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7.4 常见的几种分布列
考点一 二项分布
【例 1】（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得 1 分，负者得 0 分，
2
且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 3 ，每局比赛的结果互不影响.
(1)经过 3 局比赛，记甲的得分为 X，求 X 的分布列和期望；
(2)若比赛采取 3 局制，试计算 3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【答案】(1)分布列见解析，2
20
(2)
27
2
【解析】（1）由题意得， X ~ B 3, ÷ ，X 的取值可能为 0，1，2 33 ， ，è
3
P X 0 1 2 1
2
= = - 1
2 2 2
则 3 ÷
= ，P X =1 = C3 1- = ，
è 27 3 ÷è 3 9
2 2P X 2 4 2
3 8
= 2 = C23

÷ 1-

3 ÷
= ，P X = 3 = ÷ = .
è è 3 9 è 3 27
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 2 4 8P
27 9 9 27
因为 X ~ B
3, 2 2 3 ÷，所以
X 的期望E X = np = 3 = 2 .
è 3
（2）第 3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：
甲获胜 2 局，甲获胜 3 局，
4 8 20
所以所求概率为P = P X = 2 + P X = 3 = + =
9 27 27
【一隅三反】
1．（2024·河北承德·二模）中国共产党第二十次全国代表大会于 2022 年 10 月 16 日在北京开幕，各地报起了一
股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了 1000 人的竞
赛成绩（满分 100 分）数据，统计结果如下表所示：
成绩区间 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
频数 20 180 200 280 220 80 20
(1)求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取 3 位同学参加党史知识竞赛，记他们之中
不低于 60 分的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
【答案】(1)63.2；
9
(2)分布列见解析，
5
x 35 20 45 180 55 200 65 280 220 80 20【解析】（1） = + + + + 75 + 85 + 95
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000
= 35 0.02 + 45 0.18 + 55 0.2 + 65 0.28 + 75 0.22 + 85 0.08 + 95 0.02 = 63.2 .
280 + 220 + 80 + 20 600 3
（2）随机抽取一位同学成绩不低于 60 分的频率为 = = ，
1000 1000 5
3
由题意可知， X : B 3, ÷，则 X = 0,1,2,3，
è 5
2 3 8 2 2P X 0 1 3 36= = = ; P X =1 = C5 ÷ 125 3 ÷ = ;è è 5 5 125
2 3 2 54 3 3P X 2 C2 ; P X 3 27= = 3 5 5 ÷ = = = = ;è 125 ÷è 5 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
8 36 54 27
P 125 125 125 125
E X 3 3 9= = .
5 5
2．（2024·上海普陀·二模）张先生每周有 5 个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，
直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.
(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件 B
为“大货车从中间直行车道通行”，求P(A B)；
(2)用 X 表示张先生每周工作日出行事件A 发生的次数，求 X 的分布及期望 E[X ] .
1
【答案】(1)
6
(2)答案见详解
1 1
【解析】（1）依题意得，事件 B 的概率为P(B) = ，在事件 B 发生的条件下事件A 发生的概率为P(A B) = ，
3 2
1 1 1
则P A B = P A | B P B = = .
2 3 6
k 5-k
（2）依题意得，事件A 发生的次数 X 可取：0,1,2,3,4,5，所以 X ~ B

5,
1
3 ÷ ，即P X = k = C
k 1 2
è 5
，
è 3 ÷ ÷ è 3
则 X 的分布为：
0 1 2 3 4 5
5 4 2 3 3 2 4 5 ÷
C0 2 C1 1 2 5 ÷ 5 ÷ ÷ C
2 1 2 C3 1 2 4 1 2 5 1 ÷
3 3 3 5 3 ÷ 3 ÷ 5 3 ÷ ÷
C5 ÷ ÷ C5 ÷
è è è è è è è è 3 è 3 è 3 è 3 ÷
0 1 2 3 4 5
即 32 80 80 40 10 1
÷，
÷
è 243 243 243 243 243 243 ÷
E X 1 80 2 80 3 40 4 10 5 1 5则 = + + + + = ，
243 243 243 243 243 3
5
则所求的 X 的期望E X = .
3
考点二 超几何分布
【例 2】（2024·广东茂名·一模）近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加
速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业
竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零
部件进行检测.
(1)若每个汽车零部件的合格率为 0.9，从中任取 3 个零部件进行检测，求至少有 1 个零部件是合格的概率；
(2)若该批零部件共有 20 个，其中有 4 个零部件不合格，现从中任取 2 个零部件，求不合格零部件的产品数 X
的分布列及其期望值.
【答案】(1) 0.999
2
(2)分布列见解析，
5
【解析】（1）记“检测出至少有 1 个零部件是合格品”为事件A ，
则P A =1- P A =1- 1- 0.9 3 = 0.999；
（2）由题意可知，随机变量 X 的可能取值为0,1,2，
P X 0 C
2
16 12 C
1
16C
1
4 32 C
2 3
= = 2 = ；P X =1 = 4C 19 C2 = ；P X = 2 = = .20 20 95 C220 95
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
12 32 3
P 19 95 95
E X 0 12 1 32 3 38 2= + + 2 = = .
19 95 95 95 5
【一隅三反】
1．（2024 高三下·河南·专题练习）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10 个大小 形状完全相同的小球，其中 8 个
白球，2 个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸 4 次，记随机变量 X 为小张摸出白球
的个数.
(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E X 和D X ；
(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求 X 的分布列.
【答案】(1) E X = 3.2, D X = 0.64 .
(2)分布列见解析
【解析】（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸 4 次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量 X ~ B 4,0.8 ，
所以E X = 4 0.8 = 3.2，D X = 4 0.8 1- 0.8 = 0.64 .
（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸 4 次，
且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量 X 服从超几何分布，
CkC4-k8 2
则P X = k = 4 , k = 2,3,4，C10
P X 2 C
2C2 2 C3C1 8 C4 1
可得 = = 8 2 = , P X = 3 = 8 24 4 = , P X = 4 = 8 = ，C10 15 C10 15 C410 3
所以 X 的分布列为
X 2 3 4
2 8 1
P 15 15 3
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知一个不透明的箱中装有 3 个白球，4 个黑球，现从该箱中任取 3 个球（无
放回，且每球取到的机会均等）.
(1)求取出的 3 个球的颜色相同的概率；
(2)记随机变量 X 为取出 3 个球中白球的个数，求 X 的分布列及数学期望．
1
【答案】(1)
7
9
(2)分布列见解析，数学期望为
7
【解析】（1）记“取出的三个球的颜色相同”为事件M ，
P M C
3
3 + C
3
4 1+ 4 5 1= =
所以 C3 7 6 5
= =
35 7 ；7
3 2 1
（2）由题意得 X 取值为 0，1，2，3，
C0 3 1 2
则P X = 0 = 3C4 43 = ，P X =1
C3C4 18= = ，
C7 35 C
3
7 35
2 1 3 0
P X = 2 C C 12= 3 43 = ，P X = 3
C3C 1= 4 = ，
C7 35 C
3
7 35
所以 X 的分布列如下：
X 0 1 2 3
4 18 12 1
P 35 35 35 35
E X 0 4= +1 18 2 12 1 9 + + 3 = .
35 35 35 35 7
3．（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽
口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面
给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径80mm : 85mm为一级果，果径75mm : 80mm为二级果，果径70 : 75mm
或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取 1000 个，测量这些脐橙的果径
（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这 1000 个脐橙的果径的中位数；
(2)在这 1000 个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70 : 85mm中抽出 9 个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取
的 9 个脐橙中再抽出 3 个，求抽到的一级果个数 X 的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买 100 个，其中一级果的个数为Y ，
记一级果的个数为 k 的概率为P(Y = k)，写出P(Y = k)的表达式，并求出当 k 为何值时，P(Y = k)最大？
【答案】(1)81
4
(2)分布列见解析，
3
k 100-k
(3) P(Y = k) = Ck × 3 7100 ÷ ×

10 10 ÷
，30
è è
【解析】（1）果径 65,80 的频率为 (0.013 + 0.030 + 0.045) 5 = 0.44 < 0.5，
果径[65,85)的频率为 (0.013 + 0.030 + 0.045 + 0.060) 5 = 0.74 > 0.5 .
故果径的中位数在[80,85)，不妨设为 a，
则0.44 + (a -80) 0.060 = 0.5，解得 a = 81，
所以估计这 1000 个脐橙的果径的中位数为81.
（2）果径[70,75),[75,80),[80,85)的频率之比为 (0.03 5) : (0.045 5) : (0.06 5) = 2 : 3 : 4，
所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为 4，3，2 个，
故随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3，
C3 2 1P(X 0) 5 10 P(X 1) C5C4 40则 = = 3 = ， = = 3 = ，C9 84 C9 84
C1P(X 2) 5C
2
4 30 C
3 4
= = 3 = ，P(X = 3) =
4 = .
C9 84 C
3
9 84
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
10 40 30 4
P 84 84 84 84
期望E(X ) = 0
10 40 30 4 112 4
+1 + 2 + 3 = = .
84 84 84 84 84 3
（3）依题意知，这批果实中一级果的概率 p = 0.06 5
3
= ，
10
每个果实相互独立，则Y ~ B
100, 3 ÷，
è 10
3 k 7 100-kP(Y = k) = Ck 则 100 × ÷ × ÷ ，
è10 è10
3 k +1 7 99-kk +1
P(Y = k +1) C100 × 10 ÷
×
= è è10
÷
3(100 - k)
令 P(Y = k) 3 k 100-k
= >1，解得 k < 29.3，
Ck × 7
7(k +1)
100 10 ÷
× ÷
è è10
故当 k 29时，P(Y = k +1) > P(Y = k)，
即P(Y = 30) > P(Y = 29) > P(Y = 28) > P(Y = 27) >L；
当 k 30 时，P(Y = k +1) < P(Y = k)，
即P(Y = 30) > P(Y = 31) > P(Y = 32) > P(Y = 33) >L，
所以P(Y = k)max = P(Y = 30)，即一级果的个数最有可能为 30 个.
考点三 正态分布
【例 3】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023 年 11
月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了 100 个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒 [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600]
购物群数量/个 12 18 m 32 18
(1)求实数m 的值.并用组中值（每组的中点值）估计这 100 个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2) 2假设所有购物群销售脐橙的数量 X ~ N m,s ，其中m 为（1）中的平均数，s 2 =14400 .若该脐橙基地参与
销售的购物群约有 1000 个，销售的脐橙在[256,616)（单位：盒）内的群为“ A 级群”，销售数量小于 256 盒的购
物群为“ B 级群”，销售数量不小于 616 盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励 600 元，每个“ A
级群”奖励 100，对“ B 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若 X ~ N m,s 2 ，则P(m -s X < m +s ) 0.683，P(m - 2s X < m + 2s ) 0.954 ，
P(m - 3s X < m + 3s ) 0.997 .
【答案】(1) m = 20；平均数为 376
(2)奖金约为 95700 元
【解析】（1）由题意得，12 +18 + m + 32 +18 =100，解得m = 20 .
1
则这 100 个购物群销售脐橙总量的平均数为 (150 12 + 250 18 + 350 20 + 450 32 + 550 18) = 376 .
100
（2）由题意，m = 376,s =120,则 256 = m -s ,616 = m + 2s ，
故P(256 X < 616) = P(m -s X < m + 2s )
1 1
= P(m -s X < m +s ) + P(m - 2s X < m + 2s )
2 2
1
0.683 1+ 0.954 = 0.8185，
2 2
故“ A 级群”约有1000 0.8185 = 818.5 819个；
P X 616 1 1= P X m + 2s = [1- P(m - 2s X < m + 2s )] 1- 0.954 = 0.023，
2 2
故“特级群”约有1000 0.023 = 23个；
则依题意，需要资金为819 100 + 23 600 = 95700元，即该脐橙基地大约需要准备 95700 元.
【一隅三反】
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，
减轻学生学习压力，准备对各校高三男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数 x （单位： cm） x <170 170 x <175 175 x <180 x 180
学生得分 50 70 80 90
某校为迎接检查，高三第一学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布 N (175,52 )，学校制定
了相应的措施指导学生调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．5 月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的
该校高三 30 名男生的身高指数频数分布表如下：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数 x （单位： cm） x <170 170 x <175 175 x <180 x 180
人数 3 9 12 6
(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取措施的效果．
2
附：参考数据与公式：若 X ~ N m,s ，则① P m -s X m +s = 0.6827；
② P m - 2s X m + 2s = 0.9545；③ P m - 3s X m + 3s = 0.9973 .
【答案】(1)偏矮率为0.15865，正常率为0.34135，偏高率为0.34135，超高率为0.15865
(2)调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好
【解析】（1）调整前，
1 - 0.6827
偏矮率为 P( X < m - s ) = = 0.15865，
2
P(m 0.6827正常率为 -s X < m) = = 0.34135，
2
0.6827
偏高率为P(m X < m +s ) = = 0.34135，
2
1 - 0.6827
超高率为 P( X > m + s ) = = 0.15865 .
2
（2）由（1）知，调整前，身高指数平均得分为
0.15865 50 + 0.34135 70 + 0.34135 80 + 0.15865 90 = 73.4135；
12
调整后，偏高率为 = 0.4，
30
6
超高率为 = 0.2，
30
身高指数平均得分为 0.1 50 + 0.3 70 + 0.4 80 + 0.2 90 = 76 ，
由上可知，调整后偏高率、超高率增加，身高指数平均得分增加，
说明学校采取的措施效果好.
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布
N m,s 2 ，并把质量差在 m -s , m +s 内的产品称为优等品，质量差在 m +s , m + 2s 内的产品称为一等品，优
等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得
产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差 s 近似值为 10，用样本平均数 x 作为m 的近似值，用样本
2
标准差 s 作为s 的估计值，记质量差服从正态分布 X ~ N m,s ，求该企业生产的产品为正品的概率 P；（同一
组中的数据用该组区间的中点值代表）
2
参考数据：若随机变量服从正态分布 N m,s ，则P m -s < x m +s 0.6827 ，
P m - 2s < x m + 2s 0.9545，P m - 3s < x m + 3s 0.9973．
(2)假如企业包装时要求把 2 件优等品和 n（ n 2，且 n N* ）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中
摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为 A，否则该箱产品记为 B．
①试用含 n 的代数式表示某箱产品抽检被记为 B 的概率 p；
②设抽检 5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率为 f p ，求当 n 为何值时， f p 取得最大值．
【答案】(1)0.8186；
4n
(2)① ；② 3
n2 + 3n + 2
【解析】（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件的平均数为：
x 0.010 10 46 + 56 0.020 10 56 + 66= + + 0.045 10 66 + 76 0.020 10 76 + 86 0.005 10 86 + 96 + + = 70，
2 2 2 2 2
依题得，m x = 70，s s 10，所以 X : N (70,102 ) ，
则优等品的质量差在 m -s , m +s 即 60,80 内，一等品的质量差在 m +s , m + 2s 即 80,90 内，
所以正品的质量差在 60,80 和 80,90 内，即 60,90 内，
故该企业生产的产品为正品的概率：P = P 60 < X < 90 = P 60 < X < 80 + P 80 < X < 90
= P(m -s , m + s ) + P(m + s , m + 2s ) = 0.6827 1+ (0.9545 - 0.6827) 1= 0.6827 + 0.9545 = 0.8186；
2 2
（2）①从 n + 2 2 1 1件正品中任选两个，有Cn+2 种选法，其中等级不同有Cn ×C2 = 2n种选法，
C1 ×C1p n 2 2n 4n= = =
故某箱产品抽检被记为 B 的概率为： C2 2n+2 n + 2 n +1 n + 3n + 2 ．
2
②由题意，一箱产品抽检被记为 B 的概率为 p ，则 5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率为
f p = C3 p35 1- p
2 =10 p3 1- 2 p + p2 =10 p3 - 2 p4 + p5 ，
由 f (p) =10(3p2 -8p3 + 5p4 ) =10p2 (3-8p + 5p2 ) =10p2 (p -1)(5p - 3) ，
3
所以当 p (0, )时， f ( p) > 0，函数 f ( p) p
3 ,1 单调递增，当 ÷ 时， f ( p) < 0，函数 f ( p)单调递减，5 è 5
p 3 f ( p) f (3) C3 (3)3 (2)2 216所以当 = 时， 取得最大值，最大值为 = 5 × = ．5 5 5 5 625
p 4n 3此时由 = 2 = n = 3 n
2
= N
n + 3n + 2 5 ，可解得： （ 舍去），3
216
∴ n = 3时，5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率最大，最大值为 ．
625
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024 年 3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有 12 个
班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA _V 200W ，已知这种球的质量指标x （单位：g ）服
从正态分布 X : N m,s 2 ，其中m = 270,s = 5 .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行 11 场比赛，最后靠
积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取 5 局 3 胜制）：比赛中以 3：0 或 3：1 取胜的球队积 3 分，负队积
0 分；而在比赛中以 3：2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.9 轮过后，积分榜上的前 2 名分别为 1 班排球队和 2
班排球队，1 班排球队积 26 分，2 班排球队积 22 分.第 10 轮 1 班排球队对抗 3 班排球队，设每局比赛 1 班排球
队取胜均概率为 p(0 < p <1) .
h x - m(1)令 = ，则h ~ N 0,1 ，且Φ a = P(h < a)，求Φ -2 ，并证明：Φ -2 + Φ 2 =1；
s
(2)第 10 轮比赛中，记 1 班排球队 3：1 取胜的概率为 f p ，求出 f p 的最大值点 p0 ；
(3)以（2）中 p0 作为 P 的值，在第 10 轮比赛中，1 班排球队所得积分为 X ，求 X 的分布列.
2
参考数据： X : N m,s ，则P(m -s < X m +s ) 0.6827, P(m - 2s < X m + 2s ) 0.9545，
P(m - 3s < X m + 3s ) 0.9973 .
【答案】(1)0.02275；证明见解析.
3
(2) ；
4
(3)分布列见解析
【解析】（1）Φ -2 = P(h < -2) = P(x < 260)，又P(m - 2s < X m + 2s ) 0.9545，
0.9545
所以Φ -2 = P(x < 260) = 0.5 - = 0.5 - 0.47725 = 0.02275 .
2
因为Φ -2 = P(h < -2)，根据正态曲线对称性，Φ -2 = P(h < -2) = P(h > 2) ，
又因为Φ 2 = P(h < 2) =1- P h 2 ，所以Φ -2 + Φ 2 =1 .
2 f p = C2 p3（ ） 3 1- p = 3p3 1- p ，
f p = 3 2 3 2 é3p 1- p + p -1 ù = 3p 3- 4 p .
令 f p = 0 p 3，得 = .
4
p 0, 3 f p > 0, f p 0, 3 当 4 ÷时， 在 4 ÷ 上为增函数；è è
p 3当

,1÷时， f p
3
< 0, f p 在 ,1÷上为减函数.
è 4 è 4
3 3
所以 f p 的最大值点 p0 = ，从而 p = .4 4
（3） X 的可能取值为3,2,1,0 .
P X 3 p3 189= = + C2 23 p 1- p p = , P X = 2 = C24 p2 (1 p)2 p
81
- =
256 512
P X =1 = C2 p24 (1- p)3
27
= , P X = 0 = (1- p)3 + C13 p(1- p)3
13
= ，
512 256
所以 X 的分布列为
X 3 2 1 0
18 8 27 13
P 25 51 51 25
考点四 独立重复试验
【例 4】（2024·四川攀枝花·三模）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，传承优秀文化”闯关
活动．参赛者需要回答三个问题，其中前 2 个问题回答正确各得 5 分，回答不正确得 0 分；第三个问题回答正
3
确得 10 分，回答不正确得-5 分，得分不少于 15 分即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率都是 ，
4
2
回答第三个问题正确的概率为 3
(1)求甲同学过关的概率；
(2)求甲同学回答这三个问题的总得分 X 的分布列及数学期望．
5
【答案】(1)
8
(2)分布列见解析，12.5
【解析】（1）甲同学过关有两种情况，分别为事件 A：前两个问题一对一错，事件 B：三个问题均答对，
P A 3 1 2 1 3 2 1其概率分别为 = + = , P B 3 3 2 3= = ，
4 4 3 4 4 3 4 4 4 3 8
所以甲同学过关的概率为P A 1 3 5+ P B = + = ；
4 8 8
（2）由题意可知，X 的所有可能取值为-5,0,5,10,15,20，
P X 5 1 1 1 1 P X 3 1 1 1则 = - = = ， = 0 = 2 = ，
4 4 3 48 4 4 3 8
P X 5 3 3 1 3= = = ，P X 10 1 1 2 1 3 1 2 1= = = ，P X =15 = 2 = ，
4 4 3 16 4 4 3 24 4 4 3 4
P X = 20 3 3 2 3= = ，
4 4 3 8
所以 X 的分布列为：
X ﹣5 0 5 10 15 20
1 1 3 1 1 3
P
48 8 16 24 4 8
E X 5 15 10 15 60 600 25所以 = - + + + + = = =12.5．
48 16 24 4 8 48 2
【一隅三反】
1．（2024· * *河北衡水·模拟预测）已知甲口袋有m m 1,m N 个红球和 2 个白球，乙口袋有 n n 1, n N 个红
球和 2 个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球 2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球 2
次，每次摸出一个球.
(1)当m = 4, n = 2时，
（i）求小明 4 次摸球中，至少摸出 1 个白球的概率；
（ii）设小明 4 次摸球中，摸出白球的个数为 X ，求 X 的数学期望；
(2)当m = n 时，设小明 4 次摸球中，恰有 3 次摸出红球的概率为 P ，则当m 为何值时， P 最大？
5
【答案】(1)（i 1） 2 ；（ii） 3
(2) m = 6
2 1
【解析】（1）小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为 = ，
4+ 2 3
2 1
从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为 = .
2 + 2 2
（i）设“小明 4 次摸球中，至少摸出 1 个白球”为事件A ，则“小明 4 次摸球中，摸出的都是红球”为事件 A，且
P A 1 1
2 2
= - 1 1 - 1 = ，
è 3 ÷ ÷ è 2 9
所以P A =1- P A 1 1 8= - = .
9 9
（ii） X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，
2 2
由（i），得P X = 0 1= P A = 1 1 1 1 1 1 1，P X =1 = C1 1- 1- + 1- C1 1- 9 2 3 ÷ 3 2 ÷ 3 ÷ 2 ÷ = ，è è è è 2 2 3
2 2 2 2
P X = 2 1 1 1 1= 1- 1 1 1 1 1 1 13 3 ÷ 2 ÷ + 1- ÷ ÷ + C2 1- ÷ C2 1- ÷ = ，è è è 3 è 2 è 3 3 è 2 2 36
2 2 2 2
P X = 3 1= C1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ÷ 2
1
1- ÷ + C2 1- ÷ ÷ = ，P X = 4 = ÷ ÷ = ，
è 3 è 2 2 è 3 3 è 2 6 è 3 è 2 36
E X 0 1 1 1 2 13 3 1 4 1 5所以 = + + + + = .
9 3 36 6 36 3
（2）由m = n ，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸 4 次，相当于 4 次独立重复试验，
3 3 3 4
设小明每次摸出一个红球的概率为 k(0 < k <1)，则P k = C4k 1- k = 4 k - k .
因为P k = -16k 2 k 3 - 4 ÷，è
所以当0 < k
3 3
< 时，P k > 0；当 < k < 1 时，P k < 0，
4 4
3 3
所以P k 在区间 0, ÷上单调递增，在区间 ,1÷ 上单调递减，
è 4 è 4
3
所以当 k = 时，P k 最大，
4
m 3
此时 k = = ，解得m = 6，
m + 2 4
故当m = 6时， P 最大.
2
2．（2024· 1安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为 2 、 3 ，投中得
1分，投不中得 -1分．两人的每次投球均相互独立．
(1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为 0 分的概率；
(2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和 X 的分布列及其数学期望．
1
【答案】(1) 2
2
(2)分布列见解析，数学期望为 3
【解析】（1）由题意，记“甲投一次命中”为事件 A，“乙投一次命中”为事件 B，“两人各投球一次，得分之和为 0
分”为事件C ，
则P A 1 1 2 1= ，P A = ，P B = ，P2 3 B = ,2 3
P(C) 1 1 1 2 1C = AB U AB，所以 = + = .2 3 2 3 2
故甲、乙两人各投球一次，两人得分之和为 0 1分的概率是 2 .
（2）记甲、乙两人各投球一次，若此时两人得分之和为随机变量x ，则x 的可能取值为 2,0,-2 ，
P x = 2 1 2 1 1 1 1 1= = ，P x = 0 = ，P x = -2 = = ，
2 3 3 2 2 3 6
甲乙两人各投球两次，两人得分之和为随机变量 X ，则 X 的可能取值为 4,2,0, -2,-4，
2
P X = 4 = C22P x = 2 × P x 2
1 1= = ÷ = ，
è 3 9
P X 2 C1 P x 2 P x 0 2 1 1 1= = 2 = × = = = ，3 2 3
P X = 0 = C12P x = 2 × P x
1 1 1 1 13
= -2 + C22P x = 0 × P x = 0 = 2 + = ，3 6 2 2 36
P X = -2 = C12P x = -2 × P x = 0 = 2
1 1 1
=
6 2 6
2
P X = 4 = C22P x
1 1
= -2 × P x = -2 = ÷ =
è 6 36
甲、乙两人各投球两次，两人得分之和概率分布列为：
X 4 2 0 -2 -4
1 1 13 1 1
P 9 3 36 6 36
E X 4 1 2 1 2 1 4 1 2= + + - + - =
9 3 6 36 3
2
故甲、乙两人各投球两次，两人得分之和 X 的数学期望为 .3
3．（2024·江苏南通·模拟预测）某旅游景区在手机 APP 上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有 4
个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；
1
在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的 .
3
(1)求甲任选一题并答对的概率;
(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由 2 道单项选择题构成，每道选择题答对得 2 分，答错扣 1 分，放弃
2
作答得 0 分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为 3 ，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每
组答题总得分为 X ，
①求P X = 4 和P X = -2
②求E X
(1) 1【答案】 2
1 1 2
(2)① P(X = 4) = ， P(X = -2) = ；② .
9 9 3
【解析】（1）记“甲任选一道题并答对”为事件 M，“甲知道答题涉及内容”为事件 A，
1
依题意，P(A) = ，P(A)
2
= ， P(M | A) = 1， P(M | A)
1
=
4 ，3 3
因为事件MA与MA互斥，
所以 P(M ) = P(MA + MA) = P(MA) + P(MA)
= P(M | A)P(A) 1 2 1 1+ P(M | A)P(A) = + =
3 3 4 2 ；
（2）① X = 4，即两题均选择作答，且均正确作答，
故 P(X = 4)
2 1 2 1 1
= =
3 2 3 2 9 ，
X = -2 ，即两题均选择作答，且均作答错误，
故 P(X = -2)
2 1 2 1 1
= = .
3 2 3 2 9
②依题意，随机变量 X = -2 ， -1，0，1，2，4，
由①得 P(X
1
= -2) = ，P(X = 4)
1
=
9 ，9
X = -1，即选择一道题作答且作答错误，另一题不作答，
故 P(X = -1) = 2
1 2 1 2
=
3 3 2 9 ，
X = 0，即两题均不作答，
P(X 0) 1 1 1故 = = =3 3 9 ，
X =1，即选择两题均作答，且一题作答正确，另一题作答错误，
P(X 1) 2 2 1 2 1 2故 = = =3 2 3 2 9 ，
X = 2，即甲选择一题作答且作答正确，另一题不作答，
P(X 2) 2 1 2 1 2= = =
3 3 2 9 ，
故 E(X ) = (-2)
1
+ (-1) 2 0 1 2 2 1 2 + +1 + 2 + 4 = .
9 9 9 9 9 9 3
考点五 条件概率与全概率
【例 5-1】（23-24 江苏南通·阶段练习）某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三
胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件A 表示“甲获得冠军”，事件 B 表示“比赛进行
了五局”，则P A B = （ ）
A 1
1 5
． 2 B
3
． C． D8 ．4 16
【答案】A
1
【解析】因为甲、乙两人水平相当，所以每局比赛甲，乙获胜的概率都是 2 ，
比赛进行了五局，分甲获胜和乙获胜两种情况，
甲获得冠军，可能进行了 3 局或 4 局或 5 局比赛，
5
则 P B = 2 1 3 C24

÷ = ，P B =1 3 5- = ，
è 2 8 8 8
3 4
P AB 1= C2 1 5 +2 ÷ 3 2 ÷ = ，è è 16
5
P AB
所以P A B 1= 16 = 5 = .P B 2
8
故选：A .
【例 5-2】（2024·河北邢台·二模）（多选）为加强学生体质健康，邢台市第一中学积极组织学生参加课外体育活
动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换
1 1
另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 2 ，由掷两枚硬币的方式确定第一次投3
篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
1
A．第一次投篮的人是甲的概率为
3
31
B．第三次投篮的人是乙的概率为
72
4
C．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
7
D．设第 n *次投篮的人是甲的概率为 an ，则6an + an-1 = 3 n 2,n N
【答案】CD
C1 1
【解析】对于 A，直接使用古典概型方法知，第一次投篮是甲的概率都是 2 = ，故 A 错误；
22 2
对于 C，设 A, B分别表示“第一次投篮的人是甲”和“第二次投篮的人是乙”，则
2 1
P ABP A B P B A P A

3 2 4= = =
P B P B A P A + P B A P A 2 1 1 1
= ，故 C 正确；
+ 7
3 2 2 2
对于 B，D，设 An 表示“第 n 次投篮的人是甲”，则有
an = P An = P An An-1 P An-1 + P An An-1 P A 1 1 1 1n-1 = a + 1- a = - a .3 n-1 2 n-1 2 6 n-1
a 1 a 1 1 a 5 31故 1 = ， n = - n-1，这得到 a2 = ， a3 = ，及6an + an-1 = 3，故 B 错误，D 正确.2 2 6 12 72
故选：CD.
【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）袋子中有 9 个除颜色外完全相同的小球，其中 5 个红球，4 个黄球．若从袋子中
任取 3 个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为 2 红 1 黄的概率为（ ）
4 3 5
A 3． B． C． D8 ．7 7 8
【答案】B
【解析】记摸到的球颜色不同为事件A ，摸到 2 红 1 黄为事件 B ，
C1 2 2 1 2 1P A = 5C4 + C5C4 P AB C5C4则 3 ， = ，C9 C39
C25C
1
4
P AB 3 2 1
所以P B | A C9 C C 40 4= = 1 2 2 1 = 5 4P A C C + C C C1C2 + C2C1
= = .
5 4 5 4 5 4 5 4 30 + 40 7
C39
故选：B
2．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲 乙两人为一组参加比赛，
每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情
1 1
况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮
4 3
1
的人是甲 乙的概率各为 2 .第 2 次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第 2 次投篮的人是乙的情况下，第
1 次投篮的人是甲的概率为 .
11 9
【答案】
24 13
【解析】设“第 i N* 次是甲投篮”为事件 Ai ，“投篮命中”为事件 B，
1 1 1
由题意可知：P A1 = P A1 = ，P B | Ai = , P B | Ai = ，2 4 3
则P B | Ai 3= , P B | A 2= ，4 i 3
所以第 2 次投篮的人是甲的概率为P A2 = P B | A1 P A1 + P B | A1 P A1
1 1 2 1 11
= + = ；
4 2 3 2 24
且在第 2 次投篮的人是乙的情况下，第 1 次投篮的人是甲的概率为
3 1P A1 A 2 P B | A P AP A | A 1 1 4 2 91 2 = = = = .
P A 1- P A 11 132 2 1-
24
11 9
故答案为： ； .
24 13
3．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅
游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这 6
个随机选择 1 个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天
津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ．
1 10
【答案】
36 11
【解析】设事件A 表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，
P A 1 1则 = = ；
6 6 36
设事件 B 表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件C 表示“他们选择的景点不相同”，
5 5 11 5 5 5
则P B =1- = ，P BC = + = ，
6 6 36 6 6 6 6 18
5
P CB P BC 18 10∴ = =
P B 11
= ．
11
36
1 10
故答案为： ； ．
36 11
4．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有 5 个完全相同的小球，球上分别标有数字 1，2，3，4，4．现
甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字
大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到 2 号球的概率为 ．
1
【答案】
3
【解析】设事件“甲获胜”为事件A ，事件“乙摸到 2 号球”为事件 B ，
1 1 1
P A 1+ 2 + C= 2 ×C3 9则 1 1 = ，P AB
C
= 3
3
C ×C 25 C1 1
= ，
5 5 5 ×C5 25
3
P
P B A AB 1所以 = = 25 9 = ，P A 3
25
1
故答案为： ．
3
考点六 统计案例
【例 6-1】（2024·上海·模拟预测）某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏
零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离 x kkm 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数 y （个） 61 73 90 105 119 136 149 163
(1)建立 y 关于 x 的回归模型 y = b x + a ，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数 r .（ b 精确到 0.1， a
精确到 1， r 精确到 0.0001）
(2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取 100 台进行等距离飞行测试，对其中 60 台进行飞
行前保养，测试结束后，有 20 台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成 2 2列联表，并根
据小概率值a = 0.01的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100
2 n ad - bc
2
附： c = ， n = a + b + c + d
a + b c + d a + c b + d
P c 2≥k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1) y =1.6x - 27， r 0.9978
(2)列联表见解析，能认为
x 56 + 63 + 71+ 79 + 90 +102 +110 +117【解析】（1） = = 86 ，
8
y 61+ 73 + 90 +105 +119 +136 +149 +163= =112，
8
8 8
x y 2又由 i i = 82743, xi = 62680，
i=1 i=1
8
xi yi -8xy
b i=1 82743 -8 86 112 5687可得 = 8 = 2 = 1.6，
x2 -8x 2 62680 -8 86 3512i
i=1
则 a = y - b x 112
5687
- 86 -27，
3512
所以变量 y 关于 x 的线性回归方程为 y =1.6x - 27，
8 2 8 2
x2i -8x = 3512, y2i -8y = 9250，
i=1 i=1
8
xi yi -8xy
r i=1 82743 -8 86 112= = 0.9978
8 8
2 2 2 2 3512
；
9250
xi -8x × yi -8y
i=1 i=1
（2）设零假设为H0 ：是否报废与是否保养无关，
由题意，报废推进器中保养过的共 20 30% = 6 台，未保养的推进器共 20 - 6 =14台，
补充 2 2列联表如下：
保养 未保养 合计
报废 6 14 20
未报废 54 26 80
合计 60 40 100
2 n ad - bc
2 100 6 26 -14 54 2
则 c = = = 9.375 > 6.635，
a + b c + d a + c b + d 20 40 60 80
根据小概率值a = 0.01的独立性检验，我们推断H0 不成立，
即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01 .
【例 6-2】（2024·福建南平·模拟预测）某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量 y （单位：
瓶）与天气温度 x （单位：℃）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对天气
温度 x 和饮料的销售量 y 进行了数据收集，得到下面的表格：
x 10 15 20 25 30 35 40
y 4 16 64 256 2048 4096 8192
经分析，可以用 y = a ×2kx 作为 y 关于 x 的经验回归方程．
(1)根据表中数据，求 y 关于 x 的经验回归方程(结果保留两位小数)；
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记 1 分，需添加饮料的记 2 分，每台饮料自动售卖机在一天中需
1
添加饮料的概率均为 ，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取 3 台，记总得分为随机变量 X ，求 X 的分布
3
列与数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据 x1, y1 , x2 , y2 ,L, xn , yn ，经验回归方程 y = b x + a 的斜率和截距的最小二乘估
n
(xi - x )(yi - y) 7
计公式分别为b = i=1 n ,a = y - b x; x = 25, (xi - x )2 = 700
(x - x )2 i=1i
i=1
【答案】(1) y = 20.39x-1.64
(2)分布列见解析，E X = 4
【解析】（1）解：设 z = log2 y, m = log2a，由 y = a ×2kx ，可得 z = log2 y = kx + log2a = kx + m，
因为 log2 4 = 2, log216 = 4, log2 64 = 6， log2 256 = 8, log2 2048 =11, log2 4096 =12，
log28192 =13 z
2 + 4 + 6 + 8 +11+12 +13
，所以 = = 8，
7
10 +15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40
由表中的数据可得 x = = 25，
7
7
则 xi zi - 7xz =10 2 +15 4 + 20 6 + 25 8 + 30 11+ 35 12 + 40 13- 7 25 8 = 270，
i=1
7 7
(xi - x )(zi - z ) xi zi - nxz
k i=1 i=1 270 27所以 = 7 = 7 = = 0.39 ，
(x - x )2 (x - x )2 700 70i i
i=1 i=1
则m = z - k x = 8
27
- 25 -1.64 ，可得
70 a
= 2m 2-1.64，
所以 y 关于 x 的经验回归方程为 y = 2-1.64 ×20.39x = 20.39x-1.64 .
（2）解：由题意，随机变量 X 的可能取值为3,4,5,6 ，
3 2
可得P X = 3 2= 8 1 2 1 4 3 ÷ = ，P X = 4 = C 27 3 ÷ = ，è è 3 3 9
2 1 2 3P X = 5 = C2 23 ÷ = ，P X = 6
1 1
= = ，
3 è 3 9 ÷è 3 27
所以变量 X 的分布列为
X 3 4 5 6
8 4 1
P 2
27 9 9 27
所以，期望为E X 8= 3 + 4 4 + 5 2 + 6 1 = 4.
27 9 9 27
【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法
2 254
得到电动汽车销量 y （单位：万台）关于 x （年份）的线性回归方程 y = 4.7x - 9459.2，且销量 y 的方差为 sy = ，5
2
年份 x 的方差为 sx = 2 .
(1)求 y 与 x 的相关系数 r ，并据此判断电动汽车销量 y 与年份 x 的线性相关性的强弱.
(2)该机构还调查了该地区 90 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值a = 0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
①参考数据： 5 127 = 635 25 .
n
xi - x yi - y
②参考公式：线性回归方程为 y = b x + a b = i=1，其中 n ， a = y - b x ；相关系数
x - x 2i
i=1
n
xi - x yi - y 2
r = i=1
n n ，若 | r |> 0.9，则可判断 y 与 x 线性相关较强；K
2 n(ad -bc)= ，其中
x - x 2 y - y 2 (a +b)(c +d)(a +c)(b+d)i i
i=1 i=1
n = a + b + c + d .附表：
P K 2 k0 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)0.93，电动汽车销量 y 与年份 x 的线性相关性的较强
(2)有关
n
2
【解析】（1）由 sx = 2，得 x 2 2i - x = nsx = 2n ，
i=1
s2 254
n
2 254n
由 y =
2
，得 yi - y = nsy = ，5 i=1 5
n
xi - x yi - y
y = 4.7x - 9459.2 b = i=1因为线性回归方程 ，则 n = 4.7 ，
x 2i - x
i=1
n n
即 xi - x yi - y = 4.7 x 2i - x = 4.7 2n = 9.4r ，
i=1 i=1
n
xi - x yi - y
i=1 9.4n 4.7 5 127 4.7 25
因此相关系数 r = = = 0.93 > 0.9n n 254n 127 127 ，
x - x 2i yi - y 2 2n
i=1 i=1 5
所以电动汽车销量 y 与年份 x 的线性相关性的较强.
2 H K 2 90(39 15 - 30 6)
2
（ ）零假设 0 ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得： = 5.031 > 3.841，45 45 69 21
依据小概率值a = 0.05的独立性检验，推断H0 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的
概率不大于 0.05.
2．（2024·河北沧州·模拟预测）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精
品”的美誉.2024 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据
如下：
人工投入增量 x（人） 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 y（万元） 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： y = 4.1x +11.8；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： y = b x + a 的附近，对人工投入增量 x 做变换，
7 7
2
令 t = x ，则 y = b × t + a ，且有 t = 2.5， y = 38.9， ti - t yi - y = 81.0， ti - t = 3.8 .
i=1 i=1
(1)（i）根据所给的统计量，求模型②中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工
投入增量为 16 人时的年收益增量.
回归模型 模型① 模型②
回归方程 y = 4.1x +11.8 y = b x + a
7
2yi - yi 182.4 79.2
i=1
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从
正态分布 N 32,16 .购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大
2
附：若随机变量Z ~ N m,s ，则P m - 3s < Z < m + 3s = 0.9974，0.998710 0.9871；
n n 2
ti - t yi - y y i - yi
样本 ti , yt i =1,2, × × ×,n i=1的最小二乘估计公式为：b = ，$n a = y -$bx R2， =1- i=1n .
ti - t 2 y - y 2i
i=1 i=1
【答案】(1)（i） y = 21.3 x -14.4；（ii）答案见解析
(2)1.29 0 0
7 7
2
【解析】（1）（i）由 t = 2.5, y = 38.9, ti - t yi - y = 81.0, ti - t = 3.8，
i=1 i=1
7
ti - t yi - y
i=1 81.0
有b = 7 = 21.3，
ti - t 2 3.8
i=1
且 a = y - b x = 38.9 - 21.3 2.5 -14.4，
所以模型②中 y 关于 x 的回归方程为 y = 21.3 x -14.4 .
182.4 79.2
>
（ii）由表格中的数据，有182.4 > 79.2 7 7，即 y - y 2i yi - y 2 ，
i=1 i=1
模型①的R2 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当 x =16 时，模型②的收益增量的预测值为
y = 21.3 16 -14.4 = 21.3 4 -14.4 = 70.8（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．
（2）由已知单个“南澳牡蛎”质量x～N 32,16 ，则m = 32,s = 4，
由正态分布的对称性可知，
P(x < 20) 1 1- P(20 < x < 44) 1= 1- P(m - 3s < x < m + 3s )
2 2
1
= 1- 0.9974 = 0.0013，
2
设购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于 20g 的牡蛎为 X 只，
故 X～B 10,0,0013 ，
所以P X 1 =1- P X = 0 =1- 1- 0.0013 10 =1- 0.9871 = 0.0129，
所以这 10 只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性仅为1.29 0 0 ．
考点七 分布列与数列综合
【例 7-1】（2024·广西南宁·二模）2023 年 10 月 7 日，杭州第 19 届亚运会女子排球中国队以 3：0 战胜日本队夺
得冠军，这也是中国女排第 9 个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某
校甲、乙、丙等 7 名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手 2 人，副攻手 2 人，接应手 1
人，二传手 1 人，自由人 1 人．现从这 7 人中随机抽取 3 人参与传球训练
(1)求抽到甲参与传球训练的概率；
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为x ，求x 的分布列及期望；
(3) 1若恰好抽到甲，乙，丙 3 人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为 2 ，当乙接到球时，乙传
1 , 2 1 2给甲、丙的概率分别为 ，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为 , ，假设球一直没有掉地上，求经
3 3 3 3
过 n 次传球后甲接到球的概率．
3
【答案】(1)
7
9
(2)分布列见解析，
7
(3) 1 1 1
n-1
- -
4 4 3 ֏
C26 3
【解析】（1）设“抽到甲参与传球训练”记为事件A ，则P A = 3 = .C7 7
（2）由题意知x 的可能取值为 0，1，2，3，
C3 4 C2 1P x 0 4 P x 1 4C3 18= = 3 = = = =C7 35
，
C37 35
1 2 3
P x = 2 C4C3 12 P x 3 C= = = = 3 1， =
C3 35 C37 7 35
所以x 的分布列为：
x 0 1 2 3
4 18 12 1
P 35 35 35 35
E(x ) 4 18 12 1 9即 = 0 +1 + 2 + 3 = .
35 35 35 35 7
（3）解法一：设经过 n 次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为 an ，bn ， cn ，
a = 0 a 1 1 1 1 1易得： 1 ， 2 = + = ，3 2 2 3 3
当 n 2时， a
1 b 1 1 2n = n-1 + cn-1，bn = an-1 + c c
1 2
，
3 3 2 3 n-1 n
= a
2 n-1
+ bn-1，3
则bn + c
2
n = an-1 + b
2
3 n-1
+ c
3 n-1
，
a 1 1 2 2由 n = bn-1 + cn-1，得 2a = b3 3 n 3 n-1
+ cn-1，3a = b3 n+1 n
+ cn ，
b c a 2代入 n + n = n-1 + b
2
n-1 + cn-1，得3an+1 = an-1 + 2an，3 3
an+1 - an 1
则3an+1 - 3an = an-1 - an ，即 = -a ，n - an-1 3
所以 an+1 - an 是首项为 a2 - a
1 1
1 = ，公比为- 的等比数列，3 3
1 1 n-1a a 1
n
n+1 - n =
- ÷ = - -

3 ÷
，
è 3 è 3
1 n-1 n-2 1
则 n 2 时： a 1n - an-1 = -
- a - a ，3 ÷ n-1 n 2
= - - ÷ ，L，a2 - a1 = - -- ÷，
è è 3 è 3
1 n-1 1 n-2 1
由累加法得： an - an-1 + an-1 - an-2 +L+ a2 - a1 = - - ÷ -3
-
3 ÷
-L- - ÷
è è è 3
1 é1 1
n-1
ù
3 ê
- - n-1
ê è 3
÷ ú

a a ú 1 1 1
n-1 1 1 1
- = = - - ÷ ，可得 an = - - ÷ ，n 1
1 1 4 4 è 3
4 4 è 3
+
3
1 1 1 1-1 1 1
又令 n =1时， a1 = - - = - = 0，满足 a = 0，4 4 ÷ 1è 3 4 4
n-1
所以 a 1 1 1n = -

-

4 4 3 ÷
.
è
解法二：经过 n次传球后，排球被甲接到球的概率为Pn．
1 1 1 1 1 1则Pn = Pn-1 0 + 1- Pn-1 = - Pn-1(n 2) P

，即
3 3 3 n
- = - P
4 3 n-1
- ÷ (n 2)
è 4
P 1 1 1而 1 - = 0 - = - ，4 4 4
ì 1 ü 1 1
所以 íPn - 是首项为- ，公比为- 的等比数列，
4 4 3
P 1 1 1
n-1 n-1
- = - - 则 n ÷ ，则P
1 1 1
n = -
-
4 4 3 4 4 3 ÷è è
【例 7-2】（2024·山东济南·二模）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成10:10平后，每球交换发球
2
权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 3 ，乙
1
发球时甲得分的概率为 2 ，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成10:10平后，甲先发球.
(1)求再打 2 球该局比赛结束的概率；
(2)两人又打了 X 个球该局比赛结束，求 X 的数学期望E X ；
(3)若将规则改为“打成10:10平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.
1
【答案】(1) 2
(2) E X = 4
19
(3) .
30
【解析】（1）10:10平后，设事件 Ai = “第 i个球甲得分”，则 Ai = “第 i个球乙得分”，
设M = “再打两球该局比赛结束”，则M = A1A2 + A1A2 ，
所以P M = P A1A2 + A1A2 = P A1 P A2 2 1 1 1 1+ P A1 P A2 = + = .3 2 3 2 2
2 X 2,4,6,L, 2k,L k N*（ ） 的可能取值为所有正偶数 ，
考虑第 2k -1个球与第 2k 个球 k =1,2,3,L ，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲
乙各得 1 分，
1
则比赛相当于重新开始；这两球甲 乙各得 1 分的概率为1- P M = ，2
所以P X = 2 = P M 1= ,
2
P X 4 1 1 1= = = ，
2 2 4
P X 6 1
2 1 1
= = ÷ = ，
è 2 2 8
……
k -1
P X = 2k 1= 1 1 ÷ = ，
è 2 2 2k
……
E X 2 1 1 1 1所以 = + 4 2 + 6 3 +L+ 2k k +L，2 2 2 2
S 2 1 4 1 6 1 1记 k = + 2 + 3 +L+ 2k k ，2 2 2 2
1 S 2 1 4 1 6 1则 k = + + +L+ 2k - 2
1 1

2 22 23 24 2k
+ 2k
2k +1
，
1
以上两式相减得 S
1 1 1 1 1
2 k
=1+ 2 2 + 2 3 + 2 4 +L+ 2 2 2 2 2k
- 2k
2k +1
1
1 1 1 1 1 1- 2k 1 2 + k=1 + + 2 + 3 +L+ k -1 - k k = 1 k k = 2 -2 2 2 2 2 2 2k ，1-
2
2 + k
所以 Sk = 4 - ，2k -1
当 k 趋于+ 时， Sk 趋于 4，所以E X = 4 .
（3）设再打 n个球比赛结束且甲获胜的概率为 pn n 2 ，
p 2 1 1 , p 1 2 1 2 1则 2 = = = - = ，3 2 3 3 ÷è 3 2 3 9
1
n-1
1 1-
2 ÷
÷ ÷ n-1
当 n为奇数时，
p 1
9 è 6 2 ，
n+2 = pn , S
2 1
奇 = p3 + p5 + + pn =
è = 1 1-
÷
6 1- 15

è 6 ÷ ÷
6 è
n1 1- 1
2
3
÷
3 ÷ ÷ n
当 n为偶数时， 1 è p 1 1
2 ，
n+2 = pn , S = p2 + p4 + + p =
è = n 1 1-
÷
3 偶 1- 2
÷
è 3 ÷
3 è
n-1 n2 1 2 1 1 2
所以该局比赛甲获胜的概率 S奇 + S = 1-偶 15 6 ÷
÷ + 1- ÷ ÷ ,
è ÷ 2 è 3 ÷
è è
当 n趋于+ 时， S奇 + S
2 1 19
偶趋于 + = ，15 2 30
19
所以该局比赛甲获胜的概率为 .
30
【一隅三反】
1 ．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选）甲乙两个口袋中各装有 1 个黑球和 2 个白球，现从甲、乙两口袋中各任
*
取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n N 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 X n ，恰有 1 个黑球的
概率为Pn，下列说法正确的是（ ）
5 1
A．P1 = B．P X1 = 2 =9 6
ìP 3- üC．数列 í n 是等比数列 D． X n 的数学期望E X n = 1
5
【答案】ACD
【解析】 X n 只可能取 0,1,2，记 An , Bn ,Cn分别表示事件 X n = 0, X n =1, X n = 2 ，它们发生的概率分别为 an ,bn ,cn ，
这里 n是非负整数.（事实上，Pn = bn）
则 a0 = c0 = 0，b0 = 1，且
a 1 2n+1 = P An+1 = P An+1 An P An + P An+1 Bn P Bn + P An+1 Cn P Cn = a + b ；3 n 9 n
bn+1 = P Bn+1 = P Bn+1 An P An + P Bn+1 Bn P Bn + P Bn+1 Cn P Cn 2 5 2= a3 n + b + c ；9 n 3 n
cn+1 = P Bn+1 = P Cn+1 An P An + P Cn+1 Bn P Bn + P Cn+1 Cn P Cn 2 1= bn + c9 3 n .
a 1 a 2 b b 2 a 5 b 2 c c 2 b 1故 n+1 = n + ， = + + ，3 9 n n+1 3 n 9 n 3 n n+1
= n + cn .9 3
1 2 2 1 1
由于 an+1 - cn+1 = an + bn - bn - c = a - c ，3 9 9 3 n 3 n n
而 a0 - c0 = 0 - 0 = 0 ，故 an - cn = 0，即 an = cn .
2 5
而bn+1 = an + b
2 2
n + cn = 1- bn
5
+ b 1= - b 2+ ,
3 9 3 3 9 n 9 n 3
b 3 1 b 2 3 1所以 n+1 - = - n + - = - b
1 1
+ = - b 3- ，
5 9 3 5 9 n 15 9 n ֏ 5
b 3- =1 3 2- = 0 b 3 2 1
n 3 2 n 1
而 0 ，故 n - = × - ÷ ，即b5 5 5 5 5 9 n
= + × - .
è 5 5 ÷è 9
1 1 3 2 1 n 1 1 1 n
又因为 an = cn， an + bn + cn =1，故 an = cn = 1- b = 1- - × - ÷ = - × - .2 n 2 5 5 ÷ ÷è è 9 ÷ 5 5 è 9
ì
a 1 1 1
n
= - × - n ÷
5 5 è 9
3 2 1
n
1 1 1 n
íb = + × - 这就得到了 n ÷ ，所以 .
5 5 è 9
P X n = 2 = c n = - × -5 5 è 9 ÷
1 1 1 n cn = - ×

5 5
-
è 9
÷

P b 3 2 1
n
从而有 n = n = + × -

÷ ，而 an = cn，故E X = 0 × a + b + 2c = a + b + c =1 .5 5 n n n n n n nè 9
综上，我们得到了如下结论：
① P 3 2 1
n
n = + ×
- ；
5 5 ֏ 9
1 1 1 n② P X n = 2 = - ×

-

÷ ；5 5 è 9
③ E X n =1 .
回到原题.
A 3 2 1
1
3 2 25 5
对于 ，由①知P1 = + × - ÷ = - = = ，故 A 正确；5 5 è 9 5 45 45 9
1
对于 B ② P X 2 1 1 1 1 1 1 2 1，由 知 1 = = - × - ÷ = + × = ，故 B 错误；5 5 è 9 5 5 9 9 6
n
C ① P 3 2- = × 1
ìP 3ü对于 ，由 知 n - ，故 í - 是等比数列，故 C 正确；5 5 ÷ nè 9 5


对于 D，由③知E X n =1，故 D 正确.
故选：ACD.
2．（2024·黑龙江·模拟预测）三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”，“布”，其中“石头”赢
“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例如，当一个人出“布”，另两个人出“石头”时，只用一回正好决定胜利
者;当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的人，三人猜拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为
止.
(1)求一次猜拳决出胜利者的概率；
(2)求在第 n回猜拳决出胜利者的概率.
1
【答案】(1)
3
2n -1
(2) n . 3
【解析】（1）设P(n)为第 n回猜拳决出胜利者的概率，考虑 3 个人猜拳，每人有 3 种选择，共 27 种可能性，
若一回合决出胜利者，则某人出石头且另外 2 人出剪刀或某人出剪刀且另外 2 人出布或某人出布且另外 2 人出
石头，共3 3 = 9种可能，
9 1 1
所以 3 个人猜拳一次决出胜利者的概率为 = ，故P(1) = .
27 3 3
（2）同理，若 3 个人猜一次拳淘汰 1 人，则某人出石头且另外 2 人出布或某人出剪刀且另外 2 人出石头或某人
1
出布且另外 2 人出剪刀，概率为 ，
3
1
则 3 个人猜拳既无人淘汰且未决出胜利者的概率为 .
3
考虑 2 个人猜拳，每人有 3 种选择，共 9 种可能性，
出拳相同的情况有 3 种，出拳不同情况有 6 种，出拳不同必定决出胜利者，故 2 个人猜拳一次决出胜利者的概
2
率为 3 ，
当 n 2时，分类讨论如下：
若到第 n回合时，仍有 3 个人猜拳，且在第 n回合决出胜利者，
1
n-1
1 1
则概率为： =
è 3 ÷ 3 3n
若到第 n回合时，有 2 个人猜拳，且在第 n回合决出胜利者，
j-1 n- j-1
j 1 j n -1 1 : 1 1 2 2 2则在第 回合猜拳淘汰 个，概率为 ÷ 1- ÷ = ，
è 3 3 è 3 3 3n
1 n-1
所以P(n)
2 2n -1
= n + n =3 n ，j=1 3 3
2 1-1 1 2n -1
当 n =1时， 1 = 满足该式，综上，P(n) = n n N* ，3 3 3
2n -1
在第 n回猜拳决出胜利者的概率P(n) =
3n n N
* .
考点八 分布列中的最值
【例 8-1】（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果 标准果 精品
果 礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取 100 个，按果径大小分成 5 组进行统计：
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85]（单位：mm）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于
65mm为不达标果，在65mm到75mm之间为标准果，在75mm到80mm之间为精品果，达到80mm及以上的为
礼品果.
(1)现采用分层随机抽样的方法从选取的 100 个水果中抽取 10 个，再从这 10 个水果中随机抽取 2 个，记礼品果
的个数为 X ，求 X 的分布列与数学期望；
(2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取 n n 2 个，设其中恰有 2 个精品果的概率为 P n .当 P n 最大时，
求 n的值.
2
【答案】(1)分布列见解析，E(X ) =
5
(2) n = 4或 n = 5
【解析】（1）由题意 (0.004 + 0.016 + 0.060 + 0.080 + a) 5 =1，所以 a = 0.040，
所以这 100 个水果中礼品果的个数为0.040 5 100 = 20，
20
采用分层随机抽样的方法从选取的 100 个水果中抽取 10 个，其中礼品果有 10 = 2个，
100
故随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2，
2 1 1 2
则P(X = 0)
C 28 C C 16 C 1
= 8 8 2 2
C2
= ，P(X =1) = = ，P(X = 2) = = .
10 45 C
2 2
10 45 C10 45
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
28 16 1
P 45 45 45
E(X ) 0 28 1 16 1 2期望 = + + 2 = .45 45 45 5
（2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取 1 个，是精品果的概率为0.080 5 = 0.4，
则P n = C2 2 n-2n ×0.4 ×0.6 ，
P n -1 = C2 ×0.42 ×0.6n-3所以 n-1 ，P n +1 = C2n+1 ×0.42 ×0.6n-1，
P n -1 C2n-1 0.6n-3 5 n - 2 P n +1 C2n+1 0.6n-1 3 n +1
要使P

n 最大，则 = = 1 = = 1P n C2n 0.6n-2 3n
且 P n C2 0.6n-2n 5 n -1
，
2 2
解得 4 n 5，因为P 4 = C4 ×0.4 ×0.62 = 0.3456, P 5 = C25 ×0.42 ×0.63 = 0.3456，
所以P 4 = P 5 ，所以当P n 最大时， n = 4或 n = 5 .
【例 8-2】（2024·广东梅州·一模）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了 500 名高
中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2], (2,4]，
(4,6], (6,8], (8,10],(10,12],(12,14],(14,16]， (16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这 500 名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在 (12,14],(14,16],(16,18]三
组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10 人，现从这 10 人中随机抽取 3 人.记参加公益劳动时间在 (14,16]
内的学生人数为 X ，求 X 的分布列和期望；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取 20 名学生，用“ P20 (k) ”表示这 20 名学生中
恰有 k 名学生参加公益劳动时间在 (10,12 ]（单位:小时）内的概率，其中 k = 0,1,2,L, 20 .当P20 (k) 最大时，写出 k
的值.
6
【答案】(1)分布列见解析，期望为
5
(2) k = 4
【解析】（1）由频率分布直方图得:
2(0.02 + 0.03 + 0.05 + 0.05 + 0.15 + a + 0.05 + 0.04 + 0.01) = 1, 解得a = 0.10;
这 500 名学生中参加公益劳动时间在 (12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为: 500 0.10 = 50人，
500 0.08 = 40人，500 0.02 = 10人，
若采用分层抽样的方法抽取了 10 人，
40
则从参加公益劳动时间在 14，16 内的学生中抽取: 10 = 4人，
50 + 40 +10
现从这 10 人中随机抽取 3 人，则 X 的可能取值为 0，1，2，3，
C3 20 1 1 2P(X = 0) = 6 = = ,P(X C C 60 1=1) = 4 6 = = ,
C3 120 6 C310 10 120 2
C2C1 3P(X 2) 4 6 36 3 , P(X 3) C4 4 1= = 3 = = = = 3 = = ,C10 120 10 C10 120 30
\ X 的分布列为:
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P 6 2 10 30
1
则其期望为E(X ) =1 + 2
3 3 1 6 + = ;
2 10 30 5
（2）由（1）可知参加公益劳动时间在 (10,12]的概率P = 0.1 2 = 0.2,
P (k) = C k 0.2k (1- 0.2)20-k = C k 0.2k0.820-k所以 20 20 20 ,
ìP20 k P k k 20-k k -120 k -1 ìC20 0.2 0.8 C20 0.2k -10.821-k
依题意 íP k ，即 P k +1 í C k 0.2k0.820-k C k +1 k +1 19-k
，
20 20 20 20 0.2 0.8
ì 20 - k +1
0.2 0.8 k 16 21
即 í k ,
20
，解得
- k +1 +1 5 5
0.8 0.2


k +1
因为 k 为非负整数，所以 k = 4，
即当P20 (k) 最大时， k = 4.
【一隅三反】
1．（2024·河北沧州·三模）双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009 年 11 月 11 日举办的促销活动，当时
参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是 11 月 11 日成为天猫举办大规模促销活动
的固定日期.某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照 155,165 ， 165,175 ， 175,185 ，
185,195 分成 4 组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a的值及年产量的第 75 百分位数；
(2)假设年产量在 165,175 中的工人中有 n名女性 3 n 13 ，从该区间的人中随机抽取 10 人进行奖励，其中女
性恰有 X 人，记 f n = P X = 3 ，则当 n为何值时， f n 取得最大值.
【答案】(1)0.010，180
(2)6
【解析】（1）由题意得10a =1-10 0.020 + 0.040 + 0.030 ,\a = 0.010 ，
设产量的第 75 百分位数为 x ，前两组频率之和为 0.6，前三组频率之和为 0.9，
则 x 175,185 ，\0.60 + x -175 0.030 = 0.75，解得 x =180 ，
\年产量的第 75 百分位数为 180；
（2）产量在 165,175 中的工人有50 0.040 10=20（人），
3 7 3 7
\ f n = P X = 3 CnC= 20-n f n C C-1 = n-1 21-n10 ， ，C 1020 C20
f n C3C7n 20-n n 14 - n
若 = 3 7
= >1
，则 n 14 - n > n - 3 21- nf n -1 C ，n-1C21-n n - 3 21- n
解得 n < 6.3，
f n n 14 - n
若 = <1f n ，则 n > 6.3，-1 n - 3 21- n
故当 n < 6.3时， f n > f n -1 ；当 n > 6.3时， f n < f n -1 ，
故当 n = 6时， f n 取得最大值.
2．（23-24 高二下·浙江舟山·期末）某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参
加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练
对近两年甲参加过的 60 场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场 12 次，其中球队获胜 6 次；中
锋位置出场 24 次，其中球队获胜 16 次；后卫位置出场 24 次，其中球队获胜 18 次.用该样本的频率估计概率，
则：
(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；
(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行 10 场热身赛，比赛没有平局，获胜得 1 分，失败得 0 分.已知Ⅰ队在每场比
赛中获胜的概率是 p（0.5 < p <1），若比赛最有可能的比分是 7∶3，求 p 的取值范围；
(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共 6 支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每
场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜 3 场的条件下，记其获胜的场数为 X，求 X 的分布列和数学期望.
2
【答案】(1) 3
7 8
(2) ,
è11 11÷
15
(3)分布列见解析，
4
【解析】（1）设 A1 = “甲担任前锋”； A2 = “甲担任中锋”； A3 = “甲担任后卫”；
B = “某场比赛中该球队获胜”.
则：P A1
12 1
= = ，P A2
24 2
= = ，P A3
24 2
= = ，
60 5 60 5 60 5
P B A 6 1 16 2 18 31 = = ，P B A2 = = ，P B A3 = = ，12 2 24 3 24 4
由全概率公式可得：
P B P A P B A P A P B A P A P B A 1 1 2 2 2 3 2= 1 1 + 2 2 + 3 3 = + + = ，5 2 5 3 5 4 3
2
所以甲参加比赛时，Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率是 .3
（2）设这 10
10-k
场比赛，Ⅰ队获胜的场数是 k，则 P（Ⅰ队获胜 k 场）= Ck10 p
k 1- p ，
由题意， k = 7时，P（Ⅰ队获胜 k 场）最大，
ìC
7 7
10 p 1- p
3 > C8 8 210 p 1- p 7 8
所以有 í ，解得 < p < ，
7 C10 p
7 1- p 3 > C6 p6 1- p 4 11 1110
p
7
所以 的取值范围为 ,
8
.
è11 11÷
（3）由题意，Ⅰ队一共需要打 5 场比赛，
设Ci = “5 场比赛中Ⅰ队获胜 i 场”（ i = 3，4，5），D =“5 场比赛中Ⅰ队至少获胜 3 场”，
2 3 1 2 80 4 1P C = C3 3 5 ÷ ÷ = ；P C C4
2= 1 80
3 3 243 4 5
= ；
è è è 3 ÷ ÷ è 3 243
5
5 2 32 192P C5 = C5 ÷ = ，则P D = P C + P C + P C = ，
è 3 243
3 4 5 243
P P C D P CX = 3 = P C D = 3 = 3 80 53 = =P D P D 192 12 ，
同理可得P
P C D P C
X 4 P C D 4 4 80 5= = 4 = = = =P D P D 192 12 ，
P C D P C
P X = 5 = P C D = 5 = 5 32 15 = =P D P D 192 6 ，
则 X 的分布列为：
X 3 4 5
5 5 1
P
12 12 6
E X 5 5= 3 + 4 + 5 1 45 15 = = .
12 12 6 12 4
一．单选题
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的
圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过
程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为
0,1,2,L,10 ，用 X 表示小球最后落入格子的号码，若P X = k P X = k0 ，则 k0 =（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
1
【解析】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为 2 ，
1
每一层均要乘以 2 ，共做 10 次选择，

故 X 服从二项分布， X ~ B 10,
1
2 ÷
，
è
1
又E X =10 = 5，
2
令P X = k0 最大，
ìP X = k0 P X = k0 -1
则 í
P X = k0 P X = k0 +1
，
ì k0 k0 -1
Ck
1 (1)10-k Ck -1 1 (10 0 0
11-k0
10 )
è 2 ÷ 10 ÷ 2 è 2 2
即 í k0 k +1 , Ck0 1 1 10-k k +1 1
0 1 9-k
10 2 ÷
( ) 0 C 0 ÷ ( ) 02 10 è è 2 2
9 k 11解得 0 ，又因为0 k 10, k Z，所以 k0 = 5 ,2 2
所以P X = k P X = 5 , k = 0,1,2,3, ,10 ，
P X = k P X = k0 ，且 k0 = 5．
故选：B．
2．（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为 1，2，3，4，5 且质地、大小相同的 5 个小球，从袋子中一次性摸出两
个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有 4 人参与摸球，则恰好 2 人获奖的概率是
（ ）
216 324 8 27
A． B． C． D．
625 625 9 125
【答案】A
2
【解析】从袋子中一次性摸出两个球，共有C5 =10 种情况，
其中两个号码的和为偶数的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共 4 种情况，
4 2
所以一个人摸球，能够获奖的概率为 = ，
10 5
所以 4 人参与摸球，
2 2
2 p C2 2 3 216恰好 人获奖的概率 = 4 ÷ ÷ = .
è 5 è 5 625
故选：A.
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只
有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的 2 倍，和谐号的正点率为 0.98，复兴号的
正点率为 0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】D
【解析】令事件 A：经过的列车为和谐号；事件 B，经过的列车为复兴号；事件 C，列车未正点到达，
则P(A)
2
= , P(B) 1= , P(C | A) = 0.02, P(C | B) = 0.01，
3 3
于是P(C) = P(A)P(C | A) + P(B)P(C | B)
2
= 0.02 1 0.05+ 0.01 = ，
3 3 3
2
P AC P A P(C | A) 0.023
所以该列车为和谐号的概率为P A | C = = = 0.05 = 0.8P C P C .
3
故选：D
4．（2024·辽宁· 2模拟预测）某种酸奶每罐净重 X （单位：g）服从正态分布 N 184,2.5 .随机抽取 1 罐，其净重
在179g 与186.5g 之间的概率为（ ）
2
（注：若 X ~ N m,s ，P X - m < s = 0.6827，P X - m < 2s = 0.9545，P X - m < 3s = 0.9973）
A．0.8186 B．0.84135 C．0.9545 D．0.6827
【答案】A
【解析】由题意可知，m =184，s = 2.5，可得179 = m - 2s ，186.5 = m +s ，
净重在179g 与186.5g 之间的概率为P 179 < X <186.5 = P m - 2s < X < m +s ，
由正态分布的对称性可知，
P m - 2s < X < m +s = P X 1- m < s + P X - m∣< 2s - P X - m < s 2
= 0.6827 1+ 0.9545 - 0.6827 = 0.8186，
2
所以净重在179g 与186.5g 之间的概率为P 179 < X <186.5 = 0.8186 .
故选：A.
5（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知某工厂生产零件的尺寸指标 X ~ N 45,1.44 ，单位为 cm．该厂每天生产
的零件尺寸在(43.8,48.6)的数量为 84000，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在 42.6 以下的数量为（ ）参考
2
数据：若 X ~ N m,s ，则P m -s X m +s = 0.6827, P m - 2s X m + 2s = 0.95
45, P m - 3s X m + 3s = 0.9973．
A．1587 B．2275 C．2700 D．1350
【答案】B
【解析】由已知m = 45,s 2 =1.44,s =1.2，
P(m -s X 1 m + 3s ) = [P(m -s X m +s ) + P(m - 3s 1 X m + 3s )] = (0.6827 + 0.9973) = 0.84，
2 2
零件尺寸在 42.6 以下的概率为P(X m
1
- 2s ) = (1- 0.9545) = 0.02275，
2
84000 x
设零件尺寸在 42.6 以下的零件数为 x ，则 = ，解得 x = 2275．
0.84 0.02275
故选：B
3
6．（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为 ，
4
1
向右移动的概率为 .若该质点每次移动一个单位长度，设经过 5 次移动后，该质点位于 X 的位置，则P(X > 0) =
4
（ ）
50 17 53 17
A． B． C． D．
243 512 512 81
【答案】C
3
【解析】由题意可知，当 X > 0时， X 的可能取值为1,3,5 ，且 X ~ B 5, 4 ÷，è
所以P X > 0 = P X = 5 + P X = 3 + P X =1
1 5 1 4 3 3 2
= + C1 × + C2 1 3 53 4 ÷ 5 4 ÷ 4 ÷ 5 ÷
× ÷ = .
è è è è 4 è 4 512
故选：C
7．（2024·湖南·模拟预测）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区E 内进行投
球.规定球重心投掷到区域A 内得 3 分，区域 B 内得 2 分，区域C 内得 1 分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手
投掷一次得 3 分的概率为 0.1，得 2 分的概率为b ，不得分的概率为 0.05，若甲选手连续投掷 3 次，得分大于 7
分的概率为 0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得 1 分的概率为（ ）
13 49 17 53
A． B． C． D．
20 60 20 60
【答案】B
【解析】由于甲选手投掷 3 次后，如果得分大于 7 分，则 3 次的得分必定是 3，3，3 或 3，3，2（不考虑顺
序），所以其概率 p = 0.13 + 3 0.12 ×b = 0.001+ 0.03b .
1
而已知 p = 0.002，故0.001+ 0.03b = 0.002 ，所以b = .
30
1 0.1 b 0.05 0.85 b 17 1 49从而甲选手投掷一次得 1 分的概率为 - - - = - = - = .
20 30 60
故选：B.
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两
名同学击中目标靶的环数 X 和Y 的分布列如下表一和下表二所示；
表一
X 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
表二
Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
概率分布条形图如下图三和图四所示：
则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（ ）
A．E X > E Y B．E X < E Y C．D X > D Y D．D X < D Y
【答案】D
【解析】由分布列可得E X = 6 0.07 + 7 0.22 + 8 0.38 + 9 0.3+10 0.03 = 8，
E Y = 6 0.09 + 7 0.24 + 8 0.32 + 9 0.28 +10 0.07 = 8，
D X = 6 -8 2 0.07 + 7 -8 2 0.22 + 8 -8 2 0.38 + 9 -8 2 0.3 + 10 -8 2 0.03 = 0.92，
D Y = 6 -8 2 0.09 + 7 -8 2 0.24 + 8 -8 2 0.32 + 9 -8 2 0.28 + 10 -8 2 0.07 =1.16，
所以E X = E Y ，D X < D Y .
故选：D
二．多选题
9．（2024·湖南长沙·三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的 1 名体育生组成甲组，
3 名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球 3 次，乙组的同学每
2 1 2 5
人各投球 1 次.若甲组同学和乙组 3 名同学的命中率依次分别为 , , , ，则（ ）
3 2 5 6
13
A．乙组同学恰好命中 2 次的概率为
30
B．甲组同学恰好命中 2 次的概率小于乙组同学恰好命中 2 次的概率
2
C．甲组同学命中次数的方差为 3
26
D．乙组同学命中次数的数学期望为
15
【答案】BCD
【解析】对于 A 中，设“乙组同学恰好命中 2 次”为事件M ，则
P M 1 2 1 5 1 2 5 1 2 5 9= -

÷ + 1- ÷ + 1- ÷ = ，所以 A 错误；2 5 è 6 2 è 5 6 è 2 5 6 20
2 9 4
对于 B 中，设“甲组同学恰好命中 2 次”为事件 N ，则P N = C2 2 1 43 ÷ = ，因为 > ，所以 B 正确；
è 3 3 9 20 9
2 2
对于 C 中，因为甲组同学每次命中的概率都为 3 ，设甲组同学命中次数为 X ，则
X ~ B 3, 3 ÷ ，可得è
D X 3 2 1 2= = ，所以 C 正确；
3 3 3
对于 D 中，设乙组同学命中次数为随机变量Y ，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3，
所以P(Y = 0)
1 1 2 5 1= -

÷
1-
2 5 ÷
1- 6 ÷
= ，
è è è 20
P(Y 1) 1 1 2 1 5 1 1 2 1 5 1 1 1 2 5 1= = - ÷ - ÷ + - ÷ - ÷ + - ÷ -2 5 6 2 5 6 2 5 ÷
= ，
è è è è è è 6 3
P Y 9= 2 = P M = , P Y 3 1 2 5 1= = = ，
20 2 5 6 6
故E Y = 0 1 1 1 2 9 3 1 26 + + + = ，所以 D 正确.
20 3 20 6 15
故选：BCD.
10．（23-24 高三下·河南·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知变量 x ， y 的线性回归方程 y = 0.3x - x ，且 y = 2.8，则 x = -4
B．数据 4，6，7，7，8，9，11，14，15，19 的75% 分位数为 11
C．已知随机变量 X ~ B(7,0.5), P(X = k)最大，则 k 的取值为 3 或 4
D．已知随机变量 X ~ N (0,1), P(X 1) = p ，则P(
1
-1 < X < 0) = - p
2
【答案】ACD
【解析】对于 A：因为回归直线方程必过样本中心点 x, y ，
所以 2.8 = 0.3x - x ，解得 x = -4，故 A 正确；
对于 B：因为10 75% = 7.5 ，所以75% 分位数为从小到大排列的第八个数，即为14，故 B 错误；
7
对于 C：因为 X ~ B(7,0.5) ，所以P X = k = Ck 1 7 ÷ ，（0 k 7 且 k N ），
è 2
k
由组合数的性质可知当 k = 3或 k = 4时C7 取得最大值，则当 k = 3或 k = 4时P X = k 最大，故 C 正确；
对于 D：因为 X ~ N (0,1)且P(X 1) = p ，
所以P(X < -1) = P(X 1) = p，
P
P( 1 X 0) -1 < X <1 1 1则 - < < = = é 1- P X < -1 - P X >1 ù = - p，故 D 正确.2 2 2
故选：ACD
11．（2024·山西太原·模拟预测）某工厂对一条生产线上的产品 A 和 B 进行抽检．已知每轮抽到 A 产品的概率为
P 0 < P <1 ，每轮抽检中抽到 B 产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到 A 产品的件数与 B 产品的件数的比例
为 k，单轮抽检中抽检的次数为 x，则（ ）
P 1A．若 = ，则P x 1= 2 =
2 4
B．当 P
3
= 时，P x = 4 5 取得最大值
1- PM PM
C．若一轮抽检中 x 的很大取值为 M，E x = - M × 1- P 2 1- P
D． k
1
+ 3恒成立
P
【答案】AD
【解析】由题意知P x = a = Pa-1 1- P （前 a -1次为产品A ，最后一次为产品 B ），
P 1= P x = 2 = 1 1 1当 时，
2 2 ÷
1- ÷ = ，故 A 正确；
è è 2 4
P x = 4 = P3 × 1- P = f P ， f ' P = 3P2 1- P - P3 = P2 3 - 4P ，
令 f P = 0 3，得 P = ， f P 0, 3 3 ,1 4 在 ÷上单调递增，在4 4 ÷ 上单调递减，è è
\ 3当 P = 时，P x = 4 4 取最大值，故 B 错误；
A P x = M = PM -1 × 1- P E x = 1- P 1+ 2P + 3P2由 知 ， +L+ M × PM -1 ，
S M -1令 M =1+ 2P +L+ MP ①，
则PS M -1 MM = P +L+ M -1 P + MP ②，
① - ② 1- P
M 1- PM
得 1- P SM =1+ P + P2 +L+ PM -1 - MPM = - MPM ，\E x = - MPM ，故 C 错误；1- P 1- P
n
由 C 知若一轮抽检出 n 1- P件产品，则E x = - nPn ，
1- P
1 P
每轮抽检必会抽到 B 产品 1 次，则当 n + 时， k -1 = ，
1- P 1- P
\k 1- P = P k 1，则 × -1 =1 k 1 ÷ ，\ + -1 2 k
1
-1

÷ = 2，è P P è P
k 1 1\ + 3，当且仅当 k +1 = 时等号成立，故 D 正确．
P P
故选：AD
三．填空题
12．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向
左或向右移动一个单位，共移动 5 次.该质点在有且仅有一次经过 -1位置的条件下，共经过两次 1 位置的概率
为 .
1
【答案】 / 0.5
2
【解析】设事件 A = “有且仅有一次经过 -1”，事件B = “共经过两次位置 1”，
按到 -1位置需要 1 步，3 步，5 步分类讨论.记 L = 向左，R =向右，
①若 1 步到位为事件 A1，则满足要求的是 LRRLR ， LRRR（第 5 步无关）， LLLRL ， LLLL（第 5 步无关），所
1 5 3
以P A1 = 6

= ；
è 2 ÷ 16
②若 3 步到位为事件 A2，则满足要求的是RLLRR ，RLLLL
5
所以P A2 2
1 1= ÷ = ；
è 2 16
③若 5 步到位为事件 A3，则满足要求的是RRLLL，RLRLL
1 1 1
所以P A3 = + = ，32 32 16
所以P A = P A1 + P A2 + P A3
5
=
16
5
满足 AB 的情况有： LRRLR ， LRRRL ，RLLRR ，RLRLL，RRLLL ,所以P AB =
32
P AB 1
所以P B A = =P A 2 .
1
故答案为：
2
13．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一
个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，
在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概
率．现在已知甲选择了1号箱，用 Ai 表示 i号箱有奖品（ i =1,2,3,4），用Bi 表示主持人打开 i号箱子（ i = 2,3,4），
则P B3 A1 = ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
1 3
【答案】 /0.375
3 8
1
【解析】奖品在1号箱，甲选择了1号箱，主持人可打开 2,3,4 号箱，则P B3 A1 = ；3
1
若奖品在1号箱，其概率为 ，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为 0 ；
4
3
若奖品不在1号箱，其概率为 ，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的1个，
4
1
若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为 2 ；
\ 1 3 1 3若抽奖人更改选择，其中奖的概率为 p = 0 + = .
4 4 2 8
1 3
故答案为： ； .
3 8
14．（2024·陕西西安·模拟预测）某市统计高中生身体素质状况，规定身体素质指标值在[60, + ) 内就认为身体素
质合格，在[60，84]内就认为身体素质良好，在[84,+ )内就认为身体素质优秀，现从全市随机抽取 100 名高中
100 100
2
生的身体素质指标值 xi (i =1,2,3, ,100)，经计算 xi = 7200, xi = 100 722 + 36 ．若该市高中生的身体素质
i=1 i=1
2
指标值服从正态分布 N m,s ，则估计该市高中生身体素质良好的概率为 ．（用百分数作答，精确到
0.1% ）
2
参考数据：若随机变量 X 服从正态分布 N m,s ，则 P(m -s X m + s ) 0.6827 ，
P(m - 2s X m + 2s ) 0.9545, P(m - 3s X m + 3s ) 0.9973．
【答案】95.5%
1 100
【解析】因为 100 个数据 x1, x2 , x3 , , x100 的平均值 x = xi = 72100 ，i=1
s2 1
100 100
= x - x 2 1 x2 100x 2 1方差 i = - = é100 722 + 36 -100 722 ù = 36, 100 i=1 100 i ÷è 100 i=1
所以m 的估计值为m = 72,s 的估计值为s = 6 .
设该市高中生的身体素质指标值为 X ，由P(m - 2s X m + 2s ) 0.9545，
得P(72 -12 X 72 +12) = P(60 X 84) 0.9545 .
故答案为：95.5% ．
四．解答题
15．（2025 上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活
动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了 200 名学生，得到的反馈数据如下：（单
位：人）
男生 女生 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
(1)能否有95%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记
事件A 为“学生甲选择足球”，事件 B 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求P B | A ，并判断事件A ， B 是否
独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数 X～N 185,169 ．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显
进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加 10 个，若该校有 1000 名学生，请预估经过训
练后该校每分钟跳 169 个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
n ad - bc 2 2
参考公式和数据： c 2 = ，其中 n = a + b + c + d ，P c 3.841 0.05．若
a + b c + d a + c b + d
X～N m,s 2 ，P X - m < s 0.6827，P X - m < 2s 0.9545， P X - m < 3s 0,9973．
【答案】(1)有关
(2)① P B | A 2= ，不独立，理由见解析；②977
3
【解析】（1）提出假设H0 ：学生对该问题的态度与性别无关．
200
K 2 70 50 - 50 30
2
根据列联表中的数据可求得， 25= = 8.333 > 3.841．
120 80 100 100 3
因为当H0 成立时，K 2 3.841的概率约为0.05，
所以有95%的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关．
（2）①因为事件A 为“学生甲选择足球”，事件 B 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，
所以事件 AB 为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”，
P A 1所以 = ，P B 2 2 4 1 2 2= = ，P AB = = ，
3 3 3 9 3 3 9
2
P AB 9 2
所以P B A = = 1 = ，P A 3
3
因为P AB P A P B ，所以事件A 、 B 不独立．
②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为 X1，
由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数 X1～N 195,169 ．
因为169 = 195 - 26 ，所以P X 169 1 11 > = P X1 > m - 2s + 0.9545 = 0.97725．2 2
所以0.97725 1000 = 977.25 977 （人）．
所以经过训练后该校每分钟跳169个以上人数约为977 ．
16．（2024·河南三门峡·模拟预测）2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知
识，M 大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从 6 道题中任选 27.4 常见的几种分布列
考点一 二项分布
【例 1】（2024·全国·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得 1 分，负者得 0 分，
2
且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 3 ，每局比赛的结果互不影响.
(1)经过 3 局比赛，记甲的得分为 X，求 X 的分布列和期望；
(2)若比赛采取 3 局制，试计算 3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【一隅三反】
1．（2024·河北承德·二模）中国共产党第二十次全国代表大会于 2022 年 10 月 16 日在北京开幕，各地报起了一
股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了 1000 人的竞
赛成绩（满分 100 分）数据，统计结果如下表所示：
成绩区间 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
频数 20 180 200 280 220 80 20
(1)求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取 3 位同学参加党史知识竞赛，记他们之中
不低于 60 分的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
2．（2024·上海普陀·二模）张先生每周有 5 个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，
直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.
(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件 B
为“大货车从中间直行车道通行”，求P(A B)；
(2)用 X 表示张先生每周工作日出行事件A 发生的次数，求 X 的分布及期望 E[X ] .
考点二 超几何分布
【例 2】（2024·广东茂名·一模）近几年，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业进入了加
速发展的阶段，我国的新能源汽车产业，经过多年的持续努力，技术水平显著提升、产业体系日趋完善、企业
竞争力大幅增强，呈现市场规模、发展质量“双提升”的良好局面.某汽车厂为把好质量关，对送来的某个汽车零
部件进行检测.
(1)若每个汽车零部件的合格率为 0.9，从中任取 3 个零部件进行检测，求至少有 1 个零部件是合格的概率；
(2)若该批零部件共有 20 个，其中有 4 个零部件不合格，现从中任取 2 个零部件，求不合格零部件的产品数 X
的分布列及其期望值.
【一隅三反】
1．（2024 高三下·河南·专题练习）在一个不透明的密闭纸箱中装有 10 个大小 形状完全相同的小球，其中 8 个
白球，2 个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸 4 次，记随机变量 X 为小张摸出白球
的个数.
(1)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求E X 和D X ；
(2)若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求 X 的分布列.
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知一个不透明的箱中装有 3 个白球，4 个黑球，现从该箱中任取 3 个球（无
放回，且每球取到的机会均等）.
(1)求取出的 3 个球的颜色相同的概率；
(2)记随机变量 X 为取出 3 个球中白球的个数，求 X 的分布列及数学期望．
3．（2024·全国·模拟预测）某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽
口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面
给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径80mm : 85mm为一级果，果径75mm : 80mm为二级果，果径70 : 75mm
或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取 1000 个，测量这些脐橙的果径
（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这 1000 个脐橙的果径的中位数；
(2)在这 1000 个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70 : 85mm中抽出 9 个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取
的 9 个脐橙中再抽出 3 个，求抽到的一级果个数 X 的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买 100 个，其中一级果的个数为Y ，
记一级果的个数为 k 的概率为P(Y = k)，写出P(Y = k)的表达式，并求出当 k 为何值时，P(Y = k)最大？
考点三 正态分布
【例 3】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023 年 11
月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了 100 个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒 [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600]
购物群数量/个 12 18 m 32 18
(1)求实数m 的值.并用组中值（每组的中点值）估计这 100 个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2) 2假设所有购物群销售脐橙的数量 X ~ N m,s ，其中m 为（1）中的平均数，s 2 =14400 .若该脐橙基地参与
销售的购物群约有 1000 个，销售的脐橙在[256,616)（单位：盒）内的群为“ A 级群”，销售数量小于 256 盒的购
物群为“ B 级群”，销售数量不小于 616 盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励 600 元，每个“ A
级群”奖励 100，对“ B 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若 X ~ N m,s 2 ，则P(m -s X < m +s ) 0.683，P(m - 2s X < m + 2s ) 0.954 ，
P(m - 3s X < m + 3s ) 0.997 .
【一隅三反】
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）某市教育局为督促各学校保证学生充足的睡眠、合理的营养搭配和体育锻炼时间，
减轻学生学习压力，准备对各校高三男生身高指数进行抽查，并制定了身高指数档次及所对应得分如下表：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数 x （单位： cm） x <170 170 x <175 175 x <180 x 180
学生得分 50 70 80 90
某校为迎接检查，高三第一学期初通过调查统计得到该校高三男生身高指数服从正态分布 N (175,52 )，学校制定
了相应的措施指导学生调整睡眠时间、合理的营养搭配和体育锻炼．5 月中旬，教育局聘请第三方机构抽查的
该校高三 30 名男生的身高指数频数分布表如下：
档次 偏矮 正常 偏高 超高
男生身高指数 x （单位： cm） x <170 170 x <175 175 x <180 x 180
人数 3 9 12 6
(1)试求学校调整前高三男生身高指数的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
(2)请你从偏高率、超高率、男生身高指数平均得分三个角度评价学校采取措施的效果．
附：参考数据与公式：若 X ~ N m,s 2 ，则① P m -s X m +s = 0.6827；
② P m - 2s X m + 2s = 0.9545；③ P m - 3s X m + 3s = 0.9973 .
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布
N m,s 2 ，并把质量差在 m -s , m +s 内的产品称为优等品，质量差在 m +s , m + 2s 内的产品称为一等品，优
等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取 1000 件，测得
产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差 s 近似值为 10，用样本平均数 x 作为m 的近似值，用样本
标准差 s 作为s 2的估计值，记质量差服从正态分布 X ~ N m,s ，求该企业生产的产品为正品的概率 P；（同一
组中的数据用该组区间的中点值代表）
2
参考数据：若随机变量服从正态分布 N m,s ，则P m -s < x m +s 0.6827 ，
P m - 2s < x m + 2s 0.9545，P m - 3s < x m + 3s 0.9973．
(2)假如企业包装时要求把 2 件优等品和 n（ n 2，且 n N* ）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中
摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为 A，否则该箱产品记为 B．
①试用含 n 的代数式表示某箱产品抽检被记为 B 的概率 p；
②设抽检 5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率为 f p ，求当 n 为何值时， f p 取得最大值．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024 年 3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有 12 个
班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA _V 200W ，已知这种球的质量指标x （单位：g ）服
从正态分布 X : N m,s 2 ，其中m = 270,s = 5 .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行 11 场比赛，最后靠
积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取 5 局 3 胜制）：比赛中以 3：0 或 3：1 取胜的球队积 3 分，负队积
0 分；而在比赛中以 3：2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分.9 轮过后，积分榜上的前 2 名分别为 1 班排球队和 2
班排球队，1 班排球队积 26 分，2 班排球队积 22 分.第 10 轮 1 班排球队对抗 3 班排球队，设每局比赛 1 班排球
队取胜均概率为 p(0 < p <1) .
x - m
(1)令h = ，则h ~ N 0,1 ，且Φ a = P(h < a)，求Φ -2 ，并证明：Φ -2 + Φ 2 =1；
s
(2)第 10 轮比赛中，记 1 班排球队 3：1 取胜的概率为 f p ，求出 f p 的最大值点 p0 ；
(3)以（2）中 p0 作为 P 的值，在第 10 轮比赛中，1 班排球队所得积分为 X ，求 X 的分布列.
参考数据： X : N m,s 2 ，则P(m -s < X m +s ) 0.6827, P(m - 2s < X m + 2s ) 0.9545，
P(m - 3s < X m + 3s ) 0.9973 .
考点四 独立重复试验
【例 4】（2024·四川攀枝花·三模）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校举行“阅读经典名著，传承优秀文化”闯关
活动．参赛者需要回答三个问题，其中前 2 个问题回答正确各得 5 分，回答不正确得 0 分；第三个问题回答正
3
确得 10 分，回答不正确得-5 分，得分不少于 15 分即为过关．如果甲同学回答前两个问题正确的概率都是 ，
4
2
回答第三个问题正确的概率为 3
(1)求甲同学过关的概率；
(2)求甲同学回答这三个问题的总得分 X 的分布列及数学期望．
【一隅三反】
1 2024· · m m 1,m N*．（ 河北衡水 模拟预测）已知甲口袋有 个红球和 2 n n 1, n N*个白球，乙口袋有 个红
球和 2 个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球 2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球 2
次，每次摸出一个球.
(1)当m = 4, n = 2时，
（i）求小明 4 次摸球中，至少摸出 1 个白球的概率；
（ii）设小明 4 次摸球中，摸出白球的个数为 X ，求 X 的数学期望；
(2)当m = n 时，设小明 4 次摸球中，恰有 3 次摸出红球的概率为 P ，则当m 为何值时， P 最大？
2
2．（2024· 1安徽马鞍山·模拟预测）甲、乙两人进行投球练习，两人各投球一次命中的概率分别为 2 、 3 ，投中得
1分，投不中得 -1分．两人的每次投球均相互独立．
(1)甲、乙两人各投球一次，求两人得分之和为 0 分的概率；
(2)甲、乙两人各投球两次，求两人得分之和 X 的分布列及其数学期望．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）某旅游景区在手机 APP 上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有 4
个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；
1
在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的 .
3
(1)求甲任选一题并答对的概率;
(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由 2 道单项选择题构成，每道选择题答对得 2 分，答错扣 1 分，放弃
2
作答得 0 分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为 3 ，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每
组答题总得分为 X ，
①求P X = 4 和P X = -2
②求E X
考点五 条件概率与全概率
【例 5-1】（23-24 江苏南通·阶段练习）某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三
胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件A 表示“甲获得冠军”，事件 B 表示“比赛进行
了五局”，则P A B = （ ）
A 1
1 5
． 2 B． C
3
． D8 ．4 16
【例 5-2】（2024·河北邢台·二模）（多选）为加强学生体质健康，邢台市第一中学积极组织学生参加课外体育活
动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换
1
另一人投篮. 1假设甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 2 ，由掷两枚硬币的方式确定第一次投3
篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（ ）
1
A．第一次投篮的人是甲的概率为
3
31
B．第三次投篮的人是乙的概率为
72
4
C．已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为
7
D *．设第 n 次投篮的人是甲的概率为 an ，则6an + an-1 = 3 n 2,n N
【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）袋子中有 9 个除颜色外完全相同的小球，其中 5 个红球，4 个黄球．若从袋子中
任取 3 个球，则在摸到的球颜色不同的条件下，最终摸球的结果为 2 红 1 黄的概率为（ ）
3 4 3 5A． B． C． D8 ．7 7 8
2．（2024·天津北辰·三模）某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲 乙两人为一组参加比赛，
每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情
1 1
况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮
4 3
1
的人是甲 乙的概率各为 2 .第 2 次投篮的人是甲的概率为 ；已知在第 2 次投篮的人是乙的情况下，第
1 次投篮的人是甲的概率为 .
3．（2024·天津滨海新·三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅
游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这 6
个随机选择 1 个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为 ．这两位游客中至少有一人选择天
津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率 ．
4．（2024·安徽安庆·三模）一个不透明的袋子装有 5 个完全相同的小球，球上分别标有数字 1，2，3，4，4．现
甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字
大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到 2 号球的概率为 ．
考点六 统计案例
【例 6-1】（2024·上海·模拟预测）某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏
零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离 x kkm 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数 y （个） 61 73 90 105 119 136 149 163
(1)建立 y 关于 x 的回归模型 y = b x + a ，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数 r .（ b 精确到 0.1， a
精确到 1， r 精确到 0.0001）
(2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取 100 台进行等距离飞行测试，对其中 60 台进行飞
行前保养，测试结束后，有 20 台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成 2 2列联表，并根
据小概率值a = 0.01的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100
2 n ad - bc
2
附： c = ， n = a + b + c + d
a + b c + d a + c b + d
P c 2≥k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【例 6-2】（2024·福建南平·模拟预测）某大型商场的所有饮料自动售卖机在一天中某种饮料的销售量 y （单位：
瓶）与天气温度 x （单位：℃）有很强的相关关系，为能及时给饮料自动售卖机添加该种饮料，该商场对天气
温度 x 和饮料的销售量 y 进行了数据收集，得到下面的表格：
x 10 15 20 25 30 35 40
y 4 16 64 256 2048 4096 8192
经分析，可以用 y = a ×2kx 作为 y 关于 x 的经验回归方程．
(1)根据表中数据，求 y 关于 x 的经验回归方程(结果保留两位小数)；
(2)若饮料自动售卖机在一天中不需添加饮料的记 1 分，需添加饮料的记 2 分，每台饮料自动售卖机在一天中需
1
添加饮料的概率均为 ，在商场的所有饮料自动售卖机中随机抽取 3 台，记总得分为随机变量 X ，求 X 的分布
3
列与数学期望．
参考公式及数据：对于一组数据 x1, y1 , x2 , y2 ,L, xn , yn ，经验回归方程 y = b x + a 的斜率和截距的最小二乘估
n
(xi - x )(yi - y) 7
计公式分别为b = i=1 n ,a = y - b x; x = 25, (xi - x )2 = 700
(xi - x )2 i=1
i=1
【一隅三反】
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法
得到电动汽车销量 y （单位：万台）关于 x （年份）的线性回归方程 y = 4.7x - 9459.2，且销量 y s2
254
的方差为 y = ，5
年份 x 2的方差为 sx = 2 .
(1)求 y 与 x 的相关系数 r ，并据此判断电动汽车销量 y 与年份 x 的线性相关性的强弱.
(2)该机构还调查了该地区 90 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值a = 0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
①参考数据： 5 127 = 635 25 .
n
xi - x yi - y
② i=1参考公式：线性回归方程为 y = b x + a ，其中b = ， a = y - b n x ；相关系数
x - x 2i
i=1
n
xi - x yi - y 2
r = i=1 | r | 0.9 2 n(ad -bc)>
n n ，若 ，则可判断
y 与 x 线性相关较强；K = ，其中
x - x 2 y - y 2 (a +b)(c +d)(a +c)(b+d)i i
i=1 i=1
n = a + b + c + d .附表：
P K 2 k0 0.10 0.05 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
2．（2024·河北沧州·模拟预测）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精
品”的美誉.2024 年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量 x（人）与年收益增量 y（万元）的数据
如下：
人工投入增量 x（人） 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 y（万元） 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量，建立了 y 与 x 的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得 y 与 x 的线性回归方程： y = 4.1x +11.8；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线： y = b x + a 的附近，对人工投入增量 x 做变换，
7 7
令 t = x ，则 y = b × t + a ，且有 t = 2.5， y = 38.9， ti - t yi - y = 81.0 2， ti - t = 3.8 .
i=1 i=1
(1)（i）根据所给的统计量，求模型②中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2 ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工
投入增量为 16 人时的年收益增量.
回归模型 模型① 模型②
回归方程 y = 4.1x +11.8 y = b x + a
7 2
y i - yi 182.4 79.2
i=1
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从
正态分布 N 32,16 .购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性有多大
2
附：若随机变量Z ~ N m,s ，则P m - 3s < Z < m + 3s = 0.9974，0.998710 0.9871；
n n 2
ti - t yi - y y i - yi
样本 ti , yt i =1,2, × × ×,n b = i=1 2的最小二乘估计公式为： n ，$a = y -$bx ，R =1- i=1n .
t - t 2i yi - y 2
i=1 i=1
考点七 分布列与数列综合
【例 7-1】（2024·广西南宁·二模）2023 年 10 月 7 日，杭州第 19 届亚运会女子排球中国队以 3：0 战胜日本队夺
得冠军，这也是中国女排第 9 个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某
校甲、乙、丙等 7 名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手 2 人，副攻手 2 人，接应手 1
人，二传手 1 人，自由人 1 人．现从这 7 人中随机抽取 3 人参与传球训练
(1)求抽到甲参与传球训练的概率；
(2)记主攻手和自由人被抽到的总人数为x ，求x 的分布列及期望；
(3) 1若恰好抽到甲，乙，丙 3 人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为 2 ，当乙接到球时，乙传
1 2 1 2
给甲、丙的概率分别为 , ，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为 , ，假设球一直没有掉地上，求经
3 3 3 3
过 n 次传球后甲接到球的概率．
【例 7-2】（2024·山东济南·二模）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成10:10平后，每球交换发球
2
权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 3 ，乙
1
发球时甲得分的概率为 2 ，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成10:10平后，甲先发球.
(1)求再打 2 球该局比赛结束的概率；
(2)两人又打了 X 个球该局比赛结束，求 X 的数学期望E X ；
(3)若将规则改为“打成10:10平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.
【一隅三反】
1 ．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选）甲乙两个口袋中各装有 1 个黑球和 2 个白球，现从甲、乙两口袋中各任
*
取一个球交换放入另一口袋，重复进行 n n N 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 X n ，恰有 1 个黑球的
概率为Pn，下列说法正确的是（ ）
P 5 1A． 1 = B．P X1 = 2 =9 6
ì 3ü
C．数列 íPn - 是等比数列 D． X n 的数学期望E X n = 1
5
2．（2024·黑龙江·模拟预测）三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”，“布”，其中“石头”赢
“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例如，当一个人出“布”，另两个人出“石头”时，只用一回正好决定胜利
者;当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的人，三人猜拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为
止.
(1)求一次猜拳决出胜利者的概率；
(2)求在第 n回猜拳决出胜利者的概率.
考点八 分布列中的最值
【例 8-1】（2024·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果 标准果 精品
果 礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取 100 个，按果径大小分成 5 组进行统计：
[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85]（单位：mm）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于
65mm为不达标果，在65mm到75mm之间为标准果，在75mm到80mm之间为精品果，达到80mm及以上的为
礼品果.
(1)现采用分层随机抽样的方法从选取的 100 个水果中抽取 10 个，再从这 10 个水果中随机抽取 2 个，记礼品果
的个数为 X ，求 X 的分布列与数学期望；
(2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取 n n 2 个，设其中恰有 2 个精品果的概率为 P n .当 P n 最大时，
求 n的值.
【例 8-2】（2024·广东梅州·一模）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了 500 名高
中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2], (2,4]，
(4,6], (6,8], (8,10],(10,12],(12,14],(14,16]， (16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)为进一步了解这 500 名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在 (12,14],(14,16],(16,18]三
组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 10 人，现从这 10 人中随机抽取 3 人.记参加公益劳动时间在 (14,16]
内的学生人数为 X ，求 X 的分布列和期望；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取 20 名学生，用“ P20 (k) ”表示这 20 名学生中
恰有 k 名学生参加公益劳动时间在 (10,12 ]（单位:小时）内的概率，其中 k = 0,1,2,L, 20 .当P20 (k) 最大时，写出 k
的值.
【一隅三反】
1．（2024·河北沧州·三模）双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009 年 11 月 11 日举办的促销活动，当时
参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是 11 月 11 日成为天猫举办大规模促销活动
的固定日期.某工厂现有工人50 人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照 155,165 ， 165,175 ， 175,185 ，
185,195 分成 4 组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求 a的值及年产量的第 75 百分位数；
(2)假设年产量在 165,175 中的工人中有 n名女性 3 n 13 ，从该区间的人中随机抽取 10 人进行奖励，其中女
性恰有 X 人，记 f n = P X = 3 ，则当 n为何值时， f n 取得最大值.
2．（23-24 高二下·浙江舟山·期末）某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参
加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练
对近两年甲参加过的 60 场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场 12 次，其中球队获胜 6 次；中
锋位置出场 24 次，其中球队获胜 16 次；后卫位置出场 24 次，其中球队获胜 18 次.用该样本的频率估计概率，
则：
(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；
(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行 10 场热身赛，比赛没有平局，获胜得 1 分，失败得 0 分.已知Ⅰ队在每场比
赛中获胜的概率是 p（0.5 < p <1），若比赛最有可能的比分是 7∶3，求 p 的取值范围；
(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共 6 支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均进行一场比赛），若每
场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜 3 场的条件下，记其获胜的场数为 X，求 X 的分布列和数学期望.
一．单选题
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的
圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过
程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为
0,1,2,L,10 ，用 X 表示小球最后落入格子的号码，若P X = k P X = k0 ，则 k0 =（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·黑龙江·三模）袋中装有标号为 1，2，3，4，5 且质地、大小相同的 5 个小球，从袋子中一次性摸出两
个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有 4 人参与摸球，则恰好 2 人获奖的概率是
（ ）
216 324 8 27
A． B． C． D．
625 625 9 125
3．（2024·山东菏泽·模拟预测）随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只
有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的 2 倍，和谐号的正点率为 0.98，复兴号的
正点率为 0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8
4．（2024·辽宁·模拟预测）某种酸奶每罐净重 X （单位：g）服从正态分布 N 184,2.52 .随机抽取 1 罐，其净重
在179g 与186.5g 之间的概率为（ ）
2
（注：若 X ~ N m,s ，P X - m < s = 0.6827，P X - m < 2s = 0.9545，P X - m < 3s = 0.9973）
A．0.8186 B．0.84135 C．0.9545 D．0.6827
5（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知某工厂生产零件的尺寸指标 X ~ N 45,1.44 ，单位为 cm．该厂每天生产
的零件尺寸在(43.8,48.6)的数量为 84000，则可以估计该厂每天生产的零件尺寸在 42.6 以下的数量为（ ）参考
数据：若 X ~ N m,s 2 ，则P m -s X m +s = 0.6827, P m - 2s X m + 2s = 0.95
45, P m - 3s X m + 3s = 0.9973．
A．1587 B．2275 C．2700 D．1350
3
6．（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为 ，
4
1
向右移动的概率为 .若该质点每次移动一个单位长度，设经过 5 次移动后，该质点位于 X 的位置，则P(X > 0) =
4
（ ）
50 17 53 17
A． B． C． D．
243 512 512 81
7．（2024·湖南·模拟预测）某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区E 内进行投
球.规定球重心投掷到区域A 内得 3 分，区域 B 内得 2 分，区域C 内得 1 分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手
投掷一次得 3 分的概率为 0.1，得 2 分的概率为b ，不得分的概率为 0.05，若甲选手连续投掷 3 次，得分大于 7
分的概率为 0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得 1 分的概率为（ ）
13 49 17 53
A． B． C60 ． D．20 20 60
6．（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两
名同学击中目标靶的环数 X 和Y 的分布列如下表一和下表二所示；
表一
X 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
表二
Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
概率分布条形图如下图三和图四所示：
则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（ ）
A．E X > E Y B．E X < E Y C．D X > D Y D．D X < D Y
二．多选题
9．（2024·湖南长沙·三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的 1 名体育生组成甲组，
3 名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球 3 次，乙组的同学每
2 1 2 5
人各投球 1 次.若甲组同学和乙组 3 名同学的命中率依次分别为 , , , ，则（ ）
3 2 5 6
13
A．乙组同学恰好命中 2 次的概率为
30
B．甲组同学恰好命中 2 次的概率小于乙组同学恰好命中 2 次的概率
2
C．甲组同学命中次数的方差为 3
26
D．乙组同学命中次数的数学期望为
15
10．（23-24 高三下·河南·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知变量 x ， y 的线性回归方程 y = 0.3x - x ，且 y = 2.8，则 x = -4
B．数据 4，6，7，7，8，9，11，14，15，19 的75% 分位数为 11
C．已知随机变量 X ~ B(7,0.5), P(X = k)最大，则 k 的取值为 3 或 4
D．已知随机变量 X ~ N (0,1), P(X 1) = p ，则P( 1 X 0)
1
- < < = - p
2
11．（2024·山西太原·模拟预测）某工厂对一条生产线上的产品 A 和 B 进行抽检．已知每轮抽到 A 产品的概率为
P 0 < P <1 ，每轮抽检中抽到 B 产品即停止．设进行足够多轮抽检后抽到 A 产品的件数与 B 产品的件数的比例
为 k，单轮抽检中抽检的次数为 x，则（ ）
1
A．若P = ，则P x = 2 1=
2 4
B．当 P
3
= 时，P x = 4 5 取得最大值
M M
C．若一轮抽检中 x 的很大取值为 M，E x
1- P
= 2 - M
P
×
1- P 1- P
k 1D． + 3恒成立
P
三．填空题
12．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向
左或向右移动一个单位，共移动 5 次.该质点在有且仅有一次经过 -1位置的条件下，共经过两次 1 位置的概率
为 .
13．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一
个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，
在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概
率．现在已知甲选择了1号箱，用 Ai 表示 i号箱有奖品（ i =1,2,3,4），用Bi 表示主持人打开 i号箱子（ i = 2,3,4），
则P B3 A1 = ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）某市统计高中生身体素质状况，规定身体素质指标值在[60, + ) 内就认为身体素
质合格，在[60，84]内就认为身体素质良好，在[84,+ )内就认为身体素质优秀，现从全市随机抽取 100 名高中
100 100
生的身体素质指标值 xi (i =1,2,3, ,100) x = 7200, x2，经计算 i i = 100 722 + 36 ．若该市高中生的身体素质
i=1 i=1
2
指标值服从正态分布 N m,s ，则估计该市高中生身体素质良好的概率为 ．（用百分数作答，精确到
0.1% ）
2
参考数据：若随机变量 X 服从正态分布 N m,s ，则 P(m -s X m + s ) 0.6827 ，
P(m - 2s X m + 2s ) 0.9545, P(m - 3s X m + 3s ) 0.9973．
四．解答题
15．（2025 上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活
动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了 200 名学生，得到的反馈数据如下：（单
位：人）
男生 女生 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
(1)能否有95%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关
(2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记
事件A 为“学生甲选择足球”，事件 B 为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求P B | A ，并判断事件A ， B 是否
独立，请说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数 X～N 185,169 ．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显
进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加 10 个，若该校有 1000 名学生，请预估经过训
练后该校每分钟跳 169 个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）．
n ad - bc 2
参考公式和数据： c 2 = ，其中 n = a + b + c + d P c 2， 3.841 0.05．若
a + b c + d a + c b + d
X～N m,s 2 ，P X - m < s 0.6827，P X - m < 2s 0.9545， P X - m < 3s 0,9973．
16．（2024·河南三门峡·模拟预测）2024 年 7 月 26 日至 8 月 11 日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知
识，M 大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从 6 道题中任选 2 题作答，2 题均答对则进入决赛.已知这 6 道题中小王能答对其中 4 道题，记小王在初
赛中答对的题目个数为 X ，求 X 的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2) M 大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入
决赛的参赛大学生允许连续抽奖 3 次，中奖 1 次奖励 120 元，中奖 2 次奖励 180 元，中奖 3 次奖励 360 元，若
3
3 次均未中奖，则只奖励 60 元.假定每次抽奖中奖的概率均为 p 0 < p < ÷，且每次是否中奖相互独立.
è 4
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖 1 次的概率为 f p ，求 f p 的极大值；
（ii）M 大学数学系共有 9 名大学生进入了决赛，若这 9 名大学生获得的总奖金的期望值不小于 1120 元，试求
此时 p 的取值范围.
17．（2024·广东汕头·三模）11 分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得 1 分，
先得 11 分且至少领先 2 分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成 10∶10 后，每球交换发球权，领先 2 分者胜，
该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局 11 分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均
2 1
匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为 3 ，乙发球时甲得分的概率为 2 ，各球的比赛结果相互
独立，且各局的比赛结果也相互独立．
p 2(1)若每局比赛甲获胜的概率 = ，求该场比赛甲获胜的概率.
3
(2)已知第一局目前比分为 10∶10，求
（ⅰ）再打两个球甲新增的得分 X 的分布列和均值；
（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率 p0 ；
18．（2024·浙江·模拟预测）某手机销售商为了了解一款 5G 手机的销量情况，对近 100 天该手机的日销量 X （单
位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 X = 300 ，样本的标准差 s = 50 .
(1) 2经分析，可以认为该款手机的日销售量 X 近似服从正态分布 N m,s ，用样本的平均值 X 作为 m 的近似值，
用样本的标准差 s作为s 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 350,400 之间的概
率；
(2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一
次活动；②箱子中装有红球和白球各 10 个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得 1 个积分，如果
摸到的是红球，则获得 2 个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为 0，当积分之和达到 19 或 20 时，
游戏结束，如果最终积分为 19，顾客获得二等奖，手机的售价减免 1000 元；如果最终积分为 20，顾客获得一
等奖，手机的售价减免 2000 元.活动的第一天共有 300 位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计
获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量x : N m,s 2 ，则P m -s x < m +s 0.6827 ，P m - 2s x < m + 2s 0.9545，
P m - 3s x < m + 3s 0.9973 .
19．（2024·河北秦皇岛·三模）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中 15 个区
域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标 xi 和区域内该植物分布的数量 yi i =1,2, × × ×,15 ，得到数组
15 15 15
xi , y 2 2i .已知 (xi - x) = 45， (yi - y) = 8000， (xi - x)(yi - y) = 480 .
i=1 i=1 i=1
(1)求样本 xi , yi i =1,2, × × ×,15 的样本相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量 X （ X 可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的 k N* ，
寿命为 k +1的样本在寿命超过 k 的样本里的数量占比与寿命为 1 的样本在全体样本中的数量占比相同，均为
0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
（i）求P X = k k N* 的表达式；
（ii）推导该植物寿命期望E X 的值（用 k 表示， X 取遍1,2, × × ×, k ），并求当 k 足够大时，E X 的值.
n
xi yi - nxgy
i=1
附：样本相关系数 r = n n ；当 k 足够大时， k 0.9k 0 .
x 2
2
- nx g y 2
2
i i - ny
i=1 i=1

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