资源简介

专题 20 磁场对运动电荷的作用
考点 考情 命题方向
考点 带电粒子在 2024 年高考河北卷 1.带电粒子在直线边界磁场中
有边界的磁场中运 2024 年高考广西卷 的运动是高考考查频率较高的
动 2023 年高考湖北卷 知识，直线边界包括矩形边
2023 年 6 月江高考选考 界、三角形边界、多边形边
2023 年高考全国甲卷 界、坐标轴边界平行直线边界
2022 年高考辽宁物理 等。
2.带电粒子在圆形边界磁场中
的运动考查主要为：环形边
界、圆形边界、扇形边界等，
临界问题的考查有增加的趋
势。
题型一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
大拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即 F 垂直于 B 和 v 决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B 时，洛伦兹力 F＝0.(θ＝0°或 180°)
(2)v⊥B 时，洛伦兹力 F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力 F＝0.
[模型演练1] （2024 陕西一模）我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美
丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光
现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如下图（相邻
两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx）。下列说法正确的是（　　）
A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半径越大
C．漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向（从下往上看）向前旋进
D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺
距Δx 增大
【解答】解：A．带电粒子进入大气层后，由于与空气相互作用，粒子的运动速度会变小，根据
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
2
qvB = m

解得：r =
由半径公式可知，在地磁场作用下的旋转半径会越来越小，故 A 错误；
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加地磁场变强，其他条件不变，由偏转半径公式

r =
可知，宇宙粒子的半径变小，故 B 错误；
C．漠河地区的地磁场竖直分量是竖直向下的，水平分量向北，宇宙粒子入射后，由左手定则可
知，从下往上看将以顺时针的方向向前旋进，故 C 错误；
D．当不计空气阻力时，将带电粒子的运动沿磁场方向和垂直于磁场方向进行分解，沿磁场方向
将做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，若带电粒子运动速率不变，与磁场的夹角
变小，则速度的垂直分量变小，故粒子在垂直于磁场方向的运动半径会减少，即直径 D 减小，而
速度沿磁场方向的分量变大，故沿磁场方向的匀速直线运动将变快，则螺距Δx 将增大，故 D 正
确。
故选：D。
[模型演练2] （2024 平谷区模拟）图示照片是 2023 年 12 月 1 日晚网友在北京怀柔拍摄到的极光。
当太阳爆发的时候，就会发生日冕物质抛射，一次日冕物质抛射过程能将数以亿吨计的太阳物
质以数百千米每秒的高速抛离太阳表面。当日冕物质（带电粒子流）与地球相遇后，其中一部
分会随着地球磁场进入地球南北两极附近地区的高空，并与距离地面一百到四百千米高的大气
层发生撞击，撞击的过程伴随着能量交换，这些能量被大气原子与分子的核外电子吸收之后，
又快速得到释放，释放的结果就是产生极光。绿色与红色极光便是来自氧原子，紫色与蓝色极
光则往往来自氮原子。则下列说法中最合理的是（　　）
A．若带正电的粒子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，在地球磁场的作用下
将会向西偏转
B．地球南北两极附近的地磁场最强。但在两极附近，地磁场对垂直射向地球表面的带电粒子的
阻挡作用最弱
C．若氮原子发出紫色极光的光子能量为 E0，则与该氮原子核外电子发生撞击的带电粒子的能
量也为 E0
D．若氧原子的核外电子吸收能量为 E0 的光子后，则该氧原子就会放出能量为 E0 的光子
【解答】解：A、带正电的粒子流的方向从上而下射向地球表面，地磁场方向在赤道的上空从南
指向北，根据左手定则，洛伦兹力的方向向东，所以质子向东偏转，故 A 错误；
B、地球南北两极附近的地磁场最强。但在两极附近，地磁场的方向沿南北方向的分量最小，所
以地磁场对垂直射向地球表面的带电粒子的阻挡作用最弱，故 B 正确；
C、若氮原子发出紫色极光的光子能量为 E0，根据玻尔理论，则与该氮原子核外电子吸收的能量
值一定大于等于 E0，与之发生撞击的带电粒子的能量一定是大于等于 E0，故 C 错误；
D、根据玻尔理论，氧原子的核外电子吸收能量为 E0 的光子后，该氧原子可能会放出能量为 E0
的光子，也可能会放出能量小于 E0 的光子，故 D 错误。
故选：B。
[模型演练3] （2023 玉林三模）2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为
粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁
场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为 E，磁感应强度大
小为 B。若某电荷量为 q 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小
为 v1，垂直于磁场方向的分量大小为 v2，不计离子重力，则（　　）
A．电场力的瞬时功率为 qE v21 + 22
B．该离子受到的洛伦兹力大小为 qv1B
C．v2 与 v1 的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
【解答】解：A、该粒子所受电场力的瞬时功率是电场力与沿电场力方向速度的乘积，所以 P＝
qEv1，故 A 错误；
B、v2 与 B 垂直，所以该粒子所受洛伦兹力大小 f＝qv2B，故 B 错误；
C、速度 v1 的方向与磁感应强度 B 方向相同，该分速度不受洛伦兹力作用；v2 方向与 B 垂直，粒
子在垂直于磁场方向平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力不做功，v2 不变；粒子沿电场方向做加速
运动，v1 不断增大，则 v2 与 v1 的比值不断减小，故 C 错误；

D、粒子做匀速圆周运动的向心加速度 a 向大小不变，电场力产生的加速度 a 电 = ，q、E、m 不
变，a 电不变，a 向、a 电大小都不变，两者方向垂直，粒子的加速度不变，故 D 正确。
故选：D。
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路
1．匀速圆周运动的规律
若 v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做匀速圆周运动．
2．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和
出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P 为入射点，M 为出射点)．
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出
射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射
点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 θ时，其运动时间表示为
θ θR
t＝ T(或 t＝ )．
2π v
[模型演练4] （2024 江西模拟）如图所示，粒子甲垂直 ab 边界进入垂直纸面向外的匀强磁场时发
生核反应：甲→乙+丙，产生的乙和丙粒子垂直经过磁场的轨迹如图所示。已知乙和丙的电荷量
大小相等，轨迹半径之比为 5：3，不计重力及空气阻力，则（　　）
A．甲带正电
B．乙带负电
C．甲、乙的动量大小之比为 8：5
D．乙、丙的动量大小之比为 1：1
【解答】解：AB、粒子乙在磁场中顺时针偏转，粒子丙在磁场中逆时针偏转，由左手定则判断，
乙带正电，丙带负电。已知乙和丙的电荷量大小相等，根据电荷守恒定律，可知甲不带电，故
AB 错误；
CD、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得：
2
qvB＝m
又有动量 p＝mv
联立可得：p＝qBr
可见粒子的动量大小与圆周运动半径为正比关系，已知乙和丙的电荷量大小相等，轨迹半径之比
为 5：3，则乙、丙的动量大小之比为 p 乙：p 丙＝5：3。
粒子甲发生核反应的过程满足动量守恒定律，以甲的运动方向为正方向，则有：
p 甲＝p 乙+p 丙，可得甲、乙的动量大小之比为 8：5，故 C 正确，D 错误。
故选：C。
[模型演练5] （2024 湖北三模）带电粒子在磁场中运动时，我们可以根据粒子的运动轨迹寻找到很
多美丽的对称图形。空间中一圆形区域内有磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，区域外为磁感应
强度大小相同、方向相反的匀强磁场，一带电粒子从某处以正对虚线圆圆心方向入射，通过改
变带电粒子速度，可得到如图甲、乙所示轨迹（虚线为磁场边界，实线为带电粒子运动轨迹），
则两图中粒子的速度之比为（　　）
A．2：1 B． 3：1 C． 2：1 D．1：1
【解答】解：由几何关系可知甲图中带电粒子在磁场内部时转过的角度为 90°，可知做圆周运动
的半径等于圆形区域半径 r1＝R
3
而乙图中带电粒子在磁场内部转过的角度为 120°，则r2 = 30° = 3
2
根据qvB =

可得v =
速度之比等于圆周运动的半径之比，故两图中粒子的速度之比为 3：1。
故 ACD 错误，B 正确。
故选：B。
[模型演练6] （2024 昌平区二模）如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图。螺线管内存在
磁感应强度为 B、方向平行于管轴的匀强磁场。电子枪可以射出速度大小均为 v，方向不同的
电子，且电子速度 v 与磁场方向的夹角非常小。电子电荷量为 e、质量为 m。电子间的相互作
用和电子的重力不计。这些电子通过磁场会聚在荧光屏上 P 点。下列说法错误的是（　　）
2
A．电子在磁场中运动的时间可能为
2
B．荧光屏到电子入射点的距离可能为
1
C．若将电子入射速度变为2 ，这些电子一定能会聚在 P 点
D．若将电子入射速度变为 2v，这些电子一定能会聚在 P 点
【解答】解：由题图可知，螺线管内磁场方向水平向右，将粒子速度沿水平方向、竖直方向正交
分解，则粒子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速圆周运动，粒子螺旋式前进，设螺线管
长为 L，若这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上 P 点，则需满足：

= nT（n＝1，2，...3）
2
T 为粒子竖直方向做圆周运动的周期，又因为：evyB＝m
2 2
解得周期为：T = =
2
联立可得： = （n＝1，2，3...）
因为电子速度 v 与磁场方向的夹角非常小，所以：vx＝v
2
可见，粒子的速度只要满足： = （n＝l，2，3....）
即粒子的运动时间为粒子做圆周运动周期的整数倍，粒子就可以汇聚到 P 点。
A、由上述分析可知，若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达 P 点，则运动的时间可能为
2
，故 A 正确；
2
B、若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达 P 点，则：L＝vT = ，故 B 正确；
2 1
C、由上述分析可知当粒子速度为 v 时，L = v（n＝1，2，3...），故当粒子速度为2v 时，L =
2 ′ 1
×
2
（n′＝2，4，6...），即粒子的运动时间仍然为粒子做圆周运动周期的整数倍，故这
些电子一定能汇聚在 P 点，故 C 正确；
2 ″ 1 3
D、当粒子速度为 2v 时，L = × 2v（n″ = 2，1，2...），即粒子的运动时间不是总等于粒
子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子不一定能汇聚在 P 点，故 D 错误。
本题选错误的。故选：D。
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)
4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是：
(1)画出运动轨迹；
(2)确定圆心和半径；
(3)利用洛伦兹力提供向心力列式．
类别 特点 图示
进出磁
直线
场具有
边界
对称性
平行
存在临界条件
边界
沿径向射
圆形
入必沿径
边界
向射出
环形
与边界相切
边界
类型 1 带电粒子在直线边界磁场中运动
1
[模型演练7] （2024 成都模拟）如图所示，xOy 直角坐标系的第一象限内，半径为 a 的4圆弧外存
在范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。位于 O 点的粒子源向第一象限内的各个

方向均匀发射完全相同的带正电的粒子，粒子速度大小均为 v，比荷 = k。经过一段时间后发
1
现发射出的总粒子中有3的粒子可以回到 O 点，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，则磁
感应强度大小为（　　）
3 3 A B C 3
3
． ． ． D．
3 3
【解答】解：根据题意，粒子向上偏转，沿着 x 轴正方向发射的粒子一定沿着与 x 轴正方向成
60°的半径返回 O 点，粒子运动的临界轨迹如图所示
根据几何知识有

tan30° =
粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
2
qvB = m

联立解得
3
B = ，故 ABC 错误，D 正确。

故选：D。
[模型演练8] （多选）（2024 郑州模拟）如图所示，边长为 a 的正方形 MNPQ 区域内有一方向垂直

正方形平面向外的匀强磁场，NP 边上有一点 S，SN = 4。两个质量相同、带等量异种电荷的粒
子均从 S 点平行于 MN 方向射入磁场。带正电粒子甲与带负电粒子乙重力均不计，不考虑甲、
乙两粒子间的作用。下列说法正确的是（　　）
A．若两粒子在磁场中运动的时间相等，则甲与乙的初速度大小之比一定为 1：3
B．若两粒子的初速度相同，则甲与乙在磁场中运动的时间之比可能为 1：2
C．若其中一个粒子垂直 PQ 边射出磁场，则甲与乙在磁场中运动时间之比一定不大于 2：1
D．若两粒子分别从 M、Q 两点射出磁场，则甲与乙的初速度大小之比恰好为 2：1
【解答】解：设匀强磁场的磁感应强度为 B，带电粒子的电荷量为 q，质量为 m，初速度为 v，
运动半径为 r，根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力有
2
qvB = m


解得：r =
根据匀速圆周运动规律可得粒子运动周期为
2
T =
若粒子运动轨迹所对应的圆心角为 α，则粒子在磁场中运动时间为

t = 2 =
A.若两粒子在磁场中运动的时间相等，则两粒子在磁场中的转过的圆心角相等，由此可见 v1 和
1 1
v2 取值具有不确定性，根据数学知识可知 可以取任意值，不一定为3，只有当正粒子恰好从 N2
1 1
点射出，且负粒子恰好从 P 点射出时， 才等于3，故 A 错误；2

B.若两粒子的初速度相同，则两粒子的运动半径相同，当正粒子的运动半径为4时，它将垂直 MN
边射出，转过的圆心角为 90°。而负粒子将从 NP 边射出，转过的圆心角为 180°，所以二者在
磁场中运动的时间之比为 1：2，故 B 正确；
C.若其中一个粒子（即负粒子）垂直 PQ 边射出磁场，则其转过的圆心角为 90°，而正粒子的转
过的圆心角最大值为 180°，所以正粒子与负粒子在磁场中运动的时间之比一定不大于 2：1，故 C
正确；
D.若两粒子分别从 M、Q 两点射出磁场，设正、负粒子半径分别为 r1 和 r2，运到轨迹如图所示
3
根据几何关系有( ― )2 + 2 = 21 4 1，( ―
2 2 2
2 4 ) + = 2
17 25
解得r1 = 8 ，r2 = 24
所以正粒子与负粒子在磁场中运动的初速度大小之比恰好为
1 1 25
= = 51，故 D 错误。2 2
故选：BC。
[模型演练9] （多选）（2024 海南）如图所示，边长为 L 的正方形 abcd 区域内存在匀强磁场，方向
垂直于纸面（abcd 所在平面）向外。ad 边中点 O 有一粒子源，可平行纸面向磁场内任意方向发
射质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子，粒子速度大小均为 v，不计粒子重力以及粒子间的相互
作用。已知垂直 ad 边射入的粒子恰好从 ab 边中点 M 射出磁场，下列说法中正确的是（　　）
A．粒子带负电
2
B．磁场的磁感应强度大小为

C．从 a 点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为6
D．有粒子从 b 点射出磁场
【解答】解：A．垂直 ad 边射入的粒子恰好从 ab 边中点 M 射出磁场，根据左手定则可知粒子带
正电，故 A 错误；
B．洛伦兹力提供向心力可得
2
qvB = m

垂直 ad 边射入的粒子恰好从 ab 边中点 M 射出磁场，则运动半径为

r = 2
2
解得B = ，故 B 正确；
C．从 a 点射出磁场的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示
从 a 点射出磁场的粒子在磁场中的运动时间为
60° 2
t = 360° = 6 ，故 C 正确；

D．离子的运动半径为r = 2
Ob 之间距离大于 L，即大于轨迹直径，所以没有粒子从 b 点射出磁场，故 D 错误。
故选：BC。
类型 2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
[模型演练10] （2024 沙坪坝区校级模拟）如图所示，半径为 R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀
强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速
率从 P 点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于 PQ 圆弧上，且 Q 点为最远点。已知 PQ
圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有
粒子经过的区域面积为（　　）
3
2 (3 2)
2 (3 2) 2 1
A．4 B． 4 C． 4 D．2
2
【解答】解：作出各方向发射粒子运动的轨迹如图
设粒子在磁场中运动的轨迹半径为 r，则粒子在磁场中做圆周运动的半径满足 2r = 2R，
得r = 2
2
图中着色区域为有粒子经过的区域，由几何关系，该区域面积为 S，则
1 45° 1 1
S = 22 + 360° π（2r）
2+（4πR
2 ― 2R
2）
代入数据，解得
(3 2) 2
S = 4 ，故 ACD 错误，B 正确。
故选：B。
[模型演练11] （2024 临沂二模）如图所示，半径为 R 圆形区域内存在磁感应强度大小为 B 的匀强
磁场，磁场方向垂直于纸面向外。质量为 m、电荷量为+q 的带电粒子由 A 点沿平行于直径 CD
的方向射入磁场，最后经过 C 点离开磁场。已知弧 CA 对应的圆心角为 60°，不计粒子重力。
则（　　）
2
A．粒子运动速率为 3
B．带电粒子运动过程中经过圆心 O
5
C．粒子在磁场中运动的时间为3
4
D．粒子在磁场中运动的路程为 3
【解答】解：粒子在磁场中运动的轨迹如下图所示
3
由几何关系可得 2rcos30°＝R，则 r = R
3
2 3
A.根据牛顿第二定律有 qvB＝m ，解得 v = ，故 A 错误；3
B.由图可知，粒子运动的轨迹必过圆心 O，故 B 正确；
2
C.粒子在磁场中运的周期根据公式为 T = ，图中轨迹对应的圆心角为 240°，故运动时间 t =
240° 2 2 4
360° T = 3 × = 3 ，故 C 错误；
2 2 3
D.运动的路程为 s = 3 × 2πr = × 2π × =
4 3
3 ，故 D 错误。3 9
故选：B。
[模型演练12] （2024 龙凤区校级开学）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、
电荷量为 q（q＞0）的带电粒子从圆周上的 M 点沿直径 MON 方向射入磁场。若粒子射入磁场
时的速度大小为 v1，离开磁场时速度方向偏转 60°；若射入磁场时的速度大小为 v2，离开磁场
1
时速度方向偏转 90°。不计重力，则 为（　　）2
1
A．2 B
3 3
． C． D． 3
3 2
【解答】解：根据题意，粒子两次射入磁场的运动轨迹如图所示：

设磁场的圆形区域半径为 r，由几何关系可知，两次轨迹圆的半径分别为R1 = 30° = 3
R2＝r
21
根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力可知q 1 = 1
22
q 2 = 2
3
解得粒子的速度为v1 =

v2 =
3 1
则粒子两次的入射速度之比为 = = 3 2

故 D 正确，ABC 错误；
故选：D。
类型 3 带电粒子在环形边界磁场中运动
[模型演练13] （2024 盘锦三模）如图所示，在以半径为 R 和 2R 的同心圆为边界的区域中，有磁感
应强度大小为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心 O 处有一粒子源（图中未画出），在

纸面内沿各个方向发射出比荷为 的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力
和粒子间的相互作用力，已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则
下列说法正确的是（　　）
2
A．粒子速度的最大值为

B．粒子速度的最大值为 4
127
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为 90 （不考虑粒子再次进
入磁场的情况）
4
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为3 （不考虑粒子再次进入磁
场的情况）
2
【解答】解：AB、根据洛伦兹力提供向心力：qvB = m

解得：r =
可知速度最大时，半径最大，当轨迹与大圆相切时，半径最大，如图所示
根据几何关系可得：（2R﹣r）2＝R2+r2
3 3
联立解得：r = 4 ， = 4 ，故 AB 错误；
CD、某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，即粒子速度最大时，根据几何关系有
∠ 4
tan 2 = = 3
解得其在磁场中运动的时间为
360° ∠ 127
t = 360° × 2 = 90
故 C 正确；D 错误。
故选：C。
[模型演练14] （2024 聊城二模）2023 年 4 月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装
置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为 R1 和 R2 的真空同轴圆柱面之
间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1。假设氘核 21H 沿内环切
线向左进入磁场，氚核 31H 沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及
二者之间的相互作用，则 21H 和 31H 的速度之比为（　　）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．1：2
【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则，作图如图所示。
设氘核 21 的半径为 r1，由几何关系可知，有
2r1＝R2﹣R1＝R1
1
则r1 = 2
设氚核 31 的半径为 r2，由几何关系可知，有
2r2＝R1+R2＝3R1
3
则r2 = 2 1
由洛伦兹力提供向心力可得
2
qvB = m

1 1
联立解得氘核和氚核的速度之比为： = 2，故 ABC 错误，D 正确。2
故选：D。
[模型演练15] （2024 咸阳二模）2023 年 8 月 25 日下午，新一代人造太阳“中国环流三号”取得重
大科研进展，首次实现 100 万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着中国核聚变研究
向“聚变点火”又迈出重要一步。环流器局部区域的磁场简化示意图，如图所示，在内边界半
径为 R、外边界半径为 2R 的环形磁场区域内，存在磁感应强度大小为 B，方向垂直于平面向内
的匀强磁场。在内圆上有一粒子源 S，可在平面内沿各个方向发射比荷相同的带正电的粒子。
粒子 a、b 分别沿径向、内圆切线向下进入磁场，二者均恰好不离开磁场外边界。不计重力及二
者之间的相互作用，则粒子 a、b 的速度大小之比为（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，a 粒子的运动轨迹如图所示
设 a 粒子的速度为 v1，运动半径为 r1，带电荷量为 q1，质量为 m1，由几何关系可知
(2R ― )2 = 2 + 21 1
3
解得r1 = 4
21
由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有q1 1 = 1 1
3 1
解得v1 = 4 1
b 粒子的运动轨迹如图所示
3
设 b 粒子的速度为 v2，运动半径为 r2，带电荷量为 q2，质量为 m2，由几何关系可知r2 = 2
22
由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有q2 2 = 2 2
3 2
解得v2 = 2 2
1 2
又比荷相同，即 = 1 2
联立解得 v1：v2＝1：2，故 A 正确，BCD 错误。
故选：A。
类型 4 带电粒子在三角形边界磁场中运动
[模型演练16] （2024 包头一模）如图，一直角三角形边界匀强磁场磁感应强度为 B，其中 ac＝2d，
bc＝d，c 点有一发射带正电粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，粒子比荷为
k，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．ab 边有粒子出射的区域长度为 0.5d
2
B．粒子在磁场中运动的最长时间为3
C．若粒子从 ac 边出射，入射速度 v＞kBd

D．若某粒子v = 2 ，则粒子可以恰好从 a 点飞出
2
【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速直线运动，由洛伦兹力提供向心力可得：qvB = m ，可

得粒子运动半径 R = = ，因粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，故可以应用极限思维，
若粒子速度极大（比如接近光速），那么粒子运动半径极大，在磁场中的运动轨迹趋于直线，那
么在 ab 边有粒子出射的区域长度趋于 ab 边的长度，而 ab 的长等于 3d＞0.5d，故 A 错误；
2 2
B、粒子在磁场中运动周期 T = =

若粒子轨迹的圆心角为 α，则粒子在磁场中运动时间：t = 2 =
可见粒子在磁场中运动时间与轨迹的圆心角成正比，根据粒子速度偏转角等于轨迹圆心角可知，
粒子沿 cd 边入射从 ac 边射出时速度偏转角最大，轨迹图如下图所示
2 2
由几何关系可得最大圆心角为 α = 3 ，则粒子在磁场中运动的最长时间为3 ，故 B 正确；

C、由 R = ，可知粒子速率越小，运动半径越小，如上图所示，让粒子速率逐渐变小，则出射
点会逐渐靠近 c 点，故半径可以小到趋近于零，即粒子速率可以小到趋近于零，仍可以从 ac 边出
射，故 C 错误；
D、粒子恰好从 a 点飞出，则其轨迹恰好在 a 点与 ab 边相切，轨迹图如下图所示

根据几何关系可得△aOc 为等边三角形，易得轨迹半径 R＝2d，由 R = ，可得粒子的速率为 v＝
2kBd，故 D 错误。
故选：B。
[模型演练17] （多选）（2024 成都模拟）如图所示，边长为 2L 的等边三角形 ABC 内有垂直纸面向
里、磁感应强度大小为 B0 的匀强磁场，D 是 AB 边的中点，一质量为 m、电荷量为﹣q 的带电
粒子从 D 点以不同的速率平行于 BC 边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　）
A．粒子可能从 B 点射出
B 3．若粒子从 C 点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 L
2

C．若粒子从 C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为3 0
D．若粒子从 AB 边射出，则粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长
【解答】解：A.带负电的粒子从 D 点以某一速度平行于 BC 边方向射入磁场，由左手定则可知，
粒子向下偏转，由于 BC 边的限制，粒子不能到达 B 点，故 A 错误；
BC.粒子从 C 点射出，如图 1 所示
根据几何关系可得
R2＝（R﹣Lsin60°）2+（2L﹣Lcos60°）2
解得 R = 3L
2 60° 3 3
则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为 sin∠DOC = =
2 = ，所以∠DOC＝60°，
3 2
根据粒子在磁场中运动时间和周期的关系有，粒子在磁场中运动的时间为
60° 1 2
t = 360° = 6 × =0 3 0
故 B 错误，C 正确；
D.根据牛顿第二定律，
2
qvB0＝m

可得r = 0
若粒子从 AB 边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图 2 所示
2
粒子从 AB 边射出时的圆心角相同且为 180°，是最大的圆心角，根据T = 0
可知粒子在磁场中运动的周期相等，则其在磁场中运动的时间相同，且时间最长，故 D 正确。
故选：CD。
[模型演练18] （多选）（2024 甘肃模拟）如图所示，直角三角形 ABC 区域内有方向垂直纸面向里的
匀强磁场，∠A＝60°，AC 边长为 L。两个相同的带正电粒子从 A 点沿 AB 方向分别以不同的
速率 v1、v2 射入。若 v1＜v2，且速率为 v1 的粒子从 AC 边射出，它们在三角形区域内运动的时
间 t1：t2＝2：1。不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则两个粒子的速率之比 v1：v2 的
可能为（　　）
A．1：3 B．2：9 C．3：4 D．3：5
【解答】解：速率为 v1 的粒子从 AC 边射出，根据粒子的运动轨迹如图所示
几何关系可知，该粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 120°，当轨迹过 C 点时，粒子圆周运
动的半径最大，根据几何关系可知，有
2R1sin60°＝L
根据牛顿第二定律，由于洛伦兹力提供向心力，则有
2
= 1 q 1 1
解得
= 3 v1 3
粒子轨迹对应的圆心角为 120°，两粒子运动的周期相同，由于两个粒子在三角形区域内运动的
时间之比为 2：1，可知速率为 v2 的粒子运动轨迹对应的圆心角为 60°，可知速率为 v2 的粒子必
定从 BC 边垂直射出，根据其运动轨迹及几何关系有
L＝R2sin60°
根据牛顿第二定律，由于洛伦兹力提供向心力，则有
2
q 2 =
2
2
解得
= 2 3 v2 3
结合上述，两个粒子的速率之比
3 1 1
≤ = 3
1
2 2 2 3 = 2
3
可知，两个粒子的速率之比 v1：v2 可能为 1：3 或 2：9，故 AB 正确，CD 错误。
故选：AB。
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题
（1）动态放缩法
当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度 v 大小或磁场的强弱 B 变化时，粒子做圆周
运动的轨道半径 r 随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放
缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图所示，粒子进入长方形边界 OABC形成的临界情
景为②和④。
（2）定圆旋转法
当带电粒子射入磁场时的速率 v 大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径 r
是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，
从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景。
[模型演练19] （2024 春 天宁区校级期中）如图所示，匀强磁场中位于 P 处的粒子源可以沿垂直于
磁场向纸面内的各个方向发射质量为 m、电荷量为 q、速率为 v 的带正电粒子，P 到荧光屏 MN
的距离为 d、设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（　　）

A．若磁感应强度B = ，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为2

B．若磁感应强度B = ，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为

C．若磁感应强度B = 2 ，则荧光屏上形成的亮线长度为2 3

D．若磁感应强度B = 2 ，则荧光屏上形成的亮线长度为( 15 + 3)
【解答】解：A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
2
qvB =

代入磁感应强度，解得粒子运动的轨道半径为
R＝d
最短时间时，恰好弦长最短，打到 P 点的正左方，轨迹如图所示

根据几何关系，偏转的圆心角为3，因此运动时间为

t = = 3 ，故 A 错误；
3
B．由几何关系可知，打到 MN 板上最长时间恰好运动了4个周期，轨迹如下图所示
因此时间差
( 3 ) 7
Δt = 2 3 =
6
，故 B 错误；

CD．若磁感应强度B = 2 ，则轨道半径为
R＝2d
最高点 D 到 P 的距离恰好等于圆的直径，因此 P 点上方长度为
L1 = (4 )2 ― 2 = 15
而最低点轨迹恰好与 MN 相切，如图所示
则 P 点下方长度
L2 = (2 )2 ― 2 = 3
因此荧光屏上形成的亮线长度为
L = 1 + 2 = ( 15 + 3) ，故 C 错误，D 正确。
故选：D。
[模型演练20] （2023 秋 黄岛区期末）如图，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小为 B，磁场下边界 OM 和荧光屏 ON 之间的夹角为 30°。OM 上的 P 点处有一粒子源沿与
OM 垂直的方向以不同的速率持续向磁场发射质量为 m、电荷量为+q 的粒子。已知 P 点到 O 点
的距离为 d，荧光屏上被打亮区域的长度为（　　）
A 3 ． B 2 3 ． C．d D．2d
3 3
【解答】解：根据题意，若粒子的速率足够大，粒子无限接近沿直线打到荧光屏的 A 点，如图所
示
由几何关系可得

= 2 3AO 30° = 3
若粒子的速率较小，打到荧光屏上 B 点为临界点，如图所示
设粒子做圆周运动的半径为 r，由几何关系可得

= 30°
OB＝（d﹣r）cos30°
联立解得
3
OB =
3
则荧光屏上被打亮区域的长度为
L = OA ― OB = 3 ，故 A 正确，BCD 错误。
3
故选：A。
[模型演练21] （2023 秋 沙坪坝区校级期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面
向外的匀强磁场。关于 O 点对称的薄板 MN 的长度为 3a，O 点到 MN 的距离为 a。O 点有一粒
子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为 m、电荷量为 q 的正电粒子。已知水平向右
发射的粒子恰能垂直打在 MN 上，打到 MN 上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则
被 MN 吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）
5 3
A．3 B．2 C． D．2
【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，已知水平向右发射的粒子恰能垂直打在 MN 上，其
运动轨迹为四分之一圆周，如下图的轨迹①，易知粒子的轨迹半径 r＝a。
2
由洛伦兹力提供向心力得：qvB＝m
2 2
粒子的运动周期 T = =

若粒子运动轨迹的圆心角为 α，则运动时间为 t = 2 =
可见粒子运动时间与轨迹的圆心角成正比，被 MN 吸收的粒子在磁场中运动时间最长，对应的轨
迹圆心角最大，当粒子的轨迹为优弧时，优弧的弦长越短圆心角越大，如上图所示，轨迹②的弦
长为 O 点到 MN 的距离 OP，此弦长最短，故轨迹②是被 MN 吸收的粒子在磁场中运动时间最长
5
的轨迹，易知轨迹图中的 θ = 3，则轨迹②的圆心角为 2π ― 3 = 3 ，被 MN 吸收的粒子在磁场
5 5
中运动的最长时间为 t 3m = = 3 ，故 A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[模型演练22] （2023 秋 兴庆区校级期末）如图所示，真空室内存在磁场方向垂直于纸面向里、磁
感应强度的大小为 B＝0.30T 的匀强磁场。磁场内有一块较大的平面感光板 ab，板面与磁场方
向平行，在距 ab 的距离为 l＝32cm 处，有一个点状的 α 粒子放射源 S，它能向各个方向发射 α

粒子，带正电的 α 粒子速度都是 v＝3.0×106m/s。已知 α 粒子的电荷量与质量之比为 = 5.0 × 1
07C/kg，现只考虑在纸面内运动的 α 粒子，则感光板 ab 上被 α 粒子打中区域的长度为（　　）
A．40cm B．30cm C．35cm D．42cm
【解答】解：带正电的 α 粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，设其圆周轨迹半径为 R，
2
根据洛伦兹力提供向心力得：qvB = m ，解得：R＝0.2m＝20cm。
由于 2R＞l＝32cm＞R，从放射源 S 朝不同方向发射的 α 粒子的圆周轨迹中，某一圆周轨迹会与
ab 相切，如下图所示，切点 P 就是 α 粒子能打中感光板的区域的左侧最远点。任何 α 粒子在运动
中离 S 的距离不可能超过 2R，以 2R 为半径、S 为圆心作圆，交 ab 于 P1 点，则 P1 点是能打中感
光板的区域的右侧最远点。
根据几何关系可得：
NP = 2 ― ( ― )2，解得：NP＝16cm
N 1 = (2 )2 ― 2，解得：NP1＝24cm
所求长度为 PP1＝NP+NP1＝16cm+24cm＝40cm，故 BCD 错误，A 正确。
故选：A。
[模型演练23] （2023 秋 让胡路区校级期末）如图所示，在直角坐标系 xOy 的第一象限内存在磁感
应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在 y 轴上 S 处有一粒子源，它可向右侧纸
面内各个方向射出速率相等、质量均为 m、电荷量均为 q 的同种带负电粒子，所有粒子射出磁
场时离 S 最远的位置是 x 轴上的 P 点。已知OS = ，OP = 3d，粒子重力及粒子间的相互作用
均不计，则（　　）

A．粒子的速度大小为

B．从 O 点射出的粒子在磁场中运动的时间为
C．从 x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为 2：9

D．沿平行于 x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到 O 点的距离为2
【解答】解：A.粒子射出磁场时离 S 最远的位置是 x 轴上的 P 点，即轨道直径落在 x 轴上时，如
图所示
由几何关系知(2R)2 = 2 +( 3 )2
解得 R＝d
2
根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，有qvB = m

联立解得v = ，故 A 错误；
2 2
B.粒子运动的周期T = =
1
从 O 点射出的粒子其轨迹为轨迹 3，由几何关系可知sin = 22
解得 θ＝60°

即轨迹所对的圆心角为 60°，粒子在磁场中运动的时间t = 360° = 3 ，故 B 错误；
C.运动时间最长的粒子为运动轨迹与 x 轴相切的粒子，其轨迹为轨迹 2，对应的圆心角为 270°，
3
则运动的最长时间t1 = 4
运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子，其轨迹为轨迹 3，对应的圆心角为 60°，则运动的最
1
短时间t2 = 6
所以 t1：t2＝9：2，故 C 正确；
D.沿平行于 x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置
到 O 点的距离为 d，故 D 错误。
故选：C。专题 20 磁场对运动电荷的作用
考点 考情 命题方向
考点 带电粒子在 2024 年高考河北卷 1.带电粒子在直线边界磁场中
有边界的磁场中运 2024 年高考广西卷 的运动是高考考查频率较高的
动 2023 年高考湖北卷 知识，直线边界包括矩形边
2023 年 6 月江高考选考 界、三角形边界、多边形边
2023 年高考全国甲卷 界、坐标轴边界平行直线边界
2022 年高考辽宁物理 等。
2.带电粒子在圆形边界磁场中
的运动考查主要为：环形边
界、圆形边界、扇形边界等，
临界问题的考查有增加的趋
势。
题型一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
大拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即 F 垂直于 B 和 v 决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B 时，洛伦兹力 F＝0.(θ＝0°或 180°)
(2)v⊥B 时，洛伦兹力 F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力 F＝0.
[模型演练1] （2024 陕西一模）我国最北的城市漠河地处高纬度地区，在晴朗的夏夜偶尔会出现美
丽的彩色“极光”。极光是宇宙中高速运动的带电粒子受地球磁场影响，与空气分子作用的发光
现象，若宇宙粒子带正电，因入射速度与地磁方向不垂直，故其轨迹偶成螺旋状如下图（相邻
两个旋转圆之间的距离称为螺距Δx）。下列说法正确的是（　　）
A．带电粒子进入大气层后与空气发生相互作用，在地磁场作用下的旋转半径会越来越大
B．若越靠近两极地磁场越强，则随着纬度的增加，以相同速度入射的宇宙粒子的半径越大
C．漠河地区看到的“极光”将以逆时针方向（从下往上看）向前旋进
D．当不计空气阻力时，若入射粒子的速率不变仅减小与地磁场的夹角，则旋转半径减小，而螺
距Δx 增大
[模型演练2] （2024 平谷区模拟）图示照片是 2023 年 12 月 1 日晚网友在北京怀柔拍摄到的极光。
当太阳爆发的时候，就会发生日冕物质抛射，一次日冕物质抛射过程能将数以亿吨计的太阳物
质以数百千米每秒的高速抛离太阳表面。当日冕物质（带电粒子流）与地球相遇后，其中一部
分会随着地球磁场进入地球南北两极附近地区的高空，并与距离地面一百到四百千米高的大气
层发生撞击，撞击的过程伴随着能量交换，这些能量被大气原子与分子的核外电子吸收之后，
又快速得到释放，释放的结果就是产生极光。绿色与红色极光便是来自氧原子，紫色与蓝色极
光则往往来自氮原子。则下列说法中最合理的是（　　）
A．若带正电的粒子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，在地球磁场的作用下
将会向西偏转
B．地球南北两极附近的地磁场最强。但在两极附近，地磁场对垂直射向地球表面的带电粒子的
阻挡作用最弱
C．若氮原子发出紫色极光的光子能量为 E0，则与该氮原子核外电子发生撞击的带电粒子的能
量也为 E0
D．若氧原子的核外电子吸收能量为 E0 的光子后，则该氧原子就会放出能量为 E0 的光子
[模型演练3] （2023 玉林三模）2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为
粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁
场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为 E，磁感应强度大
小为 B。若某电荷量为 q 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小
为 v1，垂直于磁场方向的分量大小为 v2，不计离子重力，则（　　）
A．电场力的瞬时功率为 qE v21 + 22
B．该离子受到的洛伦兹力大小为 qv1B
C．v2 与 v1 的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路
1．匀速圆周运动的规律
若 v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做匀速圆周运动．
2．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和
出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，P 为入射点，M 为出射点)．
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出
射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射
点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 θ时，其运动时间表示为
θ θR
t＝ T(或 t＝ )．
2π v
[模型演练4] （2024 江西模拟）如图所示，粒子甲垂直 ab 边界进入垂直纸面向外的匀强磁场时发
生核反应：甲→乙+丙，产生的乙和丙粒子垂直经过磁场的轨迹如图所示。已知乙和丙的电荷量
大小相等，轨迹半径之比为 5：3，不计重力及空气阻力，则（　　）
A．甲带正电
B．乙带负电
C．甲、乙的动量大小之比为 8：5
D．乙、丙的动量大小之比为 1：1
[模型演练5] （2024 湖北三模）带电粒子在磁场中运动时，我们可以根据粒子的运动轨迹寻找到很
多美丽的对称图形。空间中一圆形区域内有磁感应强度大小为 B 的匀强磁场，区域外为磁感应
强度大小相同、方向相反的匀强磁场，一带电粒子从某处以正对虚线圆圆心方向入射，通过改
变带电粒子速度，可得到如图甲、乙所示轨迹（虚线为磁场边界，实线为带电粒子运动轨迹），
则两图中粒子的速度之比为（　　）
A．2：1 B． 3：1 C． 2：1 D．1：1
[模型演练6] （2024 昌平区二模）如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图。螺线管内存在
磁感应强度为 B、方向平行于管轴的匀强磁场。电子枪可以射出速度大小均为 v，方向不同的
电子，且电子速度 v 与磁场方向的夹角非常小。电子电荷量为 e、质量为 m。电子间的相互作
用和电子的重力不计。这些电子通过磁场会聚在荧光屏上 P 点。下列说法错误的是（　　）
2
A．电子在磁场中运动的时间可能为
2
B．荧光屏到电子入射点的距离可能为
1
C．若将电子入射速度变为2 ，这些电子一定能会聚在 P 点
D．若将电子入射速度变为 2v，这些电子一定能会聚在 P 点
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
2．平行边界(存在临界条件，如图所示)
3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)
4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是：
(1)画出运动轨迹；
(2)确定圆心和半径；
(3)利用洛伦兹力提供向心力列式．
类别 特点 图示
进出磁
直线
场具有
边界
对称性
平行
存在临界条件
边界
沿径向射
圆形
入必沿径
边界
向射出
环形
与边界相切
边界
类型 1 带电粒子在直线边界磁场中运动
1
[模型演练7] （2024 成都模拟）如图所示，xOy 直角坐标系的第一象限内，半径为 a 的4圆弧外存
在范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。位于 O 点的粒子源向第一象限内的各个

方向均匀发射完全相同的带正电的粒子，粒子速度大小均为 v，比荷 = k。经过一段时间后发
1
现发射出的总粒子中有3的粒子可以回到 O 点，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，则磁
感应强度大小为（　　）
A 3
3 3
． B C 3 ． ． D．
3 3
[模型演练8] （多选）（2024 郑州模拟）如图所示，边长为 a 的正方形 MNPQ 区域内有一方向垂直

正方形平面向外的匀强磁场，NP 边上有一点 S，SN = 4。两个质量相同、带等量异种电荷的粒
子均从 S 点平行于 MN 方向射入磁场。带正电粒子甲与带负电粒子乙重力均不计，不考虑甲、
乙两粒子间的作用。下列说法正确的是（　　）
A．若两粒子在磁场中运动的时间相等，则甲与乙的初速度大小之比一定为 1：3
B．若两粒子的初速度相同，则甲与乙在磁场中运动的时间之比可能为 1：2
C．若其中一个粒子垂直 PQ 边射出磁场，则甲与乙在磁场中运动时间之比一定不大于 2：1
D．若两粒子分别从 M、Q 两点射出磁场，则甲与乙的初速度大小之比恰好为 2：1
[模型演练9] （多选）（2024 海南）如图所示，边长为 L 的正方形 abcd 区域内存在匀强磁场，方向
垂直于纸面（abcd 所在平面）向外。ad 边中点 O 有一粒子源，可平行纸面向磁场内任意方向发
射质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子，粒子速度大小均为 v，不计粒子重力以及粒子间的相互
作用。已知垂直 ad 边射入的粒子恰好从 ab 边中点 M 射出磁场，下列说法中正确的是（　　）
A．粒子带负电
2
B．磁场的磁感应强度大小为

C．从 a 点射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为6
D．有粒子从 b 点射出磁场
类型 2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
[模型演练10] （2024 沙坪坝区校级模拟）如图所示，半径为 R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀
强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速
率从 P 点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于 PQ 圆弧上，且 Q 点为最远点。已知 PQ
圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有
粒子经过的区域面积为（　　）
3
2 (3 2)
2 (3 2) 2 1
A．4 B．
2
4 C． 4 D．2
[模型演练11] （2024 临沂二模）如图所示，半径为 R 圆形区域内存在磁感应强度大小为 B 的匀强
磁场，磁场方向垂直于纸面向外。质量为 m、电荷量为+q 的带电粒子由 A 点沿平行于直径 CD
的方向射入磁场，最后经过 C 点离开磁场。已知弧 CA 对应的圆心角为 60°，不计粒子重力。
则（　　）
2
A．粒子运动速率为 3
B．带电粒子运动过程中经过圆心 O
5
C．粒子在磁场中运动的时间为3
4
D．粒子在磁场中运动的路程为 3
[模型演练12] （2024 龙凤区校级开学）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为 m、
电荷量为 q（q＞0）的带电粒子从圆周上的 M 点沿直径 MON 方向射入磁场。若粒子射入磁场
时的速度大小为 v1，离开磁场时速度方向偏转 60°；若射入磁场时的速度大小为 v2，离开磁场
1
时速度方向偏转 90°。不计重力，则 为（　　）2
1
A B 3．2 ． C
3
． D． 3
3 2
类型 3 带电粒子在环形边界磁场中运动
[模型演练13] （2024 盘锦三模）如图所示，在以半径为 R 和 2R 的同心圆为边界的区域中，有磁感
应强度大小为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在圆心 O 处有一粒子源（图中未画出），在

纸面内沿各个方向发射出比荷为 的带负电的粒子，粒子的速率分布连续，忽略粒子所受重力
和粒子间的相互作用力，已知 sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则
下列说法正确的是（　　）
2
A．粒子速度的最大值为

B．粒子速度的最大值为 4
127
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为 90 （不考虑粒子再次进
入磁场的情况）
4
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为3 （不考虑粒子再次进入磁
场的情况）
[模型演练14] （2024 聊城二模）2023 年 4 月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装
置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为 R1 和 R2 的真空同轴圆柱面之
间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R 。假设氘核 21 1H 沿内环切
线向左进入磁场，氚核 31H 沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及
二者之间的相互作用，则 21H 和 31H 的速度之比为（　　）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．1：2
[模型演练15] （2024 咸阳二模）2023 年 8 月 25 日下午，新一代人造太阳“中国环流三号”取得重
大科研进展，首次实现 100 万安培等离子体电流下的高约束模式运行，标志着中国核聚变研究
向“聚变点火”又迈出重要一步。环流器局部区域的磁场简化示意图，如图所示，在内边界半
径为 R、外边界半径为 2R 的环形磁场区域内，存在磁感应强度大小为 B，方向垂直于平面向内
的匀强磁场。在内圆上有一粒子源 S，可在平面内沿各个方向发射比荷相同的带正电的粒子。
粒子 a、b 分别沿径向、内圆切线向下进入磁场，二者均恰好不离开磁场外边界。不计重力及二
者之间的相互作用，则粒子 a、b 的速度大小之比为（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
类型 4 带电粒子在三角形边界磁场中运动
[模型演练16] （2024 包头一模）如图，一直角三角形边界匀强磁场磁感应强度为 B，其中 ac＝2d，
bc＝d，c 点有一发射带正电粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，粒子比荷为
k，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．ab 边有粒子出射的区域长度为 0.5d
2
B．粒子在磁场中运动的最长时间为3
C．若粒子从 ac 边出射，入射速度 v＞kBd

D．若某粒子v = 2 ，则粒子可以恰好从 a 点飞出
[模型演练17] （多选）（2024 成都模拟）如图所示，边长为 2L 的等边三角形 ABC 内有垂直纸面向
里、磁感应强度大小为 B0 的匀强磁场，D 是 AB 边的中点，一质量为 m、电荷量为﹣q 的带电
粒子从 D 点以不同的速率平行于 BC 边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　）
A．粒子可能从 B 点射出
B 3．若粒子从 C 点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 L
2

C．若粒子从 C 点射出，则粒子在磁场中运动的时间为3 0
D．若粒子从 AB 边射出，则粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长
[模型演练18] （多选）（2024 甘肃模拟）如图所示，直角三角形 ABC 区域内有方向垂直纸面向里的
匀强磁场，∠A＝60°，AC 边长为 L。两个相同的带正电粒子从 A 点沿 AB 方向分别以不同的
速率 v1、v2 射入。若 v1＜v2，且速率为 v1 的粒子从 AC 边射出，它们在三角形区域内运动的时
间 t1：t2＝2：1。不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则两个粒子的速率之比 v1：v2 的
可能为（　　）
A．1：3 B．2：9 C．3：4 D．3：5
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题
（1）动态放缩法
当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度 v 大小或磁场的强弱 B 变化时，粒子做圆周
运动的轨道半径 r 随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放
缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图所示，粒子进入长方形边界 OABC形成的临界情
景为②和④。
（2）定圆旋转法
当带电粒子射入磁场时的速率 v 大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径 r
是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，
从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景。
[模型演练19] （2024 春 天宁区校级期中）如图所示，匀强磁场中位于 P 处的粒子源可以沿垂直于
磁场向纸面内的各个方向发射质量为 m、电荷量为 q、速率为 v 的带正电粒子，P 到荧光屏 MN
的距离为 d、设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（　　）

A．若磁感应强度B = ，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为2

B．若磁感应强度B = ，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为

C．若磁感应强度B = 2 ，则荧光屏上形成的亮线长度为2 3

D．若磁感应强度B = 2 ，则荧光屏上形成的亮线长度为( 15 + 3)
[模型演练20] （2023 秋 黄岛区期末）如图，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小为 B，磁场下边界 OM 和荧光屏 ON 之间的夹角为 30°。OM 上的 P 点处有一粒子源沿与
OM 垂直的方向以不同的速率持续向磁场发射质量为 m、电荷量为+q 的粒子。已知 P 点到 O 点
的距离为 d，荧光屏上被打亮区域的长度为（　　）
A 3 B 2 3 ． ． C．d D．2d
3 3
[模型演练21] （2023 秋 沙坪坝区校级期末）如图，空间分布着磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面
向外的匀强磁场。关于 O 点对称的薄板 MN 的长度为 3a，O 点到 MN 的距离为 a。O 点有一粒
子源，能沿纸面内任意方向发射速率相同、质量为 m、电荷量为 q 的正电粒子。已知水平向右
发射的粒子恰能垂直打在 MN 上，打到 MN 上、下表面的粒子均被吸收。不计粒子的重力，则
被 MN 吸收的粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）
5 3
A．3 B．2 C． D．2
[模型演练22] （2023 秋 兴庆区校级期末）如图所示，真空室内存在磁场方向垂直于纸面向里、磁
感应强度的大小为 B＝0.30T 的匀强磁场。磁场内有一块较大的平面感光板 ab，板面与磁场方
向平行，在距 ab 的距离为 l＝32cm 处，有一个点状的 α 粒子放射源 S，它能向各个方向发射 α

粒子，带正电的 α 粒子速度都是 v＝3.0×106m/s。已知 α 粒子的电荷量与质量之比为 = 5.0 × 1
07C/kg，现只考虑在纸面内运动的 α 粒子，则感光板 ab 上被 α 粒子打中区域的长度为（　　）
A．40cm B．30cm C．35cm D．42cm
[模型演练23] （2023 秋 让胡路区校级期末）如图所示，在直角坐标系 xOy 的第一象限内存在磁感
应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在 y 轴上 S 处有一粒子源，它可向右侧纸
面内各个方向射出速率相等、质量均为 m、电荷量均为 q 的同种带负电粒子，所有粒子射出磁
场时离 S 最远的位置是 x 轴上的 P 点。已知OS = ，OP = 3d，粒子重力及粒子间的相互作用
均不计，则（　　）

A．粒子的速度大小为

B．从 O 点射出的粒子在磁场中运动的时间为
C．从 x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为 2：9

D．沿平行于 x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到 O 点的距离为2

展开更多......

收起↑