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第01讲 集合
考点要求 考题统计 考情分析
(1)集合的概念与表示(2)集合的基本关系(3)集合的基本运算 2024年I卷第1题，5分2023年I卷第1题，5分2023 年II卷第2题，5分2022年I卷II卷第1题，5分2021年I卷I卷第1题，5分2020年I卷II卷第1题，5分 本讲为高考命题热点，题型主要为选择题，其考查的主要内容、频率、题型以及难度都保持相对稳定。核心在于集合间的基本运算，重点考查了集合的交集、并集和补集运算。这些运算经常与一元二次不等式、一元一次不等式、分式不等式以及指数和对数不等式的解法相结合。此外，也应适当关注集合运算与充要条件结合的解题技巧。
1．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
知识点1：元素与集合
1、集合的概念指的是将某些特定的对象汇集成一部分或整体，这些对象可以是数学中的数字、点等常见对象，也可以是其他类型的实体。集合的元素不仅限于传统的数学对象，它们可以是任何种类的对象，只要它们满足集合的构成条件。
2、集合元素的是三个特征
(1) ：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.
(2 ：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.
(3) ：集合与其组成元素的顺序无关.
3、元素与集合的关系是 (用符号“∈”表示)或不属于(用符号“ ”表示).
4、常用数集及其符号表示：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
5、集合的表示方法： 、描述法、图示法.
知识点 2：集合的基本关系
1、子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 (或B A)．
2、真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且 ，就称集合A是集合B的真子集，记作 (或B A)．
3、相等：若A B，且 ，则A＝B.
4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是 的子集，是 的真子集．
知识点 3：集合的基本运算
表示运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法
并集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B}
交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B}
补集 全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x A}
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
【易错总结】
(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
题型一：集合的概念与表示
【典例1-1】设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
【答案】C
【解题思路】依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
【变式1-1】已知全集，集合和，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4．
【典例1-2】已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________．
【答案】0或3
【解题思路】因为B A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
【变式1-2】若，则的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
题型二：集合的基本关系
【典例2-1】已知集合，则集合的子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】C
【解题思路】，集合A的子集为：，，，，共4个.故选：C.
【变式2-1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
【典例2-2】设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由题知,对比选项知，正确,错误.故选:.
【变式2-2】已知集合，则集合的子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【典例 2-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
【答案】(－∞，3]
【解题思路】因为B A，
所以①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【变式2-3】已知集合A＝{1，3，}，B＝{2－x，1}．
(1) 记集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；
(2) 是否存在实数x，使得B A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
题型三：集合的基本运算
【典例3-1】已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2【答案】C
【解题思路】由题可得N＝{x|－2因为－3 N，所以－3 M∩N，排除A，B；
因为2.5 M，所以2.5 M∩N，排除D.故选C.
【变式3-1】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
【答案】C
【解题思路】由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的数值范围是.故选C.
【变式3-2】已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【典例3-3】设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2,6}，B＝{2，－5}．(2)(A∪B)∩C＝{2}．
【解题思路】
(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
【变式3-3】已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·青海西宁·二模）已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·贵州贵阳·二模）设全集，集合满足，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
10．（2024·全国·二模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ）
A．， B．，
C． D．
12．（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．当时，
C．当时， D．，使得
三、填空题
14．（2006·上海·高考真题）已知集合，集合，若，则实数 .
15．（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ．
16．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则的子集个数为 .
17．（2024·湖北·模拟预测）设是绝对值不大于10的整数，函数满足，则的所有可能取值组成的集合为 .
18．（2024·山西运城·三模）给定集合，定义中所有不同值的个数为集合两个元素的容量，用表示.
①若，则 ；
②定义函数其中表示不超过的最大整数，如，，当时，函数的值域为，若，则 ；
四、解答题
19．（2023·安徽·模拟预测）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
20．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，记的值域为集合，的值域为集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
高考动向
考纲导向小
真题在线小
考点突破
考点梳理小
题型展示小
考场演练
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第01讲 集合
考点要求 考题统计 考情分析
(1)集合的概念与表示(2)集合的基本关系(3)集合的基本运算 2024年I卷第1题，5分2023年I卷第1题，5分2023 年II卷第2题，5分2022年I卷II卷第1题，5分2021年I卷I卷第1题，5分2020年I卷II卷第1题，5分 本讲为高考命题热点，题型主要为选择题，其考查的主要内容、频率、题型以及难度都保持相对稳定。核心在于集合间的基本运算，重点考查了集合的交集、并集和补集运算。这些运算经常与一元二次不等式、一元一次不等式、分式不等式以及指数和对数不等式的解法相结合。此外，也应适当关注集合运算与充要条件结合的解题技巧。
1．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【真题答案】C
【真题解析】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：C
2．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【真题答案】B
【真题解析】因为集合，，所以，故选：B
3．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【真题答案】A
【真题解析】因为，且注意到，从而.故选：A.
4．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【真题答案】C
【真题解析】方法一：因为，而，所以．故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．
5．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【真题答案】B
【真题解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.
知识点1：元素与集合
1、集合的概念指的是将某些特定的对象汇集成一部分或整体，这些对象可以是数学中的数字、点等常见对象，也可以是其他类型的实体。集合的元素不仅限于传统的数学对象，它们可以是任何种类的对象，只要它们满足集合的构成条件。
2、集合元素的是三个特征
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.
(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现.
(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关.
3、元素与集合的关系是属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“ ”表示).
4、常用数集及其符号表示：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
5、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
知识点 2：集合的基本关系
1、子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
2、真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B (或B A)．
3、相等：若A B，且B A，则A＝B.
4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
知识点 3：集合的基本运算
表示运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法
并集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x A} UA
【常用结论】
1．三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
(2)交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
(3)补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
【易错总结】
(1)忽视集合中元素的互异性致误；
(2)忽视空集的情况致误；
(3)忽视区间端点值致误．
题型一：集合的概念与表示
【典例1-1】设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
【答案】C
【解题思路】依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
【变式1-1】已知全集，集合和，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4．
【答案】B
【解析】因为所以，又因为，所以，.故选：B.
【典例1-2】已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________．
【答案】0或3
【解题思路】因为B A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
【变式1-2】若，则的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【解析】，则，符合题设；时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；时，则，符合题设；∴或均可以.故选：C
题型二：集合的基本关系
【典例2-1】已知集合，则集合的子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】C
【解题思路】，集合A的子集为：，，，，共4个.故选：C.
【变式2-1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A C B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
【典例2-2】设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由题知,对比选项知，正确,错误.故选:.
【变式2-2】已知集合，则集合的子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】C
【解析】，集合A的子集为：，，，，共4个.故选：C.
【典例 2-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
【答案】(－∞，3]
【解题思路】因为B A，
所以①若B＝ ，则2m－1②若B≠ ，则2m－1≥m＋1，m＋1≥－2，2m－1≤5.解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【变式2-3】已知集合A＝{1，3，}，B＝{2－x，1}．
(1) 记集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；
(2) 是否存在实数x，使得B A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）19；（2）不存在，见解析
【解析】 (1) 因为A＝M，A＝{1，3，}，M＝{1，4，y}，
所以解得
所以x＋y＝16＋3＝19.
(2) 假设存在实数x，使得B A.
①当2－x＝3，即x＝－1时，不存在，不符合题意；
②当2－x＝时，解得x＝1.
又≠1，所以不符合题意．
综上所述，不存在实数x，使得B A.
题型三：集合的基本运算
【典例3-1】已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－2【答案】C
【解题思路】由题可得N＝{x|－2因为－3 N，所以－3 M∩N，排除A，B；
因为2.5 M，所以2.5 M∩N，排除D.故选C.
【变式3-1】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以．故选：A.
【典例3-2】已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．
C. D．(1，＋∞)
【答案】C
【解题思路】由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的数值范围是.故选C.
【变式3-2】已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【答案】[－，－1]∪(3，＋∞)
【解析】由题意，得B＝{x|x2＋x－6≤0}＝[－3，2].
因为A∪B＝B，所以A B.
①当A＝ ，即2a>a＋3时，解得a>3；
②当A≠ ，即a≤3时，
有解得－≤a≤－1.
综上，实数a的取值范围是[－，－1]∪(3，＋∞).
【典例3-3】设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
【答案】（1）a＝－8，b＝－5，A＝{2,6}，B＝{2，－5}．(2)(A∪B)∩C＝{2}．
【解题思路】
(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
【变式3-3】已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，；
（2）或，
当，即得，满足，
当时，使即或，
解得：．
综上所述，的取值范围是．
一、单选题
1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得.故选：C.
2．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，则， 故选：D
3．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A
4．（2024·青海西宁·二模）已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，所以，即图中阴影部分表示的集合为.故选：A
5．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，
结合，可知，即，且区间,中含有4个整数，
①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数；
②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意；
③当时，,的区间长度大于3，
若,的区间长度，即．
若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，，
此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意．
若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得；
若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意；
当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数，
故，即，结合可得．
综上所述，或或，即实数的取值范围是,,．
故选：D．
6．（2024·贵州贵阳·二模）设全集，集合满足，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意得，解得.故选：A.
7．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，，所以，
因为，所以．故选：B．
8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，
，故，
所以．故选：A．
二、多选题
9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABCD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，若，则，，
要证，只需要证，即证，
即证，即证，即证，
因为，，所以上式成立，所以，故D正确.
故选：ABCD.
10．（2024·全国·二模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】，，选项错误；
，选项B错误；
，选项正确；
，选项D正确.
故选：CD
11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】AC
【解析】对于，对任意的，存在，使得，故正确；
对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，
使得，当时，该式不成立，故错误；
对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，
使得，故正确；
对于，集合，，，当时，，
时，使得不成立，故错误．
故选：．
12．（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知：集合N是集合M的真子集，
对于选项A：可知集合N是集合M的真子集，故A正确；
对于选项B：因为，
可知集合M是集合N的真子集，故B错误；
对于选项C：因为，
且，则，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
可知集合N是集合M的真子集，故C正确；
对于选项D：因为，
可知集合N是集合M的真子集，故D正确；
故选：ACD.
13．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．当时，
C．当时， D．，使得
【答案】AB
【解析】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线，
可知表示直线上所有的点，
所以，故A正确；
对于选项B：当时，则，，
联立方程，解得，所以，B正确；
对于选项C：当时，则有：
若，则；
若，可知直线与直线平行，且，
可得，解得；
综上所述：或，故C错误；
对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误．
故选：AB．
三、填空题
14．（2006·上海·高考真题）已知集合，集合，若，则实数 .
【答案】1
【解析】因为，所以，
即，所以.
当时，，，满足，故.
故答案为：1.
15．（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是 ．
【答案】64
【解析】由题可知，，有6个元素，
所以该集合的子集有个，
故答案为：64．
16．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则的子集个数为 .
【答案】4
【解析】令，即，可得，解得，
则，
可得，共两个元素，
所以其子集的个数为.
故答案为：4.
17．（2024·湖北·模拟预测）设是绝对值不大于10的整数，函数满足，则的所有可能取值组成的集合为 .
【答案】
【解析】首先，我们来证明一元三次方程的韦达定理，
我们设一元三次方程的三个根分别为，
而可化为，
也可以写成，
将展开，合并同类项，
得到，
所以，，，
所以一元三次方程的韦达定理得证，
接着证明是的零点.
事实上，设，则，
其中是整数，假设，即，
而，
而是整数且是无理数，所以，
故，必定是整数，
且整数相减的结果不可能在，从而，
因为，
，
故，而，矛盾.
故，即，所以.
设的三个根为，其中，
则，，
得，所以.
由及，
所以我们得到，解得，
也可得到，解得，
而是绝对值不大于10的整数，
得到，所以.
故答案为：.
18．（2024·山西运城·三模）给定集合，定义中所有不同值的个数为集合两个元素的容量，用表示.
①若，则 ；
②定义函数其中表示不超过的最大整数，如，，当时，函数的值域为，若，则 ；
【答案】
【解析】①：因为，
所以
其中不同值的个数为，故，
②：当，则，所以，
则的值域为，
任取两个元素相加，不同的结果有（个），
则，解得.
故答案为：；.
四、解答题
19．（2023·安徽·模拟预测）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由题意知，
因为，所以，
则，解得，则实数的取值范围是；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集，
当时，解得；
当时，（等号不能同时取得），解得，
综上，.
20．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，记的值域为集合，的值域为集合.
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
当且仅当，即时等号成立，
故的值域为，即.
（2），
当且仅当时等号成立，
所以，
由（1）知，又，所以，
所以，解得，
故实数的取值范围是
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