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5.2 等比数列
考点一 等比数列基本量的计算
【例 1-1】（2024·安徽滁州·三模）已知 an 是单调递增的等比数列， a4 + a5 = 24, a3a6 =128，则公比q的值是
（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【例 1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）等比数列 an 中， a1 + a4 = 0 ， a2 = -2，记 Sn 为 an 的前 n 项和，则 S4 =
（ ）
A．-8 B．-5 C．-4 D．0
【例 1-3】（2024·福建福州·模拟预测）等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 an > 0， q > 1 ， a3 + a5 = 20，
a2 × a6 = 64，则 S5 =（ ）
A．30 B．31 C．62 D．63
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 =1， S9 = 73S3，则 a4 =（ ）
A．-8或 9 B．8 或-9 C．8 或 9 D．-8或-9
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S3 =14,a3 = 2，则 a4 =（ ）
2 2 2
A．1 B． 或-1 C．- D3 ．- 或 13 3
3．（2024·浙江·三模）设 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，已知 S3 = a4 - 2，S = a - 2 ，则公比 q =2 3
（ ）
1
A．2 B．-2 C 1． 2 D．- 2
1
4．（2024·山东·模拟预测）设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ， a3 = a2 + a4 ， a7 = S6 + 3，则 a1 =（ ）4
A．3 B．-3 C．2 D．-2
5．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 a 的前 n项和为 S , a + a = 30, S =120，则其公比 q =n n 1 3 4 （ ）
A．1 B． 2 C．3 D．-3
考点二 等比中项的性质
【例 2-1】（2024·四 川巴中·一模）已知 a = 5 + 2 6 ， c = 5 - 2 6 ，若 a，b，c 三个数成等比数列，则b =（ ）
A．5 B．1 C． -1 D． -1或 1
【例 2-2】（2024·浙江金华·三模）已知 bn 是等比数列，若b2 = 3，b6 = 27 ，则b4的值为（ ）
A．9 B．-9 C．±9 D．81
【例 2-3】（23-24 高二下·辽宁辽阳·期中）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2a4 + 2a3a5 + a4a6 =16 ，则
a3 + a5 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
π π
【例 2-4】（2024·江苏南通·二模）若 cosa ， cos(a - )， cos(a + )6 成等比数列，则 sin 2a =（　　）3
A 3
1 1
． B 3．- C． D．-
4 6 3 4
【一隅三反】
1 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知数列 an 满足 an+1 = anan+2 ，若 a2 =1，a8 = 9，则 a5 = （ ）
A．-3 B． ±3 C．3 D．5
2．（23-24· 2上海·阶段练习）已知数列 an 是等比数列，且 a3 + a5 = 3，则 a2a4 + 2a4 + a4a6 的值为 .
3．（23-24 上海·期中）正项等比数列 an 中， a1与 a4039 是 f (x) x m ln x
9
= - - (m R) 的两个极值点，则
x
log 3 a2020 = .
4．（2024·湖南株洲·一模）在非直角VABC 中， tanA、 tanB、 tanC 成等比数列，则 B 的取值范围是
考点三 等比数列片段和的性质
【例 3-1】（2024·四川内江·三模）在等比数列 an 中， Sn 为其前 n项和，若 S10 = 5, S20 =15，则 S30的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
S12
【例 3-2】（23-24 湖北恩施·期中）设 Sn 是等比数列 an 的前 n项和，若 S3 = 4, a4 + a5 + a6 = 8，则 =S （ ）9
15 7 7
A． B． C．5 D．
7 3 15
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S8 = 8, S12 = 26，则 S4 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S8 + S24 =140，且 S24 =13S8 ，则 S16 =
（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30 或 40
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S4 = 4，则S2 +S6的最小值为（ ）
A．8 B．8 2 - 4 C．8 2 D．10
考点四 等比数列前 n 项和的最值
【例 4-1】．（23-24 陕西渭南·期末）设等比数列 an 的公比为q，其前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，若 a1 >1，
0 < q <1，且 a2023 -1 × a2024 -1 < 0，则下列结论正确的是（ ）
A． S2024 - S2023 > 0 B． a2023a2025 <1
C．数列 Tn 中的最大值是T2023 D．数列 Tn 无最大值
【一隅三反】
1．（23-24 高三上·广东深圳·阶段练习）设公比为q的等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，且 a1 >1，
a
a 2023
-1
2023a2024 >1， < 0a -1 ，则下列结论正确的是（ ）2024
A．0 < q <1 B． S2023S2024 -1 > 0
C．T2024 是数列 Tn 中的最大值 D．T2023是数列 Tn 中的最小值
a2024 -12．（23-24 高三上·江西·期中）在等比数列 an 中， a1 >1， a2023a2024 > 0， < 0a -1 ，若 Sn 为 an 的前 n项和，2023
Tn 为 an 的前 n项积，则（ ）
A． an 为单调递增数列 B． S2023 < S2024
C．T2023为 Tn 的最大项 D． Tn 无最大项
3．（22-23 高三上·福建三明·期中）设等比数列 an 的公比为q，其前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，并满足条件
a -1
a1 >1, a a >1
2019
2019 2020 ， < 0a -1 ，则下列结论正确的是（ ）2020
A． S2019 > S2020 B．T2020 是数列 Tn 中的最大值
C． a2019a2021 -1< 0 D．数列 Tn 无最大值
考点五 等比数列奇数项或偶数项的和
1
【例 5-1】（2024 湖北）已知等比数列{an}的公比 q = ，且 a1 + a3 + a5 + ×××+ a99 = 60，则 a1 + a2 + a + a × × × +a3 3 4 100
等于（ ）
A．100 B．80 C．60 D．40
【例 5-2】（2024 山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列 an ，所有项之和为所有偶数项之和的 4
倍，前 3 项之积为 64，则 a1 =（ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【一隅三反】
1．（2024·浙江宁波·三模）等比数列的首项为 1，项数是偶数，所有得奇数项之和为 85，所有的偶数项之和为
170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2024 湖北·期末）已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 341，偶数项之和为 682，则
这个数列的项数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2024 安徽芜湖·一模）等比数列 an 共有 2n +1项，其中 a1 =1，偶数项和为170，奇数项和为341，则 n =
A．3 B． 4 C． 7 D．9
考点六 等比数列的实际应用
【例 6-1】（2024·北京房山·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步
健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走
378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该
人第三天走的路程为（ ）
A．12 里 B．24 里 C．48 里 D．96 里
【例 6-2】（23-24 高三上·广东揭阳·期末）从 2019 年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每
年的零件销售额均比上一年增加 15%，已知该企业从 2019 年到 2023 年底的零件总销售额为 202 万元，则该企
业 2019 年的销售额约为（参考数据：1.154 1.75，1.155 2.01）（ ）
A．30 万元 B．35.2 万元 C．40.4 万元 D．42.3 万元
【一隅三反】
1．（2024·天津红桥·二模）某同学于 2019 年元旦在银行存款 1 万元，定期储蓄年利率为1.75% ，以后按约定自
动转存，那么该同学在 2025年元旦可以得到本利和为（ ）
A．10000 1.01756 B．10000 1.01757
10000 1-1.75%6 10000 1-1.75%7C ． D．
1-1.75% 1-1.75%
2（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到
公元 583 年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为
主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或
复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技
术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张
完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传
承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为 l 的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，
则对折 6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
1 1
A 2． B． C 2． D．
8 8 4 4
3．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照
同款新车裸车价格，第一年汽车贬值 30%，从第二年开始每年贬值 10%，刚参加工作的小明打算用 7 万元入手
一辆 3～5 年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m N) 万，则m =
（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
4 ．（23-24 上海杨浦·阶段练习）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今
有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：
有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大 小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠
减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1 B．2 C．3 D．4
考点七 等比数列的综合运用
【例 7】（2024·新疆喀什·三模）已知数列 a *n 的首项 a1 = 3，且满足 an+1 = 2an -1（ n N ）．
(1)求证：数列 an -1 为等比数列；
ì 1 ü 1
(2)记bn = log2 an -1 ，求数列 í 的前 n项和 Sb b n ，并证明 Sn <1． n n+1 2
【一隅三反】
1
1．（2024·四川自贡·三模）已知数列 an 的前项和为 Sn ，且 Sn - nan = n(n -1)．2
(1)证明：数列 an 为等差数列；
(2)若 a5 ， a9 ， a11 成等比数列，求 Sn 的最大值．
2．（23-24 河南·期中）已知数列 an 的首项 a1 = 3，且 an+1 - 2an +1 = 0.
(1)证明: an -1 是等比数列；
(2)求数列 an log2 an -1 的前 n项和Tn .
一．单选题
S 8
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知等比数列 an 的前 n S . 3项和为 n 若 = ， a2 + a5 = 54S 9 ，则 a4 =（　　）6
A．3 B．6 C．12 D．14
2．（2024·云南曲靖·一模）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S5 = 6, S10 =18，则 S15 =（ ）
A．36 B．54 C．28 D．42
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，若 S30 = 7S10 ， S10 + S30 = 80 ，则 S20
的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
S
4 ．（2024·重庆·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若a1a2a3 = 2， a3a4a5 =10 12，则 =S （ ）6
A．2 B．4 C．5 D．6
5．（22-23 全国·单元测试）设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 S10 - 5S5 = 1，则 a11 + a12 + a13 + a14 + a15的最
小值为（ ）
A．12 B．16 C． 20 D． 25
6 2024· · a n S = 4n-1．（ 西藏林芝 模拟预测）等比数列 n 的前 项和 n + t ，则 t =（ ）
1 1 1A． -1 B．- C． 2 D．4 3
7．（2024 广东）数列{an}中， a1 = 2，对任意 m, n N
+ , a 15 5m+n = aman ，若 ak +1 + ak +2 +L+ ak +10 = 2 - 2 ，则 k =
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023·江西赣州·一模）若等比数列 an 的公比为q，其前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，并且 0 < a9 <1 < a8 ，
则下列正确的是（ ）
A． q > 1 B．0 < a1 <1
C． Sn 的最大值为 S8 D．Tn 的最大值为T8
二．多选题
9．（23-24 高三上·河南·期末）设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S = 2n+1n + a ( a为常数)，则（ ）
A． a = -1 B． a 的公比为 2 C． a = 2nn n D． S9 =1023
10．（2024·吉林·模拟预测）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚
痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天
走的路程为前一天的一半，走了 6 天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为M ，中间四天走的路程
之积为 N ，则下列说法正确的是（ ）
A．此人第一天走了全程的一半
B．此人第五天和第六天共走了 18 里路
C．5M < 378
D． N =11522
11．（23-24 ·四川绵阳·期中）等比数列 an 的公比为 q(q < 0) ，且 a4 ,a3 ,a5 成等差数列，则下列说法正确的是
（ ）
A． q = -2 B．若 a1 =1，则 a2a8 = 256
S - S
C．若 S2 = -1 S = -4 D
9 6
，则 4 ． = -2S6 - S3
三．填空题
4
12．（23-24 吉林长春·期末）已知数列 an 是等差数列，数列 bn 是等比数列， a7 + a9 = ，且b2b6b10 = 8．则3
a3 + a8 + a13 =
b b -1 ．4 8
n
13．（2024· 1 上海静安·二模）已知等比数列的前 n项和为 S = ÷ + a，则 an 的值为 ．
è 2
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 an 满足 a1 >1,2 < a9a10 +1 < a9 + a10，记
Tn = a1a2 Lan ，则使得Tn >1的最大正整数 n的值为 .
四．解答题
1 a
15．（2024· n四川绵阳·模拟预测）已知数列{an}中， a *1 = ， an+1 = 2 (n N )3 - a
.
n
(1)证明：{
1
-1}
a 是等比数列；n
1
(2)求数列{ } na 的前 项和.n
16．（2024·浙江·三模）在直角坐标平面内有线段 A1A2 ，已知点 A3是线段 A1A2 上靠近 A2的三等分点，点 A4 是线
段 A2 A3 上靠近 A3的三等分点，……，点 An+1是线段 An-1An （ n 2， n N* ）上靠近 An 的三等分点，设点 An 的横
坐标为 an .
(1)求证：数列 an+1 - an 为等比数列；
(2)若 a1 =1， a2 = 5，求 an 的通项公式.
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 an
ìa + a
a =1, a =1, n 3 a = n-1 n-2
,n为奇数
满足 1 2 当 时， n í
2an-2 +1, n为偶数
(1)求 a4和 a6，并证明当 n为偶数时 an +1 是等比数列；
(2)求a1 +a3 +a5 +......+a29
a a 318．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列 n 中， 1 = ， 2an+1 = an + n + 2．2
(1)记bn = an - n，证明： bn 为等比数列；
ì 1 ü
(2)记 Sn 为 an 的前 n项和，若 íSn + n + ln 是递增数列，求实数l 的取值范围． 2
19．（2024· n黑龙江哈尔滨·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 3an - 2 .
(1) a - 2n求证：数列 n 是等比数列；
3 n-1(2)设b nn = an + l × 2 - l +1 ×

÷ ，若 bn 是递增数列，求实数l 的范围.
è 2 5.2 等比数列
考点一 等比数列基本量的计算
【例 1-1】（2024·安徽滁州·三模）已知 an 是单调递增的等比数列， a4 + a5 = 24, a3a6 =128，则公比q的值是
（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】A
ìa + a = 24 ìa = 8 ìa =16
【解析】因为 an 是等比数列，所以 a4a5 = a3a =128 4 5 4 46 ，则 í
a4a5 =128
，解得 ía 或 í 5 =16 a 8
，
5 =
ìa4 = 8 a5
又因为 an 是单调递增的等比数列，所以 í ，所以公比 q = = 2a .故选：A. a5 =16 4
【例 1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）等比数列 an 中， a1 + a4 = 0 ， a2 = -2，记 Sn 为 an 的前 n 项和，则 S4 =
（ ）
A．-8 B．-5 C．-4 D．0
【答案】D
3
【解析】设等比数列 an 公比为q，则 a1 + a4 = a1 + a1q = 0，因为 a1 0，则 q = -1 ，又 a2 = -2，故 a1 = 2，
a3 = 2， a4 = -2，则 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 0．故选：D
【例 1-3】（2024·福建福州·模拟预测）等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 an > 0， q > 1 ， a3 + a5 = 20，
a2 × a6 = 64，则 S5 =（ ）
A．30 B．31 C．62 D．63
【答案】B
【解析】因为数列 an 为等比数列，且 an > 0， q > 1 ，所以 an 为递增数列.
a2 × a6 = a3 × a5 = 64，且 a3 + a5 = 20，所以 a3 = 4， a5 =16，所以 a1 =1， q = 2。
所以 S5 =1+ 2 + 4 + 8 +16 = 31 .故选：B
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 =1， S9 = 73S3，则 a4 =（ ）
A．-8或 9 B．8 或-9 C．8 或 9 D．-8或-9
【答案】B
a 1 S 73S 1 1- q
9 1 1- q3
【解析】依题意， q 1，因为 1 = ， 9 =

3，所以 = 73 ，
1- q 1- q
q9 - 73q3 + 72 = 0 q3 -1 q6故 ，即 + q3 - 72 = 0，即 q3 -1 q3 + 9 q3 -8 = 0，
所以 q3 = -9或 q3 = 8或 q3 =1 3 3（舍去），所以 a4 = a1 q = -9或 a4 = a1 q = 8 .
故选：B
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S3 =14,a3 = 2，则 a4 =（ ）
2 2 2
A．1 B． 或-1 C．- D．- 或 13 3 3
【答案】D
a 0 S =14, a = 2 = a q2【解析】依题意， 1 ，因为 3 3 1 ，
\a1 + a2 =12 = a1(1+ q), 故6q2 - q -1 = 0，
q 1故 = 或 q
1
= - ,
2 3
q 1当 = 时， a
2 4
= a3q =1；
当 q
1
= - , a a 2
3 4
= 3q = - ；3
\a 24 = - 或 1.3
故选：D
3．（2024·浙江·三模）设 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，已知 S3 = a4 - 2，S2 = a3 - 2 ，则公比 q =
（ ）
A 2 B -2 C 1
1
． ． ． 2 D．- 2
【答案】A
【解析】由已知， S3 = a4 - 2，S2 = a3 - 2，两式相减得，
a
S3 - S2 = a3 = a4 - a3，即 a4 = 2a q =
4
3 ，即 = 2a .3
故选：A
1
4．（2024·山东·模拟预测）设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ， a3 = a2 + a4 ， a4 7
= S6 + 3，则 a1 =（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】设公比为q a 1 1，因为 3 = a 22 + a4 ，所以 a2q = a2 + a2q ，显然 a2 0 q
1
=1+ q2，所以 ，解得 q = 2，
4 4 4
6
因为 a
a
6 1 1- 2
7 = S6 + 3，所以 a1 2 = + 3，解得 a1 = 3 .1- 2
故选：A.
5．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn , a1 + a3 = 30, S4 =120，则其公比 q = （ ）
A．1 B． 2 C．3 D．-3
【答案】C
【解析】设等比数列 an 的公比为q，
因为 a1 + a3 = 30, S4 =120，若 q =1，由 a1 + a3 = 30，得到 an = a1 =15，不满足 S4 = 120，所以 q 1，
4
由 a1 + a = 30
2 a (1- q )
3 ，得到 a1(1+ q ) = 30 ①，由 S 14 = 120，得到 =120 ②，1- q
a1(1+ q
2 ) 1
由① ②得 a (1- q4
= 1 1
1 ) 4 ，整理得到 = q = 31 q 4 ，解得 ，+
1- q
故选：C.
考点二 等比中项的性质
【例 2-1】（2024·四 川巴中·一模）已知 a = 5 + 2 6 ， c = 5 - 2 6 ，若 a，b，c 三个数成等比数列，则b =（ ）
A．5 B．1 C． -1 D． -1或 1
【答案】D
【解析】由题意知 a = 5 + 2 6 ， c = 5 - 2 6 ，a，b，c 三个数成等比数列，
则b2 = ac = (5 + 2 6)(5 - 2 6) = 25 - 24 =1，故b = ±1，
故选：D
【例 2-2】（2024·浙江金华·三模）已知 bn 是等比数列，若b2 = 3，b6 = 27 ，则b4的值为（ ）
A．9 B．-9 C．±9 D．81
【答案】A
b2【解析】由题得 4 = b2 ×b6 = 3 27 = 81，而b4 = b2 ×q
2 > 0 ，则b4 = 9，
故选：A.
【例 2-3】（23-24 高二下·辽宁辽阳·期中）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2a4 + 2a3a5 + a4a6 =16 ，则
a3 + a5 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由 a2a4 + 2a3a5 + a4a6 =16 得 a
2
3 + 2a3a5 + a
2
5 =16，即 a3 + a
2
5 =16，
因为等比数列 an 各项均为正数，所以 a3 + a5 = 4，
故选：D.
【例 2-4】（2024·江苏南通·二模）若 cosa π cos(a
π
， cos(a - )， + )6 成等比数列，则 sin 2a =（　　）3
1 1
A 3 3． B．- C． D．-
4 6 3 4
【答案】B
π π 2 π π
【解析】由 cosa ， cos(a - )， cos(a + )成等比数列，得 cos (a - ) = cosa cos(a + )6 3 6 3
，
1 [1 cos(2a π)] cosa (1 cosa 3 sina ) 1 1+ cos 2a 3即 + - = - = × - sin 2a ，
2 3 2 2 2 2 4
1 1 cos 2a 3+ + sin 2a 1 1= + cos 2a 3- sin 2a 3，所以 sin 2a = - .
2 4 4 4 4 4 6
故选：B
【一隅三反】
1．（2024· 2陕西渭南·模拟预测）已知数列 an 满足 an+1 = anan+2 ，若 a2 =1，a8 = 9，则 a5 = （ ）
A．-3 B． ±3 C．3 D．5
【答案】B
【解析】 a2n+1 = anan+2 ，又 a2 =1, a = 9
2
8 ，故数列 an 为等比数列，则 a5 = a2a8 = 9，故 a5 = ±3 .故选：B.
2
2．（23-24·上海·阶段练习）已知数列 an 是等比数列，且 a3 + a5 = 3，则 a2a4 + 2a4 + a4a6 的值为 .
【答案】9
2 2 2
【解析】由等比数列的性质知： a2a4 = a3 ， a4 = a3a5， a4a6 = a5 ，
所以a 2 2 2 22a4 + 2a4 + a4a6 = a3 + 2a3a5 + a5 = a3 + a5 ，又 a3 + a5 = 3，
2
所以 a2a4 + 2a4 + a4a6 = 9 .
故答案为：9
3．（23-24 上海·期中）正项等比数列 an 中， a1与 a4039 是 f (x)
9
= x - m ln x - (m R) 的两个极值点，则
x
log 3 a2020 = .
【答案】2
2
f x 1 m 9 x - mx + 9【解析】 = - + 2 = 2 , x > 0，x x x
所以 a1与 a4039 是方程 x2 - mx + 9 = 0的两根，
2
所以在正项等比数列 an 中， a2020 = a1a4039 = 9 a2020 = 3，
所以 log 3 a2020 = log 1 3 = 2 ，
32
故答案为：2.
4．（2024·湖南株洲·一模）在非直角VABC 中， tanA、 tanB、 tanC 成等比数列，则 B 的取值范围是
é π π
【答案】 ê , 3 2 ÷
【解析】由已知得 tan2B = tanAtanC ，则 tanA > 0, tanC > 0
tanB tanA + tanC tanA + tanC= - = ，
1- tanAtanC tan2B -1
若B
π
, π ÷ ，则0 < A π B
π ,0 C π B π< - < < < - < ，
è 2 2 2
所以0 < tan A < tan π - B ,0 < tan C < tan π - B ，
所以 tanAtanC < tan2 π - B = tan2B ，这与 tan2B = tanAtanC 矛盾，故B 0,
π
2 ÷
，
è
所以 tan3B - tanB = tanA + tanC 2 tanAtanC = 2tanB ，
π
即 tan3B > 3tanB， tan2B 3, tanB 3 ，当且仅当 A = B = C = 时取等号，3
é π π
所以 B 的取值范围是 , ÷．
ê 3 2
考点三 等比数列片段和的性质
【例 3-1】（2024·四川内江·三模）在等比数列 an 中， Sn 为其前 n项和，若 S10 = 5, S20 =15，则 S30的值为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】C
【解析】因为 an 为等比数列，所以 S10 , S20 - S10 , S30 - S20 成等比数列，
即5,15 - 5, S30 -15成等比数列，可得5 S30 -15 =100，所以 S30 = 35 .
故选：C
S
【例 3-2】（23-24 湖北恩施· 12期中）设 Sn 是等比数列 an 的前 n项和，若 S3 = 4, a4 + a5 + a6 = 8，则 =S （ ）9
15 7 7
A． B． C．5 D．
7 3 15
【答案】A
S
S = 4 S - S = 8 6
- S3 S9 - S6 S= = 12 - S9【解析】 3 ， 6 3 ，可得 = 2S3 S6 - S3 S9 - S
，
6
S 60 15
可得 S6 = 4 + 8 =12 ， S9 = 2 8 +12 = 28， S12 = 2 16 + 28 = 60
12
，则 = =S 28 7 .故选；A.9
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·湖北武汉·阶段练习）记等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S8 = 8, S12 = 26，则 S4 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为数列 an 为等比数列，且等比数列 an 的前项和为 Sn ，
所以 S4 , S8 - S4 , S12 - S8 成等比数列，则 S 28 - S4 = S4 × S12 - S8 ，
即 8 - S 24 = S4 × 26 -8 ，解得 S4 = 32或 S4 = 2 .
设等比数列 an 公比为q，则 q 1，
S 1- q88 = 44 =1+ q >1，则 S8 > S4 > 0，得 S4 = 2 .S4 1- q
故选：B
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S8 + S24 =140，且 S24 =13S8 ，则 S16 =
（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30 或 40
【答案】A
【解析】因为 S8 + S24 =140，且 S24 =13S8 ，
所以 S8 =10， S24 =130，故 q ±1，
S 1- q24
所以 24 = 8 = 8
2
q + q8 +1 2=13，即 q8 + q8 -12 = 0，解得 q8 = 3或 q8 = -4（舍去），S8 1- q
由等比数列性质可知， S8 , S16 - S8 , S24 - S16 成等比数列，公比为 q8 = 3
所以 S16 -10 =10 q
8 = 30，解得 S16 = 40，
故选：A
3．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S4 = 4，则S2 +S6的最小值为（ ）
A．8 B．8 2 - 4 C．8 2 D．10
【答案】B
【解析】由正项等比数列 an 可知 S2 ， S4 - S2 ， S6 - S4 成等比数列，
S - S 2
16
则 4 2 = S2 S6 - S4 ，又 S4 = 4，所以 S6 = + SS 2 - 4，2
16
所以 S2 + S6 = + 2S
16
S 2
- 4 8 2 - 4，当且仅当 = 2SS 2，即 S2 = 2 2 时取等号，2 2
故S2 +S6的最小值为8 2 - 4 .故选：B.
考点四 等比数列前 n 项和的最值
【例 4-1】．（23-24 陕西渭南·期末）设等比数列 an 的公比为q，其前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，若 a1 >1，
0 < q <1，且 a2023 -1 × a2024 -1 < 0，则下列结论正确的是（ ）
A． S2024 - S2023 > 0 B． a2023a2025 <1
C．数列 Tn 中的最大值是T2023 D．数列 Tn 无最大值
【答案】ABC
【解析】由 a1 >1 0 < q <1 a = a q
n-1
， ，可得 n 1 为单调递减的数列且 an > 0，
由 a2023 -1 × a2024 -1 < 0可得，0 < a2024 <1 < a2023 < a1 .
A 选项： S2024 - S2023 = a2024 > 0 ，显然 A 正确；
B 选项：0 < a2024 <1 < a2023 < a1，
2
根据等比中项可得 a2023a2025 = a2024 <1，显然 B 正确；
C n-1选项：由0 < a2024 <1 < a2023 < a1， an = a1q 为单调递减的数列且 an > 0，
可知 an 的前 2023 项（包含 2023 项）都大于 1，从第 2024 项（包含 2024 项）往后都小于 1，
所以数列 Tn 中的最大值是T2023，所以 C 正确；
D 选项：由 C 正确可知， Tn 有最大值，所以 D 错误.
故选：ABC.
【一隅三反】
1．（23-24 高三上·广东深圳·阶段练习）设公比为q的等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，且 a1 >1，
a
a a >1 2023
-1
2023 2024 ， < 0a ，则下列结论正确的是（ ）2024 -1
A．0 < q <1 B． S2023S2024 -1 > 0
C．T2024 是数列 Tn 中的最大值 D．T2023是数列 Tn 中的最小值
【答案】AB
【解析】当q < 0 a 2时，则 2023a2024 = a2023q < 0，不合乎题意；
a
当 q 1时，对任意的 n N* ， an = a1q
n-1 > 0 n+1，且有 = q 1a ，n
a2023 -1
可得an+1 an，可得 a2024 ≥ a2023 ≥ a1 >1，此时 > 0a ，2024 -1
与题干不符，不合乎题意；故0 < q <1，故 A 正确；
n N* a = a qn-1
a
> 0 n+1对任意的 ， ，且有 = q <1n 1 a ，可得
an+1 < an ，
n
此时，数列 an 为单调递减数列，则 a2023 > a2024 ，
a2023 -1
结合 < 0a 可得
0 < a2024 <1 < a2023 ，
2024 -1
结合数列的单调性可得 an >1 n≤ 2023 ，0 < an <1 n≥ 2024 ，
故 S2023 > 2023a2023 > 2023 >1， S2024 = S2023 + a2024 > 2023 >1，
∴ S2024 > S2023 >1 S2024S2023 -1 > 0，故 B 正确；
因为0 < a2024 <1 < a2023 ，数列 an 为单调递减数列，
所以T2023是数列 Tn 中的最大值，故 CD 错误.
故选：AB.
a -1
2．（23-24 高三上·江西·期中）在等比数列 an 中， a1 >1， a2023a > 0 20242024 ， < 0 Sa 1 ，若 n 为 a- n 的前 n项和，2023
Tn 为 an 的前 n项积，则（ ）
A． an 为单调递增数列 B． S2023 < S2024
C．T2023为 Tn 的最大项 D． Tn 无最大项
【答案】BC
a a = a a q = a2【解析】由 2023 2024 2023 2023 2023 q > 0，因此q > 0 .
又因为 a1 >1则 an > 0 .
n-1 a -1
当 q 1时， an = a1q >1 a >1 a >1
2024
，则 2023 ， 2024 ，则 > 0a -1 ，与题意矛盾.2023
因此0 < q <1.则 an 为单调递减数列，故选项 A 错误.
而 S2024 - S2023 = a2024 > 0 ，故 S2023 < S2024 ，选项 B 正确.
又因为 an 为单调递减数列，则 a2023 > a2024 ，
a2024 -1
由 < 0 a >1 0 < a <1a2023 -1
可知， 2023 ， 2024 ，
Tn
所以当 n≤ 2023时， = an > 1T ，则Tn > Tn-1 .n-1
T
当 n > 2023 n时， = a < 1T n ，则Tn < Tn-1 .n-1
因此 Tn 的最大项为T2023，则选项 C 正确，选项 D 错误.
故答案为：BC.
3．（22-23 高三上·福建三明·期中）设等比数列 an 的公比为q，其前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，并满足条件
a
a 2019
-1
1 >1, a2019a2020 >1， < 0a -1 ，则下列结论正确的是（ ）2020
A． S2019 > S2020 B．T2020 是数列 Tn 中的最大值
C． a2019a2021 -1< 0 D．数列 Tn 无最大值
【答案】C
n-1 2
【解析】等比数列 an 的公比为q，则 an = a1q ，由 a2019a2020 >1，则有 a2019a2020 = (a2019 ) q >1，必有q > 0 ，
a2019 -1 0 < a <1 a >1
又由 < 0
ì ì
，即 (a2019 -1)(a2020 -1) < 0 a >1
2020 2020
a -1 ，又 1 ，则有 ía 或 í ，2020 2019 >1 0 < a2019 <1
ìa2020 >1
又当 í 时，可得 q > 1 ，由 a 20180 < a <1 1
>1，则 a2019 = a1q >1与0 < a2019 <1矛盾
2019
ì0 < a2020 <1
所以 ía 1 ，则有
0 < q <1，
2019 >
由此分析选项：
对于 A， S2020 - S2019 = a2020 > 0，故 S2019 < S2020 ，故 A 错误；
对于 B，等比数列{an}中，0 < q <1， a1 > 0，所以数列{an}单调递减，又因为 a2020 <1< a2019，所以前 n项积为Tn
中，T2019 是数列{Tn}中的最大项，故 B 错误；
2
对于 C，等比数列{an}中，则 a2019a2021 = a2020 <1，则 a2019a2021 -1< 0，故 C 正确；
对于 D，由 B 的结论知T2019 是数列{Tn}中的最大项，故 D 错误.故选：C
考点五 等比数列奇数项或偶数项的和
1
【例 5-1】（2024 湖北）已知等比数列{an}的公比 q = ，且 a1 + a3 + a5 + ×××+ a99 = 60，则 a1 + a2 + a3 + a4 × × × +a3 100
等于（ ）
A．100 B．80 C．60 D．40
【答案】B
【解析】因为 a1 + a2 + a3 + a4 × × × +a100 =（a1 + a3 + a5 + ×××+ a99）（1+ q）,所以 a1 + a2 + a3 + a
1
4 × × × +a100 = 601+ = 80，3
选 B.
【例 5-2】（2024 山西太原·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列 an ，所有项之和为所有偶数项之和的 4
倍，前 3 项之积为 64，则 a1 =（ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由题意可得所有项之和 S奇 + S偶 是所有偶数项之和的 4 倍，∴ S奇 + S偶 = 4S偶 ，
1
设等比数列 an 的公比为q，由等比数列的性质可得 S偶 = qS奇，即 S奇 = Sq 偶 ，
1
∴ S偶 + S = 4S
1
q 偶 偶，∵
S 0
偶 ,∴解得 q = ，3
a
又前 3 项之积 a1a2a3 = a
3
2 = 64
2
，解得 a2 = 4 ，∴ a1 = =12q .
故选:B.
【一隅三反】
1．（2024·浙江宁波·三模）等比数列的首项为 1，项数是偶数，所有得奇数项之和为 85，所有的偶数项之和为
170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】设等比数列项数为 2n 项,所有奇数项之和为 S奇 ,所有偶数项之和为S偶，
S
则 S = 85, S =170 ,所以 q = 偶 =2奇 偶 S ，奇
a1 1- q2n 1- 22n
结合等比数列求和公式有： S = =1 = 85，解得 n=4，奇 1- q2 1- 22
即这个等比数列的项数为 8.
本题选择 C 选项.
2．（2024 湖北·期末）已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 341，偶数项之和为 682，则
这个数列的项数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】设等比数列项数为 2n 项,所有奇数项之和为 S 奇,所有偶数项之和为 S 偶，
S
则 S =341,S =682,所以 q = 偶 = 2奇 偶 S ，奇
a1 1- q2n∴ S = = 341 ，解得 n=5，奇 1- q2
这个等比数列的项数为 10，
本题选择 D 选项.
3．（2024 安徽芜湖·一模）等比数列 an 共有 2n +1项，其中 a1 =1，偶数项和为170，奇数项和为341，则 n =
A．3 B． 4 C． 7 D．9
【答案】B
【解析】由题意知 a1 + a3 + ...+ a2n+1 = 341 ，可得 a3 + ...+ a2n+1 = 341- a1 = 340，又因为 a2 + a4 + ...+ a2n =170, 所
a 2n+13 + ...+ a2n+1 340 1- 2
以 = q = = 2a + a + ...+ a 170 ， S2n+1 = = 341+170 = 511 ，解得 n = 4 ，故选 B.2 4 2n 1- 2
考点六 等比数列的实际应用
【例 6-1】（2024·北京房山·一模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步
健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走
378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该
人第三天走的路程为（ ）
A．12 里 B．24 里 C．48 里 D．96 里
【答案】C
1
【解析】由题意可得，此人6天中每天走的路程是公比为 2 的等比数列，
设这个数列为 an ，前 n项和为 Sn ，
a 1 1 1 - 6 ÷
S 63则 6 =
è 2
1 = a1 = 378，解得
a
32 1
=192，
1-
2
所以 a3 =192
1

22
= 48，
即该人第三天走的路程为 48 里.
故选：C.
【例 6-2】（23-24 高三上·广东揭阳·期末）从 2019 年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每
年的零件销售额均比上一年增加 15%，已知该企业从 2019 年到 2023 年底的零件总销售额为 202 万元，则该企
业 2019 年的销售额约为（参考数据：1.154 1.75，1.155 2.01）（ ）
A．30 万元 B．35.2 万元 C．40.4 万元 D．42.3 万元
【答案】A
【解析】设 an 是等比数列，公比 q =1.15，
a 1-1.1551 a1 2.01-1 1.01a依题意， S = = 1 = 202，5 1-1.15 1.15 -1 0.15
解得a1 = 30万元.
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·天津红桥·二模）某同学于 2019 年元旦在银行存款 1 万元，定期储蓄年利率为1.75% ，以后按约定自
动转存，那么该同学在 2025年元旦可以得到本利和为（ ）
A．10000 1.01756 B．10000 1.01757
10000 1-1.75%6 10000 1-1.75%7C． D ．
1-1.75% 1-1.75%
【答案】A
n
【解析】记 n年后得到的本利和为 an ，根据题意知 an =10000 1+1.75% =10000 1.0175n ，
即数列 an 是一个首项为 a1 =10175，公比为 q =1.0175的等比数列，
∴该同学 2019年元旦在银行存款1万元， 2025年元旦即6年后得到的本利和为：
a6 =10000 1.0175
6
（元）.
故选：A
2（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到
公元 583 年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为
主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或
复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技
术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张
完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传
承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为 l 的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，
则对折 6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
1 1
A 2 B 2． ． C． D．
8 8 4 4
【答案】A
2 2
【解析】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为 ，公比为 ，
2 2
6
2 1
故对折 6 次后，得到腰长为 ÷÷ = 的等腰直角三角形，
è 2 8
1 2
所以斜边长为 2 = .
8 8
故选：A．
3．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照
同款新车裸车价格，第一年汽车贬值 30%，从第二年开始每年贬值 10%，刚参加工作的小明打算用 7 万元入手
一辆 3～5 年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m N) 万，则m =
（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
5-1
【解析】根据题意可知，列不等式m × 1- 30% 1-10% 7，
m 10即 4 15.24，0.9
又m N，可得m =15 .
故选：B
4 ．（23-24 上海杨浦·阶段练习）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今
有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：
有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大 小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠
减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
1 1
n
n -


【解析】设 n天后能打穿，则 2 -1 + è 2
÷
2 5 n，化简为 2 - - 4 0，
2 -1 1 1
2n
-
2
f n =2n 2令 - n - 4，则 f 2
1
= - < 0, f 3 2= 8- - 4 > 0 n 2，又由函数的单调性可知 f n =2 - n - 4在 2,3 内有2 2 8 2
唯一零点，所以至少需要3天.故选：C.
考点七 等比数列的综合运用
【例 7】（2024·新疆喀什·三模）已知数列 an 的首项 a1 = 3，且满足 an+1 = 2an -1（ n N* ）．
(1)求证：数列 an -1 为等比数列；
(2)记bn = log2
ì ü
a 1n -1
1
，求数列 í 的前 n项和 S ，并证明 S <1．
b b
n n
n n+1 2
【答案】(1)证明见解析
n
(2) Sn = ，证明见解析n +1
【解析】（1）由 an+1 = 2an -1(n N
*) 得a *n+1 - 1 = 2(an - 1) ,( n N )，
又 a1 -1 = 2，所以 an -1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
n-1 n
（2）由（1）知， an -1 = 2 2 = 2 ，所以bn = l og2(an - 1) = n
1 1 1 1
所以 = = -bnbn+1 n(n +1) n n +1
，
Sn = b1 + b2 + b3 +L+ bn
1 1 1 1 L 1 1 1 n= - + - + + - =1- =
2 2 3 n n +1 n +1 n +1
* S 1 1 1当 n N 时， n = - 单调递增，故 Sn <1．n +1 2
【一隅三反】
1
1．（2024·四川自贡·三模）已知数列 an 的前项和为 Sn ，且 Sn - nan = n(n -1)．2
(1)证明：数列 an 为等差数列；
(2)若 a5 ， a9 ， a11 成等比数列，求 Sn 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 78
【解析】（1）数列 an 满足 Sn - na
1
n = n(n -1) ①，2
当 n 2时，有 Sn-1 - (n -1)a
1
n-1 = (n -1)(n - 2) ②2 ，
① - S S
1 1
②可得： n - n-1 - nan + (n -1)an-1 = n(n -1) - (n -1)(n - 2)2 2 ，
即 (1- n)an + (n -1)a
1
n-1 = (n -1) n - (n - 2) 2 ，
变形可得 an - an-1 = -1 n 2 ，
故数列 an 是以 -1为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列 an 是以 -1为等差的等差数列，
若 a5 ， a9 ， a11 成等比数列，则有 a29 = a5 a11，
即 (a 21 - 8) = (a1 - 4)(a1 -10)，解得 a1 = 12，
所以 an = a1 + (n -1)d = 13 - n ，
所以 an 单调递减，又当1 n < 13时， an > 0，当n = 13时， an = 0，当n >13时， an < 0，
故当 n =12 或13时， Sn 取得最大值，
且 Sn = S12 = S13 = 12 12
12 11
+ -1 = 78max 2 ．
2．（23-24 河南·期中）已知数列 an 的首项 a1 = 3，且 an+1 - 2an +1 = 0.
(1)证明: an -1 是等比数列；
(2)求数列 an log2 an -1 的前 n项和Tn .
【答案】(1)证明见解析
2
(2)T n 1 2n+1 n + nn = - + + 22
【解析】（1）因为 an+1 - 2an +1 = 0， a1 = 3，
所以 an+1 -1 = 2 an -1 ， a1 -1 = 2，
a -1
显然 an -1 0
n+1
，则 = 2an -1
，
故 an -1 是首项为 2，公比为 2的等比数列.
n-1
（2）由（1）知， an -1 = 2 2 = 2
n
，所以 an log2 an -1 = 2n +1 × n = n ×2n + n，
则Tn =1 2
1 + 2 22 +L+ (n -1) ×2n-1 + n × 2n + 1+ 2 +L+ n ，
1 2 n-1 n
令Rn =1 2 + 2 2 +L+ (n -1) ×2 + n × 2 ，
故 2Rn =1 2
2 + 2 23 +L+ (n -1) × 2n + n ×2n+1，
n+1
1
上两式相减得，-Rn = 2 +L+ 2
n-1 + 2n - n × 2n+1 2 - 2= - n × 2n+1 = 1- n 2n+1 - 2，
1- 2
R = n -1 2n+1所以 n + 2，
T n 1 2n+1 2 1+ n ×n n 1 2n+1 n
2 + n
所以 n = - + + = - + + 2 .2 2
一．单选题
S 8
1．（2024 高三·全国· 3专题练习）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn .若 = ， a2 + a5 = 54，则 a4 =S 9 （　　）6
A．3 B．6 C．12 D．14
【答案】C
S3 8 9 1
【解析】等比数列 an 中，由 = ，得 S6 = SS 9 8 3 ，即 a4 + a5 + a6 = S6 - S3 = (a1 + a2 + a3) ，6 8
设数列 a 3 1 1 4n 的公比为q，则 q = ，解得 q = ，由 a2 + a5 = 54，得 a1(q + q ) = 54，8 2
a 541 = 1 = 96 3 1即 + (1)4 ，所以 a4 = a1q = 96 =12 .
2 2 8
故选：C
2．（2024·云南曲靖·一模）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S5 = 6, S10 =18，则 S15 =（ ）
A．36 B．54 C．28 D．42
【答案】D
【解析】根据题意设等比数列 an 的首项为 a1，公比为q，易知 q 1；
a 1- q5 a 1- q10
由 S 1 5 = 6, S10 =18可得 = 6, 1 =18，
1- q 1- q
两式相除可得1+ q5 = 3，即 q5 = 2；
a1 1- q15 a1 1- q5 q10 + q5 +1 a1 1- q5
所以 S15 = = = 7 = 42 .1- q 1- q 1- q
故选：D
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，若 S30 = 7S10 ， S10 + S30 = 80 ，则 S20
的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解析】设正项等比数列 an 的公比为q，
则 S10 , S20 - S10 , S30 - S20 是首项为 S10 ，公比为 q10 的等比数列，
若 S30 = 7S10 ， S10 + S30 = 80 ，则 S10 =10, S30 = 70，
所以 S -10 2 =10S 220 30 =10 70 - S20 > 0，即 S20 -10S20 - 600 = 0，
解得 S20 = 30或 S20 = -20（舍去）.
故选：C.
S
4 ．（2024·重庆·模拟预测）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若a1a2a3 = 2， a3a4a 125 =10 ，则 =S （ ）6
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】设等比数列 an 的公比为q，由a1a2a3 = 2， a3a4a5 =10 ，
a a a 2 2 23 4 5
所以 = 5
a1q a2q a3q
，即 = 5 6a a a ，所以 q = 5，显然
q 1，
1 2 3 a1a2a3
a1 1- q12
S 6 612 = 1- q 1- q
12 1- q 1+ q
= = =1+ q6所以 = 6
S a 6 6
.
6 1 1- q 1- q 1- q6
1- q
故选：D
5．（22-23 全国·单元测试）设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn ，若 S10 - 5S5 = 1，则 a11 + a12 + a13 + a14 + a15的最
小值为（ ）
A．12 B．16 C． 20 D． 25
6．（2024· n-1西藏林芝·模拟预测）等比数列 an 的前 n项和 Sn = 4 + t ，则 t =（ ）
1
A B - C 1
1
． -1 ． ． 2 D．4 3
【答案】B
【解析】若等比数列 an 的公比为1，
因为 S1 = t, S2 = 4 + t, S3 =16 + t ，
则 4 + t = 2t,16 + t = 3t ，矛盾，故 q 1
a q q 1 a1 1- q
n
S a1 a q
n
设等比数列 n 公比为 ，则 n = = -
1 ，
1- q 1- q 1- q
即等比数列 an 的前 n项和 Sn 要满足 Sn = ABn - A AB 0 ，
n-1 1
又因为 Sn = 4 + t = 4
n t 1+ ，所以 t = - .
4 4
故选：B
7 2024 {a } a = 2 m, n N + , a = a a a + a +L+ a = 215 5．（ 广东）数列 n 中， 1 ，对任意 m+n m n ，若 k +1 k +2 k +10 - 2 ，则 k =
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
an+1
【解析】在等式 am+n = aman 中，令m =1，可得 an+1 = ana1 = 2an ，\ = 2a ，n
所以，数列 an 是以 2 n-1 n为首项，以 2为公比的等比数列，则 an = 2 2 = 2 ，
a × 1- 210 2k +1 × 1- 210
\a + a +L+ a = k +1 = = 2k +1 210k +1 k +2 k +10 -1 = 25 210 -11 ，- 2 1- 2
\2k +1 = 25 ，则 k +1 = 5，解得 k = 4 .
故选：C.
8．（2023·江西赣州·一模）若等比数列 an 的公比为q，其前 n项和为 Sn ，前 n项积为Tn ，并且 0 < a9 <1 < a8 ，
则下列正确的是（ ）
A． q > 1 B．0 < a1 <1
C． Sn 的最大值为 S8 D．Tn 的最大值为T8
【答案】D
a
【解析】由0 < a9 <1 < a
9
8 可知公比 q = 0,1 a ，所以 A 错误；8
又 a8 = a1q
7 >1，且 q 0,1 可得 a1 >1，即 B 错误；
n a1 1- q
n
由等比数列前 项和公式可知 Sn = ，由指数函数性质可得 Sn 为单调递增，1- q
即 Sn 无最大值，所以 C 错误；
ìT T
T a n n n-1设 n 为数列 n 前 项积的最大值，则需满足 í a <1 < a
Tn T
，可得 n+1 n ，
n+1
又0 < a9 <1 < a8 可得 n = 8，即Tn 的最大值为T8 ，所以 D 正确.
故选：D
二．多选题
9．（23-24 高三上· n+1河南·期末）设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 2 + a ( a为常数)，则（ ）
A． a = -1 B． an 的公比为 2 C． a nn = 2 D． S9 =1023
【答案】BC
n+1
【解析】因为 Sn = 2 + a，所以 a1 = 4 + a, a2 = S2 - S1 = 4, a3 = S2 - S2 = 8．
因为 a 2 2n 是等比数列，所以 a2 = a1a3，即 4 = 8(4 + a) ，解得 a = -2 ，则A 错误；
a q a= 3n 的公比 = 2a ，则 B 正确；2
因为 a1 = 2, q = 2，所以 an = a1q
n-1 = 2n ，则 C 正确；
因为 a = -2 ，所以 Sn = 2
n+1 - 2 S = 210，所以 9 - 2 =1022，则 D 错误．
故选：BC
10．（2024·吉林·模拟预测）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚
痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天
走的路程为前一天的一半，走了 6 天才到达目的地”，记此人中间两天走的路程之和为M ，中间四天走的路程
之积为 N ，则下列说法正确的是（ ）
A．此人第一天走了全程的一半
B．此人第五天和第六天共走了 18 里路
C．5M < 378
D． N =11522
【答案】BCD
1
【解析】设此人第 n天走了 an 里路，则数列 an 是首项为 a1，公比为 q = 的等比数列；2
é 1 6 ù
6 a 1-

a 1- q 1 ê 2 ÷ ú
已知六天走的路程总和为 S 1 ê
è ú ，解得a1 =192；
6 = = = 3781- q 1- 1
2
192 96
对于 A，此人第一天走了全程的 = ，大于全程的一半，即 A 错误；
378 189
1 4 5
对于 B，已知 a5 =192

÷ =12,a =192
1 6 ÷ = 6，可得 a5 + a6 =18，即 B 正确；
è 2 è 2
2 3
C 1 1对于 ，中间两天走的路程之和为M = a3 + a4 =192 ÷ +192

÷ = 72，
è 2 è 2
则5M = 360 < 378，即 C 正确；
2
对于 D，中间四天走的路程之积为 N = a2a3a4a5 = 96 48 24 12 = 48 24 =11522 ，可知 D 正确；
故选：BCD
11．（23-24 ·四川绵阳·期中）等比数列 an 的公比为 q(q < 0) ，且 a4 ,a3 ,a5 成等差数列，则下列说法正确的是
（ ）
A． q = -2 B．若 a1 =1，则 a2a8 = 256
S - S
C．若 S2 = -1 S = -4 D
9 6
，则 4 ． = -2S6 - S3
【答案】AB
【解析】因为 a4 ,a3 ,a5 成等差数列，
所以 2a3 = a4 + a5 ，即 2a3 = a3q + a
2
3q ，
又因为 a3 0，所以 2 = q + q2 ，解得 q =1或 q = -2 ，
而q < 0，所以 q = -2 ，故 A 正确；
B a =1 a a = a2 = (a q4 )2 8对于 ，因为 1 ，所以 2 8 5 1 = 2 = 256，故 B 正确；
对于 C，因为 S2 = -1，所以 S2 = a1 + a2 = -1，
所以 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = (1+ q
2 )S2 = -5，故 C 错误；
S - S a + a + a
D 9 6 = 7 8 9对于 ， = q3 = -8S6 - S3 a4 + a + a
，故 D 错误.
5 6
故选：AB.
三．填空题
4
12．（23-24 吉林长春·期末）已知数列 an 是等差数列，数列 bn 是等比数列， a7 + a9 = ，且b b b = 8．则3 2 6 10
a3 + a8 + a13 =
b4b8 -1
．
2
【答案】 3
4 4 2
【解析】因为数列 an 是等差数列，且 a7 + a9 = ，所以 2a8 = ,即 a8 = ,3 3 3
3
因为数列 bn 是等比数列，且b2b6b10 = 8，所以b6 = 8，即b6 = 2，
a3 + a8 + a13 3a8 2
所以 = =b4b -1 b
2
8 6 -1 3
.
2
故答案为： .3
n
13．（2024· 1 上海静安·二模）已知等比数列的前 n项和为 Sn = ÷ + a，则 a的值为 ．
è 2
【答案】 -1
1
n

【解析】由等比数列的前 n项和为 Sn = ÷ + a，
è 2
可得 a
1 1 1
1 = S1 = + a， a2 = S2 - S1 = + a - ( + a)
1 a S 1 1 1= - ， =
2 4 2 4 3 3
- S2 = + a - ( + a) = - ，8 4 8
( 1所以 - )2 = (
1
+ a) ( 1- )，解得 a = -1，经检验符合题意.
4 2 8
故答案为： -1 .
14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列 an 满足 a1 >1,2 < a9a10 +1 < a9 + a10，记
Tn = a1a2 Lan ，则使得Tn >1的最大正整数 n的值为 .
【答案】18
ìa >1 ìa <1
【解析】因为 a9a10 +1< a + a
9 9
9 10 ，可得 a9 -1 × a10 -1 < 0，所以 í
a10 <1
或 í ，
a10 >1
又因为 a1 >1, an > 0，所以 a9 >1,0 < a10 <1，
因为 a9a10 +1 > 2 ，所以 a9a10 >1，所以 a9a10 = a1a18 >1，
n 18 19 19
又因为Tn = a1a2 Lan =
2
a a 2 ，所以T 21 n 18 = a1a18 >1且T = a a 2 219 1 19 = a10 = a1910 <1，
使得Tn >1的最大正整数 n的值为18 .
故答案为：18 .
四．解答题
1 a
15 n．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列{an}中， a1 = ， an+1 = 2 a (n N
*)
- .3 n
{ 1(1)证明： -1}a 是等比数列；n
{ 1(2)求数列 }a 的前
n项和.
n
【答案】(1)证明见解析
(2) 2n+1 - 2 + n
a
【解析】（1）因为数列{a }
1
n 中， a1 = a
n
， *
3 n+1
=
2 - a (n N )，n
1
-1 2 - an -1 2 - 2
an+1 an an 1
所以 = = = 2，且 -1 = 3-1 = 21
-1 1 -1 1 -1 a
，
1
an an an
1
所以{ -1}a 是等比数列，公比为 2，首项为 2n
1 1
（2）由(1)
n-1 n n
可得 -1 = 2 ×2 = 2 ，即 = 2 +1a ，n an
n
所以数列{
1 } n 2 1- 2
a 的前 项和 Sn = (2 + 2
2 + 23 +L+ 2n ) + n = + n = 2n+1 - 2 + n
n 1- 2
16．（2024·浙江·三模）在直角坐标平面内有线段 A1A2 ，已知点 A3是线段 A1A2 上靠近 A2的三等分点，点 A4 是线
段 A2 A3 上靠近 A3的三等分点，……，点 An+1是线段 An-1An （ n 2， n N* ）上靠近 An 的三等分点，设点 An 的横
坐标为 an .
(1)求证：数列 an+1 - an 为等比数列；
(2)若 a1 =1， a2 = 5，求 an 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
n-2
(2) an = 4
1
+ -

3 ֏
an+2 - an
【解析】（1）解：由题意得 = 2 3aa - a 所以 n+2 = 2an+1 + an ，可得3an+2 - 3an+1 = an - an+1，n+1 n+2
a - a 1
又由 a2 - a 0
n+2 n+1
1 ，所以 = -an+1 - an 3
所以数列 an+1 - an 是首项为 a2 - a
1
1，公比为- 的等比数列.3
（2）解：因为 a1 =1， a2 = 5，所以 a2 - a1 = 4 ，
n-2
因为数列 an+1 - an
1
- 1 是公比为 的等比数列，所以 n 2时， a
3 n
- an-1 = 4 - ÷ .
è 3
é 1 1 n-2 ù
由累加法可得 n 2时， an - a1 = 4 ê1+ - 3 ÷
+ ××× + - ÷ ú
ê è è 3 ú
n-1
1 1- - 3 ÷ n-1
n-2
è 1 = 4 1 = 3- 3·
1- ÷ ，即当 n 2时， an = 4 + - ÷ ，
1+ è 3 è 3
3
n-2
经检验， a1 =1满足上式，所以数列 an 1的通项公式 an = 4 + -

÷ .
è 3
ìa + a
17 2024· · a a =1, a =1, n 3 a = n-1 n-2 ,n为奇数．（ 四川成都 模拟预测）已知数列 n 满足 1 2 当 时， n í
2an-2 +1, n为偶数
(1)求 a4和 a6，并证明当 n为偶数时 an +1 是等比数列；
(2)求a1 +a3 +a5 +......+a29
【答案】(1)3，7，证明见解析
(2) 216 -122
ìa + a ,n为奇数
【解析】（1）因为 a1 =1, a2 =1, n 3
n-1 n-2
当 时， an = í ，
2an-2 +1, n为偶数
所以 a4 = 2a2 +1 = 3，a6 = 2a4 +1= 7 .
a2k +2 = 2a2k +1，a2k+2 +1= 2(a2k +1)，又 a2 +1 = 2，
\当 n为偶数时， an +1 是以 2为首项，以 2为公比的等比数列；
2 k-1 k（ ）由（1）知，a2k +1= (a2 +1)2 = 2 ，
n n
设 n = 2k ，则a = 22 -1 \n为偶数时，n an = 22 -1
当 n为奇数时，a = a + a = 2k k2k+1 2k 2k-1 -1+ a2k-1 = 2 -1+ a2k-2 + a2k-3
= 2k -1+ 2k-1 -1+ a2k-3 = ...... = 2
k -1+ 2k-1 -1+......+ (21 -1) + a1
a 2(1- 2
k )
\ k +12k +1 = - k + a1 = 2 - k -1 ；1- 2
n+1
设 n = 2k +1 \n a 2 2 n + 1， 为奇数时， n = - ，2
\a1 + a3 + a5 + ......+ a
1 2
29 = (2 -1) + (2 - 2) + (2
3 - 3) + ......+ (215 -15)
= 21 + 22 + 23 +L+ 215 - 1+ 2 + 3 +L+15
21 1- 215 15 1+15
= -
1- 2 2
= 216 -122 .
18．（2024·河南信阳·模拟预测）在数列 a 3n 中， a1 = ， 2an+1 = an + n + 2．2
(1)记bn = an - n，证明： bn 为等比数列；
(2)记 Sn 为 a ìn 的前 n项和，若 íS
1
n +
ü
n + ln 是递增数列，求实数l 的取值范围． 2
【答案】(1)证明见详解
(2) -2, +
【解析】（1）因为 2an+1 = an + n + 2，即 a
1 1
n+1 = an + n +1，2 2
1 a 1 n 1 n 1 1 1+ + - + a - n
则b1 = a1 -1
1
= 0 n n，且 bn+1 a= n+1
- n +1
= 2 2 12 =
2 2 = ，
bn an - n an - n an - n 2
所以数列 b 1 1n 是以首项为 2 ，公比为 2 的等比数列.
2 1 b a n 1 1
n-1
1
（ ）由（ ）可知： n = n - = ÷ = ，即 an = n
1
+ ，
2 è 2 2n 2n
S 1 1= + 1 1所以 n ÷ + 2 +
+ ××× + 2 ÷ n +

n ÷ = 1 2
1 1 1
+ + ×××+ n + + + ××× +

2 ÷è è 2 è 2 è 2 22 2n
1 é1 1
n
-
ù
ê
n n +1 2 ê è 2
÷ ú
ú
= +
1
1 = n
2 1 n 1+ +1- ，
2 2 2 2n1-
2
1 1 1
可知 Sn + n + ln = n
2 + 2l +1 n +1，
2 2 2
ìS 1 1 3若 í n +
ü
n + ln 是递增数列，结合二次函数对称性可得- l + ÷ < ，解得l > -2 ， 2 è 2 2
所以实数l 的取值范围为 -2, + .
19．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 3an - 2n .
(1)求证：数列 an - 2n 是等比数列；
n-1
(2)设b = a + l × 2nn n - l +1
3
× ÷ ，若 bn 是递增数列，求实数l 的范围.
è 2
【答案】(1)证明见解析
l 2(2) > -
3
n
【解析】（1）由 Sn = 3an - 2 知 a1 = S1 = 3a1 - 2，得 a1 =1 .
a = S - S = 3a - 2n+1 n n由已知有 n+1 n+1 n n+1 - 3an - 2 = 3an+1 - 3an - 2 ，
a 3= a 3+ 2n-1 a - 2n+1 = a + 2n-1 - 2n+1 3= a - 3 × 2n-1 3 n故 n+1 ，得 = a - 2 .2 n n+1 2 n 2 n 2 n
而 a1 - 2
1 3=1- 2 = -1 0 n，故数列 an - 2 是首项为 -1，公比为 的等比数列.2
n-1 n-1
2 1 a - 2n = - 3 3 （ ）根据（ ）的结论有 n ÷ ，即 a
n
n = 2 -2 2 ÷
.
è è
n-1 n-1
那么就有b a 3 3n = n + l × 2
n - l +1 × ÷ = l +1 × 2n - l + 2 ×

2 2 ÷
.
è è
n n-1
命题等价于bn+1 > bn恒成立，即 l +1 ×2n+1 - l + 2 × 3 > l +1 ×2n - l + 2 ×
3 .
è 2 ÷ ÷ è 2
n n
此即 2 l +1 3 2 3× 2n - l + 2 × > l +1 × 2n - l + 2 × n n 2 ÷ 3 2 ÷ ，化简得到
3 l +1 × 4 > l + 2 ×3 .
è è
n n
从而要求l 的取值范围使得3 l +1 × 4 > l + 2 ×3 恒成立.
一方面，对该不等式取 n =1可得到3 l +1 × 4 > l + 2 ×3，即l 2> - ；
3
2
另一方面，若l > - ，则l +1 > 0， 4l + 4 > l + 2，
3
4 n
故我们恒有3 l +1 4× ÷ 3 l +1 × = 4l + 4 > l + 2
n n
，即3 l +1 × 4 > l + 2 ×3 .
è 3 3
2
所以l 的取值范围是l > - .
3

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