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5.3 递推公式求数列通项公式
考法一 公式法
【例 1-1】（2024·四川·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S = 2n-1
1
n - ，则数列 an 的通项公式为 2
【答案】 an = 2
n-2
n-1 1 0 1 1
【解析】 Sn = 2 - ，当 n =1时， a1 = S1 = 2 - = ，2 2 2
当 n 2, a
1
n = S - S = 2
n-1 - 2n-2n n-1 = 2
n-2 , a1 = 也满足，2
所以数列 a a = 2n-2n 的通项公式为 n .
2
【例 1-2】（23-24 天津宁河·期末）若数列 an 的前 n项和 Sn = 2n + n +1，则 an 的通项公式是
ì 4, n =1
【答案】 an = í
4n -1,n >1
【解析】当 n 2，则 an = Sn - S
2 2
n-1 = 2n + n +1- 2(n -1) - (n -1) -1 = 4n -1，
2 ì 4, n =1
而 a1 = S1 = 2 1 +1+1 = 4，显然不满足上式，所以 an = í .
4n -1,n >1
【例 1-3】（2024 高三下·全国·专题练习）若数列 an n S
2 a 1的前 项和 n = n + (n N*)，则 an 的通项公式是 3 3
a = (-2)n-1【答案】 n
2 1 2 1
【解析】因为 Sn = an + ①，则当 n 2,n N*时， S3 3 n-1
= an-1 + ②，3 3
2 2
①―②得： Sn - Sn-1 = an = an - an-1，整理得： an = -2an-1(n 2, n N*) ，3 3
S a 2 a 1= = + a =1 . a 1 -2 a =1 (-2)n-1 n-1又 1 1 1 ，解得 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 = (-2) .3 3 1 n n
a a a
【例 1-4】（23-24 辽宁·期中）已知数列 a 满足 a + 2 + 3 nn 1 2 +L+ n-1 = 3n，则 an = 3 3 3
【答案】3n
a a a
【解析】由 a 2 31 + + 2 +L+
n
n-1 = 3n ① 知，3 3 3
当 n =1时， a1 = 3；
当 n 2 a
a2 a a时， + + 3 +L+ n-11 3 32 n-2
= 3(n -1) ②，
3
由① -
a
② ： nn-1 = 3，即得 an = 3
n
，
3
当 n =1时，符合题意，故 an = 3
n .
【例 1-5】（2024 陕西榆林· n+1期末）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， an+1 = Sn + 2 ， a1 = 2，则 Sn =
【答案】 n ×2n
a = S + 2n+1【解析】因为 n+1 n ，则 Sn+1 - Sn = Sn + 2
n+1 S S a
，整理得 n+1 n a = 2 1n+1 - n =1，又 1 ，则 =1，2 2 2
ì S
因此数列 í n
ü S
n 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则
n
n =1+ (n -1) 1 = n ，所以 Sn = n × 2
n .
2 2
【一隅三反】
1．（23-24 北京·期中）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = n2 + 3n ，则数列 an 的通项公式为 ．
【答案】 an = 2n + 2
【解析】数列 an 中， Sn = n2 + 3n ， a1 = S1 = 4，
n 2 a = S - S = n2 2当 时， n n n-1 + 3n - (n -1) - 3(n -1) = 2n + 2，显然 a1 = 4满足上式，
数列 an 的通项公式为 an = 2n + 2 .故答案为： an = 2n + 2
a S 6 22．（23-24 江西景德镇·期中）若数列 n 的前 n 项和 n = - 3n-1 ，则数列
an 的通项公式为 ．
4
【答案】 an = 3n-1
【解析】当 n =1时， S1 = 6
2
- 1 1 = 4 ,又 a1 = S1，所以 a1 = 43 -
；
a S S 6 2 6 2 4当 n 2时， n = n - n-1 = - 3n-1
- +
3n-2
= ，
3n-1
4
因为 a1 = 4，也满足关系 an = n-1 ，所以 a
4 4
n = n-1 n N* .故答案为： an =3 3 3n-1 .
3．（23-24 广东深圳·阶段练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S = n2n - 4n +1，则 an = .
ì-2, n =1
【答案】 í
2n - 5,n 2
【解析】当 n =1时， a1 = S1 = -2；
当 n 2时， a = S - S 2 é
2 ù
n n n-1 = n - 4n +1- n -1 - 4 n -1 +1 = 2n - 5 .
ì-2, n =1 ì-2, n =1
所以 an = í .
2n - 5,n 2
故答案为： í
2n - 5,n 2
4．（23-24 广东佛山·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 = 3,2Sn = 3an - 3，则 an 的通项公式为
【答案】3n
【解析】数列 an 中， 2Sn = 3an - 3，当 n 2时， 2Sn-1 = 3an-1 - 3，
两式相减得 2an = 3an - 3an-1 ，即 an = 3an-1 ，而 a1 = 3，因此数列 an 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，
所以 an 的通项公式为 an = 3n .故答案为：3n
1 3
5．（2024·四川· 2模拟预测）已知 Sn 为正项数列 an 的前 n项和， a1 = 3且 Sn + Sn+1 = a - ，则 a2 n+1 2 n = .
【答案】 2n +1
S S 1 a2 3【解析】因为 n + n+1 = n+1 - ，即 2 S 22 2 n + Sn+1 = an+1 - 3，
当 n =1时， 2 S1 + S2 = a22 - 3，又因为 a1 = 3，即 a22 - 2a2 -15 = 0，解得 a2 = 5或 a2 = -3（舍去），
当 n 2时， 2 Sn-1 + Sn = a2n - 3，两式相减，可得 an+1 + an an+1 - an - 2 = 0，
因为 an > 0，可得 an+1 - an = 2 n 2 ，又 a2 - a1 = 2 ，所以 an+1 - an = 2 n N* ，
所以数列 an 表示首项为3，公差为 2的等差数列，所以 an = 2n +1．故答案为： 2n +1
a a a2 a a6 n *．（23-24·江西抚州·阶段练习）数列 n 满足 3 n1 + + + ×××+ = 3 - 2(n N ,n 1) ，则 an = .2 3 n
ì1, n =1
【答案】 í
2n 3
n-1, n 2
a a a n
【解析】因为 a1 + 2 + 3 + ×××+ n = 3 - 2(n N
* ,n 1) ，
2 3 n
当 n =1时 a = 311 - 2 =1，
a a a
当 n
a
2时 a + 21 + 3 + ×××+ n-1 = 3
n-1 - 2，所以 n = 3n - 3n-1 = 2 3n-1 a n-1，所以
2 3 n -1 n n
= 2n 3 ，
ì1, n =1 ì1, n =1
当 n =1时 an = 2n 3
n-1
不成立，所以 an = í n-1 .2n 3 , n 2 故答案为： í2n 3n-1 , n 2
考法二 累乘法
【例 2-1】（23-24 四川成都·阶段练习）已知数列
a
a a =1 n nn 满足： 1 且 = n 2,n N* aa ，则数列 n 的通n-1 n -1
项公式为 ．
【答案】 an = n
an n= n 2,n N* a2 2 a3 3 a4 4【解析】因为 ，所以 = , = , = ,L, an n=an-1 n -1 a1 1 a2 2 a ，3 3 an-1 n -1
a2 a3 a× × 4 L an 2 3 4累乘可得 = L
n a
n = n a = n n 2
a1 a2 a3 an-1 1 2 3 n -1
，即 a ，所以 n ，1
当 n =1时， a1 =1也成立，所以 an = n .故答案为： an = n
【例 2-2 】（ 22-23 福建宁德 · 期中）已知 a1 =1, an+1 = n an - an+1 n N+ ，则数列 an 的通项公式是
an = ．
1
【答案】
n
a n
【解析】由 an+1 = n an - an+1 ，得 (n +1)an+1 = na n+1n，所以 =an n +1
，
a2 1 a3 2 a= 4 3 a= n n -1 a2 a3 a4 an 1 2 3 n -1所以 = ， ， ，……， = （ n 2），所以 × × × × × × × = ××× a ，1 2 a2 3 a3 4 an-1 n a1 a2 a3 an-1 2 3 4 n
an 1 1 1 1
所以 = a =1 a =1a n ，因为 1 ，所以 an = ，因为 1 也满足上式， an = ，故答案为：1 n n n
2
【例 2-3】（2024 高三下·全国·专题练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， Sn = n an ， a1 =1，则 Sn = .
2n
【答案】
n +1
【解析】当 n 2时， Sn = n
2an ，则 Sn+1 = (n +1)
2 a 2 2n+1，两式作差得 Sn+1 - Sn = (n +1) an+1 - n an ，即
a 2 2n+1 = (n +1) an+1 - n an ，即 n + 2 an+1 = nan ，
an+1 n a= n n -1所以 ，即 = n 2 an n + 2 a n +1
，
n-1
2 1 a2 1
又由 S2 = 2 a2 且 a1 =1，即1+ a2 = 4a2 ，所以 a2 = ，可得 =a 3 ， 3 1
a an an-1 an-2 a2 a n -1 n - 2 n - 3 2 1 2则 n = × × × × = × × × × ×1 = n 2 an-1 an-2 a 1n-3 a1 n +1 n n -1 4 3 n n +1
.
2 2
显然 a1 =1时也符合 an = ，可得 an = = 2(
1 1
- )
n n +1 n n +1 n n +1 ，
S 1 1 1 1 1所以 n = 2(1- + - +L+ - ) = 2(1
1 2n
- ) = .
2 2 3 n n +1 n +1 n +1
2n
故答案为： .
n +1
【一隅三反】
1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 an 满足 a1 = 2 ， na *n+1 = n + 2an ,n N ，求数列 an 的通项公式.
【答案】 an = n × n +1 n N*
a
【解析】由 na = n + 2a ，得 n+1
n + 2
n+1 n = ，an n
a a a 3 4 5 n n +1 n × n +1
所以当 n 2时， 2 × 3 L n = × × L × = ，
a1 a2 an -1 1 2 3 n - 2 n -1 2
因为 a1 = 2 ，所以 an = n × n +1 n 2 ，
又因为 n =1时， a1 = 2 满足上式，所以 an = n × n +1 n N*
2．（2024 高三下·全国·专题练习）在数列 an 中， a
1
1 = ，前 n项和 Sn = n 2n -1 an ，则数列 an 的通项公式为 3
1
【答案】 2n -1 2n +1
1
【解析】由于数列 an 中， a1 = ，前 n项和 Sn = n 2n -1 an ， 3
∴当 n 2时， Sn-1 = n -1 2n - 3 an-1，两式相减可得： an = n 2n -1 an - n -1 2n - 3 an-1
∴ 2n +1 an =
a 2n - 3
2n - 3 a nn-1，所以 =an-1 2n +1
，
a a a2 a3 a4 L a 1 1 3 2n - 5 2n - 3 1因此 n = 1 n = L =a1 a2 a3 an-1 3 5 7 2n -1 2n +1 2n -1 2n +1
3．（2023 高二·全国·专题练习）已知正项数列 an 满足 a1 = 24，na2n+1 - n + 4 a2n = 4anan+1 .求 an 的通项公式
【答案】 an = n + 3 × n + 2 × n +1 × n
2
【解析】由 nan+1 - n + 4 a2n = 4anan+1可得： énan+1 - n + 4 an ù an+1 + an = 0，
因为 an 为正项数列，所以 nan+1 - n + 4 an = 0，
an+1 n + 4 an n + 3 a= n-1 n + 2 an-2 n +1 a3 6 a2 5所以 a n ，则
= ， = ， =
a ，……，
= ， = ，
n n-1 n -1 an-2 n - 2 an-3 n - 3 a2 2 a1 1
an n + 3 × n + 2 × n +1 × n n + 3 × n + 2 × n +1 × n
将这 n -1个式子相乘，则 = = ，a1 4 3 2 1 24
又因为a1 = 24 ，所以 an = n + 3 × n + 2 × n +1 × n
4．（2024 广东）已知数列{an}满足 a1 =1, an = a1 + 2a2 + 3a3 +L+ (n -1)an-1(n 2)，求{an}的通项公式
ì1, n =1
a = *【答案】 n ín! , n N
,n 2 2
【解析】因为 an = a1 + 2a2 +L+ n -1 an-1 n 2 ，
当 n = 2时，可得 a2 = a1 =1；
当 n 3时，可得 an-1 = a1 + 2a2 +L+ n - 2 an-2 ，
两式相减得， an - an-1 = n -1 an-1，即 an = nan-1，
a
且 a2 =1 0
n
，即 = na ，n-1
所以 a
a a a
n =
n n-1 L 3 a2 = n n 1 4 3 a
n!
× - ×L
a a a 2
= ；
n-1 n-2 2 2
且 a2 =1满足上式， a1 =1不满足上式，
ì1, n =1

所以数列 an 的通项公式为 an = ín! , n N* .
,n 2 2
考法三 累加法
【例 3-1】（23-24 上海宝山·阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = 2, an+1 - an = 2n + 2, n N*，则 an = .
【答案】 n2 + n
【解析】因 a1 = 2, an+1 - an = 2n + 2, n N
*
，
a = (a - a ) + (a - a ) +L+ (a - a ) + a = 2 + 4 + 6 +L+ (2n - 2) + 2n n(2 + 2n) 2则 n n n-1 n-1 n-2 2 1 1 = = n + n .2
故答案为： n2 + n .
1
【例 3-2】（23-24 上海）在数列 an 中，已知 a1 =1，且 an+1 = an + 2n -1 2n +1 ，则 an = ．
3n - 2
【答案】
2n -1
a a 1【解析】由 n+1 = n + 2n -1 2n +1 可得：
a 1 1 1 n+1 - an = -2 è 2n -1 2n +1÷
ì
a2 - a
1 1
1 =

1-

2 3 ÷ è
1 1 1
\
a3 - a2 = - ÷
í 2 è 3 5

L

a
1 1 1
n - an-1 = -

÷
2 è 2n - 3 2n -1
a a 1 1 1 1 1 L 1 1 1 - = - + - + + - = n 1 1
1
- ，
2 è 3 3 5 2n - 3 2n -1÷ 2 ÷ è 2n -1
1 1 3n - 2
\a =1+ 1- n ÷ = ．2 è 2n -1 2n -1
3n - 2
故答案为： .
2n -1
n
【例 3-3】（23-24 · 1 a a - a = n × 1 辽宁 期中）在首项为 的数列 n 中 n+1 n ÷ ，则 an =
è 2
【答案】3
n +1
-
2n-1
n
【解析】因为 an+1 - an = n
1× 2 ÷
，
è
所以 a
1
2 - a1 =1 ，2
2
a - a = 2 1 3 2 ÷ ，
è 2
a a 3 1
3
- = 4 3 ÷ ，
è 2
L
n-1
a - a 1= n -1 × n n-1 ÷ n 2 ，
è 2
1 1 1 1
以上各式相加得： an - a1 =1 + 2 2 + 3 3 +L n -1
n 2 ，
2 2 2 ֏ 2n-1
S 1 1 1 1= a 令 n - a1 =1 + 2 2 + 3 3 +L n -1 2 2 2 ÷ n 2 ，①è 2n-1
1 S 1 1 2 1= 2 + 3 +L+ n -1
1
n n 2 ，②2 2 2 2
1 S 1 1 L 1 1错位相减：① - ②有， = + 2 + n-1 - n -1 n n 2 ，2 2 2 2 2
1 1 1-
1 2 ÷
即 S = è 2
n-1 1
1 - n -1 n 2n ，2 1- 2
2
S 2 2 n -1 2 n +1所以 = - n-1 - n-1 = - n 1 n 2- ，2 2 2
又因为 a1 =1
n +1
，所以有，所以 an = S +1 = 3- n 1 n 2- ,2
n +1
检验 n =1 *时， a1 =1符合上式，所以 an = 3- n-1 n N .2
n +1
故答案为：3-
2n-1
【一隅三反】
1（23-24 四川南充·阶段练习）（多选）已知 a1 = 0， an+1 = an + 2n -1，则下列说法正确的是（ ）
2
A．an = n - 1 B．{an}是单调递增数列
C． an 是等差数列 D． a5 = 25
【答案】AB
【解析】Q an+1 = an + 2n -1，即 an+1 - an = 2n -1，
\ a2 - a1 =1， a3 - a2 = 3 ， a4 - a3 = 5，L，an - an-1 = 2n - 3 n 2 ，
a a 1 3 5 7 ... 2n 3 1+ 2n - 3 n -1 以上各式相加得 n - 1 = + + + + + - = = n -1
2 n 2 ，
2
又 a1 = 0
2 2
，所以 an = n -1 n 2 ，而 a1 = 0也适合上式，\ an = n -1 ,故 A 正确，
由于 an+1 - an = 2n -1 > 0，所以 an+1 > an ，故{an}是单调递增数列，B 正确，C 错误，
a5 =16，D 错误，
故选：AB
2 2n-1．（2024 河北）设数列 an 满足 a1 = 2, an+1 - an = 3 × 2 ，则 an =_______.
【答案】 22n-1
2n-1
【解析】因为数列{an}满足 a1 = 2， an+1 - an = 3 × 2 ，
n
所以当 n 1时， an+1 = (an+1 - an ) + (an - an-1) + ×××+ (a2 - a1) + a
2 1- 4
1 = 3 22n-1 + 22n-3 + ×××+ 2 + 2 = 3 + 2 = 22n+1 .1- 4
2n-1
所以a = 2 ， n 2, n N*n ，因为 a = 2
2n-1
1 ，也满足上式，所以数列{an}的通项公式为a *n = 2 ， n N
故答案为： 22n-1
1
3．（2024 江西）已知首项为 的数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn+1 + (2n + 3)anan+1 = an + Sn ，则 S3 98 = ______．
14651
【答案】
19800
a - a
【解析】依题意， (2n + 3)ana
n n+1
n+1 = an - an+1 ，则 2n + 3 = a ，nan+1
1 1
故 - = 2n + 3a a ，n+1 n
1 1 5 1 1 7 1 1 1 1- =
a a ，
- =
a a ，
- = 9 - = 2n +1
2 1 3 2 a4 a
，…，
3 a
，
n an-1
1 1 (2n +1+ 5)(n -1)
累加可得， - = =a a 2 n + 3 n -1 ，n 1
1
= n + 3 n -1 + 3 = n n + 2 n 2a ，n
1
当 n=1 时， = 3a 也成立，1
a 1 1 1 1故 n = = -

n(n + 2) 2 è n n + 2 ÷
，

S 1 1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 3 1 1 1465198 = - + - + - + + - = - - = ；2 è 3 2 4 3 5 98 100 ÷ 2 è 2 99 100 ÷ 19800
14651
故答案为： .
19800
考法四 构造等比数列
【例 4-1】（23-24 广东深圳·期末）已知数 an 满足 a1 = 2, an+1 = 5an +12，则数列 an 的通项公式 an = ．
【答案】5n - 3
an+1 + 3
【解析】由 an+1 = 5an +12可得： an+1 + 3 = 5 an + 3 ，又 a1 + 3 = 5 0 , = 5an + 3
，
所以 an + 3 是以 a1 + 3 = 5为首项，5为公比的等比数列，
a n-1 n n所以 n + 3 = 5 ×5 = 5 ，所以 an = 5 - 3 .
故答案为：5n - 3
【例 4-2】（23-24 上海·期末）数列 an 满足 a1 = 2, a n+1n+1 = 3an + 2 ，则数列 an 的通项公式为 an = .
【答案】 2(3n - 2n )
a a = 3a + 2n+1 a 3 a【解析】数列 n+1 nn 中，由 n+1 n ，得 n+1 = × +1
a 3 a
，即 n+1 n
2 2 2n 2n+1
+ 2 = ( n + 2)，2 2
而 a1 = 2
a a
， 1 + 2 = 3，于是数列{ nn + 2}
3
是首项为 3，公比为 的等比数列，
2 2 2
a 3 n-1 n n
因此 nn + 2 = 3 ( ) ，即 an = 2(3 - 2 )，2 2
所以数列 an n n的通项公式为 an = 2(3 - 2 ) .
故答案为： 2(3n - 2n )
【例 4-3】（23-24 *高三下·广东·阶段练习）在数列 an 中， a1 = 3，且 an+1 = 3an + 4n - 6 n N ，则 an 的通项公
式为 ．
n
【答案】 an = 3 - 2 n -1
*
【解析】因为 an+1 = 3an + 4n - 6 n N ，设 an+1 + x n +1 + y = 3 an + xn + y ，其中 x 、 y R，
整理可得 an+1 = 3an + 2xn + 2y - x，
ì2x = 4 ìx = 2
所以， í a + 2 n +1 - 2 = 3 a + 2n - 2
2y x
，解得 ，所以， ，
- = -6 í y = -2
n+1 n
且 a1 + 2 1- 2 = a1 = 3，所以，数列 an + 2n - 2 是首项为3，公比也为3的等比数列，
所以， an + 2n - 2 = 3 3
n-1 = 3n n，解得 an = 3 - 2 n -1 .
n
故答案为： an = 3 - 2 n -1 .
【一隅三反】
1．（23-24 河北沧州·阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = 2， an+1 = 3an + 2 n N* ，则该数列的通项公式
an = ．
【答案】3n -1
【解析】因为 an+1 = 3an + 2，所以 an+1 +1 = 3 an +1 ，则数列 an +1 时以 a1 +1 = 3为首项
n n
公比为3的等比数列，故 an +1 = 3 ，所以 an = 3 -1.
2．（22-23 宁夏中卫·阶段练习）数列 an 满足 an = 4an-1 + 3 n 2 且 a1 = 0，则数列 an 的通项公式
是 ．
a = 4n-1【答案】 n -1
【解析】设 an + l = 4 an-1 + l ，则 an = 4an-1 + 3l ，
又因为 an = 4an-1 + 3 n 2 ，所以3l = 3，则l = 1，
所以 an +1 = 4 an-1 +1 ，
因为 a1 +1 =1 0，所以 an +1 0，
an +1
所以 = 4a +1 为常数，n-1
所以 an +1 是首项为1，公比为 4的等比数列，
所以 an +1 =1 4
n-1 = 4n-1 a = 4n-1，所以 n -1 .
a = 4n-1故答案为： n -1
3．（2023高三·全国·专题练习）已知数列 an 满足 an+1 = 2a n-1n + 4 ×3 ,a1 = -1，则数列 an 的通项公式为 .
a = 4 3n-1 - 5 2n-1【答案】 n
【解析】解法一：设 an+1 + l ×3
n = 2 an + l ×3n-1 n-1，整理得 an+1 = 2an - l ×3 ，可得l = -4 ，
即 an+1 - 4 3
n = 2 a - 4 3n-1n ，且 a1 - 4 31-1 = -5 0，
n-1
则数列 an - 4 ×3 是首项为-5，公比为 2的等比数列，
a - 4 3n-1 = -5 2n-1所以 n ，即 an = 4 3
n-1 - 5 2n-1；
解法二：(两边同除以qn+1
a 2 a 4
) 两边同时除以3n+1得： n+1 = n
3n+1 3 3n
+ ，
9
an+1 4 2 a 4- = n - a1 4 5整理得 n+1 n ÷ ，且 - = - 0，3 3 3 è 3 3 3 3 3
ìan 4- ü 5- 2则数列 í n 是首项为 ，公比为 3 的等比数列， 3 3 3
a 4 5 2 n-1n - = - n-1 n-1所以 n ÷ ，即 an = 4 3 - 5 2 ；3 3 3 è 3
a a 3 n-1 a a 3 n-1
解法三：(两边同除以 pn+1 )两边同时除以 2n+1 得： n+1 = nn+1 n + ，即
n+1 - n =
2 2 2 ÷ 2n+1 2n 2 ÷
，
è è
a
n
a a
2 n = n - n-1
a
+ n-1
a
- n-2
a a a
当 时，则 n n + ×××+
2 - 1 + 1
2 è 2 2n-1 ÷ ÷ è 2n-1 2n-2 è 22 2 ÷ 2
1 3
n-1
-
3
n-2
3
n-3 1 ÷ 1 n-1
= + ÷ ÷ + ××× +1- =
è 2 - = 2 3 5
2 2 ÷
- ，
è è 2 1 3- 2 è 2 2
2
故 an = 4 3
n-1 - 5 2n-1 n 2 ，
显然当 n =1时， a1 = -1符合上式，故 an = 4 3
n-1 - 5 2n-1 .
a = 4 3n-1故答案为： n - 5 2
n-1 .
4．（2024 河南）设数列 an 满足 a1 = 4， an = 3an-1 + 2n -1(n 2)，则数列 an 的通项公式为 .
【答案】 a nn = 2 ×3 - n -1
【解析】设 an + pn + q = 3 an-1 + p(n -1) + q ，化简后得 an = 3an-1 + 2 pn + 2q - 3p ，
ì 2 p = 2 ì p =1
与原递推式比较，对应项的系数相等，得 í
2q 3p 1
，解得
- = - í
，
q =1
即 an + n +1 = 3 an-1 + n -1+1 ，令bn = an + n +1，则bn = 3bn-1，又b1 = 6，
故b = 6 ×3n-1n = 2 ×3
n ，bn = an + n +1，得 a nn = 2 ×3 - n -1 .
故答案为： an = 2 ×3
n - n -1
5．（2024 *高三·全国·专题练习）已知数列 an ,a1 =1,a2 = 2,an+1 - 5an + 4an-1 = 0 n N ,n 2 ，则 an 的通项公
式为 .
4n-1
【答案】 a
+ 2
n = 3
【解析】因为当 n 2时， an+1 - 5an + 4an-1 = 0，所以 an+1 - an = 4 an - an-1 ，
又 a1 =1, a2 = 2，则 a2 - a1 =1，
所以 an+1 - an 是以1为首项，4 为公比的等比数列，
所以 a - a = 4n-1n+1 n ，
从而 an = an - an-1 + an-1 - an-2 +L+ a2 - a1 + a1
n-2 1- 4
n-1 4n-1 + 2
= 4 + 4n-1 +L+ 41 + 40 +1 = +1 = ，
1- 4 3
当 n =1时， a1 =1满足上式，
4n-1a + 2所以 n = .3
4n-1 + 2
故答案为： an = .3
考法五 构造等差数列
a
【例 5-1】（2024 福建）已知数列 a a =1 a = n *n 满足 1 ， n+1 n N a =4a +1， ，则 n .n
1
【答案】
4n - 3
a an 1 4aa a =1 = a 0 = n +1 1【解析】数列 n 中， 1 ， n+1 4a +1，显然 n ，取倒数得 = 4 +a a ，n n+1 n an
1 1 1
即 - = 4 { }a a ，则数列 a 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，n+1 n n
1
因此 =1+ 4 n -1 = 4n - 3a ，所以 a
1
n = .
n 4n - 3
1
故答案为： .
4n - 3
【例 5-2】（2024 山东淄博·期中）已知 an 数列满足 a1 = 2 a n+1， n+1 - 2an = 2 ，则数列 an 的通项公式为
【答案】 an = n × 2
n
a - 2a = 2n+1 a【解析】由 得 n+1
a
- n
ìan ü a
n+1 n n+1 n = 1，故 í n 为等差数列，公差为 1，首项为 1，所以
n
n =1+ n -1 = n 2 2 2 2
所以 an = n × 2
n .故答案为： an = n × 2
n
【例 5-3】（23-24 湖南常德 ）已知数列 an 满足 a1 =1， an - an+1 = 2n anan+1，则 an = ．
1
【答案】
2n -1
【解析】若 an+1 = 0，则 an - an+1 = 0，即 an = an+1 = 0，这与 a1 =1矛盾，所以 an+1 0 ，
n 1 1 n
由 an - an 1 = 2 anan 1两边同时除以 anan+1，得 - = 2+ + a a ，n+1 n
1 1 1 1 1 1 1 1
则 - = 2n-1， - = 2n-2 ， - = 22 - = 2an a
， ，
n-1 an-1 an-2 a3 a2 a2 a1
1 1 2 1- 2n-1
上面的式子相加可得： - = 2 + 22 + 23 +K+ 2n-1 = = 2n - 2，
an a1 1- 2
a 1 1所以 n = n ，故答案为：2 -1 2n
.
-1
【一隅三反】
1 a
1．（23-24 n安徽）已知数列 an 满足 a1 = ，且 an+1= a a2 3a +1，则数列 n 的通项公式为 n
= ．
n
1
【答案】
3n -1
1
1 an a 1
【解析】因为数列 an 满足 a a = 1 21 = ，且 n+1 ，则 a = = = ，2 3a 2n +1 3a1 +1 3 1 +1 5
2
1
a a= 2 = 5 13 L3a +1 3 1
= ， ，
2 +1 8
5
以此类推可知，对任意的 n N* ， an > 0，
a = an 1 1+ 3a 1 1 1在等式 n+1 两边取倒数可得 = n = + 3 - = 33a +1 a a a ，则 a ，n n+1 n n n+1 an
ì 1 ü 1
所以数列 í 是首项为 = 2a ，公差为3的等差数列. an 1
1
所以， = 2 + 3 n -1 = 3n -1 1a ，所以， an = .n 3n -1
1
故答案为： .
3n -1
2．（23-24 福建宁德·期末）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，满足 Sn = an+1 -1, a1 = 2，则 Sn = ．
【答案】3 2n-1 -1
【解析】因为 Sn = an+1 -1, a1 = 2，则 Sn = Sn+1 - Sn -1，
整理得 Sn+1 +1 = 2 Sn +1 ，且 S1 +1 = 3 0 ，
可知数列 Sn +1 是以首项为 3，公比为 2 的等比数列，
可得 Sn +1 = 3 2
n-1
，所以 Sn = 3 2n-1 -1 .
故答案为：3 2n-1 -1 .
3 n+1．（2024 黑龙江）数列{an}满足 an+1 = 5an + 3 5 ， a1 = 6，则数列{an}的通项公式为 .
【答案】 an = (3n
9
- ) ×5n ．
5
【解析】∵ a = 5a 3
a a a
+ 5n+1 ，所以 n+1 = n + 3，即 n+1
a
- nn+1 n 5n+1 5n 5n+1 5n
= 3，
{an } a 6∴ n 是等差数列，而
1 = ，
5 5 5
an 6所以 = + 3(n -1) 3n
9
= - ，
5n 5 5
9 n
所以 an = (3n - ) ×5 ．5
故答案为： an = (3n
9
- ) ×5n ．
5
4．（2024· *江苏南京·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1,2an+1 - an + anan+1 = 0(n N ) ，则数列 an 的通项公式
为 ．
1
【答案】 an = 2n -1
1 1 1 1
【解析】数列 an 中， a1 =1， 2an+1 - an + anan+1 = 0 ，显然 an 0 ，则有 = 2 × +1，即 +1 = 2( +1)an+1 an a
，
n+1 an
1
而 +1
1
= 2 ，因此数列{ +1}a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，1 an
1
所以 +1 = 2n
1 1
，即 an = n ．故答案为： an =a 2 -1 2nn -1
考法六 其他方法
【例 6-1】（2024 江苏无锡·阶段练习）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样
一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成
的数列 an 称为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列 an 的前 n项和，则下列结论正确的是（ ）．
A． S7 = 33 B． Sn+2 = Sn+1 + Sn
a2 + a2 +L+ a2
C 1 2 2019． a1 + a3 + a5 +L+ a2019 = a2020 D． = aa 20202019
【答案】ACD
【解析】 a6 = 8， a7 =13，∴ S7 =1+1+ 2 + 3 + 5 + 8 +13 = 33 成立，故选项 A 正确；
由 an+2 = an+1 + an ，两边累加：
a3 + a4 +L+ an+2 = a2 + a3 +L+ an+1 + a1 + a2 +L+ an
即 Sn+2 - 2 = Sn+1 -1 + Sn ，
∴ Sn+2 = Sn+1 + Sn +1，故选项 B 错误；
由 a1 = a2 ， a3 = a4 - a2 ， a5 = a6 - a4 ，…， a2019 = a2020 - a2018 ，
可得： a1 + a3 + a5 +L+ a2019 = a2020 ．选项 C 正确；
斐波那契数列总有 an+2 = an+1 + an ，
2 2 2 2
则 a1 = a2a1 a1 = a2a1， a2 = a2 a3 - a1 = a2a3 - a1a2， a3 = a3 a4 - a2 = a3a4 - a2a3 ，…，
a2 22018 = a2018 a2019 - a2017 = a2018a2019 - a2017a2018， a2019 = a2019a2010 - a2018a2019；
∴ a21 + a
2
2 +L+ a
2
2019 = a2019a2020，即答案 D 成立．
故选 ACD．
1
【例 6-2】（23-24 吉林长春·阶段练习）（多选）已知数列 an 满足a1 = 3,an+1 = 1- a ，记数列 an 的前 n项和为n
Sn ，则下列结论错误的是（ ）
3 1
A． a2024 = B． S3n+1 - S3n = -2 2
C． anan+1an+2 = -1 D． S19 = 22
【答案】AB
【解析】数列 an 中，a1 = 3,a
1 1 1 2
n+1 = 1- a ，则
a2 =1- =1- =
n a 3 3
，
1
a 1 1 1 1 1 , a 1 1 1 13 = - = - = - = - = - = 3 = aa 2 2 4 a 1 1 a2 3 - ，因此数列 n 是以 3 为周期的周期数列，
3 2
对于 A， a a
2
2024 = 2 = ，A3 错误；
对于 B， S3n+1 - S3n = a3n+1 = a1 = 3，B 错误；
1 an -1 1 an an -1- an -1
对于 C， an+1 =1- = ,an+2 =1- =1- = =a ，n an an+1 an -1 an -1 an -1
an -1 -1
因此 anan+1an+2 = an × × = -1a a -1 ，C 正确；n n
2 1
对于 D， S19 = (a1 + a2 + a3 +L+ a18 ) + a19 = 6 a1 + a2 + a3 + a1 = 6(3+ - ) + 3 = 22 ，D 正确.3 2
故选：AB
【一隅三反】
1．（2024 山东菏泽）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，
2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an 称为
“斐波那契数列”，记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A． a6 = 8 B． S7 = 33
a2 + a2 + ×××× × × +a2
C a + a + a + ×××+ a = a D 1 2 2019． 1 3 5 2019 2020 ． = aa 20202019
【答案】ABCD
【解析】 对 A，写出数列的前 6 项为1,1,2,3,5,8，故 A 正确；
对 B， S7 =1+1+ 2 + 3 + 5 + 8 +13 = 33，故 B 正确；
对 C，由 a1 = a2 ， a3 = a4 - a2 ， a5 = a6 - a4 ，……， a2019 = a2020 - a2018 ，
可得： a1 + a3 + a5 + ×××+ a2019 = a2020 .故 a1 + a3 + a5 + ×××+ a2019 是斐波那契数列中的第 2020 项.
2 2
对 D，斐波那契数列总有 an+2 = an+1 + an ，则 a1 = a2a1 ， a2 = a2 a3 - a1 = a2a3 - a2a1，
a23 = a3 a4 - a2 = a3a4 - a2a3，……， a22018 = a2018 a 22019 - a2017 = a2018a2019 - a2017a2018， a2019 = a2019a2020 - a2019a2018
a2 21 + a2 + a
2
3 + ×××× × × +a
2
2019 = a2019a2020 ，故 D 正确；
故选：ABCD.
2．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知数列 an 满足 a1 = 2， anan+1 + an - an+1 +1 = 0 ，记数列 an 的前 n 项
和为 Sn ，前 n 项积为Tn ，则（ ）
1
A．数列 an 是周期数列 B． a2024 = 3
C． S2024 > T2024 D．T2024 =1
【答案】ABD
1+ an
【解析】选项 A：易知an 1，由 anan+1 + an - an+1 +1 = 0 ，得 an+1 = 1- a ，n
又 a1 = 2，计算得 a2 = -3
1 1
， a3 = - ， a4 = ， a2 3 5
= 2 = a1 ，
因此 an 为周期数列，且周期为 4，A 正确.
1
选项 B：由 A 知， a2024 = a4 = ，B 正确,3
7
选项 C，D：由周期性，得 S2024 = 506S4 = 506 a1 + a2 + a3 + a4 = 506 - ÷ < 0，
è 6
T = T 506 = a a 5062024 4 1 2 a3 a4 =1，则 S2024 < T2024 ，故 C 错误，D 正确.
故选：ABD.
3．（2024 浙江）已知数列 x x 2n 满足： 1 = ， xn+1 = x
n(n +1)
n 2 ， n 1，则通项 x2 x + n(n +1) n
= ．
n
n
【答案】
3n -1
x x n(n +1) 2 x 0 x2 n(n +1)x
2
【解析】由 n+1 = n 2 ， x1 = > 0，得 n >
n
，两边平方得 n+1 = 2 ，xn + n(n +1) 2 xn + n(n +1)
1 x2n + n(n +1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 + = +2 = 2 = 2 + = 2 + - ，即有 2 2 ，因此数列{ 2 + }是常数列，xn+1 n(n +1)xn xn n(n +1) xn n n +1 xn+1 n +1 xn n xn n
1 1 1 1
+ = + = 3 n n
x2 n x2 1 ，所以 xn = .故答案为：n 1 3n -1 3n -1
2a -1
4．（2024 n甘肃）已知数列 an 满足 a1 = 2， an+1 = a a =+ 4 ，则 n ．n
3
【答案】 -1
n
2x -1 2x -1 2a - 1
【解析】设 f x = ，令 f x = x得： = x，解得： x=-1； an+1 - -1 = n - -1 x + 4 x + 4 an + 4 ，化简得，
3 a +1
an+1 +1=
n
a ，n +4
1 an + 4 1 an +1 + 3 1 1 1 1 1
所以 = - =an +1 + 1 3 an + 1 ，从而
= = +
a ，故 a + 1 a + 1 3 ，n+1 +1 3 an +1 3 an +1 n +1 n
1 1 ì 1 ü
= 1又 a +1 3 ，所以 í 是首项和公差均为 的等差数列，1 an +1 3
1 1 1 n
从而 = + n - 1 =
3 3
a + 1 3 3 3 ，故 an = -1．故答案为： -1n n n
一．单选题
1（23-24 广东深圳·期末）已知数列 a 3n 的前 n项和为 Sn ，满足 Sn = an - 3，则 an =（ ）2
A n n n n． an = 3 B． an = 2 ×3 C． an = 6 ×3 D． an = 6
【答案】B
S 3【解析】 n = a
3
n - 3①中，当 n =1时， a1 = a1 - 3，解得 a1 = 6，2 2
当 n 2
3
时， Sn-1 = a2 n-1
- 3 ②，
3 3
式子①-②得， an = an - a2 2 n-1
，即 an = 3an-1 ，
故 an 为首项为 6，公比为 3 的等比数列，
故 an = 6 × 3
n-1 = 2 × 3n .
故选：B
2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 a 对任意 k N*n 满足 a kk × ak +1 = 2 ，则 a1 ×a2024 = （ ）
A． 21012 B． 21013 C． 22024 D． 22025
【答案】A
k
【解析】由 ak × ak +1 = 2 ，得 ak +1 × a
k +1
k +2 = 2 ，
ak +2
所以 = 2a ，k
a2024 a× 2022 a× 2020 a a a× × × × × 8 × 6 × 4 = 21011 a2024 1011所以 a a a a a a ，即
= 2
a ①．2022 2020 2018 6 4 2 2
又因为a1 × a2 = 2 ②，
①② a ×a = 21012两式相乘，得 1 2024 ．
故选：A．
a
3．（23-24 广东湛江· n阶段练习）在数列 an 中， a1 =1， an+1 = a =3an +1
，则 34 （ ）
34 1 1
A． B． C． D．100
103 104 100
【答案】C
a =1 a
an 1 3a= = n +1【解析】因为 1 ， n+1 ，所以 = 3
1
+
3an +1 a
，
n+1 an an
1 1
即 - = 3a ，n+1 an
ì 1 ü
所以 í 是以1为首项，3为公差的等差数列，
an
1
=1+ 3 n -1 = 3n - 2 a 1所以 a ，则 n = ，n 3n - 2
1 1
所以 a34 = = .3 34 - 2 100
故选：C
2a
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 an 的首项 a1 =1 n *，且各项满足公式 an+1 = n Na + 2 ，则数列 an n
的通项公式为（ ）
A． an = n
2 2 1B． an = C． an = n D． an +1 n
=
n
【答案】B
2a
【解析】因为数列 an 的首项 a1 =1 a n *，且各项满足公式 n+1 = n Na + 2 ，则 a2 0 ， a3 0，L，n
以此类推，对任意的n N*， an 0 ，
a 2an 1 2 + an 1 1 1 1 1由 n+1 = 可得 = = + - =an + 2 an+1 2a a 2
，所以， a a ，n n n+1 n 2
ì 1 ü 1 1
所以，数列 í 是等差数列，且首项为 =1，公差为 ，
a 2n a1
1
\ =1 n -1 n +1+ = 2
a 2 2 ，因此， an = .n n +1
故选：B.
5 n+1
5．（2024· · 1 1 全国 高三专题练习）已知在数列 an 中， a1 = ， an+1 = an + ，则 a =（ ）6 3 è 2 ÷ n
3 2 2 3 1 2 2 1
A． n - n B． n -2 3 3 2n
C． n - n D． -2 3 3n 2n
【答案】A
a 5
n+1
= a 1 1= a + 2n+1 ×a
2
= ×2n【解析】因为 1 ， n+1 n ÷ ，所以 n+1 a +1
n+1 2
n ，整理得 2 ×an+1 - 3 = × 2n an - 3 ，所以6 3 è 2 3 3
4 4 2 n-1
数列 2n an - 3 是以 2a 3 21 - 3 = - 2 为首项， 3 为公比的等比数列．所以 2n a3 n - 3 = - ÷ ，解得 a =3 3 n 2n - n ．è 3
故选：A
6．（23-24 福建厦门·期末）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若3Sn = an - 2，则 an 的最大值为（ ）
1
A． -1 B．- C 1． 2 D．12
【答案】C
【解析】由题意知3Sn = an - 2，故 n =1时，3a1 = a1 - 2,\a1 = -1，
当 n 2时，3Sn = an - 2，3Sn-1 = an-1 - 2 ，则3 Sn - Sn-1 = an - an-1，
即3an = an - a
1
n-1，故 an = - an-1, n 2 ，又 a1 = -1 0，2
1
所以 an 为首项是 a1 = -1，公比为- 的等比数列，2
1 n-1 n-1
故 an = -1

-

÷ = -1
n 1
2 ÷
，
è è 2
1 n-1
÷ 随 n 的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，
è 2
故 n = 2 1时， an 取最大值，最大值为 2 ，
故选：C
7．（22-23 福建福州·期末）如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角
垛”，“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，…，设第 n 层有 an 个球，从上往下 n 层球
的总数为 Sn ，则说法不正确的是（ ）
A． a5 = 35 B． S5 = 35
C． an+1 - an = n +1 D．不存在正整数m > 2 ，使得am 为质数
【答案】A
【解析】依题意因为 a1 =1, a2 - a1 = 2,a3 - a2 = 3，L,an - an-1 = n，
n(n +1)
以上 n 个式子累加可得︰ an =1+ 2 + 3 +L+ n = , (n 2) ,2
n(n +1) 5 6
又 a1 =1满足上式，所以 an = ,故 a5 = =15，故 A 错误；2 2
因a1 = 1,a2 = 3,a3 = 6,a4 = 10,a5 = 15，
所以 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 =1+ 3 + 6 +10 +15 = 35，故 B 正确；
因为 an - an-1 = n，所以 an+1 - an = n +1，故 C 正确；
a n(n +1)因为 n = ，故当m > 2 且为整数时， a
m(m +1)
m = ，2 2
此时m(m +1) m(m +1)必为偶数，则 2 为整数，且为合数，
则不存在正整数m > 2 ，使得am 为质数，D 正确，
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若数列 Sn - 4 是等差数列，则数列 an 可能也是等差数列
B．若数列 Sn + 4 是等差数列，则数列 an 可能也是等差数列
C．若数列 an 是等差数列，则数列 Sn 不可能是等差数列
D．若数列 an 是正项等差数列，则数列 Sn - 4 可能是等差数列
【答案】B
2 2 2
【解析】对于 A，设 Sn - 4 = kn + m ，则 Sn = k n + 2kmn + m + 4．
当 n 2 S 2时， n-1 = k (n -1)
2 + 2km(n -1) + m2 + 4，
所以 an = S - S
2
n n-1 = k (2n -1) + 2km(n 2) ．
2 2
又 a1 = S1 = k + 2km + m + 4，不符合该式，数列 an 不是等差数列，故选项 A 错误．
对于 B，由选项 A 可知，当 n 2时， an = Sn - Sn-1 = k
2 (2n -1) + 2km(n 2) ，
a1 = S = k
2
1 + 2km + m
2 - 4，当m2 - 4 = 0时， a1适合上式；
故只需m2 - 4 = 0，数列 an 为等差数列，故选项 B 正确．
对于 C，若数列 an 满足 an = 0，则数列 Sn 为等差数列，故选项 C 错误．
a S na n(n -1)d d n2 a d 对于 D，若数列 n 是正项等差数列， n = 1 + = + 1 - ÷ n a1 > 0, d 0 ，可知只有当 d > 0时，2 2 è 2
才有可能，
S 4 d n2 a d 所以 n - = +2 1
- ÷ n - 4 成为完全平方数，数列 S2 n - 4 才可以是等差数列，è
d 2a - d d 2 2a - d
2
故对其变形可得 Sn - 4 =

n + 1

÷ n - 4 =

n
2a
+ 1
- d - 1 ÷ - 4，2 è d 2 è 2d 8d
2a1 - d
2 2
当- - 4 = 0时，数列 Sn - 4 2a - d 才为等差数列，而- 1 - 4 < 0，故选项 D 错误．
8d 8d
故选：B．
二．多选题
9．（广西桂林市 2023-2024 学年高二下学期期末质量检测数学试卷）已知数列 an 的前 n 项和 Sn =1- an ，则下
列结论中正确的是（ ）
a 1A． 1 = B．数列 a2 n 是递增数列
S 1C． n =1- ( )
n D． Sn >12
【答案】AC
1
【解析】当 n =1时， S1 =1- a1 = a1，解得 a1 = > 0，故 A 正确；2
当 n 2时，由 Sn =1- an 可得， Sn-1 =1- a a
1
n-1，两式相减得 n = a ，2 n-1
1 1
数列 an 是等比数列，公比 q = ，且首项 a = > 0，所以数列 a 是递减数列，故 B 错误；2 1 2 n
1 é n ù
ê1
1
-
2 2 ÷ ú n
由等比数列求和公式知， S ê
è ú 1
n = 1 =1-

÷ ，故 C 正确；
1- è 2
2
n
C S =1- 1 由 知， n ÷ <1，故 D 错误.
è 2
故选：AC
1 1 1
10．（2024 山西）已知数列 an 满足 a1 =1， an = a1 + a2 + a3 +L+ an-1 n >1 ，则（2 3 n 1 ）-
a ì1, n =1
A a =1 B n
n
． 2 ． = C． a
n
n = D． an =

a n -1 2 ínn-1 ,n 2 2
【答案】AD
1 1 1
【解析】对于 AB，因为数列 an 满足 a1 =1， an = a1 + a2 + a3 + ×××+ a n >1 ，2 3 n -1 n-1
a
所以当 n = 2 a 2时， 2 = a1 =1，此时 =1
2

a 1 ，故 A 正确，B 错误；1
1 1 1 1
对于 CD，当 n 2时， an+1 = a1 + a2 + a3 +L+ a2 3 n -1 n-1 + an n，
1 a a
两式相减，得 a n+1 nn+1 - an = a =n n ，整理得 ，n +1 n
a
又 1 =1
a
， 2
1
= ，即当 n =1时，不满足上式，
1 2 2
ìa
所以 í n
ü 1
n 是从第二项起首项为 2 的常数列，
a
故当 n 2时， n
1
= ，则 a
n
n 2 n
= ，
2
ì 1, n =1

综上， an = ín ，故 C 错误，D 正确.

,n 2
2
故选：AD．
11．（22-23 广东广州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，
3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an 称为“斐
波那契数列”，记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ）．
A． a6 = 8 B． S7 = 33
C a + a + a 2 2 2． 1 3 5 +L+ a2021 = a2023 D． a1 + a2 +L+ a2022 = a2022a2023
【答案】ABD
【解析】对 A， a6 = 3+ 5 = 8，A 对；
对 B， a7 = 5 + 8 =13， S7 =1+1+ 2 + 3 + 5 + 8 +13 = 33，B 对；
对 C，由 an + an+1 = an+2 得 an+1 = an+2 - an ，∴ a1 + a3 + a5 +L+ a2021 = a2 + a4 - a2 + a6 - a4 +L+ a2022 - a2020 = a2022 ，C
错；
D a2 2 2对 ， 1 + a2 +L+ a2022 = a1a2 + a2 a3 - a1 +L+ a2022 a2023 - a2021 = a2022a2023，D 对.
故选：ABD
三．填空题
12．（2024·江西鹰潭·二模）设数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = 2， 2S *n = nan+1， n N ，则 Sn = .
【答案】 n n +1 （ n N*）
【解析】因为 2Sn = nan+1，当 n 2时， 2Sn-1 = n -1 an ，
两式相减可得 2an = nan+1 - n -1 an ，即 n +1 an = nan+1 ，
a
所以 n+1
a
= n n a 2 ，又 a = 2S = 4，所以 22 1 = 2 ，n +1 n 2
a a
所以 n = 2 = 2 n 2 ，所以 an = 2n n 2 ，且 a1 = 2也符合上式，n 2
所以 an = 2n n N* n 2 + 2nS ，所以 n = = n n +1 ， n N* .2
故答案为： n n +1 （ n N*）
13．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列 an 的前 n项和为 Sn ，等比数列 bn 的前 n项和为Tn ，若b1 = -1,b5 = 8b2 ，
1- 2n Sn = n n +1 Tn，则 an = .
【答案】 2n
【解析】设等比数列 bn 的公比为q，
由b5 = 8b2，则 q3 = 8，解得 q = 2，又b1 = -1，
n
b n-1 -1 1- 2 n所以 n = -2 ，\T = =1- 2n，代入 1- 2 Sn = n n +1 T ，n n1- 2
解得 Sn = n n +1 ，
当 n =1时， a1 = S1 = 2，
当 n 2， n N*时， an = Sn - Sn-1 = n n +1 - n n -1 = 2n ，
a1 = 2满足上式，所以 a = 2n， n N*n .
故答案为： 2n .
14 *．（2023·广东深圳·二模）已知正项数列 an 的前 n项积为Tn ，且满足 an 3Tn -1 = Tn n N ，则Tn = .
1 1 n 1
【答案】 ÷ + n N*2 è 3 2
【解析】由题意 a1 3T1 -1 = a1 3a1 -1 = T1 = a
2
1，且 a1 > 0，所以 a1 = ，3
Tn * Tn *
又 an = n N3T -1 ，且 an = n 2, n NT ，n n-1
* 1 1 1 1 2 1 1
所以3Tn -1 = Tn-1 n 2,n N ，则Tn - = T2 3 n-1 - ÷，又Tè 2 1 - = - = ，2 3 2 6
ìT 1- ü 1 1 1 1
n-1
í
1
所以数列 n 是以 为首项， 为公比的等比数列，故Tn - = ÷ ， 2 6 3 2 6 è 3
T 1
n
=
1 1
所以 + n N*n .2 3 ÷ 2 è
1 n 1 1
故答案为： + n N*2 ÷ .è 3 2
四．解答题
15．（22-23 北京海淀·期末）求下列数列 an 的通项公式.
(1) a1 =1,2an = 2an-1 +1；
(2) a1 =1,3an = an-1；
(3) S nn = 3 - 2；
(4) a1 =1, an = a + 3
n-1
n-1 ；
(5) a
n
1 =1, an = a ；n +1 n-1
(6) a1 =1, a
2an
n+1 = a ；n + 2
(7) 2an = Sn +1；
(8) a1 =1,3an+1 = Sn ；
a n +1【答案】(1) n = 2
1
(2) an = 3n-1
ì1, n =1
(3) an = í2 ×3n-1 , n 2
n
(4) a 3 -1n = 2
2
(5) an = n +1
2
(6) an = n +1
(7) an = 2
n-1
ì1, n =1

(8) an = í1 4
n-2

× ÷ , n 2
3 è 3
【解析】（1）因为 a1 =1,2an = 2an-1 +1，
1
所以 an - an-1 = n 2 ，2
1
所以数列 an 是以 2 为公差的等差数列，
a 1 1 n 1 n +1所以 n = + - = ；2 2
a 1
（2）因为 a1 =1,3an = a
n
n-1，所以 = n 2 a ，n-1 3
所以数列 an
1
是以 为公比的等比数列，
3
1
所以 an = 3n-1
；
（3）由 Sn = 3
n - 2，
当 n =1时， a1 = S1 =1，
当 n 2 n时， an = Sn - Sn-1 = 3 - 2 - 3n-1 - 2 = 2 ×3n-1，
当 n =1时，上式不成立，
ì1, n =1
所以 an = í n-1
2 ×3 , n 2
（4）因为 a1 =1, an = an-1 + 3
n-1
，
a - a = 3n-1所以 n n-1 n 2 ，
则当 n 2时， an = an - an-1 + an-1 - an-2 + an-2 - an-3 +L+ a2 - a1 + a1
3n-1 3n-2 L 3 1 1- 3
n 3n -1
= + + + + = = ，
1- 3 2
当 n =1时，上式也成立，
3n -1
所以 an = ；2
a 1, a n
a n
（5）因为 1 = n = a
n
n 1，所以 = n 2- a n +1 ，n +1 n-1
则当 n 2时， a
an an-1 a= × × n-2 an ×L× 2 × aa 1n-1 an-2 an-3 a1
n n -1 n - 2 2 2
= × × ×L× 1 = ，
n +1 n n -1 3 n +1
当 n =1时，上式也成立，
2
所以 an = ；n +1
2a
（6 n）因为 a1 =1, an+1 = an + 2
，
1 an + 2 1 1 1 1 1
所以 = = + - =an+1 2an a
，即 ，
n 2 an+1 an 2
ì 1 ü 1 =1 1所以数列 í 是以 a 为首项， 2 为公差的等差数列， an 1
1 1 n +1
所以 =1+ n -1 =an 2 2
，
2
所以 an = ；n +1
（7）由 2an = Sn +1，得 Sn = 2an -1，
当 n =1时， a1 = S1 = 2a1 -1，所以 a1 =1，
当 n 2时， an = Sn - Sn-1 = 2an - 2an-1，
所以 an = 2an-1，
所以数列 an 是以 2为公比，1为首项的等比数列，
n-1
所以 an = 2 ；
（8）由 a1 =1,3an+1 = Sn ，
a = S = 3a a 1当 n =1时， 1 1 2，所以 2 = ，3
当 n 2时， an = Sn - Sn-1 = 3an+1 - 3an ，
所以 a
4
n+1 = a ，3 n
所以数列数列 a 4 1n 从第二项起是以 为公比， 为首项的等比数列，3 3
1 n-2a = × 4 所以 n ÷ ，3 è 3
当 n =1时，上式不成立，
ì1, n =1
所以 a =

n í1 4
n-2
×
.
÷ , n 2
3 è 3
16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1， an > 0， Sn 是数列 an 的前 n项和，对任意 n N*，
有 2Sn = 2a
2
n + an -1
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设bn = (-1)
n-1an，求 bn 的前 100 项的和.
1
【答案】(1) an = (n +1)2 ；
(2) -25
【解析】（1）由 2Sn = 2a
2
n + an -1， 2S
2
n-1 = 2an-1 + an-1 -1 n 2 ，
2 2
两式相减得 2an = 2an - 2an-1 + an - an-1，即 an + an-1 2an - 2an-1 -1 = 0，
因为 an > 0，所以 2an - 2an-1 -1 = 0 a a
1
，即 n - n-1 = (n 2)，2
故 an 是首项为1 1，公差为 2 的等差数列，
a 1所以 n = (n +1)2 ；
n-1
（2）由（1）知bn = (-1) a = (-1)
n-1 1
n (n +1)，2
b 1所以 2n-1 + b2n = - ，2
记 cn = b2n-1 + b2n ，则 c
1
n = - ，2
\b1 + b2 + ......+ b100 = c1 + c2 + ......+ c
1
50 = - ÷ 50 = -25
è 2
17．（24-25 湖北）已知数列 an 的前 n项和 Sn ，且满足 2Sn + an =1 .
(1)求 an 的通项公式；
8
(2)记数列 an 的前 n
a
项乘积为Tn ，求
n .
T 的最小值n
a (1【答案】(1) n = )
n .
3
1
(2) ( )28
3
【解析】（1）因为 2Sn + an =1 .
所以当 n =1时， 2S1 + a1 =1,2a1 + a1 =1,
1
\a1 = ,3
当 n 2时， 2Sn + an =1,2Sn-1 + an-1 =1，
两式相减得 2S 2S
a
- n
1
n n-1 + an - an-1 = 0,\3an - an-1 = 0,Qan 0,\ = ,an-1 3
1
所以数列 an 是首项为 ，公比为 q
1
= 的等比数列，
3 3
n-1 1 1 n-1 1 n
则数列通项公式为 an = a1q = ( ) = ( ) ,3 3 3
（2）记数列 an 的前 n项乘积为Tn ，
所以Tn = a1a2a3La
1 n
n ，由（1）可知 an = ( ) .3
1 n(n+1)T = a a a La = ( )1 (1 2 1 3 1 n 1n 1 2 3 n ) ( ) L ( ) = ( )
1+2+3+L+n 1= ( ) 2
3 3 3 3 3 3
1 8n 2
a8 ( ) 1 8n n(n+1) 1 16n-n -n 15n-n
2 -15n+n2
n 3 -= 2 2 1 2 2则 T 1 n(n+1)
= ( ) = ( ) = ( ) = 3
n ( ) 2 3 3 3
3
2 2 15
令 y = -15n+n n 15n= - ，开口向上且对称轴为 n = ,n N*2 2 2 ，2
所以 n = 7或 8 时， y 取最小值且最小值为 -28 .
a8
所以 n 的最小值为 (
1)28 = 3-28 .
Tn 3
18．（23-24 2北京·期中）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = n + 6n - 2．
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明：数列 a2n 为等差数列．
ì5,n =1
【答案】(1) an = í
2n + 5, n 2
(2)证明见解析
2
【解析】（1）因为 Sn = n + 6n - 2，
若 n =1，可得 a1 = 5；
2
若 n 2，可得 an = S
2 é ù
n - Sn-1 = n + 6n - 2 - n -1 + 6 n -1 - 2 = 2n + 5，
由于 a1 = 5不符合 an = 2n + 5 ，
ì5,n =1
所以 an = í
2n + 5, n 2
；
（2）因为 n N* ，则 2n 2，由（1）可知： a2n = 2 2n + 5 = 4n + 5，
则 a2 n+1 - a2n = é4 n +1 + 5 ù - 4n + 5 = 4，
可知数列 a2n 是以首项 a2 = 9，公差 d = 4的等差数列．
19．（23-24 山东淄博·阶段练习）已知数列 an 是等差数列，其前 n和为 Sn ， a2 = 2， S9 = 45，数列 bn 满足
a b n1 1 + a2b2 +L+ anbn = n -1 ×2 +1
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)若对数列 an ， bn ，在 a 与 a *k k +1之间插入bk 个 2（ k N ），组成一个新数列 dn ，求数列 dn 的前 83 项
的和T83 .
(1) a = n b = 2n-1【答案】 n ， n
(2)180
【解析】（1）设公差为d ，
ìa1 + d = 2 ìa1 =1
故 í ，解得 í ，
9a1 + 36d = 45 d =1
故 an = a1 + n -1 d =1+ n -1 = n，
n
故b1 + 2b2 +L+ nbn = n -1 × 2 +1，①
当 n =1时，b1 =1，
当 n 2时，b1 + 2b2 +L+ n -1 bn-1 = n - 2 ×2n-1 +1，②
①-② n n-1 n-1式子 得， nbn = n -1 ×2 +1- n - 2 × 2 -1 = n ×2 ，
n ×2n-1
即b = = 2n-1n ，n
当 n =1 n-1时，b1 =1也满足上式，故bn = 2 ；
（2）因为 an = n ，所以在 dn 中，从项 a1开始，到项 ak 为止，
1- 2k -1
共有项数为 k + 20 + 2 + 22 +L+ 2k -2 = k + = k + 2k -1 -1，
1- 2
当 k = 7时，7 + 26 -1 = 70 < 83，当 k = 8时，8 + 27 -1 =135 > 83，
故数列 dn 前83项是项a7之后还有83- 70 =13项为 2，
T83 = 1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 2 20 + 21 +L+ 25 +13 =180 .5.3 递推公式求数列通项公式
考法一 公式法
1
【例 1-1】（2024·四川· n-1模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 Sn = 2 - ，则数列 a2 n 的通项公式为
【例 1-2】（23-24 天津宁河· 2期末）若数列 an 的前 n项和 Sn = 2n + n +1，则 an 的通项公式是
2 1
【例 1-3】（2024 高三下·全国·专题练习）若数列 an 的前 n项和 Sn = an + (n N*)，则 an 的通项公式是 3 3
a a a
【例 1-4】（23-24 辽宁·期中）已知数列 an 满足 a1 + 2 + 32 +L+ nn-1 = 3n，则 an = 3 3 3
【例 1-5】（2024 n+1陕西榆林·期末）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， an+1 = Sn + 2 ， a1 = 2，则 Sn =
【一隅三反】
1．（23-24 北京·期中）已知数列 an 的前 n 2项和为 Sn ，且 Sn = n + 3n ，则数列 an 的通项公式为 ．
2
2．（23-24 江西景德镇·期中）若数列 an 的前 n 项和 Sn = 6 - n 1 ，则数列 a- n 的通项公式为 ．3
3 2．（23-24 广东深圳·阶段练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = n - 4n +1，则 an = .
4．（23-24 广东佛山·阶段练习）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 = 3,2Sn = 3an - 3，则 an 的通项公式为
1 3
5 2．（2024·四川·模拟预测）已知 Sn 为正项数列 an 的前 n项和， a1 = 3且 Sn + Sn+1 = an+1 - ，则 a = .2 2 n
a a a
6．（23-24· · a a + 2 + 3 + ×××+ n = 3n - 2(n N*江西抚州 阶段练习）数列 n 满足 1 ,n 1) ，则 an = .2 3 n
考法二 累乘法
a n
【例 2-1】（23-24 四川成都· n
*
阶段练习）已知数列 an 满足： a1 =1且 = n 2,n N aan-1 n -1
，则数列 n 的通
项公式为 ．
【例 2-2 】（ 22-23 福建宁德 · 期中）已知 a1 =1, an+1 = n an - an+1 n N+ ，则数列 an 的通项公式是
an = ．
【例 2-3】（2024 高三下·全国· 2专题练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ， Sn = n an ， a1 =1，则 Sn = .
【一隅三反】
1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 an 满足 a1 = 2 ， nan+1 = n + 2a ,n N*n ，求数列 an 的通项公式.
1
2．（2024 高三下·全国·专题练习）在数列 an 中， a1 = ，前 n项和 Sn = n 2n -1 an ，则数列 an 的通项公式为 3
3．（2023 高二·全国·专题练习）已知正项数列 an 满足 a1 = 24，na2n+1 - n + 4 a2n = 4anan+1 .求 an 的通项公式
4．（2024 广东）已知数列{an}满足 a1 =1, an = a1 + 2a2 + 3a3 +L+ (n -1)an-1(n 2)，求{an}的通项公式
考法三 累加法
【例 3-1 *】（23-24 上海宝山·阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = 2, an+1 - an = 2n + 2, n N ，则 an = .
1
【例 3-2】（23-24 上海）在数列 an 中，已知 a1 =1，且 an+1 = an + 2n 1 2n 1 ，则 an =- + ．
n
【例 3-3】（23-24 辽宁·期中）在首项为 1 的数列 a a 1n 中 n+1 - an = n × ÷ ，则 an =
è 2
【一隅三反】
1（23-24 四川南充·阶段练习）（多选）已知 a1 = 0， an+1 = an + 2n -1，则下列说法正确的是（ ）
2A．an = n - 1 B．{an}是单调递增数列
C． an 是等差数列 D． a5 = 25
2．（2024 河北）设数列 an 满足 a1 = 2, an+1 - a = 3 × 22n-1n ，则 an =_______.
1
3．（2024 江西）已知首项为 的数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn+1 + (2n + 3)anan+1 = an + Sn ，则 S98 = ______．3
考法四 构造等比数列
【例 4-1】（23-24 广东深圳·期末）已知数 an 满足 a1 = 2, an+1 = 5an +12，则数列 an 的通项公式 an = ．
【例 4-2】（23-24 n+1上海·期末）数列 an 满足 a1 = 2, an+1 = 3an + 2 ，则数列 an 的通项公式为 an = .
*
【例 4-3】（23-24 高三下·广东·阶段练习）在数列 an 中， a1 = 3，且 an+1 = 3an + 4n - 6 n N ，则 an 的通项公
式为 ．
【一隅三反】
1．（23-24 河北沧州·阶段练习）已知数列 an 满足 a1 = 2 *， an+1 = 3an + 2 n N ，则该数列的通项公式
an = ．
2．（22-23 宁夏中卫·阶段练习）数列 an 满足 an = 4an-1 + 3 n 2 且 a1 = 0，则数列 an 的通项公式
是 ．
3．（2023高三·全国· n-1专题练习）已知数列 an 满足 an+1 = 2an + 4 ×3 ,a1 = -1，则数列 an 的通项公式为 .
4．（2024 河南）设数列 an 满足 a1 = 4， an = 3an-1 + 2n -1(n 2)，则数列 an 的通项公式为 .
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列 an ,a1 =1,a2 = 2,an+1 - 5an + 4an-1 = 0 n N*,n 2 ，则 an 的通项公
式为 .
考法五 构造等差数列
a
【例 5-1】（2024 福建）已知数列 an 满足 a1 =1， a n *n+1 = n N a =4a +1， ，则 n .n
【例 5-2】（2024 山东淄博·期中）已知 an 数列满足 a1 = 2 a n+1， n+1 - 2an = 2 ，则数列 an 的通项公式为
【例 5-3】（23-24 湖南常德 ）已知数列 an 满足 a1 =1， an - a nn+1 = 2 anan+1，则 an = ．
【一隅三反】
1 a
1．（23-24 n安徽）已知数列 an 满足 a1 = ，且 an+1= 3a +1，则数列 an 的通项公式为 an = ．2 n
2．（23-24 福建宁德·期末）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，满足 Sn = an+1 -1, a1 = 2，则 Sn = ．
3．（2024 黑龙江）数列{an}满足 an+1 = 5an + 3 5
n+1
， a1 = 6，则数列{an}的通项公式为 .
4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1,2a *n+1 - an + anan+1 = 0(n N ) ，则数列 an 的通项公式
为 ．
考法六 其他方法
【例 6-1】（2024 江苏无锡·阶段练习）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样
一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成
的数列 an 称为“斐波那契数列”，记 Sn 为数列 an 的前 n项和，则下列结论正确的是（ ）．
A． S7 = 33 B． Sn+2 = Sn+1 + Sn
a2 + a2 +L+ a2
C． a1 + a3 + a +L+ a 1 2 20195 2019 = a2020 D． = aa 20202019
1
【例 6-2】（23-24 吉林长春·阶段练习）（多选）已知数列 an 满足a1 = 3,an+1 = 1- a ，记数列 an 的前 n项和为n
Sn ，则下列结论错误的是（ ）
3 1
A． a2024 = B． S2 3n+1
- S3n = - 2
C． anan+1an+2 = -1 D． S19 = 22
【一隅三反】
1．（2024 山东菏泽）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，
2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an 称为
“斐波那契数列”，记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A． a6 = 8 B． S7 = 33
2 2
a a + a + ×××× × × +a
2
C． 1 + a + a + ×××+ a = a D 1 2 20193 5 2019 2020 ． = aa 20202019
2．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知数列 an 满足 a1 = 2， anan+1 + an - an+1 +1 = 0 ，记数列 an 的前 n 项
和为 Sn ，前 n 项积为Tn ，则（ ）
1
A．数列 an 是周期数列 B． a2024 = 3
C． S2024 > T2024 D．T2024 =1
n(n +1)
3．（2024 2浙江）已知数列 xn 满足： x1 = ， xn+1 = xn 2 ， n 1，则通项 x = ．2 xn + n(n +1) n
2a -1
4 n．（2024 甘肃）已知数列 an 满足 a1 = 2， an+1 = a 4 ，则 a+ n = ．n
一．单选题
1（23-24 广东深圳·期末）已知数列 a n S S 3n 的前 项和为 n ，满足 n = an - 3，则 an =（ ）2
A a = 3n B a = 2 ×3n C a = 6 ×3n． n ． n ． n D． a
n
n = 6
2．（2024·西藏· k模拟预测）已知数列 an 对任意 k N* 满足 ak × ak +1 = 2 ，则 a1 ×a2024 = （ ）
A． 21012 B． 21013 C． 22024 D． 22025
a
3．（23-24 n广东湛江·阶段练习）在数列 an 中， a1 =1， an+1 = ，则 a =3a +1 34 （ ）n
34 1 1
A． B． C． D．100
103 104 100
2a
4 n *．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 an 的首项 a1 =1，且各项满足公式 an+1 = n Na 2 + ，则数列 an n
的通项公式为（ ）
A． an = n a
2
B． n = C． a n
2 a 1= D． =
n +1 n n n
5 n+1
5 2024· · 1 1 ．（ 全国 高三专题练习）已知在数列 an 中， a1 = ， an+1 = an + ÷ ，则 an =（ ）6 3 è 2
3 2 2 3 1 2 2 1
A． n - n B． - C． -2 3 3n 2n 2n 3n
D．
3n
-
2n
6．（23-24 福建厦门·期末）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，若3Sn = an - 2，则 an 的最大值为（ ）
1
A B - C 1． -1 ． ． 2 D．12
7．（22-23 福建福州·期末）如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角
垛”，“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，…，设第 n 层有 an 个球，从上往下 n 层球
的总数为 Sn ，则说法不正确的是（ ）
A． a5 = 35 B． S5 = 35
C． an+1 - an = n +1 D．不存在正整数m > 2 ，使得am 为质数
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，则下列说法中正确的是（ ）
A．若数列 Sn - 4 是等差数列，则数列 an 可能也是等差数列
B．若数列 Sn + 4 是等差数列，则数列 an 可能也是等差数列
C．若数列 an 是等差数列，则数列 Sn 不可能是等差数列
D．若数列 an 是正项等差数列，则数列 Sn - 4 可能是等差数列
二．多选题
9．（广西桂林市 2023-2024 学年高二下学期期末质量检测数学试卷）已知数列 an 的前 n 项和 Sn =1- an ，则下
列结论中正确的是（ ）
1
A． a1 = B．数列 a2 n 是递增数列
S 1 (1C． n = - )
n D． Sn >12
10．（2024 山西）已知数列 a a =1 a a 1 a 1 a L 1n 满足 1 ， n = 1 + 2 2 + 3 3 + + an -1 n-1 n >1 ，则（ ）
a ì1, n =1
A a =1 B n
n n
． 2 ． =a C．
an = D． an = ín
n-1 n -1 2 ,n 2 2
11．（22-23 广东广州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，
3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 an 称为“斐
波那契数列”，记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，则下列结论正确的是（ ）．
A． a6 = 8 B． S7 = 33
C． a1 + a3 + a5 + + a2021 = a2023 D a2 2 2． 1 + a2 + + a2022 = a2022a2023
三．填空题
12．（2024·江西鹰潭·二模）设数列 an 的前 n项和为 Sn ， a1 = 2， 2S *n = nan+1， n N ，则 Sn = .
13．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列 an 的前 n项和为 Sn ，等比数列 bn 的前 n项和为Tn ，若b1 = -1,b5 = 8b2 ，
1- 2n Sn = n n +1 Tn，则 an = .
14．（2023·广东深圳·二模）已知正项数列 an 的前 n项积为Tn ，且满足 an 3Tn -1 = Tn n N* ，则Tn = .
四．解答题
15．（22-23 北京海淀·期末）求下列数列 an 的通项公式.
(1) a1 =1,2an = 2an-1 +1；
(2) a1 =1,3an = an-1；
(3) S = 3nn - 2；
(4) a n-11 =1, an = an-1 + 3 ；
(5) a
n
1 =1, an = a ；n +1 n-1
2a
(6) a =1, a n1 n+1 = an + 2
；
(7) 2an = Sn +1；
(8) a1 =1,3an+1 = Sn ；
16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 =1， an > 0， Sn 是数列 an 的前 n项和，对任意 n N*，
2
有 2Sn = 2an + an -1
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设bn = (-1)
n-1an，求 bn 的前 100 项的和.
17．（24-25 湖北）已知数列 an 的前 n项和 Sn ，且满足 2Sn + an =1 .
(1)求 an 的通项公式；
a8
(2)记数列 an 的前 n项乘积为Tn ，求 nT 的最小值.n
18．（23-24 北京· 2期中）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = n + 6n - 2．
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明：数列 a2n 为等差数列．
19．（23-24 山东淄博·阶段练习）已知数列 an 是等差数列，其前 n和为 Sn ， a2 = 2， S9 = 45，数列 bn 满足
a1b
n
1 + a2b2 +L+ anbn = n -1 ×2 +1
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)若对数列 an ， bn ，在 ak 与 ak +1之间插入bk 个 2（ k N* ），组成一个新数列 dn ，求数列 dn 的前 83 项
的和T83 .

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