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6.3 空间几何中的空间角与空间距离
考点一 线线角
【例 1-1】（2024 辽宁省）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，所有棱长都相等，D，E，F 分别是棱
AB，BC，B1C1 的中点，则异面直线DF 与 C1E 所成角的余弦值是（ ）
A 19
9 9 9
． B．± C．- D．
10 10 10 10
【答案】D
【解析】连接 BF ，因为在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，E，F 分别是棱BC，B1C1 的中点，
故C1F P BE,C1F = BE, ，即四边形C1FBE,为平行四边形，所以BF P C1E ，
则 DFB即为异面直线DF 与 C1E 所成角或其补角；
直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，所有棱长都相等，设其棱长为 2，连接EF , DE，
则EF = 2, EF P BB1, BB1 ^平面 ABC ，故EF ^ 平面 ABC, DE 平面 ABC ，
1
故EF ^ DE，D是棱 AB 的中点，故DE = AC =1，
2
则DF = EF 2 + DE2 = 5 ,而BF = EF 2 + BE2 = 5
DF 2 + BF 2 - DB2 5 + 5 -1 9
，又DB =1，故在VDBF 中， cos DFB = = = ,
2DF × BF 2 × 5 × 5 10
0, π 9由于异面直线所成角的范围 ÷，故异面直线DF 与 C1E 所成角的余弦值是 ，
è 2 10
故选：D.
【例 1-2】（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥 P-ABC 中， APB = 90°， CPA = CPB = 60°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PA = PB = PC = 2，点 D，E，F 满足PD = DB，PE = 2EA， AF = FC ，则直线 CE 与 DF 所成的角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【答案】D
uuur r uuur r uuur r r r r r r r 1
【解析】设PA = a ，PB = b，PC = c ，则 a ×b = 0 ， a ×c = b ×c = 2 2 = 2，2
uuur uuur uuur 2 uuur uuurCE = PE PC 2 r- = PA - PC = a - cr，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
DF PF PD 1 PA PC 1 PB 1 r ra r= - = + - = - b + c ，2 2 2
uuur uuur
CE DF 1
r 2 r r r r r r r2
所以 × = a
1
- a b 1 a 1 1× - ×c + b ×c - c = 0，
3 3 6 2 2
故直线 CE 与 DF 所成的角为90° .
故选：D
【例 1-3】（24-25 上海·单元测试）如图，在三棱锥P - ABC 中，VABC 为等边三角形，△APC 为等腰直角三角
形，PA = PC ，平面PAC ^平面 ABC，D 为 AB 的中点，则异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为 ．
2
【答案】
4
【解析】取 AC 的中点O，连接OP，OB，因为PA = PC ，所以 AC ^ OP．
又平面PAC ^平面 ABC ，平面PAC I平面 ABC = AC ，OP 平面PAC ，
所以OP ^平面 ABC ．又 AB = BC ，所以 AC ^ OB，
可得OA，OB，OP两两垂直，所以以O为坐标原点，
uuur uuur uuur
OA，OB ，OP 的方向分别为 x ， y ， z 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设 PA = 4 ，则 A 2 2,0,0 ，C -2 2,0,0 ，D 2, 6,0 ，P 0,0,2 2 ，所以
uuur uuurAC = -4 2,0,0 ，PD = 2, 6,-2 2 ，
uuur uuur uuur uuur
cos AC, PD uAuCur ×uPuDur -8 2所以 = = = -AC PD 4 2 4 4 ，
p ù
又异面直线所成角的取值范围为 0,
è 2 ú
，

2
所以异面直线 AC 与PD所成角的余弦值为 ．
4
2
故答案为： .
4
【一隅三反】
1．（23-24 安徽芜湖·期末）在三棱锥D - ABC 中， AD = 2，BC = 2 3 ，E，F 分别是 AB ，CD 的中点，
EF = 6 ，则直线 AD 与BC 所成的角的余弦值为（ ）
A 3 B 3- C 3 3． ． ． D．-
3 3 6 6
【答案】A
【解析】取 AC 的中点 N ，连接FN , EN ，
因为 E，F 分别是 AB ，CD 的中点，
所以 NF / / AD, EN / /BC ，故 FNE 或其补角为直线 AD 与BC 所成的角，
EN 1= BC 1= 3, FN = AD =1，
2 2
又EF = 6 ，
FN 2 2cos FNE + EN - EF
2 1+ 3 - 6 3
故 = = = - ，
2FN × EN 2 1 3 3
故直线 AD 与BC 3所成的角的余弦值为 .
3
故选：A
π
2（23-24 ·福建厦门·期末）在四面体 ABCD中，BC ^ BD， ABC = ABD = ，BA = BD = 2，BC = 3，则 AD
3
与BC 所成角的余弦值为（ ）
A 1． 2 B
3 3 6
． C． D．
3 2 3
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由题知，DA = BA - BD ，令q 为 DA与BC 所成夹角，
uuur uuur uuur uuur uuurD BA - BD × BC
则 cosq = uuur
A × BuuCur = uuur uuur uuur
DA × BC BA - BD × BC
uuur uuur uuur uuur
BA × BC - BD × BC
= uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur
BA + BD - 2 BA BD cos π × BC
3
uuur uuur π uuur uuurBA π× BC cos - BD × BC cos
= 3 2uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur
BA + BD - 2 BA BD cos π × BC
3
2 3 1
= 2 1=
1 2 .4 + 4 - 2 2 2 3
2
故选：A
1
3．（24-25 上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中， E, F 分别是DD1, DB 的中点，G在棱CD上，且CG = CD3 ，
H 是C1G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF ^ B1C ；
(2)求异面直线 EF 与C1G 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 30
15
【解析】（1）证明：如图，以 D 为原点，以射线 DA、DC、DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直
角坐标系D - xyz ，
则D 0,0,0 ，E 0,0,1 ，F 1,1,0 ，C 0,2,0 ，C1 0,2,2 ，
B 4 1 2,2,2 ，G 0, ,0÷，
è 3
uuur uuur
所以EF = 1,1,-1 ，B1C = -2,0,-2 ，
uuur uuur
所以EF × B1C = 1,1,-1 × -2,0,-2 =1 -2 +1 0 + -1 -2 = 0 ，
uuur uuur
所以EF ^ B1C ，故EF ^ B1C ．
uuuur uuuur
（2）因为C1G =

0,
2
- ,-2 C G 2 10÷，所以 1 = ．è 3 3
uuur uuur uuuur
因为 EF = 3 ，且EF ×C1G = 1,1, -1 ×

0,
2 2 4
- ,-2
3 ÷
= - + 2 = ，
è 3 3
4
uuur uuuur uuur uuuur
所以 cos EF ,C
EF ×C
1G = uuur uu1u
Gur 3 4 3 2 30= = × = =
EF C1G 3 2 10
3 2 30 30 15 ．
×
3
考点二 线面角
【例2-1】（23-24 黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥P - ABC 中， ACB = 90°, PA ^平面 ABC, AC = BC = PA，
M 是 PB的中点，则 AM 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）
A 2 6 3． B． C． D． 2
2 3 3
【答案】B
【解析】如图，取PC 中点D，连接 AD, DM ，令 AC = BC = PA = 2 .
因为PA ^面 ABC ， AC 面 ABC ，所以PA ^ AC ，
又因为 AC = PA = 2 ，所以 AD ^ PC ，
因为PA ^面 ABC ，BC 面 ABC ，所以PA ^ BC ，
又因为 ACB = 90°，所以BC ^ AC ，因为PA, AC 面PAC ，PAI AC = A，所以BC ^面PAC ，
因为 AD 面PAC ，所以BC ^ AD ，
因为PC, BC 面PCB，PC BC = C 所以 AD ^ 面PCB，所以∠AMD是 AM 与平面PBC 所成角，
2
因为PA ^ AC ，. AC = PA = 2 .，所以 AD = = 2 ,
2
由已证知，BC ^面PAC ，因为 AC 面PAC ，所以BC ^ AC ，所以 AB = AC 2 + BC 2 = 2 2 ，
因为PA ^面 ABC ， AB 面 ABC ，所以PA ^ AB ，所以PB = PA2 + AB2 = 4 + 8 = 2 3，所以
AM 1= PB = 3
2 ，
AD 2 6
由已证知， AD ^ 面PCB，又因为DM 面PCB，所以 AD ^ DM 所以 sin∠AMD = = = ，
AM 3 3
即 AM 6与平面PBC 所成角的正弦值是 .
3
故选：B．
【例 2-2】（23-24 江苏徐州·期中）已知平行四边形 ABCD中， AB = 3, AD = 5, BD = 4, E 是线段 AD 的中点.沿直
线BD将△BCD翻折成△BC D，使得平面BC D ^ 平面 ABD .
(1)求证：C D ^ 平面 ABD；
(2)求直线BD与平面BEC 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 3 41 .
41
【解析】（1）在YABCD中， AB = 3, AD = 5, BD = 4，
翻折后，C D = CD = AB = 3,C B = CB = AD = 5，则C D2 + BD2 = 25 = C B2，
于是C D ^ BD，而平面BC D ⊥平面 ABD，平面BC D I平面 ABD = BD，C D 平面BC D，
所以C D ^ 平面 ABD .
（2）由（1）知C D ^ 平面 ABD，且CD ^ BD ，显然直线DB,CD, DC 两两垂直，
如图，以 D 为原点，直线DB,CD, DC 分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系D - xyz ，
则D 0,0,0 ， A 4,3,0 ，B 4,0,0 ，C 0,0,3 ，
3 uuur
由 E 是线段 AD 的中点，得E(2, ,0)，BD = -4,0,0 ，
2
uuur 3 uuuur
在平面BEC 中，BE = (-2, ,0)，BC = -4,0,3 ，
2
ìuuur r 3
r
BEC
BE × n = -2x + y = 0 r
设平面 的法向量为 n = (x, y, z) ，则 íuuuur 2 ，令 x = 3，得 n = (3, 4, 4)，
BC × n
r
= -4x + 3z = 0
r uuuruuur n × BD
设直线BD与平面BEC 所成的角为q ，则 sinq = cosnn
r, BDn = r uuur
3 41
= ，
n ·BD 41
3 41
以直线BD与平面BEC 所成角的正弦值为 .
41
【一隅三反】
1．（22-23 云南昭通·期末）如图所示，BD ^平面 ABC ， AE∥BD ， AB = BC = CA = BD = 2AE = 2，F 为CD
的中点.
(1)求证：EF / / 平面 ABC ；
(2)求直线CD 与平面 ABD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 6
4
【解析】（1）证明：取BC 的中点G ，连接 AG, FG，如图 5 所示：
因为F ,G 分别为DC, BC
1
的中点，所以 FG∥BD 且FG = BD .
2
1
又 AE∥BD ，且 AE = BD，所以 AE∥FG 且 AE = FG ，
2
所以四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG,
因为 AG 平面 ABC ，EF 平面 ABC ，所以EF / / 平面 ABC
（2）如图 6，取 AB 的中点 H ，连接DH ,CH ，
∵ AB = BC = 2，∴ AB ^ CH ,
∵ BD ^平面 ABC ，∴ BD ^ CH ，
∵ AB I BD = B，∴CH ^平面 ABD .
则直线CD 与平面 ABD所成角为 CDH ，
在RtVBCD中，∵ BC = BD = 2，
∴ CD = BC 2 + BD2 = 2 2 ，
在等边VABC 中，∵ AC = BC = AB = 2，∴ CH = 3 ，
∴ sin CDH CH 3 6 = = = ，
CD 2 2 4
6
故直线CD 与平面 ABD所成角的正弦值为 .
4
2．（2024 贵州贵阳 ）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为菱形，PD ^平面 ABCD, E 为PD的中点.
(1)设平面 ABE 与直线PC 相交于点F ，求证： EF P 平面PAB；
(2)若 AB = 2 3, DAB = 60o , PD = 2 6 ，求直线 BE 与平面PAD 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
π
(2)
4
【解析】（1）因为底面 ABCD为菱形，所以 AB P CD ，
因为 AB 平面 ABCD，且CD 平面 ABCD，
所以 AB P 平面PCD；
因为 AB 平面 ABEF ，且平面 ABEF 平面PCD = EF ，
所以 AB P EF ；
因为 AB 平面 ABP ，且EF 平面 ABP ，
所以 EF P 平面 ABP .
（2）过 B 作BM ^ AD 交 AD 于M ，连接ME ，
QPD ^ 平面 ABCD, BM 平面 ABCD，
\PD ^ BM ，
又QBM ^ AD, AD PD = D，AD, PD 平面PAD ，
\BM ^ 平面PAD ，
\ BEM 是直线 BE 与平面PAD 所成的角，
Q底面 ABCD为菱形，且 DAB = 60o，
\VABD 为等边三角形，且 AB = 2 3, BM ^ AD ，
\BM = 3，
QPD ^ 平面 ABCD, AD 平面 ABCD，
\PD ^ AD ，且 AD = AB = 2 3, EM 是VPAD的中位线，
\ 1在Rt△ABC 中，EM = PA = 3，
2
\ BM EM 3, BME π在Rt△BME 中， = = = ，
2
\ BEM π π= ，即直线 BE 与平面PAD 所成的角为 .
4 4
3 ．（23-24 ·广东·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧棱 AA1 ^ 底面 ABC ，底面VABC 是正三角形，
AB = AA 1 11 = 3，点E 、F 分别在 AB 、 A1C1上，且 AE = AB ，C1F = AC ．3 3 1 1
(1)求证： A1E // 平面BCF ；
(2)求直线BB1与平面BCF 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 39
13
1
【解析】（1）在线段BC 上取一点G ，使CG = BC ，连结EG 、 FG ，
3
1 BE BG 2
在VABC
1
中，因为 AE = AB ，CG = BC ，所以 = = ，
3 3 AB BC 3
2
所以EG∥ AC 且EG = AC ，
3
1
因为C1F = AC3 1 1
， A1C1 //AC ，且 A1C1 = AC ，
所以 A1F∥AC A F
2
，且 1 = AC ，3
所以EG P A1F 且EG = A1F ，
故四边形 A1FGE 为平行四边形，所以 A1E P FG ，
又 A1E 平面BCF ， FG 平面BCF ， 所以 A1E P平面BCF ．
（2）以 B 为坐标原点，Bx，BC ，BB1所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立如图空间直角坐标系，
因为底面DABC 是正三角形， AB = AA1 = 3，所以点B 0,0,0 ，点C 0,3,0 ，
3 3 3
点 A , ,0÷÷，点B1 0,0,3 ，点C1 0,3,3 ，
è 2 2
uuuur 1 uuur
因为C1F = CA，所以点F
3 5
, ,3÷÷， 3 è 2 2
uuur uuur
BF 3 , 5
uuur
则BC = 0,3,0 ， = ,3÷÷ ，BB1 = 0,0,3 ，
è 2 2
r
设平面BCF 的一个法向量为 n = x, y, z ．
r uuurìn × BC = 3y = 0

由 í r uuur 3 5 ，令 z = - 3 ，
n × BF = x + y + 3z = 0
2 2
r
得平面BCF 的一个法向量为 n = 6,0, - 3 ，
设直线BB1与平面BCF 所成角的大小为q ，
uuur r 0,0,3 × 6,0, - 3
则 sinq
B
= uuBur1 ×n 13= = ，
BB nr 3 39 131
2

cosq 1 sin2q 1 13
2 39
所以 = - = - 13 ÷÷
= ，
è 13
2 39
所以直线BB1与平面BCF 所成角的余弦值为 13
4．（23-24 安徽宣城·期末）如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD，且 AD P BC, BAD = 90o , BC =1，
AP = AB = 3, ADC = 60o , M , N 分别为棱PC, PB 的中点.
(1)求证：平面PBC ^平面 ADMN ；
(2)求直线BD与平面 ADMN 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 42
14
【解析】（1）QPA ^ 平面 ABCD, AD 平面 ABCD，则PA ^ AD，
由 BAD = 90o ，则 AD ^ AB；
又 AB PA = A, AB, PA 平面PAB，
\ AD ^平面PAB, PB 平面PAB，
\ AD ^ PB，
Q AP = AB，且 N 为 PB的中点，
\PB ^ AN ，
Q AN AD = A, AN , AD 平面 ADMN ，
\PB ^平面 ADMN ，又PB 平面PBC ，
所以平面PBC ^平面 ADMN ；
（2）解法一：如图，连结DN ，由（1）知PB ^ 平面 ADMN ，
所以，DN 为直线BD在平面 ADMN 内的射影，且DN ^ BN ，
所以， BDN 即为直线BD与平面 ADMN 所成的角.
在直角梯形 ABCD内，过C 作CH ^ AD于 H ，则四边形 ABCH 为矩形，
CH 3
CH = AB = 3, AH = BC =1，在Rt△CDH 中，DH = = =1，
tan ADC 3
所以， AD = AH + DH = 2, BD = AD2 + AB2 = 7 ，
而PB 1 6= 3+ 3 = 6 ，在Rt△BDN 中， BND = 90o , BN = PB = , BD = 7 ，
2 2
所以 sin BDN BN 6 42= = = ，
BD 2 7 14
综上，直线BD ADMN 42与平面 所成角的正弦值为 .
14
解法二：在直角梯形 ABCD内，过C 作CH ^ AD于 H ，则四边形 ABCH 为矩形，
CH 3
CH = AB = 3, AH = BC =1，在Rt△CDH 中，DH = = =1，
tan ADC 3
所以， AD = AH + DH = 2 ，
以A 点为原点， AB AD AP 分别为 x y z 轴，建系如图，
3 3
则 A 0,0,0 , D 0,2,0 , N ,0,2 2 ÷÷ , B 3,0,0 , P 0,0, 3 .è
uuur uuur
由（1）知，PB ^ 平面 ADMN ，平面 ADMN 法向量可取为PB = 3,0, - 3 , BD = - 3,2,0 ，
uuur uuur
PB × BD 3 - 3 + 0 2 + - 3 0
设直线BD与平面 ADMN 所成角为q ，则 sinq = uuur uuur 42= = ，
PB BD 3 + 0 + 3 3+ 4 + 0 14
42
综上，直线BD与平面 ADMN 所成角的正弦值为 .
14
考点三 二面角
【例 3-1】（23-24 吉林白山 ）如图，在棱长为 2 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为C1D1的中点.
(1)求证：平面 AB1C ^平面BDD1B1；
(2)求平面 AB1C 与平面 ACE 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3
3
【解析】（1）因为BB1 ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以BB1 ^ AC ，
又四边形 ABCD为正方形，所以BD ^ AC ，
又BB1 BD = B，BB1, BD 平面BDD1B1，所以 AC ^平面BDD1B1，
又 AC 平面 AB1C ，所以平面 AB1C ^平面BDD1B1；
（2）如图，连接 A1C1，取 A1D1的中点F ，连接 EF 交 B1D1于点O1，连接 AF ，
设 AC 交BD于点O，连接OO1 ，B1O，
因为E 为C1D1的中点，所以EF / / A1C1，
因为 AA1 / /CC1， AA1 = CC1，所以四边形 ACC1A1 是平行四边形，所以 AC / / A1C1，
所以EF // AC ，所以平面 ACEF 即为平面 ACE ，且O1为 EF 中点，
由（1）知 AC ^平面BDD1B1，又OO1 平面BDD1B1，所以 AC ^ OO1，
又 AB1 = B1C ，O为 AC 的中点，所以B1O ^ AC ，
所以 B1OO1为平面 AB1C 与平面 ACE 的夹角，
由VB
2 2
1BO 为直角三角形，可得OB1 = 2 2 +2 = 2 3，
O1B
2
1 = 4-1= 3
2
，则OO1 = 2 2 + 2 -1 = 3，
1
即△B
OB1
1OO1为等腰三角形，所以 cos B1OO 2
3
1 = =
，
OO1 3
即平面 AB1C 与平面 ACE 3夹角的余弦值为 .
3
【例 3-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是正方形，
AD = PD = 2, PDC =120o，PA = 2 2 ，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段 AB 上.
1
(1)若 AF = ，求证：CD ^ EF ；
2
(2)若F 是 AB 上靠近点 B 的三等分点，求平面DEF 与平面DPA所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 .
4
【解析】（1）在正方形 ABCD中， AD = CD ，又 AD = PD = 2,\PD = CD = 2
在VPCD 中，点E 为线段PC 的中点，DE ^ PC, DE 平分 PDC，
在Rt△CDE 中，DE = CDcos60o =1，
1
过E 作EH ^ CD 交CD 于 H ，连接FH ，则DH = DEcos60o = ，
2
在正方形 ABCD中， AF
1
= ,\四边形 AFHD 是矩形，
2
\CD ^ FH ，又CD ^ EH , EH FH = H ，EH , FH 平面EFH ，
\ CD ^平面EFH ，又EF 平面EFH ,\CD ^ EF .
（2）Q AD = PD = 2, PA = 2 2,\ AD ^ PD ，
在正方形 ABCD中， AD ^ CD ，
而CD PD = D，CD, PD 平面PCD，
所以 AD ^ 平面PCD，
又 AD 平面 ABCD,\平面 ABCD ^平面PCD，
过D作DG ^ DC 交PC 于点G ，
由平面 ABCD ^平面PCD，平面 ABCD 平面PCD = DC ，DG 平面PCD，
得，DG ^ 平面 ABCD，
故 DA, DC, DG 两两互相垂直，以D为原点，以 DA, DC, DG 所在直线分别为 x, y, z轴，
建立如图所示空间直角坐标系O- xyz，
则D 0,0,0 , A 2,0,0 , B 2,2,0 ,C 0,2,0 , P 0,-1, 3 ，
o 1
由（1）知：DH = DEcos60 = , EH = DEsin60o
3 , E 0, 1 , 3= \
2 2 2 2 ÷÷
，
è
2 4 4
F 是 AB 上靠近点 B 的三等分点，\ AF = AB = ,\F 2, ,03 3 3 ÷，è
uuur uuur
故DE = 0,
1 , 3 ÷÷ , DF
4
= 2, ,0÷，
è 2 2 è 3
ur
设平面DEF 的法向量为 n1 = x1, y1, z1 ，
ìur uuur
n DE 1 y 3 1 × = 2 1
+ z
2 1
= 0
故 íur uuur ，取 x1 = 2，故 y1 = -3, z1 = 3
n
4
1
× DF = 2x1 + y3 1
= 0
ur
所以平面DEF 的一个法向量 n1 = 2, -3, 3 ，
uur
同理：设平面 ADP的法向量 n2 = x2 , y2 , z2 ，
uur uuur
ì n2 × DP = -yuur uuur 2
+ 3z2 = 0
í ，取 z2 =1，故 y2 = 3, x2 = 0，
n2 × DA = 2x2 = 0
uur
平面 ADP的一个法向量 n2 = 0, 3,1 ，
设平面DEF 与平面DPA所成的锐二面角的平面角为q ，
ur uur
则 cosq
n
= ur1 ×unur2 3=
n 41 n2
3
故平面DEF 与平面DPA所成的锐二面角的余弦值为 .
4
【一隅三反】
1．（23-24·河北邢台）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ．
(1)证明：B1D1 ^ AC1 ．
(2)求二面角B1 - AC - D的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 3- ．
3
【解析】（1）连接 A1C1．
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 ^ 平面 A1B1C1D1，
B1D1 平面 A1B1C1D1，所以 AA1 ^ B1D1．
在正方形 A1B1C1D1中，B1D1 ^ A1C1．
因为 A1C1 I AA1 = A1 ， A1C1、AA1 平面 ACC1A1 ，
所以B1D1 ^平面 ACC1A1 ．
因为 AC1 平面 ACC1A1 ，所以B1D1 ^ AC1 ；
（2）取 AC 的中点 M，连接DM ，MB1，则DM ^ AC ．
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，
因为BB1 ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，所以BB1 ^ AC ．
又因为BD ^ AC ，BB1 BD = B，BB1、BD 平面BDD1B1，
所以 AC ^平面BDD1B1，MB1 平面BDD1B1，则 AC ^ MB1 ．
又因为DM ^ AC ，所以 DMB1为二面角B1 - AC - D的平面角．
连接DB1，设正方体的棱长为 4．在VDMB1中，
1
MB1 = BB
2
1 + BM
2 = 2 6 ，DM = CD2 + AD2 = 2 2 ，
2
DB1 = AB
2 + BC2 + CC21 = 4 3．
2 2 2
由余弦定理得cos DMB
DM + MB1 - DB= 1 31 = - ．2DM × MB1 3
故二面角B1 - AC - D
3
的余弦值为- ．
3
π
2．（2024 四川凉山 ）如图，四棱锥P- ABCD的底面是边长为 3 的菱形， ABC = ， PB = PD .
3
(1)证明：平面PBD ^平面PAC ；
(2)若PA = 2 ，PC = 7 ，求二面角P - BC - A的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【解析】（1）设 AC I BD = O ，连接PO，因为底面 ABCD为菱形，
所以O为BD的中点，BD ^ AC ，
又 PB = PD，所以BD ^ PO，
AC, PO 平面PAC ， AC I PO = O ，
所以BD ^平面PAC .又BD 平面 PBD ，
所以平面PAC ^平面 PBD .
（2）在平面PAC 中过点 P 作PH ^ AC 交 AC 于点 H ，
因为BD ^平面PAC ，又PH 平面PAC ，
所以BD ^ PH ，
又 AC I BD = O ， AC, BD 平面 ABCD，所以PH ^平面 ABCD，
过点 H 作HE ^ BC 交BC 于点E ，连接PE，
又PH ^平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以PH ^ BC ，
又PH I HE = H ，PH , HE 平面PHE ，所以BC ^平面PHE ，
又PE 平面PHE ，所以BC ^ PE ，
所以 PEH 即为二面角P - BC - A的平面角，
2 2
在△PAC 2 + 3 - 7中，
2
cos 1 PAH = = ,
2 2 3 2
因为PH ^ AC ，所以PH = PAsin PAH = 3, AH = PAcos PAH = 1，
因为 AB = BC = 3, ABC
π
= ,所以 AC = 3,CH = 2，
3
在△CEH 中，EH = 2sin ACB 3= 2 = 3 ，
2
又PH ^平面 ABCD，EH 平面 ABCD，所以PH ^ EH ，
PH 3
所以 tan PEH = = = 1，
EH 3
所以二面角P - BC - A的正切值为1.
3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥P- ABCD中，BC / / AD ， AB = BC =1， AD = 3 ,点E 在 AD 上，且
PE ^ AD，PE = DE = 2 ．
(1)若F 为线段PE中点，求证：BF // 平面PCD．
(2)若 AB ^ 平面PAD ，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 30
30
【解析】（1）取PD的中点为S ，接 SF , SC ，则 SF //ED, SF
1
= ED =1，
2
而ED//BC, ED = 2BC ，故 SF //BC, SF = BC ，故四边形 SFBC 为平行四边形，
故BF //SC ，而BF 平面PCD， SC 平面PCD，
所以BF // 平面PCD .
（2）
因为 ED = 2，故 AE =1，故 AE //BC, AE=BC ，
故四边形 AECB为平行四边形，故CE //AB ，所以CE ^平面PAD ，
而PE, ED 平面PAD ，故CE ^ PE,CE ^ ED ，而PE ^ ED，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A 0, -1,0 , B 1, -1,0 ,C 1,0,0 , D 0,2,0 , P 0,0,2 ，
uuur uuur uuur uuur
则PA = 0, -1, -2 , PB = 1,-1,-2 , PC = 1,0,-2 , PD = 0,2,-2 ,
r
设平面PAB的法向量为m = x, y, z ，
r uuur
ìm × PA = 0 ì-y - 2z = 0 r
则由 í r uuur 可得 í m = 0, -2,1
m × PB = 0 x - y - 2z = 0
，取 ，
r
设平面PCD的法向量为 n = a,b,c ，
r uuurì n × PC = 0 ìa - 2b = 0 r
则由 í r uuur 可得 í ，取 n = 2,1,1 ，
n × PD = 0 2b - 2c = 0
故 cos mr , nr -1 30= = - ，
5 6 30
故平面PAB 30与平面PCD夹角的余弦值为
30
4 ．（2024·全国·高考真题）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 ADEF
均为等腰梯形，EF / / AD, BC / / AD ， AD = 4, AB = BC = EF = 2，ED = 10, FB = 2 3，M 为 AD 的中点．
(1)证明：BM / /平面CDE ；
(2)求二面角F - BM - E 的正弦值．
【答案】(1)证明见详解；
(2) 4 3
13
【解析】（1）因为BC //AD, EF = 2, AD = 4, M 为 AD 的中点，所以BC //MD, BC = MD ，
四边形BCDM 为平行四边形，所以BM //CD ，又因为 BM 平面CDE ，
CD 平面CDE ，所以 BM // 平面CDE ；
（2）如图所示，作BO ^ AD交 AD 于O，连接OF ，
因为四边形 ABCD为等腰梯形，BC //AD, AD = 4, AB = BC = 2，所以CD = 2，
结合（1）BCDM 为平行四边形，可得BM = CD = 2，又 AM = 2，
所以VABM 为等边三角形，O为 AM 中点，所以OB = 3 ，
又因为四边形 ADEF 为等腰梯形，M 为 AD 中点，所以EF = MD, EF //MD ，
四边形 EFMD为平行四边形，FM = ED = AF ，
所以△AFM 为等腰三角形，VABM 与△AFM 底边上中点O重合，OF ^ AM ，OF = AF 2 - AO2 = 3，
因为OB2 + OF 2 = BF 2 ，所以OB ^ OF ，所以OB,OD,OF 互相垂直，
以OB方向为 x 轴，OD 方向为 y 轴，OF 方向为 z 轴，建立O- xyz空间直角坐标系，
uuuurF 0,0,3 ，B 3,0,0 , M 0,1,0 , E 0,2,3 ，BM = uuur- 3,1,0 , BF = - 3,0,3 ，
uuur
BE = - 3,2,3 r，设平面BFM 的法向量为m = x1, y1, z1 ，
r
平面EMB的法向量为 n = x2 , y2 , z2 ，
r uuuur
ìm × BM = 0 ì - 3x1 + y1 = 0 r
则 í r uuur ，即 í ，令 x1 = 3，得 y1 = 3, z1 =1，即m = 3,3,1 ，
m × BF = 0 - 3x1 + 3z1 = 0
ìnr
uuuur
× BM = 0 ì- 3x + y = 0
则 í r uuur
2 2
，即 í ，令 x = 3 ，得 y2 = 3, z2 = -1，
n × BE = 0 - 3x2 + 2y
2
2 + 3z2 = 0
r r mr r× n 11 11
即 n
r
= 3,3, -1 ， cos m, n = r r = =m × n 13 × 13 13 ，则 sin m
r , nr 4 3= ，
13
故二面角F - BM - E 4 3的正弦值为 .
13
考点四 点面距
【例 4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 是边长为 2 的等边三角形，
AA1 = A1C .
(1)证明： A1C1 ^ A1B ；
(2)若三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 3，且直线 AA1与平面 ABC 所成角为 60°，求点 A1到平面BCC1B1的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 15
5
【解析】（1）如图，取 AC 的中点O，连接OB，OA1，因为VABC 是等边三角形，所以 AC ^ OB，
又 AA1 = A1C ，所以 AC ^ OA1，且OB IOA1 = O，OB 平面 A1OB ，
OA1 平面 A1OB ，所以 AC ^平面 A1OB ，
因为 A1B 平面 A1OB ，所以 AC ^ A1B，
又 A1C1 //AC ，所以 A1C1 ^ A1B ；
（2）在平面 A1OB 中，作 A1D ^ OB，垂足为 D，
由（1）知 AC ^平面 A1OB ， A1D 平面 A1OB ，所以 A1D ^ AC ，
而OB I AC = O ，OB 平面 ABC， AC 平面 ABC，
所以 A1D ^平面 ABC，由O为 AC 中点，所以OA ^ OB，
所以可过点 O 作 Oz 轴平行于 A1D，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz，
因为三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 3，
1 3
所以 2 2 A1D = 3，故 A1D = 3 ，2 2
则B 0, 3,0 ，C -1,0,0 ， A 1,0,0 ，设 A1 0, t, 3 ， t 0，
uuur
所以 AA1 = -1, t, 3
r
平面 ABC 的一个法向量为 n = 0,0,1 ，
uuur
所以 sin 60o = cos AA1, n
r 3 3
= = ，解得 t = 0，
t 2 + 4 2
uuur
此时 A1 0,0, 3 ， AA1 = -1,0, 3 ，
uuuur uuur uuur所以CC1 = AA1 = -1,0, 3 ，CB = 1, 3,0 ，
r
设平面BCC1B1的法向量为m = x, y, z ，
uuuur
ì m
r
×CC1 = 0 ì -x + 3z = 0
则 í r uuur ，即 í ，
m ×CB = 0 x + 3y = 0
令 x = 3 ，解得 y
r
= -1， z =1，所以m = 3, -1,1 ，
uuur
又 A1C = -1,0,- 3 ，
uuur
AC mr - 3 - 3A 1 × 2 15故点 1到平面BCC1B1的距离为 d = r = = .m 3+1+1 5
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1 = 3 ， AB ^ AC ，D为 A1C1的中点.
(1)证明： AB1 ^平面 A1BD ；
(2)若二面角 A - BC - D 2的余弦值为 ，求点A 到平面BCD的距离.
4
【答案】(1)证明见解析
(2) 6点A 到平面BCD的距离为 .
2
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知 AA1 ^ AB， AA1 ^ AC ，四边形 AA1B1B为平行四边形，
又因为 AB = AA1，所以四边形 AA1B1B为正方形，所以 AB1 ^ A1B ，
因为 AA1 ^ AC ， AB ^ AC ， AA1 I AB = A，
所以 AC ^平面 AA1B1B，
所以 AC ^ AB1，
因为 A1D / / AC ，
所以 AB1 ^ A1D，
又因为 A1B A1D = A1，A1B，A1D 平面 A1BD
所以 AB1 ^平面 A1BD .
（2）以A 为原点， AB ， AC ， AA1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AC = 2a (a > 0)，则 A 0,0,0 ，B 3,0,0 ，C 0,2a,0 ，D 0, a, 3 ，
uuur uuur uuur
所以 AC = 0,2a,0 ，BC = - 3,2a,0 ，CD = 0, -a, 3 ，
r
所以平面 ABC 的一个法向量为m = 0,0,1 ，
r
设平面BCD的一个法向量为 n = x, y, z ，
r uuur
ìn × BC = 0 ì- 3x + 2ay = 0
则 í r uuur ，所以 í ，
n ×CD = 0 -ay + 3z = 0
y 3取 x = 3 ，则 = z 3， = ，2a 2
r 3 3
所以 n = 3, ,2a 2 ÷÷
，
è
设二面角 A - BC - D 的大小为q ，
mr r
3
r r × ncosq = cosm × n 2= r r = 2 =则 m n 2 2 4 ，解得 a =1，
1 ( 3)2 3+
3
÷ +
è 2a
÷
è 2
uuur r 3 3
所以 AC = 0,2,0 ，平面BCD的一个法向量 n = 3, , ÷÷，
è 2 2
设点A 到平面BCD的距离为d ，
uuur
AC nr×
d 3 6= r = =则 n
3 9 3
2 ，
+ +
4 4
6
所以点A 到平面BCD的距离为 .
2
2．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1， AF = 3 ，
点 G 是线段 BF 的中点．
(1)证明：EG∥平面 DAF；
(2)若直线 DF 与圆柱底面所成角为 45°，求点 G 到平面 DEF 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 15
10
【解析】（1）取 AF 中点M ，连接DM ,GM ，如图所示：
G 为 BF 中点，则GM //AB，又 AB//DE，得GM //DE ，
1 1
由GM = AB，DE = AB，得GM = DE2 ，2
所以四边形DEGM 为平行四边形，DM //EG，
又DM 平面DAF ，EG 平面DAF ，所以 EG// 平面DAF .
（2）因为OB =1， AF = 3 ， AFB = 90o ，所以BF = AB2 - AF 2 = 4 - 3 =1.
因为DA ^平面 ABF ，且直线DF 与圆柱底面所成角为 45o ，
所以 AFD = 45o，则有 AD = 3 .
如图，以F 为原点，FB, FA分别为 x, y轴，过F 垂直于底面的直线FN 为 z 轴，建立空间直角坐标系F - xyz ，

则有F 0,0,0 , A 0, 3,0 , B 1,0,0 ,G 1 ,0,0 ÷ , D 0, 3, 3 ,C 1,0, 3 ，E 1 ,
3 , 3
2 2 2 ÷÷
，
è è
uuur uuur 1 3 FD = 0, 3, 3 , FE = , , 3 ÷÷，
è 2 2
uuur
ìFD × nr = 3y + 3z = 0
r
设平面DEF 的一个法向量为 n = x, y, z ，则 íuuur
FE nr 1
，
× = x
3
+ y + 3z = 0
2 2
令 y
r
=1，有 x = 3, z = -1，得 n = 3,1, -1 ，
uuur
EG 3= 0, - ,- 32 ÷÷
，
è
设点G 到平面DEF 的距离为d ，
uuur 3
d EG n
r
× - + 3 15
\ = r = 2 = .n 5 10
15
故点G 到平面DEF 的距离 .
10
考点五 点线距和线线距
【例 5-1】（23-24 浙江·期中）空间点 A -1,1,1 , B -1,2,3 ,C 1,2,4 ，则点A 到直线BC 的距离 d =（ ）
A 2 5 B 5 C 21． ． ． D 105．
5 5 5
【答案】D
uuur uuur
【解析】由题意得 AB = 0,1,2 , BC = 2,0,1 ，
uuur uuur uuur uuur
所以 cos AB, BC u
AB ×
= uur uBuCur 2 2= =
AB BC 5 5 5 ，
2
2 21
所以 sin ABC = 1- ÷ = ，
è 5 5
uuur
所以点 A 到直线 BC 的距离 d = AB sin ABC 5 21 105= = .
5 5
故选：D.
π
【例 5-2】．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD， AB / /CD ， ABC = ，
2
AB = 2 ，BC = CD = 4，M 70为棱PD的中点，直线CM 与 AD 所成角的余弦值为 ．求：
70
(1)点M 到直线BC 的距离；
(2)二面角P- BC -M 的余弦值．
【答案】(1) 10
(2) 2 5 ．
5
【解析】（1）取CD 的中点Q，连接 AQ ，
因为 AB = 2 ，CD = 4，所以 AB = CD，
又 AB / /CD ，所以四边形 ABCQ为平行四边形，
又 ABC
π
= ，
2
故 AQ ⊥ AB ，
因为PA ^平面 ABCD， AQ, AB 平面 ABCD，
所以PA ^ AQ, PA ^ AB，
如图，以 A 为坐标原点， AQ, AB, AP所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，
设P 0,0,2a ，则B 0,2,0 ,C 4,2,0 , M 2,-1,a , D 4,-2,0 ，
uuuur uuur
于是MC = 2,3, -a , AD = 4,-2,0 ．
设MC, AD所成的角为q ，
uuuur uuur
MC × AD 2,3, -a × 4, -2,0
则 cosq = uuuur uuur
2
= = ，
MC AD 4 + 9 + a2 16 + 4 13 + a2 20
2 70
故 = ，解得 a =1，
13 + a2 20 70
设点M 到直线BC 的距离为d ，
uuuur uuur uuuur uuur 2, -3,1 × 4,0,0
则 cosBM , BC
BM uuuur ×uBuCur 8 14= = = =
BM BC 4 4 + 9 +1 4 14 7 ，
uuuur uuur 2 14
所以 d = BM sinBM , BC = 14 1- 7 ÷÷
= 10 ．
è
所以点M 到直线BC 的距离为 10 ．
uuur uuur uuur uuuur
（2）依题意，PB = 0,2, -2 , PC = 4,2,-2 , BC = 4,0,0 , MC = 2,3,-1 ．
r
设平面PBC 的一个法向量 n = x, y, z ，
uuur
ì PB ×n
r
= 0,2,-2 × x, y, z = 2y - 2z = 0
则 íuuur r ，
PC ×n = 4,2,-2 × x, y, z = 4x + 2y - 2z = 0
r
解得 x = 0，令 y =1，得 z =1，所以 n = 0,1,1 ，
r
设平面BCM 的一个法向量为m = a,b,c ，
uuur
ìBC m
r
× = 4,0,0 × a,b,c = 4a = 0
则 íuuuur ，
MC
r
× m = 2,3, -1 × a,b,c = 2a + 3b - c = 0
r
解得 a = 0，令b =1，得 c = 3，则m = 0,1,3 ．
设二面角P- BC -M 的平面角为q ，由图知q 为锐角，
mr nrr r × 0,1,3 × 0,1,1 cosq cosm, n 4 2 5则 = =
mr r
= = = ，
× n 1+ 9 1+1 2 10 5
P- BC -M 2 5所以二面角 的余弦值为 ．
5
【一隅三反】
uuuur uuur uuur uuur
1（2024·广西来宾·一模）棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E，F 满足D1E = 2ED，BF = 2FB1 ，则点 E
到直线 FC1 的距离为（ ）
A 3 35 B 2 35． ．
5 5
C 3 7 2 7． D．
5 5
【答案】A
【解析】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得E 0,0,1 ，F 3,3,2 ，C1 0,3,3 ，
uuur uuuur
uuur
uuuur
EF = 3,3,1 ，FC1 = -3,0,1 ，设向量EF 与FC1 的夹角为q ，
uuur uuuur
cosq EuuFur ×uFuCuur1 -9 +1 8\ = = = -
EF FC 19 10 190 ，1
uuur
所以点E 到直线 FC1 的距离为 d = EF ×sinq 19 1
64 3 35
= - = .
190 5
故选：A.
2．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥P- ABCD中，PD ^平面 ABCD， AD ^ DC ， AB ∥ DC ，
AB 1= AD = CD = 2，PD = 2，M 为棱PC 的中点.
2
(1)证明： BM ∥平面PAD ；
(2)求平面 PDM 和平面DMB夹角的余弦值；
(3)求 A 点到直线PC 的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2) 6
6
(3) 6 5
5
【解析】（1）取PD中点 N ，连接 AN ，MN ．
1
在VPCD 中，M ， N 分别为PC ，PD的中点，则MN ∥DC ，MN = DC ，
2
1
因为 AB ∥ DC ， AB = DC ，则 AB∥MN ， AB = MN ，
2
可知四边形 ABMN 为平行四边形，则BM∥AN ，
且 BM 平面PAD ， AN 平面PAD ，所以 BM ∥平面 PAD．
（2）因为PD ^平面 ABCD， AD ，DC 平面 ABCD，
则PD ^ AD ，PD ^ DC ，且 AD ^ DC ，
以D为坐标原点， DA, DC, DP所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系D - xyz ，如图所示，
取 CD 的中点E ，连接 BE，
1
因为 AB ∥ DC ， AB = DC ，则 AB∥DE ， AB = DE ，
2
又因为 AD ^ DC ，所以四边形 ABED 为矩形，
且 AB = AD = 2，可知四边形 ABED 是以边长为 2 的正方形，
则D(0,0,0) ， A(2,0,0)，B(2, 2,0) ，C(0,4,0)，P(0,0, 2)，M 0,2,1 ，
uuur uuuur uuur
可得DA = (2,0,0)，DM = 0,2,1 ，DB = (2, 2,0)，
r uuuur
r ìn × DM = 2y + z = 0
设平面 BDM 的法向量为 n = (x, y, z) ，所以 í r uuur ，
n × DB = 2x + 2y = 0
r
令 y = -1，则 x =1， z = 2 ．所以平面 BDM 的一个法向量为 n = (1, -1,2)，
uuur
易知 DA为平面 PDM 的一个法向量，
r uuur r
uuur
所以 cos n, DA
n ×uD= r uu
Ar 2 6= =
n DA 6 2 6 ，
6
所以平面 PDM 和平面DMB夹角的余弦值为 .
6
uuur uuur
（3）由（2）可知：PA = 2,0, -2 , PC = 0,4, -2 ，
uuur uuur uuur uuur
则 cos PA, PC u
PuurA × PuuCur 4 10= = =
PA PC 2 2 2 5 10 ，×
即 cos 10 APC = > 0，可知 APC 为锐角，
10
3 10
则 sin APC = 1- cos2 APC = ，
10
uuur
所以 A 点到直线PC 的距离为 PA sin APC 2 2 3 10 6 5= = .
10 5
考点六 动点问题
【例 6-1】（2023·广东韶关·一模）已知矩形 ABCD中， AB = 4 ，BC = 2，E 是CD 的中点，如图所示，沿 BE 将
VBCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ^平面 ABCD .
(1)证明：BF ^ AE ；
uuur uuur
(2)若DP = lDB(0 < l <1) 是否存在l ，使得PF 与平面DEF 6所成的角的正弦值是 ？若存在，求出l 的值；若
3
不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，l
3
=
4
【解析】（1）依题意 ABCD矩形， AB = 4 ，BC = 2，E 是CD 中点，
所以 AE = BE = 2 2 ，
又 AB = 4 ，所以， AE2 + BE2 = AB2 ， AE ^ BE ，
因为平面BEF ^平面 ABCD，平面BEF I平面 ABCD = BE ，
所以 AE ^ 平面BEF ，
又BF 平面BEF ，所以 AE ^ BF .
（2）
以C 为原点，CD 所在直线为 x 轴，CB所在直线为 y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则C 0,0,0 ，D 4,0,0 ，B 0,2,0 ，E 2,0,0 ，
设 N 是 BE 的中点，
因为FE = FB ，所以FN ^ BE ，
又平面BEF ^平面 ABCD，平面BEF I平面 ABCD = BE ，
所以FN ^平面 ABCD，F 1,1, 2 ，
uuur uuur
假设存在满足题意的l ，则由DP = lDB(0 < l <1) .
uuur uuur uuur
可得，PF = -lDB + DF = 4l - 3,1- 2l, 2 .
r
设平面DEF 的一个法向量为 n = x, y, z ，
uuur
ìn
r
× DE = -2x = 0 r
则 í r uuur ，令 y = 2 ，可得 x = 0， z = -1，即 n = 0, 2,-1 ，
n × DF = -3x + y + 2z = 0
uuur uuurr PF nr×
设PF 与平面DEF 所成的角为q ，所以 sinq = cos PF ,n = uuur
| PF || nr
=
|
2 2l -1 + 2 6
=
3 × (3 - 4l)2 + (2l -1)2 + (- 2)2 3
解得l
3
= （l = 1舍去），
4
3
综上，存在l = ，使得PF 与平面 ADE 6所成的角的正弦值为 .
4 3
【例 6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知 AB ^ 平面BCE ，CD∥ AB ，VBCE 是等腰直角三角形，其
中 EBC
π
= ，且 AB = BC = 2CD = 4．
2
(1)设线段 BE 中点为F ，证明：CF∥平面 ADE ；
(2) 2在线段 AB 上是否存在点M ，使得点 B 到平面CEM 的距离等于 ，如果存在，求MB的长．
2
【答案】(1)证明见解析
(2) MB 2 30存在， 的长为
15
【解析】（1）取 BE 的中点F ， AE 的中点G ，连结 FG 、GD 、CF
则有GF
1
= AB，GF //AB2 ，
DC 1因为 = AB ，CD//AB ，所以CD//GF 且CD = GF ，
2
所以四边形CFGD是平行四边形，则CF //DG ，
又DG 平面 ADE ，CF 平面 ADE ，
所以CF // 平面 ADE .
（2）存在.设MB = x(0 < x < 4) ，在Rt△BEC 中，EC = BE2 + BC 2 = 4 2 .
1 1 1 8x
因为MB ^面BEC ，所以VM -BEC = SVBEC MB = BE BC MB = .3 3 2 3
因为MB ^面BEC ，BE 面BEC ，BC 面BEC
所以MB ^ BE , MB ^ BC ，
则VMBE,VMBC 均为直角三角形.
在RtVMBE 中，ME = MB2 + BE2 = x2 +16
同理，MC = x2 +16 .
取 EC 的中点 H ，因为ME = MC ，所以MH ^ EC ，
而MH = ME2 - EH 2 = x2 + 8 .
S 1 1= EC MH = 4 2 x2 + 8 = 8x2故 VMEC + 64 .2 2
2
因为点 B 到面CEM 的距离等于 ，
2
2
所以V 1 2 2 x + 8B .-MEC = SVMEC =3 2 3
2
而VB-MEC = V
2 x + 8 8x 2 30
M -BEC ，所以 = ，解得 x = .
3 3 15
所以在线段 AB 上只存在唯一一点M 2 30 2，当且仅当BM = 时，点 B 到面CEM 的距离等于 .
15 2
【一隅三反】
1．（2023·天津·一模）已知底面 ABCD是正方形，PA ^平面 ABCD，PA//DQ，PA = AD = 3DQ = 3，点E 、F
分别为线段 PB、CQ的中点．
(1)求证：EF // 平面PADQ；
(2)求平面PCQ与平面CDQ 夹角的余弦值；
(3)线段PC 42
PM
上是否存在点M ，使得直线 AM 与平面PCQ所成角的正弦值是 ，若存在求出 的值，若不
7 MC
存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 14
7
PM 1 PM 1(3)存在； = 或 =
MC MC 5
【解析】（1）证明：法一：分别取 AB 、CD 的中点G 、 H ，连接EG 、GH 、FH ，
由题意可知点E 、F 分别为线段 PB、CQ的中点．所以EG//PA，FH //QD，
因为PA//DQ，所以EG//FH ，所以点E 、G 、 H 、F 四点共面，
因为G 、 H 分别为 AB 、CD 的中点，所以GH //AD ，
因为 AD 平面 ADQP ，GH 平面 ADQP ，所以GH // 平面 ADQP ，
又因为FH //QD，QD 平面 ADQP ，FH 平面 ADQP ，所以FH //平面 ADQP ，
又因为FH IGH = H ，FH 、GH 平面 EGHF ，所以平面EGHF // 平面 ADQP ，
因为EF 平面 EGHF ，所以EF // 平面 ADQP ；
法二：因为 ABCD为正方形，且PA ^平面 ABCD，所以 AP 、 AB 、 AD 两两互相垂直，
以点A 为坐标原点，以 AB 、 AD 、 AP 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
P 0,0,3 C 3,3,0 Q 0,3,1 B 3,0,0 E 3 ,0, 3 F 3 ,3, 1 则 、 、 、 、 ÷、 ÷，
è 2 2 è 2 2
uuur r
所以EF = 0,3, -1 ，易知平面PADQ的一个法向量 a = 1,0,0 ，
r uuur uuur r
所以 a × EF = 0 ，所以 E F ^ a ，
又因为EF 平面 ADQP ，所以EF // 平面 ADQP ．
ur uuur uuur
（2）解：设平面PCQ的法向量m = x, y, z ，PC = 3,3,-3 ，CQ = -3,0,1 ，
r uuurì m × PC = 3x + 3y - 3z = 0 ur
则 í r uuur ，取 x =1，可得m = 1,2,3 ，
m ×CQ = -3x + z = 0
ur
所以平面PCQ的一个法向量为m = 1,2,3 ，
r
易知平面CQD的一个法向量 n = 0,1,0 ，设平面PCQ与平面CQD夹角为q ，
ur r
ur r m × n
则 cosq = cos m,n ur r
2 2 14
= = = = ，
m × n 1 1+ 4 + 9 14 7
PCQ CQD 14所以平面 与平面 夹角余弦值为 ；
7
uuuur uuur
（3）解：假设存在点M ，使得PM = lPC = 3l,3l,-3l ，其中l 0,1 ，
uuuur uuur uuuur
则 AM = AP + PM = 0,0,3 + 3l,3l,-3l = 3l,3l,3 - 3l ，
ur
由（2）得平面PCQ的一个法向量为m = 1,2,3 ，
uuuur ur
uuuur ur AM × m 3l + 6l + 9 - 9l
由题意可得 cos AM , m = uuuur ur
42
= = ，
AM × m 14 9l 2 + 9l 2 + 3 - 3l 2 7
整理可得12l 2 -8l +1 = 0 ．即 2l -1 6l -1 = 0，
l 1 1 PM 1 PM因为 0≤l ≤1，解得 = 或 2 ，所以， = 或 =1．6 MC 5 MC
2．（22-23 高三下·湖南·阶段练习）如图 1，在VABC 中， AB = AC ， BAC 2π= 3 ，E 为BC 的中点，F 为 AB 上
一点，且EF ^ AB .现将△BEF 沿 EF 翻折到VB EF ，如图 2.
(1)证明：EF ^ AB .
π
(2)已知二面角B - EF - A 5为 ，在棱 AC 上是否存在点M ，使得直线BC 与平面B MF 所成角的正弦值为 ？
3 5
若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
uuuur uuur
(2)存在， AM
1
= AC
56
【解析】（1）证明：翻折前，在VABC 中，EF ^ AB，翻折后，有EF ^ AF，EF ^ FB ，
又 AF FB = F ， AF 、FB 平面 AFB ，所以EF ^ 平面 AFB ，
因为 AB 平面 AFB ，所以EF ^ AB .
π
（2）解：因为二面角B - EF - A为 ，
3 EF ^ AF，EF ^ FB
，
π
所以，二面角B - EF - A的平面角为 B FA = ，
3
以点F 为坐标原点，FE、FA所在直线为 x 、 y 轴，过点F 且垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴建立如下图所示的
空间直角坐标系，

F 0,0,0 A 0,1,0 C 2 3,3,0 E 3,0,0 B 0, 3 , 3 3 不妨设 AB = 4 ，则 、 、 、 、 ÷÷ .
è 2 2
uuur uuur uuur uuurAC = 2 3,2,0 3 3 3，FA = 0,1,0 ，FB = 0, , ÷÷ ，EC = 3,3,0 .
è 2 2


uuuur uuur uuuur uuur uuuur设 AM = l AC = 2 3l, 2l,0 ，FM = FA + AM = 2 3l, 2l +1,0 ，其中 0≤l ≤1，
r
设平面B MF 的法向量为u = a,b,c ，
uuur ì
ìur FB 0 3 b 3 3 × = + c = 0
由 í r uuuur 得 í2 2 ，
u × FM = 0
2 3la + 2l +1 b = 0
r
取 c = 2l ，可得u = 2l +1,-2 3l, 2l ，
r uuur
r uuur u × EC 3 - 4 3l
cos u, EC = r uuur 5= = ，解得l
1
=
2 5 ，合乎题意，u × EC 2 3 2l +1 +12l 2 + 4l 2 56
uuuur 1 uuur
故当 AM = AC 时，直线BC 与平面B MF 5所成角的正弦值为 .
56 5
3．（22-23 高三上·山东济南·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，四边形 AA1B1B是菱形， AB ^ AC ，平面
AA1B1B ^平面 ABC .
(1)证明： A1B ^ B1C ；
π
(2)已知 ABB1 = ， AB = AC = 2，平面 A1B1C1与平面 AB1C 的交线为 l .在 l上是否存在点 P ，使直线 A1B 与平面3
1
ABP 所成角的正弦值为 若存在，求线段B1P 的长度；若不存在，试说明理由.4
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 P ，线段B1P 的长为1．
【解析】（1）证明：因为平面 AA1B1B ^平面 ABC ，平面 AA1B1B 平面 ABC = AB， AC ^ AB， AC 平面
ABC ，
所以 AC ^平面 AA1B1B，
Q A1B 平面 AA1B1B，所以 AC ^ A1B，
因为四边形 AA1B1B是菱形，所以 AB1 ^ A1B ，
又因为 AC AB1 = A， AC 、 AB1 平面 AB1C ，所以 A1B ^ 平面 AB1C ，
因为 B1C 平面 AB1C ，所以 A1B ^ B1C ．
（2）解：取 A1B1 中点D，连接 AD ，
因为四边形 AA1B1B为菱形，则 AB = BB1，
又因为 ABB1 = 60
o
，则VABB1为等边三角形，
o
由菱形的几何性质可知 AA1B1 = 60 ， AA1 = A1B1，则VAA1B1也为等边三角形，
因为D为 A1B1 的中点，则 AD ^ A1B1，Q AB//A1B1，\ AB ^ AD ，
由（1）知， AC ^平面 AA1B1B，以点A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AC 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图
所示的空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 、B 2,0,0 、C 0,0,2 、 A1 -1, 3,0 、B1 1, 3,0 ，
uuur
A1B = 3,- 3,0 ，
因为 AC //A1C1， AC 平面 A1B1C1， A1C1 平面 A1B1C1，所以 AC //平面 A1B1C1，
因为平面 A1B1C1 平面 AB1C = l ， AC 平面 AB1C ，所以 AC //l ，由（1）知 l ^平面 AA1B1B，
设P uuur uuur1, 3,t ，则 AP = 1, 3,t ， AB = 2,0,0 ．
r uuurr ìn × AP = x + 3y + tz = 0
设平面 ABP 的法向量 n = x, y, z ，则 í r uuur ，
n × AB = 2x = 0
r
取 z = - 3 ，可得 n = 0, t, - 3 ，
因为直线 A1B
1
与平面 ABP 所成角的正弦值为 ，
4
uuur r
uuur r A1B ×n - 3t
则 cos < A1B,n > = uuur r
1
= = ，解得 t = ±1，
A 2 41B × n 2 3 t + 3
因此，存在点 P ，线段B1P 的长为1．
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ABC =120° ， AB = CC1 = 2， BC =1，则异面直
线 AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A 3 15 10 3． B． C． D．
2 5 4 3
【答案】C
【解析】以 B 为原点，在平面 ABC 内过 B 作BC 的垂线交 AC 于D，
以BD为 x 轴，以BC 为 y 轴，以BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ABC =120° ， AB = CC1 = 2， BC =1，
所以 A( 3, -1,0), B1(0,0, 2), B(0,0,0),C1(0,1, 2)，
uuur uuuur
所以 AB1 = (- 3,1,2), BC1 = (0,1, 2)，
设异面直线 AB1与BC1所成角为q ，
uuur uuur
所以 cosq u
|uAurB1 × B= uCuuur| 5 10= = .
| AB1 | × | BC1 | 8 × 5 4
故选：C.
2．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB = AD = AA1 =1，
A1AB = A1AD = BAD = 60°，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线 A1C 与 BD 所成的角为 90°
B．线段 A1C 的长度为 2
C．直线 A1C 与BB1所成的角为 90°
D 6．直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值为
3
【答案】D
uuur uuur
【解析】在平行六面体 ABCD - A B C D
uuur r r
1 1 1 1 中，令 AB a
r
= ， AD = b ， AA1 = c ，
由 AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60°，
r r r r r
得 | a |=| b | | cr= |=1， a ×b b c
r ar cr 1= × = × = ，
2
uuur r r uuur r
对于A ，显然 A1C = a + b
r
- c r，BD = -a + b ，
uuur uuur r r r r r r r r r r r uuur uuur
则 A1C × BD = (a + b - c) × (-a + b) = -a
2 + b 2 + a ×c - b ×c = 0，即 A1C ^ BD，
因此直线 A1C 与BD所成的角为90°，A 正确；
uuur r
| AC |2 (ar b cr)2 ar
r r r r uuur
对于 B， 2 2 21 = + - = + b + c - 2b ×c = 2，即 A1C = 2 ，B 正确；
uuur uuur r r uuur uuur
对于 C， A1C × BB1 = (a
r b cr) cr ar cr b cr r+ - × = × + × - c 2 = 0，即 A1C ^ BB1 ，
因此直线 A1C 与BB1所成的角为90°，C 正确；
对于 D，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，四边形 ABCD是菱形，即 AC ^ BD ，
又 A1C ^ BD， A1C AC = C ， A1C, AC 平面 A1CA，于是BD ^平面 A1CA，
又BD 平面 ABCD，则平面 A1CA ^平面 ABCD，
连接 AC 交BD于点O，在平面 A1CA内过点 A1作 A1E ^ AC 于点E ，如图，
由平面 A1CAI平面 ABCD = AC ，因此 A1E ^平面 ABCD，即直线 A1C 与平面 ABCD所成角为 A1CA，
uuur r r uuur r r r r r rAC a 2 2 2 2= + b ，则 AC | = a + b | = a + b + 2a ×b = 3，即 AC = 3 ，
由 AA1 / /BB1及选项 C 知， AAC = 90° sin ACA
1 3
1 ，则 1 = = ，D 错误.3 3
故选：D
3．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB
3
^ AC ， AB = AC = AA1，D为线段BC 的中点，2
1
点E 在线段 B1C1 上，且B1E = B1C1，则直线DE 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为（3 ）
1 1
A． B 2． C 3． D．
6 6 6 3
【答案】B
【解析】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，
不妨设 AA1 = 4，则 AB = AC = 6 ，
uuur
则D 3,3,0 , E 4,2,4 ，故DE = 1,-1,4 ，
因为 x 轴^ 平面 ACC1A1 ，则可取平面 ACC1A
r
1 的法向量为 n = 1,0,0 ，
uuur
uuur DE ×nr
则 cos DE,n
r
= uuur 1 2r = = ，DE n 3 2 1 6
2
即直线DE 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为 .
6
故选：B.
4．（2024·河北沧州·二模）已知四面体 ABCD满足 BAC
π
= , cos CAD 1= , cos DAB 1= , AB = 2, AC = 3, AD = 2，
3 3 4
则点A 到平面BCD的距离为（ ）
A 5
3
B C D 10． ． ． 3 ．
2 2 2
【答案】D
【解析】因为四面体 ABCD满足 BAC
π
= , cos CAD 1= , cos DAB 1= , AB = 2, AC = 3, AD = 2，
3 3 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
可得 AB × AC = 3, AC × AD = 2, AD × AB =1，
r uuur uuur uuur
设平面BCD的一个法向量n = x AB + y AC + z AD ，
r uuur uuur uuur uuurì n × BC = xAB + y AC + z AD ×
uuur uuur
AC - AB = -x + 6y + z = 0
则 í r uuur uuur uuur uuur uuur uuur ，
n × BD = xAB + y AC + z AD × AD - AB = -3x - y + 3z = 0
r uuur uuur
令 z =1，解得 x =1, y = 0，所以 n = AB + AD ，
r uuur
2 2
所以 n = AB + AD + 2AB × ADcos BAD
r
= 10, AB × n = 4 +1 = 5，
uuur
AB nr× 5 10
设点A 到平面BCD的距离为 h ，则 h = r = = .n 10 2
故选：D.
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，半圆面 APD ^底面 ABCD，点 P 为圆弧 AD
上的动点．当三棱锥P - BCD的体积最大时，二面角P - BC - D 的余弦值为（ ）
A 2 B 5． ． C 5． D 2 5．
5 5 3 5
【答案】D
【解析】三棱锥P - BCD的体积与 P 到平面BCD的距离成正比，
故当三棱锥P - BCD的体积最大时,此时点 P 处于半圆弧的正中间位置.
uuur uuur uuur
点 P 处于半圆弧的正中间位置时，记 AD 的中点为O，以其为原点， AB, AD,OP分别作为 x, y, z轴正方向，建立
空间直角坐标系.
r
平面BCD显然有法向量m = 0,0,1 ，
P 0,0,1 , B 2, -1,0 ,C 2,1,0 ，
nr设 = x, y, z 为平面PBC 的法向量，
uuur uuur
则该向量与PB = 2, -1, -1 和PC = 2,1, -1 均垂直，
r uuur r uuur
所以 n × PB = n × PC = 0，从而 2x - y - z = 2x + y - z = 0 .
令 x =1，解得 y = 0, z = 2 ，
r
故 n = x, y, z = 1,0,2 符合条件，
显然二面角P - BC - D 为锐角，
nr r× m
cos nr,mr 1×0 + 0 ×0 + 2 ×1 2 5因此所求余弦值为 = r r = = .n × m 12 + 02 + 22 × 02 + 02 +12 5
故选：D.
6．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为线段DD1的中点，F 为线段BB1
的中点.直线 FC1 到平面 AB1E 的距离为（ ）.
2 1
A 5 B 30． ． C． D．
3 5 3 3
【答案】C
【解析】∵ AE∥FC1，FC1 平面 AB1E ， AE 平面 AB1E ，
∴ FC1∥平面 AB1E ，
因此直线 FC1 到平面 AB1E 的距离等于点C1到平面 AB1E 的距离，
如图，以D点为坐标原点，DA所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，
DD1所在的直线为 z 轴，建立直角坐标系.
则 A 2,0,0 ，B1 2,2,2 ，C1 0,2,2 ，E 0,0,1 ，F 2,2,1 ，
uuuur uuur uuur uuuur
FC1 = -2,0,1 ， AE = -2,0,1 ， AB1 = 0,2,2 ，C1B1 = 2,0,0 ，
r
设平面 AB1E 的法向量为 n = x, y, z ，
r uuur
ìn × AE = -2x + z = 0
则 í r uuur ，
n × AB1 = 2y + 2z = 0
r
令 z = 2 ，则 n = 1,-2,2 ，
设点C1到平面 AB1E 的距离为d ，
r uuuurn ×C1B1 1, -2,2 × 2,0,0
d 2则 = r = = ，n 1+ 4 + 4 3
2
故直线 FC1 到平面 AB1E 的距离为 .3
故选：C.
7．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅
因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图 1）.已知 AB 和CD 是圆O的两条互相垂直的直径，将平面 ABC 沿 AB
翻折至平面 ABC ，使得平面 ABC ^平面 ABD（如图 2）此时直线 AB 与平面C BD所成角的正弦值为（ ）
1
A B 3 2． ． C． D 3．
3 3 2 2
【答案】B
【解析】依题意，OC ^ AB,OD ^ AB，而平面 ABC ^平面 ABD，平面 ABC I平面 ABD = AB，
又OC 平面 ABC ,OD 平面 ABD，则OC ^平面 ABD，OD ^ OC ，
因此直线OD,OB,OC 两两垂直，以点O为原点，直线OD,OB,OC 分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
令圆半径OD =1，则O(0,0,0), D(1,0,0), B(0,1,0),C (0,0,1) ，
uuur uuuur uuur r
OB = (0,1,0), BC = (0,-1,1), BD = (1,-1,0)，设平面C BD的一个法向量 n = (x, y, z) ，
r uuuur
ìn × BC = -y + z = 0 r
则 í r uuur ，令 y =1，得 n = (1,1,1)，设直线 AB 与平面C BD所成的角为q ，
n × BD = x - y = 0
r uuur r uuur
则 sinq =| cos
|
án,OB |= rn ×OuuBur | 1 3= = ，
| n || OB | 1 3 3
所以直线 AB 与平面C BD 3所成角的正弦值为 .
3
故选：B
8．（2024·山东临沂·二模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M，N 分别为CC1 ，C1D 的中点，则（ ）
A 6 10．直线 MN 与 A1C 所成角的余弦值为 B．平面BMN 与平面BC1D1夹角的余弦值为
3 10
C．在BC1上存在点 Q，使得B1Q ^ BD1 D．在B1D上存在点 P，使得PA / / 平面BMN
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为 1，
所以 A 1,0,0 , D 0,0,0 , B 1,1,0 ,C 0,1,0 ， A1 1,0,1 , D1 0,0,1 , B1 1,1,1 ,C1 0,1,1 ，
M 0,1,
1
÷ , N

0,
1 , 1 ÷，
è 2 è 2 2
uuuur uuur
对于 A，MN =

0,
1
- ,0 ÷， A1C = -1,1,-1 ，è 2
uuuur uuur 1
uuuur uuur MN × A1C
直线 MN 与 A1C 所成角的余弦值为 cosMN , A1C = uuuur uuur 2
3
= 1 = ，故 A 错误；MN A1C 3 3
2
uuuur 1 uuuur 1
对于 B，MN = 0, - ,0÷，BM =

-1,0,

÷，
è 2 è 2
ì r uuuur
r n × MN
1
= - y = 0
设平面BMN 的法向量为 n = x, y, z 2，则 í r uuuur ， n × BM 1= -x + z = 0
2
r
取 x =1，可得 y = 0, z = 2 ，所以 n = 1,0,2 ，
uuuur uuuur
C1D1 = 0, -1,0 ，BC1 = -1,0,1 ，
r uuuur
r ìn ×C1D1 = -y1 = 0
设平面BC1D1的法向量为m = x1, y1, z1 ，则 í
nr
uuuur ，
× BC1 = -x1 + z1 = 0
x 1 r取 1 = ，可得 y1 = 0, z1 =1，所以m = 1,0,1 ，
平面BMN 与平面BC1D1夹角的余弦值为：
r r
cos mr , nr m × n 1+ 2 3 10= r r = = ，故 B 错误；m × n 5 2 10
uuuur uuur
对于 C，因为 Q 在BC1上，设Q x0 ,1, z0 ，所以C1Q = lC1B ，0 l 1，
uuuur uuur
则C1Q = x0 ,0, z0 -1 ,C1B = 1,0,-1 ，所以 x0 = l, z0 = -l +1，
uuur uuuur
所以Q l,1,-l +1 ，B1Q = l -1,0,-l , BD1 = -1, -1,1 ，
uuur uuuur 1
所以B1Q × BD1 =1- l - l = 0，解得：l = .2
故BC
1
1上存在点Q ,1,
1
÷，使得B1Q ^ BD1，故 C 正确；
è 2 2
对于 D，因为MN / /DC / / AB，所以 N , M , B, A四点共面，
而 A 平面BMN ，所以B1D上不存在点 P，使得PA / / 平面BMN ，故 D 错误.
故选：C.
.
二、多选题
9．（2024 高三上·湖北·开学考试）如图， AE ^ 平面 ABCD，CF //AE ， AD//BC ， AD ^ AB， AE = BC = 2 ，
AB = AD =1，CF
8
= ，则（ ）
7
A．BD ^ EC
B．BF // 平面 ADE
1
C．平面BDE 与平面BDF 的夹角的余弦值为
3
5
D．直线CE与平面BDE 所成角的正弦值为
9
【答案】BC
【解析】因为 AE ^ 平面 ABCD， AD ^ AB，
uuur uuur uuur
由题意，以A 为坐标原点，分别以 AB ， AD ， AE的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系，
可得 A 0,0,0 ，B 1,0,0 ，C 1,2,0 ，D 0,1,0 E 0,0,2 F 1,2, 8 ， ， ，
è 7 ÷
uuur uuur
则BD = -1,1,0 ，EC = 1,2,-2 ，
uuur uuur
所以BD × EC = -1 1+1 2 + 0 -2 =1 0 ，所以BD， EC 不垂直，故 A 错误；
uuur
依题意， AB = 1,0,0 是平面 ADE 的法向量，
uuur 8 uuur uuur
又BF =
0 2 ，，7 ÷，可得BF × AB = 0，则
BF ^ AB，
è
又因为直线BF 平面 ADE ，所以 BF // 平面 ADE ，故 B 正确；
ì r
uuur
r
设m = a,b,c
m × BD = 0
为平面BDF 的一个法向量，则 í r uuur ，
m × BF = 0
ì-a + b = 0
r 7
即 í 8 ，令b

=1，可得m = 1，1，-
2b + c = 0

è 4 ÷
，

7
uuur uuur
依题意，BD = -1，1，0 ，BE = -1，0，2 ，
设 n
r
= x, y, z 为平面BDE 的法向量，
uuur
ì n
r
× BD = 0 ì-x + y = 0 r
则 í uuur ，即 í n = 2,2,1
n
r
× BE = 0 -x + 2z = 0
，不妨令 z =1，可得 ，
cosmr , nr m
r·nr 1
所以 = mr nr
=
3 ，
1
故平面BDE 与平面BDF 的夹角的余弦值为 ，故 C 正确；
3
uuur
设直线CE与平面BDE 所成角为q ，CE = -1, -2,2 ，
uuur
uuur CE ×nr
sinq cosCE, nr uuur 4则 = = r = ，故 D 错误.CE n 9
故选：BC.
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， P 是矩形 ABCD所在平面外一点， AB = 2, BC = 3, PA = PB = 5 ，二面
角 P -AB - C 为60°，F 为PA中点，M 为 AB 中点，O为BD中点．则下列说法正确的是（ ）
A BF 13． = B． PMO 是二面角P- AB-C 的平面角
4
C． tan PCO 15 26= D．PC 与BD所成的角的余弦值
3 13
【答案】BD
【解析】
连接PM ，过 P 向平面 ABCD引垂线，垂足为G ，连接MG ；
因为PA = PB ，M 为 AB 中点，所以 PM ^ AB ；
因为PG 垂直于平面 ABCD， AB 平面 ABCD，所以PG ^ AB ；
PM 平面PMG ，PG 平面PMG ，PM PG = P，所以 AB ^ 平面PMG ，
又因为MG 平面PMG ，所以 AB ^ MG，
所以二面角 P -AB - C 的平面角为 PMG = 60°；
在Rt△PMA中， PA = 5 ， AM =1，所以PM = PA2 - AM 2 = 2，
在Rt△PMG 中，PM = 2， PMG = 60°，所以MG =1，PG = 3 ；
因为 ABCD为矩形，所以 AB ^ BC ，又 AB ^ MG，MG//BC ，
过点G 作GH ^ GM 交BC 于 H ，MG = MB =1，所以四边形BHGM 为正方形；
如图所示，建立以G 为坐标原点，GM 为 x 轴，过G 且与BC 垂直的方向为 y 轴，
GP 为 z 轴的空间直角坐标系；
A 1，-1，0 ，B 1,1,0 ，P 0，0，3 ，C -2,1,0 ，D -2, -1,0 ，
O 1- ,0 0
1 1 3
，÷，F 为PA中点，所以F ,- ，2 2 2 2 ÷；è ÷è
uuur 1 3 3 uuur 2 2 2BF = - - 1 3 ， ， ÷ 3 13 ÷ ，所以2 2 2 BF = - 2 ÷
+ - 2 ÷
+ = ，
è è è è 2
÷÷
2
故BF = 13 ，A 错误；2
M 为 AB 中点，O为BD中点，OM 为△ABD 中位线，OM //AD，
又 AD ^ AB，所以OM ^ AB，又因为 PM ^ AB ，
所以 PMO 是二面角P- AB-C 的平面角，B 正确；
uuur uuur 3
因为 PCO 为锐角，且PC = -2，1，- 3 ，OC = - ，1，0 ÷ ，
è 2
uuur uuur
PC ×OC 4 2 26
所以 cos PCO = uuur uuur = =
PC × OC 8 13
13 ，
×
2
所以 sin PCO = 1- cos2 PCO 65= ，
13
tan PCO sin PCO 10所以 = = ，C 错误；
cos PCO 4
uuur uuur
设PC 与BD所成的角为q ，PC = -2，1，- 3 ，BD = -3,-2,0 ，
uuur uuur
PC × BD
cosq = uuur uuur 4 26= = ，D 正确.
PC × BD 8 13 13
故选：BD
uuur uuur uuur
11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为线段 AA1的中点， AP = l AB + m AD，
其中l ，m 0,1 ，点 Q 在底面 ABCD 内（包括边界），且点 Q 到点 A 的距离与到平面BCC1B1的距离相等，则
下列选项中正确的是（ ）
1
A．当l = 时， B1P + PD的最小值为4 13
1
B．当m = 时， A
2 1
P 与ED1不垂直
C．当l + m =1
π
时，存在点 P，使得 EP 与平面B1D1E 所成的角为 3
D．当 2l + m = 2时，PQ 3 5的最小值为
10
【答案】ACD
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
【解析】对于 A 中，在 AB 上取点 H，使 AH = AB ，在DC 上取点K ，使DK = DC ，
4 4
uuur uuur uuur 1
因为 AP = l AB + m AD，l = ，m 0,1 ，所以 P 点在线段HK 上，
4
将平面B1HKC1与平面 AHKD 沿着HK 展开到同一平面内，
如图 1 所述，连接B1D，交于HK 于点 P，
此时B1, P, D 三点共线， B1P + PD取得最小值，
2
B H 22 3 5
5 1
由勾股定理得 1 = +
2 2
÷ = ，则 AB1 = + = 3， B1D = 2 + 3 = 13 ，
è 2 2 2 2
所以 A 正确．
对于 B 中，如图 2 所示，取 AD 的中点F ，BC 的中点G ，连接 A1F ， A1G ， FG ，
uuur uuur uuur 1
因为 AP = l AB + m AD，m = ，l 0,1 ，所以点 P 在线段 AG 上，
2
在正方形 ADD1A1中， E, F 分别为 AA1, AD的中点，可得 A1F ^ ED1，
又由GF ^ ED1，且 A1F IGF = F ， A1F ,GF 平面 A1FG ，所以ED1 ^平面 A1FG ，
又因为 A1P 平面 A1FG ，所以 A1P ^ ED1 ，所以 B 错误．
对于 C 中，当l + m =1时，点 P 在线段BD上，
以A 为原点，以 AB, AD, AA1所在的直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得B(2,0,0), D(0, 2,0), E(0,0,1), B1(2,0, 2), D1(0, 2, 2)，
uuur uuur uuur uuuur
则EB = (2,0, -1), ED = (0, 2, -1), EB1 = (2,0,1), ED1 = (0, 2,1)，
ur uuur
ur ì n1 × EB = 2x - z = 0
设平面EBD 的法向量为 n1 = (x, y, z)，则 íur uuur ，
n1 × ED = 2y - z = 0
ur
取 z = 2 ，可得 x =1, y =1，所以 n1 = (1,1, 2)，
uur uuur
uur ì n × EB = 2x + z = 0
设平面B1D1E 的法向量为 n2 = (x1, y1, z1)，则 íuur
2 uuuu1r 1 1 ，
n2 × ED1 = 2y1 + z1 = 0
uur
取 z1 = -2，可得 x =1, y =1，所以 n2 = (1,1, -2)，
ur uur
n1 ×n2
设平面EBD 与平面B1D1E 的夹角为 θ，可得 cosq = ur uur
1
= ，
n1 n 32
1 1 cos π π π因为 < = ，所以q > ，存在点 P 使得 EP 与平面B1D1E 所成的角为 ，3 2 3 3 3
所以 C 正确．
m uuur uuur m uuur
对于 D 中，当 2l + m = 2时，l + =1，因为 AP = l AB + 2AD ，
2 2
uuur uuuur uuur uuur m uuuur
令 2AD = AM ，则 AP = l AB + AM ，l, m 0,1 ，2
设MB与CD 相交于点 N ，则点 P 在线段BN 上运动，在平面 ABCD内，以线段 AB 的中点为原点，建立平面直
角坐标系，如图 3 所示，
点 Q 在底面 ABCD 内，且点 Q 到点 A 的距离与到平面BCC1B1的距离相等，
即点 Q 到点 A 的距离与到直线BC 的距离相等，
2
根据抛物线的定义，可得点Q的轨迹方程为 y = -4x -1 x 0, y 0 ，
线段 NB 的方程为 y = -2x + 2 0 x 1 ．
设直线 y = -2x + m
1
与抛物线 y2 = -4x 相切，联立两方程，根据Δ = 0，解得m = ，
2
1
此时切点横坐标为- -1,0 ，符合题意，
4
又由平行线 y = -2x + 2与 y = -2x
1
+ 3 5间的距离为 ，即为 PQ的最小值，
2 10
所以 D 正确．
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥P- ABCD的底面 ABCD为正方形，PA ^平面 ABCD，且PA = 2 ，
AB =1．四棱锥P- ABCD的各个顶点均在球 O 的表面上，B l ， l ^ OB ，则直线 l 与平面PAC 所成夹角的范
围为 ．
é
【答案】 ê0,
π ù
．
4 ú
【解析】依题意，四棱锥P- ABCD的外接球的球心 O 为PC 的中点，连接 AC, BD ，
交点为 Q，因为底面 ABCD为正方形，所以 AC ^ BD ，
又PA ^平面 ABCD，且BD 平面 ABCD，所以PA ^ BD ，
又PAI AC = A， AC 平面PAC ，PA 平面PAC ，所以BD ^平面PAC ，
uuur
所以BQ为平面PAC 的一个法向量，
如图建立坐标系，并设直线 l 上异于 B 的一点R x, y, z ，所求线面角为q ，
B 1,0,0 , P 0,0, 2 ,C 1,1,0 ,O 1 ,
1 , 2 , D 0,1,0 ,Q 1 , 1 ,0 ，
è 2 2 2
÷÷
è 2 2
÷

uuur uuur 1 1 2 uuur 1 1
则BR = x -1, y, z ，BO = - , , BQ =

，
2 2 2 ÷÷
- , ,0÷，
è è 2 2
uuur uuur
由BR × BO = 0可得 x = y + 2z +1，
uuur uuur x 1 y
uuur uuur BR × BQ - + + z
∴ sinq = cosBR, BQ = uuur uuur = 2 2 2 = ，
BR × BQ 2 × x -1 2 + y2 + z2 2y
2 + 3z2 + 2 2yz
2
当 z = 0时， sinq = 0，
1 1 ùsinq 0, 2= ú
当 z 0 2 2 时， 22 y y× + 3+ 2 2 × y 2 è ，
z2 z 2 + ÷ + 2
è z 2
é ù
综上， sinq
2 π
é ùê0, ú ，∴q ê0, ú．
2 4
é π ù
故答案为： 0,
ê 4 ú
.

另解：依题意，四棱锥P- ABCD的外接球的球心 O 为PC 的中点，连接 AC, BD ，
交点为 Q，因为底面 ABCD为正方形，所以 AC ^ BD ，
又PA ^平面 ABCD，且BD 平面 ABCD，所以PA ^ BD ，
又PAI AC = A， AC 平面PAC ，PA 平面PAC ，所以BD ^平面PAC ，
即 BQ ^ 面PAC ，
若 l // 平面 ACP ，则 l与平面PAC 所成的角为 0 .
若过 B 的直线 l 与平面PAC 相交于点 R，
在平面BOQ中，过 B 作直线BS ^ OB ，与平面PAC 相交于点为 S，
因为 BQ ^ 面PAC ，且RS 平面PAC ，所以 BQ ^ RS ，
又BO ^ BR，BS ^ OB ，且BR I BS = B ，BR, BS 平面BRS ，
所以BO ^平面BRS ，
故过 B 且与BO垂直的直线与平面PAC 的交点的轨迹为直线RS ，
又RS 平面BRS ，所以RS ^ OB ，又 BQ ^ RS ，且OB I BQ = B，
所以RS ^平面BOQ，又OS 平面BOQ，所以RS ^ OS ，
又 BQ ^ 面PAC ，所以RQ为 BR在面PAC 内的射影，
BQ
即 BRQ为直线 l 与平面PAC 所成的角，且 tan BRQ = RQ ，
2
又 QB = ，而 RQ QS =1，
2
BQ
当且仅当RS 重合等号成立，故02
= ，
QS 2
é ù
sinq 0, 2 q é0, π ù综上， ê ú ，∴2 ê ú． 4
é π ù
故答案为： ê0, . 4 ú
13．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点A 是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，B,C 在下底面圆O上，
AO1 =1,OO1 = 2, BO = 3, BC = 2 5 ，则直线 AO 与平面O1BC 所成角的余弦值的最小值为 ．
10
【答案】
10
【解析】连接OC ，过C 作CH 垂直于BO的延长线于点 H ，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形OBC 中，因为OB = 3,OC = 3, BC = 2 5 ，
cos B OB
2 + BC 2 - OC 2 9 + 20 - 9 5
故 = = = ，则BH = BC ×cos B 2 5 5 10= = ，
2OB × BC 2 3 2 5 3 3 3
100 4 5 1 1 4 5
则CH = BC 2 - BH 2 = 20 - = ，OH = BH - OB = ，故点C - , ,03 3 ÷9 3 3 ÷
；
è
又B 3,0,0 ,O 0,0,0 ,O1 0,0,2 ，设点 A m, n, 2 , m,n -1,1 ，由O1A =1，则可得m2 + n2 =1；
uuur
BC 10 , 4 5
uuuur
= - ,0÷÷ , BO1 = -3,0,2 ，
è 3 3
设平面O1BC
r
的法向量m = x, y, z ，
r uuur
ì m × BC = 0
ì 10 4 5
uuuur - x + y = 0则 í r ，即 í 3 3 ，取 y = 5 ，则 x = 2, z = 3，
m × BO1 = 0 -3x + 2z = 0
r uuur
故平面O1BC 的法向量m = 2, 5,3 ，又OA = m,n, 2 ，
AO O BC q ,q
π
é0, ù设直线 与平面 1 所成角为 ê 2 ú，
uuur
uuur mr OA 2m + 5n + 6 2m + 5n + 6
则 sinq = cos OA, m
r
=
mr
uuur = =
OA 3 2 m2 + n2 + 4 3 10
因为m, n -1,1 ，且m2 + n2 =1，故令m = cosa , n = sina ,a 0,2π ，
则 2m + 5n + 6 = 5 sina + 2cosa + 6 = 3sin a +j + 6, tanj 2 5= ,j π , π -
5 2 2 ֏
又a 0,2π ，故 sin a +j -1,1 ，3sin a +j + 6 3,9 ，也即 2m + 5n + 6 3,9 ，
sinq 9 3 10 q é
π ù 10
故 的最大值为 = ，又 ê0, ú，故 cosq 的最小值为 1- sin
2 q = .
3 10 10 2 10
10
即直线 AO 与平面O1BC 所成角的余弦值的最小值为 .
10
10
故答案为： .
10
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知三棱锥 P - ABC 中， PA = 2BC = 3 2 ， APC = 45o ， PA ^ PB ，二面
3
角 A - PC - B的余弦值是- ．则当三棱锥P - ABC 的体积最大时，其外接球的表面积是 ．
3
【答案】36π
【解析】如图：平面 APC 即平面a ，平面BPC 3即平面b ，即二面角a - PC - b 的余弦值为- ，
3
过A 作 AM ^ PC ，垂足为M ，过 B 作BN ^ PC ，垂足为 N ，
uuur uuur
则 cos MA, NB 3= - ，
3
又PA = 3 2 ， APC = 45o ，则 AM = MP = 3，
设 NPB = q
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur则MA × NB = MP + PA × NP + PB = MP × NP + MP × PB + PA × NP + PA × PB
uuur uuur uuur
= 3 NP - 3 PB cosq - 3 2 NP 2
2
uuur uuur uuur uuur
= 3 NP - 3 NP - 3 NP = -3 NP ，
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
cos MA, NB uMuurA × NuuB
-3 NP NP
所以 = ur = uuur
3 3
= - ，即 uuur = ，
MA × NB 3 NB 3 NB 3
uuur
NB
所以 tanq = uuur = 3 ，则 NPB = q = 60o，
NP
过A 作面b 的垂线，垂足为E ，连接EM ，
uuur uuur
则 AE = AM sin MA, NB = 3 1 1- = 6 ，
3
即三棱锥P - ABC 当以A 为顶点时高为 6 ，要体积最大，则 SVPBC 最大，
S 1VPBC = PB·PC sin 60
3
° = PB·PC ,要 SVPBC 最大，则需PB·PC 最大，
2 4
在VPBC中，
BC 2 = PB2 + PC 2 - 2PB × PC cos 60o = PB2 + PC 2 - PB × PC 2PB × PC - PB × PC = PB × PC
所以PB × PC BC 2 = 9，当且仅当PB = PC 时等号成立，
此时VPBC为等边三角形，即PB = PC = BC = 3，又MP = 3，所以M ,C 重合，
图形如下：设VPBC的中心为O ，连接EO ,CO
3 3 2
在VEO C 中，EC = AC = 3，CO = 3 = 3， ECO =120o，
3 2 3
所以EO = 3，
过O 作面b 的垂线，则三棱锥P - ABC 的外接球球心必在该垂线上，设为点O，设球的半径为 r ，
则PO = AO ，
所以 r 2 - PO 2 + r 2 - EO 2 = 6
即 r 2 - 3 + r 2 - 9 = 6 ，解得 r = 3，
所以外接球的表面积是 4πr 2 = 36π .
故答案为：36π
四．解答题
15．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥P- ABCD中，PA ^底面 ABCD，且PA = 2 ，四边形 ABCD是直角梯
形，且 AB ^ AD ，BC //AD ， AD = AB = 2，BC = 4，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且BE =1.
(1)求证：DM //平面PAB；
(2)求直线 PB 与平面PDE 所成角的正弦值；
(3)求点E 到 PD 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
6
(3) 3 2
2
【解析】（1）如图，取BC 中点F ，连接MF , DF
因为F 为BC 中点，BC //AD ， AD = AB = 2，BC = 4，所以BF = AD，
BF / / AD
所以四边形 ABFD为平行四边形，所以 AB / /DF ，
又 DF 平面PAB， AB 平面PAB，所以 DF / / 平面PAB，
因为F 为BC 中点，M 为PC 中点，则MF / /PB，
又MF 平面PAB，PB 平面PAB，所以MF / /平面PAB，
因为MF DF = F , MF , DF 平面MDF ，所以平面MDF / / 平面PAB，
又DM 平面MDF ，故DM / / 平面PAB．
（2）
根据题意，分别以 AB, AD, AP 所在直线为 x, y, z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得， A 0,0,0 , P 0,0,2 , B 2,0,0 , D 0,2,0 , E 2,1,0 ，
uuur uuur uuur
则PB = 2,0,-2 , PD = 0,2,-2 , PE = 2,1,-2 ，
r
设平面PDE 的法向量为 n = x, y, z ，
uuur
ì r PD × n = 2y - 2z = 0 ìy = z
则 íuuur r ，解得 í ，
PE × n = 2x + y - 2z = 0 y = 2x
r
取 y = 2，则 x =1, z = 2，所以平面PDE 的一个法向量为 n = 1,2,2 ，
设直线 PB 与平面PDE 所成角为q ，
uuur r
uuur r PB ×n 2 - 4
sinq cos PB,n uuur r 2则 = < > = = = .
PB × n 2 2 3 6
所以直线 PB 与平面PDE 2所成角的正弦值为 .
6
uuur uuur
（3）由（2）可知，PD = 0,2,-2 , PE = 2,1,-2 ，
uuur uuur uuur
2
2 PE × PD 6 2 3 2
所以点E 到 PD 的距离为 PE - uuur ÷ = 9 - = .
è PD
÷
è 2 2
÷
2
1
16．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以 AD 为轴的 圆柱与以 ABCD为轴截面的半圆柱拼
4
接而成，其中 AD 为半圆柱的母线，点G 为弧CD 的中点.
(1)求证：平面BDF ^平面BCG ；
(2) 15当 AB = 4 ，平面BDF 与平面 ABG夹角的余弦值为 时，求点E 到直线BG 的距离.
5
【答案】(1)证明见解析
(2) 4 21
3
【解析】（1）过G 作GH //BC 交弧 AB 上一点，连结GH , AH , BH ，如图所示：
则 H 为弧 AB 的中点，则GH //BC 且GH = BC ，
所以四边形HBCG为平行四边形，所以HB//CG .
由题意可知， AF ^ AB ，RtVABF
π
为等腰直角三角形，则 ABF = ；
4
因为G 为弧 AB 的中点，所以 AH ^ BH , AH = BH ,
π
则Rt△ABH 为等腰直角三角形，则 ABH = ，
4
所以 FBH = ABF + ABH
π
= ，则FB ^ BH ,
2
因为HB//GC ，则FB ^ CG，又BC ^ BF ，
又因为BC 、CG 面BCG ，BC CG = C
所以BF ^ 平面BCG ，因为BF 面BDF ，
所以平面BDF ^平面BCG .
（2）由题意知， AF , AB, AD两两垂直，所以A 为坐标原点，
以 AF , AB, AD分别为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系，如图所示：
设 AD = a，又 AB = 4 ，
则 A 0,0,0 ，F 4,0,0 ，B 0,4,0 ，D 0,0, a ，G -2,2,a ，
uuur uuur uuur uuur uuur
BD = 0, -4, a ，BF = 4, -4,0 ， AB = 0,4,0 ， AG = -2,2,a ，BG = -2, -2,a ，
ur
设平面BDF 的一个法向量为 n1 = x1, y1, z1 ，
ur uuur
ìn × BD = 0 ì-4y + az = 0 ur 4
则 íur1 uuur 1 1，即 í y =1 n =
1,1,
4x - 4y ，令 ，= 0 1 1 a ÷， n1 × BF = 0 1 1 è
r
设平面 ABG的一个法向量为 n2 = x2 , y2 , z2 ，
uur uuur
ìn × AB = 0 ì4y = 0 uur
则 íuur2 uuur 2

，即 í ，令 x2 =1， n2 = 1,0,
2
÷ ，
n2 × AG = 0 -2x2 + 2y2 + az2 = 0 è a
设平面BDF 与平面 ABG的夹角为q
ur uur 8
ur uur n ×n 1+1 2 2
cosq = cos n1,n2 = ur uur
a 15= =
5 ，解得
a = 4（负舍），
n1 n2 1+1 16 4+ 2 ×a a2
+1
所以G -2,2,4 ，B 0,4,0 ，E 4,0,4 ，
uuur uuur
则BG = -2, -2,4 ，BE = 4, -4,4
uuur uuur 2
uuur2 BE × BG
d BE 4 21= - uuur 2 =
BG 3
E 4 21所以点 到直线BG 的距离为 .
3
17．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形 ABCD 中， AB = 8，CD = 3， AD = 5 3 ， ADC = 90° ，
uuur 2 uuur uuur uuur
BAD = 30° ，点 E，F 满足 AE = AD
1
， AF = AB，将△AEF 沿 EF 翻折至!PEF ，使得
5 2 PC = 4 3
．
(1)证明：EF ^ PD；
(2)求平面 PCD 与平面 PBF 所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 8 65
65
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
【解析】（1）由 AB = 8, AD = 5 3, AE = AD, AF = AB5 2 ，
得 AE = 2 3, AF = 4，又 BAD = 30° ，在△AEF 中，
由余弦定理得 EF = AE2 + AF 2 - 2AE × AF cos BAD = 16 12 2 4 2 3 3+ - × × × = 2 ,
2
所以 AE 2 + EF 2 = AF 2 ，则 AE ^ EF ，即EF ^ AD ，
所以 EF ^ PE, EF ^ DE ，又 PE I DE = E, PE、DE 平面PDE ，
所以EF ^ 平面PDE ，又PD 平面PDE ，
故EF ^ PD；
（2）连接CE，由 ADC = 90° , ED = 3 3,CD = 3，则CE2 = ED2 + CD2 = 36 ，
在VPEC中， PC = 4 3, PE = 2 3, EC = 6 ，得EC 2 + PE2 = PC 2，
所以PE ^ EC ，由（1）知PE ^ EF ，又 EC I EF = E, EC、EF 平面 ABCD，
所以PE ^平面 ABCD，又ED 平面 ABCD，
所以PE ^ ED，则 PE, EF , ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E - xyz ，
则 E(0,0,0), P(0,0, 2 3), D(0,3 3,0),C(3,3 3,0), F (2,0,0), A(0, -2 3,0)，
由F 是 AB 的中点，得 B(4, 2 3,0) ，
uuur uuur uuur uuur
所以 PC = (3,3 3,-2 3), PD = (0,3 3,-2 3), PB = (4, 2 3,-2 3), PF = (2,0,-2 3) ，
r ur
设平面PCD和平面PBF 的一个法向量分别为 n = (x1, y1, z1), m = (x2 , y2 , z2 )，
r uuur r uuurì n × PC = 3x1 + 3 3y1 - 2 3z1 = 0 ìm × PB = 4x2 + 2 3y2 - 2 3z = 0
则 í uuur ， í uuur 2 ，
n
r r
× PD = 3 3y1 - 2 3z1 = 0 m × PF = 2x2 - 2 3z2 = 0
令 y1 = 2, x2 = 3 ，得 x1 = 0, z1 = 3, y2 = -1, z2 = 1，
r ur
所以 n = (0, 2,3), m = ( 3,-1,1) ，
r r
cos mr r
m × n 1 65
所以 , n =
mr nr
= = ，
5 × 13 65
设平面PCD和平面PBF 所成角为q ，则 sinq = 1- cos2 q 8 65= ，
65
即平面PCD和平面PBF 8 65所成角的正弦值为 .
65
18．（2024·山西吕梁·三模）如图， P 为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心， AC 为底面直径，△ABD 为底面圆O
的内接正三角形，且△ABD 的边长为 3，点E 在母线PC 上，且 AE = 3，CE = 1.
(1)求证：BD ^ AE ，并求三棱锥P - BDE 的体积；
(2)若点M 为线段PO上的动点，当直线DM 与平面 ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面 ABE 的距离.
1
【答案】(1)证明见解析，
8
(2) 7
14
【解析】（1）设 AC BD = F ，连接 EF ，
QVABD为底面圆O的内接正三角形，
AC 3\ = π = 2, F 为BD中点，sin
3
AF 3 3 3又 = - = ，
4 2
\CF 3 1= 2 - = , AO 2= AF =1；
2 2 3
Q AE = 3,CE =1,\ AE2 + CE2 = AC 2 ,\ AE ^ EC ，
Q AF AE= ,\VAEF ∽VACE,\ AFE = AEC,\EF ^ AC ；
AE AC
Q PO ^平面 ABD, PO 平面PAC,\平面PAC ^平面 ABD，
Q平面PAC I平面 ABD = AC, EF 平面PAC,\EF ^平面 ABD，
又BD 平面 ABD, EF ^ BD ，
又BD ^ AC, EF AC = F , BD ^平面 AEC ，又 AE 平面 AEC ，
所以BD ^ AE ，
又PO ^平面 ABD,\EF //OP ，
QPO 平面BDE, EF 平面BDE,\PO//平面BDE ；
QF 为BD中点，\ AF ^ BD，即OF ^ BD ，
又EF ^ 平面 ABD，OF , BD 平面 ABD,\EF ^ OF , EF ^ BD，
QEF I BD = F , EF , BD 平面BDE,\OF ^ 平面BDE ，
QEF = AE2 - AF 2 3 9 3= - = , EF ^ BD ，
4 2
S 1 BD EF 1 3 3\ VBDE = × = 3 = ，2 2 2 4
1
又OF = AF
1
= , PO// 平面BDE ，
2 2
V V 1 1 3 1 1\ P-BDE = O-BDE = SVBDE ×OF = = .3 3 4 2 8
1
（2）QOF = CF = ,\F 为OC 中点，又PO//EF ，
2
\ E 为PC 中点，PO = 2EF ，
\PO = 3, PC = 2，
uuur uuur uuur
以F 为坐标原点，FB, FC, FE 正方向为 x, y, z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则 A
0, 3 ,0 3 3 3 - 2 ÷
, B
è
,0,0
2 ÷÷
, E 0,0, 2 ÷÷
, D - ,0,0÷÷，
è è è 2
O 0,
1 1
- ,0 ÷ , P

0, - , 3

÷ ，
è 2 è 2
uuur 3 3 uuur uuur
\ AB = , ,0
3 3
2 2 ÷÷
, AE = 0, , ÷÷ ,OP = 0,0, 3 ，
è è 2 2
uuur 3 1 uuur DO = ,- ,0÷÷ , DA
3 3
= ,- ,0
2 2 2 2 ÷÷
，
è è
uuuur uuur
设OM = lOP = 0,0, 3l 0 l 1 ，
uuuur uuur uuuur
DM DO OM 3 1

\ = + = ,- , 3l2 2 ÷÷
；
è
r
设平面 ABE 的法向量 n = x, y, z ，
ìuuur r 3 3
AB ×n = x + y = 0 2 2 r
则 í y = -1uuur ，令 ，解得：
x = 3, z = 3,\n = 3,-1, 3 ，

AE × n
r 3 3
= y + z = 0
2 2
设直线DM 与平面 ABE 所成角为q ，
uuuur
DM nr× 2 + 3l
\sinq = uuuur 1= =
DM × nr 7 3l 2 +1 7 3l
2 +1 ，

(3l + 2)2
令 t = 3l + 2，则 t 2,5 , l t - 2\ = ，
3
(t - 2)2
3l 2 +1 +1 t 23 - 4t + 7 1 7 4\ 2 = 2 = =
- +1 ，
(3l + 2) t 3t 2 3 è t 2 t ÷
3
1 1 1 é 3l 2Q +1
ù +1 1
é , ù 1 2ê ú ,\当 = ，即l
1
= 时， = 4ê = ，t 5 2 t 7 2 (3l + 2)
2 ú
49min 7
4
\(sinq ) 1max = =1 uuuur DM 3 1 3

7 1 ，此时
= ,- , ÷÷ ，2 2 2
7 è
uuur uuur uuuur
\MA = DA - DM 0, 1, 3= - - ÷÷ ，
è 2
uuur r 1
\点M 到平面 ABE MA ×n的距离 d 7= r = 2 = .n 7 14
19．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB AC AB
2π
^ ， = AC = 2，侧面 A1ACC1 为矩形， A1AB = ，3
2 3
三棱锥C1 - ABC 的体积为 ．
3
(1)求侧棱 AA1的长；
(2)侧棱CC1 上是否存在点E ，使得直线 AE 与平面 A1BC
5
所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段C1E 的长；若5
不存在，请说明理由．
【答案】(1) AA1 = 2
(2) C1E = 2
【解析】（1）在平面 AA1B1B内过A 作 AD ^ A1B1，垂足为D，
因为侧面 A1ACC1 为矩形，所以CA ^ AA1，
又CA ^ AB ， AB AA1 = A， AB, AA1 平面 AA1B1B，
所以CA ^平面 AA1B1B，
又CA 平面 ABC ，所以平面 AA1B1B ^平面 ABC ，
易得 AD ^ AB， AD 面 AA1B1B，平面 AA1B1B 平面 ABC = AB，
所以 AD ^ 平面 ABC ，
V 1 1 1 2 3因为 C - ABC = SVABC × AD = 2 2AD = ，所以 AD = 3 ，1 3 3 2 3
A AB 2π因为 1 = ， A1AD
π
= ，所以 AA = 2；
3 6 1
（2）存在点E 满足题意，C1E = 2 ，理由如下：
如图，以A 为坐标原点，以 AB, AC, AD 所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 A1(-1,0, 3), B(2,0,0),C(0, 2,0),C1(-1,2, 3) ，
uuuur uuuur
设C1E = lC1C,l [0,1]，则E(l -1,2, 3 - 3l) ，
uuur uuur uuur
故 AE = (l -1,2, 3 - 3l)， A1B = (3,0,- 3)， A1C = (1, 2,- 3)
ur
设平面 A1BC 的法向量为m = (x, y, z)
r uuur
ìm × A1B = 0 ì 3x - 3z = 0
则 í r uuur 即 í ，令 z = 3 ，则 x = y =1，
m × A1C = 0 x + 2y - 3z = 0
ur
故平面 A1BC 的一个法向量m = (1,1, 3)，
设直线 AE 与平面 A1BC 所成角为q ，
uuur ur
AE × m 2 - l
则 sinq = uuur ur
5
= = ，解得l = 1，
AE × m l 2 - 2l + 2 × 5 5
故存在点 E 满足题意，所以C1E = 2 .6.3 空间几何中的空间角与空间距离
考点一 线线角
【例 1-1】（2024 辽宁省）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，所有棱长都相等，D，E，F 分别是棱
AB，BC，B1C1 的中点，则异面直线DF 与 C1E 所成角的余弦值是（ ）
9 9 9
A 19． B．± C．- D．
10 10 10 10
【例 1-2】（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥 P-ABC 中， APB = 90°， CPA = CPB = 60°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PA = PB = PC = 2，点 D，E，F 满足PD = DB，PE = 2EA， AF = FC ，则直线 CE 与 DF 所成的角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【例 1-3】（24-25 上海·单元测试）如图，在三棱锥P - ABC 中，VABC 为等边三角形，△APC 为等腰直角三角
形，PA = PC ，平面PAC ^平面 ABC，D 为 AB 的中点，则异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为 ．
【一隅三反】
1．（23-24 安徽芜湖·期末）在三棱锥D - ABC 中， AD = 2，BC = 2 3 ，E，F 分别是 AB ，CD 的中点，
EF = 6 ，则直线 AD 与BC 所成的角的余弦值为（ ）
A 3 B 3- C 3 3． ． ． D．-
3 3 6 6
π
2（23-24 ·福建厦门·期末）在四面体 ABCD中，BC ^ BD， ABC = ABD = ，BA = BD = 2，BC = 3，则 AD
3
与BC 所成角的余弦值为（ ）
A 1． 2 B
3 3 6
． C． D．
3 2 3
3．（24-25 上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中， E, F 分别是DD1, DB 的中点，G在棱CD上，且CG
1
= CD
3 ，
H 是C1G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：EF ^ B1C ；
(2)求异面直线 EF 与C1G 所成角的余弦值.
考点二 线面角
【例2-1】（23-24 黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥P - ABC 中， ACB = 90°, PA ^平面 ABC, AC = BC = PA，
M 是 PB的中点，则 AM 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）
A 2 B 6． ． C 3． D． 2
2 3 3
【例 2-2】（23-24 江苏徐州·期中）已知平行四边形 ABCD中， AB = 3, AD = 5, BD = 4, E 是线段 AD 的中点.沿直
线BD将△BCD翻折成△BC D，使得平面BC D ^ 平面 ABD .
(1)求证：C D ^ 平面 ABD；
(2)求直线BD与平面BEC 所成角的正弦值.
【一隅三反】
1．（22-23 云南昭通·期末）如图所示，BD ^平面 ABC ， AE∥BD ， AB = BC = CA = BD = 2AE = 2，F 为CD
的中点.
(1)求证：EF / / 平面 ABC ；
(2)求直线CD 与平面 ABD所成角的正弦值.
2．（2024 贵州贵阳 ）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为菱形，PD ^平面 ABCD, E 为PD的中点.
(1)设平面 ABE 与直线PC 相交于点F ，求证： EF P 平面PAB；
(2)若 AB = 2 3, DAB = 60o , PD = 2 6 ，求直线 BE 与平面PAD 所成角的大小.
3 ．（23-24 ·广东·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧棱 AA1 ^ 底面 ABC ，底面VABC 是正三角形，
AB = AA1 = 3，点E 、F 分别在 AB 、 A1C1上，且 AE
1
= AB 1，C1F = A1C ．3 3 1
(1)求证： A1E // 平面BCF ；
(2)求直线BB1与平面BCF 所成角的余弦值．
4．（23-24 安徽宣城·期末）如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD，且 AD P BC, BAD = 90o , BC =1，
AP = AB = 3, ADC = 60o , M , N 分别为棱PC, PB 的中点.
(1)求证：平面PBC ^平面 ADMN ；
(2)求直线BD与平面 ADMN 所成角的正弦值.
考点三 二面角
【例 3-1】（23-24 吉林白山 ）如图，在棱长为 2 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为C1D1的中点.
(1)求证：平面 AB1C ^平面BDD1B1；
(2)求平面 AB1C 与平面 ACE 夹角的余弦值.
【例 3-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是正方形，
AD = PD = 2, PDC =120o，PA = 2 2 ，点E 为线段PC 的中点，点F 在线段 AB 上.
AF 1(1)若 = ，求证：CD ^ EF ；
2
(2)若F 是 AB 上靠近点 B 的三等分点，求平面DEF 与平面DPA所成的锐二面角的余弦值.
【一隅三反】
1．（23-24·河北邢台）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ．
(1)证明：B1D1 ^ AC1 ．
(2)求二面角B1 - AC - D的余弦值．
π
2．（2024 四川凉山 ）如图，四棱锥P- ABCD的底面是边长为 3 的菱形， ABC = ， PB = PD .
3
(1)证明：平面PBD ^平面PAC ；
(2)若PA = 2 ，PC = 7 ，求二面角P - BC - A的正切值.
3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥P- ABCD中，BC / / AD ， AB = BC =1， AD = 3 ,点E 在 AD 上，且
PE ^ AD，PE = DE = 2 ．
(1)若F 为线段PE中点，求证：BF // 平面PCD．
(2)若 AB ^ 平面PAD ，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
4 ．（2024·全国·高考真题）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形 ABCD 与四边形 ADEF
均为等腰梯形，EF / / AD, BC / / AD ， AD = 4, AB = BC = EF = 2，ED = 10, FB = 2 3，M 为 AD 的中点．
(1)证明：BM / /平面CDE ；
(2)求二面角F - BM - E 的正弦值．
考点四 点面距
【例 4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 是边长为 2 的等边三角形，
AA1 = A1C .
(1)证明： A1C1 ^ A1B ；
(2)若三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 3，且直线 AA1与平面 ABC 所成角为 60°，求点 A1到平面BCC1B1的距离.
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AA1 = 3 ， AB ^ AC ，D为 A1C1的中点.
(1)证明： AB1 ^平面 A1BD ；
(2) A - BC - D 2若二面角 的余弦值为 ，求点A 到平面BCD的距离.
4
2．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1， AF = 3 ，
点 G 是线段 BF 的中点．
(1)证明：EG∥平面 DAF；
(2)若直线 DF 与圆柱底面所成角为 45°，求点 G 到平面 DEF 的距离．
考点五 点线距和线线距
【例 5-1】（23-24 浙江·期中）空间点 A -1,1,1 , B -1,2,3 ,C 1,2,4 ，则点A 到直线BC 的距离 d =（ ）
A 2 5 21 105． B． 5 C． D．
5 5 5
π
【例 5-2】．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD， AB / /CD ， ABC = ，
2
AB = 2 70，BC = CD = 4，M 为棱PD的中点，直线CM 与 AD 所成角的余弦值为 ．求：
70
(1)点M 到直线BC 的距离；
(2)二面角P- BC -M 的余弦值．
【一隅三反】
uuuur uuur uuur uuur
1（2024·广西来宾·一模）棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E，F 满足D1E = 2ED，BF = 2FB1 ，则点 E
到直线 FC1 的距离为（ ）
A 3 35． B 2 35．
5 5
C 3 7． D 2 7．
5 5
2．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥P- ABCD中，PD ^平面 ABCD， AD ^ DC ， AB ∥ DC ，
AB AD 1= = CD = 2，PD = 2，M 为棱PC 的中点.
2
(1)证明： BM ∥平面PAD ；
(2)求平面 PDM 和平面DMB夹角的余弦值；
(3)求 A 点到直线PC 的距离.
考点六 动点问题
【例 6-1】（2023·广东韶关·一模）已知矩形 ABCD中， AB = 4 ，BC = 2，E 是CD 的中点，如图所示，沿 BE 将
VBCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ^平面 ABCD .
(1)证明：BF ^ AE ；
uuur uuur
(2)若DP = lDB(0 < l <1) l 6是否存在 ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是 ？若存在，求出l 的值；若
3
不存在，请说明理由.
【例 6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知 AB ^ 平面BCE ，CD∥ AB ，VBCE 是等腰直角三角形，其
中 EBC
π
= ，且 AB = BC = 2CD = 4．
2
(1)设线段 BE 中点为F ，证明：CF∥平面 ADE ；
(2)在线段 AB 2上是否存在点M ，使得点 B 到平面CEM 的距离等于 ，如果存在，求MB的长．
2
【一隅三反】
1．（2023·天津·一模）已知底面 ABCD是正方形，PA ^平面 ABCD，PA//DQ，PA = AD = 3DQ = 3，点E 、F
分别为线段 PB、CQ的中点．
(1)求证：EF // 平面PADQ；
(2)求平面PCQ与平面CDQ 夹角的余弦值；
(3)线段PC
PM
上是否存在点M ，使得直线 AM 与平面PCQ 42所成角的正弦值是 ，若存在求出 的值，若不
7 MC
存在，说明理由．
2π
2．（22-23 高三下·湖南·阶段练习）如图 1，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 3 ，E 为BC 的中点，F 为 AB 上
一点，且EF ^ AB .现将△BEF 沿 EF 翻折到VB EF ，如图 2.
(1)证明：EF ^ AB .
π
(2)已知二面角B - EF - A 5为 ，在棱 AC 上是否存在点M ，使得直线BC 与平面B MF 所成角的正弦值为 ？
3 5
若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由.
3．（22-23 高三上·山东济南·期末）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，四边形 AA1B1B是菱形， AB ^ AC ，平面
AA1B1B ^平面 ABC .
(1)证明： A1B ^ B1C ；
(2)已知 ABB
π
1 = ， AB = AC = 2，平面 A1B1C1与平面 AB1C 的交线为 l .在 l上是否存在点 P ，使直线 A1B 与平面3
1
ABP 所成角的正弦值为 若存在，求线段B1P 的长度；若不存在，试说明理由.4
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ABC =120° ， AB = CC1 = 2， BC =1，则异面直
线 AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A 3． B 15 C 10 3． ． D．
2 5 4 3
2．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB = AD = AA1 =1，
A1AB = A1AD = BAD = 60°，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线 A1C 与 BD 所成的角为 90°
B．线段 A1C 的长度为 2
C．直线 A1C 与BB1所成的角为 90°
D 6．直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值为
3
3．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB
3
^ AC ， AB = AC = AA1，D为线段BC 的中点，2
1
点E 在线段 B1C1 上，且B1E = B1C1，则直线DE 与平面 ACC1A1 所成角的正弦值为（3 ）
1
A B 2 C 3 1． ． ． D．
6 6 6 3
π 1
4．（2024·河北沧州·二模）已知四面体 ABCD满足 BAC = , cos CAD = , cos DAB
1
= , AB = 2, AC = 3, AD = 2，
3 3 4
则点A 到平面BCD的距离为（ ）
A 5
3
． B 10． C． D．
2 2 3 2
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，半圆面 APD ^底面 ABCD，点 P 为圆弧 AD
上的动点．当三棱锥P - BCD的体积最大时，二面角P - BC - D 的余弦值为（ ）
A 2． B 5 5 2 5． C． D．
5 5 3 5
6．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为线段DD1的中点，F 为线段BB1
的中点.直线 FC1 到平面 AB1E 的距离为（ ）.
2 1
A 5． B 30． C． D3 ．3 5 3
7．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅
因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图 1）.已知 AB 和CD 是圆O的两条互相垂直的直径，将平面 ABC 沿 AB
翻折至平面 ABC ，使得平面 ABC ^平面 ABD（如图 2）此时直线 AB 与平面C BD所成角的正弦值为（ ）
1
A B 3． ． C 2． D 3．
3 3 2 2
8．（2024·山东临沂·二模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M，N 分别为CC1 ，C1D 的中点，则（ ）
A．直线 MN 与 A 6 101C 所成角的余弦值为 B．平面BMN 与平面BC1D1夹角的余弦值为
3 10
C．在BC1上存在点 Q，使得B1Q ^ BD1 D．在B1D上存在点 P，使得PA / / 平面BMN
二、多选题
9．（2024 高三上·湖北·开学考试）如图， AE ^ 平面 ABCD，CF //AE ， AD//BC ， AD ^ AB， AE = BC = 2 ，
8
AB = AD =1，CF = ，则（ ）
7
A．BD ^ EC
B．BF // 平面 ADE
1
C．平面BDE 与平面BDF 的夹角的余弦值为
3
5
D．直线CE与平面BDE 所成角的正弦值为
9
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， P 是矩形 ABCD所在平面外一点， AB = 2, BC = 3, PA = PB = 5 ，二面
角 P -AB - C 为60°，F 为PA中点，M 为 AB 中点，O为BD中点．则下列说法正确的是（ ）
A BF 13． = B． PMO 是二面角P- AB-C 的平面角
4
C tan PCO 15 26． = D．PC 与BD所成的角的余弦值
3 13
uuur uuur uuur
11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为线段 AA1的中点， AP = l AB + m AD，
其中l ，m 0,1 ，点 Q 在底面 ABCD 内（包括边界），且点 Q 到点 A 的距离与到平面BCC1B1的距离相等，则
下列选项中正确的是（ ）
1
A．当l = 时， B1P + PD的最小值为4 13
1
B．当m = 时， A1P 与ED1不垂直2
C．当l + m =1
π
时，存在点 P，使得 EP 与平面B1D1E 所成的角为 3
D．当 2l + m = 2 3 5时，PQ 的最小值为
10
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥P- ABCD的底面 ABCD为正方形，PA ^平面 ABCD，且PA = 2 ，
AB =1．四棱锥P- ABCD的各个顶点均在球 O 的表面上，B l ， l ^ OB ，则直线 l 与平面PAC 所成夹角的范
围为 ．
13．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点A 是圆台O1O的上底面圆O1上的动点，B,C 在下底面圆O上，
AO1 =1,OO1 = 2, BO = 3, BC = 2 5 ，则直线 AO 与平面O1BC 所成角的余弦值的最小值为 ．
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知三棱锥 P - ABC 中， PA = 2BC = 3 2 ， APC = 45o ， PA ^ PB ，二面
角 A - PC - B 3的余弦值是- ．则当三棱锥P - ABC 的体积最大时，其外接球的表面积是 ．
3
四．解答题
15．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥P- ABCD中，PA ^底面 ABCD，且PA = 2 ，四边形 ABCD是直角梯
形，且 AB ^ AD ，BC //AD ， AD = AB = 2，BC = 4，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且BE =1.
(1)求证：DM //平面PAB；
(2)求直线 PB 与平面PDE 所成角的正弦值；
(3)求点E 到 PD 的距离.
1
16．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以 AD 为轴的 圆柱与以 ABCD为轴截面的半圆柱拼
4
接而成，其中 AD 为半圆柱的母线，点G 为弧CD 的中点.
(1)求证：平面BDF ^平面BCG ；
(2)当 AB = 4 ，平面BDF 15与平面 ABG夹角的余弦值为 时，求点E 到直线BG 的距离.
5
17．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形 ABCD 中， AB = 8，CD = 3， AD = 5 3 ， ADC = 90° ，
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
BAD = 30° ，点 E，F 满足 AE = AD ， AF = AB，将△AEF 沿 EF 翻折至!PEF ，使得5 2 PC = 4 3 ．
(1)证明：EF ^ PD；
(2)求平面 PCD 与平面 PBF 所成的二面角的正弦值．
18．（2024·山西吕梁·三模）如图， P 为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心， AC 为底面直径，△ABD 为底面圆O
的内接正三角形，且△ABD 的边长为 3，点E 在母线PC 上，且 AE = 3，CE = 1.
(1)求证：BD ^ AE ，并求三棱锥P - BDE 的体积；
(2)若点M 为线段PO上的动点，当直线DM 与平面 ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面 ABE 的距离.
2π
19．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB ^ AC ， AB = AC = 2，侧面 A1ACC1 为矩形， A1AB = ，3
2 3
三棱锥C1 - ABC 的体积为 ．
3
(1)求侧棱 AA1的长；
(2)侧棱CC 51 上是否存在点E ，使得直线 AE 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段C1E 的长；若5
不存在，请说明理由．

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