资源简介

7.3 统计概率基础知识
考点一 随机抽样
【例 1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为 1 到 100
的塑料瓶装饮料中抽取 5 瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 瓶饮料的
编号可能是（ ）
A．5，15，25，35，45 B．10，25，40，55，70
C．10，20，30，40，50 D．10，30，50，70，90
【答案】D
【解析】利用系统抽样，把编号分为 5 段，每段 20 个，每段抽取 1 个，号码间隔为 20.
选项 A 中样本间隔为 10，选项 B 中样本间隔为 15，选项 C 中样本间隔为 10，
选项 D 中样本间隔为 20.
故选：D
【例 1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方
法从三个年级中抽取了 300 人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了 90 人．已知该校高三年级共有 720
名学生，则该校共有学生 人．
【答案】1800
【解析】由题意可知从三个年级中抽取的 300 人进行问卷调查，其中高三有 120 人，
120 1
所以抽取的比例为 =
720 6
300 1
设该校共有 n名学生，可得 = ，
n 6
解得 n =1800 人，即该校共有 1800 名学生.
故答案为：1800.
【一隅三反】
1．（2024 湖南永州·阶段练习）总体由编号为 01，02，…，30 的 30 个个体组成.利用所给的随机数表选取 6 个个
体，选取的方法是从随机数表第 1 行的第 3 列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编
号为（ ）
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A．20 B．26 C．17 D．03
【答案】D
【解析】从随机数表第 1 行的第 3 列开始，由左到右一次选取两个数字，
选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…，
剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，
则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…，
所以选出来的第 5 个个体的编号为 03.
故选：D .
2．（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对 650 名学生进行抽样，先将 650 名学
生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取 50 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第
5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【答案】A
【解析】从第 5 行第 6 列开始向右读取数据，
第一个数为 253，第二个数是 313，
第三个数是 457，下一个数是 860，不符合要求，
下一个数是 736，不符合要求，下一个是 253，重复，
第四个是 007，第五个是 328，第六个数是 623，，故 A 正确.
故选：A.
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中
小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为 70，则抽取
的高中生中近视人数为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．40
【答案】B
70 2000【解析】由图甲可知抽取的高中生人数是 = 40，
3500
又由图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生中近视人数为 40 50% = 20人．
故选：B．
4．（2024·河南·三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为 40，30，50，学校计划采用按比例
分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为 6 人，则高三年级
三个班优秀学生总人数为（ ）
A．16 B．30 C．24 D．18
【答案】C
【解析】甲、乙、丙三个班级人数比为 4 : 3 : 5，由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名额分别为 8，6，10，
所以高三年级三个班优秀学生总人数为8 + 6 +10 = 24人.
故选：C
5．（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区 2400 人，除成渝外的西部地区 2000 人，中部地区
1400 人，东部地区 1800 人，港澳台地区 400 人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取 40 人作样本调研，为保证
调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（ ）
A C40． 2400 B C
24 12 10
． 2400 C．C2400 D．C2400
【答案】C
【解析】为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取 n 人，
n 2400
则 = ，
40 2400 + 2000 +1400 +1800 + 400
解得 n =12 ，
12
即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为C2400.
故选：C
考点二 特征数
【例 2-1】．（2024·重庆九龙坡·三模）（多选）已知样本数据 x1, x2 , x3的平均数为 2，方差为 1，则下列说法正确的
是（ ）
A．数据3x1 1，3x2 1，3x3 1的平均数为 6
B．数据3x1 1，3x2 1，3x3 1的方差为 9
C．数据 x1, x2 , x3 , 2的方差为 1
D x2 , x2．数据 1 2 , x
2
3 的平均数为 5
【答案】BD
【解析】因为样本数据 x1, x2 , x3的平均数为 2，方差为 1，
所以数据3x1 1，3x2 1，3x3 1的平均数为3 2 1 = 5，故 A 错误；
数据3x1 1，3x2 1，3x3 1的方差为32 1 = 9，故 B 正确；
x1 + x2 + x3 = 3 2 = 6， x1 2
2 + x2 2
2 + x3 2
2 =1 3 = 3，
x , x , x , 2 x1 + x + x + 2数据 2 31 2 3 的平均数为 = 2，4
1
所以方差为 é x 2
2 + x 21 2 2 + x3 2
2 + 2 2 2 ù 3 = ，故 C 错误；4 4
由 x1 + x2 + x3 = 6， x1 2
2 + x2 2
2 + x3 2
2 = 3，
x2 + x2 + x2得 1 2 3 4 x + x + x +12 = 3 x2 + x2 21 2 3 ，所以 1 2 + x3 =15，
2 2 2
x2 , x2 , x2 x1 + x所以数据 的平均数为 2 + x31 2 3 = 5，故 D 正确.3
故选：BD.
【例 2-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知m,n R ，有一组数据为 2 + m，3，6 n，7 m，8，10，
11+ n，12，13，若在这组数据中去除第 5 个数 8，则（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变
【答案】AD
2 + m + 3 + 6 n + 7 m + 8 +10 +11+ n +12 +13
【解析】原数据的平均数为 = 8，
9
2 + m + 3 + 6 n + 7 m +10 +11+ n +12 +13
去除第 5 个数 8 后的平均数为 = 8，
9
所以平均数不变，故 A 正确；
当m = n = 0 时，原数据的中位数为8，
7 +10
去除第 5 个数 8 后的中位数为 = 8.5，
2
此时中位数改变，故 B 错误；
s2 1= é 2 + m 8 2 + 3 8 2 +L+ 8 8 2 +L+ 13 8 2对于 C，原数据的方差 ù
9
1
= é 2 + m 8 2 + 3 8 2 +L+ 13 8 2 ù ，9
1 2 2 2
去除第 5 个数 8 s2后的方差 é1 = 2 + m 8 + 3 8 +L+ 13 8 ù8 ，
所以 s2 < s21 ，即方差改变，故 C 错误；
对于 D，因为3 < 8 <13，所以8这个数对于极差没有影响，即极差不变，故 D 正确.
故选：AD.
【例 2-3】（2024·山西·模拟预测）（多选）某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把 1000 名参赛者的成绩（满分 100
分，成绩取整数）按 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，
则下列说法错误的为（ ）
A． a的值为 0.035
B．估计这组数据的众数为 90
C．估计这组数据的第 70 百分位数为 89
D．估计成绩低于 80 分的有 350 人
【答案】ABD
【解析】易知10 0.005 + 0.020 10 + 0.050 10 +10a =1，解得 a = 0.025，所以 A 错误；
由频率分布直方图可知众数落在 80,90 区间，用区间中点表示众数即 85，所以 B 错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005 10 + 0.020 10 = 0.25，
前三组频率之和为0.005 10 + 0.020 10 + 0.050 10 = 0.75 .
故第 70 百分位数落在区间 80,90 ，设第 70 百分位数为 x ，
则0.25 + x 80 0.050 = 0.70，解得 x = 89，所以C 正确；
成绩低于 80 分的频率为0.005 10 + 0.020 10 = 0.25，所以估计成绩低于 80 分的有1000 0.25 = 250人.故 D 错误.
故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2024·河北保定·三模）（多选）若一组数据 14，17，11，9，12，15，m ，8，10，7 的第 65 百分位数为 12，
则m 的值可能为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
【答案】AB
【解析】将这组数据除去m 后，按从小到大的顺序排序：7，8，9，10，11，12，14，15，17.
因为10 65% = 6.5，所以m 12 .
故选：AB.
2 ．（2024·河北·三模）（多选）根据中国报告大厅对 2023 年 3 月~10 月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳
能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：
月份 3 4 5 6
发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33
月份 7 8 9 10
发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31
关于 2023 年 3 月~10 月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）
A．中位数是 259.115 B．极差是 38.32
C．第 85 百分位数是 259.33 D．第 25 百分位数是 240.59
【答案】BC
【解析】将数据从小到大排序可得 230.87,240.59,242.94,244.31,246.06,258.9,259.33,269.19，共 8 个数据，
244.31+ 246.06
所以中位数是 = 245.185，故 A 错误；
2
极差是 269.19 230.87 = 38.32，故 B 正确；
因为8 0.85 = 6.8，所以第 85 百分位数是第 7 个数，即 259.33，故 C 正确；
240.59 + 242.94
因为8 0.25 = 2，所以第 25 百分位数是 = 241.765，故 D 错误；
2
故选:BC
3 ．（2024·全国·模拟预测）（多选）一组数据x1，x2， x3 ，L， xn的平均值为 5，方差为 2，极差为 7，中位数
为 6，记3x1 1，3x2 1，3x3 1，L，3xn 1的平均值为 a，方差为b ，极差为 c，中位数为d ，则（ ）
A． a =14 B．b =12 C． c = 21 D． d =17
【答案】ACD
【解析】由题意可得 a = 3 5 1 =14，b = 32 2 =18， c = 3 7 = 21， d = 3 6 1 =17 .
故选：ACD．
4．（2024·广东汕头·三模）（多选）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本乙的方差一定小于样本甲的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
【答案】BCD
【解析】对于 A，甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于 6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于 6；
从而甲和乙的极差可能相等，A 错误；
对于 B，根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，乙的众数大于甲的众数，
B 正确；
对于 C，甲的数据比较分散，乙的数据比较集中，因此乙的方差小于甲的方差，C 正确；
对于 D，甲的各组频率依次为：0.15,0.20,0.20,0.20,0.15,0.10，其中位数位于[3.5,4.5)之间，
乙的各组频率依次为：0.05,0.10,0.15,0.35,0.20,0.15，其中位数位于[5.5,6.5)之间，
所以甲的中位数小于乙的中位数，D 正确.
故选：BCD
5．（2024·湖北荆州·模拟预测）（多选）某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁 4 名同学连续 7 周每周阅读的天数
（每周阅读天数可以是 1，2，3，4，5，6，7）进行统计，根据统计所得数据对这 4 名同学这 7 周每周的阅读
天数分别做了如下描述：
甲：中位数为 4，极差为 3； 乙：中位数为 3，众数为 5；
丙：中位数为 4，平均数为 3； 丁：平均数为 3，方差为 3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现 7 天的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】BCD
【解析】对于甲，因为中位数为 4，极差为 3，所以这 7 个数可以是 4,4,4,4, 4,4,7 ，则甲不符合题意.
对于乙，因为中位数为 3，众数为 5，所以这 7 个数从小到大排列后，第 4 个数是 3，
所以1,2,3中一定有一个数出现 2 次，5 出现 3 次，所以这 7 个数中一定没有出现 7，则乙符合题意.
对于丙，若出现 1 个 7，则这 7 个数从小到大排列后，后 4 个数之和最小为 19，前 3 个数之和最小为 3，
22
从而这 7 个数的平均数最小为 > 3，即这 7 个数的平均数不可能为 3，故丙符合题意.
7
对于丁，设这 7 个数分别为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ，则 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 21，
x1 3
2 + x2 3
2 + x 2 2 2 23 3 + x4 3 + x5 3 + x6 3 + x7 3
2 = 21.
若 x1 = 7，则 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 =14,
x 3 2 + x 3 2 + x 3 2 + x 2 22 3 4 5 3 + x6 3) + x7 3
2 = 5 ,
从而 x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 这 6 个数可能是 4,4,4,4, 4,3或 4,4,4,4,3,2 或 4,4,4,3,2,2
或 4,4,3,2,2,2 或 4,3,2,2,2,2 或3,2,2,2,2,2 或5,4,3,3,3,3或5,3,3,3,3,2
或 4,3,3,3,3,1或3,3,3,3,2,1，这与 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 =14矛盾，
即这 7 个数中一定没有出现 7，故丁符合题意.
故选：BCD.
6．（2024·广东茂名·一模）（多选）中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、
颂月等活动，以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足
珍贵的文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了 100 人的成绩整理后得到如图
所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为 75
B．样本的71%分位数为 75
C．样本的平均值为 68.5
D．该校学生中得分低于 60 分的约占20%
【答案】AC
【解析】依题意， 0.015 + 0.025 + 0.035 + 0.005 + 2a 10 =1，解得 a = 0.010，
选项 A，Q最高小矩形的中点横坐标为 75，\众数是 75，故 A 正确.
选项 B，设样本的71%分位数为 x ，又10 0.010 + 0.015 + 0.025 =0.5，
\0.5 + x 70 0.035 = 0.71，解得 x = 76，故 B 错误.
选项 C，平均数为 45 0.1+ 55 0.15 + 65 0.25 + 75 0.35 + 85 0.1+ 95 0.05 = 68.5，故 C 正确.
选项 D，样本中得分低于 60 分的占 0.010 + 0.015 10 = 25%，
\该校学生中得分低于 60 分的约占25%，故 D 错误.
故选：AC.
考点三 统计图表
【例 3-1】（2024·辽宁·二模）（多选）下图为某市 2023 年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民
人均消费支出 7924 元，与上一年同比增长 4.4％；农村居民人均消费支出 4388 元，与上一年同比增长 7.8％，
则关于 2023 年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A．2023 年第一季度该市居民人均消费支出 6393 元
B．居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的 50％
C．城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D．医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的 20.6％
【答案】ABD
【解析】2023 年第一季度全市居民人均消费支出为 2084 + 453+1435 + 356 + 791+ 583+ 528 +163 = 6393（元），
故 A 正确；
易知居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为 2084 +1435 = 3519 （元），
3519
占总人均消费支出的 100% 55.0% > 50%，故 B 正确：
6393
7924 4388
依题意可得 2022 年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为 3520（元），
1.044 1.078
2023 年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为7924 4388 = 3536（元），
由于3520 < 3536，故 C 错误；
528 + 791
医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的 100% 20.6%，故 D 正确．
6393
故选：ABD．
【一隅三反】
1．（2024·浙江杭州·三模）（多选）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠
基人．1854 年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由 38 名志愿女护士组成的团队前往
克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为 12 个扇形，按顺时针方
向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原
因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为 1854 年 4 月至 1855 年 3 月的数据，左侧图
像为 1855 年 4 月至 1856 年 3 月的数据．下列选项正确的为（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵
B．1854 年 4 月至 1855 年 3 月，冬季（12 月至来年 2 月）死亡人数相较其他季节显著增加
C．1855 年 12 月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降
D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡
【答案】BCD
【解析】对于 A 选项，1854 年 4 月至 1855 年 3 月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，
根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死
亡的士兵；错误；
对于 B 选项，从右侧图像可以看出，冬季（12 月至来年 2 月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，
表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；
对于 C 选项，从左侧图像可以看出，1855 年 12 月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因
疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；
对于 D 选项，随着 38 名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可
以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，
因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的
死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,
故选：BCD.
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”
的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为 2023 年中国父母参与过的各类亲子活动人数在
参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（ ）
A．在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读
B．在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于20%
C．图中各类亲子活动占比的中位数为 40.14%
D．图中 10 类亲子活动占比的极差为57.70%
【答案】AB
【解析】对于 A，亲子阅读阅读占比71.08% ，为最大，A 正确；
对于 B，由于71.08% + 52.66% 1 = 23.74% > 20% ，B 正确；
27.77% + 40.14%
对于 C，图中各类亲子活动占比的中位数为 = 33.955%，C 错误；
2
对于 D，图中 10 类亲子活动占比的极差为71.08% 13.32% = 57.76% ，D 错误.
故选：AB
3 ．（2024·全国·模拟预测）（多选）如图为某新能源汽车企业 2015—2022 年及 2023 年 1～9 月份的营业额（单
位：亿元）、净利润（单位：亿元）及 2015—2022 年营业额的增长率的统计图．已知 2023 年第二、三、四季度
的净利润相比上季度均增长10% ，则下列结论正确的是（ ）
A． 2015 2022年营业额逐年增加
B．2022 年的净利润超过 2017 2021年净利润的总和
C． 2015 2022年营业额的增长率最大的是 2022 年
D．2023 年第四季度的净利润比第一季度的净利润多 30 多亿元
【答案】BC
【解析】选项 A：2019 年的营业额低于 2018 年，A 错误．
选项 B：2022 年的净利润为 166.2 亿元，
2017 2021年的净利润的总和为 40.7 + 27.8 +16.1+ 42.3+ 30.5 =157.4（亿元），157.4 <166.2，B 正确．
选项 C： 2015 2022年营业额的增长率最大的是 2022 年，C 正确．
选项 D：设 2023 年第一季度的净利润为 a亿元，则第四季度的净利润为 1+10% 3 a ，
a 1 1.13
则 a + 1+10% a + 1+10% 2 a = = 213.7，得1.13a a = 21.37 ，
1 1.1
故 2023 年第四季度的净利润比第一季度的净利润多 21.37 亿元，D 错误．
故选：BC.
考点四 互斥事件、对立事件与独立事件的辨析
P(AB) 1 P(A) 2 1【例 4-1】（2024 湖北）若 = ， = ，P(B) = ，则事件 A 与 B 的关系是（ ）9 3 3
A．事件 A 与 B 互斥
B．事件 A 与 B 对立
C．事件 A 与 B 相互独立
D．事件 A 与 B 既互斥又相互独立
【答案】C
【解析】由P(AB)
1
= ，得事件A 与 B 不互斥、不对立，ABD 错误；
9
由P(A)
2 1
= 1，得 P(A) = 1 P(A) = ，因此P(AB) = = P(A)P(B)3 ，因此事件 A 与 B 相互独立，C 正确.3 9
故选：C
【例 4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有 2，5， 7 ，70 四个数字，将
这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为 2的倍数”为事件A ，“数字是5的倍数”为事
件 B ，“数字是 7 的倍数”为事件C ，则下列选项正确的是（ ）
A．事件 A, B,C 两两互斥 B．事件 A B 与事件B C 对立
C．P ABC = P A P B P C D．事件 A, B,C 两两相互独立
【答案】D
【解析】事件A 包含基本事件“数字为 2 ”， “数字为70 ”，
事件 B 包含基本事件“数字为5 ”， “数字为70 ”，
事件C 包含基本事件“数字为 7 ”， “数字为70 ”，
事件 A, B可能同时发生，所以事件 A, B不是互斥事件，A 错误；
事件 A B 包含基本事件“数字为 2 ”， “数字为5 ”，“数字为70 ”，
事件B C 包含基本事件“数字为70 ”，
所以事件 A B 与事件B C 不是互斥事件，故也不是对立事件；B 错误；
P A 2 1 P B 2 1 P C 2 1= = ， = = ， = = ，
4 2 4 2 4 2
1
事件 ABC 包含基本事件“数字为70 ”， P ABC = ，
4
所以P ABC P A P B P C ，C 错误；
事件 A B 包含基本事件“数字为70 ”， 事件B C 包含基本事件“数字为70 ”，
事件 AIC 包含基本事件“数字为70 ”，
P AB P AC P BC 1所以 = = = ，
4
又P A P B = P A P C = P B P C 1= ，
4
由独立事件定义可得事件 A, B,C 两两相互独立，D 正确；
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·模拟预测）（多选）投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量
ì 1, 第n次投出正面,
X n = í (n =1,2,3) ．记 A 表示事件“ X1 +X2 =0”， B 表示事件“ X 2 = 1”，C 表示事件
1, 第n次投出反面,
“ X1 + X2 + X3 = 1”，则（ ）
A． B 和C 互为对立事件 B．事件A 和C 不互斥
C．事件A 和 B 相互独立 D．事件 B 和C 相互独立
【答案】BC
1 1
【解析】根据题意，A 表示事件“ X1 +X2 =0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则P A = C1 22 ( ) =2 2 ，
1
B 表示事件“ X 2 = 1”，即第二次抛掷中，正面向上，则P B = ，2
C 1 1 3表示事件“ X 1 21 + X2 + X3 = 1”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P C = C3 ( ) =2 2 8 ，
依次分析选项：
对于 A，事件 B 、C 可能同时发生，则事件 B 、C 不是对立事件，A 错误；
对于 B，事件A 、C 可能同时发生，则事件A 和C 不互斥，B 正确；
1 1 1
对于 C，事件 AB ，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P(AB) = = ，
2 2 4
由于P A P B = P(AB) ，则事件A 和 B 相互独立，C 正确；
1 1 1 1
对于 D，事件BC ，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面， P(BC) = =2 2 2 8 ，
P B P C P(BC)，事件 B 、C 不是相互独立事件，D 错误．
故选：BC．
1
2．（2024·上海·三模）在一个有限样本空间中，假设P A = P B = P C = ，且 A 与 B 相互独立，A 与 C 互斥，
3
以下说法中，正确的个数是（ ）
① P A U B 2= ② P C A = 2P A | C3 ③若P C | B + P C | B
1
= ，则 B 与 C 互斥
2
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，P A = P B 1= ， 且A 与 B 相互独立， 则
3
P AU B 1= P A + P B P AB = 1 1 1 5+ =3 3 3 9 ，故①错误；3
P CA 对于②，P C | A = = 3PP A CA ，
P CA P CA
P A | C 3= = 1 = P CA P C ，1 2
3
故P C A = 2P A | C ， 故②正确；
对于③，P C | B + P C | B 1= ，2
P CB
则 P C | B
P CB
= P C | B =
P B ， P B ，
P CB P C B 1
故 1 + 2 = 2 ，
3 3
即 6P CB + 3P C B = 1，
1
若BC 互斥，则 P BC = 0, P C B = P C = 3 ， 满足上式，
故P BC = 0， 即 B 与C 互斥， 故③正确．
故选：C．
3．（23-24 高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件 B 表示“两
个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正
确的是（ ）
A．A 与 B 是对立事件 B．A 与C D是互斥事件
C． B 与D是相互独立事件 D． B 与C D是相互独立事件
【答案】D
【解析】对于选项 A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件A 和事件 B 可以都不发生，所以选项 A 错误；
对于选项 B，因为C D即两个点数都是偶数，即A 与C D可以同时发生，所以选项 B 错误，
P(B) 3 3 1
3 3 3
对于选项 C，因为 = = ，P(D) =1 = ，又P(BD) = 06 6 4 ，所以P(BD) P(B)P(D) ，故选项 C 错误， 6 6 4
对于选项 D，因为P(C U D) =1，P(B I (C U D))
9 1
= = ，所以P(B I (C U D)) = P(B)P(C U D)，所以选项 D 正
36 4
确，
故选：D.
4．（2024·山西晋中·模拟预测）有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，
每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事
件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则下列说法错误的是（ ）
A．丙与丁是互斥事件 B．甲与丙是互斥事件
C．甲与丁相互独立 D． P （乙U 丙）= P （乙）+ P （丙）
【答案】D
【解析】对于 A：丙与丁不可能同时发生，所以丙与丁是互斥事件，A 正确；
对于 B：若第一次取出的球的数字是 1，则两次取出的球的数字之和不可能是 8，所以甲与丙不可能同时发生，
是互斥事件，B 正确；
1 6 1 1
对于 C： P （甲）= ， P （丁）= = ， P （甲丁）= ，
6 36 6 36
则 P （甲） P （丁）= P（甲丁），所以甲与丁相互独立，C 正确；
对于 D：乙U 丙包含的基本事件有 1,2 , 2,2 , 3,2 , 4,2 , 5,2 , 6,2 , 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 共 10 个，
乙包含的基本事件有 1,2 , 2,2 , 3,2 , 4,2 , 5,2 , 6,2 共 6 个，
丙包含的基本事件有 2,6 , 3,5 , 4,4 , 5,3 , 6,2 共 5 个，
所以 P（乙U 丙） P（乙）+P（丙），D 错误.
故选：D.
考点五 概率的性质
1
【例 5-1】（2024·江苏盐城·一模）已知随机事件 A，B 相互独立，且P A = P B = ，则P AU B = （ ）
3
2 5 1 4
A． B． C． D3 ．9 3 9
【答案】B
1
【解析】因为事件 A，B 相互独立，且P A = P B = ，可得P AB = P A P B 1= ，
3 9
所以P A B = P A + P B P AB 1 1 1 5= + = .
3 3 9 9
故选：B.
【一隅三反】
1 ．（2024·广东·三模）W为样本空间，随机事件 A、B 满足P A = P B 1= ， P A B = 1，则有（
2 ）
A． AUB=W B．P AU B =1 C． AB = D．P A B =1
【答案】B
【解析】设 X ~ N 0,12 ，
对于 A，若事件 A = X > 0 1，事件B = X < 0 ，则P A = P B = ，P A B =1，但 A B W，选项 A 错误；
2
对于 C，若事件 A = X 0 ，事件B = X 0 ，则P A = P B 1= ，P A B =1，但 AB ，选项 C 错误；
2
P AB
对于 D，若事件 A = X > 0 ，事件B = X < 0 ，则P A = P B 1= ，P A B =1，但P A B = = 0
2 P B ，
选项 D 错误；
对于 B，因为P A B =1，所以P A + P B + P AB =1，
又P A = P B 1= ，所以P AB = 0，
2
所以P A B =1 P AB =1，B 正确；
故选：B.
2．（2024 广西玉林·期末）（多选）已知事件 A，B，且P(A) = 0.4, P(B) = 0.3，则（ ）
A．如果B A，那么P(AB) = 0.3
B．如果B A，那么P(AU B) = 0.4
C．如果 A 与 B 相互独立，那么P(A B) = 0.7
D．如果 A 与 B 相互独立，那么P(AB) = 0.42
【答案】ABD
【解析】A：由B A，则P(AB) = P(B) = 0.3，正确；
B：由B A，则P(AU B) = P(A) = 0.4，正确；
C：如果 A 与 B 相互独立，则P(AB) = P(A)P(B) = 0.12，
P(AU B) = P(A) + P(B) P(AB) = 0.58，错误；
D：由 C 分析及事件关系知：P AB =1 P A B = 0.42，正确.
故选：ABD.
3 3 1
3．（2024·全国·模拟预测）设 A, B是随机事件，且P A = , P B = , P AU B = ，则P A B = ．8 4 2
1
【答案】 /0.125
8
3 1
【解析】因为P B = ，所以P B =1 P B = ，4 4
故P AI B = P A + P B P AU B 3 1 1 1= + = ．
8 4 2 8
1
故答案为：
8
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为 5”是事件A ，“点数之和为 4 的
倍数”是事件 B ，则（ ）
A． A + B 为不可能事件 B．A 与 B 为互斥事件
C． AB 为必然事件 D．A 与 B 为对立事件
【答案】B
【解析】同时抛掷两颗骰子，有 36 个结果，
“点数之和为 5”是事件A 有 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 ,共有 4 种情况；
“点数之和为 4 的倍数”是事件 B 有 1,3 , 3,1 , 2,2 , 2,6 , 6,2 , 3,5 , 5,3 , 4,4 , 6,6 ,共有 9 种情况；
对于选项 A: A + B 表示“点数之和为 5 或是 4 的倍数”， 不是不可能事件.故 A 错误；
对于选项 B：A 与 B 不可能同时发生．故 B 正确；
对于选项 C： AB 表示“点数之和为 5 且是 4 的倍数”，是不可能事件，故 C 错误；
对于选项 D：A 与 B 不能包含全部基本事件，故 D 错误.
故选:B．
2．（2023·四川凉山·一模）设 A， B 是两个事件，且 B 发生 A 必定发生，0 < P(A) <1,0 < P(B) <1，给出下列各
式，其中正确的是（ ）
P(B | A) P(A)A．P(A + B) = P(B) B． = P(B)
C．P(A | B) =1 D．P(AB) = P(A)
【答案】C
【解析】QB发生A 必定发生，
\ P(A + B) = P（A）， P(AB) = P （B），故 A，D 错误，
P(B | A) P(AB) P(B)= =
P(A) P(A) ，故 B 错误，
P(A | B) P(AB) P(B)= = = 1
P(B) P(B) ，故 C 正确．
故选：C．
3．（2024·江西宜春·模拟预测）某学校高三年级共有 900 人，其中男生 500 人，现采用按性别比例分配的分层抽
样抽取了容量为 90 的样本. 经计算得男生的身高均值为 170，方差为 19，女生样本的身高均值为 161，方差为
19，则下列说法中不正确的是（ ）
A．女生的样本容量为 40
4
B．女生甲被抽到的概率为
9
C．估计该校高三年级学生身高的均值为 166
D．估计该校高三年级学生身高的方差大于 19
【答案】B
90 1 1
【解析】由题抽样比例为 = ，故男生被抽到人数为 500 = 5010 人；女生被抽到人数为90 50 = 40人，故900 10
A 对；
40 1
所以女生甲被抽到的概率为 = ，故 B 错；
900 500 10
50 40
由上以及题意得总样本均值为： 170 + 161 =166 ；
90 90
50
总样本方差为： é 19 + 170 166
2 ù 40 é
+ 19 + 161 166
2 ù = 39 >19，故 C、D 对.
90 90
故选：B
4．（2024·江西鹰潭·模拟预测）下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是
（ ）
A．这 10 年粮食年产量的极差为 16
B．这 10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35
C．这 10 年粮食年产量的平均数为 33.7
D．前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年粮食年产量的方差
【答案】 B
【解析】A 选项，将样本数据从小到大排列为 26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这 10 年的粮食年
产量极差为 42 26 =16，故 A 正确；
35 + 38
B 选项，10 70% = 7 ，结合 A 选项可知第 70 百分位数为第 7 个数和第 8 个数的平均数，即 = 36.5，故 B
2
不正确；
1
C 选项，这 10 年粮食年产量的平均数为 32 + 32 + 30 + 28 + 35 + 38 + 42 + 39 + 26 + 35 = 33.7 ，故 C 正确；
10
D 选项，结合图形可知，前 5 年的粮食年产量的波动小于后 5 年的粮食产量波动，所以前 5 年的粮食年产量的
方差小于后 5 年的粮食年产量的方差，故 D 正确．
故选：B
5．（2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件 A 为：至少一个点数是奇数；事件 B 为：点
数之和是偶数；事件 A 的概率为P A ，事件 B 的概率为 P B ；则1 P A B 是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
【答案】D
【解析】由题意，事件 A B 为：两个点数都为奇数，
由概率1 P A B 指的是事件 A B 的对立事件的概率，
则事件 A B 的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
6．（2023·河南·二模）设A ， B 是两个随机事件，且A 发生 B 必定发生，0 < P A <1，0 < P B <1，给出下列
各式，其中正确的是（ ）
A．P A + B = P A B．P A B P B = P A
C．P A + B = P B D．P AB = P B
【答案】C
【解析】由A ， B 是两个随机事件，且A 发生 B 必定发生，知： A B ，即 A + B = B ， AI B = A，
所以P A + B = P B ， P P(A | B) P(AB) P(A)AB = P A ， = =P(B) P(B) ，A、B、D 错，C 对；
故选：C
7．（2024·河南南阳·三模）甲袋中有 3 个红球，3 个白球和 2 个黑球；乙袋中有 2 个红球，2 个白球和 4 个黑球.
先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A ， B ，C 表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是
黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．事件A ， B ，C 是两两互斥的事件 B．事件A 与事件D为相互独立事件
P D | A 2 19C． = D．P(D) =
9 72
【答案】B
【解析】由题意可得P A 3= ， P 2B 3= ，P C =8 ，8 8
显然事件A ， B ，C 是两两互斥的事件，故 A 正确；
P D P AD P BD P CD 3 2 3 3 1 2 19= + + = + + = ，故 D 正确；
8 9 8 9 4 9 72
P AD 3 2 6 1 3 19 19= = = ，P A P D = = ，
8 9 72 12 8 72 192
所以P AD P A P D ，故事件A 与事件D不是相互独立事件，故 B 错误；
1
P AD
P D | A = = 12 2=
P A 3 ，故 C 正确；9
8
故选：B.
8．（2024·广东佛山 ）已知事件 A，B，C 的概率均不为 0，则 P A = P C 的充要条件是（ ）
A．P AUC = P A + P C B．P AB = P BC
C．P AU B = P B UC D．P AC = P AC
【答案】D
【解析】对于 A，因为P AUC = P A + P C P AIC ，由P AUC = P A + P C ，
只能得到P A C = 0，并不能得到 P A = P C ，故 A 错误；
对于 B，由于不能确定A ， B ，C 是否相互独立，
若A ， B ，C 相互独立，则P AB = P A P B ，P BC = P B P C ，
则由P AB = P BC 可得 P A = P C ，
故由P AC = P BC 无法确定 P A = P C ，故 B 错误；
对于 C，因为P AU B = P A + P B P AI B ，
P B UC = P B + P C P B IC ，
由P AU B = P B UC ，只能得到P A P A B = P B P B C ，
由于不能确定A ， B ，C 是否相互独立，故无法确定 P A = P C ，故 C 错误；
对于 D，因为P AC = P A P AC ，P AC = P C P AC ，
又P AC = P AC ，所以 P A = P C ，故 D 正确；
故选：D.
二．多选题
9．（2024·广东广州·三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取 100 名考生的成绩（百分制，均为整数）
分成 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（ ）
A．图中 a 的值为 0.005 B．低于 70 分的考生人数约为 40 人
C．考生成绩的平均分约为 73 分 D．估计考生成绩第 80 百分位数为 83 分
【答案】AC
【解析】对于 A，由 2a + 0.02 + 0.03 + 0.04 10 =1，解得 a = 0.005，故 A 对；
对于 B，低于 70 分的考生人数约为 0.005 + 0.04 10 100 = 45，故 B 错；
对于 C，考生成绩的平均分约为
0.005 10 55 + 0.04 10 65 + 0.03 10 75 + 0.02 10 85 + 0.005 10 95 = 73，故 C 对；
对于 D，成绩落在[50,80) 内频率为 0.005 + 0.04 + 0.03 10 = 0.75，
落在[50,90) 内频率为 0.005 + 0.04 + 0.03 + 0.02 10 = 0.95，
故考生成绩第 80 百分位数落在[80,90)，设为 m，
由0.75 + m 80 0.02 = 0.8，解得m = 82.5，
故考生成绩第 80 百分位数为 82.5 分，故 D 错误；
故选：AC
10．（2024·广东湛江·二模）广东省湛江市 2017 年到 2022 年常住人口变化图如图所示，则（ ）
A．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口的极差约为 38 万
B．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口呈递增趋势
C．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口的第 60 百分位数为 730.50 万
D．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口的中位数为 717.02 万
【答案】ACD
【解析】由图可知，湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口的极差约为736.00 698.12 38 (万),A 正确;
这 6 年的常住人口前 3 年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前 3 年，B 错误.
湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口按照从小到大的顺序排列为 698.12，703.09，703.54，730.50，
732.20，736.00，
703.54 + 730.50
6 0.6 = 3.6，所以第 60 百分位数为 730.50 万，中位数为 = 717.02（万），C，D 均正确.
2
11．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A ，“乙正面向上”为
事件 B ，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C ，则下列判断正确的是（ ）
2 1
A．A 与 B 相互独立 B．A 与 B 互斥 C．P B C = D．P C =
3 2
【答案】AC
【解析】对于 A，依题意P A 1 P B 1= ， = ，P AB 1 1= = = P A P B ，
2 2 2 2 4
所以事件A 与事件 B 相互独立，故 A 正确；
对于 B，由题意可知，事件A 与事件 B 有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件A 与事件 B 不是互斥事件，故 B 错误；
对于 C、D， P C 1 1 3= 1 = ，因为B C ，所以 P BC 1= P B =2 2 4 2 ，
1
P B | C P(BC) 2 2所以 = = =P(C) 3 3 ，故 C 正确，D 错误．
4
故选：AC．
三．填空题
12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）将指定的 6 名学生随机分配到 3 个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公
室分配 2 人，则恰好甲 乙两人打扫同一个办公室的概率为 .
1
【答案】 / 0.2
5
【解析】指定的 6 名学生随机分配到 3 个不同的校办公室打扫卫生，
C2C2 2
2 6 4
C2 3
每个办公室分配 人有 3 A3 = 90种分配方法，A3
C2C2
恰好甲 乙两人打扫同一个办公室的有 4 22 A
3
3 =18种分配方法，A2
18 1
则恰好甲 乙两人打扫同一个办公室的概率为 = .90 5
1
故答案为：
5
13．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有 9 个除颜色外完全相同的球，其中红色球有 3 个，蓝色球有 6 个，现甲、
乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．
16
【答案】
21
【解析】记“甲、乙、丙三人都抽到蓝色球”为事件 A，“甲、乙、丙三人至少有一人抽到红色球”为事件 B，则事
件 A, B为对立事件.
P(A) 6 5 4 5 5 16 16因为 = = ，所以P(B) =1 P(A) =1 = ，即至少有一人抽到红色球的概率为 ．
9 8 7 21 21 21 21
16
故答案为：
21
149．（2024·天津武清·模拟预测）某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃
圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答 3 道题，每题 10 分，
答对得 10 分，答错自己不得分，对方得 10 分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的
2 1
获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为 , ，记事件 A 为“答第一道题，甲选手得分”，则P A = ，
3 3
记甲选手的得分为 X （单位，分），P X = 20 = ．
2 4
【答案】 3 9
【解析】由题意可知：事件A 包含甲抢到并答对和乙抢到并答错两种情况，
P A 1 2 1 1= + 1 2所以 ÷ = ；2 3 2 è 3 3
若 X = 20，可知抢答 3 道题，其中有 2 道题甲得分，
2
所以P X = 20 = C2 2 1 43 ÷ = .
è 3 3 9
2 4
故答案为： ； .3 9
四．解答题
15．（2024·陕西安康·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B 两家旅游公司过去
6 个月的利润率统计如下：
10% 5% 5%
A 公司 3 2 1
B 公司 2 2 2
利润
利润率= 100%，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
成本
(1)比较 A，B 两公司过去 6 个月平均每月利润率的大小；
(2)用频率估计概率，且假设 A，B 两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月 A，B 两公司至少有
一家盈利的概率．
【答案】(1) A 公司过去 6 个月平均每月的利润率大于 B 公司过去 6 个月平均每月的利润率；
17
(2) .
18
3 2 1 7
【解析】（1）A 公司过去 6 个月平均每月的利润率为10% + 5% 5% = ，
6 6 6 120
2 2 2 1
B 公司过去 6 个月平均每月的利润率为10% + 5% 5% = ，
6 6 6 30
7 1
因为 > ，
120 30
所以 A 公司过去 6 个月平均每月的利润率大于 B 公司过去 6 个月平均每月的利润率．
A 3 + 2 5（2） 公司过去 6 个月盈利的频率为 = ，
6 6
2 + 2 2
B 公司过去 6 个月盈利的频率为 = ，
6 3
5 2
用频率代替概率，可知 A，B 两公司未来某个月盈利的概率分别为 , ．
6 3
设 A，B 两公司盈利分别为事件M ， N ，由题知M 与 N 相互独立，
1 1 17
所以所求概率为1 P(MN ) =1 P(M )P(N ) =1 = ．
6 3 18
16．（2024·重庆·三模）我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校
供暖器的噪声不能超过 50 分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，
这批供暖器的噪声 ( 单位：分贝 )和热效率的频率分布直方图如图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求 a，b 的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽 2 件，求恰有 1 件噪声不超过 25 分贝且热效率
不低于90%的概率；
(3)当 x 90,100 x 50，设供暖器的噪声不超过 （分贝）的概率为 p1，供暖器的热效率不低于 x%的概率为2
p2，求 p1 + p2 的取值范围.
【答案】(1) a = 0.04，b = 0.032
(2) 0.04875
(3) 0.05,0.5
【解析】（1）由题意得 0.01+ 0.03 + a + 0.06 + a + 0.02 5 =1，
解得 a = 0.04，
0.008 + 0.02 + b + 0.04 + 0.06 + 0.04 5 =1，
解得b = 0.032；
（2）供暖器的噪声不超过 25 分贝的概率为0.01 5 = 0.05，
其热效率不低于90%的概率为0.06 5 + 0.04 5 = 0.3+ 0.2 = 0.5，
每 1 件供暖器噪声和热效率符合题意的概率为 0.5 0.05 = 0.025，
\ 1抽 2 件中恰有 1 件符合题意的概率为C2 0.025 0.975 = 0.04875；
（3）Q x 90,100 ，
x 50
\ 20,25 ，则 p1 = 0.01
x 90
= 0.005x 0.45，
2 2
当 x 90,95 , p2 = 95 x 0.06 + 0.2 = 5.9 0.06x,
\ p1 + p2 = 5.45 0.055x，则 p1 + p2 0.225,0.5 ,
当 x 95,100 ， p2 = 100 x 0.04 = 4 0.04x，
\ p1 + p2 = 3.55 0.035x，则 p1 + p2 0.05,0.225 ，
\ p1 + p2 的取值范围是 0.05,0.5 .
17．（2024·浙江·模拟预测）将号码为 1，2，3，4 的 4 个小球等可能地放入号码为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，
每个盒子恰放 1 个小球．
(1)求 1 号球不在 1 号盒中的概率；
(2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为 X，不同的个数为 Y，求证：E X E Y > E XY ．
3
【答案】(1)
4
(2)证明见解析
C1A3 18 3
【解析】（1）记事件“1 号球不在 1 号盒中”为 A，则P A = 3 34 = = ；A4 24 4
（2）X 的取值为 0，1，2，4，且 X +Y = 4，
P X 0 9 3= = 4 = ，P X =1
8 1
= =
A4 8 A
4
4 3
，
P X 2 C
2
4 1 1 1= = 4 = ，P X = 4 = = ，A4 4 A44 24
所以E X = 0 3 +1 1 + 2 1 1 + 4 =1，E Y = E 4 X = 4 E X = 3，
8 3 4 24
3 1 5
X = 0时，Y = 4， X = 4时，Y = 0 ，此时 XY = 0，则P XY = 0 = + = ，
8 24 12
1
X =1时，Y = 3，此时 XY = 3，P XY = 3 = ，
3
1
X = 2时，Y = 2，此时 XY = 4，P XY = 4 = ，
4
E XY 0 5 1 1= + 3 + 4 = 2，
12 3 4
因为E X E Y =1 3 = 3，所以E X E Y > E XY ．
18．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生
每天睡眠时间应达到 10 小时，初中生应达到 9 小时，高中生应达到 8 小时”.现调查了 1 万个当地学生的时间利
用信息，得出下图.
(1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）
(2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率；
(3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.
【答案】(1)平均值 9.63，8.64，方差 0.03，0.05
3
(2)
10
(3)答案见解析
2 2
【解析】（1）设小学生的平均睡眠时间为 x1 ，方差为 s1 ；设初中生的平均睡眠时间为 x2 ，方差为 s2 .
x 9.84 + 9.66 + 9.81+ 9.57 + 9.63 + 9.291 = 9.63，6
s2 11 = 0.212 + 0.032 + 0.182 + 0.062 + 0 + 0.3426 0.03
x 8.95 + 8.56 + 8.402 = 8.64，3
s2 12 = 0.312 + 0.082 + 0.242 0.05 .3
C23 3
（2）设事件A 为两个年级均来自高中，则P A = = .
C25 10
（3）与高中生相比，大学生的学习时间减少了近 4 个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实在校
生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一）
19．（2024·福建泉州·模拟预测）测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间
和右侧的概率分别为 0.5，0.1 和 0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有 0.1，0.2 和 0.2 的概率踢飞或踢偏
（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员
甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为 0.6，
0.1 和 0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为 0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的的
概率为 0.8.
(1)求球员甲面对守门员乙时，第 1 次罚点球罚丢的概率；
(2)若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提
下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加 0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，
会有 0.2 的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员
乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加 0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，
且重罚时守门员乙不再提前移动.
（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；
P(x )
（ii）设P k 为球员甲在第 k 轮罚进点球的概率，若x 满足对于"k 1,2,3,4,5 ， 1P(k) ，直接写出符合题意
的x .（注：最终结果均保留两位小数.）
【答案】(1)0.34；
(2)（i）0.67；（ii）x = 5 .
【解析】（1）设球员甲罚点球时，踢向左侧、中间、右侧的事件分别为 A1, A2 , A3 ，
球员甲踢飞或踢偏（没有射正）的事件为 D，守门员乙在扑点球时扑向右侧、中间、左侧的事件分别为
B1, B2 , B3 ，
守门员乙扑出点球的事件为 E，
则P(A1) = 0.5, P(A2 ) = 0.1, P(A3) = 0.4，P(D | A1) = 0.1, P(D | A2 ) = 0.2, P(D | A3) = 0.2，
P(B1) = 0.6, P(B2 ) = 0.1, P(B3) = 0.3, P(E | B1) = 0.5, P(E | B2 ) = 0.8, P(E | B3) = 0.5，
设球员甲第 1 次罚点球罚丢的事件为 F，则F = D U E, D, E 为互斥事件，
3 3
则P(F ) = P(D U E) = P(D) + P(E) = P(D | Ai )P(Ai ) + P(D | Ai )P(Ai ) × P(E | Bi )P(Bi )
i=1 i=1
= 0.5 0.1+ 0.1 0.2 + 0.2 0.4 + 0.9 0.5 0.6 0.5 + 0.8 0.1 0.1 0.8 + 0.8 0.4 0.3 0.5
= 0.3394 0.34 .
（2）（i）当球员甲在上一轮罚丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的概率都增加 0.1，
或者守门员乙提前移动时，所有方向扑出点球的也增加 0.1，因此球员甲第二轮罚进点球包含以下 4 个互斥事件：
①第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，概率为 (1 0.34) 0.8 (1 0.34) = 0.34848；
②第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，此时罚丢点球的概率为
0.5 0.1+ 0.1 0.2 + 0.2 0.4 + 0.9 0.6 0.6 0.5 + 0.9 0.1 0.1 0.8 + 0.8 0.4 0.3 0.6
= 0.3768 0.38，
此时罚进的点球的概率为 (1 0.34) 0.2 (1 0.38) = 0.08184 ；
③第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，
此时罚进的概率为 (1 0.34) 0.2 0.38 (1 0.34) = 0.0331056；
④第一轮未罚进，第二轮罚进，此时罚进的概率为0.34 (1 0.38) = 0.2108，
所以第二轮球员甲罚进的概率为0.34848 + 0.08184 + 0.0331056 + 0.2108 = 0.6742256 0.67 .
（ii）x = 5 .
由（1）及（2）（i）知，P(1) =1 0.34 = 0.66, P(2) = 0.67 ，
则第三轮的情况如第二轮时情形，但第二轮罚进点球的概率增加了，
因此第三轮罚进点球的概率比第二轮时要高，从而P(k)(k {1,2,3,4,5}) 随 k 的增大而增大，
P(x )
于是若x 满足对于"k 1,2,3,4,5 ，均有 1P(k) ，则x = 5 .7.3 统计概率基础知识
考点一 随机抽样
【例 1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为 1 到 100
的塑料瓶装饮料中抽取 5 瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 瓶饮料的
编号可能是（ ）
A．5，15，25，35，45 B．10，25，40，55，70
C．10，20，30，40，50 D．10，30，50，70，90
【例 1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方
法从三个年级中抽取了 300 人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了 90 人．已知该校高三年级共有 720
名学生，则该校共有学生 人．
【一隅三反】
1．（2024 湖南永州·阶段练习）总体由编号为 01，02，…，30 的 30 个个体组成.利用所给的随机数表选取 6 个个
体，选取的方法是从随机数表第 1 行的第 3 列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编
号为（ ）
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A．20 B．26 C．17 D．03
2．（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对 650 名学生进行抽样，先将 650 名学
生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取 50 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第
5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中
小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为 70，则抽取
的高中生中近视人数为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．40
4．（2024·河南·三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为 40，30，50，学校计划采用按比例
分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为 6 人，则高三年级
三个班优秀学生总人数为（ ）
A．16 B．30 C．24 D．18
5．（2024·重庆·三模）重庆某高校去年招收学生来自成渝地区 2400 人，除成渝外的西部地区 2000 人，中部地区
1400 人，东部地区 1800 人，港澳台地区 400 人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取 40 人作样本调研，为保证
调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为（ ）
A C40． 2400 B C
24 C C12 10． 2400 ． 2400 D．C2400
考点二 特征数
【例 2-1】．（2024·重庆九龙坡·三模）（多选）已知样本数据 x1, x2 , x3的平均数为 2，方差为 1，则下列说法正确的
是（ ）
A．数据3x1 1，3x2 1，3x3 1的平均数为 6
B．数据3x1 1，3x2 1，3x3 1的方差为 9
C．数据 x1, x2 , x3 , 2的方差为 1
D x2 , x2．数据 1 2 , x
2
3 的平均数为 5
【例 2-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知m,n R ，有一组数据为 2 + m，3，6 n，7 m，8，10，
11+ n，12，13，若在这组数据中去除第 5 个数 8，则（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变
【例 2-3】（2024·山西·模拟预测）（多选）某市举办了“爱国爱党”知识竞赛.把 1000 名参赛者的成绩（满分 100
分，成绩取整数）按 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，
则下列说法错误的为（ ）
A． a的值为 0.035
B．估计这组数据的众数为 90
C．估计这组数据的第 70 百分位数为 89
D．估计成绩低于 80 分的有 350 人
【一隅三反】
1．（2024·河北保定·三模）（多选）若一组数据 14，17，11，9，12，15，m ，8，10，7 的第 65 百分位数为 12，
则m 的值可能为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．14
2 ．（2024·河北·三模）（多选）根据中国报告大厅对 2023 年 3 月~10 月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳
能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表：
月份 3 4 5 6
发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33
月份 7 8 9 10
发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31
关于 2023 年 3 月~10 月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（ ）
A．中位数是 259.115 B．极差是 38.32
C．第 85 百分位数是 259.33 D．第 25 百分位数是 240.59
3 ．（2024·全国·模拟预测）（多选）一组数据x L1，x2， x3 ， ， xn的平均值为 5，方差为 2，极差为 7，中位数
为 6，记3x1 1，3x2 1，3x3 1，L，3xn 1的平均值为 a，方差为b ，极差为 c，中位数为d ，则（ ）
A． a =14 B．b =12 C． c = 21 D． d =17
4．（2024·广东汕头·三模）（多选）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本乙的方差一定小于样本甲的方差
D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
5．（2024·湖北荆州·模拟预测）（多选）某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁 4 名同学连续 7 周每周阅读的天数
（每周阅读天数可以是 1，2，3，4，5，6，7）进行统计，根据统计所得数据对这 4 名同学这 7 周每周的阅读
天数分别做了如下描述：
甲：中位数为 4，极差为 3； 乙：中位数为 3，众数为 5；
丙：中位数为 4，平均数为 3； 丁：平均数为 3，方差为 3.
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现 7 天的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2024·广东茂名·一模）（多选）中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐代，如今逐渐演化为赏月、
颂月等活动，以月之圆兆人之团圆，为寄托思念故乡，思念亲人之情，祈盼丰收、幸福，成为丰富多彩、弥足
珍贵的文化遗产.某校举行与中秋节相关的“中国传统文化”知识竞赛，随机抽查了 100 人的成绩整理后得到如图
所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为 75
B．样本的71%分位数为 75
C．样本的平均值为 68.5
D．该校学生中得分低于 60 分的约占20%
考点三 统计图表
【例 3-1】（2024·辽宁·二模）（多选）下图为某市 2023 年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民
人均消费支出 7924 元，与上一年同比增长 4.4％；农村居民人均消费支出 4388 元，与上一年同比增长 7.8％，
则关于 2023 年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A．2023 年第一季度该市居民人均消费支出 6393 元
B．居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的 50％
C．城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D．医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的 20.6％
【一隅三反】
1．（2024·浙江杭州·三模）（多选）南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠
基人．1854 年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由 38 名志愿女护士组成的团队前往
克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为 12 个扇形，按顺时针方
向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原
因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为 1854 年 4 月至 1855 年 3 月的数据，左侧图
像为 1855 年 4 月至 1856 年 3 月的数据．下列选项正确的为（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵
B．1854 年 4 月至 1855 年 3 月，冬季（12 月至来年 2 月）死亡人数相较其他季节显著增加
C．1855 年 12 月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降
D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”
的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为 2023 年中国父母参与过的各类亲子活动人数在
参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（ ）
A．在参与调查的总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读
B．在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于20%
C．图中各类亲子活动占比的中位数为 40.14%
D．图中 10 类亲子活动占比的极差为57.70%
3 ．（2024·全国·模拟预测）（多选）如图为某新能源汽车企业 2015—2022 年及 2023 年 1～9 月份的营业额（单
位：亿元）、净利润（单位：亿元）及 2015—2022 年营业额的增长率的统计图．已知 2023 年第二、三、四季度
的净利润相比上季度均增长10% ，则下列结论正确的是（ ）
A． 2015 2022年营业额逐年增加
B．2022 年的净利润超过 2017 2021年净利润的总和
C． 2015 2022年营业额的增长率最大的是 2022 年
D．2023 年第四季度的净利润比第一季度的净利润多 30 多亿元
考点四 互斥事件、对立事件与独立事件的辨析
P(AB) 1【例 4-1】（2024 湖北）若 = ，P(A)
2
= ，P(B)
1
= ，则事件 A 与 B 的关系是（
9 3 3 ）
A．事件 A 与 B 互斥
B．事件 A 与 B 对立
C．事件 A 与 B 相互独立
D．事件 A 与 B 既互斥又相互独立
【例 4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有 2，5， 7 ，70 四个数字，将
这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为 2的倍数”为事件A ，“数字是5的倍数”为事
件 B ，“数字是 7 的倍数”为事件C ，则下列选项正确的是（ ）
A．事件 A, B,C 两两互斥 B．事件 A B 与事件B C 对立
C．P ABC = P A P B P C D．事件 A, B,C 两两相互独立
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·模拟预测）（多选）投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量
ì 1, 第n次投出正面,
X n = í (n =1,2,3) ．记 A 表示事件“ X1 +X2 =0”， B 表示事件“ X 1, n , 2 = 1”，C 表示事件 第 次投出反面
“ X1 + X2 + X3 = 1”，则（ ）
A． B 和C 互为对立事件 B．事件A 和C 不互斥
C．事件A 和 B 相互独立 D．事件 B 和C 相互独立
2．（2024·上海·三模）在一个有限样本空间中，假设P A = P B = P C 1= ，且 A 与 B 相互独立，A 与 C 互斥，
3
以下说法中，正确的个数是（ ）
① P A U B 2= ② P C A = 2P A | C ③若P C | B + P C | B 1=3 ，则 B 与 C 互斥2
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24 高二下·上海·期中）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件 B 表示“两
个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正
确的是（ ）
A．A 与 B 是对立事件 B．A 与C D是互斥事件
C． B 与D是相互独立事件 D． B 与C D是相互独立事件
4．（2024·山西晋中·模拟预测）有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，
每次取 1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事
件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则下列说法错误的是（ ）
A．丙与丁是互斥事件 B．甲与丙是互斥事件
C．甲与丁相互独立 D． P （乙U 丙）= P （乙）+ P （丙）
考点五 概率的性质
【例 5-1】（2024·江苏盐城·一模）已知随机事件 A，B 相互独立，且P A = P B 1= ，则P AU B = （ ）
3
2 5 1 4
A． B3 ． C． D．9 3 9
【一隅三反】
1
1 ．（2024·广东·三模）W为样本空间，随机事件 A、B 满足P A = P B = ， P A B = 1，则有（
2 ）
A． AUB=W B．P AU B =1 C． AB = D．P A B =1
2．（2024 广西玉林·期末）（多选）已知事件 A，B，且P(A) = 0.4, P(B) = 0.3，则（ ）
A．如果B A，那么P(AB) = 0.3
B．如果B A，那么P(AU B) = 0.4
C．如果 A 与 B 相互独立，那么P(A B) = 0.7
D．如果 A 与 B 相互独立，那么P(AB) = 0.42
3 3 1
3．（2024·全国·模拟预测）设 A, B是随机事件，且P A = , P B = , P AU B = ，则P A B = ．8 4 2
一．单选题
1．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为 5”是事件A ，“点数之和为 4 的
倍数”是事件 B ，则（ ）
A． A + B 为不可能事件 B．A 与 B 为互斥事件
C． AB 为必然事件 D．A 与 B 为对立事件
2．（2023·四川凉山·一模）设 A， B 是两个事件，且 B 发生 A 必定发生，0 < P(A) <1,0 < P(B) <1，给出下列各
式，其中正确的是（ ）
P(A)
A．P(A + B) = P(B) B．P(B | A) = P(B)
C．P(A | B) =1 D．P(AB) = P(A)
3．（2024·江西宜春·模拟预测）某学校高三年级共有 900 人，其中男生 500 人，现采用按性别比例分配的分层抽
样抽取了容量为 90 的样本. 经计算得男生的身高均值为 170，方差为 19，女生样本的身高均值为 161，方差为
19，则下列说法中不正确的是（ ）
A．女生的样本容量为 40
4
B．女生甲被抽到的概率为
9
C．估计该校高三年级学生身高的均值为 166
D．估计该校高三年级学生身高的方差大于 19
4．（2024·江西鹰潭·模拟预测）下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是
（ ）
A．这 10 年粮食年产量的极差为 16
B．这 10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35
C．这 10 年粮食年产量的平均数为 33.7
D．前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年粮食年产量的方差
5．（2023·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件 A 为：至少一个点数是奇数；事件 B 为：点
数之和是偶数；事件 A 的概率为P A ，事件 B 的概率为 P B ；则1 P A B 是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
6．（2023·河南·二模）设A ， B 是两个随机事件，且A 发生 B 必定发生，0 < P A <1，0 < P B <1，给出下列
各式，其中正确的是（ ）
P B
A．P A + B = P A B．P A B = P A
C．P A + B = P B D．P AB = P B
7．（2024·河南南阳·三模）甲袋中有 3 个红球，3 个白球和 2 个黑球；乙袋中有 2 个红球，2 个白球和 4 个黑球.
先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A ， B ，C 表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是
黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．事件A ， B ，C 是两两互斥的事件 B．事件A 与事件D为相互独立事件
C．P D | A 2 19= D．P(D) =
9 72
8．（2024·广东佛山 ）已知事件 A，B，C 的概率均不为 0，则 P A = P C 的充要条件是（ ）
A．P AUC = P A + P C B．P AB = P BC
C．P AU B = P B UC D．P AC = P AC
二．多选题
9．（2024·广东广州·三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取 100 名考生的成绩（百分制，均为整数）
分成 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 五组后，得到如下图的频率分布直方图，则（ ）
A．图中 a 的值为 0.005 B．低于 70 分的考生人数约为 40 人
C．考生成绩的平均分约为 73 分 D．估计考生成绩第 80 百分位数为 83 分
10．（2024·广东湛江·二模）广东省湛江市 2017 年到 2022 年常住人口变化图如图所示，则（ ）
A．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口的极差约为 38 万
B．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口呈递增趋势
C．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口的第 60 百分位数为 730.50 万
D．湛江市 2017 年到 2022 年这 6 年的常住人口的中位数为 717.02 万
11．（2024·山东日照·二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A ，“乙正面向上”为
事件 B ，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C ，则下列判断正确的是（ ）
2 1
A．A 与 B 相互独立 B．A 与 B 互斥 C．P B C = D．P C =
3 2
三．填空题
12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）将指定的 6 名学生随机分配到 3 个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公
室分配 2 人，则恰好甲 乙两人打扫同一个办公室的概率为 .
13．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有 9 个除颜色外完全相同的球，其中红色球有 3 个，蓝色球有 6 个，现甲、
乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．
14．（2024·天津武清·模拟预测）某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃
圾分类知识竞赛.通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛.决赛采用积分制，规则为:抢答 3 道题，每题 10 分，
答对得 10 分，答错自己不得分，对方得 10 分.选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的
2 , 1获胜.已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为 ，记事件 A 为“答第一道题，甲选手得分”，则P A = ，
3 3
记甲选手的得分为 X （单位，分），P X = 20 = ．
四．解答题
15．（2024·陕西安康·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B 两家旅游公司过去
6 个月的利润率统计如下：
10% 5% 5%
A 公司 3 2 1
B 公司 2 2 2
利润
利润率= 100%，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
成本
(1)比较 A，B 两公司过去 6 个月平均每月利润率的大小；
(2)用频率估计概率，且假设 A，B 两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月 A，B 两公司至少有
一家盈利的概率．
16．（2024·重庆·三模）我市开展了“暖冬计划”活动，为高海拔地区学校加装供暖器.按供暖器的达标规定：学校
供暖器的噪声不能超过 50 分贝、热效率不能低于70%.某地采购了一批符合达标要求的供暖器，经抽样检测，
这批供暖器的噪声 ( 单位：分贝 )和热效率的频率分布直方图如图所示：
假设数据在组内均匀分布，且以相应的频率作为概率.
(1)求 a，b 的值；
(2)如果供暖器的噪声与热效率是独立的，从这批供暖器中随机抽 2 件，求恰有 1 件噪声不超过 25 分贝且热效率
不低于90%的概率；
(3)当 x 90,100 x 50，设供暖器的噪声不超过 （分贝）的概率为 p1，供暖器的热效率不低于 x%的概率为2
p2，求 p1 + p2 的取值范围.
17．（2024·浙江·模拟预测）将号码为 1，2，3，4 的 4 个小球等可能地放入号码为 1，2，3，4 的 4 个盒子中，
每个盒子恰放 1 个小球．
(1)求 1 号球不在 1 号盒中的概率；
(2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为 X，不同的个数为 Y，求证：E X E Y > E XY ．
18．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生
每天睡眠时间应达到 10 小时，初中生应达到 9 小时，高中生应达到 8 小时”.现调查了 1 万个当地学生的时间利
用信息，得出下图.
(1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）
(2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率；
(3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.
19．（2024·福建泉州·模拟预测）测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间
和右侧的概率分别为 0.5，0.1 和 0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有 0.1，0.2 和 0.2 的概率踢飞或踢偏
（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员
甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为 0.6，
0.1 和 0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为 0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的的
概率为 0.8.
(1)求球员甲面对守门员乙时，第 1 次罚点球罚丢的概率；
(2)若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提
下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加 0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，
会有 0.2 的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员
乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加 0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，
且重罚时守门员乙不再提前移动.
（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；
（ii）设P P(x )k 为球员甲在第 k 轮罚进点球的概率，若x 满足对于"k 1,2,3,4,5 ， 1P(k) ，直接写出符合题意
的x .（注：最终结果均保留两位小数.）

展开更多......

收起↑