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5.4 数列的求和方法
考点一 公式法
【例 1】（2023·惠州）已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 2，且 a2， a3 2 ， a4成等差数列.
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）设数列 bn 满足bn log2aa n ，求数列 bn 的前 n 项和Tnn
2
n
【答案】（1） an 2 （2 T
n n 2 1
） n 2 2n
【解析】（1）解：设{an}的公比为 q （ q > 0），
因为 a1 2，且 a2， a3 2 ， a4成等差数列，
所以 a2 a4 2(a3 2)，即 2q 2q3 2(2q2 2) ，解得 q 2 a 2
n
，所以 n
1
（2）解：由（1）bn 2n
n ，
1 (1 1 n ) 2
T 1 1 n(n 1) n n 2 1n ( 2
1
n ) (1 2 n)
2 2
1 2 2 2 n1 2 2 2
2
【一隅三反】
1.（2024 嘉兴）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 3a3 1， S5 25 ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令bn 2
an ，求数列 bn 的前 n 项和Tn ．
(1)a 2n 1 2 4
n 1
【答案】 n (2)Tn 3
4a 4 3 S 3a 1 1 d 3a1 6d 14 3 2
【解析】（1）解：设等差数列 an 的公差为 d ，由 可得 ，
S5 25

5a 5 41 d 25 2
a1 1
解得 ， a a n 1 d 2n 1
d 2
n 1
b2 n 1 2an 1 an 2（ ）解： 2 4b ，且
b1 2，故数列 bn 为等比数列，且首项为 2，公比为 4，
n
2 1 4n 2 4n 1
因为Tn 1 4 3
2．（辽宁省 2023-2024 学年高二下学期 7 月期末考试数学试题）已知数列 an 满足a1 3,an 1 7an 3．
a 1 ü(1)证明 n 是等比数列，并求 a2 n 的通项公式；
1 1 1 7
(2)证明： 7n 1
【答案】(1)证明见解析； an 2
(2)证明见解析
1 1 1 7 1
【解析】（1）因为 an 1 7an 3，所以 an 1 72
an ，且 a ，则 a2 ÷ 1 2 2 n
0，
è 2
a 1n 1 2 7 1 ü 1 7即 1 ，所以数列 an 是首项为 a1 ，公比为 7 的等比数列，a 2 2 2n 2
a 1 7 7n 1 7
n
a 7
n 1
所以 n × ，则 ；2 2 2 n 2
1 2
（2）由（1）可知， a 7n 1，n
7n 1 6 ×7n 1 7n 1 1 0，即7n 1 6 ×7n 1，只有当 n 1时，等号成立，
1 2 1
所以 a 7n 1 3 ×7n 1 ，只有当 n 1时，等号成立，n
1 1 7
当 n 1时， 1 1
n

n 2 1 1 1 2 1 1 1
÷ 7
当 时， ... < 1 ... è 7 < ，
a1 a2 a

n 6 è 7 7
n ÷ 3 1 1 18
7
1 1 1 7
综上可知， .
考点二 裂项相消法
【例 2-1】（2024·湖南衡阳· 2模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn n 也是等差数列．
(1)求数列 an 的公差；
1 ü
(2)若 a1 1，求数列 的前 n 项和T ．
a
n
nan 1
【答案】(1) 2
n
(2)Tn 2n 1
【解析】（1）设数列 an 的公差为 d，则 an a1 n 1 d ．
因为 Sn n2 是等差数列，所以 Sn 1 n 1 2 S 2n n 为常数．
S n 1 2n 1 Sn n2 an 1 2n 1 nd a1 2n 1 d 2 n a1 1，
所以 d 2 0 ，解得 d 2
（2）因为 a1 1，所以 an 2n 1．
1 1 1 1 1 1
anan 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 è 2n 1 2n 1÷
，

T 1 1 1 1故 n 1 L
1 1 1 1 1 n ．
2 è 3 3 5 2n 1 2n 1÷ 2 è 2n 1÷ 2n 1
【例2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 Sn 为等比数列 an 的前 n项和，若 4a2 , 2a3 , a4 成等差数列，且 S4 8a2 2．
(1)求数列 an 的通项公式；
a
(2)若b nn a 2 a 2 ，且数列 bn 的前 n项和为Tn ，求Tn 的取值范围．n n 1
【答案】(1) an 2
n ,n N*
1 1
(2) Tn <12 4
【解析】（1）设数列 an 的公比为q，
由 4a2 , 2a3 , a4 成等差数列可得 4a2 a4 4a3 ，故 4 q2 4q，解得 q = 2，
4
由 S 8a
a1 1 2
4 2 2可得 16a1 2，解得 a1 2，1 2
a 2n a a 2n ,n N*故 n ，即数列 n 的通项公式为 n .
a nn 2 1 1
（2）由（1）可得bn a 2 a 2 2n 2 2n 1 n n 1 ，n n 1 2 2 2 2 2
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1故 n ，4 6 6 10 10 18 2n 2 2n 1 2 4 2n 1 2
又因为 Tn 为递增数列，则Tn T
1 1 1
1 ，又当 n
1
时， n 1 04 6 12 2 2
T 1 1 1所以 n < ，故 T < .4 12 n 4
【例 2-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列 an （ n N*）中， a1 a2 11， a3 10 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)若b
1
b n 1n a a a ，数列的 n 前 项和为Tn ，证明Tn < .n n 1 n 2 168
【答案】(1) an 3n 1
(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，
a1 a2 11 2a1 d 11 a1 4
由 a 10 ，即 a 2d 10，解得 ， 3

1 d 3
所以 an a1 n 1 d 4 3 n 1 3n 1，
所以数列 an 的通项公式为 an 3n 1；
1 1
（2）∵ an 3n 1，∴ bn anan 1an 2 3n 1 3n 4 3n 7 ，
1 1
（方法一）bn anan 1an 2 3n 1 3n 4 3n 7
1 1 1 1 1 × × ，6 è 3n 1 3n 4 3n 4 3n 7 ÷
T 1 é
n
1 1
n
1 1 ù∴ n ê 18 k 1 è 3k 1 3k 4 ÷ ÷ k 1 è 3k 4 3k 7 ú
T 1 é 1 1 1 1 ù化简得： n
，
18 ê è 4 3n 4
÷ ÷
è 7 3n 7 ú
T 1 1 1∴ n <168 6 3n 4 3n 7 168 .
b 1 1 1
é 1 ù
（方法二） n anan 1an 2 3n 1 3n 4 3n 7 3n 4
ê
ê 3n 1 3n 7
ú
ú
1 1

1 1 1 1 1 1 1
÷ × ×

，
6 3n 4 è 3n 1 3n 7 6 è 3n 1 3n 4 3n 4 3n 7 ÷
1 é 1 1 1 1 1 1 1 1 ù
∴Tn ê ÷ ××× × ×6 è 4 7 7 10 è 7 10 10 13
÷
è 3n 1 3n 4 3n 4 3n 7 ÷ ú
1

1 1 1 1 1
×
1 1 1
÷ ×

÷ < .6 è 28 3n 4 3n 7 168 6 è 3n 4 3n 7 168
2n 1a
【例 2-4】（2024· n陕西安康·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 2, an 1 n .an 2
2n ü
(1)证明：数列 a
是等差数列；
n
a
(2) b n 1
an 2
设 n a ，求 bn 的前 n 项和Tn .n
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
n 4
8．
n 2
2n 2n 1an
【解析】（1）证明：令 cn ，又 an 1 n ，则有an an 2
2n 1 2n 2n 1 2n a 2n 2n a 2n nc n n 2n 1 cn a a 2n 1
1
n 1 n an an an an an ，
a 2nn
1
又 a
2 2
1 2，所以 c1 1a1 2
2n ü
所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列
an
（2）由（1）知， cn c1 n 1 d 1 n 1 1 n ，
c 2
n 2n
又 n ，所以 an ，an n
2n 1 2n 2
a a × n ×2n 3 n 3 n 4b n 1 n 2 n 1 n 2 1 2 2 所以 n ，an 2n n 1 n 2 è n 1 n 2 ÷
n
所以Tn b1 b2 b3 ××× bn
é 24 25 25 26 26 27 2n 3 2n 4 ù
1 ê ÷ ÷ × × ×
è 2 3 è 3 4
÷ ÷ú
è 4 5 è n 1 n 2
4 5 5 6 6 7 n 3 n 4
1 2 2 2 2 2 2 2 2 × × ×
è 2 3 3 4 4 5 n 1 n 2
÷

24 2n 4 1 ÷
è 2 n 2
2n 4
8
n 2
【一隅三反】
1.（2023·河南）已知正项数列 an 的前 n 2 2项和为 Sn ，且 Sn n n 2 Sn 2 n2 n 0 ．
(1)求 a1的值和数列 an 的通项公式；
1
(2)设bn a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn ．n n 2
T 3 2n 3【答案】(1) a1 2； an 2n；(2) n 16 8 n 1 n 2 .
【解析】(1) 2 2由 Sn n n 2 S 2n 2 n n 0 得： Sn 2 Sn n2 n 0；
an 为正项数列， Sn > 0 ， Sn n2 n；
当 n 1时， a1 S1 2；
当 n 2时， an Sn S
2
n 1 n n n 1
2 n 1 2n ；
经检验： a1 2满足 an 2n a 2n n N *； n .
1 1 1 1 1
(2)由（1）得：bn



2n × 2 n 2 4n n 2 8 n n 2 ÷，è
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ××× n 8 è 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2 ÷
1 1 1 1 1 1
3 2n 3 3 2n 3

.
8 è 2 n 1 n

2 ÷ 8 è 2 n
÷
1 n 2 ÷ 16 8 n 1 n 2
2．（2022·重庆）数列 an 满足： a1 2a2 3a3 nan 2 (n 1) × 2n 1， n N* ．
(1)求数列 an 的通项公式；
a
(2)设bn n 2 an 1 a ，
Tn 为数列 bn 的前 n 项和，若Tn < m 3恒成立，求实数 m 的取值范围．
n 1 1
【答案】(1) an 2n ， n N* (2) m 2或m 2
【解析】(1)解：当 n 2， a1 2a2 3a3 L nan 2 (n 1) × 2n 1，①
a n1 2a2 (n 1)an 1 2 (n 2) × 2 ， n 2，②
① ② na n × 2n a 2n－ 得 n n (n 2)（*）
在①中令 n 1，得 a1 2，也满足（*），所以 an 2n ， n N* ，
2n 1 1
(2)解：由（1）知，bn 2n 1 2n 1 1 2n 1 2n 1 1，
T 1 1 1 1 故 n 1
1 1 1 1 ，
è 2 1 22 1÷ 22 1 23 1÷ è è 2n 1 2n 1 1÷ 2n 1 1
T < m2 3 1 1 2于是， n n 1 < m 32 1
1
因为1 n 1 随 n 的增大而增大，2 1
所以m2 3 1，解得m 2或m 2
所以实数 m 的取值范围是m 2或m 2 .
3（2023· *江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 4且 an 1 Sn 4 n N .
(1)求数列 an 的通项公式;
2n 1
(2) b ( 1)n 1若 n b n Tn log a ，求数列 n 的前 项和 n .2 n
(1) a 2n 1 (2)T 1 ( 1)
n 1
【答案】 n n n 1
【解析】（1）因为 an 1 Sn 4 ，
当 n 1时， a2 S1 4 8，
当 n 2时， an Sn 1 4 ，所以 an 1 an an ，即 an 1 2an n 2,n N* ，
a2 8
又因为 2a 4 ，满足上式，所以 an 是以 4为首项， 2为公比的等比数列，则 an 4 2
n 1 2n 1 .
1
2 b
2n 1
( 1)n 1 ( 1)n 1 2n 1 n 1 1 1 （ ）因为 n ( 1) n log2 a n(n
，
n 1)
n n 1֏
1 n 1 1 1 1 1 n 1 1 1
所以Tn ÷ ÷ 1 ÷ 1 .
è1 2 è 2 3 è n n 1 n 1
考法三 错位相减法
【例 3-1】（2024·吉林·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 a1 1,2Sn 3an m .
(1)求实数m 的值和数列 an 的通项公式；
(2)若bn an × log3an 1，求数列 bn 的前 n项和Tn .
【答案】(1) 1，an 3
n 1
2n 1
(2)T 1 ×3
n
n 4 4
【解析】（1）当 n 1时， 2S1 3a1 m，
S1 a1, 2a1 3a1 m，
m a1 1，
当 n 2时， 2an 2Sn 2Sn 1 3an 1 3an 1 1 ，
an
整理得 an 3an 1, a1 0 3a ，n 1
数列 an 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，
a 3n 1n ；
（2）法一：
bn an × log a 3
n 1 n
3 n 1 × log33 n ×3
n 1
，
T 1 30 2 31 3 32 n 1 ×3n 2n n ×3n 1 ①，
3Tn 1 3
1 2 32 3 33 n 1 × 3n 1 n × 3n ②，
① ②得
2T 30 31 32 3n 2 3n 1n n ×3
n
1 1 3n
n ×3n
1 3
1 1 2n ×3n

2 2
1 2n 1 ×3n
Tn ；4 4
法二：
bn an × log3a
n 1 n
n 1 3 × log33 n ×3
n 1
，
b An B ×3n éA n 1 Bù ×3n 1设 n 2An A 2B ×3n 1，
1 1
2A 1且 A 2B 0 ，解得 A , B ，
2 4
b 1 n 1 ×3n é1 n 1 1n ÷ ê
ù ×3n 1，
è 2 4 2 4 ú
即bn cn 1 cn ，其中 c
é1
n ê n 1
1
ù n 1ú ×3 ， 2 4
Tn b1 b2 bn
c2 c1 c3 c2 cn 1 cn
cn 1 c1
n 1 n 1 2 4 ÷
×3
è 4
2n 1 ×3n 1
，
4 4
T 1 2n 1 ×3
n
n .4 4
a a a
【例 3-2】（2024·江西宜春·模拟预测）数列{an}满足 a1 2 3 n 2n．2 22 2n 1
(1)求{an}的通项公式；
n
(2)若bn ，求{bn}的前 n项和Ta n ．n
【答案】(1) an 2n
T 2 n 2(2) n 2n
【解析】（1）数列{an}满足 a
a a a
1
2 32
n
2 2 2n 1
2n ，
当 n 2时， a
a
2
a a
1
3
2
n 1
n 2 2 n 1 ，2 2 2
a
两式相减可得， n n2n 1
2，所以 an 2 ，
当 n 1 1时， a1 2 2 也满足上式，
所以 an 2
n ；
（2）由（1）得b
n
n 2n ，
T 1 2 3 n所以 n = + 2 +2 2 23
+ +
2n ，
1 1 2 3 n 1 n
则 Tn 2 3 4 n 2 2 2 2 2 2n 1
，
1 1
1 1 1 1 1 n (1 n ) n n 2
两式相减的， Tn 2 3
2 2
2 2 2 2 2n 2n 1 1 2n 1
1
2n 1 ，1
2
n 2
所以Tn 2 2n
．
【一隅三反】
1．（2024 高三下·四川成都·专题练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且满足 Sn 2an 2n 1．
(1)求证：数列 an 2 为等比数列；
n 2 a
(2)已知b n n ，求数列 bn 的前 n项和．3
【答案】(1)证明见解析
(2)Tn n 1 ×2n 1
【解析】（1）当 n 1时， a1 2a1 1，解得 a1 1，
当 n 2时，由 Sn 2an 2n 1，可得 Sn 1 2an 1 2n 3 ,
an 2
两式相减得 an 2an 2an 1 2，所以 an 2 2 an 1 2 ，即 2an 1 2
，
又因为 a1 2 3，所以 an 2 是首项为 3，公比为 2的等比数列，
所以 an 2 3 ×2
n 1 n 1
，所以数列 an 的通项公式为 an 3 × 2 2；
n 2 a
（2）由（1）知，b n n n × 2n 1，3
0 1 n 2 n 1
所以数列 bn 的前 n项和为Tn 1 2 2 2 n 1 2 n × 2 ，
2T 1 21 2 22可得 n (n 1) × 2
n 1 n × 2n ，
n
两式相减得 T 1 2 22 2n 1n n × 2
n 1 2 n × 2n 2n 1 n × 2n，
1 2
所以Tn n 1 ×2n 1．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 Sn , 2Sn n a 1
3
n 且 a2 a .2 1
(1)求 an 的通项公式；
b a(2)若 n n ,2n 求数列 bn 的前 n项和Tn .
n 1
【答案】(1) an 2
T 3 n 3(2) n 2 2n 1
3 3
【解析】（1）当 n 1时, 2S1 a1 1 ,解出 a1 1 ,又 a2 a1 ,则 a2 ；2 2
2Sn n an 1 ,
当 n 2时,由 n 1 a2S n 1 a 1 ,两式相减得 n 1 nan 1 0 ,两边同时除以 n n 1 n 1 n 1
an 1 an 1 a 0 , n 1
a 1 1 1
即 即 n n n 1 n(n 1) n n , n 2 1 n(n 1) n n 1
a
利用上述等式有 n
a
n 1
a a 1 1 1
××× 3 2 ××× 1 , n 3 ,
n 1 n 2 2 1 n 1 n 2 2
a
因此 n a
1
2 1 ,即 a
n 1
n , n 3 ,n 1 n 1 2
当 n 1,2
3 n 1 n 1
时, a1 1 , a2 满足 an ,因此 an ；2 2 2
n 1 2 3 4 n 1
（2）由（1）可知, bn n 1 ,则Tn ××× ,2 22 23 24 2n 1
1 1 2 3 n n 1
两边同时乘以 2 得, Tn 3 2 2 24
×××
2n 1 2n 2
,
1 T 2 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1错位相减得 n ××× 2 22 23 2n 1 2n 2 22
2 3 ××× n 1 n 2 ,2 2 2 2
1 n
2 1
1
÷
1 1 2 è è 2
÷
÷即 T n 1 3 n 3n 2 22 1 1 2
n 2 4 2n 2
2
整理得，T
3 n 3
n n 1 .2 2
2a 1 a 1
3．（2024·

河南·三模）已知数列 an 的各项都为正数，且其前 n项和 S n nn .2
(1)证明： an 是等差数列，并求 an ；
(2) b 8a 1 × 4n 1如果 n n ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
【答案】(1)证明见解析， a
n 1
n 2
12n 5 4n 5(2)T n .9
2a1 1 a1 1 1【解析】（1）当 n 1 时， S1 a1 2a1 2a21 a1 1 a1 1或 a1 ，2 2
因为 an > 0，所以 a1 1，
2Sn 2a
2
n an 1,2Sn 1 2a
2
n 1 an 1 1，
2a 2a2 a 2a2两式相减得 n 1 n 1 n 1 n an an 1 an 2 an 1 an an 1 an ，
1
因为 an > 0，所以 an 1 an ，2
故 a 1 1n 是首项为 ，公差为 2 的等差数列，
a a n 1 n 1n 1 ；2 2
（2 n 1）由（1）知bn 4n 3 × 4 ，
Tn 7 4
0 11 4 15 42 4n 1 4n 2 4n 3 4n 1，
4T 7 4 11 42n 4n 1 4n 1 4n 3 4n ，
3T 7 4 4 42则 n 4n 1 4n 3 4n ，
3 4 1 4 42 4n 1 4n 3 4n
3 4 1 4
n
4n 3 4n
1 4
4 4n 1
3 4n 3 4n ，
3
4 4n4n 3 1n 12n 5 4n 4 12n 5 4n 5所以Tn 4 1 1 .3 9 9 9
考法四 分组转化法
【例 4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知数列 an 为公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn ， S7 49，且 a2，
a5 ， a14 成等比数列．
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 an bn 是公比为 3 的等比数列，且b3 22，求 bn 的前 n 项和Tn ．
*
【答案】(1) an 2n 1 n N
(2)T 3
n 1 3
n n
2
2
【解析】（1）因为 an 为等差数列，设公差为 d，
S 49 a1 a由 ，得 7 77 7a4 49， a4 7 即 a1 3d 7 ，2
2 2
由 a2， a5 ， a14 成等比数列得a5 a2 × a14 ， 7 d 7 2d 7 10d ，
7 d 2化简 7 2d 7 10d 得d 2 2d 0 ，因为 d 0，所以 d 2．
所以 an a4 n 4 d 2n 1 n N* ．
综上 an 2n 1 n N* ．
（2）由 an 2n 1知 a1 1， a3 5，
又 an bn 为公比是 3 的等比数列，b3 22，
所以 a3 b3 a1 b1 9 5 22 27，即 a1 b1 1 b1 3，
所以 an b
n 1 n n
n 3 3 3 ，bn 3 2n 1 n N*，
1 2 3 n
所以Tn b1 b2 b3 ××× bn 3 3 3 ××× 3 é1 3 5 ××× 2n 1 ù
3 1 3n 1 2n 1 n 3n 1 3
n2 .
1 3 2 2
3n 1 3
综上Tn n
2 .
2
【例 4-2】（2024·山西·三模）已知等差数列 an 的公差 d > 0，前 n项和为 Sn ，且 a3a6 5， S8 16 .
(1)求数列 an 的通项公式；
an , n 2k 1(2)若bn 2n ,n 2k k N
* ，求数列 bn 的前 2n项和T 2n .
【答案】(1) an 2n 11
4n 1(2) 2n2 11n 4
3
【解析】（1）因为 a3a6 5， S8 16，
a1 2d a1 5d 5 a1 9 a1 5
所以 8 8 1 ，解得 或 ，
8a

1 d 16 d 2 d 2 2
a1 9
因为 d > 0，所以 ，则 an a1 n 1 d 2n 11d 2 ；
a , n 2k 1 2n 11, n 2k 1
（2 n）由（1）可得bn n n k N*
2 ,n 2k 2 ,n 2k
，
所以T2n é 9 5 1 3 7 4n 13 ù 22 24 26 22n
n é 9 4n 13 ù 2
2 1 22n
2 1 22
4n 1 4
2n2 11n .
3
【例 4-3】（2024·全国·模拟预测）数列 an 满足 2an 1 an an 2 ， a1 1，且
1 1 1 1 n
a1a2 a2a3 a3a
．
4 anan 1 2n 1
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设bn an ×cos nπ ，求数列 bn 的前 n项和 Sn ．
【答案】(1) an 2n 1
n,n为偶数,
(2) Sn
n,n为奇数.
【解析】（1）由题意可知，数列 an 是等差数列，设数列 an 的公差为d ．
1 1 1 1 n

a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 2n 1
可转化为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 n
d a a ÷ d a a ÷ d a a ÷
÷ ，
è 1 2 è 2 3 è 3 4 d è an an 1 2n 1
1 1 1 n
即 ，
d è a1 a
÷
n 1 2n 1
1 1 1 n
1 nd n n n即
d a a ÷
， ，即 ，
è 1 1 nd 2n 1 d 1 nd 2n 1 1 nd 2n 1
d 2 ， an a1 n 1 d 2n 1．
（2）由题可得bn 1
n × 2n 1 ，
S nn b1 b2 bn 1 3 5 7 1 2n 1 ，
当 n为偶数时， Sn 2
n
× n；
2
当 n为奇数时， Sn Sn 1 bn n 1 2n 1 n．
n, n为偶数,
综上所述, Sn
n,n为奇数.
【一隅三反】
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 an 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 a2 3， S4 15 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 b nn 满足bn an ( 1) (3n 1) ，求数列 bn 的前 2n 项和T2n .
【答案】(1) an 2
n 1
；
(2)T 2nn 2 3n 1 .
【解析】（1）设等比数列 an 的公比为q(q > 0)，由 a1 a2 3及 S4 15，
2
得 a3 a4 q (a1 a2 ) 12，
解得 q = 2，于是a1 a2 3a1 3，即 a1 1，
a n 1 n 1所以数列 n 的通项公式是 an a1q 2 .
（2 1 b 2n 1）由（ ）知， n ( 1)
n (3n 1) ，
所以T2n (1 2 2
2 22n 1) [( 2 5) ( 8 11) ( 6n 4 6n 1)]
1 22n
3n 22n 3n 1.
1 2
2．（2024·全国·二模）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 an 3， Sn n
1
an 1 an 1 .4
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) a求数列 a 2 nn 的前 n 项和为Tn .
【答案】(1) an 2n 1
8 4n 1(2) n2 2n
3
1
【解析】（1）因为 Sn n an 1 an 1 ，4
即 4Sn 4n a
2
n 1，
当 n 1时 4S1 4 a
2
1 1，解得 a1 3或 a1 1（舍去），
当 n 2时 4Sn 1 4 n 1 a2n 1 1，
4S 4n 4S 4 n 1 a2 1 a2所以 n n 1 n n 1 1，
2 2
即 4an 4 an an 1，
a2 2 2即 n 4an 4 an 1，即 an 2 a2n 1，
又 an 3，所以 an 2 an 1，即 an an 1 2，
所以 an 是以3为首项， 2为公差的等差数列，
所以 an 2n 1.
2 1 a 2an 2n 1 22n 1（ ）由（ ）可得 n 2n 1 2 4
n
，
所以Tn 3 2 4
1 5 2 42 2n 1 2 4n
3 5 2n 1 2 41 2 42 2 4n
3 2n 1 n 8 1 4n 8 4n 1
n2 2n .
2 1 4 3
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列 an 中， a3 4, a2a5 32 ，且 lnan , lnan 1, lnan 2 成等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 满足bn an ( 1)n log2an 1，求数列 bn 的前 n项和Tn .
n 1
【答案】(1) an 2
n n 2

2 n为偶数
(2)T 2n
2n n 3 n为奇数


2
【解析】（1） lnan , lnan 1, lnan 2 成等差数列，
2lnan 1 lnan lna 2n 2 ，即 an 1 anan 2 ，而 an 0 ，
an 为等比数列，
a a q23 1 4
又 ，得 a 1, q 2, a 2n 1 .
a2a5 a
2 5 1 n
1 q 32
2 b 2n 1 ( 1)n n n 1 n（ ） n log2 2 2 ( 1) n ，
当 n为偶数时，
Tn 1 2 22 2n 1 é 1 2 3 4 n 1 n ù
1 2n n
2n n 2 ，
1 2 2 2
当 n为奇数时，
T T b 2n 1 n 1 2n ( 1)n 1n n 1 n 1 n 1 2n
n 3
，
2 2
2n n 2 n为偶数 Tn 2 .
2n n 3 n为奇数 2
考法五 倒序相加法
1 1
【例 5-1】（2024·上海·模拟预测）已知 f x x 2 x *，数列 an 的前 n项和为 Sn ，点 n, S2 2 n n N 均在函数
y f x 的图象上.
(1)求数列 an 的通项公式；
x
(2)若 g x 4 b a x ，令 n g
n
÷ n N* ，求数列 b4 2 2025 n 的前 2024 项和T2024 .è
【答案】(1) an n
(2)1012
【解析】（1）因为点 n, Sn n N* 均在函数 f x 1 x 2 1 x 的图象上，2 2
1 1
所以 Sn n
2 n，
2 2
1 1
当 n 1时， S1 1，即 a1 1，2 2
a S S 1 1 1 1当 n 2时， n n n 1 n
2 n é (n 1)2 (n 1)ù
2 2 ê 2 2 ú
1 n2 1 n 1 1 1 1 2
2 2
n n n ÷ n ，
è 2 2 2 2
因为 a1 1满足上式，
所以 an n ；
x
（2）因为 g x 4 ，
4 x 2
4x 41 x x x
所以 g(x) g(1 x) 4 4 4 2
4x
1 x x 1， 2 4 2 4 2 4 2 4x 4x 2 4x 2
a n *
因为 a nn n ，所以bn g ÷ =g n N ，
è 2025 è 2025 ÷


所以T2024 b1 b2 b3 ××× b2023 b2024
g 1 g 2 3 2023 g ××× g 2024 2025 ÷ 2025 ÷
g
2025 ÷ 2025 ÷ 2025 ÷
①，
è è è è è
又T2024 b2024 b2023 b2022 ××× b2 b1
g 2024 g 2023 g 2022 2 1 ××× g g ②，
è 2025 ÷ è 2025 ÷ è 2025 ÷ è 2025 ÷ ÷ è 2025
①+②，得 2T2024 2024
ég 1 g 2024 ùê ÷ 2024，
è 2025 è 2024
÷
ú
所以T2024 1012 .
【一隅三反】
a a a a
1．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）已知数列 an 满足： 1 22 33 ××× n n2 2 2 2n n N
* ，数列 bn 满足
b 1n a 250 .n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求bn b100 n的值；
(3)求b1 b2 b3 ××× b99的值.
【答案】(1) a nn 2
1
(2)
250
99
(3)
251
a a a a *
【解析】（1）由数列 a 满足： 1 2 3n ××× n2 22 23 2n n n N ，
n 2 a a
a a
当 时，可得 1 2 32 3 ×××
n 1
n 1 n 1，2 2 2 2
a
两式相减，可得 nn 1，所以 a 2
n
n ，2
a
当 n 1，可得 1 1，所以 a
2 1
2，适合上式，
所以数列 an 的通项公式为 an 2n .
1 1
（2）由数列 bn 满足bn a 250n 2n 250
，
b b 1 1 1 2
n 1 2n 2n +250 1
则 n 100 n 2n 250 2100 n 250

2n 250

2100 250
.
×2n 2n 250 (2n +250 )250 (2n +250 )250 250
1
（3）由（2）知bn b100 n 50 ，2
1 1 1
可得b1 b2 b3 ××× b99 1 50 2 50 99 50 ，2 2 2 2 2 2
b 1 1 1则 99 b98 b97 ××× b1 299 250

298 250

21 250
，
2(b 99 99两式相加可得 1 b2 b3 ××× b99 ) 50 ，所以b1 b2 b3 ××× b99 51 .2 2
a a a 1
2．（23-24 · *湖南益阳 阶段练习）已知数列 a 满足 1 2n 2 nn n n N ，数列 bn 满足b 2 2 2 n a 50 ．n 2
(1)求数列 an 的通项公式；
n ü
(2)求数列 的前 n 项和 Sn ；
an
(3)求数列 bn 的前 99 项的和T99的值．
【答案】(1) an 2n ；
(2) Sn 2
n 2

2n
；
99
(3)T99 51 .2
a a a
【解析】（1）由 1 2 n2 n n n N* ①2 2 2
a
得 1
a a
2 n 1
2 22
n 1 n 1 n 2 ②2
a
①－②得： nn 1
n
， an 2 n 2 2
a
在①式中令 n 1得 1 1， a1 2合适上式，所以对任意的正整数 n 都有： a 2n2 n
S 1 2 n 1 n 1 1 2 n 1 n（2） n 1 2 n 1 ， S 2 2 2 2n 2 n 22

23

2n

2n 1
1 1 1
1 S 1 1 1 n
n ÷ n 1 n
两式相减得： n 2
2 è 2
2 2 2 2n

2n 1
1 n 1 1 2 2n 2n 11
2
n 2
整理得： Sn 2 2n
1
（3）bn 2n 50
，
2
1 2n 2n
所以b100 n 2100 n 250

2100 2n × 250 250 250 2n
1
所以bn b100 n 50 ，为定值，则T99 b1 b2 b2 98
b99
且T99 b99 b98 b
99 99
2 b1，两式相加得 2T99 50 ，因此T99 2 251
3．（23-24 福建龙岩·期末）已知函数 f x 满足 f x f 1 x 2，数列 an 满足：
a f 0 f 1 n 1 f n n ÷ ÷ f 1 .è è n
(1)求数列 an 的通项公式；
b b a 1
1
(2)数列 nn 满足 n nn ，其前 项和为 Sn ，若1 n < la2 2 S n 1 对任意 n N
* 恒成立，求实数l 的取值范
2 n
围.
【答案】(1) an n 1
2
(2) ,

9 ֏
【解析】（1）解：函数 f x 满足 f x f 1 x 2 1 n 1 ，数列 an 满足 an f 0 f ÷ f ÷ f 1 ，
è n è n
则 an f 1 f
n 1 f 1 ÷ ÷ f 1 ，
è n è n
所以， 2an é f 0 f 1
é f 1ù f n 1 ù ê ÷ ÷ L é f 1 f 0 ù 2 n 1 ，
è n è n ú
故 an n 1.
a 1 n
（2）解：由（1）可得b nn 2n
n ，2
S 1 2 3 n则 n 2 2 2 23
，
2n
1 S 1 2 n 1 n所以，
2 n

22 23

2n

2n 1
，
1 1 1
1 S 1 1 1 1 n 2
2n ÷ n n 2
上式 下式可得 è
2 n 2 22
1 ，
23 2n 2n 1 1 2n 1 2n 11
2
S 2 n 2 2 S 2 2
n 2 n 2
所以， n 2n
，则 n ÷ ，
è 2n 2n
2n所以， 2 Sn n 2 ，
n 1
由1
1
n < la2 2 S n 1可得1
1 n 1
< l × n 2 ，则
l > 2 ，
n n 2 n 2 n 2
n 1 n 1 n 1 1
因为 n 2 2
2
é n 1 1 ù n 1
2 2 n 1 1 n 1 1 2 ，
n 1
1
因为函数 y x 2在 2, 上单调递增，
x
1
且 n 1 2
2
2，故当 n 1时， 1 l >n 1 2 取最大值 ，故 .9 9
n 1
2
因此，实数l 的取值范围是 , .
è 9 ÷
考法六 插项数列
【例 6】（2024· · a河南 一模）在等差数列 n 中， a3 a4 a11 84 ， a7 33 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若记bk (k N
k 2k
)为 an 中落在区间 5 ,5 内项的个数，求 bk 的前 k 项和Tk .
【答案】(1) an 5n 2
1
(2) (52k 1 6 5k 1)(k N
24
)
【解析】（1）等差数列 an 中，由 a3 a4 a11 84 ，得 a4 2a7 84 ，而 a7 33，解得 a4 18，
因此数列 an 的公差 d
a7 a 4 5， an a4 (n 4)d 5n 2，7 4
所以数列 an 的通项公式是 an 5n 2 .
k 2k k 1 2 2k 1 2
（2）由（1）知， k N ，由5 < an < 5 ，得5k < 5n 2 < 52k ，整理得5 < n < 5 ，5 5
因此正整数 n满足5k 1 1 n 52k 1 b 52k 1，从而得 k 5
k 1
，
5(25k b k T 1) 5
k 1 1
所以 的前 项和为 (52k 1 6 5kk k 1)(k N ) .25 1 5 1 24
【一隅三反】
2
1.（2024· 3n 3n广西·模拟预测）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数 n，有 Sn ．2 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) m对所有正整数 m，若ak < 4 < ak 1 ，则在 a 和 a mk k 1两项中插入 4 ，由此得到一个新数列 bn ，求 bn 的前 91
项和．
【答案】(1) an 3(n 1) .
(2)11563.
3n2 3n é3(n 1)2 3(n 1) ù
【解析】（1）当 n 2时， an Sn Sn 1 ÷ 2 2 ê
ú 3n 3．
è 2 2
又 n 1时，得 a1 0，也满足上式，
故 an 3(n 1) ．
4 5
（2）由a91 270 ，所以4 < a91 < 4 ，
又a87 258 > 4
4
，所以 bn 前 91 项中有 87 项来自 an ，
所以b1 b2 b91 a1 a2 a87 41 42 43 44
87 a a 4 44 1
1 87

11223 340 11563．
2 4 1
2．（23-24 ·
n
江苏南京·期末）已知数列 a 2n , bn ，其中数列 an 是等差数列，且满足bn an 1 n ，
a1 +b1 =1， a2 b2 8,n N
*
．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
c 1(2)若 n ca a ，求数列 n 的前 n项和 Sn ；n n 1
(3)设数列 bn 的前 n项和为Tn ，记集合 A {n | n 100 且Tn 100}，求集合A 中所有元素的和S ．
n
【答案】(1) an n ，bn n 1 n2；
n
(2) ；
n 1
(3) 2520
n
【解析】（1）因为b 2n an 1 n ，所以b1 a1 1，b2 a2 4，
因为 a1 b1 1, a2 b2 8，所以 a1 1,b1 0 ， a2 2,b2 6,
又数列 an 是等差数列，所以 an 的公差 d a2 a1 1，
故数列 an 的通项公式 an 1 n 1 n ，
所以b n 2 n 2n an 1 n n 1 n ，
即 bn n的通项公式bn n 1 n2．
1 1 1
（2）由（1）知 cn n n 1 n n 1，
S 1 1 1 1 1 1 1 n则 n 1 ．1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1
（3
n
）由（1）知bn n 1 n2，
当 n为偶数时，bn 1 bn n 1 n 1
2 n n2 2n 1 2n 1 4n 2，
故Tn b1 b2 b3 b4 bn 1 bn
4 2 4 n 2 n 4 1 1 n 2 n n n2 n n n 1 ，
2 2 2
此时，由 n n 1 100 ，又 n 100且 n N*，所以解得 n 9，即 2,4,6,8 A．
当 n
2
为奇数时，Tn Tn 1 bn 1 n 1 n 2 é n 1 n 1 ù 0，
此时1,3,5, ,99 A．
50 1 99S 1 3 99 2 4 6 8 20 2520
综上可得 2
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x x5 2x3 3x，数列 an 的首项为 1，且满足 an 3 an n N* ．若
f a2023 f a2024 a2025 0，则数列 an 的前 2023 项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
5 3
【解析】因为函数 f x x 2x 3x，则 f (x) 5x4 6x2 3 > 0，
所以函数 f x x5 2x3 3x在R 上单调递增，且是奇函数．
an 3 an n N* ， a1 a2023 1,a2 a2024 ,a3 a2025 ，
f a1 f a2 a3 f a2023 f a2024 a2025 0，
f a1 f a2 a3 f a2 a3 ， a1 a2 a3，即 a1 a2 a3 0 ，
数列 an 的前 2023 项和为674 a1 a2 a3 a2023 0 a1 1．
故选：B．
2．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第 1 堆只有 1 层，且只有
1 个球；第 2 堆有 2 层 4 个球，其中第 1 层有 1 个球，第 2 层有 3 个球；…；第 n 堆有 n 层共 Sn 个球，第 1 层有
20
1 2个球，第 2 层有 3 个球，第 3 层有 6 个球，…．已知 S20 1540，则 n （ ）
n 1
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
【答案】D
【解析】在第 n n 2 堆中，从第 2 层起，第 n 层的球的个数比第 n 1层的球的个数多 n，
记第 n 层球的个数为 an ，则 an an 1 n n 2 ，
得 an a1 a2 a1 a3 a2 an a
1
n 1 1 2 3 n n n 1 ，2
其中 a1 1
1
也适合上式，则 an n n
1
1 n2 n ，2 2
在第 n 堆中， Sn a a a a
1
é 12 22 32 n2 1 2 3 n ù1 2 3 n 2
1
é 12ê 22 32
1
n2 n n 1 ùú ，2 2
1 20 20
n 20 S n2 当 时， 20 210÷ 1540 2，解得 n 2870 .2 è n 1 n 1
故选：D.
a
3 100．（23-2 4 西晋城·阶段练习）已知数列 an 满足， a1 1，nan 1 (2n 2)an ，则 a2 a a a
（ ）
3 4 100
50 51 50 51
A． B． C． D．
101 101 99 99
【答案】C
a n 1
【解析】由nan 1 (2n 2)a
n 1
n ，得 2 ×an n
，
an 2 n an 1 n 1 an 2 n 2 a × 2 2所以 a n 1 ，
2 × ， 2 × ，L， 2 ×a n 2 a （ n 2， n N
*），
n 1 n 2 n 3 n 3 a1 1
an 2n 1 n× n 1累乘可得 a 1 ，又
a1 1，得 an n × 2 .
1
设 S a1 a2 a3 a 1× 2
0 2 × 21 3 × 22 4 × 23 100 × 299100 ①，
则 2S 1× 21 2 × 22 3 × 23 4 × 24 100 × 2100 ②，
①-②得 S 1 2 22 23 299 100 × 2100 ，
1 2100
S 2100 ×100 99 × 2100 1，
1 2
S 99 ×2100 1，
a 99
100
100 ×2 50

a a 100
.
2 3 a4 a100 99 ×2 99
故选：C.
a
4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列 an 满足 a1 2a2 3a3 ××× nan 2n 1 n N* ü，则数列 nn 1 的前 5 项
和为（ ）
5 8 12 13
A． B． C． D．
3 5 7 6
【答案】D
【解析】当 n 1时， a1 3，
当 n 2时，
a1 2a2 3a3 ××× nan 2n 1，
a1 2a2 3a3 ××× n 1 a *n 1 2n 1 n N ，
2
两式相减可得： nan 2 ，所以 an ，n
又 n 1时， a1 2，所以 a1不满足 an ，
3, n 1
a a b a n ü所以 n 2 ，设 n ，数列
n 的前 n项和T ，
,n 2 n

1 n 1
n

n
3
, n 1 2
所以bn
2 2 1 1
，
÷ ,n 2 n n 1 è n n 1
a ü
设数列 nn 1 的前
5 项和为：

T a1 a a a a 35 2 3 4 5 2
1 1 1 1 1 1 1 1


2 3 4 5 6 2 ֏ 2 3 3 4 4 5 5 6
3 2 1 1 13 .2 è 2 6 ÷ 6
故选：D.
5．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数Z = i + 2i2 +3i3 +×××+ 2024i2024的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． 1011 D． 1012
【答案】D
【解析】因为Z = i + 2i2 +3i3 +×××+ 2024i2024，
Z ×i = i2 + 2i3 +3i4 +×××+ 2024i2025 ，
i 1- i2024
所以Z × 1- i = i + i2 + i3 +×××+ i2024 - 2024i2025 = - 2024i2025 ，①1- i
因为 i4 1，所以 i2024 = i4 506 =1， i2025 = i4 506+1 = i，
-2024i -2024i 1+ i -2024i + 2024
所以化简①可得 = = =1012 -1012i1- i 1- i 1+ i 2 ，
所以虚部为 1012，
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 1, a2 1,an 1 2an 3an 1 n 2 ，数列 an 的前 n项和为 Sn ，则
S2023 （ ）
32024 1 32024 4 32025 2 32023A． B C D 1． ． ．
2 8 2 4
【答案】D
【解析】方法一：因为 an 1 2an 3an 1 n 2 ,a1 1, a2 1，所以 a3 5．
因为 an 1 2an 3an 1 n 2 ，所以 an 1 an 3 an an 1 ，
所以 an 2 an 1 9 an an 1 ．
因为 a2 a3 6，所以 a2n a2n 1 是以 6 为首项，9 为公比的等比数列．
所以 S2023 a1 a2 a3 a4 a5 ××× a2022 a2023
a1 a2 a3 a4 a5 ××× a2022 a2023
6 1 91011 320231 1 ；
1 9 4
方法二：因为当 n 2时， an 1 2an 3an 1，即 an 1 an 3 an an 1 ，
又 a1 a2 1 1 2，所以 an 1 an 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，故 an 1 an 2 3n 1 ．
由 an 1 an 2 3
n 1 n n n 1
，得 an 2 an 1 2 3 ，两式相减得 an 2 an 2 3 2 3 4 3
n 1
．
n n 4 a a 4 31,a a 4 33 , × × ×,a a 4 3n 3当 为偶数且 时， 4 2 6 4 n n 2 ，
n 2
3 1 9 2 n 1
以上式子相加得 ÷ n 1 a 1 3 1，又 2 ，所以 a ．
an a2 4
3 3
è n 2
1 9 2
n 1
又 a2 1
3 1
满足上式，所以 an ．2
当 n 0 2 n 3为奇数且 n 3时， a3 a1 4 3 ,a5 a3 4 3 , × × ×,an an 2 4 3 ，
n 1
30

1 9 2 3n 1 1
以上式子相加得 ÷ 3n 1 1，又 a1 1，所以 a ，an a1 4
è n 2
1 9 2
n 1
又 a1 1
3 1
满足上式，所以 an ．2
3n 1 1 *
,n 2k 1,k N 2
综上， an n 1 ，
3 1
,n 2k,k N
*
2
3 1 910111 1 1 1 91012 2023所以 S 1 3 1．2023 1011 1012 2 1 9 2 2 1 9 2 4
故选：D
7（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和， a1 2， an 1 2 a 2nn ，不等式
2lan S2n 1 128n 2 0对任意的 n N* 恒成立，则实数l 的取值范围为（ ）
A． ,32 B． ,16
C． 32, D． ,8
【答案】A
【解析】 a 2 a 2n a， n 1 ann 1 n 2n a 2 1 n 1，又2 1 ，
a
n ü数列 n 是首项为 1、公差为 12 的等差数列，
a
n n a n 2n， ，
2n n
S 2 3n 1 2 2 2 3 2 ××× n 2
n ①，
2Sn 1 2
2 2 23 ××× n 1 2n n 2n 1 ②，
2 1 2
n
① ② 2 3 n n 1 得， Sn 2 2 2 ××× 2 n 2 n 2n 1 1 n 2n 1 2， 1 2
S n 1 2n 1n 2 ， 不等式 2lan S2n 1 128n 2 0，
即 2ln 2n 2n 22n 2 2 128n 2 0，
故l 2n 2
64
对任意的 n N*n 恒成立．2
64 64 64
又 2n 2 2 2n 2n 32 2
n 2
，当且仅当 ，即 n 2时等号成立，
2 2n 2n
l 32，
故选：A．
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 3, an 1 an 2,4bn (
1 1
1)n 1( )
a a ，若数列 bn 的前 n项和n n 1
为Tn ，不等式3Tn < l(3 5l) n N* 恒成立，则l 的取值范围为（ ）
1
A． ( ,
1 1 1 1 2
) B． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
10 5 10 2 5 5
【答案】D
【解析】由 a1 3, an 1 an 2，得数列 an 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，则 an 2n 1，
于是b
1
n ( 1)
n 1 ( 1 1 ) ，
4 2n 1 2n 3
n T 1 é 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ù当 为偶数时， n ê ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 4 è 3 5 è 5 7 è 7 9 è 9 11 è 2n 1 2n 1 è 2n 1 2n 3 ÷ ú


1 (1 1 ) ，
4 3 2n 3
n T T b 1 1 1 1 1 1 1 1 1当 为奇数时， n n 1 n 1 ÷ ( ) ( )，4 è 3 2n 5 4 2n 3 2n 5 4 3 2n 3
1 1 1 1 1 1 1 2 2
当 n为偶数时，Tn ( ) < ；当 n为奇数时，Tn ( ) T ，因此 T 4 3 2n 3 12 4 3 2n 3 1 15 n max ，15
3T < l(3 5l) n N* 2 l 5< l 2 2 3 2由不等式 n 恒成立，得 ，即l l < 0 1 2，解得 < l < ，15 3 5 25 5 5
1 2
所以l 的取值范围为 ( , ) .
5 5
二． 多选题
9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列 an , bn 的前 n项和分别为 Sn ,Tn ，若an 2n 1,Tn 2n 1 2，则（ ）
A． S10 100 B．b10 1024
1 ü 9 1 ü 1023
C． 的前 10 项和为 D． 的前 10 项和为
ana

n 1 19 bn 1024
【答案】ABD
【解析】 an 2n 1，所以 an 是首项 a1 1，公差 d 2的等差数列，
10 10 1S 10 1 10 2 100，故选项 A 正确.2
令 c
1 1 1 1 1 1 1
n = a ×a ，则
cn ( ) ( )，
n n+1 d an an 1 2 an an 1
c1 c2 c
1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 110 ) ( )2 a ，1 a2 a2 a3 a10 a11 2 a1 a11
又 a1 1， a11 21，
c c c 1 (1 1 ) 10 1 2 10 ，故选项 C 错误.2 21 21
又 Tn 2
n 1 2， bn Tn T
n 1
n 1 2 2 2
n 2 2n (n＞1, n N*)，
又 b T 21 11 1 2 2
1 n *
，b1 2 2， bn 2 (n N )，
bn 是首项为b1 2，公比 q = 2的等比数列，
b10 2
10 1024，故选项 B 正确.
1 1 1 1 n 1
又 × ，
bn 2
n 2 ֏ 2
1 ü
1 1 是首项为 2 ，公比为 b 2
的等比数列，
n
1 1
1 1 1 1 (1 10 ) 2 2 1023 1 ，故选项 D 正确.b1 b2 b3 b10 1 1024
2
故选：ABD.
10．（2024·江西·三模）已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 1，则（ ）
A．数列 an 是等比数列 B．数列 log2 an 1 是等差数列
C．数列 a n 1n 的前 n项和为 2 n 2 D． a20 能被 3 整除
【答案】BCD
【解析】由 an 1 2an 1可得：an 1+1 2 an 1 ，所以数列 an +1 n是等比数列，即 an =2 1，
则 a1=1, a2 =3,a =7,
2
3 显然有 a1 ×a3 a2 ，所以 a1,a2 ,a3 不成等比数列，故选项 A 是错误的；
由数列 a n nn +1 是等比数列可得： an +1=2 ，即 log2 an 1 = log2 2 n ，故选项 B 是正确的；
a =2n 1 n 2 1 2
n
由 n

可得：前 项和 S 1n =2 1 2
2 1 23 1 ××× 2n 1 n 2n 1 n 2，故选项 C 是正确的；
1 2
由 a20 =2
20 1= 3 1 20 1 C0 320 C1 31920 20 × 1 C220318 × 1
2 ××× C19203 × 1
19 C2020 1
20 1
3 éC0 319 C1 318 × 1 C2 317 × 1 2 ××× C19 1 19 ù 20 20 20 20 ，故选项 D 是正确的；
方法二：由 210 1024，1024 除以 3 余数是 1，所以10242除以 3 的余数还是 1，从而可得 220 1能补 3 整除，故
选项 D 是正确的；
故选：BCD．
11 *（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 4S2 ,a2n 2an 1 n N ，则（ ）
A． an 2n 1 B． Sn n
2
1 ü 2n
C n．数列 的前 n 项和为 D．数列 an 2 的前 n 项和为 2n 1a a n
2 2
n n 1 2n 1
【答案】ABD
【解析】对于 A，设等差数列 an 的首项和公差为 a1,d ，
4 3
所以 S4 4a1 d 4S2 4 2a1 d
1
，化简可得： a1 d ，2 2
又因为 a2n 2an 1，则 a2 2a1 1，
所以 a1 d a1 2a1 2a1 1，所以 d 2, a1 1，
所以 an a1 n 1 d 1 2 n 1 2n 1，故 A 正确；
n
B S na n 1 对于 ， n 1 d n n n 1 n2 ，故 B 正确；2
1 1 1 1 1 对于 C， anan 1 2n 1 2n 1 2 è 2n 1 2n 1÷
，

1 ü 1
所以数列 的前 n 项和为 1
1 1 1 1 1 1 1
+ ÷ =
1 1 n
1 ，故 C 错误；
anan 1 2 è 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 2 è 2n 1
÷
2n 1
D n对于 ，令bn an 2 2n 1 2n ，
所以数列 an 2n 的前 n 项和为： 1 3 5 2n 1 21 22 23 2n
n 1 2n 1 2 1 2n
n2 2n 1 2，故 D 正确.
2 1 2
故选：ABD.
三．填空题
1
12．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 an ，数列 bn 的前 n项和为Tn ，且n n 1
2bn 1 Sn an 1，则满足Tn 2的正整数 n的最小值为 .
【答案】15
a 1【解析】因为 n n n 1 ，n n 1
所以 Sn n n 1 n 1 n 2 ××× 1 0 n ，
因为 2bn 1 Sn a bn 1，所以 2 n 1 n n 1 n ，
整理得 2b n 1 n 1 n 1n ，
n n
b log n 1所以 n 2 log2 n 1 log2 n ，n
所以Tn log2 n 1 log2 n log2 n log2 n 1 log2 2 log2 1 log2 n 1 ，
令 log2 n 1 2，解得n 15 .
所以正整数 n的最小值为 15.
故答案为：15
13．（2024·辽宁大连·二模）在VABC 中，三边 a，b ， c所对应的角分别是A ， B ，C ，已知 a，b ， c成等比数
n 3
. sin B 2 3
2 cos nB ÷ ,n为偶数
列 若 ，数列{an}满足 an è 2 前 n项和为 Sn ， S2n .
sin Asin C 3
an 1 1, n为奇数
22n 3 3n 8
【答案】
3
【解析】因为 a，b ， c成等比数列，所以b2 ac，即 sin2 B sin Asin C ,
sin B 2 3 1 2 3
又 ，所以 ，即 sin B 3 ，
sin Asin C 3 sin B 3 2
2
cos B a c
2 b2 a2 c2 ac ac π
由 > 0知0 < B <
π
，所以 B ，
2ac 2ac 2ac 2 3
an 2
n cos 3 nB

÷ 2
n cos nπ ÷ 2
n
， n为偶数，
è 2 è 2
a n 1n an 1 1 2 1， n为奇数，
所以 S 2 4 2n 22n 2 2 2 2 1 24 1 22n 1
2 22 24 22n n 2 4(1 4
n ) 2n 3n 2 3n 8 .
1 4 3
22n 3 3n 8
故答案为：
3
1 1
14．（2024·山西临汾·三模）已知首项为 1 的正项数列 an ，其前 n项和 Sn an ÷．用 x 表示不超过 x 的2 è an
最大整数，则 S1 S2 S3 ××× S112 ．
【答案】745
【解析】当 n 1 S 2时， 1 a
2
1 1
1 1 2 2
当 n 2时， Sn S S2 n n 1
，整理得 S S 1，
è Sn S
÷ n n 1
n 1
2
所以，数列 Sn 是以 1 为首项和公差的等差数列，
所以 S 2n n，故 Sn n ，
因为当1 n 3时，1 Sn < 2 ，此时 Sn 1；
当4 n 8时， 2 Sn < 3，此时 Sn 2；
当9 n 15时，3 Sn < 4，此时 Sn 3；
当16 n 24时， 4 Sn < 5，此时 Sn 4；
当 25 n 35时，5 Sn < 6，此时 Sn 5；
当36 n 48时，6 Sn < 7 ，此时 Sn 6；
当 49 n 63时，7 Sn < 8，此时 Sn 7；
当64 n 80时，8 Sn < 9，此时 Sn 8；
当81 n 99时，9 Sn <10，此时 Sn 9 ；
当100 n 112时，100 Sn <112，此时 Sn 10 ；
所以 S1 S2 S3 ××× S112
3 10 21 36 55 78 105 136 171 130 745 .
故答案为：745
四． 解答题
15．（2024·陕西咸阳·三模）数列 an 满足 a1 1， an 1an an 1 an 0 .
(1)求数列 an 通项公式；
cos nπ
(2)设bn 22a ，求数列 bn 的前 n项和 Sn .n
【答案】(1) a
1
n ；n
9n
,n 2k
(2) S 4 *n ,k N .
7n 1, n 2k 1
4
1 1
【解析】（1）数列 an 中， a1 1， an 1an an 1 an 0，显然 an 0 ，则 - =1a ，n+1 an
{ 1 } 1数列 a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
1 (n 1) ×1 n，
n an
所以数列 a 1n 通项公式是 an .n
（2）由（1）知，bn ( 1)
n n× 2，
2
* b b ( 1)n 1 n 1当 n 2k, k N 时， n 1 n × 2 ( 1)
n n 9× 2 ， S
9 n 9n
n × ，2 2 2 2 2 4
9(n 1) n 1 7n 1
当 n 2k 1,k N* 时， Sn Sn 1 bn 1 2 ，4 2 4
9n
,n 2k
S 4所以 n ,k N
* .
7n 1,n 2k 1
4
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知公比大于 1 的等比数列 an 满足： a2 a3 a4 28，且 a3 2是 a2和 a4的等
差中项．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn an × log0．5an，求 bn 的前 n项和 Sn ．
【答案】(1) an 2n ；
(2) S n 1n (1 n)2 2 .
【解析】（1）设等比数列 an 的公比为q，
因为 a3 2是 a2和 a4的等差中项，
所以 2 a3 2 a2 a4 ，又 a2 a3 a4 28，
代入得 a3 2 a3 2 28，即 a3 8，
a 23 8 a q 8
所以 1a ，即 2 3 ， 2 a4 20 a1q a1q 20
a
1
32
a1 2
解得 1 或
q q
，
2
2
又因为数列 an 是 q > 1 的等比数列，
a 2, q 2, a 2n所以 1 n ．
（2 n）由（1）知bn an·log0.5 an n ×2 ,
Sn 1 2 2 22 3 23 n 2n ①，
2Sn 1 22 2 23 3 24 n 2n 1 ②，
é 2 1 2n ù
2 3 n n 1 n 1 n 1
① ②得 Sn 2 2 2 2 n 2 ê n 2 ú (n 1)2 2 ,
ê 1 2 ú
S (1 n)2n 1n 2 .
17．（2024·云南昆明· 2三模）正项数列 an 的前 n项和为 Sn ，等比数列 bn 的前 n项和为Tn ， 4Sn an 2an 1，
4T 2n bn 2bn 1
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
a 1
(2)已知数列 cn 满足 cn b × nn a ，求数列 cn 的前 n项和Hn．nan 1
【答案】(1) an 2n 1；bn 1
n 1
1
1
1
, n为偶数
2 è 2n 1÷
(2) Hn


1 1 1 ,n为奇数 2 è 2n 1
÷

2
【解析】（1）当 n 1时， 4S1 a1 2a 1 4a a
2
1 ，即 1 1 2a1 1， a
2
1 1 0 ，
所以 a1 1，同理b1 1．
当 n 2 a S
1
S 2 2 1时， n n n 1 4 an an 1 an an 1 ，化简得：2
1 an an 1 an an 1 2 0，因为 an > 0，所以 a4 n
an 1 2，
即 an an 1 2，故 d 2，又 a1 1，所以 an 2n 1．
同理，bn bn 1 0或bn bn 1 2，
因为 bn n 1是等比数列，所以bn bn 1 0，即 q 1 ，所以bn 1 ．
n 1
2 n 1 a 1（ ）由（1）知 c nn 1 ×
n 1 2n 1 1 1 1 × ，
anan 1 2n 1 2n 1 2 è 2n 1 2n 1÷
所以当 n为奇数时，Hn c1 c2 ××× cn
1 é 1 1 1 1 1 1 1 ù ê 1 ÷ ÷ ××× ÷
，
2 3 3 5 ÷ è è è 2n 3 2n 1 è 2n 1 2n 1
ú

1 1
1 ，
2 ֏ 2n 1
1 1
同理当 n为偶数时，Hn 1 2 è 2n 1÷
．

1
1
1
, n为偶数
2 è 2n 1÷
所以Hn .
1 1 1 ÷ ,n为奇数 2 è 2n 1
a 1 a 3
18．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 S ，已知 S 是 n nn n 与 的等差2 2
中项.
(1)求 an 的通项公式；
a a2
(2) b n 1 n 1设 n b n T T 4n < 2SnS

S S ，数列 n 的前 项和为 n ，证明： n
.
n 1 n n 1
【答案】(1) an 2n 1
(2)证明见解析
a 1 a 3
【解析】（1）由题意，得 2 S nn n ，2 2
即 2 Sn an 1，即 4Sn an 1
2 ①，
2
所以4Sn 1 an 1 1 n 2 ②，
①-② 4a a2 2，得 n n 2an an 1 2an 1，
即 an an 1 an an 1 2 0 .
又 an > 0，所以 an an 1 2 n 2 .
S an 1 an 3由 n 是 与 的等差中项，得当 n 1时，2 2
2 a a 1 a 31 1 1 ，解得 a1 1，2 2
所以 an 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
故 an 2n 1.
（2 2）由（1）得 Sn n ，则
b 2n 1 (2n 1)
2 1 1
n 2 2 4
1 1

n (n 1) n n 1 n2 (n ， 1)2 n n 1
n
T b 1 1 1 1 é 1 1 ù 1 1 1 1 1所以 n n 2 ÷ 2 2 ÷ ê 2 2 ú 4n 1 ÷ ÷ 2 2 3 n (n 1) 2 2 3 i 1 è è è è è n n 1÷
1 1 1 2 4n 1 (n 1) n 1
4n 2 1 1
(n 1)2 n 1，
所以Tn 4n 4n
1 1
2 4n 2 1 1 < 2
(n 1)2 n ， 1 (n 1)2 n 1
所以Tn 4n < 2 .
2x
, x
1

19．（2023 高三·全国·专题练习）已知 A x1, y2 、B x2 , y2 是函数 f x 1 2x 2 1 的图象上的任意两点，点 1, x
2
x 1
uuuur uuur
M 在直线 上，且
2 AM MB
．
(1)求 x1 x2 的值及 y1 y2 的值；
(2)已知 S1 0 ，当 n 2时， S
1 2 3 n 1
n f
S
2 ÷
f ÷ f ÷ ××× f ÷ ，设 a nn 2 ，Tn 数列 an 的前 n项和，若
è è n è n è n
存在正整数 c，m
Tm c 1
，使得不等式 < c mTm 1 c 2
成立，求 和 的值；
【答案】(1) x1 x2 1, y1 y2 2
(2)存在， c 1, m 1
1 uuuur uuur
【解析】（1）根据点M 在直线 x 上，设M
1 , y M ÷ ，则 AM
1 x , y 1 1 M y

1 ÷，MB

x2 , y2 y

，
2 è 2 2 2 M ÷ è è
uuuur uuur
AM MB， x1 x2 1．
x 1 1①当 1 时， x2 ， y1 y2 f x1 f x2 1 1 2；2 2
1 1 2x1 2x2 2x1 1 2x2 2xy y 2 1 2x ②当 x1 时， x2
1
，
2 2 1
2 1 2x1 1 2x2 1 2x1 1 2x2
2(x1 x2 ) 8x1x2 2(1 4x 1x2 ) 2
1 2(x1 x2 ) 4x1x2 4x1x2 1
；
综合①②得， y1 y2 2．
（2）由（1）知，当 x1 + x2 1时， y1 y2 2．
f k f n k ÷ ÷ 2， k 0,1,2, , n 1，
è n è n
1
n 2
2 3 n 1
时， Sn f ÷ fn n ÷
f ÷ f ÷ ①
è è è n è n
S f n 1 f n 2 f n 3 1n ÷ ÷ ÷ f

②
è n n ÷ è è n è n
① ②得， 2Sn 2(n 1)，则 Sn 1 n ．
又 n 1时， S1 0 满足上式， Sn 1 n．
é n
1 1 1
ù
n 1 ê ÷ ú
a 2Sn 21 n ， 1 1 ê è 2 ú 2n Tn 1
2 ．
2 è 2 ÷ 1 1 2
n
2
Tm c 1
2 T c< m Tm 1 c ， < 0Tm 1 c 2 2 T c
，
m 1
c 2T T
m m 1 < 0，
c Tm 1
Tm 1 2
1 4 1 3
m ， 2Tm T2 m 1
4 m 2 m 2 2 2 2m
，
1
2 3 1 m < c < 2 < 2， c,mm 为正整数， c 1，2 2 2
2 3 <1
c 1
2m
当 时， m m 1
2 1
， 1 < 2 < 3， ．
>1
2m5.4 数列的求和方法
考点一 公式法
【例 1】（2023·惠州）已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 2，且 a2， a3 2 ， a4成等差数列.
（1）求数列 an 的通项公式；
b 1（2）设数列 bn 满足 n log2aa n ，求数列 bn 的前 n 项和Tnn
【一隅三反】
1.（2024 嘉兴）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 3a3 1， S5 25 ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2 a）令b 2 nn ，求数列 bn 的前 n 项和Tn ．
2．（辽宁省 2023-2024 学年高二下学期 7 月期末考试数学试题）已知数列 an 满足a1 3,an 1 7an 3．
ì 1 ü
(1)证明 ían 是等比数列，并求 an 的通项公式；
2
1 1 1 7
(2)证明： 考点二 裂项相消法
【例 2-1】（2024· 2湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn n 也是等差数列．
(1)求数列 an 的公差；
ì ü
(2)若 a1 -1
1
，求数列 ía a
的前 n 项和Tn ．
n n 1
【例2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知 Sn 为等比数列 an 的前 n项和，若 4a2 , 2a3 , a4 成等差数列，且 S4 8a2 - 2．
(1)求数列 an 的通项公式；
a
(2) n若bn na 2 a 2 ，且数列 bn 的前 项和为T T n ，求 n 的取值范围．n n 1
【例 2-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列 an （ n N*）中， a1 a2 11， a3 10 .
(1)求 an 的通项公式；
b 1 b n 1(2)若 n Ta a a ，数列的 n 前 项和为 n ，证明Tn < .n n 1 n 2 168
n 1
【例 2-4】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 an 满足 a 2, a
2 a
1 n 1
n .
an 2
n
ì2n ü
(1)证明：数列 í 是等差数列；
an
a a
(2) b n 1 n 2设 n ，求 ba n 的前 n 项和Tn .n
【一隅三反】
1.（2023· 2 2河南）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn - n n - 2 Sn - 2 n2 n 0 ．
(1)求 a1的值和数列 an 的通项公式；
b 1(2)设 n a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn ．n n 2
2．（2022·重庆）数列 an 满足： a1 2a2 3a3 L nan 2 (n -1) × 2n 1， n N* ．
(1)求数列 an 的通项公式；
a
(2)设bn n a -1 a 1 ，T- n 为数列 bn n
2
的前 项和，若Tn < m - 3恒成立，求实数 m 的取值范围．
n n 1
3（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 4且 an 1 Sn 4 n N* .
(1)求数列 an 的通项公式;
b ( 1)n 1 2n 1(2)若 n - n log a ，求数列 bn 的前 n项和Tn .2 n
考法三 错位相减法
【例 3-1】（2024·吉林·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 a1 1,2Sn 3an m .
(1)求实数m 的值和数列 an 的通项公式；
(2)若bn an × log3an 1，求数列 bn 的前 n项和Tn .
a a a
【例 3-2】（2024·江西宜春·模拟预测）数列{a }满足 a 2 3n 1 2
n
2 2 2n-1
2n．
(1)求{an}的通项公式；
n
(2)若bn {ba ，求 n
}的前 n项和Tn ．
n
【一隅三反】
1．（2024 高三下·四川成都·专题练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且满足 Sn 2an 2n -1．
(1)求证：数列 an - 2 为等比数列；
n 2 - a(2)已知b n n ，求数列 bn 的前 n项和．3
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 Sn , 2Sn n a 1 a
3
n 且 2 a1 .2
(1)求 an 的通项公式；
a
(2)若bn nn ,2 求数列 bn 的前 n项和Tn .
3．（2024·河南·三模）已知数列 a 2a -1 a 1 n 的各项都为正数，且其前 n项和 Sn n n .2
(1)证明： an 是等差数列，并求 an ；
(2)如果bn 8an -1 × 4n-1，求数列 bn 的前 n项和Tn .
考法四 分组转化法
【例 4-1】（2024·浙江·模拟预测）已知数列 an 为公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn ， S7 49，且 a2，
a5 ， a14 成等比数列．
(1)求 an 的通项公式；
(2)若数列 an bn 是公比为 3 的等比数列，且b3 22，求 bn 的前 n 项和Tn ．
【例 4-2】（2024·山西·三模）已知等差数列 an 的公差 d > 0，前 n项和为 Sn ，且 a3a6 -5， S8 -16 .
(1)求数列 an 的通项公式；
ìa , n 2k -1
(2) b n k N*若 n í n b 2n T .
2 ,n 2k
，求数列 n 的前 项和 2n
【例 4-3】（2024·全国·模拟预测）数列 an 满足 2an 1 an an 2 ， a1 1，且
1 1 1 L 1 n
a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 2n 1
．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设bn an ×cos nπ ，求数列 bn 的前 n项和 Sn ．
【一隅三反】
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 an 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 a2 3， S4 15 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) b b a (-1)n若数列 n 满足 n n (3n -1) ，求数列 bn 的前 2n 项和T2n .
1
2．（2024·全国·二模）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 an 3， Sn - n an -1 a4 n 1 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 a 2ann 的前 n 项和为Tn .
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列 an 中， a3 4, a2a5 32 ，且 lnan , lnan 1, lnan 2 成等差数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 满足b a (-1)nn n log2an 1，求数列 bn 的前 n项和Tn .
考法五 倒序相加法
1 1
【例 5-1】（2024· 2上海·模拟预测）已知 f x x x ，数列 an 的前 n项和为 Sn ，点 n, Sn n N* 均在函数2 2
y f x 的图象上.
(1)求数列 an 的通项公式；
g x 4
x a
(2)若 x ，令bn g
n *
4 2 2025 ÷ n N ，求数列 bn 的前 2024 项和T2024 .è
【一隅三反】
a a a a
1 *．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）已知数列 a 满足： 1 2 3n 2 3 ××× nn n n N ，数列 bn 满足2 2 2 2
b 1n a 250 .n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求bn b100-n的值；
(3)求b1 b2 b3 ××× b99的值.
a a a
2．（23-24 湖南益阳·阶段练习）已知数列 a 满足 1 2 L n
1
n 2 n n n N* ，数列 b2 2 2 n 满足bn an 250 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
ì n ü
(2)求数列 í 的前 n 项和 S ；
a
n
n
(3)求数列 bn 的前 99 项的和T99的值．
3．（23-24 福建龙岩·期末）已知函数 f x 满足 f x f 1- x 2，数列 an 满足：
a 1 n f 0 f ÷ L f
n -1
÷ f 1 .
è n è n
(1)求数列 an 的通项公式；
b b an -1
1
(2)数列 n 满足 n n ，其前 n项和为 Sn ，若1- 2n
< la
2 - S n 1 对任意 n N
* 恒成立，求实数l 的取值范
2 n
围.
考法六 插项数列
6 2024· · a 【例 】（ 河南 一模）在等差数列 n 中， a3 a4 a11 84 ， a7 33 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) k若记bk (k N )为 an 中落在区间 5 ,52k 内项的个数，求 bk 的前 k 项和Tk .
【一隅三反】
2
1.（2024·广西·模拟预测）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数 n S 3n 3n，有 n - ．2 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) m对所有正整数 m，若ak < 4 < ak 1 ，则在 ak 和 ak 1两项中插入 4m，由此得到一个新数列 bn ，求 bn 的前 91
项和．
2．（23-24 ·江苏南京·期末）已知数列 an , bn ，其中数列 an 是等差数列，且满足bn - an -1
n n2 ，
a1 +b1 =1， a2 b2 8,n N
*
．
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
1
(2)若 cn a a ，求数列 cn 的前 n项和 Sn ；n n 1
(3)设数列 bn 的前 n项和为Tn ，记集合 A {n | n 100 且Tn 100}，求集合A 中所有元素的和S ．
一．单选题
1．（2024· 5 3 *全国·模拟预测）已知函数 f x x 2x 3x，数列 an 的首项为 1，且满足 an 3 an n N ．若
f a2023 f a2024 a2025 0，则数列 an 的前 2023 项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
2．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第 1 堆只有 1 层，且只有
1 个球；第 2 堆有 2 层 4 个球，其中第 1 层有 1 个球，第 2 层有 3 个球；…；第 n 堆有 n 层共 Sn 个球，第 1 层有
20
1 个球，第 2 层有 3 个球，第 3 层有 6 个球，… S 1540 n2．已知 20 ，则 （ ）
n 1
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
a
3．（23-2 4 西晋城·阶段练习）已知数列 an 满足， a1 1，na 100n 1 (2n 2)an ，则 a2 a a L a
（
）3 4 100
50 51 50 51
A． B． C． D．
101 101 99 99
a
4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列 an 满足 a1 2a2 3a3 ××× nan 2n 1 n N* ì ü，则数列 í n 的前 5 项
n 1
和为（ ）
5 8 12 13
A． B． C． D．
3 5 7 6
【答案】D
5．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数Z = i + 2i2 +3i3 +×××+ 2024i2024的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C．-1011 D．-1012
6．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 1, a2 1,an 1 2an 3an-1 n 2 ，数列 an 的前 n项和为 Sn ，则
S2023 （ ）
32024 -1 32024 - 4 32025A B C - 2
2023
． ． ． D 3 1．
2 8 2 4
7（2024· n全国·模拟预测）已知 Sn 是数列 an 的前 n项和， a1 2， an 1 2 an 2 ，不等式
2lan - S *2n 1 -128n 2 0对任意的 n N 恒成立，则实数l 的取值范围为（ ）
A． - ,32 B． - ,16
C． 32, D． - ,8
1 1
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 3, an 1 - an 2,4bn (-1)n 1( )a a ，若数列 bn 的前 n项和n n 1
为Tn ，不等式3Tn < l(3 - 5l) n N* 恒成立，则l 的取值范围为（ ）
1 1 1 1 1 2
A． ( , ) B． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
10 5 10 2 5 5
二． 多选题
9．（2024·安徽淮北·二模）已知数列 an , bn 的前 n项和分别为 Sn ,Tn ，若an 2n -1,Tn 2n 1 - 2，则（ ）
A． S10 100 B．b10 1024
ì 1 ü 9 ì 1 ü 1023
C． í 的前 10 项和为 D．a a 19 íb
的前 10 项和为
n n 1 n 1024
10．（2024·江西·三模）已知数列 an 满足 a1 1, an 1 2an 1，则（ ）
A．数列 an 是等比数列 B．数列 log2 an 1 是等差数列
C．数列 a n 1n 的前 n项和为 2 - n - 2 D． a20 能被 3 整除
11（2024· *贵州毕节·三模）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S4 4S2 ,a2n 2an 1 n N ，则（ ）
A． an 2n -1 B
2
． Sn n
ì 1 ü 2n
C n．数列 í 的前 n 项和为 D．数列 an 2 的前 n 项和为 2n 1a a n
2 - 2
n n 1 2n 1
三．填空题
1
12．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 an ，数列 b 的前 n项和为T ，且n n -1 n n
2bn -1 Sn an 1，则满足Tn 2的正整数 n的最小值为 .
13．（2024·辽宁大连·二模）在VABC 中，三边 a，b ， c所对应的角分别是A ， B ，C ，已知 a，b ， c成等比数
ì n 3
sin B 2 3 {a } a
2 cos nB ÷ ,n为偶数
列.若 ，数列 n 满足 n í è 2 前 n项和为 Sn ， S2n .
sin Asin C 3
an 1 1, n为奇数
1 1
14．（2024·山西临汾·三模）已知首项为 1 的正项数列 an ，其前 n项和 Sn an ÷．用 x 表示不超过 x 的2 è an
最大整数，则 S1 S2 S3 ××× S112 ．
四． 解答题
15．（2024·陕西咸阳·三模）数列 an 满足 a1 1， an 1an an 1 - an 0 .
(1)求数列 an 通项公式；
b cos nπ(2)设 n 2 b n S2a ，求数列 n 的前 项和 n .n
16．（2024·陕西西安·模拟预测）已知公比大于 1 的等比数列 an 满足： a2 a3 a4 28，且 a3 2是 a2和 a4的等
差中项．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn an × log0 n．5an，求 bn 的前 项和 Sn ．
17．（2024· 2云南昆明·三模）正项数列 an 的前 n项和为 Sn ，等比数列 bn 的前 n项和为Tn ， 4Sn an 2an 1，
4T b2n n 2bn 1
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)已知数列
an 1cn 满足 cn bn × a a ，求数列 cn 的前 n项和Hn．n n 1
a -1 a 3
18．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知 S n nn 是 与 的等差2 2
中项.
(1)求 an 的通项公式；
a 2
(2) b n 1
an 1
设 n S S ，数列 bS S n 的前 n项和为Tn ，证明：Tn - 4n < 2 .n n 1 n n 1
ì 2x , x 1
19．（2023 高三·全国·专题练习）已知 A x1, y2 、B x2 , y2 是函数 f x 1- 2x 2í 1 的图象上的任意两点，点 -1, x
2
1 uuuur uuur
M 在直线 x 上，且 AM MB ．2
(1)求 x1 x2 的值及 y1 y2 的值；
S 0 S f 1 2 3 n -1(2)已知 1 ，当 n 2时， n ÷ f
S
÷ f ÷ ××× f ÷ ，设 a nn 2 ，Tn 数列 an 的前 n项和，若
è 2 è n è n è n
存在正整数 c m
Tm - c 1
， ，使得不等式 < c mTm 1 - c 2
成立，求 和 的值；

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