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7.2 二项式定理
考点一 二项式指定项的系数
4
【例 1-1】（2024·北京·高考真题）在 x - x 的展开式中， x3的系数为（ ）
A．6 B．-6 C．12 D．-12
3
【例 1-2】（2024·浙江· 1 三模） 2 x - ÷ 的展开式的常数项为（ ）
è 2x
3 3 3
A．- B． C． D．4
2 4 2
2 12
【例 1-3】（23-24 ·

高三下 吉林通化·期中）在 x - ÷ 的展开式中，有理项的个数为 ．
è x
【一隅三反】
1．（2024· 5青海·模拟预测） 2x - 3 展开式中， x3项的系数为（ ）
A．-720 B．720 C．-1440 D．1440
n
a
2．（2024·河南·

模拟预测）已知 2 x - ÷ （其中 a > 0）的展开式中的第 7 项为 7，则展开式中的有理项共有
è 3 x
（ ）
A．6 项 B．5 项 C．4 项 D．3 项
3 6 3 x
3．（2024·天津·高考真题）在 3 + ÷ 的展开式中，常数项为 ．
è x 3
9
4．（2024· · a 黑龙江 模拟预测）若 x +
5
÷ 的展开式中 x 的系数为 144，则a = .
è x
考点二 三项式指定项系数
5
【例 2-1】（2024·新疆喀什·三模） x2 + x +1 展开式中， x3的系数为（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【例 2-2】（2024·四川德阳·二模）在 (x + y - 2)5 的展开式中， x3 y 的系数是（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
【一隅三反】
1．（2024· 2河北张家口·三模） 1- x (1+ x)5的展开式中 x4 的系数为（ ）
A．-5 B．5 C．-10 D．10
3
2．（2024·全国·模拟预测） x2 + 3x + 2 的展开式中 x4 的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
5
2
3．（2024·安徽·三模） -x2
1 y
+ + y ÷ 的展开式中 的系数为 .
è x3 x
3
4．（2024·河南·三模） x2 - x - 2 的展开式中， x2 的系数为 ．（用数字作答）
4
5（23-24 高三下·天津· 1 阶段练习）已知 2x + a - ÷ 的展开式中的常数项为19，则a = .
è 2x
考点三 两个二项式乘积指定项系数
y 2x 6
【例 3-1】（2024·西藏·模拟预测）在 2 4 -x y ÷
x + y 的展开式中， x y 的系数为（ ）
è
A．-4 B．4 C．-8 D．8
6
【例 3-2】（2024· 1 福建南平·模拟预测）在 2 + x - 2x ÷ 的展开式中， x3的系数为 ．
è x
【一隅三反】
1 5．（2024·江苏泰州·模拟预测） x - y x + y 的展开式中 x2 y4 的系数是（ ）
A．-10 B．-5 C．5 D．15
x2 - y2 2x + y 62．（2024·河北秦皇岛·三模） 的展开式中 x4 y4的系数为 .
3．（2024·江苏苏州· 2 5模拟预测） 2 + x - x (1- x) 的展开式中 x2 的系数为 ．
ax 2 (1 14 4．（2024·山东·模拟预测）已知 - + ) 的展开式中常数项为-2，则实数 a的值为 .
x
2
5．（2024· 6天津·模拟预测）在 (2x + a)(x + ) 的展开式中， x2 的系数为-160，则实数 a为 .x
考点四 （二项式）系数最值
6
【例 4-1】（23-24 广东深圳· 期中） 2 1 2x - ÷ 的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
è x
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
2 n
【例 4-2】（22-23 ·山东青岛·

期中） x - ÷ 的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有
è x
理项的项数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
1 n
【例 4-3

】．（23-24 高三下·甘肃·开学考试）已知 x + 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开
è 2 x ÷
式中二项式系数最大的项是（ ）
35 1 7 35A． x 2 B．7x 2 C． x
2 D．7x2
8 8
1 10
【例 4-4】（2024·全国·高考真题） + x ÷ 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
è 3
2 n
【例 4-5】（22-23 高三上·河南安阳·阶段练习）已知 x - ÷ 的展开式中只有第 5 项是二项式系数最大，则该展
è x
开式中各项系数的最小值为（ ）
A．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376
【一隅三反】
n
1．（2024·江西· 二模）已知 x
2
+ ÷ 的二项展开式中只有第 3 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为
è x
（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
2．（23-2 河北邢台·阶段练习） (x +1)24的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第 11 项 B．第 12 项 C．第 13 项 D．第 14 项
6
3．（23-24 高三上·全国·
a
阶段练习）已知 3 x + ÷ a > 0 的展开式中唯有第 5 项的系数最大，则 a 的取值范围是
è x
（ ）
4 5 4 5 é4 5ù 2 5 A． , B , C , D ,
è 3 2 ÷
． ．3 3 ÷ ê3 3ú
． 3 3 ÷ è è
2
4．（2024 高三·全国· 2 n 1专题练习）已知 (x + ) 的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为 2 ，则展x
开式中二项式系数最大的项的系数为 .
x 2
n
5．（23-24 · 山西大同·阶段练习）已知 + 2 ÷ 的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，则该展开式中系è x
数最大的项为 ．
6．（23-24 高三上·上海·期中）二项式 x -1 7的展开式中，系数最大的项为 ．
7．（2023·上海嘉定·一模）已知 (1+ 2x)6 的二项展开式中系数最大的项为 ．
考点五 （二项式）系数和
n
2
【例 5-1】（2024·北京·三模）已知 - x ÷ 的二项式系数之和为 64，则其展开式的常数项为（ ）
è x
A． -240 B．240 C．60 D． -60
【例 5-2】（22-23 山东青岛· 9 2 9期末）（多选）已知 (1+ 2x) = a0 + a1x + a2x +L+ a9x ，则（ ）
A． a2 =144 B． a0 + a1 + a2 +LL+ a8 + a9 = 3
9
C． a1 + a3 + a7 + a9 = a0 + a2 + a4 + a6 + a8 = 2
8 D． ai (i = 0,1,2,LL,8,9)的最大值为 a6
【例 5-3 6 2】（2024 江苏常州·期中）（多选）设 x - 3 = a0 + a1 x -1 + a2 x -1 + ×××+ a6 x -1
6
，则结论正确的是
（ ）
6
A． a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 = 3
6 B． a1 + a3 + a
1- 3
5 = 2
C． a2 + a3 =100 D． a0， a1， a2，a3， a4， a5 ， a6中最小的是 a1
【一隅三反】
2 n
x -

÷
1．（2024·安徽·二模）已知 è x 的展开式二项式系数和为 256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项
2．（2024· 6湖北武汉·模拟预测）（多选）已知 1- x = a0 + a1x + a2x2 +L+ a x66 ，则下列结论正确的是（ ）
A． a2 =15 B． a1 + a2 + a3 +L + a6 = 0
C． a0 + a2 + a4 + a6 = 64 D． a1 + 2a2 + 3a3 +L + 6a6 = 0
3．（23-24 广东深圳· 8 2期中）（多选）若 x = a0 + a1(x -1) + a2 (x -1) +L+ a
8
8 (x -1) ，其中 a0 ,a1, a2 ,L, a8 为实数，
则（ ）
A． a0 = 1 B． a6 = 56
C． a1 + a3 + a5 + a7 =128 D． a2 + a4 + a6 + a8 =127
4 6 2 3 6．（2023·福建宁德·模拟预测）（多选）若 (x -1) = a0 + a1 x +1 + a2 (x +1) + a3(x +1) +L+ a6 (x +1) ，则（ ）
A． a0 = 64 B． a0 + a2 + a4 + a6 = 365
C． a5 =12 D． a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 = -6
考点六 二项式定理应用
【例 6-1】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设
a,b, m(m > 0)均为整数，若 a和b 被m 除得的余数相同，则称 a和b 对模m 同余，记为 a b mod m ，如8和 23
被5除得的余数都是3，则记8 23 mod5 .若 a b mod10 ，且 a = C0 + C1 2 220 20 × 2 + C20 × 2 +L+ C20 × 22020 ，则b 的值可
以是（ ）
A．4021 B．4022 C．4023 D．4024
【例 6-2】．（2024· · 3x -1 2024湖北荆州 三模）已知 = a + a x + a x2 +L+ a 20240 1 2 2024x ，则 a1 + a2 +L+ a2024 被 3 除的余
数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【例 6-3】（2024 北京）0.997 的计算结果精确到 0.001 的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【一隅三反】
1．（2024·江西·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 a，b ，m m > 0
为整数，若 a和b 同时除以m 所得的余数相同，则称 a和b 对模m 同余，记为 a b mod m ．若
a = C1 230 + C30 +L+ C
30
30 ， a b mod10 ，则b 的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这 12 种动物按顺
14
序轮流代表各年的生肖年号，今年 2024 年是龙年.那么从今年起的 13 +1 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
3．（2024 上海）用二项式定理估算1.0110 = .（精确到 0.001）
4．（23-24 高三下·全国 专题复习） 20241+ 2 的小数点后第 100 位数字是 ．
考点七 二项式定理与数列求和
*
【例 7】（2024 江苏南京 ）设集合 S = 1,2,3,...,n (n N ,n 2), A, B是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最
大数小于集合 B 中的最小数，记满足条件的集合对 (A, B)的个数为Pn .
（1）求P2 , P3 的值；
（2）求Pn的表达式.
【一隅三反】
1．（23-24 山东青岛·期中）某人在 n次射击中击中目标的次数为 X , X ~ B(n, p) ，其中 n N*,0 < p <1，击中偶
数次为事件 A，则（ ）
A．若 n =10, p = 0.8，则P(X = k)
1
取最大值时 k = 9 B．当 p = 时，D(X )取得最小值
2
1 1
C．当 < p <1时，P(A)随着 n的增大而减小 D．当0 < p < 的，P(A)随着 n的增大而减小
2 2
2．（2024· 3 *辽宁·三模）设数列{an}的通项公式为 an = n - n,n N ，该数列中个位数字为 0 的项按从小到大的顺
序排列构成数列{bn}，则 b2017被 7 除所得的余数是 .
3．（2023·江苏镇江·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，满足 Sn = 2 an -1 .等差数列 bn 满足b4 = a2 ,b8 = a3 .
(1)求 an , bn 的通项公式；
(2)将数列 an 满足__________（在①②中任选一个条件）的第m 项am 取出，并按原顺序组成一个新的数列 cn ，
求 cn 的前 20 项和T20 .① log4am = bk ，② a *m = 3bk +1，其中 k N .
考点八 杨辉三角
【例 8】（2024 山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数
在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第 10 行中第 5 个数最大
B．第 2023 行中第 1011 个数和第 1012 个数相等
C C2． 3 + C
2 + C24 5 +L+ C
2
10 = 120
D．第 6 行的第 7 个数、第 7 行的第 7 个数及第 8 行的第 7 个数之和等于 9 行的第 8 个数
【一隅三反】
1．（23-24 陕西 ）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第 1 行开始，第 n行从左至
右的数字之和记为 an ，如 a1 =1+1 = 2, a2 =1+ 2 +1 = 4, × × ×, an 的前 n项和记为 Sn ，则下列说法正确的有（ ）
A．在“杨辉三角”第 9 行中，从左到右第 7 个数字是 84
B．在“杨辉三角”中，从第 1 行起到第 12 行，每一行从左到右的第 2 个数字之和为 78
C．S10 =1022
ì 2a ü 1 1
D． í n 的前 n项和为 -
Sn × Sn+1 2 an+2 -2
2．（2024 重庆沙坪坝 ）（多选）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一
个公差为1的等差数列和一个公差为 2的等差数列，每一行是一个公差为1的等差数列．我们把这个数阵的所有
数从上到下，从左到右依次构成一个数列 an ：1、 2、3、3、 4、5、 4、5、6、 7 、L，其前 n项和为 Sn ，
2 2 2 1
则下列说法正确的有（ ）（参考公式：1 + 2 + ×××+ n = n n +1 2n +1 ）
6
A． a100 = 22 B． 22第一次出现是 a100
C． 22在 an 中出现了11次 D． S100 =1345
一．单选题
1．（2024·甘肃兰州·三模）在 (2 - x )7 的展开式中，含 x2 的项的系数为（ ）
A．-280 B．280 C．560 D．-560
6
2．（2024· · x 1 安徽阜阳 模拟预测）在二项式 - ÷ 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
è 2x
15
A．常数项为 B．各项的系数和为 64
4
C．第 3 项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为 -32
3．（2024·浙江绍兴·三模）在 x +1 x + 2 x + 3 x + a x + b 的展开式中，含 x4 项的系数是 10，则 log2 a + b =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
6
1
4．（2023·

湖南永州·三模）在二项式 x + ÷ 的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不
è 4 x
同的排列方案为（ ）
A．A55A
2 4 3 5 2
6 种 B．A4A5 种 C．A5A7 种 D．A4A24 2 种
6 x2
5．（2024·全国·模拟预测） 2xy 1 x 1 + - ÷ 的展开式中 4 的系数为（ ）
è y y
A．-27 B．-3 C．3 D．27
n
6 2 ．（2024·河北廊坊·模拟预测） x - ÷ n N* 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数
è x
项为（ ）
A．-160 B．-20 C．20 D．160
7．（2024·江西鹰潭·二模）第 14 届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标
中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦 3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是
3 83 + 7 82 + 4 81 + 4 80 = 2020 77 × × ×7，正是会议计划召开的年份，那么八进制数123换算成十进制数，则换算后
8个7
这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．（23-24 高三下·海南·阶段练习）若 2x - 3 12 = a0 + a1 x - 2 + a2 x - 2
2 + ×××+ a11 x - 2
11 + a12 x - 2
12
，则
（ ）
A． a0 = -1 B． a0 - a1 + a2 - a3 + ×××+ a10 - a11 + a12 = -1
a a a 312 1 a a a aC． + + ×××+ = + D． 1 + 2 + ×××+ 11 + 12 121 2 12 2 11 12 = 2 -12 2 2 2
二．多选题
2 n9 ．（2024·辽宁·模拟预测）若 3 x + ÷ n 6 的展开式中第 4 项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项
è x
（ xa 项中a 是整数）可以是（ ）
A．第 2 项 B．第 3 项 C．第 4 项 D．第 5 项
10．（2024· 6 2 3 4 5 6广东佛山·模拟预测）若 (x -1) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x + a5x + a6x ，则（ ）
A． a0 = 1
B． a3 = 20
C． 2a1 + 4a2 + 8a3 +16a4 + 32a5 + 64a6 = 0
D． a0 + a2 + a4 + a6 = a1 + a3 + a5
11．（2024·山西·三模）已知函数 f x = 4x -1 12 = a0 + a1x + a2x2 + ×××+ a x1212 ，则（ ）
A． a3 = 4
3 C312 B
6
． f x 展开式中，二项式系数的最大值为C12
C． a1 + a2 + a3 + ×××+ a = 3
12
12 D． f 5 的个位数字是 1
三．填空题
5
12．（2023· 1 黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 2x - +1÷ 的展开式中常数项为 .
è x
13．（2024·福建泉州·模拟预测） 2x +1 x - 2 4 的展开式中含 x2 项的系数为 .
14 23-24 · · 1 1 x 1 x
2 10
x
．（ 高三下 浙江丽水 开学考试） + + + + ÷ +L+ 1+ ÷ 的展开式中 x 项系数为 ．
è 2 è 10
四．解答题
15（2024 江苏徐州 ）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“展
开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为 22”.
问题：已知二项式 (1+ 3x)n ，若___________(填写条件前的序号)，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 (1+ 3x)n (1- x)5 中含 x2 项的系数.
16．（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家 教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要
研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图 1 为杨辉三角的部分内容，
图 2 为杨辉三角的改写形式
(1)求图 2 中第 10 行的各数之和；
(2)从图 2 第 2 行开始，取每一行的第 3 个数一直取到第 15 行的第 3 个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8 :14？若存在，试求出这三个数；若不存在，
请说明理由.
Sn+1 S 117 n．（2023·江苏无锡·三模）记 Sn 为数列 an 的前 n项和，已知 a1 =1， - =a .n+1 an 2
(1)求 an 的通项公式；
(2)记bn = 2
an ，数列 bn 的前 n项和为Tn ，求T2n-1 除以 3 的余数.
18．（2024· 2n+1江苏扬州 ）（1）已知 1- 2x 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1: 4，求 n的值.
2 2n+1（ ）记 1- 2x = a + a x + a x2 + ×××+ a x2n+10 1 2 2n+1 ， n N* ，
①求 a0 + a1 + ×××+ a2n+1 ；
②设 a kk = -2 bk ，求和：1×b0 + 2 ×b1 + 3 ×b2 + ×××+ k +1 ×bk + ×××+ 2n + 2 ×b2n+1 .
3a
19（2024· 2 n江苏 ）已知 fn (x) = (x + 3 ) ， n N* .x
（1）当 a =1时，求 f5 (x)展开式中的常数项；
（2）若二项式 fn (x)的展开式中含有 x7 的项，当 n取最小值时，展开式中含 x 的正整数次幂的项的系数之和为
10，求实数 a的值.7.2 二项式定理
考点一 二项式指定项的系数
4
【例 1-1】（2024·北京·高考真题）在 x - x 的展开式中， x3的系数为（ ）
A．6 B．-6 C．12 D．-12
【答案】A
4 r
r
【解析】 x - x 的二项展开式为T = Cr x4-rr+1 4 - x 4-= Cr -1 r 24 x , r = 0,1,2,3,4 ，
令 4
r
- = 3，解得 r = 2，故所求即为C2 24 -1 = 6 .故选：A.2
3
【例 1-2】（2024·浙江· 三模） x
2 1- ÷ 的展开式的常数项为（ ）
è 2x
3 3 3
A．- B． C． D．4
2 4 2
【答案】B
r r
3-r 1 1 3
【解析】通项T r 2r+1 = C3 x - ÷ =Cr 1- 6-3r3 ÷ x 为常数项，令6 - 3r = 0可得 r = 2 2，所以T3 = C3× = ，
è 2x è 2 4 4
故选：B．
2 12
【例 1-3】（23-24

高三下·吉林通化·期中）在 x - ÷ 的展开式中，有理项的个数为 ．
è x
【答案】7
12-k
2 3k12-k -6
【解析】展开式中的第 k +1 k = 0,1, × × ×,12 项为Ck k k 212 × x × - ÷ = -2 ×C12 × x ，
è x
当 k = 0,2,4,6,8,10,12时为有理项，共 7 项．故答案为：7.
【一隅三反】
1．（2024· 5青海·模拟预测） 2x - 3 展开式中， x3项的系数为（ ）
A．-720 B．720 C．-1440 D．1440
【答案】B
2x - 3 5 r【解析】因 展开式的通项为Tr+1 = C5 (2x)
5-r (-3)r = (-1)r ×25-r ×3r Cr x5-r5 , r = 0,1,L,5
2 3 2
则由5 - r = 3 得 r = 2 ，故 x3项的系数为C5 2 3 = 720 .
故选：B.
n
a
2．（2024·

河南·模拟预测）已知 x
2 - ÷ （其中 a > 0）的展开式中的第 7 项为 7，则展开式中的有理项共有
è 3 x
（ ）
A．6 项 B．5 项 C．4 项 D．3 项
【答案】D
6
n-6 a
【解析】展开式的第 7 项为T = C6 x2 - = -a 6 C6 x2n-147 n ÷ n ，
è 3 x
由题意，得 2n -14 = 0， -a 6 C6n = 7 ，（ a > 0），所以 n = 7， a =1，
k 42-7k
T = -1 k则展开式的通项为 Ck 14-2k 1 kk +1 7 x ÷ = -1 Ck 37 x ， k = 0,1,2,L,7，
è 3 x
42 - 7k
令 Z，则 k = 0,3,6 ，所以展开式中的有理项共有 3 项.
3
故选：D.
3 6 3 x
3．（2024·天津·高考真题）在 3 + ÷ 的展开式中，常数项为 ．
è x 3
【答案】20
3 x3
6
3 6-r x3
r

+ 6 r-3【解析】因为 3 ÷ 的展开式的通项为T = C
r = 36-2r Cr r+1 6 3 ÷ ÷ 6x , r = 0,1, × × ×,6，
è x 3 è x è 3
0 3
令6 r - 3 = 0，可得 r = 3，所以常数项为3 C6 = 20 .故答案为：20.
9
4．（2024·黑龙江· a 模拟预测）若 x + 5 ÷ 的展开式中 x 的系数为 144，则a = .
è x
【答案】±2
9 r

【解析】 x
a a+ ÷ 的展开式的通项公式: T = C
r x9-r = arCr x9-2rr+1 9 ÷ 9 .令9 - 2r = 5，解得 r = 2，所以由题意得
è x è x
a2C29 =144，解得 a = ±2 .故答案为：±2 .
考点二 三项式指定项系数
5
【例 2-1】（2024·新疆喀什·三模） x2 + x +1 展开式中， x3的系数为（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【答案】B
【解析】 (x2 + x +1)5展开式中， x3 C3的项为 5x
3 ×12 + C15x
2 ×C14x ×1
3 = 30x3，则 x3的系数为 30．故选：B．
【例 2-2】（2024·四川德阳·二模）在 (x + y - 2)5 的展开式中， x3 y 的系数是（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
【答案】A
【解析】可以理解为 5 个 x + y - 2 相乘，要想得到 x3 y ，需要 5 个因式中有 3 个取 x 项，1 个取 y 项，还剩 1
个取常数项，由题意 x3 y 3的系数为：C5 1
3 C12 1 -2 = -40 .故选：A
【一隅三反】
1 2 5．（2024·河北张家口·三模） 1- x (1+ x) 的展开式中 x4 的系数为（ ）
A．-5 B．5 C．-10 D．10
【答案】A
【解析】 1+ x 5 r r的展开式通项为Tr+1 = C5x ，
2 5 4 4 2 2 2 4 2 4 4
则 1- x (1+ x) 的展开式中 x4 项为C5 x - x ·C5 x = C5 - C5 x = -5x ，
1- x2 (1+ x)5 x4 C4 - C2所以 的展开式中 的系数为 5 5 = -5 .
故选：A
3
2．（2024·全国·模拟预测） x2 + 3x + 2 的展开式中 x4 的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
【答案】D
【解析】解法一：
3
因为 x2 + 3x + 2 = 1+ x 3 2 + x 3，即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积.
1+ x 3 m 3-m m m m展开式的通项为Tm+1 = C3 ×1 × x = C3 × x , m = 0,1,2,3，
1 2 2 2 3 3 3
则，展开式中含 x 的项为T2 = C3 × x = 3x ，含 x2 的项为T3 = C3 × x = 3x ，含 x3的项为T4 = C3 × x = x ；
2 + x 3 n 3-n n 3-n n n展开式的通项为Tn+1 = C3 ×2 × x = 2 C3 × x , n = 0,1,2,3，
2 1 2 2 2 3 3 3
则，展开式中含 x 的项为T = 2 C × x =12x ，含 x22 3 的项为T3 = 2C × x = 6x ，含 x33 的项为T4 = C3 × x = x .
3
综上所述， x2 + 3x + 2 的展开式中 x4 的项为3x × x3 + 3x2 ×6x2 + x3 ×12x = 33x4 ，系数为33 .
解法二：
3 3 3-k
因为 x2 + 3x + 2 = é x2 + 3x + 2ù ，展开式的通项为T k 2k +1 = C3 × x + 3x ×2k ,k = 0,1,2,3 .
要使展开式中含 x4 ，则 k 可取 0 或1.
3
当 k = 0时，C0 × x2 + 3x ×20 = x2 3 3-l3 + 3x l，展开式的通项为T ll+1=C3 × x2 × 3x = 3l Cl × x6-l3 , l = 0,1,2,3，
显然 l =2 2 2 4 4时，展开式含 x4 ，该项为T5 =3 C3 × x = 27x ；
当 k =1时，C1 2 2 1 2 2-s3 × x + 3x × 2 = 6 x2 + 3x ，展开式的通项为T s 2s+1=6C2 × x × 3x s = 6 3s Cs 4-s2 × x , s = 0,1,2，
4
显然 s = 0时，展开式含 x4 ，该项为T1=6x .
3
综上所述， x2 + 3x + 2 的展开式中 x4 的项为 27x4 + 6x4 = 33x4 ，系数为33 .
故选：D．
5
1 y23．（2024·安徽·三模） -x2 + + y ÷ 的展开式中 的系数为 .
è x3 x
【答案】-30
5

x2 1
1
【解析】因为 - + + y ÷ 是由 5 -x
2
个 + + y ÷相乘得到，
x3 3è è x
y2 1
使用要想产生 ，则-x2 出 1 个，
x x3
出 2 个，y 出 2 个，
C1故所求系数为 5 × -1 ×C24 = -30 .
故答案为：-30
3
4．（2024·河南·三模） x2 - x - 2 的展开式中， x2 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】6
【解析】 2 3x - x - 2 = x +1 3 x - 2 3，
x +1 3 m 3-m的展开式通项为C3 x ， x - 2
3 -2 n的展开式通项为 Cn3 x3-n，
Cm3 x
3-m × -2 n Cn x3-n = -2 n CnCm x6-m-n3 3 3 ，
令6 - m - n = 2 ，得m + n = 4 ，
1 2 3
所以 x3的系数为 -2 C1C33 3 + -2 C23C23 + -2 C3 13C3 = 6．
故答案为：6
4
5（23-24 · · 1高三下 天津 阶段练习）已知 2x + a -

÷ 的展开式中的常数项为19，则a = .
è 2x
【答案】± 13
1 4 2
【解析】二项式 2x + a - 的展开式中的常数项C1C1 2x a2 1 C2C2 2x 2 1 ÷ 4 3 -

÷ + 4 2 - ÷ + a
4 = -12a2 + 6 + a4 ，
è 2x è 2x è 2x
则-12a2 + 6 + a4 =19，解得 a2 =13或 a2 = -1（舍去），所以a = ± 13 .答案为：± 13
考点三 两个二项式乘积指定项系数
y 2x 6
【例 3-1】（2024·西藏·模拟预测）在 2 4 - ÷ x + y 的展开式中， x y 的系数为（x y ）è
A．-4 B．4 C．-8 D．8
【答案】D
【解析】在 x + y 6 r 6-r r 3 5的展开式中，通项公式为Tr+1 = C6x y ，故 x3 y3， xy5 的系数分别为C6，C6，
y 2x 6 3 5
所以在 - ÷ x + y 的展开式中， x2 y4 的系数为C6 - 2C6 = 8．故选：D．
è x y
6
1
【例 3-2】（2024·福建南平·模拟预测）在 2 + x - 2x ÷ 的展开式中， x3的系数为 ．
è x
【答案】240
1 6 1 6 6
【解析】 2 + x - 2x

÷ = 2 - 2x
1
x x ÷
+ x - 2x ÷ ，
è è è x
1
6 6-r

二项式 - 2x ÷ 的通项公式为C
r 1
6 ×

÷ × -2x
r = Cr × -2 r × x2r-66 ，
è x è x
1
6
- 2x 其中 ÷ 的展开式中不含 x
3的项，
è x
4
含 x2 的项为C4 × -2 x26 = 240x2，
5
2 1+ x - 2x 所以 ÷ 的展开式中含 x3的项为240x3 ，故 x3的系数为 240．
è x
故答案为： 240
【一隅三反】
1．（2024·江苏泰州·模拟预测） x - y x + y 5 的展开式中 x2 y4 的系数是（ ）
A．-10 B．-5 C．5 D．15
【答案】B
【解析】 x + y 5 T r 5-r r 4展开式的通项公式为 4 2 3 3r+1 = C5x y , r = 0,1,2,3,4,5，故 xy 的系数为C5 ， x y 的系数为C5，
5 4 3
故 x - y x + y 展开式中 x2 y4 系数为C5 - C5 = -5 .故选：B.
2．（2024·河北秦皇岛·三模） x2 - y2 2x + y 6的展开式中 x4 y4的系数为 .
【答案】-180
x2 - y2 2x + y 6 = x2【解析】由 2x + y 6 - y2 2x + y 6，
2 2 6 2 4
所以 x - y 2x + y 的展开式中含 x4 y4的项为 x2C26 2x y4 - y2C26 2x y2 = -180x4 y4 ，
所以 x2 - y2 2x + y 6的展开式中 x4 y4的系数为-180 .故答案为：-180 .
3．（2024·江苏苏州·模拟预测） 2 + x - x2 (1- x)5的展开式中 x2 的系数为 ．
【答案】14
【解析】因为 (1- x)5 r r r r r的展开式通项公式为Tr+1 = C5 (-x) = C5 (-1) x ，
其中T3 = C
2
5 x
2 =10x2 ,T2 = -C
1
5x
1 = -5x,T1 = C
0
5 =1，
故二项式 2 + x - x2 (1- x)5的展开式中 x2 的系数为：2 10 +1 -5 -1 1 = 14．
故答案为：14 .
ax 2 (1 14 4．（2024·山东·模拟预测）已知 - + ) 的展开式中常数项为-2，则实数 a的值为 .
x
【答案】 0
1 4 4 6 4 1 1 4
【解析】依题意， (1+ ) =1+ + 2 + 3 + 4 ，因此 ax - 2 (1+ ) 展开式中常数项为4a 2，x x x x x x
则 4a - 2 = -2，解得 a = 0，所以实数 a的值为 0.故答案为：0
2
5．（2024·天津·模拟预测）在 (2x + a)(x + )6的展开式中， x2 的系数为-160，则实数 a为 .x
8 2
【答案】- / -2
3 3
2 6 r 6-r 2 r r r 6-2r
【解析】二项式 (x + ) 展开式的通项T
x r+1
= C6x ( ) = 2 C6x , r 6, r N，x
显然6- 2r 是偶数，由6 - 2r = 2 2，解得 r = 2，则有 x2 的项为 a ×2 C2x26 = 60ax
2
，
8 8
因此60a = -160 ，所以 a = - .故答案为：-
3 3
考点四 （二项式）系数最值
6
4-1 23-24 · 2x2 1- 【例 】（ 广东深圳 期中） ÷ 的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
è x
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【答案】C
6

【解析】由 2x
2 1- ÷ 的展开式中，Tk +1项的二项式系数为C
k
6 ，
è x
k 3
根据二项式系数的性质得，当 k = 3时， (C6 )max = C6，即第四项的二项式系数最大．
故选：C.
2 n
【例 4-2】（22-23 ·

山东青岛·期中） x - ÷ 的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式中有
è x
理项的项数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
2 n
k
3k
【解析】∵ k n-k 2 k k
n-
x - ÷ 的展开式通项为Tk +1 = Cn x - ÷ = -2 C 2n x ，（ k = 0，1， 2，…， n），
è x è x
∵第四项和第五项的二项式系数相等，∴ C3n =C
4
n ，∴ n = 7，
∴ 7
3k
-
Tk +1 = -2
k Ck x 2 ，（ k = 0，1， 2，…， 7 ），7
7 3k
3k
∴当 - 为整数，即 k = 0， 2， 4，6 7-时，T = -2 k Ck x 2 为有理项，2 k +1 7
∴展开式中有理项的项数是 4项.
故选：B.
1 n
【例 4-3】．（23-24 高三下·

甘肃·开学考试）已知 x + ÷ 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开
è 2 x
式中二项式系数最大的项是（ ）
35 1 7 35A 2． x 2 B．7x 2 C． x D．7x
2
8 8
【答案】C
r r
r n-r 1 1 r n
3
- r 0 1 1 1
【解析】展开式中的第 r +1项为Tr+1 = Cn x ÷ = ÷ Cn x 2 ，所以前三项的系数依次为Cn , Cn , C
2
，
è 2 x è 2 2 4
n
C0 1 2 1 1 n n -1依题意，有 n + C = C 4 n n ，即1+ = n，整理得 n
2 - 9n + 8 = 0，解得 n =1（舍去）或 n = 8 .
4 2
1 4 8 3- 4 35
由二项式系数的性质可知，展开式中第 5 项的二项式系数最大，即T = 45 ÷ C x 28 = x
2 .故选：C.
è 2 8
10
【例 4-4】（2024· · 1 全国 高考真题） + x ÷ 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
è 3
【答案】5
T Cr 1
10-r

【解析】由题展开式通项公式为 rr+1 = 10 ÷ x ，0 r 10且 r Z，
è 3
ì 1 10-r 1 9-r
Cr

10 ÷ C
r+1
3 10 ÷ è è 3
设展开式中第 r +1项系数最大，则 í ，
Cr 1
10-r 11-r
r-1 1
10 ÷ C10 ÷ è 3 è 3
ìr 29

4 29
í ，即 r
33

33 ，又 r Z，故
r = 8，
r 4 4
4
1
2

所以展开式中系数最大的项是第 9 项，且该项系数为C810 ÷ = 5 .
è 3
故答案为：5.
n
【例 4-5】（22-23 2 高三上·河南安阳·阶段练习）已知 x - ÷ 的展开式中只有第 5 项是二项式系数最大，则该展
è x
开式中各项系数的最小值为（ ）
A．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376
【答案】C
【解析】∵展开式中只有第 5 项是二项式系数最大，则 n=8
r
8-r 8-3r
∴展开式的通项为T rr+1 = C8 x 2- = -2 r r ÷ C 28x , r = 0,1,...,8
è x
则该展开式中各项系数 ar = -2
r Cr8 , r = 0,1,...,8
a - a 0 ì -2 r Cr - -2 r +2ì r +2r r +2 8 C8 0
若求系数的最小值，则 r 为奇数且 í r = 5
a
，即 í r r r- 2 ，解得r- 2
r - ar- 2 0 -2 C8 - -2 C8 0
∴ 5系数的最小值为 a5 = -2 C58 = -1792
故选：C.
【一隅三反】
n
1．（2024· · x 2+ 江西 二模）已知 ÷ 的二项展开式中只有第 3 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为
è x
（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【答案】A
n
2
【解析】已知 x + ÷ 的二项展开式中只有第 3 项的二项式系数最大，则只能 n = 2 3-1 = 4，
è x
2 n 2
r

从而 r 4-r r r 4-2r x + ÷ 的展开式为Tr+1 = C4x = C 2 x r = 0,1,2,3,4,5 ，令 4 - 2r = 0 ，解得 r = 2，
è x è x ÷ 4
2 2
所以展开式中的常数项为C4 2 = 24 .故选：A.
2．（23-2 河北邢台·阶段练习） (x +1)24的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第 11 项 B．第 12 项 C．第 13 项 D．第 14 项
【答案】C
【解析】因为 (x +1)24 r 24-r 12的展开通项公式为Tr+1 = C24x ，又当 r =12时，C24 取最大值，
则系数最大的项是第 13 项T 1213 = C24x
12
．故选：C.
6
3 a ．（23-24 高三上·全国·阶段练习）已知 x
3 + ÷ a > 0 的展开式中唯有第 5 项的系数最大，则 a 的取值范围是
è x
（ ）
4 5 4 5 é4 5ù 2 5 A． , ÷ B． , ÷ C． , D． , ÷
è 3 2 è 3 3 ê 3 3ú è 3 3
【答案】A
6 r
3 a 6-r a 【解析】 x + 的展开式的通项为T = Cr x3 × = Cr ×a r × x18-4r x ÷ r+1 6 x ÷ 6 ，è è
ìC4 ×a4 > C3 3
í 6 6
×a 4 5
由题可知 4 4 5 5 ，解得 < a < ．
C6 ×a > C6 ×a 3 2
故选：A
2
4．（2024 高三· · (x2 + )n 1全国 专题练习）已知 的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为 2 ，则展x
开式中二项式系数最大的项的系数为 .
【答案】280 或 560
2 2
r
n n
5r
-r 2 2n-
【解析】由二项式 (x + ) 的展开式的通项公式T r 2 r r 2
x r+1
= Cn x ÷ = 2 Cn x ，
è x
23C3n 1
由题知，
2n-3Cn-3
= ，解得 n = 7，
n 2
所以，展开式中二项式系数最大的项为第 4 项或第 5 项，
3 3 4 4
则展开式中二项式系数最大的项的系数为 2 C7或 2 C7 ，
即展开式中二项式系数最大的项的系数为 280 或 560.
故答案为：280 或 560.
2 n
5．（23-24 ·山西大同· 阶段练习）已知 x +

2 ÷ 的展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大，则该展开式中系è x
数最大的项为 ．
25
【答案】 -15360x 2
n 10-5r
【解析】由题意可知 +1 = 6，解得 n＝10，故展开式的通项为
2 T
r r 2 ．
r+1 = C10 2 x
ì2 1
ìCr10 × 2
r Cr-110 ×2
r-1
r 1 r 11- r
19 22
设第 ＋ 项的系数最大，则 í r r r+1 r+1 即 í ，解得 r ，Qr N ，\r = 7
C10 × 2 C10 × 2 1 2 3 3
10 - r r +1
10-35 25 25
∴展开式中的系数最大的项为T = C7 7
-
2 2 .故答案为： - 2 .
8 10 2 x =15360x 15360x
6．（23-24
7
高三上·上海·期中）二项式 x -1 的展开式中，系数最大的项为 ．
【答案】35x3
x -1 7【解析】 展开式通项公式为T rr+1 = C7 x7-r -1
r
，0 r 7 且 r 为整数.
要想系数最大，则 r 为偶数，
其中T = C0 x7 -1 0 = x7 ，T = C2 x5 -1 2 = 21x51 7 3 7 ，T5 = C47 x3 -1
4 = 35x3，
T 6 67 = C7 x -1 = 7x ，
3
显然系数最大项为T5 = 35x .
故答案为：35x3
7．（2023·上海嘉定·一模）已知 (1+ 2x)6 的二项展开式中系数最大的项为 ．
【答案】 240x4
k k k +1 k +1
T = Ck 2x k
ìC6 × 2 C6 ×2 11 14
【解析】设系数最大的项为 k +1 6 ，则 í k k k -1 k -1 ，解得 k ，
C6 × 2 C6 × 2 3 3
4
因为0 k 6且 k 为整数，所以 k = 4，此时最大的项为T 45 = C6 2x = 240x4 .故答案为： 240x4
考点五 （二项式）系数和
n
2 x 【例 5-1】（2024·北京·三模）已知 - ÷ 的二项式系数之和为 64，则其展开式的常数项为（ ）
è x
A． -240 B．240 C．60 D． -60
【答案】B
【解析】由题意可知：二项式系数之和为 2n = 64，可得 n = 6，
6-r
T Cr 2
3
r r r-3
其展开式的通项为 6-r r 2r+1 = 6 ÷ -x = -1 × 2 ×C6 × x , r = 0,1,2, × × ×,6 ，
è x
3
令 r - 3 = 0 2，解得 r = 2，所以其展开式的常数项为 -1 × 24 ×C26 = 240 .故选：B.2
【例 5-2】（22-23 山东青岛·期末）（多选）已知 (1+ 2x)9 = a0 + a1x + a
2
2x +L+ a
9
9x ，则（ ）
A 9． a2 =144 B． a0 + a1 + a2 +LL+ a8 + a9 = 3
C． a1 + a3 + a7 + a9 = a0 + a2 + a + a + a = 2
8
4 6 8 D． ai (i = 0,1,2,LL,8,9)的最大值为 a6
【答案】ABD
【解析】A 2 2选项，根据二项展开式的通项， a2 = C9 2 =144 ，A 选项正确；
B 9选项，取 x =1代入等式，得到3 = a0 + a1 + a2 +LL+ a8 + a9 ，B 选项正确；
C 选项，取 x=-1代入等式，得到-1 = a0 - a1 + a2 -LL+ a8 - a9 ，
9
结合 B 选项 a0 + a1 + a2 +LL+ a8 + a9 = 3 ，
9
两式相加得 a 3 -1 80 + a2 + a4 + a6 + a8 = = 9841 2 ，故 C 选项错误；2
i i ìai ai+1 ìC
i 2i Ci+19 9 2
i+1
D 选项，根据二项展开式的通项， ai = C9 2 ，令 ía a ，即 íCi i i-1 i-1
，
i i-1 9 2 C9 2
17 i 20解得 ，又 i N ，故 i = 6，即 a6最大，D 选项正确.3 3
故选：ABD
6 2
【例 5-3】（2024 江苏常州·期中）（多选）设 x - 3 = a0 + a1 x -1 + a2 x -1 + ×××+ a6 x -1
6
，则结论正确的是
（ ）
A a - a + a 6 1- 3
6
． 0 1 2 - a3 + a4 - a5 + a6 = 3 B． a1 + a3 + a5 = 2
C． a2 + a3 =100 D． a0， a1， a2，a3， a4， a5 ， a6中最小的是 a1
【答案】ABD
6
【解析】对于 A，令 x = 0，则3 = a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 ①，故 A 正确；
对于 B，令 x = 2，则1 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ②，
6
则②减①可得： 2 a1 + a3 + a5 =1- 36 a 1- 3，则 1 + a3 + a5 = ，故 B 正确；2
6 6 r 6-r
对于 C， x - 3 = é x -1 - 2ù 的通项为T rr+1 = C6 x -1 -2 ，
令 r = 2，则 a2 = C
2
6 -2
4 = 240，
令 r = 3 a = C3 3，则 3 6 -2 = -160，所以 a2 + a3 = 80，故 C 错误；
D x - 3 6 6= é x -1 - 2ù T = Cr x -1 r -2 6-r对于 ， 的通项为 r+1 6 ，
所以当 r =1,3,5时，即 a1,a3 ,a5 < 0，而 a0 ,a2 ,a4 ,a6 > 0，
又 a = C11 6 -2
5 = -192,a3 =C
3 3
6 -2 = -160,a5 = C56 -2
1 = -12，
故 a0， a1， a2，a3， a4， a5 ， a6中最小的是 a1，故 D 正确.
故选：ABD.
【一隅三反】
n
1．（2024· 安徽·二模）已知 x
2
- ÷ 的展开式二项式系数和为 256，则展开式中系数最大的项为（ ）
è x
A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项
【答案】C
2 k k
【解析】由已知 2n = 256，故 n = 8，故通项为Tk +1 = C
k 8-k
8 x - ÷ = -1 Ck8 2k x8-2k （ k = 0，1，…，8），故奇数
è x
项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
6 6 2 6 6 2
C0 20 =1,C2 228 8 < C
4 4
8 2 ,C
6
8 2
6 = 4C6 24 , C8 2 4C8 8 C8 2 C88 \ 4 = = >1, = >1C8 2
4 C48 5 C
8 288 4
C6 26故 8 最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
2．（2024·湖北武汉· 6模拟预测）（多选）已知 1- x = a0 + a1x + a 2 62x +L+ a6x ，则下列结论正确的是（ ）
A． a2 =15 B． a1 + a2 + a3 +L + a6 = 0
C． a0 + a2 + a4 + a6 = 64 D． a1 + 2a2 + 3a3 +L + 6a6 = 0
【答案】AD
A 1- x 6 T = Cr -x r = -1 r【解析】对 ：对 有 Crr+1 6 6xr ，
则 a = T = -1 2 C22 3 6 =15，故 A 正确；
对 B：令 x = 0，有 a0 = 1，令 x =1，则有 a0 + a1 + a2 +L+ a
6
6 = 1-1 = 0，
故 a1 + a2 + a3 +L+ a6 = 0 -1 = -1，故 B 错误；
对 C：令 x=-1，则有 a0 - a1 + a2 -L+ a6 = 1+1
6 = 64，
a + a + a + a +L+ a + a - a + a -L+ a
故 a a a a 0 1 2 3 6 640 + 2 + 4 + = 0 1 2 66 = = 32，2 2
故 C 错误；
对 D：令 f x = 1- x 6 = a 2 60 + a1x + a2x +L+ a6x ，
则 f x = -6 1- x 5 = a1 + 2a2x +L+ 6a x56 ，
则 f 1 = -6 1-1 5 = a1 + 2a2 +L+ 6a6 = 0，故 D 正确.
故选：AD.
3 23-24 · x8 = a + a (x -1) + a (x -1)2 +L+ a 8．（ 广东深圳 期中）（多选）若 0 1 2 8 (x -1) ，其中 a0 ,a1, a2 ,L, a8 为实数，
则（ ）
A． a0 = 1 B． a6 = 56
C． a1 + a3 + a5 + a7 =128 D． a2 + a4 + a6 + a8 =127
【答案】ACD
8 2 8
【解析】由 x = a0 + a1(x -1) + a2 (x -1) +L+ a8 (x -1) ，
令 t = x -1 8 2 8，则原式转化为 (t +1) = a0 + a1t + a2t +L+ a8t ，
对于 A 中，令 t = 0，可得 a0 = 1，所以 A 正确；
对于 B 2中，由二项式定理的展开式，可得 a6 = C8 = 28，所以 B 不正确；
对于 C 和 D 中，令 t =1 8，可得 a0 + a1 + a2 +L+ a8 = 2 ，
令 t = -1，得 a0 - a1 + a2 -L+ a8 = 0，
所以 a1 + a3 + a5 + a7 = a0 + a2 + a4 + a6 + a8 = 2
7 =128，所以 a2 + a4 + a6 + a8 =127，
所以 C、D 正确．
故选：ACD.
4．（2023· 6福建宁德·模拟预测）（多选）若 (x -1) = a0 + a1 x +1 + a2 (x +1)2 + a3(x +1)3 +L+ a6 (x +1)6 ，则（ ）
A． a0 = 64 B． a0 + a2 + a4 + a6 = 365
C． a5 =12 D． a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 = -6
【答案】ABD
6
【解析】令 x=-1，则 (-1-1) = a0，即 a0 = 64，故 A 正确；
令 x = 0，则 a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = (0 -1)
6 =1，
令 x = -2，则 a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 = (-2 -1)
6 = 729 ，
则 a
1+ 729
0 + a2 + a4 + a6 = = 365，故 B 正确；2
6
(x -1)6 = é x +1 - 2ù T = Ck (x +1)6-k k 1 1 ，则 k +1 6 (-2) ，令 k =1，则 a5 = C6 (-2) = -12，故 C 错误；
(x -1)6由 = a0 + a1 x +1 + a2 (x +1)2 + a 3 63(x +1) +L+ a6 (x +1) 两边求导，
得6(x -1)5 = a1 + 2a2 (x +1) + 3a (x +1)
2
3 +L+ 6a6 (x +1)
5
，
令 x = 0，则 a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 = 6 (0 -1)
5 = -6，故 D 正确.
故选：ABD.
考点六 二项式定理应用
【例 6-1】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设
a,b, m(m > 0)均为整数，若 a和b 被m 除得的余数相同，则称 a和b 对模m 同余，记为 a b mod m ，如8和 23
被5除得的余数都是3，则记8 23 mod5 .若 a b mod10 ，且 a = C0 120 + C20 × 2 + C220 × 22 +L+ C2020 × 220 ，则b 的值可
以是（ ）
A．4021 B．4022 C．4023 D．4024
【答案】A
【解析】 a = C0 + C1 2 2 20 2020 20 × 2 + C20 × 2 +L+ C20 ×2 = (1+ 2)
20 = 320 = 910 = (10 -1)10
= C0 1010 ×10 + C
1
10 ×10
9 × (-1) + C210 ×10
8 × (-1)2 +L+ C1010 × (-1)
10
=10 éC0 9 1 8 2 10 ×10 + C10 ×10 × -1 + C10 ×10
7 × -1 2 +L+ C910 × -1
9 ù
+1，
即 a被10除得的余数为1，结合选项可知只有 4021被10除得的余数为1.
故选：A.
【例 6-2】．（2024·湖北荆州·三模）已知 3x -1 2024 = a0 + a 21x + a2x +L+ a x20242024 ，则 a1 + a2 +L+ a2024 被 3 除的余
数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】令 x = 0，得 a0 = 1，令 x =1，得 a0 + a1 + a2 +L+ a2024 = 2
2024
，
2024 1012
两式相减， a1 + a2 +L+ a2024 = 2 -1 = 4 -1，
41012 = 3+1 1012因为 = C0 31012 + C1 31011 +L+ C1011 10121012 1012 10123+ C1012，
C0 1012 1 1011 1011其中 101210123 + C10123 +L+ C10123被 3 整除，所以 4 被 3 除的余数为 1，
综上， a1 + a2 +L+ a2024 能被 3 整除．
故选：D.
【例 6-3】（2024 北京）0.997 的计算结果精确到 0.001 的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【解析】0.997 = 1- 0.01 7 = C07 1- C17 0.01+ C 27 0.012 - ××× =1- 0.07 + 0.0021- ××× 0.932 .
故选：C
【一隅三反】
1．（2024·江西·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 a，b ，m m > 0
为整数，若 a和b 同时除以m 所得的余数相同，则称 a和b 对模m 同余，记为 a b mod m ．若
a = C130 + C
2 30
30 +L+ C30 ， a b mod10 ，则b 的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】 a = C1 2 30 30 1030 + C30 +L+ C30 = 2 -1 = 8 -1 = 10 - 2
10 -1
= C01010
10 + C11010
9 -2 + C210108 -2
2 +L+ C10 -2 1010 -1
=10 é109 + C1 1010
8 -2 +L+ C9 -2 9 ù10 +1024 -1
=10 é109 + C1 108 10 -2 +L+ C
9 -2 910 +102ù + 3，
所以 a除以10的余数为3，
选项中除以10余数为3的数只有 2023 .
故选：C.
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这 12 种动物按顺
序轮流代表各年的生肖年号，今年 2024 14年是龙年.那么从今年起的 13 +1 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
【答案】B
【解析】由1314 = 12 +1 14 = C0 1214 + C1 121314 14 +L+ C1312114 + C1414
=12 C0 1213 + C1 12 1314 1412 +L+ C14 +1，
故1314 除以12的余数为1，故1314 +1除以12的余数为 2，
14
故 13 +1 年后是马年.
故选：B.
3．（2024 上海）用二项式定理估算1.0110 = .（精确到 0.001）
【答案】1.105
10 10
【解析】1.01 = (1+ 0.01) =1+ C110 0.01+ C
2 0.012 + C310 10 0.01
3 +L 1+ 0.1+ 0.0045
=1.1045 1.105 .
故答案为：1.105
2024
4．（23-24 高三下·全国 专题复习） 1+ 2 的小数点后第 100 位数字是 ．
【答案】9
n
【解析】设 an = 1+ 2 + n1- 2 ．则由特征方程可知其递推式为 an+2 = 2an+1 + an ．
2024 2024
但注意到 a1 = 2， a2 = 6都是整数，由数学归纳法可知 a2024 = 1+ 2 + 1- 2 是整数，
2024 1但显然有 1- 2 < 100 ，因此所求小数点后第 100 位数字是 9．10
故答案为：9
考点七 二项式定理与数列求和
【例 7 *】（2024 江苏南京 ）设集合 S = 1,2,3,...,n (n N ,n 2), A, B是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最
大数小于集合 B 中的最小数，记满足条件的集合对 (A, B)的个数为Pn .
（1）求P2 , P3 的值；
（2）求Pn的表达式.
n-1
【答案】（1）P2 =1，P3 = 5 .（2）Pn = (n - 2) ×2 +1 .
【解析】（1）当 n = 2时，即 S = 1,2 ，此时 A = 1 ，B = 2 ，所以P2 =1，
当 n = 3时，即 S = 1,2,3 ，若 A = 1 ，则B = 2 ，或B = 3 ，或B = 2,3 ；
若 A = 2 或 A = 1,2 ，则B = 3 ；所以P3 = 5 .
（2）当集合A 中的最大元素为“ k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,L, k -1中任取若干个（包含不取），所以集合
A C0 + C1 + C2共有 k -1 k -1 k -1 +L+ C
k -1
k -1 = 2
k -1
种情况，
此时，集合 B 的元素只能在 k +1, k + 2,L, n中任取若干个（至少取 1 个），所以集合 B 共有
C1 2 3 n-k n-kn-k + Cn-k + Cn-k +L+ Cn-k = 2 -1种情况，
所以，当集合A 中的最大元素为“ k ”时，
集合对 (A, B)共有 2k -1(2n-k -1) = 2n-1 - 2k -1对，
当 k 依次取1,2,3,L,n -1时，可分别得到集合对 (A, B)的个数，
求和可得Pn = (n -1) × 2
n-1 - (20 + 21 + 22 +L+ 2n-2 ) = (n - 2) ×2n-1 +1 .
【一隅三反】
1．（23-24 山东青岛·期中）某人在 n次射击中击中目标的次数为 X , X ~ B(n, p) ，其中 n N*,0 < p <1，击中偶
数次为事件 A，则（ ）
n =10, p = 0.8 P(X = k) p 1A．若 ，则 取最大值时 k = 9 B．当 = 时，D(X )取得最小值
2
1 1
C．当 < p <1时，P(A)随着 n的增大而减小 D．当0 < p < 的，P(A)随着 n的增大而减小
2 2
【答案】D
【解析】A：在 10 次射击中击中目标的次数 X ~ B 10,0.8 ，
X = k P X = k = Ck k 10-k当 时对应的概率 10 0.8 0.2 k = 0,1,2,L,10 ，
ì P X = k
P X = k +1
因为P X = k 取最大值，所以 í
P X = k P X k 1
，
= -
ìCk10 0.8
k 0.210-k Ck +110 0.8
k +1 0.29-k
即 í ，
C
k
10 0.8
k 0.210-k Ck -1 0.8k -110 0.2
11-k
ì k +1 4 10 - k 39 44
即 í ，解得 k ，
4 11- k k 5 5
因为 k N 且 0 k 10 ，所以 k = 8，即 k = 8时概率P(X = 8) 最大．故 A 错误；
é 2 ù
B：D X = np 1 1 1- p = n ê- p -
1
÷ + ú ，当 p = 时，D X 取得最大值，故 B 错误；
ê è 2 4 ú 2
C、D：QP X = k = Ck pkn 1- p
n-k k = 0,1,2,L,n ，
\P A = C0 p0 1- p n-0n + C2 2n p 1- p
n-2 + C4 4n p 1- p
n-4 +L，
1- P(A) = C1n p
1 1- p n-1 + C3 p3n 1- p
n-3 + C5 p5n 1- p
n-5 +L，
n n
é 1- p + pù + é 1- p - pù 1+ 1- 2 p n
\P A = = ，
2 2
1
当 < p <1时，-1 <1- 2 p < 0， 1- 2 p n 为正负交替的摆动数列，所以P(A)不会随着 n的增大而减小，故 C2
错误；
n
1 ì 1+ 1- 2 p ü
当0 < p < 时，0 <1- 2 p <1,

í 为正项且单调递减的数列，所以P(A)随着 n的增大而减小，故 D 正2 2
确；
故选：D.
2．（2024·辽宁· 3 *三模）设数列{an}的通项公式为 an = n - n,n N ，该数列中个位数字为 0 的项按从小到大的顺
序排列构成数列{bn}，则 b2017被 7 除所得的余数是 .
【答案】 0
3
【解析】因为 an = n - n = n n -1 n +1 ，所以当 n的个位数字为1,4,5,6,9,0时，
an 的个位数为 0 ，则在数列 an 中，每连续 10 项中就有 6 项的个位数字为 0，
而 2017 = 336 6 +1，由此推断数列 bn 中的第 2017 项相当于数列 an 中的第 3361 项，
即b2017 = a3361 = 3361
3 - 3361，而3361 = 480 7 +1，所以3361除以 7 余数为 1，
而 7k +1 3 = 7k 3 + 3 7k 2 + 3 7k +1， k N*，所以33613 除以 7 余数也为 1，
而它们的差33613 - 3361一定能被 7 整除，所以b2017 被 7 除所得余数为 0.
故答案为：0.
3．（2023·江苏镇江·三模）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，满足 Sn = 2 an -1 .等差数列 bn 满足b4 = a2 ,b8 = a3 .
(1)求 an , bn 的通项公式；
(2)将数列 an 满足__________（在①②中任选一个条件）的第m 项am 取出，并按原顺序组成一个新的数列 cn ，
求 cn 的前 20 项和T20 .① log4am = bk ，② am = 3bk +1，其中 k N* .
【答案】(1) an = 2n ，bn = n
4
(2)T20 = 420 -13
【解析】（1）因为数列 an 满足 Sn = 2 an -1 ①，
当 n =1时， a1 = 2 a1 -1 ，解得 a1 = 2；
当 n 2时， Sn-1 = 2 an-1 -1 2，②
②-①得 an = 2 an -1 - 2 an-1 -1 ，即 an = 2an-1
a
因 a1 = 2，所以 an > 0
n
，从而 = 2a ，n-1
所以数列 an 是以 a1 = 2为首项， q = 2为公比的等比数列.
n-1 n
所以 an = a1q = 2 .
因为等差数列 bn 满足b4 = a2 ,b8 = a3 .所以b4 = 4,b8 = 8 .
设 bn 公差为d ，则b1 + 3d = 4,b1 + 7d = 8，解得b1 = 1,d = 1 .
所以bn = b1 + n -1 d = n .
所以数列 an 的通项公式为 a nn = 2 ，数列 bn 的通项公式为bn = n；
（2）若选① log4am = b
m
k ，则有 log4 2 = k, m = 2k,k N
* .
所以 an 取出的项就是原数列的偶数项，
所以 cn 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，
4 1- 420
所以T 420 = = 420 -1 ；1 - 4 3
若选② am = 3bk +1，则有 2m = 3k +1，
因为m N*,k N*
n n
所以当m = 2n时，对应的 k 4 -1 (3+1) -1= = ，
3 3
(3 +1)n -1 = C0 ×3n + C1 n-1由二项展开式可知 n n ×3 + ×××× × × +C
n-1 ×31n + C
n 0
n ×3 -1
= 3 C0 ×3n-1 + C1 ×3n-2n n + ×××× × × +Cn-1n 能被 3 整除，
此时 k 为整数，满足题意；
4n
当m = 2n -1 -1时，对应的 k 2 (3 -1)
2n-1 -1
= = ，
3 3
由二项展开式可知
(3 -1)2n-1 -1 = C0 ×32n-1 × -1 0 + C1 ×32n-2 × -1 1 + ×××× × × +C2n ×31 × -1 2n + C2n-1 ×30 × -1 2n-12n-1 2n-1 2n-1 2n-1 -1
= 3 C02n-1 ×32n-2 × -1 0 + C12n-1 ×32n-3 × -1 1 + ×××× × × +C2n × -1 2n2n-1 - 2
所以 (3 -1)2n-1 -1除以 3 的余数是 1，不能整除，即此时 k 不是整数，不满足题意；
所以 an 取出的项就是原数列的偶数项，
所以 cn 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，
4 1- 420
所以T 4 20 .20 = = 4 -11- 4 3
考点八 杨辉三角
【例 8】（2024 山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数
在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第 10 行中第 5 个数最大
B．第 2023 行中第 1011 个数和第 1012 个数相等
C C2 + C2 + C2． 3 4 5 +L+ C
2
10 = 120
D．第 6 行的第 7 个数、第 7 行的第 7 个数及第 8 行的第 7 个数之和等于 9 行的第 8 个数
【答案】D
【解析】因为第 10 行中第 5 4 4 5个数是C10 ，又C10 < C10 ，故 A 错误；
因为第 2023 1011 1012 C1010 1011 1010 1011行中第 个数和第 个数分别为 2023 ，C2023 ，因为1010 +1011 2023，所以C2023 C2023，
故 B 错误；
C2 2 2因为 3 + C4 + C5 +L+ C
2 C3 11 10 910 = 11 = =165，故 C 错误；3 2 1
C6 6 6 7因为 6 + C7 + C8 = C9 ，故 D 正确.
故选：D
【一隅三反】
1．（23-24 陕西 ）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第 1 行开始，第 n行从左至
右的数字之和记为 an ，如 a1 =1+1 = 2, a2 =1+ 2 +1 = 4, × × ×, an 的前 n项和记为 Sn ，则下列说法正确的有（ ）
A．在“杨辉三角”第 9 行中，从左到右第 7 个数字是 84
B．在“杨辉三角”中，从第 1 行起到第 12 行，每一行从左到右的第 2 个数字之和为 78
C．S10 =1022
ì 2an ü 1 1D． í 的前 n项和为 -
Sn × Sn+1 2 an+2 -2
【答案】ABD
【解析】对于选项 A：在“杨辉三角”第 9 6行中，从左到右第 7 个数字是C9 = 84，故 A 正确；
对于选项 B：从第 1 行起到第 12 行，每一行从左到右的第 2 个数字之和为
C1 C1 1 13 121 + 2 + ×××+ C12 =1+ 2 + ×××+12 = = 78，故 B 正确；2
0 1 n n
对于选项 CD：由题意可知： an = Cn + Cn + ×××+ Cn = 2 ，
a
a 2 n+1 2
n+1
则 1 = ， = n = 2，可知数列 an 是以首项为 2，公比为 2 的等比数列，an 2
2 1- 2n 11
可得 S = = 2n+1 - 2，则 S10 = 2 - 2 = 2046 ，故 C 错误；n 1- 2
2an 2
n+1 1 1
因为 = = -S × S n+1n n+1 2 - 2 2n+2 - 2 2n+1 - 2 2n+2 - 2 ，
ì 2an ü
所以 í 的前 n项和为
Sn × Sn+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + ×××+ - = - - = -
2 6 6 14 2n+1 - 2 2n+2 - 2 2 2n+2 - 2 2 a - 2 ，故 D 正确；n+2
故选：ABD.
2．（2024 重庆沙坪坝 ）（多选）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一
个公差为1的等差数列和一个公差为 2的等差数列，每一行是一个公差为1的等差数列．我们把这个数阵的所有
数从上到下，从左到右依次构成一个数列 an ：1、 2、3、3、 4、5、 4、5、6、 7 、L，其前 n项和为 Sn ，
则下列说法正确的有（ 12 + 22 + ×××+ n2 1）（参考公式： = n n +1 2n +1 ）
6
A． a100 = 22 B． 22第一次出现是 a100
C． 22在 an 中出现了11次 D． S100 =1345
【答案】ACD
【解析】对于 A，1+ 2 + 3 + ×××+13+14 =105，且1+ 2 + 3 +L+13 = 91，
故 a100 在第14行第9个，则 a100 =14 + 8 = 22，A 对；
对于 B，因为第 n行最后一个数为 2n -1，该数为奇数，由 2n - 2 = 22 ，可得 n =12 ，
所以， 22第一次是出现在第12行倒数第 2个，
因为1+ 2 + 3 +L+12 = 78，即 22第一次出现是 a77 ，B 错；
对于 C，因为 22第一次是出现在第12行倒数第 2个，在第12行至第 22行， 22在每行中各出现一次，
故 22在 an 中出现了11次，C 对；
D n b b n + 2n -1 n 3n
2 - n
对于 选项，设第 行的数字之和为 n ，则 n = = ，2 2
故 S100 = b1 + b2 + b3 +L+ b13 +14 +15 +16 +L+ 22
3 12 + 22 + ×××+132 - 1+ 2 + 3 + ×××+13 14 + 22 9
= + =1345，D 对.
2 2
故选：ACD.
一．单选题
1．（2024·甘肃兰州·三模）在 (2 - x )7 的展开式中，含 x2 的项的系数为（ ）
A．-280 B．280 C．560 D．-560
【答案】B
r
【解析】 (2 - x )7 的二项式展开式的通项公式为T rr+1 = C7 2
7-r g(- x )r = Cr 27-r (-1)r gx 2 ， r = 0,1,2,L,7 ,7
r
令 = 2 ，可得 r = 4，所以T5 =C
4 237 (-1)
4 gx2 = 280x2，故含 x2 的项的系数为 280 .选：B.2
6
2．（2024· 1 安徽阜阳·模拟预测）在二项式 x - ÷ 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
è 2x
15
A．常数项为 B．各项的系数和为 64
4
C．第 3 项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为 -32
【答案】A
1 6 1 r r 1 6-3r
【解析】对于 A， x - 的展开式通项为T = Cr × ( x )6-r × - = Cr ÷ r+1 6 × - × x 2 ，
è 2x è 2x ÷ 6 ÷ è 2
2
当 r = 2 1 15时，常数项为C26 × - ÷ = ，选项 A 正确；
è 2 4
6
对于 B，令 x =1 1 1，得各项的系数和为 1- ÷ = ，选项 B 错误；
è 2 64
对于 C，展开式共 7 项，二项式系数最大应为第 4 项，故选项 C 错误；
26
对于 D，依题意奇数项二项式系数和为C0 + C2 + C46 6 6 + C
6
6 = = 32，选项 D 错误.2
故选：A.
3．（2024·浙江绍兴·三模）在 x +1 x + 2 x + 3 x + a x + b 的展开式中，含 x4 项的系数是 10，则 log2 a + b =
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】根据二项展开式可知含 x4 项即从 5 个因式中取 4 个 x ，1 个常数项即可写出含 x4 的项；
4
所以含 x4 的项是 1+ 2 + 3 + a + b x =10x4 ，可得 a + b = 4 ；
即可得 log2 a + b = log2 4 = 2 .
故选：C
6
1
4．（2023·

湖南永州·三模）在二项式 x + ÷ 的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不
è 4 x
同的排列方案为（ ）
A A5A2 B A4A3 C A5 2． 5 6 种 ． 4 5 种 ． 5A7 种 D．A44A22 种
【答案】A
1 12-3rT = Cr 6-r r r【解析】因为二项展开式的通项为 r+1 6 ( x ) × ( ) = C6 × x 4 ，4 x
又因为0 r 6，
所以当 r = 0或 r = 4时，为有理项，
所以有理项共有 2 项，其余 5 项为无理项，
先排 5 5 2项为无理项，共有A5种排法，再排 2 项有理项，共有A6 种排法，
5 2
所以有理项互不相邻的排法总数为：A5A6 种.
故选：A.
6 2
5．（2024·全国·模拟预测） 2xy +1 1 x x - ÷ 的展开式中 4 的系数为（ ）
è y y
A．-27 B．-3 C．3 D．27
【答案】C
6 r
1 1 6-r
【解析】 x - ÷ 的展开式的通项公式为T
r 6-r
r+1 = C6x - ÷ = -1
r x×Cr6 × r ．
è y è y y
T C4 x
2 x2
当 r = 4时， 5 = 6 × 4 =15 4 ；y y
x x
当 r = 5 5时，T6 = -C6 × 5 = -6y y5 ．
6
1 x2
因此 2xy +1 x - ÷ 的展开式中 4 的系数为1 15 + 2 -6 = 3，
è y y
故选：C．
n
6．（2024·河北廊坊· 2 模拟预测） x - ÷ n N* 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数
è x
项为（ ）
A．-160 B．-20 C．20 D．160
【答案】A
n
2
【解析】因为 x -
*
÷ n N 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，
è x
则由二项式系数性质知：展开式共有 7 项，则 n = 6，
2 6 r x - 2 则 ÷ 展开式的通项为T
r 6-r r r 6-2r
x r+1
= C6x × - ÷ = (-2) C x ，
è è x 6
展开式中常数项，必有6 - 2r = 0，即 r = 3，
3 3
所以展开式中常数项为T4 = (-2) C6 = -8 20 = -160 .
故选：A
7．（2024·江西鹰潭·二模）第 14 届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标
中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦 3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是
3 83 + 7 82 + 4 81 + 4 80 = 2020 77 × × ×7，正是会议计划召开的年份，那么八进制数123换算成十进制数，则换算后
8个7
这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
77 × × ×7
【解析】由进位制的换算方法可知，八进制123换算成十进制得：
8个7
8
7 87 + 7 86 + ×××+ 7 81 1-8+ 7 80 = 7 = 88 -1，
1-8
88 -1 = 10 - 2 8 -1 = C0 8 1810 + C8107 -2
1 + ×××+ C7810
1 -2 7 + C8 88 -2 -1
因为C0810
8 + C1 7 1810 -2 + ×××+ C7101 -2
7
8 是 10 的倍数，
8
所以，换算后这个数的末位数字即为C88 -2 -1的末尾数字，
由C8 88 -2 -1 = 255可得，末尾数字为 5.
故选：C
8．（23-24 高三下·海南·阶段练习）若 2x - 3 12 = a0 + a1 x - 2 + a2 x - 2
2 + ×××+ a 11 1211 x - 2 + a12 x - 2 ，则
（ ）
A． a0 = -1 B． a0 - a1 + a2 - a3 + ×××+ a10 - a11 + a12 = -1
C． a1 + a2 + ×××+ a
a a a a
12 = 3
12 +1 D． 1 + 22 + ×××+
11 + 12 12
2 2 211 212
= 2 -1
【答案】D
2x - 3 12【解析】因 = a0 + a1 x - 2 + a2 x - 2
2 + ×××+ a11 x - 2
11 + a12 x - 2
12
（*）
对于 A 项，当 x = 2时，代入（*）可得 a0 = 1，故 A 项错误；
对于 B 项，当 x =1 12时，代入（*）可得 a0 - a1 + a2 - a3 + ×××+ a10 - a11 + a12 = (-1) =1，故 B 项错误；
对于 C 12项，当 x = 3时，代入（*）可得 a0 + a1 + a2 + ×××+ a12 = 3 ，
则 a1 + a2 + ×××+ a12 = 3
12 -1，故 C 项错误；
5 a a a a
对于 D 项，当 x = 时，代入（*）可得 a + 1 20 + 2 + ×××+
11 + 1211 12 = 2
12
，
2 2 2 2 2
a
则 1
a2 a a+ + ×××+ 11 + 12 122 11 12 = 2 -1，故 D 项正确.2 2 2 2
故选：D.
二．多选题
n
9 2 ．（2024·辽宁·模拟预测）若 3 x + ÷ n 6 的展开式中第 4 项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理项
è x
（ xa 项中a 是整数）可以是（ ）
A．第 2 项 B．第 3 项 C．第 4 项 D．第 5 项
【答案】ACD
2 n r n-r 2 n-4r
【解析】由题意可知： 3 x + ÷ 的展开式通项为T = C
r 3 rr+1 n x ÷ = 2 Cr x 3n , r = 0,1, × × ×, n ，
è x è x
3
因为中第 4 项的二项式系数Cn 最大，
n 6-4r
当 n为偶数，则 = 3，即 n = 6，此时 r r 3 ，
2 Tr+1 = 2 C6x , r = 0,1, × × ×,6
6 - 4r
令 为整数，可得 r = 0,3,6 ，
3
即第 1 项，第 4 项，第 7 项为有理项，故 C 正确；
n n +1 n -1当 为奇数，则 = 3或 = 3，即 n = 5或 n = 7，
2 2
7-4r
且 n 6 ，可得 n = 7，此时T r r 3 ，r+1 = 2 C7 x , r = 0,1, × × ×,7
7 - 4r
令 为整数，可得 r =1,4,7 ，
3
即第 2 项，第 5 项，第 8 项为有理项，故 AD 正确；
故选：ACD.
10．（2024· 6 2广东佛山·模拟预测）若 (x -1) = a0 + a1x + a2x + a3x
3 + a x4 + a x5 64 5 + a6x ，则（ ）
A． a0 = 1
B． a3 = 20
C． 2a1 + 4a2 + 8a3 +16a4 + 32a5 + 64a6 = 0
D． a0 + a2 + a4 + a6 = a1 + a3 + a5
【答案】ACD
【解析】将 x = 0 6 2 3 4 5 6 6代入 (x -1) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x + a5x + a6x 得 0 -1 = a0 ，解得 a0 = 1，A 正确；
6 r
由二项式定理可知 x -1 展开式的通项为T r 6-rr+1 = C6x -1 ，
令6 - r = 3得 r = 3 3，所以 a = C33 6 -1 = -20，B 错误；
x = 2 (x -1)6 = a + a 2 3 4 5 6 6将 代入 0 1x + a2x + a3x + a4x + a5x + a6x 得 2 -1 = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 +16a4 + 32a5 + 64a6 ，
即 2a1 + 4a2 + 8a3 +16a4 + 32a5 + 64a6 = 0，C 正确；
将 x =1代入 (x -1)6 = a0 + a1x + a2x
2 + a x3 + a 4 5 63 4x + a5x + a6x 得 1-1
6 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ，
即 a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 0 ①，
x=-1 (x -1)6 = a + a x + a x2 3将 代入 0 1 2 + a3x + a x
4 + a x5 + a x6 -1-1 64 5 6 得 = a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6，
即 a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 = 64 ②，
①+②得 2 a0 + a2 + a4 + a6 = 64，所以 a0 + a2 + a4 + a6 = 32，
①-②得 2 a1 + a3 + a5 = -64 ，所以 a1 + a3 + a5 = -32，
所以 a0 + a2 + a4 + a6 = a1 + a3 + a5 ，D 正确；
故选：ACD
11．（2024·山西·
12
三模）已知函数 f x = 4x -1 = a0 + a1x + a2x2 + ×××+ a 1212x ，则（ ）
A a 3 3 6． 3 = 4 C12 B． f x 展开式中，二项式系数的最大值为C12
C． a1 + a2 + a3 + ×××+ a12 = 3
12 D． f 5 的个位数字是 1
【答案】BD
A 4x -1 12 12-r r r【解析】对于选项 ： 的展开式的通项为Tr+1 = Cr12 4x × -1 = -1 × 412-r ×Cr12 × x12-r , r = 0,1,2, × × ×,12，
令 r = 9 T = -1 9，可得 4 ×43 ×C912 × x3 = -43 C312 × x3，
所以 a3 = -4
3 C312，故 A 错误；
6
对于选项 B：因为 n =12 为偶数，可知二项式系数的最大值为C12，故 B 正确；
对于选项 C：令 x = 0，可得 a0 = 1；
令 x =1 a + a 12，可得 0 1 + a2 + ×××+ a12 = 3 ；
所以 a1 + a2 + a3 + ×××+ a12 = 3
12 -1，故 C 错误；
对于选项 D：因为 f 5 = 20 -1 12，
且 20 -1 12 的展开式的通项为Tk +1 = Ck ×2012-k12 × -1
k ,k = 0,1,2, × × ×,12，
可知当 k = 0,1,2, × × ×,11，Tk +1均为 20 的倍数，即个位数为 0，
当 k =12时，T13 =1，所以 f 5 的个位数字是 1，故 D 正确；
故选：BD.
三．填空题
5
12．（2023· 1 黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 2x - +1÷ 的展开式中常数项为 .
è x
【答案】81
2x 1
5

【解析】 - +1÷ 的展开式中通项公式：T
r 1 r
r+1 = C5 (2x - ) ,r = 0,1,2,3,4,5x ．è x
(2x 1- )r 的通项公式：Ck -1 k (2x)r-k (x-1)k = 2r-k -1 k Ck xr-2kr r ,r k,r,k Nx ．
5

故 2x
1
- +1 ÷ 的通项为T = 2
r-k Crr+1 5 -1
k Ck xr-2kr ,r k,r,k N
è x
令 r - 2k = 0，则 k = 0， r = 0； k =1， r = 2； k = 2， r = 4．
因此常数项1+ 2 C2 1 1 2 4 2 25 (-1) C2 + 2 C5 (-1) C4 = 81．故答案为：81．
13．（2024·福建泉州·模拟预测） 2x +1 x - 2 4 的展开式中含 x2 项的系数为 .
【答案】-40
x - 2 4【解析】 展开式通项公式为T r 4-rr+1 = C4x -2
r = -2 r Cr4x4-r ，
所以 2x +1 x - 2 4 3展开式中含 x2 的项为 2x -2 C34x + -2
2 C2 2 2 2 24x = -64x + 24x = -40x ，
故 2x +1 x - 2 4 的展开式中含 x2 项的系数为-40，
故答案为：-40 .
x 2 1014．（23-24 高三下·浙江丽水·开学考试）1+ 1+ x + 1+ +L+ 1 x+ ÷ ÷ 的展开式中 x 项系数为 ．
è 2 è 10
【答案】10
x
k
1
【解析】因为 1+ ÷ 的 x
1
项系数是Ck × =1，
è k k
2 10

所以1+ 1+ x + 1
x
+
x
÷ +L+

1+

÷ 的展开式中 x 项系数为：
è 2 è 10
1+ C1 1 + ...+ C1 12 10 =10 .2 10
故答案为：10．
四．解答题
15（2024 江苏徐州 ）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“展
开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为 22”.
问题：已知二项式 (1+ 3x)n ，若___________(填写条件前的序号)，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 (1+ 3x)n (1- x)5 中含 x2 项的系数.
【答案】（1）T6 =1458x
5
（2）55
【解析】若选条件①时，令 x =1，可得展开式所有项的系数和为 4n ，而二项式系数和为2n ，
4n
所以 = 2n = 64 ，解得 n = 6，
2n
若选条件②时，由前 3 0 1 2项的二项式系数和为 22 可得Cn + Cn + Cn = 22，解得 n = 6 .
ìC r ×3r C r+1 ×3r+16 6
（1）设展开式中系数最大的项为第 r +1项，则满足 íC r
，
6 ×3
r C r-1 r-16 ×3
ì 1 3
6 - r r +1 17 r 21即 í ，解得 ，又0 r 6, r N ,
3 1 4 4
r 7 - r
所以 r = 5，
5
即展开式中系数最大的项为T6 = C6 × (3x)
5 =1458x5 ，
（2）在 (1+ 3x)n (1- x)5 = (1+ 3x)6 (1- x)5 中，含 x2 项的系数为
C 2 + C 2 32 + C15 6 6 3 C
1
5 (-1) = 55 .
16．（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家 教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要
研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图 1 为杨辉三角的部分内容，
图 2 为杨辉三角的改写形式
(1)求图 2 中第 10 行的各数之和；
(2)从图 2 第 2 行开始，取每一行的第 3 个数一直取到第 15 行的第 3 个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8 :14？若存在，试求出这三个数；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)1024
(2)560
(3)存在， 45,120,210
0 1 2 10 10
【解析】（1）第 10 行的各数之和为：C10 + C10 + C10 +L+ C10 = 2 =1024 .
（2）杨辉三角中第 2 行到第 15 行各行第 3 个数之和为：
C2 2 2 2 2 3 22 + C3 + C4 + C5 +L+ C15 = C3 + C3 + C
2 2
4 + C5 +L+ C
2 = C315 16
16 15 14
= = 560 .
3 2 1
（3）存在，理由如下：
k-1 k k+1
设在第 n行存在连续三项Cn ,Cn ,Cn ，其中 n N* 且 n 2,k N* 且 k 2，
Ck -1n 3 C
k
= n
8
= k 3 k +1 8有 4 且 k ，化简得 = 且 = ，Cn 8 Cn 14 n - k +1 8 n - k 14
ì3n + 3 =11k
即 í22k 8n 14 0，解得
k = 3, n =10 ，
- + =
2
所以C10 = 45,C
3
10 =120,C
4
10 = 210，
故这三个数依次是 45,120,210 .
S S 1
17．（2023·江苏无锡· n+1 n三模）记 Sn 为数列 an 的前 n项和，已知 a1 =1， - =a .n+1 an 2
(1)求 an 的通项公式；
(2)记bn = 2
an ，数列 bn 的前 n项和为Tn ，求T2n-1 除以 3 的余数.
【答案】(1) an = n
(2)2
Sn+1 Sn 1
【解析】（1）因为 a1 =1， - =a ，n+1 an 2
ìS
所以 í n
ü 1
a
是首项为 1，公差为 2 的等差数列， n
Sn 1 1 n 1 n +1所以 = + - =a 2 2 ，n
n +1
即 Sn = an ①，2
n + 2
所以 Sn+1 = an+1 ②，2
n +1 n
由②－①可得 a = a ，
2 n 2 n+1
an+1 a即 = n
a
= ××× = 1 =1，
n +1 n 1
所以 an = n .
n
（2）由（1）可得bn = 2 ，
2 1- 2n
则Tn = = 2
n+1 - 2，
1- 2
2n
所以T2n-1 = 2 - 2 = 4
n - 2，
所以 4n - 2 = 3 +1 n - 2 = C0 3n + C1 3n-1n n + ×××+ Cn-1n 3+ Cnn 30 - 2
= 3 C0 3n-1 + C1 3n-2n n + + Cn-1n +1- 2
= 3 C0 3n-1 + C1 3n-2 + + Cn-1n n n -1
= 3 C0n 3n-1 + C1n 3n-2 + + Cn-1n -1 +2
所以T2n-1 除以 3 的余数为 2.
18．（2024·江苏扬州 ）（1）已知 1- 2x 2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1: 4，求 n的值.
（2）记 1- 2x 2n+1 = a 2 2n+1 *0 + a1x + a2x + ×××+ a2n+1x ， n N ，
①求 a0 + a1 + ×××+ a2n+1 ；
② k设 ak = -2 bk ，求和：1×b0 + 2 ×b1 + 3 ×b2 + ×××+ k +1 ×bk + ×××+ 2n + 2 ×b2n+1 .
【答案】（1） n = 4；（2）① 32n+1；② 2n + 3 × 22n .
【解析】（1）∵ 1- 2x 2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为 1：4，
C1
∴ 2n+1
1
= ，即 2 ，解得 n = 4 .
C 22n+1 4
2n - 7n - 4 = 0
（2 ① 2n+1） 由题意 1+ 2x = a0 + a1 x + ×××+ a 2n+12n+1 x ，
x =1 2n+1令 ，得 a0 + a1 + ×××+ a2n+1 = 3 ；
② k k k由题意 ak = C
k
2n+1 -2 ，又 a kk = C2n+1 -2 = -2 bk ，
∴ b = C kk 2n+1，
k
∴ k +1 bk = k +1 C k
A
2n+1 = kC
k k
2n+1 + C2n+1 = k 2n+1 + C
k
Ak 2n+1k
(2n +1)Ak-1
= 2nk-1 + C
k
2n+1 = 2n +1 C k-1 + C kA 2n 2n+1，k-1
∴1×b0 + 2 ×b1 + 3 ×b2 + ×××+ k +1 ×bk + ×××+ 2n + 2 ×b2n+1
=1×C02n+1 + 2 ×C
1 2
2n+1 + 3 ×C2n+1 + ×××+ k +1 ×k 2n+12n+1 + ×××+ 2n + 2 ×C2n+1
= C0 + C1 2 2n+1 0 1 2n2n+1 2n+1 + C2n+1 + ×× × + C2n+1 + 2n +1 C2n + C2n + ×× × + C2n
= 22n+1 + 2n +1 22n = 2n + 3 × 22n .
3a
19 2 n（2024·江苏 ）已知 fn (x) = (x + 3 ) ， n N* .x
（1）当 a =1时，求 f5 (x)展开式中的常数项；
（2）若二项式 fn (x)的展开式中含有 x7 的项，当 n取最小值时，展开式中含 x 的正整数次幂的项的系数之和为
10，求实数 a的值.
1 1
【答案】（1）90（2） a = - 或 .
3 5
3a
n

【解析】二项式 x
2 +
è x3 ÷
的展开式通项为

r
r 2 n-rT = C x 3a r r 2n-5rr+1 n x3 ÷ = Cn 3a x r = 0,1,2, × × ×, n ，è
（1 2）当 n = 5，a =1时， f x 的展开式的常数项为T3 = 9C5 = 90 .
r 2n - 7（2）令 2n - 5r = 7 ，则 = N ，所以 n的最小值为 6，
5
6
当 n = 6 3a 时，二项式 2 x +
è x3 ÷
的展开式通项为

T = C r 3a r 12-5rr+1 6 x r = 0,1,2, × × ×,6 ，
则展开式中含 x 的正整数次幂的项为T1，T2 ，T3，它们的系数之和为
C06 + C
1 2
6 3a + C6 3a
2 =135a2 +18a +1 =10 ，
1 1
即15a2 + 2a -1 = 0，解得 a = - 或 .3 5

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