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6.2 空间几何中的平行与垂直
考点一 平行问题
【例 1-1】（2024 黑龙江齐齐哈尔 ）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB ^ BC, AA1 = AC = 2, BC = 1，E,G
分别为 A1C1, BC 的中点．
(1)证明：C1G / / 平面 ABE ；
(2)求三棱锥C - ABE 的体积．
【答案】(1) 3证明见解析；(2) .
3
【解析】（1）取 AB 的中点 H ，连接EH , HG,QG HG P
1
为BC 的中点，\ AC
1
且HG = AC ，
2 2
1 1
QE 为 A1C1的中点，\EC1 P AC 且EC1 = AC2 2
\HG P EC1且HG = EC1， \四边形EHGC1为平行四边形，
\C1G∥EH ．
又QC1G 平面 ABE, EH 平面 ABE,\C1G / / 平面 ABE ．
（2）Q AB ^ BC, AC = 2, BC =1,\ AB = 3 ，
1 3
\SVABC = 1 3 = ．2 2
Q A1C1 / / 平面 ABC,\点E 到面 ABC 的距离等于点 A1到面 ABC 的距离，
\VE- ABC = VA1 - ABC ，
又Q AA1 ^平面 ABC, V
1
\ C- ABE = VE- ABC = VA - ABC = S
3
ABC AA1 = .1 3 △ 3
【例 1-2】（2024 北京）如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1 中， A1C 与 AC1交于点O，D为BC 边上一点，D1为 B1C1
中点，且 A1B / / 平面 ADC1 .求证：
(1) A1B / /OD；
(2)平面 A1BD1 / /平面 ADC1 .
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意，因为 A1B / / 平面 ADC1，
且 A1B 平面 A1BC
又因为平面 ADC1 平面 A1BC = OD ，
所以由线面平行的性质得 A1B / /OD .
（2）由（1）可知 A1B / /OD，
又因为O点为 A1C 的中点，
所以OD 为VCA1B 的中位线，
BD 1所以D为BC 的中点，即 = BC ，
2
1
因为D1为 B1C1 的中点，即D1C1 = B2 1
C1，
又因为BC / /B1C1, BC = B1C1 ,
所以BD = D1C1, BD / /D1C1，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以BD1 / /DC1 ,
又因为DC1 平面 ADC1 , BD1 平面 ADC1，
所以BD1 / / 平面 ADC1，
又 A1B / / 平面 ADC1， A1B BD1 = B， A1B 平面 A1BD1 , BD1 平面 A1BD1 ，
所以平面 A1BD1 / /平面 ADC1 .
【例 1-3】（2024 湖北）如图，在四棱锥P- ABCD中， AB = BD = BP = 5 ，PA = PD = 2 ， APD = 90°，
E 、F 分别是棱PA， AD 的中点，且BE // 平面PCD .证明：BF //CD .
【答案】证明见解析
【解析】连接 EF ，如图，
∵ E 、F 分别是PA、 AD 中点，
∴ EF 为△APD 中位线，EF //PD .
EF 平面PDC ，PD 平面PDC ，∴ EF // 平面PCD .
又∵ BE // 平面PCD，BE I EF = E ， BE ，EF 平面EFB，
∴平面EFB// 平面PCD .
又∵平面 ABCD 平面EFB = BF ，平面 ABCD 平面PCD = CD，∴ BF //CD .
【例 1-4】（24-25 上海·课堂例题）如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，若D1、D 分别为 B1C1 、BC 的中点，求
证：平面 A1BD1 / /平面 AC1D．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M，
∵四边形 A1ACC1 是平行四边形，∴M 是 A1C 的中点．连接 MD．
∵D 为 BC 的中点，∴ A1B / /DM ．
∵ A1B 平面 A1BD1 ，DM 平面 A1BD1 ，∴ DM / / 平面 A1BD1 ．
又由三棱柱的性质知，D1C1 / /BD, BD = D1C1，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴ DC1 / /BD1．
又DC1 平面 A1BD1 ，BD1 平面 A1BD1 ，∴ DC1 / /平面 A1BD1 ．
又∵ DC1 DM = D，DC1 平面 AC1D，DM 平面 AC1D，
∴平面 A1BD1 / /平面 AC1D．
【例 1-5】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，
真命题的序号是（ ）
① BM / /平面 ADE ；
② CN / / 平面 ABF ；
③平面BDM / / 平面 AFN ；
④平面BDE / / 平面 NCF .
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体 ABCD - EFMN ，如图 1 所示；
对于①，平面BCMF / / 平面 ADNE ，BM 平面BCMF ，
∴ BM / /平面 ADNE ，①正确；
对于②，平面DCMN / / 平面 ABFE ，CN 平面DCMN ，
∴ CN / / 平面 ABEF ，②正确；
对于③，如图 2 所示，易知DN = BF , DN / /BF ，则四边形BDNF 为平行四边形，
则BD/ /FN ，BD 平面 AFN ，FN 平面 AFN ，∴ BD / /平面 AFN ；
同理可得四边形 ABMN 为平行四边形，则BM / / AN ，
因为 BM AFN ， AN 平面 AFN ，则BM / /平面 AFN ，且BD I BM = B ，
BD, BM 平面BDM ，∴平面BDM / / 平面 AFN ，③正确；
对于④，如图 3 所示，由③知BD / /FN ，因为BD 平面 NCF ，FN 平面 NCF ，
所以BD / /平面 NCF ，
因为BC / /EN , BC = EN ，所以四边形BCNE 为平行四边形，
所以BE / /CN ，因为BD 平面 NCF ，CN 平面 NCF ，所以BE / /平面 NCF ，
又因为BD BE = B ，且BD, BE 平面BDE ，
∴平面BDE / / 平面 NCF ，∴④正确．
综上，正确的命题序号是①②③④．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2024 浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中，A ， B ，C 为所在棱的中点，D，E ，F 为正方体的三个顶
点，则能得出平面 ABC // 平面DEF 的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】对于 A 选项，若平面 ABC // 平面DEF ，BC 平面 ABC ，则BC // 平面DEF ，
由图可知BC 与平面DEF 相交，故平面 ABC 与平面DEF 不平行，A 不满足条件；
对于 B 选项，如下图所示，连接 NG ，
因为A 、C 分别为PN 、PG 的中点，则 AC //NG ，
在正方体EHDG - MFNP 中，FN //EG且FN = EG ，
故四边形EFNG 为平行四边形，所以， NG//EF ，\ AC //EF ，
Q AC 平面DEF ，EF 平面DEF ，\ AC // 平面DEF ，
同理可证BC // 平面DEF ，Q AC I BC = C ，因此，平面 ABC // 平面DEF ，B 满足条件；
对于 C 选项，如下图所示：
在正方体PHDG - MNFE 中，若平面 ABC // 平面DEF ，且平面DEF //平面MNHP，
则平面 ABC // 平面MNHP，但这与平面 ABC 与平面MNHP相交矛盾，
因此，平面 ABC 与平面DEF 不平行，C 不满足条件；
对于 D 选项，在正方体PDHG - FNEM 中，连接PH 、PM 、MH ，如下图所示：
因为DH //FM 且DH = FM ，则四边形DHMF 为平行四边形，则DF //MH ，
QDF 平面PHM ，MH 平面PHM ，所以，DF // 平面PHM ，
同理可证EF // 平面PHM ，QDF I EF = F ，所以，平面DEF //平面PHM ，
若平面 ABC // 平面DEF ，则平面 ABC // 平面PHM ，
这与平面 ABC 与平面PHM 相交矛盾，故平面 ABC 与平面DEF 不平行，D 不满足条件.
故选：B.
2．（23-24 海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形，E 为侧棱 SC 的中
点.
(1)求证：SA P 平面 EDB ；
(2)若F 为侧棱 AB 的中点，求证： EF P 平面 SAD .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）连接 AC, BD ，设 AC I BD = O ，因为 ABCD是平行四边形，
所以O是 AC BD的中点，连接OE，又E 为侧棱 SC 的中点，
所以在VSAC 中有：SA P EO，又 SA 平面EDB, EO 平面 EDB ，
所以SA P 平面 EDB .
（2）若F 为侧棱 AB 的中点，且由（1）知O是BD的中点，
所以在VBAD中有：则 AD P FO，又FO 平面 SAD, AD 平面 SAD，
所以FO P 平面 SAD，
由（1）知SA P EO, EO 平面 SAD, SA 平面 SAD，
所以EO P 平面 SAD .
又EO FO = O, EO, FO 平面EOF ，
所以平面EOF P 平面 SAD，又EF 平面EOF ，所以 EF P 平面 SAD .
3．（23-24 广东佛山·阶段练习）如图，在六面体 ABCDEF 中，DE / /CF ，四边形 ABCD是平行四边形，
DE = 2CF ．
(1)证明：平面 ADE / / 平面BCF ．
(2)若 G 是棱BC 的中点，证明： AE / /FG ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由YABCD，得BC / / AD ，而 AD 平面 AED，BC 平面平面 AED，则BC / / 平面 AED，
由DE / /CF ，CF 平面 AED，DE 平面 AED，得CF // 平面 AED，
又BC CF = C, BC,CF 平面BCF ，所以平面 ADE / / 平面BCF .
（2）延长EF , AG 与DC 的延长线分别交于点O1,O2 ，
由DE / /CF ，DE = 2CF ，得CO1 = CD ，由BC / / AD ，G 是棱BC 的中点，得CO2 = CD，
因此点O1,O2 重合，记为O，显然平面 AOE 平面 AED = AE ，平面 AOE 平面BCF = FG ，
由（1）知，平面 ADE / / 平面BCF ，所以 AE / /FG .
4 ．（23-24 广西贺州·阶段练习）在底面为平行四边形的四棱锥P- ABCD中，E ，F 分别为棱PC ， AB 的中
点．
(1)求证：EF / / 平面 APD；
(2)设平面PAD 平面PBC = l ，求证： l / /平面 ABCD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：取PD的中点M ，连接ME ， AM ，
因为M ，E 分别为PD，PC
1
的中点，所以ME∥CD ，且ME = CD ，
2
又因为F 为 AB 的中点，所以 AF
1
= AB ，
2
在平行四边形 ABCD中，有 AB P CD, AB = CD ，则ME P AF , ME = AF ，
所以四边形 AFEM 为平行四边形，所以EF P AM ，
又因为EF / 平面PAD ， AM 平面PAD ，所以 EF P平面PAD ；
（2）在平行四边形 ABCD中，有BC P AD ，
因为BC / 平面PAD ， AD 平面PAD ，所以 BC P平面PAD ，
又因为平面PAD 平面PBC = l ，BC 面PBC ，所以BC P l ，
又因为 l / 平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 l P平面 ABCD．
5．（23-24 江苏连云港·期中）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，M 为 B1C1 的中点，设平面 A1BM 与底面 ABC 的
交线为 l．
(1)证明： AC1 P平面 A1BM ；
(2)证明： l P平面 A1MC ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】（1）证明：如图，连接 AB1与 A1B 交于点 O，连接OM
在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 ABB1A1为平行四边形，
所以 O 为 AB1的中点，
又因为点 M 为 B1C1 的中点，所以OM ∥ AC1，
因为OM 平面 A1BM ， AC1 平面 A1BM ，
所以 AC1 P平面 A1BM .
（2）证明：在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， 平面 A1B1C1 P平面 ABC ，
因为平面 A1BM I平面 ABC = l ，平面 A1BM I平面 A1B1C1 = A1M ，所以 l P A1M ，
因为 A1M 平面 A1MC ， l 平面 A1MC ，所以 l P平面 A1MC .
考点二 垂直问题
【例 2-1】（24-25 上海）如图，已知矩形 ABCD， PA ^平面 ABCD， PA = AB = 2 ，点 E 是 PB 的中点．求证：
AE ^ 平面PBC ．
【答案】证明见解析
【解析】由PA ^底面 ABCD，得PA ^ AB ，
由PA = AB，知VPAB 为等腰直角三角形，
又点 E 是棱 PB 的中点，故 AE ^ PB ．
由题意知BC ^ AB，又 AB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影，故BC ^ PB ，
AE, PC 是平面PAB内两条相交直线，从而BC ^平面PAB，故BC ^ AE ．
因为 AE ^ BP ， AE ^ BC ，BC, PB 是平面PBC 内两条相交直线,
所以 AE ^ 平面PBC ．
【例 2-2】（23-24 广东湛江 ）如图，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD为矩形， AE ^ PB 于点E，AF ^ PC 于点
F ．
(1)求证： AE ^ 平面PBC ；
(2)设平面 AEF 交PD于点G ，求证： AG ^ PD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）Q ABCD 为矩形，\BC ^ AB
QPA ^ 平面 ABCD, BC 平面 ABCD
\BC ^ PA，
又QPAI AB = A,PA与 AB 平面PAB，
\BC ^平面PAB．
又Q AE 平面PAB
\AE ^ BC
又 AE ^ PB,PB I BC = B,PB 与BC 平面PBC ，
\ AE ^平面PBC .
（2）由（1）知，QPC 平面PBC \ AE ^ PC
又 AF ^ PC, AE I AF = A, AE 与 AF 平面 AEF
\ PC ^ 平面 AEF ；Q AG 平面 AEF ，所以PC ^ AG ；
Q ABCD 为矩形\CD ^ AD
QPA ^ 平面 ABCD\CD ^ PA,QPA, AD 是平面PAD 内两条相交直线
\ CD ^平面PAD\CD ^ AG
QPC CD = C, PC,CD 平面PCD
\ AG ^平面PCDQPD 平面PCD，
\ AG ^ PD .
【例 2-3】（23-24 广东潮州·期末）如图，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直， ADE = 90°，
AF // DE ，DE = DA = 2AF = 4 .
(1)求证：平面 ACE⊥平面 BDE；
(2)求四面体 BAEF 的体积.
【答案】(1)证明见解析
16
(2)
3
【解析】（1）由题意， ADE = 90°可得，DE ^ AD ，DE 平面 ADEF ，
平面 ADEF 平面 ABCD = AD ，
所以DE ^平面 ABCD，
又 AC 平面 ABCD，则DE ^ AC ，
在正方形 ABCD中， AC ^ BD ，
又DE BD = D, BD 平面BDE, DE 平面BDE ，则 AC ^平面BDE .
AC 平面 ACE ,所以平面 ACE ^ 平面BDE .
（2）因为 AB 平面 ABCD，平面 ADEF 平面 ABCD = AD ，
AB ^ AD\ AB ^平面 ADEF ，
又DE = DA = 2AF = 4，
AD 1 1故 ^ AF , DE / / AF , S△AEF = AF × AD = × 2 × 4 = 4，2 2
V 1所以 B- AEF = SVAEF × AB
1 16
= 4 4 = .
3 3 3
【例 2-4】（24-25 上海·随堂练习）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ABC = 90°，BC = 2，CC1 = 4，点 E
在线段BB1上，且EB1 =1，D, E, F 分别为CC1 、C1B1、C1A1的中点.求证：
(1)平面 A1B1D ^平面 ABD；
(2)平面EGF //平面 ABD .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：以 B 为坐标原点，BA, BC, BB1所在直线分别为 x, y, z轴建立如图所示空间直角坐标系.
则B 0,0,0 ，D 0,2,2 ，B1 0,0,4 ，E 0,0,3 ，F 0,1,4 ，C1 0,2,4 .
设BA = a ，则 A a,0,0 ， A1 a,0, 4 G
a
， ,1, 4÷ .
è 2
uuur uuur uuuur
因为BA = a,0,0 ，BD = 0,2,2 ，B1D = 0,2, -2 ，
uuuur uuur uuuur uuur
所以B1D × BA = 0 ，B1D × BD = 0 .
uuuur uuur uuuur uuur
所以B1D ^ BA，B1D ^ BD，即B1D ^ BA，B1D ^ BD .
又BA BD = B, BA, BD 平面 ABD，所以B1D ^平面 ABD .
因为B1D 平面 A1B1D，所以平面 A1B1D ^平面 ABD .
uuur a uuur uuuur
（2）因为EG = ,1,1÷，EF = 0,1,1 ，B1D = 0,2, -2 ，è 2
uuur uuur uuuur uuur
所以B1D × EG = 0，B1D × EF = 0 .
所以B1D ^ EG，B1D ^ EF .
因为EG EF = E, EG, EF 平面EGF ，所以B1D ^平面EGF .
又由（1）知B1D ^平面 ABD，所以平面EGF∥平面 ABD .
【一隅三反】
1．（23-24 四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别是所在棱的中点，
则满足直线 AB ^ EF 的图形的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【解析】对于①：如下图所示，点C 为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 AB ^ FC ，由CE ^平面 ACF ，得出EC ^ AB，FC, EC 平面ECF
FC I EC = C ，从而由线面垂直的判定得出 AB ^ 平面ECF ，则 AB ^ EF ，故①正确；
对于②：如下图所示，点D为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 AB ^ DE ，由DF ^平面BDE ，得出DF ^ AB ，DE, DF 平面DEF ,
DE DF = D ，从而由线面垂直的判定得出 AB ^ 平面DEF ，则 AB ^ EF ，故②正确；
对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证EF ^ AG ，由BG ^平面EFG ，得出EF ^ BG， AG, BG 平面 ABG ,
AG I BG = G，从而由线面垂直的判定得出EF ^ 平面 ABG，则 AB ^ EF ，故③正确；
对于④：如下图所示，点 H 为所在棱的中点，由③可知， AB ^ HE ，
由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证BM ^ FH ，由 AM ^ 平面FHM ，得出 AM ^ FH ， AB, AM 平面 ABM ，
AB I AM = A，从而由线面垂直的判定得出FH ^平面 ABM ，则 AB ^ FH ，
HE, FH 平面EFH ，HE FH = H ，由线面垂直的判定可得 AB ^ 平面EFH ，
则 AB ^ EF ，故④正确；
故选：D
2．（24-25 全国·假期作业）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2, AD = 3, AA1 = 4，点 E, F 分别为棱 AB, DD1
的中点，求证：C1F ^平面BCF ；
【答案】证明见解析
【解析】方法一：因为F 是DD1的中点，
所以D1F = D1C1 = FD = DC = 2,VD1FC1和△FDC 是等腰直角三角形，
所以 D1FC1 = CFD = 45
o
，
所以C1F ^ CF ，
因为BC ^平面CDD1C1,C1F 平面CDD1C1 ，所以BC ^ C1F ，
又BC,CF 平面BCF ，且BC I CF = C ，
所以C1F ^平面BCF ；
方法二：以D为原点，DA所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，
C 0,2,0 , B 3,2,0 , F 0,0,2 ,C1 0,2,4 ，
uuur uuur uuuur
所以CB = 3,0,0 ,CF = 0,-2,2 ,C1F = 0,-2, -2 ，
uuuur uuur uuuur uuur
所以C1F ×CF = 4 - 4 = 0,C1F ×CB = 0，
所以C1F ^ CF ，BC ^ C1F ，
又BC,CF 平面BCF ，且BC I CF = C ，
所以C1F ^平面BCF .
3．（23-24 江苏南京·期末）在底面为正三角形的三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知点M ， N 分别是 A1C1，B1C 的中
点.
(1)求证：MN / / 平面 AA1B1B；
(2)若 A1A = A1C .求证： AC ^平面B1CM .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）如图，连结BC1， A1B ，
因为点 N 是BC1的中点，且BCC1B1为平行四边形，
所以点B, N ,C1三点共线，且M , N 分别是 A1C1，BC1的中点，
所以MN / / A1B ，
MN 平面 ABB1A1， A1B 平面 ABB1A1，
所以MN / / 平面 ABB1A1；
（2）如图，取 AC 的中点E ，连结 A1E ， BE ， A1B ，B1M ，MC ，ME ， A1C ，
因为M , E 分别是 A1C1和 AC 的中点，所以 A1M / /EC ，且 A1M = EC ，
所以四边形 A1ECM 是平行四边形，所以 A1E / /MC ，
且 A1E 平面B1MC ，MC 平面B1MC ，
所以 A1E / / 平面B1MC ，
且ME / / A1A / /B1B ，且ME = A1A = B1B，所以四边形B1BEM 是平行四边形，
所以BE / /B1M ，
且BE 平面B1MC , B1M 平面B1MC ，
所以BE / /平面B1MC ，
且 A1E I BE = E ， A1E, BE 平面 A1BE ，
所以平面 A1BE / / 平面B1MC ，
因为 A1A = A1C ，所以 A1E ^ AC ，同理BE ^ AC，
且 A1E I BE = E ， A1E, BE 平面 A1BE ，所以 AC ^平面 A1BE ，
所以 AC ^平面B1CM .
考点三 动点问题
【例 3-1】（23-24 ·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥P- ABCD中，E 为线段 AD 上靠近 A 的三等分点，F 为线段PC
PF
上一点，当PA / / 平面EBF 时， =（ ）
PC
1 1
A．3 B．4 C． D．
3 4
【答案】D
【解析】
如图，连接 AC 交BE于点G ，连接FG
因为PA / / 平面BEF , PA 平面PAC ，平面PAC 平面BEF = FG所以PA / /FG ，
PF AG
所以 = ，因为 AD / /BC, E为 AD 的三等分点，
PC AC
AG AE 1 AG 1 PF 1
则 = = , = 即 = .
GC BC 3 AC 4 PC 4
故选：D.
【例 3-2】（23-24 北京怀柔·期末）如图 1，在Rt△ABC 中， C = 90o , D, E 分别为 AC, AB的中点.将VADE 沿DE
折起到△A1DE 的位置（ A1与C 不重合），连 A1C, A1B ，如图 2.
(1)求证：平面 A1DE ^ 平面 A1CD ；
(2)若平面 A1DE 与平面 A1CB交于过 A1的直线m ，求证DE P m ；
(3)线段 A1B 上是否存在点Q，使得 A1C ^平面DEQ，若存在，指出Q点位置并证明；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
(3)在线段 A1B 上存在点Q，即为 A1B 的中点,使得 A1C ^平面DEQ .
【解析】（1）因为在Rt△ABC 中，D, E 分别为 AC, AB中点，
所以DE ^ DC, DE ^ DA，
将VADE 翻折到△A1DE 的位置后，即DE ^ DC, DE ^ DA1，
因为DC I DA1 = D, DC 平面 A1CD ，DA1 平面 A1CD ，
所以DE ^ 平面 A1CD ，
因为DE 平面 A1DE ，
所以平面 A1DE ^ 平面 A1CD .
（2）因为在Rt△ABC 中，D, E 分别为 AC, AB中点，
所以DE / /CB，
因为CB 平面 A1CB，DE 平面 A1CB，
所以DE / / 平面 A1CB，
又因为DE 平面 A1DE ，且平面 A1DE I 平面 A1CB = m，
所以DE / /m .
（3）在线段 A1B 上存在点Q，即为 A1B 的中点，使得 A1C ^平面DEQ .
证明如下：
取 A1C 中点M ，连接DM , MQ,QE ，
由（1）可知，DE ^ 平面 A1CD ，
因为 A1C 平面 A1CD ，
所以 A1C ^ DE ，
因为D为 AC 中点，
所以DA1 = DC ，即VDA1C 为等腰三角形，
所以DM ^ A1C ，
因为DE I DM = D, DE 平面DEM ，DM 平面DEM ，
所以 A1C ^平面DEM ，
因为Q为 A1B 的中点，即MQ / /CB / /DE ，
所以D, E,Q, M 四点在同一个平面.
所以 A1C ^平面DEQ .
【一隅三反】
1．（23-24 辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形 PBCD 中，BC∥PD，PD = 2BC ，A 是 PD 中点，现将VABP
沿 AB 折起得图（2），点 M 是 PD 的中点，点 N 是 BC 的中点．
(1)求证：MN / / 平面 PAB；
(2)在线段 PC 上是否存在一点 E，使得平面EMN ∥平面 PAB？若存在，请指出点 E 的位置并证明你的结论；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，E 为 PC 中点，证明见解析
【解析】（1）取 AP 的中点 Q，连接 MQ，BQ，
因为 M，Q 分别为 PD，PA 的中点，
所以MQ / / AD，MQ
1
= AD，
2
又因为 N 为 BC 的中点，
所以BN / / AD BN
1
， = AD．
2
所以MQ / /BN ，MQ = BN ，
所以四边形 MNBQ 为平行四边形，所以MN / /BQ，
又因为MN 平面 PAB，BQ 平面 PAB，
所以MN / / 平面 PAB．
（2）存在点 E，当 E 为 PC 中点时，平面EMN / / 平面 PAB．
证明如下：由图（1）因为 A 是 PD 中点，BC∥PD，PD = 2BC ，
所以BC / / AD 且BC = AD，
所以四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB / /CD ．
因为 E，M 分别为 PC，PD 中点，所以EM / /CD，
所以EM / / AB ，
因为 AB 平面 PAB，EM 平面 PAB，
所以EM / /平面 PAB，
同理可知EN / / 平面 PAB，又因为EM EN = E, EM 平面EMN , EN 平面EMN ，
所以平面EMN / / 平面 PAB．
2 ．（23-24 重庆·期末）如图，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D 1中，四边形 ABCD 是一个菱形， DAB = 60°, ，点
P 为BC1上的动点．
(1)证明：DP∥平面 AB1D1；
(2)试确定点 P 的位置，使得BC ^ DP ．
【答案】(1)证明见解析
(2)点 P 为BC1中点
【解析】（1）由题知，由BB1∥DD1, BB1 = DD1，则四边形 BB1D1D为平行四边形，
所以BD∥B1D1，
因为B1D1 平面 AB1D1，BD 平面 AB1D1，
所以 BD∥平面 AB1D1，同理可证BC1∥面 AB1D1，
由BD 面BDC1 ，BC1 面BDC1 ，BD I BC1 = B，
所以平面BDC1∥平面 AB1D1，
又PD 面BDC1 ，所以DP∥面 AB1D1；
π
（2）取 BC 中点 E，连接 DE，PE．在△BDC 中，BC = DC, BCD = ，
3
则△BDC 为正三角形，
所以DE ^ BC ，又BC ^ DP ，DE BC = E，DE, BC 平面 EDP，
所以BC ^面 EDP，因为EP 平面 EDP ，所以BC ^ EP ．
在面BCC1中，BC ^ CC1，EP 平面BCC1，所以EP∥CC1 ，
在VBCC1中，E 为 BC 中点，所以 EP 为中位线，则点 P 为BC1中点．
3．（22-23 云南昭通·期末）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1 = 2，点 M 为 A1B1 的中点.
(1)证明： MC1 ^ 平面 ABB1A1；
B Q
(2) 1在棱BB1上是否存在点 Q，使得 AQ ^ 平面BC1M ？若存在，求出 QB 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
B Q
(2) 1存在， =1QB
【解析】（1）因为三棱柱 ABC - A1B1C1 是正三棱柱，
所以 AA1 ^ 平面 A1B1C1, MC1 平面 A1B1C1 ,所以 AA1 ^ MC1；
又因为 M 是 A1B1 的中点，所以MC1 ^ A1B1 ，
因为 AA1 A1B1 = A1, A1B1 平面 ABB1A1, AA1 平面 ABB1A1 ,所以 MC1 ^ 平面 ABB1A1 .
（2）由（1）可知C1M ^平面 AA1B1B，因为C1M 平面BC1M ，
则平面BC1M ^平面 AA1B1B，
在平面 AA1B1B内过点 A 作 AQ ^ BM 交BB1于点 Q，平面BC1M I平面 AA1B1B = BM ，
因此 AQ ^ 平面BC1M ，于是点 Q 即为所要找的点,
如图 7 所示，显然△ABQ∽△BB1M ，
BQ AB BQ
因此 =B M BB ，即有 =1，1 1 1
B1Q
于是 BQ =1，所以 =1QB .
考点四 动点长度（取值范围）
【例 4-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长是 2，侧棱长是 2 3 ，M 为 A1C1
的中点， N 是侧面BCC1B1内的动点，且MN // 平面 ABC1，则点 N 的轨迹的长度为（ ）
A． 6 B．2 C． 2 D．4
【答案】B
【解析】如图，
取 B1C1 的中点D，取BB1的中点E ，连接MD, DE, ME ，则DE //BC1，
又DE 面 ABC1，BC1 面 ABC1，所以DE //平面 ABC1，
又M 为 A1C1的中点，所以MD//A1B1 //AB，
又MD 面 ABC1， AB 面 ABC1，所以MD// 平面 ABC1，
又DE I MD = D ，DE 面DEM ，MD 面DEM ，所以平面DEM // 平面 ABC1，
又因为 N 是侧面BCC1B1上一点，且MN // 平面 ABC1，
所以 N 的轨迹为线段DE ，
DE 1= 4 +12 = 2，
2
所以点 N 的轨迹的长度为 2 .
故选：B.
【例 4-2】（23-24 四川成都·阶段练习）（多选）在边长为1的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点M 是一个动点，且
BM / /平面 AD1C ，则线段DM 的长度可能是（ ）
A 1 B 3 C 2 3． ． ． D． 2
3 3
【答案】CD
【解析】由正方体的性质知： AC / / A1C1，所以 AC 平面 AD1C ， A1C1 平面 AD1C ，
所以 A1C1 / / 平面 AD1C ，同理 A1B / / 平面 AD1C ，
A1B A1C1 = A, A1B, A1C1 平面 A1BC1，所以平面 AD1C // 平面 A1BC1，
若M 平面 A1BC1，则BM 平面 A1BC1，则BM / /平面 AD1C ，
线段DM 的最小长度即为点D到平面 A1BC1的距离，
四面体D - A1BC1的棱长为DB = DA1 = A1B = A1C1 = A1D = BC1 = 2 ，
作DF ^平面 A1BC1，垂足为F ，则F 为三角形 A1BC1的重心，
连接 BF 交 A1C1的中点E ，
2
BF 2

BE 2 2 2 2 6 6且 = = - = = ，
3 3 è 2 ÷
÷
3 2 3
则正四面体的高为DF = DB2 - BF 2 2 2 2 3= - = ，
3 3
所以线段DM 的最小长度为DF 2 3= ，
3
2 3
线段DM 的最大长度为 2 ，所以 DM 2 .
3
é 2 3 ù é ù
因为1 ê , 2 ,
3 2 3
ú ê , 2 ú ，故 A，B 错误；
3 3 3
2 3 é 2 3 ù é, 2 , 2 2 3
ù

3 ê

3 ú ê
, 2 ú，故 CD 正确.
3
故选：CD.
【一隅三反】
1．（2024·湖南长沙·三模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2, M 是棱CC1 的中点，空间中的动点 P 满足
DP ^ BM ，且 D1P =1，则动点 P 的轨迹长度为（ ）
A 5 B 3 C 2π D 2 5π． ． ． ．
5 5
【答案】D
【解析】如图，分别取 A1D1, B1C1的中点 E, F ，连接DE, EF ,CF ，
因为CD ^平面BCC1B1，BM 平面BCC1B1，所以BM ^ CD，
在RtVBCM ,RtVCC1F 中，BC = CC1,CM = C1F , BCM = CC1F = 90°，
所以RtVBCM @ RtVCC1F ，所以 CBM = FCC1，
又 BCM = BCF + FCC1 = 90°，所以 BCF + CBM = 90°，所以BM ^ CF ，
又CF CD = C ，CF ,CD 平面CDEF ，所以BM ^平面CDEF ，
由DP ^ BM ，得点 P 在平面CDEF 内，
由 D1P =1，得点 P 在以D1为球心，半径为 1 的球面上，
因此动点 P 的轨迹为平面CDEF 与球D1的球面的交线，即在平面CDEF 内的圆，
连接DF ，设点D1到平面DEF 的距离为 h ，平面DEF 截球D1所得截面圆的半径为 r ，
V = V 1 1 1则由 三棱锥D -DEF 三棱锥F -DED 得 h × SVDEF = 2 1 1 2 1，3 3 2
2
S 1= 2 5 = 5 h 2 5
2 5 5
且 VDEF ，所以 = ，则 r = 12 - ÷÷ = ，2 5 è 5 5
P 2 5π因此动点 的轨迹长度为 .
5
故选：D.
2．（23-24 浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E, F 分别是棱BC,CC1
的中点， P 是侧面BCC1B1内一点，若 A1P P 平面 AEF ，则线段 A1P 长度的取值范围是（ ）
é ù é ù é ù
A． ê1,
5 3 2
ú B． ê ,
5 5
2 4 2 ú
C． ê , 2ú D． é ù2
2, 3

【答案】B
【解析】如图，取 B1C1 的中点M ，BB1的中点 N ，连接 A1M , A1N , MN ，显然 AA1 / /ME ，且 AA1 = ME ，
所以四边形 AEMA1为平行四边形，所以 AE / / A1M ，又因为 A1M 平面 AEF ，
AE 平面 AEF ,所以 A1M / /平面 AEF ，因为MN / /BC1 / /EF ，MN 平面 AEF ，
EF 平面 AEF ,所以MN / / 平面 AEF ，又因为 A1M I MN = M ，所以平面 A1MN / /平面 AEF ，
因为 A1P 平面 AMN ，所以 A1P / / 平面 AEF ，点 P 在侧面BCC1B1上，所以点 P 位于线段MN 上，
2
因为 A1M = A1N = 1
1+ 5 ÷ = ，
è 2 2
MN 1
2
1
2 2
= ÷ +

÷ = ，所以当点 P 位于M , N 点时， A1P 最大，
è 2 è 2 2
当点 P 位于MN 的中点O时， A1P 最小，
2 2
5 A 2
3 2
此时 1O = ÷÷ -2 ÷÷
= ，
è è 4 4
3 2 5 é3 2 5 ù
所以 A1P ，所以线段 A1P 长度的取值范围是 ê ,4 2 ú .4 2
故选：B
3．（23-24 ·四川眉山·阶段练习）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，则点 P
为正方形 A1B1C1D1内一点，当DP// 平面B1EF 时，DP的最小值为（ ）
3
A 3 2 3 3． 2 B． C． D．2 4 4
【答案】C
【解析】如图，分别取 A1D1,C1D1的中点 N , H ，连接DN, DH , NH ，
则EF∥ AC,NH ∥ A1C1 ,AC∥ A1C1，所以 NH //EF ，
易知四边形DFB1N 为平行四边形，故DN //B1F ，
因为 NH 平面B1EF ，EF 平面B1EF ，所以 NH //平面B1EF ，
DN 平面B1EF ，B1F 平面B1EF ，所以DN // 平面B1EF ，
又 NH I DN =N ， NH、DN 平面DNH ，
所以平面 B1EF // 平面DNH ，因为DP// 平面B1EF ，故DP 平面DNH ，
又点 P 为正方形 A1B1C1D1内一点，平面 A1B1C1D1 I平面DNH = NH ，
所以点 P 在线段 NH 上，
又DN = DH ,当DP ^ NH 即点 P 即为 NH 的中点，也即点 P 为 NH , B1D1的交点时，
此时DP最短，
因为 A1D1、C1D1的中点分别是 N、H ，
所以 NH //A1C1，D1P=
1 D B 21 1 = ，所以DP = D1P
2 + DD2 3 2= .
4 4 1 4
故选：C.
一．单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1, M , N 分别是 A1D, D1B 的中点，则（ ）
A． A1D P D1B, MN P 平面 ABCD
B． A1D P D1B, MN ^ 平面 BB1D1D
C． A1D ^ D1B, MN P 平面 ABCD
D． A1D ^ D1B, MN ^平面 BB1D1D
【答案】C
【解析】由已知 AB ^ 面 ADD1A1， A1D 面 ADD1A1，
则 AB ^ A1D，又 AD1 ^ A1D ， AB I AD1 = A， AB, AD1 面 ABD1，
所以 A1D ^面 ABD1，又BD1面 ABD1，所以 A1D ^ D1B ，排除 AB，
明显M , N 分别为 AD1, BD1的中点，所以MN // AB ，
又MN 面 ABCD， AB 面 ABCD，
所以MN P 平面 ABCD，C 正确；
若MN ^平面 BB1D1D，则必有MN ^ BD，又MN // AB ，
所以 AB ^ BD，明显不成立，D 错误.
故选：C.
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 ABCD是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于A ， B 的一点，则下
面结论中错误的是（ ）
A． AE ^ CE
B．BC / / 平面 ADE
C．平面 ADE ^平面BCE
D．DE ^ 平面BCE
【答案】D
【解析】因为四边形 ABCD是圆柱的轴截面，则线段 AB 是直径，BC, AD 都是母线．
又E 是底面圆周上异于 A, B的一点，
于是得 AE ^ BE .
而BC ^平面 ABE ， AE 平面 ABE ，则BC ^ AE .
因为BC I BE＝B ，BC, BE 平面BCE ，
则 AE ^ 平面BCE ，
因为CE 平面BCE ，因此得 AE ^ CE ，A 正确；
因为BC∥AD , BC 平面 ADE ， AD 平面 ADE ，
所以BC / / 平面 ADE ，B 正确；
因为 AE ^ 平面BCE ，而 AE 平面 ADE ，
所以平面 ADE ^平面BCE ，C 正确．
点D不在底面 ABE 内，而直线 AE 在底面 ABE 内，即 AE, DE是两条不同直线，
若DE ^ 平面BCE ，因 AE ^ 平面BCE ，
则DE∥ AE ，与DE I AE = E 矛盾，D 不正确；
故选：D.
3．（2024·河南·模拟预测）设a ，b 为两个不同的平面，m ， n为两条相交的直线，已知m / /a ， n / /a ，则
“ m / /b ， n / /b ”是“a / /b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设两条相交的直线m ， n确定一个平面g ，
因为m / /a ， n / /a ，直线m ， n相交，m g ， n g ，
所以根据面面平行的判定定理可得：a ∥g ，
又因为m / /b ， n / /b ，直线m ， n相交，m g ， n g ，
所以根据面面平行的判定定理可得： b ∥g ，
所以a / /b ，充分性成立；
由a / /b ，m / /a ， n / /a 可的：m / /b ， n / /b 或m b ， n b ，必要性不成立，
所以“ m / /b ， n / /b ”是“a / /b ”的充分不必要条件.
故选：A.
uuuur uuuur
4．（2024·江西·二模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 4，点M 满足C1M = 3MC ，若在正方形 A1B1C1D1内
有一动点 P 满足BP / / 平面 AMD1 ，则动点 P 的轨迹长为（ ）
A．4 B． 17 C．5 D． 4 2
【答案】C
【解析】
如图，在棱 A1D1, AA1上分别取点 E, F ，使得 A1E
1 A D 1= 1 1， A1F = A1A，4 4
连接EF , BC1, BF ,C1E, D1F , BM ，
因为 A
1 1
1E = A4 1
D1， A1F = A1A，4
所以，EF // AD1，
因为EF 平面 AMD1 ， AD1 平面 AMD1 ，
所以EF / / 平面 AMD1 ，
uuuur uuuur uuuur uuuur
因为C1M = 3MC ，所以CC1 = 4CM ，
1
又 A1F = A1A，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 4，4
所以， AF = C1M = 3，CM = A1F =1，
1
在棱BB1上取点G ,使得B1G = B B，4 1
则FG / / AB 且FG = AB ，又 AB / /C1D1且 AB = C1D1，
所以FG / /C1D1且 FG = C1D1 ，所以四边形FGC1D1是平行四边形，
所以FD1 / /GC1，
又BG / /MC1且BG = MC1，则四边形GBMC1是平行四边形，
所以GC1 / /BM ，所以FD1 / /BM ，
因为 A1D1 = BC, BCM = FA1D1 ，
所以VBCM @VD1A1F ，则D1F = BM ，
所以四边形BFD1M 是平行四边形，所以BF / /D1M ，
因为BF 平面 AMD1 ，D1M 平面 AMD1 ，
所以，BF // 平面 AMD1 ，
因为BF EF = F ，BF , EF 平面BFEC1 ，
所以平面BFEC1 / / 平面 AMD1 ，
因为平面BFEC1 I平面 A1B1C1D1 = C1E，
所以，在正方形 A1B1C1D1内有一动点 P 满足BP / / 平面 AMD1 时，
点 P 的轨迹为线段C1E ，
因为C E = C D2 + ED2 21 1 1 1 = 4 + 3
2 = 5，
所以，动点 P 的轨迹长为5 .
故选：C.
5．（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 和一个正四棱锥P - A1B1C1D1组合而
成，已知 AB = 2, AA1 = 2, PA1 = 2，则（ ）
A．PA1 / /平面 ABC1D1 B．PB1 //平面 ABC1D1
C．PC1 ^ 平面BDC1 D．PD1 ^平面BDC1
【答案】C
【解析】对 A、B：如图，因为PA1 = PC1 = 2, A1C1 = 2 2,OC = CC1 = 2 ，
在平面 ACC1PA1中有 PA1C1 = A1C1O = C1OC
π
= ，
4
所以PA1 / /OC1, PA1 / / 平面BDC1, PA1不平行于平面 ABC1D1，故 A 错误；
同理PB1 / /OD1, PB1不平行于平面 ABC1D1，故 B 错误；
对 C、D：PO = 2 2+ 2 = 2 2 ，PC1 = C1O = 2，
2
PC 2有 1 + C1O
2 = PO2 ，所以PC1 ^ C1O，
又BD ^ AC ，BD ^ CC1 , AC ICC1 = C , AC,CC1 平面PC1O ，
所以BD ^平面PC1O ，又因为PC1 平面PC1O ，
所以PC1 ^ BD，又BD C1O = O ，BD、C1O 平面BDC1 ，
所以PC1 ^ 平面BDC1 ，故 C 正确；
又因为PC1 I PD1 = P，且过一点有且仅有一条直线与平面垂直，
所以PD1不垂直于平面BDC1 ，故 D 错误.
故选：C.
6．（2024·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，点 D，E 分别在棱 AA1,CC1上， AB = AC = AD =
uuur uuur
2A1D = CE = 2C1E = 2，点F 满足 BF = lBD(0 < l < 1) ，若B1E∥平面 ACF ，则l 的值为（ ）
2 1 1 1A． B． 2 C． D3 ．3 4
【答案】C
【解析】在BB1上取一点G 使得B1G = 2BG ，连接CG, AG，
AG 与BD交于一点F ，即为所求（如图所示）.
证明如下：
根据已知CE = 2C1E = 2 ，\CC1 = BB1 = 3，
\在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，B1G / / CE，且B1G = CE = 2，
\四边形B1GCE 为平行四边形，\B1E∥CG ，
QB1G 平面 ACG，CG 平面 ACG，\B1G / / 平面 ACG
即B1G / / 平面 ACF .
又V
BF BG 1
BFG∽VDFA，\ = =
DF DA 2
uuur uuur
\BF 1= BD 1，即l 的值为 .
3 3
故选：C.
7．（2024 黑龙江鹤岗 ）如图，在正四棱锥 S - ABCD 中，E, M , N 分别是BC,CD, SC 的中点，当点 P 在线段MN
上运动时，下列四个结论：
① EP ^ AC ；② EP / /BD ；③ EP // 平面 SBD；④ EP ^ 平面 SAC .
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
【答案】A
【解析】如图所示，连接 NE, ME ，
因为E, M , N 分别是BC,CD, SC 的中点，所以EN / /SB, MN / /SD，
又因为EN MN = N , SB SD = S ，且EN , MN 平面 NEM ， SB, SD 平面 SBD，
所以平面 SBD / / 平面 NEM ，
因为EP 平面 NEM ，EP // 平面 SBD，所以③恒成立；
设 AC 与BD交于点O，则O为底面正方形 ABCD的中心，且 AC ^ BD ，
由正四棱锥 S - ABCD ，可得 SO ^ 平面 ABCD，
因为 AC 平面 ABCD，所以 SO ^ AC ，
又因为 SO BD = O ，且 SO, BD 平面 SBD，所以 AC ^平面 SBD，
所以 AC ^平面 NEM ，因为EP 平面 NEM ，所以 AC ^ EP，所以①恒成立；
对于②④对于线段 MN 上的任意一点 P 不一定成立.
故选：A.
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M 是棱 AA1上一点，平面MBD1与棱CC1
交于点 N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形MBND1是平行四边形；②四边形MBND1可能是正方形；③存在平面MBND1与直线BB1垂直；④任
意平面MBND1都与平面 ACB1垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【解析】对于①，因为平面MBD1与棱CC1 交于点 N ，所以M , B, D1, N 四点共面，
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，由平面BCC1B1 // 平面 ADD1A1，
又平面MBD1 I平面 ADD1A1 = MD1，平面MBD1 I平面BCC1B1 = BN ，所以MD1 //BN ，
同理可得 ND1 //MB ，故四边形MBND1一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1D1 ^ 面 ABB1A1，
因为BM 面 ABB1A1，所以 A1D1 ^ BM ，
若MBND1是正方形， 有MD1 ^ BM ，MD1 = BM ，
若 A1, M 不重合，则MD1 ^ BM 与 A1D1 ^ BM 矛盾，
若 A1, M 重合，则MD1 = BM 不成立，故②错误；
对于③，因为BD1 平面MBND1， B1BD1 < 90°，
若直线BB1与平面MBND1垂直，则直线BB1 ^ BD1 ，显然矛盾，
所以平面MBND1与直线BB1不可能垂直，故③错误
对于④，因为BB1 ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以BB1 ^ AC ，
又BD ^ AC ，BB1 BD = B, BB1, BD 平面 BB1D1D，所以 AC ^平面 BB1D1D，
又D1B 平面 BB1D1D，所以D1B ^ AC ，
同理：D1B ^ AB1，又 AC 平面 ACB1， AB1 平面 ACB1， AC AB1 = A，
所以D1B ^平面 ACB1，因为D1B 平面MBND1，所以平面MBND1 ^ 平面 ACB1，故④正确.
综上所述，正确的有①④.
故选：C.
二．多选题
9．（23-24 福建莆田·期末）在棱长为 6 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点E 为棱 AA1的中点，则（ ）
A． AC1 ^ CD1
B．平面BDE / / 平面B1CD1
C．平面BDE ^ 平面 ACC1A1
D．平面B1CD1截该正方体外接球的截面面积为24π
【答案】ACD
【解析】
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1C1 ^ B1D1且 AA1 ^ 平面 A1B1C1D1，
又因为B1D1 平面 A1B1C1D1，所以 AA1 ^ B1D1，
因为 AA1 A1C1 = A且 AA1, A1C1 平面 ACC1A1 ，所以B1D1 ^平面 ACC1A1 ，
因为 AC1 平面 ACC1A1 ，所以 AC1 ^ B1D1，
同理可得B1C ^ BC1 (正方形对角线垂直)， B1C ^ AB (由 AB ^ 平面B1C1CB可得)，
又因为BC1 I AB = B ，BC1, AB 平面 ABC1，所以 B1C ^ 平面 ABC1，
又因为 AC1 平面 ABC1，所以 AC1 ^ B1C ，
因为B1D1 B1C = B1且B1D1, B1C 平面B1CD1，所以 AC1 ^平面B1CD1，
又因为CD1 平面B1CD1，所以 AC1 ^ CD1，故 A 正确；
因为BD // B1D1，所以BD ^平面 ACC1A1 ，
又因为BD 平面BDE ，所以平面BDE ^ 平面 ACC1A1 ，故 C 正确；
由 A 知 AC1 ^平面B1CD1， AC1 ^ CD1，
若平面BDE / / 平面B1CD1，则 AC1 ^平面BDE ， AC1 ^ BE ，
取DD1的中点F ，连接CF ，
因为点E 为棱 AA1的中点，所以CF / /BE ，
又因为CD1 ICF = C ，所以 AC1不垂直CF ，所以 AC1不垂直 BE ，矛盾，
所以平面BDE ,平面B1CD1不平行，故 B 错误；
因为平面B1CD1三个点都是正方体 ABCD - A1B1C1D1 上的点，所以平面B1CD1截该正方体外接球的截面即为等边
VB1CD1 的外接圆，等边VB1CD1 的边长为 6 2 ，
设VB1CD
6 2
1 的外接圆的半径为 r ，则由正弦定理可得 ° = 2r r = 2 6 ，所以截面面积为sin 60
πr 2 = π 22 6 = 24π ，故 D 正确，
故选：ACD.
10．（23-24 河南新乡·期末）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别在棱 A1B1 ， A1D1，
B1C1 ，C1D1上，且平面 AMN ∥平面EFDB，下列结论正确的是（ ）
A．MN ∥EF B．EF∥BD
C． AN ∥DF D．BE∥平面 AMN
【答案】ABD
【解析】因为平面 AMN ∥平面EFDB，
平面 A1B1C1D1与平面EFDB和平面 AMN 的都相交，MN, EF 是交线，
所以MN ∥EF ，故 A 正确；
因为长方体 ABCD - A1B1C1D1 ，
所以平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD，而平面EFDB与这两个平行平面的都相交，
EF, BD 是交线，所以EF∥BD ，故 B 正确，
如图，连接MF ，此时平面DAMF 与平面 A1B1C1D1和平面 ABCD的都相交，
DA, MF 是交线，所以DA∥MF ，
而DA∥D1A1, DA = D1A1，
所以MF∥D1A1，
又因为D1F∥MA1，
所以四边形D1FMA1 是平行四边形，
所以MF = D1A1 ，MF = DA，
所以四边形DAMF 是平行四边形，
所以DF∥ AM ，
因为 AM I AN = A，
所以 AN 与DF 不平行，
故 C 错误；
如图，连接 NE ，由长方体性质得面BCC1B1∥面 AA1D1D，
此时平面 NEBA与这两个平面的都相交， NA, EB是交线，
所以BE∥ AN ，
又因为 AN 面 AMN ，BE 面 AMN ，
所以BE∥平面 AMN ，
故 D 正确.
故选：ABD
11．（2024·山东烟台·三模）如图 1，半圆 O 的直径为 4，点 B，C 三等分半圆，P，Q 分别为 OB，OC 的中点，
将此半圆以 OA 为母线卷成如图 2 所示的圆锥，D 为 BC 的中点，则在图 2 中，下列结论正确的有（ ）
A PQ 3． =
2
B． AD ^ 平面OBC
C．PQ / /平面 ABC
1
D．三棱锥P - ABC 与Q - ABC 公共部分的体积为
4
【答案】ACD
【解析】对于 A，在图 2中，设圆锥的底面圆半径为 r ，
则 2πr
1
= 4π ，解得 r =1，
2
因为在图 1 中，点 B 、C 三等分半圆，
所以在图 2中，点 B 、C 为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以VABC 为等边三角形，
BC
所以 = 2r = 2，所以BC = 3 ，sin 60°
又因为点 P 、Q分别是OB、OC 的中点，
1 3
所以PQ = BC = ，故 A 正确；
2 2
对于 B，
连接OD, AC, AB ，因为三角形 ABC 边长为 3 的等边三角形，三角形OBC 为等腰三角形，
点D 3是BC 的中点，所以 AD = ，OD = OB2 13- BD2 = ，
2 2
AD2 OD2 9 13而 AO = 2，所以 + = + 4 = AO2 ，这表明 AD 与OD 不垂直，故 B 错误；
4 4
对于 C，因为点 P 、Q分别是OB、OC 的中点，
所以PQ / /BC ，
因为PQ 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，
所以PQ / /平面 ABC ，故 C 正确；
对于 D，连接BQ,CP交于点E ，连接OE并延长OE，则由对称性可知OE必定交BC 于点D，
则三棱锥P - ABC 与三棱锥Q - ABC 公共部分即为三棱锥E - ABC ，
因为点P,Q 分别是OB、OC 的中点，
所以E 为VOBC DE 1 OD 13的重点，所以 = = ，
3 6
由上易知，圆锥的轴截面为边长为 2 的正三角形，所以圆锥的高为 3 ，
V 1 1 1
1 3 1
所以 E- ABC = VO- ABC = 3 3 ÷÷ 3 = ，3 3 3 è 2 2 4
1
所以三棱锥M - ABC 与三棱锥 N - ABC 公共部分的体积为 ，故 D 正确.
4
故选：ACD.
三．填空题
12．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M 是棱 AA1上一点，平面MBD1与棱CC1 交
于点 N．给出下面几个结论：
①四边形MBND1是平行四边形；②四边形MBND1可能是正方形；③存在平面MBND1与直线 BB1垂直；④任
意平面MBND1都与平面 ACB1垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【解析】对于①，因为平面MBD1与棱CC1 交于点 N ，所以M , B, D1, N 四点共面，
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，由平面BCC1B1 // 平面 ADD1A1，
又平面MBD1 I平面 ADD1A1 = MD1，平面MBD1 I平面BCC1B1 = BN ，所以MD1 //BN ，
同理可得 ND1 //MB ，故四边形MBND1一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1D1 ^ 面 ABB1A1，
因为BM 面 ABB1A1，所以 A1D1 ^ BM ，
若MBND1是正方形， 有MD1 ^ BM ，MD1 = BM ，
若 A1, M 不重合，则MD1 ^ BM 与 A1D1 ^ BM 矛盾，
若 A1, M 重合，则MD1 = BM 不成立，故②错误；
对于③，因为BD1 平面MBND1， B1BD1 < 90°，
若直线BB1与平面MBND1垂直，则直线BB1 ^ BD1 ，显然矛盾，
所以平面MBND1与直线BB1不可能垂直，故③错误
对于④，因为BB1 ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以BB1 ^ AC ，
又BD ^ AC ，BB1 BD = B, BB1, BD 平面 BB1D1D，所以 AC ^平面 BB1D1D，
又D1B 平面 BB1D1D，所以D1B ^ AC ，
同理：D1B ^ AB1，又 AC 平面 ACB1， AB1 平面 ACB1， AC AB1 = A，
所以D1B ^平面 ACB1，因为D1B 平面MBND1，所以平面MBND1 ^ 平面 ACB1，故④正确.
故答案为：①④.
13．（2023·北京·模拟预测）如图，在直角梯形 ABCD中，E 为CD 的中点，BC ^ CD， AE ^ CD ，M，N 分别
是 AD ， BE 的中点，将VADE 沿 AE 折起，使点 D 不在平面 ABCE内，则下命题中正确的序号为 ．
① MN // AB ；
② MN ^ AE ；
③ MN / / 平面CDE ；
④存在某折起位置，使得平面BCD ^平面 ABD．
【答案】②③
【解析】①③，如图所示：直角梯形 ABCD中，CD / / AB ，
又因为BC ^ CD， AE ^ CD ，所以 AE / /BC ，
故四边形 ABCE为矩形，
因为 N 分别是 BE 的中点
连接 AC ，则 BE 与 AC 相交于点 N ，故点 N 是 AC 的中点，
因为M 是 AD 的中点，所以MN // CD，
又 AB / /CE ，而CE与CD 相交于点C ，
故 AB 与CD 不平行，故MN 与 AB 不平行，①错误，
因为MN // CD，CD 平面CDE ，MN 平面CDE ，
所以MN / / 平面CDE ，③正确；
②，因为 AE ^ DE, AE ^ CE ，DE CE = E ，DE,CE 平面CDE ，
所以 AE ^ 平面CDE ，
因为CD 平面CDE ，所以 AE ^ CD ，
由①知MN // CD，所以MN ^ AE ，②正确；
④，连接BD，以E 为坐标原点，EA, EC 分别为 x, y轴，建立空间直角坐标系，
设 AB =1, EA = a a 0 ， CED = q ，q 0, π ，
故 A a,0,0 , B a,1,0 ,C 0,1,0 , D 0,cosq ,sinq ，
ur
设平面BCD的法向量为m = x1, y1, z1 ，
uuur
ìm
r
× BC = x , y , z
uuur 1 1 1
× -a,0,0 = -ax1 = 0
故 í
mr
，
× BD = x1, y1, z1 × -a, cosq -1,sinq = -ax1 + cosq -1 y1 + z1 sinq = 0
解得 x1 = 0 ，令 y1 =1 z
1- cosq
，则 1 = ，sinq
ur
m = 故 0,1,
1- cosq
÷，
è sinq
r
设平面 ABD的法向量为 n = x2 , y2 , z2 ，
r uuur
ìm × BA = x2 , y , z × 0,-1,0 = -y = 0
故 í r uuur
2 2 2
，
m × BD = x2 , y2 , z2 × -a, cosq -1,sinq = -ax2 + cosq -1 y2 + z2 sinq = 0
a
解得 y2 = 0，令 x2 =1，则 z2 = ，sinq
r a
故 n = 1,0, ，
è sinq ÷
ur r 1- cosq a 1- cosq a a 1- cosqm 故 × n = 0,1, ÷ × 1,0, = × = ，
è sinq è sinq ÷ sinq sinq sin2 q
ur r
q 0, π a 1- cosq 因为 ，故1- cosq 0，故m × n = 0，
sin2 q
故不存在某折起位置，使得平面BCD ^平面 ABD，④错误.
故选：②③
14．（2024 山东枣庄·期末）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2, E F 分别是棱 AA1, A1D1的中点，点 P
为底面四边形 ABCD内（包括边界）的一动点，若直线D1P与平面BEF 无公共点，则点 P 在四边形 ABCD内运
动所形成轨迹的长度为 .
【答案】 5
【解析】取BC 的中点G ，连接 AG, D1G, AD1，如图所示：
E F 分别是棱 AA1 A1D1的中点，所以 EF∥AD1，
又因为EF 平面BEF , AD1 平面BEF ，所以 AD1 P 平面BEF .
因为FD1∥BG, FD1 = BG ，
所以四边形FBGD1为平行四边形，所以FB∥GD1 .
又因为FB 平面BEF ,GD1 平面BEF ，所以GD1 P 平面BEF .
因为GD1 I AD1 = D1，所以平面 AD1G P 平面BEF .
因为点 P 为底面四边形 ABCD内（包括边界）的一动点，直线D1P与平面BEF 无公共点，
所以 P 的轨迹为线段 AG ，则 AG = 22 +12 = 5 .
故答案为： 5 .
四．解答题
15．（23-24 陕西·期末）如图所示，四边形EFGH 为空间四边形 ABCD的一个截面，且截面EFGH 为平行四边
形．
(1)求证： AB//平面EFGH ．
(2)若 AB ^ CD ，且 AB = CD = 6， 2BF = FC ，求四边形EFGH 的面积．
【答案】(1)证明见详解
(2) 8
【解析】（1）证明：Q四边形EFGH 为平行四边形，
\EF //HG ，HG 平面 ABD，EF 平面 ABD，
\EF //平面 ABD .
QEF 平面 ABC ，平面 ABD 平面 ABC = AB，
\EF //AB ，又EF 平面EFGH ， AB 平面EFGH ，
\ AB// 平面EFGH .
（2）Q四边形EFGH 为平行四边形，
\EH //FG ，又EH 平面BCD， FG 平面BCD，
\EH // 平面BCD
又EH 平面 ACD，平面BCD I平面 ACD = CD ，
\EH / /CD，又 AB ^ CD ，EF //AB，
\EH ^ EF ，
\平行四边形EFGH 为矩形，
由（1）知EF //AB，
\VABC 与VEFC 相似，
CF 2
又 2BF = FC ，即 = ，
BC 3
CF EF
\ = ，又 AB = 6，
BC AB
2 EF
\ = ，解得EF = 4，
3 6
Q CE CF 2 AE 1= = ，\ = ，
AC BC 3 AC 3
同理EH / /CD ，
\VACD 与△AEH 相似，
EH AE 1
\ = = ，又CD = 6，可得EH = 2，
CD AC 3
\四边形EFGH 的面积为EF × EH = 2 4 = 8 .
16．（23-24 广东东莞·期末）如图 1，VABC 是边长为 3 的等边三角形，点D, E 分别在线段 AC, AB上，且
AE =1, AD = 2，沿DE 将VADE 翻折到△ PDE 的位置，使得 PB = 5 ，如图 2.
(1)求证：平面PDE ^平面BCDE ；
PM
(2)在线段 PB上是否存在点M ，使得EM // 平面PCD，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
MB
【答案】(1)证明见解析
PM 1
(2)存在， =
MB 2
【解析】（1）在△ PDE 中，PE =1，PD = 2， EPD = 60°，
由余弦定理得DE2 = PE2 + PD2 - 2PE × PD cos 60° = 3，
所以PE2 + DE2 = PD2 ，所以DE ^ PE ，
在△PBE 中，PE =1，BE = 2， PB = 5 ，所以PE2 + BE2 = PB2，所以BE ^ PE ，
又因为BE DE = E ，BE, DE 平面BCDE ，所以PE ^平面BCDE ，
又PE 平面PDE ，所以平面PDE ^平面BCDE .
（2）在平面BCDE 中，过点 E 作EF //CD，交BC 于F ，
在平面PBC 中，过点F 作FM //PC ，交 PB于M ，连接ME ，如图所示，
因为EF //CD，CD 平面PCD，EF 平面PCD，所以EF // 平面PCD，
同理可得MF // 平面PCD，
又因为EF MF = F ，EF , MF 平面MEF ，所以平面PCD// 平面MEF ，
ME 平面MEF ，所以ME // 平面PCD，即M 为所求的点，
在VABC 中，EF //CD，即EF //AC ，如图所示，
CF AE 1
所以 = = ，
FB EB 2
V PM CF 1 PM 1在 PBC中，FM //PC ，所以 = = ，即此时 = .
MB FB 2 MB 2
17．（23-24 北京通州·期末）如图，七面体 ABCDEF 中，菱形 ABCD所在平面与矩形 ACEF 交于 AC ，平面CDF
与平面 ABF 交于直线 l．
(1)求证： AB / /l ；
BD
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当 为何值时，平面DEF ^平面BEF ？
AF
并证明你的结论．
条件①：平面ABCD ^ 平面ACEF ；
条件②：CE ^ AB ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）菱形 ABCD中， AB//CD ，
又CD 平面CDF ， AB 平面CDF ，\ AB// 平面CDF ，
又 AB 平面 ABF ，平面 ABF I平面CDF = l .
\ AB//l ；
（2）若选①
BD
当 = 2时，平面DEF ^平面BEF ，
AF
设 AC I BD = O ，取 EF 的中点M ，连结OM , BM , DM 如图所示，
Q平面 ABCD ^平面 ACEF ，平面 ABCD 平面 ACEF = AC ，
矩形 ACEF 中 AF ^ AC ，\ AF ^平面 ABCD，
Q AD 平面 ABCD，\ AF ^ AD ，
同理可得：CE ^ CD，
\ DCE = DAF = 90o，
因为菱形 ABCD中CD = AD ，矩形 ACEF 中CE = AF ，
\VCDE @VADF ，\DE = DF ，QM 是 EF 的中点，\ DM ^ EF ，
假设平面DEF ^平面BEF 成立，
平面DEF 平面BEF = EF ，且DM ^ EF ，
\DM ^平面BEF ，QBM 平面BEF ，\DM ^ BM ，
Q矩形 ACEF 中M 是 EF 的中点，菱形 ABCD中O是 AC 的中点，
\OM / / AF ,OM = AF ，
\OM ^平面 ABCD，BD 平面 ABCD，\OM ^ BD ，
又QDM ^ BM ，O是BD的中点，可知△ BDM 为等腰直角三角形，
\OM = OB = OD,\BD = OB + OD = 2OM = 2AF ，
BD 2 BD\ = ，故当 = 2时，平面DEF ^平面BEF ；
AF AF
若选②
BD
当 = 2时，QCE ^ AB，矩形 ABEF 中，QCE ^ AC
AF
AC AB = A， AC, AB 平面 ABCD，\CE ^ 平面 ABCD，
矩形 ACEF 中 AF //CE，\ AF ^平面 ABCD，
Q AD 平面 ABCD，\ AF ^ AD ，
同理可得：CE ^ CD，
\ DCE = DAF = 90o，
因为菱形 ABCD中CD = AD ，矩形 ACEF 中CE = AF ，
\VCDE @VADF ，\DE = DF ，QM 是 EF 的中点，\ DM ^ EF ，
假设平面DEF ^平面BEF 成立，
平面DEF 平面BEF = EF ，且DM ^ EF ，
\DM ^平面BEF ，QBM 平面BEF ，\DM ^ BM ，
Q矩形 ACEF 中M 是 EF 的中点，菱形 ABCD中O是 AC 的中点，
\OM / / AF ,OM = AF ，
\OM ^平面 ABCD，BD 平面 ABCD，\OM ^ BD ，
又QDM ^ BM ，O是BD的中点，可知△ BDM 为等腰直角三角形，
\OM = OB = OD,\BD = OB + OD = 2OM = 2AF ，
BD 2 BD\ = ，故当 = 2时，平面DEF ^平面BEF .
AF AF
18．（23-24 陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC ， AB ^ BC ， AB = BC = PA =1，
E ，F 分别为BC ， PB的中点.
(1)证明：平面 AEF ^ 平面PBC ；
(2)若平面PAB上有一动点D，使得平面DEF / / 平面PAC ，求出动点D的轨迹；
(3)证明PC / /平面 AEF ，并求直线PC 到平面 AEF 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）证明：因为PA ^平面 ABC ，又BC 平面 ABC ，所以PA ^ BC ,
又 AB ^ BC ， AB I PA = A， AB, PA 平面PAB，所以BC ^平面PAB，
又 AF 平面PAB，所以BC ^ AF ，由 AB = PA，F 为 PB中点，
所以 AF ^ PB，又PB BC = B， PB, BC 平面PBC ，
所以 AF ^平面PBC ，又 AF 平面 AEF ，所以平面 AEF ^ 平面PBC .
（2）
取 AB 中点为G ，连接GE,GF ，则E, F ,G 分别为BC, PB, AB 的中点，
所以EF / /PC ，又EF 平面 AEF ，PC 平面 APC ，所以EF / / 平面 APC ，
且GE / / AC ，由GE 平面 APC ， AC 平面 APC ，所以GE // 平面 APC ，
又GE, EF 平面GEF ，GE EF = E ，所以平面GEF / / 平面 APC ，
因为点D在平面PAB内，所以点D在直线GF 上运动，可使得平面DEF / / 平面PAC ，
所以动点D的轨迹为GF 所在直线.
（3）证明：由E ，F 分别为BC ， PB的中点，故EF / /PC ，又PC 平面 AEF ，
EF 平面 AEF ，所以PC / /平面 AEF ，则PC 到平面 AEF 的距离为点C
到平面 AEF 的距离 dC- AEF ，
由E 为BC 中点，所以 dC- AEF = dB- AEF ，记为d ，
V 1B- AEF = d × S△AEF ，又V
1
3 B- AEF
= VA-BEF = d3 A-BEF
× S△BEF ，
所以 d × S△AEF = dA-BEF × S△BEF ，由（1）可知， AF ^平面PBC ，
d 2
1
故 A-BEF = AF = ， AF ^ EF ， S△AEF = AF × EF ，2 2
1 3
由题可知 AC = 2 ，PC = PA2 + AC 2 = 3，EF = PC = ，
2 2
S 1 2 3 6 1所以 VAEF = = ，而 S△BEF = BE × BF
1 1 2 2
= = ，
2 2 2 8 2 2 2 2 8
2 2

d dA-BEF × S△BEF 2 8 6所以 = = = .
S△AEF 6 6
8
19．（23-24 四川成都 ）如图，在五面体 ABCDEF 中， AB / /CD ，BD ^ BF ，平面 ABFE I平面CDEF = EF ,
π
AB = AD = AE = 2，BC = 2 3 ， EF = 3， BAD = DAE = .3
(1)证明：EF / / 平面 ABCD；
(2)若点O、G 分别为 AD 、BC 的中点，证明：平面EOGF ^ 平面 ABCD；
(3)求该五面体的体积.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
9
(3)
2
【解析】（1）因为 AB / /CD, AB 平面CDEF ,CD 平面CDEF ,所以 AB / / 平面CDEF ,
又因为 AB 平面 ABEF 且平面 ABEF 平面CDEF = EF ,
所以 AB / /EF ,又EF / 平面 ABCD , AB 平面 ABCD ,所以EF / / 平面 ABCD．
（2）因为 AB = AD = 2, BAD
π π
= ，所以△ABD 为正三角形，所以 ABD = ADB = ,又 AB P CD ,
3 3
所以 BDC
p
= ,又BC = 2 3 ，所以在△BCD中，由余弦定理，得 (2 3)2 = 22 + CD2 - 2CD ,解得CD = 4或3
CD = -2（舍去），
因为BD2 + BC 2 = 22 + (2 3)2 = CD2 = 42 ,所以 BD ^ BC ,又BD ^ BF ,且BC I BF = B ,
所以BD ^平面BCF ,又BD 平面 ABCD ,所以平面 ABCD ^平面BCF ．
π
因为 AD = AE = 2, DAE = ，所以VADE 为正三角形，
3
因为VADE 为正三角形，所以EO = 3 ，
AB + CD
由梯形中位线，可得OG = = EF ,且OG∥ AB∥CD ,所以OG / /EF ,OG = EF ,所以四边形OEFG 为平行
2
四边形，
所以FG / /EO, FG = EO ,即FG = 3
1
= BC ,所以FG ^ BC ,又平面 ABCD 平面BCF = BC ,
2
所以 FG ^ 平面 ABCD ,所以EO ^平面 ABCD ,又EO 平面 AED ,所以平面 AED ^平面 ABCD．
（3）过 G 作直线MN / / AD ,延长 AB 与MN 交于点 M, MN 与CD 交于点 N,连接FM , FN ．
因为 G 为BC 的中点，所以MG = OA且MG / /OA ,所以四边形 AOGM 为平行四边形，
所以 AM = OG ,同理DN = OG ,所以 AM = OG = DN = EF = 3．
又 AB / /CD ,所以 AM / /DN ,所以 AM / /DN / /EF ，
所以多面体MNF - ADE 为三棱柱过 M 作MH ^ AD 于 H 点，因为平面 ADE ^平面 ABCD ,所以MH ^平面
ADE ,
所以线段MH 的长即三棱柱MNF - ADE 的高，在VAMH 中，
MH = AM ×sin60 3 3° = ，
2
3 3 3 9
所以三棱柱MNF - ADE 的体积为 22 = ．
4 2 2
因为三棱锥F - BMG 与F - CNG 9的体积相等，所以所求多面体的体积为 ．
26.2 空间几何中的平行与垂直
考点一 平行问题
【例 1-1】（2024 黑龙江齐齐哈尔 ）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB ^ BC, AA1 = AC = 2, BC = 1，E,G
分别为 A1C1, BC 的中点．
(1)证明：C1G / / 平面 ABE ；
(2)求三棱锥C - ABE 的体积．
【例 1-2】（2024 北京）如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1 中， A1C 与 AC1交于点O，D为BC 边上一点，D1为 B1C1
中点，且 A1B / / 平面 ADC1 .求证：
(1) A1B / /OD；
(2)平面 A1BD1 / /平面 ADC1 .
【例 1-3】（2024 湖北）如图，在四棱锥P- ABCD中， AB = BD = BP = 5 ，PA = PD = 2 ， APD = 90°，
E 、F 分别是棱PA， AD 的中点，且BE // 平面PCD .证明：BF //CD .
【例 1-4】（24-25 上海·课堂例题）如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，若D1、D 分别为 B1C1 、BC 的中点，求
证：平面 A1BD1 / /平面 AC1D．
【例 1-5】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题中，
真命题的序号是（ ）
① BM / /平面 ADE ；
② CN / / 平面 ABF ；
③平面BDM / / 平面 AFN ；
④平面BDE / / 平面 NCF .
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【一隅三反】
1．（2024 浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中，A ， B ，C 为所在棱的中点，D，E ，F 为正方体的三个顶
点，则能得出平面 ABC // 平面DEF 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24 海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形，E 为侧棱 SC 的中
点.
(1)求证：SA P 平面 EDB ；
(2)若F 为侧棱 AB 的中点，求证： EF P 平面 SAD .
3．（23-24 广东佛山·阶段练习）如图，在六面体 ABCDEF 中，DE / /CF ，四边形 ABCD是平行四边形，
DE = 2CF ．
(1)证明：平面 ADE / / 平面BCF ．
(2)若 G 是棱BC 的中点，证明： AE / /FG ．
4 ．（23-24 广西贺州·阶段练习）在底面为平行四边形的四棱锥P- ABCD中，E ，F 分别为棱PC ， AB 的中
点．
(1)求证：EF / / 平面 APD；
(2)设平面PAD 平面PBC = l ，求证： l / /平面 ABCD．
5．（23-24 江苏连云港·期中）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，M 为 B1C1 的中点，设平面 A1BM 与底面 ABC 的
交线为 l．
(1)证明： AC1 P平面 A1BM ；
(2)证明： l P平面 A1MC ．
考点二 垂直问题
【例 2-1】（24-25 上海）如图，已知矩形 ABCD， PA ^平面 ABCD， PA = AB = 2 ，点 E 是 PB 的中点．求证：
AE ^ 平面PBC ．
【例 2-2】（23-24 广东湛江 ）如图，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD为矩形， AE ^ PB 于点E，AF ^ PC 于点
F ．
(1)求证： AE ^ 平面PBC ；
(2)设平面 AEF 交PD于点G ，求证： AG ^ PD．
【例 2-3】（23-24 广东潮州·期末）如图，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直， ADE = 90°，
AF // DE ，DE = DA = 2AF = 4 .
(1)求证：平面 ACE⊥平面 BDE；
(2)求四面体 BAEF 的体积.
【例 2-4】（24-25 上海·随堂练习）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ABC = 90°，BC = 2，CC1 = 4，点 E
在线段BB1上，且EB1 =1，D, E, F 分别为CC1 、C1B1、C1A1的中点.求证：
(1)平面 A1B1D ^平面 ABD；
(2)平面EGF //平面 ABD .
【一隅三反】
1．（23-24 四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别是所在棱的中点，
则满足直线 AB ^ EF 的图形的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．（24-25 全国·假期作业）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2, AD = 3, AA1 = 4，点 E, F 分别为棱 AB, DD1
的中点，求证：C1F ^平面BCF ；
3．（23-24 江苏南京·期末）在底面为正三角形的三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知点M ， N 分别是 A1C1，B1C 的中
点.
(1)求证：MN / / 平面 AA1B1B；
(2)若 A1A = A1C .求证： AC ^平面B1CM .
考点三 动点问题
【例 3-1】（23-24 ·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥P- ABCD中，E 为线段 AD 上靠近 A 的三等分点，F 为线段PC
PF
上一点，当PA / / 平面EBF 时， =（ ）
PC
1 1
A．3 B．4 C． D．
3 4
【例 3-2】（23-24 北京怀柔·期末）如图 1，在Rt△ABC 中， C = 90o , D, E 分别为 AC, AB的中点.将VADE 沿DE
折起到△A1DE 的位置（ A1与C 不重合），连 A1C, A1B ，如图 2.
(1)求证：平面 A1DE ^ 平面 A1CD ；
(2)若平面 A1DE 与平面 A1CB交于过 A1的直线m ，求证DE P m ；
(3)线段 A1B 上是否存在点Q，使得 A1C ^平面DEQ，若存在，指出Q点位置并证明；若不存在，说明理由.
【一隅三反】
1．（23-24 辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形 PBCD 中，BC∥PD，PD = 2BC ，A 是 PD 中点，现将VABP
沿 AB 折起得图（2），点 M 是 PD 的中点，点 N 是 BC 的中点．
(1)求证：MN / / 平面 PAB；
(2)在线段 PC 上是否存在一点 E，使得平面EMN ∥平面 PAB？若存在，请指出点 E 的位置并证明你的结论；若
不存在，请说明理由．
2 ．（23-24 重庆·期末）如图，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D 1中，四边形 ABCD 是一个菱形， DAB = 60°, ，点
P 为BC1上的动点．
(1)证明：DP∥平面 AB1D1；
(2)试确定点 P 的位置，使得BC ^ DP ．
3．（22-23 云南昭通·期末）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1 = 2，点 M 为 A1B1 的中点.
(1)证明： MC1 ^ 平面 ABB1A1；
B Q
(2)在棱BB 11上是否存在点 Q，使得 AQ ^ 平面BC1M ？若存在，求出 QB 的值；若不存在，请说明理由.
考点四 动点长度（取值范围）
【例 4-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长是 2，侧棱长是 2 3 ，M 为 A1C1
的中点， N 是侧面BCC1B1内的动点，且MN // 平面 ABC1，则点 N 的轨迹的长度为（ ）
A． 6 B．2 C． 2 D．4
【例 4-2】（23-24 四川成都·阶段练习）（多选）在边长为1的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点M 是一个动点，且
BM / /平面 AD1C ，则线段DM 的长度可能是（ ）
A．1 B 3． C 2 3． D． 2
3 3
【一隅三反】
1．（2024·湖南长沙·三模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2, M 是棱CC1 的中点，空间中的动点 P 满足
DP ^ BM ，且 D1P =1，则动点 P 的轨迹长度为（ ）
A 5 B 3 C 2π D 2 5π． ． ． ．
5 5
2．（23-24 浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E, F 分别是棱BC,CC1
的中点， P 是侧面BCC1B1内一点，若 A1P P 平面 AEF ，则线段 A1P 长度的取值范围是（ ）
é 5 ù é3 2 5 ù é 5 ù
A． ê1, ú B． ê ,2 4 2 ú
C． ê , 2ú D． é 2, 3ù
2
3．（23-24 ·四川眉山·阶段练习）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，则点 P
为正方形 A1B1C1D1内一点，当DP// 平面B1EF 时，DP的最小值为（ ）
3
A B C 3 2 D 3 3． 2 ． ． ．2 4 4
一．单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1, M , N 分别是 A1D, D1B 的中点，则（ ）
A． A1D P D1B, MN P 平面 ABCD
B． A1D P D1B, MN ^ 平面 BB1D1D
C． A1D ^ D1B, MN P 平面 ABCD
D． A1D ^ D1B, MN ^平面 BB1D1D
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 ABCD是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于A ， B 的一点，则下
面结论中错误的是（ ）
A． AE ^ CE
B．BC / / 平面 ADE
C．平面 ADE ^平面BCE
D．DE ^ 平面BCE
3．（2024·河南·模拟预测）设a ，b 为两个不同的平面，m ， n为两条相交的直线，已知m / /a ， n / /a ，则
“ m / /b ， n / /b ”是“a / /b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
uuuur uuuur
4．（2024·江西·二模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 4，点M 满足C1M = 3MC ，若在正方形 A1B1C1D1内
有一动点 P 满足BP / / 平面 AMD1 ，则动点 P 的轨迹长为（ ）
A．4 B． 17 C．5 D． 4 2
5．（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 和一个正四棱锥P - A1B1C1D1组合而
成，已知 AB = 2, AA1 = 2, PA1 = 2，则（ ）
A．PA1 / /平面 ABC1D1 B．PB1 //平面 ABC1D1
C．PC1 ^ 平面BDC1 D．PD1 ^平面BDC1
6．（2024·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，点 D，E 分别在棱 AA1,CC1上， AB = AC = AD =
uuur uuur
2A1D = CE = 2C1E = 2，点F 满足 BF = lBD(0 < l < 1) ，若B1E∥平面 ACF ，则l 的值为（ ）
2 1 1 1A． B． 2 C3 ． D．3 4
7．（2024 黑龙江鹤岗 ）如图，在正四棱锥 S - ABCD 中，E, M , N 分别是BC,CD, SC 的中点，当点 P 在线段MN
上运动时，下列四个结论：
① EP ^ AC ；② EP / /BD ；③ EP // 平面 SBD；④ EP ^ 平面 SAC .
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M 是棱 AA1上一点，平面MBD1与棱CC1
交于点 N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形MBND1是平行四边形；②四边形MBND1可能是正方形；③存在平面MBND1与直线BB1垂直；④任
意平面MBND1都与平面 ACB1垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
二．多选题
9．（23-24 福建莆田·期末）在棱长为 6 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点E 为棱 AA1的中点，则（ ）
A． AC1 ^ CD1
B．平面BDE / / 平面B1CD1
C．平面BDE ^ 平面 ACC1A1
D．平面B1CD1截该正方体外接球的截面面积为24π
10．（23-24 河南新乡·期末）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 M，N，E，F 分别在棱 A1B1 ， A1D1，
B1C1 ，C1D1上，且平面 AMN ∥平面EFDB，下列结论正确的是（ ）
A．MN ∥EF B．EF∥BD
C． AN ∥DF D．BE∥平面 AMN
11．（2024·山东烟台·三模）如图 1，半圆 O 的直径为 4，点 B，C 三等分半圆，P，Q 分别为 OB，OC 的中点，
将此半圆以 OA 为母线卷成如图 2 所示的圆锥，D 为 BC 的中点，则在图 2 中，下列结论正确的有（ ）
A．PQ 3=
2
B． AD ^ 平面OBC
C．PQ / /平面 ABC
1
D．三棱锥P - ABC 与Q - ABC 公共部分的体积为
4
三．填空题
12．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M 是棱 AA1上一点，平面MBD1与棱CC1 交
于点 N．给出下面几个结论：
①四边形MBND1是平行四边形；②四边形MBND1可能是正方形；③存在平面MBND1与直线 BB1垂直；④任
意平面MBND1都与平面 ACB1垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
13．（2023·北京·模拟预测）如图，在直角梯形 ABCD中，E 为CD 的中点，BC ^ CD， AE ^ CD ，M，N 分别
是 AD ， BE 的中点，将VADE 沿 AE 折起，使点 D 不在平面 ABCE内，则下命题中正确的序号为 ．
① MN // AB ；
② MN ^ AE ；
③ MN / / 平面CDE ；
④存在某折起位置，使得平面BCD ^平面 ABD．
14．（2024 山东枣庄·期末）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2, E F 分别是棱 AA1, A1D1的中点，点 P
为底面四边形 ABCD内（包括边界）的一动点，若直线D1P与平面BEF 无公共点，则点 P 在四边形 ABCD内运
动所形成轨迹的长度为 .
四．解答题
15．（23-24 陕西·期末）如图所示，四边形EFGH 为空间四边形 ABCD的一个截面，且截面EFGH 为平行四边
形．
(1)求证： AB//平面EFGH ．
(2)若 AB ^ CD ，且 AB = CD = 6， 2BF = FC ，求四边形EFGH 的面积．
16．（23-24 广东东莞·期末）如图 1，VABC 是边长为 3 的等边三角形，点D, E 分别在线段 AC, AB上，且
AE =1, AD = 2，沿DE 将VADE 翻折到△ PDE 的位置，使得 PB = 5 ，如图 2.
(1)求证：平面PDE ^平面BCDE ；
PM
(2)在线段 PB上是否存在点M ，使得EM // 平面PCD，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
MB
17．（23-24 北京通州·期末）如图，七面体 ABCDEF 中，菱形 ABCD所在平面与矩形 ACEF 交于 AC ，平面CDF
与平面 ABF 交于直线 l．
(1)求证： AB / /l ；
BD
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当 为何值时，平面DEF ^平面BEF ？
AF
并证明你的结论．
条件①：平面ABCD ^ 平面ACEF ；
条件②：CE ^ AB ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（23-24 陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^平面 ABC ， AB ^ BC ， AB = BC = PA =1，
E ，F 分别为BC ， PB的中点.
(1)证明：平面 AEF ^ 平面PBC ；
(2)若平面PAB上有一动点D，使得平面DEF / / 平面PAC ，求出动点D的轨迹；
(3)证明PC / /平面 AEF ，并求直线PC 到平面 AEF 的距离.
19．（23-24 四川成都 ）如图，在五面体 ABCDEF 中， AB / /CD ，BD ^ BF ，平面 ABFE I平面CDEF = EF ,
π
AB = AD = AE = 2，BC = 2 3 ， EF = 3， BAD = DAE = .3
(1)证明：EF / / 平面 ABCD；
(2)若点O、G 分别为 AD 、BC 的中点，证明：平面EOGF ^ 平面 ABCD；
(3)求该五面体的体积.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）

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