资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台第三章圆锥曲线的方程同步练习检测卷-高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册一、单选题1.如果直线经过双曲线的中心,且与该双曲线不相交,则的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.2.若方程表示椭圆,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.3.已知双曲线与双曲线有共同的渐近线,则( )A. B.2 C. D.44.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是( )A. B. C. D.5.已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A,F,B,且点A为的垂心,则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为F,准线为l,点A在抛物线C上,点B在准线l上,若是边长为2的等边三角形,则的值是( ).A.1 B. C.2 D.7.1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,下列结论错误的是( )A.卫星向径的取值范围是B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小8.抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴:反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为,一条平行于轴的光线从点射出,经过拋物线上的点反射后,再经抛物线上的另一点射出,则的周长为( )A. B. C. D.二、多选题9.已知曲线,则( )A.当时,曲线是椭圆B.当时,曲线是以直线为渐近线的双曲线C.存在实数,使得过点D.当时,直线总与曲线相交10.已知抛物线:的焦点为,点为抛物线上一动点,点,则( )A.抛物线的准线方程为B.的最小值为5C.当时,则抛物线在点处的切线方程为D.过的直线交抛物线于两点,则弦的长度为1611.已知,是椭圆C:的上、下焦点,是椭圆上一点,则( )A.的周长等于 B.时,满足的点有2个C.的最大值为 D.面积的最大值为三、填空题12.椭圆的焦点的坐标为 ,若为椭圆上任意一点,则 .13.设双曲线的左、右焦点为、,点是上一点,满足,则的面积为 .14.已知抛物线:,为坐标原点,直线与抛物线交于,两点,且直线,斜率之积为,则点到直线的最大距离为 .四、解答题15.在平面直角坐标系中,点到点与到直线的距离之比为,记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点是圆上的一点(不在坐标轴上),过点作曲线的两条切线,切点分别为,记直线的斜率分别为,且,求直线的方程.16.已知抛物线C:的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求点Q的轨迹方程.17.已知双曲线的一条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程与离心率;(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点,为坐标原点,直线的斜率之积为,求的面积.18.已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点,过点且与轴垂直的直线截抛物线 椭圆所得的弦长之比为.(1)求的值;(2)已知为直线上任一点,分别为椭圆的上 下顶点,设直线与椭圆的另一交点分别为,求证:直线过定点.并求出该定点.19.在平面直角坐标系中,已知三点,曲线C上任意一点满足:.(1)求曲线C的方程;(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线L与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为.试探究的值是否与点P及直线L有关,并证明你的结论;(3)设曲线C与y轴交于D、E两点,点在线段DE上,点P在曲线C上运动.若当点P的坐标为时,取得最小值,求实数m的取值范围.参考答案:1.B【分析】设直线方程为,与双曲线联立消去得,,因为直线与该双曲线不相交,所以方程没有实数根,所以,即可求出答案.【详解】依题意知,直线的斜率存在,设为,双曲线的中心为,因为直线经过双曲线的中心,所以设直线方程为,由,消去得,,因为直线与该双曲线不相交,所以方程没有实数根,所以,即,解得或,所以直线l的斜率的取值范围是:.故选:B.2.A【分析】根据方程表示椭圆列不等式组,即得实数的取值范围.【详解】由题意知表示椭圆,则,解得.故选:A.3.C【分析】分别求出两双曲线的渐近线方程,由题意列式计算即可.【详解】双曲线的渐近线方程为,双曲线的渐近线方程为,所以,所以.故选:C4.B【分析】根据渐近线相同可设所求为,将点代入求得即可得解.【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线,所以设其方程为,又点在双曲线上,所以,解得,则双曲线方程为.故选:B.5.A【分析】根据三角形相似即可结合椭圆性质得由齐次式即可求解.【详解】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形,又,与相似(为坐标原点),,,解得或(舍),故选:A.6.A【分析】利用抛物线定义可知,再由等边三角形的边长为2即可求得.【详解】根据题意,易知,由抛物线定义可得,设准线与l的交点为,如下图所示: 因此与平行,又是边长为2的等边三角形,所以,即,可得,即.故选:A7.C【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离,可得向径的最大值最小值,即可判断A,运行速度的意义又是服从面积守恒规律,即可判断BD,根据即可判断C.【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离,所以最小值为,最大值为,所以A正确;根据在相同时间内扫过的面积相等,卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间,故B正确;卫星向径的最小值与最大值的比值为越大,则越小,椭圆越圆,故C错误.因为运行速度是变化的,速度的变化,所以卫星运行速度在近地点时向径越小,在远地点时向径越大,卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间,内扫过的面积相等,则向径越大,速度越小,所以卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,故D正确;故选:C.8.D【分析】根据给定条件,求出点的坐标,进而求出直线方程,与抛物线方程联立求出点的坐标即得.【详解】抛物线的焦点为,准线为,由点在抛物线上,则,直线方程为:,即,由,消去得,解得或,由,得,于是,,而,所以的周长为.故选:D 9.ABC【分析】A:根据的正负以及大小关系判断;B:先表示出双曲线方程,然后可知渐近线方程;C:代入于曲线方程,然后判断方程是否有解即可;D:考虑时的情况.【详解】当时,,所以方程表示的曲线是椭圆,故A正确;当时,方程为,所以,其渐近线方程为,即,故B正确;令,整理得且,此方程有解,故C正确;当时,曲线为双曲线,直线为的一条渐近线,此时无交点,故D错误.故选:ABC.10.ABD【分析】对于A,直接由抛物线标准方程即可判断;对于B,由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断;对于C,设出切线方程(斜率为参数),联立抛物线方程由判别式为0即可验算;对于D,联立方程和抛物线方程,结合韦达定理、焦点弦公式即可判断.【详解】对于A,由题意抛物线:的准线方程为,故A正确;对于B,如图所示:过点向准线作垂线,设垂足为点,过点向准线作垂线,设垂足为点,所以,等号成立当且仅当点与点重合,点为与抛物线的交点,故B正确;对于C,切点为,且切线斜率存在,所以设切线方程为,联立抛物线方程得,所以,解得,所以当时,则抛物线在点处的切线方程为,故C错误;对于D,由题意,所以,所以直线,即,联立抛物线方程得,所以,,故D正确.故选:ABD.11.BCD【分析】对于A,求出的周长,由,即可判断真假;对于B,由,的关系,进而可得以,为直径的圆与椭圆的交点个数,即满足的点的个数;对于C,利用椭圆定义,结合基本不等式求解即可;对于D,结合椭圆的性质和基本不等式的公式即可求出面积的最大值.【详解】对于A,椭圆的长轴长为,焦距为,则的周长为:,由,所以的周长小于,故A不正确;对于B,当时,则,满足的点,以为圆心,为半径的圆与椭圆交于椭圆短轴两端点,即使得的点为椭圆短轴的端点,故B正确;对于C,设,,,则,由椭圆的定义知:,所以,当且仅当时,等号成立,故的最大值为,所以C正确;对于D,由椭圆几何性质,焦点三角形面积仅当P点在短轴顶点时最大,为,故D正确.故选:BCD12.【分析】将椭圆化为标准方程即可求出焦点,再利用椭圆定义即可得到.【详解】该椭圆的方程是,即,,故,所以焦点坐标为.根据椭圆的定义,有.故答案为:,.13.【分析】由双曲线的方程得到,设,再根据双曲线的定义余弦定理,求得,进而求得三角形的面积.【详解】由题意,,不妨设,则,由余弦定理,所以,,所以,.故答案为:.14.1【分析】设出直线的方程,把直线与抛物线联立,表示出,运用韦达定理即可.【详解】设直线:,,,则,所以,,,,,所以,则直线:,直线恒过点,则点到直线的最大距离为1.故答案为:1.15.(1)(2)【分析】(1)根据椭圆的第二定义列出等式,整理即可得曲线的方程为;(2)设直线的方程为并于椭圆方程联立,由直线与椭圆相切可得,同理可知是关于方程的两个根,可求得直线的方程为.【详解】(1)根据题意可得,即,整理可得,因此曲线的方程为;(2)如下图所示:设,则,又点不在坐标轴上,所以且;因此直线的方程为,直线的方程为,又直线与椭圆相切与点,联立整理可得可得,即,整理可得,又,可得;直线与椭圆相切与点,同理可得,所以是关于的一元二次方程的两个不同的实数根,因此,再由可得,即;所以直线的斜率为,因此直线的方程为.【点睛】方法点睛:在求解直线与椭圆相切问题时,可联立直线和椭圆方程再利用判别式为0可得关系式,再由韦达定理可求得参数之间的关系,即可求得直线的斜率为,可得直线方程.16.(1)(2)【分析】(1)根据抛物线的定义求出,即可得解;(2)根据,将点的坐标用的坐标表示,再根据点P在C上,代入即可得解.【详解】(1)由抛物线的定义可知,焦点F到准线的距离为p,故,所以C的方程为;(2)由(1)知,设,,则,,因为,所以,可得,又点P在抛物线C上,所以,即,化简得,则点Q的轨迹方程为.17.(1),;(2).【分析】(1)根据点到直线距离公式求出,再根据渐近线方程及,求出,,得到双曲线方程;(2)设出直线:,与双曲线方程联立,得到两根之和,两根之积,根据直线,的斜率之积为,列出方程,得到,得到直线方程,数形结合得到的面积.【详解】(1)双曲线的焦点到渐近线的距离为,则,由一条渐近线方程为,得,而,解得,,所以双曲线的标准方程为,离心率.(2)依题意,设直线:,,由消去y并整理得,显然,则,,由,而,解得,于是,,直线:交y轴于,又,所以的面积为. 18.(1);(2)证明见解析,.【分析】(1)根据给定条件,求出过焦点的弦长,建立方程组求解即得.(2)设出点的坐标,求出直线的方程,与椭圆方程联立求出点的坐标,再求出直线方程即可得解.【详解】(1)设点,则椭圆半焦距,由得,由得,依题意,,又,解得,所以.(2)由(1)知,椭圆的方程为,,设点,当时,直线的方程为的方程为,由,得,解得,由,得,解得,即点,则直线的斜率,于是直线的方程为,整理得,显然直线恒过定点直线,当时,直线的方程为,也经过,所以直线恒过定点直线. 【点睛】思路点睛:过圆锥曲线上的动点的直线过定点问题,借助圆锥曲线方程设出动点坐标,求出相关的直线方程,并与圆锥曲线方程联立,求出另一交点坐标,再与已知结合推理求解即可.19.(1)(2)无关,证明见解析(3)【分析】(1) 结合向量运算得出轨迹方程;(2) 设点的坐标结合点差法证明定值;(3)应用两点间距离公式,消参结合参数范围求范围.【详解】(1)由题意,,则,由此可得,,又,且,∴,化简整理得:,即为所求曲线C的方程.(2)因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,所以可设.∴P,M,N在椭圆上,则①,②,①﹣②,得.又,,∴,因此,的值恒等于,与点P的位置和直线L的位置无关.(3)由于在椭圆C:上运动,可得且,∵,∴||由题意,点P的坐标为时,取得最小值,即当时,取得最小值,而,故有,解之得.又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为,而点N在线段DE上,即,∴,实数m的取值范围是.【点睛】方法点睛:先设点的坐标再应用点差法证明斜率乘积为定值.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览