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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第一章 有理数
有理数复习小结
第一部分：知识点归纳
知识点1 有理数
1.整数和分数统称为有理数
2.分类：
1．按照性质分类：
2．按照符号分类：
3．按小数分类：
注意：正数和0统称为非负数；负数和零统称为非正数
知识点2数轴
1．数轴：
（1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴；
（2）三要素：
①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点；
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向；
③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示
2．数轴上的点与有理数的关系
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数）
3．利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；
③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4．可以表示什么数
（1）,表示是正数；反之,是正数,则；
（2）,表示是负数；反之,是负数,则
（3）,表示是0；反之,是0,则
知识点3 相反数
１．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意以下几点：
⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
２．相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0；
⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=-1（a0，b0））。
３．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
４．相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b），化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：-5的相反数是-（-5），化简得5）。
５．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）；当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）；
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）。
６．多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
知识点4 绝对值
１．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
２．绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。
可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数）。
②a≤0，<═>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数）。
３．绝对值的性质
（1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即：
⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=|-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
４．绝对值的化简
①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=||-a
５．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
知识点5 有理数大小比较
（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数；
（3）若a>b，b>c，则a>c；
（4）作差法，a-b>0←→a>b；a-b<0←→a（5）大数|-小数＞0，小数|-大数＜0．
第二部分：考点分类点拨
考点1 正负数的意义
例1-1．如图是同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间，则当莫斯科时间为17：08时，北京时间为 _____．
针对训练1
1．如果收入60元，记作+60元，那么支出30元记作 _____元．
2．等高线指的是地形图上高程相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．如图，吐鲁番盆地的等高线标注为-155m,表示此处的高度 _____海平面155米（填高于或低于）．
考点2 有理数的概念及分类
例2-1．下列说法错误的是（　　）
A. 负整数和负分数统称负有理数
B. 正整数，0，负整数统称为整数
C. 正有理数与负有理数组成全体有理数
D. 3.14是小数，也是分数
针对训练2
1．在数+8.3，-4，-0.8，-，0，90，-，-|-24|中，_____是正数，_____不是整数．
2．把下列各数分别填在题后相应的集合中：
-，0，-1，0.73，2，-5，，-29.52，+28．
（1）正数集合：{_____…}
（2）负数集合：{_____…}
（3）整数集合：{_____…}
（4）分数集合：{_____…}
（5）正整数集合：{_____…}
（6）负整数集合：{_____…}
（7）正分数集合：{_____…}．
（7）负分数集合：{_____…}．
3．将下列各数填在相应的集合里．
-3.8，-20%，4.3，-|-|，42，0，-（-），-32
整数集合：{_____…}；
分数集合：{_____…}；
正数集合：{_____…}；
负数集合：{_____…}．
在已知的数据中，最大的数是_____，最小的数是_____．
考点3 数轴
例3-1 .下列说法中正确的是( )
A．无法用数轴上的点表示，因为不能被整除
B．数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是
C．数轴上，在和之间只有一个数
D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度
针对训练3
1．在数轴上把数4，-2.5，0，-1表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．
2．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：
-3.5，，-1，4，0，2.5．
3．在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为-2.5，点B表示的数为4．
（1）求AB的长度；
（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化：
①此时点A表示的数为_____，点B表示的数为_____；
②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．
考点4 相反数
例4-1．的相反数的绝对值是（　　）
A. - B. 2
C. -2 D.
针对训练4
1．下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A. 和0.2 B. 和
C. -1.75和 D. 2和-（-2）
2．下列说法中正确的是（　　）
A. 正数和负数互为相反数
B. 任何一个数的相反数都与它本身不相同
C. 任何一个数都有它的相反数
D. 数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数
3．把下列各数及其相反数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“＜”连接起来-2.5，0，+3.5，-．
考点5 绝对值
例5-1．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）
A. -4 B. -5 C. -6 D. -2
针对训练5
1．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是（　　）
A. 正数和零 B. 负数或零 C. 一切正数 D. 所有负数
2．如果|x|=6，则x=_____．
3．某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下（单位：千米）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
-3 +7 -9 +10 +8 -6 -2
（1）问检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？
（2）若检修车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需6元，问这一天检修车辆所需汽油费多少元？
考点6有理数大小比较
例6-1．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．
-3，-4，0，|-2.5|，．
针对训练6
1．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．．
2．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并求它们的相反数，它们的绝对值，比较它们大小．
-1，2，3，-2.7，1，-3，0．
3．已知数轴上点A表示的数为a.
（1）判断：a _____-1（填“＞”，“=”或“＜”）；
（2）用“＜”号将-，1，-a,a-1连接起来．
第三部分：牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．四个数中，其中负数是( )
A. B.0 C.1 D.2
2．下列说法错误的是( )
A.-2是负有理数 B.0不是整数 C.是正有理数 D.-0.25是负分数
3．数轴上到点-3的距离为3的点表示的数为( )
A.0 B.-6 C.-6或1 D.-6或0
4．如图，数轴上点M所表示的数可能是( )
A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6
5．下列计算结果为5的是( )
A. B. C. D.
6．下列各组数中，互为相反数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
7．如果，则x的值是( )
A. B. C. D.
8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示,化简的结果是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．在中，整数有______________.
10．一只蚂蚁从数轴上一点出发，爬了7个单位长度到了+1，则点所表示的数是_________.
11．________.
12．若，则__________
13．同学们都知道, 表示与之差的绝对值,实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离,则使得这样的整数有_____个.
三、解答题
14．（8分）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列8个数填入这两个圈中合适的位置：
.
15．（8分）在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”号将这些数按从小到大的顺序连接起来: .
16．（8分）（1）化简下列各数：
①；
②；
③；
④；
（2）化简过程中发现：化简结果的符号与原式中“-”的个数有着密切联系，当“”的个数是奇数时，最后结果为_________数；当“-”的个数是偶数时，最后结果为_________数.
17．（8分）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数x与数0的对应点之间的距离.这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离.
例1：已知，求x的值.
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为-2或2，
所以x的值为-2或2.
例2：已知，求x的值.
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或-1，
所以x的值为3或-1.
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
18．（8分）如图，数轴的单位长度为1.
请回答下列问题:
（1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？
19．（8分）已知在纸面上有一数轴(如图),折叠纸面.
1.若1表示的点与-1表示的点重合,则-7表示的点与数__________表示的点重合;
2.若-1表示的点与8表示的点重合,回答以下问题:
①12表示的点与数__________表示的点重合;
②若数轴上A、B两点之间的距离为2017(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,求A、B两点表示的数是多少
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第一章 有理数
有理数复习小结（解析版）
第一部分：知识点归纳
知识点1 有理数
1.整数和分数统称为有理数
2.分类：
1．按照性质分类：
2．按照符号分类：
3．按小数分类：
注意：正数和0统称为非负数；负数和零统称为非正数
知识点2数轴
1．数轴：
（1）概念：在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它规定了原点、正方向和单位长度,这条直线叫做数轴；
（2）三要素：
①原点：在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点；
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向,从原点向左（或向下）为负方向；
③单位长度：直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3……；从原点向左,用类似的方法,依次表示
2．数轴上的点与有理数的关系
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如,数轴上的点π不是有理数）
3．利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数；
③两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
4．可以表示什么数
（1）,表示是正数；反之,是正数,则；
（2）,表示是负数；反之,是负数,则
（3）,表示是0；反之,是0,则
知识点3 相反数
１．相反数的概念：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意以下几点：
⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
２．相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0；
⑷互为相反数的非零两数商为负1，即a，b互为相反数，则=-1（a0，b0））。
３．相反数的几何意义:在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
４．相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b），化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：-5的相反数是-（-5），化简得5）。
５．相反数的表示方法：一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）；当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）；
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）。
６．多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
知识点4 绝对值
１．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
２．绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0。
可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数）。
②a≤0，<═>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数）。
３．绝对值的性质
（1）任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即：
⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0．即：a=0<═>|a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0．即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=|-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
４．绝对值的化简
①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=||-a
５．已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
知识点5 有理数大小比较
（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数；
（3）若a>b，b>c，则a>c；
（4）作差法，a-b>0←→a>b；a-b<0←→a（5）大数|-小数＞0，小数|-大数＜0．
第二部分：考点分类点拨
考点1 正负数的意义
例1-1．如图是同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间，则当莫斯科时间为17：08时，北京时间为 _____．
【答案】22：08
【解析】根据同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间是5小时，即可求解．
解：如图可知：同一时刻莫斯科与中国北京的中国北京与莫斯科的时差时间是5小时，
所以当莫斯科时间为17：08时，北京时间为22：08，
故答案为：22：08．
针对训练1
1．如果收入60元，记作+60元，那么支出30元记作 _____元．
【答案】-30
【解析】利用相反意义量的定义判断即可．
解：如果收入60元，记作+60元，那么支出30元记作-30元．
故答案为：-30．
2．等高线指的是地形图上高程相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．如图，吐鲁番盆地的等高线标注为-155m,表示此处的高度 _____海平面155米（填高于或低于）．
【答案】低于
【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
解：海平面的海拔高度为0米，吐鲁番盆地的等高线标注为-155m,表示此处的高度地低于海平面155米．
故答案为：低于．
考点2 有理数的概念及分类
例2-1．下列说法错误的是（　　）
A. 负整数和负分数统称负有理数
B. 正整数，0，负整数统称为整数
C. 正有理数与负有理数组成全体有理数
D. 3.14是小数，也是分数
【答案】C
【解析】按照有理数的分类判断：
有理数．
解：负整数和负分数统称负有理数，A不符合题意．
整数分为正整数、负整数和0，B不符合题意．
正有理数与0，负有理数组成全体有理数，C符合题意．
3.14是小数，也是分数，小数是分数的一种表达形式，D不符合题意．
故选：C．
针对训练2
1．在数+8.3，-4，-0.8，-，0，90，-，-|-24|中，_____是正数，_____不是整数．
【答案】(1)+8.3，90;(2)+8.3，-0.8，-;
【解析】按照有理数的分类填写：
有理数．
解：+8.3，90是正数，+8.3，-0.8，-不是整数．
2．把下列各数分别填在题后相应的集合中：
-，0，-1，0.73，2，-5，，-29.52，+28．
（1）正数集合：{_____…}
（2）负数集合：{_____…}
（3）整数集合：{_____…}
（4）分数集合：{_____…}
（5）正整数集合：{_____…}
（6）负整数集合：{_____…}
（7）正分数集合：{_____…}．
（7）负分数集合：{_____…}．
【答案】(1)0.73，2，，+28;(2)-，-1，-5，-29.52;(3)0，-1，2，-5，+28;(4)-，0.73，，-29.52;(5)2，+28;(6)-1，-5;(7)0.73，;(8)-，-29.52;
【解析】按照有理数的分类填写：
有理数．
解：（1）正数集合：0.73，2，，+28
（2）负数集合：-，-1，-5，-29.52
（3）整数集合：0，-1，2，-5，+28
（4）分数集合：-，0.73，，-29.52
（5）正整数集合：2，+28
（6）负整数集合：-1，-5
（7）正分数集合：0.73，
（8）负分数集合：-，-29.52
3．将下列各数填在相应的集合里．
-3.8，-20%，4.3，-|-|，42，0，-（-），-32
整数集合：{_____…}；
分数集合：{_____…}；
正数集合：{_____…}；
负数集合：{_____…}．
在已知的数据中，最大的数是_____，最小的数是_____．
【答案】(1)42，0，-32;(2)-3.8，-20%，-|-|，-（-）;(3)4.3，42，-（-）;(4)-3.8，-20%，-|-|，-32;(5)42;(6)-32;
【解析】先根据绝对值的性质和相反数的定义化简，根据有理数的乘方进行计算，再根据整数、分数、正数、负数的定义填空，根据有理数的大小比较确定出最大的数和最小的数．
解：-|-|=-，42=16，-（-）=，-32=-9，
整数集合：{42，0，-32…}；
分数集合：{-3.8，-20%，-|-|，-（-）…}；
正数集合：{4.3，42，-（-）…}；
负数集合：{-3.8，-20%，-|-|，-32…}．
在已知的数据中，最大的数是42，最小的数是-32．
考点3 数轴
例3-1 .下列说法中正确的是( )
A．无法用数轴上的点表示，因为不能被整除
B．数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是
C．数轴上，在和之间只有一个数
D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度
【答案】D
【分析】根据有理数与数轴的关系理解判断即可．
【详解】A. 能用数轴上的点表示，故不符合题意；
B.数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是或，故不符合题意；
C.数轴上，在和之间有无数个数，故不符合题意；
D. 数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了有理数与数轴的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键．
针对训练3
1．在数轴上把数4，-2.5，0，-1表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．
【解析】先利用数轴表示数的方法表示出所给的4个数，然后写出它们的大小关系．
解：用数轴表示为：
，
它们的大小关系为：-2.5＜-1＜0＜4．
2．画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：
-3.5，，-1，4，0，2.5．
【解析】先在数轴上表示出来，再根据数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可．
解：如图所示：
用“＜”连接为：-3.5＜-1＜0＜＜2.5＜4．
3．在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为-2.5，点B表示的数为4．
（1）求AB的长度；
（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化：
①此时点A表示的数为_____，点B表示的数为_____；
②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．
【答案】(1)-75;(2)120;
【解析】（1）根据数轴上计算两点距离的方法即可得出答案；
（2）①根据题意把单位长度扩大30倍，即原来每个表示点的数扩大30倍，列式计算即可得出答案；
②根据题意可分为两种情况，即当M靠近点A和当M靠近点B时，根据题意列式计算即可得出答案．
解：（1）AB=4-（-2.5）=6.5；
（2）①根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍，
则点A表示的数为-2.5×30=-75，
点B表示的数为4×30=120，
故答案为：-75，120；
②所以AB=120-（-75）=195，
当点M靠近点A时，AM=AB=65，
所以点M表示的数为65-75=-10；
当点M靠近点B时，BM=AB=65，
所以点M表示的数为120-65=55；
综上所述，点M表示的数为-10或55．
考点4 相反数
例4-1．的相反数的绝对值是（　　）
A. - B. 2
C. -2 D.
【答案】D
【解析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解：∵的相反数是-，∴|-|=．
故选：D．
针对训练4
1．下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A. 和0.2 B. 和
C. -1.75和 D. 2和-（-2）
【答案】C
【解析】注意相反数的特征：绝对值相等但是符号不同的数是互为相反数．
解：在和0.2中，它们的绝对值不等；
在和中，它们互为倒数；
-1.75的相反数为；
在2和-（-2）中，∵-（-2）=2，它们相等．
故选：C．
2．下列说法中正确的是（　　）
A. 正数和负数互为相反数
B. 任何一个数的相反数都与它本身不相同
C. 任何一个数都有它的相反数
D. 数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数
【答案】C
【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数；0的相反数是0．即一对相反数符号不同而绝对值相等判断即可．
解：A、例如1与-2，它们一个是正数和一个是负数，但是他们不是互为相反数，故本选项错误；
B、0的相反数是0，故本选项错误；
C、根据相反数的概念，任何一个数都有相反数，故本选项正确；
D、数轴上原点两旁的两个点表示的数-5，4，但-5，4不是互为相反数，故本选项错误．
故选：C．
3．把下列各数及其相反数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“＜”连接起来-2.5，0，+3.5，-．
【解析】负数的绝对值越大则负数的值越小，由此可得出答案．
解：这几个数分别为，2.5，-2.5，0，+3.5，-3.5，1，-1，
在数轴上表示，如图所示：
由数轴可得：-3.5＜-2.5＜-1＜0＜1＜2.5＜3.5．
考点5 绝对值
例5-1．如图，图中数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）
A. -4 B. -5 C. -6 D. -2
【答案】A
【解析】首先根据绝对值的意义“数轴上表示一个数的点到原点的距离，即该数的绝对值”，分析出原点的位置，进一步得到点B所对应的数，然后根据点A在点B的左侧，且距离两个单位长度进行计算．
解：因为点B，C表示的数的绝对值相等，即到原点的距离相等，
所以点B，C表示的数分别为-2，2，
所以点A表示的数是-2-2=-4．故选A．
针对训练5
1．一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是（　　）
A. 正数和零 B. 负数或零 C. 一切正数 D. 所有负数
【答案】A
【解析】根据绝对值的性质解答即可．
解：因为互为相反数的两个数的绝对值相等，所以一个数等于它的相反数的绝对值，即这个数的绝对值等于它本身；
又因为正数和零的绝对值等于它本身，故一个数等于它的相反数的绝对值，则这个数是正数和零．
故选：A．
2．如果|x|=6，则x=_____．
【答案】±6
【解析】绝对值的逆向运算，因为|+6|=6，|-6|=6，且|x|=6，所以x=±6．
解：|x|=6，所以x=±6．
故本题的答案是±6．
3．某电路检修小组在东西方向的一道路上检修用电线路，检修车辆从该道路P处出发，如果规定检修车辆向东行驶为正，向西行驶为负，某一天施工过程中七次车辆行驶记录如下（单位：千米）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
-3 +7 -9 +10 +8 -6 -2
（1）问检修小组收工时在P的哪个方位？距P处多远？
（2）若检修车辆每千米耗油0.2升，每升汽油需6元，问这一天检修车辆所需汽油费多少元？
【解析】（1）七次行驶的和即收工时检修小组距离A地的距离；
（2）每次记录的绝对值的和，是检修小组一天的行程，根据单位行程的耗油量计算出该检修小组一天的耗油量．
解：（1）-3+7-9+10+8-6-2=5（km），
所以收工时在P的正东方向，距P地5 km；
（2）（3+7+9+10+8+6+2）×0.2×6.2=45×0.2×6=54（元），
答：检修小组工作一天需汽油54元．
考点6有理数大小比较
例6-1．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．
-3，-4，0，|-2.5|，．
【解析】首先在数轴上表示出所给的各数，然后根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可．
解：如下图，
．
针对训练6
1．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．．
【解析】首先在数轴上表示出各数，根据数轴上的大小比较（右边的数总比左边的数大）比较即可．
解：如图所示：
从小到大的顺序排列为：-3＜＜-0.5＜0＜1＜2.5．
2．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并求它们的相反数，它们的绝对值，比较它们大小．
-1，2，3，-2.7，1，-3，0．
【解析】（1）根据相反数定义：只有符号不同的两个数叫相反数；
（2）根据绝对值的性质：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零可得答案；
（3）直接将各数在数轴上表示，进而得出大小关系．
解：（1）-1的相反数是1；
2的相反数是-2；
3的相反数是-3；
-2.7的相反数是2.7；
1的相反数是1；
-3 的相反数是3；
0的相反数是0；
（2）|-1|=1；
|2|=2；
|3|=3；
|-2.7|=2.7；
|1|=1；
|-3|=3；
|0|=0；
（3）如图所示：
-3＜-2.7＜-1＜0＜1＜2＜3．
3．已知数轴上点A表示的数为a.
（1）判断：a _____-1（填“＞”，“=”或“＜”）；
（2）用“＜”号将-，1，-a,a-1连接起来．
【答案】＞
【解析】（1）根据数轴上右边的数比左边的数大判断即可；
（2）根据有理数大小比较法则判断即可．
解：（1）由题意得，a＞-1；
故答案为：＞；
（2）∵a＞0且|a|＞2，
∴．
第三部分：牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．四个数中，其中负数是( )
A. B.0 C.1 D.2
答案：A
解析：根据负数的定义，在正数前加“”号的数就是负数，为负数.0既不是正数也不是负数,1和2是正数.
故选A
2．下列说法错误的是( )
A.-2是负有理数 B.0不是整数 C.是正有理数 D.-0.25是负分数
答案：B
解析：A选项中-2是负有理数，说法正确，故本选项不符合题意；B选项中0是整数，说法错误，故本选项符合题意；C选项中是正有理数，说法正确，故本选项不符合题意；D选项中-0.25是负分数，说法正确，故本选项不符合题意，故选B.
3．数轴上到点-3的距离为3的点表示的数为( )
A.0 B.-6 C.-6或1 D.-6或0
答案：D
解析：点在-3左侧时，与-3距离为3的点表示的数为-6；点在-3右侧时，与-3距离为3的点表示的数为0.
故选D.
4．如图，数轴上点M所表示的数可能是( )
A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6
答案：C
解析：点M位于-2和-1之间，离-2较近，故选C.
5．下列计算结果为5的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：-（+5）=-5，故A错，
+（-5）=-5，故B错，
-（-5）=5，故C正确，
-|-5|=-5，故D错
6．下列各组数中，互为相反数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
答案：D
解析：A选项，，，两数相等，不符合题意；B选项，，不符合题意；C选项，与不是相反数，不符合题意；D选项，，，两数互为相反数，符合题意.故选D.
7．如果，则x的值是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
故选：C.
8．实数在数轴上的对应点的位置如图所示,化简的结果是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：a>0, b< 0,a-b>0,|a-b|=a-b,
故选C
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．在中，整数有______________.
答案：0；
解析： 全部是分数.
10．一只蚂蚁从数轴上一点出发，爬了7个单位长度到了+1，则点所表示的数是_________.
答案：﹣6或8
11．________.
答案：
解析：原式．故答案为：.
12．若，则__________
答案：
13．同学们都知道, 表示与之差的绝对值,实际上也可以理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离,则使得这样的整数有_____个.
答案：7
三、解答题
14．（8分）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列8个数填入这两个圈中合适的位置：
.
答案：见解析.
解析：
∴负数集：,,,
分数集:
15．（8分）在数轴上画出表示下列各数的点,并用“<”号将这些数按从小到大的顺序连接起来: .
答案：
解析：首先对所给的数进行化简,然后在数轴上表示各数,最后根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数,用“<”号把它们连接起来即可.
,
数轴表示如图所示:
由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大,得.
点睛:
本题主要考查数轴,有理数的大小比较,解题的关键是要注意:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的数大.
16．（8分）（1）化简下列各数：
①；
②；
③；
④；
（2）化简过程中发现：化简结果的符号与原式中“-”的个数有着密切联系，当“”的个数是奇数时，最后结果为_________数；当“-”的个数是偶数时，最后结果为_________数.
答案：（1）1，8，-a，a
（2）负，正
解析：（1）①；
②；
③；
④；
（2）通过（1）中化简过程中发现，化简结果的符号与原式中“-”的个数有着密切联系，当“-”的个数是奇数时，最后结果为负数；当“-”的个数是偶数时，最后结果为正数.
故答案为：负，正.
17．（8分）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数x与数0的对应点之间的距离.这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离.
例1：已知，求x的值.
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为-2或2，
所以x的值为-2或2.
例2：已知，求x的值.
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或-1，
所以x的值为3或-1.
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值.
（1）；
（2）.
答案：（1）在数轴上与原点距离为3的点表示的数为3或-3，所以x的值为3或-3.
（2）在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为-2或6，所以x的值为-2或6.
18．（8分）如图，数轴的单位长度为1.
请回答下列问题:
（1）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是多少？
（2）如果点表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？图中的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小？最小的绝对值是多少？
答案：(1)因为点表示的数互为相反数，所以原点就应该是线段的中点，即在C点右边一格，所以C点表示数.
(2)如果点表示的数互为相反数，那么原点是线段的中点，即点C左边半格，所以点C表示的数是正数点C表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是0.5.
19．（8分）已知在纸面上有一数轴(如图),折叠纸面.
1.若1表示的点与-1表示的点重合,则-7表示的点与数__________表示的点重合;
2.若-1表示的点与8表示的点重合,回答以下问题:
①12表示的点与数__________表示的点重合;
②若数轴上A、B两点之间的距离为2017(A在B的左侧),且A、B两点经折叠后重合,求A、B两点表示的数是多少
答案：1.7; 2.①-5,②A点表示的数为-1005,B点所表示的数为1012.
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