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5.1 等差数列
考点一 等差数列基本量的计算
【例 1-1】（2024·云南·模拟预测）已知等差数列 an 满足： a1 =1, a8 + a10 =18, Sn 为数列 an 的前 n项和，则 S9 =
（ ）
A．18 B．45 C．90 D．180
【答案】B
【解析】由 a8 + a10 =18，得 2a9 =18 a
9 a + a
，即 9 = 9，于是 S
1 9
9 = = 45 .故选：B.2
【例 1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知在单调递增的等差数列 an 中，a3与 a7的等差中项为 8，且 a2 × a8 = -17，
则 an 的公差 d =（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由等差数列 an 为单调递增数列，可得公差 d > 0，
因为a3与a7的等差中项为 8，可得 a3 + a7 = 2a5 = 8 2，可得 a5 = 8，即 a1 + 4d = 8，
又因为 a2 × a8 = -17，可得 (a1 + d )(a1 + 7d ) = -17，
即64 - 9d 2 = -17，解得 d = 3或 d = -3（舍去）.
故选：C.
【例 1-3】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 3， a2n = 2an +1，若 Sn + an+1 =100，
则 n =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】由 a2 = 3， a2n = 2an +1，得 a2 = 2a1 +1 = 3，解得 a1 =1，则等差数列 an 的公差 d = 2，
a 2n 1, S 1+ 2n -1 2于是 n = - n = × n = n ，由 Sn + a 2n+1 =100，得 n + 2n +1 =100，所以n = 9 .故选：B2
【一隅三反】
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 =15,a4 = 9，则 a5 = （ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
【答案】C
ìS3 = 3a1 + 3d =15 ìa1 = 3
【解析】 í ，解得 í ，\a5 = a4 + d =11.故选：C
a1 + 3d = 9 d = 2
2．（2024·全国·高考真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 S5 = S10 ， a5 =1，则 a1 =（ ）
7 7 1 7
A． B． C．- D．-
2 3 3 11
【答案】B
【解析】由 S10 - S5 = a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = 5a8 = 0，则 a8 = 0，
a a8 - a5 1 1 7则等差数列 n 的公差 d = = - ，故 a1 = a5 - 4d =1- 4 - ÷ = .3 3 è 3 3
故选：B.
3．（2023·全国·高考真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和．若a2 + a6 = 10,a4a8 = 45，则 S5 =（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列 an 的公差为d ，首项为 a1，依题意可得，
a2 + a6 = a1 + d + a1 + 5d =10，即 a1 + 3d = 5 ,
又 a4a8 = a1 + 3d a1 + 7d = 45，解得： d =1,a1 = 2，
5 4
所以 S5 = 5a1 + d = 5 2 +10 = 20．2
故选：C.
方法二： a2 + a6 = 2a4 =10 ， a4a8 = 45，所以 a4 = 5，a8 = 9，
a - a
从而 d = 8 4 =1，于是 a3 = a4 - d = 5 -1 = 4，8 - 4
所以 S5 = 5a3 = 20．
4．（2024·重庆·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若 S4 = 20， S6 =12S2 ，则 S8 =（ ）
A．40 B．60 C．76 D．88
【答案】D
【解析】设首项为 a1，公差为d ，
ì 4 4 -1
4a1 + d = 20
2
ìa 1 =
由 S4 = 20， S 16 =12S2 ，可得 í
6 6 -1 é 2
2
2 -1 ù， 解得 í ，6a + d =12 2a + d d = 3
1 ê 1 ú 2 2
8 8 -1
S 8a d 8 1 8 8 -1 所以 8 = 1 + = + 3 = 88 .故选：D2 2 2
5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S3 = 9， S15 =180，则 a10 = （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
ì
ì3a + 3d = 9 a
3
1 =
1 2
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，由题意得 í 解得 í
15a1 +105d =180 d 3=
2
3 3 3 3
所以 an = + n -1 = n，所以 a10 = 10 =15．故选：C2 2 2 2
考点二 等差中项的性质
【例 2-1】（23-24 浙江杭州·期中）在VABC 中，三个内角 A, B,C 成等差数列，则 sin A + C =（ ）
A 1 2 3． 2 B． C． D．12 2
【答案】C
【解析】因为 A, B,C 成等差数列，所以 A+C = 2B；
π 2π
又 A + B + C = π，所以3B = π ，即 B = ，所以 A + C = 2B =3 ，3
2 3
所以 sin A + C = sin π = .
3 2
故选：C.
【例 2-2】（23-24 高二下·北京·期中）等差数列 an 中，设前 n项和为 Sn ， a9 = 5，则 S17 等于（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】B
17 a + a 17 2a
【解析】由题意可得 S 1 17 917 = = =17 5 = 85，2 2
故选：B.
2 1
【例 2-3】（2024·全国·模拟预测）设 a > 0，b > 0，若 ln 3 是 ln 3a 与 ln 9b 的等差中项，则 + 的最小值为（a b ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】B
【解析】因为 ln 3 是 ln 3a 与 ln 9b 的等差中项，
所以 2ln 3 = ln 3a + ln 9b ，即 ln 3 = ln 3a 9b = ln 3a+2b = a + 2b ln 3，
∴ a + 2b =1，又 a > 0，b > 0，
∴ 2 1 2 1 a 2b 4 a 4b 4 2 a 4b+ = + ÷ + = + + + × = 8，a b è a b b a b a
a 4b 1 1
当且仅当 =b a ，即
a = ，b = 时等号成立.
2 4
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·辽宁·二模）记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a7 = 6，则 S13 =（ ）．
A．13 B．26 C．39 D．78
【答案】D
a 13 a1 + a【解析】因为 n 为等差数列，所以 S = 13 13 2a713 = = 78 .故选：D.2 2
a + a
2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知数列 an 是等差数列， a2 + a4 + a6 = 5π ，则 tan 1 7 =（5 ）
A． 3 B．- 3 C 3． D 3．-
3 3
【答案】B
【解析】由 a2 + a4 + a = 3a = 5π a
5π 10π a + a 2π
6 4 ，故 4 = ，则 a1 + a7 = 2a4 = ，所以 tan 1 7 = tan = - 3 ．故选：B3 3 5 3
l og4 a1 +a2 +L+a11
3．（2024·全国· 1 模拟预测）在等差数列 an 中，已知a 与 a 是方程2x23 9 - x + m = 0的两根，则 2÷ =è
（ ）
11 2 11 11 11A． B． C． D．
11 11 4 2
【答案】B
1
【解析】因为a3与 a9 是方程2x2 - x + m = 0的两根，由韦达定理得a3 + a9 = ，2
1 1
因为数列 an 为等差数列，所以a1 + a11 = a2 + a10 = a3 + a9 = 2a6 = ， a6 = ，2 4
1 log4 a1 +a2 +L+a11 1 log4 11a log
11
所以 =
6
=
1 4 4 log 4 log 2 11 2 11
÷ ÷ ÷ = 2
4 11 = 2 2 11 = ，
è 2 è 2 è 2 11
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an 满足 a1a3 + a2a7 + a3a9 + a7a8 =100，则 a5 = （ ）
5 5 5
A． B．5 C．5 或－5 D． 或-
2 2 2
【答案】C
【解析】由题 a1a3 + a2a7 + a3a9 + a7a8 = a3 a1 + a9 + a7 a2 + a8 = 2a5a3 + 2a5a7 = 2a 25 a3 + a7 = 4a5 =100，解得
a5 = ±5，故选：C.
考点三 等差数列片段和的性质
【例 3-1】（2023·广东深圳·二模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S10 = 20， S20 =10，则 S30 = （ ）
A．0 B．-10 C．-30 D．-40
【答案】C
【解析】由等差数列{an}的前 n项和的性质可得： S10 ，S20 -S10，S30 -S20也成等差数列，
\2(S20 - S10 ) = S10 + (S30 - S20 )，\2 (10 - 20) = 20 + S30 -10，解得 S30 = -30．故选：C.
【例 3-2】（2023·四川乐山·一模）设等差数列 an 的前 n项和 Sn ，若 S3 = 9， S6 = 36，则 a7 + a8 + a9 =（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【解析】由题意得 S3 , S6 - S3 , S9 - S6 成等差数列，即9,36 - 9, a7 + a8 + a9 成等差数列，
即 2 36 - 9 = 9 + a7 + a8 + a9，解得 a7 + a8 + a9 = 45 .故选：C
S 1 S
【例 3-3】（23-24· 3 6广东揭阳·期末）设 Sn 是等差数列 an 的前 n项和，若 =S 3，则 =S （ ）6 12
3 1 1 1
A． B． C． D．
10 3 8 9
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知 S3 、 S6 - S3、 S9 - S6 、 S12 - S9成等差数列，
S3 1∵ = SS 3，即 6 = 3S3， S6 - S3 - S3 = S3 ，6
∴ S9 - S6 = 3S3 ， S12 - S9 = 4S3，∴ S9 = 6S3 ， S12 =10S3 ，
S 3S
∴ 6 = 3
3
=
S12 10S3 10
.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S4 = 2， S8 =12，则 S20 =（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【答案】D
【解析】由数列 an 为等差数列，故 S4 、 S8 - S4、 S12 - S8、 S16 - S12、 S20 - S16 亦为等差数列，
由 S4 = 2， S8 =12，则 S8 - S4 =10，故 S12 - S8 =18， S16 - S12 = 26， S20 - S16 = 34，
即有 S12 =18 + S8 = 30 ， S16 = 26 + S12 = 56， S20 = 34 + S16 = 90 .故选：D.
2．（23-24 广东深圳·期末）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， S4 =1， S8 = 4，则 a17 + a18 + a19 + a20 =（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】在等差数列 an 中，
S4 =1， S8 = 4，所以 S4 = 1,S8 - S4 = 3，
故 S4 , S8 - S4 , S12 - S8 , S16 - S12 , S20 - S16 构成公差为 2的等差数列，
所以 S20 - S16 =1+ (5 -1) 2 = 9 ，
即 a17 + a18 + a19 + a20 = 9 .
故选：C
Sn 5 1 S3（23-24 高三上·河北·期末）设 Sn 是等差数列 a 10n 的前 项和，若 = ，则 =S 3 S （ ）10 20
3 3 3 3
A． B． C． D．
7 10 11 14
【答案】B
【解析】由等差数列片段和性质知： S5 , S10 - S5 , S15 - S10 , S20 - S15 ,L是等差数列.
S5 1
由 =S 3 ，可设
S5 = t t 0 ，则 S10 = 3t ，于是 S5 , S10 - S5 , S15 - S10 , S20 - S15 ,L依次为 t, 2t,3t, 4t,L，
10
S
S = t + 2t + 3t + 4t =10t 10
3
所以 20 ，所以 =S .20 10
故选：B
4．（2024·青海海东 ）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S10 = 110 ， S110 =10，则 S120 = （ ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
【答案】C
100 a + a
S S a a L a 11 110 【解析】 110 - 10 = 11 + 12 + + 110 = = -100，2
a + a = -2 120S a1 + a，则 = 120 120 a= 11 + a110 11 110 120 = -120 .故选：C2 2
考点四 等差数列前 n 项和与 n 的比
【例 4-1】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列 a S S的前 n项和为 S ，且 7 - 3n n = 4，则 a9 - a6 =（ ）7 3
A． 2 B．3 C． 4 D．6
【答案】D
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，
n n +1
n 1 a n n -1d na + + + d
则 Sn+1 S
1 2 1n 2 a n d a n -1 d- = - = 1 + - 1 - d =
，
n +1 n n +1 n 2 2 2
S
\ ì n ü d S S d数列 í 是公差为 的等差数列，\ 7 - 3 = 4 = 4，解得： d = 2，
n 2 7 3 2
\a9 - a6 = 3d = 6 .
故选：D.
【例 4-2】（2024 贵州毕节 ）等差数列 an 的前 n项和为 S
S
，若 2021
S
= 2020n +1且 a = 3，则(2021 2020 1 )
A． an = 2n +1 B． an = n +1
C． Sn = 2n
2 + n D 2． Sn = 4n - n
【答案】A
a n n -1 S n -1 d【解析】设 n 的公差为 d，∵ Sn = na

+ d ∴ n1 = a1 + ×d = ×n
d
+ a1 - ，2 n 2 2 2
Sn d S S d n 3+ 2n +1即{ } 为等差数列，公差为 ，由 2021 - 2020 =1知 =1 d = 2，故 a = 2n +1，S = = n2 + 2n ﹒
n 2 2021 2020 2 n n 2
故选：A
【一隅三反】
1．（22-23 高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列 an 中， Sn 为其前 n项和．若 S2023 = 2023，且
S2021 S- 20 = 2001，则 a 等于（ ）
2021 20 1
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
【答案】A
ìS
【解析】因为 S 为等差数列{a }的前 n项和，令b = í n
ü
n n n ，则{bn}也为等差数列，设其公差为n d
，

S S
由b 2021 202021 - b20 = - = 2001，得 d =1，2021 20
b S2023 1 b a = S又 2023 = = ，得 11 = 1 = b2023 - 2022d =1- 2022 = -2021 .2023 1
故选：A．
S S
2．（2024·新疆·模拟预测）在等差数列 an 中， a1 = -2018，其前 n 项和为 S ，若 12 - 10n = 2，则 S12 10 2020
=（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
【答案】C
2 S
【解析】设等差数列 an 的前 n项和为 Sn = An +Bn，则 n = An+B，n
ìS ü S S
所以 í n 是等差数列．因为 12 - 10 = 2，
n 12 10
ìSn ü S a
所以 í 的公差为 ，又 1 = 1 = -2018，
n
1
1 1
ìS ü
所以 í n 是以-2018为首项，1为公差的等差数列，
n
S
所以 2020 = -2018 + 2019 1 =1，所以 S2020 = 20202020
故选：C
S S
3．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 = -10， 8 - 7 =1，则 S9 = ．8 7
【答案】-18
S n -1
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，由等差数列前 n 项和公式可知 n = a + d ；n 1 2
Sn+1 S- n = d ì
Sn ü S S
可得 为定值，所以 í 即为等差数列，又 8 - 7 =1，n +1 n n 8 7
ìS
í n
ü S
即 是以-10为首项，公差为 1 的等差数列，所以 9 = -10 + 8 1 = -2，从而 Sn 9
= -18．
9
故答案为：-18
考点五 两个等差数列的前 n 项和之比
Sn 3n + 5 a【例 5-1】（2024·河南新乡·一模）设等差数列 a 8n ， bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，若 = =Tn 4n - 2
，则 b8
（ ）
25 35 55 25
A． B． C． D．
28 39 58 29
【答案】D
【解析】因为 an ， bn 为等差数列，
15 a + a 15 b + b a S 3 15 + 5 25
所以 S 1 1515 = =15a ，T

= 1 15

8 15 =15b
8 15
8，所以 = = =b T 4 15 - 2 29 ，故选：D2 2 8 15
S 2n + 70
【例5-2】（22-23高二上· · n江苏宿迁 期中）已知两个等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为Sn和Tn，且 T = ，n n + 3
a7
则 b 的值为（ ）6
48 42 84 1
A． B C D7 ． ． 9 ．5 4
【答案】A
Sn 2n + 70
【解析】因为 = ，所以可设 Sn = kn 2n + 70 ，Tn = kn n + 3 T ， k 0，n n + 3
所以 a7 = S7 - S6 = 588k - 492k = 96k ，b6 = T6 -T5 = 54k - 40k =14k ，
a7 96k 48
所以 = =b6 14k 7
，
故选：A.
S
【例 5-3 7】（2024·湖北武汉·三模）设公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a4 = 2a5 ，则 =S （ ）4
7 5
A． B．-1 C．1 D．
4 4
【答案】C
【解析】在等差数列 an 中， 2a5 = a4 + a6， a4 = 2a5 ，故 a6 = 0，
又 2a6 = a5 + a7，故 a7 = -a5 ，
S
则 S7 = S4 + a5 + a6 + a7 = S
7
4 ，故 =1S .4
故选：C.
【例 5-4】（23-24 陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 an 与等差数列 bn 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ,
Sn 5n + 3 a a
且 =T 4n - 2 ,
3 + 9则 =b b （ ）2n-1 11 11
29 29 58 58
A． B． C． D．
21 11 21 11
【答案】D
【解析】因为数列 an 、
a3 a9 a3 + a9 2ab 6n 都是等差数列, 所以 + = =b11 b b b
,
11 11 11
11 a
又 S 1
+ a11 21 b + b
11 = =11a

6，T =
1 21
21 = 21b ，2 2 11
a S T
a a 2a S
故 = 11 ，b = 21 3 9 6
42 11
6 11 ，即有 + = = ,11 21 b11 b11 b11 11 T21
Sn 5n + 3 S 29
在 =T 4n - 2 中，令n =11
11
，得 =
2n-1 T21 21
，
a3 a 2a+ 9 = 6 42 29 58故 = =b11 b b 11 21 11
.
11 11
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）设等差数列 an 与等差数列 bn 的前 n 项和分别为 Sn ，Tn .若对于任意的正整数 n 都
Sn 2n +1 a= 8有 T 3n -1 ，则
=
b （ ）n 9
35 31 31 35
A． B． C． D．
52 50 48 46
【答案】B
【解析】设 Sn = 2n +1 nt ，Tn = 3n -1 nt ， t 0 .则 a8 = S8 - S7 =136t -105t = 31t ，b9 = T9 -T8 = 234t -184t = 50t ，
a8 31
所以 =b9 50
.
故选：B.
S 2n a + a
2．（23-24 n 2 8黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，若 =T 3n +1，则 =n b3 + b5
（ ）
9 7 10 9
A． B． C． D．
11 11 13 14
【答案】A
【解析】根据题意，数列{an}、{bn}都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
Sn 2n 2n
2
\ = =
Tn 3n +1 3n
2 + n ，
d 2 d
因为等差数列前 n项和公式为 Sn = n + (a1 - )n, (d 0)2 2 ，
所以不妨令 Sn = 2kn
2 ,Tn = 3kn
2 + kn(k 为常数，且 k 0)，
所以 n 2时， an = Sn - Sn-1 = k(4n - 2) ，bn = Tn - Tn-1 = k(6n - 2)．
a 9 a + a 2a a 9
\a5 = 18k ，b4 = 22k
5 2 8 5 5
，\ = = = =b4 11
， b3 + b5 2b4 b 11
.
4
故选：A
3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，若对任意正整数 n都有
Sn 2n - 3 a a= 3 9
T 4n - 3 ，则
+ =
n b + b b + b
（ ）
4 8 5 7
3 5 19 19
A． B． C． D． E．均不是
7 21 41 40
【答案】C
【解析】由等差数列的等和性可得，
11
a3 a9 a3 a a + a a + a
(a1 + a11) S 2 11- 3 19
+ = + 9 = 3 9 = 1 11 = 211 =
11 = = .
b4 + b8 b5 + b7 2b6 2b6 2b6 b1 + b11 (b + b ) T11 4 11- 3 41
2 1 11
故选：C.
4．（2024·河北衡水·三模）已知数列 an ， bn 均为等差数列，其前 n项和分别为 Sn，Tn ，满足
a + a + a
(2n + 3)Sn = (3n -1)T
7 8 9
n，则 =b （ ）6 + b10
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【解析】因为数列 an , bn
1 1
均为等差数列，可得 a7 + a8 + a9 = 3a8 = 15a8 = S15，5 5
b 15 b + b 2且 6 + b10 = b1 + b15，又由T 1 1515 = ，可得b2 6
+ b10 = T15 15
．
1
a7 + a
S
8 + a9 = 5
15 3 S 3 4
因此 2 = ×
15 = = 2 .故选：A．
b6 + b10 T 2 T15 2 3
15 15
考点六 等差数列前 n 项和的最值
【例 6-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 an 中， a1 > 0， S7 = S9 ，则使得前 n 项的和最大的 n 值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】在等差数列 an 中， a1 > 0，由 S7 = S9 ，可得 a8 + a9 = 0，
\a8 > 0， a9 < 0，且数列 an 为递减数列，
所以使得前 n 项的和最大的 n 值为 8.
故选：B.
【例 6-2】（2024·四川南充·三模）设为 Sn 等差数列 an 的前 n 项和，已知 S1、 S2 、 S4 成等比数列， S2 = 2a1 + 2，
当6an - Sn 取得最大值时， n =（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，由 S2 = 2a1 + 2，得 2a1 + d = 2a1 + 2，解得 d = 2，
由 S
1
1、 S2 、 S4 成等比数列，得 (2a1 + d )2 = a1(4a1 + 6d ) ，解得 a1 = d =1，2
因此 an =1+ 2(n
n(1+ 2n -1)
-1) = 2n -1, S 2n = = n ，2
则6an - Sn = 6(2n -1) - n
2 = -(n - 6)2 + 30 30，当且仅当 n = 6时取等号，
所以 n = 6 .
故选：A
【例 6-3】（2024·山东泰安·三模）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和， a1 = -21， S7 = S15 ，则 Sn 的最小值为
（ ）
A．-99 B． -100 C．-110 D． -121
【答案】D
【解析】设 an 的公差为d ，因为 a1 = -21， S7 = S15 ，
ìa1 = -21
可得 í 7 6 15 14 ，解得 d = 2，所以 an = 2n - 23，
7a1 + d =15a1 + d 2 2
n
S 21n n -1 可得 n = - + 2 = n2 - 22n ，2
所以当n =11时， S 2n 取得最小值 S11 =11 - 22 11 = -121.
故选：D.
【例 6-4】（23-24 天津和平·期末）若 an 是等差数列， Sn 表示 an 的前 n 项和， a3 + a8 > 0, S9 < 0，则 Sn 中最
小的项是（ ）
A． S4 B． S5 C． S6 D． S7
【答案】B
9 a
【解析】因为 S = 1
+ a9
9 = 9a5 < 0，2
所以 a5 < 0，
因为 a5 + a6 = a3 + a8 > 0，所以 a6 > -a5 > 0 ，
所以公差 d = a6 - a5 > 0 ，
故当 n 5时， an < 0，当 n 6 时， an > 0，
所以当 n = 5时， Sn 取得最小值，
即 Sn 中最小的项是 S5 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若3a10 + a12 < 0 ， a8 + 3a12 > 0 ，则当 Sn 取最小值
时， n =（ ）
A．9 B．10 C．10 或 11 D．11
【答案】B
【解析】由等差数列的性质知 a8 + 3a12 = 2a10 + 2a12 = 4a11 > 0， 即a11 >0．
又3a10 + a12 = 2a10 + 2a11 < 0，故a10 <0，则 d = a11 - a10 > 0， a1 < 0，则 a1 < a2 则当 Sn 取最小值时， n =10 .
故选：B．
2．（2024·湖北·二模）已知公差为负数的等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a3 , a4 , a7 是等比数列，则当 Sn 取最大
值时， n =（ ）
A．2 或 3 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设等差数列 an 的公差为 d (d < 0)，由 a3 , a4 , a7 是等比数列，
得 (a1 + 3d )
2 = (a1 + 2d )(a1 + 6d ) a
3 d a a (n 1)d (n 5，解得 1 = - ，则 n = 1 + - = - )d ，2 2
显然等差数列 an 单调递减，当 n 2时， an > 0，当 n 3时， an < 0，
所以当 Sn 取最大值时， n = 2 .
故选：B
3．（2024 全国·期末）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S9 < S6 < S10 ，则当 Sn 取得最小值时，n 的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【解析】∵ S9 < S6 < S10 ，∴ S9 - S6 = a7 + a8 + a9 = 3a8 < 0，即 a8 < 0．
∵ S10 - S6 = a7 + a8 + a9 + a10 = 2 a8 + a9 > 0，∴ a8 + a9 > 0，∴ a9 > 0，
∴当 Sn 时取得最小值时，n 的值为 8．
故选:D．
4．（2024·辽宁·二模）（多选）设 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和.且 S5 < S6 ， S6 = S7 > S8，则下面结论正确
的是（ ）
A． d 0 B． a7 = 0
C． S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 D．满足 Sn < 0的 n 的最小值为 14
【答案】BCD
【解析】A：因为 S6 = S7 > S8，所以 S7 - S6 = a7 = 0, S8 - S7 = a8 < 0，
所以 d = a8 - a7 < 0，故 A 错误；
B：由 A 的解析可得 B 正确；
C：因为 S5 < S6 ， S6 = S7 > S8，所以 S6 与 S7 均为 Sn 的最大值，故 C 正确；
D：因为 2a7 = a + a
13
S a1 + a13 14 a + a 1 13，由 1 1413 = = 0， S14 = = 7 a7 + a < 0，2 2 8
故 D 正确；故选：BCD
考点七 等差数列奇数项或偶数项的和
*
【例 7-1】（23-24 高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 an 的项数为 2m +1 m Ν ,其中奇数项之和为
140, 偶数项之和为 120,则m = ( )
A．6 B． 7 C．12 D．13
【答案】A
【解析】项数为 2m +1的 an 中奇数项共有 m +1 项,
m +1 a + a m +1 × 2a
其和为 1 2m+1 = m+1 = m +1 a =140,
2 2 m+1
m a + a
项数为 2m +1的 an 中偶数项共有m 项, 2 2m m ×2a其和为 = m+1 = mam+1 =120, 2 2
m +1 am+1 140 7
所以 = = ,解得m = 6.
mam+1 120 6
故选: A.
【例 7-2】（2023·重庆·二模）已知等差数列 an 的前 30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为 B ，且 B - A = 45，
2A = B + 615，则 an =（ ）
A．3n - 2 B．3n -1 C．3n +1 D．3n + 2
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d ，首项为 a1，
则B - A =15d = 45，所以 d = 3，
因为 2A = B + 615，即 2A = A + 45 + 615，则 A = 660 ，
等差数列的奇数项是以 a1为首项， 2d 为公差的等差数列，等差数列 an 的前 30 项中奇数项有 15 项，所以
A 15 14=15a1 + 6 = 660，得 a1 = 2，2
所以 an = a1 + n -1 d = 2 + 3 n -1 = 3n -1.
故选：B
【例 7-3】（2024 上海徐汇·期末）设等差数列的项数 n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
n -1 2n +1 2n +1 n +1
A． B． C． D．
n n 2n n -1
【答案】D
n +1 n -1
【解析】由题知，奇数项有 项，偶数项有 项，
2 2
n +1 n -1
奇数项之和为 n +1 ×a 2 2 n +1 n -1 ，
2 1
+ ×2d = (a1 + d )2 2 2
n -1 n - 3
×
偶数项之和为 n -1(a1 + d ) + 2 2 ×2d
n -1
= (a n -1 ，
2 2 2 1
+ d )
2
n +1
所以奇数项之和与偶数项之和的比为 ，
n -1
故选：D
【一隅三反】
1．（22-23 四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有 2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为 24 和 30，且末项比
首项大 10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
【答案】B
【解析】根据等差数列的性质得： nd = 30 - 24 = 6， a2n - a1 = 2n -1 d =10.5，
解得： n = 4，故该数列的项数为 2n = 8 .
故选：B
2．（2024 广东）在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 等于
（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】B
【解析】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为 S1, S2
n +1 a1 + a2n+1
S
∴ 1 = 2
n +1 × 2an+1 n +1
= =
165 = n +1
n a + a ，∴ ，∴n＝10，S2 2 2n n × 2an+1 n 150 n
2
故选:B.
3．（2024 广东深圳 ）等差数列 an 共有 2n +1项，其中奇数项之和为 4，偶数项之和为3，则 n的值是
A．3 B．5 C． 7 D．9
【答案】A
n(a + a )
【解析】等差数列 an 共有 2n +1项，偶数项之和 S = a2 + a 2 2n4 +L+ a2n = = na2 n+1 = 3，
S a a L a (n +1)(a1 + a2n+1) (n 1)a 4 n +1 4奇数项之和 = 1 + 3 + + 2n+1 = = + n+1 = ，因此 = ，2 n 3
所以 n = 3 .
故选：A
4．（2024 浙江宁波·期中）一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为32 : 27，则
公差 d 为 .
【答案】5
【解析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为 27k ，由32k + 27k = 59k = 354 可得 k = 6，
d 32k - 27k 5k故公差 = = = 5，故答案为：5．
6 6
考点八 等差数列定义及含绝对值的求和
【例 8-1】（2023·吉林·一模）已知数列{an} ,点 (n, an )在直线 y = 3x - 22上.
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）设bn =| an |，求数列{bn}的前 20 项和 S20 .
【答案】(1)见解析(2)330
【解析】（1）由已知： an = 3n - 22 因为 an+1 - an = 3 n +1 - 22 - 3n - 22 = 3（ n N *）
所以数列 an 是公差为 3 的等差数列
（2）由（1）知： a1 = -19, 公差 d = 3，
当 n 7 时， an < 0；当 n 8时， an > 0
所以 S20 = a1 + a2 + a3 +L+ a20
= -a1 - a2 -L- a7 + a8 +L+ a20
= -2 a1 +L+ a7 + a1 +L+ a20
é 7 6 ù 20 19
= -2 ê7 -19 + 3ú + 20 -19 + 3 2 2
= 330
【例 8-2】（2024 吉林长春·一模）已知数列{an}的通项公式为 an = 2n -11.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2) 令bn =| an |，求数列{bn}的前10项和 S10 .
【答案】（1）见解析；（2）50.
【解析】
（1）∵ an = 2n -11，∴ an+1 - an = 2 n +1 -11- 2n +11 = 2（ n N*），∴数列 an 为等差数列．
（2）解：由（1）知：数列{an}的前 n 项和 Tn＝ ＝n2﹣10n．
令 an＝2n﹣11≤0．解得 n≤ ＝5+ ．
∴S10＝﹣（a1+……+a5）+a6+……+a10＝﹣2T5+T10＝﹣2×（52﹣10×5）+102﹣10×10＝50．
【一隅三反】
ìSn ü1．（23-24 高三下·四川绵阳·阶段练习）设 Sn 为数列 an 的前 n项和，已知 a2 = 4, S4 = 20，且 í 为等差数
n
列．
(1)求证：数列 an 为等差数列；
b(2) b b = 6 n+1 an若数列 n 满足 ，且 =1 nb a ，求数列 bn 的前 项和Tn ．n n+2
【答案】(1)证明见解析
12 12(2) -
n +1
ìSn ü S S
【解析】（1）设等差数列 í 的公差为d ，则 4 = 1 + 3d ，即 S1 + 3d = 5，①
n 4 1
因为 S2 = a1 + a2 = S1 + 4
S S
，所以由 2 = 1 + d ，得 S1 + 2d = 4 ．②2 1
由①、②解得 S1 = 2,d = 1
S
，所以 n = n +1，即 Sn = n n +1 ，n
当 n 2时，an = Sn -Sn-1 = n n+1 - n-1 n = 2n，
当 n =1时， a1 = S1 = 2，上式也成立，
所以 an = 2n n N* ，所以数列 an 是等差数列；
b a 2n n
（2）由（1 n+1 n）可知 = = =bn an+2 2n + 4 n + 2
，
b bn bn-1 b2 b n -1 n - 2 1 6 12当 n 2时， n = × ××× × 1 = ××× =bn-1 bn-2 b1 n +1 n 3 n n +1 ，
12 1 1 *
因为b1 = 6满足上式，所以bn = =12 - n Nn n +1 n n 1÷ + ．è
T 12 é= 1 1 1 1 1 ù 1 12n ê 1- ÷ + - ÷ + ××× +

-

÷ú =12 1- ÷ =12 - ．
è 2 è 2 3 è n n +1 è n +1 n +1
2．（2024·山西·二模）已知数列 a S a = 4 Sn - n 1n 的前 n 项和为 n ，若 2 ， = an ．n 2
(1)求证：数列 an 是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列 bn 的前 n 项的和Tn ．
① bn = an -11 ；
② bn = a2n-1a2n - a2na2n+1 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
S - n 1 1 1
【解析】（1）证明：因为 n = an ，所以 Sn = n an +1÷，则 Sn+1 = n +1 an+1 +1

n 2 2 2 ÷
，
è è
n -1 n
两式相减得 an+1 = an -1
n a n +1，所以 n+2 = an+1 -1，以上两式相减得 a + a2 2 2 2 n n+2
= 2an+1，
所以数列 an 是等差数列．
S - n 1
（2） n = an 中令 n =1 得 a1 = 2，又 a2 = 4 ，所以等差数列 an 的公差 d = a2 - a1 = 2，n 2
所以 an = 2 + 2 n -1 = 2n ， Sn = n n +1 ，
若选①：
若 n 5，bn =11- an ，则Tn = 11- a1 + 11- a2 +L+ 11- an =11n - Sn =11n - n n +1 = -n2 +10n；
若 n 6 ，Tn = 11- a1 + 11- a2 +L+ 11- a5 + a6 -11 +L+ an -11 = Sn - 2S5 +11 10 - n = n2 -10n + 50，
ì -n2 +10n, n 5
所以Tn = í ；
n
2 -10n + 50,n 6
若选②：
Tn = a1a2 - a2a3 + a3a4 - a4a5 +L+ a2n-1a2n - a2na2n+1 = a2 a1 - a3 + a4 a3 - a5 +L+ a2n a2n-1 - a2n+1
= -4 a2 + a4 +L+ a 4
a2 + a2n n 4 4 + 4n2n = - = - n = -8n
2 -8n．
2 2
一．单选题
1．（2024 高三下·全国·专题练习）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a3 =1， a7 + a8 + a9 =12 ，则 S10 =
（ ）
A．50 B．40 C．30 D．25
【答案】D
【解析】解法一：
∵ a7 + a8 + a9 = 3a8 =12，∴ a8 = 4，又 a3 =1，
10
∴ a + a = 5 ∴ S a1 + a10 10 a3 + a8 3 8 ， 10 = = = 25．2 2
解法二：
设 an 的公差为 d，∵ a7 + a8 + a9 = 3a8 =12，
∴ a8 = 4，又 a3 =1，∴ d
a - a 3
= 8 3 = ，
5 5
a a 2d 1 2 3 1则 1 = 3 - = - = - ，5 5
10 9
∴ S10 =10a1 + d = 25． 2
故选：D．
2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， S3 = 9， S9 =18，则 S12 =（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
【答案】A
3 a + a 9 a + a
【解析】由题结合等差数列性质有 S3 =
1 3 = 3a2 = 9， S =
1 9
9 = 9a5 =18，2 2
a2 = 3,a5 = 2，
a d a5 - a2 1 a a d 3 1 10设等差数列 n 的公差为d ，则 = = - ， 1 = 2 - = + = ，5 - 2 3 3 3
S 12 10 12 11 1故 12 = - =18 .3 2 3
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·三模）已知等差数列 a S S a3 + an 的前 n 项和为 n ，若 911 = ，则一定有（ ）2
A． S11 = 1 B． a6 = 2 C． S6 = S5 D． S7 = S5
【答案】C
【解析】因为数列 an 是等差数列，
S a3 + a所以 911 = = a2 6
=11a6
解得 a6 = 0，
所以 S6 = S5 ，
故选：C
Sn n n -1
a
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an , bn 的前 项和分别为 S
6
n ,Tn ，且 =T n +1 ，则
=
n b
（ ）
8
5 7 11 5
A． B． C． D．
16 16 16 8
【答案】D
2
【解析】因为 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，所以可设 Sn = An + Bn，（等差数列前 n项和的二级结论）
2
同理因为Tn 为等差数列 bn 的前 n项和，所以可设Tn = Cn + Dn ．
Sn n -1 n An + B = An + B n -1又 ，所以 = = ，即 An + B n +1 = Cn + DT n 1
n -1
n + n Cn
，
+ D Cn + D n +1
2 2
整理得 An + A + B n + B = Cn + D - C n - D，解得 A = -B = C = D ．
a 5
不妨设 Sn = n n -1 ，则Tn = n n +1 a = S 6，则 6 6 - S5 =10,b8 = T8 -T7 =16 ，故 =b 8 ，8
故选：D．
5．（2024·全国·模拟预测）在数列 an 中， a1 = 20，对任意正整数n,an+1 = an - 3，则数列 an 的前 n项和 Sn 的最
大值为（ ）
A．77 B．76 C．75 D．74
【答案】A
【解析】因为 an+1 = an - 3，即 an+1 - an = -3，所以 an 为等差数列，且公差为-3．又 a1 = 20，
所以 an = 23- 3n，所以数列 an 单调递减数列，
所以 a1 > a2 >L > a7 > 0 > a8 > a9 >L，
S S 7 20 7 6所以 7 最大，且 7 = + -3 = 77．2
故选：A．
6．（2024·山东济南·二模）已知等差数列 an 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为
290，则该数列的中间项为（ ）
A． 28 B． 29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】设等差数列 an 共有 2n +1项，
则 S奇 = a1 + a3 + a5 +L+ a2n+1， S = a2 + a4 + a +L+ a偶 6 2n ，中间项为 an+1，
故 S奇 - S = a1 + a3 - a2 + a5 - a4 +L+偶 a2n+1 - a2n
= a1 + d + d +L+ d = a1 + nd = an+1，
an+1 = S奇 - S = 319 - 290 = 29偶 ，
故选：B.
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 an 是等差数列， Sn 是其前 n项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若 an = 2n - 25，则 Sn 取最小值时 n的值为 12
B．若 an = -3n + 27，则 Sn 的最大值为 108
C．若 S13 = S17 ，则必有 S30 = 0
D．若首项 a1 > 0， S6 = S12 ，则 Sn 取最小值时 n的值为 9
【答案】D
【解析】对于 A，因为 an = 2n - 25，所以 a1 = -23，
n -23 + 2n - 25 2
所以 S 2n = = n - 24n = n -12 -144 ，2
所以当 n =12 时， Sn 取得最小值，正确；
对于 B，因为 an = -3n + 27，所以a1 = 24 ，
n 24 - 3n + 27 3 2 51 3 é 17 2 289 ù
所以 Sn = = - n + n = - ê n - ÷ - ú ，2 2 2 2 êè 2 4 ú
3 51
所以当 n = 8或n = 9 时， Sn 取得最大值为 S8 = - 64 + 8 =108，正确；2 2
对于 C，若 S13 = S17 ，则 S17 - S13 = a17 + a16 + a15 + a14 = 0，又 a17 + a14 = a16 + a15，
a + a = 0 S 30(a1 + a30 ) 30(a16 + a所以 15
)
16 15 ，所以 30 = = = 0，正确；2 2
对于 D，若 a1 > 0，S6 = S12 ，则 S12 - S6 = a12 + a11 + a10 + a9 + a8 + a7 = 0，
又 a12 + a7 = a11 + a8 = a10 + a9 = 0
2
，所以 a10 + a9 = 0，所以 d = - a17 1
< 0，
所以等差数列 an 为递减数列，所以 a1 > a2 >L > a9 > 0 > a10 > a11 >L，
所以 Sn 取最大值时 n的值为 9，错误.
故选：D
8．（2024·全国·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 a1 > 0, S9 = -a5 ，则使得 Sn an 的 n的取值范
围为（ ）
A．1 n 5,n N* B．1 n 9, n N*
C．1 n 10, n N* D．5 n 9,n N*
【答案】C
S = -a 9(a1 + a9 )【解析】方法一：因为 9 5，所以 = 9a5 = -a5 ，得到 a5 = S = 0，2 9
设等差数列 an 的公差为d ，由 a5 = a1 + 4d = 0，得到 a1 = -4d ，又 a1 > 0，所以 d < 0 ，
a = a + (n -1)d = (n - 5)d S na n(n -1) d 2所以 n 1 ， n = 1 + d = (n - 9n)，2 2
又 a1 = S1, S10 = S9 + a10 = a10，
令 y1 = (x - 5)d , y
d
2 = (x
2 - 9x)，其图象如图所示
2
结合等差数列的前 n 项和及通项的函数特征，
由图知，n *的取值范围是1 n 10 n N ．
方法二：由条件 S9 = -a5得9a5 = -a5，即 a5 = S9 = 0．
因为 a1 > 0，所以 d < 0 ，并且有 a5 = a1 + 4d = 0，
所以 a1 = -4d ．
由 Sn a na
n(n -1)
n ，得 1 + d a1 + (n -1)d ，2
2
整理得 n - 9n d (2n -10)d ．
因为 d < 0 ，所以 n2 - 9n 2n -10，
即 n2 -11n +10 0 ，解得1 n 10，
所以 n 的取值范围是1 n 10 n N* ，
故选：C.
二．多选题
S 4n
9．（2023· 2n重庆沙坪坝·模拟预测）等差数列 an 与 bn 的前 n项和分别为 Sn 与Tn ，且 =Tn 3n +1
，则（ ）
A．当 an = 2n -1时，T4 = 52 B．当 Sn = n
2
时，bn = 3n -1
C． 4 a4 + a7
a + a
= 5b D 4 113 ． > 2b4
【答案】AC
n a + a
A a = 2n -1 S 1 n n 1+ 2n -1 2【解析】对于 ：因为 n 所以 n = = = n2， S2 2 2n
= 4n
S2n 4n
代入 = 得Tn = n(3n +1) TT 3n +1 ，所以 4
= 52，故 A 正确.
n
ì T1, n =1
对于 B：由 A 知Tn = n(3n +1) ，由bn = í 得 b = 6n - 2T ，故 B 不正确. n -T
n
n-1, n 2
2n(a1 + a2n )
S2n 4n 2 2(a1 + aC = = = 2n
)
对于 ：由
T 3n +1 n(b1 + b )
，
n n b1 + bn
2
S10 4 5 2(a= = 1 + a10 ) 5 2(a + a )所以 = = 4 7 ，所以 4 a4 + aT 3 5 1 b b 4 2b 7 = 5b + + 3 ，故 C 正确.5 1 5 3
2n(a1 + a2n )
S
D C 2n
4n 2(a1 + a2n )
对于 ：由 知 = = 2
T n(b
=
+ b ，
n 3n +1 1 n ) b1 + bn
2
2 7(a1 + a14 )
S14 4 7 2 2(a1 + a14 ) 2(a4 + a11) a4 + a11 14所以 = = 7(b b ) = = = = < 2+ ，故 D 不正确.T7 3 7 +1 1 7 b1 + b7 2b4 b4 11
2
故选：AC
10．（2024 江苏·阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
A．若 a ìSn ün 为等差数列，它的前 n项和为 Sn ，则数列 í 也是等差数列
n


B．若 an 为等差数列，它的前 n项和为 Sn ，则数列 Sn ， S2n ， S3n ，L也是等差数列
S n +1
C 奇．若等差数列 an 的项数为 2n n >1 ，它的偶数项和为S偶，奇数项和为 S ，则 =奇 S n
偶
D．若等差数列 a S n +1n 的项数为 2n +1 n > 1 奇，它的偶数项和为S S =偶，奇数项和为 奇，则 S n
偶
【答案】AD
Sn a d (n -1) d
S
= + = n + a d- ì n ü【解析】对于 A， n 1 2 2 1 2 ÷，数列 í 是等差数列，故正确；è n
对于 B， Sn ， S2n - Sn ， S3n - S2n 是等差数列，故错误；
a2 + a ×n a + a × n对于 C， S = 2n = na ， S 1 2n-1n+1 ，偶 2 奇 = = na2 n
S奇 a= n所以 S a ，故错误；
偶 n+1
a2 + a2n ×n a1 + aD S na S 2n+1 n +1 对于 ， = = n+1， 奇 = = n +1偶 a ，2 2 n+1
S奇 n +1
所以 =S n ，故正确；
偶
故选：AD.
11．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 4 ， S7 = 42，则下列说法正确的是（ ）
A． a5 = 4 S
1 n2 5B． n = + n2 2
ìa ü 1 4
C． í n 为递减数列 D．{ }n a a 的前
5 项和为
n n+1 21
【答案】BC
7(a + a )
【解析】等差数列 an 中， S7 = 1 7 = 7a4 = 42，解得 a2 4 = 6，而 a2 = 4 ，
d a4 - a因此公差 = 2 = 1，通项an = a2 + (n - 2)d = n + 2 ，4 - 2
对于 A， a5 = 7 ，A 错误；
n(3 + n + 2) 1 2 5
对于 B， Sn = = n + n，B 正确；2 2 2
a 2 a
对于 C， n =1+ ，{ n }为递减数列，C 正确；
n n n
1 1 1 1 1
对于 D， = = -a a (n + 2)(n + 3) n + 2 n + 3 ，所以
{ }
a a 的前 5 项和为n n+1 n n+1
1 1 1 1
- + - +L 1 1 1 1 5+ - = - = ，D 错误.
3 4 4 5 7 8 3 8 24
故选：BC
三．填空题
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 an 和
S n + 3
bn n的前 n 项和分别为 Sn 和Tn ，且 =T n -1 ，则n
a3 =
b ．4
4
【答案】
3
【解析】因为等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 Sn 和Tn ，
Sn n + 3 kn n + 3
故可设 = = k 0 T n 1 kn n 1 ，n - -
所以 Sn = kn(n + 3),Tn = kn(n -1), k 0，
a3 S3 - S2 18k -10k 8k 4
所以 = = = =b4 T4 -T3 12k - 6k 6k 3
.
4
故答案为： .
3
S 13 S
12．（2024· 7 15广东深圳·模拟预测）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 = =S6 11
，则 S ．11
645
【答案】
451
【解析】设数列 an 的公差为d ，
Q S7 7a= 1 + 21d 13= ，\a1 = 36dS ，6 6a1 +15d 11
S15 15a= 1 +105d 645则 =S11 11a1 + 55d 451
，
645
故答案为： .
451
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知等差数列 an 的项数为奇数，且奇数项的和为 40，偶数项的和为 32，则
a5 = .
【答案】8
【解析】设等差数列{an}有奇数项 k +1项， (k N *)，偶数项为 k 项，公差为d ．
Q奇数项和为 40，偶数项和为 32，\40 = a1 + a3 + + a2k +1 ，32 = a2 + a4 + + a2k ，
\ 40 (k +1)(a= 1 + a2k +1) k a + a= (k +1)a 2 2k
2 k +1，32 = = k × a2 k +1
40 k +1
即 = ，解得： k = 4
32 k
即等差数列{a } 9 a + a共 项，且 S = 1 9 9n 9 = 9a5 = 725
\a5 = 8
故答案为：8
四．解答题
14．（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a5 + a9 = -2， S3 =57 .
（1）求数列 an 的通项公式 an ；
（2）求数列 an 的前 n项和Tn .
ì 25n - 2n2 , (n 6,n N *)
【答案】（1） an = 27 - 4n ；（2）Tn = í .
2n
2 - 25n +156,(n 7,n N *)
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，
ìa + a = 2a
∴ 5 9 1
+12d = -2 ìa1 = 23
íS ，解得 ， 3 = 3a
í
1 + 3d = 57 d = -4
∴ an = a1 + (n -1)d = 27 - 4n .
27
（2）由（1）知： an < 0，则 27 - 4n < 0，得 n > ，又4 n N
* ，
∴ n 7 时， an < 0，而1 n 6， an > 0，
n ìa1 + ... + an , (n 6,n N
*) 6 5
∴数列 an 的前 项和Tn = í ，而 S = 6 23 + (-4) = 78， S = 25n - 2n2，
a1 + ... + a6 - (a7 + ... + an ), (n 7,n N
*) 6 2 n
ì25n - 2n2 , (n 6,n N *)∴ a7 + ... + an = Sn - S6 = 25n - 2n2 - 78，故Tn = í 2 .
2n - 25n +156,(n 7,n N
*)
16．（22-23 高三下·河南·阶段练习）已知数列 an 满足 nan - n -1 an+1 =1．
(1)证明： an 是等差数列；
(2)若 a4 - a2 = 4，求数列 an -8 的前 n 项和Tn ．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 n 4时，Tn = 8n - n
2
；当 n 5时，Tn = n
2 -8n + 32
【解析】（1）由 nan - n -1 an+1 =1，①
当 n 2时， n -1 an-1 - n - 2 an =1．②
①-②，得 2n - 2 an - n -1 an-1 + an+1 = 0，
又n 1，则 2an = an-1 + an+1．
即 an+1 - an = an - an-1 n 2 ，
故数列 an 是等差数列．
（2）由 nan - n -1 an+1 =1，令 n =1得 a1 =1，
由 a4 - a2 = 4，可知等差数列 an 的公差 d = 2，所以 an = 2n -1．
设bn = an -8 = 2n - 9，则数列 bn 为递增数列，其前 4 项为负，从 5 项开始为正，
设bn 的前 n 项和为Pn，
若 n 4，Tn = b1 + b2 + ×××+ bn = - b1 + b2 + ×××+ bn = -Pn = 8n - n2 ．
若 n 5，
Tn = a1 + a2 + ×××+ an = - a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ×××+ an = -P4 + P 2n - P4 = Pn - 2P4 = n -8n + 32．
2 2
综上，当 n 4时，Tn = 8n - n ；当 n 5时，Tn = n -8n + 32 ．
17．（23-24 江苏泰州 ）记数列 an 的前 n *项和为 Sn ， a1 = -7， a2 = -6， an+1 = kan +1 n N ,k R .
(1)证明数列 an 为等差数列，并求通项公式 an ；
(2)记Tn = a1 + a2 + a3 +L+ an ，求T20 .
【答案】(1)证明见解析， an = n - 8
(2)T20 =106
【解析】（1）证明：Q a1 = -7 ， a2 = -6， an+1 = kan +1，则 a2 = ka1 +1，即-6 = -7k +1，解得 k =1，
所以， an+1 = an +1，即 an+1 - an =1，
所以，数列 an 是以 -7 为首项，以1为公差的等差数列，故 an = -7 + n -1 = n -8 .
8 - n, n 8
（2）解： an = n -8
ì
= í
n
，
-8, n 9
8 7 + 0 12 1+12
所以，T20 = a1 + a2 + a3 +L+ a20 = + = 28 + 78 =106 .2 2
18．（2024·黑龙江·模拟预测）已知数列{an}满足 a1 = 511， 4an = an-1 - 3(n 2) .
（1）求证：数列{an +1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2） 令bn = log2 (an +1) ，求数列{bn}的前 n项和 Sn .
ì10n - n2 , n 5
【答案】（1） an = 2
11-2n -1；（2） Sn = í 2
n -10n + 50,n 6
1 3 1
【解析】（1）证明：由 an = an-1 - 知 an +1 = a +1 ，4 4 4 n-1
a +1 1所以数列 n 是以512为首项， 为公比的等比数列.4
a +1 = 211-2n则 n ， an = 2
11-2n -1.
（2）bn = 11- 2n ，
设数列 11- 2n 2前 n项和为Tn ，则Tn =10n - n ，
当 n 5时， Sn = Tn =10n - n
2
；
当 n 6 2时， Sn = 2S5 -Tn = n -10n + 50；
ì 10n - n2 , n 5
所以 Sn = í 2 .
n -10n + 50,n 6
19．（2024·福建泉州）已知数列 an 的通项公式为 an = 2n + 4，数列 bn 的首项为b1 = 2 .
(1)若 bn 是公差为 3 的等差数列，求证： ab 也是等差数列；n
(2)若 ab 是公比为 2 的等比数列，求数列 bn 的前 n项和.n
【答案】(1)证明见解析.(2) 2n+2 - 2n - 4 .
【解析】(1)因为数列 bn 的首项为b1 = 2， bn 是公差为 3 的等差数列，所以bn = 2+3 n -1 = 3n -1，
所以 ab = 2bn + 4 = 2 3n -1 +4 = 6n+2，n
所以 ab - ab = 6 n+1 +2 - 6n+2 = 6 ，所以数列 an +1 n b 是以 6 为公差的等差数列；n
(2)因为 ab 是公比为 2 的等比数列，又数列 bn 的首项为b1 = 2， an = 2n + 4，所以 ab = a2 = 2 2+4 = 81 ，n
a n-1 n+2所以 b = 8 2 = 2 ，n
又因为 an = 2n + 4
n+2 n+1
，所以 ab = 2bn n + 4，所以 2bn + 4 = 2 ，解得bn = 2 - 2 ，
2 n+2
所以b1+b2 +b3 +L+b = 21+1n - 2 + 22+1 - 2 + 23+1 - 2 +L 2n+1 - 2 2 - 2= 22 +23 +L+2n+1 - 2n = - 2n1- 2
= 2n+2 - 2n - 4 ，所以数列 bn 的前 n项和为 2n+2 - 2n - 4 .5.1 等差数列
考点一 等差数列基本量的计算
【例 1-1】（2024·云南·模拟预测）已知等差数列 an 满足： a1 =1, a8 + a10 =18, Sn 为数列 an 的前 n项和，则 S9 =
（ ）
A．18 B．45 C．90 D．180
【例 1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知在单调递增的等差数列 an 中，a3与 a7的等差中项为 8，且 a2 × a8 = -17，
则 an 的公差 d =（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【例 1-3】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 3， a2n = 2an +1，若 Sn + an+1 =100，
则 n =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【一隅三反】
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 =15,a4 = 9，则 a5 = （ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
2．（2024·全国·高考真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 S5 = S10 ， a5 =1，则 a1 =（ ）
7 7 1 7
A． B． C．- D．-
2 3 3 11
3．（2023·全国·高考真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和．若a2 + a6 = 10,a4a8 = 45，则 S5 =（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
4．（2024·重庆·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若 S4 = 20， S6 =12S2 ，则 S8 =（ ）
A．40 B．60 C．76 D．88
5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S3 = 9， S15 =180，则 a10 = （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
考点二 等差中项的性质
【例 2-1】（23-24 浙江杭州·期中）在VABC 中，三个内角 A, B,C 成等差数列，则 sin A + C =（ ）
A 1 B 2 C 3． 2 ． ． D．12 2
【例 2-2】（23-24 高二下·北京·期中）等差数列 an 中，设前 n项和为 Sn ， a9 = 5，则 S17 等于（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【例 2-3】（2024·全国·模拟预测）设 a > 0，b > 0，若 ln 3 是 ln 3a b
2 1
与 ln 9 的等差中项，则 + 的最小值为（ ）a b
A．6 B．8 C．9 D．12
【一隅三反】
1．（2024·辽宁·二模）记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a7 = 6，则 S13 =（ ）．
A．13 B．26 C．39 D．78
a
2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知数列 a 是等差数列， a + a + a = 5π ，则 tan 1 + a7n 2 4 6 =（5 ）
A 3． 3 B．- 3 C． D 3．-
3 3
l og4 a1 +a2 +L+a11
3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列 an 1 中，已知a 23与 a9 是方程2x - x + m = 0的两根，则 ÷ =
è 2
（ ）
11 2 11 11 11A． B． C． D．
11 11 4 2
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an 满足 a1a3 + a2a7 + a3a9 + a7a8 =100，则 a5 = （ ）
5 5 5
A． B．5 C．5 或－5 D． 或-
2 2 2
考点三 等差数列片段和的性质
【例 3-1】（2023·广东深圳·二模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S10 = 20， S20 =10，则 S30 = （ ）
A．0 B．-10 C．-30 D．-40
【例 3-2】（2023·四川乐山·一模）设等差数列 an 的前 n项和 Sn ，若 S3 = 9， S6 = 36，则 a7 + a8 + a9 =（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
S 1 S
【例 3-3 3 6】（23-24·广东揭阳·期末）设 Sn 是等差数列 an 的前 n项和，若 = =S 3，则 S （ ）6 12
3 1 1 1
A． B． C． D．
10 3 8 9
【一隅三反】
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S4 = 2， S8 =12，则 S20 =（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
2．（23-24 广东深圳·期末）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， S4 =1， S8 = 4，则 a17 + a18 + a19 + a20 =（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
S 1 S
3（23-24 5 10高三上·河北·期末）设 Sn 是等差数列 an 的前 n项和，若 =S 3 ，则 =S （ ）10 20
3 3 3 3
A． B． C． D．
7 10 11 14
4．（2024·青海海东 ）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S10 = 110 ， S110 =10，则 S120 = （ ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
考点四 等差数列前 n 项和与 n 的比
S S
【例 4-1】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列 an 的前 n项和为 S ，且 7n - 3 = 4，则 a9 - a6 =（ ）7 3
A． 2 B．3 C． 4 D．6
【例 4-2】（2024 贵州毕节 ）等差数列 an 的前 n项和为 S
S
，若 2021
S
= 2020n +1且 a1 = 3，则(2021 2020 )
A． an = 2n +1 B． an = n +1
C 2 2． Sn = 2n + n D． Sn = 4n - n
【一隅三反】
1．（22-23 高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列 an 中， Sn 为其前 n项和．若 S2023 = 2023，且
S2021 S- 20 = 2001，则 a 等于（ ）
2021 20 1
A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018
S S
2．（2024·新疆·模拟预测）在等差数列 an 中， a1 = -2018，其前 n 项和为 S ，若 12 - 10n = 2，则 S2020 =（ ）12 10
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
S S
3．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 = -10， 8 - 7 =1，则 S9 = ．8 7
考点五 两个等差数列的前 n 项和之比
S 3n + 5 a
【例 5-1】（2024·河南新乡·一模）设等差数列 an ， bn 的前 n n 8项和分别为 Sn ，Tn ，若 = =Tn 4n - 2
，则 b8
（ ）
25 35 55 25
A． B． C． D．
28 39 58 29
S 2n + 70
【例5-2】（22-23高二上·江苏宿迁·期中）已知两个等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为Sn和Tn n，且 T = ，n n + 3
a7
则 b 的值为（ ）6
48 42 84 1
A． B． C． D7 9 ．5 4
S
【例 5-3】（2024·湖北武汉·三模）设公差不为零的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a4 = 2a 75 ，则 =S （ ）4
7 5
A． B．-1 C．1 D．
4 4
【例 5-4】（23-24 陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 an 与等差数列 bn 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ,
Sn 5n + 3 a3 a9
且 = + =T2n-1 4n - 2
, 则 b （ ）11 b11
29 29 58 58
A． B． C11 ． D．21 21 11
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）设等差数列 an 与等差数列 bn 的前 n 项和分别为 Sn ，Tn .若对于任意的正整数 n 都
Sn 2n +1 a8
有 = =T 3n -1 ，则 b （ ）n 9
35 31 31 35
A． B． C． D．
52 50 48 46
S 2n a + a
2．（23-24 黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列 an ， bn n 2 8的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，若 =T 3n +1，则 =n b3 + b5
（ ）
9 7 10 9
A． B． C． D．
11 11 13 14
3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，若对任意正整数 n都有
Sn 2n - 3 a3 a= + 9 =
Tn 4n - 3
，则 b + b （ ）4 8 b5 + b7
3 5 19 19
A． B． C． D． E．均不是
7 21 41 40
4．（2024·河北衡水·三模）已知数列 an ， bn 均为等差数列，其前 n项和分别为 Sn，Tn ，满足
a + a + a
(2n + 3)S = (3n -1)T 7 8 9n n，则 =b + b （ ）6 10
A．2 B．3 C．5 D．6
考点六 等差数列前 n 项和的最值
【例 6-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 an 中， a1 > 0， S7 = S9 ，则使得前 n 项的和最大的 n 值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【例 6-2】（2024·四川南充·三模）设为 Sn 等差数列 an 的前 n 项和，已知 S1、 S2 、 S4 成等比数列， S2 = 2a1 + 2，
当6an - Sn 取得最大值时， n =（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例 6-3】（2024·山东泰安·三模）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和， a1 = -21， S7 = S15 ，则 Sn 的最小值为
（ ）
A．-99 B． -100 C．-110 D． -121
【例 6-4】（23-24 天津和平·期末）若 an 是等差数列， Sn 表示 an 的前 n 项和， a3 + a8 > 0, S9 < 0，则 Sn 中最
小的项是（ ）
A． S4 B． S5 C． S6 D． S7
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若3a10 + a12 < 0 ， a8 + 3a12 > 0 ，则当 Sn 取最小值
时， n =（ ）
A．9 B．10 C．10 或 11 D．11
2．（2024·湖北·二模）已知公差为负数的等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a3 , a4 , a7 是等比数列，则当 Sn 取最大
值时， n =（ ）
A．2 或 3 B．2 C．3 D．4
3．（2024 全国·期末）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S9 < S6 < S10 ，则当 Sn 取得最小值时，n 的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
4．（2024·辽宁·二模）（多选）设 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和.且 S5 < S6 ， S6 = S7 > S8，则下面结论正确
的是（ ）
A． d 0 B． a7 = 0
C． S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 D．满足 Sn < 0的 n 的最小值为 14
考点七 等差数列奇数项或偶数项的和
【例 7-1】（23-24 高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 an 的项数为 2m +1 m Ν* ,其中奇数项之和为
140, 偶数项之和为 120,则m = ( )
A．6 B． 7 C．12 D．13
【例 7-2】（2023·重庆·二模）已知等差数列 an 的前 30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为 B ，且 B - A = 45，
2A = B + 615，则 an =（ ）
A．3n - 2 B．3n -1 C．3n +1 D．3n + 2
【例 7-3】（2024 上海徐汇·期末）设等差数列的项数 n为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
n -1 2n +1 2n +1 n +1
A． B． C． D．
n n 2n n -1
【一隅三反】
1．（22-23 四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有 2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为 24 和 30，且末项比
首项大 10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．20
2．（2024 广东）在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 等于
（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
3．（2024 广东深圳 ）等差数列 an 共有 2n +1项，其中奇数项之和为 4，偶数项之和为3，则 n的值是
A．3 B．5 C． 7 D．9
4．（2024 浙江宁波·期中）一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为32 : 27，则
公差 d 为 .
考点八 等差数列定义及含绝对值的求和
【例 8-1】（2023·吉林·一模）已知数列{an} ,点 (n, an )在直线 y = 3x - 22上.
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）设bn =| an |，求数列{bn}的前 20 项和 S20 .
【例 8-2】（2024 吉林长春·一模）已知数列{an}的通项公式为 an = 2n -11.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2) 令bn =| an |，求数列{bn}的前10项和 S10 .
【一隅三反】
S a n a 4, S 20 ìS1 23-24 n ü．（ 高三下·四川绵阳·阶段练习）设 n 为数列 n 的前 项和，已知 2 = 4 = ，且 í 为等差数
n
列．
(1)求证：数列 an 为等差数列；
b a
(2)若数列 bn 满足b1 = 6 n+1，且 = nb a ，求数列 bn 的前 n项和Tn ．n n+2
S - n 1
2．（2024·山西·二模）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 = 4 ， n = a ．n 2 n
(1)求证：数列 an 是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列 bn 的前 n 项的和Tn ．
① bn = an -11 ；
② bn = a2n-1a2n - a2na2n+1 ．
一．单选题
1．（2024 高三下·全国·专题练习）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a3 =1， a7 + a8 + a9 =12 ，则 S10 =
（ ）
A．50 B．40 C．30 D．25
2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， S3 = 9， S9 =18，则 S12 =（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
a + a
3．（2024·宁夏银川·三模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S = 3 911 ，则一定有（2 ）
A． S11 = 1 B． a6 = 2 C． S6 = S5 D． S7 = S5
a
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 an ,
S
n n -1bn 的前 项和分别为 Sn ,T
n 6
n ，且 = =Tn n +1
，则 b （ ）8
5 7 11 5
A． B． C． D．
16 16 16 8
5．（2024·全国·模拟预测）在数列 an 中， a1 = 20，对任意正整数n,an+1 = an - 3，则数列 an 的前 n项和 Sn 的最
大值为（ ）
A．77 B．76 C．75 D．74
6．（2024·山东济南·二模）已知等差数列 an 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为
290，则该数列的中间项为（ ）
A． 28 B． 29 C．30 D．31
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 an 是等差数列， Sn 是其前 n项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若 an = 2n - 25，则 Sn 取最小值时 n的值为 12
B．若 an = -3n + 27，则 Sn 的最大值为 108
C．若 S13 = S17 ，则必有 S30 = 0
D．若首项 a1 > 0， S6 = S12 ，则 Sn 取最小值时 n的值为 9
8．（2024·全国·模拟预测）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 a1 > 0, S9 = -a5 ，则使得 Sn an 的 n的取值范
围为（ ）
A．1 n 5,n N* B．1 n 9, n N*
C．1 n 10, n N* D．5 n 9,n N*
二．多选题
S 4n
9．（2023· 2n重庆沙坪坝·模拟预测）等差数列 an 与 bn 的前 n项和分别为 Sn 与Tn ，且 =T 3n +1，则（ ）n
A．当 an = 2n -1时，T4 = 52 B S = n
2
．当 n 时，bn = 3n -1
C 4 a + a a + a= 5b D 4 11． 4 7 3 ． > 2b4
10．（2024 江苏·阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
ìS
A n
ü
．若 an 为等差数列，它的前 n项和为 Sn ，则数列 í 也是等差数列
n
B．若 an 为等差数列，它的前 n项和为 Sn ，则数列 Sn ， S2n ， S3n ，L也是等差数列
S奇 n +1C．若等差数列 an 的项数为 2n n >1 ，它的偶数项和为S偶，奇数项和为 S ，则 =奇 S n
偶
S
D 奇
n +1
．若等差数列 an 的项数为 2n +1 n > 1 ，它的偶数项和为S偶，奇数项和为 S奇，则 =S n
偶
11．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 4 ， S7 = 42，则下列说法正确的是（ ）
A a = 4
1
B S = n2
5
． 5 ． n + n2 2
ìa
C． í n
ü 1 4
为递减数列 D．{ }n a a 的前
5 项和为
n n+1 21
三．填空题
S n + 3
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 an 和 bn n的前 n 项和分别为 Sn 和Tn ，且 =T n -1 ，则n
a3 =
b ．4
12．（2024·广东深圳·模拟预测）设 Sn 是等差数列
S7 13 Sa 15n 的前 n 项和，若 =S 11，则
=
S ．6 11
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知等差数列 an 的项数为奇数，且奇数项的和为 40，偶数项的和为 32，则
a5 = .
四．解答题
14．（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a5 + a9 = -2， S3 =57 .
（1）求数列 an 的通项公式 an ；
（2）求数列 an 的前 n项和Tn .
16．（22-23 高三下·河南·阶段练习）已知数列 an 满足 nan - n -1 an+1 =1．
(1)证明： an 是等差数列；
(2)若 a4 - a2 = 4，求数列 an -8 的前 n 项和Tn ．
17．（23-24 江苏泰州 ）记数列 an 的前 n *项和为 Sn ， a1 = -7， a2 = -6， an+1 = kan +1 n N ,k R .
(1)证明数列 an 为等差数列，并求通项公式 an ；
(2)记Tn = a1 + a2 + a3 +L+ an ，求T20 .
18．（2024·黑龙江·模拟预测）已知数列{an}满足 a1 = 511， 4an = an-1 - 3(n 2) .
（1）求证：数列{an +1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2） 令bn = log2 (an +1) ，求数列{bn}的前 n项和 Sn .
19．（2024·福建泉州）已知数列 an 的通项公式为 an = 2n + 4，数列 bn 的首项为b1 = 2 .
(1)若 bn 是公差为 3 的等差数列，求证： ab 也是等差数列；n
(2)若 ab 是公比为 2 的等比数列，求数列 bn 的前 n项和.n

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