BC
sin120° sin 60° sin 60° CD 15即 = + ，解得 = ，
CD 5 3 8
考点二三角形的周长与面积的取值范围
【例 2-1】（2024·全国·二模）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 2a cos A = b cosC + c cos B ，
且a = 4sin A，则△ABC 周长的最大值为（）
A． 4 2 B． 6 2 C． 4 3 D．6 3
【答案】D
【解析】因为 2a cos A = b cosC + c cos B ，
由正弦定理得 2sin Acos A = sin B cosC + sin C cos B = sin B + C = sin A，
因为 sin A
1
0 ，所以 cos A = ，由于 A 0, π π，故 A π= ，则 a = 4sin = 2 33 ，2 3
a b c
由正弦定理得 = = = 4 ，
sin A sin B sin C
故b + c = 4sinB + 4sinC = 4sinB + 4sin
B p + ÷ = 4sinB + 2sinB
p
+ 2 3cosB = 4 3sin B +

3 6 ÷
，
è è
B 0, 2π B π π , 5π又 ÷，则 +

÷，所以 sin
B p+ 1 ,1ù
3 6 ÷
，则b + c 2 3,4 3ù，
è è 6 6 è 6 è 2 ú
故△ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 3 .
故选：D.
【例 2-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a = 6 ，
6 cos B = 3c - b cos A，则VABC 面积的最大值为 .
3 2 3
【答案】 / 2
2 2
【解析】因为 a = 6 ， 6 cos B = 3c - b cos A，所以 6 cos B = a cos B = 3c - b cos A，
由正弦定理可得 sin Acos B = 3sin C cos A - sin B cos A，即 sin A+ B = 3sinCcos A，
sin C = 3sin C cos A，因为C 0, π ，所以 sin C 0，故 cos A 1= ，
3
2
由余弦定理 a2
2
= b2 + c2 - 2bc cos A得 6 = b2 + c2 - bc，3
2 2 9
所以6 = b2 + c2 - bc 2bc - bc 3 2，即bc ，当且仅当b = c= 时取等号，
3 3 2 2
cos A 1由 = ， A 0, π 2 2，得
3 sin A =
，
3
S 1 bc sin A 1 2 2 bc 2 9 3 2所以 VABC = = = .2 2 3 3 2 2
3 2
故答案为： .
2
sinB 6a - b
【例 2-3】（2024·陕西·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 c = 6, = ，则VABC
sinA b
面积的最大值为（）
A 19
21
． B． C．12 D．15.2 2
【答案】C
sinB 6a - b b 6a - b
【解析】由 = ，由正弦定理得 = ，即 b - 2a b + 3a = 0，
sinA b a b
所以b = 2a，
cosC a
2 + b2 - c2 5a2 - 36
由余弦定理得 = = ，
2ab 4a2
2 25a - 36 -9a4 2所以 sin C = 1 + 360a -1296- cos2 C = 1- ，
16a4
=
4a2
4 2 -9 a2
2
所以 S 1
- 20 + 2304
= absin C = a2 -9a + 360a -1296
，
VABC × =2 4a2 4
当 a2 = 20，即a = 2 5 时， SVABC 取得最大值12 .
故选：C.
【例 2-4】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且
2a - b cosC = c cos B,a = 2，则VABC 的面积 S 的取值范围为．
3
【答案】 , 2 32 ÷÷è
【解析】由题意及正弦定理，得 2sin AcosC = sin B cosC + sin C cos B = sin B + C ．
因为 A + B + C = π，所以 2sin AcosC = sin A．
A 0, π 因为 ÷ ，所以 sin A > 0，所以 cosC
1
= ．
è 2 2
因为C
0, π π 2 ÷
，所以C = ，
è 3
a b 2sin 2π A
é π ù
= - ÷
2sin êπ - A + ÷ú 2sin
π
由正弦定理，得 3 è 3
A +
sin A sin B b = è = = è 3
÷
，
sin A sin A sin A
3 sin A π+
所以 1 ÷S = ab ×sin C = è 3 3 3 ，= +
2 sin A 2 2 tan A
ì0 A π < < ,
因为VABC
2 π π
是锐角三角形，所以 í < A <
2π π
解得 6 2 ，
0 < - A < ,
3 2
tan A 3 3 3 3
3
所以 > ，所以0 < < ，从而 S ,2 3 ÷ ．
3 2 tan A 2 è 2
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）VABC 中角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，其面积为S ，且 4S = b2 + c2 - a2 .
(1)求A ；
(2)已知 a = 2 2 ，求S 的取值范围.
π
【答案】(1) A =
4
(2) 0 < S 2 2 + 2
2 2 2 1
【解析】（1）因为三角形的面积为 4S = b + c - a = 4 bcsin A2 ，
2 2 2
则 sin A b + c - a= = cos A，
2bc
所以 tan A =1，又 A (0, π)，则 A
π
= ；
4
2 2 2
（2）由于 cos A b + c - a 2= = ，所以b2 + c2 - 8 = 2bc 2bc - 8，
2bc 2
即 2 - 2 bc 8 bc 8 + 4 2 ，b = c 取等号，
S 1 bc sin A 1 2 1 2故 = = bc 8 + 4 2 = 2 2 + 2 ，2 2 2 2 2
故0 < S 2 2 + 2
2．（2024·全国·模拟预测）在① 2 - sinA cosB -1 = cosAsinB - 2cosBsinC ；② 2a - c cosB = bcosC 两个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且
______．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若点D满足BD = 2BC ，且线段 AD = 3，求VABC 面积的最大值．
π
【答案】(1) B = 3
(2) 9 3
8
【解析】（1）选①， 2cosB -1 = sinAcosB + cosAsinB - 2cosBsinC = sin A + B - 2cosBsinC = 1- 2cosB sinC ，
所以 1+ sinC 2cosB -1 = 0．
1
因为1+ sinC 0 ，所以 2cosB -1 = 0，即 cosB = ，0 0，
cosB 1所以 = ,0 < B < π ，
2
B π所以 = 3 ．
（2）如图，
uuur uuur
点D满足BD = 2BC ，则BC = CD ，故BD = 2a ，又 AD = 3，
故 AD2 = c2 + 2a 2 - 2c ×2a π×cos = c2 + 4a2 - 2ac = 9，
3
2 2 ac 9即 c + 4a - 9 = 2ac 4ac - 9，即，当且仅当 c = 2a = 3时，取等号，2
S 1 acsinB 9 3 9 3故 VABC = ，即VABC 面积的最大值为．2 8 8
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
b cos A = 3 - a cos B ， 2a sin C = 3 .
(1)求A .
(2)求VABC 面积的取值范围.
A π【答案】(1) = ；
6
3 3 3
(2) , ÷÷ .
è 8 2
1 b b
2 + c2 - a2 23 a a + c
2 - b2
【解析】（）方法一：由余弦定理，得 = - ，解得 c = 3 .
2bc 2ac
a sin C 1
又 2a sin C = 3，所以由正弦定理，得 sin A = = . c 2
π
又VABC 为锐角三角形，所以 A = .
6
方法二：由题意知，b cos A = 2a sin C - a cos B .
由正弦定理得 sin B cos A = 2sin Asin C - sin Acos B ，
所以 sin B cos A + cos B sin A = 2sin Asin C ，
所以 sin B + A = 2sin Asin C ，即 sin C = 2sin Asin C ；
π
又因为 sin C 0，所以 sin A
1 A 0, π= ，又因为
2 2 ÷
，所以 A = .
è 6
2 c sin B 3 sin A + C 3 sin AcosC + 3 cos Asin C 3 3（）由正弦定理，得b = = = = + ；
sin C sin C sin C 2 tan C 2
ì0 C π < <
VABC 2因为为锐角三角形，所以 í ，
0 3，所以 < b < 2 .
3 2 2
c 3 S 1因为 = ，所以 △ABC = bc sin A
3 b 3 3 3= ，所以 < S < .
2 4 8 △ABC 2
3 3 3
故VABC 面积的取值范围为 , ÷÷ .
è 8 2
2 A + C4．（2024·四川德阳·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 sinB = 2 3cos .
2
(1)求 B ；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 c =1，求VABC 面积的取值范围.
π
【答案】(1)
3
3 3
(2) , ÷÷
è 8 2
【解析】（1）因为VABC 中， sinB = 2 3cos2
A + C 2sin B B，即 cos = 2 3 cos2
π - B
= 2 3 sin2 B ，
2 2 2 2 2
而0 0，故 cos = 3 sin ，
2 2 2
tan B 3
B π
故 = ，又0 < B < π,\0 < < ，
2 3 2 2
B π
则 = , B
π
\ = ；
2 6 3
2 1 S 1（）由（）以及题设可得 △ABC = ac sin B
3
= a；
2 4
c sin 2π 2π - C

÷ c sin cosC cos
2π
- sin C
由正弦定理得 a c sin A 3
÷
= = è = è 3 3
sin C sin C sin C
3 cosC 1+ sin C
= 2 2 3 1= + ，
sin C 2 tan C 2
因为VABC π π为锐角三角形， 0 < A < 2 ，
0 < C <
2 ，
2π π π π
则0 < - C < ,\ < C < ，
3 2 6 2
则 tan C 3 , 1 1 3 1> \0 < < 3 ，则 < + < 2，
3 tan C 2 2 tan C 2
1
即 < a < 2 3 3，则 < S
2 8 VABC
< ，
2
3 3
即VABC 面积的取值范围为 ,8 2 ÷÷ .è
考点三取值范围
【例 3-1】（2024·江苏连云港 ·模拟预测）在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a =1，
bcos A =1+ cos B，则边 b 的取值范围为（）
A． 0,1 B． 1,2 C． 0,2 D． 2,3
【答案】B
【解析】由 a =1，bcos A =1+ cos B得， b cos A = a + a cos B ，
由正弦定理可得 sin B cos A = sin A + sin Acos B ，即 sin B cos A - sin Acos B = sin A，
所以 sin B - A = sin A，所以B - A = A或B - A + A = π （舍去），所以B = 2A，
b a sin B sin 2A由正弦定理得, = = = 2cos A，
sin A sin A
而0 < A < π,0 < B = 2A < π
π
，0 < C = π - 3A < π ，所以0 < A < ，
3
1
所以 < cos A <1，所以b = 2cos A 1,2 ，所以b 的取值范围为 1,2 .
2
故选：B
【例 3-2】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c = 2, B = 2C ，则
a + b 的取值范围为（）
A． 2,10 B． 2 + 2 2,10 C． 2 + 2 2,4 + 2 3 D． 4 + 2 3,10
【答案】C
【解析】在VABC 中，由B = 2C 可得 A = π - 3C ，
a b c
由正弦定理 = =sin π - 3C sin 2C sin C 得：
2 sin 3C + sin 2C 2 sin C cos 2C + cosC sin 2C + 2sin C cosCa + b = = = 2 4cos2 C + 2cosC -1sin C sin C
ì π
0 < A = π - 3C <
2
VABC 又为锐角三角形，所以 í0 < B 2C
π
= < π C π，解得 < <
2 6 4
，
0 C π< <
2

令 t = cosC
2 3
2 , ÷÷ ，则 a + b = 2(4t + 2t -1), t
2 , 3 ，
è 2 2
2 2 ÷÷ è

因为 y = 4t 2 + 2t -1在 t
2 , 3 ÷÷时单调递增，
è 2 2
所以1+ 2 < y < 2 + 3 ，则 a + b 2 + 2 2,4 + 2 3 .
故选：C
【例 3-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）在VABC 中，已知角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，
asin2 B + bsin2 A 3ab=
2 2 2 a + b + c ．
(1)求角C 的大小；
a + b
(2)若VABC 为锐角三角形，求的取值范围．
c
π
【答案】(1) C =
3
(2) 3,2ù
【解析】（1）在VABC 中，
asin2 B bsin2 A
a 1- cosB b 1- cosA a + b acosB + bcosA
+ = + = -
2 2 2 2 2 2
a + b 1 acosB bcosA a + b 1 a a
2 + c2 - b2 b2 + c2 - a2
= - + = - + b 2 2 2 2 2ac 2bc ÷è
a + b - c
= ，
2
因为 asin
2 B + bsin2 A 3ab=
2 2 2 a + b + c ，
a + b - c 3ab
所以 =2 2 a + b + c ，
a2 + b2 - c22 1化简得 a + b2 - c2 = ab，由余弦定理得 cosC = = ，
2ab 2
又C 0, π π，所以C = ；
3
sinA 2π+ sin - A
2 a + b sinA + sinB
÷
（）由正弦定理知 = = è 3
c sinC sin π
3
2 3 1
= sinA + cosA + sinA
2 3
÷÷ = sinA
3
+ cosA
3 è 2 2
÷
3 è 2 2 ÷

= 2 3 1 sinA + cosA÷÷ = 2sin
A π+
2 2 6 ÷
，
è è
ì0 π < A <
由VABC
2
为锐角三角形可知 í ，而C
π
=
0 B π
，
< < 3
2
ì0 A π < < 2 π π
所以 í < A <2π π 得 6 2 ， 0 < - A <
3 2
π A π 2π所以 < + < ，
3 6 3
3 π 3 2sin A π所以 < sin A + ÷ 1

，即 < + ÷ 2，2 è 6 è 6
a + b
则的取值范围为 3，2ù .c
【一隅三反】
1．（2024 2上海·期末）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c．若 b是 a、 c的等比中项，则角 B
2
的最大值为．
p
【答案】 / 90°
2
2
【解析】因为 b是 a、 c的等比中项，
2
1 2
所以 ac = b ，即b22 = 2ac
，
a2 + c2 - b2 a2 + c2 - 2ac 2ac - 2ac
由余弦定理 cos B = = = 0，当且仅当 a = c 时取等号，
2ac 2ac 2ac
又B 0, π π，所以B ù π 0, ，所以角 B 的最大值为 .
è 2 ú 2
π
故答案为：
2
2．（2024·湖南衡阳·三模）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 c cos B + 2a cos A + bcosC = 0．
(1)求 A；
π
(2)如图所示，D 为平面上一点，与VABC 构成一个四边形 ABDC，且 BDC = ，若 c = b = 2 ，求 AD 的最大
3
值．
2π
【答案】(1) A = .3
(2)4
【解析】（1）因为 ccosB + 2acosA + bcosC = 0，
由正弦定理得， sinCcosB + 2sinAcosA + sinBcosC = 0，
所以 2sinAcosA + sin B + C = 0 ，所以 2sinAcosA + sinA = 0，
1 2π
因为 sinA 0 ，所以 cosA = - ，因为 A 0, π ，所以 A = .
2 3
（2）方法一：设 ABD = a， ADB = b ，则：
AD AB AD AC=
在△ABD 中， =sin sin ，①，在VACD中， sin π -aa b sin π - b ，②÷
è 3
① sinb sin b π= - ： ÷ ，所以 b = 30°，所以 AD = 4sina ，所以 AD 的最大值是 4
② è 3
解法二：在VABC 中，由余弦定理得， a = c2 + b2 - 2cbcosA = 2 3 ，
BAC 2π π因为 + BDC = + = π，
3 3
2R a 2 3 2 3= = = = 4
所以四边形 ABDC 存在一个外接圆O，所以圆O的直径为 sinA sin 2π 3
3 2
因为 AD 2R，即 AD 4，当 AD 为圆 O 直径时取等号，故 AD 的最大值为 4.
3．（2024·全国·模拟预测）在① cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，② 3b = 4asinBsinA，③ VABC 的面积为
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
4sinC
在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，______．
(1)求A ；
AD
(2)已知D是 BAC 的平分线与BC 的交点，求的取值范围．
c
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
π
【答案】(1) A = 3
3
(2) ,
2 3
è 3 3
÷．

【解析】（1）方案一：选择条件①
Qcos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，
\1- 2sin2B +1- 2sin2C + 2sinBsinC = 2 - 2sin2 A，
\sin2 A = sin2B + sin2C - sinBsinC ，
\a2 = b2 + c2 - bc ，
cosA b
2 + c2 - a2 1
\ = = ．
2bc 2
Q0 π π< A < ，\ A = ．
2 3
方案二：选择条件②
Q3b = 4asinBsinA，\3sinB = 4sin2 AsinB ，
Q0 B π 3< < ，\sin B 0 \sin2， A = ．
2 4
Q0 A π< < ，
2 \sinA
3
= ，
2
π
\ A = ．
3
方案三：选择条件③
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
由题， S 1 ，△ABC = bcsinA =2 4sinC
3 b2 + c2 - a2 3 b2 + c2 - a2
\bsinA = ，\sinA = ．
2c 2bc
\sinA = 3cosA，
Q0 π< A < ，\ tanA = 3 ，
2
A π\ = ．
3
（2）Q AD 是 BAC 的平分线，
\ BAD = CAD π= ．
6
π AD c
在△ABD 中，0 ，
3
3 2 2 3
\ < 1 < ,3 3 + 3
tanB
AD 3 2 3
\ 的取值范围为 ,c 3 3 ÷
．
è
考点四正余弦定理与三角函数的性质
p 1
【例 4】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x = sin x - ÷ + m，将 y = f x 的图象横坐标变为原来的，纵坐
è 6 2
p ép p ù 3
标不变，再向左平移个单位后得到 g x 的图象，且 y = g x 在区间 ê , ú内的最大值为 .6 4 3 2
（1）求m 的值；
C 3
（2 ）在锐角VABC 中，若 g ÷ = ，求 tan A + tan B的取值范围.
è 2 2
【答案】（1）m = 0；（2） é 4 + 2 3, + .
p 1 p
【解析】（1）将函数 f x = sin x - ÷ + m的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得
è 6 2 6
到 g x 的图象，
则 g x = sin éê2

x
p p ù m p+ ÷ - ú + = sin

2x +

6 6 6 ÷
+ m ，
è è
Q x ép , p ù 2x p é2p , 5p ê ú，\ +
ù
4 3 6 ê 3 6 ú
，

当 2x
p 2p p
+ = ，即 x = 时， g x 3 3最大值 g x = +m = ，所以，m = 0；6 3 4 max 2 2
2 Q g C = sin p 3（） C + = ，
è 2 ÷ ÷ è 6 2
QC 0, p p C p 2p p p ÷ ，则 < + < ，所以，C + = ，所以，C
p
=
2 ，è 6 6 3 6 3 6
sin A sin B sin Acos B + sin B cos A sin A + Btan A + tan B = + = =
cos A cos B cos Acos B cos Acos 5p - A

6 ÷è
sin C 2 2
= = =
3 1 p
- cos2 A + sin Acos A sin 2A - 3 cos 2A - 3 2sin 2A - - 3 ，
2 2 3 ÷è
ì0 A p < <
QV p pABC 2是锐角三角形，由 í ，解得 < A < ，
0 5p p< B = - A < 3 2
6 2
p 2A p 2p< - < 3 < sin 2A p- tan A tan B
2
所以，， 1，则 + = 4 + 2 3 .
3 3 3 2 3 ÷è 2 - 3
【一隅三反】
1．（2024 北京昌平·期末）已知 f (x) = 3 cos 2x + 2sin
3p
+ x

÷sin(p - x)， x R ，
è 2
（1）求 f (x) 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 4，求BC 边上的高的最大值．
é p 5p ù
【答案】（1）最小正周期为p ；单调递减区间为 êkp - ,kp + (k Z ) ；（2）． 12 12 ú
2 3

【解析】（1） f (x) = 3 cos 2x + 2sin
3p
+ x

÷sin(p - x)
è 2
= 3 cos 2x - 2cos x sin x
= 3 cos 2x - sin 2x
= 2cos 2x p+ 6 ÷ ．è
2p
f (x) 的最小正周期为：T = = p2 ；
当 2kp
p
2x + 2kp +p (k Z )时，
6
即当 kp -
p 5p
x kp + (k Z )时，函数 f (x) 单调递减，
12 12
p 5p
所以函数 f (x)
é ù
单调递减区间为： êkp - ,kp + (k Z ) ； 12 12 ú
（2）因为 f (A) = - 3 ，所以
f (A) 2cos p p 3= 2A +

÷ = - 3 cos

6
2A + ÷ = - ,
è è 6 2
Q A p p p 7p 0, ÷，\2A + ,2 6 6 6 ÷，è è
\2A p 5p p+ = ，\ A = ．
6 6 3
设BC 边上的高为 h 1，所以有 ah 1= bc sin A 3 h = bc，
2 2 8
由余弦定理可知： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ，
\ 16 = b2 + c2 - bc，Qb2 + c2 2bc ，
\bc 16 3（当用仅当b = c 时，取等号），所以 h = bc 2 3 ，
8
因此BC 边上的高的最大值 2 3 .
ur r
2．（2024 湖南常德·期中）已知向量m = 3sin
x ,1 , n cos x÷ = , cos
2 x
4 ÷
.
è è 4 4
ur r
(1)求 m 2+ n 2的取值范围；
ur r
(2)记 f x = m × n ，在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且满足 2a - c cosB = bcosC ，求函数 f A 的值域.
【答案】(1) 3,4
(2) 1,
3
è 2 ÷
ur x r x x
【解析】（1）（1 2）因为m = 3sin ,1÷ , n =4
cos ,cos ，
è è 4 4 ÷
ur 2 r 2 x x x
可得 m + n = 3sin2
x
+1+ cos2 x + cos4 x = 3 1- cos
2
÷ +1+ cos
2 + cos4
4 4 4 è 4 4 4
2
= cos4 x - 2cos2 x + 4 = cos2 x -1 + 3，
4 4 4 ÷è
2 x ur r
因为 cos 0,1 2 2，所以 m + n 3,4 .4
ur r x
（2）解：由题意得 f x = m ×n = 3sin ,1÷ × cos
x , cos2 x ÷ = 3 sin
x cos x + cos2 x
è 4 è 4 4 4 4 4
3 sin x 1= + cos x 1+ = sin x π 1 +

÷ + ，可得 f A = sin
A π+ 1+ ，
2 2 2 2 2 è 2 6 2
2 6 ÷è 2
因为 2a - c cosB = bcosC ，由正弦定理得 2sinA - sinC cosB = sinBcosC ，
所以 2sinAcosB - cosBsinC = sinBcosC ，所以 2sinAcosB = sin B + C ，
又因为 A + B + C = π，则 sin B + C = sinA 1，且 sinA 0 ，所以 cosB = ，
2
π 2π π A π π
因为 B (0, π) ，所以 B = ，所以0 < A < ，则 < + <3 ，3 6 2 6 2
1
< sin A π+ <1 f A 1, 3 则 ÷ ，所以函数的值域是2 2 6 2 ÷ .è è
ur r
3．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）设函数 f (x) = m × n ，其中向量m = 2cos x,1 ， n = cos x, 3 sin 2x x R .
(1)求 f (x) 的最小值；
(2)在△ ABC 中， a，b ， c 3分别是角A ， B ，C 所对的边，已知 f A = 2，b =1，△ ABC 的面积为，求
2
b + c
的值.
sin B + sin C
【答案】(1) -1；
(2) 2 .
【解析】（1）由题设， f (x) = 2cos2 x + 3sin 2x = 3 sin 2x + cos 2x +1 = 2sin

2x
p
+ ÷ +1，
è 6
所以，当 sin

2x
p
+ ÷ = -1时 f (x)6 的最小值为
-1 .
è
（2）由 f A = 2，得： 2sin 2A
p p 1+ ÷ +1 = 2，则 sin

2A +

6 6 ÷
= ，又 A 0,p ，
è è 2
p p 13p
所以 2A + , ÷ ，故 2A
p 5p
+ = ，则 A
p
= .
6 è 6 6 6 6 3
1
由 SVABC = bc sin A
1 3 3
= 1 c = ，可得： c = 2 .
2 2 2 2
在△ ABC 2 2 2中，由余弦定理得： a = b + c - 2bc cos A
1
=1+ 4 - 2 1 2 = 3，
2
所以 a = 3 .
a b c 3
= = = = 2 b + c 2sin B + 2sin C
由 sin A sin B sinC 3 ，则 = = 2 .sin B + sin C sin B + sin C
2
考点五正余弦定理在几何中运用
【例 5-1】（2024 福建三明·阶段练习）如图，在四边形 ABCD中， AD ^ AB， CAB = 60° ， BCD = 120° ，
AC = 2 .
（1）若 ABC =15° ，求DC ；
（2）记 ABC = q ，当q 为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.
【答案】（1） 2 ；（2）q = 75° ，S 取最小值6 - 3 3 .
【解析】（1）在四边形 ABCD中，因为 AD ^ AB，
BCD = 120° ， ABC =15° ，所以 ADC =135° ，
在VACD中，可得 CAD = 90° - 60° = 30° ，
又 ADC =135° ， AC = 2，
CD 2
CD AC =
由正弦定理得: = ，即 1 ，
sin CAD sin ADC 22 2
解得：CD = 2 ，.
（2）因为 CAB = 60° ， AD ^ AB可得 CAD = 30° ，
因为四边形内角和360°，所以 ADC =150° -q ，
DC 2 1
在△ADC 中， = DC =sin 30° sin 150° -q sin 150° -q ，
在VABC BC 2 3中，
° = BC = ，sin 60 sinq sinq
S 1 3 1\ △BCD = DC × BC ×sin120
° =
2 4 sin 150° -q sinq ，
3 1 3 1
= =
4 1 4 ，sinq cosq 3+ sin2 q 1 sin 2q 3 3- cos 2q +
2 2 4 4 4
3 1
=
4 1 sin
2 2q - 60
° 3 ，+ 4
当q = 75° 时，S 取最小值6 - 3 3 .
【一隅三反】
1．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 ABCD中， AB =1，BC = 3， AD = CD = 2 .
(1)当四边形 ABCD内接于圆 O 时，求角 C；
(2)当四边形 ABCD面积最大时，求对角线BD的长.
π
【答案】(1) C =
3
(2) 7 .
【解析】（1）由余弦定理可得：
BD2 = AB2 + AD2 - 2AB × AD ×cos A =12 + 22 - 2 1 2 cos A，
BD2 = BC 2 + CD2 - 2BC ×CD ×cosC = 32 + 22 - 2 3 2 cosC ，
所以5 - 4cos A =13-12cosC .
又四边形 ABCD内接于圆O，
所以 A + C = π，
所以5 - 4cos p - C =13 -12cosC ，
1
化简可得 cosC = ，又C 0, π ，
2
C π所以 = .
3
（2）设四边形 ABCD的面积为 S，
S 1 1则 = S△ABD + S△BCD = × AB × AD ×sin A + × BC ×CD ×sin C ，2 2
又BD2 = AB2 + AD2 - 2AB × AD ×cos A = BC 2 + CD2 - 2BC ×CD ×cosC ，
ì
S
1
= 1 2sinA 1+ 2 3sinC ìS = sinA + 3sinC,
所以 í 2 2 ，即 í
12 + 22 - 2 1 2cosA = 22 + 32 - 2 2 3cosC 2 = 3cosC - cosA,
平方后相加得 S 2 + 4 =10 + 6sin Asin C - 6cos AcosC 2，即 S = 6 - 6cos A + C ，
又 A + C 0, 2π ，
所以 A + C = π时， S 2 有最大值，即 S 有最大值.
1
此时， A = π - C ，代入 2 = 3cosC - cos A得 cosC = .
2
又C 0, π ，所以C π=
3
在△BCD中，可得：
BD2 = BC 2 + CD2 - 2BC ×CD ×cosC = 22 + 32 - 2 2 3 cos π = 7，即
3 BD = 7
.
所以，对角线BD的长为 7 .
π π
2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 ABCD中， DAB = ， B = ，且VABC6 的外接圆半径为 4.2
(1)若 BC = 4 2 ， AD = 2 2 ，求VACD的面积；
2π
(2)若D = ，求BC - AD 的最大值.
3
【答案】(1)4；
(2) 8 3 .
3
π AC
【解析】（1）因为 B = VABC6 ，的外接圆半径为 4，所以 = 8，解得 AC = 4 .sin B
在VABC BC 4 2 2中， BC = 4 2 ，则 = = 8，解得 sin CAB = .
sin CAB sin CAB 2
CAB 0, π π又 ÷ ，所以 CAB = ；
è 2 4
DAC π在VACD中， AC = 4， = - CAB
π
= ， AD = 2 2 ，
2 4
1 2
所以 SDACD = 4 2 2 = 4 .2 2
π
（2）设 DAC = q ，q 0, 3 ÷ .è
又D
2π π
= ，所以 ACD = -q .
3 3
π π
因为 DAB = ，所以 CAB = -q .
2 2
AC AD
在△DAC 中， AC = 4，由正弦定理得 = ，
sin D sin ACD
4 AD
=
即 3 sin π
8 3 π 8 3 3
q ，解得 AD = sin -q ÷ = cosq
1
- sinq ÷
2
-
3 ÷ 3 è 3 3 2 2
÷
è è
= 4cosq 4 3- sinq .
3
在VABC
AC BC
中， AC = 4，由正弦定理得 = ，
sin B sin CAB
4 BC
=
即 1 sin π q ，解得BC = 8sin
π -q ÷ = 8cosq- ，
2 2 ÷è è
2

所以BC - AD 4 cosq
3
= + sinq
8 3
÷÷ = sin
π
3 3
q + ÷ .
è è 3
q π
π π 2π
又
0, q + 3 ÷ ，所以è 3
, ÷，
è 3 3
π π π π
当且仅当q + = ，即q = 时， sin q + 取得最大值 1，
3 2 6 è 3 ÷
所以BC - AD 8 3的最大值为 .
3
3．（2024·浙江·开学考试）如图，平面四边形 ABCD 中， AD = 5，CD = 3， ADC =120°． VABC 的内角 A，B，
a + b sin A - sin C
C 的对边分别为 a，b，c，且满足 = ．
c sin A - sin B
(1)求四边形 ABCD 的外接圆半径 R；
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围．
【答案】(1) R 7 3=
3
7 3 ù
(2) r 0, 6 úè
【解析】（1）在VACD中， AC 2 = AD2 + DC 2 - 2AD × DC ×cos120° = 49，
a + b sin A - sin C a - c
所以 AC = 7 ，由正弦定理， = = ，可得b2 = a2 + c2 - ac，
c sin A - sin B a - b
再由余弦定理， cos B
1
= ，又B (0,p )
p
，所以B = .因为 ADC =120°，
2 3
所以 ABC + ADC = 180°，所以 A，B，C，D 四点共圆，
则四边形 ABCD 的外接圆半径就等于VABC 外接圆的半径.
2R b 7 14 3= = = 7 3
又 sin B 3 3 ，所以R = .3
2
1 1
（2）由（1）可知： a2 + c2 - ac = 49 ，则 (a + c)2 = 49 + 3ac . SVABC = ac sin B = (a + b + c) × r ，2 2
r 3 ac 1 (a + c)
2 - 49 1
则 = = = (a + c - 7) .
2 7 + a + c 2 3 7 + a + c 2 3
在VABC 中，由正弦定理，
a c b 14 3 14 3 14 3
= = = ，所以 a = sin A， c = sin C ，则
sin A sin C sin B 3 3 3
a c 14 3+ = (sin A 14 3+ sin C) = ésin A + sin 120° - A ù3 3
14 3
= sin A
3
+ cos A 1+ sin A
3 è 2 2
÷÷

14 3 3
= sin A
3
+ cos A÷÷ =14 sin A
3
× + cos A 1× ÷÷ =14sin
A π+ ，
3 ÷è 2 2 è 2 2 è 6
A

0, 2π A π π , 5π sin A π 1 ,1ù 14sin A π 7 3
ù
又 ÷ ，所以 + ÷ ，所以 + ÷ ú， +

÷ (7,14]，所以 r 0, .è 3 6 è 6 6 è 6
ú
è 2 è 6 è 6
考点六证明题与存在性
【例 6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知VABC 的外心为O，点M , N 分别在线段 AB, AC 上，且O恰为MN
的中点．
(1)若BC = 3,OA = 1，求VABC 面积的最大值；
(2)证明： AM × MB = AN × NC ．
3 3
【答案】(1)
4
(2)证明见解析
BC
【解析】（1）解：由正弦定理，得 = 2OA，
sin BAC
sin BAC BC 3所以 = = ，
2OA 2
又 BAC 0, π π 2π，所以 BAC = 或，
3 3
π
当 BAC = 时，
3
由余弦定理，得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB AC cos BAC
= AB2 + AC2 - AB AC 2AB AC - AB AC = AB AC ，
所以 AB AC 3，VABC 1 π 3 3的面积 S = AB AC sin ，
2 3 4
当且仅当 AB = AC = 3 时，取等号；
2π
当 BAC = 时，
3
同理可得 AB AC 1，VABC S 3的面积 ≤ ，
4
当且仅当 AB = AC =1时，取等号．
综上，VABC 3 3面积的最大值为；
4
（2）证明：设 AM = x1, BM = y1, AN = x2 ,CN = y2，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理知 cos AMO
x1 + OM - AO cos BMO y1 + OM - BO = ， = ，
2x1 ×OM 2y1 ×OM
因为cos AMO + cos BMO = 0，
x21 + OM
2 - AO2 y21 + OM
2 - BO2
所以 + = 02x ，1 ×OM 2 y1 ×OM
化简整理得 x 2 21y1 + OM - AO x1 + y1 = 0，
而 x1 + y1 0，因此 x 2 21 y1 = AO - OM ，
又因为O是VABC 外心，故 AO = BO = CO，
同理可知 x 22 y2 = AO - ON
2 ，
因为O恰为MN 的中点，
因此 x1y1 = x2 y2，所以 AM × MB = AN × NC ．
【例 6-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a cos B = 2a - bcos A .
sin C
(1)求的值；
sin A
(2)若b = 3，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得VABC 存在且唯一确定，求VABC 的面积.
11
条件①： cos B = ；条件② sin C 15： = ；条件③：VABC 的周长为 9.16 4
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为 a cos B = 2a - bcos A，
由正弦定理得 sin Acos B = 2sin A - cos Asin B ，
即 2sin A = sin Acos B + cos Asin B = sin(A + B)，
又因为 A + B = π - C ，可得 sin A + B = sin π - C = sin C ，
sin C
所以 2sin A = sin C ，可得 = 2 .
sin A
（2）解：由（1）得 sin C = 2sin A，由正弦定理得 c = 2a ，
2 2 2 2 2
若选条件①：由余弦定理得 cos B a + c - b a + 4a - 9 11= ，即 = ，
2ac 4a2 16
又由 a > 0，解得 a = 2，则 c = 4，此时VABC 存在且唯一确定，
π
cos B 11= > 0 B 0, sin B 1 cos2 B 3 15因为 16 ，则 ÷ ，可得2 = - = ，è 16
S 1 ac sin B 1 3 15 3 15所以 ABC = = 2 4 = ；△ 2 2 16 4
若选条件②：由 sin C 15= ，因为 c > a ，即C > A，
4
若C 为锐角，则 cosC
1
= 1- sin2 C = ，
4
2 2 2 2 2
由余弦定理 cosC a + b - c 1 a + 9 - 4a= ，即 = ，
2ab 4 6a
3
整理得 2a2 + a - 6 = 0 ，且 a > 0，解得 a = ，则 c = 3；2
若C 为钝角，则 cosC = - 1- sin2 C 1= - 4 ，
a2 + b2 - c2 1 a2 + 9 - 4a2
由余弦定理得 cosC = ，即- = ，
2ab 4 6a
整理得 2a2 - a - 6 = 0，且 a > 0，解得 a = 2，则 c = 4；
综上所述，此时VABC 存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为 a + b + c = 9，即 a +3+ 2a = 9，解得 a = 2，则 c = 4，
所以此时VABC 存在且唯一确定，
2 2 2
由余弦定理得 cos B
a + c - b 4 +16 - 9 11
= = = > 0，
2ac 2 2 4 16
因为B

0,
π
2 ÷
，可得 sin B = 1- cos2 B 3 15= ，
è 16
S 1 ac sin B 1 2 4 3 15 3 15所以 △ABC = = = ．2 2 16 4
【一隅三反】
1.（2024 山西运城）VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的外接圆半径为 R ，已知
2Rcos π + B ÷ = -b .
è 6
(1)求 B ；
(2)已知 ACB 的平分线交 AB 于点D，从以下三个条件中选择两个，使VABC 唯一确定，并求 AC 和CD 的长度.
条件①： a2 - b2 + c2 - c = 0 ；条件②： a = 6；条件③： SVABC =15 3 .
2π
【答案】(1) B =
3
(2)选择条件②和③； AC =14，CD = 3 7
π b
【解析】（1）由已知得 cos + B ÷ = - = -sinB，
è 6 2R
cos π cosB sin π得 - sinB = -sinB ，
6 6
3
即 cosB 1= - sinB，即 tan B = - 3 ，
2 2
2π
又因为0 < B < π ，故B = ；
3
2π
（2）由（1）得B = ,VABC 中，
3
cosB a
2 + c2 - b2 1
由余弦定理得 = = - ，
2ac 2
所以 a2 + c2 - b2 = -ac，
而条件①中 a2 - b2 + c2 - c = 0 ，所以 a = -1，显然不符合题意，即条件①错误，
1
由条件② a = 6，条件③ SVABC = acsinB =15 3，解得 c =10，2
由余弦定理可得b2 = a2 + c2 - 2accosB = 36 +100 + 60 =196，
所以b =14，所以 AC =14，
在VABC 中，因为CD 为 ACB 的平分线，
AD AC 7
所以 = = ，
DB CB 3
又因为 AB =10，所以BD = 3，
在△CBD中，CD2 = BD2 + BC 2 - 2BD × BCcosB = 63，
所以 AC =14,CD = 3 7 .
2．（2024·浙江金华）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .已知 sinA = cosB = tanC .
(1)求 2A + C ；
2
(2)证明： c > b > a .
5
3π
【答案】(1) ；
2
(2)证明见解析.
π
【解析】（1）由 sinA = cosB ，得 A = ± B ，由题意可知， tanC 存在，
2
C π π π所以，即 A + B ，所以 A = + B ，
2 2 2
é π ù 3π
所以 2A + C = 2A + π - A - B = 2A + êπ - A - A - 2 ÷è ú
= .
2
sinA tanC tan 3π 2A cos 2A（2）由 = = - ÷ = ，
è 2 sin 2A
sin 2A 2sin2 2 1- cos2 A cos A得1 = sin A Acos A× = = ，
cos 2A 2cos2 A -1 2cos2 A -1
故 2cos3 A + 2cos2 A - 2cos A -1 = 0，
令 cos A = x -1 < x < 0 ，则 f x = 2x3 + 2x2 - 2x -1 -1< x < 0 ，
f x = 6x2 + 4x - 2 = 2 3x -1 x +1 ，
当 x < -1时， f x > 0；当-1 < x < 0时， f x < 0；
所以函数 f x 在 - , -1 上单调递增，在 -1,0 上单调递减，
f 1 0, f 2又 - ÷ > -
< 0 1 2÷ ，所以- < cos A < ，
è 2 è 5 2 5
3 21 1 2
进而 < sin A = cos B = tan C < ，- < sin B < ，
2 5 2 5
可得B
π
< < C ，所以b < c .
6
b sin B sin B tan B 2 21 2
2
而 = = = > > ，故b > a .
a sin A cos B 21 5 5
c b 2所以 > > a .
5
3（2024 广东）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c﹐已知 sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)证明： 2a2 = b2 + c2
5π
【答案】(1) 8 ；
(2)证明见解析．
【解析】（1）由 A = 2B， sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得， sin C sin B = sin B sin C - A ，而0 0 ，而0 < C < π,0 < C - A < π，显然C C - A，所以，C + C - A = π，
C 5π而 A = 2B， A + B + C = π，所以 = ．
8
（2）由 sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得，
sin C sin Acos B - cos Asin B = sin B sin C cos A - cosC sin A ，再由正弦定理可得，
ac cos B - bc cos A = bc cos A - ab cosC ，然后根据余弦定理可知，
1 a2 + c2 - b2 1- b2 + c2 - a2 1 1= b2 + c2 - a2 - a2 + b2 - c2 ，化简得：2 2 2 2
2a2 = b2 + c2，故原等式成立．
考点七三角形的四心
【例 7】（2023 春·浙江温州）已知VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且 2bsinA - 3a = 0，角 B
为钝角．
(1)求 B ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若 a = 5， c = 3，O为VABC 的___________，求VOAC 的面积．
2π
【答案】(1) ；
3
(2) 5 3 7 3 49 3若选①， S OAC = ；若选②， S△OAC = ；若选③， S△ △OAC =4 4 12
3
【解析】（1）由正弦定理可得 2sin BsinA - 3 sin A = 0，因为 sin A 0 ，所以 sin B = .
2
B π , π 因为 ÷ ，所以B
2π
= .
è 2 3
（2）若选①，连接BO并延长交 AC 边于点D，
1
因为O为VABC 的重心，所以D为 AC 的中点，且OD = BD，
3
所以点O到 AC
1
的距离等于点 B 到 AC 的距离的，
3
1 1 1 3 5 3
所以， S△OAC = S3 △ABC
= ac sin B = 5 3 = ；
6 6 2 4
若选②，由余弦定理可得b = a2 + c2 - 2ac cos 2π = 7，
3
若O为VABC 的内心，设VABC 的内切圆的半径为 r ，
S 1 1 ac sin B 3则 VABC = ac sin B = r a + b + c = SVOBC + SVAOC + SVABO ，则2 2 r = = ，a + b + c 2
1 7 3
因此， S OAC = br = ； △ 2 4
若选③，若O为VABC 的外心，设VABC 的外接圆半径为 R ，
b a2 c2 2ac cos 2π
b 7 3
由余弦定理可得 = + - = 7 R =，则
2sin 2π
=
，
3 33
2π π 2π
在优弧 AC 上任取一点E ，则 AEC = π - = ，则 AOC = 2 AEC = ，3 3 3
S 1因此， △OAC = R
2 sin 2π 49 3= ．
2 3 12
【一隅三反】
sin A
1．（2024·安徽）已知 ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC=
2 - cos A
b
(1)求的值；
c
(2)设 M 和 N 分别是 ΔABC 的重心和内心，若 MN//BC 且 c=2，求 a 的值．
【答案】(1)2
(2) a = 3
sin C sin A
【解析】（1）由已知得， = ，即 sinAcosC=2sinC-cosAsinC 得 sin(A+C)=2sinC 即 sinB=2sinC
cosC 2 - cos A
b
由正弦定理得b = 2c，所以 = 2 ；
c
b
（2）由(1)知 = 2 ，因为 c = 2，所以b = 4
c
设△ABC 的内切圆半径为 r，则内心 N 到 BC 边的距离为 r，
因为 MN∥BC，所以重心 M 到 BC 边的距离为 r，根据重心的性质，顶点 A 到 BC 边的距离为 3r，
1
根据面积关系得 (a + b + c) × r
1
= a ×3r
2 2
1
即 (a + 4 + 2)
1
× r = a ×3r ，
2 2
所以 a = 3
B + C
2．（2024 四川内江）VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c,a = 6,bsin = a sin B ．
2
(1)求 A 的大小；
(2)M 为VABC 内一点， AM 的延长线交BC 于点 D，___________，求VABC 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使VABC 存在，并解决问题．
①M 为VABC 的重心， AM = 2 3；
②M 为VABC 的内心， AD = 3 3 ；
③M 为VABC 的外心， AM = 4．
p
【答案】(1) A = 3
(2)答案见解析
B + C p - A
【解析】（1）∵ bsin = asin B ，∴ bsin = a sin B ，即b cos
A
= a sin B
2 2 2
sin B cos A sin Asin B sin B cos A 2sin A A由正弦定理得， = ，即 = cos sin B ，
2 2 2 2
A, B A p∵ (0,p ) ，∴ sin B > 0,cos
A A p
0 sin A 1 p，∴ =2 2 ，又
0, ÷ ，∴ = ，∴ A =2 2 è 2 2 6 3
a 6
= 2R R = = 2 3
（2）设VABC 外接圆半径为 R ，则根据正弦定理得， sin A ，
2 3
2
3
若选①：∵M 为该三角形的重心，则 D 为线段BC 的中点且 AD = AM = 3 3 ，
2
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AD = (AB + AC)，∴ | AD |2
1
= | AB |2 + | AC |2 +2 | AB | × | AC | ×cos A ，2 4
即 27
1
=
4 c
2 + b2 + bc ，又由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即36 = b2 + c2 - bc，解得b = c = 6，∴
S 1△ABC = bcsin A = 9 3 ；2
1 p
若选②：∵M 为VABC 的内心，∴ BAD = CAD = BAC = ，由 S
2 6 VABC
= SVABD + SVACD 得
1 bc sin p 1= c × AD sin p 1+ b × AD sin p bc，∵
2 3 2 6 2 6 AD = 3 3
3
，∴ bc = 3 3 1 (b + c) ，即b + c = ，
2 2 3
2
由余弦定理可得b2 + c2 - 36 = bc，即 (b + c)2 - 3bc = 36 ∴ (bc)， - 3bc - 36 = 0，
9
即 (bc + 9)
bc
- 4

÷ = 0，∵ bc > 0，∴ bc = 36 ， ∴9 S
1
△ABC = bcsin
p 1
= 36 3 = 9 3 ．
è 2 3 2 2
若选③：M 为VABC 的外心，则 AM 为外接圆半径， AM = 2 3，与所给条件矛盾，故不能选③.
3．（2024·广东广州）已知VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且b 3sinA - cosC = c - a cosB .
(1)求 B ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若 a = 5， c = 3，O为VABC 的___________，求VOAC 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
2π
【答案】(1)
3
(2)答案见解析
【解析】（1）解：Qb 3sinA - cosC = c - a cosB ，
\sinB 3sinA - cosC = sinC - sinA cosB ，
则 3sinAsinB = sin B + C - sinAcosB，即 3sinAsinB = sinA - sinAcosB，
Q A 0, π ，则 sin A > 0，\ 3sinB + cosB =1，即有 2sin B π+ ÷ =1，
è 6
sin B π+ 1可得 = ，
è 6 ÷ 2
B π π 7π+ , B π 5π 2πQ0 < B < π，则 ÷，\ + = ，解得B = .6 è 6 6 6 6 3
（2）解：若选①，连接BO并延长交 AC 边于点D，
V OD 1因为O为 ABC 的重心，所以，D为 AC 的中点，且 = BD，
3
所以点O到 AC
1
的距离等于点 B 到 AC 的距离的，
3
S 1 1 1 3 5 3所以， △OAC = S△ABC = ac sin B = 5 3 = ；3 6 6 2 4
2π
若选②，由余弦定理可得b = a2 + c2 - 2ac cos = 7，
3
若O为VABC 的内心，设VABC 的内切圆的半径为 r ，
S 1= ac sin B 1= r a + b + c r ac sin B 3则 △ABC ，则 = = ，2 2 a + b + c 2
S 1 br 7 3因此， OAC = = ；△ 2 4
若选③，若O为VABC 的外心，设VABC 的外接圆半径为 R ，
2π R b 7 3= =
由余弦定理可得b = a2 + c2 - 2ac cos = 7，则
2sin 2π
，
3 33
AEC π 2π π 2π在优弧 AD 上任取一点E ，则 = - = ，则 AOC = 2 AEC = ，3 3 3
S 1 2 2π 49 3因此， △OAC = R sin = .2 3 12
一．单选题
π
1．（2024· 3安徽·模拟预测）在VABC 中，C = ,CA边上的高等于 CA，则 sinB = （）6 2
A 3 1 1． B． 2 C
3
． D．
2 3 3
【答案】B
3 π
【解析】如图，CA边上的高为BD，BD = CA，且C = ，
2 6
π 3
所以CB = 3CA，则CD = BC ×cos = CA，6 2
1
则 AD = CA，
2 AB = BD
2 + AD2 = AC ，
所以 ABC = C
π
= ，则 sin B = sin
π 1
= .
6 6 2
故选：B
2 2024 · VABC A B C a b c a - b = 2a sin2
C
．（江苏宿迁期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则VABC 的形
2
状是（）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
2 C 1- cosC
【解析】 a - b = 2a sin = 2a = a - a cosC ，
2 2
故b = a cosC ，
由正弦定理得 sin B = sin AcosC ，
其中 sin B = sin A + C = sin AcosC + cos Asin C ，
即 sin AcosC + cos Asin C = sin AcosC ，
故 cos Asin C = 0，
因为C 0, π ，所以 sin C 0，故 cos A = 0，
A 0, π A π因为，所以 = ，
2
VABC 的形状为直角三角形.
故选：B
π π a
3．（2024·山东日照·三模）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2 = b2 + bc ，且 A ,3 2 ÷，则è b
的取值范围为（）
A． 1, 3 6 + 2 B． , 2 C． 2, 3 D． 3,2
è 2 ÷
÷

【答案】C
【解析】QVABC 中 a2 = b2 + bc ，
由余弦定理可得： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
\b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，整理可得 c = b 1+ 2cos A ，
又 a2 = b2 + bc a2 = b2，则 + b2 1+ 2cos A = b2 2 + 2cos A ，
a π π 1
\ = 2 + 2cos A A , ，，则 cos A
0, ，
b è 3 2 ÷ ÷ è 2
可得 2 + 2cos A 2,3 ，则 2 + 2cos A 2, 3 a，即 2, 3 ，b
故选：C
4．（2024·青海·一模）在梯形 ABCD 中， AD / /BC ， AD = 6， BC = 8， AB = 4 ，CD = 5，E，F 分别为 AD，BC
的中点，则EF =（）
A 78 B 77 C 19 D 71．．．．
2 2 2
【答案】A
【解析】
过点E 作EG//AB ，交BC 于G ，EH //CD ，交BC 于 H ，
又因为 AD//BC, EG//AB, EH //CD，
所以四边形 ABGE 和四边形CDEH 为平行四边形，
所以 AE = BG ，DE = CH ， AB = EG, DC = EH
因为 AD = 6， BC = 8， AB = 4 ，CD = 5，
所以GH = BC - BG + CH = BC - AD = 2，
因为 E，F 分别为 AD，BC 的中点，
所以 AE = DE ，BF = CF ，
所以GF = FH ，
EG2 + GH 2 - EH 2 42 + 22 - 52 5
所以在VEGH 中， cos EGH = = = - ，
2EG ×GH 2 4 2 16
2 2 39
所以在VEGF 中，EF = EG + GF 2 - 2EG ×GF ×cos EGH = ，
2
78
所以EF = ，
2
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 是锐角三角形，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c．若
2 ba - b2 = bc ，则的取值范围是（）a + c
3 2
A． , ÷÷ B． 2 - 3,1 C． 2 - 3, 2 -1 D． 2 +1, 3 + 23 2 è
【答案】C
【解析】因为 a2 - b2 = bc ，得 a2 = b2 + bc ．
由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
所以b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，即b = c - 2bcos A．
由正弦定理得 sin B = sinC - 2sin B cos A，
因为C = π - (A + B)，则 sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B，
所以 sin B = sin Acos B - cos Asin B ，即 sin B = sin(A - B)．
π π π π
因为VABC 是锐角三角形，所以 0 < A < ，0 < B < ，所以- < A - B <2 ．2 2 2
y sin x π , π= - 又在 2 2 ÷上单调递增，所以B = A - B，则 A = 2B．è
π
因为VABC 是锐角三角形，所以0 < B < ，0
π
< A = 2B < ，0 < C = π
π
- 3B < ，
2 2 2
π π
所以 < B < ，
6 4
b sin B sin B sin B
由正弦定理得 = = =a + c sin A + sin C sin 2B + sin(π - 3B) sin 2B + sin 3B
sin B 1
= =
sin 2B + sin 2B cos B + cos 2B sin B 2cos B + 2cos2 B + 2cos2 B -1
1
= ，
4cos2 B + 2cos B -1
π π t 2 , 3

令 cos B = t ，因为 < B < ，所以．6 4 è 2 2 ÷
÷

2 2 3
y 4t 2 2t 1 4 1 5= + - = t + ÷ - 在 t , 上单调递增，
è 4 4 è 2 2 ÷
÷

t 2 y =1+ 2 t 3当 = 时，，当 = 时， y = 2 + 3 ，
2 2
b 1 1
故 = ,
1
= 2 - 3, 2 -1
a + c 4t 2 + 2t -1 è 2 + 3 1+ 2 ÷
故选：C．
6．（2023·安徽·校联考模拟预测）在VABC中， AB = 4 ， AC = 3， cos C B 3- = ，则下列结论正确的是（
4 ）
A． AB 边上的中线长为 2 B．VABC 为锐角三角形
C． cosB
4
= D．VABC 的周长为 12
5
【答案】A
【解析】如图，在边 AB 上取一点 D，使DB = DC .
设DB = DC = x，则 B = DCB ，∴ ACD = ACB - B .
x2 + 9 - 4 - x 2
cos ACD 3= = ，解得 x = 2，∴ AD = BD = DC = 2 .
6x 4
4 + 4 - 9 1
在△ADC 中， cos ADC = = - ，
2 2 2 8
∴ cos BDC 1 4 + 4 - BC
2
= = ，解得BC = 7 ，∴ BC 2 + AC 2 = AB2 ，∴VABC为直角三角形，B 错误.
8 8
CD 为斜边 AB 上的中线，所以 A 正确； cosB 7= ，C 错误；VABC的周长为7 + 7 ，D 错误.
4
故选 A.
7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知VABC 三个内角A 、 B 、C 的对应边分别为 a、b 、
c π，且 A = a = 4 .3 ，则下列结论不正确的是（）
A．VABC 面积的最大值为 4 3
B．bcosC + ccosB = 2 2
uuur uuur
C 16 3．BA × BC 的最大值为8 +
3
cosB 1- , -2 - , + D．的取值范围为
cosC 2 ÷è
【答案】B
π
【解析】对于 A 选项，因为 A = ， a = 43 ，由余弦定理和基本不等式可得
16 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + c2 - bc 2bc - bc = bc，即bc 16，
当且仅当b = c = 4时，等号成立，
故 S 1△ABC = bc sin A
1 bc sin π 3= = bc 3 16 = 4 3，
2 2 3 4 4
所以，VABC 的面积的最大值为 4 3 ，A 对；
a2 2 2 2B bcosC ccosB b + b - c c a + c
2 - b2
对于选项， + = × + × = a = 4，B 错；
2ab 2ac
c a 4 8 3
= = =
C 8 3对于选项，由正弦定理可得 sin C sin A 3 3 ，则 c = sin C ，3
2
π 2π π π 5π
因为 A = 3 ，则
0 < B < ，所以， < 2B + < ，
3 3 3 3
uuur uuur
由平面向量数量积的定义可得BA × BC = ca cos B = 4c cos B 32 3= sin C cos B
3
32 3
= sin π 32 3 1 3 B +

÷cos B = sin B + cos B ÷cos B3 è 3 3 è 2 2 ÷
16 3
= sin B cos B +16cos2 B 8 3= sin 2B + 8 cos 2B +1
3 3
8 3 sin 2B 16 3 π= + 8cos 2B + 8 = sin 2B + ÷ + 8 8
16 3
+ ，
3 3 è 3 3
π π π
当且仅当 2B + = 时，即当B = 时，等号成立，
3 2 12
uuur uuur 16 3
故BA × BC 的最大值为8 + ，C 对；
3
π 2π
对于 D 选项，因为 A = ，则0 < C <3 ，3
C 0, π U π , 2π 由题意可知， cosC 0 ，所以， 2 ÷ ÷，è è 2 3
cos 2π 1 3
cosB
- C ÷ - cosC + sin C 3 1 ，
= è 3 = 2 2 = tan C -
cosC cosC cosC 2 2
π
当 0 < C < 时， tan C > 0 cosB 32 ，则 = tan C
1 1
- > - ；
cosC 2 2 2
π C 2π当 < < 时，
2 3 tan C
cosB 3 1 3 1
< - 3 ，则 = tan C - < - - = -2 .
cosC 2 2 2 2
cosB 1
综上所述，的取值范围为 - , -2 - , +
cosC 2 ÷
，D 对.
è
故选：B.
8 2024· · VABC 3BC BC AD 1．（全国模拟预测）已知外接圆的半径为，D为边的中点， = ， BAC 为钝角，
3 2
则 2AC - AB的取值范围是（）
A． -2,2 B． -2,2 C． -1,2 D． -1,2
【答案】C
【解析】解法一：
2 3BC BC
根据正弦定理得 = ，所以 sin BAC 3= ，
3 sin BAC 2
因为 BAC 为钝角，所以 BAC =120o ；
延长 AD 到E ，使得 AD = DE ，连接BE,CE ，如下图所示：
易知四边形 ABEC 为平行四边形，且 ABE =180o - BAC = 60o ．
BE AB AE
设 BAE = a ，则 BEA =120o -a ，所以 = =sina sin 120o -a sin60o ，
1
即 AC AB
2 2
= = 2 = ，
sina sin 120o -a sin60o 3
AC 2 sina AB 2所以 = ， = sin 120° -a ，
3 3
2AC AB 4 sina 2所以 - = - sin 120o -a = 3sina - cosa = 2sin a - 30o ，
3 3
因为0o < a <120o，所以-30o
1
< a - 30o < 90o，所以- < sin a - 30o <1，2
所以-1 < 2sin a - 30o < 2，
可得 2AC - AB的取值范围是 -1,2 ．
解法二：
2 3BC BC
根据正弦定理得 = ，
3 sin BAC
3
所以 sin BAC = ，因为 BAC 为钝角，所以 BAC =120o
2
uuur uuur uuur
BC uuur2 uuur2 uuur uuur uuur因为D 2为边的中点，所以 2AD = AB + AC ，可得 4AD = AB + 2AB × AC + AC ，
设 AC = b, AB = c ，则1 = b2 + c2 - bc ①．
设 t = 2AC - AB = 2b - c，则 c = 2b - t ，
将其代入①得3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0 ②，
所以关于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 个正根；
2 2
当Δ = 9t -12 t -1 = 0，即 t = ±2，
经检验，当 t = 2时，方程②即b2 - 2b +1 = 0，解得b =1，则 c = 2b - t = 0，不合题意；
当 t = -2时，方程②即b2 + 2b +1 = 0 ，解得b = -1，不符合题意；
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
t
所以 í t 或 í < 0 ，解得-1 < t < 2，
0 2
2
t
2 -1< 0
故 2AC - AB的取值范围是 -1,2 ．
解法三：
2 3BC BC
根据正弦定理得 = ，
3 sin BAC
所以 sin 3 BAC = ，因为 BAC 为钝角，所以 BAC =120o ；
2
设BC = a, AC = b, AB = c，根据余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bccos BAC = b2 + c2 + bc ，
2
VABC cosB a + c
2 - b2
在中易知 = ，
2ac
a
2
+ c2 - AD2 a
2 1
÷ + c2 -
又在△ABD 中可得 cosB = è 2 = 4 4 ，
2 a c ac
2
a2 2 1
a2 + c2 - b2 + c -所以可得 = 4 4 ，即1 = 2b
2 + 2c2 - a2 ，
2ac ac
将 a2 = b2 + c2 + bc 代入，得1 = b2 + c2 - bc ①，
设 t = 2AC - AB = 2b - c，则 c = 2b - t ，
将其代入①得3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0 ②，
所以关于b 的方程3b2 - 3tb + t 2 -1 = 0至少有 1 个正根；
Δ = 9t 2 -12 t 2当 -1 = 0，即 t = ±2，
经检验，当 t = 2时，方程②即b2 - 2b +1 = 0，解得b =1，则 c = 2b - t = 0，不合题意；
当 t = -2时，方程②即b2 + 2b +1 = 0 ，解得b = -1，不符合题意；
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
ìΔ = -3t 2 +12 > 0
t
所以 í t 或 í < 0 ，解得-1 < t < 2，
0 2
2
2
t -1< 0
故 2AC - AB的取值范围是 -1,2 ．
故选：C
二．多选题
9．（2024·江苏·阶段练习）如图，VABC 的角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c， 3 a cosC + ccosA = 2bsinB ，且
CAB π= ，若点D在VABC 外，DC =1, DA = 3，则下列说法中正确的有（
3 ）
A． ACB
π
=
3
π
B． ABC =
3
C．四边形 ABCD 5 3面积的最大值为 + 3
2
D．四边形 ABCD
5
面积的最大值为 + 2 3
2
【答案】ABC
【解析】因为 3 acosC + ccosA = 2bsinB ，由正弦定理得 3 sin AcosC + sin CcosA = 2sin2B ，
即 3 sin(A + C) = 3 sin B = 2sin2B，
因为 B (0, π) ，可得 sin B > 0，所以 sin B 3= ，
2
CAB π 2π= π又因为，可得B (0, )，所以 B = ，所以VABC3 为等边三角形，3 3
可得 ABC
π π
= ， ACB = ，所以 A、B 正确；
3 3
设 ADC = q ,q (0, π) ，
在VACD 2 2 2中，由余弦定理得 AC = DC + DA - 2 DC DA cosq =10 - 6cosq ，
且 S
1
VACD = DC DA sinq
1
= 1 3sinq 3= sinq ，
2 2 2
可得 S 3VABC = AC
2 5 3 3 3= - cosq ，
4 2 2
5 3 3 3 3 5 3 π
所以四边形的面积为 S = SVABC + SVACD = - cosq + sinq = + 3sin(q - ) ，2 2 2 2 3
q π π- = 5 3当时，四边形 ABCD的面积最大，最大值为 + 3，所以 C 正确，D 错误.
3 2 2
故选：ABC.
π
10．（2024 黑龙江佳木斯·期中）已知△ABC 三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 C = ，c=2．则
3
下列结论正确（）
uuur uuur
A．△ABC 4 3面积的最大值为 3 B． AC × AB 的最大值为 2 +
3
cos B 3
C．bcos A + a cos B = 2 D．的取值范围为 - , 2 ÷
3, +
cos A ÷ è
【答案】AB
2 2
【解析】由余弦定理得： cosC a + b - 4 1= = ，解得： a2 + b2 = ab + 4 ，
2ab 2
由基本不等式得： a2 + b2 = ab + 4 2ab ，当且仅当 a = b时，等号成立，
1
所以 ab 4，故 SVABC = absin C 3，A 正确；2
uuuv uuuv uuuv uuuv 2 2 2 2 2
AC × AB = AC × AB cos A bc b + c - a b + 4 - a= × = ，
2bc 2
a b 2 4 3
= = =
其中由正弦定理得： sin A sin B π 3 ，sin
3
b2 - a2 16所以 = sin2 B sin2 A 16 é 2π- = 2 2 êsin B - sin - B ù3 3 3 ÷è ú
é
ê 1 cos
4π 2B ù-
16 1- cos 2B
- ÷ ú
ê 8 3= - è 3 ú = - cos 2B
π
-
3 2 2 3 6 ÷
，
ê ú è
ê ú
B 0, 2π π π因为 ÷，所以 2B -

- ,
7π
÷，
è 3 6 è 6 6
8 3 π 8 3 uuuv uuuv uuuv uuuv b2 + c2b2 - a2 = - cos 2B - AC AB - a
2 b2 + 4 - a2
故 ÷ 最大值为， × = AC × AB cos A = bc × = 的最大值3 è 6 3 2bc 2
2 4 3为 + ，
3
B 正确；
bcos A 4 3 4 3 4 3 4 3 3+ a cos B = sin B cos A + sin Acos B = sin A + B = sin C = = 2，
3 3 3 3 2
故 C 错误；
-cos A π+ 3 1
cos B 3 ÷ sin A - cos A= è = 2 2 3 1 ，= tan A -
cos A cos A cos A 2 2
因为 A

0,
2π
÷ ，所以 tan A - ,- 3 0,+ ，
è 3
3 tan A 1 , 2 1- - - - ,+ 所以
2 2 ÷
，D 错误.
è 2
故选：AB
π
11．（2025·福建厦门·阶段练习）已知锐角VABC 三个内角 A, B,C 的对应边分别为 a,b,c，且 C = ,b = 2．则下
3
列结论正确的是（）
A．VABC 的面积最大值为 2 3
uuur uuur
B． AC × AB的取值范围为 0,3
C． 2cosA + acosB的值可能为 3
2sin2B + cos2 A
D． 3 的最小值为 2 2
- cosBsinA
2
【答案】BC

【解析】因为VABC 为锐角三角形，所以 A 0,
π , B 2π= - A ÷ 0,
π π π
2 3 2 ÷
，解得 A , ÷，
è è è 6 2
π π
同理可得B ,6 2 ÷
，
è
a 2 c
a b c = =
由正弦定理 = = 得 sinA sinB
sinA sinB sinC 3
，
2
3
2sin 2 π - B

÷ 2 cosB
1
+ sinB ÷
所以
a 2sinA è 3 è
2 2 3 ，
= = = = +1
sinB sinB sinB tanB
B π π
3
因为 , ÷，所以 tanB , + ，è 6 2
÷
÷è 3
3
所以 a 1,4 ，所以 c = ，
sinB
B π π , 1 因为 ÷，所以 sinB ,1÷ ，所以 c 3,2 3 ，
è 6 2 è 2
S 1

A 选项， VABC = absinC
3 a 3= , 2 32 2 2 ÷÷
，A 错误；
è
2
B cosC a + b
2 - c2 a2 - c2 + 4 1
选项，由余弦定理得 = ，即 = ，
2ab 4a 2
所以 a2 - c2 = 2a - 4，
uuur uuur uuur uuur
所以 AC × AB = AC × AB cosA = bccosA = 2ccosA
b22c + c
2 - a2 22 + 4 - 2a
= = = 4 - a，
2bc 2
uuur uuur
因为 a 1,4 ，所以 AC × AB 0,3 ，B 正确；
2
C b + c
2 - a2 a2 + c2 - b2
选项，因为bcos A + a cos B = b × + a × = c 3,2 32bc 2ac ，
而 3 < 2 < 2 3 ，所以 2cosA + acosB的值可能为 3，C 正确；
2sin2B + cos2 A 2sin2B + cos2 A 2sin2B + cos2 A
= =
D 选项， 3 sinC - cosBsinA cosAsinB
- cosBsinA
2
2sinB cosA
= + 2 2 sinB 2，当且仅当 = 时取等号，
cosA sinB cosA 2
sin A
π
+ π π
但 sinB
= è 3
÷ sinAcos + cosAsin
= 3 3 3 1 ，= +
cosA cosA cosA 2 2tanA
A π , π

而 ÷，所以 tanA
3
,+ ÷è 6 2 3 ÷
，
è
sinB 3 1 3
故 = +
cosA 2 2tanA
, 3 ÷÷，等号取不到，D 不正确.
è 2
故选：BC.
三．填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若b = 2 ，
2a 2 c
= + ，则 2a + c的最大值为 .
cosC cosB cosC
4 21
【答案】
3
2a 2 c
【解析】VABC 中，b = 2 ， = + ，
cosC cosB cosC
2a - c 2 b
所以 = = ，所以 2acosB - c cos B = bcosC ，
cosC cosB cosB
根据正弦定理， 2sinAcosB - sinCcosB = sinBcosC ，
即 2sinAcosB = sin B + C = sinA，
因为 sinA > 0，所以 cosB
1
= ，
2
由 B 为三角形内角可知， B = 60° ，
2R b 4 3根据正弦定理， = = ，
sin B 3
所以 2a + c = 2R 2sin A + sin C 8 3 sin A 4 3= + sin 120° - A
3 3
8 3
= sin A + 2cos A 2 3+ sin A 10 3= sin A + 2cos A
3 3 3
4 21
= sin A +j ，
3
tanj 3

其中 = ， A 0,
2π
÷，
5 è 3
A +j = 90o 4 21当时取得最大值，所以 2a + c 4 21的最大值为 .
3 3
4 21
故答案为：
3
π
13．（2025·海南海口·模拟预测）锐角VABC 中， A = 3 ，角 A 的角平分线交BC 于点M ， AM = 2 ,
,则BM ×CM
的取值范围为 .
é 4
【答案】 ê , 2

÷
3
【解析】由已知得， BAM CAM
π
= = ,
6
BM AM AM ×sin BAM 1
在VABM 中，由正弦定理得， = , BM = = ,
sin BAM sin B sin B sin B
CM 1 1= =
同理可得 sin C sin(2π - B) ,
3
BM 1×CM =
故 sin B sin(2π - B) ,
3
2π 3
而 sin B sin( - B) = sin 2B 1 sin2 B 3 sin 2B 1 cos 2B 1+ = - +
3 4 2 4 4 4
1
= sin(2B π- ) 1+ ，
2 6 4
因为锐角VABC C
2π
中， = - B
π
< , π π< B < ,
3 2 6 2
π π 5π sin 2B π2B - ( , ) -
1 ù 1 π 1 1 3 ù
故，则
6 6 6 6 ÷
,1ú ， sin 2B - ÷ + , ，è è 2 2 è 6 4 è 2 4 ú
BM ×CM 1 4= é
故 2π ê
, 2÷
sin B sin - B 3 ， 3 ÷è
é 4
故答案为： ê , 2

÷
3
14．（2024·四川自贡·三模）如图，D 为VABC 的边 AC 上一点， | AD |= 2 | DC |， ABC = 60°，
| AB | +2 | BC |= 4，则 BD 的最小值为 .
2 3
【答案】
3
【解析】设 CD = x, BD = y, BC = m ，则 AD = 2x, AB = 4 - 2m，
2
V cos ABC (4 - 2m) + m
2 - (3x)2 1
在 ABC 中， ABC = 60°，所以 = = ，
2 × m × (4 - 2m) 2
所以9x2 = 7m2 - 20m +16，
因为 ADB + BDC =180°，所以 cos ADB = -cos BDC ，
4x2 + y2 - (4 - 2m)2 x2 + y2 - m2
所以 = - ，
2 ×2x × y 2 × x × y
y2所以 = -2x2 + 2m2
16
- m 16+ ，
3 3
y2 2(7 m2 20 m 16所以 = - - + ) + 2m2
16 m 16- + ，
9 9 9 3 3
y2 4 8m 16所以 = m2 - + ，当m =1时， y2 有最小值，此时 | BD |取最小值，
9 9 9
所以 BD = y 2 3= .
3
2 3
故答案为： .
3
四．解答题
15．（2024·北京·三模）已知函数 f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx, (w > 0) 的最小正周期为 π .
(1)求w 的值；
π
(2)在锐角VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.c 为 f (x) é ù在 ê0, 2 ú 上的最大值，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 a - b的取值范围.条件①：a cos B + bcos A = 2c cosC ；条件②：
3 a2 + b2 - c2
2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ；条件③：VABC 的面积为 S，且 S = .注：如果选择多个条件分别
4
解答，按第一个条件计分.
【答案】(1)1
(2) - 3, 3
【解析】（1）由题意可知： f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx = 3 sin 2wx + cos 2wx +1 = 2sin

2wx
π
+ ÷ +1，
è 6
因为函数 f (x)
2π
的最小正周期为 π，且w > 0，所以w = =1.
2π
f (x) 2sin 2x π （2）由（1）可知： = + ÷ +1，
è 6
x π π π 7π é0, ù 2x + é , ù因为 ê ，则， 2 ú 6 ê 6 6 ú
π
可知当 2x
π π
+ =
6 2 ，即
x = 时， f (x) 取到最大值 3，即 c = 3 .
6
若条件①：因为a cos B + bcos A = 2c cosC ，
由正弦定理可得 sin Acos B + sin B cos A = 2sin C cosC ，
又因为 sin Acos B + sin B cos A = sin A + B = sin C ，
π
可得 sin C = 2sin C cosC C ，且 0,

2 ÷
，则 sin C 0，
è
可得 cosC
1 π
= ，所以C = ，
2 3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
则 a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A - 2 3 sin
π
A + 3 ÷è

= 2 3 sin A 2 3 1- sin A
3
+ cos A
2 2 ÷÷è
= 3 sin A - 3cos A = 2 3 sin A π- ÷，
è 3
ì
0
π
< A <
VABC 2 π因为锐角三角形，则 í ，解得 < A
π
<
0 2π A π
6 2 ，
< - <
3 2
π A π π
1 π 1
可得- < - < ，则- < sin A - ÷ < ，可得6 3 6 2 3 2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范围为 - 3, 3 ；
若条件②；因为 2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ，
由正弦定理可得： 2sin2 Acos B + sin B sin 2A = 3 sin A，
则 2sin2 Acos B + 2sin B sin Acos A = 3 sin A，
A 0, π 因为 ÷ ，则 sin A 0 ，
è 2
可得 2sin Acos B + 2sin B cos A = 2sin A + B = 2sin C = 3 ，
3
即 sin C = ，且C 0,
π C π÷，所以 = ，
2 è 2 3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
则 a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A - 2 3 sin
π
A + 3 ÷è

= 2 3 sin A 1- 2 3 sin A
3
+ cos A
2 2 ÷÷è
3 sin A 3cos A 2 3 sin A π= - = - 3 ÷
，
è
ì0 A π < <
VABC 2 π因为锐角三角形，则 í ，解得 < A
π
< ，
0 2π A π
6 2
< - <
3 2
π A π π
1
- < - < - < sin
π 1
可得，则 A -

6 3 6 2 3 ÷
< ，可得
2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范围为 - 3, 3 ；
3 a2 + b2 - c2③ 1 absin C 3 2ab cosC若选：因为 S = ，则 = ，
4 2 4
π π
整理得 tan C = 3，且C 0, ÷，所以C = ，
è 2 3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
则 a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B 2 3 sin A 2 3 sin
A π= - +

3 ÷è

2 3 sin A 2 3 1 3

= - sin A + cos A÷÷
è 2 2
= 3 sin A - 3cos A = 2 3 sin A π- ÷，
è 3
ì0 A π< <
VABC
2 π π
因为锐角三角形，则 í ，解得 < A < ，
6 20 2π< - A π<
3 2
π π π 1 π 1
可得- < A - < ，则- < sin

A -

÷ < ，可得6 3 6 2 3 2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范围为 - 3, 3 .
16．（2024·全国·模拟预测）在 VABC 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E 之间，
AE × AC × BD = AD × AB ×CE ．
(1)求证： sin∠BAD = sin∠CAE ．
2 2
(2)若 AB ^ AC AD AE 2，求证： 2 + 2 = ．BD CE 1- sin DAE
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
sin B AC
【解析】（1）如图．在VABC 中，由正弦定理，得 = ．
sin C AB
在△ABD 中，由正弦定理，得 sin BAD
BD sin B
= ．
AD
CE sin C
在△ACE中，由正弦定理，得 sin CAE = ．
AE
sin BAD BD × AE ×sin B BD × AE × AC
所以 = = =1，
sin CAE CE × AD ×sin C CE × AD × AB
所以 sin∠BAD = sin∠CAE ．
（2）因为 AB ^ AC ，
π
所B + C = ，所以 sin C = cos B．
2
π
由 BAC = 可知 BAD ， CAE 均为锐角．
2
由（1）知， BAD = CAE ．
π π
设 BAD = CAE = a ，则0 < a < ， DAE = - 2a ．
4 2
1- sin DAE
由 sin DAE = cos 2a =1- 2sin2 a 2，得 sin a = ．2
在△ABD
AD sin B
中，由正弦定理，得 = ．
BD sina
AE sin C cos B
在△ACE中，由正弦定理，得 = = ．
CE sina sina
AD2 AE2 sin2 B cos2 B 1 2
所以 2 + = + = = ．BD CE2 sin2 a sin2 a sin2 a 1- sin DAE
17．（2024·山东青岛·期中）已知函数 f x = 2 - 2 3sinx ×cosx - 2cos2x，若锐角VABC 的内角 A, B,C 所对的边分
别为 a,b,c，且 f A = 0 ．
(1)求角A ；
b
(2)求的取值范围；
c
(3)在VABC 中， AB = 2 ，其外接圆O直径为 AD （如图），CD =1，求b 和 S四边形ABDC ．
π
【答案】(1)
3
1
(2) ( , 2)
2
(3) b = 4 - 3, SABDC = 2 + 3
【解析】（1）解：由函数 f x = 2 - 2 3sinx ×cosx - 2cos2x = - 3sin2x - cos 2x +1 = -2sin 2x π+ ÷ +1，
è 6
因为 f A = 0 ，可得 f A = -2sin(2A π+ ) +1 = 0，即 sin(2A π+ ) 1= ，
6 6 2
又因为 A (0,
π) π，可得 2A + (
π , 7π) 2A π 5π，所以 + =
π
，可得 A = .
2 6 6 6 6 6 3
π
（2）解：由（1）知 A = ，可得B
2π
+ C = ,
3 3
ì
0 < C
π
<
B,C 2 π π因为为锐角，所以 í 2π π ，解得
< C < ，
0 < - C < 6 2
3 2
sin(2π 3 1
则 b sin B - C) cosC + sin C= = 3 = 2 2 3 1= + ，
c sin C sin C sin C 2 tan C 2

因为 tan C
3
, + ÷
3
÷，可得3 (0,
3) 3 1 1，所以 + ( , 2) ，
è 2 tan C 2 2 tan C 2 2
b 1
所以的取值范围为 ( , 2) .
c 2
π π
（3）解：因为 AD 为圆O直径，所以 ACD = 且 ABD =
2 2
BAD q (0 q π π设 = < < )，可得 ADB = -q
π
， CAD = -q ，
3 2 3
AB 2
设圆O的半径为 R ，在△ABD 中，可得 2R = = ，
sin ADB cosq
V 2R
CD 1
= =
在 ACD中，可得 sin CAD sin( π -q ) ，
3
2 1
= π
所以 cosq sin( π q ) ，即 2sin( -q ) = cosq- ，可得 ( 3 -1)cosq = sinq ，
3 3
1 3 -1
又因为 sin2 q + cos2 q =1，解得 cosq = ,sinq = ，
5 - 2 3 5 - 2 3
所以 AD = 2R = 2 5 - 2 3 ，
又由 sin ADC = cos(
π q ) 1 1 3 3 -1 4 - 3- = + =
3 2 ，5 - 2 3 2 5 - 2 3 2 5 - 2 3
所以b = AD ×cos(
π 4 - 3
-q ) = 2 5 - 2 3 = 4 - 3
3 ，2 5 - 2 3
1 1
四边形 ABDC 的面积为 S = SVABD + SVACD = AB AD sinq + CD AD sin ADC 2 2
1
= 2 2 5 2 3 3 -1 1- + 1 2 5 - 2 3 4 - 3 = 2 + 3
2 2 .5 - 2 3 5 - 2 3
18（2024 湖南·阶段练习）已知VABC 的内角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，
acos B - C = 2 3csinB - a cosA .
(1)求角A ；
2 2
(2) VABC b + a若为锐角三角形，且外接圆的半径为 3，求的取值范围.
b
p
【答案】(1)
3
(2) é 6,4 3
【解析】（1）解：因为 acos B - C = 2 3csinB - a cosA，
可得 acos B - C + acosA = 2 3csinBcosA，
则 acos B - C - acos B + C = 2 3csinBcosA，
所以 acosBcosC + asinBsinC - a cosBcosC - sinBsinC = 2 3csinBcosA，
即 asinBsinC = 3csinBcosA，由正弦定理得 sin AsinBsinC = 3 sin CsinBcosA，
显然 sin C > 0， sin B > 0，所以 sinA = 3cosA，
所以 tanA = 3 ，因为 A 0, π ，
A π所以 = .3
a b a b= = 2 3
（2）解：因为 = = 2 3，即 sin πsinA sinB sinB
，
3
所以 a = 3，b = 2 3sinB ，
b2 + a2 2
所以 = b
a 3 3 3
+ = 2 3sinB + = 2 3 sinB +

b b 2sinB 4sinB ÷
，
è
ì
0
π
< B <
因为VABC 为锐角三角形且B + C
2π π π
= 2，所以，所以 < B < ，
3 í 0 2π π< - B < 6 2
3 2
即 sinB
1
,12 ÷
，
è
1令 f x = x 3+ ， x ,1

，
4x è 2 ÷
1 3 3
根据对勾函数的性质可知函数 f x = x 3+ 在 , ÷÷上单调递减，在 ,1÷÷上单调递增，4x è 2 2 è 2

且 f
1 3
÷ = 2， f ÷÷ = 3 ， f 1
7
= ，
è 2 è 2 4
所以 f x é 3,2
3
，即 sinB
3
+ é 3,2 ，所以 2 3 sinB + ÷ é6,4 3 ，4sinB è 4sinB
b2 + a2
即的取值范围为 é 6,4 3 .b
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域 ABCD 铺设草坪，其中 AB = 2 百米， BC =1
百米， AD = CD ， AD ^ CD ，草坪内需要规划 4 条人行道 DM、DN、EM、EN 以及两条排水沟 AC、BD，其中
M、N、E 分别为边 BC、AB、AC 的中点．
π
(1)若 ABC = ，求排水沟 BD 的长；
2
(2)若 ABC = a ，试用a 表示 4 条人行道的总长度．
3 2
【答案】(1) 百米；
2
(2) 9 + sina - cosa 3 3+ + sina - cosa + 百米.
4 2 2
π
【解析】（1）因为 ABC = ， AB = 2 百米， BC =1百米，
2
所以 AC = 5 百米，所以 sin BAC 5 2 5= , cos BAC = ，
5 5
又 AD = CD ， AD ^ CD ，所以VACD为等腰直角三角形，
所以 AD = AC sin π 10= 百米，
4 2
因为 cos BAD = cos BAC π 2 2 5 2 5 10 + ÷ = - = ，
è 4 2 5 2 5 10
2
2 △ABD BD 2 10 2 2 10 10 3 2所以在中，由余弦定理得 = + ÷÷ - = 百米.
è 2 2 10 2
（2）因为 M、N、E 分别为边 BC、AB、AC 的中点，
所以EN =
1
百米，EM =1百米，
2
设 ABC = a , BAC = b , ACB = g ，其中a 0, π ，
在VABC 中，由余弦定理可得 AC2 = 5 - 4cosa ，
V sin b sina ,sin g 2sina在 ABC 中，由正弦定理可得 = = ，
AC AC
连接DE ，则DE ^ AC ，
π π
在VMDE 中， MED = b + ， cos MED = cos

2
b + ÷ = -sin b ，
è 2
由余弦定理得DM 2 = ME2 + DE2 - 2ME × DE cos MED
1 AC
2 9
= + + AC ×sin b = + sina - cosa ，
4 4
π
在△NDE 中， NED
π
= g + ， cos NED = cos

g +

÷ = -sin g ，2 è 2
由余弦定理得DN 2 = NE2 + DE2 - 2NE × DE cos NED
1 AC 2
= + + AC ×sin g 3= + sina - cosa ，
4 4 2
9 3 3
所以 4 条人行道的总长度为 + sina - cosa + + sina - cosa + 百米.
4 2 24.5 正余弦定理的综合运用
考点一三角形的角平分线、中线与高
【例 1-1】（2024·辽宁丹东·二模）在△ ABC 中，点 D 在 BC 边上， AD 平分 BAC ， BAC =120° ， AB = 2 3 ，
AD 2 3= ，则 AC =（）
3
A．2 B． 3 C．3 D． 2 3
π
【例 1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）在VABC 中，已知 A = , BC = 2 3 ，当边 BC 的中线 AD = 7 时，VABC
3
的面积为．
【例 1-3】（2024·广东广州·模拟预测）在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，若 c = 3，b = 2 ，
BAC AD 4 6的平分线的长为，则BC 边上的中线 AH 的长等于（）
5
A 17 B 4 2 C 17．．． D 4 3．
2 3 4 3
【例 1-4】（2024·河北·模拟预测）在VABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 c = 3,b = 2, BAC 的平分
线 AD 4 6的长为，则BC 边上的高线 AH 的长等于（）
5
4
A 4 2． B．
3 3
C 2 D 4 3．．
3
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·河南·阶段练习）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 a = 3，
b2 = c2 + 3c + 9， ABC 的平分线交边 AC 于点 D，且 BD = 2，则b =（）
A． 2 5 B． 2 7 C．6 D．3 7
b + c
2．（2024 湖北·阶段练习）已知 a,b,c分别为锐角三角形 ABC 三个内角 A, B,C 的对边，且 cos B + 3 sin B = .a
(1)求A ;
(2)若 a = 3，D为BC 的中点，求中线 AD 的取值范围.
V sin A + sin B c - a3．（2024·吉林延边·一模）已知 ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， = ．
sin C b - a
(1)求 B；
a
(2)若点 D 在 AC 上，且 AD = BD = 2DC ，求．
c
4．（2024·江西宜春·三模）在VABC 中，设角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知C = 120°，VABC 的周长
为 15 15 3，面积为．
4
(1)求VABC 的外接圆面积；
(2)设 D 是边 AB 上一点，在①CD 是边 AB 上的中线；②CD 是 ACB 的角平分线这两个条件中任选一个，求
线段 CD 的长．
考点二三角形的周长与面积的取值范围
【例 2-1】（2024·全国·二模）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 2a cos A = b cosC + c cos B ，
且a = 4sin A，则△ABC 周长的最大值为（）
A． 4 2 B． 6 2 C． 4 3 D．6 3
【例 2-2】．（2024·陕西西安·模拟预测）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a = 6 ，
6 cos B = 3c - b cos A，则VABC 面积的最大值为 .
sinB 6a - b
【例 2-3】（2024·陕西·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知 c = 6, = ，则VABC
sinA b
面积的最大值为（）
A 19
21
． B． C．12 D．15.2 2
【例 2-4】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且
2a - b cosC = c cos B,a = 2，则VABC 的面积 S 的取值范围为．
【一隅三反】
1．（2024·山西·一模）VABC 中角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，其面积为S ，且 4S = b2 + c2 - a2 .
(1)求A ；
(2)已知 a = 2 2 ，求S 的取值范围.
2．（2024·全国·模拟预测）在① 2 - sinA cosB -1 = cosAsinB - 2cosBsinC ；② 2a - c cosB = bcosC 两个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c ，且
______．
(1)求角 B 的大小；
uuur uuur
(2)若点D满足BD = 2BC ，且线段 AD = 3，求VABC 面积的最大值．
3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形 ABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
b cos A = 3 - a cos B ， 2a sin C = 3 .
(1)求A .
(2)求VABC 面积的取值范围.
A + C
4 2．（2024·四川德阳·二模）VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 sinB = 2 3cos .
2
(1)求 B ；
(2)若VABC 为锐角三角形，且 c =1，求VABC 面积的取值范围.
考点三取值范围
【例 3-1】（2024·江苏连云港 ·模拟预测）在 VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a =1，
bcos A =1+ cos B，则边 b 的取值范围为（）
A． 0,1 B． 1,2 C． 0,2 D． 2,3
【例 3-2】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角VABC 的三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 c = 2, B = 2C ，则
a + b 的取值范围为（）
A． 2,10 B． 2 + 2 2,10 C． 2 + 2 2,4 + 2 3 D． 4 + 2 3,10
【例 3-3】（2024·江苏盐城·模拟预测）在VABC 中，已知角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，
asin2 B + bsin2 A 3ab=
2 2 2 a + b + c ．
(1)求角C 的大小；
a + b
(2)若VABC 为锐角三角形，求的取值范围．
c
【一隅三反】
1 2024 · VABC A B C a b c 2．（上海期末）在中，角、、的对边分别为、、．若 b是 a、 c的等比中项，则角 B
2
的最大值为．
2．（2024·湖南衡阳·三模）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 c cos B + 2a cos A + bcosC = 0．
(1)求 A；
(2)如图所示，D 为平面上一点，与VABC 构成一个四边形 ABDC，且 BDC
π
= ，若 c = b = 2 ，求 AD 的最大
3
值．
3．（2024·全国·模拟预测）在① cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，② 3b = 4asinBsinA，③ VABC 的面积为
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
4sinC
在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，______．
(1)求A ；
AD
(2)已知D是 BAC 的平分线与BC 的交点，求的取值范围．
c
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考点四正余弦定理与三角函数的性质
p 1
【例 4】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x = sin x - ÷ + m，将 y = f x 的图象横坐标变为原来的，纵坐
è 6 2
p ép p ù 3
标不变，再向左平移个单位后得到 g x 的图象，且 y = g x 在区间 , 内的最大值为 .
6 ê 4 3 ú 2
（1）求m 的值；
2
C 3
（）在锐角VABC 中，若 g ÷ = ，求 tan A + tan B的取值范围.
è 2 2
【一隅三反】
f (x) 3 cos 2x 2sin 3p 1．（2024 北京昌平·期末）已知 = + + x ÷sin(p - x)， x R ，
è 2
（1）求 f (x) 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 4，求BC 边上的高的最大值．
ur x r x 2 x 2．（2024 湖南常德·期中）已知向量m = 3sin ,1÷ , n = cos ,cos4 4 4 ÷
.
è è
ur r
(1) 2 2求 m + n 的取值范围；
ur r
(2)记 f x = m × n ，在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且满足 2a - c cosB = bcosC ，求函数 f A 的值域.
ur r
3．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）设函数 f (x) = m × n ，其中向量m = 2cos x,1 ， n = cos x, 3 sin 2x x R .
(1)求 f (x) 的最小值；
(2)在△ ABC 3中， a，b ， c分别是角A ， B ，C 所对的边，已知 f A = 2，b =1，△ ABC 的面积为，求
2
b + c
的值.
sin B + sin C
考点五正余弦定理在几何中运用
【例 5-1】（2024 福建三明·阶段练习）如图，在四边形 ABCD中， AD ^ AB， CAB = 60° ， BCD = 120° ，
AC = 2 .
（1）若 ABC =15° ，求DC ；
（2）记 ABC = q ，当q 为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.
【一隅三反】
1．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 ABCD中， AB =1，BC = 3， AD = CD = 2 .
(1)当四边形 ABCD内接于圆 O 时，求角 C；
(2)当四边形 ABCD面积最大时，求对角线BD的长.
π
2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形 ABCD DAB = B π中，， = 6 ，且VABC 的外接圆半径为 4.2
(1)若 BC = 4 2 ， AD = 2 2 ，求VACD的面积；
(2)若D
2π
= ，求BC - AD 的最大值.
3
3．（2024·浙江·开学考试）如图，平面四边形 ABCD 中， AD = 5，CD = 3， ADC =120°． VABC 的内角 A，B，
a + b sin A - sin C
C 的对边分别为 a，b，c，且满足 = ．
c sin A - sin B
(1)求四边形 ABCD 的外接圆半径 R；
(2)求VABC 内切圆半径 r 的取值范围．
考点六证明题与存在性
【例 6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知VABC 的外心为O，点M , N 分别在线段 AB, AC 上，且O恰为MN
的中点．
(1)若BC = 3,OA = 1，求VABC 面积的最大值；
(2)证明： AM × MB = AN × NC ．
【例 6-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且
a cos B = 2a - bcos A .
sin C
(1)求的值；
sin A
(2)若b = 3，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得VABC 存在且唯一确定，求VABC 的面积.
cos B 11条件①： = ；条件② sin C 15： = ；条件③：VABC 的周长为 9.16 4
【一隅三反】
1.（2024 山西运城）VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,VABC 的外接圆半径为 R ，已知
2Rcos π + B
= -b .
è 6 ÷
(1)求 B ；
(2)已知 ACB 的平分线交 AB 于点D，从以下三个条件中选择两个，使VABC 唯一确定，并求 AC 和CD 的长度.
条件①： a2 - b2 + c2 - c = 0 ；条件②： a = 6；条件③： SVABC =15 3 .
2．（2024·浙江金华）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .已知 sinA = cosB = tanC .
(1)求 2A + C ；
(2)证明： c > b
2
> a .
5
3（2024 广东）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c﹐已知 sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)证明： 2a2 = b2 + c2
考点七三角形的四心
【例 7】（2023 春·浙江温州）已知VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且 2bsinA - 3a = 0，角 B
为钝角．
(1)求 B ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若 a = 5， c = 3，O为VABC 的___________，求VOAC 的面积．
【一隅三反】
sin A
1．（2024·安徽）已知 ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC=
2 - cos A
b
(1)求的值；
c
(2)设 M 和 N 分别是 ΔABC 的重心和内心，若 MN//BC 且 c=2，求 a 的值．
2．（2024 四川内江）VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c,a 6,bsin
B + C
= = a sin B ．
2
(1)求 A 的大小；
(2)M 为VABC 内一点， AM 的延长线交BC 于点 D，___________，求VABC 的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使VABC 存在，并解决问题．
①M 为VABC 的重心， AM = 2 3；
②M 为VABC 的内心， AD = 3 3 ；
③M 为VABC 的外心， AM = 4．
3．（2024·广东广州）已知VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c，且b 3sinA - cosC = c - a cosB .
(1)求 B ；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若 a = 5， c = 3，O为VABC 的___________，求VOAC 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
一．单选题
π
1．（2024·安徽· 3模拟预测）在VABC 中，C = ,CA边上的高等于 CA，则 sinB = （）6 2
A 3 B 1 C 3 1．．． D．
2 2 3 3
2．（2024 江苏宿迁·期中）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a - b = 2a sin2
C
，则VABC 的形
2
状是（）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
π π a
3．（2024·山东日照·三模）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2 = b2 + bc ，且 A ,3 2 ÷，则è b
的取值范围为（）
A． 1, 3 6 + 2B． , 2÷÷ C． 2, 3 D．2 3,2 è
4．（2024·青海·一模）在梯形 ABCD 中， AD / /BC ， AD = 6， BC = 8， AB = 4 ，CD = 5，E，F 分别为 AD，BC
的中点，则EF =（）
A 78 B 77．． C 71． 19 D．
2 2 2
5．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 是锐角三角形，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c．若
a2 - b2
b
= bc ，则的取值范围是（）a + c
3 2
A． , ÷÷ B． 2 - 3,1 C． 2 - 3, 2 -1 D． 2 +1, 3 + 23 2 è
6．（2023·安徽·校联考模拟预测）在VABC中， AB = 4 ， AC = 3， cos C - B 3= ，则下列结论正确的是（）4
A． AB 边上的中线长为 2 B．VABC 为锐角三角形
4
C． cosB = D．VABC 的周长为 12
5
7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知VABC 三个内角A 、 B 、C 的对应边分别为 a、b 、
c π，且 A = a = 4 .3 ，则下列结论不正确的是（）
A．VABC 面积的最大值为 4 3
B．bcosC + ccosB = 2 2
uuur uuur
C 8 16 3．BA × BC 的最大值为 +
3
cosB 1
D．的取值范围为 - , -2 - , + cosC ÷è 2
3BC 18．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 外接圆的半径为，D为边BC 的中点， AD = ， BAC 为钝角，
3 2
则 2AC - AB的取值范围是（）
A． -2,2 B． -2,2 C． -1,2 D． -1,2
二．多选题
9．（2024·江苏·阶段练习）如图，VABC 的角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c， 3 a cosC + ccosA = 2bsinB ，且
CAB π= ，若点D在VABC 外，DC =1, DA = 3，则下列说法中正确的有（
3 ）
π
A． ACB =
3
B． ABC
π
=
3
C．四边形 ABCD 5 3面积的最大值为 + 3
2
5
D．四边形 ABCD面积的最大值为 + 2 3
2
π
10．（2024 黑龙江佳木斯·期中）已知△ABC 三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 C = ，c=2．则
3
下列结论正确（）
uuur uuur
A．△ABC 4 3面积的最大值为 3 B． AC × AB 的最大值为 2 +
3
cos B 3
C．bcos A + a cos B = 2 D．的取值范围为 - , ÷÷ 3, + cos A è 2
π
11．（2025·福建厦门·阶段练习）已知锐角VABC 三个内角 A, B,C 的对应边分别为 a,b,c，且 C = ,b = 2．则下
3
列结论正确的是（）
A．VABC 的面积最大值为 2 3
uuur uuur
B． AC × AB的取值范围为 0,3
C． 2cosA + acosB的值可能为 3
2sin2B + cos2 A
D． 3 的最小值为 2 2
- cosBsinA
2
三．填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若b = 2 ，
2a 2 c
= + ，则 2a + c的最大值为 .
cosC cosB cosC
π
13．（2025·海南海口·模拟预测）锐角VABC 中， A = 3 ，角 A 的角平分线交BC 于点M ， AM = 2 ,
,则BM ×CM
的取值范围为 .
14．（2024·四川自贡·三模）如图，D 为VABC 的边 AC 上一点， | AD |= 2 | DC |， ABC = 60°，
| AB | +2 | BC |= 4，则 BD 的最小值为 .
四．解答题
15．（2024·北京·三模）已知函数 f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx, (w > 0) 的最小正周期为 π .
(1)求w 的值；
π
(2)在锐角VABC 中，角 A，B C é ù，所对的边分别为 a，b，c.c 为 f (x) 在 ê0, 2 ú 上的最大值，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 a - b的取值范围.条件①：a cos B + bcos A = 2c cosC ；条件②：
3 a2 + b2 - c2
2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ；条件③：VABC 的面积为 S，且 S = .注：如果选择多个条件分别
4
解答，按第一个条件计分.
16．（2024·全国·模拟预测）在 VABC 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E 之间，
AE × AC × BD = AD × AB ×CE ．
(1)求证： sin∠BAD = sin∠CAE ．
2 2
(2) AB ^ AC AD AE 2若，求证： 2 + = ．BD CE2 1- sin DAE
17 2．（2024·山东青岛·期中）已知函数 f x = 2 - 2 3sinx ×cosx - 2cos x，若锐角VABC 的内角 A, B,C 所对的边分
别为 a,b,c，且 f A = 0 ．
(1)求角A ；
b
(2)求的取值范围；
c
(3)在VABC 中， AB = 2 ，其外接圆O直径为 AD （如图），CD =1，求b 和 S四边形ABDC ．
18（2024 湖南·阶段练习）已知VABC 的内角A 、 B 、C 所对的边分别为 a、b 、 c，
acos B - C = 2 3csinB - a cosA .
(1)求角A ；
(2) VABC b
2 + a2
若为锐角三角形，且外接圆的半径为 3，求的取值范围.
b
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域 ABCD 铺设草坪，其中 AB = 2 百米， BC =1
百米， AD = CD ， AD ^ CD ，草坪内需要规划 4 条人行道 DM、DN、EM、EN 以及两条排水沟 AC、BD，其中
M、N、E 分别为边 BC、AB、AC 的中点．
π
(1)若 ABC = ，求排水沟 BD 的长；
2
(2)若 ABC = a ，试用a 表示 4 条人行道的总长度．

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4.5 正余弦定理综合运用（含答案） 2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

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