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专题28 平面向量的概念及线性运算（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】平面向量的概念 4
【考点2】向量的线性运算 8
【考点3】共线向量定理的应用 13
【分层检测】 18
【基础篇】 18
【能力篇】 25
【培优篇】 31
考试要求：
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
2．
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
【考点1】平面向量的概念
一、单选题
1．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、多选题
3．（2023·湖南长沙·一模）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且 ，则与共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
4．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，，则 ．
6．（22-23高三上·湖北武汉·期中）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据题意，得到，得到点为线段的中点，得出为直角三角形，且为等边三角形，进而求得向量在向量上的投影向量.
【详解】由，可得，
所以，即点为线段的中点，
又因为的外接圆圆心为，所以为直角三角形，所以
因为，可得，所以为等边三角形，
故点作，可得，所以，
因为向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量为.
故选；A.
2．C
【分析】利用向量的数量积可求.
【详解】因为，，则，，
则，故，
故选：C.
3．ACD
【分析】利用零向量与任意向量平行可判定A，利用共线向量的定义可判定B，利用共线向量的充要条件可判定C，利用平面向量的数量积与模长关系可判定D.
【详解】对A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误；
对B，分别表示，方向上的单位向量，根据题意可知B正确；
对C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数 使得 ，故C错误；
对D，由，
所以，故D错误.
故选：ACD
4．ABC
【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
5．
【分析】根据四边形是平行四边形，利用向量加减法的三角形法则及坐标运算即可求解.
【详解】

因为四边形是平行四边形，
所以，
，
所以.
故答案为：
6．2
【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用与共线得到线段的长度关系，用，表示出相应线段，得到等式.
【详解】
设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，
则，，
因为与共线，所以，又因为，，
所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：2
反思提升：
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
【考点2】向量的线性运算
一、单选题
1．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A． B．
C．的面积的最大值为 D．的最小值为
4．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·四川乐山·一模）已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为 .
6．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】在平行四边形ABCD中设，将用表示，代入到已知条件，根据向量的运算法则化简求解即可.
【详解】设，平行四边形ABCD中，
由已知可得：，
所以
，
解得：或（舍），
故选：B
2．B
【分析】设，，根据向量减法的几何意义，可得线段OB的中点C满足，即可求得，的夹角.
【详解】设，，则为直线OB上的点C与点A之间的距离，
由时，取得最小值，得C为线段OB的中点且，
由于，所以.
故选：B
3．ABC
【分析】延长交于点，根据平面向量的线性运算可得出，可判断选项A；结合，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项B；由和平面向量数量积的定义可得出，由求出，再根据三角形面积公式可判断选项C；结合选项B得出，再利用余弦定理即可判断选项D.
【详解】
延长交于点.
因为是的重心，
所以点是中点，，
则.
对于选项A：因为，故选项A正确；
对于选项B：由得：，
所以，当且仅当时等号成立.
又因为，即，，
所以，
即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，，
所以，故选项C正确；
对于选项D：由，，
得，
所以由余弦定理可得：
，即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，故选项D错误.
故选：ABC.
4．ABD
【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出为中点，为上靠近点的四等分点，对选项进行判断，得出答案.
【详解】
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以，
所以，即，所以
，故B正确；
对于C选项，设，
由（1）得，所以，
又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误；
对于D，，设，则，
所以，又三点共线，所以，解得，
所以为中点，所以，故D正确，
故选：ABD.
5．
【分析】若是外接圆圆心，是中点，连接，根据，数形结合有、即可求最小值.
【详解】若是外接圆圆心，是中点，连接，如下图，

所以，则，
故，而，且，
所以，当且仅当共线且重合为正六边形一边的中点时等号成立，
所以.
故答案为：
6． 2 2
【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案.
【详解】由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
反思提升：
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
【考点3】共线向量定理的应用
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
2．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为12 D．的最小值为4
4．（2023·河南信阳·模拟预测）已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·上海·模拟预测）设为的外心，若，则的值为 .
6．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据向量共线则判断即可.
【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；
对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.
故选：C
2．B
【分析】设与的交点为，，进而根据下向量关系得，再结合双曲线的性质即可得，，进而结合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，进而可得答案.
【详解】解：如图，设与的交点为，，
因为，所以，
所以，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入数据整理得：，
所以，双曲线的离心率为：.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到，进而在中结合余弦定理求得.
3．BD
【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为，所以，
又，
因为、、三点共线，所以，
又，为正实数，所以，
当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
4．AB
【分析】在△ABD中，根据AE是中线可得，再根据D是AC中点即可表示出，从而判断A；设，得到，根据，，三点在一条直线上及三点共线定理的推论可得k的值，从而可判断B；用表示出，根据向量数量积运算方法即可计算，从而判断C；根据E是BD中点及D是AC中点可得，，从而可判断D．
【详解】如图，
，故A正确；
设，则，
又，，三点在一条直线上，故，故，
即，，
故，故B正确；
，故，故C错误；
，
，
故，故D错误.
故选：AB.
5．
【分析】设外接圆的半径为，由已知条件可得，即且，取的中点，连接可得，计算的值，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理即可求解.
【详解】
设外接圆的半径为，
因为，所以，
所以，且，
取的中点，连接，则，
因为，所以，即，
所以，
在中由余弦定理可得：
，
在中，由正弦定理可得：，
故答案为：.
6．/
【分析】利用基底的定义可得，再利用共线向量的坐标表示求解即得.
【详解】由，不能组成平面上的一个基底，得，而，，
因此，所以.
故答案为：
反思提升：
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形中，为线段的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知向量，，则
C．若，则和在上的投影向量相等
D．已知，，，则点A，B，D一定共线
6．（2022·河北邯郸·一模）如图，是正六边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）

A． B． C． D．
三、填空题
8．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形中，,, ．
9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形满足，，则该四边形一定是 .
10．（2023·江苏·一模）已知圆，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则
四、解答题
11．（2020·河南焦作·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（Ⅰ）是边上的中线，若，求的值；
（Ⅱ）若，求的周长．
12．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
参考答案：
1．B
【分析】根据向量坐标运算，先求出，再逐一验证即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，故A错；
，故B正确；
，故C错；
因为，所以不平行，故D错.
故选：B
2．B
【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.
【详解】在中，取为基底，
则，
因为点分别为的中点，,
所以，
所以.
故选：B.
3．A
【分析】先用向量和三角形减法法则得，再对它们进行线性运算转化为，此时继续找到，从而可得结果.
【详解】
由图可得：，由为线段的中点可得，
，再由可得，
，
又因为，代入得：
，
故选：A.
4．D
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意可得
．
故选：D
5．CD
【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案.
【详解】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；
对于B，设，则，解得，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；
对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.
故选：CD.
6．BD
【分析】根据向量的加减法及数量积的运算法则进行逐项判断.
【详解】解：由题意得：
结合正六边形的性质可知，对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确.
故选：BD.
7．BC
【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A错误，
将向量平移至向量的起点，可得，且，以向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线垂直且相等，所以，故B与C正确，
由以上可知，，且向量与向量的夹角相等，所以，故D错误.

故选：BC
8．
【分析】利用平面向量的线性运算.
【详解】由平行四边形ABCD,，
可知，则，
整理得，
则，
所以.
故答案为：.
9．菱形
【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】，,
所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，
所以DB垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
故答案为：菱形.
10．
【分析】根据向量的加减法运算可得，再根据圆的性质可得即可求解.
【详解】
易知圆心，半径，取中点D，则，
因为，
所以，
所以，则，
又，
所以即，
故.
故答案为:.
11．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】(1)由题知，两边平方得，代入计算求出；
（2）由正弦定理求出角，从而判断三角形为直角三角形，求出，得出周长.
【详解】（Ⅰ）因为，
所以，
即，
所以，解得（负值舍去）；
（Ⅱ）由，可得，
因为，所以，所以．
所以，
所以，
所以的周长为．
【点睛】本题主要考查平面向量和正弦定理等在解三角形中的应用，考查学生的运算求解能力.
12．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

【能力篇】
一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
二、多选题
2．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
3．（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 .
四、解答题
4．（2023·河北·模拟预测）如图，D为内部一点，于E，.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①；②；③.
参考答案：
1．D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若，则，即，
与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设与的夹角为，则，，
所以，故选项B 说法错误；
选项C：若，则，
所以，，即，
所以，
又，所以，故选项C说法错误；
选项D：因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故选项D说法正确；
故选：D
2．BCD
【分析】根据图形，结合向量的线性运算及数量积运算，对选项逐一判断即可.
【详解】
因为为正六边形，即每个内角都为
对于A，,故A错误.
对于B，连接,，则为等边三角形，设六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以
即，故B正确.
对于C，由B选项可知，
且，故C正确.
对于D，因为，所以在上的投影向量为
故D，正确.
故选:BCD.
3．
【分析】设出梯形两底的长，取AB，CD，BD，AC的中点M，N，X，Y，并探讨它们的关系，结合已知向量等式确定点P的位置并求出，再由三角形、梯形面积公式求解即得.
【详解】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，，
记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然，
于是点M，X，Y，N顺次共线并且，
显然，，而，则，
因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h，
由面积公式可知．
故答案为：
4．答案见解析.
【分析】以①③为条件，②为结论：由已知可得，，.设，则，表示出各边长，由勾股定理，可推出.代入，整理可得关于的方程，得，由正弦定理可推得②成立；
以①②为条件，③为结论：由已知可得的长，.由勾股定理，可推出.根据三角形相似，求出，，代入可得，，进而得到，由余弦定理即可推得③成立；
以②③为条件，①为结论：由已知可推出，.设，，则，得到.由勾股定理得.然后得到.由，可得，即，结合图象得到，所以有，即①成立.
【详解】
以①③为条件，②为结论：
证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.
由可得，，.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，则，则.
设，则，又，所以，
则，，.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
代入整理可得，，即.
解关于的方程可得，，
因为，所以不成立，舍去.
所以，.
由正弦定理可得，，
又，所以，
所以，即②成立.
以①②为条件，③为结论：
证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.
设，，则，
由可得，，.
由可得，，
由正弦定理可得.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
因为，所以.
由已知可得，，所以∽，所以有，即，
所以，所以，，
所以，
即，整理可得.
在中，，则，
所以.
则在中，由余弦定理可得，
所以有，即③成立；
以②③为条件，①为结论：
证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.
由可得，，
由正弦定理可得.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，则，则.
设，，则，又，所以，
则，
，.
由可得，，
在中，由余弦定理可得，
所以，，则，则.
由可得，，
由正弦定理可得.
在中，有.在中，有.
所以有，即，
整理可得，.
因为，所以.
，
所以有，
整理可得.
因为，所以，所以，所以.
即，由图知，所以有，即①成立.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·新疆·二模）已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
2．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题
3．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
参考答案：
1．D
【分析】把三个向量平移到同起点，由向量运算及得，从而，又由得点在以为圆心半径为1的圆面上（包括边界），利用数量积的几何意义求得，再利用三角形相似求OD长度即可求出最值.
【详解】设，，，，，则如图所示，
因为，所以，
即，所以，
因为，，所以，，
由，可得点在以为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），
过圆周上一点作的垂线，垂足为，且与相切，
延长交于，则，
此时∽，根据相似知识可得，
所以，
所以的最大值为，
故选：D.
2．ABD
【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，，进而求出余弦值；
【详解】对A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故，，三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线，
所以为的重心，A正确；

对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，为的外心，则，
设的外接圆半径为，故，，
，
故，，，
所以，C错误；

对D选项，若为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.
3．
【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论．
【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，
，
所以三点共线，
又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，
由得，，公用，因此，
所以，
中，设，由正弦定理得，记为角，
所以，，，
所以
，
若不是钝角，则
，
又，所以，即，
所以，
设，则，，它是减函数，
所以时，，
若是钝角，则
，
设，则，，
令，则，
，
时，，递减，时，递增，
所以时，，，
综上，，
此时．
故答案为：3．
【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）．
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专题28 平面向量的概念及线性运算（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 3
【考点1】平面向量的概念 3
【考点2】向量的线性运算 4
【考点3】共线向量定理的应用 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
【考点1】平面向量的概念
一、单选题
1．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西朔州·一模）已知，且，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、多选题
3．（2023·湖南长沙·一模）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且 ，则与共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
4．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则
B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则
D．恒成立
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，，则 ．
6．（22-23高三上·湖北武汉·期中）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则 ．
反思提升：
平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
【考点2】向量的线性运算
一、单选题
1．（2024·广东江门·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量，满足，且时，取得最小值，则（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A． B．
C．的面积的最大值为 D．的最小值为
4．（2024·福建厦门·三模）已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·四川乐山·一模）已知正六边形边长为2，是正六边形的外接圆的一条动弦，，P为正六边形边上的动点，则的最小值为 .
6．（2024·天津河西·三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，， ；的最大值为 ．
反思提升：
1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
【考点3】共线向量定理的应用
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
2．（2024·浙江台州·二模）设，是双曲线：的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
3．（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1 B．的最大值为
C．的最大值为12 D．的最小值为4
4．（2023·河南信阳·模拟预测）已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·上海·模拟预测）设为的外心，若，则的值为 .
6．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 ．
反思提升：
利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形中，为线段的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知向量，，则
C．若，则和在上的投影向量相等
D．已知，，，则点A，B，D一定共线
6．（2022·河北邯郸·一模）如图，是正六边形的中心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）

A． B． C． D．
三、填空题
8．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形中，,, ．
9．（2023·陕西西安·模拟预测）若平面四边形满足，，则该四边形一定是 .
10．（2023·江苏·一模）已知圆，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则
四、解答题
11．（2020·河南焦作·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
（Ⅰ）是边上的中线，若，求的值；
（Ⅱ）若，求的周长．
12．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
二、多选题
2．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
3．（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 .
四、解答题
4．（2023·河北·模拟预测）如图，D为内部一点，于E，.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①；②；③.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·新疆·二模）已知平面向量，，，满足，，若对于任意实数x，都有成立，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
2．（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若，，M为的外心，则
D．若M为的垂心，，则
三、填空题
3．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
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