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第二章 轴对称
3 简单的轴对称图形
第2课时 角平分线
列清单·划重点
知识点① 角的对称性
角是____________图形，____________所在的直线是它的对称轴.
知识点② 角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的___________的距离相等.
知识点③ 角平分线的尺规作图
利用尺规，作已知角的平分线.
已知:∠AOB,如图1所示.
图 1
求作:射线 OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:(1)在∠AOB的两边 OA 和OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;
(2)分别以点 D，点E 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交
于点C；
(3)作射线OC,则射线OC使∠AOC=∠BOC(如图2).
图2
明考点·识方法
考点① 角平分线的性质
典例1 如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是△ABC的角平分线,若CD=4, AC=12,AB=15,则△ABC的面积为( )
A. 24 B. 48 C. 54 D. 108
思路导析 过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质得 DE=CD=4，再根据 从而得出答案.
变式1 如图所示，OP 为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是点 C,D，则下列结论错误的是 ( )
A. PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D. OC=OD
变式1图 变式2图
变式 2 如图所示,AD 是△ABC 中∠BAC的平分线,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点则 AC 的长是 ( )
A.4 B.3 C.6 D.5
考点② 角平分线的作图
典例2 如图，四边形区域是青岛音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路OA,OB 的距离相等,且到入口 A,C 的距离相等，请确定喷泉的位置 P.
结论:___________________________________________.
思路导析 利用角平分线的作法作 的角平分线，以及利用线段垂直平分线的作法作AC的垂直平分线，两条线的交点即为 P 点.
变式 市政府计划修建一处公共服务设施P,使它到 AB,BC,CA 三条道路的距离相等.
(1)若三条道路AB，BC，CA的位置如图所示，则图中七个区域可以修建公共设施 P的区域有____________；(填序号)
(2)请你选择一个区域确定公共设施 P 的位置.(保留尺规作图痕迹，不写作法)
当堂测·夯基础
1.如图所示，在 中，的平分线 BD 交 AC 于点 D.若 CD=3cm,则点 D 到AB 的距离是( )
A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
第1题图 第2题图
2.如图所示，OP 平分 于点A，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2,则 PQ的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图所示,OP 是 的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB 上，添加下列条件，不能判定 的选项是 ( )
4.如图所示,在 Rt△ABC中, 以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点 D,E,再分别以点 D,E 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 F，作射线AF交边BC 于点G，若则 的面积是( )
A.1 C.2
第4题图 第5题图
5. 如图所示,已 知在四边形 ABCD 中,BD 平分 则四边形 ABCD 的面积是 ( )
A. 24 B. 30 C. 36 D. 42
6.已知在 中，AD 是 的角平分线， 于点E.
(1)求 的度数；
(2)若 求
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 轴对称 角平分线
知识点2 两边
【明考点·识方法】
典例1 C 解析：作 于点E，
因为AD是 的角平分线，
所以DE=CD=4,
因为 AC=12,AB=15,所以 54.
变式1 B
变式2 B
典例2 解：如图，P点即为所求作.
结论：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，角平分线上的点到两边的距离相等.
变式 解：(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”分析可知：图中7个区域中有①③⑤⑦四个区域中存在符合要求的点P;故答案为:①③⑤⑦.
(2)如图，点P 为区域⑤中符合要求的点.
【当堂测·夯基础】
1. C 2. B 3. D 4. C 5. B
6.解:(1)因为
所以
因为AD 是△ABC的角平分线，
所以 30°.
因为 DE⊥AB,所以
所以
(2)如图,过点 D作 于点 F.
因为 AD 是 的角平分线，AB,所以
又因为
所以 ·
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